�������������������� ����������

.

یزد دانشگاه

ریاضی دانشکده

کامپیوتر علوم گروه

پایان نامهارشد کارشناسی درجه دریافت جهت

کامپیوتر علوم

جهت دار آنتن هاي از استفاده با متصل بی سیم شبکه هاي ساخت

راهنما: استاد

فرشی محمد دکتر

مشاور: استاد

هاشمی نژاد مهدیه دکتر

پژوهش گر:

شحنه زارع سعید

٩٣ اسفند ماه

ناشی نوآوري هاي و ابتکارات مطالعات، نتایج بر مترتب معنوي و مادي حقوق کلیه ياستفاده هرگونه و است یزد دانشگاه به متعلق پایان نامه/رساله این موضوع تحقیق ازاختراع، ثبت فنی، دانش تولید براي پایان نامه/رساله این از عملی و علمی نتایج ازارائه و اقتباس و ترجمه نسخه برداري، تکثیر، و چاپ همچنین هنري، بدیع اثر ثبتکتبی موافقت به منوط پایان نامه/رساله این از علمی مجالت و سمینارها در مقاله

است. یزد دانشگاه

به تقدیم

عزیزم مادر و پدر

آموختند. من به را اندیشیدن درست که کسانی همه و

سپاس گزارياز همه زمین و آسمان ها شده، گسترده گیتی سراسر در او دانش و رحمت که عزتمندي یکتاي خداوند سپاس

سپاس بی نهایت را او لطف و رحمت می فرماید. موهبت بخواهد که هر بر را حقیقی دانش و علم و اوست آن

ایمان و علم که رساند اصل این به مرا و داشت ارزانی من بر را پژوهش این مطالب درك و فهم که چرا می گویم

آغاز را تازه تالشی امید، با تا دوباره، فرصتی کردم خطا که بار هر و داد من به تالش توفیق پروازند. یک بال دو

خواست به همه چیز و اوست آن از چیز همه که به راستی آیم. نائل مطلوب نتیجه ي به او خواست به و کنم

اوست.

حسن با صدر، سعه کمال در که فرشی محمد دکتر آقاي جناب گرانقدرم، و شایسته کماالت، با استاد از

عهده بر را رساله این راهنمایی زحمت و ننمودند دریغ من بر عرصه این در کمکی هیچ از فروتنی، و خلق

مشاور استاد عنوان به هاشمی نژاد مهدیه دکتر خانم ازسرکار هم چنین دارم. را قدردانی و تشکر کمال گرفتند،

دارم. را سپاس گزاري نهایت پژوهش این

پشتیبانی و فداکار و دلسوز یاوري همواره زندگی عرصه هاي تمام در که مادرم و پدر از ویژه به ام، خانواده از

را عزیزان این محبت جبران توفیق خداوند، از و دارم را تشکر و سپاس کمال بوده اند برایم مطمئن و محکم

خواستارم.

چکیده

جهت دار آنتن هاي از استفاده با بی سیم شبکه هاي طراحی به مربوط مسئله یک مطالعه به پایان نامه این در

گیرنده و فرستنده یک با متناظر یک هر صفحه، در نقطه n از P مجموعه صورت به را مسئله و می شود پرداخته

این از یک هر پوشش تحت ناحیه که طوري به می کنیم مدل r شعاع و α زاویه با جهت دار آنتن یک به مجهز

آنتن هاي از جهت یابی یک این جا در و است جهت دهی قابل که است r شعاع و α زاویه به دایره از بخشی آنتن ها

در p نقطه اگر هستند متصل p, q ∈ P نقطه (دو باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف که می خواهیم جهت دار

p نقطه با متناظر آنتن پوشش تحت ناحیه در نیز q نقطه و باشد q نقطه با متناظر آنتن پوشش تحت ناحیه

با جهت دار آنتن هاي از جهت یابی همیشه آن گاه باشد α = π/٣ اگر که داد خواهیم نشان این جا در باشد).

باشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف که طوري به است امکان پذیر α زاویه

یافتن هدف، بگیرید. نظر در را نامحدود شعاع و α زاویه با جهت دار آنتن هاي به مجهز آنتن n از P مجموعه

قرار پوشش تحت نیز صفحه کل و بوده متصل حاصل ارتباطاتی گراف که طوري به است α مقدار کوچک ترین

آنتن ها این زاویه براي ممکن مقدار کوچک ترین α = π/٢ می شود داده نشان پایان نامه این در باشد. داشته

است.

را r ∈ O(١) شعاع و α = π/٢ جهت دار آنتن هاي به مجهز گیرنده و فرستنده n از P مجموعه یک

جهت یابی چگونگی حال باشد، متصل P نقاط مجموعه از واحد دیسک گراف که کنید فرض بگیرید. نظر در

متصل حاصل ارتباطاتی گراف که طوري به می کنیم بررسی را کمینه شعاع با α = π/٢ جهت دار آنتن هاي

جهت دار آنتن هاي می توان که می دهیم نشان این جا در باشد. واحد دیسک گراف به نسبت k-پوشش یک و باشد

به نسبت و بوده متصل حاصل ارتباطاتی گراف که کرد جهت یابی طوري را r ∈ O(١) شعاع با α = π/٢

باشد. ۵-پوشش واحد دیسک گراف

مطالب فهرست

1 مقدمات 1

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . جهت دار آنتن هاي و تمام جهته آنتن هاي 1 . 1

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . متقارن ارتباطاتی گراف 2 . 1

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . صفحه در نقاط مجموعه یک محدب غشاي 3 . 1

7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . نقطه دورترین ورنوي نمودار 4 . 1

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . نقاط مکان یابی 5 . 1

9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . گام فاصله 6 . 1

9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . سینوس ها قانون 7 . 1

9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . نقطه یک تصویر 8 . 1

10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . تالس قضیه 9 . 1

13 جهت دار آنتن هاي از استفاده با بی سیم شبکه هاي اتصال 2

15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . α = π/٣ زاویه با جهت دار آنتن هاي 1 . 2

25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . متصل ارتباطاتی گراف ساخت 2 . 2

27 صفحه کل پوشش و جهت دار آنتن هاي با بی سیم شبکه هاي اتصال 3

28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . α < π/٢ زاویه با جهت دار آنتن هاي 1 . 3

29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . α = π/٢ زاویه با جهت دار آنتن هاي 2 . 3

35 . . . . . . . . α = π/٢ جهت دار آنتن هاي با تمام جهته آنتن هاي جایگزینی 1 . 2 . 3

42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . α = ٢π/٣ زاویه با جهت دار آنتن هاي 3 . 3

آ

56 . . . . . . . α = ٢π/٣ جهت دار آنتن هاي با تمام جهته آنتن هاي جایگزینی 1 . 3 . 3

61 جهت دار آنتن هاي از حاصل ارتباطاتی شبکه در گام فاصله کمینه سازي 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . صفحه کل گرفتن قرار پوشش تحت 1 . 4

72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ٧-پوشش ارتباطاتی گراف ساخت 2 . 4

76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ۵-پوشش ارتباطاتی گراف ساخت 3 . 4

87 باز مسئله هاي و نتیجه گیري 5

90 انگلیسی به فارسی واژه نامه

93 فارسی به انگلیسی واژه نامه

97 مراجع

ب

تصاویر فهرست

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . تمام جهته آنتن 1 . 1

2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . جهت دار آنتن 2 . 1

مجموعه با متناظر نامتقارن ارتباطاتی گراف و راست سمت در متقارن ارتباطاتی گراف 3 . 1

4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . چپ سمت در {u, v, w} نقاط

5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . شبکه اي. گراف 4 . 1

6 . . . . . . . . . . . . . . . محدب. غیر مجموعه یک با مقایسه در محدب مجموعه یک 5 . 1

6 . . . . نقاط. از مجموعه اي محدب غشاي معادل پالستیکی کش توسط شده ایجاد منحنی 6 . 1

7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . صفحه. در نقاط از مجموعه اي یک ورنوي نمودار 7 . 1

8 . . . . . . . . . . . . . صفحه. در نقاط از مجموعه اي یک نقطه دورترین ورنوي نمودار 8 . 1

8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . زیرتقسیم. یک در q نقطه یابی مکان 9 . 1

9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . گام. فاصله نمایش 10 . 1

10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . دلخواه. مثلث 11 . 1

10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 . 1 قضیه اثبات 12 . 1

11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26 . 1 قضیه نمایش 13 . 1

15 . . . . می باشد. ناممکن α < π/٣ هر براي جهت دار آنتن هاي از حاصل ارتباطاتی گراف 1 . 2

16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . {f(p)}∪

Fpناحیه 2 . 2

17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∠pappb ≤ ۶٠ 3 . 2

18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . می باشد. خوب مثلث ها از یکی حداقل 4 . 2

19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Wu,Wx,Wv,Wy اولیه جهت یابی 5 . 2

پ

23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6 . 2 لم اثبات 6 . 2

جدا هم از lune(u, v) راستی نیمه راست وسمت lune(x, y) باالیی بخش چپ سمت 7 . 2

24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . هستند.

30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . باشد. چهارضلعی CH(P ) 1 . 3

31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . باشد. مثلث CH(P ) 2 . 3

31 . . . . . . . . . . . . . . . . . نیست. متصل A ∪B از متصل حاصل ارتباطاتی گراف 3 . 3

33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 . 3 قضیه اثبات 4 . 3

34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b /∈ wa و a ∈ wb 5 . 3

34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b /∈ wa و a /∈ wb 6 . 3

36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .C بالك از بخشی 7 . 3

36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . می گذرد. C٣ از C سلول از شده شروع مسیر 8 . 3

37 . . . . . . . . . . . . . . . . . می گذرد. C٣ و C٢ از C سلول از که شده شروع مسیر 9 . 3

37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . می گذرد. C٣ و C٣ از C سلول از شده شروع مسیر 10 . 3

40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 3 لم اثبات 11 . 3

41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . هستند. همسایه CF (q) و Cp 12 . 3

41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 . 3 لم اثبات 13 . 3

پوشش تحت نامحدود شعاع و α = ٢π/٣ زاویه با جهت دار آنتن هاي توسط صفحه کل 14 . 3

42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . می باشد.

44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 . 2 حالت ،7 . 3 لم اثبات 15 . 3

44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . صفحه. در R١, R٢, ..., R۶ ناحیه شش 16 . 3

45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 . 2 حالت ،7 . 3 لم اثبات 17 . 3

46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 . 2 حالت ،7 . 3 لم اثبات 18 . 3

47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 حالت ،7 . 3 لم اثبات 19 . 3

50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 . 3 لم اثبات 20 . 3

53 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . باشد. bis(wy) روي x ∈ S١ نقطه 21 . 3

ت

54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . می باشد. a′ چپ سمت t نقطه 22 . 3

59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 . 3 لم اثبات 23 . 3

59 . . . . . . . . . . . . باشند. راس سه شامل مولفه یک عضو دو هر p, q ∈ P نقطه دو 24 . 3

59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 . 3 لم اثبات 25 . 3

60 است. راس سه دقیقا شامل آن ها از یکی که باشند همبندي مولفه دو در p, q ∈ P نقطه دو 26 . 3

64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 . 4 لم اثبات 1 . 4

66 . . . . . . . . . . . . شده. ایجاد جنبی و اصلی ناحیه هاي همراه به ساده 5-جزء یک 2 . 4

68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∠v٠cv٢ ≤ ∠v٠v۴v١ 3 . 4

69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∠v٠cv٢ ≤ ∠v٢v٣v١ 4 . 4

69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∠v٠cv٢ > ∠v٠cv٢ و ∠v٠cv٢ > ∠v٢v٣v١ 5 . 4

70 . . . . . . . . . . . . . نباشد. یال حاصل، ارتباطاتی گراف در (Q و p) 5-جزء دو بین 6 . 4

72 . . . . . . . . . . . . . . . . شده اند. جدا هم از خط یک توسط که باشند 5-جزء دو 7 . 4

74 . . . . . . . . . . . . است هشت حداکثر ۵-جزء یک در راس دو بین فاصله بیش ترین 8 . 4

79 . . . . . . . . . . . . . . ۵-جزء چندین قلمرو از احتمالی رئوس شامل احتمالی مولفه 9 . 4

79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .R(P ) کران محاسبه 10 . 4

82 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Q(P ) ناحیه گرفتن قرار پوشش تحت 11 . 4

88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . نیست. امکان پذیر راس دو هر بین یک، گام فاصله 1 . 5

ث

1 فصل

مقدمات

مرتبط، ویژگی هاي و قضایا برخی همچنین می گردد، بیان تحقیق این در نیاز مورد تعاریف فصل این در

می گیرند. قرار بررسی مورد

جهت دار2 آنتن هاي و تمام جهته1 آنتن هاي 1 . 1می نامند. تمام جهته آنتن هاي را می کنند بازتاب جهت ها تمام در را سیگنال ها که آنتن هایی 1 . 1 تعریف

می کنند. استفاده تمام جهته آنتن هاي از بی سیم3 شبکه هاي از بسیاري

تمام جهته آنتن :1 . 1 شکل

می تابانند. بیشتري شعاع با مشخص جهت یک در را سیگنال ها انرژي، همان با جهت دار هاي آنتن مقابل در

را آن و می دهیم نمایش r شعاع و α زاویه به دایره از بخشی توسط را جهت دار آنتن هاي پوشش تحت ناحیه

دارد). قرار نقطه آن در r شعاع و α زاویه با جهت دار آنتن که می باشد نقطه اي p) می نامیم wp

جهت دار آنتن :2 . 1 شکل1Omni-directional Antennas2Directional Antennas3Wireless Networks

2

را ضلع دو شامل خط و می دهیم نمایش ρ↗p با را wp راست سمت ضلع و ρ↖p با را wp چپ سمت ضلع

با bis(wp) زاویه θ(wp) می دهیم. نمایش bis(wp) با را wp4 نیمساز و می نامیم l(ρ↖p ) و l(ρ↗p ) ترتیب به

می دهد. نمایش را xها مثبت محور

متقارن5 ارتباطاتی گراف 2 . 1در A اگر تنها و اگر می باشند متصل B و A ایستگاه دو جهت دار، آنتن هاي به مجهز بی سیم شبکه یک در

باشد. A پوشش تحت ناحیه در B همچنین و B پوشش تحت ناحیه

می گویند. گراف را E یال هاي مجموعه و V رئوس مجموعه از G = (V,E) مرتب زوج یک 2 . 1 تعریف

مسیر6 هستند متصل هم به گراف رئوس از دنباله اي توسط که یال ها از دنباله اي G گراف در 3 . 1 تعریفگویند.

دیگري مسیر هر از آن یال هاي وزن مجموع که G = (V,E) گراف رئوس از راس دو بین مسیر 4 . 1 تعریفنظر در یال آن با متناظر راس دو بین فاصله را یال هر وزن وزن، بدون گراف (در نباشد بیشتر راس دو این بین

گوییم. مسیر7 کوتاه ترین را می گیریم)

است. مسیر کوتاه ترین یک خود مسیر، کوتاه ترین یک از زیر مسیر هر [13] 5 . 1 قضیه

راس دو هر که G رئوس از مجموعه زیر یک بگیرید. نظر در را G = (V,E) جهت بدون گراف 6 . 1 تعریفمی گویند. خوشه8 را هستند متصل یال یک توسط زیرمجموعه این از

باشد. موجود u, v بین مسیري آن از u, v راس دو هر ازاي به اگر می گوییم همبند را G گراف 7 . 1 تعریف

می نامیم. G گراف همبندي9 مولفه هاي را آن مجزاي همبند زیرگراف هاي G گراف یک در 8 . 1 تعریف4Bisector5Symmetric Communication Graph6Path7Shortest Path8Clique9Connected Component

3

مستقل10 مجموعه نباشد یالی هیچ آن ها از راس دو هر بین که گراف در رئوس از تعدادي به 9 . 1 تعریفگوییم.

با تمام جهته آنتن یک به مجهز نقطه هر اگر بگیرید. نظر در را صفحه در نقاط از P مجموعه 10 . 1 تعریفحداکثر آن ها بین فاصله اگر وتنها اگر هستند متصل هم به یال یک توسط نقطه دو آن گاه باشد، واحد شعاع

می گویند. 11 واحد دیسک گراف حاصل، گراف به باشد، یک

گراف می باشد. ارتباطی ایستگاه یک با متناظر نقطه هر می گیریم. نظر در را صفحه در نقاط از P مجموعه یک

یال u, v ∈ P مثل آن راس دو هر بین که طوري به P مجموعه رئوس از است متشکل متقارن ارتباطاتیببینید). را 1 . 3آ (شکل باشد u پوشش تحت ناحیه در v و v پوشش تحت ناحیه در u اگر تنها و اگر می باشد،

v ∈ P راس به u ∈ P راس از که طوري به P مجموعه رئوس از است متشکل نامتقارن ارتباطاتی گرافببینید). را 1 . 3ب (شکل باشد u پوشش تحت ناحیه در v اگر تنها و اگر دارد، وجود وجود جهت دار یال

u

v w

(ب)

u

v w

(آ)

نقاط مجموعه با متناظر نامتقارن ارتباطاتی گراف و راست سمت در متقارن ارتباطاتی گراف :3 . 1 شکل

چپ سمت در {u, v, w}

فاصله هرگاه دارد، وجود یال راس دو بین و صفحه روي نقاط با متناظرند آن رئوس که گرافی 11 . 1 تعریفگویند. 12 شبکه اي گراف را باشد یک آن ها

10Independent Set11Unit Disk Graph12Grid Graph

4

شبکه اي. گراف :4 . 1 شکل

با آن رئوس مجموعه که است درختی ،G جهت بدون و همبند گراف از پوشا13 درخت یک 12 . 1 تعریفباشد. G یال هاي از زیرمجموعه اي آن یال هاي مجموعه و بوده برابر G رئوس مجموعه

حداکثر آن رئوس از جفت هر فاصله که است پوشا درخت یک ،G گراف از پوشش14 -t یک 13 . 1 تعریفمی باشد. G در آن ها فاصله برابر t

صفحه در نقاط مجموعه یک محدب15 غشاي 3 . 1نقاط جفت هر براي اگر وتنها اگر می شود، نامیده 16 محدب صفحه، از S زیر مجموعه یک 14 . 1 تعریفدر P نقاط مجموعه از حاصل محدب مجموعه باشد. داشته قرار S داخل در کامال pq پاره خط ،p, q ∈ S

ببینید. را 5 . 1 شکل می دهیم. نمایش CE(P ) با را صفحه

نیستند. ١٨٠◦ از بزرگ تر محدب چندضلعی یک داخلی زاویه هاي از هیچ یک [23] 15 . 1 قضیه

یک رئوس که می باشد نقطه پنج شامل صفحه، در غیرهم خط17 نقطه نه از مجموعه هر [21] 16 . 1 قضیههستند. محدب چندضلعی

با و می گیرد بر در را S که است محدبی مجموعه کوچک ترین ،S مجموعه یک محدب غشاي 17 . 1 تعریفمی شود. داده نشان CH(S)

13Spanning Tree14 t-spanner15Convex Hull16Convex17Non-Collinear

5

محدب غیرمحدب

p

q

p

q

محدب. غیر مجموعه یک با مقایسه در محدب مجموعه یک :5 . 1 شکل

غشاي بهتر درك براي و می گیرند بر در را S که است محدبی مجموعه هاي تمام اشتراك واقع در محدب غشاي

صفحه در که هستند میخ هایی نقاط، که کرد تصور می توان صفحه، در نقطه n با P متناهی مجموعه یک محدب

شده انداخته میخ ها دور که است پالستیکی کش توسط شده ایجاد منحنی ،P محدب غشاي و شده اند کوبیده

محدب ضلعی چند می شود: محدب غشاي از دیگري تعریف به منجر دیدگاه این ببینید. را 6 . 1 شکل است.

برمی گیرد. در را P نقاط سایر و هستند P از نقاطی راس هایش که یکتایی

نقاط. از مجموعه اي محدب غشاي معادل پالستیکی کش توسط شده ایجاد منحنی :6 . 1 شکل

قابل O(n log k) زمان در صفحه در نقطه n شامل P مجموعه یک محدب غشاي [17 ،11] 18 . 1 قضیهمی باشد. P مجموعه محدب غشاي رئوس تعداد k که است محاسبه

6

نقطه18 دورترین ورنوي نمودار 4 . 1بگیرید. نظر در صفحه در نقاط از متناهی مجموعه یک را P = {p١, p٢, ..., pn} مجموعه 19 . 1 تعریفx نقطه هر که طوري به شود داده اختصاص ناحیه اي ،pi ∈ P نقطه هر به که گونه اي به صفحه تقسیم بندي

vor(P ) با و گویند ورنوي19 نمودار را باشد، P در دیگر نقاط سایر از نزدیک تر pi نقطه به ناحیه این به متعلق

ببینید. را شکل1 . 7 می شود. داده نمایش

صفحه. در نقاط از مجموعه اي یک ورنوي نمودار :7 . 1 شکل

با متناظر ناحیه به که است ناحیه هایی به صفحه از زیرتقسیم یک P مجموعه نقطه دورترین ورنوي نمودار

شکل دارد. قرار pi سلول در pi نقطه از P مجموعه در نقطه دورترین و می گوییم نقطه آن سلول20 ،pi نقطه

ببینید. را 8 . 1

در سلول یک pi ∈ P نقطه یک بگیرید. نظر در را صفحه در نقطه n از P مجموعه یک [6] 20 . 1 قضیهباشد. CH(P ) از راس یک pi اگر تنها و اگر دارد نقطه دورترین ورنوي نمودار

این براي نقطه دورترین ورنوي نمودار بگیرید. نظر در را صفحه در نقطه n از P مجموعه یک [6] 21 . 1 قضیهمی باشد. محاسبه قابل O(n log n) زمان در مجموعه

نمودار در p ∈ P نقطه حاوي سلول بگیرید، نظر در را صفحه در نقطه n از P مجموعه یک [5] 22 . 1 قضیهیافت. می توان O(log n) زمان در را مجموعه این براي نقطه دورترین ورنوي

18Farthest-Point Voronoi Diagram19Voronoi Diagram20Cell

7

cell of pj

pj

picell of pi

صفحه. در نقاط از مجموعه اي یک نقطه دورترین ورنوي نمودار :8 . 1 شکل

نقاط21 مکان یابی 5 . 1

با که این از است عبارت صفحه در نقاط مکان یابی مسئله بگیرید. نظر در را یال n با صفحه در S زیرتقسیم

9 . 1 شکل نماییم. مشخص S روي بر را دارد قرار آن در q نقطه که ناحیه اي S مورد در کامل اطالعات داشتن

ببینید. را

q

زیرتقسیم. یک در q نقطه یابی مکان :9 . 1 شکل

در S زیرتقسیم در نقطه هر مکان یابی بگیرید. نظر در را یال n با صفحه در S زیرتقسیم [6] 23 . 1 قضیهمی گیرد. صورت O(log n) زمان

21Point Location

8

گام22 فاصله 6 . 1و (فرستنده ارتباطاتی وسایل تعدادي مقصد، و مبدا بین مسیر در کامپیوتري، شبکه هاي در 24 . 1 تعریفهر بین فاصله به که برسد مسیر در دیگر نقطه به نقطه یک بین ارتباط که می شوند باعث و دارند قرار گیرنده)

نمایش یال با جهت دار آنتن هاي از حاصل ارتباطاتی گراف در را فاصله این و می گوییم گام فاصله دستگاه دو

می دهیم.

۱ گام ۲ گام

۱ ایستگاه

۱ ایستگاه

۲ ۱ایستگاه ارتباطاتی دستگاه ۲ ارتباطاتی دستگاه

گام. فاصله نمایش :10 . 1 شکل

سینوس ها23 قانون 7 . 1هر ضلع طول میان که است معادله اي [16] سینوس ها قانون ،(11 . 1 (شکل بگیرید نظر در را ABC مثلث

از: است عبارت قانون این و می کند برقرار رابطه آن، به مقابل زاویه و دلخواه مثلث

a

sinα=

b

sin β=

c

sin γ

نقطه یک تصویر24 8 . 1نیست. l خط روي که باشد نقطه اي ،q نقطه کنید فرض بگیرید. نظر در را را p١ و p٠ نقطه دو از گذرنده ،l خط

روي q نقطه تصویر را باشد داشته q نقطه تا فاصله کم ترین l خط روي نقاط میان از که l خط روي p نقطه

گویند. l خط22Hop Distance23Law Of Sines24Projection

9

A B

C

ab

c

γ

βα

دلخواه. مثلث :11 . 1 شکل

تالس25 قضیه 9 . 1آن گاه باشد، C ′ دایره قطر AC پاره خط که طوري به باشند C ′ دایره روي نقاط A,B,C اگر 25 . 1 قضیه

می باشد. ∠ABC = π/٢ زاویه

است π مثلث هر داخلی زاویه هاي مجموع که این به باتوجه بنابراین بگیرید، نظر در را 12 . 1 شکل اثبات.داریم:

α+ (α + β) + β = π → ٢(α + β) = π → α + β = π/٢

oα

α β

β C

B

A

.25 . 1 قضیه اثبات :12 . 1 شکل

□

می کند. قطع a, b نقاط در را C دایره l خط که طوري به بگیرید نظر در را l خط و C دایره [6] 26 . 1 قضیهباشند C دایره روي p, q نقاط این بر عالوه و باشند گرفته قرار l خط طرف یک در s, r, q, p نقاط کنید فرض

25Thales

10

داریم: آن گاه ببینید)، را 13 . 1 (شکل باشد داشته قرار C دایره خارج s نقطه و دایره داخل r نقطه و

.∠arb > ∠apb = ∠aqb >

l

C

p

a

b

s q

r

.26 . 1 قضیه نمایش :13 . 1 شکل

11

12

2 فصل

آنتن هاي از استفاده با بی سیم شبکه هاي اتصالجهت دار

نموده بررسی را جهت دار آنتن هاي از استفاده با بی سیم شبکه طراحی به مربوط مسئله یک فصل این در

شبکه اي چنین ساخت براي الگوریتمی و باشد متصل حاصل ارتباطی شبکه اینکه به عالقه مندیم همچنین و

آنتن هاي از حاصل ارتباطاتی گراف که گونه اي به می باشد α مقدار کمترین یافتن مسئله، بنابراین بیابیم.

