Cuadernillo 3º ESO. Gallego

____________________________ IES __________________________

I.E.S. _______________________

CADERNO N 1 NOME: DATA: / /

Nmeros racionais - 1 -

Os nmeros racionais

Contidos

1. Nmeros racionais Decimais peridicos Fraccin xeratriz Ordenacin e representacin

2. Operacins con fraccins Sumas e restas Produtos e cocientes Operacins combinadas

3. Potencias de expoente enteiro Definicin Operacins

4. Notacin cientfica Introducin Nmeros extremos Operacins

5. Medida de erros Aproximacins Erro absoluto e relativo

6. Aplicacins Problemas de aplicacin

Obxectivos Identificar, ordenar e representar nmeros racionais.

Efectuar operacins con fraccins.

Expresar fraccins como nmeros decimais e nmeros decimais como fraccins.

Calcular potencias con expoente enteiro e efectuar operacins con potencias.

Aproximar nmeros e calcular o erro absoluto e relativo.

Expresar un nmero en notacin cientfica e realizar operacins con nmeros nesta notacin.

Utilizar os nmeros racionais para resolver problemas relacionados coa vida coti. Autora: Conxa Sanchis Sanz Baixo licenza Versin en galego: Xos Eixo Blanco Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________



Para repasar conceptos fundamentais de fraccins, como son a obtencin de fraccins equivalentes ou a reducin de fraccins a denominador comn... Pulsa...

Cando o teas feito, pulsa para acceder aos contidos da quincena.

ACTIVIDADE: Observa a figura que aparece na escena. En cantos tringulos se divide inicialmente? _____ Ao final s quedan os polgonos que se ven nesta figura. Escribe dentro de cada un deses polgonos a fraccin que corresponde ao seu tamao, considerando o cadrado completo como unha unidade. En todos os casos escribe esa fraccin de das maneiras: Simplificada e con denominador 64.

1. Nmeros racionais 1.a. Decimais peridicos Le o texto da pantalla. EXERCICIO. Completa o seguinte texto: Unha fraccin unha _____________ entre dous nmeros enteiros.

O resultado desa divisin d lugar a unha ____________________ cun grupo de cifras que ________________________, o chamado __________, e que pode ser:

Exemplo: Escrbese: O perodo :

Decimal ______________ =1112

______________

Decimal ______________ =1531

______________

Decimal ______________ =81

______________

Le a explicacin da escena....

Antes de empezar

I.E.S. _______________________



Fai a actividade da escena e completa este cadro cos exemplos que aparecen e con outros catro exemplos que ti elixas.

Fraccin Expresin decimal

Decimal exacto

Decimal peridico

puro

Decimal peridico

mixto Perodo

1115

1,363636 Non Si Non 36

712

1531

817

Por que podemos afirmar que a representacin decimal dunha fraccin sempre un decimal finito ou infinito peridico? ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________

Agora pulsa no botn para facer uns exercicios.

brese unha escena na que aparece un nmero decimal e tes que indicar de qu tipo . Completa este cadro con oito dos exercicios que resolvas nesa escena.

Fraccin Nmero decimal Tipo Fraccin Nmero decimal Tipo

Cando remates... Pulsa para ir pxina seguinte.

I.E.S. _______________________



1.b. Fraccins xeratrices

Le atentamente na escena o procedemento para obter a fraccin xeratriz segundo os

diferentes tipos de decimais. Copia no seguinte recadro un exemplo de cada tipo seguindo

paso a paso a explicacin da escena:

Exemplo Proceso:

Exacto x = Multiplicamos por 10 : ________x = _________

Despexamos: =x

Peridico puro x =

Multiplicamos por 10 : ________x = _________

Restamos as das ecuacins: _______x = __________

Despexamos: =x

Peridico mixto x =



Restamos as das ltimas ecuacins: _____x = ________

Despexamos: =x

Na parte esquerda aparecen os tres tipos de decimais. Se pasas o rato por enriba da palabra

destacada poders ver a explicacin ou frmula de cada un dos mtodos.

Escrbeos neste recadro: Mtodo

Decimal exacto

Decimal peridico puro

Decimal peridico mixto

Agora pulsa no botn

para facer uns exercicios.

Anota catro resultados na seguinte tboa:

Nmero decimal Fraccin Nmero decimal Fraccin


I.E.S. _______________________



1.c. Ordenacin e representacin grfica

Na escena inferior esquerda, COMPARACIN DE FRACCINS, aprenders a comparar

fraccins mediante procedementos aritmticos.

En primeiro lugar, repasa o clculo do mnimo comn mltiplo: Na escena, propenche que

calcules o m.c.m. de dous nmeros: calclao e, despois, fai clic en COMPROBAR para ver se o

teu clculo correcto.

Anota catro resultados nesta tboa (practica na escena ata que consigas un mnimo de tres

acertos consecutivos).

Par de nmeros Mnimo comn mltiplo Par de nmeros Mnimo comn mltiplo

Nesa mesma escena de COMPARACIN DE FRACCINS:

Pulsa o botn para repasar o proceso de reducin de fraccins a comn denominador.

Le atentamente o texto no que se explica como facelo, e despois pulsa para practicar.

Repite o exercicio ata que obteas un mnimo de 3 acertos consecutivos.

Anota catro resultados nesta tboa:

Fraccins Fraccins con

denominador comn Fraccins Fraccins con

denominador comn

Agora xa podes abordar a comparacin de fraccins. Pulsa o botn para empezar. Fai exercicios de comparacin de fraccins positivas e de fraccins negativas ata que obteas un mnimo de tres resultados correctos consecutivos en cada caso. Anota seis exercicios nos recadros seguintes:

Fraccins Fraccins ordenadas Fraccins Fraccins ordenadas

I.E.S. _______________________



Na escena da dereita, REPRESENTACIN GRFICA DE FRACCINS, aprenders a comparar fraccins mediante procedementos grficos. Pulsa a frecha para seguir a explicacin. Debes ver varios exemplos ata comprender ben o procedemento, tanto no caso de fraccins propias como impropias.

Cando o comprendas, pulsa...


Fai tres exercicios de cada tipo e escribe os resultados nas seguintes tboas:

Fraccins Fraccins ordenadas

Fraccins Representacin grfica


EXERCICIOS 1. Determina de que tipo son os decimais que resultan das fraccins seguintes:

a) 7392

b) 2257

c) 3627

2. Calcula as fraccins xeratrices dos seguintes decimais: a) x = 2,375 b) x = 43,666... c) x = 4,3666...

3. Ordena de menor a maior as seguintes fraccins: 29

59

99

123

105 ,,,,

4. Representa na recta as seguintes fraccins:

a) 32

b) 43

44

19+= c)

52

5523

+=

EXERCICIOS de Reforzo Ordena cada un dos pares de fraccins seguintes:

a) 23

e 51

b) 31

e 21

c) 53

e 158

d) 53

e 71

I.E.S. _______________________



2. Operacins con fraccins 2.a. Sumas e restas Le o texto onde se explican as frmulas para SUMAR e RESTAR fraccins. EXERCICIO 1: Completa. Exemplo SUMAS: Se as fraccins teen o mesmo denominador __________________ ______________________________________________________.

Se non teen o mesmo denominador, _______________________ ______________________________________________________.

RESTAS: ______________________________________________________.

Le atentamente a escena da dereita para comprender o procedemento a seguir para calcular unha suma de fraccins. EXERCICIO 2: Completa. Respostas

Escribe a suma que representa a cantidade que comeu o primeiro amigo: +

Para calcular esa suma hai que dividir cada unha das pizzas no mesmo nmero de porcins. Cal o nmero mnimo de porcins en que hai que dividilas para poder facer a suma?

As podemos expresar esa suma de fraccins como a suma doutras das que teen o mesmo denominador, indica esa suma e calcula o resultado:

=+

Consulta agora a escena da parte inferior esquerda para coecer as propiedades da suma de fraccins. EXERCICIO 3: Escribe os nomes das propiedades e un exemplo de cada unha. Exemplo

1

2

3

4

Pulsa o botn


Fai catro exercicios de cada tipo. Despois pulsa COMPROBAR para ver se o fixeches ben. Utiliza os espazos da tboa da pxina seguinte para resolvelos.

I.E.S. _______________________



Suma de das fraccins

Desenvolvemento e resultado

Suma de das fraccins


Resta de das fraccins


Resta de das fraccins


Suma dunha fraccin e un enteiro


Suma dunha fraccin e un enteiro


Sumas combinadas Desenvolvemento e resultado


2.b. Produtos e cocientes Le o texto onde se explican as frmulas para calcular PRODUTOS e COCIENTES de fraccins. EXERCICIO 1: Completa: Exemplo PRODUTOS: ______________________________________________________.

A inversa dunha fraccin obtense __________________________ ______________________________________________________.

COCIENTES: ______________________________________________________.

I.E.S. _______________________



EXERCICIO 2: Le atentamente a escena da dereita para comprender o procedemento a seguir para calcular produtos de fraccins e completa o que falta nesta tboa. Respostas

Empecemos cos adosados:

Cada fase representa do total. Cada zona de adosados o da fase.

Con qu operacin se calcula a parte do total reservada a zona de adosados de cada fase e cl o resultado?

=

Que fraccin da parcela ocupan os adosados?

Hai adosados nas das fases e dentro de cada unha desta.

Indica a operacin e o resultado da fraccin do total que ocupan os adosados:

=

Que fraccin da parcela ocupan os pisos?

