70
Universitatea OVIDIUS Constanţa Departamentul ID-IFR Facultatea Matematica-Informatica ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE Caiet de Studiu Individual Specializarea IEDM Anul de studii I Semestrul I Titular disciplină: Prof. univ. dr. EDUARD-MARIUS CRACIUN 2010

CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Universitatea OVIDIUS Constanţa Departamentul ID-IFR Facultatea Matematica-Informatica

ELEMENTE DE

ANALIZA MATEMATICA SI

MATEMATICI SPECIALE

Caiet de Studiu Individual

Specializarea IEDM Anul de studii I

Semestrul I

Titular disciplină: Prof. univ. dr. EDUARD-MARIUS CRACIUN

2010

Page 2: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Cuprins

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

2

ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE

CUPRINS

Unitate de

învăţare 1 2 3

4

5

Titlul INTRODUCERE 1 RECAPITULAREA UNOR NOŢIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATICĂ DE LICEU 1.1 Mulţimi. 1.2 Funcţii Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1 2 SPAŢII METRICE 2.1 Definiţii şi exemple 2.2 Spaţii metrice particulare Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 2 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 2 SIRURI DE NUMERE 3.1 Siruri de numere: definiţie şi exemple 3.2 Criterii de convergenţă Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 3 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 3 SERII DE NUMERE 4.1 Serii numerice 4.2 Criterii de convergenţă Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 4 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 4 LIMITE DE FUNCŢII 5.1 Limita unei funcţii într-un punct Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 5 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 5

Pagina

6

8

8 9

11 11 11

13 13 14 16 16 17

19 19 20 21 21 21

23 23 24 25 26 26

28 28 29 29 30

Page 3: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Cuprins

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

3

6

7

8

9

10

11

12

FUNCŢII CONTINUE 6.1 Funcţii continue pe spaţii metrice Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 6 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 6 DERIVATE PARŢIALE SI DIFERENŢIALA DE ORDINUL ÎNTÂI 7.1 Derivate parţiale de ordinul întâi Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 7 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 7 DERIVATE PARŢIALE SI DIFERENŢIALE DE ORDIN SUPERIOR 8.1 Derivate parţiale de ordin superior 8.2 Derivata dupa un versor Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 8 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 8 EXTREME LIBERE 9.1 Puncte de extrem local 9.2 Algoritm de determinare a punctelor de extrem local Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 9 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 9 EXTREME CU LEGĂTURI 10.1 Extreme condiţionate 10.2 Multiplicatorii lui Lagrange. Exemplu Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 10 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 10 INTEGRALA RIEMANN 11.1 Sume Riemann. 11.2 Clase de funcţii integrabile Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 11 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 11 INTEGRALE IMPROPRII 12.1 Integrale improprii de speţa I Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 12 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare

32 32 33 33 33

35 35 36 37 37

39 39 40 41 41 42

44 44 44 46 46 47

49 49 50 51 51 52

54 54 55 56 56 56

58 58 60 60

Page 4: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Cuprins

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

4

13

14

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 12 INTEGRALE DUBLE 13.1 Definiţia integralei duble. Proprietăţi ale integralei duble. Metode de calcul Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 13 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 13 INTEGRALE TRIPLE 14.1 Definiţia integralei triple. Calculul integralei triple Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 14 Răspunsuri şi comentarii la întrebările din testele de autoevaluare Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 14 BIBLIOGRAFIE

60

62

62 64 65 65

67 67 68 68 69

70

Observaţie: numărul unităţilor de învăţare este egal cu numărul şedinţelor de curs la forma de învăţământ zi (28 ore curs = 14 UI, 14 ore curs = 7 UI)

Page 5: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Introducere

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

6

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

INTRODUCERE

foto Stimate student, Numele meu este Eduard-Marius Craciun (n.1965), în prezent sunt profesor universitar, titular al Facultaţii de Matematica-Informatica din cadrul Universităţii „Ovidius” Constanţa. Sunt absolvent al Facultăţii de Matematica-Informatica a Universitatii din Bucureşti. Sunt autor a numeroase cărţi şi articole în domeniul matematicilor aplicate si al mecanicii publicate in prestigiose edituri din tara si din strainatate (SUA, China, Germania, Franta, Italia, sa). Materialul este organizat în 14 unităţi de învăţare, fiecare din aceste unităţi conţinând o parte de prezentare teoretică a subiectului tratat, o parte de exerciţii (teste de autoevaluare), rezolvările acestora şi o lucrare de verificare finală. Testele de autoevaluare ajută la fixarea cunoştinţelor dobândite în fiecare unitate de învăţare şi permit evaluarea continuă a cursantului. Lucrările de verificare reprezintă o evaluare finală la sfârşitul fiecărei etape de învăţare, prin care se urmăreşte determinarea gradului de însuşire de către dumneavoastră a conceptelor, metodelor, tehnicilor etc. prezentate anterior. Răspunsurile pe care le formulaţi vor fi transmise prin e-mail la adresa [email protected] pentru a fi verificate şi comentate. Lucrarea pe care o redactaţi şi pe care o trimiteţi tutorelui trebuie să conţină pe prima pagină denumirea cursului „Elemente de analiza matematica si matematici speciale”, numele şi prenumele dumneavoastră şi adresa de e-mail pe care o aveţi. Pentru o justă identificare a lucrării este de dorit ca pe fiecare pagină să inseraţi numele şi prenumele dumneavoastră. Răspunsurile trebuie să fie clar formulate, în limita posibilităţilor fiind recomandabilă utilizarea unui procesator de texte. În medie răspunsurile ar trebui să se întindă pe o jumătate de pagină, putând exista formulări mai lungi sau mai scurte funcţie de subiectul tratat. Între două răspunsuri succesive este necesar a fi lăsat un spaţiu de 5-6 cm pentru eventuale comentarii din partea tutorelui. Ponderea acestor lucrări de evaluare în totalul notei de examen este de 50%, restul de 50% fiind constituit de examenul propriu-zis.

Page 6: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Introducere

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

7

Succes ! Spor la învăţat şi succes!

Page 7: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

8

Unitate de învăţare Nr. 1

RECAPITULAREA UNOR NOTIUNI DE BAZA DIN ANALIZA

MATEMATICA DE LICEU

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 1 RECAPITULAREA UNOR NOŢIUNI DE BAZA DIN ANALIZA MATEMATICĂ DE LICEU

Recapitularea noţiunilor de baza ale analizei matematice din liceu Însuşirea aparatului de calcul din analiza matematică de liceu

8

1.1 Mulţimi …………………………………………....………………………………….. 8

1.2 Funcţii …………………………………………....…………………………………... 9

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1………………………………………….... 11

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 11

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1…………………………………………………….. 11

Page 8: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

9

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 1

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 1 sunt:

Recapitularea noţiunilor de bază ale analizei matematice din liceu Însuşirea aparatului de calcul din analiza matematică de liceu

Mulţimi 1.1 Mulţimi

Dacă elementul x se află printre elementele mulţimii A vom scrie Ax şi citim x aparţine mulţimii A. În caz contrar scriem Ax şi citim x nu aparţine mulţimii A. Notăm cu mulţimea vidă (fără nici un element).

Definiţie

Dacă A, B sunt două mulţimi atunci:

1) A este inclusă în B şi notăm BxAxBA ;

2) BABA şi AB ;

3) intersecţia mulţimilor A şi B este mulţimea

AxxBA | şi Bx ;

4) reuniunea mulţimilor A şi B este mulţimea

AxxBA | sau Bx .

Dacă X este o mulţime atunci mulţimea submulţimilor acestei mulţimi se

notează XAAXP | , (mulţimea părţilor lui X).

Dacă naaaX ,...,, 21 este o mulţime finită atunci P(X) este o mulţime

cu 2n elemente, de aceea o altă notaţie pentru P(X) este 2X.

Exemplu

Dacă 321 ,, aaaX , atunci

.,,,,,,,,,,,, 321313221321 aaaaaaaaaaaaXP

Definiţie

Dacă A1, A2 sunt două mulţimi se numeşte produsul cartezian al mulţimii A1 cu mulţimea A2 mulţimea

22112121 ,|, AaAaaaAA .

Page 9: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

10

Exemplu

RRRR yxyx ,|,2 ;

RRRRR zyxzyx ,,|,,3 ;

nixxxx inn ,...,1,|,...,,... 21 RRRRRR .

Dacă A şi B sunt două mulţimi atunci mulţimea

AxxBA |\ şi Bx

se numeşte diferenţa celor două mulţimi.

