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¿Crees tener lo necesario para ser el rey
de las derivadas?
Resumen
El trabajo es una investigación acerca de las derivadas; se desarrolló con los
temas que aborda la unidad 3 “DERIVADAS”, regla de los cuatro pasos y las
diferentes fórmulas que se pueden utilizar para derivar, los ejemplos de los
diferentes tipos de derivadas (derivadas implícitas, derivadas de un producto,
derivadas de funciones trascendentales, etc.). La investigación que se hizo fue
aplicada en un juego de mesa el cual consta de un juego parecido al ajedrez
donde tienes que desarrollar una derivada de la mejor manera posible para
conseguir el resultado e ir avanzando casillas hasta ganar haciendo de este
tema más entretenido y más fácil de comprender.
Introducción:
Marco teórico:
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la
que cambia el valor de de dicha función según cambie el valor de su variable
independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se
calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto
intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se
toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una
cierta función en un punto dado.
Conceptos y aplicaciones
El concepto de derivada es uno de los dos conceptos centrales del cálculo
infinitesimal. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos están
relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos
2
conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual
separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o
la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más
importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en
aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el
cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo
fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias
sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a
la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la
pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la
pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos
puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma
la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden
determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones,
tales como concavidad o convexidad.
Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por
ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una
tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente,
gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son
continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de
derivación.
Definición Analítica de derivada como limite
En terminología clásica, la diferenciación manifiesta el coeficiente en que una
cantidad cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad .
3
En matemáticas, coeficiente es un factor multiplicativo que pertenece a cierto
objeto como una variable, un
vector unitario, una función
base, etc.
En física, coeficiente es una
expresión numérica que
mediante alguna fórmula
determina las características
o propiedades de un cuerpo.
En nuestro caso, observando
la gráfica de la derecha, el
coeficiente del que hablamos
vendría representado en el
punto de la función por el resultado de la división representada por la
relación , que como puede comprobarse en la gráfica, es un valor que se
mantiene constante a lo largo de la línea recta azul que representa la tangente
en el punto de la función. Esto es fácil de entender puesto que el triángulo
rectángulo formado en la gráfica con vértice en el punto , por mucho que lo
dibujemos más grande, al ser una figura proporcional el resultado de es
siempre el mismo.
Esta noción constituye la aproximación más veloz a la derivada, puesto que el
acercamiento a la pendiente de la recta tangente es tanto por la derecha como
por la izquierda de manera simultánea.
Lista de derivadas de funciones elementales
4
Regla de los cuatro pasos
Como un primer proceso para obtener la derivada de una función y=f(x), está la
regla de la definición, que consiste en lo siguiente:
1.- Calcular f(x+h)
5
2.- Obtener la resta entre f(x+h) y f(x)
3.- A esta resta dividirla entre h
4.- Del cociente obtener el límite cuando h tiende a cero.
Este límite es la derivada de la función con respecto a x
*Ejemplo
Paso 1
Obtener f(x+h)
( ) ( )
( )
Paso 2
Obteniendo f(x+h)-f(x)
( ) ( ) ( ) ( )
Desarrollando y simplificando
( ) ( )
( ) ( )
Paso 3
Dividiendo entre h
( ) ( )
Paso 4
Obteniendo el límite
( ) ( )
( ) ( )
( )
6
( ) ( )
( ) ( )
Por lo tanto este límite es la derivada de la función con respecto a x.
Interpretación geométrica de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada.
El significado geométrico de la derivada es la pendiente de la recta tangente en
un punto dado de la función.
Físicamente se define como la razón de cambio instantáneo de una variable
dependiente con respecto a la variable independiente.
7
Objetivo:
Se decidió buscar una forma de poder estudiar las derivadas, de manera
que nos fuera interesante hacerlo.
Problema:
El tema de “Derivada” se nos complicó a la mayoría del grupo, hubo muchos
problemas a la hora de hacer tareas o ejercicios en clase debido a que no
todos entendían bien cómo hacerlo y a la mayoría nos costaba trabajo
memorizar las formulas.
Desarrollo:
Decidimos realizar un juego analizando el algoritmo de funcionamiento de
varios de ellos, para poder crear un material de trabajo en derivadas lúdico.
Primero desarrollamos un compendio de derivadas, para tener material para
realizar el juego.
Ejemplos de derivadas de la forma
La derivada de f(x)= a
La derivada de f(x)=
La derivada de f(x)= e
La derivada de f(x)= 6
La derivada de f(x)=√ √
Derivada de la forma
y
( )
8
Derivada de la forma
( )
( )
( )
( )
Derivada de la forma
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
( )
( )
( )( )
Derivada de un producto
En ocasiones es necesario derivar funciones que están expresadas como el
producto de dos o más funciones. El primer método será efectuar las
multiplicaciones y después derivar, pero este procedimiento puede resultar
sumamente largo, por lo tanto es conveniente utilizar la fórmula del producto.
9
( )
Ejemplos:
( )( )
= ( ) ( )
( )
( )
=( ) ( ) ( ) ( )
=
=
( )( )
= ( )( ) ( )( )
= ( ) ( )
=
( )( )
= ( )( ) ( )( )
=
=
Derivada de una división
Al igual que el producto para derivar una división o cociente existe un formula
en especial, ésta es la siguiente:
(
)
Ejemplos:
10
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
Derivada de una potencia
Esta expresión permite calcular la derivada de una potencia sin necesidad de
efectuar la operación, por ejemplo si se desea obtener la derivada de
( ) se puede desarrollar el cuadrado y derivar termino a termino;
pero si el exponente, en lugar de ser dos fuese doscientos, sería muy lento
realizar la derivada. He aquí la utilidad de esta fórmula.
