1

CONTROL I UNIDAD I CONCEPTOS BSICOS DE CONTROL. 1.1.-DEFINICIONES....3 Entrada, Salida , Planta , Sistema, Control, Sistema de Control, Linealizacin , Lazo Abierto ,Lazo Cerrado ,Sistema Lineal , Sistema No Lineal ,Variable Controlada , Variable Manipulada , Histeresis , Friccin , Linealizacin , Funcin de Transferencia , Diagramas a Bloques y Flujo de Seal. UNIDAD II MODELADOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS. 2.1.-ELECTRICOS..16 2.2.-MECANICOS: Traslacin y Rotacin.17 2.3.-HIDRULICOS...25 2.4.-NEUMTICOS27 2.5.-FUNCION DE TRANSFERENCIA Y ANALOGICAS..29 UNIDAD III ANLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO. 3.1.-DEFINICIONES32 Respuesta Transitoria, Respuesta Estacionaria, Seales de Entrada ( Impulso Unitario, Escaln Unitario, Rampa Unitaria ). 3.2.-SISTEMAS DE PRIMER ORDEN..37 3.3.-SISTEMAS DE SEGUNDO GRADO..40 3.4.-SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR..47 UNIDAD IV MODOS DE CONTROL 4.1.- MODOS DE CONTROL: On-Off ,On-Off con Brecha Diferenciada , P , I , D, P-I ,P-D , P-I-D.48 4.2.- SINTONIZACIN Y OPTIMIZACIN.54

2

UNIDAD V ESTABILIDAD 5.1.-CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ.57 5.2.-LUGAR DE LAS RAICES..60 UNIDAD VI ANLISIS DE ERROR 6.1.-ERRORES ESTTICOS Y DINMICOS...62 6.2.-SENSIBILIDAD63 TABLAS Transformadas de Laplace....64 Algebra de bloques...66 Bibliografa Ingeniera de control moderna Katsuhiko Ogata Prentice hall 4ta edicin Ing. de control analgica y digital Rina Navarro MC. Graw Hill Introduccin a la Ing. de control automtico Rodrigo vila MC Graw Hill Sistemas de Control Automtico Benjamin C. kuo ed. Prentice hall.

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UNIDAD I CONCEPTOS BSICOS DE CONTROL. 1.1.-DEFINICIONES Introduccin a los sistemas de control. El control automtico ha desempeado una funcin vital en el avance de la ingeniera y la ciencia debido a los avances en la teora y la practica del control automtico. Son muchas las reas de la industria beneficiadas como por ejemplo las reas espaciales, automotrices, mdicas, etc. Ya que ya que un desempeo optimo de los sistemas dinmicos han mejorado la productividad y aligeran la carga de muchas operaciones manuales y repetitivas. Conceptos de sistemas de control. Variable controlada: Es la cantidad o condicin que se mide y controla, por lo comn la variable controlada es la salida del sistema. Controlar significa medir el valor de la variable controlada del sistema y aplicar la variable manipulada al sistema para corregir la desviacin. Variable manipulada: Es la cantidad o condicin que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada. Sistema: Es la combinacin de componentes que actan juntos y realizan un objetivo determinado. Planta: Es el elemento fsico que se desea controlar. La planta puede ser un motor, un horno, un sistema de navegacin etc. Seal de salida: Es la variable que se desea controlar (posicin, velocidad, presin, Temp.) Tambin se le llama variable controlada.

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Unidad de control Motor V(t) E (t) Y(t)

C(t) Sensor Motor de 12 volts 1100 R/M La variable manipulada seria el voltaje por que lo manipulamos para obtener la velocidad angular. La velocidad seria la seal de salida o variable controlada. Un tacogenerador conectado con el motor o planta , el tacogenerador seria el sensor y nos detectara la variable manipulada y poder hacer la relacin por ejemplo: 0 volts = 0 R/M 6 volts = 550 R/M 12 volts = 1100 R/M Sistemas de control Sistema de control realimentado o sistema de lazo cerrado: Es un sistema que mantiene una relacin preescrita entre la salida y la entrada de referencia comparndola y usando la diferencia como medio de control. Sistema de control de lazo abierto: En estos sistemas de control la seal de salida no es monitoreada para generar una seal de control. En cualquier sistema de control de lazo abierto, la salida no se compara con la entrada de referencia. Sistemas de control en lazo cerrado en comparacin con los sistemas en lazo abierto: Como se podr observar en las definiciones el control de lazo cerrado nos da en nuestra planta un comportamiento automtico, sin necesidad de un operador humano. En cambio, en un sistema de lazo abierto, todo el proceso de control se hace en base a un operador humano, toda operacin es manual. Seal de referencia: Es el valor que se desea que alcanc la seal de salida.

K Planta

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Error: Es la diferencia entre la seal de referencia y la seal de salida real. Seal de control: Es la seal que produce el controlador para modificar la variable controlada de tal forma que se disminuye o elimine el error. Perturbacin: Es una seal que tiende a afectar la salida del sistema desvindola del valor deseado. Control realimentado: Se refiere a una operacin que en presencia de perturbaciones, tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo contina haciendo en base a esta diferencia. Ejemplo de lazo abierto:

Ejemplo de control de lazo cerrado:

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Diagrama a bloques Nivel deseado

Sistemas lineales Un sistema lineal se define como aquel cuyo comportamiento puede describirse con un conjunto de ecuaciones diferenciales lineales ordinarios de primer orden. Tambin se denomina lineal si se aplica el principio de superposicin Principio de superposicin: Este principio establece que la respuesta producida por la aplicacin simultanea de 2 funciones de excitacin o entradas diferentes, es la suma de 2 respuestas individuales.

Sistema de control invariante en el tiempo: Es un sistema de control de coeficientes constantes, es aquel en el que los parmetros no varan en el tiempo. La respuesta del sistema es independiente del tiempo en el que se aplica la entrada. Se refiere al controlador, debe de tener una condicin la entrada con el controlador deben ser iguales esta en sincrona. Sistema de control variante en el tiempo: Es aquel en el cual los parmetros varan con el tiempo, su respuesta dependen del tiempo en el que se aplica una entrada. Sistemas dinmicos: Es aquel si su salida en el presente depende de una entrada en el pasado. Sistema esttico: Es aquel si su salida en curso depende solamente de la entrada en curso.

Controlador Vlvula neumtica

Flotador

Nivel de agua Tanque de agua

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Sensoru(t)

y(t) c(t) e(t) r(t) K Planta

Diferencias entre sistema dinmico y sistema esttico: La salida de un sistema esttico permanece constante si la entrada no cambia, cambia solo cuando la entrada cambia. En el sistema dinmico la salida cambia con el tiempo cuando no esta en su estado de equilibrio. Modelo matemtico de sistemas lineales. Introduccin: Un modelo matemtico de un sistema dinmico, se define como un conjunto de ecuaciones que presentan la dinmica del sistema. Un modelo matemtico no es nico para un sistema determinado; Puede representarse en muchas formas diferentes, por lo que puede tener muchos modelos matemticos. Funcin de transferencia: La funcin de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuacin diferencial lineal e invariante en el tiempo se define como: El cociente entre la transformada de Laplace de salida (Funcin respuesta) y la transformada de Laplace de la entrada (Funcin de excitacin) cuando las condiciones iniciales son cero.