Dacă X şi XA atunci complementara lui A în raport cu X este

mulţimea XxxACX | şi Ax .

Test de autoevaluare 1.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Fie familia de mulţimi XXPA Iii , . Aratati ca următoarea

egalitate este adevărată:

Ii

iXIi

iX ACAC

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

Funcţii 1.2 Funcţii Definiţie

Fiind date mulţimile nevide X şi Y, se numeşte funcţie definită pe X cu valori în Y o relaţie binară YXf cu proprietăţile:

1) YyXx , astfel încăt fyx , ;

2) Dacă 2121 ,,, yyfyxfyx . Dacă f este o funcţie de la X la Y şi fyx , atunci vom scrie xfy . Elementul y se numeşte imaginea lui x prin funcţia f sau valoarea lui f în punctul x. X se mai numeşte şi domeniul funcţiei f. Remarcăm de asemenea că noţiunea de funcţie presupune trei elemente: 1) X, domeniul de definiţie al funcţiei; 2) Y, mulţimea de valori a funcţiei sau codomeniul; 3) relaţia care asociază oricărui element Xx un unic element Yy . Precizăm că în locul termenului de funcţie se mai folosesc şi termenii de aplicaţie, transformare, operator. Dacă YXf : este o funcţie şi XA , mulţimea

AxYxfAf |

Page 10: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

11

se numeşte imaginea lui A prin f , iar dacă YB , mulţimea

BxfXxBf |1

se numeşte imaginea reciprocă sau preimaginea prin funcţia f a mulţimii B. Definiţie Dacă f1, f2 sunt două funcţii 111 : YXf şi 222 : YXf , atunci spunem

că f1 şi f2 sunt egale 21 ff dacă şi numai dacă

1) 21 XX ;

2) 21 YY ;

3) xfxfXx 211 . Definiţie Fie YXf : o funcţie. Spunem că:

1) f este injectivă dacă Xxx 21, , 2121 xfxfxx ;

2) f este surjectivă dacă Yy , Xx astfel încât yxf ; 3) f este bijectivă dacă f este injectivă şi surjectivă; 4) f este inversabilă dacă XYg : astfel încât Xfg 1 şi

Ygf 1 ;

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 1. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 1 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Page 11: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Recapitularea unor notiuni de baza din analiza matematica de liceu

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

12

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 1

Să se arate că: Ii

iXIi

iX ACAC

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 1.1

Să arătăm că avem Ii

iXIi

iX ACAC

. Fie

iXiIi

iIi

iX ACxAxAxACx

,

Ii

iX ACxIi

. Invers, dacă iXIi

iX ACxACx ,

iAxIi ,

IiiX

Iii ACxAxIi .

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 1

1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si

matematici speciale”, Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004 2. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si

Pedagogica, Bucuresti 1989

Page 12: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Spatii metrice

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

13

Unitate de învăţare Nr. 2

SPAŢII METRICE

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 2…………………………………………………….. 13

2.1 Definiţii şi exemple………………………………………………………………........ 13

2.2 Spaţii metrice particulare……………………………………………………………... 14

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 2………………………………………….... 16

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 16

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 2…………………………………………………….. 17

Page 13: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Spatii metrice

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

14

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 2

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 2 sunt:

Însuşirea noţiunilor din baza ale teoriei spaţiilor metrice Studierea proprietăţilor trecerii la limită

2.1 Definiţii şi exemple

Definiţii şi exemple

Definiţie Fie X o mulţime nevidă. O aplicaţie ,0: XXd se numeşte distanţă pe X (sau metrică) dacă: 1) 0, yxd dacă şi numai dacă yx , Xyx , ;

2) xydyxd ,, , Xyx , ;

3) zydyxdzxd ,,, , Xzyx ,, , (inegalitatea triunghiului).

Perechea dX , se numeşte spaţiu metric. Exemplu 1. Pe RR definim distanţa, yxyxd , , R yx, . Se verifică

uşor că d,R este spaţiu metric.

2. Fie X o mulţime nevidă şi ,0: XXd ,

1

0, yxd dacă

,

,

yx

yx

numită metrica discretă pe X. 3. Pe C putem defini matricea 2121 , zzzzd , C 21, zz . Astfel,

d,C este spaţiu metric.

4. Pe spaţiul RR nnn xxxx ,...,|,..., 11 , definim aplicaţia

,0: nnd RR ,

2211 ..., nn yxyxyxd , nyx R , ,

nxxx ,...,1 , nyyy ,...,1 . Atunci d estedistanţa pe Rn, numită distanţa

euclidiană. Definiţie Fie dX , un spaţiu metric şi Xx 0 , 0r .

Se numeşte bilă deschisă centrată în x0, de rază r, mulţimea:

Page 14: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Spatii metrice

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

15

rxxdXxxBr 00 ,| .

Se numeşte bilă închisă, centrată în x0 şi de rază r, mulţimea:

rxxdXxxBr 00 ,| .

Se numeşte sferă centrată x0 şi de rază r, mulţimea:

rxxdXxxSr 00 ,| .

Exemplu Dacă RX şi yxyxd , , R yx, , atunci

rxrxxBr 000 , . Mai mult, orice interval (a, b) din R coincide cu

o bilă deschisă din R şi anume

2,

2

baBba ab .

Avem rxrxxBr 000 , , iar orice interval închis Rba, coincide

cu

22

baB ab .

Test de autoevaluare 2.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Fie X o multime nevidă şi d metrica discretă. Arătaţi că (X,d) este spaţiu metric. Răspunsul la test se găseşte la pagina .

2.2 Spaţii metrice particulare Spaţii metrice

particulare Definiţie Fie X un spaţiu vectorial peste corpul K RK sau C . Se numeşte nor-

mă definită pe X o aplicaţie notată |||| , R X||:|| , xx , cu

proprietăţile: 1) 0x , Xx şi 00 xx ;

2) x x , Ky , Xx ;

3) yxyx , Xyx , (inegalitatea triunghiului).

Observaţie Pentru Xx , numărul x se numeşte norma vectorului x.

Exemplu 1. R este spaţiu vectorial peste R şi aplicaţia R xxx : , verifică

axiomele unei norme. 2. Rn este spaţiu vectorial peste R. Se poate arăta (verificaţi acest lucru) că următoarele aplicaţii sunt norme pe Rn :

Page 15: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Spatii metrice

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

16

a)

n

iixx

1

2 , nnxxxx R ,...,, 21 ,

(norma euclidiană)

b)

n

iixx

11

, nnxxxx R ,...,, 21 ;

c) i

nixx

12max , n

nxxxx R ,...,, 21 .

3. R, baffbaCX ,:|:,0 continuã f . Se verifică uşor că X este spaţiu vectorial peste R şi aplicaţiile:

a) 2

1

2

b

a

dxxff , Xf ;

b)

xff

bax ,sup

, Xf , (norma convergenţei uniforme) sunt nor-

me pe spaţiul X. Definiţie Perechea formată dintr-un spaţiu vectorial X şi o normă pe X se numeşte spaţiu vectorial normat. Vom nota cu ||||, X . Fie spaţiul vectorial normat ||||, X şi R XXd : ,

yxyxd , , Xyx , .

Atunci d este o distanţă pe X. Observaţie Prin urmare, orice spaţiu vectorial normat devine un spaţiu metric în care distanţa este cea definită cu ajutorul normei. Ca urmare într-un spaţiu vectorial normat vom avea toate noţiunile topologice introduse într-un spaţiu metric. Toate noţiunile topologice exprimate cu ajutorul distanţei vor avea o exprimare cu ajutorul normei. Definiţie Un spaţiu vectorial normat în care orice şir Cauchy este convergent se numeşte spaţiu Banach. O categorie particulară de spaţii normate sunt spaţiile prehilbertiene: acele spaţii normate în care forma este definită cu ajutorul produsului scalar. Fie X un spaţiu vectorial peste K RK ( sau )C .

Page 16: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Spatii metrice

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

17

Definiţie Se numeşte produs scalar pe X o aplicaţie notată:

KXX :, yxyx ,, cu proprietăţile:

1) 0, xx , Xx şi 00, xxx ;

2) xyyx ,, , Xyx , ;

3) yxyxyxx ,,, 2121 , Xyxx ,, 21 ;

4) yxyx ,, , K , Xyx , . Propoziţie Fie X un spaţiu vectorial pe care s-a definit un produs scalar, notat , . Atunci pentru orice Xyx , are loc egalitatea:

yyxxyx ,,, .