باشد. متصل α زاویه با جهت دار

فرستنده n مختصات نقاط، که می کنیم شبیه سازي صفحه در نقطه n از P مجموعه صورت به را مسئله

به را آنتن ها کافیست و می باشد α زاویه با جهت دار آنتن یک به مجهز نقطه هر می دهند. نمایش را گیرنده و

و اگر دارد وجود یال p, q ∈ P نقطه دو (بین باشد متصل حاصل، ارتباطاتی گراف که کنیم جهت یابی گونه اي

پوشش تحت ناحیه در q همچنین و باد داشته قرار q نقطه با متناظر آنتن پوشش تحت محدوده در p اگر تنها

باشد). p نقطه با متناظر آنتن

حاصل ارتباطاتی گراف که گونه اي به آنتن ها یابی جهت همیشه باشد α = π/٣ اگر که داد خواهیم نشان

آنتن ها جهت یابی چگونگی براي O(n log k) زمانی مرتبه با الگوریتمی اینجا در است. امکان پذیر باشد متصل

محدب غشاي رئوس تعداد با است برابر k) می دهیم ارائه باشد، متصل حاصل ارتباطاتی شبکه که طوري به

.(P مجموعه از متشکل

آنتن هاي از استفاده با که دارد وجود صفحه در نقطه n از مجموعه اي که می دهیم نشان مثالی یک با درپایان

ساخت. متصل ارتباطاتی شبکه آن براي نمی توان α < π/٣ با جهت دار

با متناظر شبکه هاي در اما است، شده گرفته قرار مطالعه مورد شبکه ها اتصال [19 ،18 ،12 ،8] مقاالت در

بررسی به [24] نایناتن2 و [9] همکارانش و کاراجیانیس1 است. شده گرفته کار به جهته تمام آنتن هاي آن ها،

براي نامتقارن حالت در را مسئله آن ها ولی پرداخته اند، جهت دار آنتن هاي از حاصل ارتباطاتی شبکه هاي اتصال

اگر دارد وجود جهت دار یال v به u از آن ها مدل از حاصل ارتباطاتی گراف در کرده اند. مطالعه ارتباطاتی گراف

شبکه ها از بسیاري در که آنجا از ولی بگیرد، قرار u نقطه با متناظر آنتن پوشش تحت ناحیه در v اگر تنها و

پیام (این NACK پیام دریافت صورت در و می ماند گیرنده پاسخ منتظر فرستنده پیامی، فرستادن از پس

ارسال دوباره را پیام همان گیرنده از است) نشده دریافت صحیح طور به ارسالی بسته که است مفهوم این حاوي

این تا باشد داشته وجود یال هم u به v از باید داشت وجود یال v به u از ارتباطاتی شبکه در اگر پس می کند،

می شود. پرداخته مذکور مسئله براي متقارن مدل مطالعه به دلیل همین به گیرد. انجام خوبی به روند

1Caragiannis2Nijnatten

14

و آکرمن4 مقاله و همکارانش[10] و کارمی3 مقاله اساس بر فصل این اصلی مطالب که است ذکر به الزم

است. شده تنظیم [1] همکارانش

α = π/٣ زاویه با جهت دار آنتن هاي 1 . 2،α < π/٣ جهت دار آنتن هاي وجود با که دارد وجود صفحه در نقاط از مجموعه اي که می بینیم 1 . 2 شکل در

ضلع یک و رئوس روي بر نقاط چون ، باشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف که ندارد وجود آنتن ها از جهت یابی

مثلث راس روي بر گیري قرار با نیست قادر α < π/٣ زاویه با جهت دار آنتن و هستند متساوي االضالع مثلث

باشد. داشته پوشش تحت را آن ضلع دو هم زمان متساوي االضالع،

۶

n-1

۶ ۶

می باشد. ناممکن α < π/٣ هر براي جهت دار آنتن هاي از حاصل ارتباطاتی گراف :1 . 2 شکل

نقاط سایر فاصله از کم تر p نقطه از آن فاصله که P مجموعه نقاط از نقطه اي ،p ∈ P هر براي 1 . 2 تعریفمی دهیم. نمایش f(p) با را نباشد p از P مجموعه در

.Fp = { q ∈ P |f(q) = p } می دهیم: قرار p هر براي

براي که داد قرار نقاط در طوري را آنتن ها می توان باشید. داشته نظر در را صفحه در P نقاط مجموعه 2 . 2 لمدهد. قرار پوشش تحت را {f(p)} ∪

Fp مجموعه در نقاط تمام p در متناظر آنتن ،p ∈ P هر

چپ سمت در افقی خط یک روي f(p) و q ∈ Fp و p, q ∈ P می کنیم فرض کار این براي ابتدا اثبات.کنیم رسم |pf(p)| وشعاع p مرکز به دایره اي اگر دارد، قرار q ∈ Fp که این به توجه با دارد. قرار p نقطه

3Carmi4Ackerman

15

در شده داده (نشان {f(p)}∪Fp محدوده در q ∈ Fp نقطه هر نتیجه در و می گیرد قرار دایره این داخل q

دو بین اقلیدسی فاصله با است برابر d(a, b) (که d(p, q) ≤ d(p, f(p)) نتیجه در می گیرد، قرار (2 . 2 شکل

.d(q, p) ≥ d(q, f(p)) پس f(q) = p چون طرفی از .(a, b نقطه

bisector(p, f(p))

p

pb

pa

f(p)

{f(p)}∪

Fpناحیه :2 . 2 شکل

طور به و باشد ماکسیمال ∠f(p)ppa که طوري به می باشد pf(p) پاره خط زیر pa ∈ Fp کنید فرض

اگر باشد. ماکسیمال ∠f(p)ppb و باشد داشته قرار pf(p) پاره خط باالي که بگیرید نظر در را pb ∈ Fp مشابه

زیر نقطه اي چنین اگر pb براي مشابه طور به و pa = f(p) نداشت وجود pf(p) پاره خط باالي Fp در نقطه اي

درجه 60 از بزرگ تر ∠pappb زاویه ،3 . 2 لم طبق باشد. pb = f(p) کنید فرض نداشت وجود pf(p) پاره خط

جهت یابی گونه اي به را درجه 60 جهت دار آنتن p ∈ P هر ازاي به می توانیم P نقاط مجموعه براي و نیست

□ دهد. قرار پوشش تحت را {f(p)} ∪Fp ناحیه که می کنیم

نمی باشد. درجه 60 از بزرگ تر ∠pappb زاویه ،2 . 2 شکل در 3 . 2 لم

با 3 . 2 شکل در است. d(pa, p) ≥ d(pb, p) می کنیم فرض استدالل کلیت دادن دست از بدون اثبات.را C دایره اگر می گیرد. قرار l خط چپ سمت pb آن گاه باشد، pap پاره خط منصف عمود l خط این که فرض

C دایره در pb نقطه ،d(pa, p) ≥ d(pb, p) این که فرض به توجه با کنیم، رسم d(pa, p) شعاع و p مرکز به

می گیرد. قرار

16

l = bisector (pa,p)

C

f(p)p

pa

pb

.∠pappb ≤ ۶٠ :3 . 2 شکل

طبق بگیریم، نظر در (ppa پاره خط (باالي l خط و C دایره برخورد نقطه عنوان به را z نقطه اگر حال

و |paz| = |pz| که می گیریم نتیجه می باشد pap پاره خط منصف عمود l خط این که فرض بنابر و شکل2 . 3

متساوي االضالع مثلث یک papz نتیجه در و |pap| = |paz| = |pz| پس می باشد pap شعاع به C دایره چون

□ است. ∠pappb ≤ π/٣ و بوده

مولفه چندین شامل است ممکن حاصل ارتباطاتی گراف که می دهیم قرار گونه اي به را آنتن ها اول مرحله در

حاصل متصل ارتباطاتی گراف یک اولیه، جهت یابی در تغییراتی با نیاز صورت در بعد، مرحله در و باشد متصل

شد. خواهد

در P نقاط مجموعه براي 2 . 2 لم به توجه با و نمی باشد درجه 60 از بزرگ تر ∠pappb زاویه ،3 . 2 لم طبق

ناحیه که می کنیم جهت یابی گونه اي به را درجه 60 جهت دار آنتن p ∈ P نقطه هر ازاي به می توانیم صفحه

تشکیل c١, c٢, ..., ck متصل مولفه هاي از حاصل، ارتباطاتی گراف و دهد قرار پوشش تحت را {f(p)} ∪Fp

است. متصل حاصل ارتباطاتی گراف صورت این در ،k = ١ اگر می شود.

نظر در ci در یال طوالنی ترین عنوان به را ei = (ui, vi) ،i = ١, ..., k ازاي به و k ≥ ٢ می کنیم فرض

.ri = d(ui, vi) می دهیم قرار و گرفته

اگر (چون می باشد f(vi) = ui و f(ui) = vi پس است، ci در یال طوالنی ترین ei این که فرض با

را Dui(ri) ∩ Dvi(ri) ناحیه حال و است) ei یال از بزرگ تر (ui, f(ui)) یال آن گاه باشد f(ui) ̸= vi

17

می باشد. r شعاع و p مرکز به دایره یک ،Dp(r) که می نامیم lune(ui, vi)

نیست، ri از بیش تر ،ui از P مجموعه نقاط از نقطه اي هیچ فاصله پس است، f(ui) = vi این که به باتوجه

هیچ فاصله پس ،f(vi) = ui چون طرفی از و می باشد Dvi(ri) دایره داخل P مجموعه نقاط تمام نتیجه در

باشد. Dvi(ri) دایره داخل P مجموعه نقاط همه باید پس نیست. ri از بیش تر ،vi از P مجموعه از نقطه اي

می باشد. p ⊆ lune(ui, vi) ،i = ١, ..., k هر ازاي به پس

می نامیم. بد زاویه یک را آن باشد α > π/٣ چنانچه و باشد α ≤ π/٣ اگر گوییم خوب را α زاویه یک

یال هاي طوالنی ترین e′ = (u, v) و e = (x, y) کنید فرض و بگیرید نظر در را c′ و c متصل مولفه دو

چهار ضلعی حال است. e پاره خط زیر v مختصات و دارد قرار e پاره خط باالي u ،6 . 2 لم طبق و باشند آن ها

7 . 2 لم در می کنند. تقسیم مثلث چهار به را چهارضلعی e, e′ یال هاي .(4 . 2 (شکل بگیرید نظر در را x, v, y, u

در e, e′ یال هاي با متناظر زاویه هاي (یعنی می باشد خوب مثلث چهار این از یکی حداقل که داد خواهیم نشان

می باشد). خوب مثلث آن

oy

u

x

v

α۳β۱

α۴

α۱

α۲

β۴

β۳

β۲

می باشد. خوب مثلث ها از یکی حداقل :4 . 2 شکل

گراف در متصل مولفه یک تنها تا کنیم جهت یابی دوباره را آنتن ها از برخی چگونه که می دهیم شرح حال

شود. حاصل ارتباطاتی،

یال هاي طوالنی ترین عنوان به را e′ = (u, v) و e = (x, y) یال هاي و c′ و c متصل مولفه دو اگر 4 . 2 قضیهدارد وجود نامحدود شعاع با درجه 60 جهت دار آنتن هاي از جهت یابی یک آن گاه بگیرید، نظر در آن ها با متناظر

است. متصل wx, wy, wu, wv از حاصل x, y, v, u رئوس با ارتباطاتی گراف که

18

قرار می باشد. P ⊆ lune(x, y)∩ lune(u, v) پس است، P ⊆ lune(ui, vi) ،ci هر ازاي به چون اثبات.توسط شده تشکیل مثلث هاي از یکی حداقل 7 . 2 لم به توجه با .D = lune(x, y) ∩ lune(u, v) می دهیم

خوب باالیی راست سمت مثلث می کنیم، فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون هستند. خوب x, v, y, u نقاط

پس است، ∠uox = ∠voy ≥ π/٣ چون باشند. ∠xuv ≤ π/٣ و ∠uxy ≤ π/٣ زاویه دو باید و است

.∠uvy ≤ π/٣ می کنیم فرض نمی باشد. درجه 60 از بزرگ تر ∠xyv یا ∠uvy زاویه هاي از یکی حداقل

o xy

v

u

D

Zux

Zvy

Wx

Wy

Wu

Wv

.Wu,Wx,Wv,Wy اولیه جهت یابی :5 . 2 شکل

چپ سمت ضلع روي بر x راس که دهیم قرار گونه اي به می توانیم را Wu می باشد، ∠xuv ≤ π/٣ چون

داشته پوشش تحت هم را v می تواند wu همچنین، و باشیم) داشته نظر wu به u جانب از (وقتی بگیرد قرار آن

تحت هم را u و بگیرد قرار آن چپ سمت ضلع در y که می کنیم جهت یابی طوري را wv مشابه طور به باشد.

باشد. داشته خود پوشش

پوشش تحت را x ،wy) باشد گرفته قرار آن راست سمت ضلع روي v که می دهیم قرار جهتی در را wy

گونه اي به می توان هم را wx پس است، ∠uxy ≤ π/٣ چون .(∠xyv ≤ π/٣ اگر وتنها اگر می دهد قرار خود

19

دهد. قرار پوشش تحت را y و u که داد قرار

یال هاي شامل چون است، متصل wv و wu و wy و wx از حاصل u و v و y و x رئوس با ارتباطاتی گراف

□ می باشد. (u, x) و (v, y) و (u, v)

وجود درجه 60 جهت دار آنتن هاي از جهت یابی یک باشد، صفحه در نقطه n از مجموعه اي P اگر 5 . 2 قضیهباشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف که دارد

متصل wv و wu و wy و wx از حاصل u و v و y و x رئوس با ارتباطاتی گراف ،4 . 2 قضیه طبق اثبات.می توانیم باشند، آنتن چهار این پوشش تحت ناحیه هاي اجتماع در P مجموعه نقاط همه اگر بنابراین است،

به را دارند قرار نواحی چهار این از یکی در کدام هر که ،P \ {x, y, u, v} نقاط با متناظر جهت دار آنتن هاي

می باشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف نتیجه در و دهیم جهت ناحیه آن با متناظر نقطه سمت

و wx ناحیه هاي اجتماع پوشش تحت که باشد داشته وجود p ∈ P نقطه یک حداقل که می کنیم فرض

شکل در ∠voy و ∠vox و ∠uoy و ∠uox زوایاي با متناظر ناحیه هاي باشد. نداشته قرار wv و wu و wy

می نامیم. Rvy و Rvx و Ruy و Rux ترتیب به را 5 . 2

نقطه بنابراین است. D ∩Rvy ⊆ wu و D ∩Ruy ⊆ wx چون باشد، Rvx یا Ruy ناحیه در نمی تواند p

می باشد. (Rux (در wy و wv ناحیه هاي بین یا دارد قرار (Rvyدر) wu و wx پوشش تحت ناحیه هاي بین یا p

آن و zux ⊂ P را نگرفته اند قرار پوشش تحت Rvy در wx و wu وسیله به که P عضو نقاط مجموعه

را 5 . 2 (شکل می نامیم zvy ⊂ P را نگرفته اند قرار پوشش تحت Rux در wy و wv توسط که نقاط از بخش

است: امکان پذیر حالت دو این جا در حال ببینید).

باشد. ∠xyv ≤ π/٣ زاویه 1 حالت

دارد. خود پوشش تحت را x نقطه ،wy و است خوب هم ( ٢.۵ (شکل پایینی چپ سمت مثلث حالت این در

پوشش تحت wv و wu و wy و wx پوشش تحت ناحیه هاي اجتماع توسط که باشد نقطه یک z می کنیم فرض

باشد. z ∈ Zvy می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون است. نگرفته قرار

در (چون می باشند درجه 60 از بزرگ تر دو هر ∠zvy و ∠zyv زاویه هاي بگیرید. نظر در را △yzv مثلث

این با است. ∠yzv < π/٣ بنابراین می گیرد)، قرار پوشش تحت wv یا wy توسط حداقل z صورت غیر این

20

قرار پوشش تحت را y و v همچنین و Zux در موجود نقاط همه می توان درجه 60 جهت دار آنتن یک با وجود

داد.

آنتن نیست. درجه 60 از بیش تر ∠uvz و ∠xyz زاویه دو از یکی حداقل که داد خواهیم نشان 8 . 2 لم در

در متناظر آنتن جدید (جهت یابی w∗v چپ سمت ضلع که می دهیم جهت تغییر گونه اي به را v نقطه با متناظر

ضلع تا می دهیم جهت تغییر نیز را y نقطه با متناظر آنتن و بگذرد u از می دادیم) نشان wv با قبال که v نقطه

بگذرد. x از w∗y راست سمت

می گیرند. قرار wz و w∗y و w∗

v و wx و wu پوشش تحت ناحیه هاي اجتماع در P مجموعه نقاط همه 1 ادعا

است متصل wz و w∗y و w∗

v و wx و wu از حاصل z و v و u و y و x نقاط با ارتباطاتی گراف اثبات.در (v, z) و (y, z) یال هاي از یکی حداقل 8 . 2 لم طبق و داریم را (u, x) و (v, u) و (y, x) یال هاي (چون

توسط آن گاه باشد، Rvy در p اگر باشد. p ∈ P \{x, y, u, v, z} نقطه می کنیم فرض می باشد). حاصل گراف

داشته قرار Ruy در p اگر می شود. پوشانده wu توسط باشد، Rvx در p اگر و می گیرد قرار پوشش تحت wz

است: امکان پذیر حالت دو باشد، Rux در p اگر نهایت در و می گیرد قرار پوشش تحت wx با باشد،

با و 8 . 2 لم طبق باشد، p ∈ Zvy اگر و است پوشش تحت دو هر یا wu یا wx توسط گاه آن p /∈ Zvy اگر

□ می گیرد. قرار پوشش تحت w∗v یا w∗

y ناحیه هاي از یکی توسط p نقطه ، wv و wy جهت تغییر

باشد. ∠xyv > π/٣ زاویه 2 حالت

بگیرید. نظر در را 2 . 2 حالت صورت این غیر در و 1 . 2 حالت Zvy ̸= ∅ اگر می شود. گرفته نظر در حالت دو حال

.Zvy ̸= ∅ 1 . 2 حالت

مثلث در شد گفته 1 حالت در که همانطور بگیرید، نظر در را △yzv مثلث و (5 . 2 (شکل z ∈ Zvy نقطه

ناحیه در نقاط تمام می تواند z درنقطه درجه 60 جهت دار آنتن یک و می باشد ∠yzv ≤ π/٣ زاویه ،△yzv

دهد. قرار پوشش تحت را v, yنقاط و Zux

∠xyv > π/٣ چون و wvنمی باشد) پوشش تحت z (چون zvy∠می باشد ≥ π/٣ yzv△زاویه مثلث در

است. ∠xyz ≤ π/٣ لذا و می باشد درجه 60 حداکثر ∠xyz و ∠yzv زوایاي مجموع بنابراین فرض)، (طبق

21

نقطه با متناظر آنتن که دهیم تغییر گونه بدین را 5 . 2 شکل جهت یابی هاي اگر که می دهیم نشان 2 ادعا در

w∗y را wy جدید جهت از آمده دست به (ناحیه بگذرد x از آن راست سمت ضلع که دهیم قرار جهتی در را y

v از wz چپ سمت ضلع که می دهیم قرار طوري را درجه 60 جهت دار آنتن ،z ∈ Zuv نقطه در و می نامیم)

گرفته اند. قرار پوشش تحت P مجموعه نقاط تمام آن گاه بگذرد،

می گیرند. قرار wz و w∗y و wv و wx و wu پوشش تحت ناحیه هاي اجتماع در P مجموعه نقاط همه 2 ادعا

و w∗y و wv و wx و wu از حاصل z و v و u و y و x رئوس با ارتباطاتی گراف که کنید توجه ابتدا اثبات.

.((y, x) و (y, z) و (u, v) و (u, x) یال هاي (توسط می باشد متصل wz

یا wu یا wv توسط p آن گاه باشد، p /∈ Zvy و p ∈ Rux اگر باشد. p ∈ P \{x, y, u, v, z} کنید فرض

∠xyp ≤ π/٣ (چون می شود پوشیده w∗y ناحیه تحت p صورت این غیر در و می گیرد قرار پوشش تحت دو هر

p آن گاه باشد، p ∈ Rvx نقطه اگر و گرفته قرار wv پوشش تحت آن گاه باشد p ∈ Ruy نقطه اگر است).

این به و می گیرد قرار پوشش تحت wz توسط آن گاه باشد، p ∈ Rvy نقطه اگر می گیرد. قرار wu پوشش تحت

□ است. کامل اثبات ترتیب

.Zvy = ∅ 2 . 2 حالت

wy با متناظر آنتن که دهیم تغییر گونه بدین را 5 . 2 شکل جهت یابی هاي اگر که می دهیم نشان 3 ادعا در

w∗y را wy جدید جهت از آمده دست به (ناحیه بگذرد v از آن چپ سمت ضلع که دهیم قرار جهتی در را

گرفته اند. قرار پوشش تحت p مجموعه نقاط تمام آن گاه می نامیم)،

می گیرند. قرار w∗y و wv و wx و wu پوشش تحت ناحیه هاي اجتماع در P مجموعه نقاط همه 3 ادعا

متصل w∗y و wv و wx و wu از حاصل x, y, u, v رئوس با ارتباطاتی گراف که کنید توجه ابتدا اثبات.

پوشش تحت w∗y یا wv توسط آن گاه باشد، p ∈ Rvy اگر و ((v, y) و (u, v) و (u, x) یال هاي (توسط می باشد

□ می گیرد. قرار

از جهت یابی یک صفحه در نقاط مجموعه هر براي دادیم نشان و است کامل 4 . 2 قضیه اثبات ترتیب این به

□ باشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف که دارد وجود درجه 60 جهت دار آنتن هاي

22

با متناظر یال هاي طوالنی ترین عنوان به را e′ = (u, v) و e = (x, y) و c′ و c متصل مولفه دو اگر 6 . 2 لممی کنند. قطع را یکدیگر e, e′ آن گاه بگیرید، نظر در آن ها

به نسبت lune(u, v) ناحیه باالیی نیمه در x کنید فرض استدالل، کلیت دادن دست از بدون اثبات.،25 . 1 قضیه طبق بگیرید) نظر در را 6 . 2 (شکل باشد داشته قرار باالیی نیمه در هم y اگر دارد. قرار uv پاره خط

حداکثر مثلث این در دیگر زاویه دو مجموع نتیجه در و است π/٢ حداکثر ∠xyv زاویه مقدار △xyv مثلث در

مثلث در زاویه بزرگ ترین به روبرو ضلع بنابراین است. بزرگ تر دیگر زاویه دو از ∠xyv زاویه و است π/٢

و بوده f(x) = y که این با است متناقض این و می باشد بزرگ تر مثلث این اضالع سایر از xv یعنی ،△xyv

6 . 2 شکل با مشابه y و x نقطه دو هر که حاالتی سایر براي مشابه طور به باشد. c مولفه در یال طوالنی ترین e

u v

x y

.6 . 2 لم اثبات :6 . 2 شکل

d(u, y) و d(u, x) فاصله چهار از یکی حداقل که داد نشان می توان دارند قرار lune(x, y) باالیی قسمت در

□ .f(y) = x و f(x) = y این که با است متناقض این و است بزرگ تر d(u, v) از d(v, y) و d(v, x) و

یک عنوان به را o که مثلثی چهار از یکی حداقل می نامیم. o را e′و e بین تقاطع نقطه 4 . 2 شکل در 7 . 2 لممی باشد. خوب دارند، مشترك راس

نظر در را △uxo مثلث خلف). (فرض نباشند خوب شده گفته مثلث هاي از یک هیچ کنید فرض اثبات.سایر از بزرگ تر uv ضلع △uxv مثلث در باشد. بد (4 . 2 شکل در α١) ∠oux زاویه کنید فرض و بگیرید

یک β١ وجود این با می باشد. بزرگ تر α١ از ضلع این به روبرو زاویه پس است)، f(u) = v (چون است اضالع

طور به نباشد). خوب مثلث ها از یک هیچ این که فرض به توجه (با بوده α٢ > π/٣ پس می باشد. خوب زاویه

23

α۴ و α٣ و α٢ و α١ و هستند خوب β۴ و β٣ و β٢ و β١ نتیجه در است. β٢ ≤ π/٣ داد نشان می توان مشابه

داریم: مشابه طور به و |ox| > |ou| پس α١ > β۴ چون ،4 . 2 شکل به توجه با می باشند. بد

|ou| > |oy|, |oy| > |ov|, |ov| > |ox| ⇒ |ox| > |ox|

مذکور مثلث هاي از یکی حداقل و بوده باطل خلف فرض که می گیریم نتیجه و است ممکن غیر چیزي چنین که

□ هستند. خوب

نمی باشد. درجه 60 از بزرگ تر ∠uvz و ∠xyz زاویه هاي از یکی حداقل 8 . 2 لم

،p ∈ P هر براي (چون هستند P نقاط مجموعه محدب غشاي رئوس z و u و y و x نقاط اثبات.است. |uv| ≥ |xy| می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون می باشد). CH(P ) از راس یک f(p)

باالیی نیمه باشد. ∠xyz > π/٣ می کنیم فرض . است شده اثبات قضیه آن گاه باشد، ∠xyz ≤ ۶٠ اگر

باالترین oxy) می کنیم رسم را △xyoxy متساوي االضالع مثلث ،(7 . 2 (شکل بگیرید نظر در را lune(x, y)

باالیی بخش چپ سمت در باید z پس است، ∠xyz > π/٣ چون می باشد). lune(x, y) باالیی بخش نقطه

سمت نیمه حال باشد. yz چپ سمت در باید u پس z ∈ D ∩Rux چون طرفی از و بگیرد قرار lune(x, y)

y

uz

oxy

ouv

v

x

هستند. جدا هم از lune(u, v) راستی نیمه راست وسمت lune(x, y) باالیی بخش چپ سمت :7 . 2 شکل

با و |uv| > |xy| چون بگیرید نظر در را آن با متناظر △uvouv متساوي االضالع مثلث و lune(u, v) راست

24

در lune(x, y) باالیی بخش چپ سمت از خارج ouv ترتیب این به دارد، قرار xy پاره خط زیر v که این به توجه

راست وسمت lune(x, y) باالیی بخش چپ سمت بنابراین .(7 . 2 (شکل می باشد yoxy پاره خط راست سمت

هستند. جدا هم از lune(u, v) راستی نیمه

∠uvz ≤ ۶٠ بنابراین و باشد داشته قرار lune(u, v) راستی نیمه راست سمت در نمی تواند z نتیجه در

□ باشد). داشته قرار lune(u, v) راستی بخش راست سمت در باید z باشد، ∠uvz > ۶٠ اگر (چون

متصل ارتباطاتی گراف ساخت 2 . 2کرد جهت یابی صفحه در نقاط مجموعه هر در را درجه 60 جهت دار آنتن هاي ،1 الگوریتم از استفاده با می توان

آورد. دست به را متصل ارتباطاتی گراف و

درجه. ۶٠ جهت دار آنتن های جهت یابی الگوریتم ١ الگوریتمصفحه در P نقاط مجموعه ورودی:

متصل ارتباطاتی گراف خروجی:می آوریم. دست به را CH(P ) :١

می آوریم. دست به را CH(P ) رئوس مجموعه نقطه دورترین ورنوی نمودار :٢

رسم یال p, q ∈ P نقطه دو هر بین و می یابیم را راس آن با متناظر ناحیه ،P مجموعه نقاط از یک هر برای :٣

.f(q) = p یا f(p) = q اگر وتنها اگر می کنیمایجاد حاصل ارتباطاتی گراف در قبل گام یال های که می دهیم قرار طوری به ۴ . ٢ قضیه اثبات طبق را آنتن ها :۴

شود.می کنیم. بررسی را CH(p) رئوس بین اتصال :۵

ارتباطاتی گراف یگ تا می دهیم تغییر ۵ . ٢ قضیه طبق را آنتن ها جهت یابی داشتیم، مولفه یک از بیش اگر :۶

آید. دست به متصل

آنتن های می توان O(n log k) اجرای زمان در بگیرید. نظر در را صفحه در نقطه n از P مجموعه یک ٢ . ٩ قضیه

می باشد). CH(P ) رئوس تعداد k) آورد دست به را متصل ارتباطاتی گراف و داد قرار نقاط در را درجه ۶٠ جهت دار

صفحه در نقاط مجموعه هر برای درجه ۶٠ جهت دار آنتن های جهت یابی که دادیم نشان ۵ . ٢ قضیه در اثبات.