F.T = G(s) = ( )( ) nsn

ns

ns

msmms

ms

s

s

Entrada

Salida

aaaabbbb

xy

LL

++++++++

=

1)1(

1)(

0

1)1(

1)(

0

)(

)(

0 ..........

A partir de la F.T, es posible representar la dinmica de un sistema mediante funciones algebraicas en S. Si la potencia ms alta de S en el denominador de la funcin de transferencia es igual a n, el sistema se denomina de n-esimo orden. Sistema en el dominio de tiempo (ec. dif.)

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SensorU(s)

Y(s) C(s) E(s) R(s) K Planta

r(t) = seal set point referencia e(t) = seal error c(t) = seal de control y(t) = seal de salida u(t) = seal del sensor Sistema en el dominio de la frecuencia. (Funcin transferencia) Diagrama a bloques Un diagrama a bloques de un sistema, es una representacion grafica de las funciones que lleva acabo cada componente, as como tambin el flujo de seales. Estos diagramas muestran las relaciones existentes entre los diversos componentes. A diferencia de la representacin matemtica abstracta, un diagrama a bloques tiene la ventaja de indicar en forma ms realista el flujo de las seales del sistema real. En diagrama a bloques se enlazan una con otra todas las variables de sistema, mediante bloques funcionales. Un bloque funcional o bloque, es un smbolo para representar la operacin matemtica que sobre la seal de entrada hace el bloque para producir la salida. Las funciones de transferencia de los componentes por lo general se introducen en bloques correspondientes, que se conectan mediante flechas para indicar la direccin de flujo de seal.

Bloque funcional Bloque

- Observe la punta de flecha que seala al bloque; que indica la entrada y la punta de flecha que se aleja del bloque representa la salida. Las flechas se les llama seales. Las ventajas de la representacin mediante diagrama a bloques de un sistema estriban en que es muy fcil de formar el diagrama a bloques general de todo el sistema, con solo conectar los bloques de los componentes de acuerdo con el flujo de seales y que es posible evaluar la contribucin de cada componente al desempeo general del sistema.

F.T G(s)

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C(s)

C(s)

Simbologa:

Bloque bloque funcional.

Entrada Salida (seal) (seal)

Punto suma diferencia: Es un crculo con una cruz, es el smbolo que indica una operacin de suma. El signo (+) (-) en cada punta de la flecha indica si la seal debe sumarse restarse. Es importante que las cantidades que se sumen o resten tengan misma direcciones o unidades.

Punto de ramificacin: Es aquel a partir del cual, la seal de un bloque va de modo concurrente a otros bloques punto suma.

Tipos de conexiones en bloques:

Conexiones serie

Estos bloques se multiplican

F.T = XZ = G1(s) G2(s)

X(s) Z(s) G2(s)

Y(s)G1(s)

G1(s) G2(s) X(s) Z(s)

G(s)

b

a-b a

10

G1(s) X(s) Y(s)

G2(s)

Conexiones paralelos:

+

+

Estos bloques se suman

Regla de transformacin

Sistema original Sistema equivalente

1 Conexin en serie

2 Conexin en paralelo

3 Retroalimentacin (negativo positivo)

4 Mover el punto de separacin despus de un bloque

5 Mover el punto de separacin antes de un bloque

b

b

G a

G

b

b

Ga

G

aG1

b a

a

Ga b

G

Hb

b

GH1G

a b

G1+G2 a b

G1(s)+G2(s) X Y

a G1 G2

bG1G2

a b

G1

G2

a b

11

6 Mover el comparador antes de un bloque

7 Mover el comparador despus de un bloque

8 Cambiar el orden del comparador

Sistemas bsicos: son 2 los importantes C(s) = E(s) G(s) E(s) = R(s)-C(s)

C(s) = E(s) G(s) E(s) = R(s)-B(s) B(s) = C(s) H(s)

B(s)

C(s) E(s) R(s) G(s)

H(s)

c

b

aa+b-c

a+b-c

b

c

a c a a+b-c

b

b

G c

b

a

G1

Ga

b

c

G

G

a

b

c G

b

ca

C(s) E(s) R(s) G(s)

12

Obtener la F.T del bloque (1)

F.T = in

outRC

s

s =)(

)(

C(s) = E(s) G(s)1 E(s) = R(s)-C(s)2 Sustituir la funcin 2 en 1 C(s) = [R(s)-C(s)] G(s) C(s) = R(s)G(s)-C(s)G(s) C(s) + C(s)G(s) = R(s)G(s) C(s) [1+G(s)] = R(s)G(s)

)1( )()(

)(

)(

s

s

s

s

GG

RC

+= Funcin de transferencia del modelo bsico

Obtener, encontrar la F.T

F.T = )(

)(

s

s

RC

C(s) = E(s) G(s) 1 E(s) = R(s)-B(s) 2 B(s) = C(s) H(s)3 La ec. 3 sustituir en ec. 2 E(s) = R(s) [C(s)H(s)] Sustituir la ec. 2 en ec. 1 C(s) = [R(s)-C(s)H(s)] G(s) C(s) = R(s)G(s)-C(s)H(s)G(s)

C(s) E(s) R(s) G(s)

B(s)

C(s) E(s) R(s) G(s)

H(s)

13

C(s) + C(s)H(s)G(s) = R(s)G(s) C(s) [1+H(s)G(s)] = R(s)G(s)

]1[ )()()(

)(

)(

ss

s

s

s

GHG

RC

+= F.T

Reduccin de diagrama a bloques. Es importante sealar que los bloques pueden conectarse en serie solo si la entrada de un bloque no se ve afectada por el siguiente bloque. Si hay efectos de carga entre los componentes es necesario combinarlos en un bloque nico. Cualquier cantidad de bloques en cascada que represente componentes sin carga pueden sustituirse con un solo bloque cuya funcin de transferencia sea simplemente el producto de las funcin de transferencia individuales, un diagrama de bloques complicado que contenga muchos lazos de realimentacin se simplifican mediante un reordenamiento paso a paso mediante las reglas de algebra de bloques de los diagramas a bloques. La simplificacin de un diagrama a bloques mediante reordenamiento y sustituciones reduce de manera considerable la labor necesaria para el anlisis matemtico subsecuente. Sin embargo, debe sealarse que conforme se simplifica el diagrama a bloques, las funciones de transferencia de los bloques nuevos se vuelven ms complejas debido a que se generan polos y ceros nuevos. Al simplificar un diagrama a bloques recuerde lo siguiente: 1.- El producto de las funciones de transferencia en la direccin de la trayectoria directa debe ser el mismo. 2.- El producto de las funciones de transferencia alrededor del lazo debe ser el mismo.

Aplicamos reglas de algebra DAB hacemos que se pase al otro lado.

