Csoportok

  • View
    311

  • Download
    31

Embed Size (px)

Text of Csoportok

Bevezets a csoportelmlet alapjaibazikus hallgatknak(H.F. Jones nyomn)1. Csoport, rszcsoportHa egy zikai redszer szimmetriit vizsgljuk, azaz feldertjk azoknak a transzform-ciknak (pl. geometriai tkrzsek, forgatsok, eltolsok) a struktrjt, amelyekkelszemben a rendszer invarins, termszetes mdon jelenik meg a csoport fogalma. Adencibl azonnal lthat, hogy a transzformcik muveleti tulajdonsgai pontosanmegfelelnek a csoportokon denilt muveleteknek s gy a csoportelmlet eredmnyeikzvetlenl alkalmazhatk a zikai redszerek tulajdosgainak vizsglatban.Denci szerint a G = fc. /. . . .g halmazt csoportnak nevezzk, ha fennllnak ra kvetkezo tulajdonsgok (aximk):0. 9 egy ` : GG! G lekpezs, amely 8 rendezett (c. /) 2 GG elemprhozhozzrendel egy c 2 G elemet. A muveletet (csoport)szorzsnak szoks nevezni.Jellsben:c/ = c. (1)1. A csoportszorzs asszociatv, azaz 8c. /. c 2 G esetnc (/c) = (c/) c. (2)2. 9! egysgelem, azaz ltezik egy s csak egy c 2 G, gy hogy 8c 2 G esetncc = cc = c. (3)3. 8c 2 G-hez 9! inverz elem, azaz ltezik egy s csak egy c12 G, gy hogycc1= c. (4)A csoportszorzs ltalban nem kommutatv: c/ 6= /c. Ha egy G csoport olyan,hogy 8c. / 2 G esetn c/ = /c, a csoportot kommutatv vagy Abel-csoportnak hvjuk.Vizsgljuk meg, hogy az c elem inverznek inverze mi lesz.c1c11= c.Az egyenletet szorozzuk be balrl c-val:cc1c11= cs az asszociativits szablya szerint vgezzk el az elso szorzst:cc11= c11= c.1Egy elem inverznek inverze teht nmagval egyenlo. Azonnal kvetkezik, hogy a 3.axima gy is felrhat:c1c = c.Ugyancsak kvetkezik, hogy az c egysgelem c1inverze egyenlo c-vel, hiszen amsodik axima szerintcc1= c1.ami a 3. axima szerint egyenlo c-vel.Egyszeru pldk csoportokra:1. C2 : fc. cg, ahol c2= c. (Az c elem inverze nmaga.)2. A nemszingulris, ::-es mtrixok csoportja, ahol a csoportmuvelet a mtrixs-zorzs. (Itt a csoportinverz a mtrixok inverze, az egysgelem az egysgmtrix.)3. Az egsz szmok halmaza, ahol a csoportmuvelet a kznsges sszeads. (Azegysgelem a nulla, az inverz elemek az ellenttek.)4. A zikai alkalmazsok szempontjbl fontos szerepet jtszanak az n. pontcso-portok; az olyan szimmetria-transzformcik csoportjai, amelyek egy merev test egypontjt helyben hagyjk.Az egyik egyszeru pontcsoport a n.:-ed rendu ciklikuscsoport: Ca, amelynek elemei egy adott tengely krli 2:,: szg egszszm tbb-szrsvel, az ra jrsval ellenttes irnyban trtno elforgatsok. Acsoportmuveletmegfelel kt egyms utni elforgats alkalmazsnak, gy hogy eloszr mindig a htstnyezonek megfelelo muveletet hajtjuk vgre. (Az inverz elem az ellenttes irnybantrtno megfelelo szgu elfordts, az egysgelem a nulla szggel trtno elfordts)A felsoroltakbl az 1., 3. s a 4. eset Abel-csoportra plda, mg a mtrixokszorzsrl tudjuk, hogy az ltalban nem kommutatv.Vizsgljuk meg az . 1. C cscsokkal megadott szablyos hromszg szimmetria-transzformciit. A hromszg kzppontja krli, az ra jrsval szembeni i2:,3.(i = 0. 1. 2) szggel trtno elforgatsok a hromszget nmagba viszik t. Az ennlnagyobb szggel trtno elforgats nem klnbzik a hrom felsorolt eset valame-lyiktol. Jellje a megfelelo transzformcit c. c s c2. A c2elem, ami alatt a c elemktszeri alkalmazst, azaz a c sajt magval trtn szorzatt rtjk egyenlo lesza c elem c1inverzvel, hiszen ugyanarra a hromszgllsra vezet. A C3 csoportugyangy mint a Ca ltalnos ciklikus csoport kommutatv, tetszoleges eleme elol-lthat c valamilyen hatvnyval.A szablyos hromszgnek ms szimmetrii is lteznek: a slyvonalakra trtnotkrzsek szintn nmagba viszik t a hromszget. Jellje az . 