Upload
others
View
17
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Csordás MihályKonfár LászlóKothencz JánosnéKozmáné Jakab ÁgnesPintér KláraVincze Istvánné
Hetedik, javított kiadás
Mozaik Kiadó – Szeged, 2013
6t a n k ö n y v
Ms-2306_Matek6_7-kiadas-2013.qxd 2013.04.02. 15:43 Page 3
6
Oszthatóság1. A természetes számok többszörösei és osztói (ismétlés) .......... 10
2. Vizsgáljuk a maradékot! ..................................................................................... 15
3. Az összeg, a különbség és a szorzat oszthatósága ....................... 19
4. Oszthatósági szabályok ...................................................................................... 27
5. Oszthatóság a szám számjegyeinek összege alapján .................. 34
6. További oszthatósági szabályok ................................................................... 38
7. Prímszámok, összetett számok ..................................................................... 42
8. Összetett számok felírása prímszámok szorzataként ..................... 46
9. Közös osztók, legnagyobb közös osztó .................................................. 50
10. Közös többszörösök, legkisebb közös többszörös ......................... 55
11. Vegyes feladatok ...................................................................................................... 59
Hogyan oldjunk meg feladatokat?1. Mi a kérdés? ................................................................................................................ 62
2. Vizsgáljuk meg az adatokat! ............................................................................ 66
3. Következtessünk visszafelé! ............................................................................ 70
4. Készítsünk ábrát! ..................................................................................................... 74
5. Tartsunk egyensúlyt! ............................................................................................. 79
6. Ellenõrizzük a megoldást! ................................................................................. 82
7. Válaszoljunk a kérdésre! .................................................................................... 86
8. A feladatmegoldás lépései ................................................................................ 89
9. Vegyes feladatok ...................................................................................................... 94
A racionális számok I.1. Az egész számok (ismétlés) ............................................................................ 98
2. Az egész számok összeadása, kivonása (ismétlés) ....................... 101
3. Az összevonás ........................................................................................................... 106
4. Az egész számok szorzása .............................................................................. 109
5. Az egész számok osztása ................................................................................. 114
6. A tizedes törtek összevonása ......................................................................... 118
7. A tizedes törtek szorzása ................................................................................... 122
8. Osztás a tizedes törtek körében .................................................................... 126
9. Vegyes feladatok ...................................................................................................... 130
Tartalomjegyzék
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:26 Page 6
7
Tengelyes szimmetria1. A tengelyes szimmetria a környezetünkben ......................................... 134
2. A tengelyesen szimmetrikus háromszögek ........................................... 138
3. A tengelyesen szimmetrikus sokszögek és a kör ............................. 143
4. A körzõ és a vonalzó használata .................................................................. 151
5. Merõleges egyenesek szerkesztése .......................................................... 156
6. Párhuzamos egyenesek szerkesztése ..................................................... 161
7. Szögfelezés, szögmásolás, szögszerkesztés ...................................... 165
8. Alakzatok tengelyes tükörképének szerkesztése .............................. 171
9. Tengelyesen szimmetrikus sokszögek szerkesztése ...................... 177
10. Vegyes feladatok ...................................................................................................... 183
A racionális számok II.1. A törtekrõl tanultak ismétlése .......................................................................... 186
2. Mûveletek törtekkel (ismétlés) ........................................................................ 191
3. A negatív törtek ......................................................................................................... 198
4. Tört szorzása törtszámmal ................................................................................ 203
5. A számok reciproka ............................................................................................... 207
6. Osztás törttel ............................................................................................................... 210
7. Mûveleti sorrend ....................................................................................................... 214
8. A racionális számok ............................................................................................... 218
9. Vegyes feladatok ...................................................................................................... 222
Arányosság1. Az egyenes arányosság ...................................................................................... 226
2. Egyenes arányossággal megoldható feladatok ................................. 230
3. A fordított arányosság .......................................................................................... 233
4. Fordított arányossággal megoldható feladatok .................................. 238
5. Az arány ......................................................................................................................... 241
6. Arányos osztás .......................................................................................................... 245
7. Vegyes feladatok ...................................................................................................... 248
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:26 Page 7
8
Százalékszámítás1. A törtrész kiszámítása ........................................................................................... 252
2. Az egész rész kiszámítása ................................................................................ 256
3. A százalék fogalma ................................................................................................ 260
4. A százalékérték kiszámítása ............................................................................ 263
5. A százalékalap kiszámítása .............................................................................. 267
6. A százalékláb kiszámítása ................................................................................. 270
7. Vegyes feladatok ...................................................................................................... 274
Valószínûség, statisztika1. Biztos esemény, lehetetlen esemény ........................................................ 278
2. Diagramok .................................................................................................................... 283
3. Grafikonok .................................................................................................................... 288
4. Átlagszámítás ............................................................................................................. 291
5. Vegyes feladatok ...................................................................................................... 295
Kiegészítõ anyagrészek1. Nyitott mondatok ..................................................................................................... 296
2. Szimmetria a térben ............................................................................................. 298
3. Sorozatok ...................................................................................................................... 301
Az új szakszavak jegyzéke ........................................................................................ 304
Elõszó és útmutató a tankönyv használatáhozGondolkodni jó! De ne higgyétek, hogy ezt csak azok érezhetik, akiknek jó jegyük van ma-tekból! Mindenki, aki örült már annak, hogy következetes és logikus gondolkodással megtudott birkózni egy megoldhatatlannak tûnõ problémával, átélhette a siker élményét.
Ebben az évben nagyon sok gyakorlati feladattal találkozhattok. Megérthetitek majd pél-dául, mit jelent a hirdetésekben naponta látott-hallott százalék fogalma; megtanultok egy-szerû diagramokat készíteni; körzõvel és vonalzóval alakzatokat szerkeszteni. És legfõ-képpen a sok-sok feladat megoldása során fejleszthetitek a gondolkodásotokat.
A leckék legtöbbször kidolgozott példákkal kezdõdnek. Ezeket érdemes elemezni és meg-érteni, mert mintát nyújtanak a további feladatok megoldásához is. A megtanulandó legfon-tosabb szabályokat és meghatározásokat a könyv zöld aláfestéssel és vastag betûs kieme-léssel jelzi. A *-gal jelölt gyakorló feladatok megoldásához ügyes ötletek szükségesek.A lapszélen olvasható apró betûs információk a mindennapi élettel, a matematika alkalma-zásával kapcsolatos érdekességek, magyarázatok, kiegészítõ ismeretek vagy kérdések.
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:26 Page 8
27
El tudják-e egyenlõenosztani a gyerekekaz ajándékkosár árát?
2-velnem oszthatószámok:1; 3; 5; 7; 9; ...
2-velosztható számok:0; 2; 4; 6; 8; 10; ...
4. Oszthatósági szabályok
1. példaJóska sétálni indul. Melyik lábbal teszi meg a 21., az 58. és a 387.lépést, ha az elsõ lépést jobb lábbal teszi meg?
MegoldásJobb lábbal teszi meg az 1., 3., 5., 7., 9., ... lépést.Bal lábbal teszi meg a 2., 4., 6., 8., 10., ... lépést, köztük a 10 vala-mennyi többszörösét is.