در نقاط جهت یابی برای شده داده نشان روش می باشد. امکان پذیر باشد، متصل حاصل ارتباطاتی گراف که گونه ای به

٢۵

O(n log k) الگوریتم اجرای زمان دهیم نشان است کافی فقط و شده گرفته کار به ١ الگوریتم در ۵ . ٢ قضیه اثبات

می باشد.

ورنوی نمودار ١ . ٢١ قضیه طبق و می آید دست به O(n log k) زمان در CH(P ) ١ . ١٨ قضیه از استفاده با

n انجام با الگوریتم، سوم گام در می شود. حاصل O(k log k) زمان در CH(P ) رئوس مجموعه نقطه دورترین

p, q ∈ P نقطه دو هر بین O(n log k) زمان در ،١ . ٢٢ قضیه طبق P مجموعه نقاط از یک هر برای جستجو دفعه

مولفه های تعداد O(k log k) زمان در پنجم گام در باشد. f(q) = p یا f(p) = q اگر وتنها اگر می شود رسم یال

O(n) زمان در باشیم داشته مولفه یک از بیش که صورتی در ششم گام در می کنیم. بررسی را حاصل ارتباطاتی گراف

کامل اثبات اکنون باشد. متصل مولفه یک حاصل گراف تا (۴ . ٢ قضیه (طبق می دهیم تغییر را آنتن ها جهت یابی

□ است.

و α = π/٢ زاویه با جهت دار آنتن های از جهت یابی یک همیشه که شد داده نشان فصل این در ٢ . ١٠ نتیجه

باشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف که طوری به دارد وجود صفحه روی نقاط در واقع نامحدود شعاع

٢۶

٣ فصل

و جهت دار آنتن های با بی سیم شبکه های اتصال

صفحه کل پوشش

وجود n صحیح عدد یک آن ازای به که می یابیم را جهت دار آنتن های برای α زاویه کوچک ترین فصل این در

طوری را آنتن ها بتوان نامحدود، شعاع و α زاویه با جهت دار آنتن n از مجموعه هر با متناظر تا باشد داشته

صفحه کل با برابر آنتن ها پوشش تحت ناحیه های اجتماع و باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف که کرد جهت یابی

صحیح وعدد است مسئله این جواب که است زاویه ای کوچک ترین α = π/٢ که می دهیم نشان اینجا در باشد.

می باشد. n = ۴ آن با متناظر

با تمام جهته آنتن های جابه جایی هدف و می گیریم نظر در P مجموعه نقاط در واحد دیسک گراف یک ابتدا در

ارتباطاتی گراف آوردن دست به برای آن ها جهت یابی و r = O(١) شعاع و α = π/٢ زاویه با جهت دار آنتن های

می باشد. متصل حاصل

می باشد. [٢ ،۴] مراجع از برگرفته فصل این مطالب که است ذکر به الزم

مجموعه هر برای تا باشد داشته وجود n صحیح عدد که گونه ای به α کوچک ترین یافتن مسئله، بخش این در

وجود نقاط مجموعه این در واقع نامحدود شعاع و α زاویه با جهت دار آنتن های از جهت یابی نقطه، n حداقل از P

می باشد. بگیرد، قرار پوشش تحت صفحه کل این بر عالوه و باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف تا باشد داشته

α < π/٢ زاویه با جهت دار آنتن های ٣ . ١

متناظر جهت دار آنتن های از جهت یابی همیشه آن گاه باشد، α < π/٣ اگر دادند نشان [١٠] همکاران و ١ کارمی

از جهت یابی مثال، برای نیست. امکان پذیر باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف که صفحه، در نقاط مجموعه با

شعاع و α < π/٣ زاویه با متساوی االضالع مثلث رئوس در واقع نقاط مجموعه با متناظر جهت دار آنتن های

باشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف و بگیرد قرار پوشش تحت صفحه کل که ندارد وجود نامحدود

آنتن های می توان چگونه که دادند نشان [١] همکاران و ٢ کرمن آ همچنین ،[١٠] مقاله بر عالوه α > π/٣ برای

گراف تا کرد جهت یابی صفحه، در نقاط مجموعه هر با متناظر مکان های در را نامحدود شعاع و α زاویه با جهت دار

ناحیه های اجتماع توسط صفحه کل که نداشت را اطمینان این آن ها ساختار اما باشد، متصل حاصل ارتباطاتی

بگیرد. قرار پوشش تحت آنتن ها

آنتن ها جهت یابی همیشه ،α < π/٢ جهت دار آنتن های به مجهز صفحه، در نقاط مجموعه هر برای حقیقت در

نیست. امکان پذیر بگیرد قرار پوشش تحت هم صفحه کل حاصل، ارتباطاتی گراف اتصال بر عالوه که گونه ای به

١Carmi٢Ackerman

٢٨

آنتن های از جهت یابی باشید، داشته نظر در را صفحه در افقی خط یک روی نقاط از P مجموعه می توانید مثال برای

هم صفحه کل حاصل، ارتباطاتی گراف اتصال بر عالوه که نیست ممکن نقاط، این در واقع α < π/٢ جهت دار

بگیرد. قرار پوشش تحت

α = π/٢ زاویه با جهت دار آنتن های ٣ . ٢

متناظر تا باشد داشته وجود n صحیح عدد یک آن ازای به که جهت دار آنتن های برای زاویه کم ترین یافتن ١ مسئله

بر عالوه تا کرد جهت یابی طوری را آنتن ها بتوان نامحدود، شعاع و α زاویه با جهت دار آنتن n از مجموعه هر با

بگیرد. قرار پوشش تحت هم صفحه کل حاصل، ارتباطاتی گراف اتصال

می باشد. n = ۴ و α = π/٢ ،١ مسئله جواب که می دهیم نشان

جهت دار آنتن های به مجهز گیرنده و فرستنده چهار مکان با متناظر صفحه در نقطه چهار از P مجموعه ٣ . ١ قضیه

که دارد وجود P مجموعه در آنتن ها این از جهت یابی یک بگیرید. نظر در را نامحدود شعاع و α = π/٢ زاویه با

می گیرد. قرار آن ها ناحیه های پوشش تحت صفحه، کل و بوده متصل حاصل ارتباطاتی گراف

اثبات.

مثلث یک CH(P ) دوم: حالت باشد. چهار ضلعی یک CH(P ) اول: حالت می گیریم. نظر در را حالت دو

باشد.

باشد. چهار ضلعی یک CH(P ) ١ حالت

از یک هر بگیریم، نظر در را CH(P ) قطر های اگر می باشد. π/٢ حداکثر چهارضلعی زاویه های از یکی حداقل

(چون می باشد π/٢ حداکثر آن ها از یکی حداقل که می کنند، تبدیل کوچک تر زاویه دو به را چهارضلعی زاویه های

CH(P(به ) زاویه هشت از زاویه پنج حداقل پس می باشد). π حداکثر زاویه ها از یک هر محدب چندضلعی در

راس دو وجود این با .(٣ . ١ (شکل می نامیم o را قطر دو تقاطع نقطه می باشند. π/٢ حداکثر قطرهایش) انضمام

α = π/٢ جهت دار آنتن می توانیم بنابراین .∠oba ≤ π/٢ و ∠oab ≤ π/٢ که دارد وجود a, b ∈ CH(P )

متصل حاصل ارتباطاتی گراف و بگیرد قرار پوشش تحت (a, b) ضلع و قطر دو که دهیم قرار a, b نقاط در طوری را

باشد.

٢٩

a b

d

c

o

h−a,b

h+a,b

باشد. چهارضلعی CH(P ) :٣ . ١ شکل

می گیرد: صورت روش، این به ٣ . ١ شکل به توجه با جهت یابی

باشد. b با مجاور c ،CH(P ) چهارضلعی در که طوری به باشند CH(P ) دیگر راس دو c, d کنید فرض

CH(P ) شامل و شده ایجاد la,b توسط که نیم صفحه ای و می گیریم نظر در a, b از عبوری خط عنوان به را la,b

یک و باشد CH(P ) سمت به که می دهیم جهت طوری را wa می نامیم. h−a,b را دیگر نیم صفحه و h+

a,b را می باشد

می دهیم. قرار بگذرد a از آن ضلع یک که طوری به CH(P ) سمت به را wb مشابه طور به و بگذرد b از آن ضلع

می شود. پوشیده h+a,b و گرفته قرار wb و wa پوشش تحت c, d نقاط جهت یابی این با ببینید، را ٣ . ١ شکل

و c چون بگیرد. قرار پوشش تحت h−a,b که کنیم جهت یابی طوری را d و c با متناظر آنتن های است کافی حال

a که می دهیم قرار (٣ . ١ شکل (طبق wa عکس جهت در را wc پس شده اند پوشیده wb و wa توسط ترتیب به d

خود پوشش تحت را b تا می دهیم قرار wb عکس جهت در را wd مشابه طور به و باشد آن پوشش تحت ناحیه در

می باشد. wc ∪ wd پوشش تحت نیز h−a,b صورت این در باشد. داشته

باشد. مثلث یک CH(P ) ٢ حالت

زاویه دو حداقل abc مثلث بنابراین .(٣ . ٢ (شکل d ∈ △abc که باشد △abc مثلث CH(P ) می کنیم فرض

∠cba ≤ π/٢ و ∠cab ≤ π/٢ می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون می باشند. π/٢ حداکثر که دارد

wb و wa بپوشانند. را h+a,b تا می دهیم جهت شد، گفته ١ حالت در آنچه به مشابه را wb و wa آنتن های باشند.

بنابراین دارند. خود محدوده در را c, d نقطه های دو، هر پس می دهند، قرار پوشش تحت را △abc مثلث دو هر

(شکل گیرد قرار پوشش تحت wc ∪wd توسط h−a,b که دهیم جهت طوری ١ حالت با مشابه را c, d که است کافی

□ است. کامل اثبات اکنون .(٣ . ٢

صفحه در α = π/٢ جهت دار آنتن های به مجهز P مجموعه نقاط از چهارتایی هر که دادیم نشان ٣ . ١ قضیه در

٣٠

a b

d

c

h−a,b

h+a,b

باشد. مثلث CH(P ) :٣ . ٢ شکل

حال بگیرد. قرار پوشش تحت هم صفحه کل و باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف تا کنیم جهت یابی می توانیم را

نقطه هر می دهیم. جهت را چهارتایی هر با متناظر آنتن های ٣ . ١ قضیه طبق بگیرید. نظر در را B و A چهارتایی دو

از نقطه هر همچنین و می گیرد قرار پوشش تحت B از نقطه یک با متناظر آنتن یک توسط حداقل A چهارتایی از

گراف که است ممکن وجود این با ولی می باشد، پوشش تحت A از نقطه یک با متناظر آنتن توسط حداقل هم B

یالی هیچ که ببینید را ٣ . ٣ شکل مثال برای نباشد. متصل ،(A ∪ B) چهارتایی دو اجتماع از حاصل ارتباطاتی

اگر که می دهیم نشان ٣ . ٢ قضیه در ندارد. وجود ،(A ∪ B) از حاصل ارتباطاتی گراف در B و A چهارتایی بین

می باشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف آن گاه کرد، جدا هم از خط یک توسط را B و A بتوان

a۱a۲

a۳a۴

b۱ b۲

b۳ b۴

نیست. متصل A ∪B از متصل حاصل ارتباطاتی گراف :٣ . ٣ شکل

با α = π/٢ جهت دار آنتن های به مجهز صفحه در نقطه چهار حاوی یک هر B و A مجموعه دو ٣ . ٢ قضیه

A مجموعه دو آن، با بتوان که باشد داشته وجود l خط اگر بگیرید. نظر در را (٣ . ١ قضیه (طبق مناسب جهت یابی

می باشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف آن گاه کرد، جدا هم از را B و

a ∈ wb که گونه ای به دارند وجود b ∈ B و a ∈ A نقاط که دهیم نشان که است کافی اثبات برای اثبات.

A نقاط مجموعه که است عمودی خط یک l می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون باشد. b ∈ wa و

٣١

نقطه های شامل و l توسط شده تعریف نیم صفحه دارند. قرار آن راست سمت B نقاط مجموعه و آن چپ سمت

مجموعه از نقاط تعداد کم ترین می دهیم. نمایش hB با را B نقاط مجموعه با متناظر نیم صفحه و hA را A مجموعه

بپوشانند را hB ناحیه هم با که (٣ . ١ قضیه در شده گفته جهت یابی (با α = π/٢ جهت دار آنتن های به مجهز A

سه یا دو می توانند mB و mA مقادیر می گیریم. نظر در را mB ،B مجموعه برای مشابه طور به و می نامیم mA

دوم حالت در و باشد دو ،mB و mA عدد دو از یکی حداقل ، اول حالت در که می گیریم، نظر در حالت دو باشند.

باشند. سه ،(mA,mB)دو هر

باشد. دو ،mB و mA عدد دو از یکی حداقل ١ حالت

کلیت دادن دست از بدون می پوشانند. را دوم مجموعه شامل نیم صفحه هم با مجموعه یک از نقطه دو حالت این در

شکل نباشد. a٢ زیر a١ همچنین و می پوشانند را hB هم با a١, a٢ ∈ A با متناظر آنتن های که می کنیم فرض مسئله

a١ ∈ A نقطه دارند. اشاره باال سمت به p↖a٢و پایین سمت به p↗a١

که هستند l موازی p↖a٢و p↗a١

ببینید. را ٣ . ۴آ

بین (a١, b١) یال آن گاه باشد، wa١ پوشش تحت b١ اگر می شود. پوشیده wb١ توسط که بگیرید نظر در نقطه ای را

هم a٢ و b١ ∈ hB\wa١ ⊆ wa٢ کنید فرض می باشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف و شده ایجاد چهارتایی دو

حاصل ارتباطاتی گراف و شده ایجاد چهارتایی دو بین (a٢, b١) یال صورت این در (چون نباشد wb١ پوشش تحت

wb٢ قرارگیری جهت و بوده b٢ ∈ B کنید فرض می کند. قطع را a١a٢ پاره خط l(p↖b١) بنابراین می باشد). متصل

باالی b٢ همچنین و بچرخانیم π/٢ اندازه به ساعت عقربه های حرکت عکس جهت در را wb١ که این با است برابر

دو بین و بوده b٢ ∈ wa٢ و a٢ ∈ wb٢ وجود این با است. b٢ ∈ wa٢ نتیجه در و بوده آن روی یا l(p↖b١) خط

است. متصل حاصل ارتباطاتی شبکه و می شود ایجاد یال B و A چهارتایی

باشند. سه ،mB و mA ٢ حالت

پوشش تحت B از نقطه سه توسط نیز hA همچنین و می شود پوشیده A از نقطه سه توسط hB حالت این در

Rbota می کند، تقسیم قسمت سه به را hB که دارد وجود a ∈ A نقطه ٣ . ۴ب شکل طبق کنید فرض می گیرد. قرار

.wa ∩ hB و Rtopa و

حرکت جهت در را آن که طوری به wa جهت با است برابر wa١ قرارگیری جهت و باشد a١ ∈ A کنید فرض

مشابه طور به و می پوشاند را Rbota و بوده h(ρ↗a ) باالی a١ بنابراین بچرخانیم، π/٢ اندازه به ساعت عقربه های

عقربه های حرکت عکس جهت در را آن که طوری به wa جهت با است برابر wa٢ جهت که بگیرید نظر در را a٢ ∈ A

٣٢

a

a۱

a۲

hBhA

l

Rbota

RtopaRbot

a

Rtopa

باشند. سه ،mB و mA (ب)

l

b۲

l(p↖b۱)

hBhA

b۱

a۲

a۱

می باشد. دو ،mA (آ)

.٣ . ٢ قضیه اثبات :۴ . ٣ شکل

خط و l خط چپ سمت بین ناحیه می دهد. قرار پوشش تحت را Rtopa بنابراین بچرخانیم، π/٢ اندازه به ساعت

شکل می دهیم. نمایش Rtopa و Rbot

a با ترتیب به را l(ρ↖a ) خط و l خط چپ سمت بین ناحیه همچنین و l(ρ↗a )

ببینید. را ٣ . ۴ب

با متناظر و کرده تقسیم قسمت سه به را hA که دارد وجود b ∈ B نقطه شد، گفته hB مورد در آن چه با مشابه

می کنیم: بررسی را مختلف حالت های اینجا در داریم. را Rtopa و Rbot

a و Rbotb و Rtop

b آن

.b ∈ wa و a ∈ wb ٢ . ١ حالت

می باشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف و می شود ایجاد یال b و a بین حالت این در

.b /∈ wa و a ∈ wb ٢ . ٢ حالت

که می کنیم فرض ،(۵ . ٣ شکل (طبق باشد a ∈ wb و می شود) پوشیده wa١ توسط b (که b ∈ Rbota اگر

و a١ ∈ Rtopb و می باشد) یال حاصل، ارتباطاتی گراف در b و a١ نقطه دو بین صورت این در (چون a١ /∈ wb

دارد خود پوشش تحت را Rtopb ،wb٢ و بوده b٢ ∈ Rtop

b ترتیب همین به و می پوشاند را Rtopb ناحیه wa١ بنابراین

می باشد. یال حاصل ارتباطاتی گراف در a١ و b٢ بین نتیجه در و

می باشد. یال ،B و A چهارتایی دو بین که می دهیم نشان مشابه طور به باشد، b ∈ Rtopa اگر

و A چهارتایی دو بین که می شود اثبات ٢.٢ حالت با مشابه حالت این در .b ∈ wa و a /∈ wb ٢ . ٣ حالت

می باشد. یال ،B

٣٣

a۱

a

bb۲

lRtopb

wawb

Rtopb

. b /∈ wa و a ∈ wb :۵ . ٣ شکل

.b /∈ wa و a /∈ wb ۴ . ٢ حالت

باشد، b٢ ∈ wa اگر حال می پوشاند. را a, a١ ،wb٢ بنابراین و بوده a, a١ ∈ Rtopb پس باشد، b ∈ Rbot

a اگر

بین نتیجه در که ،(۶ . ٣ (شکل b٢ ∈ Rbota و b٢ /∈ wa می کنیم فرض می شود. ایجاد یال b٢ و a نقطه دو بین پس

wa١ پوشش تحت b٢ پس می باشد، b٢ ∈ Rbota که این به توجه با و a١ ∈ wb٢ (چون می شود ایجاد یال a١ و b٢

می شود). واقع

a۱

a

b

b۲

l

Rtopb

wa

wb

Rtopb

. b /∈ wa و a /∈ wb :۶ . ٣ شکل

□ دارد. وجود یال B و A چهارتایی دو بین که می دهیم نشان مشابه طور به باشد، b ∈ Rtopa اگر

٣۴

α = π/٢ جهت دار آنتن های با تمام جهته آنتن های جایگزینی ٣ . ٢ . ١

واحد شعاع به تمام جهته آنتن یک به مجهز صفحه در P مجموعه نقطه هر که هنگامی را حاصل واحد دیسک گراف

آنتن های که است این هدف اینجا در باشد. متصل حاصل واحد دیسک گراف می کنیم فرض بگیرید. نظر در را باشد

ارتباطاتی گراف که طوری به کنیم جایگزین را r = O(١) شعاع به α = π/٢ جهت دار آنتن های با را تمام جهته

باشد. (١)O-پوشش واحد دیسک گراف به نسبت براین عالوه و باشد متصل حاصل

استفاده نقطه چهار هر اتصال برای دفعه چندین ٣ . ١ قضیه از که است این باال هدف به رسیدن برای اصلی ایده

آنتن های شعاع مرحله این (در می کنیم استفاده ٣ . ٢ قضیه از آمده دست به گراف های اتصال برای سپس و می کنیم

می باشد). نامحدود جهت دار،

هر (به G شبکه ای گراف از C سلول برای بگیرید، نظر در را P مجموعه نقاط حاوی G شبکه ای گراف یک

آن ضلع هر که است مربع شبکه ای گراف یک C بالک٣ گوییم) سلول یک G گراف از هفت طول به ضلع با مربع

بالک در را C سلول که سلولی هشت دارد. قرار C بالک مرکز در C سلول و است شده تشکیل متوالی سلول سه از

P مجموعه از نقطه چهار حداقل اگر گوییم، پر۵ را G از سلول یک می باشند. C همسایه های۴ کرده اند احاطه C

باشد P از نقطه سه حداکثر و P از نقطه یک حداقل شامل اگر گوییم، ناپر۶ را G از سلول یک و باشد آن داخل

ببینید). را ٣ . ٧ (شکل

در یال یک با متناظر راس دو بین فاصله نمایش برای ساختار (این G شبکه ای گراف از C سلول ٣ . ٣ مشاهده

از که P نقاط مجموعه با متناظر واحد دیسک گراف در مسیر هر بگیرید. نظر در را است) مناسب ارتباطاتی گراف

پر است ممکن که C سلول جز (به کند عبور C بالک از پر سلول یک از باید شود، شروع C سلول در نقطه یک

همسایه سلول های از یکی حداقل آن گاه باشد، C بالک خارج P مجموعه از نقطه یک اگر دیگر عبارتی به باشد).

هستند. پر C

شده شروع C سلول در p٠ نقطه از که طوری به بگیرید نظر در را∏

=<p٠, p١, ..., pk> مسیر اثبات.

pk می کنیم فرض ندارد. قرار C بالک در که بوده∏

در نقطه اولین pk که طوری به شود خارج C بالک از و باشد

ضلع شامل خط زیر که باشد∏

در نقطه آخرین ،pi همچنین و باشد C بالک باالیی ضلع شامل خط روی) (یا باال

٣Block۴Neighbors۵Full۶None-Full

٣۵

دارد. قرار C سلول باالیی

C همسایه C همسایه C همسایه

پر ناپرناپر

C ب®ک C Cهمسایه همسایه

.C بالک از بخشی :٣ . ٧ شکل

مسیر زیر اگر باشند، C بالک باالیی سلول سه راست به چپ از ترتیب به C١, C٢, C٣ که این فرض با

هر طول (چون می باشد پر سلول آن بگذرد، C١, C٢, C٣ سلول های از یکی از تنها∏

از <pi+١, ..., pk−١ >

زیرمسیر طول پس است، شده خارج C بالک از∏

مسیر و می باشد یک حداکثر واحد دیسک گراف در یال

ببینید. را ٣ . ٨ شکل می باشد). پر سلول آن بنابراین و بوده هفت حداقل <pi+١, ..., pk−١>

C

ppi

pk

C۱ C

۲C۳

پر سلول

می گذرد. C٣ از C سلول از شده شروع مسیر :٣ . ٨ شکل

یکی حداقل آن گاه کند، پیمایش C بالک باالیی سلول سه از سلول دو تنها ،<pi+١, ..., pk−١> زیرمسیر اگر

شکل می باشد. پر سلول این بنابراین، و باشد خود در مسیر این از راس چهار حداقل شامل باید سلول ها این از

ببینید. را ٣ . ٩

٣۶

C

ppi

pk

C۱ C۲C۳

پر سلول

می گذرد. C٣ و C٢ از C سلول از که شده شروع مسیر :٣ . ٩ شکل

C١ در آن رئوس از یکی حداقل کند، عبور C بالک باالیی سلول سه هر از <pi+١, ..., pk−١> زیرمسیر اگر

عبور آن از بتواند تا باشد داشته C٢ در راس هفت حداقل باید بنابراین می باشد، C٣ در آن رئوس از یکی حداقل و

ببینید. را ٣ . ١٠ شکل می باشد. پر C٢ پس کند.

C

p

pk

C۱ C۲C۳

pi

پر سلول

می گذرد. C٣ و C٣ از C سلول از شده شروع مسیر :٣ . ١٠ شکل

بررسی را شود خارج بالک باالی از که طوری به C بالک از خارج به C سلول از شده شروع مسیر یک عبور

قابل نیز شود خارج C بالک پایینی سمت ضلع یا راست یا چپ سمت از مسیر که حالتی برای مشابه طور به کردیم.

□ باشد. پر باید مسیر این در C مجاور سلول های از یکی حداقل که است اثبات

نقطه ای C بالک از خارج صورت این در نباشد، پر C بالک سلول های از هیچ یک اگر ٣ . ٣ مشاهده طبق اکنون

٣٧

مجموعه نقاط همه پس بوده، متصل P نقاط مجموعه از حاصل واحد دیسک گراف که این به توجه با و ندارد وجود

انتخاب را P مجموعه نقطه چهار از P ′ مجموعه یک می توانیم حالت این در دارند. قرار ١۴× ١۴ مربع یک در P

این در می دهیم. جهت P ′ نقاط به نسبت یک هر را نقاط سایر و کرده جهت یابی ٣ . ١ قضیه از استفاده با و کرده

به را متصل ارتباطاتی گراف می توانیم ،r = ١۴√

٢ شعاع و α = π/٢ جهت دار آنتن های از استفاده با حالت

می باشد. پنج حداکثر آن در نقطه دو بین گام فاصله که آوریم، دست

یک در P مجموعه نقاط و می باشد پر شبکه ای گراف سلول های از سلول یک حداقل که می کنیم فرض ادامه در

می دهیم: جهت این گونه را C سلول نقاط با متناظر آنتن های G از C سلول هر برای نباشند. محصور بالک

نقاط می نامیم. هاب٧ نقاط را آن ها و کرده انتخاب آن از اختیاری نقطه ی چهار باشد، پر سلول یک C اگر

نقاط از یکی توسط یک هر که را C سلول در نقاط سایر در واقع آنتن های و می دهیم جهت ٣ . ١ قضیه طبق را هاب

می دهیم. جهت متناظر نقطه سمت به گرفته اند، قرار پوشش تحت هاب

می باشد xp نقطه شامل که p نقطه به نزدیک پر سلول یک ،p ∈ C نقطه هر برای باشد، ناپر C سلول اگر

P مجموعه نقاط سایر تا p گام فاصله از بیش تر واحد دیسک گراف در xp تا p گام فاصله که است نقطه ای xp)

همه که این فرض به توجه با می نامیم. CF (p) را آن و می کنیم انتخاب را نباشد)، دارند قرار پر سلول یک در که

هستند، پر C همسایه سلول های از یکی حداقل ،٣ . ٣ مشاهده طبق نیستند، محصور بالک یک در P مجموعه نقاط

می پوشاند را آن که CF (p) سلول هاب نقاط طرف به را p ∈ C نقطه هر باشد. C همسایه باید نیز CF (p) بنابراین

را همسایه سلول یا خود سلول در نقطه یک حداقل باید نقاط با متناظر آنتن سلول، هر در نتیجه در می دهیم. جهت

می باشد. امکان پذیر امر این ،r = ١۴√

٢ با جهت دار آنتن دادن قرار با که باشد، داشته پوشش تحت

و Cp و باشد داشته وجود صفحه در P نقاط مجموعه از حاصل واحد دیسک گراف در (p, q) یال اگر ۴ . ٣ لم

آن گاه: ،q ∈ Cq و p ∈ Cp که طوری به باشند G شبکه ای گراف از سلول هایی Cq

هستند. همسایه Cq و Cp یا Cp = Cq آن گاه باشند، پر Cq و Cp اگر : I

هستند. همسایه CF (q) و Cp یا Cp = CF (q) آن گاه باشد، ناپر Cq و پر Cp اگر : II

هستند. همسایه CF (q) و CF (p) یا CF (p) = CF (q) آن گاه باشند، ناپر دو هر Cq و Cp اگر : III

اثبات.

