Estadıstica (30304007)

Grado en Criminologıa y Seguridad

Departamento de Estadıstica e Investigacion Operativa

Curso 2012/13

Universidad de Cadiz

1

Contenidos:

(1) Fuentes de datos en criminologıa

(2) Estudio descriptivo unidimensional de la actividad criminologica

(3) Estudio descriptivo bidimensional de la actividad criminologica

(4) Series temporales

(5) La utilizacion de la probabilidad en criminologıa

(6) Modelos probabilısticos asociados a la criminologıa

2

Capıtulo 1: FUENTES DE DATOS EN CRIMINOLOGIA

1.1.-Introduccion

1.2.-Diversas fuentes de datos

3

Seccion 1.1: Introduccion

4

.

′′ Without statistics, conducting research about crimeand justice would be virtually impossible ′′ (Weisburd, D.& Britt, Ch. (2007). Statistics in Criminal Justice (Thirdedition), New York: Springer)′′ Disponer de una buena informacion estadıstica y usarlade una manera intensiva y eficiente es una necesidadineludible para la mejora de la gestion de la Justicia. Estambien una obligacion de cara a la sociedad a la que sedebe rendir cuenta de su funcionamiento ′′ (Problemasde la Estadıstica Judicial y propuestas de actuacion. ConsejoGeneral del Poder Judicial)′′ La subestimacion de la informacion empırica y, en par-ticular, de la informacion estadıstica esta todavıa muyarraigada en la tradicion jurıdica ′′ (Benito y Benıtez deLugo, J.L. de & Pastor Prieto, S. (2001). La Estadısticacomo instrumento de la Polıtica Judicial en Los proble-mas de la investigacion empırica en criminologıa: La situacionespanola, Valencia: Tirant Lo Blanch)

5

.

La palabra ′′estadıstica′′ suele emplearse con dos significa-

dos distintos:

′′estadısticas′′, en plural y, generalmente, escrita en minus-

culas, indicando colecciones de datos numericos presen-

tados de forma ordenada y sistematica.

′′Estadıstica′′, en singular y, quizas escrita en mayuscu-

las, ciencia que estudia el comportamiento de los fenome-

nos llamados de colectivo.

Las estadısticas reflejan el conocimiento de las institucio-

nes oficiales sobre determinados asuntos. Este conocimien-

to es, fundamentalmente, numerico. Por tanto el analisis

estadıstico nos proporciona, en general, un metodo cuan-

titativo para el analisis de aquellas situaciones que puedan

ser de nuestro interes.

Pueden realizarse estadısticas por instancias privadas, sin

embargo las mas representativas son las oficiales.

6

Seccion 1.2: Diversas fuentes de datos

7

Fuentes internacionales:

(a) Organismos e instituciones internacionales que ofrecen

exclusivamente informacion sobre algun aspecto de la jus-

ticia: Bureau of Justice Statistics (BJS)

(b) Organismos e instituciones internacionales que ofrecen

informacion de diferentes sectores, entre ellos el judicial:

Research Development and Statistics (RDS), Organizacion

de las Naciones Unidas (UN)

(c) Organismos y oficinas estadısticas que ofrecen todo ti-

po de informacion: Oficina Estadıstica de las Comunidades

Europeas (EUROSTAT),

8

BJS(Bureau of Justice Statistics)

(http://www.ojp.usdoj.gov/bjs/)

′′Tiene como mision recoger, analizar, publicar y divulgar

informacion sobre el crimen, el delincuente, las vıctimas, y

las diferentes operaciones de los sistemas de justicia′′

9

10

RDS(Research Development and Statistics)

(http://homeof f

ice.gov.uk/science-research/research-statistics/)

Country of origin information service

British Crime Survey –

Measuring crime for 25 years

Home Office Recorded Crime

Counting Rules

Crime Statistics - An independent review

Last updated 20 May 2008

© Crown Copyright 2008

′′RDS publica bajo la supervision de cualificados

especialistas en estadıstica, investigacion, economistas,

profesionales de la comunicacion y cientıficos, trabajos e

informes que sirvan de ayuda al Parlamento y para el

conocimiento del publico en general ′′

11

12

UN(Organizacion de las Naciones Unidas)

(http://www.un.org/spanish/)

(Derecho Internacional)

Página 1 de 1

27/11/2008file://C:\Documents and Settings\Juan Antonio\Mis documentos\Mis imágenes\Logo_...

Entre los Organos Principales de la ONU se encuentra la

Corte Internacional de Justicia que ′′sera el organo judicial

principal de las Naciones Unidas′′ (Artıculo 92 de la Carta

de las Naciones Unidas)

13

14

EUROSTAT(Oficina Estadıstica de las Comunidades Europeas)

(http://epp.eurostat.ec.europa.eu/portal/page/

portal/eurostat/home/)

(Populations and social conditions Crime and criminal

justice)

′′La mision de Eurostat consiste en proporcionar un

servicio de informacion estadıstica de alta calidad a la

Union Europea′′

15

16

Fuentes nacionales:

(a) Fuentes que ofrecen informacion jurıdica relacionada

con el estudio y la investigacion del sector: Consejo general

del Poder Judicial (CGPJ)

(b) Fuentes que ofrecen todo tipo de informacion estadısti-

ca: Instituto Nacional de Estadıstica de Espana (INE), Ins-

tituto de Estadıstica de Andalucıa (IEA)

17

CGPJ(Consejo General del Poder Judicial)

(http://www.poderjudicial.es/eversuite/)

(Consejo General del Poder Judicial Estadıstica)

LIBRO I

2 0 0 7

MEMORIASOBRE EL ESTADO, FUNCIONAMIENTO

Y ACTIVIDADES DEL CONSEJO GENERALDEL PODER JUDICIAL Y DE LOS JUZGADOS

Y TRIBUNALES

CENTRO DE DOCUMENTACIÓN JUDICIAL

CONSEJO GENERAL DEL PODER JUDICIAL

′′Disponer de una buena informacion estadıstica y usarla

de una manera intensiva y eficiente es una necesidad

ineludible para la mejora de la gestion de la Justicia. Es

tambien una obligacion de cara a la sociedad a la que se

debe rendir cuenta de su funcionamiento ′′

18

19

INE(Instituto Nacional de Estadıstica de Espana)

(http://www.ine.es/)

(Sociedad Seguridad y Justicia)

′′Le corresponde la investigacion, desarrollo,

perfeccionamiento y aplicacion de la metodologıa

estadıstica, en el marco del Plan Nacional de Investigacion

Cientıfica y Desarrollo Tecnologico′′

20

21

IEA(Instituto de Estadıstica de Andalucıa)

(http://www.juntadeandalucia.es/

institutodeestadisticaycartograf ia/)

(Sociedad Justicia)

9 Instituto de Estadística de AndalucíaCONSEJERÍA DE ECONOMÍA Y HACIENDA

3er trimestre de 2007

Andalucía y su población

Información Estadística AndalucíaInformación Estadística Andalucía

Unión Europea

Fondo Social Europeo

′′Es el responsable de la actividad estadıstica de la

Comunidad Autonoma de Andalucıa′′

22

23

SEIC(Sociedad Espanola de Investigacion Criminologica)

(http://www.criminologia.net)

ESTATUTOS DE LA SEIC

Sociedad Española de Investigación Criminológica 1

Capítulo I. Denominación, fines, domicilio y ámbito Capítulo II. Órganos de la asociación Capítulo III. Asamblea general Capítulo VI. Socios Capítulo V. Recursos económicos Capítulo VI. Disolución Capítulo I. Denominación, fines, domicilio y ámbito Artículo 1. Con la denominación de SOCIEDAD ESPAÑOLA DE INVESTIGACIÓN CRIMINOLÓGICA se constituye una Asociación que se acoge a lo dispuesto en la Ley 191/64, de 24 de Diciembre y normas complementarias del Decreto 1440/65, de 20 de Mayo, careciendo de ánimo de lucro y por tiempo indefinido. Artículo 2. La Asociación gozará de personalidad jurídica propia y distinta de la de sus asociados y su régimen se regirá por lo establecido en los presentes Estatutos y por los acuerdos adoptados por sus Órganos de Gobierno. Artículo 3. La existencia de esta Asociación tiene como fines: Promover la investigación y los estudios criminológicos tanto en el ámbito académico como en el institucional y en aquellos otros que tengan interés en esta área de conocimiento. Fomentar la participación de jóvenes científicos en la investigación criminológica. Establecer relaciones con asociaciones, redes y grupos, nacionales e internacionales, afines en aras al desarrollo de la investigación en el ámbito de la Criminología. Fomentar las relaciones institucionales con el fin de fortalecer la formación e investigación en criminología así como tareas de asesoría y consultorías con entidades públicas y privadas. Servir de vínculo de comunicación entre científicos y fomentar las transferencias de resultados de investigación en el ámbito nacional e internacional. Desarrollar la Criminología como instrumento de comprensión y análisis de la realidad social que favorezca una vía práctica de análisis y prevención del delito. Promover una concepción de la comunidad científica criminológica al servicio de la paz y el progreso social que impulse un concepto activo de esta disciplina como instrumento solidario y democrático de acción y realización de los Derechos Humanos en toda su plenitud. Cualquier otro fin que impulse la Criminología como un instrumento útil de análisis y solución de problemas sociales. Artículo 4. Para el cumplimiento de estos fines se realizarán todas las actividades lícitas que sean necesarias. Artículo 5. La Asociación establece su domicilio social en la Universidad de Castilla-La Mancha,Facultad de Derecho, Unidad de Investigación en Criminología, Plaza de la Universidad nº 1, (02071) Albacete (España), y su ámbito territorial de actuación comprende todo el ámbito del Estado Español. Capítulo II. Órganos de la asociación Artículo 6. La Asociación será dirigida y administrada por una Junta Directiva y una Asamblea General. Todos los cargos que componen la Junta Directiva serán gratuitos y serán designados por la Asamblea General y su mandato tendrá una duración de dos años. Artículo 7. La Junta Directiva está formada por el Presidente, Secretario, el Tesorero y el número de vocales que determine la Asamblea General. Los miembros de la Junta directiva, serán elegidos por la Asamblea General, deberán gozar de la condición de asociados y estar al corriente en el pago de las cuotas. La Junta Directiva se reunirá dos veces al año y a iniciativa o petición de la mayoría simple de sus miembros. Quedará constituida cuando asista la mitad más uno de sus miembros. Adoptará sus acuerdos por el voto favorable de la mayoría simple de sus miembros.

′′Esta asociacion tiene como fin, entre otros, el promover

la investigacion y los estudios criminologicos tanto en el

ambito academico como en el institucional y en aquellos

otros que tengan interes en esta area de conocimiento′′

24

25

Otras webs de informacion criminologica y judicial:

(a) Instituto de Criminologıa de la Universidad de Cambrid-

ge

(b) Centro de Criminologıa de la Universidad de Oxford

(c) Instituto Australiano de Criminologıa

(d) Sociedad Britanica de Criminologıa

26

SEIC(Instituto de Criminologıa de la Universidad de Cambridge)

(http://www.crim.cam.ac.uk)

M.St. in Applied Criminology, Penology and Management Alumni Event 13 September 2012

Delegate Registration Form

Fee £60 (This includes the dinner and event attendance)

First name:

Last name:

Telephone: Email: Correspondence address:

Delegate fees (please choose the relevant fee) Please tick for attendance Conference Dinner (Caius College, 6.30 for 7pm)

Afternoon Event (Faculty of Law, 1.30 – 5pm)

Please note that accommodation is not included for this event

Payment Details (bookings will not be accepted unless full payment is made)

Cheque enclosed (payable to The University of Cambridge) for £60

Invoice me for £60 with Purchase order number: Invoice address:

Please return this form to:

Lucinda Bowditch, Institute of Criminology, Sidgwick Avenue, Cambridge CB3 9DA Email: ljb55@cam.ac.uk

For further conference information or enquiries, please go to www.crim.cam.ac.uk or telephone Lucinda Bowditch on 01223 335373

Closing Date for first registration is Monday 27 August 2012

′′Fundado hace 50 anos fue uno de los primeros Institutos

Criminologicos de Europa. Alberga la biblioteca

Radzinowicz que contiene la mas extensa coleccion de

criminologıa del Reino Unido.′′

27

28

SEIC(Centro de Criminologıa de la Universidad de Oxford)

(http://www.crim.ox.ac.uk/Links/index.htm)

© Probation Studies Unit, Centre for Criminological Research, University of Oxford, 12 Bevington Road, Oxford, OX2 6LH. Probation Services are permitted to reproduce this document for use within the Probation Service.

1

Emerging ACE Data: Further Analysis of Needs and Risk

Simon Merrington

KEY POINTS

1. This bulletin provides a similar analysis of criminogenic needs to the one in Bulletin 1, but for a much larger sample of cases - over 10,000. These are all initial assessments, the great majority having been completed at PSR stage.

2. ACE indicates a fairly similar pattern of problems and offending-related problems across the country, in rural, urban and metropolitan areas. The pattern of problems is also remarkably similar to the one provided two years previously by Bulletin 1. It suggests that ACE is a stable assessment tool, and that risk factors do not vary greatly between areas.

