CRITTOGRAFIA E NUMERI PRIMI TFA A059 ANNA NOBILI OTTAVIANO ROSI

Cenni Storici

Nasce dall’esigenza di avere metodi efficienti per comunicare in modo segreto e sicuro.

La crittografia non mira a nascondere il messaggio in sé, ma il suo significato.

Il messaggio viene alterato per mezzo di un procedimento precedentemente concordato dal mittente e dal destinatario. Quest’ultimo può invertire il procedimento e ricavare il

testo originale.

Cenni Storici ♦ Plutarco Vite Parallele: gli efori, cioè i magistrati

che avevano il compito di controllare l'opera dei re ed erano responsabili della politica estera, trasmettevano ai generali messaggi segreti con un metodo molto ingegnoso. Mittente e destinatario facevano uso di due bastoni di legno cilindrici perfettamente uguali, cioè aventi lo stesso diametro e la stessa lunghezza; tale pezzo di legno era noto come scitala.

Cenni Storici

Nel Vecchio Testamento troviamo alcuni esempi di primitivi schemi di cifratura:

♦ l‘ Atbash, ♦ l‘ Albam, ♦ l‘ Atbah.

Cenni Storici ♦ATBASH: l'alfabeto viene scritto in ordine inverso di conseguenza, alla prima lettera

corrisponde l'ultima, alla seconda la penultima, …., e all'ultima la prima.

Graficamente:

Cenni Storici ♦ALBAM: l'alfabeto viene diviso in due parti uguali: 1° : A, B, C, …………, K, L, M

2° : N, O, P, …………, X, Y, Z. Ogni lettera viene sostituita con la lettera corrispondente nell'altra metà.

Graficamente

Cenni Storici ♦ATBAH: - le prime nove lettere vengono sostituite in modo che la somma delle posizioni della lettera sostituita e quella sostituente sia uguale a 10, - le altre nove lettere in maniera analoga con somma uguale a 28, - le ultime otto lettere in maniera analoga con somma uguale a 45.

Graficamente

Crittosistema Un crittosistema è una 5-pla (P, C, K, E, D) che soddisfa le seguenti condizioni: P = Insieme finito dei possibili testi veri, C = Insieme finito dei possibili testi cifrati, K = Insieme finito di possibili chiavi di codifica, E = Insieme delle funzioni di codifica che producono il testo cifrato a partire dal testo vero, D = Insieme delle funzioni di decodifica in grado di ricostruire il testo vero a partire dal testo cifrato, in modo tale che

∀𝑘 ∈ 𝐾 ∃𝑒𝑘 ∈ 𝐸, 𝑑𝑘∈ 𝐷: ∀𝑥 ∈ 𝑃 𝑑𝑘 𝑒𝑘 𝑥 = 𝑥

Si è soliti considerare P = C = 𝑍26

Ovvero ad ogni lettera dell’alfabeto in chiaro viene assegnato il numero 𝑥 ∈ 0, … , 25 corrispondente alla sua posizione nell’alfabeto. A, B, C, D, ……………………., X, Y, Z 0, 1, 2, 3, …………………….., 23, 24, 25

Protagonisti In generale, faremo comunicare tre personaggi:

Alice, Bob e Oscar

♦ Scopo di A e B è quello di comunicare attraverso un canale sicuro,

♦ Scopo del nemico O è quello di infrangere il crittosistema ovvero riuscire a determinare la chiave segreta k.

Crittografia a chiave simmetrica o privata ♦ In questi crittosistemi la chiave utilizzata per la

codifica del messaggio è la stessa utilizzata anche per la decodifica.

♦ Soltanto A e B sono in possesso di questa chiave. ♦ A e B devono aver stabilito in precedenza la chiave

di comune accordo.

Shift Cipher (crittosistema di scorrimento)

P = C = K = 𝑍26 Dati 𝑥 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾 𝑦 = 𝑒𝑘 𝑥 = 𝑥 + 𝑘 𝑚𝑚𝑑 26 𝑥 = 𝑑𝑘 𝑦 = 𝑦 − 𝑘 𝑚𝑚𝑑 26 Il sistema consiste in una semplice traslazione di

tutte le lettere dell’alfabeto di un numero prestabilito di posizioni, che costituisce la

chiave.

