Cislicove spracovanie signalovBilinearna transformacia

s → z

z = esT

s =2

T

(1− z−1

1 + z−1

)Prechodova charakteristika - jednotkovy skokImpulzna charakteristika - jednotkovy impulz

Operacie

1. Konvolucia- spojita:

y(t) =

ˆ t

u

x(u)g(t− u)du

-diskretna

y(n) =

n∑k=0

g(k)x(n− k)

2. Korelacia- autokorelacna funkcia hlada useky podobnosti

ρxx =rxx(n)

rxx(0)

rxx(n) - odhad autokorelacnej funkcie

rxx(n) =1

N

N−n−1∑k=0

x(k)x(k + n)

- vzajomna korelacna funkcia

ρxy(n) =rxy(n)

SigmaxSigmay

odhad:

ρxy(n) =rxy(n)√

rxx(0)ryy(0)

rxy

1

N

N−n−1∑k=0

x(k)y(n+ k) n = 0, 1, 2, 3...

1

N

N+n−1∑k=0

x(k − n)y(k) n = −1,−2, ...

3. Filtracia

y(n) =

∞∑k=0

g(k).x(n− k), g(k)− koeficienty filtra

- ak g(k) su nenulove k ∈< 0;∞ > ide o IIR filter

y(n) = −N∑k=1

aky(n− k) +

M∑k=0

bkx(n− k)

- ak g(k) su rovne nule pre k > M ide o FIR filter

y(n) =

M∑k=0

g(k)x(n− k) =

M∑k=0

bkx(n− k)

4. Linearne transformacie

y(i) =

N−1∑k=0

aikx(k) aik−transformacne konstanty

Y = a.XX = a−1.Y a− transformacnamatica

5. Modulaciasignal:a) spojity - nekonecne vela funkcnych hodnotb) diskretny - spocitatelne ciselne mnoziny- energia diskretneho signalu

E =

∞∑n=−∞

|x(n)|2

- moze byt konecna(energemicky signal),nekonecnaPeriodicke signaly - maju periodu NX(n+N) = x(n)AperiodickeParne x(−n) = x(n)Neparne −x(n) = x(−n)

Diskretizacia signalov

1. Vzorkovanie - transformuje spojity signal na casovodiskretny. Ziskavanie vzoriek v presne stanovenychintervaloch. Analogovy signal sa nahradi postup-nostou vzoriek. Perioda vzorkovania - cas medzidvoma po sebe iducimi vzorkami.

2. Kvantovanie - transformuje casovo diskretny sig-nal spojity v urovni na diskretny signal v caseaj v urovni - cislicovy signal. Hodnota vzorky jevybrana z konecnej mnoziny pristupnych hodnot.Vznika kvantizacna chyba = skutocna - priradena.

3. Kodovanie - kazdej diskretnej hodnote sa priradiisty kod - b-bitova binarna postupnost

1

- normalizovana frekvencia

f =F

FS−∞ < F <∞; −1/2 < f < 1/2

- kruhova frekvencia

ω = Ω.T −∞ < Ω <∞; −π < ω < π

Ω = 2π.F ; ω = 2πf

Vzorkovaci teorem

Ak x(t) je spojity v case s maximalnou nenulovoufrekvencnou zlozkou fmax, potom je mozne ho dokonalepopisat postupnostou vzoriek odobranych v casovychokamihoch s frekvenciou vzorkovania

FS > 2fmax

Na zaklade vzoriek mozme signal rekonstruovatpodla vztahu

x(t) =

∞∑n=−∞

x(nT )sinc

(t− nTT

)sinc(t) =

sin(πt)

πt

Kvantovanie

- diskretizacia signalu v urovniKrok kvantovania:

δ =xmax − xmin

2l

Chyba kvantovania:

eq(n) = xq(n)− x(n)

1. −δ/2 < eq < δ/2

2. ma charakter bieleho sumu (nulova stredna hod-nota, eq(n) je nekorelovane eq(m))

3. postupnost eq(n) je nekorelovana so vstupnou pos-tupnostou

Odstup signal sum kvantovania - SQNR

SQNR = 10logPxPe

Px - stredna hodnota druhej mocniny signaluE(x2(n))Pe - stredna hodnota druhej mocniny sumu E(e2(n))Pri nulovej strednej hodnote je stredna hodnota

druhej mocniny rovna rozptylu.