Hai pisos nas das fases e dentro de cada zona desta.

Indica a operacin e o resultado da fraccin do total que ocupan os pisos:

=

Que fraccin da parcela ocupan as zonas verdes?

Hai zona verde nas das fases e dentro de cada unha desta.

Indica a operacin e o resultado da fraccin do total que ocupan as zonas verdes:

=

Que fraccin da parcela ocupan as zonas de servizos?

Hai Servizos nas das fases e dentro de cada unha desta.

Indica a operacin e o resultado da fraccin do total que ocupan as zonas de servizo:

=

Resumindo =

EXERCICIO 3: Consulta agora a escena da parte inferior esquerda para coecer as propiedades do produto de fraccins. Escribe os nomes das propiedades e un exemplo de cada unha nesta tboa. Exemplo

1

2

3

4

5

6

7

I.E.S. _______________________



Pulsa o botn


Fai catro exercicios de cada tipo. Despois pulsa COMPROBAR para ver se o fixeches ben. Utiliza os espazos da tboa da pxina seguinte para resolvelos.

Produto de das fraccins


Produto de das fraccins


Cociente de das fraccins


Cociente de das fraccins


Produto dunha fraccin e un

enteiro


Produto dunha fraccin e un

enteiro


P. dun enteiro e unha fraccin


P. dun enteiro e unha fraccin


Cociente dunha fraccin e un

enteiro


Cociente dunha fraccin e un

enteiro


Cociente dun enteiro e unha

fraccin


Cociente dun enteiro e unha

fraccin



I.E.S. _______________________



2.c. Operacins combinadas Le o texto no que se recordan as regras de prioridade. EXERCICIO 1: Escribe nos crculos o n de orde da correspondente operacin.

Se non hai parntese Orde en que debe facerse

Se hai parntese

Orde en que debe facerse

Sumas e restas

Sumas e restas

Produtos e cocientes

Operar as parnteses

Produtos e cocientes

EXERCICIO 2: Observa na escena distintos exemplos de clculo con operacins combinadas ata que comprendas ben o proceso. A continuacin, Fai dous exercicios de cada tipo nos seguintes recadros, sen consultar a solucin ata que os finalices. Comproba despois se o fixeches ben:

Operacins sen parnteses

Operacins con parnteses

Operacins con parnteses aniados

I.E.S. _______________________



Operacins con parnteses implcitas


EXERCICIOS

5. Calcula 89

111

+

6. Calcula 127

59

7. Calcula 759

8. Calcula 58

9102

127

59

++

9. Calcula 56

71

10. Calcula 56

:71

11. Calcula )6(71

12. Calcula 71

)6(

13. Calcula )6(:71

14. Calcula 71

)6(

15. Calcula 262

346

71

4:64

+

16. Calcula

+

+

67

:61

21

7771

64

17. Calcula

21

27

52

:

21

71

23

75

++

+

I.E.S. _______________________



3. Potencias de expoente enteiro 3.a. Definicin Le a definicin de potencia de expoente enteiro. Fxate, en especial, na definicin de potencia de expoente negativo.

Se n =1

Se n >1

Se n =0

EXERCICIO 1: Completa.

an =

Se n

I.E.S. _______________________



Escrbe as propiedades neste cadro con dous exemplos de cada unha.

Pulsa para continuar.

LEMBRA PROPIEDADES DAS POTENCIAS 1. Para multiplicar potencias da mesma base:

_____________________________________________________________.

Exemplos:

2. Para dividir potencias da mesma base: _____________________________________________________________.

Exemplos:

3. Para elevar unha potencia a outra potencia: _____________________________________________________________.

Exemplos:

4. Para elevar un produto a unha potencia: ______________________________________________________________.

Exemplos:

5. Para elevar unha fraccin a unha potencia: ______________________________________________________________.

Exemplos:

NOTA: Le a explicacin do uso de parnteses cando a base negativa.

Exemplos:

6. Potencias de expoente cero: a0 = __

Exemplos:

7. Potencias de expoente negativo: a-n =

Exemplos:

I.E.S. _______________________



3.b. Operacins con potencias Le a explicacin: "Cando se van efectuar operacins combinadas... " EXERCICIO: Completa a continuacin as regras de prioridade cando hai potencias.

Efectanse en primeiro lugar: _______________________________________________.

A continuacin ___________________________________________________________.

Cos resultados obtidos fanse as _____________________________________________.

As prioridades anteriores poden alterarse cando ______________, podndose aplicar tamn algunhas das propiedades vistas na pxina anterior (produtos ou cocientes de potencias de igual base).

EXERCICIO 2: Observa na escena distintos exemplos de clculo con operacins combinadas que inclen potencias. A continuacin, Fai dous exercicios de cada tipo nos seguintes recadros, sen consultar a solucin ata que os finalices. Comproba despois se o fixeches ben.

Operacins sinxelas

Exemplo 1.1:

Exemplo 1.2:

Transformar nmeros en potencias

Exemplo 2.1:

Exemplo 2.2:

Produtos e cocientes de potencias de igual base

Exemplo 3.1:

Exemplo 3.2:

I.E.S. _______________________



Potencias de igual expoente

Exemplo 4.1:

Exemplo 4.2:

Fai clic no botn

irs a unha pxina de xogos con potencias.

Escribe a continuacin en cada lugar un dos resultados dos xogos que vas resolvendo: 1. Tringulo de multiplicacins e divisins con catro potencias. 2. Tringulos de cocientes con potencias de 2.

3. Tringulos de cocientes coas potencias de 10 4. Tringulo de cocientes con potencias

Tringulos mxicos multiplicativos 4. Tringulo de cocientes

con potencias 5. ... con potencias de 2 6. ... con potencias de 3

I.E.S. _______________________



Tres aros mxicos multiplicativos 7. Tringulo mxico multiplicativo con potencias 8. ... con potencias de 10 9. ... con potencias

10. Estrela mxica multiplicativa de tres puntas, con nove potencias de 2

11. Estrela mxica multiplicativa de seis puntas, con potencias

12. Cadrado mxico multiplicativo de 3x3 coas potencias de 2


EXERCICIOS 18. Calcula

4

95

19. Calcula 2

52

20. Calcula 43 21. Calcula 3

21

22. Calcula ( )03

1:43

:76

:21

35

23. Transforma 1000 en potencia de 10.

24. Transforma 0,00001 en potencia de 10.

25. Transforma 16 en potencia de 2.

26. Transforma 0,0016 en potencia de 5.

27. Expresa cada termo como potencia de 10 e simplifica: ( ) ( ) ( )22

222

1001,0

01,01000:1,0

28. Expresa cada termo como potencia de 4 e simplifica: ( )( ) 4:6464

1

64

116

22

29. Simplifica todo o posible a fraccin seguinte de maneira que o resultado quede en

forma de produtos e cocientes de potencias de expoente positivo: ( )( )2

233

322

732

532

I.E.S. _______________________



4. Notacin cientfica 4.a. Produtos e cocientes por potencias de 10 Le o texto para repasar as regras de clculo do produto e a divisin dun nmero por unha potencia de 10. EXERCICIO: Completa.

Multiplicar por 10n (equivale a ______________________________ )

o Se o nmero enteiro __________________________________________.

o Se non enteiro _______________________________________________________ ____________________________________________________________________.

Dividir por 10n (equivale a ______________________________ )

o ____________________________________________________________________ ____________________________________________________________________.

A continuacin, vai escena e le tantos exemplos como sexa necesario ata que comprendas o procedemento. Copia unha destes exemplos no espazo seguinte:

Pulsa o botn

para facer exercicios de produtos e cocientes por potencias de 10.

Resolve polo menos seis e escrbeos aqu. Pulsa COMPROBAR despois de resolver cada un deles para ver se o fixeches ben.

Operacin Resultado Operacin Resultado



Pulsa para continuar.

I.E.S. _______________________



4.b. Nmeros moi grandes ou moi pequenos Le a explicacin: "Dise que un nmero... " EXERCICIO 1: Completa: A notacin cientfica til para representar nmeros _____________________________ ou ________________________________________. Estes nmeros aparecen con frecuencia en ______________________________________, de a o seu nome. Se un nmero est escrito en notacin cientfica, ten o aspecto c0,c1c2..cp10n c0 unha cifra _____________ de cero e a orde de magnitude do nmero _____.

Na escena, aparecen exemplos de situacins nas que se manexan nmeros moi grandes ou moi pequenos. Leos atentamente. EXERCICIO 2: Completa:

Dimetro da galaxia Andrmeda, con todas as sas cifras:

Dimetro da galaxia escrito en Notacin Cientfica:

Cal a orde de magnitude do dimetro desa galaxia?

Distancia da nosa galaxia galaxia Andrmeda:

Cal a orde de magnitude desta distancia?

Cantas veces, aproximadamente, maior a distancia galaxia Andrmeda que o dimetro desa galaxia?

Dimetro do noso Sistema Solar:

Cal a orde de magnitude do Sistema Solar?

Distancia da Terra La:

Cal a orde de magnitude da distancia Terra-La?

Cantas veces, aproximadamente, maior o dimetro do Sistema Solar que a distancia Terra-La?