Minden további lépésszámot felbonthatunk olyan kéttagú összegre,melynek az elsõ tagja 10 valamely többszöröse, a második tagja pe-dig egyjegyû szám.
21 = 20 + 1 58 = 50 + 8 387 = 380 + 7bal jobb bal bal bal jobb
Jóska a 21. és a 387. lépést jobb, az 58. lépést bal lábbal teszi meg.
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 10-zel, ha az utolsószámjegye 0.
Az oszthatóság megállapítása az utolsó számjegy alapjánA 30; 140 és 4070 számok utolsó számjegye 0. Ezek a számok felírhatók30 = 3 ·10; 140 = 14 ·10; 4070 = 407 ·10 alakban, ezért oszthatók 10-zel.
Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0, akkor osztható 10-zel.
Ha egy természetes szám osztható 10-zel, akkor felírható egy természetesszám tízszereseként. Például 5 ·10 = 50; 96 ·10 = 960; 230 ·10 = 2300.Minden természetes szám tízszeresének utolsó számjegye 0.
Ha egy természetes szám osztható 10-zel, akkor az utolsó számjegye 0.
A két elõbbi szabály együtt megfogalmazva:
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:26 Page 27
28
OSZTHATÓSÁG
Az 5-re végzõdõ számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban:
Pl.: 15 = 10 + 5; 25 = 20 + 5; 35 = 30 + 5; ... 75 = 70 + 5.
Az összeg mindkét tagja osztható 5-tel, ezért az összeg is osztható 5-tel.A 0-ra és az 5-re végzõdõ számok oszthatók 5-tel.
Ha a szám 1; 2; 3; 4; 6; 7; 8; 9-re végzõdik, akkor nem osztható 5-tel.
ötös osztási ötös osztásimaradék maradék
Például: 31 = 3 · 10 + 1 1 36 = 3 · 10 + 6 132 = 3 · 10 + 2 2 37 = 3 · 10 + 7 233 = 3 · 10 + 3 3 38 = 3 · 10 + 8 334 = 3 · 10 + 4 4 39 = 3 · 10 + 9 4
² ²osztható nem osztható osztható nem osztható
5-tel 5-tel 5-tel 5-tel
Magyarázzuk meg a példában szereplõ észrevételt!
A 0-ra végzõdõ számok (10; 20; 30; 40; 50; 60; ...) tízzel oszthatók, ezérta 10 osztójával, az 5-tel is oszthatók.
2. példaGyöngyi egy könyvet olvasott, és észrevette, hogy minden olyanoldalon (és csak azokon) van kép, amelyek oldalszáma 5-tel osztható.Soroljuk fel, hányadik oldalakon talált képet Gyöngyi, ha a könyv 84oldalas! Mit veszünk észre?
MegoldásA képet tartalmazó oldalszámok: 05; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40;
45; 50; 55; 60; 65; 70; 75; 80.
Észrevehetõ, hogy azokon az oldalakon van kép, amelyek sorszáma0-ra vagy 5-re végzõdik.
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 2-vel, ha az utolsószámjegye 0; 2; 4; 6 vagy 8.
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 5-tel, ha az utolsószámjegye 0 vagy 5.
Egy természetesszám 5-ös maradéka
megegyezikutolsó jegyének
ötös maradékával.
10_________
01 · 1002 · 50
A 10-nekosztója az 5.
35 = 3 ¡ (2 ¡ 5) + 5
31 = 3 ¡ (2 ¡ 5) + 1
Ha egy természetes szám utolsó számjegye 0; 2; 4; 6 vagy 8, akkor oszt-ható 2-vel.
Ha egy természetes szám osztható 2-vel, akkor az utolsó számjegye0; 2; 4; 6 vagy 8.
A két elõbbi szabály együtt megfogalmazva:
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:26 Page 28
29
3. példaÁllapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy a 728, az 5812 és az5821 osztható-e 4-gyel!
MegoldásA számokat felírhatjuk kéttagú összeg alakban a következõképpen:
A 728 és az 5812 osztható 4-gyel, az 5821 nem osztható 4-gyel.
0 07 = 7 +58 = 58 +58 = 58 +
28 2812 1221 21
100100100
¡
¡
¡
A szorzat osztható 100-zal,ezért a 100 osztójával, a 4-gyel is.
Az utolsó kétszámjegybõl állószámot kell vizsgálni!
�����
��
�
28-nak osztója a 4;12-nek osztója a 4;21-nek nem osztója a 4.
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 4-gyel, ha az utolsókét számjegyébõl álló kétjegyû szám osztható 4-gyel.
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 25-tel, ha az utolsó kétszámjegyébõl álló kétjegyû szám osztható 25-tel.
Az oszthatóság megállapítása az utolsó két számjegy alapján
34 = 34 +75 75100¡
A szorzat osztható 100-zal,ezért a 100 osztójával, a 25-tel is.
Az utolsó két számjegybõlálló szám osztható 25-tel.
� ����
Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám 20-szal, 25-tel és 50-nelvaló oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó két számjegyébõl állókétjegyû számot vizsgálnunk.
Például a 3475 osztható 25-tel, mert:
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 100-zal, ha az utolsókét számjegye nulla.
Ha egy szorzat egyik tényezõje 100, akkor a szorzat osztható 100-zal ésa 100 valamennyi osztójával, így a 4-gyel, 25-tel, 20-szal és 50-nel is.
100_________
01 · 10002 · 50004 · 25005 · 20010 · 100
Például: 00000400 = 004 · 100 403 · 100 = 40 30000007000 = 070 · 100 800 · 100 = 80 000
² ²az utolsó osztható osztható az utolsó
két számjegy 0 100-zal 100-zal két számjegy 0
Ha egy természetesszám utolsó kétszámjegyébõl állókétjegyû számosztható 4-gyel,akkor a számosztható 4-gyel.
Ha egy természetesszám osztható4-gyel, akkoraz utolsó kétszámjegyébõl állókétjegyû számosztható 4-gyel.
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:26 Page 29
30
OSZTHATÓSÁG
Egy természetes szám 4-gyel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utol-só két számjegyébõl álló szám.
Pl.: 25 472 = 25 400 + 72 és 72 = 18 ¡ 4 + 0, tehát a 25 472 négyes maradéka 0;
25 469 = 25 400 + 69 és 69 = 17 ¡ 4 + 1, tehát a 25 469 négyes maradéka 1.
Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 20-szal, 25-tel, 50-nel és 100-zalosztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó két számjegyébõl álló szám.
4. példaÁllapítsuk meg az osztás elvégzése nélkül, hogy az 5432, a 17 128és a 7324 osztható-e 8-cal!
MegoldásÍrjuk fel a számokat kéttagú összeg alakban a következõ módon:
432 = 54 ¡ 8 ¯ 432-nek osztója a 8;128 = 16 ¡ 8 ¯ 128-nak osztója a 8;324 = 40 ¡ 8 + 4 ¯ 324-nek nem osztója a 8.