C(s) R(s) G1

H1

G2 G3

H2

14

C(s) R(s) G1G2G3 1-H1G1G2

H2/G1

C(s) R(s) G1G2 1-H1G1G2

G3

H2/G1

C(s) R(s) G1G2

H1

G3

H2/G1

C(s) R(s) G1

H1

G2 G3

H2/G1

15

( )

( )( )( ) 322211

321

322211211

211321

211

322211

211

321

211

322

211

321

2111

3221

211

321

211

321

1

2

211

321

1111

11

1

11

1

11

1

11

1

GGHGGHGGG

GGHGGHGGHGGHGGG

GGHGGHGGH

GGHGGG

GGHGGHGGH

GGG

GGHGGGHG

GGHGGG

GGHGGG

GH

GGHGGG

+=

+

=

+

=

=

+

=

+

=

+

Modelo bsico )1( )(

)(

)(

)(

s

s

s

s

GG

RC

+=

322211

321322211

322211

321

322211

321

322211

321

)(

)(

11

1

11

1

GGHGGHGGGGGHGGH

GGHGGHGGG

GGHGGHGGG

GGHGGHGGG

RC

s

s

+++

+=

++

+=

( )

( )( )321322211322211322211321

)(

)(

111

GGGGGHGGHGGHGGHGGHGGHGGG

RC

s

s

++++

=

321322211

321

)(

)(

1 GGGGGHGGHGGG

RC

s

s

++=

C(s) R(s) G1G2G3 1-H1G1G2+H1G1G2

C(s) R(s) G(s)

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UNIDAD II MODELADOS MATEMATICOS DE SISTEMAS FISICOS. Sistemas dinmicos Son aquellos sistemas fsicos no estticos y que siempre nos representa variables, por ejemplo: sistemas elctricos electrnicos, el movimiento de los electrones (relacin voltaje corriente); sistemas mecnicos, engranes, bandas, poleas, etc.; en los sistemas hidrulicos, movimiento de fluidos a travs de un control de flujo o recipientes. En la mayora de los sistemas de control contienen componentes tanto mecnicos como elctricos, aunque algunos sistemas tienen elementos neumticos e hidrulicos. Desde el punto de vista matemtico, la descripcin de los elementos mecnicos y elctricos son anlogos, de hecho se puede demostrar, que dado un dispositivo elctrico normalmente existe una contraparte matemtica-mecnica, anloga y viceversa. 2.1.- ELCTRICOS Sistema elctrico

Obtener F.T

)()(

sIsV

i

Ecuacin diferencial:

)()()( 0 tItItI Ci +=

)()()( 0 tItItI iC =

)()()( 0 tItIdttdVC i = (1)

RtVtI )()(0 = (2)

Ecuacin Laplace:

)()()( 0 sIsIsCSV i =

Ic Ii(t) RV(t)

I0(t) Ii(t)

17

RsVsI )()(0 =

Sustituir I0(s)

RsVsIsCSV i)()()( =

)()()( sIRsVsCSV i=+

)(1)( sIR

CSsV i=

+

+

=

RCSsI

sVi 1

1)()(

2.2.- MECNICOS: TRASLACIN Y ROTACIN. Sistemas mecnicos Movimiento de traslacin: Se define como un movimiento que toma lugar a lo largo de una lnea recta, sus variables son la aceleracin, desplazamiento y la velocidad, donde la segunda ley de Newton establece:

F = m a F = m a Masa: Es la propiedad de un elemento de almacenar energa cintica del movimiento de traslacin, como comentario podemos decir que la masa es anloga a la inductancia en un circuito elctrico. Si w = peso del cuerpo

gwm =

Donde g: es la aceleracin de la cada libre de un cuerpo debido a la gravedad g = 9.80 m/seg2

Unidades Masa (m) Aceleracin Fuerza S.I. Kilogramos (Kg.) m/s2 Newton (N)

Britnicas slug pies/s2 Libra (lb-fza) Resorte lineal: Es considerado como un modelo de resorte real o como una banda o cable. Es un elemento que almacena energa potencial (es la energa que tienen los cuerpos capaces

18

de realizar un trabajo mecnico debido a la posicin que ocupa dentro de un campo de fuerza); es anlogo al capacitor en un circuito elctrico. El comportamiento de un resorte con deformacin pequea se aproxima a la relacin:

F(t) = K y(t) Donde K = constante de resorte (rigidez)

Unidades Cte. de resorte KS.I. N/m

Britnicas Lb/pies

f(t) = K y(t) Esta ecuacin implica que la fuerza que acta en el resorte directamente proporcional (deformacin) del resorte.

Sistema fuerza - resorte Si el resorte es precargado con una tensin (T), la ecuacin:

f(t) T = K y(t)

K

y(t)

F(t)

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Relacin Fza.-Velocidad, Fza.-desplazamiento e Impedancia para resorte masa, amortiguador traslacional.

Componente Fuerza-velocidad Fuerza-desplazamiento

Impedancia

)()()( sX

sFsZm =

Resorte

=t

dttVKtf0

)()( )()( tKxtf = K

Amortiguador

b = f v b = coeficiente de friccin viscosa

)()( tbVtf = dt

tdxbtf )()( = bs

B = friccin

Masa

dttdV

mtf)(

)( = 22 )()(dt

txdmtf = ms2

Podemos observar entonces que el resorte es anlogo al capacitor, el amortiguador es anlogo a la resistencia y la masa es anloga al inductor. En consecuencia sumar fuerzas escritas en trminos de velocidad es anlogo a sumar voltajes escritos en trminos de corriente y las ecuaciones diferenciales mecnicas resultantes son anlogas a las ecuaciones de malla. Si las fuerzas se escriben en trminos de desplazamiento, las ecuaciones resultantes se asemejan pero no son anlogas a las ecuaciones de malla. El sistema mecnico solo requiere de una ecuacin diferencial, llamada ecuacin del movimiento, para poder describirlo, empezaremos por su poner una direccin positiva de movimiento, por ejemplo a la derecha. Esta supuesta direccin positiva de movimiento es semejante a suponer una direccin de corriente en un circuito elctrico. Mediante el uso de nuestra direccin supuesta de movimiento positiva, primero dibujamos un diagrama de cuerpo libre colocando en el cuerpo todas las fuerzas que actan sobre este, ya sea en direccin de movimiento o en sentido opuesto a este, a

f(t)

x(t)

f(t)

x(t)

f(t)

x(t)

m

20

f(t)

m

K

X(t) b

f(t)

m

K

X(t) b

fm

K

b

K y b son directamente proporcionales

continuacin usamos la ley de Newton para formar una ecuacin diferencial, al sumar las fuerzas y hacer las sumas igual a cero, suponiendo condiciones iniciales a cero, posteriormente convertimos estas ecuaciones a Laplace para obtener la funcin de transferencia. Modelo mecnico masa-resorte-amortiguador

f = fuerza aplicada k = constante del resorte m = masa del cuerpo b = coeficiente del amortiguador (friccin viscosa) x = desplazamiento

Si aplicamos la 2da derivada del desplazamiento (x)

nos da la aceleracin (a). Si aplico la 1ra derivada al desplazamiento (x) nos da

la velocidad (v). K(x)b(v)maF ++=

Diagrama cuerpo libre Obtener la F.T. La fuerza esta en funcin del desplazamiento

Entrada: la fuerza aplicada F(s) Salida: el resultado del desplazamiento X(s)

)()(F.T

sFsX

=

KXb(v)maF ++=

Ecuacin diferencial:

)()()()(2

tKXdt

tdxVdt

txdmtf ++=

Ecuacin en Laplace

21

KX(s)bSX(s)sXmSsF ++= )()( 2

( )KbSmSsXsF ++= 2)()(

KbSmSsFsX

++= 2

1)()( Funcin de transferencia.