Test de autoevaluare 2.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwartz Fie X un spaţiu vectorial pe care s-a definit un produs scalar, notat , . Atunci pentru price Xyx , are loc inegalitatea:

yyxxyx ,,,

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 2. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 2 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 2

Fie X un spaţiu vectorial pe care avem definit un produs scalar, notat <,>.

Atunci aplicaţia: R X||:|| , xxx , , Xx este o normă pe

X.

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 2.1 Să arătam că d verifică proprietăţile 1) – 3). Proprietăţile 1) şi 2) sunt evidente din definiţia lui d. Pentru 3), dacă 0,, zydyxd , atunci yx şi zy , de unde zx ,

deci 0, zxd . În aceste cazuri inegalitatea triunghiului este evidentă.

Page 17: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Spatii metrice

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

18

Răspuns 2.2 Vom demonstra pentru cazul în care X este spaţiu vectorial peste R. Fie

Xyx , şi R . Pentru orice R avem:

yyyxxxyxyx ,,2,,0 2 . Deoarece avem o funcţie de gradul doi în λ deducem:

yyxxyx ,,,0 .

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 2

1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”, Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004

2. Colojoara I. – “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1983

3. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980

Page 18: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Siruri de numere

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

19

Unitate de învăţare Nr. 3

ŞIRURI DE NUMERE

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 3…………………………………………………….. 19

3.1 Şiruri de numere: definiţii şi exemple ………………………………………....……... 19

3.2 Criterii de convergenţă………………………………………....……………………... 20

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 3………………………………………….... 21

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 21

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 3…………………………………………………….. 21

Page 19: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Siruri de numere

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

20

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 3

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 3 sunt:

Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice in aplicatiile practice.

Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicatii de şiruri ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).

3.1 Siruri de numere: definiţie şi exemple Definiţii

Exemple

Definiţie Un şir Kz nn N se numeşte şir convergent dacă există Kz astfel

încât 0 , N N cu proprietatea că

zzzzd nn , , Nn .

Numărul se numeşte limita şirului Nnnz şi vom nota zzn

n

lim .

Un şir care nu are limită în K se numeşte divergent. Exemplu Şirul

n

xn

n

1 , 1 n ,

este convergent. Definiţie Un şir Kz nn N , se numeşte şir Cauchy dacă 0 , NN

astfel încât, Nn şi N p să rezulte

npnnpn zzzzd , .

Exemplu Şirul

22

1...

2

11

nxn , 1 ,

este şir Cauchy. Definiţie Un şir Kz nn N se numeşte mărginit dacă 0 M astfel încât

Mzn , N n .

Page 20: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Siruri de numere

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

21

Definiţie Dacă mulţimea RK şi şirul RN nnx atunci spunem că şirul este

monoton crescător (respectiv descrescător) dacă:

nn xx 1 , (respectiv nn xx 1 ), N n .

Un şir se numeşte monoton dacă este monoton crescător sau monoton descrescător. Fie şirul Kz nn N . Dacă şirul este convergent atunci şirul Nnnz este

mărginit. Reciproca nu este adevărată.

Test de autoevaluare 3.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Dati exemplu de un sir marginit si divergent. Răspunsul la test se găseşte la pagina .

3.2 Criterii de convergenţă

Criterii de convergenţă

Propoziţie Orice şir convergent Kz nn N este şir Cauchy.

Fie Kz nn N un şir Cauchy, atunci Nnnz este mărginit.

Teoremă (Weierstrass) Fie şirul RN nnx , monoton şi mărginit atunci Nnnx este convergent.

Orice şir mărginit de numere reale are cel putin un subşir convergent. Fie Nnnx , Nnny şi Nnnz şiruri de numere reale astfel încât

nnn zyx , 0 Nn , lzx nnn

n

limlim .

Atunci şirul Nnny este convergent şi

nn lylim .

Dacă Nnnx şi Nnny sunt şiruri de numere reale astfel încât

nn xxlim ,

nn yylim iar nn yx , 0 Nn , atunci yx .

Teoremă Fie şirul de numere complexe Nnnz , cu nnn iyxz , Rnn yx , ,

N n . Atunci :

1) şirul Nnnz este convergent N nnx şi Nnny sunt convergente şi

are loc egalitatea:

nn

nnn

nyixz limlimlim ;

Page 21: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Siruri de numere

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

22

2) şirul Nnnz este Cauchy N nnx şi Nnny sunt şiruri Cauchy.

Teoremă Un şir de numere reale Nnnx este convergent dacă şi numai dacă este şir

Cauchy.

Test de autoevaluare 3.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.

Şirul CN nnz este convergent dacă şi numai dacă este şir Cauchy.

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 3. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 3 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 3

Calculaţi limita şirului 1nna avand termenul general

1

1...

32

1

21

1

nnan

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 3.2 Fie nnn iyxz , Rnn yx , , N n .

Şirul N nnz este convergent N nnx şi Nnny sunt convergente

N nnx şi Nnny sunt şiruri Cauchy N nnz este şir Cauchy.

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 3

1. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul diferential si integral”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1978

2. Bucur Gh., Campu E., Gaina S. - “Culegere de probleme de calcul diferential si integral II, III”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1966

3. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989

4. Rosculet M. - “Culegere de probleme de analiza matematica” Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1976

Page 22: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Serii de numere

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

23

Unitate de învăţare Nr. 4

SERII DE NUMERE

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 4…………………………………………………….. 23

4.1 Serii numerice……………………………………………………..………………….. 23

4.2 Criterii de convergenţă……………………………………………………..…………. 24

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 4………………………………………….... 25

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 26

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 4…………………………………………………….. 26

Page 23: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Serii de numere

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

24

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 4

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 4 sunt:

Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice in aplicatiile practice.

Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de siruri ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.)

4.1Serii numerice

Definiţii şi exemple

Definiţie Fie Nnnz un şir de numere complexe şi

nn zzzs ...10 , N n ,

numit şirul sumelor parţiale asociat şirului Nnnz . Perechea de şiruri

NN nnnn sz , se numeşte seria de termen general zn. Vom nota această

serie cu 0n

nz ,

0nnz sau ......10 nzzz .

Definiţie Seria

0nnz se numeşte convergentă dacă şirul sumelor parţiale Nnns este

convergent. Numărul nn

ss

lim se numeşte suma seriei şi vom nota

0n

nzs . Seriile care nu sunt convergente se numesc divergente.

Exemplu Seria geometrică de raţie 1\Cr ,

0n

nr . Şirul sumelor parţiale este

r

rrs

nn

k

kn

1

1 1

0

, 1 n . Astfel, seria 0n

nr este convergentă dacă şi

numai dacă 1r şi în acest caz are suma r1

1.

Definiţie O serie de numere complexe

0nnz se numeşte absolut convergentă dacă

seria

0nnz este convergentă.

Page 24: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Serii de numere

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

25

Test de autoevaluare 4.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.

Seria 1 1

1

n nn, cu termenul general 1

1

nnzn este convergentă.

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

4.2Criterii de convergenţă

Criterii convergenţă

Teoremă (Criteriul necesar de convergenţă)

Dacă seria

0nnz este convergentă atunci 0lim

nn

z .

Exemplu

Fie seria

1 32

1

n n

ncu termenul general

32

1

n

nzn . Evident

02

1

32

1lim

n

nn

. Seria este divergentă.

Teoremă

Fie seria

0nna de numere reale pozitive 0na , N n . Seria este

convergentă dacă şi numai dacă şirul sumelor parţiale, Nnns , este

mărginit. Propoziţie

Seria armonică generalizată

1

1

n n este convergentă pentru 1 şi este

divergentă pentru 1 . Teoremă

Fie seriile

0nna şi

0nnb astfel încât nn ba 0 , 0 nn .

Atunci :

1) Dacă seria

0nnb este convergentă şi seria

0nna este convergentă;

2) Dacă seria

0nna este divergentă şi seria

0nnb este divergentă.

Teoremă (Criteriul rădăcinii limită)

Fie seria

0nnz astfel încât există n

nn

zl

lim .

1) dacă 1l seria este absolut convergentă; 2) dacă 1l seria este divergentă.

Page 25: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Serii de numere

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

26

Teoremă (Criteriul raportului cu limită)

Fie seria

0nnz , 0\Cnz , N n , astfel încât există l

z

z

n

n

n

1lim .

