CREATIVITATEA

   MATEMATICĂ.

REZOLVAREA

              DE

      PROBLEME

             sI

EXERCIŢII

             LA

   CICLUL PRIMAR CUPRINS :

Capitolul I .

INTRODUCERE

          I . 1 . Motivarea alegerii temei ;

          I . 2 . Obiectivele lucrarii ;

          I . 3 . Creativitatea prin rezolvarea de probleme si exercitii

– obiectiv major al învatamântului primar .

                   Capitolul II .

                   METODOLOGIA REZOLVĂRII

PROBLEMELOR  DE ARITMETICĂ

          II . 1 . Notiunea de ,,problema”  ;

          II . 2 . Clasificarea problemelor ;

 

         

                    Capitolul III .

METODE DE REZOLVARE

A PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ

          III . 1 . Metode generale ;

          III . 2 . Metode particulare .

                   Capitolul IV .

ACTIVITATE METODICĂ sI DE CERCETARE

          IV . 1 . Proiect de cercetare ;

          IV . 2 . Proiecte de lectie .

                   Capitolul V .

CONCLUZII

         

V . 1 . Concluzii .

          BIBLIOGRAFIE 

                             Capitolul  I . INTRODUCERE

I . 1 . MOTIVAŢIA ALEGERII TEMEI

         

    Expunere de motive : 

Am ales aceasta tema deoarece poate fi abordata din diverse unghiuri.                              Sintagma ,, rezolvare de probleme” se refera separat si / sau  unitar la :

-          capacitati sociale ;

-          gândirea ca proces de rezolvare de probleme ;

-          tip superior de învatare ;  

-          nivel de performanta ;

-          metoda ;

-          algoritm ;

-          strategie ;

-          unitate de învatare distincta sau subordonata;

-          tratare interdisciplinara , intradisciplinara .   

Cu alte cuvinte , în lucrare am dorit sa dovedesc ca rezolvarea de probleme  este un scop pentru sine  si  niciodata ales ca mijloc pentru altceva , scop în functie de care ne dorim si alte lucruri  . ( Aristotel)   

    Un alt motiv pentru care am ales tema este natura omului – singura  fiinta

înzestrata cu ratiune , judecata , gândire , limbaj  . Acestea pot si trebuie dezvoltate prin cunoasterea adevarului , adica prin matematica .

,,Cunoasterea începe cu probleme si sfârseste ( în masura în care ea se sfârseste vreodata) cu probleme”  K .R . Popper

1 . Pentru a enunta propozitia : ,,Acest mar este rosu”era necesara  o cunoastere prin simturi a lucrului din realitatea exterioara .

2 . Pentru a enunta propozitia : ,,Toate numerele pare se divid cu 2” era necesara o cunoastere a unor adevaruri matematice .   

Prima forma de cunoastere se numeste cunoasterea lucrurilor sau cunoastere  a  posteriori ,adica derivata din experienta ( cunoastere intuitiva) . Sursa ei este experienta, iar propozitiile sau judecatile prin care o exprimam nu sunt necesare.

A doua forma de cunoastere se numeste cunoasterea  adevarului sau  cunoastere  a  priori ,adica  nederivata din experienta . Sursa ei o constituie ratiunea si judecatile, iar propozitiile prin care o exprimam sunt  necesare           ( adevaruri intrinsec evidente ) . E un adevar matematic care nu are nicio legatura cu experienta ; mai mult , proprietatea afirmata depre numerele pare este necesara , întrucât numerele pare nu pot fi decât divizibile cu 2 .

I . 2 . OBIECTIVELE LUCRĂRII

Mi – am propus prin aceasta lucrare :

     sa demonstrez ca , indiferent de domeniu , rezolvarea creativa de probleme trebuie sa fie atributul ce caracterireaza omul în orice ipostaza s-ar afla : scoala , familie , mediu , societate ;

     sa argumentez si sa dovedesc  ca matematica este câmpul deschis al cunoasterii stiintifice unde  brainstorming – ul (sintagma traducerii directe ,,furtuna în creier” sau ,,asaltul de idei”) se poate duela cu algoritmizarea  spre a iesi învingatori elevii ;

 

     sa ofer un studiu de caz si un experiment pedagogic pentru o problema controversata : modul de instruire si transferul învatarii orizontal , pe grupe valorice de nivel – materii ( omogene , în functie de aptitudinea speciala matematica ) ;

 

     sa verific ( empiric ) o ipoteza întemeiata pe studii teoretice privind Introducerea organizatorului cognitiv , ca metoda optima folosita pentru a maximaliza performantele elevului la acest test si la acest obiect - matematica ( pe termen lung );

 

     sa promovez ideea ca prin  matematica se dezolta gândirea si operatiile ei, creativitatea , taria de caracter , sentimentele si atitudinile pozitive , spiritul de competitie intelectuala .   

I . 3 . REZOLVAREA DE PROBLEME

–obiectiv major al învatamântului primar

          Un imperativ !

          Înca din primii ani , copilul încearca sa-si rezolve singur situatiile ,,de viata” cu care se întâlneste . El descopera , (îsi) pune întrebari , creeaza ,,probleme” si încearca sa-si rezolve ,,problemele” .

          A actiona , a gresi , a ezita , a clasifica , a alege , a evalua efectele , a cauta modalitati atunci când intra în impas , iata situatiile în care este ( si trebuie pus ) un copil spre a-l pregati pentru viata .

          Ajuns la scoala copilul trebuie sa intuiasca , sa descopere , sa cunoasca situatiile în care cunostintele lui dobândite la ora de matematica se pot aplica si el trebuie sa se convinga treptat ca posibilitatile de a rezolva o problema de viata sunt mult mai mari daca gândeste problema în termeni matematici .

          Pentru micul elev situatiile de viata prind sens matematic , iar lectiile de matematica capata sens în activitatile de cunoastere a lumii .

          Tocmai de aceea noile conceptii pedagogice privind studiul matematicii în scoala primara sunt axate pe o optica constructivista :

          A face matematica înseamna a rezolva probleme !

          si , nu întâmplator , dintre cele 12 standarde curriculare de performanta vizate la sfârsitul ciclului primar , nu mai putin de cinci se refera la rezolvarea problemelor si la modalitati de rezolvare a lor .

          Dar ce înseamna ,,a rezolva o problema” ? Înseamna a gasi o iesire dintr-o dificultate , a gasi o cale de a ocoli un obstacol , a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil .

          A gasi solutia unei probleme este o performanta specifica inteligentei , iar inteligenta este apanajul speciei umane , se poate spune ca , dintre toate îndeletnicirile omenesti , cea de rezolvare a problemelor este cea mai caracteristica .

          Spre deosebire de exercitiu în care majoritatea elevilor aplica un set de reguli de rutina , pentru a ajunge la un raspuns , pentru a rezolva o problema , faci pauza si ... reflectezi pentru gasirea versiunii matematice a problemei .

          De o importanta deosebita devine acum transformarea (punerea) în exercitiu a versiunii matematice ca rezultat al constientizarii operatiilor matematice necesare . Întelegerea ( sesizarea , intuirea , relevarea , ... ) situatiilor aditive , situatiilor subatractive , situatiilor multiplicative , situatiilor de împartire devine esntiala pentru reusita acestei transformari . Iar

dupa transformare , cunoscând cele patru operatii si proprietatile lor , nu mai este o problema atât la propriu cât la figurat ca sa obtinem solutia .    

          Asa cum relevam în schema de rezolvare a unei probleme , obstacolul cognitiv , dificultatea sau situatia contradictorie ce apare din punct de vedere teoretic sau practic în situatia initiala poate fi depasit(a) numai printr-o atribuire de sens (matematic).

          Ramâne astfel de maxima actual 535o1424f itate îndemnul de acum mai bine 2000 de ani , facut de Plutarh :

,,Capul copilului nu este un vas pe care sa-l umpli , ci o faclie pe care s-o aprinzi , astfel încât , mai târziu sa lumineze cu lumina proprie .”

          cunoastere                          întelegere                         aplicare

Recunoaste în acelasi        Îl recunoaste sub o forma          Foloseste în alt

         contest                                 diferita                                  context

,,Acolo unde unii doar privesc , eu vad . Acolo unde unii doar vad , eu înteleg” ar trebui sa fie dictonul cu care sa se mândreasca fiecare dintre elevii nostri .

Sa vrea , sa vada (operatia necesara ) , sa poata sa o vada si în sfârsit sa stie sa o vada sunt etape în constientizarea matematicii ciclului primar .

          Trebuie sa-i dam ocazia copilului ,,sa matematizeze” înainte de ,,a aritmetiza”. Matematizarea implica un model al realului , aritmetica presupune formalizarea .

          Care poate fi sensul învatarii matematicii pentru elevi , care au memorat perfect tabla adunarii , tabla înmultirii , si ei nu sesizeaza , pentru versiunea matematica a unei probleme , daca , si / sau când este nevoie de o anumita operatie ?

          Ce-ar trebui sa citim în ochii unei învatatoare ai carei elevi raspund în cor ,,18minute” la întrebarea din problema:

,,Pentru a fierbe un ou apa trebuie sa clocoteasca 3 minute .

 Câte minute trebuie sa clocoteasca apa pentru a fierbe 6 oua ?”

Satisfactia ca toti elevii cunosc ,,pe dinafara”– atentie la sensul ghilimelelor – tabla înmultirii sau jena ca niciunul dintre ei nu a înteles sensul operatiei de înmultire ?

     Testarea nivelului de constientizare a situatiilor de adunare ( aditive ) se va face periodic prin rezolvarea în clasa a urmatoarelor probleme :

1.     Ana are 15 creioane colorate , 2 stilouri si 6 creioane negre .Câte creioane are Ana ?

2.     Casa familiei Ionescu are 8 metri înaltime . Chiar în vârful ei , domnul Ionescu a montat o antena de 3 metri înaltime . Ce înaltime are acum casa?

3.     Andrei se afla pe a 38-a treapta a unei scari . El coboara 7 trepte , apoi mai coboara 15 . Câte trepte a coborât Andrei ?

4.     Gigel masoara 120 centimetri , iar Victor are cu 10 kilograme mai mult decât Gigel . a)Cine-i mai greu ?b)Cine-i mai înalt?

     5.  Esti soferul unui autobuz . Pleci de la capat cu 5 calatori . La prima statie mai urca 4 calatori , la a doua statie mai urca 5 , la a treia statie mai urca 4 . Ce vârsta are soferul?

     Voi prezenta câteva probleme din ,,folclorul matematic” ce pot fi utilizate ca elemente deverificare a nivelului de constientizare a situatiilor multiplicative :

     1.  Într-o punga sunt 15 nuci , de 5 ori mai putine decât în a doua punga . Câte nuci sunt   în a doua punga?

2.     Trei frati gemeni au împlinit astazi 8 ani . Câti ani au trecut de când s-au nascut cei trei frati ?

3.      Un turist parcurge 4 kilometri într-o ora . În cât timp 3 turisti mergând cu aceeasi viteza parcurg 24 kilometri ?

4.     Pentru plata a 17 timbre cu 3200 lei bucata , din greseala , vânzatoarea îi solicita lui Virgil 18x 3200 =57600 lei . Virgil plateste , dar vânzatoarea îsi da seama ca a gresit   , calculeaza 17x3200=54400 lei , face diferenta 57600 – 54400 si îi restituie lui Virgil banii încasati din greseala . Exista o cale mult mai simpla de calcul a sumei de bani ce trebuie restituita lui Virgil ?

     Raspunsurile elevilor la probleme de tipul urmator alcatuiesc un bun indicator al nivelului de întelegere al situatiilor de scadere :

1.  Mihaela a cumparat 9 banane . Ea i-a dat 4 banane surorii sale . Câte banane i-au  ramas?

2.      În clasa a doua sunt 8 baieti , toti joaca fotbal . Câti baieti lipsesc pentru a forma o echipa de fotbal ( de 11 jucatori ) ?

3.      Înaintea ultimei încercari , Costel avea 58 de puncte . Acum are 49 . Câte puncte a pierdut la ultima încercare ?

4.      Anul trecut , Corina avea 27 kilograme , iar anul acesta are 30 . Câte kilograme a câstigat în greutate în ultimul an Corina ?

5.      Costel are înaltimea de 121 centimetri , iar David 147 centimetri . Care este diferenta de înaltime dintre cei doi copii ?

     Tentatia elevilor de a face o împartire atunci când numerele sunt compatibile va fi temperata de învatatoare cu probleme,,capcana”de tipul :

     1.    De acasa si pâna la scoala în care învata Sandu sunt 270 metri . Daca alearga ,Sandu ajunge de 3 ori mai repede decât daca merge normal . Ce distanta parcurge  Sandu , atunci când se duce la scoala ?

2.        Într-o punga sunt 20 de caise , de 4 ori mai multe decât în prima punga . Câte caise sunt în prima punga ?

3.        Daca 3 litri de apa au temperatura d 60 grade Celsius , ce temperatura are un singur litru de apa ?

4.        Calculati a saptea parte din produsele : 3x7 ; 8x7 ; 7x7 ; 1x7 ; 0x7 .

,,Aritmetica – avertiza acum doua sute de ani Gheorghe Asachi – trebuie sa se învete ca un mijloc de deprindere a inteligentei , iar nu în chip mecanic sau ca un lucru numai de tinut minte .”

Analiza problemelor

Cineva spunea cu multa poezie :

,,Intrarea în cetatea cunoasterii se face pe podul matematicii.”

Prin acest pod – o alta metafora care apropie matematica de comunicare – se întelege o limba si ea construita pentru întelegere .

          Dar ce facem când vrem sa stapânim o limba straina ? Învatam cuvintele , dar si gramatica , echivalentul regulilor în matematica si apoi ne perfectionam citind lectura , ceea ce în matematica înseamna rezolvarea de probleme .  

Rezolvarea de probleme trebuie privita ca o poetica a matematicii .

          Dar pâna la urma , ce este o problema ?

Un raspuns satisfacator ar fi cel dat de Paul Fraisse : ,, Orice situatie în care raspunsul nu poate fi dat imediat constituie o problema.”

          Altfel spus , o problema este o situatie noua , necunoscuta , în fata careia ma aflu si pe care trebuie sa o rezolv , sa iau o decizie , sa gasesc o solutie .

          ,, A rezolva o problema – spune George Polya – înseamna a gasi o iesire dintr-o dificultate a gasi o cale de a ocoli un obstacol , a atinge un obiectiv care nu este direct accesibil .”

,,A gasi solutia unei probleme este o performanta apecifica inteligentei , iar inteligenta este apanajul specific speciei umane”  completeaza J.James .

Dar oare pentru a rezolva o problema este suficienta doar inteligenta ?

- Pentru a rezolva un exercitiu, unii aplica un set de reguli de rutina spre a ajunge la raspuns.   

- Pentru a rezolva o problema , reflectezi , îti aduci aminte o problema similara , pasesti pe ,,urma” lasata în minte sau inventezi pasi pe care nu i-ai mai facut pâna la abordarea acestei probleme .

          Avertizeaza însa George Poya : ,, A rezolva o problema imitând metoda folosita în rezolvarea unei probleme poate fi o treaba usoara , daca problemele sunt asemanatoare, mai grea sau imposibila , daca asemanarea nu este prea mare .”  

Nevoia , din partea rezolvitorului , de a crea metode este ceea ce deosebeste un exercitiu de o problema. Pe masura ce îsi însuseste modalitati de rezolvare generale si unitare , pentru rezolvitor unele probleme devin simple exercitii .

          Pentru un elev din ciclul primar , ,,Cum putem împarti 96 de creioane la 24 de copii” poate fi o problema , dar pentru un elev de gimnaziu este un exercitiu de rutina : ,,Cât este 96:24?” exersarea este un ajutor pretios în învatarea matematicii . Exercitiile ne ajuta sa retinem concepte , proprietati , procedee care se pot aplica în rezolvarea problemelor .

          Rezolvarea de probleme este o actiune continua în ciclul primar si nu numai . Ea începe înca din primele ore de matematica si se finalizeaza în clasa aIVa prin rezolvarea de probleme utilizând metoda figurativa , cu probleme care necesita mai mult de trei operatii .

Învatatorul care vrea sa imprime elevilor sai o atitudine corecta în abordarea problemelor trebuie sa-si fi însusit el însusi o astfel de atitudine .

          Ce spune problema ? Ce este dat si ce trebuie aflat ? Ai determinat datele cunoscute? Sunt suficiente , sunt redundante ? Se poate gasi vreo legatura între problema noastra si o problema care se rezolva mai simplu ? Sau care se rezolva direct ? Acestea sunt întrebarile care trebuie puse mai întâi de învatatoare , apoi de elev siesi .

De câte ori elevul se opreste din rezolvarea problemei recomanda acelasi George Polya:

,,Este o prostie sa raspundem la o întrebare pe care nu o întelegem . Este neplacut sa lucram în vederea unui scop pe care nu ni-l dorim . Astfel de lucruri prostesti se întâmpla adesea în scoala si în afara ei , dar învatatorul trebuie sa se straduiasca pentru a preîntâmpina producerea lor în clasa.”

          Învatatorul are în fata o sarcina dubla cu laturi în parte contradictorii . El trebuie sa puna pe elev deopotriva în situatiile :

-         de a învata matematica ,

-         de a face matematica .

De aceea prima si cea mai importanta îndatorire a învatatorului în predarea matematicii este de acorda atentia cuvenita metodologiei de rezolvare a problemelor , mai clar sa asigure experienta de gândire în toate genurile de ,,matematica” .

Directia principala pe care o urmareste orice bun învatator este aceea prin care transforma rezolvarea anumitor (tipuri de ) probleme în cele din urma în simple exercitii , asigurând în final elevilor o cunoastere perfecta si sigura a unor procedee de lucru .

Învatatorul trebuie sa rezolve el însusi foarte multe probleme . Dar acest lucru nu se poate face numai din obligatie profesionala . Adevaratul dascal are el însusi placerea de a rezolva problema , de a se entuziasma pentru cele ,,frumoase” , de a le pastra în atentie si semnala altora .

Continua G. Polya : ,,A sti sa rezolvi problema este o îndemânare practica – o deprindere – cum este înotul , schiul sau cântatul la pian ; care se poate învata numai prin imitare si exercitiu . Daca vreti sa-i învatati pe copii înotul , trebuie sa-i bagati în apa , iar daca vreti sa-i învatata sa rezolve probleme , trebuie sa-i puneti sa rezolve probleme.”

De asemenea învatatorul poate înlocui recomandarea ,, rezolva cât mai multe probleme” cu recomandarea ,,învata cât mai mult din rezolvarea fiecarei probleme” !

În fapt , bunul învatator nu-i ,,învata” matematica pe elevii sai , ci îi provoaca prin probleme propuse spre rezolvare sa gândeasca matematic , punându-i frecvent în situatia de a ,,matematiza” aspecte reale din viata .