حداکثر q و p نقطه دو بین فاصله بنابراین دارد، وجود یال واحد دیسک گراف در q و p نقطه دو بین چون : I

٧Hob Points

٣٨

دو که این یا است Cp = Cq این صورت در که هستند سلول یک عضو دو هر یا ، q و p نقطه دو پس است. یک

هستند. همسایه Cq و Cp سلول دو حالت این در که هستند همسایه سلول دو عضو q و p نقطه

و q بین گام فاصله و بوده CF (q) و q بین گام فاصله تعیین کننده که بگیرید نظر در را xq ∈ CF (q) نقطه : II

آن ها بین (چون نمی باشد q و p بین گام فاصله از بیش تر P نقاط مجموعه از حاصل واحد دیسک گراف در CF (q)

با و بوده دو حداکثر q ∈ CF (q) و p ∈ Cp بین فاصله بنابراین می باشد). یک آن ها گام فاصله پس است، یال

هستند. همسایه CF (q) و Cp که این یا Cp = CF (q) نتیجه در می باشد، هفت سلول هر ضلع طول که این به توجه

و CF (p) یا CF (p) = CF (q) هستند، ناپر دو هر Cq و Cp که حالتی در دهیم نشان می خواهیم : III

نقطه و خلف) (فرض نیستند همسایه CF (q) و CF (p) و CF (p) ̸= CF (q) کنید فرض هستند. همسایه CF (q)

مسیر می کند. تعیین (CF (q) و q) CF (p) و p بین را گام فاصله که باشد نقطه ای (xq ∈ CF (q)) xp ∈ CF (p)

توسط را xq و q بین مسیر کوتاه ترین و xp و p بین مسیر کوتاه ترین که بگیرید نظر در را واحد دیسک گراف در∏

می باشد، CF (p) ̸= CF (q) چون و نیستند همسایه CF (q) و CF (p) که این فرض طبق می سازد. متصل (p, q) یال

شروع CF (p) از∏

مسیر بنابراین نمی باشد. CF (p) بالک در نیز CF (q) و نیست CF (q) بالک در CF (p) پس

CF (p) بالک در که دارد وجود C سلول یک ٣ . ٣ مشاهده طبق نتیجه در می شود. خارج CF (p) بالک از و شده

(C) پر سلول برسیم p نقطه به xp نقطه از که این از قبل∏

مسیر در یعنی می باشد، پر سلول این و می باشد

p بین فاصله کوتاه ترین از کم تر ٣ . ٣ مشاهده طبق C سلول در واقع نقطه هر و p نقطه بین فاصله که دارد وجود

□ است. کامل اثبات اکنون و بوده باطل خلف فرض بنابراین ،CF (p) تعریف با است متناقض این و می باشد xp و

در P نقاط مجموعه با متناظر α = π/٢ جهت دار آنتن های از حاصل ارتباطاتی گراف یک G کنید فرض ۵ . ٣ لم

می باشد. P نقاط مجموعه با متناظر واحد دیسک گراف از گام) فاصله اساس (بر ٩_پوشش یک G باشد. صفحه

G که می دهیم نشان باشد. P نقاط مجموعه با متناظر واحد دیسک گراف از یال یک (p, q) کنید فرض اثبات.

می گیرد. صورت بخش سه در ۴ . ٣ لم حالت سه طبق اثبات می باشد. یال نه حداکثر با q به p از مسیر یک شامل

هستند. همسایه Cq و Cp یا Cp = Cq آن گاه باشند، پر Cq و Cp اگر : I

متصل Cp در هاب نقطه یک به یال یک توسط یا بوده هاب نقطه یا p نقطه پس است پر سلول یک Cp چون

یک به G از یال یک توسط که این یا باشد هاب نقطه یک q که دارد وجود امکان این هم q ∈ Cp برای و است

باشد. متصل هاب نقطه

٣٩

پر، سلول در جهت یابی شیوه با و می باشد پر سلول این که این به توجه با که ،Cp = Cq می کنیم فرض ابتدا

پوشش تحت را آن که هاب نقاط از نقطه ای به سلول در دیگر نقاط از کدام هر و هستند متصل سلول در هاب نقاط

هاب نقطه چهار هر که صورتی در می باشد، یال پنج q و p بین فاصله حداکثر بنابراین می باشد. متصل دارد، خود

ببینید. را ٣ . ١١آ شکل باشند. q به p از مسیر در

توسط می توان را سلول دو در هاب نقاط چون ،٣ . ٢ قضیه طبق باشند. همسایه Cq و Cp می کنیم فرض حال

این با دارد. وجود Cq سلول هاب نقاط و Cp سلول هاب نقاط بین یال یک بنابراین کرد، جدا هم از خط یک

ببینید. را ٣ . ١١ب شکل باشد. داشته می تواند یال نه حداکثر G گراف در q و p بین مسیر وجود

q p

پر پرسلول سلول

باشند. همسایه Cq و Cp (ب)

p q

پر سلول

.Cp = Cq (آ)

۵ . ٣ لم اثبات :٣ . ١١ شکل

یک با q نقطه صورت این در باشد، ناپر سلول یک Cq و پر سلول یک Cp می کنیم فرض حالت این در : II

هستند. همسایه CF (q) و Cp یا Cp = CF (q) ،۴ . ٣ لم به توجه با و است متصل Cq در هاب نقطه یک به یال

CF (q) و Cp که حالتی در و دارد وجود q و p بین یال پنج حداکثر (II) حالت به شبیه باشد، Cp = CF (q) اگر

باشد. داشته می تواند یال نه حداکثر G در q به p از مسیر هستند، همسایه

دست به G در q و p بین یال های تعداد حالت این با مشابه نیز باشد ناپر Cp و پر سلول یک Cq که حالتی در

می آید.

ترتیب) (به هاب نقطه یک به یال یک با کدام هر q و p و باشند ناپر دو هر Cq و Cp می کنیم فرض : III

هستند. همسایه CF (q) و CF (p) که این یا CF (p) = CF (q) ۴ . ٣ لم طبق می باشند. متصل CF (q) و CF (p) در

و CF (p) اگر ببینید. را ٣ . ١٣آ شکل دارد. وجود q و p بین یال ۵ حداکثر باشد، CF (p) = CF (q) که حالتی در

۴٠

ببینید. را ٣ . ١٣ب شکل دارد. وجود یال نه حداکثر q و p بین باشند، همسایه CF (q)

q

pپر سلول پر سلول

هستند. همسایه CF (q) و Cp :٣ . ١٢ شکل

q p

پر سلول پر سلول

ناپر سلول ناپر سلول

باشند. همسایه CF (q) و CF (p) (ب)

q

pپر سلول ناپر سلول

ناپر سلول

CF (p) = CF (q) (آ)

۵ . ٣ لم اثبات :٣ . ١٣ شکل

G گراف در یال نه حداکثر واحد، دیسک گراف در (p, q) یال هر ازای با که دادیم نشان I, II, III موارد در

P نقاط مجموعه از حاصل واحد دیسک گراف به نسبت ٩پوشش یک G نتیجه در دارد. وجود q و p نقطه دو بین

□ می باشد.

باشد. تمام جهته آنتن یک به مجهز نقطه هر که طوری به بگیرید نظر در را صفحه در نقاط از P مجموعه ۶ . ٣ نتیجه

r = ١۴√

٢ شعاع و α = π/٢ جهت دار آنتن یک با را تمام جهته آنتن هر می توانیم که دادیم نشان بخش این در

۴١

گراف می گیرد، قرار آنتن ها پوشش تحت صفحه از P مجموعه نقاط حاوی ناحیه کل که این بر عالوه تا کنیم تعویض

باشد. متناظر واحد دیسک گراف به نسبت ٩_پوشش گراف یک و بوده متصل نیز حاصل ارتباطاتی

گراف به نسبت که ساخت طوری را حاصل ارتباطاتی گراف می توان که است شده داده نشان [٣] مقاله در

باشد. ٨_پوشش واحد دیسک

α = ٢π/٣ زاویه با جهت دار آنتن های ٣ . ٣

α = ٢π/٣ زاویه با جهت دار آنتن های به می توان را صفحه در نقطه n از P مجموعه هر برای می دهیم نشان این جا در

(١)O-پوشش یک واحد دیسک گراف به نسبت و بوده متصل حاصل ارتباطاتی گراف تا کرد مجهز r = ٧ شعاع و

باشد.

زاویه با آنتن یک به مجهز نقطه هر که طوری به بگیرید نظر در را صفحه در S = {a, b, c} نقاط مجموعه ۴ ادعا

ارتباطاتی گراف که دارد وجود نقاط این در جهت دار آنتن های از جهت یابی باشد. نامحدود شعاع و α = ٢π/٣

می گیرد. قرار آنتن ها پوشش تحت صفحه کل و بوده متصل حاصل

∠abc ≤ ∠bca ≤ ∠cab کنید فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون و بگیرید نظر در را abc مثلث اثبات.

c نقطه چپ سمت b نقطه و باشد افقی bc پاره خط که می کنیم رسم طوری را abc مثلث می باشد. ∠abc ≤ π/٣ و

طوری به می کنیم جهت یابی را آنتن ها از هریک ببینید. را ١۴ . ٣ شکل نباشد. bc پاره خط زیر a و باشد داشته قرار

و شده تشکیل (b, c) و (a, b) یال های نتیجه در و θ(wc) = ١٢٠◦ و θ(wb) = ٠◦ و θ(wa) = ٢۴٠◦ که

می باشد. متصل حاصل ارتباطاتی گراف

a

cb

RbRa

Rc

می باشد. پوشش تحت نامحدود شعاع و α = ٢π/٣ زاویه با جهت دار آنتن های توسط صفحه کل :١۴ . ٣ شکل

۴٢

به Rc و Rb ترتیب همین به و می باشد پوشش تحت wa توسط تنها Ra بخش که می بینیم ١۴ . ٣ شکل در

مجموعه با متناظر جهت دار آنتن های توسط صفحه کل نتیجه در و می گیرند قرار پوشش تحت wc و wb توسط ترتیب

□ می باشد. پوشش تحت S

هر که طوری به بگیرید نظر در را صفحه در نقاط از S٢ = {x, y, z} و S١ = {a, b, c} تایی سه دو ٣ . ٧ لم

اثبات طبق را تایی ها سه از یک هر باشند. نامحدود شعاع و α = ٢π/٣ جهت دار آنتن یک به مجهز نقاط از یک

ارتباطاتی گراف آنگاه باشد، خوشه تایی ها سه از کدام هر از حاصل ارتباطاتی گراف اگر می دهیم. جهت ۴ ادعا

می باشد. متصل S١ ∪ S٢ از حاصل

S٢ تایی سه ۴ ادعا به توجه با دارد. وجود S٢ و S١ تایی های سه بین یال یک دهیم نشان است کافی اثبات.

در می دهند. قرار خود پوشش تحت را S١ مجموعه نقاط آن با متناظر آنتن های بنابراین می پوشاند، را صفحه کل

داریم: حالت سه این جا

می پوشاند. را S١ نقاط همه wx که دارد وجود x ∈ S٢ نقطه ١ حالت

وجود S١ مجموعه از نقطه یک حداقل بنابراین می پوشانند، را صفحه کل S١ مجموعه نقاط با متناظر آنتن های چون

می شود. ایجاد یال S٢ و S١ بین نتیجه در و باشد داشته خود پوشش تحت را x نقطه آن با متناظر آنتن که دارد

دارد. خود پوشش تحت را S١ از نقطه دو تنها ،wx که دارد وجود x ∈ S٢ نقطه ٢ حالت

است: امکان پذیر حالت سه این جا در

نباشد. wx پوشش تحت a نقطه و بپوشاند را c و b نقاط wx ٢ . ١ حالت

یال S٢ و S١ تایی سه دو بین صورت این غیر (در نباشد wb و wc پوشش تحت نواحی در x نقطه کنید فرض

ρ↖b ضلع ρ↖x و بوده b, c ∈ wxتا کند قطع را ac و ab پاره خط دو باید ρ↖x و بوده x ∈ Ra بنابراین می باشد)،

ببینید. را ٣ . ١۵آ شکل کند. قطع را

۴٣

lbx

a

c

Rb

Ra

Rc

y

.y ∈ wb (ب)

lbx

y

a

c

Rb

Ra

Rc

.y ∈ Ra (آ)

.٢ . ١ حالت ،٣ . ٧ لم اثبات :١۵ . ٣ شکل

۶

R۱

R۲

R۳

R۴

R۵

R۶

صفحه. در R١, R٢, ..., R۶ ناحیه شش :١۶ . ٣ شکل

شکل (در l خط زیر x چون بگیرید. نظر در را ١۶ . ٣ شکل صفحه، در آنتن ها ضلع هر موقعیت نمایش برای

پس xها)، محور مثبت جهت از ρ↖b (زاویه θ(ρ↖b ) = ۶٠◦ و می کند قطع را ρ↖b ضلع ρ↖x و دارد قرار ٣ . ١۵آ)

نظر در را y ∈ S٢ نقطه حال می باشد. θ(wx) ∈ R۶ و θ(ρ↗x ) ∈ R۵ نتیجه در و می گیرد قرار R١ در θ(ρ↖x )

به توجه (با دارد وجود S٢ سه تایی در (x, y) یال چون .θ(ρ↗y ) ∈ R١ و θ(ρ↖y ) ∈ R٣ که طوری به بگیرید

اگر می گیرد. قرار bis(wx) راست سمت y و y ∈ wx بنابراین (S١, S٢ از حاصل ارتباطاتی گراف بودن خوشه

باشد، y ∈ wb اگر و می سازد متصل را S٢ و S١ تایی سه دو (y, a) یال آن گاه ٣ . ١۵آ)، (شکل باشد y ∈ Ra

سمت در را l خط ρ↖y که می شود نتیجه دارد قرار bis(wx) راست سمت y که این و θ(ρ↖y ) ∈ R٣ که آنجایی از

قطع b نقطه راست سمت در را l خط نیز ρ↗y بنابراین بوده، θ(ρ↗y ) ∈ R١ چون و می کند قطع x نقطه چپ

ببینید). را ٣ . ١۵ب (شکل می سازد متصل را S٢ و S١ تایی سه دو (y, b) ضلع و b ∈ wy نتیجه در می کند.

نباشد. wx پوشش تحت c نقطه و بپوشاند را b و a نقاط wx جهت دار آنتن ٢ . ٢ حالت

۴۴

(چون می کند قطع را (b, c) و (a, c) یال های ρ↖x و x ∈ Rc بنابراین ،x /∈ wa و x /∈ wb می کنیم فرض

l خط باالی x چون ببینید. را ٣ . ١٧آ شکل می گیرد). قرار آن راست سمت a و باشد ρ↖x چپ سمت c باید

نتیجه در و θ(ρ↖x ) ∈ R۵ بنابراین می باشد، θ(ρ↖x ) = ٣٠٠◦ و هستند متقاطع wa و ρ↖x اضالع و دارد قرار

ببینید. را ٣ . ١٧آ شکل است. θ(ρ↗x ) ∈ R٣

یال y و x نقطه دو بین چون باشد. θ(ρ↗y ) ∈ R۶ و θ(ρ↖y ) ∈ R١ که بگیرید نظر در را y ∈ S٢ نقطه

باشد y ∈ wc اگر باشد. bis(wx) راست سمت باید y درنتیجه است، x ∈ wy و y ∈ wx بنابراین دارد، وجود

را S٢ و S١ تایی سه دو (y, c) یال و بوده c ∈ wy پس می کند، قطع c نقطه چپ سمت در را l خط ρ↗y که چون

ببینید. را ٣ . ١٧آ شکل می سازد. متصل

lb

a

c

Rb

Ra

Rc x

y

.y ∈ wa (ب)

lb

a

c

Rb

Ra

Rcx

y

.y ∈ Rc (آ)

.٢ . ٢ حالت ،٣ . ٧ لم اثبات :٣ . ١٧ شکل

و می کند قطع را ρ↗a ضلع ρ↖y پس دارد، قرار bis(wx) باالی و l خط زیر y نقطه چون باشد، y ∈ Ra اگر

ببیید. را ٣ . ١٧ب شکل می سازد. متصل را S٢ و S١ تایی سه دو (y, a) یال درنتیجه و a ∈ wy بنابراین

نباشد. wx پوشش تحت b نقطه و بپوشاند را c و a نقاط wx جهت دار آنتن ٢ . ٣ حالت

x ∈ Rb آن گاه می شود)، ایجاد یال S٢ و S١ بین غیر این صورت (در x /∈ wc و x /∈ wa می کینم فرض

(شکل θ(ρ↗xبوده ) ∈ R١ و θ(ρ↖x ) ∈ R٣ بنابراین کند، قطع را (b, c) و (a, b) یال های ،ρ↖x اگر می باشد.

دارد. وجود یال S٢ و S١ تایی های سه بین که می شود اثبات ٢ . ١ حالت با مشابه و ٣ . ١٨آ)

۴۵

lba

c

Rb

Ra

Rc

x

کند. قطع را (b, c) و (a, b) یال های ،ρ↗x (ب)

lba

c

Rb

Ra

Rc

x

کند. قطع را (b, c) و (a, b) یال های ،ρ↖x (آ)

.٢ . ٣ حالت ،٣ . ٧ لم اثبات :٣ . ١٨ شکل

(شکل بوده θ(ρ↗x ) ∈ R۴ و θ(ρ↖x ) ∈ R۶ بنابراین کند، قطع را (b, c) و (a, b) یال های ،ρ↗x اگر

دارد. وجود یال S٢ و S١ تایی های سه بین که می شود اثبات ٢ . ١ حالت با مشابه و ٣ . ١٨ب)

دارند. خود پوشش تحت را S١ مجموعه از نقطه یک تنها یک هر S٢ مجموعه نقاط با متناظر آنتن های ٣ حالت

نقاط از یکی با متناظر آنتن اگر چون باشد، برقرار نیز S١ نقاط مجموعه برای شرایطی چنین می کنیم فرض

بودن متصل اثبات برای ٢ و ١ حالت های از می توان باشد داشته خود پوشش تحت را S٢ از نقطه یک از بیش S١

کرد. استفاده S٢ و S١ از حاصل ارتباطاتی گراف

می کنیم فرض دارند. قرار Rc و Rb و Ra ناحیه های از یکی در تنها S٢ مجموعه نقاط از یک هر فرض، طبق

دارد. وجود حاصل ارتباطاتی گراف در (x, a) یال که دهیم نشان باید و بوده x ∈ Ra

b ∈ wx اگر وجود این با .a /∈ wx و ندارد وجود حاصل ارتباطاتی گراف در (x, a) یال که می کنیم فرض

θ(ρ↗xباشد. ) = θ(ρ↖y ) می کنیم فرض است. θ(ρ↗x ) ∈ (٠◦, ١٢٠◦) بنابراین ببینید)، را ٣ . ١٩آ (شکل باشد

باشد bis(wx) چپ سمت باید y درنتیجه و می باشد y ∈ wx بنابراین دارد، وجود یال y و x نقطه دو بین چون

نقطه یک تنها S٢ مجموعه نقطه هر که این با است متناقض این و می پوشاند را c و a نقاط ،wy این صورت در که

بپوشاند. را S١ مجموعه از

۴۶

lba

cRb

Ra

Rc

xy

.c ∈ wx (ب)

lba

c

Rb

Ra

Rc

xy

.b ∈ wx (آ)

.٣ حالت ،٣ . ٧ لم اثبات :٣ . ١٩ شکل

y ∈ S٢ می کنیم فرض ٣ . ١٩ب). (شکل می باشد θ(ρ↖x ) ∈ (٠◦, ١٢٠◦) بنابراین باشد، c ∈ wx اگر

بنابراین و بوده y ∈ wx پس می باشد، یال y و x نقطه دو بین چون است. θ(ρ↖x ) = θ(ρ↗y ) که باشد نقطه ای

است متناقض این و دارد خود پوشش تحت را b و a نقطه دو wy نتیجه در و باشد bis(wx) راست سمت باید y

□ است. کامل اثبات اکنون بپوشاند. را S١ مجموعه از نقطه یک تنها S٢ مجموعه نقطه هر که این با

هر که طوری به بگیرید نظر در را صفحه در نقاط از S٢ = {x, y, z} و S١ = {a, b, c} تایی سه دو ٣ . ٨ لم

اثبات طبق را تایی ها سه از یک هر باشند. نامحدود شعاع و α = ٢π/٣ جهت دار آنتن یک به مجهز نقاط از یک

حاصل ارتباطاتی گراف آن گاه باشد، خوشه S٢ نقاط مجموعه از حاصل ارتباطاتی گراف اگر می دهیم. جهت ۴ ادعا

است. متصل S١ ∪ S٢ از

اتصال می توان ٣ . ٧ لم طبق باشد، خوشه نیز S١ نقاط مجموعه از حاصل ارتباطاتی گراف اگر اثبات.

از حاصل ارتباطاتی گراف می کنیم فرض حال داد. نشان حاصل ارتباطاتی گراف در را S٢ و S١ مجموعه دو بین

را ٣ . ٢٠آ (شکل می گیریم درنظر ρ↗c و ρ↖a تقاطع محل عنوان به را c′ نقطه و نباشد خوشه S١ نقاط مجموعه

که داده ایم قرار c′ نقطه در طوری را نامحدود شعاع و α = ٢π/٣ زاویه با جهت دار آنتن یک کنید فرض ببینید).

طبق و است خوشه یک ،{a, b, c′} نقاط مجموعه از حاصل ارتباطاتی گراف بنابراین باشد. θ(wc) = θ(wc′)

دارد. وجود یال {a, b, c′} و S٢ تایی سه دو بین ٣ . ٧ لم

S٢ و S١ بین آن گاه باشد، متصل {a, b} نقاط از یکی حداقل به {a, b, c′} و S٢ تایی سه دو بین یال اگر

دارد. وجود یال

۴٧

x ∈ S٢ نقطه توسط یال این و باشد شده ایجاد c′ نقطه توسط {a, b, c′} و S٢ تایی سه دو بین یال کنید فرض

سه دو بین (c, x) یال بنابراین ،wc′ ⊂ wc که چون باشد، c ∈ wx (اگر c /∈ wx همچنین و است متصل c′ به

پاره خط ρ↖x و می باشد l خط باالی x ∈ S٢ نقطه بنابراین دارد)، وجود حاصل ارتباطاتی گراف در S٢ و S١ تایی

است: امکان پذیر حالت سه در نتیجه می کند. قطع را cc′

کند. قطع را bc′ پاره خط ρ↗x ١ حالت

θ(ρ↖x ) < ٣۶٠◦ چون ببینید). را ٣ . ٢٠ب (شکل ندارد خود پوشش تحت را c و b نقطه های wx حالت این در

می باشد. θ(ρ↗x ) ∈ R۴ و θ(ρ↖x ) ∈ R۶ بنابراین ،θ(ρ↗x ) > ١٨٠◦ و

S١ مجموعه نقطه از تعداد بیش ترین y نقطه با متناظر آنتن کنید فرض ،S٢ \ {x} مجموعه نقطه دو بین از

داریم: حالت پنج مورد این در حال دارد. خود پوشش تحت ناحیه داخل را

باشد. داشته خود پوشش تحت را S١ مجموعه نقاط همه wy ناحیه ١ . ١ حالت

داشته خود پوشش تحت را y نقطه آن با متناظر آنتن که دارد وجود S١ مجموعه از نقطه یک حالت این در

دارد. وجود یال حاصل ارتباطاتی گراف در S٢ و S١ تایی سه دو بین نتیجه در باشد،

.a /∈ wy و باشد داشته خود پوشش تحت را c و b نقاط wy ناحیه ١ . ٢ حالت

ارتباطاتی گراف در S٢ و S١ تایی های سه بین غیراین صورت در (چون y /∈ wc و y /∈ wb می کنیم فرض

را c و b نقطه های باید wy همچنین و θ(ρ↖b ) = ۶٠◦ چون و بوده y ∈ Ra نتیجه در دارد)، وجود یال حاصل

θ(ρ↖x ) ∈ R۶ که دیدیم ١ حالت در طرفی از .θ(ρ↖y ) ∈ R١ بنابراین ،a ∈ wy و باشد داشته خود پوشش تحت

وجود دارند، خود پوشش تحت را صفحه تمام S٢ مجموعه با متناظر آنتن سه این که به توجه با و θ(ρ↗x ) ∈ R۴ و

نیست. امکان پذیر حالت این نتیجه در است. غیرممکن R١ ناحیه در wz و wy یال های از یک هر

.c /∈ wy و باشد داشته خود پوشش تحت را b و a نقاط wy ناحیه ١ . ٣ حالت

حاصل ارتباطاتی گراف در S٢ و S١ تایی سه دو بین غیراین صورت (در y /∈ wb و y /∈ wa می کنیم فرض

اگر و a, b /∈ wy آن گاه باشند، θ(ρ↖y ) ∈ R۴ و θ(ρ↗y ) ∈ R٢ اگر می باشد. y ∈ Rc بنابراین می باشد)، یال

با است متناقض این و دارد خود پوشش تحت را c نقطه wy و است θ(ρ↗y ) ∈ R۶ آن گاه باشد θ(ρ↖y ) ∈ R٢

نمی باشد. امکان پذیر حالت این نتیجه در .c /∈ wy که این فرض

۴٨

.b /∈ wy و باشد داشته خود پوشش تحت را c و a نقاط wy ناحیه ۴ . ١ حالت

است. غیرممکن نیز حالت این که می شود اثبات ،١ . ٣ حالت با مشابه

باشد. داشته خود پوشش تحت را S١ نقاط مجموعه از نقطه یک دقیقا ً wy ناحیه ۵ . ١ حالت

،b, c /∈ wx این که به توجه با و دارد خود پوشش تحت را S١ مجموعه از نقطه یک دقیقا ً wy حالت این در

را S١ مجموعه از نقطه یک دقیقا ً ،S٢ مجموعه نقاط از یک هر با متناظر آنتن های پوشش تحت ناحیه بنابراین

که این با است متناقض این و باشد داشته خود پوشش تحت را a ∈ S١ نقطه باید wx وجود این با می پوشاند.

است. غیرممکن حالت این نتیجه در باشند. θ(ρ↖x ) ∈ R۶ و θ(ρ↗x ) ∈ R۴

کند. قطع b ∈ S١ نقطه چپ سمت در را l ρ↗x خط ٢ حالت

چون ببینید). را ٣ . ٢٠ب (شکل می باشد θ(ρ↖x ) ∈ R۶ و θ(ρ↗x ) ∈ R۴ ،١ حالت با مشابه حالت این در

ارتباطاتی گراف در S٢ و S١ تایی سه دو بین غیراین صورت در (چون x /∈ wb می کنیم فرض می باشد، b ∈ wx

تحت را c ∈ S١ نقطه که می گیریم نظر در S٢ مجموعه از نقطه ای عنوان به را y نقطه و می باشد) یال حاصل،

داریم: حالت سه حال باشد. داشته خود پوشش

باشد. داشته خود پوشش تحت را S١ مجموعه نقاط همه wy ناحیه ٢ . ١ حالت

گراف نتیجه در و باشد داشته خود پوشش تحت را y ∈ S٢ نقطه که دارد وجود S١ از نقطه یک حالت این در

می باشد. متصل S٢ و S١ تایی سه دو از حاصل ارتباطاتی

باشد. داشته خود پوشش تحت را S١ مجموعه از نقطه دو دقیقا ً wy ناحیه ٢ . ٢ حالت

تایی سه دو بین غیراین صورت در (چون y /∈ wc و y /∈ wb می کنیم فرض باشند، b, c ∈ wy نقطه دو اگر

θ(wy) ∈ R٣ یا θ(wy) ∈ R١ و بوده y ∈ Ra بنابراین می باشد)، یال حاصل ارتباطاتی گراف در S٢ و S١

a, c ∈ wy نقطه دو اگر و باشد داشته پوشش تحت را S١ از نقطه دو دقیقا ً wy این که با است متناقض این و است،

متناقض این و بپوشاند a, c ∈ S٢ بر عالوه نیز را b ∈ S٢ نقطه باید wy که می شود اثبات مشابه طور به باشد

.wy توسط S١ مجموعه از نقطه دو دقیقا ً شدن پوشیده با است

امکان پذیر حالت این نتیجه در و می رسیم تناقض به مشابه طور به نیز باشد a, b ∈ wy نقطه دو که حالتی در

نمی باشد.