Az 5432 és a 17 128 osztható 8-cal, a 7324 nem osztható 8-cal.
0 0
0 0
5 = 5 +17 = 17 +
7 = 7 +
432 432128 128324 324
100010001000
¡
¡
¡
A szorzat osztható 1000-rel,ezért az 1000 osztójával, a 8-cal is.
Az utolsó háromszámjegybõl állószámot kell vizsgálni.
�����
��
�
Az oszthatóság megállapítása az utolsó három számjegy alapján
Például: 2000 = 0002 · 1000 0090 · 1000 = 00 90 0004 500 000 = 4500 · 1000 1803 · 1000 = 1 803 000
² ²az utolsó osztható osztható az utolsó
3 számjegy 0 1000-rel 1000-rel 3 számjegy 0
Ha egy szorzat egyik tényezõje 1000, akkor a szorzat osztható 1000-rel és az1000 valamennyi osztójával, így a 8-cal, a 125-tel, a 250-nel és az 500-zal is.
Az 1000-nekosztója a 8.
1000_________
01 · 100002 · 500004 · 250005 · 200008 · 125010 · 100020 · 500025 · 4000
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 8-cal, ha az utolsóhárom számjegyébõl álló háromjegyû szám osztható 8-cal.
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 1000-rel, ha az utolsóhárom számjegye 0.
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:26 Page 30
31
Egy természetes szám 8-cal osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsóhárom számjegyébõl álló szám.
Pl.: 25 472 = 25 000 + 472 és 472 = 59 ¡ 8 + 0, tehát a 25 472 8-as maradéka 0,
25 469 = 25 000 + 469 és 469 = 58 ¡ 8 + 5, tehát a 25 469 8-as maradéka 5.
Hasonlóan megmutatható, hogy egy természetes szám 40-nel, 125-tel, 200-zal, 250-nel,500-zal és 1000-rel osztva ugyanannyit ad maradékul, mint amennyit az utolsó háromszámjegyébõl álló szám.
Mennyi maradékot ad a 276 és az 1276,
a) 125-tel; b) 200-zal; c) 500-zal osztva?
a) 276 = 2 ¡ 125 + 026 1276 = 1000 + 276 = 8 ¡ 125 + 2 ¡ 125 + 26
b) 276 = 1 ¡ 200 + 076 1276 = 1000 + 276 = 5 ¡ 200 + 1 ¡ 200 + 76
c) 276 = 0 ¡ 500 + 276 1276 = 1000 + 276 = 2 ¡ 500 + 276
A maradékokat szemléltethetjük számegyenesen:
Egy természetes szám pontosan akkor osztható 125-tel, ha az utolsóhárom számjegyébõl álló háromjegyû szám osztható 125-tel.
Hasonlóan belátható, hogy egy természetes szám 125-tel, 200-zal, 250-nelés 500-zal való oszthatóságának vizsgálatakor elég az utolsó három szám-jegyébõl álló háromjegyû számot vizsgálnunk.
Például a 76 250 osztható 125-tel, mert:
76 = 76 +250 2501000¡
A szorzat osztható 1000-rel,ezért az 1000 osztójával,
a 125-tel is.
Az utolsó háromszámjegybõl álló számosztható 125-tel.
�����
1250
0 200 400 600 800
0 500
250 375 500 625 750 875 1000
1000 1200 1400 1600
1000
1125 1250 1375 1500
1500
1625
276
276
276
1276
1276
1276
Feladatok1. a) Hová kerülne a halmazábrán a 10 000-rel
osztható számok halmaza?
b) Írjunk igaz, illetve hamis állításokat a hal-mazábra alapján!
70
11 230
600
3400
7000
82 000 1 000 000
900 000
10-zel osztható számok
100-zal oszthatók
1000-rel oszthatók
Az 1000-nekosztója a 125.
a)
b)
c)
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:26 Page 31
32
OSZTHATÓSÁG
Az adott számok halmaza
4-gyel oszthatók
25-tel oszthatók
2. a) Soroljuk fel azokat a kétjegyû számokat, amelyek a 4-gyel osztható számok végzõ-dései lehetnek!
b) Mely számokkal oszthatók azok a számok, melyek a következõ háromjegyû szá-mokra végzõdnek: 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875?
3. Soroljuk fel azokat a 125-tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek, mint 14 500,és nem nagyobbak, mint 16 000! Hány ilyen szám van?
4. Soroljuk fel azokat a 25-tel osztható számokat, amelyek nem kisebbek 570-nél, de nemnagyobbak 850-nél!
5. Állapítsuk meg a 783; 3689; 4592; 7840; 11 999 számok
a) 2-es; b) 4-es; c) 5-ös; d) 8-as; e) 25-ös; f) 125-ös maradékát!
6. Mennyi a 2787 + 3058 + 12 429 összeg
a) 2-es; b) 4-es; c) 5-ös; d) 25-ös; e) 125-ös; f) 8-as maradéka?
Az adott számok halmaza
2-vel oszthatók
5-tel oszthatók
7. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonlóhalmazábrát, és írjuk bele a következõ szá-mokat!0; 17; 45; 72; 30; 85; 160; 449; 328;135; 794; 225; 900.Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú szá-mok kerültek a két halmaz közös részébe!
Az adott számok halmaza
8-cal oszthatók
125-tel oszthatók
9. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonlóhalmazábrát, és írjuk bele a következõ szá-mokat!4728; 152; 64; 1250; 6112; 415; 0; 94 375;17 000; 500; 63 056; 16 875; 230000.Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú szá-mok kerültek a két halmaz közös részébe!
10. Jelöljük halmazábrán a 4-gyel és 8-cal osztható számok halmazát, majd írjuk bea következõ számokat! Mit vehetünk észre?
56; 20; 100; 172; 256; 7344; 9040; 13 912; 25 000; 528; 403 000; 1; 680 516; 0.
8. Készítsünk a füzetbe az itt láthatóhoz hasonlóhalmazábrát, és írjuk bele a következõ szá-mokat!7356; 8300; 94 050; 3024; 875; 4445;1932; 15 000; 18; 74; 125; 70 900; 94.Fogalmazzuk meg, milyen tulajdonságú szá-mok kerültek a két halmaz közös részébe!
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:26 Page 32
33
11. Állapítsuk meg a következõ számok hiányzó számjegyeit úgy, hogy 4-gyel és 5-tel isoszthatók legyenek! Mit állapíthatunk meg a 4-gyel és 5-tel osztható számokról?
a) 3ÂÒ0 ÂÒ = b) 7ÀÐ85 ÀÐ =
12. A számkártyákból képezzük az összes lehetséges háromjegyû számot!Készítsünk halmazábrát, jelöljük a 2-vel és az 5-tel osztható számok halmazát, és írjukbe a számokat!
13. A számkártyákból alkossunk
a) 4-gyel osztható háromjegyû számokat! Ezek közül melyek oszthatók 5-tel is?Mit mondhatunk a 4-gyel is és 5-tel is osztható számokról?
b) 5-tel, 25-tel és 50-nel osztható háromjegyû számokat, és írjuk ezeket halmazábrába!Mondjunk igaz állításokat a halmazábra alapján!
14. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis!a) Ha egy szám utolsó két számjegyébõl álló szám osztható 4-gyel,
akkor maga a szám is osztható 4-gyel.b) Egy szám akkor osztható 4-gyel, ha utolsó két számjegye oszt-
ható 4-gyel.c) Ha egy szám 4-gyel és 5-tel is osztható, akkor 20-szal is osztható.d) Ha egy szám 4-gyel és 2-vel is osztható, akkor 8-cal is osztható.
15. Döntsük el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz, melyik hamis!a) Ha egy szám osztható 50-nel, akkor 5-tel is osztható.b) Minden 25-tel osztható szám 50-nel is osztható.c) Ha egy szám többszöröse 25-nek, akkor 5-nek is többszöröse.d) Van olyan 25-tel osztható szám, amelynek minden számjegye páratlan.
16. Egy országos matematikaverseny szervezõi tréfás kiszámolóba rejtve közölték a részt-vevõkkel, hogy mi a fõdíj. „Számoljatok balról jobbra és jobbról balra egyesével 1-tõlkezdve a következõ módon: 1. A, 2. B, 3. C, 4. D, 5. E, 6. D, 7. C, 8. B, 9. A, 10. B, 11. C ... !Ha így haladtok tovább, akkor 1000-hez érve éppen a fõdíjra mutattok.” Mi a versenyfõdíja?
5210
5430
Egy vastag könyvbõl kiesett néhány egymás után következõ lap. A legelsõ a 143. oldal volt, a leg-utolsó kiesett oldalon pedig ugyanezek a számjegyek szerepeltek, csak más sorrendben. Hány lapesett ki a könyvbõl?
R e j t v é n y
A)
B)
D)
E)
C)
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:26 Page 33
70
HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT?
3. Következtessünk visszafelé!
1. példaGondoltam egy számra, elosztottam 5-tel, hozzáadtam 6-ot, ezt meg-szoroztam 8-cal, és így 80-at kaptam. Melyik számra gondoltam?
Megoldás
Kövessük nyomon az eredeti szám változását!
Az eredeti szám a 20.
Ellenõrzés: 20 ¢ 5 = 4; 4 + 6 = 10; 10 ¡ 8 = 80, ami a feladatszövegének megfelel.
Válasz: Tehát a 20-ra gondoltam.
5 4 = 20¡
a kapottszám
10 6 = 4µ 80 8 = 10¢ 80
¢ 5 + 6 ¡ 8
1. szám 2. szám 3. szám 4. szám
¡ 5 µ6 ¢ 8
a gondoltszám
Géza a térképvázlat alapján haladt, és minden útelágazásnál eldöntötte, hogy milyenirányban menjen tovább. Melyik pontból indult, ha az útelágazásoknál az alább jelöltirányokba fordulva ért a sajthoz?
Játsszátok ela feladatot, majd
találjatok kihasonlókat!
Több probléma megoldásakor segítséget jelenthet, ha a végsõ helyzetbõlkiindulva visszafelé következtetünk.
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:28 Page 70
3. példaEgy tál teli volt gombóccal. Elõször Bence ért haza, és megettea gombócok felét és még egy fél gombócot. Majd megjött Ákos, ésmegette a maradék gombócok felét. Ezután 5 gombóc maradt. Hánygombóc volt eredetileg a tálban?
MegoldásJelöljük egy szakasszal az összes gombócot!
Ákos a Bence által meghagyott gombócok felét ette meg. A másik felea maradék 5 gombóc, azaz Ákos is 5 gombócot evett meg. Így Bence2 ¡5 = 10 gombócot hagyott. Ha Bence nem ette volna meg a fél gom-
bócot, akkor épp az összes gombóc felét ette volna meg, ami .10 12
Tehát a tálon eredetileg ¡ 2 = 21 gombóc volt.10 12
az összes gombóc fele
a maradékfeleBence ennyi gombócot evett
5
� � ����� ��� ������ �������
Ákos ennyi gombócot evett
� � ���� ��� � � ���� ���
�� � ��� �������� � ��������
� ��� ���� ���
ez is a maradékfele
� ��� ���� ���
12
71
2. példaA házunk elõtt három fa áll, egy barack-, egy dió- és egy meggyfa.Reggel 48 veréb repült a házunkhoz, és leszállt a három fára. Késõbb8 veréb a barackfáról átszállt a diófára, majd 6 veréb átszállt a diófá-ról a meggyfára. Ekkor mindegyik fán ugyanannyi veréb ült. Hány ve-réb telepedett le eredetileg a barackfán, a diófán és a meggyfán?
MegoldásA röpködések után a 48 veréb úgy helyezkedett el a három fán, hogymindegyiken ugyanannyi veréb ült, vagyis mindhárom fán 48 ¢ 3=16veréb volt. Foglaljuk táblázatba a verebek számát a fákon!
Ellenõrzés: A barackfán 24 µ 8 = 16 veréb maradt.A diófán 14 + 8 µ 6 = 16 veréb maradt.A meggyfán 10 + 6 = 16 veréb lett.
Válasz: A táblázatból leolvasható a megoldás: eredetileg a barackfára24 veréb szállt le, a diófára 14, a meggyfára pedig 10.
barackfa diófa meggyfa
Végsõ állapot
Közbülsõ állapot
Eredeti helyzet
16
16
16
16 6 = 22+
22 8 =µ 1416 8 =+ 24
16
16 6 = 10µ
10+8 +8
+6 +6
µ8 µ8
µ6 µ6
Hogyan ehette megBence a gombócokfelét és még egy félgombócot úgy, hogyegy gombócot semkellett kettévágnia?
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:28 Page 71
72
HOGYAN OLDJUNK MEG FELADATOKAT?
Feladatok1. Gondoltam egy számot, elvettem belõle 29-et, megszoroztam 17-tel, elosztottam 221-
gyel, és 4-et kaptam. Melyik számra gondoltam?
2. Gondoltam egy számot, hozzáadtam 38-at, elosztottam 10-zel, a kapott számot meg-szoroztam 9-cel, majd hozzáadtam 19-et, és 100-at kaptam. Melyik számra gondol-tam?
3. Melyik az a szám, amelyiknek a felénél 5-tel kisebb szám a 25?
4. Peti egy mûveletsor végén 520-at kapott. Késõbb rájött, hogy az utolsó mûveletet elté-vesztette, és ahelyett, hogy 89-et kivont volna, 89-et hozzáadott. Mennyi a helyes vég-eredmény?
5. Pali egy mûveletsor végén 480-at kapott. Késõbb rájött, hogy az utolsó mûveletet elté-vesztette, és ahelyett, hogy 4-gyel osztott volna, 4-gyel szorzott. Mennyi a helyes vég-eredmény?
6. András, Béla és Csaba társasjátékot játszottak. A játékszabály szerint aki egy fordulótmegnyert, az a vesztesektõl kapott 5-5 zsetont. A 6. kör végén egyformán osztoztak a60 zsetonon. A 6. kört Béla nyerte, az 5. kört Csaba, a 4. kört András. Kinek hány zse-tonja volt a 3. kör végén?