Pentru atingerea obiectivului – cadru ,, Dezvoltarea capacitatii de explorare / învatare si rezolvare de probleme” , prevazut în programa scolara pentru finele clasei aIVa trebuie dezvoltate la copil urmatoarele capacitati :         

-         capacitatea de a întelege semnificatia valorii numerice , datele problemei si a relatiilor ce se dau între elemente cunoscute ;

-         capacitatea de a întelege conditia problemei , relatia ascunsa dintre datele problemei si necunoscuta (orice rationament va fi îndrumat pe calea întâmpinarii necunoscutei) ;

-         capacitatea cuprinderii în raza gândirii nu doar a unor fragmente succesive pe care sa le puna cap la cap , ci a întregului rationament de rezolvare a problemei.

Analiza problemelor este un capitol util pentru învatatorul care vrea sa faca schimbari în predare , si anume în trecerea de la ipostaza de transmitator de informatii la cea de organizator al

unor activitati variate de învatare pentru toti copiii , în functie de nivelul si ritmul propiu de învatare al fiecaruia .

Bazele psihopedagogice si metodologice ale rezolvarii problemelor

     Gândirea ca proces de rezolvare a problemelor

A gândi înseamna a raspunde la diferite întrebari , a opera cu notiunile , principiile si legile , darmai ales a rezolva probleme . Problema este domeniul predilect al al probarii si afirmarii gândirii . În sens general , problema se defineste ca obstacol de ordin informational – cognitiv pe care gândirea îl întâlneste pe traiectoria sa de la o situatie initiala (A) catre situatia finala (B).

În plan subiectiv , acest obstacol se constientizeaza si se traieste în forma unei tensiuni , a unei disonante , cu atât mai puternice cu cât disponibilitatile imediate de rezolvare sunt mai reduse . În definirea si evaluarea  unei probleme , trebuie sa tinem seama atât de latura obiectiva ( cum este formulata si structurata sarcina ) , cât si de cea subiectiva ( gradul de pregatire interna anterioara a subiectului în raport cu tipul dat de sarcini ) . Pentru ca o situatie , considerata problema în plan obiectiv , sa devina o problema si din punct de vedere psihologic , este necesar ca subiectul sa nu dispuna imediat de solutie , ci sa fie nevoit sa desfasoare o activitate intelectuala speciala , prin încercari si erori , pentru aflarea rezultatului . O problema poate fi considerata cu atât mai dificila si mai complexa , cu cât subiectul trebuie sa efectueze un numar mai mare de explorari de încercari si de operatii pentru gasirea rezultatului , si invers .

          Dupa gradul de structurare a modalitatii de abordare – rezolvare , problemele au fost împartite în doua mari clase :

a)     probleme bine definite ;

b)    probleme slab definite .

Bine definite sunt considerate problemele a caror rezolvare poate fi fixata într-o schema operationala de tip algoritmic ( probleme de matematica ). Slab definite sunt problemele a caror rezolvare nu se preteaza la algoritmizare ( ex. Jocul de sah , elaborarea unei inventii , crearea unei opere literare ) .

          Rezolvarea oricarei probleme autentice are un caracter procesual , etapizat. Orientativ , desprindem urmatoarele etape sau faze mai importante :

a)     perceperea problemei , care poate fi corecta sau alterata , completa sau lacunara , aceasta conditionând orientarea procesului rezolutiv într-o directie corecta sau într-una gresita ;

b)    formarea reprezentarii sau modelului intern , care devine premisa pentru organizarea si desfasurarea operatiilor rezolutive ;

c)     reformularea problemei , pentru aducerea ei într-o forma mai inteligibila si mai coerenta ; aceasta permite identificarea tipologica si faciliteaza alegerea metodei de rezolvare ;

d)    alegerea si aplicarea metodei ,metoda care poate fi algoritmica sau euristica ; problema este supusa efectiv transformarilor în vederea gasirii solutiei ;

e)     verificarea rezultatului : daca este corect , procesul se stopeaza , daca se dovedeste eronat , se trece la descoperirea erorilor sau la alegerea altei metode de rezolvare .

          PROGRAMA DE MATEMATICĂ:

    OBIECTIVE CADRU

2.Dezvoltarea capacitatilor de explorare /investigare si rezolvare de probleme

3.Formarea si dezvoltarea capacitatii de a comunica utilizând limbajul matmatic

    A.Obiective de referinta si exemple de activitati de învatare

Clasa I :

2.6. sa rezolve probleme care presupun o singura operatie dintre cele învatate

       - exercitii de analiza a partilor componente ale unei probleme ;

       - exercitii de adaugare sau extragere de elemente dintr-o multime de obiecte si exprimarea operatiei verbal si în scris ; verificarea prin numarare ;

       - rezolvarea de probleme cu obiecte sau desene si verificarea prin numarare ;

       - rezolvarea de probleme de tipul a+b=x , a – b =x, în care a,b sunt numere date;

2.7. sa formuleze oral exercitii si probleme cu numere de la 0 la 30

       - exercitii de transformare a problemelor pastrând numerele neschimbate ;

       - schimbarea numerelor într-o problema data , cu pastrarea tematicii ;

       - exercitii de schimbare a componentelor unei probleme fara ca tipul de problema sa se schimbe ;

       - formularea de probleme cu sprijin concret în obiecte sau desene ;

       - formularea de probleme pornind de la o tema data ;

       - formularea de probleme pornind de la numere date ;

3.1. sa verbalizeze modalitatile de calcul folosite în rezolvarea unor probleme practice si de calcul

       - exprimarea în cuvinte proprii a modului de lucru folosit în rezolvarea unor sarcini care solicita operarea cu obiecte , desene sau numere ;

      - exercitii de utilizare adecvata a limbajului matematic în situatii cotidiene ;

      - exercitii de descriere a procedeelor utilizate pentru masurarea si compararea obiectelor .

Continuturile învatarii :

        Probleme care se rezolva cu operatiile cunoscute (o operatie sau mai mult de o operatie *).

Clasa aIIa :

2.6. sa rezolve probleme care presupun o singura operatie dintre cele învatate

       - rezolvarea de probleme cu obiecte sau cu desene simple:puncte , cerculete , linii etc.;

       - rezolvarea de probleme cu date numerice ;

       - recunoasterea situatiilor concrete sau a expresiilor care cer efectuarea unor adunari sau scaderi (,,au fost si au mai venit” , ,,s-au pierdut”);

       - corelarea expresiilor folosite în situatii concrete cu operatiile aritmetice învatate ;

   *  sa rezolve probleme care presupun cel putin doua operatii de adunare sau scadere

2.7. sa formuleze , oral si în scris , exercitii si probleme cu numere , care se rezolva printr-o singura operatie

       - formularea de probleme utilizând tehnici variate :cu sprijin concret în obiecte ; pornind de la o tema data ; pornind de la numere date ; fara sprijin;

       - exercitii de formulare a întrebarilor posibile pentru enunturi date în forme variate ;

          3.1. sa exprime oral , în cuvinte proprii , etape ale rezolvarii unor probleme

                 - citirea enuntului unei probleme , redarea libera , cu voce tare , a enuntului ;

                 - utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele si pasii de   rezolvare ai unei probleme ;

          Continuturile învatarii

        Probleme care se rezolva printr-o operatie *Problemecare se rezolva prin cel putin doua operatii .

          Clasa aIIIa

          2.4. sa foloseasca simboluri pentru a pune în evidenta numere necunoscute în   rezolvarea de probleme

-         rezolvarea de exercitii variate care solicita aflarea unui numar

necunoscut notat în diverse moduri ;

-         rezolvarea ecuatiilor : în plan mental : rezolvarea unei probleme de tipul:

,,M-am gândit la un numar , l-am adunat cu 3 si am obtinut 5.La ce numar m-am gândit?” ; în plan simbolic : descrierea unei secvente de tipul :     3+? =5 ;

-         codificarea unei întrebari de tipul : ,,3 plus cât este egal cu 5 ?” Aflarea numarului necunoscut se face prin încercare , înlocuire si verificare .Treptat , se recurge tot mai frecvent la modelul balantei ;

2.5. sa rezolve si sa compuna probleme de tipul : a+   b=x ; a+b+c=x ; axb=x ; a:b=x,b nu este egal cu 0  unde a,b,c, sunt numere naturale date mai mici decât 1000, iar x este necunoscuta

        - recunoasterea situatiilor concrete sau a expresiilor care presupun efectuarea unor operatii de adunare , scadere , înmultire , împartire (,,cu atât mai mult” , ,,cu atât mai putin” , ,,de atâtea ori mai mult” , ,, de atâtea ori mai putin” , ,,sunt n obiecte , câte p pe fiecare rând” , ,, se distribuie în mod egal n obiecte la p persoane”) ;

        - crearea de probleme utilizând tehnici variate : cu sprijin concret în obiecte pornind de la numere date ; fara sprijin ;

        - crearea de probleme pornind de la exercitii si invers ; transformarea problemelor în exercitii ;

        - crearea de probleme de catre elevi pentru colegii lor ;

        - crearea de probleme pornind de la expresii simbolice ( a+b=x ;      a-b=x ) ;

        - analiza partilor componente ale unei probleme ;

        - schimbarea componentelor unei probleme fara ca tipul de problema sa se schimbe ;

        - transformarea problemelor de adunare în probleme de scadere si invers , a celor de scadere în probleme de adunare ;

        - schimbarea numerelor dintr-o problema data,cu pastrarea tematicii ;

        - transformarea problemelor pastrând numerele neschimbate ;

        - analiza cuvintelor care sugereaza operatii aritmetice , inclusiv a celor derutante ;

        - stimularea cresterii treptate a vitezei de operare cu numere prin propunerea de competitii între elevi si probe date într-un interval de timp precizat initial ;

3.1. sa exprime clar si concis semnificatia calculelor facute în rezolvarea unei   probleme

        - exercitii de transpunere a unor enunturi simple din limbaj matematic simbolic în limbaj cotidian si invers .

Continuturile învatarii :

        Probleme care se rezolva prin cel mult doua operatii ;

-*probleme care se rezolva prin mai mult de doua operatii  .

          Clasa aIVa

          2.5. sa rezolve si sa compuna probleme cu text

                 - recunoasterea situatiilor concrete sau a expresiilor care presupun

                    efectuare unor operatii de adunare , scadere , înmultire , împartire ;

-         transpunerea unei situatii problema , în limbaj matematic , înlocuind numere necunoscute cu simboluri ;

-         analiza unor probeleme de tipul mentionat : identificarea datelor si a necunoscutelor , identificarea operatiilor prin care se ajunge la rezolvare , identificarea tipului problemei ( a formulei) ;

-         alcatuire de probleme ;

-         formularea de generalizari ale unor enunturi date ; crearea si rezolvarea unor probleme cu text , pe baza unor scheme , modele , reguli date ;

-         crearea de probleme utilizând tehnici variate : cu sprijin concret în obiecte pornind de la numere date ; fara sprijin ,

-         crearea de probleme pornind de la exercitii si invers ; transformarea problemelor în exercitii ;

-         crearea de probleme de catre elevi pentru colegii lor ;

-         crearea de probleme pornind de la expresii simbolice ( a+b= x; a – b = x ) ;

-         analiza partilor componente ale unei probleme ;

-         schimbarea componentelor unei probleme fara ca tipul de problema sa se schimbe ;

-         transformarea problemelor de adunare în probleme de scadere si invers , a celor de scadere în probleme de adunare ;

-         schimbarea numerelor într-o problema data,cu pastrarea tematicii ;

-         transformarea problemelor pastrând numerele neschimbate ;

-         analiza cuvintelor care sugereaza operatii aritmetice , inclusiv a celor derutante ,

-         stimularea cresterii treptate a vitezei de operare cu numere prin propunerea de competitii între elevi si prin probe date într-un interval de timp precizat initial ;

3.1. sa exprime pe baza unui plan simplu de idei , oral sau în scis , demersul parcurs în rezolvarea unei probleme

       - utilizarea unor scheme simple pentru a figura pe scurt datele si pasii de rezolvare a unei probleme

Continuturile învatarii :

        Probleme care se rezolva prin cel mult trei operatii .

        Probleme care se rezolva prin metoda figurativa

        Probleme de estimare ; probleme care se rezolva prin încercari .

        Probleme de organizare a datelor în tabele .

        *Probleme care se rezolva prin mai mult de trei operatii .

        *Probleme de logica si probabilitati .

Standarde de performanta

O.C.2

S7. Formularea si rezolvarea de probleme care presupun efectuarea a cel mult trei operatii

S8. Rezolvarea de probleme din alte discipline utilizând limbajul matematic adecvat

S9. Folosirea corecta a unor modalitati simple de organizare si clasificare a datelor

S10. Realizarea de estimari pornind de la situatii practice

O.C.3

S12. Exprimarea orala si scrisa într-o maniera concisa si clara a modului de calcul si a rezultatelor unor exercitii si probleme

Capitolul II . METODOLOGIA REZOLVĂRII DE PROBLEME

         

II . 1 .  NOŢIUNEA DE ,, PROBLEMĂ”

          Notiunea de problema are un continut larg si cuprinde o gama larga de preocupari si actiuni din domenii diferite .

          În sens pshihologic , ,,o problema”este orice situatie , dificultate , obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practica sau teoretica pentru care nu exista un raspuns gata formulat .

          În general , orice chestiune de natura practica sau teoretica care reclama o solutionare , o rezolvare , poarta numele de problema .

          Notiunea de problema nu este întâlnita numai în matematica . Dupa cum afirma G. Polya ,,a avea ( sau a-ti pune ) o problema înseamna în mod constient o actiune adecvata pentru a atinge un scop clar conceput , dar nu imediat accesibil . A rezolva o problema înseamna a gasi o asemenea actiune”.

          Referindu-ne la matematica , prin problema se întelege o situatie a carei solutionare se poate obtine esential prin procese de gândire si calcul .

Problema de matematica reprezinta transpunerea unei situatii practice sau a unui complex de situatii practice în relatii cantitative si în care , pe  baza valorilor numerice date si aflate într-o anumita dependenta unele fata  de altele si fata de una sau mai multe valori numerice necunoscute , se cere determinarea acestor valori necunoscute .  

          În activitatea teoretica si practica  omul întâlneste atât situatii identice , în a caror rezolvare aplica metode si procedee standardizate de tip algoritmic , dar si situatii noi pentru care nu gaseste solutii în experienta dobândita sau între mijloacele deja învatate . Când situatia poate fi rezolvata pe baza cunostintelor sau deprinderilor anterior formate , deci a unor solutii existente în experienta câstigata , elevul nu mai este confruntat cu o problema noua . În cazul situatiilor –

problema  este nevoie de explorarea situatiei prin aplicarea creatoare a cunostintelor si tehnicilor de care dispune rezolvitorul în momentul respectiv , scopul fiind acela al descoperirii implicatiei ascunse , a necunoscutei , a elaborarii rationale a solutiei .

          Rezolvarea problemelor se face fie prin metode euristice , fie prin metode algoritmice .

          Metodele cu ajutorul carora se descopera noi mijloace de rezolvare , se construiesc planuri si programe nestereotipice , sunt cunoscute sub denumirea de metode euristice . Activitatea de rezolvare a problemelor de matematica se înscrie atât în zona unor rezolvari stereotipice ( aplicarea aceleiasi metode de rezolvare în situatii identice , cum este cazul la problemele tipice ) , cât mai ales în aceea a rezolvarii euristice .

Rezolvarea problemelor cu ajutorul algoritmilor usureaza mult munca rezolvitorului , aceasta reducându-se la recunoasterea tipului de problema si la aplicarea algoritmului corespunzator .

În felul acesta , gândirea si activitatea rezolvitorului se pot concentra asupra altor aspecte , care solicita creativitatea în mai mare masura . Abordarea algoritmica a problemelor are avantajul ca ne permite accesul la calculatorul electronic . Pentru a rezolva o problema cu un sistem de prelucrare automata a datelor trebuie parcurse urmatoarele etape :

-         formularea problemei ;

-         precizarea datelor de intrare / iesire ;

-         elaborarea schemei logice ;

-         elaborarea programului în conformitate cu schema logica .

Odata introduse datele si programul în calculator , acesta va opera asupra informatiilor si va comunica omului rezultatul . Evident ca o astfel de cale pentru rezolvarea problemelor este usoara , comoda , dar ea nu se poate aplica decât unui numar infim de probleme , pentru care se poate elabora un algoritm de rezolvare . Dintre acestea , unele probleme tip de aritmetica .

Din cele aratate mai sus rezulta ca majoritatea problemelor trebuie rezolvate pe cale euristica . Rezolvitorul trebuie ca , tinând seama de ceea ce cunoaste , sa afle solutia problemei . Procesul gândirii în activitatea de rezolvare a problemelor este deosebit de complex si cu greu se pot obtine date despre desfasurarea lui .

1.     O prima etapa este aceea de clarificare a enuntului , o trecere a acestuia prin prisma experientei anterioare a rezolvitorului .

2.     Urmeaza o a doua etapa , în care rezolvitorul , folosindu-se de experienta anterioara , cauta mijloacele de rezolvare a problemei .

3.      În starea de tensiune care se creaza , apare ideea noua care conduce la rezolvare .

4.     Aceasta etapa este urmata de o alta si ultima , în care ideea este concretizata , detailata si verificata .

 Viziunea asupra problemei evolueaza în timp . În acest sens , G . Polya reprezinta evolutia viziunii asupra problemei : maturizarea subconstienta a problemei ; din punctul C începe activitatea constienta de rezolvare a problemei, urmeaza un punct de stagnare momentana , S . Punctul I care este un punct de inflexiune al curbei si în care panta are un maxim , corespunde aparitiei ideii decisive , momentul de inspiratie .

          În cursul rezolvarii problemei , în functie de experienta anterioara si de aptitudinile rezolvitorului , acesta poate aprecia stadiul în care se afla rezolvarea, modul în care ea evolueaza .  

Operatiile implicate în rezolvarea unei probleme sunt sintetizate de G. Polya într-o schema :

                                                Izolare

                             recunoastere          regrupare

mobilizare                   previziune                organizare

                   reamintire              suplimentare

                                 combinare 

Rezolvarea începe cu mobilizarea în vederea gasirii solutiei . Ea este însotita de recunoasterea unor aspecte cunoscute si de reamintirea unor definitii , teoreme . Are loc izolarea unui detalui , precum si combinarea detaliilor disparate . Urmeaza regruparea datelor si suplimentarea viziunii asupra problemei . În centrul acestor operatii se afla previziunea , întrucât toate operatiile mentionate urmaresc sa ne conduca spre solutie . În final se realizeaza organizarea , adica corelarea elementelor care contribuie la rezolvarea problemei .

                                                                                                 

Problema si exercitiu

          În general , între un exercitiu si o problema distinctia se face în functie de prezenta sau absenta textului prin care se dau date si corelatii între ele si se cere , pe baza acestora , gasirea unei necunoscute .