3. The data suggests that programmes such as Think First which target impulsiveness, poor reasoning skills, difficulties with control over one's actions, and poor victim awareness, should be extremely valuable. Not only are these problems frequently judged to be offending-related, they were also found in HORS 211 to be good predictors of reconviction.

4. Another group of problems are also frequently judged to be offending-related: the offender's own lifestyle, friends causing a risk, drugs and alcohol. HORS 211 found that the first three were good reconviction predictors. It is less clear how probation can effectively address lifestyle and peer influence problems, but the need for drugs and alcohol programmes is well accepted.

5. Finances were also among the most frequent offending-related problems, and this too was a good predictor in HORS 211. There was surprisingly little regional variation in the assessed problem level, but more variation in financial status with 72% dependent on state benefits in Northumbria but only 49% in Middlesex. Relatively low numbers were in employment or on training schemes, even in a period of prosperity.

6. ACE offending-related scores averaged around 21 or 22 for most areas, but Middlesex and Northumbria were significantly higher. The average ORS score in HORS 211 was also 21, suggesting ACE has performed stably for some time.

Probation Studies Unit ACE Practitioner Bulletin 4

November 2001

Further copies can be obtained from http://www.crim.ox.ac.uk/publications/psubull.htm

© Probation Studies Unit, Centre for Criminological Research, University of Oxford, 12 Bevington Road, Oxford, OX2 6LH. Probation Services are permitted to reproduce this document for use within the Probation Service.

1

Emerging ACE Data: Further Analysis of Needs and Risk

Simon Merrington

KEY POINTS

1. This bulletin provides a similar analysis of criminogenic needs to the one in Bulletin 1, but for a much larger sample of cases - over 10,000. These are all initial assessments, the great majority having been completed at PSR stage.

2. ACE indicates a fairly similar pattern of problems and offending-related problems across the country, in rural, urban and metropolitan areas. The pattern of problems is also remarkably similar to the one provided two years previously by Bulletin 1. It suggests that ACE is a stable assessment tool, and that risk factors do not vary greatly between areas.

3. The data suggests that programmes such as Think First which target impulsiveness, poor reasoning skills, difficulties with control over one's actions, and poor victim awareness, should be extremely valuable. Not only are these problems frequently judged to be offending-related, they were also found in HORS 211 to be good predictors of reconviction.

4. Another group of problems are also frequently judged to be offending-related: the offender's own lifestyle, friends causing a risk, drugs and alcohol. HORS 211 found that the first three were good reconviction predictors. It is less clear how probation can effectively address lifestyle and peer influence problems, but the need for drugs and alcohol programmes is well accepted.

5. Finances were also among the most frequent offending-related problems, and this too was a good predictor in HORS 211. There was surprisingly little regional variation in the assessed problem level, but more variation in financial status with 72% dependent on state benefits in Northumbria but only 49% in Middlesex. Relatively low numbers were in employment or on training schemes, even in a period of prosperity.

6. ACE offending-related scores averaged around 21 or 22 for most areas, but Middlesex and Northumbria were significantly higher. The average ORS score in HORS 211 was also 21, suggesting ACE has performed stably for some time.

Probation Studies Unit ACE Practitioner Bulletin 4

November 2001

Further copies can be obtained from http://www.crim.ox.ac.uk/publications/psubull.htm

Institute of Criminology

Centre for Criminology University of Oxford

Institute of Criminology

Centre for Criminology University of Oxford

Institute of Criminology

Centre for Criminology University of Oxford

′′Es uno de los centros de criminologıa mas destacados del

Reino Unido. Realiza publicaciones de sus investigaciones

de gran calidad.′′

29

30

AIC(Instituto Australiano de Criminologıa)

(http://www.aic.gov.au/en/statistics.aspx)

Australia’s national research and knowledge centre on crime and justice

Trends & issuesin crime and criminal justice

No. 394 May 2010

Financing of terrorism: Risks for AustraliaRussell G Smith, Rob McCusker & Julie Walters

Terrorists aim at intimidating people, compelling states to comply with their demands,

or destabilising or destroying the fundamental political, constitutional, economic or social

structures of a country or an organisation (Europol 2009: 5).

Terrorist groups may have a range of motivations and justifications for their actions including

support of a particular religious faith; promotion of international recognition and political

self-determination for ethno-nationalist and separatist groups; the achievement of entire

political, social, or economic system change according to extremist left- or right-wing

models; or simply changing a specific policy or practice as in the case of animal

experimentation.

One of the main responses to threats of terrorist activity involves the use of financial

transaction reporting and monitoring. This operates in two ways—first, by placing

impediments in the path of those who seek to accrue and to move funds using the

regulated financial sector and second, by enabling law enforcement and intelligence

agencies to follow the financial trail of transactions left by those who make use of the

regulated financial sector, so as to detect and to prevent possible attacks.

This paper examines the global environment in which the financing of terrorism occurs,

particularly with respect to the activities of transnational, organised groups that may

have an involvement with terrorist organisations. Consideration is then given to how

the financing of terrorism occurs, first through the use of illegally obtained funds and

then through financing derived from legitimate sources, such as charitable donations,

which are diverted for use in terrorist activities. Evidence of the financing of terrorism

in Australia is then examined and cases which have been detected and prosecuted in

Australia that entail an element of terrorist financing are reviewed. Although the number

of cases is small, they are indicative of the fact that Australia is not immune from terrorist

activities that are being financed by Australian individuals and organisations.

Foreword | To date, Australia has been

relatively quarantined from large-scale,

organised terrorist activities such as

those which have emerged in central and

southeast Asia, Europe and the United

States. Nonetheless, as a well-resourced

country, Australia is at risk of being a

location from which funds for terrorist

activities may be drawn—even if

the activities themselves are based

predominantly in other countries.

This paper presents information on

the environments in which the financing

of terrorism have taken place in recent

years and the trajectory of financing of

terrorism risk which is likely to emerge

for Australia and globally in the years

ahead. Consideration is given to how

financing of terrorism occurs, not only

through the use of illegally obtained

funds, but also through financing

derived from legitimate sources, such

as charitable donations, which are

diverted for use in terrorist activities.

It is concluded that although evidence

of financing of terrorism is limited in

Australia, risks are present that need

to be addressed, not only through

effective gathering and the use of

financial intelligence, but also through

the prosecution and punishment of

offenders and the education of those

individuals and communities most at risk

of becoming involved in illegal activities,

both intentionally and inadvertently.

Adam Tomison

Director

′′Es el centro nacional australiano de investigacion en

criminologıa y justicia.′′

31

32

BSC(Sociedad Britanica de Criminologıa)

(http://www.britsoccrim.org/links.htm)

ISSN 1759-0043

Papers from the British Criminology

Conference An Online Journal by the British Society of Criminology

Volume 9, 2009

www.britsoccrim.org/conferences.htm

′′Se propone fomentar el conocimiento tanto del personal

academico como profesional que estan ligados de alguna

forma por trabajo o ensenanza, investigacion o educacion

publica sobre el crimen, el comportamiento criminal y los

sistemas de justicia criminal en el Reino Unido.′′

33

34

Capıtulo 2: ESTUDIO DESCRIPTIVO

UNIDIMENSIONAL DE LA ACTIVIDAD

CRIMINOLOGICA

2.1.-Principales conceptos de Estadıstica Descriptiva

35

Seccion 2.1: Principales conceptos de Estadıstica

Descriptiva

36

Se conocen como variables estadısticas a las caracterısticas

que poseen los elementos de una poblacion y que van a ser

objeto de estudio estadıstico.

Ejemplo 1 Sea la poblacion formada por los 4543 jueces

y magistrados en los diferentes organos judiciales que for-

maban la plantilla a 1 de enero de 2007 (segun datos del

CGPJ).

37

Las variables a analizar pueden ser de tres tipos:

Cualitativas o atributos: no expresables numericamente

(Ejemplo: ′′Comunidad Autonoma de destino′′)

Ordinales: sus valores pueden ser ordenados (Ejemplo:′′Satisfaccion con la actual polıtica judicial′′)

Cuantitativas: pueden ser expresadas numericamente.

Las variables cuantitativas se subdividen en:

(i) Cuantitativas Discretas, si el conjunto de sus po-

sibles valores tiene cardinal finito o infinito numerable

(Ejemplo: ′′Numero de expedientes resueltos durante el

ano 2006′′)(ii) Cuantitativas Continuas, si pueden tomar los infini-

tos valores de un intervalo (Ejemplo: ′′Antiguedad en el

cuerpo′′)

38

Las variables estadısticas suelen representarse con letras

mayusculas del final del alfabeto: X, Y , Z, ... Los valores

que toman (datos) los escribiremos con letras minusculas:

x1, x2, x3, ... ; y1, y2, y3, ... o z1, z2, z3, ...

Ejemplo 2

X= ′′Numero de expedientes resueltos durante el ano

2006 por cada uno de los 4543 jueces y magistrados en

los diferentes organos judiciales que formaban la plantilla

a 1 de enero de 2007′′

x1= 206 expedientes, x2= 124 expedientes, · · · x4543=

338 expedientes.

39

.

Distribuciones de frecuencias

A partir de un conjunto de datos queremos clasificarlos de

modo que la informacion contenida en ellos quede presen-

tada de forma clara, concisa y ordenada. Si representamos

por N al numero total de datos, se conoce como frecuencia:

(a) Absoluta del valor xi, al numero de veces que se pre-

senta dicho valor en el conjunto de datos. Se representa

por ni.

(b) Absoluta acumulada del valor xi, al numero de datos

que hay iguales o inferiores a xi. Se representa por Ni.

(c) Relativa del valor xi, al cocienteni

N. Se representa por

fi.

(d) Relativa acumulada del valor xi, al cocienteNi

N. Se re-

presenta por Fi.

40

Llamaremos distribucion de frecuencias al conjunto de losvalores que presenta una variable estadıstica junto con susfrecuencias. En general, escribiremos (xi;ni)i=1,2,...,k, don-

de ni es la frecuencia absoluta del valor xi y N =k∑i=1

ni es

la frecuencia total.

Para presentar los resultados se acostumbra a usar la lla-mada tabla estadıstica, de la forma siguiente:

li−1 − li ni xi cil0 − l1 n1 x1 c1l1 − l2 n2 x2 c2

... ... ... ...lk−1 − lk nk xk ck

siendo xi =li−1 + li

2, la marca de clase o valor ideal del

intervalo, y ci = li − li−1 , la amplitud del intervalo.

41

Observaciones:

(a) El agrupamiento de los datos da lugar a cierta perdidade informacion pero con ello se gana en manejabilidadde los mismos.

(b) El numero de intervalos y las amplitudes de los mismosdeben ser escogidos convenientemente.

(c) En la practica, es frecuente la eleccion de intervalosde amplitud constante, ya que con ello se facilita elcalculo de la mayorıa de las caracterısticas descriptivasque analiza la estadıstica. Un criterio empırico consisteen considerar como numero de intervalos, k, el dadopor la formula de Sturges, k = 1 + [3,3log10N ], donde [x]

denota la parte entera de x.

42

Ejemplo 3 Sea la variable

X= ′′Numero de penados en los diferentes Centros Peni-tenciarios espanoles, en el ano 2006′′

x1 = 1475 penados (A Lama, Pontevedra)x2 = 299 penados (Albacete)x3 = 1707 penados (Albolote)...x77 = 1400 penados (Villabona)

(Fuente: Anuario Estadıstico del Ministerio del Interior. 2006)

(k = 1 + [3,3log1077] = 1 + [6,2254] = 7)

minxi = 61 (Sta. Cruz de la Palma);maxxi = 2466 (Valencia)

c =2466− 61

7= 343,5714 ≈ 360

43

li−1 − li xi ni Ni fi Fi0− 360 180 22 22 0,2857 0,2857

360− 720 540 21 43 0,2727 0,5584

720− 1080 900 8 51 0,1039 0,6623

1080− 1440 1260 9 60 0,1169 0,7792

1440− 1800 1620 13 73 0,1688 0,9480

1800− 2160 1980 3 76 0,0390 0,9870

2160− 2520 2340 1 77 0,0130 1

Totales N = 77 1

44

Representaciones graficas

Consiste en presentar, a golpe de vista, el comportamiento

de la distribucion. Se usan como complemento del traba-

jo estadıstico, y a veces, como punto de partida para un

posterior analisis.

Tipos de graficos:

(a) Para variables cualitativas preferentemente: basan su

construccion en establecer proporcionalidad entre areas

y frecuencias.

