CTD Semana 3

Ing. Victor E. Quevedo Dioses

CONECTIVIDAD Y TRANSMISION DE

DATOS

Mdulo: 1 Unidad:2 Semana:3

SEALES ALEATORIAS

PROCESOS ALEATORIOS

RUIDOS EN LAS COMUNICACIONES

ORIENTACIONES

Estimado alumno, recordando fundamentos matemticos

realizaremos un estudio de las caractersticas estadsticas

que sern utilizadas para analizar las seales de

transmisiones digitales.

CONTENIDOS TEMTICOS

Seales Aleatorias y Ruidos

Procesos Aleatorios

Funcin Q

Introduccion General

Seales Aleatorios y Procesos Aleatorios

https://prezi.com/ioo-mu1mg4s8/senales-aleatorias-procesos-aleatorios-

y-ruido-en-las-comunicaciones/

SEALES ALEATORIAS

Son aquellas que varan en forma aleatoria con el tiempo, es decir, a cada

instante asumen un valor de carcter casual, por lo tanto pueden describirse

nicamente de manera probabilstica.

Entre las seales aleatorias ms importante en las telecomunicaciones, se

hallan el ruido, las seales de voz y las seales de video, entre otros.

Ejemplo : Seales aleatorias:

0.48

0.5

n s t( )

10 t

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.5

0.25

0

0.25

0.5

t

0Ruido trmico: n(t)

Would you like to buy a fish?

Seal elctrica de la voz humana, a la salida de un micrfono:

TIPOS DE RUIDO

El ruido consiste en la superposicin de seales indeseadas a la informacin que se est transmitiendo. Existen cuatro tipos fundamentales de ruido, a saber:

1. Ruido trmico, determinado por el movimiento browniano de los electrones en los conductores, por efecto de la agitacin trmica

2. Ruido de intermodulacin (IM), producto de la presencia de medios o dispositivos no lineales que distorsionan la seal. El efecto de la no linealidad es el de producir componentes armnicas de frecuencia mltiple de la fundamental. Este efecto se produce tambin en los procesos de modulacin, cuando dos seales son multiplicadas entre s, dando origen a toda una serie de componentes de variada frecuencia. Cualquier defecto en el filtrado puede causar que algunas de estas componentes aparezca como ruido en la banda pasante de otro canal de comunicacin

3. Ruido de interferencia (crosstalk), debido al acoplamiento indeseado entre canales de comunicacin. Puede ser de tipo elctrico o magntico, o bien puede originarse por defecto de filtrado entre canales adyacentes

4. Ruido impulsivo, consiste en la aparicin de picos aleatorios y de corta duracin. Afecta esencialmente los sistemas de transmisin de datos en cuanto incrementa la tasa de error

RUIDO TRMICOSe denomina tambin ruido blanco y se

caracteriza por tener un espectro de densidad de

potencia uniforme entre 0 y

f

Espectro unilateral de densidad de potencia

0

kT

No

A partir del espectro de densidad de potencia, es posible calcular la potencia de ruido disponible N a la salida de un canal de comunicacin de ancho de banda B, a pacto que este no introduzca ruido adicional y tenga una ganancia de potencia unitaria (e ideal).

k 1.3803 1023-

J

K

constante de Boltzman

T temperatura absolutade la fuente de ruido K[ ]

CanalIdeal de ancho de

bandaB y

Ganancia 1

ReceptoracopladoN

R

Generador de ruido Blanco

f0

H(f)

1

B

N = kTB

kT

N k TW

Hz

o

El ruido blanco (tensin o corriente) es una seal aleatoria, es decir adquiere un valor casual a cada instante de tiempo. Por lo tanto no puede describirse con frmulas determinsticas, sino estadsticas. Se dice tambin que es gaussiano, puesto que su densidad de probabilidad es una curva gaussiana.

RUIDO TRMICO

Valor medio: x =

Desviacin estndar: = x -

Varianza: 2 = (x - )2

2 = x2 2x+ 2

2 = x2 2 2 + 2

2 = x2 2

P x1 x x2( )

x1

x2

xDp x( )

d

4 2 0 2 40

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

D p x( )

55- x

x1 x2

t

0

t0

RUIDO TRMICO

0

El ruido trmico es un proceso estadstico estacionario, en cuanto , , 2 no varan con el tiempo

Ejemplo de seales aleatorias no estacionarias:

Seal con valor medio variable Seal con desviaciones estndar y varianza variables

t

0

t

SEALES ERGDICASLas seales ergdicas, son aquellas para las cuales es posible intercambiar medias

temporales con medias estadsticas.