Esempio: C R I T T O S I S T E M A 2 17 8 19 19 14 18 8 18 19 4 12 0

𝑘 = 4

6 21 12 23 23 18 22 12 22 23 8 16 4

G V M X X S W M W X I Q E

Cenni Storici – Giulio Cesare ♦ Svetonio, nella Vita dei Cesari, racconta che lo Shift

Cipher è uno dei metodi usati dal grande condottiero. Nel Cifrario di Cesare la chiave scelta è

k = 3 Ogni singola lettera dell'alfabeto in chiaro viene trasposta nella terza che la segue.

Osservazioni ♦ |K| = |𝑍26| = 26 Il crittosistema viene infranto con una ricerca esaustiva delle chiavi! ♦ L’analisi del testo cifrato può fornirci informazioni sul

testo vero (se di senso compiuto!): - Analisi delle frequenze: nella lingua italiana le lettere più frequenti sono a,e,i mentre le meno usate q,z - Lettere consecutive identiche saranno molto probabilmente consonanti - La maggior parte delle parole termina con a,e,i,o

Aritmetica Modulare

Pietro, Alice e Mario vogliono giocare a nascondino e devono decidere chi si deve “accecare”. Fanno “la conta”.

Aritmetica Modulare

Pietro

Mario

Alice 4

1 3

Somma = 8 vince Alice

“Da Pietro ultimo Mario…. ”

Aritmetica Modulare

Pietro

Mario

Alice 1

2 2

Somma = 5 vince Alice

Riproviamo… “Da Pietro ultimo Mario…. ”

Aritmetica Modulare

Pietro

Mario

Alice 5

4 5

Somma = 14 vince Alice

Riproviamo… “Da Pietro ultimo Mario…. ”

Aritmetica Modulare

♦Le tre “conte” sono equivalenti: 8, 5, 14 danno infatti tutti lo stesso risultato, sono congruenti modulo 3. Siano a e b due interi e m un intero strettamente positivo, detto modulo. Si dice che a e b sono congruenti modulo m se m divide a – b. In simboli: 𝑎 ≡ 𝑏 𝑚𝑚𝑑 𝑚.

Affine Cipher (crittosistema affine)

P = C = 𝑍26 K = 𝑎, 𝑏 :𝑎 ∈ 𝑍26∗ , 𝑏 ∈ 𝑍26 Dati 𝑥 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾 𝑦 = 𝑒𝑘 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑚𝑚𝑑 26 𝑥 = 𝑑𝑘 𝑦 = 𝑎−1 𝑦 − 𝑏 𝑚𝑚𝑑 26

Per garantire l’esistenza dell’elemento 𝑎−1, inverso moltiplicativo di a, e quindi il corretto funzionamento della funzione di decodifica è necessario che a appartenga al gruppo degli invertibili di 𝑍26.

Osservazioni ♦ |𝑍26| = 26 ♦ |𝑍26∗ | = 𝜑(26) = 12

♦ |K| = 12 ∙ 26

Nuovamente, il crittosistema viene infranto con una ricerca esaustiva delle chiavi!

Substitution Cipher (crittosistema di sostituzione)

P = C = 𝑍26 K = 𝑆𝑦𝑚26 Dati 𝑥 ∈ 𝑃,𝜎 ∈ 𝐾 𝑦 = 𝑒𝜎 𝑥 = 𝜎 𝑥 𝑥 = 𝑑𝜎 𝑦 = 𝜎−1 𝑦

Il sistema consiste nell’applicare una permutazione su 26 elementi durante la codifica

del messaggio e nell’applicare la sua inversa durante la decodifica.