EXERCICIO 3: Na mesma escena, pasamos ao "mundo do moi pequeno". Completa:

________'010 1 == __________'010 3 == __________'010 5 ==

________'010 2 == __________'010 4 == __________'010 6 ==

Tamao dunha pulga:

Orde de magnitude:

Medida dunha aresta de silicio:

Orde de magnitude:

Medida dunha escama da dunha bolboreta:

Orde de magnitude:

Medida dunha bacteria da clera:

Orde de magnitude:

I.E.S. _______________________



Medida dun virus:

Orde de magnitude:

Dimetro dun tomo de osxeno:

Orde de magnitude:

Dimetro do ncleo dun tomo de osxeno:

Orde de magnitude:

Cantos tomos de osxeno caben nun virus, aproximadamente?

Cantas veces cabera o ncleo ao longo dun tomo de osxeno, aproximadamente?

Pulsa

para facer exercicios. En atopars instrucins para introducir

nmeros en notacin cientfica. Leas atentamente, porque o necesitars para os exercicios seguintes. En e atopars exercicios para practicar o paso de notacin decimal a cientfica e ao revs. Fai seis exercicios de cada tipo na tboa seguinte:

Paso de forma decimal a cientfica

Notacin decimal Notacin cientfica Notacin decimal Notacin cientfica



Paso de forma cientfica a decimal





I.E.S. _______________________



4.c. Operacins en notacin cientfica Le a explicacin: "Os nmeros escritos en notacin cientfica s adoitan presentarse en... " EXERCICIO 1: Completa as frmulas para multiplicar e dividir potencias de 10.

n10ax =

m10by = ____10___yx =

____10yx

=

EXERCICIO 2: Completa:

Distancia da nosa galaxia galaxia Andrmeda:

Dimetro da galaxia Andrmeda:

Comparacin entre as ordes de magnitude (feito antes):

Cociente entre as medidas completas:

Pulsa o botn

para facer exercicios de operacins en notacin cientfica.

Escribe seis na tboa seguinte. Despois de resolvelo, pulsa COMPROBAR para corrixilo.

Operacin Resultado

I.E.S. _______________________




5. Medida de erros 5.a. Aproximacins EXERCICIO 1: Le a explicacin: "Na vida real poden presentarse... " e contesta.

En que situacins se calcula con valores aproximados?

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Na escena podes ver tres botns que che permiten acceder exemplos de aproximacins.

Pulsa:

brese un cadro con varios exemplos extrados de buscadores de Internet. Completa os datos que faltan nos seguintes recadros:

Buscador Resultados Redondeo s ... Valor exacto entre:

Google

Ask

Yahoo

Pulsa:

brese un cadro cunha factura. Completa os datos que faltan nos recadros:

Prezo do libro sen IVE Importe IVE IVE aprox. con das cifras Prezo final

Aprox. en clculos non exactos

Aproximacins con enteiros

EXERCICIOS 30. Calcula: 63.785108

31. Calcula 133,750781010

32. Calcula: 3018910-2

33. Calcula: 626,210-5

34. Pasa a forma cientfica o nmero 94494000

35. Pasa a forma cientfica o nmero 0,0000007308

36. Efecta a seguinte operacin deixando o resultado en notacin cientfica:

(5,6733102) (1,625810-6)

37. Efecta a seguinte operacin deixando o resultado en notacin cientfica:

(1,231910-9) (8,479810-1)

38. Efecta a seguinte operacin deixando o resultado en notacin cientfica: 10

11

106422,1

109989,9

39. Efecta a seguinte operacin deixando o resultado en notacin cientfica: 4

10

10217,3

103472,1

I.E.S. _______________________



Pulsa:

Na escena aparece un segmento azul. Podes medilo utilizando a regra que aparece na escena. Completa os datos que faltan nos seguintes recadros:

Aproximacin por defecto Aproximacin por exceso Valor mis probable

EXERCICIO 2: Contesta. Como se redondea unha cantidade a certa orde? Pon un exemplo.

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

Pulsa o botn

para facer exercicios de aproximacins. Despois de resolvelo,

pulsa COMPROBAR para corrixilo e OUTRO EXEMPLO para xerar un novo.

Cantidade Aproximacin Expresin en notacin cientfica


5.b. Erro absoluto e erro relativo Le a explicacin: "Presentamos aqu unha serie de medidas... " EXERCICIO: Completa a continuacin as seguintes definicins:

Erro absoluto: a diferenza entre _________________ e o __________________.

Ten ____________________________ que os valores que se usan.

Cota de erro: o _____________________ no que pode atoparse o valor exacto. Esta

medida sase cando ____________________________.

Erro relativo: o cociente entre ______________ e _______________.

Non ten ____________ e pode expresarse tamn _________________________.

Aproximacins en medidas

I.E.S. _______________________



Na escena da dereita podes ver exemplos destas medidas.

Exemplo 1: A factura Exemplo 2: Os buscadores

Prezo sen IVE Google Ask

Valor exacto do IVE Valor exacto

Valor aproximado (das cifras) Valor aproximado

Erro absoluto Cota de erro

Erro relativo Erro relativo

Exemplo 3: A factura Cota de erro

Aproximacin por defecto 0,1

Aproximacin por exceso

Valor mis probable

Pulsa o botn

para facer exercicios de aproximacins. Despois de resolvelo,

pulsa COMPROBAR para corrixilo e OUTRO EXEMPLO para xerar un novo.

Cantidade Aproximacin Erro absoluto Erro relativo


EXERCICIOS 40. Redondea s centsimas 171,39664703

41. Redondea s dezmilsimas e pasa a notacin cientfica 0,0065439

42. Redondea s decenas de millar e pasa a notacin cientfica 859.417.590

43. 460.000.000 un redondeo s decenas de milln de 456.099.072. Calcula o erro absoluto e o relativo.

I.E.S. _______________________



6. Aplicacins 6.a. Problemas de aplicacin

Pulsa os botns superiores para acceder aos diferentes exercicios.

Unha vez resoltos, pulsa COMPROBAR para corrixilos.

PROBLEMA 1 Para encher a piscina dun chal disponse de das billas de entrada de auga. Se s se usa a primeira, a piscina tarda ___ horas en encherse. Se se usa s a segunda, tarda ___ horas. Canto tardar en encherse se se usan as das vez?

PROBLEMA 2 O tringulo de Sierpinski unha figura xeomtrica dun tipo especial chamado fractal. Constrese as: Prtese dun tringulo equiltero. Nivel 1: Elimnase o tringulo que une os puntos medios. Nivel 2: Reptese o proceso cos tres tringulos que quedan. Nivel 3: Reptese o proceso cos nove tringulos que quedan. Anda que s vemos 4 etapas, o proceso segue indefinidamente. Se a rea do tringulo inicial de 1 m2, cal a rea do tringulo de Sierpinski de nivel 4?

I.E.S. _______________________



PROBLEMA 3 O aire presiona sobre cada centmetro cadrado da superficie terrestre cunha forza de 1 kg. Se a superficie do planeta de, aproximadamente, 510 millns de quilmetros cadrados, canto pesa a atmosfera? Se a masa da Terra dunhas 6 1021 Tm, cantas veces mis pesado o planeta que a atmosfera?

PROBLEMA 4 En xoiara utilzase a onza troy como unidade de peso para o ouro. Unha onza troy pesa 31,1034768 g. Se o prezo do ouro de 273 /oz, calcula o prezo dun gramo de ouro. Certo xoieiro que traballa o ouro dispn dunha balanza que comete un erro mximo de 5 centsimas de gramo por gramo. Co prezo anterior, calcula cnto pode gaar ou perder por cada onza e por cada gramo a causa do erro.

I.E.S. _______________________



Lembra o mis importante - RESUMO

Completa:

Un nmero racional : _____________________________________________________.

Todo nmero racional pode expresarse como ___________________________________.

As solucins da ecuacin son ______________________________________________

Os nmeros racionais estn ___________ e pdense ____________________.

Os nmeros enteiros _____________________________.

Operacins con fraccins

Sumar e restar:____________________________________________________________.

Multiplicar e dividir:

Para elevar a potencias:

Medida de erros

O erro absoluto _______________________________________________________.

O erro relativo ________________________________________________________.

A cota de erro ________________________________________________________.

Prioridade das operacins (cando interveen potencias)

1) _______________________________________

2) _______________________________________

3) _______________________________________

4) _______________________________________

Potencias

Se n >0, an =

Se a 0, a0 = e a-n = En particular: a-1 = e n

ba

=

Notacin cientfica

Os nmeros moi grandes ou moi pequenos exprsanse en notacin cientfica: __________.

Para operar con nmeros en notacin cientfica aplicamos____________________________.

Pulsa para ir pxina seguinte

I.E.S. _______________________



Para practicar Na pxina de EXERCICIOS, atoparalos de varios tipos:

Problemas para practicar as operacins con fraccins Problemas con potencias e notacin cientfica Problemas con valores aproximados

Problemas para practicar as operacins con fraccins Para empezar, pulsa no control Escolle opcin para indicar o tipo de problema que prefiras. conveniente que resolvas un problema de cada tipo. No enunciado, enche o espazo reservado ao dato ou datos que faltan, e despois resolve o problema. Despois de resolvelo comproba se o fixeches ben.

1. Problemas de urbanismo

O concello dunha cidade vende ____ dun solar a unha empresa e ____ do resto a outra, quedando sen vender ____ Ha. Que superficie ten o solar?

2. Con IVE ou sen IVE?

O importe da reparacin dun coche nun taller de _____ sen IVE. A canto ascende a factura con IVE? (O IVE do ____ %).

