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Círculos de M e N constante Escrevendo T(jω) como: T(jω) = M(ω) e jΦ(ω) T(s) = _______ 1+G(s) G(s) T(jω) = _______ 1+G(jω) G(jω) E G(jω) como: G(jω) = a(ω) + b(ω)j Temos: M(ω) e jΦ(ω) = _____________ 1+ a(ω) + b(ω)j a(ω) + b(ω)j Omitindo ω da notação: M e jΦ = ________ 1+ a + bj a + bj

Círculos de M e N constantejackson/ees492012/ANichols.pdfCarta de Nichols Diagrama de Nichols-Black No diagrama polar as curvas de M e de N constante são simples circunferências;

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Page 1: Círculos de M e N constantejackson/ees492012/ANichols.pdfCarta de Nichols Diagrama de Nichols-Black No diagrama polar as curvas de M e de N constante são simples circunferências;

Círculos de M e N constante

Escrevendo T(jω) como: T(jω) = M(ω) ejΦ(ω)

T(s) = _______

1+G(s)

G(s) T(jω) =

_______

1+G(jω)

G(jω)

E G(jω) como: G(jω) = a(ω) + b(ω)j

Temos: M(ω) ejΦ(ω) = _____________

1+ a(ω) + b(ω)j

a(ω) + b(ω)j

Omitindo ω da notação: M ejΦ = ________

1+ a + bj

a + bj

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Elevando ao quadrado:

M = ________

1+ a + bj

a + bj ____________

(1+a)2 + b2

= a2 + b2

M2 = _____________

1+2a +a2 + b2

a2 + b2

a2 + b2 = M2+2aM2 +M2a2 + M2b2

(1- M2)a2 + (1- M2)b2 -2aM2 = M2

Matemágica: dividindo por (1- M2) e somando ____

1-M2

M2

( ) 2

a2 + b2 - + = +

____

1-M2

M2

____

1-M2

2aM2

____

1-M2

M2

( ) 2

____

1-M2

M2

( ) 2

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( )

a2 + b2 - + = +

____

1-M2

M2

____

1-M2

2aM2

____

1-M2

M2

( ) 2

____

1-M2

M2

( ) 2

a - + b2 = + ________

(1-M2)2

(1-M2)M2

______

(1-M2)2

M4

____

1-M2

M2

( ) 2

a - + b2 = ____

1-M2

M2

( ) 2

____

1-M2

M

2

Para um determinado valor de M, esta é a equação de uma

circunferência de raio M/(1-M)2 e centro em (M2/(1-M2), 0) no

plano complexo.

(a - ca)2 + (b - cb)2 = r2

Para cada valor de M temos uma circunferência diferente.

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Φ = - = atan - atan 1+ a + bj

a + bj

1+

__

a

b

a2 + b2 + a = b/N

Somando 1/22 + (1/2N)2 para completar os quadrados:

a + + b - =

___

2N

1

__

2

1

( ) ( )

2 _____

4N2

N2+1

2

____

1+a

b

tan(Φ) =

__

a

b

____

1+a

b

______

a(1+a)

b2

-

____________

= ________

a2+b2+a

b

= N

a2 + a + 1/22 + b2 - b/N + (1/2N)2 = 1/22 + (1/2N)2

Uma circunferência para cada valor de N, ou de Φ.

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Carta de Nichols

Diagrama de Nichols-Black

No diagrama polar as curvas de M e de N constante

são simples circunferências; o problema reside no

fato de alterações no ganho de G(s) se refletirem de

maneira complicada em G(jω).

Usando o diagrama de módulo em dB versus fase,

alterações no ganho de G(s) se refletem em uma

simples translação de G(jω) no eixo vertical.

As curvas de M e de N constante no entanto deixam

de ser circunferências.

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A carta de Nichols, ou diagrama de

Nichols-Black nada mais é do que os

círculos de M e N constante desenhados

no diagrama de |G(jω)| em dB versus

G(jω) ao invés de no diagrama polar.

Nela podemos traçar a resposta em

frequência de G(s) e obter a resposta em

frequência de T(s).

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