D(x) = σ2x = E((x− µ)2)

Vykon sumu

Pe = E(e2) =

ˆ ∞−∞

e2p(e)de − vykon

σ2e = Pe =

ˆ δ/2

−δ/2e2p(e)de =

1

δ

ˆ δ/2

−δ/2e2de =

δ2

12

stredna kvadraticka odchylka

SQNR = 20log(

√12σxδ

)

Kodovanie

-znamienko + hodnota- dvojkovy doplnok - invertovana hodnota + 1-2 -1 0 1 2

1110 1111 0000 0001 0010- priame- jednotkovy doplnok - invertovana hodnota

-2 -1 -0 -0 1 21101 1110 1111 0000 0001 0010

Predikcne kvantovanie

Redukuje dynamicky rozsah medzi dvoma po sebeiducimi vzorkami.

d(n) = x(n)− x(n− 1)

Popis

xp(n) =

p∑k=1

akx(n− k)

Chyba kvantovania

e(n) = d(n)− dq(n)

= x(n)− xq(n)

⇒ je rovna kvant. chybe vzorky d(n)

2

Transformacie

1. Laplaceova transformacia

X(s) =

ˆ ∞0

x(t)e−stdt s = a+ jω

x(t) =1

2πj

˛X(s)estds

2. Fourierova transformacia

X(ω) =

ˆ ∞−∞

x(t)e−jωtdt

x(t) =1

2π

˛ ∞−∞

X(ω)ejωtdω

3. Diskretna Fourierova transformacia

X(ω) =

N−1∑n=0

x(n)e−j2πωN

x(n) =1

N

N−1∑ω=0

X(ω)ej2πωnN

(Fourierova transformacia casovo diskretna - nieDFT)

X(ω) =

∞∑n=−∞

x(n)e−jωn

x(n) =1

2π

ˆ2π

X(ω)ejωndω

4. Z-transformacia

X(z) =

∞∑n=0

x(n).z−n z = e−sT

x(n) =1

2πj

˛X(z)zn−1dz

Frekvencna analyza signalov

Pomocou Fourierovej transformacie resp. Fourierovhorozvoja je mozne kazdy signal dekomponovat na jed-notlive harmonicke, pripadne komplexne exponencialnezlozky. Pre periodicke signaly sa nazyva Fourierov rad.

Fourierove rady pre casovo spojite periodickesignaly

Dirichletove podmienky

1. x(t) ma konecny pocet nespojitosti v zakladnej pe-riode

2. x(t) obsahuje konecny pocet maxim a minim v za-kladnej periode

3. signal x(t) je absolutne integrovatelny

x(t) =

∞∑k=−∞

ckej2πF0t

ck =1

Tp

ˆTp

x(t)e−j2πkF0tdt

Periodicky signal sa vyznacuje nekonecnou energioua konecnym strednym vykonom.

Parsevalova rovnost pre vykon signalu

Px =1

Tp

ˆTp

|x(t)|2dt =

∞∑k=−∞

|ck|2

Graficke znazornenie rozlozenia vykonu medzifrekvencne zlozky - spektralna vykonova hustota.

Periodicky signal ma ciarove spektrum.

Fourierova transformacia casovo spojitych ape-riodickych signalov

Dirichletove podmienky

1. x(t) - ma konecny pocet bodov nespojitosti

2. x(t) - ma konecny pocet maximalnych a minimal-nych hodnot

3. x(t) je absolutne integrovatelny

Energeticka spektralna hustota:

Ex =

ˆ ∞−∞|x(t)|2dt =

ˆ ∞−∞|X(F )|2dF

Spektralna energeticka hustta signalu:

Sxx = |X(F )|2

Fourierove rady vzorkovanych periodickych sig-nalov

x(n) ma periodu N, potom obsahuje Four. rad N kom-plexnych funkcii

x(n) =1

N

N−1∑k=0

ckej2πknN

ck =

N−1∑n=0

x(n)e−j2πkn

N

Priemerny vykon:

Px =1

N

N−1∑n=0

|x(n)|2 =

N−1∑n=0

|ck|2

Energia postupnoti vzoriek v zakladnej periode:

EN =

N−1∑n=0

|x(n)|2 = N.

N−1∑n=0

|ck|2

3

Fourierova transformacia vzorkovanych aperi-odickych signalov

Spektralna vykonova hustota:

Ex =

∞∑n=−∞

|x(n)|2

Signal Spektrumspojity periodicky ciarove aperiodicke

aperiodicky spojite aperiodickediskretny periodicky ciarove periodicke

aperiodicky spojite periodicke

Cislicove filtre

1. Zo spojiteho filtra-biliearnou transformaciou:

s =2

T

1− z−1

1 + z−1

Priklad:

Prenosova funkcia tohto RC clanku (pomocouLaplaceovej transformacie F (s) = Lf(t) =´∞0f(t)e−stdt):

H(s) =1sC

R+ 1sC

=1

1 + sRC=

1

1 + τs

τs = sωc, ωc = 1

RC = 1τ = 2πfc, kde fc je medzna

frekvencia dolnej priepuste a τ = RC je casovakonstanta.Frekvencna charakteristika (dosadime s = jω):

H(jω) =1

jωτ + 1

Zvolime konkretne hodnoty R = (5000/π)Ωa C = 10−6F potom τ = 1.591549.10−3s afc = 100Hz.Pre prevod medzi analogovou a cislicovouoblastou pouzijeme bilinearnu transforma-ciu (s = 2