3. As rebaixas

Pagamos por un vestido ____ e na etiqueta indcannos que se lle aplicou unha rebaixa do ___ %. Cal era o prezo do vestido antes do desconto?

4. Na adega

Que cantidade de vio hai almacenado en ____ caixas e __________ se cada caixa contn ___ botellas de ____________ litro cada unha?

5. Enchendo un depsito

Unha billa enche un depsito en ____ horas e outra en ____ horas. Que fraccin do depsito enche cada unha nunha hora? E as das xuntas? Canto tardarn en enchelo as das vez?

6. A canto est o caf?

Nun almacn venden caf en paquetes de ___ Kg e descafeinado en paquetes de ___ kg. O prezo por kg de ambas as das variedades o mesmo.

Un bar mercou ____ paquetes do normal e ____ de descafeinado, pagando en total ____ . Cal o prezo do kg de caf?


I.E.S. _______________________



Problemas con potencias e notacin cientfica

1. Copia de seguridade

Quero facer unha copia de seguridade dos arquivos do meu PC, que ocupan ___ GB. Cantos DVD de 4,5 GB necesito polo menos para facelo? E se uso CD de 700 MB? E con antigos disquetes de 1,4 MB? E cos antiqusimos de 360 MB? (Usa a tboa adxunta).

2. A densidade dos planetas

Sabendo que o radio de ___ de ___ km, calcula o seu volume. Se a sa masa de ___ kg, calcula a sa densidade en g/cm3.

3. O peso das molculas

En condicins normais, nun mol de _________ hai 6,022 1023 molculas do devandito gas e pesan ____ g. Calcula o peso en gramos dunha molcula de __________


Problemas con valores aproximados

1. Medindo terras

Medimos unha parcela rectangular cunha longa corda con marcas en cada metro (medidas marxe). Repetimos as medidas cun teodlito, mellorando a precisin. Calcula as cotas de erro que se cometen ao calcular a superficie en cada caso. Co prezo que se indica, calcula as maiores diferenzas de custo en cada caso segundo a medida que tomemos.

2. Enquisa electoral

Unha empresa de demoscopia realizou unha enquisa de intencin de voto, obtendo os resultados que ves marxe. Con estes datos a cadea de televisin ABCD informa que o ___ gaar as eleccins. Pola sa banda, a cadea DCBA di que hai un empate tcnico entre PBP e PTC. Quen cres que ten razn?


I.E.S. _______________________



Autoavaliacin

Completa aqu cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e reslveo, despois introduce o resultado para comprobar se a solucin correcta.

Correccin Enunciado Solucin

Escribe a fraccin xeratriz do nmero _____

Ordena de menor a maior as seguintes fraccins: ____ , ____ , ____ , ____ , ____ ,

Calcula o resultado de ____________________________

Calcula o resultado de ____________________________

Calcula o resultado de

____________________________

Calcula o resultado de

___________________________

Calcula ____________ deixando o resultado como produtos ou cocientes de potencias de expoente positivo.

Calcula o resultado de ______________________________

Redondea o nmero ____________ s __________

Un obreiro tarda ________ das en levantar unha valla. Outro tarda _______ das. Canto tardaran traballando xuntos?

Actividades para enviar o titor Fai as actividades e envaas ao teu profesor/a seguindo as sas instrucins. Finalmente, non esquezas visitar o enlace Para saber mis para ampliar os teus coecementos.

I.E.S. _______________________


Polinomios -1 -

Polinomios

Contidos

1. Monomios e polinomios Expresins alxbricas Expresin en coeficientes Valor numrico dun polinomio

2. Operacins Suma e diferenza Produto Factor comn

3. Identidades notables Suma ao cadrado Diferenza ao cadrado Suma por diferenza

Obxectivos

Manexar as expresins alxbricas e calcular o seu valor numrico.

Recoecer os polinomios e o seu grao.

Sumar, restar e multiplicar polinomios.

Sacar factor comn.

Coecer e utilizar as identidades notables.

Autora: Conxa Sanchis Sanz Baixo licenza Versin en galego: Jos Manuel Snchez Gonzlez Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________


Polinomios -2 -

ACTIVIDADES:

Na escena, fai clic en e observa a

animacin na que aparece o valor numrico da expresin x2 +x+17 para distintos valores de x. Despois, completa a tboa seguinte como no exemplo:

Valor de x Valor numrico de x2 +x+17

13 132 +13+17 = 169 + 13 + 17 = 199

2

7

11

A continuacin, visita os enlaces da parte inferior esquerda:

En Expresins, poders repasar a expresin polinmica dun nmero nunha base e o seu significado. En Bases 10, 12, 60 poders ver un vdeo sobre a base 60, utilizada na medida de ngulos e do tempo, e a sa relacin coa base do noso sistema de numeracin, 10, e a base 12.

CONTESTA ESTAS CUESTINS: RESPOSTAS

Na medida de que magnitudes se usa a base 60?

En que rexin utilizaban o sistema de numeracin de base 60? Entre que ros est situada?

En que se basea o sistema de numeracin de base 12?

Cal a base do sistema de numeracin que usamos ns? Por que?

Cal pode ser o motivo da existencia da base 60?

Agora, pulsa para acceder aos contidos do tema.

Antes de empezar

I.E.S. _______________________


Polinomios -3 -

1. Monomios e polinomios 1.a. Expresins alxbricas Le atentamente o texto da pantalla. EXERCICIO. Completa o seguinte texto:

Un monomio un _____________________ que s contn _____________________

e ____________________________________ .

Un polinomio un _____________ de varios __________________.

A continuacin, vai escena e explora os diferentes exemplos. Fai os debuxos e completa as solucins das cuestins:

Calcula a expresin alxbrica que nos d o nmero e cadradios do rectngulo:

(Fai primeiro o debuxo)

Expresin Grao Coeficientes

Que monomio nos d a rea do rectngulo de base x e altura e?


Que expresin nos d o volume dun cubo de aresta x?


Que expresin nos d o espazo percorrido a unha velocidade constante de x km/h durante t horas?


Que polinomio nos d a lonxitude do segmento marrn?


I.E.S. _______________________


Polinomios -4 -

Que polinomio nos d a media aritmtica de dous nmeros?


Que polinomio nos d o triplo dun nmero menos cinco?


Que polinomio nos d a suma dos cadrados de dous nmeros?


Que expresin define a diagonal dun cadrado?


Que expresin define a diagonal dun rectngulo de base x e altura e?


Agora pulsa no botn para facer uns exercicios.

brese unha escena na que aparecen, esquerda, diferentes nmeros e potencias de x e, dereita, as condicins que debe verificar o polinomio buscado.

Practica o exercicio ata que consigas tres acertos consecutivos.

Cando remates... pulsa para ir pxina seguinte.

I.E.S. _______________________


Polinomios -5 -

1.b. Expresin en coeficientes

Le atentamente o texto "Un polinomio pdese definir. "... e, a continuacin, completa: A expresin dun polinomio en coeficientes consiste en__________________________ _____________________________________________________________________ . As, por exemplo, o polinomio x3 +4x2 +3x -2 a expresa por _____________________.

Agora pulsa no botn

para facer uns exercicios. Na parte superior da escena

vers os controis para escoller os coeficientes do polinomio de maior a menor grao. Modifcaos ao teu gusto: elixe algn coeficiente igual a 0, 1 ou -1 e aprende a escribir o polinomio do xeito usual. Completa a tboa seguinte con outros cinco exemplos, tal como a mostra inicial:

Coeficientes

gr4 gr3 gr2 gr1 gr0 Polinomio

Xeito usual de escribir o polinomio

1 -3 0 -1 4 1x4 +(-3)x3+0x2+(-1)x+4 x4-3x3-x+4

Pulsa en

para facer exercicios sobre a expresin en coeficientes dun polinomio.

Hai dous tipos de exercicio: nun, aparecer un polinomio e debers introducir os seus coeficientes cos controis da parte superior e, seguidamente, pulsar intro. No outro, dse a expresin do polinomio en coeficientes e ters que escribir o polinomio na forma usual. Podes pulsar Solucin para corrixires os teus resultados. Fai catro exercicios de cada tipo e cpiaos na tboa:

Polinomio C. gr 3 C. gr 2 C. gr 1 C. gr 0

I.E.S. _______________________


Polinomios -6 -

Completa: Dous polinomios son iguais se _________________________________________________.

Na escena da dereita aparecen dous polinomios P(x) e Q(x). Tes que deducir cl o valor do coeficiente descoecido "a", en Q(x), para que ambos os dous polinomios sexan iguais. Practica ata teres un mnimo de 3 acertos consecutivos.

P(x) Q(x) Valor da


1.c. Valor numrico dun polinomio

Le atentamente o texto no que se relaciona o valor numrico dun polinomio co noso sistema de numeracin, o decimal, e co sistema utilizado para a medida do tempo, o sesaxesimal. Completa:

O valor numrico do polinomio 5x2 + 2x + 3 para x =10 _______, o nmero de _______ que hai en ___ centenas, ____ decenas e _____ unidades.

O valor numrico do polinomio 5x2 + 2x + 3 para x =60 ________, o nmero de ______ que hai en ___ horas, ____ minutos e _____ segundos. Na escena da dereita tes exemplos de clculo do valor numrico dun polinomio para un valor determinado de x.