Movimiento de rotacin Se define como el movimiento alrededor de un eje fijo. La ley de Newton para el movimiento de rotacin establece:

Fuerzas = J J = Inercia = aceleracin angular

Las otras variables que se usan generalmente para describir el movimiento de rotacin son: par (T) torsin y la velocidad angular (W) as como el desplazamiento angular (). Inercia: la inercia (J) se considera a la propiedad de un elemento de almacenar energa cintica de movimiento de rotacin. La inercia de un elemento dado, depende de la composicin geomtrica alrededor del eje de rotacin y su densidad. Por ejemplo la inercia de un disco circular eje alrededor de su eje geomtrico esta dado por:

J = m r2 Cuando un par es aplicado a un cuerpo con inercia J, como se muestra en la figura:

dt

tdJtJtT )()()(2

==

Sistema par-inercia

En donde: (t) = Desplazamiento angular W(t) = Velocidad angular (t) = Aceleracin angular

Unidades Inercia Par-Torsin Desplazamiento Angular S.I. Kg-m2 N-m rad

(t) T(t)

J

22

Conversin entre movimientos de traslacin y rotacin. En sistemas de control de movimiento a menudo casi siempre es necesario convertir movimiento de rotacin en movimiento de traslacin. Por ejemplo, una carga (peso) se puede controlar para que se mueva a lo largo de una lnea recta mediante un motor giratorio junto con un tornillo sin fin.

2

2

=

L

gWJ

W = Peso del cuerpo L = Distancia lineal que viaja el peso por las revoluciones/min. g = Aceleracin de la gravedad

Sistema de control de movimiento rotatorio a lineal (tornillo sin fin) Sistema de control cremallera pin

22 rg

WmrJ ==

Trenes de engranes, palancas mecnicas, bandas Un tren de engrane, una palanca o una banda sobre una polea son dispositivos mecnicos que transmiten energa desde una parte del sistema a otro en forma tal que se alteran la fuerza, el par torsin, la velocidad y el desplazamiento. Estos dispositivos considerados de acoplamiento son empleados para lograr la mxima transferencia de potencia.

Engrane recto

X(t) T(t) (t)

Motor W

Tornillo sin fin

r

X(t)

T(t)

(t)

W

Engrane recto cremallera

Pin

Motor de manejo

T11

N2

N1

T22

23

La unin de engrane-engrane produce ms potencia, que un mecanismo de una polea a un engrane. En este tren de engranes se presentan 2 engranes acoplados en este caso la friccin y la inercia son despreciables. Las relaciones entre los pares T1 y T2, los desplazamientos angulares 1 y 2 as como los nmeros de dientes N1 y N2, se obtiene los siguiente: 1.- El numero de dientes sobre la superficie de los engranes es proporcional a los r1 y r2 delos engranes, esto es:

R1N2 = R2N1 2.- La distancia sobre la superficie que viaja cada engrane es la misma, por tanto:

1r2 = 2r1

3.- El trabajo realizado de un engrane es igual al que realiza otro ya que se supone no hay perdidas.

T11 = T21 En la practica los engranes, trenes, inercia y friccin entre los dientes de loe engranes acoplados que no se pueden despreciar. En la prctica no se desprecia la friccin y temperatura. Bandas y poleas Las bandas y poleas sirven para el mismo propsito que el tren de engranes, excepto que permiten transferencia de energa sobre una distancia mayor sin utilizar un numero excesivo de engranes.

Los mecanismos son piezas cilndricas de material slido con ranuras simtricas a su alrededor. Los engranajes transmiten un movimiento giratorio de un eje a otro. Engranaje recto: Se emplean para conectar rboles cuyos ejes son paralelos.

r1

T11 T22

r2

24

Funciones de transferencia en sistema mecnico rotacional Los sistemas mecnicos rotacionales se manejan en la misma forma que los sistemas mecnicos traslacionales, excepto que un par sustituye a la fuerza y un desplazamiento angular sustituye al desplazamiento lineal. Los componentes mecnicos para los sistemas rotacionales son los mismos que para los sistemas traslacionales, salvo que los componentes experimentan rotacin en lugar de traslacin.

Componentes Par-velocidad angular Par-desplazamiento

angular Impedancia

Zm=T(s)/(s)

Resorte

= dttWKtT )()( )()( tKtT = K

Amortiguador

)()( tDWtT = dt

tdDtT )()( = Ds

Inercia

dttdWJtT )()( =

dttdJtT )()(

2= Js2

Unidades del sistema mecnico rotacional T(t) = N-m (Newton metros) (t) = Desplazamiento angular rad (radianes) W(t) = Velocidad angular (rad/seg) K = Constante del resorte (N m/rad) D = Coeficiente del amortiguador rotacional (N m s/rad) I = Inercia (momento de) (Kg-m2)

J

T(t) (t)

(t) T(t)

(t) T(t)

K

25

2.3.- HIDRULICOS Sistema dinmico hidrulico (nivel de lquido) Flujo laminar: Es cuando las capas adyacentes del fluido viscoso fluyen en forma suave una sobre otra y permanece una lnea de corriente de flujo estable. Flujo turbulento: Es cuando cambia el flujo laminar a un movimiento irregular y aleatoria del fluido. Sistema hidrulico

q = Flujo h = Nivel de liquido o altura C = Capacidad del tanque R = Vlvula o resistencia al flujo

Hidrulico Hidrulico

q = Flujo h = Nivel C = Capacidad R = Vlvula

Sistema hidrulico

Obtener la F.T

)()(

sQsH

i

Analoga

dttdvCtic )()( =

h q R

q0()

R

h

qi()

C

R

q0() h

qi()

C

26

Ecuacin diferencial:

ddhCqqi

)()()( 0 = (1)

Rhq )()(0

= (2)

Ecuacin Laplace:

)()()( 0 sCSHsQsQi =

RsHQ )()(0 =

Sustituir Q0(s)

)()()( sCSHR

sHsQi =

RsHsCSHsQi)()()( +=

+=

RCSsHsQi

1)()(

+

=

11

1

11

)()(

RSC

sQsH

i

27

2.4.- NEUMTICOS

28

29

f(t)

m

K

V(t)

+

+

2.5.- FUNCIN DE TRANSFERENCIA Y ANALOGAS. Analoga de sistema elctrico-mecnico. Como hemos visto ya, los sistemas mecnicos pueden representarse por circuitos elctricos equivalentes. Existe similitud en las leyes de Kirchoff para sistemas elctricos y las ecuaciones de movimiento de los sistemas mecnicos. Veamos el anlisis comparativo de un circuito elctrico analizado en malla, que nos da un circuito anlogo-serie.

Analoga Mecnica Elctrica

(m) Masa (L) Inductor (K) Resorte (C) Capacitor (b) Amortiguador (R) Resistencia

Sistema mecnico

La fuerza esta en funcin de la velocidad.

Obtener la F.T

)()(

sFsV

Ecuacin diferencial:

)()()()( tbVdt

tdVmtVKtf ++= Ecuacin en Laplace

bV(s)smSVS

V(s)KsF ++= )()(

++= bmS

SKsVsF )()(

++

=bmS

SKsF

sV 1)()(

30

f(t)

m

K

X(t) b

Sistema elctrico

El voltaje en funcin de la corriente

Obtener la F.T

)()(

tEsI

Ecuacin diferencial:

)()()(1)( tRidt

tdiLdttiC

te ++= Ecuacin en Laplace

RI(s)sSLISCI(s)sE ++= )()(

++= RSL

SCsIsE 1)()(

++

=RSL

SCsEsI

11

)()(

Sistema mecnico.