1

T to

to T

tx t( )

d x2 1

T to

to T

tx2

t( )

d

2

x2

2

x2

2

-

x2

2

2

Componente de c.c.

Potencia (normalizada) de la componente de c.c

Potencia (normalizada) total de la seal ergdica

Potencia (normalizada) de la componente alterna

Potencia (normalizada) total de la seal ergdica como suma de la potencia alterna ms la potencia de c.c.

RELACIN SEAL A RUIDO (S/N)

La relacin seal a ruido S/N es uno de los indicadores ms utilizados para determinar la calidad del canal de comunicaciones

En cualquier punto de un enlace de comunicaciones, ms que el valor de potencia de la seal en absoluto o el valor de potencia de ruido en absoluto, es importante determinar la relacin entre ellas, puesto que la calidad del enlace es mejor cuanto ms grande es este cociente, es decir cuanto ms la potencia de la seal es grande comparada con la potencia del ruido. Una seal del mismo nivel de potencia del ruido es prcticamente inutilizable.

FACTOR DE RUIDO (F)Y

CIFRA DE RUIDO (NF)

Los equipos electrnicos, especialmente los amplificadores, originan ruido, por lo tanto incrementan el nivel de ruido. Si el nivel de la seal en un punto del sistema es comparable con el de ruido, entonces la calidad de la seal se ha irremediablemente comprometido.

Ancho de banda = B

Ganancia de potencia = G (o Atenuacin = L)

Factor de ruido = F

Se

Ne = k T B

Ss= G Se

Ns = k T B G F

FN s

N e G

S e

N e

S e

k T B(S/N)e =

S s

N s

S e

N e F(S/N)s =

o tambin F(S/N)

(S/N)

e

CIFRA DE RUIDO: NFdB = 10 log ( F )

FRMULA DE FRIIS

G2F2

G1F1

L3F3

Ne Ns = kTBG1G2L3Feq

Ns = kTBGF

G

FNe = kTB

Nv

kTBG + Nv G = kTBGFNv = kTB (F-1)

kTB kTBG1F1 + kTB(F2-1) kTBG1G2F1 + kTBG2(F2-1)+kTB(F3-1)

k T B G1 G2 L3 F1 k T B G2 L3 F2 1- k T B L3 F3 1- k T B G1 G2 L3 F1F2 1-

G1

F3 1-

G1 G2

A la salida de la tercera etapa (punto 4):

Comparando con el ruido existente en este punto, es posible obtener el Feq (Frmula de Friis):

Feq F1

F2 1-

G1

F3 1-

G1 G2 ....

TEMPERATURA DE RUIDO

Ns = kTBGF

G

TNNe = kTB

Nv

kTBG + Nv G = kTBGFNv = kTB (F-1)

TN=T(F-1)Nv=kTNB

Potencia de ruido generada por el dispositivo nicamente (medida a la salida):

NsD k TN B G

Definimos: T N T F 1-( ) la Temperatura de Ruido del dispositivo

TEMPERATURA DE RUIDO

G2TN2

G1TN1

L3TN3

kTN1 Ns = kTNeqG1G2L3

kTN1G1+kTN2 kTN1G1G2+kTN2G2+kTN3

Frmula de Friis: TNeq TN1

TN2

G1

TN3

G1 G2 ....

Ruido en 1 Hz de ancho de banda

G1G2L3

TNeqkTNeq kTNeqG1G2L3

https://www.youtube.com/watch?v=6AMmParU

QO4

Aplicacin de la frmula de FriisProblema 1

Dado el esquema de bloques de la figura, determine la relacin seal a ruido al ingreso de la lnea de transmisin en dB, as como la potencia de la seal en mW.