Atunci: 1) dacă 1l seria este absolut convergentă; 2) dacă 1l seria este divergentă; 3) dacă 1l nu se poate preciza natura seriei. Teoremă (Criteriul Raabe-Duhamel)

Fie seria

0nna , 0na , N n astfel încât există

la

an

n

n

n

1lim1

Atunci: 1) dacă 1l serie convergentă; 2) dacă 1l serie divergentă; 3) dacă 1l , nu se poate preciza natura seriei.

Test de autoevaluare 4.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.

Studiaţi natura seriei

13

2

1

1

n nnn

n.

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 4. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 4 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 4

Studiaţi natura seriei

1

1

nnn

.

Page 26: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Serii de numere

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

27

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 4.1

n

k

n

kn nkkkk

s1 1 1

11

1

11

1

1, 1 n .

Evident 1lim n

ns şi astfel seria este convergentă şi

1

11

1

n nn.

Răspuns 4.2

Fie 23

1

nbn , 1 n . Deoarece

,01lim

n

n

n b

a deducem conform

Crieteriului comparaţiei la limită că seriile

03

2

1

1

n nnn

n şi

023

1

n n au

aceeaşi natură, adică sunt convergente. Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 4

1. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989

2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980

3. Fihtenholt G.M. – “Curs de calcul diferential si integral, vol. I – III”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1963

4. Meghea C. – “Bazele analizei matematice” Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1977

5. Mortici C. – “Lectii de analiza matematica” Ed. ExPonto, Constanta, 2000

6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953

Page 27: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Limite de functii

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

28

Unitate de învăţare Nr. 5

LIMITE DE FUNCŢII

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 5…………………………………………………….. 28

5.1 Limita unei funcţii într-un punct……………………………………………………... 28

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 5………………………………………….... 29

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 29

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 5…………………………………………………….. 30

Page 28: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Limite de functii

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

29

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 5

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 5 sunt:

Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei limitelor de funcţii Aplicarea calculului limitelor la discipline ce vor fi studiate

5.1 Limita unei funcţii într-un punct

Definiţii şi exemple

Definiţie Considerăm 11,dS , 22 ,dS două spaţii metrice, 1SA , şi funcţia

2: SAf . Spunem că f are limita în punctul '0 Ax dacă există 2Sl cu

proprietatea că: 0 , 0 astfel încât 0\ xAx cu 0, xxd să rezulte

lxfd ,2 . În acest caz spunem că l este limita funcţiei f în punctul x0 şi notăm

lxfxx

0

lim .

Observaţie Problema limitei unei funcţii se pune numai într-un punct de acumulare al domeniului de definiţie al funcţiei, adică într-un punct pentru care avem posibilitatea să ne apropiem prin puncte din mulţimea pe care este definită funcţia. Propoziţie Fie 11,dS , 22 ,dS două spaţii metrice şi funcţia 21: SSAf ,

'0 Ax . Atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:

a) lxfxx

0

lim ;

b) pentru orice şir 0\ xAx nn N cu 0lim xxnn

rezultă că lxfn

lim

(definiţia limitei cu şiruri); c) pentru orice vecinătate V a lui l există U vecinătate a lui x0 astfel încât:

VAxUf 0\

(definiţia limitei cu vecinătăţi). Teoremă Fie spaţiile metrice 11,dS şi 22 ,dS , 1SA , 2: SAf , '0 Ax . Dacă

există xfxx 0

lim

atunci aceasta este unică.

Propoziţie Fie nmAf RR : , mxxx ...,1 , mfff ...,1 , '0 Ax . Functia f

Page 29: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Limite de functii

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

30

are limita în x0 dacă şi numai dacă funcţiile reale nfff ,...,, 21 au limite în

x0 şi în acest caz:

xfxfxfxf n

xxxxxxxx 0000

lim,...,lim,limlim 21 .

Test de autoevaluare 5.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Studiaţi existenţa limitei în origine pentru funcţia 22,0\: RR f ,

2

1,

sin 2

x

xx

x

xxf , 2,0 x .

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 5. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 5 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 5

Studiaţi existenţa limitei în origine a funcţiei RR 0,0\: 2f ,

22

3

,yx

yxyxf

.

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 5.1

Notăm cu x

xxf

sin1 ,

2

12

2

x

xxxf , 2,0 x . Avem:

1sin

limlim0

10

x

xxf

xx,

2

1

2

1limlim

2

02

0

x

xxxf

xx,

deci f are limită în punctul 00 x şi

2

1,1lim

0xf

x.

Page 30: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Limite de functii

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

31

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 5

1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004

2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980

3. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989

4. Rosculet M. - “Culegere de probleme de analiza matematica” Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1976

5. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir Publishers, Moskow, 1976

Page 31: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Functii continue

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

32

Unitate de învăţare Nr. 6

FUNCŢII CONTINUE

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 6…………………………………………………….. 32

6.1 Funcţii continue.............................................................................................................. 32

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 6………………………………………….... 33

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 33

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 6…………………………………………………….. 33

Page 32: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Functii continue

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

33

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 6

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 6 sunt:

Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea notiunii de functie continua in aplicatiile practice.

Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de funcţie continuă ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma.

6.1 Funcţii continue Funcţii continue pe spaţii metrice

Definiţie Fie 11,dS , 22 ,dS două spaţii metrice şi 21: SSAf , Ax 0 .

Spunem că f este continuă în punctul 0 0 x , 0 a.î.

Ax , 01 , xxd să rezulte 02 , xfxfd .

Dacă f nu este continuă în Dx 0 , atunci spunem că f este discontinuă

în punctul x0. Teoremă Fie 21: SSAf , '0 AAx . Atunci următoarele afirmaţii sunt echi-

valente: a) f este continuă în x0 ; b) există 0

0

lim xfxfxx

.

Teoremă (de caracterizare a continuităţii) Fie 11,dS , 22 ,dS două spaţii metrice, 1SA şi Ax 0 . Atunci urmă-

toarele definiţii sunt echivalente: a) f este continuă în x0 (definiţia cu “ ”); b) pentru orice 0 , există 0 astfel încât 00 xfBAxBf

(definiţia cu bile); c) pentru orice V, vecinătate a lui 0xf , există U vecinătate a lui x0 astfel

încât VAUf (definiţia cu vecinătăţi);

d) pentru orice şir Ax nn N , 0lim xxnx

, rezultă că 0lim xfxf nx

(definiţia cu şiruri). Teoremă Fie KSAgf :, , dS , spaţiu metric, RK sau C. Dacă f şi g

sunt continue în Ax 0 atunci funcţiile gf , gf ,g

f (în ipoteza

Axxg 0 ) sunt continue în punctul x0, K , .

Page 33: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Functii continue

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

34

Test de autoevaluare 6.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.

Studiaţi continuitatea funcţiei 222

sin,,

zyx

ezyxzyxf

xyz

, unde

RR 3: Af unde 0|,, 2223 zyxzyxA R . Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 6. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 6 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 6

Studiaţi continuitatea funcţiei RR 0,0\: 2f unde:

0,0,, 0

0,0,,, 22

3

yx

yxyx

yxyxf

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 6.1 Evident, f este continuă în orice punct din domeniul de definiţie pentru că se obţine prin compunere şi operaţii algebrice de funcţii continue.

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 6

1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004

2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980

3. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul diferential si integral”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1977

4. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989

5. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”, Ed. All, Bucuresti, 1998.

Page 34: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Derivate partiale

Elemente de analiza matematica si matematici speciale 

35

Unitate de învăţare Nr. 7

DERIVATE PARŢIALE

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 7…………………………………………………….. 35

7.1 Derivate parţiale de ordinul întâi…………………………………………………….... 35

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 7………………………………………….... 36

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 37

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 7…………………………………………………….. 37

Page 35: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Derivate partiale

Elemente de analiza matematica si matematici speciale 

36

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 7

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 7 sunt:

Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei funcţiilor diferenţiale Aplicarea derivatelor parţiale la probleme ce apar în practică

7.1 Derivate parţiale de ordinul întâi Derivate parţiale Definiţie

Fie RR nAf : , A mulţime deschisă, Aa . Spunem că f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila xk dacă următoarea limită există şi este finită:

kk

nknkkk

ax ax

aaafaaxaaafkk

,...,,...,,...,,,,...,,lim 11121 ,

naaaa ,...,, 21 .

În acest caz limita de mai sus se numeşte derivata parţială a limitei f în

punctul a în raport cu variabila xk şi se notează kx

f

(a) sau afkx .