7. Egy méhraj repült az udvarunkba. A méhek fele a barackfára szállt, a maradék fele azaranyvesszõre, a többi 18 méh pedig a tulipánokra. Hány méh röpült az udvarunkba?
8. A párizsi kiránduláson Réka és Árpi sokat fotózott. Szerdán a képek felét az Eiffel-toronynál, a maradék kétharmad részét a Notre Dame-nál, a maradék 8 képet pediga Diadalívnél készítették. Összesen hány képet készítettek szerdán?
Ellenõrzés:
A tálon 21 gombóc volt. Bence megevett 21 ¢ 2 + = + =11gombócot. Maradt 10 gombóc.
Ákos megevett 10 ¢ 2 = 5 gombócot.
Valóban 5 gombóc maradt.
Válasz: Eredetileg 21 gombóc volt a tálban.
12
10 12
12
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:28 Page 72
73
9. Egy vég szövetbõl az üzletben elõször 5 m-t, aztán 3 m-t, majd 4,5 m-t adtak el. Utánaegy varrónõ megvette a maradék szövet felét, majd egy másik is elvitt 10 m-t, ígyaz utolsó vevõnek 2 m maradt. Hány méter szövet volt a végben?
10. Ha egy téglalap egyik szemközti oldalpárját kétszeresére, másik szemközti oldalpárjátpedig háromszorosára növeljük, akkor egy olyan négyzetet kapunk, amelynek a kerü-lete 48 cm. Mekkorák az eredeti téglalap oldalai?
11. A 6. C osztályban a tanulók harmada lány. A fiúk negyede kosárlabdázik. Ha 12 olyanfiú van, aki nem kosárlabdázik, akkor hány tanuló jár az osztályba?
12. Egy használtautó-kereskedõ egy hétig nem vett autót, csak eladott. Hétfõn eladta azautók felét meg még egy fél autót, kedden a maradék felét meg még egy fél autót,szerdán a maradék felét meg még egy felet, így egy autója maradt, amivel elmentnyaralni. Hány autót adott el hétfõn?
13. Egy gazdag ember a vagyona felét és még 1000 aranyat a feleségére hagyott. A mara-dék felét és még 1000 aranyat a leányára, a maradék felét és még 1000 aranyat az ina-sára, a maradék felét és még 1000 aranyat a kutyájára, a megmaradt 10 000 aranyatpedig jótékonysági célra hagyományozta. Hány arany volt a gazdag ember vagyona?
Egy hordóban 30 liter drága olaj van. Hogyan lehet ebbõl egy 4 literes és egy 9 literes edény segítsé-gével pontosan 6 litert kimérni, ha nincs más edényünk, és egyetlen cseppje sem veszhet kárba?
R e j t v é n y
JátékEzt a játékot ketten játsszátok egy bábuval! A bábu a START-ról indul, és felváltva léphet-tek vele egyszerre legalább 1-et, de legfeljebb 5-öt. Az gyõz, aki be tud lépni a CÉL-ba.
Tud-e a kezdõ játékos úgy játszani, hogy biztosan gyõzzön?
*
*
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:28 Page 73
122
A RACIONÁL IS SZÁMOK I .
7. A tizedes törtek szorzása
Tizedes tört szorzása egész számmal
1. példaEgy lépcsõs piramis alsó három lépcsõfokát betemette a sivatag ho-mokja. A piramis egy lépcsõfoka 7,18 m magas.
a) Milyen magasan van a pira-mis csúcsa a homokfelszínfelett, ha a piramis összesen7 lépcsõbõl áll?
b) Hol kezdõdik a piramis elsõlépcsõje a homokfelszínhezképest?
Megoldás
a) A piramis 7 lépcsõbõl áll,ezért 4 lépcsõ van a homok-felszín felett.
7,18 + 7,18 + 7,18 + 7,18 == 4 ¡ 7,18 = 28,72.
A piramis csúcsa 28,72 m magasan van a sivatag homokfelszínefelett.
b) A homokfelszín alatti elsõ lépcsõ µ7,18 méteren van.
(µ7,18) + (µ7,18) + (µ7,18) = 3 ¡ (µ7,18) = µ21,54.
A piramis alja a homokfelszínhez képest µ21,54 méteren van.
Ha tizedes törtet egész számmal szorzunk, a szorzatban annyi tizedesje-gyet jelölünk, amennyi a tizedes törtben van. A szorzat elõjelét ugyanúgyállapítjuk meg, mint az egész számok szorzásakor.
24
7827 1 8 ¡,
,
43
5127 1 8 ¡,
,
Beszélgesseteka fotókon látható
mérõeszközökrõl!Fogalmazzatok meg
szorzásokat!
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:28 Page 122
123
2. példaEgy téglalap alakú terasz méretei láthatóak az ábrán. Hány négyzet-méter területû ez a terasz?
Megoldása = 5,6 mb = 3,2 m
T = ? Becslés:T = a ¡ b T » 6 ¡ 3 m2 = 18 m2
T = 5,6 ¡ 3,2 m2
Induljunk ki az egész számok szorzásából, és figyeljük meg a szorzatváltozásait!
A terasz területe 17,92 m2.
Tizedes tört szorzása tizedes törttel
a
b
5,6 m
3,2 m
056 ¡ 32168112
1792
3. példaA 2. példában szereplõ teraszt a kert felõli szélén zöld, a többi részendrapp színû járólappal akarjuk lefedni. Hány négyzetméter lesz a zöldszínû téglalap, ha a hossza 5,6 m, a szélessége 32 cm?
MegoldásA zöld színû téglalap egyik oldala5,6 m, a másik 32 cm hosszú.
a = 5,6 mc = 32 cm = 0,32 m
T = ? Becslés:T = a ¡ c T » 6 ¡ 0,3 m2 = 1,8 m2
T = 5,6 ¡ 0,32 m2
A szorzat változásai alapján:
A zöld színû rész területe 1,792 m2.
Tizedes törttel számolva:
T = 5,6 ¡ 3,2 m2
T = 17,92 m2
Tizedes törttel számolva:
T = 5,6 ¡ 0,32 m2
T = 1,792 m2
a
b
c
5,6 m
3,2 m
32 cm
6 822
19
171
15 36 2¡,
,
,
6 822
19
171
15 06 3 2¡,
,
,
A mértékegységekközti összefüggésekalapján a terület:
T = 56 ¡ 32 dm2
T = 1792 dm2
T = 17,92 m2
A mértékegységekközti összefüggésekalapján a terület:
T = 560 ¡ 32 cm2
T = 17920 cm2
T = 1,792 m2
56 32 =
5,6 32 =
¡
¡
¡ ,5,6 3 2 =
1792
179,2
17 92,
¢10 ¢10
¢10¢10
¢100
=
5,6 0,32 =¡
¡56 32 1792
1,792
¢10 ¢1000¢100
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:28 Page 123
124
A RACIONÁL IS SZÁMOK I .