Generador de Ruido Blanco

T = 320 K

B = 2.264 MHzSi= 0 dBm

NF1= 7 dBG1 = 20 dB

NF2= 3 dBG2 = 15 dB

So 0dbBm 20dB 15dB So 35dBm

Ni 10 log 1.38031023-

10log 320( ) 10 log 2.26 106 10log 103 Ni 110.01- dBm

F1 5.01 F2 2 G1 100

Feq F1

F2 1-

G1

Feq 5.02 NFeq 10 log Feq NFeq 7.01

No Ni 20 15 NFeq No 68- dBm

S

N

OdB

So No-S

N

OdB

103dB

So 3160 mW

Problema RU-1

Un receptor, alimentado por un amplificador de bajo ruido de ganancia

50 dB y temperatura de ruido 90 K, tiene una figura de ruido de 12 dB.

Calcule la temperatura de ruido equivalente a la entrada del sistema.

RxG=1TN2

ABRG

TN1

kTN1 kTN1G+kTN2

SYSG

TNeq

kTNeq=k(TN1+TN2/G)

Solucin

La temperatura de ruido equivalente del receptor, considerado a la temperatura ambiente de 290 K, es igual a:

TNRx 10

NFRx

101-

T0 TNRx 4.306 10

3 K

De acuerdo a la frmula de Friis, la temperatura de ruido equivalente del sistema es igual a:

TNeq TNABR

TNRx

10

GABR

10

TNeq 90.043K

Observe como el amplificador de bajo ruido determina practicamente, la temperatura de ruido del sistema, a pesar de la elevada temperatura del receptor.

Problema 2

Problema 3

La segunda configuracin produce un rudo mucho mayor que la primera, esencialmente porqu el ruido del cable es amplificado.

Teq2 6.659 103

KTeq2 Tca

Tam

lca

TIF

gam lca

Para la segunda configuracin:

Teq1 707.242KTeq1 Tam

Tca

gam

TIF

gam lca

Calculamos la temperatura de ruido del sistema a la entrada del amplificador para la primera configuracin:

Tam 120Kgam 31.623

gam 101.5

TIF 900K

Tca 4.306 103

KTca To fca 1-

fca 15.849fca1

lca

To 290Klca 0.063lca 101.2-

A partir de los valores en dB de los datos del problema, se construye una tabla con esos mismos valores pero transformados de dB a coeficientes numricos:

SolucinUn amplificador tiene una ganancia de 15 dB y una temperatura de ruido de 120 K. Se puede conectar este amplificador a la entrada del cable principal que baja de la antena para alimentar al receptor (es decir en lo alto de la torre de antena), o bien a la salida del mismo (es decir, al pi de la torre). El cable presenta 12 dB de prdidas de insercin y el receptor (amplificador / demodulador de IF) tiene una temperatura de ruido de 900K.Cul de las dos configuraciones es la ms ventajosa para la S/N?

RUISO SOBRE UNA SEAL EN MATLAB

https://www.youtube.com/watch?v=rar6b3tgdXI

TEOREMA DE PARSEVAL

http://teoremaparseval.blogspot.com/2013/

04/teorema-de-parseval.html

DENSIDAD ESPECTRAL DE POTENCIA DE

TRANSMISION DIGITAL

https://www.youtube.com/watch?v=aA490wzAgAA

PROCESOS ALEATORIOS

Los procesos aleatorios brindan buenosmodelos para fuentes de informacin y

ruido.

Para las diferentes clases deimperfecciones en la naturaleza,

determinstica como interferencias o no

determinstica como ruido los modelamos

con procesos aleatorios.

PROCESOS ALEATORIOS

Probabilidad

El concepto fundamental en cualquier modelo esel concepto de experimento aleatorio, donde por

alguna razn no es posible predecir el resultado

con certeza.

Como ejemplo podemos tomar el lanzar unamoneda, un dado o tomar una carta de una

baraja, todos son experimentos donde el

resultado es incierto.

PROCESOS ALEATORIOS

Probabilidad

Para estos ejemplos tenemos posiblesresultados como cara o sello en la moneda,o en el dado 1, 2, 3, 4, 5, 6 son posibles. Todas

estos posibles resultados son el espacio

muestra W, y cada resultado que esta en el

espacio es w

La medicin de la probabilidad P entoncesexpresara las propiedades en conjunto de los

componentes de W.