T1−z−1

1+z−1 ), kde T = 1fvz, fvz −

vzorkovacia frekvencia). Po dosadeni dostanemeprenosovu funkciu:

H(z) =1

τ(

2T

1−z−1

1+z−1

)+ 1

=1

q 1−z−1

1+z−1 + 1, q =

fvzπfc

Po dalsej uprave dostaneme:

H(z) =

11+q + 1

1+q z−1

1 + 1−q1+q z

−1=Y (z)

X(z)

Obraz Y(z) je obraz Z-transformacie vstupnejpostupnosti cislicoveho filtra y(n) a obraz X(z)je obraz Z-transformacie vstupnej postupnostifiltra x(n). Pri fvz = 10kHz a fc = 100Hz maprenosova funkcia tvar:

H(z) =0.03046 + 0.03046z−1

1− 0.9391z−1

2. Priama metoda - rozmiestnenie polov a nul v kom-plexnej rovine

(a) Poly - rozmiestnujeme do blizkosti bodovna jednotkovej kruznici, ktore zodpovedajufrekvenciam, ktore chceme zvyraznit

(b) Nuly - umiestnujeme do blizkosti bodov,ktore chceme potlacit

F (z) = k

zN−MM∏k=1

(z − zk)

N∏i=1

(z − pi)

; z = esT ; s = jω

f =F

FS; ω =

Ω

ωvz; ω = ΩTvz; Ω = 2πF

|F (z)| = k

∏(ejω − zk)∏(ejω − pi)

; |ejω| = 1

Φ(ω) = α0+ω(N−M)+a1(ω)+a2(ω)−b1(ω)−b2(ω)

Priklad :Navrhnite kauzalny cislicovy filter na odfil-trovanie jednosmernej zlozky zo signalu,ktory ma rozsah 0-10kHz. Zosilnenie v na-jvyssej frekvencii je 1. Nakreslite impulznucharakteristiku daneho filtra.

4

F (z) = k1− ziz−1

1− piz−1

F (z) = k1− 1.z−1

1

F (ω) = k(1− e−jω)

F (π) = 1 , π je 10kHz

1 = k(1− e−jπ)

e−jω = cos(−π) + jsin(−π) = −1

1 = k.(2)

k =1

2

Potom

F (z) =1

2.(1− z−1)

Y (z)

X(z)=

1

2− 1

2z−1

Y (z) =1

2X(z)− 1

2X(z)z−1

y(n) =1

2x(n)− 1

2x(n− 1)

Impulzna odozva:

y(0) =1

2.1− 1

2.0 =

1

2

y(1) =1

2.0− 1

2.1 = −1

2

y(2) =1

2.0− 1

2.0 = 0

...

3. Pomocou frekvencneho vzorkovania - lubovonyFIR filter je mozne definovat pomocou koeficien-tov impulznej odozvy alebo pomocou koeficientovDFT. Vztah medzi Z-prenosom a DFT je:

F (z) = F (k) ; z = ejk2πN

Navrh FIR filtra na zaklade frekvencneho vzorko-vania je zalozeny na vybere mnoziny vzoriek zi-adanej frekvencnej odozvy v N ekvidistancnychbodoch frekvencie. Na zaklade vztahu

F (z) =(1− z−N )

N

N−1∑k=0

F (k)

1− z−1e−jk2πN

je mozne aproximovat kazdu spojitu frekvencnuodozvu na zaklade frekvencnych zloziekodobranych v N ekvidistancne rozmiestnenychbodoch leziacich na jednotkovej kruznici. Mozemevyjadrit frekvencnu odozvu ako interpolaciuvzorkovanej frekvencnej odozvy.Priklad: Navrhnite cislicovy filter typu pas-mova priepust na zaklade uveden tolerancnejschemy frekvencnej charakteristiky. Navrh urobtemetodou frekvencneho vzorkovania. Vzorkovaciafrekvencia je fvz = 44kHz.

Ukazeme riesenie pre rad systemy N=7. Znamenato, ze zadanu frekvencnu charakteristiky budemevzorkovat v bodoch s frekvenciou

kfvzN

= k44000

7= k.6285, 7Hz

k = 0, 1, ..., N − 1

Pokial pre dane k spadne hodnota frekvencie donepriepustneho pasma, zvolime hodnoty H(k)=0.Ak padne do priepustneho pasma, H(k)=1. Vsetkyhodnoty su uvedene v nasledujucej tabulke.

Vysledny modul frekvencnej charakteristiky a ro-zlozenie polov a nul v rovine z vyzera nasledovne:

5

4. Pomocou casovych okien - koeficienty Fourierovhoradu su totozne s impulznou odozvou cislicovehofiltra. Do uvahy sa berie len n=2M koeficientov

g(n) = f(n).w(n)

Y (z) = G1(z).X(z)

y(n) = g1(n)⊗ x(n)

6