Esempio: C R I T T O S I S T E M A 2 17 8 19 19 14 18 8 18 19 4 12 0

𝑘 = 𝜎 =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 252 4 5 9 7 8 1 0 3 6 19 11 21 16 23 12 20 10 18 14 22 13 25 24 17 15

5 10 3 14 14 23 18 3 18 14 7 21 2

F K D O O X S D S O H V C

Osservazioni ♦ |K| = |𝑆𝑦𝑚26| = 26! Nuovamente, il crittosistema viene infranto con una ricerca esaustiva delle chiavi! ♦ CRITTOSISTEMI MONOALFABETICI: Ogni lettera è cifrata indipendentemente dalla posizione che occupa nel messaggio da inviare CRITTOSISTEMI POLIALFABETICI: La cifratura della lettera dipende dalla posizione che occupa nel messaggio da inviare

Crittosistema di Vigenère P = C = K = 𝑍26𝑚 con 𝑚 ∈ 𝑍 lunghezza del messaggio Dati 𝑥 = 𝑥1, … , 𝑥𝑚 ∈ 𝑃 𝑘 = 𝑘1, … , 𝑘𝑚 ∈ 𝐾

𝑦 = 𝑒𝑘 𝑥 = 𝑥1 + 𝑘1, … , 𝑥𝑚 + 𝑘𝑚 𝑚𝑚𝑑 26 𝑥 = 𝑑𝑘 𝑦 = 𝑦1 − 𝑘1, … ,𝑦𝑚 − 𝑘𝑚 𝑚𝑚𝑑 26 Il sistema consiste nell’applicazione di più shift

cipher distinti, ciascuno su ogni lettera.

Esempio: C R I T T O S I S T E M A 2 17 8 19 19 14 18 8 18 19 4 12 0

𝑘 = 2, 15, 21,3,0,16,11,5,4,7,13,4,2 ∈ 𝑍2613

4 6 3 22 19 4 3 13 22 0 17 16 2

E G D W T E D N W A R Q C

Osservazioni ♦ |K| = |𝑍26𝑚 | = 26𝑚 Il crittosistema venne infranto nella seconda metà del 1800! ♦ L’analisi del testo cifrato non riesce più a fornirci

informazioni sul testo vero (anche se di senso compiuto!):

- A lettere uguali del testo cifrato non è detto corrispondano lettere uguali del testo vero - Lettere consecutive identiche non è detto siano consonanti

Permutation Cipher P = C = 𝑍26𝑚 con 𝑚 ∈ 𝑍 lunghezza del messaggio K = 𝑆𝑦𝑚𝑚 Dati 𝑥 = 𝑥1, … , 𝑥𝑚 ∈ 𝑃, σ ∈ 𝐾

𝑦 = 𝑒𝜎 𝑥 = 𝑥𝜎 1 , … , 𝑥𝜎 𝑚

𝑥 = 𝑑𝑘 𝑦 = 𝑦𝜎−1 1 , … , 𝑥𝜎−1 𝑚

Il sistema consiste nell’applicare la permutazione alle posizioni delle lettere e spostarle di conseguenza.

Il messaggio cifrato è, a tutti gli effetti, un anagramma del messaggio originale.

Esempio: C R I T T O S I S T E M A 2 17 8 19 19 14 18 8 18 19 4 12 0

2 8 14 17 19 8 19 18 19 0 12 18 4

C I O R T I T S T A M S E

Osservazioni

♦ |K| = |𝑆𝑦𝑚𝑚 | = m! Nuovamente, il crittosistema viene infranto con una ricerca esaustiva delle chiavi!

Cenni Storici - Enigma

Molto simile ad una macchina da scrivere, fu inventata nel 1918 da Arthur Scherbius.

Fu utilizzata dal servizio delle forze armate tedesche durante la seconda Guerra Mondiale. I crittografi britannici e il gruppo di lavoro del matematico inglese Alan Turing, con la collaborazione del matematico polacco Marin Rejewsky e l'aiuto di calcolatori elettromeccanici detti "bombes", permisero all'Intelligence inglese di decifrare importanti messaggi in codice dell'esercito del Reich.

Struttura di Enigma

Prova tu!

Crittografia a chiave asimmetrica o pubblica ♦ A e B sono in possesso di due chiavi diverse per la

codifica e la decodifica del messaggio. ♦ La chiave utilizzata per la codifica del messaggio è

pubblica, mentre la chiave utilizzata per la decodifica è privata.