La fuerza en funcin del desplazamiento.

Obtener la F.T

)()(

sFsX

Ecuacin diferencial:

dttdXb

dttXdmtKXtf )()()()(

2

++=

C

RL

e(t) i(t)

31

Ecuacin Laplace

bSX(s)sXmSKX(s)sF ++= )()( 2

[ ]bSmSKsXsF ++= 2)()(

bSmSKsFsX

++= 2

1)()(

Sistema elctrico

El voltaje en funcin de la carga.

Obtener la F.T

)()(

tEsQ

Ecuacin diferencial:

dttqdL

dttdqRtq

Cte )()()(1)(

2

++=

Ecuacin en Laplace

Q(s)LSsRSQsCQsE 2)()()( ++=

++= 2

1)()( LSRSC

sQsE

++

=21

1)()(

LSRSC

sEsQ

En los movimientos mecnicos el nmero de ecuaciones de movimiento necesarias, es igual al nmero de movimientos linealmente independientes. La independencia lineal implica que en un punto de movimiento de un sistema todava se pueda mover si todos los otros puntos de movimiento se mantienen inmviles. Otro nombre para el nmero de movimientos linealmente independiente es el nmero de grados de libertad. Este anlisis no implica que estos movimientos no estn acoplados entre si; en general lo estn.

C

RL

e(t) q(t) q(t)

q(t)

32

UNIDAD III ANLISIS DE RESPUESTA EN EL TIEMPO. 3.1.- ANALISIS A LA RESPUESTA TRANSITORIA. En esta unidad nos enfocaremos a la respuesta de los sistemas debido a una seal de entra conocida la cual puede ser:

f(t) F(t)

Impulso (t) 1

Escaln unitario (t) ? S1

Rampa t 21S

Exponencial e-at aS +

1

En la unidad anterior cmo se recordara se llego a la F.T por diferentes mtodos (alg bloques, grafico de flujo) con esto pudimos llegar a la F.T de los sistemas fsicos sin importar que voltaje de entrada tenia dicho sistema, ahora nuestro sistema tendr un voltaje de entrada conocido aplicado, por ejemplo:

110

+=

RSCVV

i

t

RV0

Vi

33

Vamos a dejar al operador S solo, para eso dividimos numerador y denominador entre RC.

F.T1

1

1

1

1

1

110 =

+=

+=

+=

+=

RCS

RC

RCRCRCS

RC

RCRCS

RCRCRC

RSCVV

i

Si aplicamos un S

tVi1)( = =

despejamos V0 = Vi [F.T]

+

=

+=

RCSS

RC

RCS

RCS

V1

1

1

11

0

Pero antes, veamos la definicin de la respuesta transitoria. Para la mayora de los sistemas de control, la evaluacin final del desempeo del sistema se basa en la respuesta al tiempo.

Respuesta transitoria

Es la parte de la respuesta que se hace cero cuando el tiempo tiende a infinito

Respuesta en el tiempo del sistema de control Respuesta en estado

estable

Es la parte de la respuesta total que permanece despus de que la respuesta transitoria se ha desvanecido.

Todos los sistemas de control presentan un fenmeno transitorio antes de alcanzar la

respuesta de estado estable. La respuesta transitoria es importante ya que es una parte significativa del

comportamiento dinmico del sistema y la desviacin entre la respuesta de salida y la entrada se debe controlar antes de alcanzar el estado estable.

La respuesta de estado estable es importante, ya que indica en donde termina la

salida cuando el tiempo se hace grande. Error de estado estable: si la salida no coincide exactamente con la referencia

deseada, se dice que el sistema tiene un error de estado estable.

34

(t) = yt(t) + yss(t) Respuesta Estado Transitoria estable Pregunta: Cul es el propsito de un sistema control en el dominio del tiempo? Respuesta: Es llegar lo antes posible a la respuesta de estado estable lo ms rpido y reducir la respuesta transitoria. Repaso de matemticas transformada de Laplace Fracc. Parciales - Polos distintos - Polos mltiples - Polos complejos conjugados Polos distintos

( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) =++

+++=

+++++

=+

++

=++

+=

212

2112

21213)(1

SSBBSAAS

SSSBSA

SB

SA

SSSsLf

[ ] [ ]

( )( )212++

+++=

SSBABAS

Comparamos A + B =1 2A+ B =3 Sacar valor de A 2A + B = 3 A + B = 1 A + 0 = 2 A = 2 Sacar valor de B A + B = 1

yss(t)

Respuesta transitoria

Estado estable

35

2 + B = 1 B = 1 - 2 B = -1

21

12

21

12

)(1

+

+=

+

++

=SSSS

L sf

21

12 11

)(1

+

+=

SL

SLL sf

Comparamos en la tabla

21

12 11

)(1

+

+=

SL

SLL sf

tt eetf 22)( =

Polos mltiples

( ) ( )( )[ ] [ ]

( ) =++

=

++=

+=

111

1122

2

2

22

2

)(1

SSCSSBSSA

SC

SB

SA

SSSSL sf

( )( ) ( )

( )11 22

2

22

+++=

+++

SSBABSCAS

SSCSBBSASAS

A + C = 1 B A = 2 -B = -2 B = 2 B A = 2 2 A = 2 -A = 2 2 A = 0 A + C = 1 C = 1

( )1120

2)(1

++=

SSSL sf

( ) ( )1112

1120 1

211

211

)(1

+=

++=

SL

SL

SL

SL

SLL sf

Tabla

36

( )1112 12

1)(

1

=

SL

SLL sf

tettf += 2)(

Polos complejos conjugados Lo identificamos con un S2 multiplicando en los polos.

( ) ( )443

424)( 22

2

22

22

++

=+

++=

SSS

SSSSsF

( )( )[ ] [ ] [ ]

( ) =++++++=

++++=

++=

444

4443)( 22

222

2222

21

SSSDCSSBSSA

SDCS

SB

SA

SSSsLf

( )[ ] [ ]

( )444

444

22

23

22

2223

++++++

=+

+++SS

BASDBSCASSS

DSCSBBSASAS

A + C = 0 B D = 3 4A = 0 4B = 4 B = 1 B + D = 3 1 + D = 3 D = 3 1 = 2 4A = 0 A = 0 C = 0

( )2221

221

21

211

)(1

221

421

42010

++=

++=

++

++= SS

LSS

LSS

SL

SLL sf

Tabla

( )221

21

)(1

221

++=

SL

SLL sf

tsenttf 2)( +=

37

3.2.- RESPUESTA TRANSITORIA DE 1er. Orden

Obtener la R.T. V0(s) = Vi(s) [F.T]

RCS

RCVV

si

s

1

1

F.T)(

)(0

+==

+

=

+

=

RCSS

RC

RCS

RCS

V1

1

1

11

220

+

=

RCSS

RCsLV1

1

)(012

Polo mltiple por lo tanto tendr 3 constantes.