Exercitiul ofera elevului datele ( numerele cu care opereaza si semnele operatiilor respective ) , sarcina lui constând în efectuarea calculelor dupa tehnici si metode cunoscute.

Problema  impune în rezolvarea ei o activitate de descoperire . Textul problemei indica datele ,conditia problemei (relatiile dintre date si necunoscute) si întrebarea problemei , care se refera la valoarea necunoscuta .

Pe baza întelegerii datelor si a conditieie problemei , raportând datele cunoscute la valoarea necunoscuta , elevul trebuie sa construiacsa sirul de judecati care conduce la gasirea solutiei .

Deci , matematic vorbind , distinctia între exercitiu si problema nu trebuie facuta dupa forma exterioara a acestora , ci dupa natura rezolvarii . Clasificarea unor enunturi matematice în exercitii si a altora în probleme nu se poate face , însa , în mod transant , fara a tine seama si de experienta de care dispune si pe care o poate utiliza cel care rezolva. Un enunt poate fi o problema pentru un copil din clasa I , un exercitiu pentru cel din clasa a IVa si doar ceva perfect cunoscut pentru un matematician .

Pe masura ce elevul îsi însuseste modalitati de rezolvare mai generale si mai unitare, pe masura ce creste experienta lui în rezolvarea problemelor , treptat , enunturi care constituiau pentru el probleme devin simple exercitii .

Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea constienta a unei probleme presupune o mobilizare a proceselor pshice de cunoastere , volitive si , firesc , motivational – afective.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitata si antrenata este gândirea , prin operatiile logice de analiza , sinteza , comparatie , abstractizare si generalizare . Rezolvând probleme , formam la elevi priceperi si deprinderi de a analiza situatia data de problema , de a intui si descoperi calea prin care se obtine ceea ce se cere în problema . În acest mod , rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea si dezvoltarea capacitatilor creatoare ale gândirii , la sporirea flexibilitatii ei , a capacitatilor anticipativ – imaginative , la educarea perspicacitatii si spiritului de initiativa , la dezvoltarea încrederii în fortele proprii .

Rezolvarea de probleme de matematica contribuie la clarificarea , aprofundarea si fixarea cunostintelor învatate la acest obiect de studiu . În acelasi timp , explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme în cadrul carora se subliniaza o proprietate , o definitie sau o regula ce urmeaza a fi învatate .

În cadrul complexului de obiective pe care le implica predarea – învatarea matematicii în ciclul primar , rezolvarea problemelor reprezinta o activitatea de profunzime , cu caracter de analiza si sinteza superioara . Ea îmbina eforturile mintale de întelegere a celor învatate si aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative , inventive , totul pe fondul stapânirii unui repertoriu de cunostinte matematice solide ( notiuni , definitii , reguli , tehnici de calcul ) , precum si deprinderi de aplicare a acestora .

Valoarea formativa a rezolvarilor de probleme sporeste pentru ca participarea si mobilizarea intelectuala a elevilor la o astfel de activitate este superioara altor demersuri matematice , elevii fiind pusi în situatia de a descoperi ei însisi modalitatile de rezolvare si solutia , sa formeze ipoteze si apoi sa le verifice , sa faca asociatii de idei si corelatii inedite .

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitatile intelectuale ale elevilor , le solicita acestora toate disponibilitatile psihice , în special inteligenta , motive pentru care si în ciclul primar programa de matematica acorda problemelor o mare atentie .

Prin rezolvarea problemelor de matematica elevii îsi formeaza deprinderi eficiente de munca intelectuala , care se vor reflecta pozitiv si în studiul altor discipline de învatamânt . În acelasi timp , activitatile matematice de rezolvare si compunere de probleme  contribuie la îmbogatirea orizontului de cultura generala al elevului prin utilizarea în continutul problemelor a unor cunostinte pe care nu le studiaza la alte discipline de învatamânt . Este cazul informatiilor legate de distanta , viteza , timp , pret de cost , plan de productie , norma de productie , cantitate , dimensiune , greutate , arie , durata unui fenomen etc.

Problemele de aritmetica , fiind  strâns legate prin însusi enuntul lor de viata , de practica , dar si de rezolvarea lor , genereaza la elevi un simt al realitatii de tip matematic , formându-le deprinderea de a rezolva si alte probleme practice pe care viata le pune în fata lor . Rezolvarea sistematica a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi , deprinderi si atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme , de a compune ei însisi probleme .

Prin continutul lor , prin tehnicile de abordare si solutionare utilizate , rezolvarea problemelor de matematica conduce la formarea si educarea unei noi atitudini fata de munca , a spiritului de disciplina constienta , dar si a spiritului emulativ , a competitiei cu sine însusi si cu altii . Nu putem omite nici efectele benefice pe planul valorilor autoeducative , al conduitei rezolutive .

Etapele rezolvarii problemelor

Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenându-i în depunerea de eforturi marite pe masura ce înainteaza în studiu si pe masura ce experienta lor rezolutiva se îmbogateste. Astfel , odata cu învatarea primelor operatii aritmetice (de adunare si scadere ) se începe rezolvarea pe cale orala si pe baza de intuitie , a primelor probleme simple . Treptat , elevii ajung sa rezolve aceste probleme si în forma scrisa. Un moment de salt îl costituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse.Varietatea problemelor pe care le rezolva elevii sporeste efortul mintal si eficinta formativa a activiatii de rezolvare a problemelor . Trebuie sa delimitam însa doua situatii în rezolvarea problemelor , situatii care solicita în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor :

a ) – Când elevul are de rezolvat o problema asemanatoare cu cele rezolvate anterior sau o problema-tip ( care se rezolva prin aceeasi metoda , comuna tuturor problemelor de tipul respectiv ).În acest caz elevul este solicitat sa recunoasca tipul de problema caruia îi apartine problema data . Prin rezolvarea unor probleme care se încadreaza în aceeasi categorie , având acelasi mod de organizare a judecatilor , acelasi rationament , în mintea elevilor se fixeaza principiul de rezolvare a problemei , schema mintala de rezolvare . în cazul problemelor tipice , aceasta schema se fixeaza ca un algoritm de calcul , algoritmul de rezolvare a problemei .

b ) – În cazul când elevul întâlneste probleme noi , necunoscute , unde nu mai poate aplica o schema mintala cunoscuta , gândirea sa este solicitata în gasirea caii de rezolvare ; experienta si cunostintele de rezolvare , desi prezente , nu mai sunt orientate si mobilizate spre determinarea categoriei de probleme si spre aplicarea algoritmului de rezolvare . Elevul trebuie ca , pe baza datelor si a conditiei problemei , sa descopere drumul spre aflarea necunoscutei . În felul acesta realizeaza un act de creatie , care consta în restructurarea datelor propriei sale experiente si care este favorizat de nivelul flexibilitatii gândirii sale , de capacitatea sa combinatorica si anticipativa . În rezolvarea unei probleme , lucrul cel mai important este construirea rationamentului de rezolvare , adica a acelui sir de judecati orientate catre descoperirea necunoscutei .

          Rezolvarea oricarei probleme trece prin mai multe etape . În fiecare dintre aceste etape , datele problemei apar în combinatii noi , reorganizarea lor la diferite nivele ducând catre solutia problemei . Este vorba de un permanent proces de analiza si sinteza ( prin care elevul separa si reconstituie , desprinde si construieste rationamentul care conduce la solutia problemei ) , de o îmbinare aparte a analizei cu sinteza , caracterizata prin aceea ca diferitele elemente luate în consideratie îsi dezvaluie mereu noi aspecte ( analiza ) în functie de combinatiile în care sunt plasate ( sinteza ) .

          Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea si formularea unor ipoteze si verificarea lor . Dar formularea acestor ipoteze nu este rezultatul unei simple inspiratii , ci presupune atât un fond de cunostinte pe care elevul le aplica în rezolvarea problemelor , cât si o gama variata de deprinderi si abilitati intelectuale necesare în procesul rezolvarii problemelor . Diferitele ipoteze         ( enunturi ipotetice care ne vin în minte în legatura cu problema pusa ) nu apar la întâmplare . Ele iau nastere pe baza asociatiilor , pe baza cunostintelor asimilate anterior . Cu cât cunostintele sunt mai  profunde , cu atât sansele ca ipotezele care se nasc în mintea rezolvitorului îl conduc mai repede la o solutie , cu cât fondul din care sunt alese ipotezele este mai bogat cu atât solutia este mai buna . De aceea , în orice domeniu , capacitatea de a rezolva probleme complexe este conditionata de o solida pregatire de specialitate , dar si de cultura generala.

          În rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici , procedee , moduri de actiune , deprinderi si abilitati de munca intelectuala independenta . Astfel sunt necesare unele deprinderi si abilitati cu caracter mai general cum sunt : orientarea activitatii mintale asupra datelor problemei , punerea în legatura logica a datelor , capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut , extragerea acelor cunostinte care ar putea servi la rezolvarea problemei precum si unele deprinderi specifice referitoare la detaliile actiunii (cum sunt cele de genul deprinderilor de calcul).

          Cu toata varietatea lor , problemele de matematica nu sunt independente , izolate , ci fiecare problema se încadreaza într-o anumita categorie . Prin rezolvarea unor probleme care se încadreaza în aceeasi categorie , având acelasi mod de organizare a judecatilor , deci acelasi rationament , în mintea copiilor se contureaza schema de rezolvare , ce se fixeaza ca un algoritm sau un semialgoritm de lucru , care se învata , se transfera si se aplica la fel ca regulile de calcul .

Aflarea caii de rezolvare a unei probleme este mult mai usurata în cazul în care elevul poate subsuma problema noua unei categorii , unui tip determinat de probleme , deja cunoscute . Dar aceasta subsumare se poate face corect numai daca elevul a înteles particularitatile tipice ale categoriei respective, rationamentul rezolvarii ei , daca o poate descoperi si recunoaste în orice conditii concrete s-ar prezenta problema ( domenuil la care se refera , marimea si natura datelor etc.).

          De o mare importanta în rezolvarea problemelor este întelegerea structurii problemei si a logicii rezolvarii ei .

          Elevul trebuie sa cuprinda în sfera gândirii sale întregul ,, film” al desfasurarii rationamentului si sa-l retina drept element esential , pe care apoi sa-l generalizeze la întreaga categorie de probleme . Pentru a ajunge la generalizarea rationamentului comun al unei categorii de probleme , elevii trebuie sa aiba formate capacitatile de a analiza si de a întelege datele problemei, de a sesiza conditia problemei si de orienta logic sirul de judecati catre întrebarea problemei .

          Când se rezolva o problema compusa , aparent elevul rezolva pe rând mai multe probleme simple . În esenta , nu este vorba de probleme simple care se rezolva izolat . Acestea fac parte din structura problemei compuse , rezolvarea fiecareia dintre ele facându-se în directia aflarii necunoscutei , fiecare problema simpla rezolvata reprezentând un pas înainte , o veriga pe calea rationamentului problemei compuse , de natura sa reduca treptat numarul datelor necunoscute .

          În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape . În fiecare etapa are loc un proces de reorganizare a datelor si de reformulare a problemei , pe baza activitatii de orientare a rezolvitorului pe drumul si în directia solutiei problemei .

          Aceste etape sunt :

A.   – Cunoasterea enuntului problemei

B.    – Întelegerea enuntului problemei

C.   – Analiza problemei si întocmirea planului logic

D.   – Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii judecatilor din plan logic

E.    – Activitati suplimentare :

-         verificarea rezultatului

-         scrierea sub forma de exercitiu

-         gasirea altei cai sau metode de rezolvare

-         generalizare

-         compunere de probleme dupa o schema asemanatoare

A.Cunoasterea enuntului problemei

          ,,O problema bine înteleasa este pe jumatate rezolvata” Eugen Rusu

Este etapa de început în rezolvarea oricarei probleme . Cunoasterea enuntului probleme se realizeaza prin citire de catre învatator sau de elevi sau prin enuntare orala . Se va repeta problema de mai multe ori , pâna la însusirea de catre toti elevii . Se vor scoate în evidenta anumite date si legaturile dintre ele , precum si întrebarea problemei . Se vor scrie pe tabla si pe caiete datele problemei ( folosindu-se scrierea pe orizontala sau pe verticala ) .

          B. Întelegerea enuntului problemei

Nu este posibil ca elevul sa formuleze ipoteze si sa construiasca rationamentul rezolvarii problemei decât în masura în care cunoaste termenii în care se pune problema .Enuntul problemei contine un minim necesar de informatii .Datele si conditia problemei reprezinta termenii de orientare a ideilor , a analizei si sintezei , precum si a generalizarilor ce se fac treptat pe masura ce se înainteaza spre solutie . Întrebarea problemei indica directia în care trebuie sa se orienteze formularea ipotezelor . Acest minimum de informatii trebuie receptionat în mod optimal de catre elevi prin citirea textului problemei , prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu actiuni când este cazul .

          C. Analiza problemei si întocmirea planului logic

Este etapa în care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificatie matematica si se elaboreaza reprezentarea matematica a enuntului problemei .

          Aceasta este etapa în care se ,, construieste” rationamentul prin care se rezolva problema , adica drumul de legatura dintre datele problemei si necunoscuta . Prin exercitiile de analiza a datelor , a semnificatiei lor , a relatiilor dintre ele si a celor dintre date si necunoscute   se ajunge sa ne ridicam de la situatiile concrete pe care le prezinta problema la nivelul abstract care vizeaza relatiile dintre parte si întreg .

          Transpunând problema într-un desen , într-o imagine sau într-o schema evidentiem esenta matematica a problemei , adica reprezentarea matematica a continutului ei . În momentul în care elevii au transpus problema în relatii matematice , solutia este ca si descoperita .

          D. Alegerea si efectuarea operatiilor corespunzatoare succesiunii din planul logic

Aceasta etapa consta în alegerea si efectuarea calculelor din planul de rezolvare , în constientizarea semnificatiei rezultatelor partiale ce se obtin prin calculele respective si , evident , a rezultatului final .

E. Activitati suplimentare dupa rezolvarea problemei

Ea consta în verificarea solutiei problemei , în gasirea si a altor metode de rezolvare si de alegere justificata a celei mai bune . Este etapa prin care se realizeaza si autocontrolul asupra felului în care s-a însusit enuntul problemei , asupra rationamentului realizat si a demersului de rezolvare parcurs .

          Dupa rezolvarea unei probleme se recomanda – pentru a se scoate în evidenta categoria din care face parte problema – fixarea algoritmului ei de rezolvare , scrierea ( transpunerea ) datelor problemei si a relatiilor dintre ele într-un exercitiu sau , dupa caz , în fragmente de exercitiu . Prin rezolvarea de probleme asemanatoare , prin compunerea de probleme , cu aceleasi date sau schimbate dar rezolvabile dupa acelasi exercitiu , învatatorul descopera cu elevii schema generala de rezolvare a unei categorii de probleme . Este o cerinta care nu duce la schematizarea , la fixitatea sau rigiditatea gândirii , ci , din contra , la cultivarea si educarea creativitatii , la antrenarea sistematica a intelectului elevilor .

          Procesul de rezolvare a problemelor antreneaza în sistem elementele ajunse la automatizare , dar mai ales coreleaza elemente a caror actiune trebuie sa ramâna în permanenta sub controlul constiintei . Abilitatile matematice de care depinde rezolvarea problemelor sunt fie cu caracter general , adica intra în actiune la rezolvarea oricarei probleme , fie specifice si se aplica la probleme tipice , ori la detaliile actiunilor ( procedee de calcul ) si , în acest caz , au statut de deprinderi .

          Sarcina principala a învatatorului când pune în fata elevilor o problema este sa-i conduca pe acestia la o analiza profunda a datelor , analiza care sa le permita o serie de reformulari care sa-i apropie de solutie . E necesara analiza datelor în special datorita lipsei unei vederi de ansamblu ( a perspectivei ) asupra problemei si constientizarii întregului rationament de rezolvare a acesteia .

          O problema este cu atât mai   dificila cu cât ea difera mai mult de problemele rezolvate anterior , deci cu cât situatia noua cere o restructurare mai profunda a experientei anterioare .

Retorica etapelor rezolvarii unei probleme :

1.Întelegerea problemei

a) Întelegerea enuntului problemei în ansamblul sau , fara a avea în vedere detaliile .

b) Separarea partilor principale ale problemei si reprezentarea lor (daca este posibil) printr-un desen conventional .

Dupa G . Polya , partile principale ale unei ,,probleme de aflat” sunt: datele , necunoscuta si conditia ; ale unei ,,probleme de demonstrat” sunt:ipoteza ( ceea ce se da )si concluzia ( ceea ce trebuie demonstrat) . 

c)Examinarea fiecarei date , fiecarei componente a necunoscutei , fiecarei clauze a conditiei .

          Avansarea unor ipoteze asupra solutiei :

-         Poate fi satisfacuta conditia ?

-         Este conditia suficienta pentru a determina necunoscuta ?

-         Sau este insuficienta ?

-         Sau redundanta ?

-         Sau contradictorie ?

Puneti-va aceste întrebari pentru problemele :

1 . ,,Cât costa 1 kg de orez si cât costa 1 kg de faina , daca 2 kg de orez si 3 kg de faina costa 1840 lei , iar 3 kg de orez si 2 kg de faina costa 1835 le ?”

2 . ,,2 kg de orez si 3 kg de faina costa 1840 lei . S-a cumparat orez si faina în valoare de 1835 lei . Cât costa 1 kg din fiecare produs ?”

3 . ,, Cât costa 1 kg de orez si cât costa 1 kg de faina daca 2 kg de orez si 3 kg de faina costa 1840 lei , iar 4 kg de orez si 6 kg de faina costa 2940 lei ?”

4 . ,, Pretul unui kg de orez este cu 5 lei mai mic decât al unui kg de faina . Pentru 2 kg de orez si 3 kg de faina s-au platit 1840 lei . Cât costa 1 kg din fiecare produs , daca alta data pentru 3 kg de orez si 2 kg de faina s-au platit 1835 lei ?”

          În prima problema conditia este suficienta   pentru determinarea solutiei ; în a doua problema conditia este insuficienta   pentru determinarea solutiei            (problema are o infinitate de solutii , este nedeterminata) ; în a treia problema conditia este contradictorie   , iar în a patra , conditia este redundanta(contine date de prisos) .   

2.Întocmirea unui plan

- Problema se încadreaza într-unul din tipurile studiate ?

Daca da , trebuie sa ne amintim metoda prin care se rezolva problemele de tipul respectiv .

Daca nu , recurgem la metodele generale de rationament : analiza si sinteza .

a)Metoda analizei consta în a face rationamentul problemei pornind de la necunoscuta la date .

- Sa cercetam necunoscuta !

- Din ce marimi rezulta ea ?

- Cum pot fi deduse aceste marimi ? ( si asa mai departe pâna ajungem la datele problemei).

          b) Metoda sintezei consta în a face rationamentul problemei pornind de la date spre necunoscuta .

- Am putea deduce ceva util din datele problemei ?