45

Ejemplo 4 Se considera el estudio de la variable ′′lugar de

procedencia de los condenados en Espana durante el ano

2008 ′′

Lugar de procedencia Numero de condenados (ni)

Espana 137 872Resto de Union Europea 17 174

Resto de Europa 1 894Resto del Mundo 39 040

N = 195 980(Fuente: Explotacion del INE del Registro Central de Penados)

46

Ejemplo 4a Diagrama de sectores:

Procedencia de los condenados en España durante el año 2008

EspañaResto de Unión EuropeaResto de EuropaResto del mundo

70,35%

8,76%

0,97%

19,92%

47

Ejemplo 4b Diagrama de rectangulos:

Procedencia de los condenados en España durante el año 2008

0

3

6

9

12

15

(X 10000)

Esp

aña

Res

to d

e U

nión

Eur

opea

Res

to d

e E

urop

a

Res

to d

el m

undo

48

(b) Para variables cuantitativas: Se realizan mediante un

sistema de ejes cartesianos representando en el eje de

abcisas los valores de la variable y en el de ordenadas

las frecuencias correspondientes.

49

Ejemplo 5 Se pretende estudiar la variable ′′edad de la

poblacion reclusa penada en enero de 2010 ′′

li−1 − li ni ci hi18− 21 638 3 0, 0035721− 26 7 226 5 0, 0242626− 31 12 450 5 0, 0418031− 41 20 694 10 0, 0347441− 61 17 035 20 0, 0142961− 70 1 523 9 0, 00284

N = 59 566

(hi =

ni

Nci

)

Fuente: Ministerio del Interior. Secretarıa General de Instituciones

Penitenciarias

50

Ejemplo 5a Histograma:

51

Ejemplo 6 Polıgono de frecuencias (Solo para intervalos

de igual amplitud). Consideremos la variable ′′edad de una

muestra correspondiente a 91 casos de alcoholemias posi-

tivas detectados por la Policıa Local de Estepona en el ano

2003 ′′

li−1 − li ni ci hi15− 25 17 10 0, 0186825− 35 28 10 0, 0307735− 45 22 10 0, 0241745− 55 18 10 0, 0197855− 65 5 10 0, 0054965− 75 1 10 0, 00109

N = 91

(hi =

ni

Nci

)

FUENTE: Boletın Criminologico. Instituto andaluz interuniversitario

de Criminologıa. Numero 80, junio-julio 2005

52

Ejemplo 6a Polıgono de frecuencias:

53

.

Medidas de posicion

Son valores que pretenden resumir las caracterısticas basi-

cas de la informacion disponible.

(a) Media aritmetica: x =

k∑i=1

xini

N=

k∑i=1

xifi

(b) Mediana: Me = li−1 +

N

2−Ni−1

Ni −Ni−1· ci

(c) Percentiles: Qr/k = li−1 +

r

k·N −Ni−1

Ni −Ni−1· ci

54

Ejemplo 7 (Datos correspondientes al Ejemplo 3)

li−1 − li xi ni Ni xini0− 360 180 22 22 3960

360− 720 540 21 43 11340720− 1080 900 8 51 72001080− 1440 1260 9 60 113401440− 1800 1620 13 73 210601800− 2160 1980 3 76 59402160− 2520 2340 1 77 2340Totales N = 77 63180

(a) x = 820,5195 penados (b) Me = 642,8571 penados(c) Q70/100 = 1196 penados

55

.

Medidas de dispersion

Se entiende por dispersion estadıstica a la mayor o me-nor separacion de los valores (datos) respecto a otro quepretende ser la sıntesis de ellos.

(a) Varianza: s2 =k∑i=1

(xi − x)2 ·ni

N=

k∑i=1

x2i ·ni

N− x2

(a’) A veces se usa tambien la cuasivarianza, definida por:

s2c =

k∑i=1

(xi − x)2 ·ni

N − 1. Evidentemente: s2 =

N − 1

N· s2c

(b) Desviacion tıpica: s = +√s2 = +

√√√√ k∑i=1

x2i ·ni

N− x2

(c) Coeficiente de variacion de Pearson: V =s

|x|

56

Ejemplo 8 (Datos correspondientes al Ejemplo 3)

li−1 − li xi ni xini x2ini

0− 360 180 22 3960 712800360− 720 540 21 11340 6123600720− 1080 900 8 7200 64800001080− 1440 1260 9 11340 142884001440− 1800 1620 13 21060 341172001800− 2160 1980 3 5940 117612002160− 2520 2340 1 2340 5475600Totales N = 77 63180 78958800

(a) s2 = 352 186,7431 penados2 (b) s2c = 356 820,7792 penados2

(c) s = 593,4532 penados (d) V = 0,7233

57

Capıtulo 3: ESTUDIO DESCRIPTIVO BIDIMENSIONAL

DE LA ACTIVIDAD CRIMINOLOGICA

3.1.-Introduccion

3.2.-Independencia de variables estadısticas

3.3.-Enunciado del problema

3.4.-Regresion lineal

3.5.-Correlacion

58

Seccion 3.1: Introduccion

59

La mayorıa de las variables que interesan en el mundo cri-

minologico suelen estar relacionadas entre sı, en mayor o

menor medida. Una vez que hemos realizado el estudio

de las distribuciones unidimensionales, obtenidas al estu-

diar una determinada caracterıstica sobre los elementos de

una poblacion, nos disponemos ahora a introducir las dis-

tribuciones bidimensionales, que surgen cuando analizamos

simultaneamente dos caracterısticas sobre cada elemento

de la poblacion.

Como ejemplo podemos considerar el gasto en actividades

de ocio de un centro penitenciario y el numero de reinci-

dencias de sus internos, o el grado de calidad de sus insta-

laciones y el grado de conflictividad, etc.

60

Supongamos que tenemos una poblacion cuyos elementos

son clasificados segun dos caracterısticas cuantitativas, que

llamaremos X e Y . Sus diferentes valores los represen-

taremos por xi e yj, respectivamente, con i = 1, 2, ..., k y

j = 1, 2, ..., h.

Se denomina distribucion bidimensional de frecuencias al

conjunto de valores (xi, yj;nij) i = 1, 2, ..., kj = 1, 2, ..., h

, donde nij es la

frecuencia absoluta conjunta del par (xi, yj) y N =k∑i=1

h∑j=1

nij

es la frecuencia total.

61

Para disponer los resultados podemos usar la llamada tabla

de correlacion, que es una tabla de doble entrada como la

siguiente:

yjxi

y1 y2 · · · yj · · · yh ni·

x1 n11 n12 · · · n1j · · · n1h n1·x2 n21 n22 · · · n2j · · · n2h n2·... ... ... · · · ... · · · ... ...xi ni1 ni2 · · · nij · · · nih ni·... ... ... · · · ... · · · ... ...xk nk1 nk2 · · · nkj · · · nkh nk·n·j n·1 n·2 · · · n·j · · · n·h N

donde ni· =h∑j=1

nij ; n·j =k∑i=1

nij ; N =k∑i=1

ni· =h∑j=1

n·j

62

.

Observaciones:

(a) Si dividimos cada frecuencia de la tabla anterior en-tre el numero total de elementos observados, N, ob-tendrıamos una nueva tabla, semejante a la primera,salvo que reflejarıa las proporciones o frecuencias rela-tivas. Llamaremos fij a la frecuencia relativa conjunta

del par (xi, yj), fij =nij

N. Analogamente se definicionnen

las frecuencias relativas marginales fi· =ni·N

=h∑j=1

fij y

f·j =n·jN

=k∑i=1

fij

(b) Como en el caso unidimensional, las distribuciones bidi-mensionales pueden venir expresadas con valores de lavariable agrupados en intervalos o sin agrupar. Tambienpuede ocurrir que las caracterısticas en estudio tengandistinta naturaleza.

63

Ejemplo 9 Un criminologo esta interesado en encontrar

la posible relacion existente entre la edad en la que un

delincuente juvenil comete su primer delito y su posterior

actividad criminal en la vida de adulto.

Concretamente esta interesado en encontrar ′′explicaciones′′

al numero de arrestos en edad adulta, Y , conociendo la edad

del primer arresto juvenil, X.

Los datos recogidos se presentan en la tabla siguiente:

xi 14 12 15 13 16 17 13 15 16 16 17 16yj 5 3 4 5 0 1 2 0 2 1 0 1

FUENTE: Datos no reales tomados de Elementary Statistics in Criminal

Justice Research

64

Escribiendo los datos en forma de una tabla de correlacion,

nos queda:

yjxi

0 1 2 3 4 5 ni·

12 0 0 0 1 0 0 113 0 0 1 0 0 1 214 0 0 0 0 0 1 115 1 0 0 0 1 0 216 1 2 1 0 0 0 417 1 1 0 0 0 0 2

n·j 3 3 2 1 1 2 N = 12

65

.A veces interesa estudiar aisladamente cada una de las va-riables. De esta forma obtendrıamos dos distribuciones uni-dimensionales, que serıan las correspondientes a cada unade las variables X e Y . A estas distribuciones se les llamadistribuciones marginales.

La distribucion marginal de X es la distribucion que sigue lavariable X independientemente de los valores de la variableY .

xi ni· fi·x1 n1· f1·x2 n2· f2·... ... ...xi ni· fi·... ... ...xk nk· fk·

N 1

donde ni· =h∑j=1

nij y fi· =ni·N

son, respectivamente, las frecuen-

cias absolutas y relativas margi-

nales de la variable X, con i =

1, 2, ..., k.

66

Analogamente se define la distribucion marginal de Y .

La distribucion marginal de Y es la distribucion que sigue la

variable Y independientemente de los valores de la variable

X.

yj n·j f·jy1 n·1 f·1y2 n·2 f·2... ... ...yj n·j f·j... ... ...yh n·h f·h

N 1

donde n·j =k∑i=1

nij y f·j =n·jN

son, respectivamente, las frecuen-

cias absolutas y relativas margi-

nales de la variable Y , con j =

1, 2, ..., h.

67

Las distribuciones marginales correspondientes a los datos

recogidos en el Ejemplo 9, son:

xi ni· fi·12 1 0,083

13 2 0,16

14 1 0,083

15 2 0,16

16 4 0.3

17 2 0,16N = 12 1

yj n·j f·j0 3 0,251 3 0,25

2 2 0,16

3 1 0,083

4 1 0,083

5 2 0,16N = 12 1

68

Otro tipo de distribuciones unidimensionales que se obtie-

nen a partir de las bidimensionales son las distribuciones

condicionadas. Son distribuciones que se obtienen mante-

niendo fijo un valor en una de las variables y considerando

los valores que toma la otra con sus respectivas frecuencias.

La distribucion condicionada de X respecto de Y = yj es

la distribucion que sigue la variable X cuando la variable Y

toma el valor yj.

69

xi/Y = yj ni/j fi/jx1 n1j f1/j

x2 n2j f2/j... ... ...xi nij fi/j... ... ...xk nkj fk/j

n·j 1

Se han escrito las frecuencias condi-

cionadas absolutas como ni/j (= nij)

y las frecuencias condicionadas rela-

tivas como fi/j =nij

n·j(proporcion de

valores, entre los que Y = yj, para

los cuales X = xi, con i = 1, 2, ..., k).

Observese que las frecuencias de la

distribucion X/Y = yj son las corres-

pondientes a la j-esima columna de la

tabla de correlacion.

70

De forma analoga se obtiene la distribucion condicionada

de Y respecto de X = xi, distribucion de los valores de Y

cuando X toma el valor xi.

La distribucion condicionada de Y respecto de X = xi es

la distribucion que sigue la variable Y cuando la variable X

toma el valor xi.

71

yj/X = xi nj/i fj/iy1 ni1 f1/i

y2 ni2 f2/i... ... ...yj nij fj/i... ... ...yh nih fh/i

ni· 1

Se han escrito las frecuencias condi-

cionadas absolutas como nj/i (= nij)

y las frecuencias condicionadas rela-

tivas como fj/i =nij

ni·(proporcion de

valores, entre los que X = xi, para

los cuales Y = yj, con j = 1, 2, ..., h).

Observese que las frecuencias de la

distribucion Y/X = xi son las corres-

pondientes a la i-esima fila de la tabla

de correlacion.

72

De entre todas las posibles distribuciones condicionadas co-

rrespondientes al Ejemplo 9, hemos seleccionado las dos

siguientes:

xi/Y = 2 ni/3 fi/312 0 013 1 0,514 0 015 0 016 1 0,517 0 0

n·3 = 2 1

yj/X = 16 nj/5 fj/50 1 0,251 2 0,52 1 0,253 0 04 0 05 0 0

n5· = 4 1

73

Seccion 3.2: Independencia de variables estadısticas

74

Diremos que X e Y dependen funcionalmente si podemos

establecer una aplicacion que nos transforme los valores de

una de las variables en los de la otra.

Diremos que X e Y dependen estadısticamente cuando la

variacion de una de las variables influye en la distribucion

de la otra.

75

Diremos que las variables X e Y son estadısticamente in-

dependientes si para todo (i, j) se verifica que

fij = fi·f·j

Si la igualdad no se verifica para algun par (i, j), diremos

que las variables son estadısticamente dependientes.

Para las variables X e Y del Ejemplo 9, como se verifica

que: f14 =1

126= f1·f·4 =

1

12·

1

12, deducimos que X e Y no

pueden considerarse independientes.

76

Seccion 3.3: Enunciado del problema

77

Para medir la asociacion lineal entre dos variables, X e Y ,

se definicionne la covarianza como:

sXY =k∑i=1

h∑j=1

(xi − x)(yj − y) ·nij

N=

k∑i=1

h∑j=1

xiyj ·nij

N− x · y

78

.