۴٩

lba

c

RbRa

Rc

x

c′

کند. قطع را bc′ پاره خط ρ↗x (آ)

lba

cRb

Ra

Rc

x

c′

نکند. قطع را l ρ↗x خط (ج)

lba

cRb

Ra

Rc

x

c′

کند. قطع b ∈ S١ نقطه چپ سمت در را l ρ↗x خط (ب)

.٣ . ٨ لم اثبات :٣ . ٢٠ شکل

باشد. داشته خود پوشش تحت را S١ مجموعه از نقطه یک دقیقا ً wy ناحیه ٢ . ٣ حالت

است. θ(wy) ∈ R٣ یا θ(wy) ∈ R١ ،٢ . ٢ حالت به توجه با باشد. c ∈ wy می کنیم فرض

و است خوشه S٢ نقاط مجموعه از حاصل ارتباطاتی گراف این که فرض طبق آن گاه باشد θ(wy) ∈ R٣ اگر

قرار bis(wx) چپ سمت باید y ∈ S٢ نقطه دارد، وجود یال حاصل ارتباطاتی گراف در ،x, y ∈ S٢ نقطه دو بین

یک دقیقا ً wy این که با است متناقض این و می گیرد قرار wy پوشش تحت b ∈ S١ نقطه نتیجه در و باشد داشته

می باشد. θ(wy) ∈ R١ پس بپوشاند. را S٢ مجموعه از نقطه

گراف در S٢ و S١ تایی سه دو بین و بوده c ∈ wy آن گاه باشد، داشته قرار l خط باالی y ∈ S٢ نقطه اگر

نقطه این صورت در باشد، داشته قرار l خط زیر y ∈ S٢ نقطه می کنیم فرض دارد. وجود یال حاصل ارتباطاتی

باید شود، پوشیده S٢ مجموعه نقطه سه توسط صفحه کل که این برای و باشد داشته قرار l خط باالی باید z ∈ S٢

دو میان از ρ↖y بنابراین دارد، خود پوشش تحت را S١ مجموعه از c نقطه تنها، wy چون باشد. θ(wz) ∈ R٣

می کند. عبور نیز b, c ∈ S١ نقطه دو بین از همچنین و می گذرد a, c ∈ S١ نقطه

۵٠

گراف در ،z, y ∈ S٢ نقطه دو بین و است خوشه S٢ نقاط مجموعه از حاصل ارتباطاتی گراف فرض، طبق

به توجه با باشد. داشته قرار bis(wy) راست سمت باید z ∈ S٢ نقطه بنابراین دارد، وجود یال حاصل ارتباطاتی

نتیجه در و می باشد z ∈ wx بنابراین دارد، وجود یال حاصل ارتباطاتی گراف در نیز x, z ∈ S٢ نقطه دو بین این که

را a, b ∈ S١ نقطه دو wz دیگر عبارتی به و دارند قرار ρ↖z راست سمت و ρ↗z چپ سمت a, b ∈ S١ نقطه دو

همچنین و می گذرد b ∈ S١ نقطه راست سمت از بنابراین است، bis(wy) ∈ R١ چون دارد. خود پوشش تحت

نقطه ،wb و wa نواحی از یکی حداقل و z /∈ Rc بنابراین دارد، قرار bis(wy) راست سمت در z ∈ S٢ نقطه

ایجاد یال حاصل ارتباطاتی گراف در S٢ و S١ تایی سه دو بین صورت این به و دارند خود پوشش تحت را z ∈ S٢

می شود.

نکند. قطع را l ρ↗x خط ٣ حالت

می باشد θ(ρ↗x ) < ١٨٠◦ بنابراین می کند، قطع را cc′ پاره خط ρ↖x و دارد قرار l خط باالی x ∈ S٢ چون

بنابراین ،x /∈ wb می کنیم فرض دارد، خود پوشش تحت را b ∈ Sنقطه١ wx چون ببینید). را ٣ . ٢٠ج (شکل

b ∈ S١ نقطه چپ سمت در را l خط bis(wx) و می باشد bis(wx) ∈ R۴ نتیجه در و بوده θ(ρ↖x ) > ٢۴٠◦

b ∈ S١ نقطه چپ سمت در را l خط نیز bis(wx) و می کند قطع را cc′ پاره حط ρ↖x این که به توجه با می کند. قطع

دارد. خود پوشش تحت را a ∈ S١ نقطه wx نقطه بنابراین می کند، قطع

ارتباطاتی گراف این که فرض طبق باشد. θ(ρ↗y ) ∈ R۶ که طوری به می گیریم نظر در را y ∈ S٢ نقطه حال

y ∈ S٢ نقطه و دارد وجود یال ،x, y ∈ S٢ نقطه دو بین نتیجه در است، خوشه S٢ نقاط مجموعه از حاصل

نقطه دو بین آن گاه باشد، داشته قرار l خط باالی y ∈ S٢ نقطه اگر باشد. داشته قرار bis(wx) راست سمت باید

پوشش تحت ناحیه در y ∈ S٢ نقطه آن گاه باشد، l خط زیر y ∈ S٢ نقطه اگر و می باشد یال c ∈ S١ و y ∈ S٢

از و دارد) قرار b ∈ S١ نقطه چپ سمت در و bis(wx) راست سمت در y ∈ S٢ نقطه (چون دارد قرار wa

بین و دارد قرار wy پوشش تحت ناحیه در a ∈ S١ نقطه نتیجه در و بوده θ(ρ↖y ) ∈ R١ و θ(ρ↗y ) ∈ R۵ طرفی

□ می باشد. یال حاصل ارتباطاتی گراف در a ∈ S٢ و y ∈ S٢ نقطه های

هر که طوری به بگیرید نظر در را صفحه در نقاط از S٢ = {x, y, z} و S١ = {a, b, c} تایی سه دو ٣ . ٩ لم

اثبات طبق را تایی ها سه از یک هر باشند. نامحدود شعاع و α = ٢π/٣ جهت دار آنتن یک به مجهز نقاط از یک

۵١

گراف آن گاه نباشد، خوشه S٢ و S٢ نقاط مجموعه از هیچ یک از حاصل ارتباطاتی گراف اگر می دهیم. جهت ۴ ادعا

می باشد. متصل S١ ∪ S٢ از حاصل ارتباطاتی

α = ٢π/٣ زاویه با جهت دار آنتن و باشید داشته نظر در ρ↗c و ρ↖a تقاطع نقطه عنوان به را c′ نقطه اثبات.

حاصل ارتباطاتی گراف نتیجه در و باشد θ(wc) = θ(wc′) که می دهیم قرار c نقطه در طوری را نامحدود شعاع و

است. متصل S٢ ∪{a, b, c′} از حاصل ارتباطاتی گراف ،٣ . ٨ لم طبق و است خوشه ،{a, b, c′} نقاط مجموعه از

در S٢ و S١ تایی سه دو آن گاه باشد، شده ایجاد S٢ نقاط مجموعه به a, b ∈ S١ نقاط توسط اتصال این اگر حال

شده ایجاد S٢ نقاط مجموعه به c′ نقطه توسط اتصال، می کنیم فرض هستند. متصل نیز حاصل ارتباطاتی گراف

و x ∈ S٢ نقطه دو بین که کنید فرض و باشد x ∈ wc′ که طوری به بگیرید نظر در را x ∈ S٢ نقطه باشد.

باتوجه می کند. قطع را cc′ پاره خط ρ↖x و دارد قرار l خط باالی x ∈ S٢ نقطه بنابراین ندارد، وجود یالی c ∈ S١

در را l پاره خط ρ↗x ،٢ حالت در و می کند قطع را bc′ پاره خط ρ↗x ،١ حالت (در ٣ . ٨ لم اثبات در حالت سه به

ارتباطاتی گراف در که می دهیم نشان نمی کند) قطع را l خط ρ↗x ،٣ حالت در و می کند قطع b ∈ S١ چپ سمت

می باشد. متصل S١ ∪ S٢ از حاصل

بنابراین و نیست S٢ مجموعه از حاصل ارتباطاتی گراف بودن خوشه به نیازی ،٢ . ٢ و ٢ . ١ و ١ حالت های در

است. استفاده قابل حاصل، ارتباطاتی گراف در S٢ و S١ تایی سه دو بودن متصل اثبات برای نیز بخش این در

گراف که صورتی در ،٣ و ٢ . ٣ حالت های برای را حاصل ارتباطاتی گراف در ،S٢ و S١ بین اتصال است کافی حال

دهیم. نشان را نباشد خوشه (S٢ و S١) تایی ها سه از هیچ یک ارتباطاتی

c ∈ S٢ نقطه نقطه، این می کنیم فرض می پوشاند، را S١ نقاط مجموعه از نقطه یک دقیقا ً wy ،٢ . ٣ حالت در

θ(wy) ∈ R٣ اگر می باشد. θ(wy) ∈ R٣ یا θ(wy) ∈ R١ حالت این در ،۴ ادعا ساختار به توجه با باشد.

b ∈ S١ نقطه باید wy ،S٢ نقاط مجموعه با متناظر آنتن های توسط صفحه کل شدن پوشیده به توجه با آن گاه باشد،

بنابراین می پوشاند، را S٢ مجموعه نقاط از نقطه یک دقیقا ً wy که این فرض با است متناقض واین بپوشاند نیز را

گراف در c ∈ S١ و y ∈ S٢ نقطه دو بین باشد l خط باالی y ∈ S٢ نقطه اگر حال می باشد. θ(wy) ∈ R١

دارد. وجود یال حاصل، ارتباطاتی

گفته آن چه طبق (z) S٢ مجموعه از نقطه سومین با متناظر آنتن دارد. قرار l خط زیر y ∈ S٢ نقطه کنیم فرض

بگیرید. نظر در bc پاره خط وسط در واقع نقطه عنوان به را p نقطه می باشد. wz ∈ R٣ که دارد قرار طوری شد

ρ↖x می نامیم. o را l و ρ↖x تقاطع محل ببینید). را ٣ . ٢١ (شکل می نامیم a′ را l خط روی a ∈ S١ نقطه تصویر

۵٢

bis(wx) و l خط تقاطع نقطه دارد. قرار c′ و c نقاط بین l خط روی o نقطه بنابراین می کند، قطع را cc′ پاره خط

ببینید). را ٣ . ٢١ (شکل می کنیم نام گذاری t را

lba

cRb

Ra

Rc

x

c′

o

p a′t

باشد. bis(wy) روی x ∈ S١ نقطه :٣ . ٢١ شکل

b ∈ S١ نقطه چپ سمت در t نقطه که این یا t = b) نباشد b ∈ S١ نقطه راست سمت در t نقطه اگر

نقطه غیراین صورت در (چون ندارد وجود یال حاصل، ارتباطاتی گراف در x, y ∈ S٢ نقطه های بین بنابراین باشد)،

می شود پوشیده wy توسط S١ مجموعه از نقطه یک از بیش آن گاه و باشد bis(wx) راست سمت باید ،y ∈ S٢

t نقطه کنید فرض بنابراین می باشد). wy پوشش تحت S١ از نقطه یک تنها که این فرض با است متناقض این و

حالت اثبات به توجه با بگیرید. نظر در را △xbt و △xto مثلث دو حال باشد. b ∈ S١ نقطه راست سمت در

باالی x ∈ S٢ نقطه اگر (چون باشد bis(wc) زیر باید نقطه این همچنین و بوده ρ↖b باالی x ∈ S٢ نقطه ٢ . ٣

مثلث در بنابراین دارد). وجود یال حاصل ارتباطاتی گراف در c و x نقطه دو بین آن گاه باشد، داشته قرار bis(wc)

،△xto مثلث در همچنین و دارد قرار p نقطه چپ سمت در l خط روی x تصویر و بوده ∠xbt > ۶٠◦ ،△xbt

t پس .|bt| < |to| < |tc| و |bt| < |xt| سینوس ها قانون طبق نتیجه در و ∠txo = ۶٠◦ و ∠xot ≤ ۶٠◦

دارد. قرار p نقطه چپ سمت در

بنابراین دارد، قرار c و p نقطه دو بین a′ نقطه ،(S٢ و S١) سه تایی هر برای ۴ ادعا در شده گفته ساختار طبق

می باشد. a′ چپ سمت t نقطه پس دارد، قرار p نقطه چپ سمت t نقطه چون

دارد. قرار p نقطه چپ سمت در l خط روی x تصویر چون دارد، قرار bis(wx) چپ سمت a ∈ S١ نقطه

bis(wx) راست سمت باید y ∈ S٢ نقطه باشد، یال حاصل ارتباطاتی گراف در x, y ∈ S٢ نقطه دو بین اگر حال

c ∈ S١ نقطه تنها wy که این با است متناقض این و دارد خود پوشش تحت را a ∈ S١ نقطه wy نتیجه در و باشد

(x, z) یال های بنابراین و ندارد وجود یال حاصل ارتباطاتی گراف در x, y ∈ S٢ نقطه دو بین پس بپوشاند. را

۵٣

ساختار در S١ از حاصل ارتباطاتی گراف بودن متصل به توجه (با دارد وجود حاصل ارتباطاتی گراف در (y, z) و

.(۴ ادعا

و بوده θ(wy) ∈ R١ چون می کند، عبور b, c ∈ S١ نقطه دو بین همچنین و a, c ∈ S١ نقطه دو میان از ρ↖y

حاصل ارتباطاتی گراف در y, z ∈ S٢ نقطه دو بین که آن جا از دارد. قرار wy پوشش تحت c ∈ S١ نقطه یک تنها

چپ سمت در a, b ∈ S١ نقطه های و می گیرد قرار bis(wy) راست سمت z ∈ S٢ نقطه بنابراین دارد، وجود یال

هستند. a, b ∈ wz نقطه دو یعنی هستند، (R۴ ناحیه (در ρ↗z راست سمت در و (R٢ ناحیه (در ρ↗z

سمت در را l خط (R١ ناحیه (در bis(wy) چون می گیرد، قرار دو هر یا wb یا wa پوشش نحت z ∈ S٢ نقطه

ارتباطاتی گراف در بنابراین دارد، قرار bis(wy) راست سمت در z ∈ S٢ نقطه و می کند قطع b ∈ S١ راست

می شود. ایجاد یال S٢ و S١ بین حاصل

بوده θ(ρ↗x ) < ١٨٠◦ حالت این در ،(٣ . ٩ لم اثبات در ٣ حالت با (مشابه نکند قطع را l خط ρ↗x اگر حال

جهتی در باید ρ↖x چون ،٣ . ٩ لم اثبات در ٣ حالت طبق و x /∈ wb می کنیم فرض بنابراین می باشد، b ∈ wx و

را l خط bis(wx) همچنین و θ(wx) ∈ R۴ و بوده θ(ρ↖x ) > ٢۴٠◦ بنابراین کند، قطع را cc′ پاره خط که باشد

ببینید). را ٣ . ٢٢ (شکل می کند قطع b ∈ S١ نقطه چپ سمت در

l

b

a

c

RbRa

Rc

x

c′o

y

o′m

m′

می باشد. a′ چپ سمت t نقطه :٣ . ٢٢ شکل

و θ(ρ↖z ) ∈ R١ و θ(ρ↗y ) ∈ R١ و θ(ρ↖y ) ∈ R٣ که طوری به بگیرید نظر در را y, z ∈ S٢ نقطه های

قرار ρ↖a باالی باید x ∈ S٢ نقطه و می کند قطع c′ راست سمت در را l ،ρ↖x حالت این در باشد. θ(ρ↗z ) ∈ R۵

دارد. خود پوشش تحت را a ∈ S٢ نقطه wx نتیجه در و باشد داشته

بنابراین باشد، داشته وجود یال S٢ نقاط مجموعه از حاصل ارتباطاتی گراف در x, z ∈ S٢ نقطه دو بین اگر

نقطه دو بین آن گاه باشد، گرفته قرار l خط باالی z نقطه اگر باشد. bis(wx) راست سمت باید z ∈ S٢ نقطه

۵۴

دارد. قرار l خط زیر z ∈ S٢ نقطه می کنیم فرض دارد. وجود یال حاصل ارتباطاتی گراف در c ∈ S١ و z ∈ S٢

نقطه باالی از ρ↖z بنابراین می کند، قطع x ∈ S٢ نقطه باالی در را wb چپ سمت ضلع ρ↖z که باشید داشته نظر در

نقطه wz نتیجه در .(θ(ρ↗z ) ∈ R۵) کرد خواهد عبور a ∈ S١ نقطه زیر از ρ↗z وجود این با می گذرد. a ∈ S١

نقطه چپ سمت در را l خط (که bis(wx) راست سمت z ∈ S٢ نقطه چون و دارد خود پوشش تحت را a ∈ S١

S١ مجموعه دو حاصل، ارتباطاتی گراف در (z, a) یال و می باشد z ∈ wa پس دارد، قرار می کند) قطع b ∈ S١

می سازد. متصل را S٢ و

بنابراین باشد، نداشته وجود یال S٢ نقاط مجموعه از حاصل ارتباطاتی گراف در x, z ∈ S٢ نقطه دو بین اگر

به باید y ∈ S٢ نقطه است) متصل شده گفته ساختار با تایی سه هر از حاصل ارتباطاتی گراف ،۴ ادعا (طبق

طبق (چون می گیرد قرار ρ↖x زیر z ∈ S٢ نقطه پس باشد، متصل حاصل ارتباطاتی گراف در x, z ∈ S٢ نقطه های

l خط باالی z ∈ S٢ نقطه اگر حال می باشد). S٢ مجموعه با متناظر آنتن های پوشش تحت صفحه کل ،۴ ادعا

z ∈ S٢ نقطه می کنیم فرض دارد. وجود یال حاصل ارتباطاتی گراف در ،c ∈ S١ و z ∈ S٢ بین آن گاه باشد،

،θ(wy) ∈ R٢ و دارد وجود یال حاصل، ارتباطاتی گراف در y, z ∈ S٢ نقطه دو بین چون دارد. قرار l خط زیر

ساختار طبق آنتن ها جهت یابی با می گیرد. قرار l خط زیر همچنین و z ∈ S٢ نقطه زیر y ∈ S٢ نقطه بنابراین

این توسط شده ایجاد زاویه که باشد گرفته قرار bis(wy) روی باید z ∈ S٢ یا x ∈ S٢ نقطه های از یکی ،۴ ادعا

روی z ∈ S٢ نقطه اگر نباشد. مثلث این در دیگر نقطه توسط شده ایجاد زاویه از بیش تر △xyz مثلث در نقطه

متناقض این و نیست) wz پوشش تحت x ∈ S نقطه (چون می باشد ∠yzx > ١٢٠◦ بنابراین باشد، bis(wy)

bis(wy) روی z ∈ S٢ نقطه وجود نتیجه در و حاصل ارتباطاتی گراف در (y, z) و (x, y) یال های وجود با است

می باشد. bis(wy) روی x ∈ S٢ نقطه می کنیم فرض نمی باشد. امکان پذیر

دارد، قرار ρ↖x باالی ρ↗y و است ρ↗b زیر ρ↖y چون نباشد، wb پوشش تحت محدوده در y ∈ S٢ نقطه اگر

باشد y ∈ wb می کنیم فرض دارد. وجود یال حاصل، ارتباطاتی گراف در ،y ∈ S٢ و a ∈ S١ دونقطه بین بنابراین

،b ∈ S١ و y ∈ S٢ نقطه دو بین غیراین صورت در (چون نباشد wy پوشش تحت محدوده در b ∈ S١ نقطه ولی

دارد). وجود یال حاصل، ارتباطاتی گراف در

y ∈ S٢ نقطه غیراین صورت (در دارد قرار l خط باالی m نقطه می نامیم. m را bis(wx) و ρ↖y برخورد نقطه

مثلث یک △xmy مثلث نتیجه در دارد، قرار bis(wy) روی x نقطه چون می گیرد). قرار wy پوشش تحت

ببینید). را ٣ . ٢٢ (شکل می نامیم m′ را xy پاره خط و ∠xmy زاویه نیمساز برخورد محل است. متساوی االضالع

می باشد. xy پاره خط بر عمود mm′ پاره خط

۵۵

نظر در l خط و my پاره خط برخورد نقطه عنوان به را o′ و می نامیم o را l خط و xy پاره خط برخورد نقطه

طبق بنابراین ،∠oyo′ = ۶٠◦ و ∠yo′o < ۶٠◦ پس می باشد، θ(ρ↖y ) ∈ R٣ چون ،△yoo′ مثلث دو بگیرید.

.|oy| < |oo′| < |ob| < |ox| داریم: نتیجه در و |ox| > |ob| سینوس ها قانون

دارد. قرار l خط باالی و o و x ∈ S٢ نقطه های بین m′ بنابراین می باشد، |oy| < |ox| که دادیم نشان

وجود یال حاصل ارتباطاتی گراف در y, z ∈ S٢ نقطه دو بین چون است. l خط باالی △mm′x مثلث بنابراین

فاصله نتیجه در و z ∈ △yo′o ⊆ △ymm′ بنابراین است، گرفته قرار l خط زیر z ∈ S٢ نقطه همچنین و دارد

قانون طبق ،△xyz مثلث در پس ،x ∈ S١ نقطه تا z ∈ S٢ نقطه فاصله از است کم تر z ∈ S٢ تا y ∈ S١ نقطه

دو بین که این به توجه با چون ،۴ ادعا ساختار با است متناقض نتیجه این .∠zxy < ∠zyx داریم: سینوس ها

∠zyx زاویه ،۴ ادعا در شده گفته ساختار طبق و ندارد وجود یال حاصل، ارتباطاتی گراف در x, z ∈ S٢ نقطه

□ نیست. امکان پذیر حالت این نتیجه در باشد. △xyz مثلث در زاویه ها سایر از کوچک تر باید

که طوری به بگیرید نظر در را صفحه در نقاط از S٢ = {x, y, z} و S١ = {a, b, c} تایی سه دو ٣ . ١٠ قضیه

طبق را تایی ها سه از یک هر باشند. نامحدود شعاع و α = ٢π/٣ جهت دار آنتن یک به مجهز نقاط از یک هر

می باشد. متصل S١ ∪ S٢ از حاصل ارتباطاتی گراف می دهیم. جهت ۴ ادعا اثبات

تایی سه دو از حاصل ارتباطاتی گراف دو از یکی حداقل که حالتی در دادیم نشان ،٣ . ٨ و ٣ . ٧ لم های در اثبات.

S١ از حاصل ارتباطاتی گراف دو از یک هیچ که حالتی در ٣ . ٩ لم طبق و است برقرار حکم باشد، خوشه ،S٢ و S١

□ می باشد. متصل S١ ∪ S٢ از حاصل ارتباطاتی گراف نیز نباشد خوشه S٢ و

α = ٢π/٣ جهت دار آنتن های با تمام جهته آنتن های جایگزینی ٣ . ٣ . ١

واحد شعاع به تمام جهته آنتن یک به مجهز صفحه در P مجموعه نقطه هر که هنگامی را حاصل واحد دیسک گراف

آنتن های که است این هدف اینجا در باشد. متصل حاصل واحد دیسک گراف می کنیم فرض بگیرید. نظر در را باشد

جهت یابی گونه ای به را آنها و کرده جایگزین را r = O(١) شعاع به α = ٢π/٣ جهت دار آنتن های و تمام جهته

بگیرد. قرار پوشش تحت هم صفحه کل براین عالوه و باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف که کنیم

۵۶

اتصال برای سپس و می کنیم استفاده دفعه چندین ۴ ادعا از که است این باال هدف به رسیدن برای اصلی ایده

می باشد). نامحدود جهت دار، آنتن های شعاع مرحله این (در می کنیم استفاده ٣ . ١٠ قضیه از آمده دست به گراف های

می کنیم. تقسیم راس سه حداکثر با واحد) دیسک گراف (از همبندی مولفه های به را P مجموعه نقاط ابتدا

همبندی. مولفه های به P نقاط مجموعه تقسیم الگوریتم ٢ الگوریتمصفحه در P نقاط مجموعه ورودی:

راس سه حداکثر شامل هریک همبندی، مولفه های خروجی:.Q = P می دهیم قرار و کرده تعریف را Q مجموعه :١

می کنیم: تکرار را زیر مراحل i = ١, ..., n برای :٢

شود. مشخص بعدی همبندی مولفه تا کرده تکرار را زیر مراحل باشد Q ̸= ∅ که زمانی تا :٣

Ci به را a ∈ Q نقطه می کنیم. انتخاب a ∈ Q اختیاری نقطه یک و کرده تعریف را Ci = ∅ مولفه :۴

. می کنیم حذف Q مجموعه از را آن و کرده اضافهنقطه آن گاه باشد، یک حداکثر a ∈ Q نقطه از آن فاصله که باشد داشته وجود b ∈ Q نقطه و Q ̸= ∅ اگر :۵

. می کنیم حذف Q مجموعه از را آن و کرده اضافه Ci به را b ∈ Q

یک حداکثر Ci مولفه نقاط از یکی حداقل از آن فاصله که باشد داشته وجود c ∈ Q نقطه و Q ̸= ∅ اگر :۶

. می کنیم حذف Q مجموعه از را آن و کرده اضافه Ci به را c ∈ Q نقطه آن گاه باشد،تکرار. پایان :٧

در b ∈ Cj و a ∈ Ci راس دو بین اگر تنها و اگر گوییم، همسایه را Cj و Ci همبندی مولفه دو ٣ . ١١ تعریف

باشد. داشته وجود یال واحد، دیسک گراف

دیسک گراف در C همسایه همبندی مولفه هر آن گاه باشد، راس دو یا یک با همبندی مولفه یک C اگر ۵ ادعا

می باشد. راس سه شامل واحد،

واحد دیسک گراف در C مولفه همسایه و بوده راس دو یا یک شامل C ′ همبندی مولفه کنید فرض اثبات.

