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• Slides preparados por:• Prof. Eduardo Nobre LagesProf. Eduardo Nobre Lages
EES/CTEC/UFAL
• PET/Engenharia Civil/UFALPET/Engenharia Civil/UFAL
• PEC/Engenharia Civil/UFALPEC/Engenharia Civil/UFAL
• [email protected]@ctec.ufal.br
EDO’s – 1a Ordem Formas de apresentação da equação diferencial:
Forma Normal ))x(y,x(f)x(y
Métodos de Solução: Forma Diferencial 0dy)y,x(Ndx)y,x(M
Situação elementar na forma normal)x(f)x(y Cdx)x(f)x(y
C10x)xsen()x(y
5x)xcos()x(y
2
Exemplo:
A solução representa uma família de curvas
EDO’s – 1a Ordem Métodos de Solução (continuação):
0dxdyy9x4ou 0)x(y)x(y9x4 Exemplo:
0ydy9xdx40ydy9xdx4 Cy
29x2 22
A solução representa uma família de elipses centradas na
origem
Situação elementar na forma diferencial0dy)y(Ndx)x(M Cdy)y(Ndx)x(M
Conhecida como equação diferencial com variáveis
separáveis
EDO’s – 1a Ordem Métodos de Solução (continuação):
Situação particular na forma normal que pode ser reduzida a uma equação diferencial com variáveis separáveis
xyf)x(y
)x(ux)x(u)x(yx)x(u)x(y
Com variáveis separáveis
Mudança de variável:x
)x(y)x(u
0du)u(fu
1dxx1ou f(u)u(x)(x)xu
Fazendo a substituição na equação original tem-se que
Cdu)u(fu
1ln(x)
Ao se determinar a solução implícita da ED,
faz-se a substituição de u(x) por y(x)/x, definindo-se a solução em termos das
variáveis originais.
EDO’s – 1a Ordem
Cdu1u
u2)xln(u1u
21)u(f 2
Exemplo:
yx
xy
21you 0xyyxy2 22
K1uxou C1uln)xln( 22
A solução representa uma família de circunferências
Retornando às variáveis originais e arrumando a expressão tem-se que
Kxyx 22
EDO’s – 1a Ordem Métodos de Solução (continuação):
Equação diferencial exata
x)y,x(N
y)y,x(M
Definição: A equação diferencial é dita exata quando as funções M(x,y) e N(x,y) da forma diferencial gozam da propriedade
dy)y,x(Ndx)y,x(Mdyy
)y,x(udxx
)y,x(udu
Quando um equação diferencial é exata, então existe uma função u(x,y) tal que o seu diferencial total representa o membro esquerdo da equação diferencial, ou seja,
y)y,x(M
x)y,x(Nou
x)y,x(u
yy)y,x(u
x
É sabido que para as funções “suaves” a derivada cruzada de segunda ordem independe da seqüência de derivação, ou seja,
)y,x(Ny
)y,x(u e )y,x(Mx
)y,x(u
Condição já garantida
EDO’s – 1a Ordem Equação diferencial exata (continuação)
Solução: Partimos de uma das igualdades entre as derivadas parciais da função u(x,y) e as funções M(x,y) e N(x,y).
Substituindo agora esse resultado na segunda igualdade tem-se )y,x(N)y(fdx)y,x(M
y
Como du(x,y) também é igual a zero, tem-se que a função u(x,y) é uma constante, de onde se conclui que a solução implícita da equação diferencial exata é dada por
Cdydx)y,x(My
dy)y,x(Ndx)y,x(M
dx)y,x(My
)y,x(Ndy
)y(df
dydx)y,x(My
dy)y,x(N)y(f
)y(fdx)y,x(M)y,x(u)y,x(Mx
)y,x(u
Considerando a primeira delas,
Cuidado!
EDO’s – 1a Ordem Equação diferencial exata (continuação)
Exemplo: 0dyy2)y3cos(x3dx)y3sen(x2 2
Verificando se a equação diferencial é exata
exata. é ED a )y3cos(x6xN
yM Como
y2)y3cos(x3)y,x(N
)y3sen(x2)y,x(M2
)y3sen(xdyMdxy
)y3cos(x3Mdxy
y)y3sen(xNdy e )y3sen(xMdx
22
222
Desenvolvendo as parcelas temos
chegando-se à solução implícita:
Cy)y3sen(x 22
EDO’s – 1a Ordem Fator de integração de uma ED não exata:
Motivação - É possível transformar uma ED exata em uma não exata multiplicando-a por uma certa função.
exata. não é 0dy2xydx porém , exata é 0dy
2xxydx
2
Exemplo:
Idéia – Encontrar uma certa função (fator de integração) que transforme uma ED não exata em um exata.
exata. não seja 0dy)y,x(Ndx)y,x(M que Considerar
Este problema é mais complicado que o original. Troquei uma EDO por uma
EDP.