Si seguimos utilizando los datos del Ejemplo 9, para calcular

la sXY procedemos de la forma siguiente:

yjxi

0 1 2 3 4 5 ni· xini·

h∑j=1

xiyjnij

12 0 0 0 1 0 0 1 12 3613 0 0 1 0 0 1 2 26 9114 0 0 0 0 0 1 1 14 7015 1 0 0 0 1 0 2 30 6016 1 2 1 0 0 0 4 64 6417 1 1 0 0 0 0 2 34 17

n·j 3 3 2 1 1 2 N = 12 180 338

yjn·j 0 3 4 3 4 10 24

y, por tanto, sXY =k∑i=1

h∑j=1

xiyj ·nij

N− x · y =

338

12−

180

12·

24

12=

= −1,83

79

Cuando X e Y varıan conjuntamente de forma lineal, grafi-

cas (A) y (B), la covarianza sera alta. Cuando no exista

relacion entre X e Y , grafica (C), o exista una relacion

marcadamente no lineal, grafica (D), la covarianza sera ce-

ro.

(A) (B) (C) (D)

X

Y

0 4 8 12 16 20

3

5

7

9

11

X

Y

0 4 8 12 16 20

2,5

4,5

6,5

8,5

10,5

X

Y

0 4 8 12 16 20

3

5

7

9

11

X

Y

0 10 20 30 40

0

4

8

12

16

20

24

80

Si sXY > 0 ⇒ X e Y varıan de forma lineal en el mismo

sentido y diremos que hay asociacion lineal directa, (A).

Si sXY < 0 ⇒ X e Y varıan de forma lineal en sentido

opuesto, y presentan asociacion lineal inversa, (B).

Cuando sXY = 0, es decir haya ausencia de asociacion lineal,

diremos que las variables X e Y son incorreladas.

81

Como en nuestro ejemplo sXY = −1,83, podemos concluir

que las variables X e Y varıan de forma lineal en sentido

opuesto, y presentan asociacion lineal inversa.

La representacion grafica nos confirma esta conclusion:

12 13 14 15 16 17

0

1

2

3

4

5

82

Seccion 3.4: Regresion lineal

83

La regresion tiene por objeto poner de manifiesto, a par-

tir de la informacion de que se disponga, la estructura de

dependencia que mejor explique el comportamiento de una

variable Y (variable dependiente o explicada) a traves de

un conjunto de variables X1, X2, . . . , Xp (variables indepen-

dientes o explicativas), con las que se supone que esta re-

lacionada.

El caso que nos disponemos a estudiar es el mas senci-

llo, utiliza una sola variable explicativa, y se conoce como

Regresion Simple.

84

Una vez confirmado que la observacion de la nube de puntos

nos indica una cierta estructura de dependencia lineal entre

nuestros datos, la recta de regresion de Y sobre X es:

y = a+ bx

b =sXY

s2X

a = y − bx

Por tanto, la ecuacion de la recta que nos explicara el com-

portamiento de la variable Y conocido el de la X, puede ser

expresada como sigue:

rY/X ≡ y =

(y −

sXY

s2X

· x)

︸ ︷︷ ︸a

+sXY

s2X︸ ︷︷ ︸b

·x

85

Ejemplo 10 Los datos que han dado lugar a la nube de

puntos

X

Y

0 4 8 12 16 20

3

5

7

9

11

proporcionan los valores siguientes:

x = 10,4104; y = 3,1791; sXY = 8,5085; s2X = 29,3501

86

Por tanto, la ecuacion de la recta que nos explicara el com-

portamiento de la variable Y conocido el de la X, recta de

regresion de Y sobre X, es:

rY/X ≡ y = a+ bx =

(y −

sXY

s2X

· x)

+sXY

s2X

· x

rY/X ≡ y = 0,1611 + 0,2898x

X

Y

0 4 8 12 16 20

3

5

7

9

11

87

Seccion 3.5: Correlacion

88

La regresion nos ha proporcionado la forma funcional de larelacion entre dos variables. Pero es necesario analizar tam-bien la intensidad de esa relacion. El objetivo de la correla-cion es estudiar el grado de asociacion existente entre lasvariables, es decir, proporcionar unos coeficientes que nosmidan el grado de dependencia mutua entre las variables.

Diremos que la dependencia es ′′perfecta′′ o que existe unadependencia ′′funcional′′ entre las variables si todos los pun-tos del diagrama de dispersion se encuentran sobre la lıneade regresion.

Lineal intensa Lineal debil Lineal perfecta

X

Y

0 4 8 12 16 20

3

4

5

6

7

8

9

X

Y

0 4 8 12 16 20

2,5

4,5

6,5

8,5

10,5

X

Y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3,6

5,6

7,6

9,6

89

.

Cuanto mas lejos se encuentren dichos puntos de la lınea

de regresion, menor sera la intensidad de la dependencia

entre las variables consideradas.

6

-

xi

ej

Valor teorico → y∗j

Valor observado → yj

X

Y

•••

••• •

•

*•

Toda lınea de regresion debe ir acompanada de una medida

de la ′′bondad′′ o ′′representatividad′′.

90

.

La varianza residual es el coeficiente que mide la variabilidad

de los residuos o errores y viene dada por la expresion

s2rY

=k∑i=1

h∑j=1

(yj − y∗j )2 ·nij

N=

k∑i=1

h∑j=1

e2j ·nij

N

siendo los valores ej = yj − y∗j los residuos o errores.

(a) Valores grandes de s2rY

indican que, en promedio, los

errores ej = yj − y∗j son grandes, y como consecuencia,

la lınea de regresion es poco representativa.

(b) Valores pequenos de s2rY

indicarıan que, en promedio, los

errores ej = yj − y∗j son pequenos, y por tanto, la lınea

de regresion es representativa. La maxima representa-

tividad se tiene si ej = 0 para todo j, es decir, cuando

s2rY

= 0, que es el mınimo valor que la varianza residual

puede alcanzar.

91

.

La varianza residual tiene el inconveniente de que dependede las unidades de medida al cuadrado. Esto hace que nosea posible comparar el grado de dependencia entre gruposde variables expresadas en distintas unidades de medida.Necesitamos por tanto una medida adimensional.

Se define el coeficiente de determinacion como

R2 = 1−s2rY

s2Y

Al estar R2 definido por cociente entre varianzas es unparametro independiente de las unidades de medida. Es-to nos permitira comparar resultados entre las asociacionesde diferentes grupos de variables.

Otra ventaja de este coeficiente es que su rango de va-riacion es acotado, 0 ≤ R2 ≤ 1, ya que se verifica que0 ≤ s2

rY≤ s2

Y .

92

.

(a) Si el ajuste es perfecto, es decir, todos los puntos del

diagrama de dispersion se situan sobre la curva calculada

(s2rY

= 0), entones R2 = 1.

(b) Cuanto mayor sea la distancia de los puntos a la cur-

va, mayor es s2rY

y menor R2. El valor mınimo de este,

R2 = 0, se alcanza cuando s2rY

= s2Y , en cuyo caso no

se consigue ninguna explicacion de la variable Y rela-

cionandola con la X mediante la curva considerada.

Cuando el coeficiente de determinacion vale como mınimo

0,75, el modelo ajustado suele aceptarse. Si el coeficiente

es inferior a dicho valor, concluiremos que la relacion ele-

gida no es adecuada, debiendose ensayar con otro tipo de

funcion.

93

.

Se define el coeficiente de correlacion lineal como

r =sXY

sXsY

Este coeficiente nos proporciona el grado de asociacion

lineal entre las variables, y el tipo de dicha relacion.

Puede demostrarse que, en el caso lineal, se verifica que

R2 = r2.

Al verificarse que R2 = r2 y que 0 ≤ R2 ≤ 1, se tendra que

−1 ≤ r ≤ 1. El signo hace alusion al tipo (lineal directa o

lineal inversa) y su valor en terminos absolutos, a la inten-

sidad de la relacion.

94

Interpretacion del valor de r

-1 -0.87 -0.5 0 0.5 0.87 1

FuerteInversa↑

EscasaInversa↑

EscasaDirecta↑

FuerteDirecta↑

↓PerfectaInversa

↓Incorreladas

↓PerfectaDirecta

↓RegularInversa

↓RegularDirecta

95

Ejemplo 11 Comparemos los valores de R2 y r obtenidos

con los datos que nos han proporcionado las graficas si-

guientes:

Perfecta directa Fuerte directa Regular directa

X

Y

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3,6

5,6

7,6

9,6

X

Y

0 4 8 12 16 20

3

4

5

6

7

8

9

X

Y

0 4 8 12 16 20

2,5

4,5

6,5

8,5

10,5

R2 = 1 R2 = 0,9320 R2 = 0,6198r = +1 r = +0,9654 r = +0,7872

96

Capıtulo 4: SERIES TEMPORALES

4.1.-Introduccion

4.2.-Analisis de la tendencia de una serie temporal

4.3.-Analisis de la estacionalidad

97

Seccion 4.1: Introduccion

98

.

Llamamos serie temporal a una sucesion de observacionescuantitativas de un fenomeno, ordenadas en el tiempo.

En una serie temporal es esencial la ordenacion que el tiem-po induce en los datos. Esta ordenacion no puede variarse.

Vamos a considerar una serie temporal como una variablebidimensional (t, Yt), en la que una de las componentes, ladependiente, es la magnitud que queremos analizar, mien-tras que la independiente es el tiempo.

El analisis de una serie temporal debe iniciarse con unarepresentacion grafica en un sistema de ejes cartesianos.Representaremos en el de abcisas el tiempo, t, y en el deordenadas la magnitud observada, Yt. Con esto se consi-gue el diagrama de dispersion de la distribucion (ti, yti). Launion mediante segmentos de sus puntos nos proporcionaun ′′diagrama de sierra′′ del cual extraeremos las conclusio-nes iniciales sobre el comportamiento de nuestra serie.

99

Ejemplo 12 En la siguiente tabla se recogen las cifras re-

lativas a la poblacion reclusa existente en los diferentes

centros penitenciarios de Espana (Fuente: INE)

Meses 2002 2003 2004 2005 2006

Enero 48 398 52 547 56 814 59 668 61 447Febrero 49 031 53 091 57 725 59 966 61 930Marzo 49 685 53 525 58 068 60 078 62 426Abril 50 107 53 633 58 547 60 602 62 794Mayo 50 683 54 360 59 043 60 702 63 111Junio 50 961 54 770 59 125 60 887 63 552Julio 50 519 54 784 59 254 61 067 63 800Agosto 51 161 55 244 59 249 61 269 64 120

Septiembre 51 454 55 477 59 385 61 156 64 233Octubre 52 001 55 999 59 658 61 274 64 195

Noviembre 52 342 56 411 59 695 61 257 64 325Diciembre 51 882 56 096 59 375 61 054 64 021

100

Poblacion reclusa

1/02 1/03 1/04 1/05 1/06 1/07

48

51

54

57

60

63

66

(X 1000)

Serie temporal de la poblacion reclusa existente en los

diferentes centros penitenciarios de Espana

101

.

Supondremos que las series temporales estan formadas porcuatro componentes teoricas:

(a) Tendencia, Tt: evolucion de la serie a largo plazo.

(b) Estacional, Et: fluctuaciones de la serie que se producenen un periodo igual o inferior a un ano, y que se repro-ducen de manera reconocible en los diferentes anos. Sedeben a efectos de la climatologıa sobre la actividadeconomica o a algunos habitos sociales.

(c) Cıclica, Ct: oscilaciones que se producen con un periodosuperior al ano, debidas a la alternancia de etapas deprosperidad y depresion.

(d) Residual, rt: movimientos originados por fenomenos im-previsibles, como huelgas, catastrofes, etc., que afectana la variable de manera casual y no permanente.

102

¿Como se combinan las cuatro componentes teoricas para

formar la serie que observamos?. En el estudio clasico de

las series temporales se consideran los modelos siguientes:

(a) Modelo aditivo: Yt = Tt + Et + Ct + rt

(b) Modelo multiplicativo puro: Yt = Tt · Et · Ct · rt

(c) Modelo multiplicativo-aditivo: Yt = Tt · Et · Ct + rt

Para elegir uno u otro modelo existen varios metodos. En

el presente curso no vamos a profundizar en este tema y,

en todos los supuestos que vamos a estudiar se nos indi-

cara que modelo debemos utilizar.

103

Seccion 4.2: Analisis de la tendencia de una serie

temporal

104

.

Para realizar un estudio de la tendencia en una serie tem-poral, existen diferentes metodos. Vamos a desarrollar elque se conoce como Metodo de las medias moviles

Consiste en el suavizado de la serie dada, promediando susobservaciones con valores contiguos, anteriores y posterio-res, con lo que se consigue eliminar la componente residual.Para calcular medias moviles de orden o tamano p se pro-cede como sigue:

(a) La primera media movil se obtiene calculando la mediaaritmetica de las p primeras observaciones.