1. C cscsokhoztartoz slyvonalakra trtno tkrzst rendre /1. /2. /3.A hromszg szimmetria-transzformciinak teljes csoportja gy a kvetkezo ele-mekbol ll: 13 = fc. c. c2. /1. /2. /3g . A csoport neve harmadrendu dider csoport.ltalban az : oldal szablyos poligon elforgatsainak Ca csoportjt :-ed renduciklikus csoportnak, a tkrzseket is megengedo szimmetria-transzformciinak tel-jes 1a csoportjt :-ed rendu dider csoportnak nevezzk.Lttuk, hogy 13-ban megtalljuk az c. c. c2elemeket is, amelyek nmagukbana C3 csoportot alkotjk. Azt mondjuk, hogy a C3 csoport a 13 csoport rszcso-portja. Rszcsoport alatt egy G csoport olyan rszhalmazt rtjk, ami szintn cso-portot alkot a G csoportban hasznlt csoportmuveletre nzve. Megklnbztetjk2az n.trivilis rszcsoportokat s a valdi rszcsoportokat.Trivilis rszcsoport azc egysgelem, amely nmagban is csoportot alkot s a teljes G csoport, ami a Gcsoportnak szintn rsze.Egy csoportot akkor hatroztunk meg teljesen, ha megadtuk az elemeinek szorza-tt. Vges csoportok esetben, azaz akkor, ha csoportnak csak vges szm eleme van,ezt a legegyszerubben a szorztbla (latin ngyzet) megadsval tehetjk meg. Pl-daknt nzzk a C3 csoport szorztbljt. Az elso, vonallal elvlasztott oszlop tartal-mazza az elso tnyezoket, a vonallal elvlasztott elso sor pedig a msodik tnyezoket.A tbla belso elemei felelnek meg a szorzatoknak:q1 n q2c c c2c c c c2c c c2cc2c2c cA vonal feletti s elotti rszek megismtlodnek a tbla elso sorban s oszlopbanmivel ezek az egysgelemmel trtno szorzssal lltak elo. Ezrt a vonalon kvlirszeket nem is szoktk kirni.A szorztbla minden oszlopban s sorban egy-egy csoportelem csak egyszerjelenhet meg, azaz egy sorban s oszlopban a csoportelemeknek egy permutcijahelyezkedik el. Ttelezzk fel ui., hogy az i-edik sorban (oszlopban) egy elem ktszerjelenik meg, azaz qiqI = qiq|. (qIqi = q|qi) . / 6= |. Szorozzuk meg az egyenlet ktoldalt balrl (jobbrl) a qi elem q1iinverzvel. A csoportszorzs asszociativitsamiatt az eredmny qI = q|, ami az indexek klnbzosge miatt lehetetlen.rdemes megvizsglni a teljes 13 csoport szorztbljt is. A csoport nem kom-mutatv. Egyszeru eszkzkkel meggyozodhetnk pl. arrl, hogy/1c = c/3. (5)A c transzformci hatsra ui. az 1C hromszg cscsai trendezodnek: !1.1 ! C.C ! szerint.A /1 transzformci pedig felcserl kt cscsot: !1. 1 ! . C ! C. Az egyenlosg jobb oldala szerint eloszr vgrehajtjuk az ! 1.1 ! .C ! C csert, majd a c forgatst: ! 1.1 ! C.C ! .Lthat, hogy ugyanarra vgeredmnyre jutottunk. Hasonl mdon lthatjuk be aztis, hogy:/2 = /1c./3 = /1c2.Szintn fennll, hogy:/21 = /22 = /23 = c.3Ha gyelembe vesszk a fenti sszefggseket, a szorztbla gy alakul:q1n q2c c c2/1/2/3c c c c2/1/1c /1c2c c c2c /1c2/1/1cc2c2c c /1c /1c2/1/1/1/1c /1c2c c c2/2/1c /1c2/1c2c c/3/1c2/1/1c c c2cFigyeljk meg, hogy a szorzatokat sikerlt kt elem, c s /1 felhasznlsval kifejezni.Azt mondjuk, hogy ez a kt elem generlja a G csoportot, amit gy jellnk:G = qj fc. /1g .Az (5) egyenlet c1-gyel trtno beszorzssal trhat/1 = c/3c1alakba. (Ha a csoport kommutatv lenne, ez egy nyilvnvalan helytelen egyenlosgrevezetne: /1 = /3.)Az egyenlet ebben a formban jobban mutat r arra a tnyre, hogy a /1 s /3valamilyen rtelemben hasonl