)FN(x
)FM(y
exata seja 0FNdyFMdx | ?)y,x(F
Problema
EDO’s – 1a Ordem Fator de integração de uma ED não exata
(continuação):
xN
yM
N1
dxdF
F1
xNFN
dxdF
yMF)FN(
x)FM(
y então , )x(FF Se
F=F(x) só existirá se o membro à direita for independente da variável
y.Possibilidades:• O membro à direita independe de y – Determinamos o fator de integração, reescrevemos a ED (agora exata) e solucionamos com o método já apresentado.• Caso contrário – Tentamos encontrar um fator de integração que só dependa da variável y, ou seja, F=F(y).
yM
xN
M1
dydF
F1
F=F(y) só existirá se o membro à direita for independente da variável
x.
EDO’s – 1a Ordem Fator de integração de uma ED não exata
(continuação):Exemplo: 0xydy2dxy3x4 2
exata não ED y2xNy6
yM
xy2)y,x(N e y3x4)y,x(M 2
Existe algum fator de integração do tipo F=F(x)?
possível é F(x)Fx2y2y6
xy21
xN
yM
N1
2x)x(F)xln(2)Fln(dxx2dF
F1
x2
dxdF
F1
Trabalhando as etapas posteriores chegamos a seguinte solução implícita da equação diferencial
Cyxx 234
EDO’s – 1a Ordem Equação diferencial ordinária linear:
Formato )x(q)x(y)x(p)x(y 0
Homogênea 0)x(y)x(p)x(y 0
Variáveis separávei
s
dx)x(p
dx)x(pC
dx)x(pC
0
0
0
0
0
0
Ke)x(y
ee)x(y
e)x(y
dx)x(pC)yln(
C)yln(dx)x(p
Cdyy1dx)x(p
0dyy1dx)x(p0
Solução:Na forma diferencial
Empregando o procedimento já apresentado
Solução geral
EDO’s – 1a Ordem Não Homogênea )x(q)x(y)x(p)x(y 0
Não exat
a
Solução: 0dydx)x(qy)x(p0 Na forma diferencial
Procurando um fator de integração no formato F=F(x)
Equação diferencial ordinária linear (continuação):
possível é )x(pxN
yM
N1
dxdF
F1
0
dx)x(p00
0e)x(Fdx)x(p)Fln(dx)x(pdFF1
Cdx)x(peyyedx)x(qeydx)x(pe
dx)x(peydydx)y,x(My
dx)x(pedx)y,x(My
yedy)y,x(N e dx)x(qeydx)x(pedx)y,x(M
0dyedx)x(qy)x(pe
0dx)x(pdx)x(pdx)x(p
0dx)x(p
0dx)x(p
0dx)x(p
dx)x(pdx)x(p0
dx)x(p
dx)x(p0
dx)x(p
0000
00
000
00
Desenvolvendo o procedimento já apresentado
Solução geral
Cdx)x(qee)x(y
dx)x(pdx)x(p 00
EDO’s – 1a Ordem EDO Linear Não Homogênea (continuação)
Exemplo: Modelo linear de Kelvin
)t()t(E)t()t()t()t( AM Por equilíbrio
Solucionando a equação diferencial resultante
Cdt)t(ee)t(
Cdt)t(ee)t(
tEtE
dtEdtE
)t( , )t(
E
Solução geral dependente da
função de “carregamento”
)t()t(E)t(ou EDO Linear
Não Homogênea
EDO’s – 1a OrdemExemplo: Modelo linear de Kelvin (continuação)
)t(No ensaio de fluência
Impondo a condição inicial do problema
tEtEtE
tEtEtEtE
CeE
)t(CeE
e)t(
Cdtee)t(Cdtee)t(
EC0C
E0)0(
tE
e1E
)t(
Solução geral
0 5 10 150
0.5
1
t
25,0E
00,1E
00,4E
)()t(
)t()t(J
Módulo de Fluência do
Material
EDO’s – 1a Ordem EDO Linear Não Homogênea (continuação)
Exemplo: Modelo do sólido linear padrão
)t()t()t( 10 Por equilíbrio
É necessário prescrever a tensão
ou a deformação em função do
tempo
)t( , )t(
E
0E
)t()t(E)t( e )t(E)t( 111000 Das relações constitutivas)t()t()t( 10 Da equação de compatibilidade
00 E
E1)t(E
)t()t(E)t(
)t(No ensaio de fluência
0E
E1)t(E)t(0E
)0( + Condição inicial
tE
0
e1EE
)t(
EDO’s – 1a OrdemExemplo: Modelo do sólido linear padrão (continuação)
)t(No ensaio de relaxação
0E)0(+
Condição inicial
00 E
E1)t(E
)t(E
ou
EE)t(EE)t( 00
tEE
00
00
eEEEE
E)t(