=

+

+

++

+

=+

++=

RCSS

CSRC

SBRC

SSA

RCS

CSB

SAsLV

1

11

1)(0 2

2

21

( )

+

+

+++

=

+

++++

RCSS

RCBB

RCASCAS

RCSS

CSRC

BBSRC

ASAS

1

11

1

11

2

2

2

22

A + C = 0

0BRCA

=+

RC1

RCB

=

B = 1

0BRCA

=+

01RCA

=+

A = -RC

RV0(s)

Vi(s)= 21S

C

38

A + C = 0 -RC + C = 1 C = RC

RCS

LRCS

LS

LRC

RCS

RCSS

RCLV s 1111

11 1

211

2)(0

1

+++=

+++

=

Tabla

RCt

t RCetRCV

++=)(0 R.T Respuesta transitoria de primer orden con Vi(s) de rampa.

Obtener la R.T. V0(s) = Vi(s) [F.T]

RCS

RC1

1

F.T+

=

+

=

+

=

RCSS

RC

RCS

RCS

V s 1

1

1

11

)(0

+

=

RCSS

RCsLV1

1

)(01 Polos distintos.

( )

+

++=

+

++=

+

+

+

=

+

+=

RCSS

RCABAS

RCSS

BSRCAAS

RCSS

BSRC

SA

RCS

BSAsLV

111

1

1)(01

A + B = 0

RC1

RCA

=

RC1

RCA

=

A = 1

RV0(s)

Vi(s)= S1

C

39

A + B = 0 1 + B = 0 B = -1

+

=

+

=

RCS

LS

L

RCSS

LV s 111

111 11

)(01

Tablas

RCt

t eV

= 1)(0

Obtener R.T V0(s) = Vi(s) [F.T]

RCS

RC1

1

F.T+

=

+=

RCS

RCV s 1

1

1)(0

RCS

LRC

RCS

RCLV s 11111

1

)(01

+=

+=

Tablas

RCt

t eRCV

=1

)(0

RV0(s)

Vi(s)=1

C

40

3.3.- SISTEMAS DE 2do. ORDEN

Forma general (formula base) para

sistemas de 2do. Orden

22

2

2)()(

WnLWnSSWn

sRsC

++=

Wn = frecuencia Natural (rad/seg) L = coeficiente de amortiguamiento - Casos de la respuesta transitoria de 2do. orden. 1.- Subamortiguamiento

0 < L < 1 Respuesta transitoria oscilatoria 2.- Amortiguamiento critico (crticamente)

L = 1 Respuesta inicia oscilacin 3.- Sobreamortiguamiento

L > 1 Respuesta nunca oscila 4.- No amortiguamiento

L = 0 Respuesta oscilatoria inestable

L coeficiente de amortiguamiento relativo

Polos Respuesta escaln

L = 0

No amortiguado

Plano S

Jw

-Jw

C(t)

t

V0 SL

SC1

R

Vi

41

0 < L < 1

Subamortiguado

L = 1

Crticamente amortiguado

L > 1

Sobreamortiguamiento

Nota: cuando los polos se encuentran situados en el plano del lado izquierdo este sistema se considera estable y va a ser inestable cuando los polos estn a la derecha.

( )( )112)()(

22

2

22

2

+++=

++=

LWnLWnSLWnLWnSWn

WnLWnSSWn

sRsC

Wn = Frecuencia Natural Wd = Frecuencia Natural amortiguado

baab = ( ) ( ) ( )2222 1J1111 LLLL === & >>>>>?

a b

21 LWnWd =

21 L

WnWd

=

-LWn

Jw

-Jw

21 LJwn

21 LJWn

12 + LWnLWn

Jw

-Jw

Plano S

12 LWnLWn

Jw

-Jw

-LWn

C(t)

t

C(t)

t

C(t)

t

42

( )( )222

11)()(

LWnLWnSLWnLWnSWn

sRsC

+++=

( )( )WdLWnSWdLWnSWn

sRsC

JJ)()( 2

&& +++= Forma general 2do orden para la condicin

0 < L < 1 Encontrar la respuesta transitoria (C(s)) de 2do de un sistema con una R(s) = 1/S para una condicin 0 < L < 1

( )( )WdLWnSWdLWnSWn

sRsC

JJ)()( 2

&& +++=

( )( )

+++

=WdLWnSWdLWnS

WnS

sCJJ

1)(2

&&

( )( )[ ]WdLWnSWdLWnSSWnsC

JJ)(

2

&& +++= (a+b) (a-b) = a2-b2

a b a b

( ) ( )[ ]222

J)(

WdLWnSSWnsC

&+= sacamos a J ( ) 1)1(J 22 == &

( ) ( )[ ] ( ) ( )22222

)(WdLWnS

CBSSA

WdLWnSSWnsC

++++=

+=

222 2 WnLSLWnS ++

( ) ( )[ ] [ ]( ) ( )[ ]

[ ] [ ]( ) ( )[ ]22

2222

22

22 2WdLWnSS

CBSSWdWnLSLWnSAWdLWnSS

CBSSWdLWnSA++

+++++=++

++++=

( ) ( )[ ]2222222 2

WdLWnSSCSBSAWdWnALSLWnAAS

+++++++=

( ) ( )

( ) ( )[ ]222222 2

WdLWnSSAWdWnALCLWnASBAS

+++++++=

[ ] [ ] [ ]

( ) ( )[ ]222222 2

WdLWnSSWdWnLACLWnASBAS

+++++++=

43

Comparacin A + B = 0 2ALWn + C = 0 A[L2Wn2+Wd2] = Wn2 Valor de A A[L2Wn2+Wd2] = Wn2

2

2

2

22

2

2

2

2

222

2

1

1

WnWd

WnWnL

WnWn

Wn

WnWdWnL

Wn A+

=+

=

2

22

1

WnWdL

A+

=

Si 21 LWnWd =

21 LWnWd

=

22

2

1 LWnWd =

111

11

22 ==+= A

LL A

Valor de B A + B = 0 1 + B = 0 B = -1 Valor de C 2ALWn + C = 0 2LWn + C = 0 C = -2ALWn Sustitucin de A, B y C

( )( ) ( ) ( ) ( )2222

1 211211)(WdLWnS

LWnSSWdLWnS

LWnSS

sLC++

+=++

++=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++

+++

+=

++

++= 222222

1 11)(WdLWnS

LWnWdLWnS

LWnSSWdLWnS

LWnLWnSS

sLC

( ) ( ) ( ) ( )

++

+++

+= 2222

1 1)(WdLWnS

LWnWdWd

WdLWnSLWnS

SsLC

44

( ) ( ) ( ) ( )

++

+++

+= 2222

1 1)(WdLWnS

WdWdLWn

WdLWnSLWnS

SsLC

Tabla

[ ]senWdteWdLWnWdtetC LWntLWnt = cos1)(

45

Encuentre C(t) para un sistema de 2do orden con una R(s) =1/S cuya condicin es L = 0

22

2

22

2

2)()(

WnSWn

WnLWnSSWn

sRsC

+=

++=

0

[ ]222

22

21)(WnSS

WnWnS

WnS

sC+

=

+

=

[ ]222

1 )(WnSS

WnsLC+

=

Tabla

WnttC cos1)( = Encuentre C(t) para un sistema de 2do orden con una R(s) =1/S cuya condicin es L = 1