PROCESOS ALEATORIOS

Probabilidad

Entonces las probabilidades para un evento Esern:

PROCESOS ALEATORIOS

Probabilidad Condicional

Asumiendo que dos eventos E1 y E2 estn definidas en elmismo espacio de probabilidad con P(E1) y P(E2). Entonces

el observador recibe la informacin que el evento E2 ha

sucedido entonces la probabilidad de E1 dejara de ser P(E1).

De hecho la probabilidad de varios eventos cambia. Estasnuevas son probabilidades condicionales donde por

ejemplo:

PROCESOS ALEATORIOS


Si el resultado de la da:

Entonces se dice que E2 no cambia laprobabilidad de E1, entonces son

estadsticamente independientes.

Para eventos independientes entonces laprobabilidad ser:

PROCESOS ALEATORIOS


Por ejemplo.

Para un dado la probabilidad de

A = {El resultado es mayor a 3}

Es:

La probabilidad de

B={El resultado sea par}

Es:

PROCESOS ALEATORIOS


En este caso la probabilidad condicional ser:

Donde expresa la probabilidad de un numeromayor a 3 (A) sabiendo que es un numero par

(B), dando 2/3, es decir la probabilidad de un

numero mayor a 3 y par es de 66%

aproximadamente.

PROCESOS ALEATORIOS


Si el espacio muestra es dividido en partes iguales deeventos Ei, y que para un evento A tenemos probabilidades

condicionales P(A|E), entonces podemos encontrar P(A) por

el Teorema de probabilidad total

La regla de Bayes da la probabilidad condicional de P(Ei|A)

PROCESOS ALEATORIOS

Variables aleatorias

Las variables aleatorias son un mapeo delespacio de muestra W a un set de nmeros

reales.

PROCESOS ALEATORIOS


Podemos tener variables aleatorias continuas,discretas o mezcladas que se expresan sobre un

espacio limitado.

La funcion de distribucion acumulativa (CDF) deuna variable aleatoria X se define como:

De forma mas simple

PROCESOS ALEATORIOS


La CDF entonces tiene las propiedades

1. Para

2. Fx(x) no decrece

3. El limite negativo es 0 y el positivo

es 1

4. Es continua desde la derecha

5.

6. Y

PROCESOS ALEATORIOS

Variables

aleatorias

CDF continua

CDF discreta

PROCESOS ALEATORIOS


PROCESOS ALEATORIOS


La funcin de densidad de probabilidad (PDF) deuna variable X se define como la derivada de la

CDF, esto es:

Cuyas propiedades son:

Variables Importantes

Variable aleatoria de Bernoulli.

Es una variable aleatoria discreta de dos valoresuno y cero con probabilidades correspondientes

de p y 1-p.

Es un buen modelo para expresar generadoresbinarios. Por ello este es un modelos utilizado

para modelar errores de canal.


Variable aleatoria Binomial

Es una variable discreta que da los nmeros de unos en una secuencia de n pruebas independientes de Bernoulli.

Expresara el numero total de bits recibidos conerror con una secuencia de n datos transmitidos

y una probabilidad de error p.


Variable aleatoria Uniforme

Una variable continua tomando valores entre a yb con probabilidades iguales sobre intervalos de

igual duracin, la funcin de densidad es:


Variable aleatoria Gaussiana o Normal

Es una variable continua descrita por la funcin:

La variables Gaussiana es la mas encontrada ensistemas de comunicaciones por la

caracterstica del ruido trmico.


PMF (Probability Mass Function) de Bernoulli


PMF

binomial


PDF de variable uniforme


La CDF de una variable Gaussiana ser:

PDF of Gaussian

Funcin Q

La CDF de una variable Gaussiana ser:

Otra funcin muy utilizada en comunicacioneses la funcin Q(x)

dado

Es fcil ver las relaciones

La funcin Q (x) se puede verificar por la tabla

Funcin Q

Existen muchos limites sobre la funcin Q queson utilizados en sistemas de comunicaciones

sobre probabilidad de errores.

Entre ellos como limites superiores (ambos paraX0:

Por otro lado un limite comn inferior es

Funcin Q La grafica de estos limite se ve

Funcin Q

Una variable Gaussiana puede describirse comofuncin de sus dos parmetros principales: (m,

2).