بدون دارد. وجود واحد دیسک گراف در C ′ مولفه از راس یک و C مولفه از راس یک بین یالی بنابراین می باشد،

بنابراین است، شده تشکیل ٢ الگوریتم توسط C ′ مولفه از زودتر C مولفه می کنیم فرض مسئله، کلیت دادن دست از

یک حداکثر C مولفه نقاط تا آن فاصله که است داشته وجود p مجموعه از نقطه ای شده، تشکیل C مولفه که زمانی

سه شامل باید واحد دیسک گراف در C همسایه مولفه هر نتیجه در ،٢ الگوریتم مراحل با است متناقض این و بوده

□ باشد. راس

مولفه هر نقاط ابتدا کرده ایم، تقسیم راس) سه حداکثر (با همبندی مولفه های به را P مجموعه کنید فرض حال

آن ها به و کرده مجهز نامحدود شعاع و α = ٢π/٣ جهت دار آنتن های به ۴ ادعا طبق را راس سه دقیقا ً با همبندی

۵٧

(C همسایه (مولفه C ′ همبندی مولفه و راس دو یا یک شامل C همبندی مولفه هر می دهیم. جهت ۴ ساختار طبق

هر دارند). خود پوشش تحت را صفحه کل ۴ ادعا ساختار طبق C ′ مولفه نقاط با متناظر (آنتن های بگیرید نظر در را

می دهیم. جهت دارد، پوشش تحت را a ∈ C نقطه آن، با متناظر آنتن که C ′ از نقطه ای سمت به را a ∈ C نقطه

یال آن ها بین حاصل ارتباطاتی گراف در دارند، راس سه دقیقا ً یک هر که باشند همسایه مولفه دو C ′ و C اگر

از کم تر رئوس تعداد با مولفه هر در که این طبق باشد، داشته راس سه از کمتر مولفه دو این از یکی اگر و می باشد

این بین حاصل ارتباطاتی گراف در پس می دهیم، جهت همسایه همبندی مولفه نقاط از یکی سمت به را آنتن ها سه،

با متناظر آنتن های ،۴ ادعا طبق و می باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف بنابراین و دارد وجود یال نیز مولفه دو

دارند. خود پوشش تحت را صفحه کل حاصل، ارتباطاتی گراف

متناظر r = ٧ شعاع و α = ٢π/٣ جهت دار آنتن های از حاصل ارتباطاتی گراف یک G کنید فرض ٣ . ١٢ لم

با متناظر واحد دیسک گراف از گام) فاصله اساس (بر ۶_پوشش یک G باشد. صفحه در P نقاط مجموعه با

می باشد. P نقاط مجموعه

سه دقیقا شامل C همسایه مولفه هر ،۵ ادعا طبق می باشد. راس دو یا یک دارای C مولفه کنید فرض اثبات.

یکی سمت به را C مولفه نقاط از یک هر راس، دو یا یک با مولفه هر برای شده گفته جهت یابی طبق می باشد، راس

حداکثر آن طول که دارد وجود C ′ و C مولفه دو بین یال یک حداقل بنابراین می دهیم. جهت C ′ مولفه نقاط از

ببینید). را ٣ . ٢٣آ (شکل می باشد چهار

یال طول و هستند متصل مولفه دو این ،٣ . ٩ لم طبق باشند، همسایه راس سه دقیقا با C ′′ و C ′ مولفه دو اگر

ببینید). را ٣ . ٢٣ب (شکل است پنج حداکثر آن ها بین

همسایه آن ها دوی هر با C که طوری به بگیرید نظر در را راس سه دقیقا با C ′′ و C ′ مولفه دو اگر وجود این با

(شکل می باشد هفت حداکثر آن ها بین یال طول و هستند متصل C ′ و C ′′ مولفه دو ٣ . ٩ لم طبق آن گاه باشد،

ببینید). را ٣ . ٢٣ج

q و p نقطه دو بین گام فاصله که داد خواهیم نشان باشید، داشته نظر در را واحد دیسک گراف در (p, q)یال

می باشد. شش حداکثر G در

۵٨

(ب) (آ)

(ج)

.٣ . ١٢ لم اثبات :٣ . ٢٣ شکل

حداکثر G گراف در آن ها بین مسیر آن گاه باشند، راس سه شامل مولفه یک عضو دو هر p, q ∈ P نقطه دو اگر

ببینید). را ٢۴ . ٣ (شکل دارد یال دو

q

p

باشند. راس سه شامل مولفه یک عضو دو هر p, q ∈ P نقطه دو :٢۴ . ٣ شکل

یک از G گراف در آن ها بین مسیر آن گاه باشند، راس دو شامل مولفه یک عضو دو هر p, q ∈ P نقطه دو اگر

راببینید). ٣ . ٢۵آ (شکل دارد یال چهار حداکثر مسیر این می گذرد، راس سه شامل مولفه

p q

شامل دو هر که باشند همبندی مولفه دو در p, q ∈ P نقطه دو (ب)است راس سه دقیقا

q

p

باشند راس دو شامل مولفه یک عضو دو هر p, q ∈ P نقطه دو (آ)

.٣ . ١٢ لم اثبات :٢۵ . ٣ شکل

(فرض آنها از یکی حداقل ،۵ ادعا طبق آن گاه باشند، همبندی مولفه دو در p, q ∈ P نقطه دو کنید فرض حال

آن گاه باشد، راس سه دقیقا با مولفه یک عضو نیز q اگر باشد. داشته راس سه دقیقا باید (p نقطه شامل مولفه کنید

نقطه دو بین مسیر غیراین صورت در ببینید)، را ٣ . ٢۵ب (شکل دارد یال پنج حداکثر G گراف در q و p بین مسیر

۵٩

p نقطه به سپس و رسیده باشد) p نقطه شامل مولفه است (ممکن راس سه دقیقا با مولفه یک به q از p, q ∈ P

□ ببینید). را ٢۶ . ٣ (شکل دارد یال شش حداکثر مسیر این که می شود ختم

pq

است. راس سه دقیقا شامل آن ها از یکی که باشند همبندی مولفه دو در p, q ∈ P نقطه دو :٢۶ . ٣ شکل

تمام جهته آنتن یک به مجهز نقطه هر که طوری به بگیرید نظر در را صفحه در نقاط از P مجموعه ٣ . ١٣ نتیجه

r = ٧ شعاع و α = ٢π/٣ جهت دار آنتن یک با را تمام جهته آنتن هر می توانیم که دادیم نشان بخش این در باشد.

گراف می گیرد، قرار آنتن ها پوشش تحت صفحه از P مجموعه نقاط حاوی ناحیه کل که این بر عالوه تا کنیم تعویض

باشد. متناظر واحد دیسک گراف به نسبت ۶_پوشش گراف یک و بوده متصل نیز حاصل ارتباطاتی

۶٠

۴ فصل

حاصل ارتباطاتی شبکه در گام فاصله کمینه سازی

جهت دار آنتن های از

طبق نامتقارن. و متقارن می گیرد، قرار بررسی تحت ارتباطاتی گراف مدل دو جهت دار آنتن های از استفاده در

گراف ،(k = ⌈٢πα⌉) r = ۴

√٢(۵٫ ۵k − ۶) شعاع و α < π/٣ زاویه با جهت دار آنتن های برای [٧] مقاله

n شامل مجموعه با متناظر واحد دیسک گراف از ٨⌉)-پوشش log k⌉−١) گراف یک حاصل، نامتقارن ارتباطاتی

نامتقارن ارتباطاتی گراف ،٣۶√

٢ شعاع با α = π/٣ جهت دار آنتن های برای همچنین و می باشد صفحه در نقطه

می باشد. صفحه در نقطه n شامل مجموعه با متناظر واحد دیسک گراف از ١٠-پوشش گراف یک حاصل،

تحت را صفحه کل بتوانیم α زاویه با جهت دار آنتن از استفاده با که α زاویه کم ترین دادیم، نشان ٣ . ١ بخش در

بررسی مورد صفحه کل پوشش ،[٧] مقاله آمده دست به نتایج در بنابراین است، α = π/٢ باشیم داشته پوشش

است. نبوده

حاصل، نامتقارن ارتباطاتی گراف r = ٧ شعاع با α = π/٢ جهت دار آنتن های برای ،[١۴] مقاله به توجه با

برای همچنین و می باشد صفحه در نقطه n شامل مجموعه با متناظر واحد دیسک گراف از ۶-پوشش گراف یک

دیسک گراف از ۵-پوشش گراف یک حاصل، نامتقارن ارتباطاتی گراف ،r = ۵ شعاع با α = ٢π/٣ آنتن های

است. صفحه در نقطه n شامل مجموعه با متناظر واحد

بررسی به نیز بخش این در شد، گفته متقارن حالت از استفاده مورد در دوم فصل ابتدای در آن چه نظرگرفتن در با

داد جهت طوی را r کمینه شعاع و α زاویه با جهت دار آنتن های بتوان که این برای می پردازیم α زاویه کمینه سازی

باشد. کمینه گام فاصله راس، دو هر بین متصل، متقارن ارتباطاتی گراف در تا

که: است شده داده نشان [٢٠ ،۴] مقاله های در

باشد. داشته قرار پوشش تحت صفحه کل که دارد وجود α = π/٢ جهت دار آنتن چهار از جهت یابی : I

هم از را چهارتایی دو خط یک از استفاده با بتوان اگر تنها و اگر هستند متصل آنتن ها از چهارتایی دو : II

کرد. جدا

از استفاده جای به که تفاوت این با می کنیم عمل [٢٠ ،۴] مقاله های با مشابه که است این این جا در ما ایده

کنیم. انتخاب خود ساختار در هاب نقطه پنج هاب، نقطه چهار

نامحدود شعاع و α زاویه با جهت دار آنتن n از استفاده با بتوان که α زاویه کم ترین که دادیم نشان سوم فصل در

،۶ . ٣ نتیجه طبق و است α = π/٢ داد، قرار پوشش تحت را صفحه کل صفحه، در نقطه n از مجموعه هر در واقع

r = ١۴√

٢ شعاع با α = π/٢ جهت دار آنتن های به صفحه در P مجموعه نقاط تجهیز از حاصل ارتباطاتی گراف

که می دهیم نشان این جا در حال است. ٨-پوشش گراف یک متناظر، واحد دیسک گراف به نسبت و بوده متصل

حاصل متقارن ارتباطاتی گراف که دارد وجود P نقاط مجموعه با متناظر α = π/٢ جهت دار آنتن های از جهت یابی

۶٢

می باشد. ۵-پوشش گراف یک واحد، دیسک گراف به نسبت

می باشد. [١۵] مرجع از برگرفته فصل این مطالب که است ذکر به الزم

صفحه کل گرفتن قرار پوشش تحت ١ . ۴

ترتیب به محدب چندضلعی یک از راس پنج عنوان به را P = {v٠, v١, v٢, v٣, v۴} مجموعه ١ . ۴ تعریف

،i, j ∈ N عدد دو فرض با و می گوییم ۵-جزء١ را مجموعه این بگیرید، نظر در ساعت عقربه های حرکت خالف

نمایش پنج بر i− j تقسیم باقیمانده عنوان به را i⊖ j همچنین و پنج بر i+ j تقسیم باقیمانده عنوان به را i⊕ j

می دهیم.

می نامیم vi راس ماقبل٣ راس را vi⊖١ راس و vi راس مابعد٢ راس را vi⊕١ راس ،vi ∈ P راس هر ازای به

گوییم. vi راس مقابل۴ رئوس را vi⊕٣ و vi⊕٢ رئوس و

∠vi⊕٢vivi⊕٣ زاویه vi ∈ P راس هر ازای به اگر تنها و اگر است ساده۵ ۵-جزء یک P مجموعه : I ٢ . ۴ تعریف

باشد. π/٢ از کم تر

زاویه که طوری به باشد داشته وجود vi ∈ P راس اگر تنها و اگر است کند۶ ۵-جزء یک P مجموعه : II

می نامیم. کند زاویه یک را زاویه این و باشد ∠vi⊕٢vivi⊕٣ > π/٢

دارد. کند زاویه یک دقیقا کند ۵-جزء یک ٣ . ۴ لم

استدالل کلیت دادن دست از بدون باشند. ۵-جزء در کند زاویه با متناظر vj و vi راس دو کنید فرض اثبات.

بدهند. کند زاویه تشکیل آن مقابل رئوس و v٠ راس می کنیم فرض

۴ . ١آ (شکل می دهد کند زاویه تشکیل v۴ و v٣ رئوس همراه به (v١) دوم راس آن گاه باشد i ⊖ j = ١ اگر

بنابراین نیست، ١٨٠◦ از بزرگ تر محدب چندضلعی یک داخلی زاویه های از هیچ یک ١۵ . ١ قضیه طبق ببینید). را

قرار ∠v٠v٢v٣ زاویه با متناظر ناحیه داخل v۴ راس همچنین و بوده ∠v٠v٣v٢ زاویه با متناظر ناحیه در v١ راس

می باشد. خالی نیز △v٠v٢v٣ مثلث و می گیرد١5-Gadget٢Successor٣Predecessor۴Opposite۵Simple۶Blunt

۶٣

و ٢۵ . ١ قضیه های طبق و v٣v١v۴∠است > π/٢ که این فرض با بگیرید، نظر در را v٣v۴ قطر با C دایره

است، v٢ و v٠ نقاط با متناظر خط چپ سمت v١ راس چون و باشد داشته قرار C دایره داخل باید v١ راس ،٢۶ . ١

.∠v٣v١v۴ ̸> π/٢ داریم: حالت این در پس نمی باشد، امکان پذیر C دایره داخل v١ نقطه وجود بنابراین

v2

v0

v3

v4

i⊖ j > ١ (ب)

v1

v2

v0

v3

v4

i⊖ j = ١ (آ)

.٣ . ۴ لم اثبات :١ . ۴ شکل

v٢ راس کند، زاویه با متناظر راس دومین می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون باشد، i⊖j > ١ اگر

در آن چه با مشابه ببینید). را ۴ . ١ب (شکل می دهد کند زاویه تشکیل خود مقابل رئوس همراه به v٢ راس که است

△v٠v٢v٣ مثلث همچنین و بوده ∠v٠v٢v٣ زاویه با متناظر ناحیه در v۴ راس شد، گفته (i⊖ j = ١) قبل حالت

می دهد، کند زاویه تشکیل نیز (v٣ و v٢) خود مقابل رئوس همراه به v٠ راس که باشید داشته خاطر به است. خالی

یک داخلی زاویه های مجموع که این با است متناقض این و داریم کند زاویه دو ،△v٠v٢v٣ مثلث در وجود این با

□ دارد. کند زاویه یک تنها کند ۵-جزء یک نتیجه در باشد. ١٨٠◦ مثلث

آنتن های از جهت یابی یک که می دهیم نشان بگیرید. نظر در ساده ۵-جزء یک عنوان به را P مجموعه ۴ . ۴ لم

بگیرد قرار پوشش تحت صفحه کل که دارد وجود P مجموعه با متناظر نامحدود شعاع و π/٢ زاویه با جهت دار

خود پوشش تحت را ρ↖vi ∩ CE(P ) نیم خط vi⊕١ راس با متناظر آنتن و باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف و

است. دو راس دو هر بین گام فاصله حداکثر و دارد

اصلی٧ ناحیه های به می کنند وصل هم به را P مجموعه رئوس که خط هایی وجود با صفحه کنید فرض اثبات.

شعاع با α = π/٢ جهت دار آنتن های ببینید). را ٢ . ۴ (شکل می شود تقسیم (sj,j⊕١) جنبی٨ ناحیه های )و si)

ساده ۵-جزء یک P چون بگذرد، vi⊕٢ از ρ↗vi که می دهیم قرار جهتی در vi ∈ P نقطه هر ازای به را نامحدود

٧Main٨Side

۶۴

متناظر اصلی ناحیه همچنین و (vi⊕٣ و vi⊕٢) راس آن مقابل رئوس (vi ∈ P ) راس هر با متناظر آنتن پس است،

دارد. خود پوشش تحت را آن با

ناحیه vi⊕١ راس در واقع جهت دار آنتن بگیرید. نظر در را vi⊖و١ vi⊕١ راس دو از گذرنده خط زیر نیم صفحه

از حاصل نیم خط و دارد خود پوشش تحت را vi⊖١vi⊕١ پاره خط بر عمود و vi⊕١ راس از گذرنده خط چپ سمت

می گیرد. قرار ناحیه این در w(vi⊕١) پوشش تحت نیز ρ↖vi ∩ CE(P )

داریم: حالت سه جا این در که می گیرند قرار پوشش تحت نیز جنبی ناحیه های دهیم نشان است کافی حال

داشته خود پوشش تحت ناحیه در را si ∪ si,i⊕١ ناحیه بتواند که زاویه کم ترین ،vi ∈ P راس هر برای ١ حالت

نباشد. π/٢ از بیش تر باشد

تحت si ∪ si,i⊕١ ناحیه vi ∈ P راس هر ازای به شد گفته که شیوه ای به آنتن هر دادن قرار با حالت این در

می باشد. α = π/٢ جهت دار آنتن های پوشش تحت صفحه کل نتیجه در و می گیرد قرار پوشش

باشد. π/٢ از بیش تر si ∪ si,i⊕١ ناحیه پوشش برای زاویه کم ترین که دارد وجود vi ∈ P راس یک ٢ حالت

جهت دار آنتن پوشش تحت کامل طور به s٢,٣ ناحیه می کنیم فرض استدالل کلیت دادن دست از بدون حالت این در

با متناظر آنتن های پوشش تحت زاویه های مجموع ٢ . ۴ شکل طبق نمی گیرد. قرار v٢ نقطه در واقع π/٢ زاویه با

.π − ∠v٢v۴v١ : با است برابر v٣ و v٢

دارد. قرار w(v٣) و w(v٢) با متناظر ناحیه های اجتماع پوشش تحت s٢,٣ ناحیه نتیجه در

π/٢ از بیش تر si ∪ si,i⊕١ ناحیه پوشش برای زاویه کم ترین که دارد وجود vi ∈ P راس یک از بیش ٣ حالت

باشد.

وجود هستند، سرهم پشت بالفاصله ساعت عقربه های حرکت خالف جهت در که جنبی ناحیه دو می کنیم فرض ابتدا

s١,٢ و s٠,١ ناحیه دو می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون نمی گیرد. قرار آنتن ها پوشش تحت که دارد

ui را vi ∈ P راس هر با متناظر زاویه پوشش تحت ناحیه در خطوط برخورد نقطه و نمی گیرند قرار پوشش تحت

v١ و v٠ رئوس از یک هر جنبی و اصلی ناحیه های مجموع با متناظر زاویه بنابراین ببینید)، را ٢ . ۴ (شکل می نامیم

هستند ∠v٣u٠v۴ > π/٢ و ∠v٣u١v٢ > π/٢ زاویه دو ٢۶ . ١ قضیه طبق وجود این با است. π/٢ از بیش تر

و هستند △u١v٣u٠ مثلث داخلی زاویه دو α٢ > π/٢ و α١ > π/٢ چون نمی باشد امکان پذیر مورد این که

تحت که جانبی ناحیه دو که حالتی پس باشد. ١٨٠◦ مثلث داخلی زاویه های مجموع که این با است متناقض این

۶۵

v

s۲

s۱,۲

s۲,۳

s۳,۴

s۴,

s ,۱

s۱

s

s۴

s۳

v۴

v۳

v۲

v۱

u۱ u

u۴

u۳

u۲

شده. ایجاد جنبی و اصلی ناحیه های همراه به ساده ۵-جزء یک :٢ . ۴ شکل

نتیجه در نیست. امکان پذیر باشند سرهم پشت بالفاصله ساعت عقربه های حرکت خالف جهت در نیستند پوشش

آن ها از ناحیه دو حداقل چون نیست امکان پذیر نیز باشد، نداشته قرار پوشش تحت که جنبی ناحیه دو از بیش وجود

غیرممکن چیزی چنین که دادیم نشان و باشند سرهم پشت بالفاصله ساعت عقربه های حرکت خالف جهت در باید

است.

پشت ساعت عقربه های حرکت خالف جهت در نیستند پوشش تحت که جنبی ناحیه دو می کنیم فرض حال

با متناظر زاویه پوشش تحت s۴,٠ و s٢,٣ ناحیه دو می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون نباشند. سرهم

v٣ و v٢ رئوس با متناظر زاویه های مجموع شد گفته قبال که آن چه با مشابه نیستند. v۴ و v٢ ترتیب) (به رئوس

s۴ ∪ s۴,٠ ∪ s٠ ∪ s٠,١ ناحیه v٠ و v۴ رئوس با متناظر زاویه های مجموع همچنین و s٢ ∪ s٢,٣ ∪ s٣ ∪ s٣,۴ ناحیه

حداکثر بنابراین دارد یال خود مقابل رئوس با راس هر چون ببینید). را ٢ . ۴ (شکل دارند خود پوشش تحت را

□ است. کامل اثبات اکنون می باشد. دو راس دو هر بین گام فاصله

۶۶

آنتن های از جهت یابی یک که می دهیم نشان بگیرید. نظر در کند ۵-جزء یک عنوان به را P مجموعه ۵ . ۴ لم

بگیرد قرار پوشش تحت صفحه کل که دارد وجود P مجموعه با متناظر نامحدود شعاع و π/٢ زاویه با جهت دار

خود پوشش تحت را ρ↖vi ∩ CE(P ) نیم خط vi⊕١ راس با متناظر آنتن و باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف و

است. دو راس دو هر بین گام فاصله حداکثر و دارد

زاویه تشکیل خود مقابل رئوس همراه به v٠ راس می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون اثبات.

چندضلعی یک رئوس ،P مجموعه رئوس چون باشد. v٣ و v٢ رئوس از گذرنده خط باالی v٠ راس و می دهد کند

وجود این با باشند. داشته قرار v٠ راس از باالتر نمی توانند v۴ و v١ راس دو ،١۵ . ١ قضیه طبق و هستند محدب

تقاطع از آمده دست به ناحیه و باشد داشته قرار v٠ راس زیر v۴ راس می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون

ببینید). را ٣ . ۴ (شکل می نامیم e را v٢v٣ و v٠v۴ پاره خط های از گذرنده خطوط از حاصل نیم صفحه دو

می دهیم: جهت زیر شیوه به را نامحدود شعاع و π/٢ زاویه با جهت دار آنتن های

و باشند داشته پوشش تحت را یکدیگر که می دهیم جهت طوری را v۴ و v٠ رئوس با متناظر آنتن های ١ گام

بپوشاند. را v۴ و v٠ راس دو از گذرنده خط زیر نیم صفحه همچنین

و باشند داشته پوشش تحت را یکدیگر که می دهیم جهت طوری را v٣ و v٢ رئوس با متناظر آنتن های ٢ گام

بپوشاند. را v٣ و v٢ راس دو از گذرنده خط باالی نیم صفحه همچنین

باشد. داشته پوشش تحت را e ناحیه و v۴ و v٣ راس دو که می دهیم جهت طوری را v١ راس با متناظر آنتن ٣ گام

حاصل ارتباطاتی گراف تا می شود باعث کند ۵-جزء هر برای جهت یابی شیوه این که دهیم نشان است کافی

می کنیم: اثبات را زیر مورد سه معادل طور به گیرد. قرار پوشش تحت صفحه کل و متصل باشد

دارند. خود پوشش تحت محدوده در را یکدیگر v۴ و v٢ رئوس با متناظر آنتن های : I

دارند. خود پوشش تحت محدوده در را یکدیگر v٣ و v٠ رئوس با متناظر آنتن های : II

بپوشاند. را e ناحیه و v۴ و v٣ رئوس v١ راس با متناظر آنتن : II

قضیه های طبق و می دهد کند زاویه یک تشکیل v٣ و v٢ رئوس همراه به v٠ راس که این فرض به توجه با

به v۴ راس با متناظر آنتن جهت یابی با است. گرفته قرار v٢v٣ قطر به C دایره داخل v٠ راس ، ٢۶ . ١ و ٢۵ . ١

۶٧

سمت ضلع که طوری به w(v٠) جهت یابی همچنین و باشد v٠v۴ پاره خط روی آن راست سمت ضلع که طوری

w(v٠) توسط v۴ و v٠ راس دو از گذرنده خط زیر نیم صفحه همچنین و بگیرد قرار v٠v۴ پاره خط روی آن چپ

دارد) قرار v٠ راس راست سمت و v٠v٣ پاره خط باالی v۴ راس ١۵ . ١ قضیه (طبق باشد پوشش تحت w(v۴) و

پوشش تحت v٣ و v٠ راس دو همچنین و v۴ ∈ w(v٢) و v٢ ∈ w(v۴) و v۴ ∈ w(v٠) و v٠ ∈ w(v۴) آن گاه

می باشد. برقرار II و I حالت دو پس می گیرند. قرار w(v٠) و w(v٣) ترتیب) (به آنتن های

v۴

v۲ v۳

c

v۱

v

e

.∠v٠cv٢ ≤ ∠v٠v۴v١ :٣ . ۴ شکل

زاویه چون می نامیم. c را v٣ و v٢ راس دو از گذرنده خط و v۴ و v٠ راس دو از گذرنده خط برخورد نقطه

π/٢ از کم تر e ناحیه با متناظر زاویه بنابراین و است ∠v٠v٣c > π/٢ زاویه پس می باشد، ∠v٢v٠v٣ > π/٢

راس با متناظر آنتن نتیجه در می گیرد. قرار ∠v٠cv٣ زاویه با متناظر ناحیه در v١ راس ،١۵ . ١ قضیه طبق و است

باشد. داشته خود پوشش تحت کامل طور به را e ناحیه که است قادر v١

e ناحیه و v۴ و v٣ رئوس ،v١ راس با متناظر آنتن که دهیم نشان است کافی III حالت برقرای اثبات برای

داریم: حالت سه این جا در که دارد خود پوشش تحت را

باشد. ∠v٠cv٢ ≤ ∠v٠v۴v١ زاویه ١ حالت

١٨٠◦ ،△v١v٠v۴ مثلث داخلی زاویه های مجموع که این به توجه (با است ∠v١v٠v۴ ≥ π/٢ زاویه چون

است. ∠v٠cv٢ < π/٢ نتیجه در و بوده ∠v٠v۴v١ ≤ π/٢ بنابراین است)،

خط روی دو هر ،e ناحیه در c نقطه با متناظر زاویه راست سمت ضلع و ∠v٠v۴v١ زاویه راست سمت ضلع

زاویه چپ سمت ضلع که زاویه ای پس است ∠v٠cv٢ < ∠v٠v۴v١ چون و می باشند v٠ و v۴ راس دو از گذرنده

زاویه چپ سمت ضلع که زاویه ای از می سازد صفحه در yها محور مثبت جهت با e ناحیه در c راس با متناظر

را نامحدود شعاع با α = π/٢ جهت دار آنتن اگر پس است، کم تر می سازد yها محور مثبت جهت با ∠v٠v۴v١

۶٨

بگیرد، قرار آن پوشش تحت v٣ راس و باشد v١v۴ پاره خط روی آن چپ سمت ضلع که دهیم قرار v١ راس در طوری

vi⊕١ راس با متناظر آنتن حالت این در ،٣ . ۴ شکل به توجه با می گیرد. قرار پوشش تحت کامل طور به e ناحیه

دارد. خود پوشش تحت را ρ↖vi ∩ CE(P ) نیم خط

باشد. ∠v٠cv٢ ≤ ∠v٢v٣v١ زاویه ٢ حالت

π/٢ از کم تر ∠v٠cv٢ زاویه بنابراین می باشد، ∠v١v٣v٢ < π/٢ زاویه پس است ∠v١v٣c > π/٢ چون

است.

v۴

v۲ v۳

c

v۱

v

e

.∠v٠cv٢ ≤ ∠v٢v٣v١ :۴ . ۴ شکل

و می باشد v٢v٣ از گذرنده خط روی e ناحیه در c نقطه با متناظر زاویه و ∠v٢v٣v١ زاویه های چپ سمت ضلع

که است زاویه ای از بیش تر می سازد صفحه در xها محور با ∠v٢v٣v١ زاویه راست سمت ضلع که زاویه ای بنابراین

با α = π/٢ جهت دار آنتن دادن قرار با پس می سازد، صفحه در xها محور با ∠v٠cv٢ زاویه راست سمت ضلع

بگیرد، قرار آن پوشش تحت v۴ راس و باشد v١v٣ پاره خط روی آن راست سمت ضلع که طوری به نامحدود شعاع

ببینید). را ۴ . ۴ (شکل می گیرد قرار پوشش تحت کامل طور به e ناحیه

v۴

v۲ v۳

c

v۱

v

e

.∠v٠cv٢ > ∠v٠cv٢ و ∠v٠cv٢ > ∠v٢v٣v١ :۵ . ۴ شکل

۶٩

خود پوشش تحت را ρ↖vi ∩ CE(P ) نیم خط vi⊕١ راس با متناظر آنتن حالت این در ،۴ . ۴ شکل به توجه با

دارد.