- putem folosi rezultatul obtinut pentru a afla noi marimi utile în rezolvarea problemei ? ( si asa mai departe pâna ajungem la necunoscuta).

Indiferent prin ce metoda facem rationamentul problemei , planul rezolvarii se face de la date spre necunoscuta !

Planul rezolvarii unei probleme de aritmetica trebuie sa constituie o înlantuire de probleme simple , astfel încât solutia ultimei dintre ele sa fie solutia problemei date !

3 . Realizarea planului

Se efectueaza succesiv operatiile care conduc la solutiile problemelor simple cuprinse în planul de rezolvare .

- Au fost utilizate toate datele ?    

          4 . Privire reptrospectiva      

          a) Apreciere generala asupra rezultatului .

          - Poate constitui aceasta solutia problemei ?

          b) Verificarea rezultatului : Se înlocuieste solutia în problema si se verifica enuntul .

          c) Cautarea altor cai de rezolvare a problemei :

          - Se putea rezolva problema pe alta cale ?

          - Exista o cale mai directa de rezolvare ?

          d) Concluzii :

          - Ce am învatat rezolvând problema ?

          - Ce-mi poate fi de folos în rezolvarea altor probleme ?

          - Pot face generalizari ?

          - Sunt particularizari ?

          II.2. Criterii de clasificare a problemelor de aritmetica

          Adoptam , dupa G.Polya , o prima clasificare a problemelor în probleme ,,de aflat” si probleme ,,de demonstrat”. Aceasta clasificare este inspirata dintr-o traditie care dureaza înca de la Euclid , termenul de problema ,, de aflat” corespunzând celui de problema , iar cel de problema ,,de demonstrat” corespunzând termenul de theorema.

          Scopul unei probleme ,,de aflat” este de a gasi necunoscuta problemei . Scopul unei probleme ,,de demonstrat” este de a arata ca o anumita asertiune este adevarata sau falsa . Uneori , cele doua operatii – de aflare si de demonstrare – se pot întâlni în aceeasi problema . În matematicile elementare predomina ,,problemele de aflat” .

          Dupa numarul operatiilor necesare aflarii solutiei , problemele de aritmetica se clasifica în doua mari grupe : probleme simple si probleme compuse . Se numesc simple problemele în care solutia se obtine printr-o singura operatie aritmetica , iar compuse – problemele a caror rezolvare se face cu doua sau mai multe operatii aritmetice .

          Dupa scopul imediat pe care îl urmaresc ( aplicarea unei reguli sau teoreme , dezvoltarea judecatii , formarea deprinderilor de calcul ) problemele se clasifica în :

1 . Exercitii ;

2 . Probleme teoretice ;

3 . Probleme practice ;

4 . Probleme artificiale ;

5 . Probleme  recreative .

          Exercitiile sunt probleme usoare , formulate de obicei cu date mici , care servesc pentru aplicarea unei reguli , a unei teoreme demonstrate la ora de curs , sau pentru a pune în evidenta unele proprietati ale numerelor si operatiilor”. De fapt , daca tinem seama ca rezolvarea unei probleme implica o dificultate , exercitiile n-ar trebui sa fie încadrate printre probleme .

          Probleme teoretice . ,,Problemele care sunt mai grele decât exercitiile si care urmaresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecata , asimilarea temeinica a cunostintelor teoretice din aritmetica , aflarea diferitelor proprietati ale numerelor si formarea gustului pentru studiul matematicilor , se numesc probleme teoretice” .

          Probleme practice . ,,Problemele care contin date luate din lumea înconjuratoare legate de procesul de productie , asa cum se desfasoara el în realitate în uzine , pe ogoare , în laboratoare , aplicatii tehnice , din calcule financiare , din comert etc...., se numesc probleme practice”.

          Probleme artificiale . Aceste probleme sunt compuse de autor cu scopul de a da posibilitatea elevilor sa aplice o metoda , sa foloseasca anumite reguli sau procedee de calcul . Autorul unei asemenea probleme se straduieste ca datele si problema însasi sa fie cât mai aproape de realitate .

          Citez din lucrarea lui Gh.A.Chitei o problema artificiala : ,,O vulpe urmarita de un ogar are un avans de 49 sarituri înaintea lui . Dupa câte sarituri ogarul va ajunge vulpea , stiind ca el face sase sarituri în timp ce vulpea face sapte sarituri , iar trei sarituri ale ogarului fac cât patru ale vulpii ?”

          De ce este artificiala aceasta problema ? Pentru ca o persoana nu poate numara în acelasi timp numarul sariturilor facute de vulpe si ogar , iar pe de alta parte acestea nu au o marime constanta . Totusi , problema este instructiva , prin rationamentul care conduce la rezolvare .

          Probleme recreative . ,,Problemele care contin chestiuni distractive, cu toate ca în rezolvare a lor cer rationamente riguroase din punct de vedere matematic , se numesc probleme recreative”.  

CRITERII :

         

a) dupa numarul de operatii    - simple

          - compuse

b) dupa gradul de generalitate    - generale

                                                  - tipice

                                                  - recreative

c) dupa sfera de aplicabilitate    - teoretice 

                                                 - practice

d) dupa continut    - de miscare

                            - amestec si aliaj

                            - geomatrie

                            - algebra

e) dupa modul de implicare al creativitatii    - demonstrativ-aplicative

                                                                     - reproductiv creative

                                                                     - euristic creative

                                                                     - de optimizare

f) dupa rolul de implicare în procesul didactic    - formativ

                                                                           - informativ

PROBLEME SIMPLE . PROBLEME COMPUSE

         

Rezolvarea problemelor simple

          Primele probleme simple sunt acelea pe care si le pune copilul zilnic în scoala , în familie , în timpul jocului si care sunt ilustrate cu exemple familiare lui .Pentru a-i face sa vada înca din clasa I utilitatea activitatii de rezolvare a problemelor este necesar ca micii scolari sa înteleaga faptul ca în viata de toate zilele sunt situatii când trebuie gasit un raspuns la diferite întrebari . În aceasta perioada de început , activitatea de a rezolva si compune probleme se face numai pe cale intuitiva . De aceea primele probleme sunt legate de introducerea lor sub forma de joc si au caracter de probleme-actiune si carora li se asociaza un bogat si variat material didactic intuitiv . Rezolvarea lor se realizeaza la un nivel concret , ca actiuni de viata ( au mai venit ...,s-au spart .... , au plecat ...., i-a dat..., au mâncat ....) . Activitatea de rezolvare se afla aproape de aceea de calcul, dificultatea principala pe care o întâmpina elevii consta în transpunerea actiunilor concrete în relatii matematice . Acum elevii sunt familiarizati cu termenul de ,,problema” , ,,întrebarea problemei” , ,,rezolvarea problemei”, ,,rezultatul problemei”.

          Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face înca din perioada pregatitoare primelor operatii . Învatatorul se foloseste de ,,probleme actiune”care dupa ce au fost puse în scena vor fi ilustrate cu un desen schematic.

          Desi rezolvarile de probleme simple par usoare , învatatorul trebuie sa aduca în atentia copiilor toate genurile de probleme care se rezolva printr-o operatie aritmetica .

          Care sunt , în esenta , aceste tipuri ?

        Probleme simple bazate pe adunare pot fi :

-         de aflare a sumei a doi termeni ;

-         de aflare a unui numar mai mare cu un numar de unitati decât un numar dat;

-         probleme de genul ,,cu atât mai mult” .

        Probleme simple bazate pe scadere pot fi :

-         de aflare a diferentei , a restului ,

-         de aflare a unui numar care sa aiba un numar de unitati mai putine decât un numar dat ;

-         de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma si un termen al sumei ;

-         probleme de genul ,,cu atât mai putin” ;

-         probleme de aflare ,,cu cât este mai mare / mai mic” un numar decât altul .

        Probleme simple bazate pe înmultire sunt , în general:

-         de repetare de un numar de ori a unui numar dat ;

-         de aflare a produsului ,

-         de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mare decât un numar dat .

        Probleme simple bazate pe împartire pot fi :

-         de împartire a unui numar dat în parti egale ;

-         de împartire prin cuprindere a unui numar prin altul ;

-         de aflare a unui numar care sa fie de un numar de ori mai mic decât un numar dat ;

-         de aflare a unei parti dintr-un întreg ;

-         de aflare a raportului a doua numere ;

-         de câte ori este mai mare / mai mic un numar fata de altul .

În general dificultatea frecventa consta în confundarea operatiei ce trebuie efectuate .Se recomanda abordarea unei mari varietati de enunturi .

          Prin procedeele folosite se urmareste nu o învatare a problemelor , ci formarea capacitatilor de a domina varietatea lor . Prin rezolvare elevii ajung sa opereze în mod real cu numere ,sa faca operatii de compunere si descompunere , sa foloseasca strategii si modele mintale anticipative .

Rezolvarea problemelor compuse      

Rezolvarea acestor probleme nu înseamna rezolvarea succesiva a unor probleme simple . Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusa constituie dificultatea

principala într-o problema cu mai multe operatii, ci legatura dintre verigi , construirea rationamentului .

Examinarea unei probleme compuse se face , de regula , prin metoda analitica sau sintetica . Cele doua metode se pot folosi simultan sau poate sa predomine una sau alta , caz în care metoda care predomina îsi impune specificul asupra cailor care duc la gasirea solutiei . Atât o metoda cât si cealalta constau în descompunerea problemei date în probleme simple care , prin rezolvare succesiva , duc la gasirea solutiei finale . Deosebirea dintre ele costa , practic , în punctul de plecare al rationamentului . prin metoda sintezei se pleaca de la datele problemei spre gasirea solutiei ei , iar prin metoda analizei se pleaca de la întrebarea problemei spre datele ei si stabilirea relatiilor matematice între ele .

În practica s-a stabilit ca metoda sintezei este mai accesibila , dar nu solicita prea mult gândirea elevilor . Mai mult , se constata ca unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei si sunt tentati sa calculeze valori de marimi care nu sunt necesare în gasirea solutiei peoblemei . Metoda analitica pare mai dificila , dar solicita mai mult gândirea elevilor si , folosind-o , îi ajuta pe copii sa priveasca problema în totalitatea ei , sa aiba mereu în atentie întrebarea ei .

Odata cu analiza logica a problemei se formuleaza si planul de rezolvare . Planul trebuie scris de învatator pe tabla si de elevi pe caiete , mai ales la rezolvarea primelor probleme . În clasa I , planul problemei se întocmeste la început oral , treptat se scrie . Forma în care se scrie planul este variata .

O atentie deosebita trebuie sa acorde învatatorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare , deoarece se cultiva mobilitatea gândirii , creativitatea , se formeaza simtul estetic al elevilor . Formarea priceperilor de a gasi noi procedee de rezolvare constituie o adevarata gimnastica a mintii , educându-se astfel atentia , spiritul de investigatie si perspicacitate al elevilor . De multe ori elevii nu sesizeaza de la început existenta mai multor cai de rezolvare . Sarcina învatatorului este aceea ca prin maiestria sa pedagogica,prin analiza întreprinsa cu clasa , prin întrebari ajutatoare ,sa-i determine pe elevi sa gândeasca si alte modalitati de rezolvare .

Alt procedeu are la baza ca modalitate de rezolvare folosirea modelului logico-matematic obtinut prin etape succesive :

,,Modelul ofera elevului posibilitatea sa vada unitar structura unei probleme , sesizând organizarea interna a continutului ei . Elaborarea modelului în forme si modalitati dintre cele mai variate – cu cerculete ,cu patrate , cu litere, cu cuvinte , cu prescurtari ,este un instrument ajutator în rezolvarea problemei . prin alcatuirea modelului , elevul parcurge o etapa de gândire , patrunde în procesul de rezolvare , probeaza ca a înteles structura logica a con’inutului problemei , îsi exerseaza gândirea divergenta , creatoare , precum si abilitatile de compunere de probleme .”

O categorie de probleme careia învatatorul trebuie sa-i acorde o atentie deosebita este aceea în care datele sunt în relatii de ,,cu atât mai mare /mai mic” sau ,,de atâteaori mai mare / mai mic” . Pentru elevii din clasa aIIa în special , aceste notiuni au caracter abstract si daca nu

face o analiza foarte atenta a problemei ele pot fi luate ca valori numerice cunoscute . Dificultatea consta mai ales în faptul ca o marime se ia de mai multe ori : a+(a+b) ; a - (a - b); a+a x  b ; a - a:b ; a+(a+b)+(a+c) si daca elevul nu si-a însusit notiunile respective le va neglija , deci nu le va mai lua în calcul a doua sau , dupa caz , a n-a oara , sau , elevul în aceste situatii nu stie cum sa procedeze .

          În aceste cazuri se recomanda descompunerea problemei compuse în probleme simple si apoi recompunerea din acestea a problemei initiale .

          În analiza problemelor este bine sa nu se foloseasca  totdeauna datele concrete asa cum sunt ele prezentate , explicându-se copiilor ca acestea pot fi altele într-o alta problema sau situatie-problema.

          Rezolvarea problemelor dupa un plan de rezolvare necesita de multe ori folosirea schemelor , desenelor , graficelor , iar pentru formarea unei gândiri sintetice , formule numerice sau literale . Daca atunci când se predau operatiile aritmetice se insista asupra notarii cu litere a termenilor si factorilor , daca operatiile aritmetice sunt scrise la modul general si se cere elevilor sa rezolve si sa compuna probleme simple de aflare a unui termen , a unui factor , a sumei , diferentei , produsului , câtului , sa mareasca , sa micsoreze o cantitate de atâtea ori – folosind formule literale , elevii nu vor mai întâmpina greutati mari în actiunile de schematizare si generalizare a unei probleme compuse printr-un exercitiu numeric sau formula literala .

          Rezolvarea problemelor tip ( standard )  

O încercare de a pune ,,ordine” în multitudinea problemelor de aritmetica, o posibila clasificare aproblemelor de aritmetica :

I - Probleme cu operatiile relativ evidente .

Sunt problemele cel mai des întâlnite în manualele din clasele I-IV . Acestea sunt : A.Probleme simple .

                                B.Probleme compuse .

Ca metode de rezolvare sunt , în principal , doua :

- metoda analitica si metoda sintetica .

          II - Probleme care se rezolva prin metoda figurativa

          III - Probleme de egalare a datelor ( metoda reducerii la acelasi termen al comparatiei )

          IV – Probleme de presupunere ( metoda falsei ipoteze )

          V – Probleme gen rest din rest ( metoda mersului invers )

          VI – Probleme de amestec si aliaje cu doua variante :

A.   De categoria I

B.    De categoria aIIa

VII – Probleme de miscare ( bazate pe relatia d=vxt ) , cu doua variante :

A.   În acelasi sens

B.    În sensuri contrare

VIII – Probleme cu marimi proportionale , cu doua variante :

A.   Împartirea unui numar în parti direct proportionale

B.    Împartirea unui numar în parti invers proportionale

C.   Împartirea unui numar în parti care luate perechi formeaza rapoarte date

IX – Probleme care , depinzând de alcatuirea întrebarii si de date , rezolvate si încadrate la categoriile specificate mai sus , dar cu continut specific :

                   A.Probleme cu continut geometric

                   B.Probleme cu continut de fizica

                   C.Probleme asupra actiunii si muncii în comun

          X.Probleme nonstandard ( recreative , rebusistice , de perspicacitate , probleme – joc etc.)

          Prin  problema – tip    întelegem acea constructie matematica a carei rezolvare se realizeaza pe baza unui anumit algoritm specific fiecarui tip . O asemenea problema se considera teoretic rezolvata în momentul în care i-am stabilit tipul si suntem în posesia algoritmului de rezolvare .

Voi prezenta în continuare o clasificare a problemelor tipice si pentru fiecare tip o metoda de rezolvare . Pentru identificarea metodei ( algoritmului ) voi rezolva ,, model” unele dintre cele mai semnificative probleme apartinând unui anumit tip .

Problemele pentru fiecare tip urmaresc în primul rând consolidarea metodei (algoritmului), iar la alte probleme care sunt mai complexe si pot contine în enuntul lor doua sau mai multe tipuri diferite de probleme,rezolvitorul trebuie sa stabileasca ce tipuri anume apar în enunt si apoi sa le rezolve corespunzator   .

          Nu suntem adeptii unor sabloane , pentru ca rezolvitorii s-ar putea transforma în niste roboti , posesori ai unor cartele pe care sunt imprimati algoritmii si sarcina lor ar fi doar sa

stabileasca tipul , sa ,,traga” cartele corespunzatoare si sa le adapteze datelor problemei . Însa un rezolvitor de probleme trebuie sa fie , pe lânga un bun specialist al matematicii , si un tip creator , novator , întreprinzator – calitati disjuncte ale ,,robotului” , în sensul clasic al cuvântului .                                      

          Rezolvarea problemelor tip pe cale aritmetica presupune cunoasterea metodei specifice aplicabila tipului respectiv .

Sa trecem în revista principalele probleme tip :

a)Probleme de aflare a doua numere când se cunoaste suma si diferenta lor

          Aceste probleme sunt de forma :

Suma a doua numere a si b ( a >b ) , este s, iar diferenta lor este d . Sa se afle cele doua numere .

          Rezolvarea se face cu ajutorul metodei figurative , reprezentându-se prin segmente cele doua numere si punându-se în evidenta suma si diferenta lor .

                                   d

a   |-------------------|--------|

                                              } s

b   |-------------------|

Se ajunge la concluzia ca numarul mai mare este egal cu semisuma dintre s si d , iar numarul mai mic este egal cu semidiferenta lor :

                   a=s+d         ,           b= s – d    

                           2                           2

          Aceste formule nu trebuie sa se aplice mecanic , ci sa se faca apel la imaginea intuitiva a relatiei dintre cele doua numere .

          Probleme de suma si diferenta sunt si problemele de forma : Suma a doua numere este S , daca din primul se scade a’ si din al doilea b’ , se obtin numere egale . Care sunt cele doua numere ?

                                    a’

a  |---------------|---------------------|

                                                          } s

b  |---------------|------|

                           b’

În cazul acesta diferenta celor doua numere este egala cu a’ – b’ . Pentru problemele de suma si diferenta se poate face si urmatoarea generalizare :

          Suma a  n  numere este  s , diferenta dintre al doilea si primul este  d 1 , diferenta dintre al treilea si primul este d 2  , diferenta dintre ultimul numar si primul este  d n -1 . Care sunt numerele ?

          Folosind metoda figurativa ,

          Obtinem  a 1  =   ( d 1   + d 2   + .... + d n-1     )

                                               n

a1  |---------------|

                             d1

a2  |---------------|------|

                                     d2

a3  |---------------|--------------|

...........................................................

                                    dn-1

an   |---------------|--------------------------|

 

b)Probleme de aflare a doua numere când se cunoaste suma si raportul lor

          Aceste probleme sunt de forma : suma a doua numere a si b este s , iar raportul lor este   r . Sa se afle aceste doua numere .