En estos casos un cambio de la variable dar elresultado

Funciones de Variables Aleatorias

Una funcin de una variable aleatoria es en siotra variable aleatoria

La definicin de CDF es

Y se puede encontrar la PDF con

Funciones de Variables Aleatorias

Ejemplo: Asumiendo X una variable Gaussianacon m = 0 y = 1, encuentre la PDF de la variable

aleatoria Y dada por Y=aX+b

En este caso g(x) = ax+b entoncesg(x)=a

Solo existe una solucin:

Con esto encontramos

Y aun es una variable Gaussiana

Promedios Estadsticos

El valor esperado de una variable aleatoriaX es:

El valor esperado de Y=g(X) es

O

Promedios Estadsticos

En el caso de la funcin especial

Donde E(Y) se llama la varianza de X, lo que esla medida del esparcimiento de la funcin de

densidad de X.

La varianza es 2 y su raz cuadrada, se llamadesviacin estndar.

La relacin de varianza se puede escribir

Variables Mltiples

Siendo X y Y variables aleatorias definidassobre el mismo espacio de muestra.

Se define la CDF conjunta como

La PDF conjunta como

Variables Mltiples

Las variables cumplen:

En variables independientes PDF es

Variables Mltiples

En variables independientes la PDF es

El valor esperado de g(X,Y) es:

En el caso especial que

Obtendremos

Lo cual es llamado la correlacin de Xy Y

Variables Aleatorias Gaussiana Conjuntas

Variables Mltiples

Variables Aleatorias Gaussiana Conjuntas

Procesos aleatorios

Un proceso aleatorio es una extensin natural delconcepto de variables aleatorias cuando tratamos

con seales.

Al analizar sistemas de comunicaciones tratamos conseales variantes en el tiempo, pero asumimos

normalmente funciones determinstica, pero en muchas

situaciones esto no es valido, y es mejor modelarlas como

funciones aleatorias

Como el ruido termal proveniente del movimiento aleatoriode los electrnicos por la agitacin termal, por reflexin de

ondas de radio.

Procesos aleatorios

Un proceso aleatorio, un procesoestocstico, o una seal aleatoria puedenser analizadas en dos formas, aunque muycercanas. Una forma es ver el proceso como una coleccin

de funciones en el tiempo, o sealescorrespondientes a varios resultados de unaexperiencia aleatoria

Es decir a cada instante de tiempo t0 para cadaresultado aleatoria tenemos un numeroresultante de la variable aleatoria

A cada instante de tiempo el valor deun proceso aleatorio constituye unavariable aleatoria

Funciones

de muestreo

de un proceso

aleatorio

Procesos aleatorios

De otro modo podemos ver la seal aleatoria acada instante t1, t2, como una coleccin devariables aleatorias {X(t1), X(t2),}

De este modo el proceso aleatorio es unacoleccin de variables aleatorias, pudiendo

suceder en un instante de tiempo continuo o de

tiempo discreto.

Procesos aleatorios

Ejemplo 1

Dado el espacio de un experimento aleatorio delanzar un dado. Donde el campo es

W={1,2,3,4,5,6}

Para todo wi tenemos define elproceso aleatorio.

Entonces X(1) es una variable aleatoria que tomavalores de entre e-1, 2e-1, , 6e-1 cada uno conprobabilidad 1/6

Procesos aleatorios

Ejemplo 2

Un proceso aleatorio es definido por:

Donde T es una variable uniforme distribuida en[0,2p. En este caso entonces tenemos un tipo de

seal con variacin de fase, y puede ser descrita

analticamente por los grficos:

Procesos aleatorios

Procesos aleatorios

Ejemplo 2

Un proceso aleatorio con distribucin Gaussianaconjunta y promedio m=0 puede verse como:

Funcin de Auto-correlacion

Una funcin importante porque en sidescribe la densidad de potencia espectral

y el contenido de potencia de una larga

clase de procesos aleatorios.

Se define como Rxx(t1,t2)

De la definicin entonces se resuelve como

Funcin de Auto-correlacion

Por ejemplo de la funcin senoidal la funcin deauto-correlacion ser:

Tomando en cuenta:

Procesos Estacionarios

En los procesos aleatorios la PDF conjuntaen general depende de punto de origen en

el tiempo. Existe una clase importante la

cual es independiente del origen en el

tiempo. Este proceso es llamado procesos

estacionarios.