Feladatok1. Hány tizedesjegy szerepel a következõ szorzatokban, ha a szorzatot nem egyszerûsít-
jük vagy nem bõvítjük? Becsüljük meg a szorzatot! Végezzük el a szorzást!
a) 3,72 ¡ 4; b) 0,107 ¡ 106; c) 5,4 ¡ (µ2);d) 31,31 ¡ 0; e) 3,6 ¡ 3,14; f) 2,8 ¡ 2,5;g) 0,62 ¡ 1,5; h) 10,25 ¡ 10; i) 4,04 ¡ 4,04;j) 4,04 ¡ 100; k) 1,5 ¡ 1,2 ¡ 1,8; l) 1,3 ¡ 0,1416.
2. Számítsuk ki a szorzatokat! Mit veszünk észre?
a) 168 ¡ 24; b) 16,8 ¡ 24; c) 16,8 ¡ 2,4; d) 16,8 ¡ 7; e) 1,68 ¡ 7;
16,8 ¡ 24; 1,68 ¡ 24; 1,68 ¡ 2,4; 1,68 ¡ 0,7; 1,68 ¡ 0,07;
1,68 ¡ 24; 0,168 ¡ 24; 0,168 ¡ 2,4; 0,168 ¡ 0,07; 1,68 ¡ 0,007.
3. Végezzük el a szorzást! Elõtte becsüljük meg a szorzatot!
a) (+7,25) ¡ (+0,8) ¡ (µ2); b) (µ1,25) ¡ (+12) ¡ (µ0,08) ¡ (µ1000).
4. Végezzük el a 3,45 ¡ 2,4 szorzást! Változtassuk úgy valamelyik tényezõt, hogy a szorzat
a) kétszeresére; b) négyszeresére; c) tízszeresére változzon!
5. Rendezzük a szorzatokat csökkenõ sorrendbe! Hányszorosa a legnagyobb a legki-sebbnek? (Próbáljunk a szorzatok kiszámítása nélkül válaszolni!)
a) A) ; B) ; C) ; D) ;
b) A) ; B) ; C) ; D) ;
c) A) ; B) ; C) .µ5,6 ¡ (µ0,8) ¡ (µ12,5)µ5,6 ¡ (µ0,8) ¡ 12,5µ5,6 ¡ 8 ¡ 12,5
0,25 ¡ 0,32 ¡ 00,25 ¡ 4 ¡ 0,32µ0,25 ¡ 3,20,25 ¡ 4 ¡ 3,2
0,372 ¡ 1,8µ3,72 ¡ 1,837,2 ¡ 1,83,72 ¡ 1,8
A többtényezõs szorzatokat lépésenként számoljuk.
(µ0,7) ¡ 5,12 ¡ (µ4,1) = (µ3,584) ¡ (µ4,1) = 14,6944
µ3,584 +14,6944
Például:
7 811
4 34 80 49 34 94 8
8 24 43 6 11 327 14 02 8¡ ¡, , ,
, ,1 03917
636
30
0
1 6 01 45 2¡, ,
,
Tizedes törtek szorzásakor a szorzatban annyi tizedesjegyet jelölünk,amennyi a tényezõkben összesen van.
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 8:28 Page 124
125
Melyik kétjegyû számra igaz, hogy az 1,2-szerese ugyanazokból a számjegyekbõl áll, mint maga a szám?
R e j t v é n y
6. Döntsük el, hogy melyik szorzat, illetve összeg a nagyobb! Számolással ellenõrizzüka döntésünk helyességét!
a) 4,5 ¡ 12 vagy 4,05 ¡ 120; b) 6,2 ¡ 0,54 vagy 0,62 ¡ 5,4;c) 26,8 ¡ 1,1 vagy 2,68 ¡ 11; d) µ3,4 + 1,5 ¡ 2,4 vagy (µ3,4 + 1,5) ¡ 2,4.
7. A gyógyszerészek a gyógyszerek elõállításánál nagyon kis tömegekkel dolgoznak.Az egyik gyógyszer 1 tablettájában 0,25 mg hatóanyag és 47,715 mg tejcukor van.Hány grammot fogyaszt egy évben a hatóanyagból és a tejcukorból az a beteg, akiminden nap 2 tablettát szed be ebbõl a gyógyszerbõl?
8. Péter és apukája az országúton egyszerre indulnak el kerékpárral a faluból a városba.Péter 18,4 km-t, az apukája 16,8 km-t tesz meg óránként. Péter 1,5 óra múlva beéra városba. Mennyi utat kell még megtennie az apukájának, hogy õ is a városba érjen?
9. Egy villanyszerelõ-mûhelyben elosztókat állítanak össze. Egy elosztó vezetéke 3,2 mhosszú, és a szereléshez még 8 cm vezeték kell. Egy mûszak alatt 78 elosztó készül el.Hány méter vezetéket használnak fel? Számoljunk többféleképpen!
10. Egy méteráruboltban függönyöket veszünk. Sötétítõ függönynek 5,7 m-t vásárolunk,2,75 m-rel kevesebbet, mint csipkefüggönynek. A sötétítõ függöny méterének ára3560 Ft, a csipkefüggönyé 4756 Ft. Mennyit fizetünk?
11. Egy négyzet alakú asztalterítõ oldalai 1,6 m hosszúak. A terítõre csipkeszegélyt var-runk. Hány méter csipkét vegyünk, ha a terítõ sarkainál 2-2 cm a ráhagyás?
12. A házunk olyan téglalap alakú telekre épül,amelynek egyik oldala 12,4 m, a másik enneka 2,5-szerese. Hány méteren kell kerítést készí-teni, ha a ház a telekhatárból 25,6 m-t, a kapupedig 4,5 m-t foglal el? Hány m2 a telek területe?
13. Számítsuk ki a téglalapok területét négyzetméterben, ha oldalaik hossza:
1. a = 6 m 5 dm; 2. a = 19 dm; 3. a = 520 cm;b = 10 m 3 dm; b = 37,2 dm; b = 3,8 m!
14. Hány négyzetcentiméter a felszíne és hány köbcentiméter a térfogata egy olyan fakoc-kának, amelynek egy éle 1,5 cm? Ezekbõl a fakockákból egy olyan nagyobb kockátépítünk, amelyik 27 kis kockából áll. Mekkora a nagyobb kocka felszíne és térfogata?
15. Egy akvárium hossza 8,2 dm; szélessége 35 cm;magassága pedig 474 mm. Hány négyzetdeci-méter területû üveglapot használtak fel a készí-tésekor, ha az akváriumnak nincs teteje? Hányliteres az akvárium? (Az üveg vastagságától elte-kinthetünk.)
a = 12,4 mHáz
Kapu
��
��
�
Ms-2306T_Matek6_tk-beadas utani jav-2012.qxd 2012.11.13. 9:27 Page 125
210
A RACIONÁL IS SZÁMOK I I .