(b) Para calcular las siguientes, vamos excluyendo la primeraobservacion del grupo anterior e incluyendo la posteriora la ultima tomada.

(c) El proceso se repite hasta que no se puedan formar masgrupos que contengan p observaciones.

La tendencia sera la lınea quebrada que une las sucesivasmedias moviles.

105

Ejemplo 13

Usando medias moviles de orden 3,

ti yti Tendencia

t1 yt1

t2 yt2yt1 + yt2 + yt3

3= yt2

t3 yt3yt2 + yt3 + yt4

3= yt3

t4 yt4yt3 + yt4 + yt5

3= yt4

t5 yt5yt4 + yt5 + yt6

3= yt5

t6 yt6

La tendencia es la lınea quebrada que une los puntos

(t2, yt2), (t3, yt3), (t4, yt4) y (t5, yt5).

106

Debemos tener en cuenta que:

(a) Existen observaciones para las que no se dispone de

medias moviles.

(b) La eleccion del orden de las medias moviles no es facil, y

esta ligado a las periodicidades de las fluctuaciones que

se desean suavizar. Si los datos se refieren a perıodos

inferiores al ano, se aconseja tomar como valor de p

el numero de dichos perıodos. Cuando los datos de la

serie son anuales, y por tanto no existe componente

estacional, debemos tomar como orden el numero de

anos que comprenda un ciclo.

107

(c) A mayor orden de las medias moviles, mayor suaviza-

do, pero menor numero de observaciones para calculos

posteriores.

(d) Cuando se calculen medias moviles de orden par, las ob-

servaciones no quedaran centradas en el tiempo. Por ello

deberemos repetir el proceso a los promedios obtenidos

inicialmente, utilizando el orden 2.

108

Ejemplo 14

Usando medias moviles de orden 4,

ti yti yti Tendencia

t1 yt1t2 yt2

yt3

t3 yt3 yt3 =yt3 + yt4

2yt4

t4 yt4 yt4 =yt4 + yt5

2yt5

t5 yt5t6 yt6

La tendencia es la lınea que une los puntos (t3, yt3) y (t4, yt4).

109

Ejemplo 15 Durante el perıodo 1975-1986, la inversion en

instalaciones penitenciarias, expresada en millones de u.m.,

en cierto paıs fue la siguiente:

Anos 1975 1976 1977 1978 1979 1980Inversion 600 800 750 400 350 500

Anos 1981 1982 1983 1984 1985 1986Inversion 1 000 950 810 540 720 1 160

Suponiendo que la inversion considerada se comporta cıcli-

camente con perıodo de 4 anos, calculese la tendencia.

110

.

Segun se nos indica en el enunciado, debemos tomar como

valor de p el numero de anos que se supone comprende un

ciclo, es decir 4.

ti 1975 1976 1977 1978 1979 1980yti − − 606,25 537,5 531,25 631,25

ti 1981 1982 1983 1984 1985 1986yti 757,5 820 790 781,25 − −

111

Si el tamano del ciclo fuese 5, las medias moviles deberıan

calcularse de orden 5.

ti 1975 1976 1977 1978 1979 1980yti − − 580 560 600 640

ti 1981 1982 1983 1984 1985 1986yti 722 760 804 836 − −

112

Seccion 4.3: Analisis de la estacionalidad

113

En la gran mayorıa de las series temporales las fluctuacio-

nes debidas a la componente estacional, pueden provocar

una distorsion sobre la evolucion real de la misma. Debe-

mos, por tanto, identificar la componente estacional y a

continuacion eliminarla. A este procedimiento se la llama

desestacionalizacion. De igual manera que para el estudio

de la tendencia, para el analisis de la estacionalidad tam-

bien existen varios metodos. Nosotros usaremos el de las

medias moviles o metodo mecanico

114

.

Consta de los siguientes pasos:

(a) Determinamos la tendencia calculando las medias mo-

viles centradas en los perıodos, yti o yti . Para ello es-

cogeremos como orden de la media movil, p , el numero

de perıodos estacionales en que se divide el ano.

(b) Eliminamos de forma conjunta la tendencia y la compo-

nente cıclica de los datos originales yti.

(i) Si el modelo es aditivo, por diferencia:

yti − yti o yti − yti

(ii) Si el modelo es multiplicativo-aditivo, por cociente:

ytiyti

oytiyti

115

(c) Eliminamos la componente residual calculando los pro-

medios de los valores obtenidos en el apartado (b) para

cada perıodo estacional:

(i) Si el modelo es aditivo:

yej =1

qj

qj∑i=1

(y(j)ti− y(j)

ti) o yej =

1

qj

qj∑i=1

(y(j)ti− y(j)

ti)

donde qj es el numero de datos a promediar para el

j-esimo perıodo estacional y los sumandos son los va-

lores obtenidos en el apartado (b) para dicho perıodo.

Estos promedios son ya las diferentes componentes

estacionales. Es decir, ej = yej.

116

.

(ii) Si el modelo es multiplicativo-aditivo:

yej =1

qj

qj∑i=1

y(j)ti

y(j)ti

o yej =1

qj

qj∑i=1

y(j)ti

y(j)ti

siendo qj es el numero de datos a promediar para elj-esimo perıodo estacional y los sumandos son los va-lores obtenidos en el apartado (b) para dicho perıodo.Para obtener las componentes estacionales obtenemosla base, media aritmetica de los valores anteriores, conla que efectuaremos las comparaciones:

y =ye1

+ ye2+ . . .+ yep

p

Ası, las componentes estacionales seran

ej =yej

y,

llamadas tambien ındices de variacion estacional (IVE).

117

Ejemplo 16 La siguiente tabla recoge informacion sobre

el consumo de materia prima realizado por los estableci-

mientos penitenciarios de cierta Comunidad Autonoma en

el perıodo 1998-2003. Calculense las componentes estacio-

nales.

1998 1999 2000 2001 2002 2003

Trimestre 1 310 330 339 365 370 460Trimestre 2 290 305 320 355 375 401Trimestre 3 285 310 325 365 379 450Trimestre 4 330 345 360 390 400 500

118

(a) Determinamos la tendencia por el metodo de las medias

moviles de orden igual a 4, calculando las medias moviles

centradas, yti.

En un primer paso calculamos las medias moviles de

tamano 4 no centradas.

1998 1999 2000 2001 2002 2003

Trimestre 1318,75 332,25 361,25 378,50 427,75

Trimestre 2303,75 322,50 336,00 368,75 381,00 452,75

Trimestre 3308,75 324,75 342,50 370,00 403,50

Trimestre 4312,50 328,50 351,25 375,00 410,00

119

En un segundo paso calculamos las medias moviles de ta-mano 4 centradas, yti.

1998 1999 2000 2001 2002 2003

Trimestre 1 315,625 330,375 356,250 376,750 418,875Trimestre 2 320,625 334,125 365,000 379,750 440,250Trimestre 3 306,250 323,625 339,250 369,375 392,250Trimestre 4 310,625 326,625 346,875 372,500 406,750

120

.

(b) Eliminamos la tendencia y la componente cıclica de losdatos originales:

(i) Si el modelo es aditivo, haremos:

yti − yti

1998 1999 2000 2001 2002 2003

T1 14,375 8,625 8,750 −6,750 41,125T2 −15,625 −14,125 −10,000 −4,750 −39,250T3 −21,250 −13,625 −14,000 −4,375 −13,250T4 19,375 18,375 13,125 17,500 −6,750

(ii) Si el modelo es multiplicativo-aditivo, calcularemos:ytiyti

1998 1999 2000 2001 2002 2003

T1 1,04554 1,02610 1,02456 0,98208 1,09817T2 0,95126 0,95765 0,97260 0,98749 0,91084T3 0,93061 0,95789 0,95799 0,98815 0,96622T4 1,06237 1,05625 1,03783 1,04697 0,98340

121

.

(c) Eliminamos la componente residual calculando los pro-medios de los valores obtenidos en el apartado (b) paracada perıodo estacional, es decir, para cada trimestre:

(i) Si el modelo es aditivo:

Componente estacional: ej = yejTrimestre 1 13,225Trimestre 2 −16,750Trimestre 3 −13,300Trimestre 4 12,325

Si se supone que el incremento medio registrado enun trimestre considerado como ′′normal ′′ es 0 , en-tonces el consumo de materia prima por parte de laComunidad por el concepto considerado se ve incre-mentado en 13,225 unidades en los trimestres primerosy 12,325 unidades en los trimestres cuartos de cadaano. Por contra, en los trimestres segundo y tercerode cada ano el consumo de materia prima desciendeen 16,750 y 13,3 unidades, respectivamente.

122

.

(ii) Si el modelo es multiplicativo-aditivo:

Medias trimestrales: yejTrimestre 1 1,03529Trimestre 2 0,95596Trimestre 3 0,96017Trimestre 4 1,03736

A continuacion obtenemos la base, es decir, la media

de todos los valores anteriores:

y =ye1

+ ye2+ ye3

+ ye4

p=

3,98878

4= 0,9971

Por ultimo calcularemos las componentes estaciona-les

ej =yejy

Componente estacional: ejTrimestre 1 1,038202Trimestre 2 0,958648Trimestre 3 0,962870Trimestre 4 1,040277

123

.

Multiplicadas por cien, obtenemos la expresion porcentualde mas facil interpretacion:

e1 : 103,8202 %; e2 : 95,8648 %

e3 : 96,2870 %; e4 : 104,0277 %

El consumo de materia prima por parte de los estableci-mientos de la Comunidad se ve incrementado en un 3,8202 %

en los primeros trimestres y en un 4,0277 % en los trimestrescuartos de cada ano. Por contra, en los trimestres segundo ytercero de cada ano el consumo de materia prima desciendeen un 4,1352 % y en un 3,713 % , respectivamente.

124

Obtenidas las componentes estacionales, podemos deses-

tacionalizar la serie restandole a cada dato original de la

correspondiente estacion el valor de su componente estacio-

nal, si el modelo es aditivo, y dividiendo cada dato original

entre la correspondiente componente estacional expresada

en tantos por uno, en el caso multiplicativo-aditivo.

(i) Si el modelo es aditivo:

1998 1999 2000 2001 2002 2003

T1 296,775 316,775 325,775 351,775 356,755 446,775T2 306,750 321,750 336,750 371,750 391,750 417,750T3 298,300 323,300 338,300 378,300 392,300 463,300T4 317,675 332,675 347,675 377,675 387,675 487,675

125

(ii) Si el modelo es multiplicativo-aditivo:

1998 1999 2000 2001 2002 2003

T1 298,593 317,857 326,526 351,569 356,385 443,073T2 302,509 318,156 333,803 370,312 391,175 418,297T3 295,989 321,953 337,532 379,074 393,614 467,352T4 317,222 331,642 346,061 374,899 384,512 480,640

126

Serie desestacionalizada bajo el modelo

multiplicativo-aditivo

127

Capıtulo 5: LA UTILIZACION DE LA PROBABILIDAD

EN CRIMINOLOGIA

5.1.-Experimentos aleatorios. Definiciones

5.2.-Diversas concepciones de probabilidad

5.3.-Probabilidad condicionada

5.4.-Sucesos dependientes e independientes

128

Los protagonistas

Daniel Bernoulli (1700 - 1782)

Pertenecio a una de las familias mas singulares de

la historia de las ciencias. Al menos ochos de sus miembros

brillaron en diferentes campos de las matematicas. Daniel

destaco en ecuaciones diferenciales, calculo de probabilida-

des, mecanica, nautica, etc.

129

Blas Pascal (1623 - 1662)

Fue un genio precoz a quien su padre inicio muy

pronto en la geometrıa. Destaco en filosofıa, fısica y ma-

tematicas. Junto con Fermat, se considera iniciador de los

estudios de probabilidad tal y como los entendemos hoy en

dıa.

130

Pierre Fermat (1601 - 1665)

Matematico de gran importancia en el desarrollo

de la Teorıa de Numeros. En su correspondencia con Pascal

se situa el inicio del moderno calculo de probabilidades.

131

Andrei N. Kolmogorov (1903 - 1987)

Establecio las bases modernas de la teorıa axiomati-

ca de la probabilidad.

132

Seccion 5.1: Experimentos aleatorios. Definiciones

133

Definicion Los fenomenos aleatorios son aquellos en los

que no se puede predecir el resultado final incluso realizando-

se en las mismas condiciones.

Ejemplo 17 Son ejemplos de experimentos aleatorios el

lanzamiento de un dado equilibrado, la eleccion al azar de

un numero entre 0 y 1, consumo diario de agua de una

ciudad, etc...

Definicion La Teorıa de la Probabilidad estudia los meto-

dos de analisis que son comunes en el tratamiento de los

fenomenos aleatorios, cualquiera que sea el area en que

estos se presenten.

134

La correspondencia de Fermat con Pascal, consistente en

7 cartas entre julio y octubre de 1654, se considera el co-

mienzo del Calculo de Probabilidades. Concretamente las

misivas resolvieron el llamado Problema del Reparto:

′′Un jugador juega a que saca un seis de ocho tiradas,

pero despues de tres tiradas no lo ha conseguido y

la partida no se continua. ¿Que proporcion de la

apuesta total debe recibir? ′′

135

Definicion Se llama espacio muestral asociado a un experi-

mento aleatorio al conjunto formado por todos los posibles

resultados del experimento aleatorio. Suele representarse

por Ω.