Fie nDDf R R ,: mulţime deschisă. Spunem că f este derivabilă parţial pe D dacă f derivabilă parţial în orice punct din D în raport cu

toate variabilele xk. În acest caz se pot defini n funcţii R

Dx

f

k

: ,

nk ,...,2,1 , numite derivatele parţiale ale lui f pe D. Spunem că f este de clasă C1 pe D dacă f este derivabilă parţial pe D iar

funcţiile kx

f

, nk ,...,2,1 , sunt continue pe D. Vom nota DCf 1 .

Definiţie Fie aplicaţia nm DDf R R ,: mulţime deschisă şi un punct Da . Aplicaţia T se numeşte diferenţiabila funcţiei f în a sau derivata Fréchet şi se notează adf . Teoremă (Criteriul de diferenţiabilitate) Fie nD R o mulţime deschisă şi RDf : . Dacă f admite derivate parţiale de ordinul întâi într-o vecinătate V a punctului Da şi acestea sunt continue în a, atunci f este diferenţiabilă în punctul a.

Page 36: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Derivate partiale

Elemente de analiza matematica si matematici speciale 

37

Astfel, dacă RR nf : , D multime deschisă şi Da , f diferenţiabilă în a, atunci diferenţiala în a este:

n

kk

k

adxax

fadf

1 .

Dacă f este diferenţiabilă în orice punct Da putem scrie

n

kk

k

dxx

fdf

1

Pentru 2n sau 3 această egalitate devine:

,dyy

fdx

x

fdf

respectiv

dzz

fdy

y

fdx

x

fdf

.

Test de autoevaluare 7.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Calculaţi derivatele parţiale şi diferenţiale pentru funcţia:

zxyzxyzyxzyxf 333,, .

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 7. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 7 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 7

Calculaţi diferenţiala df (1,1,1) pentru funcţia:

xyzzyxzyxf 12,, 223 .

Page 37: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Derivate partiale

Elemente de analiza matematica si matematici speciale 

38

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Raspuns 7.1

zyxzyxx

f

23,, ,

zxyzyxy

f

23,, ,

yxzzyxz

f

23,, ,

şi

dzyxzdyzxydxzyxzyxdf 222 333,, . Dacă alegem 1,1,1,, zyx putem scrie:

dzdydxdf 5551,1,1 .

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 7

1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si

matematici speciale”, Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004 2. Boboc N. – “Analiza matematica”, partea I si II, Ed. Universitatii

Bucuresti, 1988 3. Colojoara I. – “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica,

Bucuresti 1983 4. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul

diferential si integral”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1977 5. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si

Pedagogica, Bucuresti 1989

Page 38: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Derivate parţiale de ordin superior

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

39

Unitate de învăţare Nr. 8

DERIVATE PARŢIALE DE ORDIN SUPERIOR

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 8…………………………………………………….. 39

8.1 Derivate parţiale de ordin superior……………………………………………………. 39

8.2 Derivata după un versor……………………………………………………..………... 40

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 8………………………………………….... 41

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 41

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 8…………………………………………………….. 42

Page 39: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Derivate parţiale de ordin superior

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

40

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 8

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 8 sunt:

Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei funcţiilor diferenţiale Aplicarea derivatelor parţiale de ordin superior la probleme ce

apar în practică

8.1 Derivate parţiale de ordin superior

Definiţii şi exemple

Definiţie Fie D o mulţime deschisă din Rn ni 1 , RDf : o funcţie care

admite derivată parţială în raport cu variabila xi pe D, notată RDx

f

i

: .

Dacă există derivata parţială în Da (respectiv în orice Da ) în raport

cu variabila xk a funcţiei ix

f

, atunci aceasta se va numi derivata parţială

de ordin doi a funcţiei f în punctul a (respectiv pe D) în raport cu variabilele xk, xi şi se va nota cu

axx

fa

x

f

x ikik

2

sau afik xx

" , dacă ki

şi

ax

fa

x

f

x kkk2

2

sau afkx

"2 , dacă ki .

Derivatele axx

f

ik2

, ki se vor numi derivate mixte de ordin doi în

punctul a.

Dacă R

Dx

f

i

: este derivabilă parţială în raport cu variabila xk pe D,

atunci obţinem funcţiile R

D

xx

f

ik

:2

numite derivate parţiale de

ordinul doi. Teoremă (Schwarz) Fie RR nAf : , A mulţime deschisă din Rn. Dacă f are derivate

parţiale mixte ji xx

f

2

şi ij xx

f

2

, ji , într-o vecinătate a unui punct

Aa şi aceastea sunt continue în a, atunci

Page 40: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Derivate parţiale de ordin superior

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

41

axx

fa

xx

f

ijji

22

.

Definiţie Fie RDf : , nD R mulţime deschisă. Spunem că f este de 2kk

ori diferenţiabilă în punctul Da dacă f este de 1k ori derivabilă

parţial într-o vecinătate V a lui a şi toate derivatele parţiale de ordin 1k ale lui f sunt diferenţiabile în a. f este k ori diferenţiabilă pe D dacă este de k ori diferenţiabilă în orice punct Da .

Observaţie Formula de definiţie a lui vafd k se mai poate scriesub formă condensată:

n

ll

l

k dxax

ffd

1

.

Test de autoevaluare 8.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Calculaţi df şi d2f pentru funcţia RR 3:f , xyzzyxf ,, . Răspunsul la test se găseşte la pagina .

8.2 Derivata după un versor

Definiţii şi exemple

Fie nD R , D mulţime deschisă, Da , nnssss R ,...,, 21 un versor

sau direcţie, adică 1... 222

21 nssss .

Definiţie Spunem că funcţia RR nDf : este derivabilă în Da după direcţia s, dacă există şi este finită limita:

as

f

t

aftsaft

0

lim

În acest caz, as

f

se numeşte derivata lui f după direcţia s în punctul a

sau derivata Gâteaux (slabă) a lui f în a după direcţia s. Teoremă Dacă RR nDf : , D mulţime deschisă şi f este diferenţiabilă în

Da , atunci f este derivabilă în a după orice versor s şi avem egalitatea:

Page 41: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Derivate parţiale de ordin superior

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

42

sadfads

df .

Test de autoevaluare 8.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.

Fie RR 2:f , yxyxyxf 32, 2 . Să se calculeze 3,2s

f

, unde

2

1,

2

1s .

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 8. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 8 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 8

Calculaţi derivata după versorul

2

1,

2

1D pentru

42 2, yxyxyxf în punctul 1,2 a .

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 8.1

yzx

f

, xzy

f

, xzz

f

,

yzx

f

2

2

, xzy

f

2

2

, xzz

f

2

2

,

zyx

f

2

, yzx

f

2

, xzy

f

2

,

deducem xydzxzdyyzdxdf iar

ydxdzxdydzzdxdydzz

fdy

y

fdx

x

ffd 222

2

2

.

Răspuns 8.2 Conform teoremei anterioare f are derivată după orice direcţie în orice punct 2, Ryx şi

Page 42: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Derivate parţiale de ordin superior

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

43

2

3

2

17

2

110

2

13,2

2

13,23,2

y

f

x

f

ds

df.

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 8

1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004

2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980

3. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul diferential si integral”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1977

4. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989

5. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”, Ed. All, Bucuresti, 1998.

Page 43: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Extreme locale

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

44

Unitate de învăţare Nr. 9

EXTREME LOCALE

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 9…………………………………………………….. 44

9.1 Puncte de extrem local……………………………………………………..…………. 44

9.2 Algoritm de determinare a punctelor de extrem local.................................................... 44

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 9………………………………………….... 46

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 46

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 9…………………………………………………….. 47

Page 44: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Extreme locale

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

45

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 9

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 9 sunt:

Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicaţiile practice.

Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicatii de caculul extreme libere ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).

9.1 Puncte de extrem local

Definiţii şi exemple

Fie RDf : şi nD R o mulţime deschisă. Definiţie Un punct Da se numeşte punct de extrem local pentru f dacă există o bilă DaBr pe care afxf are semn constant ; mai exact a este punct de minim (respectiv maxim) local pentru f dacă pentru orice

aBx r , afxf (respectiv afxf ). Un punct Da se numeşte punct critic pentru f dacă f este

diferenţiabilă în a şi 0adf , adică 0

ax

f

i

, ni ,...,2,1 .

Teoremă (Fermat) Fie nD R o mulţime deschisă şi RDf : , f diferenţiabilă în Da care este în acelaşi timp şi punct de extrem local pentru f. Atunci

0adf , adică a este punct critic pentru f . Definiţie Un punct staţionar care nu este de extrem se numeşte şa. Teoremă Fie RR nDf : , DCf 2 şi Da un punct critic pentru f. Dacă

forma pătratică afd 2 este pozitiv (negativ) definită, atunci a este punct de minim (respectiv de maxim) local pentru f .