Un proceso es estrictamente estacionario esaquel que solo depende de las posiciones

relativas del tiempo y no los valores

directamente. Es decir shifts en el tiempo de

origen no cambian las propiedades estadsticas

del proceso.


Un proceso X(t) Wide Sense Stationary (WSS),estacionario en amplio sentido satisface:

1. Independiente del tiempo t,

2. Y Rx(t1,t2) depende solo de las

diferencias del tiempo t=t1-t2 y no deellos independientemente.

Entonces tendremos un proceso estacionariocon promedio mx y auto-correlacin Rx(t)


Para un proceso aleatorio con la seal senoidalvimos tenia promedio mx = 0 y tendr Rx(t1,t2)

Entonces el proceso es WSS

Este proceso esta cercanamenterelacionado con el llamado

cicloestacionario

Sus caractersticas no son independientes en eltiempo, pero peridicas en el tiempo.

Se define como:


Si tenemos:

Donde X(t) es un proceso aleatorio estacionariocon promedio m y autocorrelacion Rx(t).Entonces:

Se ve entonces que es peridica con T0=1/f0Entonces el proceso es cicloestacionario.


La autocorrelacion de un WSS cumplecon:

1. Rx(t) es una funcin par es decir:

2. El mximo valor absoluto sucede con t=0

3. Si para algun T0 tenemos un Rx(T0)=Rx(0) para

los enteros k, entonces Rx(kT0)=Rx(0)

Potencia y Energa

Al analizar las seales determinstica definimosdos tipos de seales

Tipo de Energa y,

Tipo de Potencia

Es posible extender el conocimiento de estos alos procesos aleatorios. Entonces para un

proceso aleatorio con funcin x(t,wi). Entoncesla energa y la potencia son:

Potencia del Espectro de una proceso

aleatorio

Si notamos al proceso estocstico X(t) y lafuncin de muestras x(t,wi). Para definir la

densidad de potencia del espectro tenemos que

delimitar la funcin de muestra:

Al delimitar la seal aseguramos que sea unaseal tipo de energa, y por lo tanto, que posea

transformada de Fourier, que expresaremos con

XTi (f)

Potencia del Espectro de una proceso

aleatorio

Por definicin la densidad espectral de energapara seales de tipo de energa es |XTi(f)|

2.

Teniendo la densidad de energa espectral sepuede definir la densidad de potencia espectral

como el promedio de la densidad de energa

espectral.

Si dejamos que T se vuelva arbitrariamente grande,podemos definir la densidad de potencia espectral para una

funcin de muestra, y la denotamos como Sxi(f).

Es obvio entonces que varias funciones de muestra danvarias Sxi(f); entonces decimos que para cada f tenemos una

variable aleatoria denotando la cantidad de potencia a esafrecuencia en cada funcin de muestra.

Entonces se define la potencia del espectro como elpromedio conjunto.

Por ejemplo:

Si tenemos X siendo una variable aleatoria dedistribucin uniforme entre [-1 1]. Entonces la

seal aleatoria truncada ser:

Entonces

Y

En este punto podemos notar que E(X2)=1/3, entonces tenemos que encontrar el limite.

Pero es la transformada de Fourier dey mientras T va al infinito, la funcin va hacia 1.

Entonces:

El resultado esta entonces:

El teorema de Wiener-Khinchin

Define a la densidad de potencia espectral de X(t) como latransformada de Fourier de la autocorrelacion Rx(t+t,t).

Entonces podemos definir que:

En un proceso estacionario la autocorrelacion se mantienefinita para todo t.

Por ejemplo:

Entonces para el proceso estacionario

Tendremos la autocorrelacin

Entonces

Entonces podemos ver que el contenido de potencia se encuentra en f0 y f0.

La densidad de potencia espectral

La densidad de potencia espectral de unproceso de suma sucedera cuando se

suman dos procesos aleatorios,

Si son procesos conjuntamente estacionariosentonces Z(t) es un proceso estacionario.

Obtendremos

Donde es equivalente a :

Si consideramos entonces que los procesosesta no correlacionados RXY(t)=0, entonces:

CONCLUSIONES Y/O ACTIVIDADES DE

INVESTIGACIN SUGERIDAS

Escriba aqu las

conclusiones y/o

actividades de

investigacin sugeridas.

GRACIAS

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