Modifica o valor de x co control

e calcula o correspondente valor numrico do

polinomio que aparece na escena. Podes utilizar calculadora. Para comprobar se o fixeches ben, pulsa Ver o resultado do valor numrico. Para cambiares de polinomio, pulsa en Outros polinomios. Anota seis exemplos na tboa inferior, dous de cada opcin:

Opcin P(x) x Valor numrico

P( ) = ___________________ =

P( ) = ___________________ =

P( ) = ___________________ =

P( ) = ___________________ =

Agora pulsa en

para ver mis exemplos e facer exercicios.

I.E.S. _______________________


Polinomios -7 -

Na primeira serie (Serie 1 de 2), aparecern 7 exemplos resoltos. En cada exemplo podes ver dereita, no recadro de cor laranxa, os pasos a seguir. Fai tantos como necesites ata entenderes ben o procedemento. Para pasar dun exemplo a outro, pulsa o botn > da parte superior. A continuacin, copia dous destes exemplos: Exemplo 1. Valor numrico do polinomio _____________________________ para x = ___

Exemplo 2. Valor numrico do polinomio _____________________________ para x = ___

Agora, para facer exercicios, pulsa o botn > > da parte superior. Accedes serie 2 de 2 na que tes 10 exercicios propostos que debes resolver na escena. Anota os resultados dos catro ltimos exercicios nesta tboa:

Polinomio Valor de x Valor numrico do polinomio

I.E.S. _______________________


Polinomios -8 -


EXERCICIOS 1. Acha as expresins alxbricas asociadas a cada imaxe

Volume, aresta=x

Lonxitude do segmento marrn

Que polinomio expresa a media aritmtica de dous nmeros x, y?

O triplo dun nmero menos

cinco

A suma dos cadrados de dous

nmeros A diagonal dun

cadrado de lado x

A diagonal dun

rectngulo de base x e altura y

2. Escribe un polinomio tal que:

3. Acha a expresin en coeficientes dos polinomios

P(x)=3x2-2x+1; Q(x)=x3-4

R(x)=0,5x2 +3x

4. Escribe as expresins polinmicas dos polinomios cuxa expresin en coeficientes :

P(x) 1 0 3 -1 Q(x) 3 2 0 0 R(x) 3/2 -3 0 5

5. Acha o valor numrico en 1, 0 e -2 dos seguintes polinomios:

POLINOMIO Valor en 1 Valor en 0 Valor en -2

x5-2x3 -x2

x2/5-1

- 2x3 + x2

-x3+1, 2x2-1/5

- 2 x2+1

I.E.S. _______________________


Polinomios -9 -

2. Operacins con polinomios 2.a. Sumas e restas Le o texto no que se explica a forma de sumar e restar polinomios. Na escena, mstrase como calcular unha suma ou unha resta utilizando as expresins en coeficientes dos polinomios.

Pulsa o para ver un exemplo de suma ou resta, respectivamente.

Copia un exemplo de cada operacin: SUMA: RESTA:

Agora pulsa en

para facer exercicios.

Aparecer unha escena con dous polinomios e a operacin a efectuar. Fai 6 destes exercicios a continuacin.

Para comprobar o resultado, pulsa

e para cambiar de datos, Outros polinomios EXEMPLO Polinomios Operacin Coeficientes

54

1 -1 -1 P(x) +

Q(x) 51

41

-2 -3

P(x) =54

x3 + x2 -x -1

Q(x) =51

x3 +41

x2 -2x -3 RESULTADO

53

45

-3 -4

P(x) + Q(x) =53

x3 +45

x2 -3x -4

EXERCICIO 1 Operacin Coeficientes

P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTADO

P(x) Q(x) =

I.E.S. _______________________


Polinomios -10 -


P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTADO

P(x) Q(x) =


P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTADO

P(x) Q(x) =


P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTADO

P(x) Q(x) =


P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTADO

P(x) Q(x) =


P(x)

Q(x)

P(x) = Q(x) =

RESULTADO

P(x) Q(x) =


I.E.S. _______________________


Polinomios -11 -

2.b. Produto Antes de pasares aos contidos desta pxina, fai clic en para ver unha animacin na que se recordan as prioridades aritmticas e os aspectos que hai que ter en conta cando, en lugar de operar con nmeros, se opera con monomios. Agora, le a explicacin do texto e completa:

Os polinomios multiplcanse _________ a _________, aplicando a propiedade ___________ do produto. E ordenamos os _____________ segundo o seu _______.

Igual que coa suma, pode resultar cmodo pasar os polinomios sa expresin en coeficientes, tal e como se explica na escena da dereita.

Examina diferentes exemplos ata que entendas ben a mecnica da operacin, e copia unha no recadro da dereita:

Agora pulsa en


Na escena aparecen dous polinomios cuxo produto debes calcular. Fai 6 destes exercicios a continuacin. Para comprobar o resultado, pulsa

e para cambiar de datos, Outros polinomios

P(x) Q(x) P(x)Q(x)


I.E.S. _______________________


Polinomios -12 -

2.c. Factor comn

Le o texto, fixndote ben no exemplo no que se explica o procedemento para sacar factor comn.

Seguidamente, na escena, introduce o factor comn aos coeficientes e a potencia de x que se poden sacar en todos os monomios, colocando os nmeros axeitados nos recadros correspondentes e pulsando intro. Despois, fai clic en Pulsa para extraer o factor para ver o resultado desta operacin. Para cambiares de exercicio pulsa Outro polinomio. Fai dez exercicios na tboa seguinte:

P(x) Factor comn Resultado de extraer factor

Agora pulsa en


Abrirase unha escena cun polinomio no que debes sacar factor comn a mxima potencia posible de x: para iso, habers de introducir os nmeros axeitados nos recadros e pulsar intro.

Se fixeches ben o exercicio, aparecer a mensaxe "Pulsa inicio para facer outro exercicio".

Se non, aparecer o botn que permite ver o resultado correcto.

Fai dez destes exercicios na tboa seguinte:

I.E.S. _______________________


Polinomios -13 -

P(x) P(x) igual a P(x) P(x) igual a


EXERCICIOS

6. Calcula P(x)+Q(x) y 3P(x)-Q(x)

P(x)=x4+2x3+3x Q(x)=2x3+x2-3x+5

7. Multiplica P(x)=x3+6x2+4x-6 por Q(x)= x3+3x2+5

8. Suma P(x) y Q(x) Multiplica P(x) y Q(x)

9. Saca factor comn:

P(x)= 4x13 - 4x11 - 6x5 - 3x4 P(x)= P(x)= -8x10 + 6x9 - 2x3 - 4x2 P(x)= P(x)= 6x5 + x2 - 4x P(x)=

I.E.S. _______________________


Polinomios -14 -

3. Identidades notables 3.a. Cadrado dunha suma

Na escena aparece un crebacabezas que che permitir deducir a frmula para obter o cadrado dunha suma. Tes: Un cadrado azul de lado 3, polo tanto de

rea ____ Outro vermello de lado 4 e rea ____ Dous rectngulos de lados 3 e 4, logo a rea

de cada un ____ Un cadrado de lado 3+4, a rea das cales

_______. Arrastra as pezas de cores para completar o cadrado gris. Cando o fagas, aparecer na parte inferior a expresin:

A rea do cadrado gris a suma das reas das pezas de cores. Modifica os valores de a e b cos controis

y

e comproba a validez da frmula para distintos pares de valores. Completa como no exemplo:

a b (a+b)2 a b (a+b)2 3 4 (3+4)2 = 32 + 42 + 2 3 4

Tamn podes ver unha demostracin aritmtica da frmula na animacin que aparece facendo

clic en .

Copia neste espazo a frmula que nos d o cadrado dunha suma:

Debes recoecer esta igualdade tamn ao contrario, de maneira que identifiques o polinomio x2+6x+9 coa expresin (x+3)2

Agora pulsa en


brese unha escena na que vers na parte superior:

Ters que ir avanzando polas 11 series de exercicios que funcionan de diferentes modos. Completa os exercicios e exemplos que se indican nos recadros seguintes:

I.E.S. _______________________


Polinomios -15 -

Serie 1. Cadrado dunha suma (automtico guiado) (a+b)2 = Para efectuar o cadrado dunha suma,

Efectase en primeiro lugar o cadrado do primeiro sumando

O dobre do primeiro polo segundo

Por ltimo chase o cadrado do segundo sumando

E sumamos todo Pulsa Serie 2. Cadrado dunha suma (automtico, libre) ( + )2 =

Pulsa Serie 3. Cadrado dunha suma (automtico guiado) o mesmo exemplo que na serie 2, pero coas explicacins no recadro laranxa. Serie 4. Cadrado dunha suma (automtico, libre) ( + )2

Pulsa Serie 5. Cadrado dunha suma (automtico guiado) o mesmo exemplo que na serie 4, pero coas explicacins no recadro laranxa. Serie 6. Cadrado dunha suma (automtico, libre) Exercicio 1 de 5. Trata de comprender os seguintes exemplos. ( + )2

Escribe o resultado final de cada un dos outros 4 exercicios da serie 6: Exercicio 2 ( + )2 = Exercicio 3 ( + )2 = Exercicio 4 ( + )2 = Exercicio 5 ( + )2 =

Para pasar seguinte serie de exercicios Pulsa

I.E.S. _______________________


Polinomios -16 -

Serie 7. Cadrado dunha suma (automtico guiado) ( + )2 = Escribe a frmula de golpe, sen operar