Test de autoevaluare 9.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei RR 2:f ,

1424, 22 yxyxyxyxf . Răspunsul la test se găseşte la pagina .

9.2 Algoritm de determinare a punctelor de extrem local

În ipotezele teoremei anterioare dacă: a) toate numerele

Page 45: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Extreme locale

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

46

111 a ,

nnnn

n

n

n

aaa

aaa

aaa

aa

aa

...

............

...

...

,...,

21

22221

11211

2221

12112 ,

unde axx

fa

jiij

2

, ni ,...,2,1 , nj ,...,2,1 , sunt strict pozitive, atunci

a este punct de minim local; b) toate numerele

nn 1,...,, 21

sunt strict positive atunci a este punct de maxim local. Pentru cazul particular 2n avem următorul algoritm: Pasul 1. se rezolvă sistemul

.0

,0

y

fx

f

Pasul 2. Pentru fiecare soluţie 21,aaa a sistemului anterior se

calculează ax

fr

2

2

, ayx

fs

2

, ay

ft

2

2

şi 2srt . Atunci:

a) dacă 0 , a nu este punct de extrem local; b) dacă 0 , a este punct de extrem local: - de minim dacă 0r ; - de maxim dacă 0r . În cazul în care 02 srt , pentru a decide dacă punctul a este un punct de extrem, trebuie luate în consideraţie derivatele parţiale de ordin superior lui doi ale lui f .

Test de autoevaluare 9.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei RR 3:f ,

zyxzyxzyxf 642,, 222 . Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 9. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în

Page 46: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Extreme locale

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

47

această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 9 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 9

Să se determine punctele de extrem local ale funcţiei RR 3:f ,

zxyzyxzyxf 212,, 223 .

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 9.1

Deoarece 428

yxx

f, 122

yxy

f, obţinem punctul stationar

0,

2

1, yx . Calculăm în continuare

80,2

12

2

x

fr , 20,

2

12

yx

fs , 20,

2

12

2

y

ft .

Deaorece 0122 srt şi 08 r , punctul

0,

2

1este de minim

local. Răspuns 9.2 Punctele staţionare sunt soluţii ale sistemului:

,062

,042

,022

zz

f

yy

f

xx

f

adică avem un singur punct staţionar, 3,2,1 . deoarece

23,2,12

2

x

f, 03,2,1

2

yx

f, 23,2,1

2

2

z

f,

23,2,12

2

y

f, 03,2,1

2

yx

f,

vom avea că

Page 47: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Extreme locale

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

48

21 , 420

022 , 8

200

020

002

3 ,

ca urmare, 3,2,1 este punct de minim local.

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 9

1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004

2. Boboc N. – “Analiza matematica”, partea I si II, Ed. Universitatii Bucuresti, 1988

3. Colojoara I. – “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1983

4. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul diferential si integral”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1977

Page 48: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Extreme cu legaturi

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

49

Unitate de învăţare Nr. 10

EXTREME CONDIŢIONATE

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 10…………………………………………………… 49

10.1 Extreme cu legături...................................................................................................... 49

10.2 Multiplicatorii lui Lagrange......................................................................................... 50

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 10………………………………………….. 51

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 51

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 10…………………………………………………… 52

Page 49: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Extreme cu legaturi

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

50

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 10

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 10 sunt:

Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei extremelor condiţionate Aplicarea problemelor de extreme condiţionate în practică.

10.1 Extreme condiţionate

Extreme condiţionate

În practică, apare şi situaţia determinării unor puncte de extrem ale funcţiei, pe anumite submulţimi ale mulţimii de definiţie, aceste puncte nemaifiind interioare submulţimii respective. În acest sens, să analizăm următoarea problemă care intervine frecvent în practică: Fie mnD RR o mulţime deschisă şi RDf : , DCf 1 ,

mDg R: , mgggg ,...,, 21 , RDgi : , DCgi1 , mi ,...,2,1 .

Funcţia f o vom numi funcţie scop sau funcţie obiectiv, iar mggg ,...,, 21

se vor numi legături. Vom examina punctele de extrem ale funcţiei f supuse la condiţiile suplimentare

,...,yy ,,...,x xunde ,0,

...................

0,

0,

11

2

1

mnm yxyxg

yxg

yxg

sau echivalent, 0, yxg . Notăm m1,2,...,i ,0,|, yxgDyxM i .

Definiţie Un punct Myx 00 , se numeşte punct de extrem local al funcţiei f cu

legăturile (sau punct de extrem conditionat) 0, yxg , dacă există

MyxBr , astfel încât:

00 ,, yxfyxf

are semn constant pe 00 , yxBr .

Observăm că extremele locale cu legături ale funcţiei f sunt extreme locale ale restricţiei lui f la M.

Page 50: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Extreme cu legaturi

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

51

10.2 Multiplicatorii lui Lagrange Multiplicatorii lui Lagrange

Teoremă (existenţa multiplicatorilor lui Lagrange) Fie mnD RR o mulţime deschisă, RDf : , mDg R: ,

mgggg ,...,, 21 , DCgi1 , mi ,...,2,1 şi Dyx 00 , punct de

extrem al lui f cu restricţiile 0, yxg . Dacă:

0,

,...,

,...,,00

21

21 yxyyyD

gggD

m

m ,

atunci există m numere reale m ,...,, 21 , astfel încât, considerând funcţia

mmgggfL ...2211 ,

punctul 00 , yx este punct staţionar al funcţiei L.

Observaţie 1. Numerele m ,...,, 21 se numesc multiplicatorii lui Lagrange.

2. Punctele de extrem ale lui f cu restricţiile 0, yxg se găsesc printre punctele staţionare ale funcţiei L., adică sunt puncte staţionare condiţionate ale lui f . Reciproc nu este adevărat, adică există puncte staţionare condiţionate care nu sunt de extrem condiţionat. 3. Funcţia ,,, yxLyx , mDyx R,, se numeşte lagrangean sau funcţia lui Lagrange. Algoritm a) dacă toţi determinanţii

nnnn

n

n

n

aaa

aaa

aaa

aa

aaa

...

............

...

...

,...,,

21

22221

11211

2221

12112111

Sunt strict pozitivi, atunci forma pătratică 00

2 , yxLd este pozitiv definită,

deci 00 , yx este punct de minim condiţionat;

b) dacă 01 kk , 1,2,...nk , atunci 00

2 , yxLd este negativ

definită şi 00 , yx este punct de maxim local condiţionat.

Metoda prezentată mai sus se numeşte metoda multiplicatorilor lui Lagrange.

Page 51: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Extreme cu legaturi

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

52

Test de autoevaluare 10.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Să se determine extremele funcţiei xyyxf , cu legătura 122 yx . Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 10. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 10 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 10

Să se determine extremele funcţiei 123, 22 yxyxyxf cu

legatura 122 yx .

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 10.2 1, 22 yxxyyxL

Punctele staţionare condiţionate vor fi soluţiile sistemului:

.01

,02

,02

22

yxL

yxy

L

xyx

L

Vom obţine 2

11 ,

2

12 .

Dacă 2

11 atunci

2

11 x ,

2

11 y ,

2

12 x ,

2

12 y .

Pentru 2

12 avem

2

133 yx şi

2

144 yx .

Avem patru puncte staţionare. Dacă 2

11 avem

Page 52: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Extreme cu legaturi

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

53

12

1, 22

1 yxxyyxL .

Deoarece

121

2

x

L, 11

2

xy

L, 1

21

2

y

L,

deducem că

2221

2 2, dydxdxdydydxyxLd ii , 2 ,1i ,

ca urmare ii yxLd ,1

2 este pozitiv definită, de unde ii yx , sunt puncte de

minim local condiţionat, 2 ,1i .

Pentru 2

12 avem,

12

1, 22

2 yxxyyxL .

Cum

1,22

2

ii yxx

L, 1,2

2

ii yx

yx

L, 1,

22

2

ii yxy

L,

avem

2222

2 2, dydxdxdydydxyxLd ii , 4 ,3i ,

adică ii yxLd ,2

2 este negativ definită şi în concluzie ii yx , , 4 ,3i sunt

puncte de maxim local condiţionat.