باشد. ∠v٠cv٢ > ∠v٠v۴v١ و ∠v٠cv٢ > ∠v٢v٣v١ زاویه ٣ حالت

v٢v٣ پاره خط با موازی آن چپ سمت ضلع که طوری به v١ راس در نامحدود شعاع با α = π/٢ آنتن دادن قرار با

بین اتصال همچنین و می گیرد قرار پوشش تحت e ناحیه کل باشد، w(v١) پوشش تحت v٣ راس همچنین و بوده

این در ،۵ . ۴ شکل به توجه با می گیرد. صورت {(v١, v٣), (v٣, v٠), (v٠, v۴)} یال های توسط v۴ و v١ رئوس

دارد. خود پوشش تحت را ρ↖vi ∩ CE(P ) نیم خط vi⊕١ راس با متناظر آنتن حالت

ارتباطاتی گراف در {(v٠, v۴), (v١, v٣), (v٢, v٣), (v٢, v۴), (v٠, v٣)} یال های ٣ و ٢ و ١ حالت های در

□ است. کامل ۵ . ۴ لم اثبات اکنون است. دو راس دو هر بین گام فاصله حداکثر بنابراین دارند، وجود حاصل

را α = π/٢ جهت دار آنتن های به مجهز صفحه در نقاط از ۵-جزء هر که دادیم نشان ۵ . ۴ و ۴ . ۴ لم های در

بگیرد. قرار پوشش تحت نیز صفحه کل و باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف تا کرد جهت یابی می توان

جهت را ۵-جزء هر با متناظر آنتن های ۵ . ۴ و ۴ . ۴ لم های اثبات طبق و بگیرید نظر در را Q و P ۵-جزء دو

هر همچنین و می گیرد قرار پوشش تحت Q از نقطه یک با متناظر آنتن توسط حداقل P از نقطه هر می دهیم.

دو بین است ممکن وجود این با ولی می گیرد قرار پوشش تحت P با متناظر آنتن یک توسط حداقل نیز Q از نقطه

ببینید. را ۶ . ۴ شکل مثال برای نباشد. یال حاصل، ارتباطاتی گراف در (Q و p) ۵-جزء

p

p۱

p۲

p۳

p۴

q۴q۳

q۲

q۱

q

نباشد. یال حاصل، ارتباطاتی گراف در (Q و p) ۵-جزء دو بین :۶ . ۴ شکل

٧٠

نشان شده اند. جدا هم از خط یک توسط که باشند ۵-جزء دو با متناظر Q و P مجموعه دو کنید فرض ۶ . ۴ لم

و ۴ . ۴ لم های طبق جهت دهی و نامحدود شعاع با α = π/٢ جهت دار آنتن یک به نقطه هر تجهیز با که می دهیم

است. متصل مجموعه دو از حاصل ارتباطاتی گراف ،۵ . ۴

مجموعه و است صفحه در عمودی خط یک l خط می کنیم فرض استدالل کلیت دادن دست از بدون اثبات.

دارند. قرار آن راست سمت در Q نقاط مجموعه و آن چپ سمت در P

متناظر آنتن که طوری به می دهیم برچسب p۴ تا p٠ از ساعت عقربه های حرکت جهت در را P مجموعه نقاط

از ساعت عقربه های حرکت جهت در را Q مجموعه همچنین و بپوشاند را l خط باالی نامتناهی فضای p٠ نقطه با

٧ . ۴ (شکل بپوشاند را l خط پایین نامتناهی فضای q٠ نقطه با متناظر آنتن که طوری به می دهیم برچسب q۴ تا q٠

ببینید). را

پوشش تحت را l خط از بخشی دو هر که طوری به بگیرید نظر در را qj ∈ Q و pi ∈ P رئوس با متناظر آنتن

چرخش با و باشد نداشته خود پوشش تحت را (qj ∈ Q) pi ∈ P راس (w(pi)) w(qj) اگر باشند. داشته خود

در که طوری به ساعت) عقربه های حرکت خالف جهت (در ساعت عقربه های حرکت جهت در (w(pi)) w(qj)

w(qj) پوشش تحت (qj ∈ Q) pi ∈ P راس باشد، آن پوشش تحت l از بخشی همیشه آنتن، چرخش حین

است. (pi ∈ P ) qj ∈ Q راس مطابق٩ (qj ∈ Q) pi ∈ P راس گوییم آن گاه بگیرد، قرار (w(pi))

(فرض ندارد وجود یال حاصل، ارتباطاتی گراف در Q و P مجموعه های از راسی دو هیچ بین کنید فرض

(راس دیگری اول)، (راس آن ها از یکی با متناظر آنتن اگر تنها و اگر گوییم مطلوب١٠ ،(pi, qj) زوج به خلف).

باشد. دوم راس مطابق اول راس با متناظر آنتن و باشد داشته خود پوشش تحت را دوم)

۵-جزء هر در نامحدود شعاع با α = π/٢ آنتن های جهت یابی که دادیم نشان ۵ . ۴ و ۴ . ۴ لم های به توجه با

بگیرد. قرار پوشش تحت صفحه کل همچنین و باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف تا است امکان پذیر

یا می گیرند قرار پوشش تحت w(p٠) توسط یا Q مجموعه رئوس از یک هر بگیرید، نظر در را p٠ ∈ P راس

ببینید). را ٧ . ۴ (شکل هستند p٠ راس مطابق که این

٩After١٠Eligible

٧١

p

p۱

p۲

p۳

p۴

q۴

q۳ q۲

q۱

q+∞

−∞

شده اند. جدا هم از خط یک توسط که باشند ۵-جزء دو :٧ . ۴ شکل

زوج باشد. qj راس مطابق pi همچنین و qj ∈ w(pi) می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون

pi راس تا چرخاند ساعت عقربه های حرکت جهت در را w(qj) می توان پس است مطلوب زوج یک (pi, qj)

پوشش تحت محدوده در ρ↖qj⊕١∩CE(P ) نیم خط ۵ . ۴ و ۴ . ۴ لم های به توجه با و گیرد قرار w(qj) پوشش تحت

و بوده pi ∈ w(qj′) و j′ > j که طوری به دارد وجود j′ = j ⊕ ١ صحیح عدد بنابراین می گیرد، قرار w(qj)

w(pi) پوشش تحت qj′ پس ندارد وجود حاصل ارتباطاتی گراف در Q و P مجموعه دو بین یالی که این فرض با

نمی گیرد. قرار

قرار qj′ و qj راس دو بین ρ↖pi پس نیست، w(pi) پوشش تحت qj′ چون و qj ∈ w(pi) که این با توجه با

نتیجه در می گیرد. قرار w(pi) پوشش تحت qj′ ساعت، عقربه های حرکت خالف جهت در آن چرخش با و می گیرد

مطلوب زوج (pi, qj) که این فرض با است متناقض که ،i+ j′ > i+ j و است مطلوب زوج یک (pi, qj′) زوج

□ است. کامل اثبات اکنون است. i+ j ممکن مقدار بیش ترین با

٧-پوشش ارتباطاتی گراف ساخت ٢ . ۴

ارائه ٣ الگوریتم با را صفحه در P نقاط مجموعه از ۵-جزء ها از C ممکن مجموعه بزرگ ترین ساخت چگونگی

می دهیم.

٧٢

. P نقاط مجموعه از ۵-جزء ها از C ممکن مجموعه بزرگ ترین ساخت الگوریتم ٣ الگوریتمصفحه در P نقاط مجموعه ورودی:

۵-جزء ها از C ممکن مجموعه بزرگ ترین خروجی:می کنیم. تعریف را P ′ = P مجموعه و c = ∅ مجموعه :١

می کنیم تکرار را زیر مراحل :٢

به که طوری به کرده انتخاب P ′ مجموعه از حاصل واحد دیسک گراف از راس نه با l همبندی مولفه یک :٣

باشد. CE(l) ∩ CE(ci) = ∅ ،ci ∈ C هر ازایاضافه C مجموعه به را آن و کرده انتخاب ۵-جزء عنوان به را l از راس پنج ،١۶ . ١ قضیه از استفاده با :۴

می کنیم. حذف P ′ مجموعه از را ۵-جزء این رئوس و کردهیافت. P ′ مجموعه از واحد دیسک گراف در راس نه با همبندی مولفه یک بتوان که زمانی تا :۵

راس مشابه طور به ،v /∈ ci راس ،ci ∈ C هر برای اگر تنها و اگر گوییم آزاد١١ را v ∈ P راس ٧ . ۴ تعریف

راس به ۵-جزء نزدیک ترین و باشد v′ ∈ ci که طوری به ∃ci ∈ C اگر تنها و اگر گوییم داخلی١٢ راس را v′ ∈ P

می نامیم. c(v) را v ∈ P آزاد

هشت از بیش تر CE(c(v)) و v راس بین فاصله کوتاه ترین بگیرید. نظر در را v ∈ P آزاد راس ٨ . ۴ مشاهده

نیست.

C دایره خلف). (فرض باشد هشت از بیش تر CE(c(v)) و v راس بین فاصله کوتاه ترین می کنیم فرض اثبات.

متصل P مجموعه با متناظر واحد دیسک گراف که این فرض طبق بگیرید. نظر در را v مرکز با و هشت شعاع به

راس بر (عالوه راس نه حداقل شامل باید C دایره بنابراین دارد. وجود دایره از خارج به v راس از مسیر یک است،

فاصله کوتاه ترین که ساخت جدید ۵-جزء یک ،١۶ . ١ قضیه طبق راس نه این بین از می توان پس باشد، ( v ∈ P

این و است CE(c(v)) تا v ∈ P راس بین فاصله کم ترین از کم تر ۵-جزء این از حاصل محدب چندضلعی تا v

CE(c(v)) و v راس بین فاصله کوتاه ترین و است باطل خلف فرض بنابراین ،c(v) تعریف با است متناقض

□ نیست. هشت از بیش تر

مولفه یک انتخاب با ۵-جزء هر چون است، هشت حداکثر ۵-جزء یک در راس دو بین فاصله بیش ترین

است ممکن نتیجه در و است آمده دست به P مجموعه از حاصل واحد دیسک گراف از راس نه شامل همبندی

ببینید). را ٨ . ۴ (شکل باشد هشت حداکثر همبندی مولفه این از آمده دست به راس دو بین فاصله

١١Free١٢Core

٧٣

. است هشت حداکثر ۵-جزء یک در راس دو بین فاصله بیش ترین :٨ . ۴ شکل

v و u که این فرض با بگیرید. نظر در را P مجموعه از حاصل واحد دیسک گراف در (u, v) یال ٩ . ۴ مشاهده

گراف در CE(c(v)) و CE(c(u)) بین فاصله کوتاه ترین ،c(u) ̸= c(v) و هستند P مجموعه در آزاد راس دو

نمی باشد. هفده از بیش تر حاصل ارتباطاتی

حداکثر (CE(c(v)) و v) CE(c(u)) و u راس بین فاصله کوتاه ترین ٨ . ۴ مشاهده به توجه با اثبات.

داریم: بنابراین است. هشت

CE(c(v)) و CE(c(u)) بین فاصله کوتاه ترین ≤ CE(c(u)) تا u فاصله + (u, v) یال طول

+ CE(c(v)) تا v فاصله ≤ ٨ + ١ + ٨ = ١٧

هفده از بیش تر حاصل ارتباطاتی گراف در CE(c(v)) و CE(c(u)) راس دو بین فاصله کوتاه ترین نتیجه در

□ نمی باشد.

۴ . ۴ لم های اثبات طبق جهت یابی با ۵-جزء هر در ،٣ الگوریتم توسط ۵-جزء ها از C مجموعه ساخت از پس

راس هر دارد. وجود یال یک حداقل نیز ۵-جزء دو هر بین ۶ . ۴ لم طبق و هستند متصل یکدیگر به رئوس ۵ . ۴ و

می دهیم. جهت دارد خود پوشش تحت را آن که c(v) ۵-جزء از داخلی راس یک سمت به را v ∈ P آزاد

α = π/٢ جهت دار آنتن به مجهز نقطه هر که طوری به بگیرید نظر در را صفحه در نقاط از P مجموعه ١٠ . ۴ قضیه

متصل حاصل ارتباطاتی گراف که دارد وجود آنتن ها از جهت یابی یک که می دهیم نشان باشد. r = ٣٣ شعاع و

می باشد. متناظر واحد دیسک گراف به نسبت ٧-پوشش گراف یک و است

آزاد راس ،v و u رئوس اگر بگیرید. نظر در را P مجموعه با متناظر واحد دیسک گراف در (u, v) یال اثبات.

اگر و است دو راس دو این بین گام فاصله حداکثر ،۵ . ۴ و ۴ . ۴ لم های طبق باشند ۵-جزء یک عضو دو هر و نباشند

٧۴

فاصله حداکثر ۵-جزء هر در چون است، پنج آن ها بین گام فاصله حداکثر باشند، متفاوت ۵-جزء دو عضو v و u

دارد. وجود یال ۵-جزء دو بین ۶ . ۴ لم طبق و بوده دو گام

جهت دار آنتن های برای r = ١٧ شعاع بنابراین است هشت حداکثر ۵-جزء یک در راس دو بین فاصله چون

است. کافی حالت این در

است: امکان پذیر حالت دو باشند، آزاد راس v و u رئوس اگر

.c(u) = c(v) ١ حالت

بنابراین است، دو نیز ۵-جزء هر داخل گام فاصله و هستند متصل ۵-جزء به یال یک توسط یک هر v و u رئوس

است. چهار v و u رئوس بین گام فاصله حداکثر حالت این در

در فاصله بیش ترین که آن جا از و بوده هشت حداکثر c(u) تا u آزاد راس فاصله کوتاه ترین ٨ . ۴ مشاهده طبق

می باشد. r = ١۶ حالت این در جهت دار آنتن برای نیاز مورد شعاع بنابراین است، هشت نیز c(u)

.c(u) ̸= c(v) ٢ حالت

لم طبق و می شوند متصل (c(v) و c(u)) متناظر ۵-جزء های به یال یک با یک هر v و u رئوس حالت این در

بنابراین است، دو راس دو بین گام فاصله حداکثر نیز ۵-جزء هر داخل و هستند متصل یال یک با ۵-جزء دو ۶ . ۴

می باشد. هفت حداکثر v و u راس دو بین گام فاصله

۵-جزء هر در فاصله کوتاه ترین همچنین و است هفده حداکثر ٩ . ۴ مشاهده طبق ۵-جزء دو بین فاصله کوتاه ترین

بنابراین: و بوده هشت

حالت این در نیاز مورد شعاع ≤ c(u) در فاصله کوتاه ترین + c(v) و c(u) بین فاصله کوتاه ترین

+ c(v) در فاصله کوتاه ترین ≤ ٨ + ١٧ + ٨ = ٣٣

حاصل ارتباطاتی گراف که این برای α = π/٢ جهت دار آنتن های برای نیاز مورد شعاع حداقل نتیجه در

□ است. r = ٣٣ باشد، ٧-پوشش متناظر واحد دیسک گراف به نسبت و بوده متصل

٧۵

۵-پوشش ارتباطاتی گراف ساخت ٣ . ۴

نظر در را صفحه در P نقاط مجموعه با متناظر واحد دیسک گراف از (٣ الگوریتم از آمده دست (به l همبندی مولفه

به دارد وجود p صحیح عدد بنابراین باشد، برقرار CE(l) ∩CE(ci) = ∅ رابطه ci ∈ C هر ازای به که بگیرید

بین فاصله کوتاه ترین ،cj و ci ۵-جزء دو هر ازای به و نمی باشد p از کم تر CE(ci) تا CE(l) فاصله که طوری

نیست. p از کم تر نیز ۵-جزء دو

نشان D(ci) با و گوییم ci قلمرو١٣ را باشد آن ها به ۵-جزء نزدیک ترین ci ۵-جزء که نقاط از مجموعه ای

در می کنیم. انتخاب c(v) عنوان به را ci ۵-جزء می توان ،(v ∈ D(ci)) v ∈ p آزاد راس هر برای می دهیم.

می شود. مشخص ۵-جزء ها قلمرو ۴ الگوریتم

. قلمرو ساخت الگوریتم ۴ الگوریتم.٣ الگوریتم در شده ساخته ۵-جزء ها از C مجموعه ورودی:

. ۵-جزء ها قلمرو خروجی:را D(ci) = ∅ مجموعه و می نامیم o(ci) را آن مرکز و می کنیم رسم را ci ۵-جزء هر شامل دایره کوچک ترین :١

می سازیم.نباشد، x ∈ P نقطه و (∀j ̸= i) o(ci) فاصله از کم تر x نقطه و o(cj) فاصله x ∈ P نقطه هر ازای به اگر :٢

می کنیم. اضافه D(ci) مجموعه به را x ∈ P نقطه آن گاهمی کنیم: تکرار را زیر مراحل :٣

D(ci)∩D(cj) ̸= ∅ که طوری به باشد cj و ci ۵-جزء دو بین اتصال یال (u′, v′) یال که می کنیم فرض :۴

: که طوری به باشد داشته وجود (l ̸= j و l ̸= i) l صحیح عدد اگر باشد.xl = {x∈D(cl) | نباشد دو از ,′u)بیش تر v′) یال {فاصلهxو ̸= ∅

آن قلمرو به نقاط از یک (هر می کنیم منتقل D(cj) یا D(ci) به D(cl) از را xl مجموعه نقاط آن گاهباشد). داشته دیگری به نسبت کم تری فاصله آن مرکز تا که می شود منتقل ۵-جزء

نباشد. امکان پذیر جدید xl مجموعه ساختن دیگر که زمانی تا :۵

(عدد نمی باشد ١۴ + p از بیش تر o(c(v)) تا v فاصله آن گاه باشد، آزاد راس یک v ∈ P راس اگر ١١ . ۴ لم

است). ۵-جزء دو بین فاصله کم ترین p صحیح

از حاصل واحد دیسک گراف که این به توجه با بگیرید، نطر در را هشت شعاع به v مرکز به دایره اثبات.

حداقل مسیر این که دارد وجود دایره از خارج به v راس از مسیری پس می باشد، متصل صفحه در P نقاط مجموعه

،٣ الگوریتم طبق باشد، ٨ + p حداقل c(v) تا v ∈ P آزاد راس فاصله اگر دارد. (v ∈ P (شامل راس نه

١٣Domain

٧۶

نزدیک ترین c(v) که این با است مخالف این و می شود ایجاد جدید ۵-جزء یک (CE(l) ∩ CE(ci) = ∅)

می باشد. ٨ + p از کم تر c(v) تا v ∈ P آزاد راس فاصله بنابراین باشد، v راس به ۵-جزء

آزاد راس فاصله نتیجه در است. چهار حداکثر دایره این شعاع بگیرید، نظر در را c(v) شامل دایره کوچک ترین

اضافه کران این به دو حداکثر طول به برش١۴ ،۴ الگوریتم به توجه با و است ١٢ + p حداکثر c(v) تا v ∈ P

□ است. کامل اثبات اکنون می شود.

Rc ≤ ٢٨ + ٢p ،١١ . ۴ لم طبق و می دهیم نمایش Rc با را CE(D(ci)) در راس دو بین فاصله حداکثر

R′c با را D(ci) در داخلی راس یک تا D(ci) در v آزاد راس یک بین فاصله بیش ترین همچنین و می باشد

بین فاصله حداکثر همچنین و است ١۴+p حداکثر v راس تا o(c(v)) فاصله که این با توجه با که می دهیم نمایش

R′c ≤ ١٨+p بنابراین است)، چهار c(v) حاوی دایره کوچک ترین (شعاع است چهار داخلی راس یک و o(c(v))

u ∈ c(u) که طوری به بگیرید نظر در را شده اند جدا فرضی خط یک توسط که ،c(v) و c(u) ۵-جزء دو می باشد.

دارد. وجود v∗u ∈ c(v) و u∗v ∈ c(u) رئوس بین یال یک ،۶ . ۴ لم طبق باشد. v ∈ c(v) و

می دهیم: جهت زیر گام های توسط را صفحه در p نقاط مجموعه در α = π/٢ جهت دار آنتن های

تا CE(ci) بین فاصله i ̸= j ،cj و ci هر ازای به که طوری به شود تشکیل ۵-جزء ها از C مجموعه ١ گام

باشد. p حداقل CE(cj)

متناظر آنتن پوشش تحت v که گونه ای به می دهیم جهت c(v) از راس یک سمت به را v ∈ P آزاد راس هر ٢ گام

بگیرد. قرار راس آن با

و c(u) ̸= c(v) اگر واحد دیسک گراف در (u, v) یال وجود صورت در v و u آزاد راس دو هر ازای به ٣ گام

تحت را v راس ،w(u∗v) اما نباشد w(v∗u) پوشش تحت نیز تحت نیز v و نباشد w(u∗

v) پوشش تحت u راس

می دهیم. جهت w(u∗v) سمت به را v ∈ P راس با متناظر آنتن آن گاه باشد داشته پوشش

که این فرض وبا c(u) ̸= c(v) که طوری به بگیرید نظر در را واحد دیسک گراف در (u, v) یال ١٢ . ۴ مشاهده

داشته قرار w(v∗u) پوشش تحت v راس یا باشد w(u∗v) پوشش تحت u راس اگر هستند، آزاد v و u راس دو

می باشد. پنچ حداکثر v و u راس دو بین گام فاصله آن گاه باشد،

١۴Slice

٧٧

۵-جزء هر در راس دو بین گام فاصله حداکثر که این به توجه با باشد، w(u∗v) پوشش تحت u راس اگر اثبات.

می شوند متصل یال یک با نیز u∗v و u رئوس و است متصل v∗u راس به یال سه با حداکثر v راس بنابراین است دو

حداکثر مشابه طور به و است پنج حداکثر v و u راس دو بین گام فاصله بنابراین دارد، وجود یال نیز v∗u و u∗v بین و

□ می شود. ثابت نیز است w(v∗u) پوشش تحت v راس که حالتی برای گام فاصله

باشد c(u) ̸= c(v) اگر تنها و اگر گوییم احتمالی١۵ یال یک را واحد دیسک گراف در (u, v) یال ١٣ . ۴ تعریف

نامیم احتمالی راس یک را احتمالی یال یک از راس هر نباشد. برقرار ١٢ . ۴ مشاهده و ٣ گام شرایط از هیچ یک و

گوییم. احتمالی مولفه یک را است شده ساخته احتمالی رئوس از که واحد دیسک گراف در همبندی مولفه هر و

بین اتصالی یال ،(u, v) یال که این باشید. داشته نظر در را واحد دیسک گراف در (u, v) احتمالی یال ١۴ . ۴ لم

است. ممکن غیر کند قطع را α = π/٢ جهت دار آنتن به نقاط تجهیز از حاصل ارتباطاتی گراف در c(v) و c(u)

خلف). (فرض کند قطع را v∗u و u∗v راس دو بین اتصالی یال ،(c(u) ̸= c(v)) (u, v) یال کنید فرض اثبات.

هر ،۴ الگوریتم طبق نمی گیرد. قرار w(v∗u) پوشش تحت v راس همچنین و u /∈ w(u∗v) ،١٣ . ۴ تعریف طبق

چون می گیرد. قرار دو هر یا D(c(v)) یا D(c(u)) قلمرو در باشد دو حداکثر (u∗v, v

∗u) یال تا آن فاصله که راسی

دو از یکی حداقل می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون است، یک حداکثر v و u راس دو بین فاصله

باشد. w(u∗v) پوشش تحت محدوده داخل v یا u راس

(باید ١٣ . ۴ تعریف با واین می باشد v ∈ w(u∗v) پس نیست، w(u∗

v) پوشش تحت محدوده در u راس چون

□ نیست. امکان پذیر (u∗v, v

∗u) و (u, v) یال های بین تقاطع نتیجه در است. متناقض نباشد) برقرار ٣ گام شرط

می باشد. ٨۶ با برابر ،RP مقدار حداکثر که می دهیم نشان باشید. داشته نظر در را P احتمالی مولفه ١۵ . ۴ لم

با و هستند متفاوت ۵-جزء یک قلمرو عضو (u, v) احتمالی یال رئوس از یک هر ،١٣ . ۴ تعریف طبق اثبات.

کران از یک حداکثر فاصله به باید احتمالی رئوس از یک هر وجود این با دارند. قرار یکدیگر از یک حداکثر فاصله

۵-جزء). دو بین متصل یال به نزدیک ناحیه های جز (به دارد قرار متناظر ۵-جزء قلمرو

١۵Problematic

٧٨

رئوس شامل P مولفه باید باشد، مقدار این از بیش تر RP اگر می باشد، ٢٨ + ٢p حداکثر Rc مقدار چون

می دهد. نشان را حالت این از مثالی ٩ . ۴ شکل باشد. ۵-جزء چندین قلمرو از احتمالی

c۱c۲

c۳

c۴

c۵

. ۵-جزء چندین قلمرو از احتمالی رئوس شامل احتمالی مولفه :٩ . ۴ شکل

خط دو بین فاصله باشد، کوچک تر ci همسایه ۵-جزء دو کران با متناظر خطوط بین α زاویه که مقدار هر

همسایه ۵-جزء قلمرو با ci قلمرو در احتمالی رئوس اتصال و می شود بیش تر همسایه ۵-جزء دو کران با متناظر

یک کران با متناظر خط دو بین α زاویه وجود با که بیابیم را α مقدار کوچک ترین باید حال نیست. امکان پذیر

R(P ) کران محاسبه برای درحقیقت ببینید، را ١٠ . ۴ شکل باشد. امکان پذیر احتمالی راس دو بین اتصال ۵-جزء

بیابیم. را x مقدار حداکثر است کافی

۳

b

xα

o(ci′)o(ci′′)

o(ci)

a

.R(P ) کران محاسبه :١٠ . ۴ شکل

رئوسی توسط که می باشد D(ci′′) و D(ci′) قلمرو دو از احتمالی رئوس شامل P احتمالی مولفه کنید فرض

٧٩

و است سه حداکثر b ∈ D(ci′′) و a ∈ D(ci′) راس دو بین فاصله حداکثر بنابراین هستند، متصل D(ci) از

به که دارد قرار o(ci) از ١۴ + p حداکثر فاصله با ١١ . ۴ لم طبق D(ci) در b و a راس دو کننده متصل راس

حداکثر فاصله این دارند) قرار ۵-جزء دو بین اتصالی یال از دو حداقل فاصله با b و a رئوس (چون دقیق تر طور

است. ١٢ + p

داریم: مثلث ها بین تشابه با و است p ،CE(ci′′) و CE(ci′) بین فاصله کم ترین ،١ گام به توجه با

x

٣=

١٢ + p+ x

p⇒ x =

٣۶ + ٣p

p− ٣

RP باالی کران نتیجه در .(x =١١۴٢٣

< ۵) است پنج x مقدار حداکثر ١٧ . ۴ لم طبق p = ٢۶ انتخاب با

نمی کند): قطع را ۵-جزء دو بین اتصالی یال ،P از یالی هیچ که باشید داشته (توجه می باشد صورت بدین

٢(x+ ١٢ + p) = ٢x+ ٢۴ + ٢p < ٣۴ + ٢p = ٨۶·

□

و گوییم ١۶ یدکی رئوس را واحد) دیسک گراف (در D(ci) از مستقل آزاد راس پنج از مجموعه ای ١۶ . ۴ تعریف

نباشد. احتمالی راس یک با مجاور S(ci) رئوس از هیچ یک که طوری به می دهیم نمایش S(ci) با

می باشد. امکان پذیر ci ۵-جزء هر برای S(ci) ساخت باشد، p ≥ ٢۶ اگر ١٧ . ۴ لم

حداقل D(ci) کران تا CE(ci) بین فاصله بنابراین است، p حداقل ۵-جزء دو هر بین فاصله چون اثبات.