Opera todos os sumandos

Resultado Pulsa Serie 8. Cadrado dunha suma (escribir guiado) Tes que ir escribindo as operacins en cada paso, seguindo as indicacins do recadro laranxa. (Lembra que, para elevar ao cadrado, se utiliza a tecla ^) Exercicio 1 de 3. ( + )2 = Escribe a frmula de golpe, sen operar


Resultado Pulsa Exercicio 2 de 3. ( + )2 = Escribe a frmula de golpe, sen operar


Resultado Pulsa Exercicio 3 de 3. ( + )2 = Escribe a frmula de golpe, sen operar


Resultado Pulsa Serie 9. Cadrado dunha suma (automtico, libre) Exercicio 1 de 5. Directamente o resultado ( + )2 =

Pulsa Exercicio 2 de 5. Directamente o resultado ( + )2 =




Pulsa

I.E.S. _______________________


Polinomios -17 -

Serie 10. Cadrado dunha suma (automtico guiado) Exercicio 1 de 3. Agora ao contrario Buscamos dous sumandos que sexan cadrados

O primeiro sumando o cadrado de __

O segundo sumando o cadrado de __

O outro sumando o dobre de __ por __

Podemos escribir a expresin inicial como unha suma

ao cadrado. Pulsa Exercicio 2 de 3. Agora ao contrario Buscamos dous sumandos que sexan cadrados





ao cadrado. Pulsa Exercicio 3 de 3. Agora ao contrario Buscamos dous sumandos que sexan cadrados





ao cadrado. Pulsa Serie 11. Cadrado dunha suma (escribir guiado) Exercicio 1 de 3. Tes que escribir a expresin como o cadrado dunha suma. Escribe a frmula de golpe, sen operar

= ( + )2 Resultado Se est "Moi ben", pulsa Exercicio 2 de 3. Tes que escribir a expresin como o cadrado dunha suma. Escribe a frmula de golpe, sen operar

= ( + )2 Resultado Se est "Moi ben", pulsa Exercicio 3 de 3. Tes que escribir a expresin como o cadrado dunha suma. Escribe a frmula de golpe, sen operar

= ( + )2 Resultado


I.E.S. _______________________


Polinomios -18 -

3.b. Cadrado dunha diferenza

Na escena aparece un crebacabezas que che permitir deducir a frmula para obter o cadrado dunha diferenza. Tes: Un cadrado azul de lado 7, polo tanto de

rea ____ Outro vermello de lado 3 e rea ____ Dous rectngulos de lados 3 e 7, logo a rea

de cada un ____ Un cadrado de lado 7-3, a rea do cal

_______. Arrastra as pezas de cores para completar a figura vermella e azul. Cando o fagas, aparecer na parte inferior a expresin:

A rea do cadrado gris a suma das reas das pezas de cores. Modifica os valores de a e b cos controis

y


a b (a-b)2 a b (a-b)2 7 3 (7-3)2 = 72 + 32 - 2 7 3


clic en .

Copia neste espazo a frmula que nos d o cadrado dunha diferenza:

Debes recoecer esta igualdade tamn ao contrario, de maneira que identifiques o polinomio x2-10x+25 coa expresin (x-5)2

Agora pulsa en




I.E.S. _______________________


Polinomios -19 -

Serie 1. Cadrado dunha diferenza (automtico guiado) (a-b)2 = Para efectuar o cadrado dunha diferenza,

Efectase en primeiro lugar o cadrado do primeiro sumando

O dobre do primeiro polo segundo

Por ltimo chase o cadrado do segundo sumando

E sumamos todo Pulsa Serie 2. Cadrado dunha diferenza (automtico, libre) ( - )2 =

Pulsa Serie 3. Cadrado dunha diferenza (automtico guiado) o mesmo exemplo que na serie 2, pero coas explicacins no recadro laranxa. Serie 4. Cadrado dunha diferenza (automtico, libre) ( - )2

Pulsa Serie 5. Cadrado dunha diferenza (automtico guiado) o mesmo exemplo que na serie 4, pero coas explicacins no recadro laranxa. Serie 6. Cadrado dunha diferenza (automtico, libre) Exercicio 1 de 5. Trata de comprender os seguintes exemplos. ( - )2

Escribe o resultado final de cada un dos outros 4 exercicios da serie 6: Exercicio 2 ( - )2 = Exercicio 3 ( - )2 = Exercicio 4 ( - )2 = Exercicio 5 ( - )2 =


I.E.S. _______________________


Polinomios -20 -

Serie 7. Cadrado dunha diferenza (automtico guiado) ( - )2 = Escribe a frmula de golpe, sen operar


Resultado Pulsa Serie 8. Cadrado dunha diferenza (escribir guiado) Tes que ir escribindo as operacins en cada paso, seguindo as indicacins do recadro laranxa. (Lembra que, para elevar ao cadrado, se utiliza a tecla ^) Exercicio 1 de 3. ( - )2 = Escribe a frmula de golpe, sen operar


Resultado Pulsa Exercicio 2 de 3. ( - )2 = Escribe a frmula de golpe, sen operar


Resultado Pulsa Exercicio 3 de 3. ( - )2 = Escribe a frmula de golpe, sen operar


Resultado Pulsa Serie 9. Cadrado dunha diferenza (automtico, libre) Exercicio 1 de 5. Directamente o resultado ( - )2 =

Pulsa Exercicio 2 de 5. Directamente o resultado ( - )2 =




Pulsa

I.E.S. _______________________


Polinomios -21 -

Serie 10. Cadrado dunha diferenza (automtico guiado) Exercicio 1 de 3. Agora ao contrario Buscamos dous sumandos que sexan cadrados




Podemos escribir a expresin inicial como unha

diferenza ao cadrado. Pulsa Exercicio 2 de 3. Agora ao contrario Buscamos dous sumandos que sexan cadrados





diferenza ao cadrado. Pulsa Exercicio 3 de 3. Agora ao contrario

Buscamos dous sumandos que sexan cadrados





diferenza ao cadrado. Pulsa Serie 11. Cadrado dunha diferenza (escribir guiado) Exercicio 1 de 3. Tes que escribir a expresin como o cadrado dunha diferenza.

Escribe a frmula de golpe, sen operar

= ( - )2 Resultado Se est "Moi ben", pulsa Exercicio 2 de 3. Tes que escribir a expresin como o cadrado dunha diferenza. Escribe a frmula de golpe, sen operar

= ( - )2 Resultado Se est "Moi ben", pulsa Exercicio 3 de 3. Tes que escribir a expresin como o cadrado dunha diferenza. Escribe a frmula de golpe, sen operar

= ( - )2 Resultado


I.E.S. _______________________


Polinomios -22 -

3.c. Suma por diferenza

Na escena aparece unha demostracin xeomtrica da frmula que nos d a expresin para a suma por diferenza. Tes: Un cadrado azul de lado 7, polo tanto de

rea ____ Outro gris de lado 3 e rea ____ En azul aparece a diferenza dos dous

cadrados, ___________ Arrastra e xira o rectngulo inferior ata o contorno vermello. Formarase un rectngulo de lados: _____ e _____ e a sa rea ser _______. Ao facelo, aparecer a expresin:

Modifica os valores de a e b cos controis

y


a b (a+b) (a-b) a b (a+b) (a-b) 7 3 (7+3) (7-3) = 72 - 32 = 40


clic en . Copia neste espazo a frmula que nos d produto de suma por diferenza:

Debes recoecer esta igualdade tamn ao contrario, de maneira que identifiques o polinomio x2-16 coa expresin (x+4) (x-4).

Agora pulsa en




I.E.S. _______________________


Polinomios -23 -

Serie 1. Suma por diferenza (automtico guiado) (a+b) (a-b) = Para efectuar suma por diferenza,

Efectuamos o cadrado do primeiro sumando

O cadrado do segundo sumando

E rstase Pulsa Serie 2. Suma por diferenza (automtico, libre) ( + ) ( - ) =

Pulsa

Serie 3. Suma por diferenza (automtico guiado) o mesmo exemplo que na serie 2, pero coas explicacins no recadro laranxa. Serie 4. Suma por diferenza (automtico, libre) ( + ) ( - )

Pulsa

Serie 5. Suma por diferenza (automtico guiado) o mesmo exemplo que na serie 4, pero coas explicacins no recadro laranxa. Serie 6. Suma por diferenza (automtico, libre) Exercicio 1 de 5. Trata de comprender os seguintes exemplos. ( + ) ( - )

Escribe o resultado final de cada un dos outros 4 exercicios da serie 6: Exercicio 2 ( + ) ( - ) = Exercicio 3 ( + ) ( - ) = Exercicio 4 ( + ) ( - ) = Exercicio 5 ( + ) ( - ) =


Serie 7. Suma por diferenza (automtico guiado) ( + ) ( - ) = Escribe a frmula de golpe, sen operar


Resultado Pulsa

I.E.S. _______________________


Polinomios -24 -

Serie 8. Suma por diferenza (escribir guiado) Exercicio 1 de 3. ( + ) ( - ) = Escribe a frmula de golpe, sen operar


Resultado Pulsa Exercicio 2 de 3. ( + ) ( - ) = Escribe a frmula de golpe, sen operar


Resultado Pulsa Exercicio 3 de 3.