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 10

1. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989

2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980

3. Fihtenholt G.M. – “Curs de calcul diferential si integral, vol. I – III”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1963

4. Meghea C. – “Bazele analizei matematice” Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1977

5. Mortici C. – “Lectii de analiza matematica” Ed. ExPonto, Constanta, 2000

6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953

Page 53: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrala Riemann

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

54

Unitate de învăţare Nr. 11

INTEGRALA RIEMANN

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 11…………………………………………………… 54

11.1 Sume Riemann…………………………………………..…………………………... 54

11.2 Clase de funcţii integrabile…………………………………………..………………. 55

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 11………………………………………….. 56

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 56

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 11…………………………………………………… 56

Page 54: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrala Riemann

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

55

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 11

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 11 sunt:

Însuşirea noţiunilor de bază ale teoriei calculului integral Studierea proprietăţilor funcţiilor integrabile Perfecţionarea calculului integral

11.1 Sume Riemann Sume Riemann Definiţie

Se numeşte diviziune a intervalului ba, , notată cu Δ o multime finită de

numere nxxx ,...,, 10 astfel încât

bxxxxa n ...210 .

Numărul

11max

iini

xx

se numeşte norma diviziunii Δ. O mulţime de numere nii 1 cu proprietatea că

iii xx ,1 , ni 1 ,

se numeşte sistem de puncte intermediare asociat diviziunii Δ. Definiţie Numărul real notat

n

iiiii xxff

11 ,

se numeşte suma Riemann asociată funcţiei f , diviziunii Δ şi sistemului de puncte intermediare ξi. Definiţie Funcţia Rbaf ,: se numeşte integrabilă Riemann dacă există RI

cu proprietatea că oricare ar fi 0 , există 0 astfel încât pentru orice diviziune Δ

bxxxxa n ...210

cu norma şi pentru orice alegere a unui sistem de puncte

intermediare

Page 55: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrala Riemann

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

56

iii xx ,1 , ni 1 ,

avem If i, .

Numărul I se numeşte integrala Riemann a lui f pe intervalul ba, şi se

notează dxxfIb

a .

Teoremă Fie Rbaf ,: . Următoarele afirmaţii sunt echivalente: 1) f este integrabilă Riemann; 2) există RI astfel încât pentru orice şir de diviziuni 1 nn ale inter-

valului ba, cu 0lim n

n şi pentru orcie şir de sisteme de puncte inter-

mediare 1 nni , nji 1 , rezultă şirul sumelor Riemann

1,

n

nif

n

este convergent la I. Corolar Dacă R1,0:f este o funcţie integrabilă Riemann atunci

n

kn

dxxfn

kf

n 1

1

0

1lim .

11.2 Clase de funcţii integrabile

Proprietăţi ale funcţiilor

integrabile

Teoreme Orice funcţie monotonă Rbaf ,: este integrabilă. Orice funcţie continuă Rbaf ,: este integrabilă. Orice funcţie integrabilă Riemann, Rbaf ,: , este mărginită. O funcţie Rbaf ,: este integrabilă dacă şi numai dacă este mărginită şi continuă aproape peste tot. Fie Rbaf ,: . Dacă este integrabilă şi admite primitiva F pe ba, atunci

b

aaFbFdxxf .

Page 56: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrala Riemann

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

57

Test de autoevaluare 11.2 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Dacă Rbaf ,: este integrabilă atunci pentru orice badc ,, , res-

tricţia dcf ,| este integrabilă.

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 11. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 11 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 11

Folosind noţiunea integralei definite calculaţi limita şirului:

222

1...

21

n

n

nnan

.

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 11.2 Notăm dcfg ,| , f , g mulţimea punctelor de discontinuitate ale

funcţiilor f şi g. Deoarece f este integrabilă, avem că f este mărginită şi continuă a.p.t., adică f este neglijabilă. În particular, rezultă că g este mărginită şi cum

fg ,

g este neglijabilă, prin urmare g este integrabilă.

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 11

1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”, Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004

2. Meghea C. – “Bazele analizei matematice” Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1977

3. Mortici C. – “Lectii de analiza matematica” Ed. ExPonto, Constanta, 2000

4. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953

Page 57: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale improprii

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

58

Unitate de învăţare Nr. 12

INTEGRLE IMPROPRII

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 12…………………………………………………… 58

12.1 Integrale improprii de speţa întâi……………………………………………………. 58

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 12………………………………………….. 60

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 60

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 12…………………………………………………… 60

Page 58: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale improprii

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

59

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 12

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 12 sunt:

Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicaţiile practice.

Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de calcul integral ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).

12.1 Integrale improprii

Integrale improprii de speţa întâi

Vom convenii să numim integrale improprii (sau generalizate) integralele pentru care lungimea intervalului de integrare ba, este infinită sau f nu este mărginită în [a, b] şi vom utiliza următoarea clasificare a acestora: 1. O integrală este de speţa întâi (sau de primul tip) dacă ab , deci de forma:

adxxf ,

bdxxf ,

dxxf , Rba, ,

f fiind mărginită pe intervalul de integrare. 2. O integrală improprie este de speţa a doua (sau de-al doilea tip) dacă

ab dar f nu este mărginită în ba, . 3. O integrală improprie este de speţa a treia (sau de-al treilea tip) dacă atăt intervalul de integrare este de lungime infinită cât şi f este nemăr-ginită în acest interval de integrare. Definiţie O funcţie RR If : , I interval (mărginit sau nemărginit) se numeşte local integrabilă pe I dacă este integrabilă pe orice interval compact inclus în I. Definiţie Fie R,: af local integrabilă pe ,a . Definim

a

b

abdxxfdxxf lim ,

dacă limita există şi este finită. În acest caz integrala se numeşte convergentă. O integrală care nu este convergentă se numeşte divergentă. Dacă R bf ,: şi f este local integrabilă pe b, , definim

b b

aadxxfdxxf lim .

Page 59: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale improprii

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

60

De asemenea,

b

abadxxfdxxf

,,lim .

integrala fiind convergentă dacă limita există şi este finită şi divergentă în caz contrar. Teoremă Fie R,:, agf , f, g local integrabile pe ,a , 0g , astfel încât există

*R xg

xfl

xlim .

Atunci

adxxf şi

adxxg au aceeaşi natură (sunt ambele

convergente sau ambele divergente). Fie R,: af o funcţie local integrabil pe ,a , astfel încât există şi este finită

xfxlx

lim .

Atunci

adxxf este:

a) convergentă, dacă 1 ; b) divergentă, dacă 1 .

Test de autoevaluare 12.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar. Calculaţi integrala

a px

dx, 1a .

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 12. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 12 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Page 60: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale improprii

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

61

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 12

Demonstraţi că integralele improprii

a

xdxex , 0a

Sunt convergente pentru orcie R .

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 12.1 Evident dacă ab avem

ppb

a p abpx

dx

11

1

1, 1p ,

b

a

x

dxb

a p ln , 1p .

Ca urmare

b

a

p

pb p

a

x

dx

1lim

1

,

Dacă 101 pp . Pentru 1p deducem că integrala este divergen-tă.

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 12

1. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989

2. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980

3. Fihtenholt G.M. – “Curs de calcul diferential si integral, vol. I – III”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1963

4. Meghea C. – “Bazele analizei matematice” Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1977

5. Mortici C. – “Lectii de analiza matematica” Ed. ExPonto, Constanta, 2000

6. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953

Page 61: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale duble

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

62

Unitate de învăţare Nr. 13

INTEGRALE DUBLE

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 13…………………………………………………… 62

13.1 Definiţia integralei duble. Proprietăţi ale integralei duble. Metode de calcul............. 62

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 13………………………………………….. 64

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 65

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 13…………………………………………………… 65

Page 62: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale duble

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

63

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 13

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 13 sunt:

Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicatţile practice.

Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de calculul integralelor duble ce apare în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).

Integrale duble

13.1 Definiţia integralei duble. Proprietăţi ale

integralei duble. Metode de

calcul

Fie RR 2: Df , D domeniu compact. Spunem că f este integrabilă Riemann pe D dacă există un număr I cu proprietatea că pentru orice

0 , există un număr 0 astfel încât pentru orice diviziune Δ cu

şi oricare ar fi alegerea ounctelor intermediare iii D , să

avem

If ii ,, .

În acest caz numărul I se numeşte integrala Riemann a funcţiei f pe do-meniul D şi folosim notaţia

D

dxdyyxfI , .

Dacă 0f pe D, atunci D dxdyyxf , reprezintă volumul cilindrului

despre care am discutat la începutul paragrafului. Propoziţie Dacă f este integrabilă pe D şi R , atunci f este integrabilă pe D şi are loc

dxdyyxfdxdyyxfD

D ,, .