Ejemplo 18 Consideremos el experimento aleatorio consis-

tente en lanzar un dado equilibrado de seis caras al aire y ob-

servar el numero de puntos que figuran en la cara superior.

Su correspondiente espacio muestral sera Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Definicion Se denomina suceso a todo subconjunto A del

espacio muestral, (A ⊆ Ω). Es un resultado en que se con-

creta el experimento.

136

Los sucesos suelen representarse por letras mayusculas: A,

B, C,...

Ejemplo 19 En el lanzamiento de un dado, son sucesos:

A= ′′sacar puntuacion par ′′ = 2, 4, 6;

B= ′′sacar puntuacion 2 ′′ = 2.

137

Existen distintos tipos de sucesos:

(a) Suceso imposible es aquel que no ocurre nunca. Se re-

presenta por ∅.

(b) Suceso seguro es aquel que ocurre siempre. Se repre-

senta por Ω.

(c) Suceso elemental es el formado por un solo punto mues-

tral.

(d) Suceso compuesto es el formado por mas de un punto

muestral.

138

.

Definicion Se llama espacio de sucesos, S, al conjunto

formado por todos los sucesos asociados al experimento

aleatorio en cuestion.

Ejemplo 20 Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 es el espacio muestral en el

lanzamiento de un dado de seis caras, entonces el espacio

de sucesos sera:

S = P (Ω) = ∅, 1, . . . , 6, 1, 2, . . . , 5, 6,

1, 2, 3, . . . , 3, 4, 5, 6, . . . , 2, 3, 4, 5, 6,Ω

Un suceso elemental es B= ′′sacar puntuacion 2 ′′ = 2.Un suceso compuesto es A= ′′sacar puntuacion par ′′ =

2, 4, 6.

139

.

Hemos establecido una correspondencia entre sucesos y

conjuntos. Vamos a recordar algunas operaciones y rela-

ciones entre conjuntos, que ahora, seran de interes para

trasladarlas a los sucesos.

Definicion Dado el suceso A de un espacio muestral Ω,

definimos suceso complementario de A, que se denota por

A, al suceso formado por todos los puntos muestrales que

no pertenecen a A.

A = ω ∈ Ω/ω /∈ A

El suceso A ocurre si y solo si no ocurre A.

Ejemplo 21 En el lanzamiento de un dado de seis caras

⇒ Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Entonces:

A= ′′sacar puntuacion par ′′ = 2, 4, 6 ⇒ A= ′′sacar pun-

tuacion impar′′ = 1, 3, 5140

.

Definicion Dados los sucesos A y B de un espacio muestralΩ, la union de ambos, que se denota por A∪B, es el sucesoformado por todos los puntos muestrales que pertenecenal menos a uno de los sucesos.

A ∪B = ω ∈ Ω/ω ∈ A o ω ∈ B

El suceso A∪B ocurre siempre que ocurra A o B o ambos.

Ejemplo 22 En el lanzamiento de un dado de seis caras,sean los sucesos A y B siguientes:

A= ′′sacar puntuacion par ′′ = 2, 4, 6

B= ′′sacar puntuacion mayor que 4 ′′ = 5, 6Entonces

A ∪B =′′sacar puntuacion par o puntuacion mayor que 4′′ = 2, 4, 5, 6

141

.Definicion Dados los sucesos A y B de un espacio muestralΩ, la interseccion de ambos, que denotamos por A ∩ B,es el suceso formado por todos los puntos muestrales quepertenecen a ambos sucesos.

A ∩B = ω ∈ Ω/ω ∈ A y ω ∈ B

El suceso A ∩B ocurre siempre que ocurran A y B.

Ejemplo 23 En el lanzamiento de un dado de seis caras,sean los sucesos A y B siguientes:

A= ′′sacar puntuacion par ′′ = 2, 4, 6

B= ′′sacar puntuacion mayor que 4 ′′ = 5, 6Entonces

A∩B = ′′sacar puntuacion par y puntuacion mayor que 4′′ = 6

142

.Definicion A y B son sucesos incompatibles o mutuamenteexcluyentes, si la ocurrencia simultanea de ambos es impo-sible, es decir: A ∩B = ∅.

Ejemplo 24 En el lanzamiento de un dado de seis caras,son incompatibles los sucesos:

A= ′′sacar puntuacion menor que 3 ′′ = 1, 2 y B= ′′sacarpuntuacion mayor que 4 ′′ = 5, 6

Observacion Un suceso y su complementario son siempresucesos incompatibles.

Leyes de De Morgan

(a) A ∪B = A ∩B

(b) A ∩B = A ∪B

143

Seccion 5.2: Diversas concepciones de probabilidad

144

.

Dado un suceso, A, perteneciente al espacio de sucesos

S asociado al espacio muestral Ω, la probabilidad trata de

asignar a A una medida teorica de la ocurrencia de A.

(a) DEFINICION CLASICA O DE LAPLACE (1812)

Deben establecerse dos hipotesis necesarias:

(i) El espacio muestral ha de ser finito, y

(ii) Todos los sucesos elementales han de ser igualmente

favorables

entonces se define la probabilidad del suceso A como

p(A) =numero de casos favorables a A

numero total de sucesos elementales posibles=](A)

](Ω)

145

Ejemplo 25 En el lanzamiento de un dado de seis caras

no cargado, consideremos Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sea el suceso

A= ′′sacar puntuacion menor que 3 ′′ = 1, 2, entonces:

p(A) =](A)

](Ω)=

2

6= 0.3

146

.

(b) DEFINICION FRECUENCIALISTA O DE VON MISES(1919)

Si repetimos un experimento N veces, llamamos fre-cuencia relativa del suceso A, que denotamos por f(A),al cociente entre el numero de veces que este se pre-senta y el total de pruebas. La frecuencia relativa no esmas que una medida relativa y empırica de la ocurrenciade un suceso.

Es un hecho comprobado empıricamente que, la fre-cuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse cuan-do el numero de pruebas aumenta. La definicion fre-cuencialista de probabilidad se basa en este hecho, yasigna como probabilidad al suceso A el numero:

p(A) = lımN→∞

f(A) = lımN→∞

n(A)

N=

= lımN→∞

frecuencia absoluta de A

numero total de pruebas

147

Estas conclusiones llevan el nombre de Primera Ley de los

Grandes Numeros: Cuando el numero de realizaciones de un

experimento aleatorio crece mucho, la frecuencia relativa

del suceso asociado se va acercando cada vez mas hacia un

cierto valor. Este valor se llama probabilidad del suceso.

148

(c) DEFINICION AXIOMATICA O DE KOLMOGOROV

(1933)

Dado el espacio de sucesos S asociado a un espacio

muestral Ω, se define una medida de probabilidad, p,

como una funcion:

p : S → [0, 1]

que verifique los siguientes axiomas:

Axioma 1: p(A) ≥ 0, ∀A ∈ S

Axioma 2: p(Ω) = 1

Axioma 3: p

⋃i

Ai

=∑i

p(Ai), ∀Ai ∈ S, Ai ∩Aj = ∅, i 6= j

149

Observacion Los axiomas anteriores permiten demostrar

las dos propiedades siguientes:

(a) p(A) = 1− p(A)

(b) p(A ∪B) = p(A) + p(B)− p(A ∩B)

Definicion Se denomina espacio probabilıstico a la terna

(Ω,S, p), donde S es el espacio de sucesos asociado al es-

pacio muestral Ω, y p es una medida de probabilidad.

150

Caso 1 El ciudadano norteamericano Wayne Williams fue

acusado de las muertes de dos hombres negros en Atlan-

ta, Georgia. La evidencia contra Williams consistıa en un

numero de fibras de moqueta encontradas sobre los cuer-

pos, que se parecıan a las fibras encontradas en su entorno.

Estas fibras pertenecen a un tipo de moqueta poco usual.

Un experto concluye que ese tipo de fibra solo se encuentra

en 10 areas del Estado. Asumiendo que las ventas han sido

iguales en las 10 areas y que solo se ha enmoquetado una

habitacion por casa, el experto cifra, por la cantidad de mo-

queta vendida, que solo 81 casas de Atlanta contenıan esa

fibra de 638992, luego si llamamos al suceso A= ′′la casa

seleccionada tiene la moqueta considerada ′′ entonces:

p(A) =81

638992= 0,0001267 u

1

8000

151

La habitacion de Wayne Williams tenıa moqueta con esa

fibra y el fiscal arguyo que ′′habıa solo una posibilidad so-

bre 8000 de que hubiera otra casa en Atlanta que tuviera

la misma moqueta que la casa de Williams′′. El acusado

finalmente serıa declarado culpable.

152

Seccion 5.3: Probabilidad condicionada

153

En los ejemplos que hemos planteado hasta ahora, siem-

pre hemos supuesto que cualquiera de los resultados puede

ocurrir en el experimento. La incorporacion de una infor-

macion adicional, como por ejemplo, el conocimiento de la

ocurrencia de otro suceso, puede hacer que determinados

resultados no puedan ocurrir, con lo que el espacio muestral

cambia y cambian las probabilidades.

154

.

Ejemplo 26 Supongamos el experimento consistente la ex-

traccion de una bola de un bolsa que contiene seis bolas

numeradas del uno al seis y observar el resultado obtenido.

El correspondiente espacio muestral es Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6, y

la probabilidad inicial del suceso A= ′′sacar numero primo′′

= 2, 3, 5 es:

p(A) =3

6=

1

2

Observacion Dado un numero entero n > 1, diremos que

n es un numero primo, si 1 y n son los unicos divisores

positivos de n. Por tanto los primeros numeros primos son

2, 3, 5, 7, 11, etc.

155

Supongamos ahora que las bolas correspondientes a los

numeros pares han sido introducidas en una bolsa de color

rojo y las correspondientes a los impares en una de color

amarillo. Seleccionamos al azar una de las dos bolsas re-

sultando seleccionada la roja. Si a continuacion extraemos

una bola de dicha bolsa, ¿que probabilidad hay de que la

cifra obtenida sea numero primo?

156

La informacion del color de la bolsa produce, en este caso,

una reduccion del espacio muestral a:

Ωroja = Ωpar = 2, 4, 6

con lo que,

p(A si se elegio bolsa roja) = p(A/puntuacion par) =1

3

Como vemos, en este caso, la informacion disponible ha

hecho disminuir la probabilidad.

157

Otras veces una informacion adicional aumenta dicha pro-

babilidad. Supongamos que el color de la bolsa seleccionada

hubiese sido amarilla, entonces:

Ωamarilla = Ωimpar = 1, 3, 5

y, por tanto,

p(A si se eligio bolsa amarilla) = p(A/puntuacion impar) =2

3

158

Definicion Cuando consideremos la probabilidad de ocu-

rrencia de un suceso A perteneciente a un espacio de su-

cesos sabiendo que ha acontecido otro suceso B, diremos

que estamos calculando la probabilidad de A condiciona-

da a B. Lo denotamos por p(A/B), donde A es el suceso

condicionado y B es el suceso condicionante.

159

En el ejemplo anterior podemos expresar la probabilidad de

obtener numero primo, habiendo obtenido cifra par como:

p(A/puntuacion par) =1

3=

1

63

6

=p(A ∩ puntuacion par)

p(puntuacion par)

y, la probabilidad de obtener numero primo, habiendo ob-

tenido cifra impar como:

p(A/puntuacion impar) =2

3=

2

63

6

=p(A ∩ puntuacion impar)

p(puntuacion impar)

160

Definicion Sea (Ω,S, p) un espacio probabilıstico y B un

suceso de S con probabilidad no nula, p(B) > 0. Sea A un

suceso cualquiera de S, llamaremos probabilidad del suce-

so A condicionada porque haya acontecido otro suceso B

o, sencillamente, probabilidad de A condicionada por B, al

cociente

p(A/B) =p(A ∩B)

p(B)

161

Teorema Sean A1, A2, . . . , An ∈ S tales que p(A1 ∩A2 ∩ . . .∩An−1) 6= 0 entonces

p(A1 ∩A2 ∩ . . . ∩An) =

= p(A1) · p(A2/A1) · p(A3/A1∩A2) · · · p(An/A1∩A2∩ · · · ∩An−1)

162

Ejemplo 27 De un lote de doce artıculos, de los cuales

cuatro son defectuosos, se toman tres artıculos escogidos

al azar uno tras otro sin reemplazamiento. Calcula la proba-

bilidad de que los tres artıculos sean no defectuosos. Sean

los sucesos

A1= ′′ el primer artıculo seleccionado es no defectuoso ′′

A2= ′′ el segundo artıculo seleccionado es no defectuoso ′′

A3= ′′ el tercer artıculo seleccionado es no defectuoso ′′

Entonces:

p(A1∩A2∩A3) = p(A1)·p(A2/A1)·p(A3/A1∩A2) =8

12·

7

11·

6

10=

14

55

163

Seccion 5.4: Sucesos dependientes e independientes

164

.