transzformcit r le. Az egyenlet szerint ui. a /1transzformci hatst gy is elrhetjk, hogy eloszr a c1forgatssal megfeleloirnyba forgatjuk a hromszget, vgrehajtjuk a /3 transzformcit, majd a c muvelet-tel "visszacsinljuk" c1hatst. Ennek a helyzetnek az ltalnos lersra szolgl acsoportelemek kztti specilis viszony jellemzsre az albbiakban bevezetett kapc-solat. Azt mondjuk, hogy az c s / csoportelemek konjugltak, ha tallunk olyan ccsoportelemet, amellyel fennll, hogyc = c/c1.Az egyenletben fellpo c elemet konjugl elemnek hvjuk.A csoportok vizsglatban klnsen fontos szerepet jtszik n. :-ed rendu per-mutcis csoport, amelynek jele oa.A csoport elemeinek az : db i-vel (i = 1 . . . :)cimkzett objektum permutciit tekintjk, ahol az i-edik elem a ji-edikbe megy t:1 = 1 2 :j1j2 ja.A jells szempontjbl mindegy,hogy 1-ben milyen sorrendben rjuk le az os-zlopokat. A fenti permutcival egyenlo permutcit jell a1 = 2 1 :j2j1 japermutci is. Kt permutci, 1 s Q szorzata alatt a kt permutci egyms utnialkalmazsval ltrehozott permutcit rtjk:1Q = 1 2 :j1j2 ja 1 2 :12 a= 1 2 :jq1jq2 jq.4Ltjuk, hogy amint azt a lineris opercik szorzsnl is megszoktuk, eloszr amsodik helyen ll tnyezo hatst rtkeljk ki. A szorzat nem kommutatv, amiegy egyszeru pldn is illusztrlhat: 1 2 31 3 2 1 2 33 1 2 = 1 2 32 1 3.ugyanakkor 1 2 33 1 2 1 2 31 3 2 = 1 2 33 2 1.Az egysgelem1 = 1 2 :1 2 :.1 inverze pedig11= j1j2 ja1 2 :.Vegyk szre, hogy a 13 csoport elemeit tulajdonkppen a hromszg cscsainaktrendezsvel deniltuk s gy pl. a c s /1 elem lerhat gy is mint az . 1. Celemek albbi permutcija:1c = 1 C1 C .1b1 = 1 C C 1.Az albbiakban a "lerhat gy is" szrevtel pontosabb rtelmet kap s beltjuk,hogy egy ltalnos tulajdonsg megnyilvnulsnak eredmnye.2. CsoporthomomorzmusA csoportok struktrjnak vizsglatban fontos szerepet jtszik az n.csoportho-momorzmus fogalma. Kpezzk le az csoport qi elemeit az , : ! 1 lekpzssela 1 csoport elemeire:qi 7! , (qi) 2 1gy, hogy a lekpezs megtartja a csoportmuveletek szerkezett, azaz ha 8qi. q) 2 -rafennll, hogy, (qi) , (q)) = , (qiq)) . (6)Ekkor azt mondjuk, hogy egy csoporthomomorzmust hoztunk ltre. A (6) ssze-fggsbol kt fontos dolog azonnal kvetkezik.Helyettestsk ui.a q) helyre az csoport c egysgelemt:, (qi) , (c) = , (qic) = , (qi) .5Az egyenletet balrl beszorozva az , (qi)1inverzelemmel, azt kapjuk, hogy, (qi)1, (qi) , (c) = , (qi)1, (qi) .azaz, (c) = c1.ahol c1 a 1 csoport egysgeleme. Az c egysgelemet teht a homomorzmus az c1egysgelemre kpezi le.Most a (6) egyenletben a q) helyre rjuk be q1i-t s hasznljuk fel az utbbisszefggst:, (qi) , q1i = ,qiq1i= , (c) = c1.Teht a homomorzmus az inverzelemeket a kpelemek inverzeire kpezi le:, q1i = , (qi)1.A csoporthomomorzmusok kzt specilis szerepet jtszanak az egy-egy rtelmu,azaz invertlhat lekpezsek. Az egy-egy rtelmu homomorzmust izomorzmusnaknevezzk. Ha csoport izomorf 1 csoporttal, jellsben: = 1.az azt jelenti, hogy a kt csoport struktrja megegyezik s az egyikben tallt ssze-fggsek fennllnak a msikban is.A szorztblrl tett megjegyzsnk arrl, hogy minden sorban a csoportelemekegy permutcija jelenik meg, elvezet Cayley ttelhez, amely szerint egy : elemucsoport mindig izomorf az oa csoport egy rszcsoportjval. Tekintsk ui. a G csoporti-edik qi s ,-edik q) elemnek szorzatt. A szorzs eredmnye a csoport /-adik eleme:qiq) = qI.A /-t mint az i. , fggvnyt jelljk gy: / = fi. ,g, azaz qiq) = qfi,)