( + ) ( - ) = Escribe a frmula de golpe, sen operar


Resultado Pulsa Serie 9. Suma por diferenza (automtico, libre) Exercicio 1 de 5. Directamente o resultado ( + ) ( - ) = Pulsa

Exercicio 2 de 5. Directamente o resultado

( + ) ( - ) = Pulsa

Exercicio 3 de 5. Directamente o resultado ( + ) ( - ) = Pulsa



Serie 10. Suma por diferenza (automtico guiado) Exercicio 1 de 3. Agora ao contrario Temos unha diferenza de cadrados



Exprsase como suma por diferenza Pulsa Exercicio 2 de 3. Agora ao contrario Temos unha diferenza de cadrados



Exprsase como suma por diferenza Pulsa

I.E.S. _______________________


Polinomios -25 -

Exercicio 3 de 3. Agora ao contrario Temos unha diferenza de cadrados



Exprsase como suma por diferenza Pulsa Serie 11. Suma por diferenza (escribir, guiado) Exercicio 1 de 3. Tes que escribir a expresin como suma por diferenza.

= ( + ) ( ) Resultado Se est Moi ben, pulsa Exercicio 2 de 3. Tes que escribir a expresin como suma por diferenza.

= ( + ) ( ) Resultado Se est Moi ben, pulsa Exercicio 3 de 3. Tes que escribir a expresin como suma por diferenza.

= ( + ) ( ) Resultado Podes cerrar o cadro

Cando acabes Pulsa para ir pxina seguinte.

EXERCICIOS 10. Desenvolve as seguintes expresins

Expresin Solucin Expresin Solucin

(x+1)2 (x-1)2

(2x+1)2 (3-2x)2

(3x/2+5)2 (x/3-2)2

( 2 x+2)2 (x- 3 )2

11. Calcula a expresin en coeficientes dos seguintes produtos

Produtos Solucin Produtos Solucin

(x+2)(x-2) (x-1/4)(x+1/4)

(3x+7) (3x-7) (1+ 2 x)(1- 2 x)

12. Aplica as identidades notables para descompoer en factores os seguintes polinomios

Expresin Solucin Expresin Solucin

4x2+12x+9 49x2-36

36x2+36x+9 25x2-9/4

6x5-12x4+6x3 4x2-3

I.E.S. _______________________


Polinomios -26 -

Lembra o mis importante - RESUMO

Fai clic en para ver unha animacin.

Completa:

Coeficiente Variable Grao

EXPRESINS ALXBRICAS Pulsa Escribe dereita de cada imaxe a expresin alxbrica correspondente e a sa clasificacin:

xt Monomio 2 variables Grao 2

Na escena da dereita tes un librio no que poders repasar os contidos desta quincena. Arrastra as pxinas ou fai clic en

para pasar de pxina.

Repasars: Valor numrico Operacins con polinomios:

o Suma o Diferenza o Produto o Factor comn

Identidades notables (completa as frmulas) o (a + b)2 = o (a - b)2 = o (a + b) (a - b)=

Algns exemplos de identificacins tiles: o x2 +6x +9 = o x2 -10x +25 = o x2 - 49 =


I.E.S. _______________________


Polinomios -27 -

Para practicar Na pxina de EXERCICIOS, atoparalos de varios tipos:

Expresins alxbricas, polinomios, valor numrico Operacins con polinomios. Identidades notables

Expresins alxbricas, polinomios Para empezar, pulsa no control elixe opcin para escoller o tipo de problema que prefiras. conveniente que resolvas un problema de cada tipo. No enunciado, enche o espazo reservado ao dato ou datos que faltan, e despois resolve o problema.

1. Nmeros

Achar a expresin alxbrica dun nmero de ___ cifras se a cifra das unidades ______________ a cifra das decenas.

2. Canto camio?

De luns a xoves, camio x km diarios e, de venres a domingo, ______ km cada da. Acha a expresin alxbrica dos km que camio en z semanas.

3. Km de ciclismo

Se practico ciclismo a unha velocidade media de ____ km/h durante t horas ao mes, cantos km fago ao cabo do ano?

4. Soldo

O meu soldo mensual de ____ euros. Cada ano aumenta un x%. Calcular o soldo mensual dentro de _________ anos.

5. Xeometra

__________________ a expresin que define _________________________ en funcin do seu raio. Cal a variable? O grao? O coeficiente? O _____________ para un raio de _______ cm?

6. Coeficiente

Cal o grao do polinomio da esquerda? Cal o seu coeficiente de grao _____? E o de grao ______? Calcula o seu valor numrico en

x = ___

7. Horas

Que fraccin de hora son ______ minutos e _____ segundos? Sabes expresala como valor numrico dun polinomio de segundo grao?

8. Segundos

Cantos segundos hai en __ h ___ min ___ seg? Sabes expresalos como o valor numrico dun polinomio de segundo grao?

I.E.S. _______________________


Polinomios -28 -

9. Ducias, grosas, masas

Cantas unidades hai en _____ masas, _____ grosas e _______ ducias? Sabes expresalas como o valor numrico dun polinomio de segundo grao?

Unha masa =12 grosas, unha grosa =12 ducias, unha ducia =12 unidades.

Operacins con polinomios. Identidades notables 1. Suma e resta

P(x) = _______________________

Q(x)= _______________________

Acha os coeficientes de _________________

2. Multiplica

P(x) = _______________________

Q(x)= _______________________

Acha os coeficientes de P(x) Q(x)

3. Factor comn

P(x) = _______________________

Saca factor comn no polinomio P(x)

4. Converte en cadrado

Cantas unidades tes que engadir a ___________ para converter este binomio no cadrado doutro binomio? dicir, observa a figura e converte o rectngulo inicial nun cadrado.

5. Efecta o cadrado (tipo 1)

Efecta a potencia ___________________

6. Efecta o cadrado (tipo 2)

Efecta a potencia ___________________

7. Clculo mental

Calcula mentalmente _______________

Se aplicas as identidades notables, debes tardar menos de 5 segundos en dar a resposta.

8. Simplificar fraccins (tipo 1)

Aplicando as identidades notables, simplifica a fraccin






I.E.S. _______________________


Polinomios -29 -

Autoavaliacin

Completa aqu cada un dos enunciados que van aparecendo no ordenador e reslveos, despois introduce o resultado para comprobar se a solucin correcta.

Correccin Enunciado Solucin

P(x) = __________________ Q(x) = __________________ R(x) = __________________ Calcula P(x) Q(x) + P(x) R(x) e escribe os coeficientes do resultado.

Calcula o valor numrico de _________________ en x = ________.

Acha a expresin alxbrica que define a rea de _____ cadrados de lado x+y e _____ rectngulos de base x e altura e.

certa a igualdade? ____________________________ En caso afirmativo introduce 1, en caso negativo, -1

Acha os coeficientes de ____________________________

Que constante hai que sumar a _________________ Para obter o cadrado dun binomio?

Calcula o coeficiente de primeiro grao de ____________

Aplica as identidades notables para calcular mentalmente o nmero que aparece ao pulsar Nmero:________________

Simplifica a fraccin ___________________

Saca factor comn a maior potencia de x en _____________

Actividades para enviares ao titor Fai as actividades e envaas ao teu profesor/a seguindo as sas instrucins. Finalmente, non esquezas visitar o enlace Para saber mis para ampliar os teus coecementos.

I.E.S. _______________________


Ecuacins de segundo grao - 1 -

Ecuacins de segundo grao

Contidos

1. Expresins alxbricas Identidade e ecuacin Solucin dunha ecuacin

2. Ecuacins de primeiro grao Definicin Mtodo de resolucin Resolucin de problemas

3. Ecuacins de segundo grao

Definicin. Tipos Resolucin de ax2+bx=0 Resolucin de ax2+c=0 Resolucin de ax2+bx+c=0 Suma e produto das races Discriminante dunha ecuacin Ecuacin (x-a)(x-b)=0 Resolucin de problemas

Obxectivos Identificar as solucins dunha ecuacin.

Recoecer e obter ecuacins equivalentes.

Resolver ecuacins de primeiro grao.

Resolver ecuacins de segundo grao tanto completas como incompletas.

Utilizar a linguaxe alxbrica e as ecuacins para resolver problemas. Autor: Jos Luis Alcn Camas Baixo licenza

Versin en galego: Xos Eixo Blanco Creative Commons Se non se indica o contrario.

I.E.S. _______________________



Lembra Fai memoria de como resolvas as ecuacins en 2 ESO.

Intenta agora resolver o seguinte problema:

Pulsa para ir pxina seguinte.

1. Igualdades alxbricas 1.a. Identidade e ecuacin Le o texto de pantalla: "Unha igualdade alxbrica est "... EXERCICIO. Contesta: Que diferenza hai entre unha ecuacin e unha identidade?

Na escena:

Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver distintos exemplos de Identidades e Ecuacins: a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla para IDENTIDADE.

b) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla para ECUACIN verificando coa solucin.

c) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla para ECUACIN cun nmero diferente da solucin.

Pulsa no botn


Antes de empezar

Canto che custou esa radio?

Un cuarto, mis un quinto,

mis un sexto, menos 21

euros foi a metade de todo.

I.E.S. _______________________



1.b. Solucin dunha ecuacin Le o texto de pantalla: "O valor da letra que "... EXERCICIO. Contesta as seguintes preguntas:

a) Cando incompatible unha ecuacin? ____________________________________ b) Como se obteen ecuacins equivalentes? ________________________________

Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver distintos exemplos. a) Copia un exemplo (1) completo tal e como aparece na pantalla para ECUACIN COMPATIBLE.

b) Copia un exemplo (2) completo tal e como aparece na pantalla para ECUACIN COMPATIBLE.

c) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla para ECUACIN INCOMPATIBLE.