          Rezolvarea se face cu ajutorul metodei figurative , reprezentând prin segmente cele doua numere si punând în evidenta relatiile dintre ele .

a   |-----|

                                                  } s

b   |-----|-----|-----|-----|-----|

Se obtine :   b =          s      ,             a =          s     . r

                           r+1                       r+1  

c)Probleme de aflare a doua numere când se cunoaste diferenta si raportul lor

          Enuntul problemelor de acest tip este de forma :

Diferenta a doua numere a si b ( a >  b ) este d , iar raportul dintre ele este  r . Care sunt cele doua numere ?

          Rezolvam problema facând apel la metoda figurativa .

b  |-----|

a   |-----|-----|-----|-----|

            |___________|

                       d

observam :  b =   d      ,    a =     d     . r         pentru r # 1

                          r-1              r-1

pentru r=1 consideram cazurile :

          1) d= 0, atunci numerele sunt egale

              avem nedeterminare

          2) d# 0 , imposibilitate

         

d)Probleme de eliminare a necunoscutei prin suma sau diferenta

          Rezolvarea acestor probleme revine la rezolvarea unui sistem de forma :

          (1)     x + y = a                    x-y=a

                 265   

b |----------|

I . Rezolvarea explicativa initiala

a ) Primul mod : prin eliminarea partii neegale din suma data

          1p+1p=2parti egale

          265 – 17= 248 ( reprezinta marimea a doua parti egale )

          248 : 2 = 124( marimea unei parti )

          124 x 1 = 124 ( marimea lui b )

          124 x 1 + 17 = 141 ( a )

b ) Rezolvarea tipica ( propunere )

          265 – 17 = 248 ( 2p egale )

          248 : 2 = 124 ( 1p)

          b = 124 x 1

          b= 124

          a= 124 x 1 + 17

          a = 141

Verificare

          a + b = 141 + 124 = 265 ( suma )

          a – b = 141 – 124 = 17  ( diferenta )

II . Al doilea mod : prin completarea numarului mic cu marimea diferentei , suma marindu-se cu aceasta diferenta

a ) Rezolvarea explicativa initiala :

a |----------------|

                            } 265

b |----------|.......|

                    17

          265 + 17 = 282 ( reprezinta marimea a doua parti egale )

          282 : 2 = 141 ( marimea unei parti )

          141 x1= 141 ( a )

          141 – 17 = 124 ( b )

          Dupa formarea deprinderilor de rezolvare a problemelor prin metoda figurativa de aflare a doua numere când se cunoaste suma si diferenta lor , se poate aplica formula de aflare

Astfel :

Numarul mare = ( S + D ) : 2

Numarul mic = ( S – D ) : 2

PROBLEMĂ

Daca se asaza câte doi elevi într-o banca ramân 14 elevi în picioare . Daca asezam câte 2 elevi într-o banca ramân 3 banci libere . Câti elevi si câte banci sunt ?

-         datele sunt marimi discrete ( banci si elevi ) , care se pot pune în corespondenta dupa criterii desprinse din analiza textului ; figuram fie cu desen ( dreptunghiuri si cerculete ) , fie cu litere ( banca cu B, elevul cu e ) :Obtinem grupe de forma :

situatia de la început

e        e        e        e        e        e        e        e

B       B       B       B       B       B       B       B     14 elevi

                                                                                                                  e

Daca îi asezam câte doi într-o banca , deci alcatuind grupe de forma  B e  

Vom realiza :

e        e        e        e        e                           e        e

B       B       B       B       B............................B      B

e        e        e        e        e                           e                           14 elevi

Avem deci :

e        e        e        e                  e                  e        e

B       B       B       B..................B                  B.......B

e        e        e        e                  e                  e        e

|__________________________|                   |_____|

                14                                                      nu stim câte

e        e        e                           e                  e        e        e

B       B       B............................B               B       B       B       B       B       B

e        e        e                           e                  e        e        e                 

|__________________________|                   |__________|          |___________|

                 14 B                                                      3B                             3B

TOTAL  14 B +3B+3B=20 B

1X20 +14 =34 ELEVI

PROBLEMĂ

Într-un vas de fructe sunt de trei ori mai multe prune decât mere . La masa sunt patru persoane . Fiecare din ele îsi ia câte un mar si câte o para . Ramân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere . Câte prune si câte mere au fost la început?

Figuram marul cu M si pruna cu p . Situatia de la început ar arata astfel :

          p        p        p        p        p                 p        p

          Mp    Mp    Mp    Mp    Mp..............          Mp    Mp

          p        p        p        p        p                 p        p

Cele patru persoane îsi iau câte un mar si o pruna .

Figuram ce a ramas :

          p        p        p        p        p                 p        p

                                                   Mp................Mp         Mp

          P       p        p        p        p                 p        p       

Deci au ramas 8 prune ,,izolate”si grupe de câte un mar cu câte 3 prune fiecare .

În partea a doua a problemei , enuntul ne indica faptul ca ramân în vas de 4 ori mai multe prune decât mere , deci suntem obligati sa realizam grupe de forma

                                      P

                             P       M      P

                                          P

Cum  obtinem acest lucru ? ,,Obligând” câte o pruna sa treaca la o grupa de câte un mar si cu câte 3 prune pentru a completa pâna la 4 prune fiecare grupa : Observam ca cele 8 prune vor completa 8 grupe PPMPP , adica 8 mere , deoarece în fiecare grupa se afla câte un mar .

Asadar în vas ramân 8 mere dupa ce cele patru persoane au servit câte un mar . La început au fost 8+4=12 mere  si de trei ori mai multe prune decât mere , deci 12x3= 36 prune .

          Rezolvarea si compunerea de probleme de aflare a unor numere consecutive necesita cunoasterea unor notiuni si aplicarea lor . Spre exemplu elevii trebuie sa stie sa scrie forma generala :

-         a numerelor consecutive ;

-         a numerelor consecutive pare sau impare ;    

Aceasta metoda figurativa devine ,,o ghicitoare foarte atractiva” pentru elevii claselor primare atunci când li se cere sa compuna probleme . Prin joc ei respecta relatiile si conditiile observate pe desen , utilizând în acelasi timp teoria si limbajul matematic corespunzator (doua numere consecutive pare sau impare , a trei numere consecutive  pare sau impare ) .

    Metoda dublului raport

Problema dublului raport are la baza matoda figurativa si se desfasoara ae trei etape :

1.     etapa initiala ;

2.     etapa transformarilor ;

3.     etapa finala ( a celui de – al doilea raport )

Rezulta ca exista un raport initial , apoi un alt raport final .

Cerinte metodice :

I . se vor face câteva exercitii de împartire în grupe pe valori cunoscute ;

II. pentru vizualizarea corecta a relatiilor dintre date este bine ca etapa initiala sa contina un numar de grupe pe partea finala încât sa asigure vizualizarea dupa etapa de transformare ;

III. simbolurile pentru elementele din grupe sa contina de obicei literele cu care încep , evitam aceeasi litera

PROBLEMĂ

Într-un vas sunt de trei ori mai multe prune decât mere . Daca se iau 4 mere si 4 prune , în vas ar ramâne de 4 ori mai multe prune decât mere . Câte prune si câte mere sunt ?

Notam p – prune si m – mere

Raport initial 

                                                               p

P |-----|-----|-----|      grupe 1 mar si trei prune           m  p

m|-----|                                                                              p

Aflarea numarului de grupe e dat de numarul de mere

I .     m ppp ……………..mppp            mppp                 mppp    mppp     mppp

II . m ppp ……………….mppp                ppp              ppp       pp        __

III. ppmpp ……………..ppmpp

Schema de rezolvare :

-         sa vada ca în raportul final al doilea raport e 1 la 4

-         grupele si-au mantinut prunele

-         grupa finala a aparut prin completarea grupelor cu câte 1 pruna

1)     câte prune sunt pentru completarea grupelor ? 3+3+2=8prune

2)     câte grupe vor completa 8 prune ? 8 grupe

3)     care e numarul total de grupe ? 8+4=12

4)     1x12=12mere    3x12=36prune

PROBLEMĂ

Un elev are de 5 ori mai multi porumbei decât iepuri . Daca ar cumpara 4 iepuri si 8 porumbei el ar avea de 4 ori mai multi porumbei decât iepuri .

Raportul initial – mai mare

Raportul final – mai mic

I . ippppp……………….ippppp

                                                                               *       *        *

II. ippppp……………….ippppp        ippppp     ippp     i         i    

|__________9 grupe __________________|

III. ppipp ………………..ppipp          ppipp        ppipp    ppipp    ppipp

       |_______________________________|

completam

1) câti porumbei ne trebuie pentru completarea grupelor ?

                  1+4+4=9      raportul 1 la 4

2) câte grupe sunr cele care se vor completa cu cei 9 porumbei ?

                     9:1 = 9 grupe

3) câte grupe sunt initial ?

                   9-1=8

nr. Iepuri 1x8=8             nr . porumbei 5x8=40

Experimente întreprinse în scopul studierii eficientei metodelor folosite în rezolvarea problemelor

          Experimentele întreprinse în scopul studierii eficientei metodelor folosite în  rezolvarea problemelor se refera la :

          1 . Utilizarea fiselor ;

          2 . Recunoasterea tipului caruia îi apartine o problema ;

          3 . Alcatuirea unei probleme de un anume tip ,

          4 . Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode . 

 

          1 . Utilizarea fiselor

          Un prim rezultat pe care l-am obtinut în utilizarea fiselor este cel al unei participari active a elevilor la descoperirea si însusirea metodei speciale de rezolvare a unui tip de probleme . Acest lucru a stat la baza trainiciei cunostintelor elevilor .

          În general fisele folosite pentru studiul unui tip de probleme contin trei parti : o problema , indicatii asupra rezolvarii si rezolvarea . Elevul trece la partea urmatoare numai dupa ce o rezolva pe precedenta . Pentru aceasta cele trei parti ale unei fise ( problema , indicatii , rezolvarea ) pot fi prezentate separat . Nu toate fisele contin solutii , ci doar întrebari care-i conduc pe elevi la aflarea solutiei .

FIsĂ

Problema

O gospodina a facut dulceata de prune si de gutui . Cantitatea de dulceata de prune este cu 8 kg mai mare decât cea de gutui , iar cea de gutui este de 9 ori mai mica decât cea de prune .

          Câte kg de dulceata a facut din fiecare ?

1. Rezolva problema

2. Indicatie : De câte ori se cuprinde cantitatea de dulceata de gutui în diferenta dintre cantitatea de dulceata de prune si cea de gutui ?

3. Solutie : Reprezentam cantitatile de dulceata de prune si de gutui prin prin doua segmente care sa respecte relatiile din problema .

                    8 kg                            cantitatea de dulceata de gutui se cuprinde

pr. |--|--|--|--|--|--|--|--|--|                                    de 8 ori în diferenta

g.  |--|                                                    celor doua cantitati de dulceata

Rezolvare

Proba

4. Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

5. Alcatuieste o problema de acelasi tip cu problema data .

FIsĂ

Problema

Într-un depozit erau 963 kg de zahar si de orez . Cantitatea de orez era de 8 ori mai mare decât cea de zahar . Câte kg de zahar si câte kg de orez erau în depozit?

1 . Rezolva problema .

2 . indicatie : De câte ori cantitatea de zahar se cuprinde în cantitatea totala de zahar si orez ?

3 . Solutie : Reprezentam cantitatile de zahar si de orez prin doua segmente (unul de opt ori mai mic decât celalalt) .

z. |--|

                                      } 963

o. |--|--|--|--|--|--|--|--|  

Cantitatea de zahar se cuprinde în cea totala de zahar si orez  de 9 ori

4 . Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

5 . Alcatuieste o problema de acelasi tip cu problema data .

FIsĂ

Problema

Un camion a parcurs în doua zile 453 km . În prima zi a mers cu 211 km mai putin decât în a doua zi . Cât a mers în fiacare zi?

1 . Rezolva problema

2 . Indicatie : Folosind matoda figurativa , reprezinta spatiul parcurs de camion în cele doua zile prin doua segmente .

I  |----------|

                              } 453 km

II |----------|------|

                    211

Observam ca , daca scoatem din spatiul total parcurs în cele doua zile spatiul parcurs în plus a doua zi fata de prima , obtinem de doua ori spatiul parcurs în prima zi . Deci :

1)  I =453 – 211                                2) II =453 – 211

                 2                                                       2

Explica rezolvarea .

3. Cum se numesc problemele de tipul acesta ?

4 . Alcatuieste o problema de acelasi tip cu problema data .

          2. Recunoasterea tipului caruia îi apartine o problema sau a metodei aplicabile constituie o conditie necesara a folosirii algoritmului de rezolvare a problemelor tip . Dau , mai jos , doua teste folosite în acest scop .

TESTUL A

Indicati de ce tip este fiecare din problemele de mai jos :

1 . Un camion a parcurs în 560 km . Sa se afle cât a parcurs în fiecare zi , daca în prima zi a parcurs cu 160 km mai mult decât în a doua zi ?

          2 . Într-o scoala sunt 396 elevi . Numarul elevilor dintr-o clasa este de 10 ori mai mic decât numarul total al elevilor din celelalte clase . Câti elevi sunt în clasa respectiva ?

          3 . Un elev cumpara 3 carti si 2 caiete si plateste 962 lei . Altadata , pretul ramânând acelasi , pentru 8 carti si 10 caiete plateste 3410 lei . Care este pretul unei carti si al unui caiet ?

          4 . Trei copii au cules o cantitate de nuci . Unul din ei a împartit nucile prin numarare în trei parti egale si si – a luat o parte . La fel a procedat fiecare copil cu nucile ramase dupa operatia facuta de predecesorul sau si au ramas la urma 48 nuci . Câte nuci au fost la început ?

          5 . Într-un vas sunt de 5 ori mai multe prune decât mere . Daca se mai adauga în vas doua mere si se scot 14 prune , în vas ramân de 3 ori mai multe prune decât mere . Câte prune si câte mere au fost ?

          6 . Un tata este cu 39 ani mai mare decât fiul sau , iar peste 7 ani va avea de 4 ori vârsta fiului sau . Câti ani are fiecare ?

         

TESTUL B

Indicati de ce tip este fiecare din problemele de mai jos :

          1 . Trei obiecte , notate cu A , B , C , costa împreuna 14 880 lei . stiind ca B costa cu 4950 lei mai putin decât A si cu 3720 lei mai mult decât C , sa se afle cât costa fiecare .

          2 . Într-o livada sunt 28 de pomi , meri si pruni . Numarul prunilor este de trei ori mai mare decât al merilor . Câti pomi sunt de fiecare fel ?

          3 . O carte are cu 225 pagini mai mult decât o brosura , iar numarul paginilor brosurii este de 10 ori mai mic decât cel al cartii . Câte pagini are cartea si câte are brosura ?

          4 . Mama si fiica au împreuna 109 ani . Sa se afle câti ani are fiecare , stiind ca mama este cu 31 ani mai în vârsta decât fiica .

          5 . Pentru 2 kg de zahar si 5 kg de orez s-au platit 3615 lei . Alta data , preturile , ramânâd aceleasi , pentru 2 kg de zahar si 3 kg de orez s-au platit 2885 lei . Cât a costat 1 kg de zahar si cât a costat 1 kg de orez ?

          6 . Am o suma de bani . Dublez aceasta suma si iau dupa aceea din ea 20 lei . Suma obtinuta astfel o dublez iarasi si iau din ea din nou 20 lei . A treia oara, dublez suma ramasa , iau din ea 20 lei si nu mai ramâne nimic . Cât a fost suma de la început ?

3. Alcatuirea de probleme de un tip dat

          Prin alcatuirea de catre elevi a unui numar de probleme de un tip dat am urmarit doua scopuri : însusirea caracteristicilor problemelor de tipul studiat si a metodei de rezolvare ; însusirea tehnicii de alcatuire a unei probleme , a partilor principale pe care orice problema trebuie sa le cuprinda ( date , necunoscuta , conditie ) . Elevilor li s-a dat ca tema alcatuirea de probleme tip , în general dupa o lectie în care s-a întreprins studiul tipului respectiv de probleme . De asemenea am întreprins si actiunea de durata mai îndelungata a împartirii elevilor unei clase pe colective care sa redacteze probleme de un anume tip , în scopul alcatuirii unei culegeri de probleme .

          Problemele alcatuite de elevi demonstreaza , în general , ca ei stiu sa formuleze o problema de un tip dat . Cel mai usor formuleaza probleme care se rezolva prin metoda figurativa , iar dintre acestea problemele numerice ( datele sunt  numere naturale ) sunt la îndemâna elevilor de clasa a patra .     

          4 . Rezolvarea unei probleme prin mai multe metode constituie un prilej de dezvoltare a creativitatii gândirii elevilor . Iata doua probleme care se pot rezolva prin mai multe metode :

          1 . Un centru de legume si fructe a vândut struguri cu 220 lei kg si cu 240 lei kg . Câte kg de struguri de fiecare fel a vândut acest magazin daca a încasat suma de 13680 lei pe cantitatea totala de 60 kg ?

2. La un magazin alimentar sunt doua calitati de mere . Prima calitate se vinde cu 140 lei kg , iar a doua cu 118 lei kg . Câte kg trebuie sa se ia din fiecare calitate pentru a se forma un amestec de 110 kg care sa se vânda cu 133 lei kg ?

          Elevii au rezolvat aceste probleme prin metodele : falsa ipoteza , figurativa , algebrica sau încadrâdu-le în categoria problemelor de eliminare a unei necunoscute prin suma .

          9 . Concluzii

          Pornind de la analiza aspectelor psihologice ale activitatii de rezolvare a problemelor , am scos în evidenta necesitatea promovarii unui învatamânt activ în însusirea de catre elevi a metodelor de rezolvare a problemelor de aritmetica . În acest scop , punctul de plecare în studiul unei metode l-a constituit munca independenta pe baza de fise . Urmata de discutii si concluzii deduse sub îndrumarea învatatorului aceasta activitate constituie baza unei însusiri temeinice a cunostintelor de catre elevi . Continutul fiselor de munca independenta în rezolvarea problemelor este redat în ,,Caietul de initiere în rezolvarea problemelor de aritmetica” anexat lucrarii . Experimentele întreprinse precum si observatiile zilnice asupra rezultatelor muncii elevilor în rezolvarea  problemelor de aritmetica scot în evidenta superioritatea metodelor folosite fata de metodele clasice .

         

                   Capitolul IV .

ACTIVITATE DE CERCETARE sI METODICĂ

IV . 1 . PROIECT DE CERCETARE

1 . TIPUL  CERCETĂRII

Cercetare :

     De didactica (în functie de cele doua domenii principale ale pedagogiei);

     Experimentala (în functie de metodologia adoptata );

     Teoretico – fundamentala si practic – aplicativa (în functie de scopul si complexitatea problemei);

     De sinteza (în functie de componentele structurale ale actiunii educative) .