1. (2-8x)8 v=2-8x n=8
n=8 ( )8-1 (-8)=
11
n=-64( )7
2.- (3x3-45)2 v=3x3-45 n=2
n=2 ( )2-1 (9 )=
n=18 ( )
.- (2x )t v=2x n=t
n=t ( )t-1 (2 )=
n=(2t )( )t-1
Derivada implícita
Hasta el momento en todas las derivadas estudiadas la variable dependiente
siempre estaba despejada en muchas ocasiones esto no sucede y despejarla
es sumamente complicado. Esta problemática se resuelve empleando la
derivada implícita y el procedimiento es el siguiente:
1.- En la función se deriva igualmente x como y, solamente que cada vez que
se derive una “y” se debe colocar el símbolo
.
2.- Una vez derivadas todas las variables se despejará el símbolo
que es la
incógnita deseada, el resultado de este despeje es la derivada buscada.
Ejemplos:
1.- x2 3=7
2x
=0
2.- 3x2-y3=t2
6x
=0
12
3.- y2-3y=x
2y
=1
Y=2
Derivadas de funciones trascendentes
Para las funciones transcendentes también existen fórmulas de derivadas,
estas son las siguientes.
Inv =
ex =
Y todas las fórmulas para funciones.
Ejemplo I
Inv =
1. In2x2
=
=
=
=
=
=
=
2. In (ax )
15
( )
= ( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( ( ) ( ))
( )
(( ) ( ) )
2. Y= In(x2 ex)
Inv =
ev =
Inv =
( ) ( )
=
ex =
ex = = ex
( ) ( )
( )
( )
3. Y= x2ex
ex =
ex = = ex
=
16
Desarrollo del juego:
Para poder resolver nuestro problema con las derivadas y poner en acción lo
que habíamos pensado hacer para poder estudiar Derivadas, tuvimos que
elaborar éste trabajo, en el cual investigamos sobre los tipos de derivadas,
cómo resolverlas y algunos ejercicios. Se pensó en la elaboración de un
juego el cual debería ser muy didáctico para poder entretener a los
jugadores pero a la vez entrar muy a fondo al tema de nuestro interés. Los
recursos que utilizamos fue el trabajo sobre derivadas y mucho material para
ir construyendo nuestro juego.
Resultados
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El juego es una combinación de ajedrez con damas chinas.
Se tienen 11 pelones y un rey IQ, puede jugarse en equipo o
individual.
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Los peloncitos avanzan solo si resuelves una derivada en un
límite de tiempo,
La derivada se designa al lanzar un dado, el color que te caiga
y número es el nivel y color de la tarjeta que se debe tomar
donde está la operación a resolver
Si resuelve la derivada avanzara los cuadros que indique el
dado hacia donde el jugador prefiera, pero si de lo contrario no se
resuelve en el tiempo o si la resolvió mal tendrá un castigo.
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Después de cada turno tomaran otra tarjeta la cual tendrá un
castigo o un premio.
El juego se gana comiendo al rey IQ o al dejar sin peloncitos al
oponente.
Uno de los retos o castigos para hacer más entretenido el juego
es que se cuenta con una caja de toques.
Después de saber cómo se juega dime:
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Análisis e interpretación de resultados
EL juego se aplicó en el salón de clases y recibió muy bueno comentarios, ya
que lo consideraron divertido y original.
El juego cubrió las expectativas desde el punto de vista conocimiento y
aprendizaje, ya que fue divertido y las personas que contaban con
conocimientos de derivadas jugaron, poniendo en práctica conocimientos
previos, y las personas que no entendían muy bien el tema aprendieron los
pasos y resolvieron desde la más sencilla derivada hasta la más difícil.
Conclusiones
*La crítica de los compañeros fue buena ya que la caja y el contenido llama la
atención, por lo que los impulsaba a querer jugar el juego
*Al jugar notamos que muchos de ellos se esforzaban para ganar, ayudo a que
se interesaran y aprendieran a derivar mas fácil, las personas que jugaron
también nos comentaron que es interesante ya que el formulario que les damos
les ayuda a identificar y memorizar formulas.
*Nuestros compañeros calificaron el juego como "Muy bueno", "Divertido",
"Interesante", "Así, sí aprendo derivadas", entre otras cosas ya que el
contenido y los materiales con los que está hecho el juego son muy llamativos
y la calidad que se empleó en las derivadas a resolver eran muy buenas, ya
que había algunas fáciles pero otras que los hacían pensar y razonar más.
La caja de toques (muy pequeños) incluida impulsa a los jugadores a resolver
la derivada de una manera correcta y además les resulto muy divertido.
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Fuentes de Información:
-Frank Ayres Jr., Elliot Mendelson. Calculo Diferencial E Integral. Mc Graw
Hill. Tercera Edición.
-Eduardo Carpinteyro Vigil, Rubén B. Sánchez Hernández (2006). Algebra.
Grupo Patria Cultural, México.
-Granville, William Anthony, (1995) Cálculo Diferencial e Integral, México,
Limusa.