( )( )112)()(

22

2

22

2

+++=

++=

LWnLWnSLWnLWnSWn

WnLWnSSWn

sRsC

1 0 1 1 1

( )( ) ( )222

)()(

WnSWn

WnSWnSWn

sRsC

+=

++=

( )

+

= 221)(

WnSWn

SsC

( ) ( )[ ] ( ) ( )22222

1 )(WdLWnS

CBSSA

WdLWnSSWnsLC

++++=

+=

222 2 WnLSLWnS ++

( )[ ] ( )[ ]( ) ( )2

222

2

2 2WnSS

CSBSWnBSAWnASWnASWnSS

CSWnSSBWnSA+

+++++=+

++++=

[ ] [ ]

( )222 2

WnSSAWnCBWnAWnSBAS

++++++=

Comparacin

46

A + B = 0 2AWn + BWn + C = 0 AWn2 = Wn2 Valor de A

122

==WnWn A

Valor de B A + B = 0 1 + B = 0 B = -1 Valor de C 2AWn + BWn + C = 0 2Wn - Wn + C = 0 C = - Wn Sustitucin de A, B y C

( ) ( )21 111)(

WnSWn

WnSSsLC

+

+=

Tabla

[ ]WntWnt teWnetC =1)(

47

3.4.- SISTEMAS DE ORDEN SUPERIOR La respuesta del orden superior, es la suma de las respuestas de 1er y 2do orden

48

UNIDAD IV MODOS DE CONTROL 4.1 Acciones bsicas de control De acuerdo con la accin de control se pueden clasificar los controles automticos industriales en: 1.- Control de 2 posiciones OFF-ON (si no), (todo nada) 2.- Control proporcional. 3.- Control integral. 4.- Control proporcional e integral. 5.- Control proporcional-derivativo. 6.- Control proporcional-integral-derivativo La mayora de los controles automticos industriales usan fuentes de potencia como la electricidad, el fluido a presin que puede ser aceite o aire. Los controles pueden clasificarse dependiendo del tipo de energa que utilicen, por ejemplo: controles neumticos (a base de aire), controles hidrulicos (a base de aceites) y controles electrnicos. Elemento de control automtico industrial Un control automtico debe detectar la seal de error actuante, que habitualmente se encuentra a un nivel de potencia muy bajo, hay que amplificarla a un nivel suficientemente alto. Por lo tanto se requiere de un amplificador, la salida de control va a actuar sobre un dispositivo de potencia como lo es un motor neumtico vlvula, motor hidrulico, un motor elctrico.

Entrada referencia

Al accionador elemento final de

control Amplificador

Elemento de medicin De la planta

Detector de error

Error actuante

49

Control ON-OFF Es un sistema de control de 2 posiciones el elemento accionador tiene solamente 2 posiciones fijas; conectado desconectado. El control On-Off es simple y econmico y es muy utilizado en sistemas de control tanto industriales como domsticos.

Accin de control proporcional ( P ) Es un modo de control en que el dispositivo corrector final ( accionador), tienen un rango continuo de posiciones posibles, con la posicin exacta tomada siendo proporcional a la seal de error; esto es la salida del controlador es proporcional a su entrada.

)(

)(

s

s

EU

Kp =

Kp = K

Kp = ganancia proporcional

U(s) = seal de controlador Dominio

de la frecuencia

E(s) = seal de error

)(

)(

s

s

eu

Kp =

Ejemplo: la seal que entra es multiplicada se autoajusta.

Vlvula solenoide

LN

Interruptor

Rh

E(s) U(s) = C(s) R(s) Kp

Set Point

e(t) u(t) = C(t) r(t) Kp

50

Ventajas del control proporcional: Es la accin de control ms importante. Aplicacin instantnea. Facilidad de comprobar los resultados. Desventajas: Falta de inmunidad al ruido. Accin de control integral ( I ) Es un controlador cuyo valor de salida vara en razn proporcional a la seal del error e(t) acumulado; lo que implica que es un modo de controlar lento. Control integral

)()( tKiedt

du t = bien dtteKitut

= 0 )()( Ki = ganancia integral Es una constante ajustable, la funcin de transferencia del control integral es:

SKi

RU

Cis

s ==)(

)(

Si se duplica el valor de e(t), el valor de U(t) (C(t)) vara al doble de la velocidad. Ante un error igual a cero, el valor de U(t) permanece estacionario. En ocasiones la accin de control integral recibe el nombre de control de reposicin o restablecimiento. Ejemplo: No va tener valor de control U(t) hasta que exista otro evento (otro valor) en e(t).

10V

1V

Entrada

Kp = 10

Salida

e(t) Valor de la ganancia

U(s) R(s)

Ki/S

51

Accin de control derivativa. ( D ) Esta accin de control se adelanta a la seal de control frente a la aparicin de una tendencia de error, esto hace que se anticipe al sistema, puesto que los retardos en controlar lo tienden a inestabilizar. La desventaja del control derivativo es prcticamente inaplicable ante la presencia de ruido, este hace que la variable de control tome valores contrapuestos y mximos. Cuando la pendiente de ruido entra como seal de error. Efectivamente el control derivativo puede efectuar correcciones antes de la magnitud del error e(t) que este sea significativa, ya que acta en forma proporcional a la velocidad de variacin de e(t) velocidad de variacin. Si la derivada de e(t) es nula no hay accin, por parte del controlador, lo que implica que no tendr ningn efecto con el error estacionario. Tambin aumenta la amortiguacin sobre las oscilaciones del sistema (tiende a estabilizar) permitiendo usar ganancias Kp mas elevadas: Control derivativo:

dttde

Ktu D)(

)( =

Kd KD = ganancia derivativa Funcin de transferencia:

)()( sESKDsU = El control derivativo tiene la ventaja de ser previsorio, pero tambin amplifica el ruido y provoca un efecto de saturacin en el actuador. El control derivativo, nunca se usa solo, es eficaz en el periodo transitorio. Accin de control proporcional integral. ( P-I ) Control proporcional-integral Un control P-I se define

dteTiKp

tKpetuT

+= 0 )()()( Donde: Ti = tiempo integral y es quien ajusta la accin integral. Ti = Ki

12V

10V

52

La F.T del control P-I

+==

+=

TiSKpsICP

TiSKp

sEsU 11).(.11)()(

Nota: Kp y Ti son ajustables. Accin de control proporcional derivativo. ( PD ) Control proporcional derivativo Un control P-D se define mediante:

dttdeKpTdtKpetu )()()( +=

Donde: Td = tiempo derivativo Td = Kd Funcin de transferencia

( )TdSKpsEsU += 1)()(

Nota: Kp y Td son ajustables. Accin de control proporcional-integral-derivativa. ( PID) Control proporcional-integral-derivativa Este sistema rene los 3 tipos de control, suma las ventajas de cada una de la acciones

Kp Nos da una salida proporcional al error (amplifica la seal). Ki Da una salida proporcional al error acumulativo, nos da una respuesta lenta. KD Se comporta de una manera previsoria.