Pulsa no botn


Pulsa

para ir pxina seguinte.

EXERCICIOS 4. Escribe unha ecuacin da forma ax =b que sexa equivalente a 164x5 =+

5. Escribe unha ecuacin da forma x +b=c que sexa equivalente a 1520x5 =+

6. Razoa se x=2 solucin da ecuacin: 13)1x(3x5 =+

7. Razoa se x=3 solucin da ecuacin: 16)2x(3x7 =+

8. Comproba que x=-1 solucin da ecuacin 4xx5 2 =+

9. Escribe unha ecuacin que sexa incompatible.

EXERCICIOS 1. Clasifica a expresin alxbrica: 76x4x3)1x7(6 +=+ , en identidade ou ecuacin.

2. Clasifica a expresin alxbrica: 7x40x5)1x5(7 =+ , en identidade ou ecuacin.

3. Escribe unha ecuacin da forma ax+b=c cuxa solucin sexa x=4

I.E.S. _______________________



2. Ecuacins de primeiro grao 2.a. Definicin Le o texto de pantalla: "Unha ecuacin de primeiro grao cunha incgnita "... EXERCICIO. Contesta a seguinte pregunta: De que grao o expoente da "x"? _____

Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver distintos exemplos.

a) Copia un exemplo (1) completo tal e como aparece na pantalla.

b) Copia un exemplo (2) completo tal e como aparece na pantalla.

c) Copia un exemplo (3) completo tal e como aparece na pantalla.

Pulsa no botn


Pulsa


EXERCICIOS de Reforzo Resolve, aplicando as regras da suma e do produto, as seguintes ecuacins de primeiro grao:

a) 18x+1=-7

b) 2x+15=9

c) 10x+13=-17x+5

d) -9x-8=15x

e) 12x+15=-5x

f) -x+15=18x+4

I.E.S. _______________________



2.b. Mtodo de resolucin

Le o texto de pantalla: "Para resolver unha ecuacin de primeiro grao "...


a) Copia un exemplo (1) completo tal e como aparece na pantalla.

b) Copia un exemplo (2) completo tal e como aparece na pantalla.

c) Copia un exemplo (3) completo tal e como aparece na pantalla.

Pulsa no botn


EXERCICIOS 10. Resolve as seguintes ecuacins:

a) 7x 5 9x 7

17 8

+ + =

b) 2x (x 1) 5x 2

4 6

+ +=

c) 3x 7(x 1) 2x 1

26 3

+ =

d) 2x 5 2x 8

x3 7

+ =

e) 6x (x 8) 2x 17

x6 3

= +

I.E.S. _______________________



2.c. Resolucin de problemas

Le o texto de pantalla: "Para resolver un problema mediante unha ecuacin, hai que "...

Exemplos

Pulsa sobre

e continua con para ver como se fai.

E < volver para ir de novo ao men. Para outros exemplos do mesmo tipo:

a) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo IDADES.

b) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo MESTURAS.

c) Copia un exemplo completo tal e como aparece na pantalla tipo MOVEMENTOS.

Pulsa no botn


Pulsa


EXERCICIOS 11. A idade dun pai triple que a do seu fillo, se entre os dous suman 56 anos, cal a

idade de cada un?

12. Cantos litros de vio de 5 o litro deben mesturarse con vio de 3 o litro para obter 50 litros de vio cuxo prezo sexa de 4 o litro?

I.E.S. _______________________



3. Ecuacins de segundo grao 3.a. Definicin. Tipos.

Le o texto de pantalla: "Unha ecuacin de segundo grao con "...


a) Copia un exemplo (1) de ecuacin de segundo grao COMPLETA tal e como aparece na pantalla.

b) Copia un exemplo (2) de ecuacin de segundo grao INCOMPLETA SEN termo independente.

c) Copia un exemplo (3) de ecuacin de segundo grao INCOMPLETA CON termo independente.

Pulsa no botn


EXERCICIOS de Reforzo Resolve os problemas paso a paso: a) Un ciclista sae da cidade A cara a cidade B a unha velocidade constante de 30 km/h e

outro ciclista parte de B cara A a unha velocidade constante de 20 km/h. Se a distancia entre as das cidades de 30 km, a que distancia de B se atoparn?

b) Temos 180 pedras e queremos facer dous montns, de forma que un tea o triple de

pedras que o outro. Cantas pedras ter cada montn?

I.E.S. _______________________



Pulsa


3.b. Resolucin de ax2+bx=0

Le o texto de pantalla: "Para resolver este tipo "...

Pulsa sobre Paso 1

para ver como se fai. Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver mis exemplos.

a) Copia un exemplo (1) tal e como aparece na pantalla.

b) Copia un exemplo (2) tal e como aparece na pantalla.

c) Copia un exemplo (3) tal e como aparece na pantalla.

Pulsa no botn


Pulsa


EXERCICIOS de Reforzo Indica os valores dos coeficientes a, b e c en cada unha das seguintes ecuacins de segundo grao:

a) x2 + 9 = 0 b) x2 + 3 = 4x2

c) 7x2 + 5x - 7 = 6x d) -x2 - 7 = 1 e) 7x2 - 1 = -4x

EXERCICIOS de Reforzo Resolve as seguintes ecuacins incompletas:

a) -x2 + 13x = 0 b) 16x2 + x = 0 c) x2 + 85x = 0 d) 27x2 + 23x = 0 e) 73x2 - 81x = 0

I.E.S. _______________________



3.c. Resolucin de ax2+c=0 Le o texto de pantalla: "Para resolver despxase "...

EXERCICIO. Contesta a seguinte pregunta:

Cando hai das solucins para a ecuacin ax2+c=0? ___________________________

Escribe dous exemplos de ecuacins deste tipo:

Pulsa sobre para ver como se fai. Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver mis exemplos.




Pulsa no botn


Pulsa


3.d. Resolucin de ax2+bx+c=0

Le o texto de pantalla: "A ecuacin de segundo grao completa "...

EXERCICIO. Escribe a frmula da solucin da ecuacin de segundo grao completa.

Ecuacin Frmula

EXERCICIOS de Reforzo Resolve as seguintes ecuacins incompletas:

a) 2x2 - 162 = 0 b) 4x2 - 9 = 0 c) 4x2 - 64 = 0 d) -2x2 + 128 = 0 e) 18x2 - 162 = 0

I.E.S. _______________________






Pulsa no botn


Pulsa


3.e. Suma e produto das races Le o texto de pantalla: "Se x1 e x2 son as races dunha ecuacin "...

Pulsa OUTRO EXEMPLO para ver mis exemplos



Pulsa no botn


EXERCICIOS de Reforzo Resolve as seguintes ecuacins de segundo grao completas:

a) - x2 - 11x - 28 = 0 b) - x2 - x + 30 = 0 c) - x2 + 2x + 24 = 0 d) - x2 + 11x - 30 = 0 e) x2 - 7x - 10 = 0

I.E.S. _______________________



Pulsa


3.f. Discriminante

Le o texto de pantalla: "Chmase discriminante dunha ecuacin "...

EXERCICIO. Contesta as seguintes preguntas: a) Escribe a expresin dunha ecuacin de segundo grao e a do seu discriminante.

Ecuacin: Discriminante:

b) Que condicin cumpre o discriminante para que haxa unha nica solucin?

c) Que condicin cumpre o discriminante para que haxa das solucins?

Na escena da dereita podes ver un exemplo do clculo do discriminante.





EXERCICIOS de Reforzo Resolve os seguintes exercicios sobre a suma e o produto das races dunha ecuacin de segundo grao:

a) Escribe unha ecuacin de segundo grao cuxas races sexan -8 y 1.

b) Calcula o valor de m, sabendo que x = -8 unha das solucins da ecuacin de segundo grao x2 + 3x + m = 0

c) Sen resolver a ecuacin, indica as races da ecuacin de segundo grao

x2 - 12x + 32 = 0

d) Calcula o valor de m, sabendo que x = - 10 unha das solucins da ecuacin de segundo grao x2 + 12x + m = 0

e) Sen resolver a ecuacin, indica as races da ecuacin de segundo grao

x2 - 11x + 30 = 0

I.E.S. _______________________



Pulsa no botn


Pulsa


3.g. Ecuacin (x-a)(x-b)=0

Le o texto de pantalla: "Como sabes, para que un produto de "...





Pulsa no botn


EXERCICIOS de Reforzo Indica sen resolvela, o nmero de races distintas que ten cada unha das seguintes ecuacins de segundo grao:

a) 6x2 + 3 = 0 b) - 3x2 - 60x - 300 = 0 c) - 2x2 + 32x - 128 = 0 d) - 2x2 + 6x - 4 = 0 e) - x2 - 16x - 64 = 0

EXERCICIOS de Reforzo Resolver as seguintes ecuacins de segundo grao do tipo (x-a) (x-b) = 0

a) (-x + 2) (5x + 10) = 0 b) (-x + 3) (2x - 6) = 0 c) 2x (x - 7) = 0 d) (-5x - 6) (x + 2) = 0 e) (9x + 4) (5x + 10) = 0

I.E.S. _______________________



Pulsa


3.h. Resolucin de problemas

Le o texto de pantalla: "Para resolver un problema mediante

Documents

Cuadernillo 3º ESO. Gallego