Ejemplo 28 Consideremos el experimento consistente en

lanzar un dado no cargado y sean los sucesos A y B siguien-

tes:

A= ′′ obtener cifra mayor que 2 ′′ = 3, 4, 5, 6 ⇒ p(A) =4

6

B= ′′ obtener cifra par ′′ = 2, 4, 6 ⇒ p(B) =3

6

A ∩B= ′′ obtener cifra par mayor que 2 ′′ = 4, 6 ⇒

p(A ∩B) =2

6, entonces

p(A/B) =p(A ∩B)

p(B)=

2

63

6

=2

3= p(A)

p(B/A) =p(B ∩A)

p(A)=

2

64

6

=2

4= p(B)

165

Como observamos, la informacion suministrada por el suce-so condicionante resulta indiferente en cuanto a la proba-bilidad de ocurrencia del suceso condicionado. Los sucesosA y B se diran independientes.

Definicion Sea el espacio probabilıstico (Ω,S, p) y sean A yB sucesos de S con p(B) > 0. Diremos que los sucesos A yB son independientes si se verifica que

p(A/B) = p(A)

O dicho de otra forma:

Definicion Diremos que dos sucesos A y B son indepen-dientes si y solo si se verifica que:

p(A ∩B) = p(A) · p(B)

166

Caso 2 En Miller v. State, 240 Ark. 340, 399 S.W.2d 268(1966), un experto testifico basado en las probabilidadesde los siguientes sucesos:

1. A1= ′′ Encontrar al azar una fibra de un determinadocolor′′, p(A1) = 1/10,

2. A2= ′′ Encontrar al azar una fibra de una determinadatextura′′, p(A2) = 1/100 y

3. A3= ′′ Encontrar al azar una fibra de una determinadadensidad′′, p(A3) = 1/1000

luego

p(A1∩A2∩A3) = p(A1) ·p(A2) ·p(A3) =1

10·

1

100·

1

1000=

1

1000000

167

por tanto, el acusado fue condenado en base a que la pro-

babilidad de encontrar al azar una fibra incriminatoria como

la encontrada sobre su ropa era de 1/1000000=0.000001.

En la corte de apelacion, la condena fue revocada por no

considerar adecuada tal probabilidad.

168

Caso 3 En Collidge v. State, 109 N.H. 403, 260 A. 2d 547

(1969). Un experto obtuvo fibras del vestido de la vıctima,

de la ropa del acusado y del automovil donde se creıa que un

crimen se habıa perpetrado. Estudios previos indican que la

probabilidad de encontrar partıculas similares en rastreos de

una serie de automoviles era de 1/10. El experto concluye

que si llamamos

A= ′′Encontrar 27 partıculas similares′′, entonces

p(A) =1

1027

Otro experto sostuvo que las 27 partıculas pueden no ser

independientes unas de otras, pero la corte opta por la

condena del acusado.

169

Teorema de la probabilidad total Dado un espacio proba-

bilıstico (Ω,S, p), si A1, A2, . . . , An ∈ S es una coleccion de

sucesos mutuamente excluyentes, todos con probabilidades

no nulas, y tales que Ω =n⋃i=1

Ai, se verifica para todo B ∈ S:

p(B) =n∑i=1

p(B/Ai) · p(Ai)

170

.

Teorema de Bayes Dado un espacio probabilıstico (Ω,S, p),

si A1, A2, . . . , An ∈ S es una coleccion de sucesos mutuamen-

te excluyentes, todos con probabilidades no nulas, y tales

que Ω =n⋃i=1

Ai, se verifica para todo B ∈ S:

p(Aj/B) =p(Aj ∩B)

p(B)=

p(B/Aj) · p(Aj)n∑i=1

p(B/Ai) · p(Ai)

, con j = 1, 2, . . . , n.

A las probabilidades p(Aj) se les llama probabilidades a prio-

ri, y son las probabilidades iniciales que tenemos de los su-

cesos Aj. Ante una determinada evidencia experimental, B,

corregimos el grado de creencia de las Aj obteniendo unas

nuevas probabilidades, p(Aj/B), llamadas probabilidades a

posteriori, a traves de las verosimilitudes, p(B/Aj).

171

.

Caso 4 US v. Lopez, 328 F. Supp. 1077 (EDNY 1971). En

1980 la administracion americana introduce un programa

para ayudar a identificar pasajeros con sustancias ilegales

en los aviones. Consideremos el suceso:

A= ′′ Una persona elegida al azar lleva sustancias ilegales′′

Supongamos que, aproximadamente, una persona de cada

25000 viajeros lleva una sustancia ilegal. Es decir que se

tiene que p(A) =1

25000= 0,00004, probabilidad llamada a

priori.

Para confirmar tal suposicion, usamos un test o prueba

que previamente ha sido evaluada sobre dos grupos de in-

dividuos, unos que llamaremos ′′afectados′′ (con sustancias

ilegales, en este caso) y otros que no.

172

Ası, se ha estimado de modo frecuencialista que el test tiene

una sensibilidad del 90 % y una especificidad del 99.95 %.

La sensibilidad de un test es la proporcion de individuos

afectados que son dados como positivos, correctamente,

por el test, es decir, p(+/A) = 0,90.

El termino tasa de falsos negativos hace referencia al com-

plementario de la sensibilidad.

Tasa de falsos negativos=1- sensibilidad=p(−/A) = 0,10

173

La especificidad de un test es la proporcion de individuos

de entre los no afectados que son dados como negativos,

correctamente, por el test, es decir, p(−/A) = 0,9995.

El termino tasa de falsos positivos hace referencia al com-

plementario de la especificidad.

Tasa de falsos positivos=1- especificidad=p(+/A) = 0,0005

A partir de lo anterior y usando el Teorema de Bayes, po-

demos calcular las probabilidades a posteriori (en funcion

de los resultados del test): los llamados valores predictivos

positivo y negativo.

Valor predictivo positivo=p(A/+)

Valor predictivo negativo=p(A/−)

174

.

Dos pasajeros muestran el perfil sospechoso. Son cachea-

dos, se les encuentra heroına y son arrestados. La pregunta

que hace la defensa es cual es la proporcion de personas

que llevan una sustancia ilegal supuesto que que el test los

ha calificado de ′′alto riesgo′′, es decir, supuesto que el test

ha sido positivo.

Aplicando el teorema de Bayes dicha probabilidad sera

p(A/+) =p(+/A) · p(A)

p(+/A) · p(A) + p(+/A) · p(A)=

=0,90 · 0,00004

0,90 · 0,00004 + 0,0005 · 0,99996= 0,067

es decir, un 6.7 % de individuos calificados como de alto

riesgo lleva sustancias ilegales.

175

Luego nuestra suposicion de que un 0,004 % de pasajeros

llevaban sustancias ilegales, es del 6,7 % una vez realizada

la prueba. Nuestra opinion a priori ha sido modificada por

el resultado del experimento.

La defensa arguye que esta proporcion es demasiado baja

para justificar un breve arresto de los detenidos.

176

.

Caso 5 En 1986 la administracion de Reagan declara el uso

de drogas incompatible con un empleo en la administracion

estadounidense y autoriza la realizacion de un test de orina

para los nuevos aspirantes a funcionarios o para los ya fun-

cionarios de los que se sospeche que consumen drogas. En

la orden se asegura que el test debe tener una sensibilidad

del 98 %, una especificidad del 95 % y se supone que el 1 %

de la poblacion laboral toma drogas.

Consideremos los sucesos

A= ′′una persona elegida aleatoriamente toma drogas′′

A= ′′una persona elegida aleatoriamente no toma drogas′′

+= ′′en una persona elegida al azar el test da positivo ′′

−= ′′en una persona elegida al azar el test da negativo′′

177

De estos sucesos conocemos

Las probabilidades a priori, que son p(A) = 0,01; p(A) = 0,99

La sensibilidad p(+/A) = 0,98;

La tasa de falsos negativos p(−/A) = 0,02;

La especificidad p(−/A) = 0,95;

La tasa de falsos positivos p(+/A) = 0,05.

178

.El valor predictivo positivo del test, es decir, la proporcionsobre todos los tests positivos que realmente se correspon-den con personas consumidoras de droga es de

p(A/+) =p(+/A) · p(A)

p(+/A) · p(A) + p(+/A) · p(A)=

=0,98 · 0,01

0,98 · 0,01 + 0,05 · 0,99= 0,1652

El valor predictivo negativo es de

p(A/−) =p(−/A) · p(A)

p(−/A) · p(A) + p(−/A) · p(A)=

=0,95 · 0,99

0,95 · 0,99 + 0,02 · 0,01= 0,9997

179

Capıtulo 6: MODELOS PROBABILISTICOS

ASOCIADOS A LA CRIMINOLOGIA

6.1.-Variables aleatorias

6.2.-Caracterısticas de las variables aleatorias

6.3.-Modelos probabilısticos

180

Seccion 6.1: Variables aleatorias

181

Ejemplo 29 Cierto establecimiento penitenciario contabili-

za el numero de accidentes laborales diarios. Los datos del

ultimo mes fueron:

Numero de accidentes 0 1 2 3 4

Numero de dıas 10 12 5 2 1

Considerando la variable estadıstica

X =′′ N0 de accidentes diarios ′′,

puede considerarse la distribucion de frecuencias:

xi 0 1 2 3 4

ni 10 12 5 2 1fi 1/3 2/5 1/6 1/15 1/30

182

Para dicha distribucion podemos calcular una serie de coe-

ficientes como por ejemplo x, Me, s2, etc... Estas medidas

empıricas tienen su fundamento en las frecuencias observa-

das de los valores de la variable.

Despues de observar el comportamiento de dicha variable

durante un numero elevado de meses, las regularidades ob-

servadas en las frecuencias relativas permiten la definicion

de una distribucion de probabilidad que trate de explicar el

comportamiento futuro del fenomeno.

xi 0 1 2 3 4

pX(xi) 1/3 2/5 1/6 1/15 1/30

183

De forma analoga al caso de la variable estadıstica podemos

resumir los aspectos mas relevantes de esta distribucion me-

diante una serie de medidas teoricas como por ejemplo la

esperanza, la mediana, la varianza, etc... Ası podemos rela-

cionar conceptos como los que se muestran en la siguiente

tabla:

Medidas Empıricas Medidas Teoricas

Frecuencia relativa ProbabilidadFrecuencia relativa acumulada Funcion de distribucion

Variable estadıstica Variable aleatoriaMedia aritmetica (x) Esperanza matematica (µ)

Varianza (s2) Varianza (σ2)

184

Ejemplo 30 Realicemos el experimento consistente en lan-zar una moneda no cargada dos veces. Su espacio muestralsera:

Ω = (c, c), (c,+), (+, c), (+,+)donde todos los puntos muestrales son equiprobables.

Nos fijaremos en una determinada caracterıstica numericadel experimento, como por ejemplo,

X=′′numero de caras obtenidas en los dos lanzamientos ′′.

Podemos considerar X como una aplicacion que asocia acada resultado del espacio muestral un valor numerico

X : Ω −→ R(c, c) −→ 2(c,+) −→ 1(+, c) −→ 1(+,+) −→ 0

185

Ademas, cada uno de estos valores se toma con una cierta

probabilidad inducida por la aleatoridad del fenomeno al que

esta asociado. Ası, podemos escribir, por ejemplo:

p[X = 0] = p[(+,+)] =1

4

p[X = 1] = p[(c,+) ∪ (+, c)] =1

4+

1

4=

1

2

p[X = 2] = p[(c, c)] =1

4

186

La nocion de variable aleatoria es la de una funcion que

asigna un valor numerico a cada suceso elemental. De este

modo trasladamos la probabilidad definida sobre sucesos a

subconjuntos de la recta real.

Definicion Sea (Ω,S, p) un espacio probabilıstico, se deno-

mina variable aleatoria (v.a.) a una aplicacion:

X : Ω −→ Rw ∈ Ω −→ X(w) ∈ R

187

Definicion Se denomina funcion de distribucion (f.d.D.)

de una variable aleatoria X a la funcion FX definida como

sigue:

FX : R −→ [0, 1]

FX(x) = p [X ≤ x] , ∀x ∈ R.

La funcion de distribucion de la variable aleatoria X describe

la acumulacion de probabilidad por la variable a lo largo de

la recta real. Tiene su antecedente en la frecuencia relativa

acumulada.

188

Definicion Una variable aleatoria X es discreta si el con-

junto de valores que puede tomar X con probabilidad no

nula es discreto (finito o infinito numerable)

Si la variable es discreta y toma pocos valores distintos,

podemos dar esos valores con sus probabilidades de for-

ma explıcita, pero si presenta muchos valores diferentes o

es de otro tipo, debemos apoyarnos en funciones que nos

resuman sus caracterısticas esenciales.

189

Definicion Se conoce como funcion de masa de proba-

bilidad o funcion de probabilidad de una variable aleatoria

discreta X que toma los valores x1, x2, . . . , xn, . . . con proba-

bilidades no nulas a la funcion

pX : R→ [0, 1]

definida por:

pX(x) =

p[X = xk], si x = xk, k = 1, 2, . . . , n, . . .0, en otro caso.

