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Crittografia e numeri primi
IV incontrolunedì 29 novembre 2010
Piano Lauree Scientifiche
Questo messaggio non è più segreto.Testo da cifrare:
Elimino gli spazi :
Questomessaggiononèpiùsegreto.
Questomessaggiononepiusegreto
Per il nostro esempio possiamo pensare di eliminare accenti e punteggiatura,
Altrimenti dovremmo inserire altri caratteri…
Costruzione del messaggio cifrato 1:
Questo messaggio non è più segreto.Testo da cifrare:
Dvido il testo in blocchi di tre lettere :
Que sto mes sag gio non epi use gre toAggiungo un carattere finale per fare in modo che tutti i blocchi abbiano lo stesso numero di lettere (di solito si aggiungono tante x quanti sono i caratteri mancanti, noi possiamo aggiungere le z)
Costruzione del messaggio cifrato 2:
Questomessaggiononepiusegreto
Que sto mes sag gio non epi use gre toz
Questo messaggio non è più segreto.Testo da cifrare:
Costruzione del messaggio cifrato 3:
Que sto mes sag gio non epi use gre tozTraduco il messaggio utilizzando la tabella :
Que sto mes sag gio non141804 161712 100416 160006 060812 111211epi use gre toz 041308 181604 061504 171220
Questo messaggio non è più segreto.
Testo da cifrare:
Costruzione del messaggio cifrato 4:
141804 161712 100416 160006 060812 111211
041308 181604 061504 171220
Applico la funzione (Codice Cesare):
f : Z1000000 Z1000000 | [m] [m]+ [k]
k=909090
Questo messaggio non è più segreto.
Testo da cifrare:
Costruzione del messaggio cifrato 5:
141804 → 141804 + 909090 = 1050894 → 050894 161712 → 161712 + 909090 = 1070802 → 070802100416 160006 060812 111211041308 181604 061504 171220
Questo messaggio non è più segreto.
Testo da cifrare:
Costruzione del messaggio cifrato 6:
141804 161712 100416 160006 060812 111211 041308 181604 061504 171220
050894 070802 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310
Testo da decifrare:
Decifratura del messaggio cifrato 7:
050894 070802 009506 069096 969902 020301 950398 090694 970594 080310
f-1 : Z1000000 Z1000000 | [m’] [m’]+ [k’]
k’=1000000-k= =1000000-909090=090910
Determino la funzione inversa di decifratura
Testo da decifrare:
Decifratura del messaggio cifrato 8:
050894 → 050894 + 090910 = 141804 070802 → 070802 + 090910 = 161712 009506 069096969902 020301950398090694970594080310
Una volta convertito il messaggio numerico utilizzo nuovamente la tabella dei caratteri per tradurre
Questo messaggio non è più segreto.
Costruzione del messaggio cifrato 9:
141804 161712 100416 160006 060812 111211
041308 181604 061504 171220
Se invece avessi voluto utilizzare una funzione affine:
f : Z1000000 Z1000000 | [m] [a] [m]+ [b]
Devo verificare che MCD([a],[n])=1Devo calcolare [a]-1
Lavoriamo con numeri più semplici (costruiamo per esempio blocchi da due caratteri): n=1191, [a]=[46]
Utilizzando il metodo delle divisioni successive, calcola
MCD (1191, 46)
a b resto a = b * quoziente + resto
1191 46 1191 = 46 * +
= * +
= * +
= * +
a b resto a = b * quoziente + resto
1191 46 41 1191 = 46 * 25 + 41
46 41 5 46 = 41 * 1 + 5
41 5 1 41 = 5 * 8 + 1
5 1 0 5 = 1 * 5 + 0
MCD (1191, 46) = 1
MCD
Ricostruisci ora l’identità di Bézout:
= == == == == == == == =
Ricostruisci ora l’identità di Bézout:
MCD1 = 41 – 5*8 = 41 – (46 – 41*1)*8
= = 41 – 46*8 + 41*8= 41*9 – 46*8 = (1191 – 46*25)*9 – 46*8= = 1191*9 – 46*225 – 46*8 = 1191*9 – 46*233 =
In conclusione si può riscrivere:
1 = * + *MCD = s * a + t * b
Quindi l’inverso di 46, modulo 1191, è _______
Ricostruisci ora l’identità di Bézout:
MCD1 = 41 – 5*8 = 41 – (46 – 41*1)*8
= = 41 – 46*8 + 41*8= 41*9 – 46*8 = (1191 – 46*25)*9 – 46*8= = 1191*9 – 46*225 – 46*8 = 1191*9 – 46*233 =
In conclusione si può riscrivere:
1 = 9 * 1191 + – 233 * 46MCD = s * a + t * b
Quindi l’inverso di 46, modulo 1191, è [– 233 ] = [958]
Quanti sono gli elementi invertibili di Z5?
Quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p [a] [p] modulo 5?
Se n è primo, quanti sono gli elementi invertibili di Zn?
Se n è primo, quante sono le chiavi per cifrare con la moltiplicazione p [a] [p] modulo n?
Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 15 e tali che MCD (a, 3) > 1:
{ _______________________ }. Quanti sono? ______________
Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 15 e tali che MCD (a, 5) > 1:
{ _______________________ }. Quanti sono? ______________
Quanti sono i numeri a con 0 < a < 15 tali che MCD (a, 15) = 1
(quanti sono cioè gli invertibili in Z15)? ________________
Fai l’elenco degli a con 0 < a < 15 tali che MCD (a, 3) > 1 e MCD (a, 5) > 1:
{ _______________________ }. Quanti sono? ______________
Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 21 e tali che MCD (a, 3) > 1:
{ _______________________ }. Quanti sono? ______________
Fai l’elenco dei numeri a con 0 < a < 21 e tali che MCD (a, 7) > 1:
{ _______________________ }. Quanti sono? ______________
Quanti sono i numeri a con 0 < a < 21 tali che MCD (a, 21) = 1
(quanti sono cioè gli invertibili in Z21)? ________________
Fai l’elenco degli a con 0 < a < 21 tali che MCD (a, 3) > 1 e MCD (a, 7) > 1:
{ _______________________ }. Quanti sono? ______________
Sia n il prodotto di due primi distinti: n = p q
Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono
divisibili per p? ________________
Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che sono
divisibili per q? ________________
Quanti sono i numeri a con 0 < a < n che NON sono
coprimi con n? _____________________________
Quanti sono gli elementi invertibili in Zn?
Elevamento a potenza
: | [ ] [ '] [ ]n nf Z Z m m m
Potenze in Z5
Potenze in Z5
x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4
3 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4
4 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1
Osservazioni:1. gli esponenti pari non producono una funzione biunivoca2. ci sono colonne particolari [1]3. le potenze si ripetono con ciclicità – alcune funzioni coincidono…
Perché [m]2 non funziona?
[1]2=[1]
[n-1]2= (n-1)2=n2-2n+1
Potenze in Z5
[x]11=[x]4*2+3 =[x]4*2[x]3 ==([x]4)2[x]3==[1]2[x]3=[x]3
Potenze in Z7
x x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 x13 x14 x15
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4 1
3 3 2 6 4 5 1 3 2 6 4 5 1 3 2 6
4 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1 4 2 1
5 5 4 6 2 3 1 5 4 6 2 3 1 5 4 6
6 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6
Potenze Modulo 10
x x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 6 2 4 8 6 2 43 3 9 7 1 3 9 7 1 3 94 4 6 4 6 4 6 4 6 4 65 5 5 5 5 5 5 5 5 5 56 6 6 6 6 6 6 6 6 6 67 7 9 3 1 7 9 3 1 7 98 8 4 2 6 8 4 2 6 8 49 9 1 9 1 9 1 9 1 9 1
x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 12 4 8 5 10 9 7 3 6 13 9 5 4 1 3 9 5 4 14 5 9 3 1 4 5 9 3 15 3 4 9 1 5 3 4 9 16 3 7 9 10 5 8 4 2 17 5 2 3 10 4 6 9 8 18 9 6 4 10 3 2 5 7 19 4 3 5 1 9 4 3 5 1
12 1 10 1 10 1 10 1 10 1
Potenze in Z11
x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10 x^11 x^12 x^13 x^14 x^15 x^16 x^17 x^18 x^19 x^200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 4 8 16 11 1 2 4 8 16 11 1 2 4 8 16 11 1 2 43 3 9 6 18 12 15 3 9 6 18 12 15 3 9 6 18 12 15 3 94 4 16 1 4 16 1 4 16 1 4 16 1 4 16 1 4 16 1 4 165 5 4 20 16 17 1 5 4 20 16 17 1 5 4 20 16 17 1 5 46 6 15 6 15 6 15 6 15 6 15 6 15 6 15 6 15 6 15 6 157 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 78 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 1 8 19 9 18 15 9 18 15 9 18 15 9 18 15 9 18 15 9 18 15 9 18
10 10 16 13 4 19 1 10 16 13 4 19 1 10 16 13 4 19 1 10 1611 11 16 8 4 2 1 11 16 8 4 2 1 11 16 8 4 2 1 11 1612 12 18 6 9 3 15 12 18 6 9 3 15 12 18 6 9 3 15 12 1813 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 1 13 114 14 7 14 7 14 7 14 7 14 7 14 7 14 7 14 7 14 7 14 715 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 1516 16 4 1 16 4 1 16 4 1 16 4 1 16 4 1 16 4 1 16 417 17 16 20 4 5 1 17 16 20 4 5 1 17 16 20 4 5 1 17 1618 18 9 15 18 9 15 18 9 15 18 9 15 18 9 15 18 9 15 18 919 19 4 13 16 10 1 19 4 13 16 10 1 19 4 13 16 10 1 19 420 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1 20 1
Potenze modulo 21
Decifratura con Potenze in Z5
Quale potrebbe essere la funzione di decifratura?
x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4
3 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4
4 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1
33 : | [ ] [ '] [ ]n nf Z Z m m m
Decifratura con Potenze in Z5
13 : | [ '] [ ] [ ']kn nf Z Z m m m
3 1 mod 4k
x 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
x x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9 x^10
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4
3 3 4 2 1 3 4 2 1 3 4
4 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1
Decifratura con Potenze in Z5
Teorema di Fermat
![locandina Fabrizio.ppt [Ultimo salvataggio dell'utente] Fabrizio 1.pdf · LAUREE SCIENTIFICHE Umversità degli Studi di Siena Qipaptimento di Fisiça '"CVPIANO LAUREE SCIENTIFICHE](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5fb11cd4fdde351a7b72587d/locandina-ultimo-salvataggio-dellutente-fabrizio-1pdf-lauree-scientifiche.jpg)