 

2 . OPERAŢIONALIZAREA 

     INDICATORILOR  OBSERVABILI

Indicatorul 1:

Institutul de stiinte ale Educatiei si Ministerul Educatiei si Cercetarii elaboreaza si experimenteaza la nivel national noul plan de învatamânt, noile programe analitice si a manualelor alternative pentru învatamântul primar .

Actiunea 1: Pilotaj , titlul proiectului ,, Experimentarea noilor programe si manuale de matematica” .

Instrumente de lucru:

- programa de continut de tip curricular de matematica;

- planificarea de inovatie ;

- modalitati proprii de abordare si aplicare creatoare a continutului manualului si a altor materiale auxiliare ;

- strategii de învatare în vederea maximalizarii performantelor si competentelor elevilor .

Indicatorul 2:    

Aplicarea creatoare a programei analitice si manualului pentru clasa aIVa din viziunea ,,clasa a patra - chintesenta învatamântului primar” .

Introduc ca obiectiv specific – recapitularea si sistematizarea : scop , mijloc si tehnica de evaluare în acelasi timp .

Actiunea 2:

Studiu de caz :Verificarea experimentala a introducerii organizatorului cognitiv (rezolvarea de probleme – metode )în predarea – învatarea , consolidarea , recapitularea si sistematizarea , evaluarea la matematica , clasa aIVa .

Experimentul s – a desfasurat .

Instrumente de lucru:

- planificarea calendaristica la disciplina matematica ;

- analiza structurii logice a continutului manualului;

- proiecte de lectii în variante;

- fise de dezvoltare cu sarcini diferentiate ca obiective , continut , realizare pe grupe de nivel (omogene) .

3 .   ,,PAsI”

ÎN CONCEPEREA , ELABORAREA , PERFECŢIONAREA sI EVALUAREA CERCETĂRII PEDAGOGICE , sTIINŢIFICO-METODICE

Formularea ipotezei initiale (intuitiv) :

1. atragerea colaboratorilor care exprima ,,teoria”,dar si ,,practica educationala” , ,,inovatia procesului de învatamânt” , ,,arta predarii – învatarii – evaluarii” , dar si ,, stiinta” proiectarii pedagogice .

2. initierea în metode de explorare organizata a realitatii si anume

 metoda experimentala dubla – element nou !  

     experiment cu caracter de cercetare (descoperire);

     experiment aplicativ (pedagogic).

3. cunoasterea noilor intrari si iesiri în/din sistem ;mutatii spre învatamântul formativ presupune inversarea raporturilor , trecerea de la conceptia potrivit careia o programa de învatamânt sa arate ,,ce” trebuie învatat , la una care pune accentul pe ,,cum” trebuie învatat ; ,,ce” sa fie subordonat lui ,,cum” (cunostinsele predate – formarii de capacitati ale intelectului) .

4. elaborarea programelor de continut de tip curricular .

Reforma programelor ridica întrebarea – problema ,,în ce fel sa se întocmeasca programe dupa care învatatori obisnuiti sa predea unor elevi obisnuiti si care , în acelasi timp , sa reflecte principiile de baza sau fundamentale ale diferitelor domenii ale cercetarii ?                                Problema e dubla : mai întâi , cum sa fie revizuit materialul de predat în asa fel încât ideile forta si atitudinile legate de ele sa capete un rol central ; în al doilea rând , cum sa echilibreze materia de învatamânt cu capacitatea elevilor care dispun de aptitudini diferite si frecventeaza grade de învatamânt diferite” (Bruner ) .

          ,,Ideile forta” sunt acelea care constituie ,,structura disciplinei” . Dupa Bruner ,,structura optima se refera la un ansamblu de propozitii din care poate genera un corp mai întins de cunostinte, caracteristic fiind faptul ca configurarea unei asemenea structuri depinde de progresul realizat într –un anumit domeniu al cunoasterii . Deoarece perfectiunea structurii depinde de puterea ei de simplificare a informatiei , de generare de propozitii noi si de amplificare a corpului de cunostinte , structura trebuie sa fie raportata întotdeauna la situatia de înzestrare a elevului . Privita din aceasta prisma , structura optima a unui corp de cunostinte nu este absoluta , ci relativa.” (Bruner).

5. formarea formatorilor care sa tina pasul cu aceste modernizari preconizate de reforma , prin :

a)efort de proiectare si de ,,executie”- aplicarea creatoare  a programelor existente ;

b)elaborarea planificarilor de inovare care includ trei tipuri de studiu: diagnoza-previziune-prospectiva.

6. acceptarea unei mai întinse colaborari cu alte cadre didactice si schimbarea structurii relatiilor dintre ei privind activitatea de cercetare – experimentare , care asigura o baza mult mai buna pentru concluzii documentate asupra tehnologiei predarii , decât pura speculatie nesprijinita pe vreo comparatie obiectiva ca urmare a asistentei la unele ,,lectii demonstrative” .

7. diversificarea functiilor învatatorului în raport cu organizarea continutului disciplinelor de învatamânt necesita o abordare responsabila , critica , originala , în functie de stilul caracteristic sau de variabilele specifice personalitatii sale , realizând sisteme de lectii cu un maximum de utilizare a tehnologiei didactice moderne care – l conduc pe elev sa învete cum sa învete si sa – si faureasca propria personalitate în functie de idealul sau educational .

8. individualizarea învatarii în asa fel încât sa cunoastem cum progreseaza elevii atât în ceea ce priveste propriile lor potentialuri(constientizarea realista a statutului nostru intelectual relativ , este un fapt de viata la care noi toti trebuie în cele din urma sa ne adaptam ).

9. dobândirea unor reguli superioare de operare eficienta într – un ansamblu de idei dat (stilul) , fie printr – un mod de predare , fie prin efort propriu .

          Proiectele actuale care încearca sa analizeze si sa predea stilul în mod explicit , oricât de dezirabil ar fi acest lucru , nu trebuie sa neglijeze si sa nege fantasticul potential creator al elevului .

Examinare (preliminara) a criteriilor   

-         operationalizarea obiectivelor (performante , competente) ;

-         identificarea unor puncte slabe (adica a neputintei de a produce rezultate satisfacatoare în legatura cu unele teluri de atins în comportamentul elevilor ) ;

Exemplu :   Culegerile de probleme .

Auxiliarele didactice .

                    Forme de munca intelectuala independenta  .

                    Calculatorul . Limbajul instruirii programate .

                    Informatizarea scolilor .

Programul AEL – lectii pe computer .

-         determinarea ordinii de prioritate pentru îmbunatatirile care ar putea fi

încercate :

1.     introducerea notiunilor de problema si rezolvare a problemelor prin metode aritmetice  ;

2.     alegerea strategiilor de predare–învatare–evaluare ;

3.     realizarea manualelor alternative diferentiate în functie de aptitudinea matematica (speciala);

  

Examinarea (preliminara) a variabilelor independente

          Fie dat un anumit continut din programa si manualul de matematica pentru clasa a patra , am decis ca notiunile uzuale ale acestei discipline ar trebui examinate prin prisma aplicabilitatii lor la problema gasirii metodei  ,,optime” .

          Formularea ipotezei initiale

          Stabilirea testului criterial general prin care eu am pus problema specifica: ,, Ce metoda s – ar putea folosi spre a maximaliza performantele elevului la acest test si la acest obiect (pe termen lung) ?”

          Identificarea interactiunilor presupuse :

Între :

-         metoda organizatorului cognitiv    si metodele A ;B ; C ;

-         cele trei variante de lectie si stilul de munca intelectuala al elevului;

-         strategii didactice colective si strategii didactice cu sarcini diferentiate: pe grupe , individual ;

-         cele trei variante de lectie si evaluarea (personalitatea);

-         stilul (bazat pe activitatea personala a elevilor si cel dialogat) si mijloace de învatamânt ;

-         coeficientul de inteligenta si învatarea creatoare ;

-         coeficientul de inteligenta si grupele valorice de nivel – materii  , diferentiate prin modul de instruire ;

-         elevi – elevi (care apartin unor colective diferite de care se separa pentru a se grupa într – un colectiv nou , cu obiectiv comun de învatare) .

Definirea variabilelor criteriale

-         1 nivel de aptitudine matematica speciala ;

-         3 ( 4 ) niveluri de performanta : întelegere , aplicare , rezolvare de probleme , ( creativitate ) ;

-         1 nivel de personalitate ( extravertiti – introvertiti cu rezultate bune );

-         Am redus numarul variabilelor criteriale la exemplul cel mai simplu de realizat  1 x 3 x 1 = 3 grupuri experimentale .

 Definirea tratamentelor 

Inspectia cauzala a vastului cortegiu de variabile cu care s – ar putea opera demonstreaza ca numarul de tratamente distincte   este limitat de capacitatea noastra inventiva .

          Deci , drept rezultat al documentarii si refletiei preliminare , sunt selectate ca posibile cai de actiune urmatoarele tratamente :

Introducerea organizatorului cognitiv , ca metoda

( ilustreaza principiul diferentierii progresive si serveste aceasta functie în raport cu orice tema sau subtema fata de care este utilizat )

ORGANIZATORUL  COGNITIV al acestui experiment este reprezentat de întrebarea  pe care ne – o punem aici ce metoda folosim într – o :

-         lectie de predare în care am introdus un organizator cognitiv expozitiv;

-         lectie de consolidare în care am introdus un organizator cognitiv comparativ;

Raspunsul îl vom primi în urma experimentului aplicat .

Studiu de caz :

 

Verificarea experimentala a introducerii metodei organizatorului cognitiv la trei metode :

Metoda A – care pune accentul pe exersarea gândirii si a exprimarii logice ,

matematice  (adica armonizare integrativa);

Metoda B – care pune accentul pe (metoda)  exploratorie

                      (adica pe reguli de interferenta);

Metoda C – care pune accentul pe predarea strategiilor de rezolvare a

                      problemelor . 

                   Imaginea proiectului experimental :

Plan de determinare a influentelor variabilelor independente asupra rezultatelor la testul criterial

 

Niveluri de performanta Organizatorul cognitiv comparativ1. Întelegere Ideea – ancora :

specia(problema) discriminare dintre doua probleme aproape identice , sa distinga problema tip  ;

2. Aplicatie Ideea – ancora :

Probleme metoda figurativa – desprinderea algoritmului

3. Rezolvare

          de

     probleme

Limbaj matematic Ideea- ancora :

-limbajul obisnuit / limbajul matematic ;

-cuvinte cheie , notatii , indice ;

-citirea si interpretarea desenului;

-realizarea planului de rezolvare ;

Metode

de

rezolvare

a

problemelor

Ideea – ancora :

-probleme prin metoda figurativa,categorii ;

-alte probleme , dar care se rezolva tot prin metoda figurativa ;

Joc didactic Ideea – ancora :

-cunostintele,judecatile, deprinderile,priceperile

matematice sub forma de joc ;

-rezolvare de probleme – munca suplimentara

4. Creativitatea Ideea – ancora : Disponibilitatile pentru alegerea temei

                   Organizarea experimentului

3 Variante de lectie :

     Metoda A – LECŢIE MIXTĂ

-         grupa experimentala nr . 1 – LIMBAJ MATEMATIC

 

     Metoda B – LECŢIE MIXTĂ

-         grupa experimentala nr . 2 – METODA FIGURATIVĂ

 

     Metoda C – LECŢIE MIXTĂ

-         grupa experimentala nr . 3 – JOC DIDACTIC

3 Tipuri de sarcini didactice :

- colectiv ;

- în grup ;

- individual .

Tip de învatare :

-         învatare prin descoperire bazat pe activitatea personala a elevilor .

 

Învatare     inovatoare

 

Întelegerea   – organizator cognitiv cu sarcina didactica colectiva ;

Aplicatia   – organizator cognitiv cu sarcina didactica individuala ;

Rezolvarea de probleme   – organizator cognitiv cu sarcina didactica diferentiata pe grupe .

Transferul învatarii      

 

În acest tip de experiment , organizatorul cognitiv este diferentiat pe grupe dupa modul de instruire .

Deci , transferul învatarii este orizontal , deoarece avem subiecti cu aceleasi aptitudini .

    Verticalitatea implica diferentierea subiectilor în functie de aptitudinea intelectuala generala (inteligenti , mediocri , slabi) , modul de instruire fiind acelasi pentru toti , iar diferentierea are loc la evaluarea produselor . Ne – am obisnuit sa le spunem acestora grupe diferentiate, matricea lor aratând astfel :

                             a n             b n         c n

                                .                 .              .

                                     .                 .              .

                                     a”              b”           c”

                                       ,                 ,              ,                                    

                                     a                b             c

                                     a                b             c 

                                                             

 Figura matricei ,, verticale”

         

Ori acest fapt nu îl punem în discutie atâta timp cât el se afla în prezent în actiune : manuale pentru cultura generala în trunchi comun .

 

Pe noi tocmai modelul orizontal ne intereseaza .  

    Orizontalitatea implica diferentierea subiectilor în functie de aptitudinea intelectuala specifica (exemplu : verbala) , grupele de nivel – materii , matricea lor aratând astfel :

                                                      ,

                                      a  . . . . . a . . . . . a” . . . . . a n

                                                       ,      

                                       b . . . . .  b . . . . .b” . . . . . b n

                                                        ,

                                        c . . . . .  c . . . . .c” . . . . . c n

                                                       

 Figura matricei ,,orizontale”

         

Acest tip de inteligenta necesita un mod de instruire special si confrm aptitudinilor , evident ca de aici rezulta necesitatea unei masuratori adecvate si un program .

Pentru acesti elevi experimentam programe si manuale alternative , pentru acesti elevi trebuie sa ridicam barierele anilor scolari si ale claselor traditionale si sa le deschidem drumul pe care singuri au stiut sa si – l aleaga !

          Identificarea populatiei tinta

-         test standard de determinare a aptitudinilor mintale generale (colectiv);

-         test standard de determinare a aptitudinilor mintale specifice (colectiv sau individual);

-         selectarea esantionului reprezentativ .

Selectarea populatiei tinta esantion :

 

-         criteriul nr. 1 : rezultatele la testarea aptitudinilor matematice ;

-         criteriul nr. 2 : optiunea ;

-         criteriul nr. 3 : personalitatea (extravertiti – introvertiti cu rezultate bune) ;

-         criteriul nr. 4 : (care poate coincide sau nu cu criteriul nr.1) olimpicii cu rezultate validate .

     Rezulta ca , oricare ar fi vârsta cronologica a subiectului , el va fi încadrat în Grupa de nivel – materii (aptitudine speciala matematica) dupa vârsta mintala .

     În consecinta , un copil va apartine la tot atâtea clase de apartenenta la câte se înscrie , dar numai la una singura de aptitudine speciala .

Etape în evaluarea experimentului . Analiza datelor .

 

Etapa I:Jocul ,,Bingo” – test de criterii generale – concurs (oral)

 

-         sa descifreze mesajul (dintre litere nesemnificative sa separe literele care contin ,,cheia” mesajului );

-         sa fie capabil sa înteleaga enuntul problemei  ;

-         sa reprezinte grafic partile principale ale unei probleme;

-         sa avanseze ipoteze asupra solutiei ;

-         sa încadreze problema în tipurile studiate  ;

-         sa cunoasca si / sau sa selecteze si sa aplice algoritmul ; 

-         sa gândeasca divergent ;

-         sa aprecieze , sa emita judecati critice ;

-         sa rezolve si sa compuna probleme  ;

-         sa solutioneze unele probleme matematice , stabilind metoda de rezolvare;

 

Etapa aIIa – Tema pentru creatie

-         alegerea ei (optiunea , conflictul de idei , motivatia );

-         pastrarea sau schimbarea optiunii spontane , în timpul dat;

-         dependenta pastrarii sau schimbarii optiunii de mai multi factori (test psihologic );

-         selectarea , cautarea , întocmirea fiselor selective din materialul auxiliar ;

-         preconceperea (planul);

-         redactarea (în clasa).

Etapa aIIIa – Analiza lucrarilor si stabilirea criteriilor

-         însusirea etapelor principale în rezolvarea sau compunerea problemelor , pe de o parte prin utilizarea principiilor organizarii cognitive-transfer orizontal, iar pe de alta parte prin unificarea principiilor temei ( transfer vertical ) ;

-         analiza  lucrarii fiecarui elev ;

-         verificarea si aprecierea obiectiva a continutului stiintific , comportamentului si performantei la care a ajuns elevul ;

-         compararea concluziilor desprinse din analiza lucrarilor cu ipoteza cercetarii ;

-         stabilirea coeficientului de randament .

Etapa aIVa – Mediile tratamentelor ipotetice

 

                            TEST               CRITERIALTratamente Înteleger

eAplicatie Rezolvar

e

    de

probleme

Creativitate Rezultat

total

la test de criterii

Organizator

Cognitiv:

Gândire si

exprimare logico – matematicaOrganizator

Cognitiv

Metode

de

rezolvare

a problemelorOrganizator

Cognitiv :

Strategii de rezolvare de probleme

4 . PROIECTAREA  DIDACTICĂ A EXPERIMENTULUI

SCHEMA GENERALĂ A METODELOR

                     STUDIU DE CAZ

METODA ORGANIZATORULUI COGNITIV

                                                                                

Metodele :                                                            Metodele :

- dezbaterea                                                          - comparatia

- algoritmizarea                                                    - instruirea programata

- demonstratia                                                       - analiza si sinteza

- lectura problematizata                                        - lectura selectiva

- învatarea prin descoperire                                  - problematizarea

- exercitiul creator                                                - exemplul (modelul grafic)

             |____________________________________|

                                                 

METODA REZOLVĂRII DE PROBLEME .