Propoziţie Dacă f şi g sunt două funcţii integrabile pe D atunci şi funcţia gf este integrabilă pe D şi

dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxfD

DD

,,,, .

Propoziţie Dacă 21 DDD unde D1 şi D2 sunt domenii compacte, D1 şi D2 nu au puncte interioare comune şi f este integrabilă peD, atunci

Page 63: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale duble

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

64

dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfDD

D

21

,,, .

Propoziţie Dacă Mfm pe D şi f este integrabilă pe D atunci

m aria D

MdxdyyxfD , aria D.

Propoziţie

D

Ddxdy aria .

Teorema Fie R dcbaf ,,: mărginită. Dacă:

a) f este integrabilă pe dcba ,, ;

b) pentru orice bax , , există integrala

xFdyyxfd

c ,

atunci există b

adxxF şi are loc egalitatea

dxdyyxfdxxFdxdyyxfb

a

b

a

d

cD

,, .

Teoremă Dacă R dcbaf ,,: este mărginită şi

a) f este integrabilă pe dcba ,, ;

b)pentru orice dcy , , există b

a

yGdxyxf , , atunci g este

integrabilă pe dc, şi are loc:

dydxyxfdxdyyxfd

c

b

aD

,, .

Teoremă Fie D un domeniu compact, simplu în raport cu axa Oy,

xyxbxayxD 21,|, ,

RDf : o funcţie mărginită astfel încăt: a) f este integrabilă pe D;

b) pentru orice bax , , există integrala

dyyxfx

x

2

1

, .

Page 64: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale duble

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

65

Atunci există integrala

dxdyyxfb

a

x

x

2

1

, şi are loc egalitatea

dxdyyxfdxdyyxfb

a

x

xD

2

1

,, .

Teoremă Fie D un domeniu compact, simplu în raport cu axa Ox,

yxydycyxD 21,, ,

RDf : mărginită. Dacă: a) f este integrabilă pe D ;

b) pentru orice dcy , există

dxyxfx

x

2

1

, .

Atunci există integrala

dydxyxfd

c

x

x

2

1

, şi are loc egalitatea

dydxyxfdxdyyxfd

c

x

xD

2

1

,, .

Test de autoevaluare 13.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.

Să se calculeze D

dxdyyxI ln , unde 2,11,0 D .

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 13. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 13 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 13

Să se calculeze

D

yxI dxdy 2 ,

unde D este domeniul mărginit pe dreptele xy şi are parabola 2xy .

Page 65: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale duble

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

66

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 13.1 Deoarece f este continuă pe D avem

.2

32ln43ln

2

9 11ln12ln2

|ln ln

1

0

1

0

1

0

21

2

1

dxxxxx

dxyyxyxdxdyyxI

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 13

1. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1980

2. Fihtenholt G.M. – “Curs de calcul diferential si integral, vol. I – III”, Ed. Tehnica, Bucuresti 1963

3. Meghea C. – “Bazele analizei matematice” Ed. Stiintifica si Enciclopedica, Bucuresti, 1977

4. Mortici C. – “Lectii de analiza matematica” Ed. ExPonto, Constanta, 2000

5. Smirnov V.I. – “Curs de matematici superioare” vol. I – V, Ed. Tehnica, Bucuresti 1953

Page 66: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale triple

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

67

Unitate de învăţare Nr. 14

INTEGRALE TRIPLE

Cuprins

Pagina

Obiectivele Unităţii de învăţare Nr. 14…………………………………………………… 67

14.1 Definiţia integralei triple. Calculul integralei triple…………………………………. 67

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 14………………………………………….. 68

Răspunsuri şi comentarii la testele de autoevaluare…………………................................. 68

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 14…………………………………………………… 69

Page 67: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale triple

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

68

OBIECTIVELE Unităţii de învăţare Nr. 14

Principalele obiective ale Unităţii de învăţare Nr. 14 sunt:

Se urmăreşte în special dobândirea unor anumite deprinderi în aplicarea cunoştinţelor teoretice în aplicaţiile practice.

Formarea unei gândiri logice şi ordonate aplicabile în analiza şi rezolvarea oricărei aplicaţii de calculul integralelor triple ce apar în practică sau la disciplinele ce vor urma (Mecanica, Rezistenta, etc.).

Integrale triple

14.1 Definiţia integralei triple.

Calculul integralei triple

Definiţie Fie RUf : mărginită pe 3RU domeniu compact. Vom spune că f este integrabilă Riemann pe U dacă există RI cu proprietatea că pentru orice 0 există 0 astfel încât pentru orice şi oricare ar fi

alegerea punctelor intermediare iiii U ,, să rezulte

If iii ,,, .

În acest caz numărul I se numeşte integrala Riemann a funcţiei f pe domeniul U şi vom nota

UU

dVzyxfdxdydzxyxfI ,,,, .

Teoremă Fie R fedcaf ,,,: o funcţie mărginită. Dacă:

1) f este integrabilă pe fedcbaI ,,, ;

2) pentru orice dcbaDyx ,,, există

f

e

yxFdzyxf ,,, ,

atunci există dxdyyxFD

, şi are loc egalitatea

dxdydzzyxfdxdyyxFdxdydzzyxf

D

f

eDI

,,,,, .

Teoremă Fie 3RU un domeniu simplu în raport cu axa Oz şi RUf : o funcţie mărginită. Dacă: a) f este integrabilă pe U ;

b) pentru orice Dyx , , există integrala

dzzyxfyx

yx

,

,

2

1

,, atunci există şi

integrala

Page 68: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale triple

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

69

dxdydzzyxfD

yx

yx

,

,

2

1

,,

şi are loc egalitatea

dxdydzzyxfdxdydzxyxfD

yx

yxU

,

,

2

1

,,,, .

Test de autoevaluare 14.1 – Scrieţi răspunsul în spaţiul liber din chenar.

Să se calculeze I

dxdydzyxJ 2 unde 1,02,11,0 I .

Răspunsul la test se găseşte la pagina .

În loc de rezumat

Am ajuns la sfârşitul Unităţii de învăţare Nr. 14. Vă recomand să faceţi o recapitulare a principalelor subiecte prezentate în această unitate şi să revizuiţi obiectivele precizate la început. Este timpul pentru întocmirea Lucrării de verificare Unitate de învăţare Nr. 14 pe care urmează să o transmiteţi tutorelui.

Lucrare de verificare Unitate de învăţare Nr. 14

Să se calculeze integrala triplă

U

dxdydzzyxI2/32221

unde 1: 222 zyxU .

Răspunsurile şi comentariile la testele de autoevaluare

Răspuns 14.1 În acest caz avem 2,11,0 D şi ca urmare,

.2

1

|

1

0

2

1

2

210

21

0

2

dxdyyx

dxdyyxdxdyyzxdxdydzyxJDD

zzD

Page 69: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Integrale triple

Elemente de analiza matematica si matematici speciale

70

Bibliografie Unitate de învăţare Nr. 14

1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004

2. Boboc N. – “Analiza matematica”, partea I si II, Ed. Universitatii Bucuresti, 1988

3. Colojoara I. – “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1983

4. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1989

Page 70: CSI EAMMS I_Prof EM Craciun_final

Bibliografie

71

BIBLIOGRAFIE

1. Barbu L, Craciun E.M.- “Elemente de analiza matematica si matematici speciale”,Ed. Ex-Ponto, Constanta, 2004

2. Boboc N. – “Analiza matematica”, partea I si II, Ed. Universitatii Bucuresti, 1988 3. Colojoara I. – “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti 1983 4. Craiu M., Tanase V. - “Analiza Matematica”, Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti

1980 5. Arama L., Morozan T. – “Culegere de probleme de calcul diferential si integral”, Ed.

Tehnica, Bucuresti 1977 6. Chirita S. – “Probleme de matematici superioare”, Ed. Didactica si Pedagogica,

Bucuresti 1989 7. Rosculet M. - “Culegere de probleme de analiza matematica” Ed. Didactica si

Pedagogica, Bucuresti, 1976 8. Demidovici D.P. – “Problems in Mathematical Analysis”, Mir Publishers, Moskow,

1976 9. Donciu N., Flondor D. – “Algebra si analiza matematica” (culegere de probleme),

Ed. Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1979 10. Flondor P. – “Lectii de analiza matematica si exercitii rezolvate”, Ed. All, Bucuresti,

1998.

...