شود). کوچک دو اندازه به D(ci) کران است ممکن ،۴ الگوریتم (طبق استp

٢− ٢

که D(ci) داخل آزاد راس هر فاصله بنابراین است یک حداکثر D(ci) کران از احتمالی راس هر فاصله چون

است. دو حداقل D(ci) کران تا نیست احتمالی رئوس از هیچ یک با مجاور

p

٢− ۴ ≥ ٩ چون باشد. D(ci) از خارج به ci در داخلی راس یک از مسیر کوتاه ترین p(ci) کنید فرض

چون نیستند. احتمالی رئوس با مجاور و بوده آزاد رئوس ،p(ci) از داخلی) راس (بدون راس نه اولین پس است،

۵-جزء دو از راس دو بین فقط یال ها بنابراین است، D(ci) از خارج به داخلی راس یک از مسیر کوتاه ترین p(ci)

□ هستند. S(ci) مسیر، در راس نه این از فرد رئوس نتیجه در و دارند وجود هستند، همسایه هم با که

١۶Spare

٨٠

تعریف Q(P ) = P ∪∪

v∈P c(v) صورت به که Q(P ) ناحیه باشد، احتمالی مولفه یک P اگر ١٨ . ۴ تعریف

با: است برابر و نامیم RQ را Q(P ) در راس دو هر بین فاصله باالی کران گوییم. ١٧ احتمالی ناحیه را می شود

RQ = RP + ٢R′c = ٧٠ + ۴p p=٢۶⇒ RQ ≤ ١٧۴

داشته اگر تنها و اگر گوییم، (P ) احتمالی مولفه یک برای مطلوب١٨ ۵-جزء یک را ci ۵-جزء ١٩ . ۴ تعریف

باشیم:

١٫ ٣١RQ < CE(D(ci)) و Q(P ) بین فاصله < ١٫ ٣١RQ +R′c

که باشند داشته وجود مجموعه این از نقطه دو اگر بگیرید. نظر در را صفحه در S نقاط مجموعه ٢٠ . ۴ مشاهده

یک شامل احتمالی مولفه هر آن گاه نباشد، RQ + ١٫)٢ ٣١RQ + R′c) مقدار از کم تر نقطه دو این بین فاصله

است. Q(P ) برای مطلوب ۵-جزء

راس دو این بین فاصله که دارد وجود S مجموعه در راس دو چون بگیرید. نظر در را P احتمالی مولفه اثبات.

حداکثر Q(P ) از آن فاصله که دارد وجود w ∈ S راس یک بنابراین نیست، RQ + ١٫)٢ ٣١RQ +R′c) از کم تر

□ است. Q(P ) برای مطلوب ۵-جزء یک ،c(w) ۵-جزء باشد. ١٫ ٣١RQ +R′c

می شود. تکمیل بعدی گام دو با ٣ و ٢ و ١ گام های در α = π/٢ جهت دار آنتن های جهت یابی

جهت دار آنتن های می باشد. P مطلوب ۵-جزء ،ci که بگیرید نظر در احتمالی مولفه یک عنوان به را P ۴ گام

بپوشانند. را D(ci) قلمرو کل که می دهیم جهت طوری را P رئوس از یک هر با متناظر

ci = {v٠, v١, . . . , v۴} که است ۴ گام در احتمالی مولفه برای انتخابی مطلوب ۵-جزء یک ci کنید فرض ۵ گام

می کنیم: تعیین زیر صورت به را w(sj) جهت j = ٠, . . . , ۴ برای می باشد. S(ci) = {s٠, s١, . . . , s۴} و

متناظر احتمالی ناحیه w(sj) اگر بگیرد. قرار ρ↖vj امتداد در bis(w(sj)) که می دهیم جهت طوری را w(sj)

w(vj) و w(sj) جهت باشد، نداشته خود پوشش تحت را است کرده انتخاب ۴ گام در را ci که P احتمالی مولفه با

باشد. آزاد راس یک sj راس که طوری به می دهیم قرار قبلی جهت در را١٧Problematic Component١٨Eligible

٨١

آنتن توسط یا Q(P ) ناحیه باشد. ۴ گام در P احتمالی مولفه با متناظر ۵-جزء یک ci کنید فرض ٢١ . ۴ لم

ci در یدکی راس یک با متناظر آنتن پوشش تحت یا می گیرد قرار پوشش تحت ci داخلی رئوس از یکی با متناظر

می باشد.

Q(P ) بین فاصله مقدار همچنین و است Q(P ) ناحیه برای مطلوب ۵-جزء یک ci چون اثبات.

نقاط از هر یک در π/۴ زاویه با جهت دار آنتن دادن قرار با می باشد ١٫ ٣١RQ از بیش تر CE(D(ci)) و

داریم: مثلث ها تشابه از استفاده با و ١١ . ۴ شکل به توجه با ،(a ∈ CE(D(ci)) نقطه مثال (برای CE(D(ci))

٠٫ ٧١٫ ٣٣R(Q)

=٠٫ ٧x

⇒ x = ١٫ ٣٣R(Q)

بگیرد. قرار w(a) پوشش تحت می تواند Q(P ) ناحیه کل بنابراین

π/۴

sin(π/۴)

cos(π/۴)

۱.۳۳R(Q)

x

.Q(P ) ناحیه گرفتن قرار پوشش تحت :١١ . ۴ شکل

ناحیه می توان ١١ . ۴ شکل به توجه با نباشد ci از داخلی راس یک با متناظر آنتن یک توسط Q(P ) اگر

ناحیه نبودن پوشش تحت کامل طور به پس داد، قرار پوشش تحت α = π/۴ جهت دار آنتن یک با را Q(P )

ناحیه از π/۴ از کم تر که است گرفته قرار جهتی در α = π/٢ جهت دار آنتن که یعنی آنتن، یک توسط Q(P )

جهت دار آنتن های پوشش تحت صفحه کل چون و دارد قرار ١١ . ۴ شکل در شده داده نشان مثلث محدوده در آن

یکی چپ سمت ضلع امتداد پس می گیرد. قرار پوشش تحت آنتن دو توسط R(Q) بنابراین دارد، قرار ci جهت دار

سمت ضلع امتداد در bis(w(sj)) ،۵ گام طبق و می گذرد ١١ . ۴ شکل در شده داده نشان مثلث داخل از آنتن ها از

□ می دهد. قرار پوشش تحت را R(Q) نتیجه در و گرفته قرار آن چپ

٨٢

مجموعه با متناظر واحد دیسک گراف کنید فرض بگیرید. نظر در را صفحه در نقاط از S مجموعه ٢٢ . ۴ قضیه

ارتباطاتی گراف کنیم، مجهز r = ٧١٨ شعاع و α = π/٢ جهت دار آنتن یک به را نقطه هر باشد.اگر متصل S

قرار آنتن ها پوشش تحت نیز صفحه کل و است واحد دیسک گراف به نسبت ۵-پوشش یک و بوده متصل حاصل

می گیرد.

راس یدکی، راس است ممکن v و u رئوس از یک هر واحد دیسک گراف در (u, v) یال هر ازای به اثبات.

داریم: حالت شش جا این در که باشد عادی راس یا احتمالی

باشند. عادی راس ، دو هر v و u رئوس ١ حالت

داریم: حالت سه بنابراین باشد، آزاد یا داخلی راس یک می تواند عادی راس هر

. باشند داخلی راس ، دو هر v و u رئوس ١ . ١ حالت

می باشد. دو آن ها بین گام فاصله ۵ . ۴ و ۴ . ۴ لم های طبق باشند ۵-عضو یک عضو دو هر v و u راس دو اگر

هستند متصل یال یک با حداقل ۵-عضو دو ،۶ . ۴ لم طبق باشند متفاوت ۵-عضو دو عضو v و u راس دو اگر

است. پنج حداکثر v و u راس دو بین گام فاصله بنابراین و

باشد. آزاد v راس و باشد داخلی u راس ١ . ٢ حالت

اگر است. w(u∗v) پوشش تحت یا می گیرد قرار پوشش تحت w(v∗u) توسط نیست، احتمالی v راس چون

می باشد. پنج حداکثر v و u راس دو بین گام فاصله باشد، v ∈ w(u∗v)

. باشند آزاد راس ، دو هر v و u رئوس ١ . ٣ حالت

می باشد. پنج حداکثر v و u راس دو بین گام فاصله ١٢ . ۴ مشاهده طبق ،c(u) ̸= c(v) اگر

هر از راس دو هر بین و دارند یال ۵-جزء از راس یک به v و u رئوس از یک هر باشد، c(u) = c(v) اگر

است. چهار مورد این در v و u راس دو بین گام فاصله بنابراین می باشد، یال دو نیز ۵-جزء

باشند. احتمالی راس ، دو هر v و u رئوس ٢ حالت

٨٣

عضو ١٣ . ۴ تعریف طبق راس دو هر بنابراین دارد، وجود یال واحد دیسک گراف در v و u راس دو بین چون

راس دو هر همچنین و است یکسان راس دو هر با متناظر مطلوب ۵-جزء بنابراین و هستند احتمالی مولفه یک

فاصله حداکثر بنابراین می گیرند، قرار پوشش تحت ۵-عضو آن از یدکی) یا (داخلی راس یک توسط ،۵ گام طبق

است. دو راس دو این بین گام

باشد. عادی راس یک دیگری و احتمالی راس v و u رئوس دو از یکی ٣ حالت

داخلی) یا (آزاد عادی راس یک v راس و بوده احتمالی u راس می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون

باشد.

یا (یدکی x راس با متناظر آنتن کنید فرض ،۵ گام طبق باشد u راس با متناظر احتمالی مولفه یک P اگر

مشاهده و ٣ گام شرایط از یکی پس است، آزاد راس یک v چون دارد. پوشش تحت را Q(P ) ناحیه داخلی)

است w(u∗v) پوشش تحت راس این ،v راس برای ٣ گام شرایط برقراری با است. برقرار آن برای دو هر یا ١٢ . ۴

دارند، قرار (u, x) و (u, u∗v) یال های نیز u∗

v و u راس دو بین و می باشد یال یک v و u∗v راس دو بین بنابراین و

است. سه حداکثر مورد این در v و u راس دو بین گام فاصله پس

وجود یال حاصل ارتباطاتی گراف در u∗v و v رئوس بین باشد، برقرار v راس برای ١٢ . ۴ مشاهده شرایط اگر

این جا در v و u راس دو بین گام فاصله بنابراین دارد، قرار (u∗v, v

∗u) یال ۵-جزء دو بین این که به توجه با و دارد

می باشد. چهار حداکثر

باشد. عادی راس یک دیگری و یدکی راس v و u رئوس دو از یکی ۴ حالت

است یدکی u راس ، ۵ گام طبق است، یدکی راس یک u راس می کنیم فرض مسئله کلیت دادن دست از بدون

ناحیه و می باشد Q(P ) مطلوب ۵-جزء ،c(u) که باشد داشته وجود ۴ گام طبق P احتمالی مولفه اگر تنها و اگر

توسط u راس می باشد. c(u) در داخلی راس ،w′ کنید فرض بگیرد. قرار w(u) پوشش تحت کامل طور به Q(P )

صفحه کل ۵-جزء داخلی رئوس ،۵ . ۴ و ۴ . ۴ لم های طبق است. متصل w′ به یال دو با Q(P ) ناحیه از راس یک

می گیرد. قرار پوشش تحت c(u) داخلی رئوس از یکی توسط v راس پس دارند، خود پوشش تحت کامل طور به را

در و می باشد c(u) = c(v) بنابراین است، دو D(c(u)) کران به نسبت یدکی راس هر فاصله حداقل چون

،۵ . ۴ و ۴ . ۴ لم های طبق می دهیم. جهت دارد پوشش تحت را v راس که c(u) در راسی سمت به را w(v) نتیجه

حداکثر حالت، این در v و u راس دو بین گام فاصله نتیجه در هستند. متصل یال دو با c(u) در داخلی راس دو هر

است. پنج

٨۴

باشند. یدکی راس دو، هر v و u رئوس ۵ حالت

و نیست امکان پذیر یدکی راس دو بین یال وجود بنابراین باشند، مستقل باید یدکی رئوس ،١۶ . ۴ تعریف طبق

نیست. امکان پذیر حالت این نتیجه در است. متناقض واحد دیسک گراف در (u, v) یال وجود با حالت این

باشد. احتمالی راس یک دیگری و یدکی راس v و u رئوس دو از یکی ۶ حالت

دیسک گراف در (u, v) یال وجود با حالت این و ندارد یال احتمالی راس به یدکی راس هر ١۶ . ۴ تعریف طبق

□ نیست. امکان پذیر حالت این نتیجه در است. متناقض واحد

تمام جهته آنتن یک به مجهز نقطه هر که طوری به بگیرید نظر در را صفحه در نقاط از P مجموعه اگر ٢٣ . ۴ نتیجه

r = ٧١٨ شعاع و α = π/٢ جهت دار آنتن یک با را تمام جهته آنتن هر می توانیم که دادیم نشان بخش این در باشد،

قرار آنتن ها پوشش تحت صفحه از P مجموعه نقاط حاوی ناحیه کل که این بر عالوه تا کنیم تعویض (O(١))

باشد. متناظر واحد دیسک گراف به نسبت ۵_پوشش گراف یک و بوده متصل نیز حاصل ارتباطاتی گراف می گیرد،

٨۵

٨۶

۵ فصل

باز مسئله های و نتیجه گیری

α زاویه با جهت دار آنتن های از استفاده با بی سیم شبکه های طراحی برای جهت بدون گراف از پایان نامه این در

است. حاصل ارتباطاتی شبکه اتصال برای α زاویه کم ترین یافتن هدف، و کردیم استفاده

b

a

dc

نیست. امکان پذیر راس دو هر بین یک، گام فاصله :١ . ۵ شکل

است π/٣ باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف که این برای α زاویه کوچک ترین که دادیم نشان ،٢ فصل در

واقع جهت دار آنتن های جهت یابی برای (CH(P ) رئوس تعداد ،k) O(n log k) زمان با الگوریتمی همچنین و

تجهیز با که است زاویه ای کم ترین α = π/٢ زاویه که شد داده نشان ،٣ فصل در دادیم. ارائه P نقاط مجموعه در

در بگیرد. قرار پوشش تحت نیز صفحه کل و باشد متصل حاصل ارتباطاتی گراف ،α جهت دار آنتن های به P نقاط

r = ٧١٨ شعاع و α = π/٢ جهت دار آنتن های برای که شد ثابت و شد پرداخته گام فاصله بررسی به ۴ فصل

کمینه سازی در بخش این در است. ۵-پوشش واحد دیسک گراف به نسبت و بوده متصل حاصل ارتباطاتی گراف

این از بیش هاب، نقاط از استفاده شیوه در گام فاصله کاهش می رسد نظر به و است یافته بهبود نتایج گام، فاصله

شعاع و α = π/٢ جهت دار آنتن به (مجهز هاب نقطه چهار از کم تر نقاط تعداد انتخاب چون نباشد، امکان پذیر

فاصله نمی توان که دارد وجود حاالتی وجود این با و باشد داشته خود پوشش تحت را صفحه کل نمی تواند نامحدود)

جهت دار آنتن های از جهت یابی نمی توان ،١ . ۵ شکل در مثال برای رساند. یک به را هاب نقاط از نقطه دو بین گام

با متناظر زاویه باشد یال بخواهد b به a از اگر (چون باشد یک b و a نقطه دو بین گام فاصله که یافت α = π/٢

مسئله زیر، مسایل همچنان و است کمینه جواب این گفت نمی توان حال این با است)، π/٢ از بیش b راس در آن

هستند: باز

٨٨

به صفحه در P مجموعه نقاط تجهیز از حاصل ارتباطاتی گراف در راس دو بین گام فاصله پایین کران ١ مسئله

است؟ مقداری چه ثابت شعاع با α = π/٢ جهت دار آنتن های

ارتباطاتی گراف که طوری به P مجموعه نقاط در واقع α = π/٢ جهت دار آنتن های شعاع پایین کران ٢ مسئله

است؟ مقدار چه واحد، دیسک گراف به نسبت ۵-پوشش و بوده متصل حاصل

صفحه در P مجموعه نقاط از حاصل مختلف ساختار دو در انرژی مصرف کمینه سازی به [٢٢] مقاله در ٣ مسئله

مجهز بی سیم شبکه های برای مشابه طور به را مسئله این می توان که است شده پرداخته تمام جهته آنتن های به مجهز

کرد. بررسی ممکن زاویه کم ترین با جهت دار آنتن های به

٨٩

انگلیسی به فارسی واژه نامه

الف

Problematic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . احتمالی

Free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . آزاد

Main . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . اصلی

Omni-directional Antennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . تمام جهته آنتن های

Directional Antennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . جهت دار آنتن های

ب

Slice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . برش

Block . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . بالک

پ

Full . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پر

ت

Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . تصویر

ج

Side . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . جانبی.

خ

Clique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . خوشه

د

Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . داخلی

Spannig Tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پوشا درخت

س

Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ساده

Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . سلول

٩٠

ش

Wireless Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . بی سیم شبکه های

غ

Convex Hull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . محدب غشای

Non-Collinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . غیرخطی

ف

Hop Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . گام فاصله

ق

Law Of Sines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . سینوس ها قانون

Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . قلمرو

ک

Shortest Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مسیر کوتاه ترین

Blunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . کند

گ

Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . گراف

Symmetric Communication Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . متقارن ارتباطاتی گراف

Unit Disk Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . واحد دیسک گراف

Grid Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . شبکه ای گراف

t-Spanner Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t-پوشش گراف

م

Successor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مابعد

Predecessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ماقبل.

Independent Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مستقل مجموعه

Convex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . محدب

Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مسیر

After . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مطابق

٩١

Eligible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مطلوب

Opposite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مقابل

Points Location . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . نقاط مکان یابی

Problematic Component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . احتمالی مولفه

5-Gadget Component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ۵-جزء مولفه

Connected Component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . همبندی مولفه

ن

Non-Full . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ناپر

Hob Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . هاب نقاط

Voronoi Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ورنوی نمودار

Farthest-Point Voronoi Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . نقطه دورترین ورنوی نمودار

Bisector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . نیمساز

ه

Neighbors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . همسایه ها

ی

Spare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . یدکی

٩٢

فارسی به انگلیسی واژه نامه

A

After . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مطابق

B

Bisector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . نیمساز

Block . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . بالک

Blunt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . کند

C

Cell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . سلول

Clique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . خوشه

Connected Component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . همبندی مولفه

Convex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . محدب

Convex Hull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . محدب غشای

Core . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . داخلی

D

Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . قلمرو

E

Eligible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مطلوب

F

Farthest-Point Voronoi Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . نقطه دورترین ورنوی نمودار

٩٣

Free . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . آزاد

G

Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . گراف

Grid Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . شبکه ای گراف

5-Gadget Component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ۵-جزء مولفه

H

Hob Points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . هاب نقاط

Hop Distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . گام فاصله

I

Independent Set . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مستقل مجموعه

L

Law Of Sines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . سینوس ها قانون

M

Main . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . اصلی

N

Neighbors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . همسایه ها

Non-Collinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . غیرخطی

Non-Full . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ناپر

O

٩۴

Omni-directional Antennas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . تمام جهته آنتن های

Opposite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مقابل

P

Points Location . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . نقاط مکان یابی

Predecessor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ماقبل.

Problematic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . احتمالی

Problematic Component . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . احتمالی مولفه

Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . تصویر

S

Shortest Path . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مسیر کوتاه ترین

Side . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . جانبی

Simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ساده

Slice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . برش

Spannig Tree . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . پوشا درخت

Spare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . یدکی

Successor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . مابعد

Symmetric Communication Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . متقارن ارتباطاتی گراف

T

T-Spanner Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . t-پوشش گراف

U

Unit Disk Graph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . واحد دیسک گراف

٩۵

V

Voronoi Diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ورنوی نمودار

W

Wireless Networks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . بی سیم شبکه های

٩۶

مراجع

[1] E. Ackerman, T. Gelander, and R. Pinchasi. Ice-creams and wedge graphs. Comput.

Geom. Theory Appl., 46(3):213–218, Apr. 2013.

[2] R. Aschner and M. J. Katz. Bounded-angle spanning tree: Modeling networks with

angular constraints. CoRR, abs/1402.6096, 2014.

[3] R. Aschner, M. J. Katz, and G. Morgenstern. Symmetric connectivity with directional

antennas. CoRR, abs/1108.0492, 2011.

[4] R. Aschner, M. J. Katz, and G. Morgenstern. Symmetric connectivity with directional

antennas. Comput. Geom. Theory Appl., 46(9):1017–1026, Nov. 2013.

[5] B. Ben-Moshe, M. J. Katz, and J. S. B. Mitchell. Farthest neighbors and center points

in the presence of rectngular obstacles. In Proceedings of the Seventeenth Annual

Symposium on Computational Geometry, SCG ’01, pages 164–171, New York, NY,

USA, 2001. ACM.

[6] M. d. Berg, O. Cheong, M. v. Kreveld, and M. Overmars. Computational Geometry:

Algorithms and Applications. Springer-Verlag TELOS, Santa Clara, CA, USA, 3rd

ed. edition, 2008.

[7] P. Bose, P. Carmi, M. Damian, R. Y. Flatland, M. J. Katz, and A.Maheshwari. Switch-

ing to directional antennas with constant increase in radius and hop distance. Algo-

rithmica, 69(2):397–409, 2014.

[8] I. Caragiannis, C. Kaklamanis, and P. Kanellopoulos. Energy-efficient wireless net-

work design. Theor. Comp. Sys., 39(5):593–617, Sept. 2006.

[9] I. Caragiannis, C. Kaklamanis, E. Kranakis, D. Krizanc, and A. Wiese. Communica-

tion in wireless networks with directional antennas. In Proceedings of the Twentieth

٩٧

Annual Symposium on Parallelism in Algorithms and Architectures, SPAA ’08, pages

344–351, New York, NY, USA, 2008. ACM.

[10] P. Carmi, M. J. Katz, Z. Lotker, and A. Rosén. Connectivity guarantees for wireless

networks with directional antennas. Comput. Geom. Theory Appl., 44(9):477–485,

Nov. 2011.

[11] T. M. Chan. Optimal output-sensitive convex hull algorithms in two and three dimen-

sions. Discrete Computational Geometry, 16:361–368, 1996.

[12] A. E. F. Clementi, P. Crescenzi, P. Penna, G. Rossi, and P. Vocca. On the complexity

of computing minimum energy consumption broadcast subgraphs. In Proceedings

of the 18th Annual Symposium on Theoretical Aspects of Computer Science, STACS

’01, pages 121–131, London, UK, UK, 2001. Springer-Verlag.

[13] T. H. Cormen, C. Stein, R. L. Rivest, and C. E. Leiserson. Introduction to Algorithms.

McGraw-Hill Higher Education, 2nd edition, 2001.

[14] M. Damian and R. Y. Flatland. Spanning properties of graphs induced by directional

antennas. Discrete Math., Alg. and Appl., 5(3), 2013.

[15] S. Dobrev and M. Plžík. Improved spanners in networks with symmetric directional

antennas. In J. Gao, A. Efrat, S. P. Fekete, and Y. Zhang, editors, Algorithms for

Sensor Systems, Lecture Notes in Computer Science, pages 103–121. Springer Berlin

Heidelberg, 2015.

[16] F. Eriksson. The law of sines for tetrahedra and n -simplices. Geometriae Dedicata,

7:71–80, 1978.

[17] D. G. Kirkpatrick and R. Seidel. The ultimate planar convex hull algorithm. SIAM J.

Comput., 15(1):287–299, Feb. 1986.

[18] L. M. Kirousis, E. Kranakis, D. Krizanc, and A. Pelc. Power consumption in packet

radio networks. Theor. Comput. Sci., 243(1-2):289–305, July 2000.

[19] E. L. Lloyd, R. Liu, M. V. Marathe, R. Ramanathan, and S. S. Ravi. Algorithmic

aspects of topology control problems for ad hoc networks. Mob. Netw. Appl., 10(1-

2):19–34, Feb. 2005.

٩٨

[20] O. Morales Ponce. Connectivity of Wireless Sensor Networks Using Directional An-

tennae. PhD thesis, Ottawa, Ont., Canada, Canada, 2011. AAINR81585.

[21] W.Morris and V. Soltan. The erdős-szekeres problem on points in convex position—a

survey. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S, 37:437–458, 2000.

[22] S. Saha and L. McLauchlan. An approach to construct weighted minimum spanning

tree in wireless sensor networks. 569:69–84, 2015.

[23] L. universitet. Geografiska institutionen, S. Nordbeck, and B. Rystedt. Computer

Cartography Point in Polygon Programs. Number nos. 5-9 in Computer Cartography

Point in Polygon Programs. Royal University of Lund, Department of Geography,

1967.

[24] F. vanNijnatten. Range assignment with directional antennas. PhD thesis, Technische

Universiteit Eindhoven, 2008.

٩٩

١٠٠

Abstract

In this thesis, we study a problem related to design of wireless networks with direc-

tional antennas. We formulate the problem by a set P of n points in the plane representing

tranceivers equipped with directional antenna of angle α and range r. The coverage area

of the antenna at point p is circular sector of angle α and radius r, whose orientaion can

be adjusted, and one needs to adjust the antennas by specifying their directions, so that the

resulting (undirected) communication graphG is connected. (Two points p, q ∈ P are con-

nected by and edge inG, if and only if q lies in p’s sector and p lies in q’s sector.) We prove

that if α = π/3, then it is always possible to adjust the wedges so that G is connected.

We ask what is the smallest angle α such that for any set P of n antennas of angle α

and unbounded range, one can orient the antennas so that the induced symmetric commu-

nication graph is connected and the union of the corresponding wedges is the intire plane.

We show that the answer to this problem is α = π/2.

Consider a set P of trancievers in the plane, each eqquiped with directional antenna

of angle π/2 and radius r ∈ O(1). Assumming the unit disk graph of P is connected.

The problem is how to orient the antennas so that the resulting communicated graph is a

k-spanner of unit disk graph, while minimizing the radius used?

We provide two results: (a) 7-spanner using radius 33, and (b) 5-spanner, still using

O(1) radius.

١٠٢

Yazd University

Faculty of Mathematics

Department of Computer Science

Thesis submitted

for the degree of Master of Science

Title:

Constructing connected wireless networks usingdirectional antennas

Supervisor:

Dr. Mohammad Farshi

Advisor:

Dr. Mahdieh Hasheminezhad

By:

Saeed Zare Shehneh

February, 2015