MUNCII INTELECTUALE INDEPENDENTE

                                                                                                                

METODA A                       METODA B                                     METODA C

- brainstorming                  - comparatia                       - rezolvare de probleme

- rezolvare de probleme    - algoritmizarea                  - exercitiul

- instruirea programata     -  descoperirea                    - demonstratia                                                                                      

                                                                                           

- problematizarea              - analiza si sinteza               - problematizarea

                                                                                                                 

- explicatia                        - rezolvare de probleme       - modelarea

 

__________________          _______________            _______________ 

        strategie                                strategie                            strategie

      euristica                                algoritmica                        analogica  

                                            inductiva ; deductiva

__________________         _________________         _______________

                                                                                               

METODA EXERCIŢIULUI sI A DEMONSTRAŢIEI

                                                           

                                                        

                                METODA JOCULUI DIDACTIC      

                                                          

                                                 C R E A Ţ I E

SCHEMA GENERALĂ A EXPERIMENTULUI

Continut Obiective

Operationale

Strategii

Didactice

Evaluare

C 1

PROBLEMA 1

Enunt  în întregime

O 1

sa recunoasca

o problema tip

S 1 /  I 1

-demonstratia (plansa)

-sarcina didactica colectiva

Initiala (predictiva)

-prin test de inteligenta

-probe orale

C 2

PROBLEMA 1

Text selectiv (datele ,

Necunoscuta ,

Conditia )

O 2

*sa completeze

*sa scrie corect partile unei probleme

S 2 I    / I 2 I

S 2 II  / I 2 II

S 2 III / I 2 III

-demonstratia (fise)

-sarcina didactica diferentiata pe grupe I , II , III

Formativa

-prin autodictare selectiva

C 3

PROBLEMA 1

Enunt din bucati

O 3

*sa delimiteze partile problemei

*sa precizeze caracteristicile problemei tip

*sa selecteze algoritmul de rezolvare

S 3 / I 3

-demonstratia (planse)

1.delimitarea partilor

2.text ordonat logic

-sarcina

Formativa

-prin definitie

-desen schematic

-text încurcat

,,Problema puzzle”

*sa ordoneze logic textul didactica colectiva

C 4

PROBLEMA 2

*metoda figurativa

PROBLEMA 3

 *metoda analizei si sintezei

O 4

*sa perceapa auditiv  mesajul din enuntul problemelor

*sa reconstituie întregul prin analiza si sinteza partilor componente

*sa aleaga ,

sa justifice,

sa recunoasca ,

sa indice ,

*sa distinga dintre

S 4 / I 4

-lectura model a învatatorului

-sarcina didactica colectiva

Formativa

-prin organizator cognitiv comparativ

(analiza raspunsurilor si observarea comportamentului elevilor;stimulare, corectare )

C 5  I

PROBLEMA 1

C 5  II

PROBLEMA 4

Metoda figurativa

PROBLEMA 5

Metoda figurativa

C 5   III

PROBLEMA 1 si PROBLEME

O 5

*sa-si dezvolte capacitatile cognitive, competentele de rezolvare a problemelor si a tehnicilor de munca individuala,

creatoare

*activitati intelectuale de tipul

-sa aplice,

sa descopere ,

sa completeze reguli ,sa generalizeze, sa deduca , sa alcatuiasca ,

sa reformuleze

S 5 / I 5 I

-demonstratia (fise )

-sarcina didactica diferentiata

S 5 / I 5 II

-demonstratia

(fise)

-sarcina didactica diferentiata

S 5 / I 5  III

-demonstratia (fise)

Formativa

-prin analiza orala a produselor activitatii

-prin organizator cognitiv diferentiat dupa modul de instruire specific grupei

-prin instruire programata (feed-back)

-evaluare orizontala pe grupe(transfer orizontal al învatarii)

-aprecieri prin

sa stabileasca , sa explice , sa raspunda, sa-si puna întrebari ,

sa indice,

sa compare ,

sa analizeze ,

sa sintetizeze ,

sa construiasca ipoteze ,

-sarcina diferentiata

calificative (analiza modului de lucru)

C 6

PROBLEMA 1

Termeni de limbaj matematic .

Întrebari .

O 6

*sa descifreze mesaje, simboluri

*sa solutioneze unele analogii verbale, stabilindreguli de grupare

*sa gândeasca divergent , descoperind mai multe solutii pentru rezolvarea unei probleme

S 6  / I 6

-demonstratia (plansa,fise)

-sarcina didactica a reprezentantilor participanti la concurs

Formativ-sumativa

-prin joc didactic Bingo (pe criterii generale test )

C 7

PROBLEMA 1

Algoritmul

O 7

*sa practice rational metodele de rezolvare a problemelor

*sa reflecteze activ asupra matematicii

*sa utilizeze corect limbajul matematic în diverse situatii de comunicare orala si în scris

S 8 / I 8

-demonstratia (tabla)

-sarcina colectiva

Formativ-sumativa

-prin realizarea educatiei

-prin transfer vertical al învatarii prin tema de creatie

*sa dezvolte planul de rezolvare

C 8

Caietul de initiere în rezolvarea problemelor de matematica

Culegerea de probleme

O 8

*sa trezim interesul pentru rezolvarea de probleme

*sa cultivam pasiunea pentru matematica

*sa dezvoltam deprinderi de lucru exploratorie

*sa se descurce sa lucreze cu computerul

S 8 / I 8

-demonstratia (activitate suplimentara)

-sarcina colectiva

Formativa

-prin rezolvari de probleme suplimentar

C 9

Tema de creatie

O 9

*sa redacteze texte de diverse tipuri :

probleme , compuneri de probleme dupa model grafic , dupa algoritm ,dupa tipul indicat ,

*sa exprime în scris corect relatii dintre date , conditii

S 9 / I 9 Formativ-sumativa

Prin verificarea temei de creatie

    Învatatoare : Bondoc Onita, organizator proiect cercetare

         

    Clasa aIVa A , aIVa C , aIVa D

    Obiectul : matematica

    Subiectul : Probleme care se rezolva prin metoda figurativa  

                          

    Tipul lectiei : mixta (consolidare – evaluare )

    Sistemul de lectii :

            2 ore predare – învatare

                                           2 ore consolidare – evaluare formativa

                                           1 – 2  ore evaluare sumativa

 

    Scopul sistemului de lectii : 

-         consolidarea notiunii de problema si problema tip si metode aritmetice de rezolvate a problemelor , prin reactualizarea, recapitularea , completarea si sistematizarea cunostintelor din clasele I – IV ;

-         verificarea nivelului cunostintelor , priceperilor si deprinderilor , a capacitatii de exprimare orala si scrisa a elevilor prin terminologia matematica ;

-         dezvoltarea si consolidarea capacitatilor cognitive , competentele de rezolvare de probleme , precum si a metodelor si tehnicilor de munca individuala , creatoare ;

-         abordarea interdisciplinara si intradisciplinara a temei ;

-         dezvoltarea interesului pentru rezolvarea si compunerea de probleme

1.Reactualizarea cunostintelor :

- Sarcina didactica colectiva

- analiza plansei cu problema 1

- citirea enuntului problemei în întregime

 

          2.Verificarea cunostintelor :

 

- sarcina didactica diferentiata pe grupe ;aplicatie individuala :

          Problema 1

          Rodica , Ioana si Andreea au cules împreuna 108 flori . Rodica a cules de 3 ori mai multe decât Ioana , iar amândoua au cules dublul numarului de flori culese de Andreea .

          Câte flori a cules fiecare fetita ?

-         Autodictare selectiva :

     Grupa experimentala nr . 1 :

Completati spatiile cu cuvintele care lipsesc :

 ,,Pentru primul buchetel Rodica culege .......flori , Ioana aduce ......floare , Andreea culege ......flori .   Deci numarul total de flori ,108 se pot face  buchetele de .......flori        [3flori +1floare+2flori ]”  

 

     Grupa experimentala nr . 2 :

Completati spatiile corect cu cuvintele care lipsesc :

 ,, Ioana  a cules ....................................................decât  Rodica”.

 ,, Andeea a cules ..................................   .decât Rodica si Ioana împreuna”

 ,, ........flori reprezinta numarul total de flori culese de cele trei fete , dar .......în în mod egal”.

     Grupa experimentala nr . 3 :

Gânditi – va si scrieti cele trei nume ale fetitelor în ordinea crescatoare , apoi descrescatoare , în functie de indicatiile despre numarul obiectelor fiecareia :

1…………………………….      3.............................

2…………………………….      2.............................

3…………………………….      1.............................

          3. Consolidarea notiunii de problema  :

 

- sarcina didactica colectiva

- dezbatere , problematizare , exercitii creatoare , demonstratia ;

Plansa :   Problema 1

text scris + reprezentare grafica   

1 .  Indica metoda prin care se rezolva acesta problema !

2 . Argumentati !

3 . De ce nu se poate rezolva prin plan ca ,,problemele de aflat”?

4 . Delimitati pe plansa : enuntul , datele , necunoscutele , conditiile  !

5 . Ce fel de marimi are acesta  problema tip ?

6 . Precizati în ce categorie se încadreaza ?

7 . Ce sarcina de lucru aveti de îndeplinit ?

8 . Cum sunt prezentate conditiile ?

9 . Stabiliti ordinea corecta , logica ! ( dupa marimea cea mai mica)

Plansa : Problema 1  – text ordonat logic

Rodica , Ioana si Andreea au cules împreuna 108 flori , dar .....................................................................................................

Ioana  a cules .............................................decât Rodica  .

Andreea  a cules ....................................decât Rodica si Ioana .

Rodica si Ioana au cules amândoua ................numarului de flori culese de Andreea .

Câte flori a cules fiecare fetita ?

Benzi de cuvinte ( )de 3 ori mai putin ; de 2 ori mai putin ; dublul

  9 . Comparati folosind  <   >  seria   R     A    I   sau  I    A    R !

10 . Verificati respectarea conditiilor pe desen !

11 . Ce termeni cuprinde problema ? La ce se refera aici ,,dublul  ”?

12 . Ce desprindem , ce învatam din aceasta problema ?

13 . Ce categorie de probleme reprezinta aceasta problema ?

        ( probleme în care cunoastem suma a doua sau mai multe numere si raportul dintre ele )

14 . Explicati  rezolvarea ! Faceti proba !

Probleme pentru elevi de performanta –clasa aIV-a

1.                 Suma a trei numere este 134.

a)     Daca din fiecare se scade acelasi numar se obtin numerele 30, 35 si respectiv 51;

b)    Daca la fiecare se adauga acelasi numar, se obtin numerele 48,53 si respectiv 69.

Aflati numerele date.

2.  Aflati trei numere, stiind ca suma primelor doua este 72, suma ultimelor doua este 93, iar suma dintre primul si al treilea este 127.

3.  În doua cosuri sunt 99 mere. Daca s-ar lua 17 mere din primul cos si s-ar pune în al doilea, în primul cos ar ramâne cu 25 mere mai multe ca în al doilea.

     Câte mere sunt în fiecare cos?

4.     Continua tu sirul cu înca trei numere:

11, 12, 21, 111, 112, ......, ........, ........

5.     Un baiat are atâtia frati câte surori are, dar sora lui are de doua ori mai multi frati decât surori. Câti frati si câte surori sunt?

6.     Daca trei litri de apa au temperatura de 60 grade Celsius, ce temperatura are un singur litru de apa?

7.     Este vineri, 22 martie. În ce luna va fi urmatorul vineri 22?

8.     Aflati suma a patru numere stiind ca:

a.      Suma primelor doua dintre acestea este 42;

b.     Numarul al treilea este mai mare decât numarul al patrulea cu 32;

c.     Al patrulea numar, daca ar fi mai mare cu 37 ar egala suma primelor doua numere.

9.     Într-un teanc sunt cu 11 caiete mai multe decât în al doilea. Câte caiete trebuie transferate în al doilea teanc pentru ca în acesta sa fie cu trei caiete mai mult decât în celalalt?

10. Care sunt cele trei numere consecutive pare, din a caror suma, daca scadem suma numerelor consecutive impare ce se afla între ele, obtinem 16 ?

11. Calculati:

3a + 5b + 2c   daca: a + b = 54           b + c = 56

4a + 8b + c     daca: 3a + 8b = 70      a + c = 30

Pentru elevi de performanta

1.                Sa se afle cel mai mic nr. natural a care împartit la un numar natural b  da câtul 18 si restul 7.

2.                Daca a + b = 24 ; b + c = 32, calculati a + 3b +2c = ?

3.     90 + = 100

4.              Un liliac a mâncat în patru nopti 1050 muste. În fiecare noapte a mâncat cu 25 muste mai multe decât în noaptea precedenta. Câte muste a mâncat în a patra noapte?

5.             Suma a patru nr. naturale este 1206. Sa se afle fiecare numar, stiind ca al doilea este cu 6 mai mare decât primul luat de patru ori, al treilea este egal cu suma primelor doua numere  plus 6, iar al patrulea nr. este egal cu diferenta dintre al treilea  si al doilea , micsorata cu 6.

6.              Se dau nr. a, b, c, d, e astfel încât:

-a este de trei ori mai mare ca b;

-c este cu 6 mai mare decât b;

-d este de 3 ori mai mare decât c;

-e este de 2 ori mai mic decât d.

          Sa se afle numerele, stiind ca c + d =  208.

7.               Avem 30 grinzi de 3 si 4 metri lungime, a caror suma a lungimilor este 100 m. Cu câte taieturi se pot realiza din aceste grinzi butuci cu lungimea de un metru?

8.                Dintr-o carte a cazut o parte din ea. Prima pagina a acestei parti avea numarul 387, iar numarul ultimei pagini era format din aceleasi cifre, dar în alta ordine. Câte pagini are partea care a cazut?

Analiza si sinteza , compararea ,alegerea si justificarea , recunoasterea si distingerea (discriminarea)

 

Dintre doua probleme  , pe cea care se rezolva prin metoda figurativa  :

1 . Problema 2 :

          Într-o livada sunt 300 meri si cu 200 mai multi pruni decât meri   . Afla numarul total al pomilor din livada .

          Sau

          Într-o livada sunt 800 de pomi . 300 pomi sunt meri , iar pruni sunt cu cu 200 mai mult decât meri .

          Afla numarul prunilor .

     Problema 3 :

          Într-o livada sunt 1000 pomi , meri si pruni .

          Afla câti meri si câti pruni sunt , daca numarul prunilor este cu 200 mai mare decât numarul merilor .

2 . Ce conditii trebuie sa îndeplineasca o problema pentru a fi tip ?

3 . Sunt alcatuite din aceleasi  conditii  problemele ?

4 . Deci , prin ce se deosebeste problema 2 de  problema 3 ?

5 . Spre care dintre ele înclinam s – o consideram problema de aflat ? Spre care dintre ele înclinam s-o consideram problema prin metoda figurativa ?

6 . Recititi problema 2  !Comparati-o cu problema 3 !

7 . Care problema are nevoie de reprezentare grafica pentru rezolvarea ei ?

8 . Spre care dintre ele înclinam s – o consideram prin metoda figurativa dupa necunoscutele ei ?

9 .  Spune rezolvarea fiecarei probleme printr-o singura expresie !

10 . Care este întrebarea la fiecare problema ? Se deosebesc ?

12 . Comparati  algoritmul de rezolvare  a celor doua probleme  !

         

          4 . Anuntarea lectiei :

-         anuntarea sarcinilor diferentiate ale fiecarei grupe ;

-         anuntarea obiectivelor urmarite ;

Rezolvarea sarcinilor didactice din fise

                                                                                                          

Grupa experimentala nr . 1 :

FIsA DE EXERCIŢII

 

Grupa experimentala nr . 2 :

FIsA DE REZOLVARE DE PROBLEME  

 

Grupa experimentala nr . 3 :

FIsA DE DEZVOLTARE

-         sarcina didactica diferentiata pe grupe

-         aplicare individuala

-         verificare orala , prin aprecieri calitative

FIsA 1

1 .     Calculeaza :

    a)   10 – : 9 =

    b)1 – =

2.    Rezolva  exercitiile , apoi  valorile  necunoscutelor  regaseste-le  printre  datele  importante  din literatura  româna :

     a)   ) 48 843 : 81 – 3 + y ) : 7 = 145 + 205   

     b) x 4 = 100

     c)  90 + ( 3 045 + m ) : 44 + 9 999 – 10 000 = 200

3.     Gaseste  numerele  notate  cu  F , R , U , M , O , S  ,  stiind  ca :

     R + U + M = 48             S = 4  x  M              U + M = 13                M = 24 : 8           

 M + O = 180 : U

                                                         F + R + U + M + O + S = 94

4.     Suma  a  patru  numere  naturale  este  74 . stiind  ca  fiecare  dintre  ele  este  cu  5  mai  mare decât  cel  dinaintea  lui , sa  se  afle  numerele .

5.        Suma  a  trei  numere  naturale   este  514 . Al  doilea  numar  este  dublul  primului  si  cu  14 mai  mic  decât  al  treilea . Afla  numerele .

6.      Perimetrul  unui  teren  dreptunghiular  este  de  600 m . Lungimea  întrece  dublul  latimii  cu  60 m .

         Care  sunt  dimensiunile  terenului ?

7.      Cele  90  de  apartamente  ale  unui  bloc  sunt  cu  2  si  cu  3  camere . Daca  numarul camerelor  este  210 , care  este  numarul  apartamentelor  cu  3  camere ?

8.      Valoarea  lui  a  din  egalitatea    a + 24 + a + 39 + a = a + a + a + a    este  :

                         A)   63 ;                        B)   36 ;                               C)  9 .      

9.    În  gradina  bunicului  sunt  4  gutui . Crengile  copacilor  sunt  reprezentate  prin  numere consecutive . Pe  fiecare  creanga  atârna  câte  10  fructe . Bunicul  a  cules  în  total  260  de  gutui .

       Câte  crengi  are  fiecare  gutui ?

10.     Determina  pe  m  din  egalitatile :

          a)    m : m + m x 0 + m – m : m =  10                               

b)  m x 1 x 2 x 3 + m x 2 x 2 = 100

FIsA 2

Metoda  figurativa

1.        La  o  florarie  s-au  adus  430  fire  de  trandafiri  si  garoafe . Daca  trandafiri  erau  cu  76  mai  putini  decât  garoafe , câte  fire  s-au  adus  din  fiecare  fel  de  floare ?

2.        În  doua  depozite  sunt  168 400 kg  de  lemne . În  primul  depozit  se  afla  o  cantitate  de  7 ori  mai  mica  decât  în  al  doilea  . Ce  cantitate  de  lemne  se  afla  în  fiecare  depozit ?

3.       Suma  a  patru  numere  naturale  consecutive  impare  este  448 . Care  sunt  numerele ?

4.      Diferenta  a  doua  numere  este  135 . Daca  le  împarti , obtii  câtul  4  si  restul  12 .

         Care  sunt  numerele ?

5.     Într-o  livada  sunt  620  de  pomi . Meri  sunt  de  2  ori  mai  multi  decât  caisi  si  cu  15  mai putini  decât  peri . Câti  pomi  sunt  de  fiecare  fel  în  livada ?

6.     Compune  probleme , folosind  urmatoarele  reprezentari :

  I.        a

b                                                                                 288

                                                             30

c

II.         m

    40

 n

                                            280

FIsA 3

1.   Calculeaza :

   a)     30 + : 2 =                                             ( 92 )

   b)     10 x : 5 =                                       ( 160 )

2.   Afla  valoarea  numarului  necunoscut  din  egalitatile :   

    a)  682 – 9 x 8 + 8 x 7 – 63 : 7 – m  =  329 – 9 x 6 – 6 x 6 – 81 : 9                             ( 427 )

    b)   y x 5 + 36 x 4 + 36 x 3 + 36 x 2 = 504                                                                     ( 36 )

3.   Suma  a  trei  numere  este  986 . Sa  se  afle  numerele , stiind  ca  al  doilea  este  cu  2  mai mare  decât    primul  si  de  2  ori  mai  mic  decât  al  treilea .                                                                                                                                            ( 245 ; 247 ; 494 )

4.    Într-o  lada  se  gasesc  305  portocale  si  lamâi . Dupa  ce  s-au  vândut  26  de  portocale  si 14  lamâi , au  ramas  în  lada  de  4  ori  mai  putine  portocale  decât  lamâi .