U(s) R(s) ( )TdSKp +1

U(s) R(s)

+

TiSKp 11

53

La ecuacin del P.I.D es:

dttdeKpTddte

TiKptKpetU

t )()()()(0

++= Su funcin de transferencia:

++= TdS

TiSKpCPID

11

En sistemas de control de procesos se tienen controladores de diferentes tipos como lo son los neumticos, pero en la actualidad todos estos sistemas de control mecnico estn siendo reemplazados por controles controladores electrnicos. Las aplicaciones ms comunes en industria son: Control de presin de lquidos, control de presin de gases, control de caudal, control de nivel de lquidos, control de temperatura, controles de motores elctricos (velocidad angular y posicin angular). Sistema de control de posicin.

C(t) e(t)

Kp

+Ki

KD

Vp(t)

Preampl. diferencial

+V

+V

Vi(t) +

Vo(t) -

en(t)

Ra

K aS

K+

1

JLKg-m2

i(t)

Entrada deseada

de angulo

54

Servomecanismo: el objetivo de este sistema es controlar la posicin de la carga mecnica de acuerdo con la posicin de referencia.

4.2.- SINTONIZACIN Y OPTIMIZACIN.

C1

N3 carga

N1

N2

Ra +12V

ia

Ampl..

JL

+12V

La N1, N2 = r1, r2

55

56

57

UNIDAD V ESTABILIDAD 5.1.- CRITERIO DE ESTABILIDAD DE ROUTH-HURWITZ Criterios de estabilidad de Routh. El problema importante del control lineal tiene que ver con la estabilidad, es decir en que condiciones se vuelve inestable el sistema, si es inestable cmo se estabiliza? La mayora de los sistemas lineales en lazo cerrado tienen funciones de transferencia:

)()(

.....

.....)()(

11

10

11

10

sAsB

aSaSaSabSbSbSb

sRsC

nnnn

mmmm

=++++++++=

A y B son constantes y los exponentes m n Un criterio simple como el criterio de Routh permite determinar la cantidad de polos de lazo cerrado que s e encuentran en el semiplano derecho del plano S sin tener que factorizar el polinomio.

Procedimientos para encontrar la estabilidad de Routh. 1.- Escribe el polinomio S de la forma siguiente:

nn

nn aSaSaSa ++++

11

10 ..... Donde los coeficientes son cantidades reales. 2.- Si alguno de los coeficientes es cero o negativo, ante la presencia de al menos un coeficiente positivo es sistema no es estable (inestable). La condicin necesaria para la estabilidad es que todos los coeficientes tengan un signo positivo. 3.- Se ordenan los coeficientes del polinomio en filas y columnas de acuerdo al patrn siguiente:

Sn a0 a2 a4 a6 .Sn-1 a1 a3 a5 a7 .Sn-2 b1 b2 b3 b4 .Sn-3 c1 c2 c3 c4 .

X X X X X X X X X X X X Sist. Inestable

Sist. Estable

58

Sn-4 d1 d2 d3 d4 .. . . .

.

.

.

.

.

.

.

.

S2 e1 e2 S1 f1 S0 g1

El proceso de formar filas, continua hasta que nos quedan ms elementos (el numero total de filas es n +1). Los coeficientes b1, b2, b3, etc. se evalan del modo que sigue:

1

30211 a

aaaab

=

1

30412 a

aaaab =

1

70613 a

aaaab =

Las evaluaciones de las b continan hasta que todas las restantes son ceros. Se sigue el mismo patrn de multiplicacin cruzada de los coeficientes de las 2 filas anteriores al evaluar las c, las d, las e, etc., es decir:

1

21311 b

baabc =

1

31512 b

baabc =

1

41713 a

baabc =

.

.

.

.

1

21211 c

cbbcd =

1

31312 c

cbbcd =

Determine la estabilidad del siguiente sistema:

Modelo bsico.

)()(

)(

1F.T

ss

s

HGG

+=

Y(s) R(s)

44

2 +S

33+S

59

1.- Sacar F.T.

( )( )( )( )( )( )34

12344

4

34121

44

33

441

44

)()(

2

2

2

2

2

2

2

++++

+=

+++

+=

+++

+=

SSSS

S

SS

S

SS

SsRsY

( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]( )

( )( )( )

12124334

123434

12344344

)()(

23222

2

+++++

=+++

+=

++++++

=SSS

SSS

SSSS

SSsRsY

( ) )(

244334

)()(

23 sFSSSS

sRsY =

++++=

2.- Obtener la ecuacin caracterstica.

2443 23 +++ SSS a0 a1 a2 a3

3.- Colocar filas y columnas.

( )( ) ( )( ) 4312

324143

1

30211 =

===a

aaaab

1

30412 a

aaaab =

4.- El sistema es Inestable. Ejercicio:

1.- ( )12522910

110)( 234 +++++=

SSSSSsF

2.- a0 a1 a2 a3 a4 3.- Colocar filas y columnas.

( )( ) ( )( ) 8.2310

52129101

30211 =

==a

aaaab

( )( ) ( )( ) 8.6

105211210

1

30412 =

=

=a

aaaab

( )( ) ( )( ) 14.49

8.238.610528.23

1

21311 =

=

=b

baabc

4.- El sistema es Estable.

S 3 a0 a2 1 4

S 3-1 a1 a3 3 24

S 3-2 b1 b2 -4

S 4 a0 a2 a4 1 29 12

S 4-1 a1 a3 10 52

S 4-2 b1 b2 23.8 6.8

S 4-3 c1 49.14

60

5.2.- LUGAR DE LAS RAICES. Anlisis del lugar de las races. La caracterstica bsica de la respuesta transitoria de un sistema de lazo cerrado se relaciona estrechamente con la localizacin de los polos. Los polos en lazo cerrado son las races de la ecuacin caracterstica, si esta tiene un grado superior a 3 es muy laborioso encontrar sus races y se requiera una solucin por computadora, si el sistema tiene una ganancia de lazo variable la localizacin de los polo en lazo cerrado depende del valor de la ganancia elegida. Para K = 0, , 1

Modelo bsico.

)(

)(

1 ss

GG+

aacbbS

242

2,1

=

Obtener la F.T

( )

( )

( )( )

( )( ) KSS

KKSS

K

SSKSS

SSK

SSK

SSK

sRsC

++=

++=

+++

+=

++

+= 211

11

11

1)()(

S2 + S + K = 0 a b c a = 1 b = 1 c = K

aacbbS

242

2,1

=

( ) ( ) ( )( )( )12

1411 22,1

KS =

2411

2,1KS =

Para K = 0

C(s) R(s) K

S(S+1)

61

( )21

21

211

20411

2,1 ==

=S

021

21

1 =+=S

121

21

2 ==S

Para K =

( )2

012

411 412,1

=

=S

21

1 =S

21

2 =S

Para K = 1

( )2

321

21411

2,1=

=S 3J31 &

4/3J21

23J

21

2,1&

&==S

Se eleva al cuadrado

43

1 J21 &+=S

43

2 J21 &=S

Para K = 0 S1 = 0 S2 = -1 Para K = S1 = - S2 = - Para K = 1

43

1 J21 &+=S

43

2 J21 &=S

El sistema es Estable

-

JW

Real Real

-JW

43

43

-1

62

UNIDAD VI ANLISIS DE ERROR. 6.1.- ERRORES ESTATICOS Y DINAMICOS.

63

6.2.- SENSIBILIDAD. La sensibilidad de un sistema, es la relacin del cambio en la funcin de transferencia del sistema respecto al cambio en la funcin de transferencia del proceso o parmetro para un cambio incremental pequeo.

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