♦ Chiunque può utilizzare la chiave pubblica per criptare un messaggio, ma solo il proprietario della chiave segreta sarà in grado di leggerne il contenuto.

♦ A e B non hanno più una chiave comune da dover stabilire in precedenza o comunicarsi in maniera sicura.

Metodo dello scambio di chiavi di Diffie - Hellman ♦ A e B scelgono pubblicamente un gruppo finito G

e un elemento 𝑔 ∈ 𝐺, ♦ A sceglie privatamente un intero a e calcola 𝑐 = 𝑔𝑎 ∈ 𝐺,

♦ B sceglie privatamente un intero b e calcola 𝑑 = 𝑔𝑏 ∈ 𝐺,

♦ A invia a B l’elemento c così ottenuto, ♦ B invia a A l’elemento d così ottenuto,

A questo punto:

♦ A riceve d e calcola 𝑘 = 𝑑𝑎 = 𝑔𝑏 𝑎 = 𝑔𝑏𝑎 ♦ B riceve c e calcola 𝑘 = 𝑐𝑏 = 𝑔𝑎 𝑏 = 𝑔𝑎𝑏

Chiaramente, A e B ottengono lo stesso risultato

che può essere utilizzato direttamente come chiave senza bisogno di averla precedentemente

stabilita!

Il crittosistema RSA

Uno dei cifrari asimmetrici più conosciuti è l’algoritmo RSA, acronimo formato dalla prima lettera dei cognomi di coloro che lo inventarono nell'aprile del 1977 segnando una svolta nella storia della Crittografia: Ronald L. Rivest, Adi Shamir Leonard M. Adleman.

A genera le sue chiavi pubbliche e private… ♦ A genera due numeri primi distinti p e q segreti e

calcola il prodotto 𝑛 = 𝑝𝑝 che viene reso pubblico ♦ A calcola 𝜑 𝑛 = (𝑝 − 1)(𝑝 − 1) segreta ♦ A sceglie un intero b: 1 < 𝑏 < 𝜑(𝑛) 𝑏,𝜑 𝑛 = 1 L’intero b è pubblico ♦ A calcola un intero a: 𝑎𝑏 ≡ 1 𝑚𝑚𝑑 𝜑(𝑛) L’intero a è segreto

Ricapitolando:

Ogni utente del sistema ha, quindi, una coppia di chiavi pubbliche che vengono pubblicate da un ente

che ne garantisce l’autenticità.

Utilizzando queste chiavi, che chiunque può leggere, è possibile cifrare un messaggio che può essere

decodificato solo dal possessore delle chiavi pubbliche con cui è stato cifrato!

Utente Chiave pubblica Chiave privata A (𝑛, 𝑏) (𝑝, 𝑝, 𝑎)

B invia un messaggio cifrato ad A… ♦ B legge la chiave pubblica di A

♦ B codifica il messaggio m utilizzando la chiave pubblica di A, calcolando

𝑐 ≡ 𝑚𝑏 𝑚𝑚𝑑 𝑛 ♦ B invia il messaggio cifrato c ad A

Chiave pubblica (𝑛, 𝑏)

A decodifica il messaggio ricevuto…

♦ A riceve il messaggio cifrato c da B ♦ A decodifica il messaggio, utilizzando la sua

chiave privata, calcolando 𝑚 ≡ 𝑐𝑎 𝑚𝑚𝑑 𝑛

Infatti 𝑚 ≡ 𝑚𝑏 𝑎 𝑚𝑚𝑑 𝑛 𝑚 ≡ 𝑚𝑏𝑎 𝑚𝑚𝑑 𝑛 ricordando che 𝑎𝑏 ≡ 1 𝑚𝑚𝑑 𝜑(𝑛).