190

Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores

x1, x2, . . . , xn, . . . entonces se verifican las siguientes propie-

dades:

(a) 0 ≤ pX(xk) ≤ 1 para todo k.

(b)∑k

pX(xk) = 1.

(c) FX(x) = p[X ≤ x] =∑xk≤x

pX(xk).

(d) pX(xk) = FX(xk)− FX(xk−1).

191

Ejemplo 31 Consideremos el Ejemplo 30, y sea X=′′nume-

ro de caras obtenidas en dos lanzamientos de la moneda′′.Sus posibles valores son X = 0, 1, 2. Calculemos primero

FX en los posibles valores de X:

FX(0) = p [X ≤ 0] = p [X = 0] =1

4

FX(1) = p [X ≤ 1] = p [X = 0] + p [X = 1] =3

4FX(2) = p [X ≤ 2] = p [X = 0] + p [X = 1] + p [X = 2] = 1

Observemos que FX esta definida en todo el conjunto de

los numeros reales, por tanto:

FX(x) =

0, si x < 01/4, si 0 ≤ x < 13/4, si 1 ≤ x < 21, si x ≥ 2

192

.La representacion grafica de FX es la siguiente:

6

-

1 2

0.25

0.75

1

-

-

-

-

ee

ee

Observemos que los saltos de la funcion de distribucion seproducen justamente en los valores que toma la variable yson de amplitud igual a las probabilidades con que los toma.Es decir,

p[X = 0] = 0,25

p[X = 1] = 0,5

p [X = 2] = 0,25

193

Definicion Una variable aleatoria X con funcion de distri-

bucion FX se dice que es continua, si existe una funcion

fX(x) ≥ 0 tal que:

FX(x) = p [X ≤ x] =

∫ x

−∞fX(t) dt, ∀x ∈ R.

A fX(x) se le denomina funcion de densidad (f.d.d.) de la

variable aleatoria continua X.

194

Asociadas a la funcion de densidad tenemos las siguientespropiedades:

(a)

∫ +∞

−∞fX(t) dt = 1, (FX (+∞) = 1)

(b) fX(x) = F ′X

(x) , es decir, la f.d.d. puede obtenerse atraves de la f.d.D.

(c) p[X = a] = 0, ∀a ∈ R. (Como FX es continua, no tienesaltos)

(d) p[X ≤ b] = p[X < b] =

FX(b)∫ b

−∞fX(t) dt

195

(e) p[X > a] = p[X ≥ a] =

1− FX(a)∫ +∞

afX(t) dt

(f) p[a < X ≤ b] = p[a ≤ X < b] = p[a < X < b] =

= p[a ≤ X ≤ b] =

FX(b)− FX(a)∫ b

afX(t) dt

196

Seccion 6.2: Caracterısticas de las variables aleatorias

197

Definicion Sea X una variable aleatoria discreta que to-

ma los valores x1, x2, . . . , xn, . . . con probabilidades pX(xi) >

0. Llamaremos esperanza matematica, media, valor medio

o valor esperado de X, E[X], a:

E[X] =∞∑i=1

xi pX(xi) =∞∑i=1

xi p[X = xi]

Definicion Sea X una variable aleatoria continua con fun-

cion de densidad fX(x). Se llama esperanza matematica,

media, valor medio o valor esperado de X, E[X], a:

E[X] =

∫ +∞

−∞x fX(x) dx.

198

Definicion Sea X una variable aleatoria con media µ, con-

tinua con funcion de densidad fX(x) o discreta con funcion

de probabilidad pX(x). Se llama varianza de X a

V ar [X] =

∞∑i=1

(xi − µ)2 pX(xi), si X es discreta

∫ +∞

−∞(x− µ)2 fX(x) dx, si X es continua

199

Ejemplo 32 Un concesionario de automoviles, A, vende

2 coches la mitad de los dıas y 16 la otra mitad. Otro

concesionario, B, vende 8 coches la mitad de los dıas y 10

la otra mitad. Queremos calcular el numero de coches que

se espera que vendan cada uno de los concesionarios un dıa

cualquiera y dar una medida de la representatividad de la

citada medida.

Sean XA =′′numero de coches que vende el concesionario

A en un dıa ′′ y XB =′′numero de coches que vende el

concesionario B en un dıa ′′.

xi 2 16

pXA(xi) 0.5 0.5

xi 8 10

pXB(xi) 0.5 0.5

200

Calculemos la esperanza y la varianza de cada variable:

E[XA] = 2 · 0,5 + 16 · 0,5 = 9

E[XB] = 8 · 0,5 + 10 · 0,5 = 9

V ar[XA] = (−7)2 · 0,5 + 72 · 0,5 = 49

V ar[XB] = (−1)2 · 0,5 + 12 · 0,5 = 1

Ambos concesionarios venden por termino medio el mismo

numero de coches al dıa, pero para el concesionario B es-

te promedio puede considerarse mas representativo ya que

tiene una menor dispersion.

201

Seccion 6.3: Modelos probabilısticos

202

Una de las preocupaciones de los cientıficos dedicados al

Calculo de Probabilidades ha sido construir modelos de dis-

tribuciones de probabilidad que pudieran representar el com-

portamiento teorico de diferentes fenomenos aleatorios que

aparecen en el mundo real. Se puede observar como dife-

rentes distribuciones de probabilidad tienen una estructura

matematica parecida, es decir, responden a un mismo mo-

delo.

Una distribucion de probabilidad queda definida mediante

la especificacion de la variable, su campo de variacion y la

determinacion de sus probabilidades.

203

Si un conjunto de distribuciones tienen sus funciones de

definicion (funcion de distribucion, de densidad, de pro-

babilidad) con la misma estructura funcional, diremos que

pertenecen a la misma familia de distribuciones o al mismo

modelo de probabilidad.

La estructura matematica de las funciones de definicion de

las distribuciones de la misma familia, suele depender de

uno o varios parametros a los que llamaremos parametros

de la distribucion.

Las ventajas de trabajar con modelos es que podemos apli-

car unas formulas matematicas que permiten facilmente

calcular probabilidades.

204

La distribucion o modelo Binomial

Consideremos un experimento aleatorio que puede dar lu-

gar unicamente a dos resultados, A (llamado habitualmente

exito) y A (llamado habitualmente fracaso), con probabili-

dades de ocurrencia respectivas p y q (p+ q = 1).

Definicion Un experimento como el anterior recibe el nom-

bre de experimento de Bernouilli.

205

Supongamos que se realizan n repeticiones independientesde un experimento de Bernouilli con probabilidades de exitoy fracaso respectivas p y q que permanecen invariantes a lolargo de todo el proceso. Si estamos interesados en estudiarel numero de veces que ocurre el suceso A (exito) en lasn repeticiones del experimento, podemos definir la variablealeatoria siguiente:

X = ′′ numero de exitos que ocurren en las n pruebasindependientes ′′

Esta variable tiene como posibles valores

X = 0, 1, 2, . . . , ny su correspondiente funcion de probabilidad es

p[X = k] =

(n

k

)pkqn−k, para k = 0, 1, 2, . . . , n

206

A la distribucion de la variable anterior se la conoce con el

nombre de distribucion Binomial de parametros n y p , que,

simbolicamente representaremos por:

X B(n, p)

Sus principales caracterısticas son:

(a) E[X] = np

(b) V ar[X] = npq

207

Caso 6 La llamada Sexta Enmienda de la Constitucion de

los Estados Unidos expresa que:

′′Los paneles de jurados deben ser seleccionados de

una fuente representando una seccion cruzada justa

de la comunidad de la que el acusado forma parte.′′

En Whitus v. Georgia, 385 US 545 (1967), la poblacion de

raza negra constituıa el 27 % de donde se selecciona el ju-

rado. De una lista inicial se seleccionan al final 90 personas

que solo incluye a 7 personas de color. Se plantea cual es

la probabilidad de que se de tal hecho y si se ha producido

una rotura de la representacion racial.

208

Sea X =′′ numero de panelistas de raza negra de 90 ′′ B(90, 0,27)

p[X = 7] = 0,000003

Se hace notar que el jurado, que finalmente condena al

acusado, no tiene ninguna persona de color.

209

.

Caso 7 En Alexander v. Louisiana, 405 US 625 (1972),

para elegir un panel de jurados se repartieron una serie de

cuestionarios. De los 7374 que se devuelven, 1015 corres-

ponden a personas de color, es decir, solo un 13.76 %. Con

dichos cuestionarios se crea un panel revisado de posibles

jurados compuesto por 400 personas de las que solo 27 son

de raza negra.

Se considera la variable aleatoria:

X =′′ numero de panelistas de raza negra de 400 ′′

Teniendo en cuenta que X B(400, 0,1376), la corte calcula

la probabilidad de que el numero de personas de color se-

leccionadas sea menor o igual que 27 de una lista de 400,

cifrandose esta en:

p[X ≤ 27] = p[X = 0]+p[X = 1]+ · · ·+p[X = 27] = 0,0000069511

210

.

La distribucion o modelo de Poisson

Supongamos que se realiza un experimento consistente en

observar la aparicion de ciertos acontecimientos puntuales

o exitos que ocurren sobre un soporte continuo (tiempo,

espacio, longitud, etc...) con las siguientes condiciones:

(a) El numero medio de exitos a largo plazo es constante.

(b) Los exitos ocurren aleatoriamente de forma indepen-

diente.

A este tipo de experimentos se les llama procesos de Pois-

son y son ejemplos del mismo la llegada de clientes a cierta

ventanilla de un banco en una hora, los defectos que apa-

recen en cada rollo de cable, etc.

211

Para este tipo de procesos, podemos definir la variable:

X= ′′numero de exitos en un intervalo de amplitud

determinada ′′

que puede tomar como posibles valores

X = 0, 1, 2 . . .

con funcion de probabilidad

p[X = k] = e−λ ·λk

k!, para k = 0, 1, 2 . . .

212

Diremos que una variable de este tipo sigue una distribucion

de Poisson de parametro λ (λ > 0) y escribiremos

X P(λ)

Sus principales caracterısticas son:

(a) E[X] = λ

(b) V ar[X] = λ

213

Aproximacion de Poisson a la distribucionBinomial

Teorema Sea X una variable aleatoria con distribucion

B(n, p) se verifica que si

p ≤ 0,1 y np = λ < 5

la distribucion de X tiende a ser P(np).

214

.

Caso 8 En Avery v. Georgia, 345 US 559 (1953), un acu-sado de raza negra era condenado por un jurado compuestotodo por personas de raza blanca extraıdo de un panel de60 personas tambien todas blancas. Los nombres de estospanelistas son sacados de una caja que contienen papele-tas amarillas para las personas de color y papeletas blancaspara los blancos. El 5 % de las papeletas son amarillas yno es seleccionado para el panel ninguna papeleta amarilla.¿Cual es la probabilidad de que se de tal hecho?

Sea X =′′ numero de panelistas de raza negra de 60 ′′ B(60, 0,05) P(3)(aprox)

p[X = 0] =

0,046069,usando B(60, 0,05)0,049787,usando P(3)

En tal sentido un juez escribio: ′′No solamente los ojos, sinotambien la mente de la justicia, debe ser ciega para atribuiresta situacion a un mero hecho fortuito′′

215

.

La distribucion o modelo Normal

Podemos resumir la importancia de la distribucion Normal

diciendo que:

(a) Un gran numero de fenomenos reales pueden modelizar-

se con ella. Por ejemplo, las medidas fısicas del cuerpo

humano en una poblacion, las caracterısticas psıquicas

medidas por tests de inteligencia o personalidad, las me-

didas de calidad en muchos procesos industriales, etc.

(b) Muchas otras distribuciones pueden aproximarse me-

diante la distribucion Normal.

(c) Todas aquellas variables que puedan considerarse cau-

sadas por un gran numero de pequenos efectos tienden

a distribuirse como una distribucion Normal.

216

Definicion Se dira que la variable aleatoria X sigue una

distribucion Normal de parametros µ y σ si su funcion de

densidad es de la forma:

fX(x) =1

σ√

2π· e

−1

2

(x− µσ

)2

x ∈ R, σ > 0, µ ∈ R

Simbolicamente escribiremos

X N (µ, σ)

Sus principales caracterısticas son:

(a) E[X] = µ

(b) V ar[X] = σ2

217

Algunas aproximaciones mediante la dis-tribucion Normal

(a) Aproximacion de la distribucion binomial mediante la

distribucion Normal.

Teorema de De Moivre-Laplace Sea X una variable alea-

toria con distribucion B(n, p). Se verifica que si

p < 0,1 y np > 5 o 0,1 < p < 0,9 y n > 30

la distribucion de X tiende a ser N(np,√npq

).

218

(b) Aproximacion de la distribucion de Poisson mediante la

distribucion Normal.

Teorema Sea X una variable aleatoria con distribucion

P(λ). Se verifica que si

λ > 10

la distribucion de X tiende a ser N(λ,

√λ).

219