       Câte  portocale  si  câte  lamâi  au  fost  la  început  în  lada ?                                                                                                                                              ( 79 ; 226 )

5.     Dimensiunile  unui  dreptunghi  sunt  exprimate  prin  numere  impare  consecutive . Perimetrul sau  este  de  320 m .  Afla  dimensiunile  dreptunghiului .                                                                                                                                                ( 79 ; 81 )

6.    Calculeaza  dimensiunile  unui  dreptunghi , stiind  ca  are  perimetrul  de  570 cm , iar  latimea este  jumatate  din  lungimea  sa .                                                                                                                                              ( 95 ; 190 )

7.     Suma  a  trei  numere  este  80. Daca  împartim  primul  numar  la  al  doilea , obtinem  câtul  1 si  restul  egal  cu  al  treilea  numar . Afla  numerele , stiind  ca  al  treilea  numar  este  cu  20  mai mic  decât  al  doi lea  numar .                                                                                                                                               (  10 ; 30 ; 40 )

8.    La  ora  de  educatie  fizica , elevii  unei  clase  sunt  asezati  în  rând  câte  unul .Un  elev constata  ca    cei  5  elevi  din  spatele  sau  reprezinta  un  sfert  din  numarul  elevilor  din  fata  sa .

        Câti  elevi  participa  la  ora  de  educatie  fizica ?

         

5 . Evaluare formativa

Elevul…………………

Clasa…………………

TEST-GRILA

    Matematica  

1)Cangurul calculeaza:  4+0+4x0+4:4+4x4=

Rezultatul este:

A)0             B)4              C)20            D)21            E)1

2)Carmen rupe 10 betisoare in doua.Jumatate sunt rupte din nou in doua. Cate betisoare a obtinut?

A)20            B)30            C)60            D)40            E)25

3) 4 carti diferite pot fi asezate in cate moduri?

A)4              B)5              C)6              D)7              E)8

4) Ceasul meu o ia inainte cu 3 minute pe ora. Dupa cat timp a inaintat cu jumatate de ora?

A)20ore       B)o zi          C)30ore       D)6 ore        E)600minute

5)La fiecare 6 ore, iau o pastila. Cat timp voi lua 10 pastile?

A)3 zile        B)2 zile        C)2 zile si 10 ore    D)24ore       E)2zile si 6 ore

6)In curtea scolii sunt 15 baieti si 18 fete. De cati copii mai este nevoie pentru a se imparti in grupe de cate 10?

A)4              B)5              C)6              D)7              E)8

7)Dan este cu 5 ani mai mare decat sora lui.Peste cati ani va avea dublul varstei surorii sale?

A)2              B)3              C)4              D)5              E)10

8)Scrie numarul cincisprezece milioane cincisprezece mii cincisprezece:

A015 115 115        B0150 150 150      C)15 15 15       D)15 015 015

          E)15 015 015 015

9)Pisicile dorm 2/3 din zi. Cate ore dorm pe saptamana?

A)112                    B)16            C)56            D)49            E)114

10)Este ora 8:53.Peste doua ore si 30 minute va fi;

A)10:53       B)10:30        C)11:30       D)11:23       E)11:33

11) Operatia al carei rezultat  nu este 15 este:

A) 6x(3-1)+3         B)6+9                   C)6-2x3+3   D)15-15:15+1        E)15x1

12) Cifra inlocuita cu o litera este:                 5a7+299=886

A)7              B)8              C)9              D)6              E)5

13)Care din numerele urmatoare are cifra unitatilor mai mica decat toate celelate cifre ale sale?

A)413          B)203          C)97            D)244          E)5 015

14)Azi e miercuri 2 aprilie.Tot miercuri va fi pe:

A) 10aprilie            B)16 aprilie  C)9 aprilie    D)22 aprilie        E) 31 aprilie    

15) Cat este jumatatea jumatatii lui 20?

A)10            B)5              C)40            D)4              E)2

16)Dana imparte prietenelor sale cate 2 acadele. Ii raman 5 acadele.  Daca le-ar da cate 3, un copil ar ramane fara  acadele. Cate prietene are Dana?

A)5              B)6              C)7              D)8              E)9

17)Perimetrul unui dreptunghi este de 48 cm. Lungimea este dublul latimii. Cat este lungimea?

A)16cm       B)8cm         C)160cm     D)4cm         E)12cm

18)Cate cifre se folosesc pentru scrierea unei carti cu 155 pagini?

A)357          B)389          C)155          D) 305         E)105

19)Dintr-un cub cu latura de 8cm, se scot jumatate din cubuletele cu latura de 1cm, adica:

A)64            B)8              C)16            D)32            E)80

20)Dan  are acelasi numar de timbre pe care il au Alin si Doru impreuna. Alin are cu 20 timbre mai multe decat Doru. In total au 80 timbre. Doru  are….

A)40            B)20            C)60            D)80            E)Alt raspuns

6 . Tema de creatie  ( la alegere ) :

- rezolvare de probleme date prin metoda figurativa ( categorii )

- compunere de probleme dupa model grafic

- compunere de probleme dupa relatii date

Matematica, clasa a IV-a

 

                      ITEMI    SUBIECTIVI

ITEMI     REZOLVARE    TIP     PROBLEMA

          I. STANDARD DE PERFORMANTA: S12

Exprimarea orala si scrisa intr-o maniera concisa si clara a modului de calcul si a rezultatelor unor exercitii si probleme.

 

II.OBIECTIV DE EVALUAT :

Sa exprime pe baza unui plan simplu de idei in scris demersul parcurs in  rezolvarea unei probleme.

Citeste cu atentie apoi  rezolva prin metoda grafica urmatoarea problema:

 Suma a doua numere este 130, iar diferenta dintre ele este 30. Care sunt numerele?

III.DESCRIPTORI DE PERFORMANTA:

1.   Reprezinta schematic in desen numerele, suma si diferenta lor.

2. Rezolva problema prin metoda grafica

a) o operatie

b) doua operatii

c) trei operatii

Barem de corectare

S1,2(a)

B1,2(a,b)

F.B.(a,b,c) 

Matematica, clasa a IV-a

                      ITEMI SUBIECTIVI

                     ESEU STRUCTURAT 

I.                 STANDARD DE PERFORMANTA :S7

Formularea si rezolvarea de probleme care presupun efectuarea a cel mult trei operatii.

 

II.             OBIECTIV DE EVALUAT :

2.5.      Sa compuna exercitii si probleme cu numere naturale .

   Compune si rezolva o problema folosind urmatoarele informatii:

50; de 3 ori mai mult ; cu 20 mai putin;

 

      III.           DESCRIPTORI DE PERFORMANTA:

1)Compune probleme corect:

a)enuntul problemei cu datele mentionate

b)inlantuirea logica a ideilor

c)pune intrebarea corect;

 

2)Rezolva problema corect

a)1 operatie corecta

b)2 sau mai multe operatii

Barem:

S:1(a) 2(a)

B:1(a,b,c) 2(a)

Ff.b:1(a,b,c) 2(a,b)

5.REZULTATELE

   (PRELUCRAREA , MĂSURAREA , INTERPRETAREA sI

    VERIFICAREA CU IPOTEZA )

      TABELUL  1

                       MEDIILE TRATAMENTELOR IPOTETICE

Tratamente TESTUL CRITERIAL(rezultate medii)

Rezultatul total la test

Întelegere Aplicatie Rezolvare de probleme

Control

N = 16

   16 , 6   13 , 6   11 , 2   41 , 4

Organizator

N = 16

   15 , 7   18 , 2   13 , 4   47 , 3

Strategii    14 , 9    15 , 5   15 , 7   46 , 1

N = 16

 

          Examinarea mediilor ne dezvaluie ca :

 

     METODA ORGANIZATORULUI COGNITIV a dat rezultate superioare celorlalte metode si s – a dovedit avantajoasa la nivelul aplicatiei cunostintelor .

     Despre celelalte metode , consider dupa limitele maxime pe care le – au atins în diferite pozitii : grupul de control în întelegere , grupul care a lucrat prin strategii în aplicare si rezolvare de probleme , ca au fost eficiente la un anumit nivel de performanta , dar nu totalizeaza un punctaj mai mare decât în cazul utilizarii organizatorului .

     De asemenea usor de observat si constatat corelatia dintre tipul experimentului – consolidare , aplicare – si metoda organizatorului cognitiv comparativ utilizat .

     Singura maxima care întruneste si cel mai mare punctaj total este      18,2 la nivelul aplicatiei în grupul caruia i – a fost aplicat tratamentul organizator .

TABELUL 2

Comportarea rezultatelor învatarii :

                 - în clasa A ( folosind cursul A ) ;

                 - în clasa B ( folosind cursul B );

                 - în clasa C ( folosind cursul C )

                   si interpretarea lor :Situatia Compararea

rezultatuluiCea mai probabila interpretare

A. Variabila de aptitudine

A = B = C

Variabilele mediului

A < C = B

A < C < B Cele mai multe diferente ale rezultatului pot fi atribuite diferentelor de mediu si de instruire .

Variabile de proces

A < C < BB. Variabila de

aptitudine

A = C = B

Variabilele de mediu

A < C = B

Variabile de proces

A < C < B

A < C < B Nu exista diferente .

Întruneste punctaj maxim .

C. Variabila de aptitudine

A = C = B

Variabilele de mediu

A < C = B

Variabile de proces

A < C < B

A < C < B Diferentele în rezultate pot fi cauzate de instruire .

Daca în conditii  - de aptitudini egale ( aproximativ )

                           -  de instruire deosebite 

                           - de mediu diferit doar pentru unul dintre grupuri

atunci rezulta ca diferentele rezultatelor sunt atribuite , în toate cazurile , modului de instruire si numai într – un singur caz diferentelor de mediu .

          O analiza a efectelor interactiunii dintre cele trei tratamente pentru fiecare grup si coeficientul de inteligenta (QI) , arata ca diferenta de performanta dintre grupuri se datoreaza metodei organizatorului cognitiv .

Prezentarea grafica a interactiunii tratament – coeficient de inteligenta :

Rezultatul la testarea :          

        Rezolvare de probleme

        Aplicatie

        Întelegere

 

                  Întelegere                  aplicatie                 rezolvare

                                                                                        de

                                                                                   probleme

              

                    control                  organizator              strategii

6 . REDACTAREA RAPORTULUI FINAL AL LUCRĂRII

Este sau nu este acest studiu de caz o inovatie ?                   

          Elaborarea si experimentarea manualelor alternative de matematica pentru clasa a IV a , ar satisface :

    Conditia stiintifica prin :

      INTRODUCEREA ORGANIZATORULUI COGNITIV

–       METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR  –

–       în predare – învatare , consolidare , recapitulare si sistematizare , verificare si evaluare ;

    Conditia complementara  , daca :

-         manualul de matematica ar oferi permanent o  completare cu probleme propuse spre rezolvare , aprofundare , extindere ;

    Conditia pedagogica prin :

-         modificarea accentului de pe anumite functii ale învatamântului în raport cu organizarea continutului unei discipline – pe realizarea unor sisteme de lectii cu un maximum de utilizare a tehnologiei didactice   ( strategii de lectie , strategii de învatare ) ;

    Conditia psihopedagogica daca :

-         în activitatea de învatare pe grupe omogene în functie de aptitudinea matematica speciala s – ar utiliza manualul alternativ destinat unui astfel de coeficient de inteligenta , atunci , la testarea matematica , învatatorii vor formula criterii ( itemi ) echivalenti pentru stabilirea nivelului performantei maxime a elevilor .

 

    Dar la rândul lor solicita :

-         individualizarea învatarii ;

-         reguli superioare de operare eficienta ;

-         cabinete de informatica  .

Analiza lucrarilor

I . Alegerea temei

- Numar total elevi implicati în experiment          = 4 8 ( 100  % )

- Procent  elevi stabili în alegerea temei               = 4 7 (  97,9% )

- Procent elevi stabili în alegerea temei ,

   dar care se autodepasesc                                    =    1 (    2,1% )

Tema 1 : Rezolvarea problemelor prin metoda figurativa  

               Fie dupa algoritm , fie singuri , fie aplicând regula

                24 elevi

Tema 2 : Compozitii de probleme  dupa model grafic

                 18 elevi –                      

Tema 3 : compunere de probleme dupa relatii

                6 elevi

               

               

          II . Redactarea temei

     EXCEPŢIA este în alegerea si redactarea temei 2 :

Compozitii de probleme  ( dupa model grafic sau relatii date  ) .

Cota cea mai înalta de performanta – CREATIVITATEA – este  atinsa de grupul caruia i – a fost aplicat tratamentul cu organizatorul cognitiv : metode de rezolvare a problemelor  .

          Rezulta ca elevii îsi însusesc si utilizeaza principiile organizarii cognitive ale problemei  .

Deci , în acelasi timp , îndeplinesc cerintele unei compozitii si care este problema .

          si se constata  , în plus , ca elevii au fost exersati înaintea experimentului în creatii libere de diferite tipuri , deoarece compozitiile lor se remarca printr – un mod de concepere si stil de exprimare încarcat de simboluri .

Modul de redactare a temei în celelalte grupuri se deosebeste :

     Grupul care lucreaza în aplicatie prin strategii de descifrare a enuntului problemei , cunoaste principiile organizarii cognitive si compune oral , probleme , dar prefera sa aleaga , în scris , rezolvare de probleme dupa algoritm dat . Rezulta ca si – a spus cuvântul modul de instruire anterior experimentului ( axat pe explicarea limbajului matematic ; creatii libere pornind de la relatii) si se impune sporirea actiunilor de încadrare a problemelor într-un tip  .

     Grupul care lucreaza în aplicatie pe limbaj matematic , stapâneste notiunea de problema . Rezulta ca grupul întâmpina greutati la unificarea principiilor de alcatuire a unei compozitii , deoarece prefera sa rezolve  .

     Acest obiectiv poate fi reînvatat prin analiza si delimitare pe texte a partilor principale , prin exercitii de ordonare , exercitii de dezvoltare a unor parti din problema . Se constata ca grupul are elevi introvertiti , predispusi gândirii divergente, meditatiei profunde , care au o putere mare de concentrare pe probleme care ridica probleme , ca si mediul lor familial. Cauta sprijinul si siguranta unui text  pe care îl abordeaza foarte atent si critic .

PROIECTEDE

LECŢII7 . MĂSURI sI PROPUNERI . CONCLUZII

          Dupa ce a pilotat o întreaga lucrare ea revine si la final si anume pentru ce fel de reforma optam în învatamântul românesc actual ? 

     Reforma profunda , partiala si discreta ;

     Reforma învatamântului românesc a schimbat viziunea asupra proiectarii activitatii didactice ;

     Proiectarea activitatii didactice va ridica la superlativ absolut activitatea de învatare a elevului .

     Din activitatea de instructie si educatie trebuie eliminat definitv termenul,, uniform=acelasi =la fel = general valabil ”  

Câteva masuri au fost deja percepute . Spre exemplu :

     Libertatea de actiune pe care o ofera noile programe , pentru un cadru didactic implicat ;

     Organizarea concursurilor pentru elaborarea manualelor alternative , cu consultarea cadrelor didactice cu experienta ;

     Sintagma ,, manual alternativ” sa devina o certitudine practic – aplicativa si nu numai una formala , iar alternanta sa concretizeze  relatia de echivalenta între continutul disciplinei / tratarea individuala în conformitate cu aptitudinile speciale ; 

 

PROPUNERILE concrete ,originale considerate de mine ca fiind imperative :

     Modificarea structurii învatamântului primar la 5 (cinci) ani de studiu accentuând prima si ultima treapta :                           I + II , III , IV ,V ;

     Modul de instruire si transferul învatarii sa fie orizontal , pe grupe valorice de nivel – materii ( omogene , diferentierea subiectilor în functie de aptitudinea intelectuala speciala ) ;

     Manualul de matematica( în acest caz) sa fie unic pe durata celor cinci ani scolari si sa apartina aceluiasi elev ;

     Manualul alternativ sa introduca metode de rezolvare a problemelor  pe întelesul elevilor ;

     Organizarea activitatii didactice a învatatorilor sa fie similara cu cea a elevilor , adica sa lucreze si dascalii în echipa , având unitate de vedere si de actiune , dar mai ales capacitati de organizatori cognitivi ai continutului învatarii ;

CONCLUZII :

     Teoretic , cercetarea atinge punctele de slabiciune    ale învatamântului românesc .

     Pedagogic, acest curriculum national , centralizat, prestabilit , este , dupa parerea mea , depasit , închistat în vechile tipare .

     Cauzele care stau la baza necesitatii schimbarii sunt multiple :

-         în învatamântul preuniversitar de stat modalitatile de organizare sunt pe verticala : clase paralele A,B,C,D,....si raportate la vârsta cronologica . În concluzie , elevii unei scoli apartin unei clase , unui cadru didactic , unei serii (I , aIIa,aIIIa,aIVa, ... , aXIIa), unei scoli , unei comenzi sociale prestabilite de altii pentru si în numele lor , dar nu îsi apartin lor însisi / însesi !

     Învatamântul propus de mine vizeaza o tratare individuala în conformitate cu aptitudinile speciale , trebuintele , dorintele , optiunile , aspiratiile , înclinatiile =zestrea nativa = talentul fiecarui subiect scolar .

     Idealul educational   sa fie centrat pe individ , sa satisfaca împlinirea lui spirituala ca om , în domeniul în care are aptitudini si nu sa fie o comanda sociala care nu ajunge sa îndeplineasca pâna la urma nici comanda societatii , nici idealul propriu al unei personalitati umane .

     Schimbarea mentalitatii : scoala este la dispozitia individului uman si nu invers . Societatea , ca macrosistem social , prospera cu cât totalitatea indivizilor din care este alcatuita sunt mai pregatiti , mai educati , civilizati si progreseaza ajungând la un anumit nivel de bunastare materiala si spirituala .

     Relatiile   dintre educat – educator trec în sfera cooperarii , comunicarii deschise , constructive . Reciprocitatea , libertatea de actiune , de a lua decizii în ce priveste formarea personalitatii , sunt atribute ce definesc noul model de relatii .

     Mod de instruire special si conform aptitudinilor   cerut de acest tip de inteligenta , evident ca de aici rezulta necesitatea unei masuratori adecvate si a unui program . Facilitatea speciala a programului se regaseste în trecerea de la o etapa la alta atunci când subiectul singur se simte pregatit si hotaraste momentul . Decizia nu este îngradita de bariera anilor scolari, ci de nivelul propriu de pregatire .

     Managementul   este categoric descentrat si axat în principal pe o oferta bogata de optionale propuse de elevi si / sau parinti . Aparent simplu ca organizare ( grupe omogene de nivel , cu numar aproximativ redus de subiecti ) , managementul este complex din punctul de vedere al programului de instruire , al organizarii cognitive al continutului .