6. Osztás törttel
1. példaHány embert tudunk megkínálni 3 pizzából, ha mindenkinek
a) 1; b) ; c) pizzát adunk?15
12
1. megoldásA fenti ábráról leolvashatjuk a keletkezett szeletek számát. Ugyaneztosztással is megkaphatjuk:
a) 3 ¢ 1 = 3; b) 3 ¢ = 6; c) 3 ¢ = 15.15
12
2. megoldásA hányados tulajdonságai alapján tudjuk, hogy ha az osztandó vál-tozatlan és az osztó felére, ötödére csökken, akkor a hányados két-szeresére, ötszörösére nõ.
c) 3 ¢ 1 = 3
² ¢5 ² ¡5
3 ¢ = 3 ¡ 5.15
b) 3 ¢ 1 = 3
² ¢2 ² ¡2
3 ¢ = 3 ¡ 212
Az egész pizzákkal 3, a fél pizzákkal 6, az egyötöd pizzákkal 15 em-bert tudunk megkínálni.
2. példaNégy liter õszibaracklevet áttöltünk
a) 1 literes üvegekbe; b) literes poharakba; c) literes korsókba.
Hány üveg, hány pohár és hány korsó telik meg?
23
13
3 ¢ 6 =
3 ¢ = 60
3 ¢ 15 =
3 ¢ = 1515
15
12
12
Az -del való osztás 2-vel való szorzást, az -del való osztás 5-tel való
szorzást jelent.
15
12
reciproka 212
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 9:10 Page 210
211
Törttel úgy osztunk, hogy az osztandót az osztó reciprokával szorozzuk.
3. példaVégezzük el a következõ osztásokat!
a) 3 ¢ ; b) 3 ¢ ; c) ¢ .45
37
45
15
Megoldás
a) Az elsõ példában láttuk, hogy 3 ¢ = 3 ¡ 5 = 15.15
b) A hányados változásai alapján számolunk.
3 ¢ = 3 ¡ 5
² ¡4 ² ¢4
3 ¢ = (3 ¡ 5) ¢ 4 = =
3 ¢ = 3 ¡ 54
45
154
3 54
3 54
¡= ¡4
5
15
c) A hányados változásai alapján számolunk. A b) esetbõl indulunk ki.
3 ¢ = 3 ¡
² ¢7 ² ¢7
¢ = ¡ =
¢ = ¡ 54
37
45
37
1528
54
37
45
37
54
45
Megoldás
üvegek
poharak
korsók
Az ábra alapján: A hányados változása alapján:
a) az üvegek száma: 4 ¢ 1 = 4.
b) a poharak száma: 4 ¢ = 4 ¡ 3 = 12.
c) a korsók száma: 4 ¢ = 6.23
13
A -dal való osztás -del való szorzást jelent. A a reciproka.23
32
32
23
153
¡5
¢1
5
64
¢2
3
¡3
2
124
¡3
¢1
3
3
¡5
4
¢4
5 154
¡5
4
¢4
5 1528
37
az osztó4-szeresére nõ
az osztandó 7-edrészére csökken a hányados 7-ed részére csökken
a hányados 4-ed részére csökken
4 ¢ 1 = 4
² ¢3 ² ¡3
4 ¢ = 4 ¡ 3
² ¡2 ² ¢2
4 ¢ = 4 ¡ .32
23
13
egész számotosztunk
egész számotosztunk
törtet osztunk
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 9:10 Page 211
212
A RACIONÁL IS SZÁMOK I I .
Törttel való osztáskor az egyszerûsítést akkor végezhetjük el, ha az osztástátírtuk reciprokkal való szorzásra.
Ha az osztásban vegyes szám szerepel, akkor a vegyes számot elõszörtörtté alakítjuk.
Ha elõjeles számokat osztunk, a hányados elõjelét az egész számoknáltanult módon állapítjuk meg.
µ ¢ µ = µ ¡ µ = ¡ = =78
34
78
43
78
43
76
116
2
1
ÊËÁ
ˆ¯̃
ÊËÁ
ˆ¯̃
ÊËÁ
ˆ¯̃
ÊËÁ
ˆ¯̃
45
23
45
32
45
32
65
115
2
1
¢ µ = ¡ µ = µ ¡ = µ = µÊËÁ
ˆ¯̃
ÊËÁ
ˆ¯̃
Ê
Ë
ÁÁ
ˆ
¯
˜˜
2 14
135
94
85
94
58
4532
11332
¢ = ¢ = ¡ = =
125
154
125
415
125
415
1625
4
5
¢ = ¡ = ¡ =
Feladatok1. Végezzük el a kijelölt osztásokat, majd ellenõrizzük számításunk helyességét!
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) .
2. Mennyi a hányados? Ellenõrizzük!
a) ; b) ; c) ; d) ;
e) ; f) ; g) ; h) .
3. Mekkora számot visznek a teljes szerelvényen?
518
815
¢ µÊˈ¯µ ¢7
45
13
10ÊË
ˆ¯µ ¢ µ9
12
219
ÊË
ˆ¯
ÊË
ˆ¯4
14
812
¢
µ ¢7
102
45
ÊË
ˆ¯
3049
427
¢611
427
¢57
123
¢
513
135
¢µ ¢ µ57
57
ÊË
ˆ¯
ÊË
ˆ¯
725
¢ µÊˈ¯( )µ ¢5
34
282
712
¢14 157
¢14127
¢147
12¢
¢ 23
25
¢16
32
¢311
32
¢ 449
2 ¢52
¢2
252350
¢5
233
46¢ 5
312
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 9:10 Page 212
213
4. Milyen számot írhatunk a jelek helyére, hogy az egyenlõség igaz legyen?
a) ; b) ; c) ;
d) ; e) ; f) .
5. a) Mennyi a hányados, ha a -et -dal osztjuk?
b) Hányszorosa a a -nak?
c) Hányszorosa a a -nek?
d) Mennyivel kell szorozni a -ot, hogy -et kapjunk?
6. Végezzük el az osztásokat! Állapítsuk meg, hogy az osztandó vagy a hányados a na-gyobb!
a) ; ; . b) ; ; .
7. Egy téglalap területe m2. Mennyi a téglalap kerülete, ha az egyik oldala m?
8. Írjunk fel minél több osztást, ha a tényezõket és a hányadost is az alábbi számok közülválaszthatjuk!
; µ4; ; 4; ; µ ; .
9. Vince és Csabi már másfél órája bicikliznek, amikor a tú-
rájuk részénél tartanak. Hányad részét tették meg az
útjuknak 1 óra alatt? Mennyi idõ telik el a túra befejezé-
séig, ha az eddigi tempóban haladnak tovább?
34
32
58
65
52
98
812
25 12
94
54
¢113
43
¢23
32
¢29
23
¢78
12
¢23
45
¢
µ614
ÊË
ˆ¯4
16
µ614
ÊË
ˆ¯4
16
416
µ614
ÊË
ˆ¯
416
µ614
ÊË
ˆ¯
2125
29
20¢Ò =3
42
12
¢Ò =µ ¢145
56
ÊË
ˆ¯ =Ò
58
314
¢Ò =µ ¢35
910
ÊË
ˆ¯ =Ò
23
43
¢Ò =
Egy számot megszoroztunk -del, utána elosztottuk -del. Az alábbiak közül melyik mûvelettel
helyettesíthetõ ez a két mûvelet?