Il crittosistema RSA P = C = 𝑍𝑛 dove 𝑛 = 𝑝𝑝 K = 𝑛,𝑝, 𝑝, 𝑎, 𝑏 : 𝑎𝑏 ≡ 1 𝑚𝑚𝑑 𝜑(𝑛) Dati 𝑥 ∈ 𝑃, 𝑘 ∈ 𝐾 𝑦 = 𝑒𝑘 𝑥 = 𝑥𝑏 𝑚𝑚𝑑 𝑛 𝑥 = 𝑑𝑘 𝑦 = 𝑦𝑎 𝑚𝑚𝑑 𝑛 Infatti 𝑦𝑎 ≡ 𝑥𝑏𝑎 𝑚𝑚𝑑 𝑛 𝑦𝑎 ≡ 𝑥(𝑡𝑡 𝑛 +1) 𝑚𝑚𝑑 𝑛

𝑦𝑎 ≡ 𝑥𝑡 𝑛 𝑡𝑥 𝑚𝑚𝑑 𝑛

𝑦𝑎 ≡ 𝑥 𝑚𝑚𝑑 𝑛

Osservazioni

♦ I primi distinti p e q sono dell’ordine di almeno 2300. ♦ Gli utenti A e B non devono scambiarsi nessuna chiave

in maniera sicura. ♦ L’algoritmo RSA viene considerato sicuro perché si

ritiene che solo individuando i fattori primi della chiave pubblica n sia possibile decifrare il messaggio.

Tale problema è ritenuto ancora oggi irrisolvibile. ♦ Anche il calcolo della funzione di Eulero, senza

conoscere i fattori primi di n, comporta una complessità paragonabile alla fattorizzazione.

RSA resta, ad oggi,

un cifrario inviolato!

A dire il vero… La mole di calcoli aritmetici (elevamento a potenza in un’aritmetica finita) per numeri

così grandi si traduce in una lentezza computazionale del processo di codifica

RSA è di solito utilizzato per trasmettere la chiave segreta di un crittosistema a chiave

privata con cui viene codificato il messaggio

Fondamenti teorici - I numeri primi

Risultati fondamentali: ♦ Esistenza di infiniti numeri primi ♦ Teorema fondamentale dell’aritmetica

Sappiamo ancora molto poco sui numeri primi: ♦ Non si conosce una formula che permetta di generare

numeri primi ♦ Non si conosce la distribuzione dei numeri primi ♦ Non si conoscono metodi veloce per stabilire se un

numero è primo (test di primalità) ♦ Non si conoscono metodi veloci di fattorizzazione

Fondamenti teorici – La funzione di Eulero

La funzione di Eulero associa ad ogni numero n il numero dei numeri interi coprimi con n e minori di n, compreso l’1.

Es. 𝜑 18 = 6 I numeri coprimi con 18 sono 1, 5, 7, 11, 13, 17 Risultati fondamentali:

♦ 𝜑 𝑛 = 𝑛 1 − 1𝑛1

… 1 − 1𝑛𝑡

dove 𝑛1, … ,𝑛𝑡 sono i

fattori primi distinti di n ♦ 𝜑 𝑝 = 𝑝 − 1 con p primo ♦ 𝜑 𝑝𝑝 = (𝑝 − 1) 𝑝 − 1 con p, q primi

Fondamenti teorici – Eulero, Fermat

Piccolo teorema di Fermat: Dato un intero p primo, per ogni intero a si ha che

𝑎𝑝 ≡ 𝑎 𝑚𝑚𝑑 𝑝

Il Teorema di Eulero - Fermat: Dati due interi qualsiasi a,n tali che 𝑎,𝑛 = 1 si ha che

𝑎𝑡(𝑛) ≡ 1 𝑚𝑚𝑑 𝑛

Fondamenti teorici – Il Teorema cinese del resto Se 𝑚,𝑛 ∈ 𝑍 soddisfano 𝑚,𝑛 = 1, il sistema di congruenze

� 𝑥 ≡ 𝑎 𝑚𝑚𝑑 𝑚𝑥 ≡ 𝑏 𝑚𝑚𝑑 𝑛

Ammette soluzione per ogni scelta di 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 , che è unica modulo mn. Il cifrario RSA deve fare calcoli modulo pq, dove p e q sono numeri primi molto grandi! Il teorema cinese del resto permette di fare calcoli in modulo p e q con una sensibile riduzione di tempi.