A) osztás -dal; B) osztás -dal; C) szorzás -dal; D) szorzás -del; E) osztás -del.54
54
920
920
43
35
34
R e j t v é n y
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 9:10 Page 213
256
SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS
2. Az egész rész kiszámítása
1. példaEgy alpinista már 180 m magasra mászott, amikor a szikla részéigjutott. Hány méter magas a szikla?
Megoldás
34
Az alpinista 240 m magas sziklára mászik fel.
Mennyi a 180 és a hányadosa?
180 34
43
180 240
1
60¢ = ¡ =
34
Mennyi a 240-nek a része?34
Melyik szám része a 180?34
Ha a 180 az egésznek a része, akkor az egész részt úgy is kiszámít-34
hatjuk, hogy a 180-at elosztjuk -del.34
��
�����
����
��
�����
����
180 m rész34
rész
rész¢ 3 ¢ 31 egész =
180 m
? m
rész
rész
180 m 3 = 60 m¢
4 60 m = 240 m¡
4 ¡ 4 ¡
3
4
1
4
4
4
4
4
240 180¢
3
4
¡3
4
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 9:10 Page 256
257
3. példa
Egy kerékpártúra elsõ napján az egész út , a második napon pedig27
2. példa
Ádám a hónap elején megkapta a havi zsebpénzének részét, azaz800 Ft-ot. Hány forint Ádám havi zsebpénze?
1. megoldás (következtetéssel)
A zsebpénz
23
2. megoldás (osztással)
Ha rész ¯ 800 Ft;23
a rész ¯ .80023
80032
1200400
1
Ft Ft Ft¢ = ¡ =33
Mindkét esetben ugyanazt az eredményt kaptuk.Ádám havi zsebpénze 1200 Ft.
Az egész út 105 km.
Egy szám részébõl úgy számítjuk ki az egész részét, hogy a számot el-23
osztjuk -dal.23
3 800 2
3 8002
3 8002
32
800
¡ ¢ =
= ¡ =¡
=
= ¡
( )
része
rész¢ 2 ¢ 21 egész =
800 Ft
? Ft
rész
rész
800 Ft 2 = 400 Ft¢
3 400 Ft = 1200 Ft¡
3 ¡ 3 ¡
2
3
1
3
3
3
3
3
rész
rész¢ 2 ¢ 2
30 km
? Ft
rész
rész
30 km 2 = 15 km¢
7 15 km = 105 km¡
7 ¡ 7 ¡
2
7
1
7
7
7
7
7
a részét tettük meg. Hány kilométer van még hátra, ha az elsõ nap
30 km-t haladtunk?
Megoldás
Az elsõ nap megtett út az egész út része, azaz 30 km.27
25
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 9:12 Page 257
258
SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS
Feladatok1. Melyik számnak a része a
a) 24; b) 150; c) 540; d) 32,4; e) 100?
2. Melyik mennyiségnek a része a
a) 6 kg; b) 45 m; c) 40 perc; d) 184 cm2; e) 23,5 km?
3. Melyik mennyiségnek a része a
a) 15 km; b) 150 m; c) 1 óra; d) 0,2 kg; e) m2?
4. A pénzem része 900 Ft. Mennyi pénzem van?
5. Felástam a kertünk részét. Hány négyzetméteres a kertünk, ha még 55 m2-es terü-
letet kell felásnom, hogy az egész kert felásásával végezzek?
6. Az osztálykiránduláson a hatodikosok délelõtt a tervezett út részét tették meg. Hány
kilométert tettek meg délelõtt, ha délután még 5,6 km-t kellett gyalogolni?
7. Hunor elolvasta Fekete István Bogáncs címû könyvének részét, így még 147 oldalvan hátra. Hány oldalas a könyv?
8. Petrának 720 Ft-ja van. Ez a pénz Zoli pénzének része, Szilvi pénzének része.
Hány forintja van Zolinak és Szilvinek? Kinek a legtöbb a pénze?
94
25
58
35
712
34
23
85
23
34
A második napon 42 km-t tettünk meg.
A hátralévõ út: 105 km µ 30 km µ 42 km = 33 km.
33 kilométer van még hátra a kerékpártúrából.
A második napon az egész út részét tettük meg. 25
rész1 egész =
rész¢ 5 ¢ 5
105 km
? km
rész
rész
105 km 5 = 21 km¢
2 21 km = 42 km¡
2 ¡ 2 ¡
5
5
1
5
2
5
2
5
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.06.19. 9:12 Page 258
259
Az osztály tanulóinak a része sportvetélkedõn, az része szavalóversenyen vett részt. Mennyi
az osztálylétszám, ha minden tanuló részt vett valamelyik versenyen, és 9 olyan tanuló volt, aki
mindkét helyszínen ott volt?
12
78
R e j t v é n y
9. Az iskolai menzára már befizetett a tanulók része. Hányan ebédelnek az iskolában,ha még 168-an nem fizettek?
10. Egy hordóban hl víz volt. A hordó az oldalán kilyukadt, és kifolyt a benne lévõ víz 34
45
310
része. A benne maradt víz a hordó ûrtartalmának az -a. Hány literes a hordó?
11. Egy tálcán lévõ süteményeknek elõször megettük a részét, majd a maradék ré-
szét. Ezek után a tálcán 6 sütemény maradt. Hány sütemény volt eredetileg a tálcán?
12. Egy iskola hatodik osztálya diákönkormányzati képviselõt választott. Az osztály tanu-
lóinak része szavazott. A szavazatok részét Karcsi kapta. Hatan voltak, akik nem
Karcsira szavaztak. Mennyi ennek a hatodik osztálynak a létszáma?
13. Erzsinek 2400 Ft-ja van. Laci pénzének része ugyanannyi, mint Erzsi pénzének -e.
Meg tudják-e venni együtt a 4999 Ft-ba kerülõ DVD-t a nõvérüknek a születésnapjára?
14. Cézár az elsõ héten megette a két hétre szánt kutyaeledel részét,4,5 kg-ot. Hány kilogramm volt a két hétre szánt kutya-eledel? Melyik mûveletsor fejezi ki a feladat megoldását?
A) 4,5 ¡ ; B) (4,5 ¢ 9) ¡ 14; C) 4,5 ¢ ;
D) (4,5 ¡ 14) ¢ 9; E) 4,5 ¡ ; F) 4,5 ¢ .
15. Írjunk olyan szöveges feladatokat, amelyek megoldását a következõ kifejezések írják le!
A) ; B) ; C) ;
D) ; E) ; F) .
16. Ali Babától 40 rabló drágakövekkel teli ládikát zsákmányolt. A rablók közül néhányanelvettek fejenként 1 drágakövet, és ellovagoltak. Az ott maradt rablók fele fejenként2 drágakövet vett el, a másik felének nem jutott a drágakövekbõl. Hány drágakõ voltAli Baba ládikájában?
14 14 13
µ ¡14 23
8 34
¡ µ ¡14 23
9¡ µ
14 9 23
µ ¡14 9 23
µ ¡( )14 23
34
¡ ¢⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
149
149
914
914
914
34
23
34
45
34
25
16
*
Ms-2306_Matek6_tk-beadas-2012.qxd 2012.07.20. 10:42 Page 259