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Universidad Autónoma De Querétaro
Escuela De Bachilleres
Cuadernillo de trabajo:
Álgebra II
Material elaborado por:
MDM. Noemí Gabriela Lara Sáenz
Estudiante: _________________________________________________ Grupo: _______
Querétaro, Querétaro, enero 2020
2
Universidad Autónoma de Querétaro Escuela de Bachilleres, Plantel Sur
Programa
NOMBRE DE LA ASIGNATURA: Matemáticas II
SEMESTRE: SEGUNDO
HORAS POR SEMANA: 5 HORAS
CRÉDITOS: 8
PERFIL DEL DOCENTE: NOEMÍ GABRIELA LARA SÁENZ
MAESTRA EN DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS-UNIVERSIDAD AUTONOMA DE QUERÉTARO
SEMESTRE: 2020-1
UNIDADES TEMÁTICAS
UNIDAD I. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES En esta unidad se pretende que aprendas los diferentes
métodos de solución para sistemas de ecuaciones lineales con
dos y tres incógnitas. Que reconozcas gráficamente las
soluciones y que seas capaz de identificar cuando hay solución,
cuando no hay soluciones o cuando hay infinitas soluciones.
Esta unidad es importante, en el sentido de que aprenderás a
articular métodos analíticos y gráficos para entender y modelar
situaciones contextualizadas.
El uso de Geogebra es esta unidad, permitirá que desarrolles
habilidades visuales e interpretativas que mejorarán tu
capacidad de abstracción y resolución de problemas.
EXAMEN
UNIDAD II. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Y GRADO SUPERIOR Es esta unidad reconocerás los diferentes métodos para dar solución a una ecuación
de segundo grado y grado superior, se espera que interpretes las gráficas correspondientes
a cada una de ellas y comprendas el significado grafico de dichas soluciones.
Se plantearan situaciones contextualizadas en las que aplicaras los métodos aprendidos y
reflexionaras la solución obtenida en base a la situación problemática propuesta.
EXAMEN
3
UNIDAD III. VALOR ABSOLUTO Y DESIGUALDADES
Se pretende que en esta unidad reconozcas las características y
propiedades fundamentales del valor absoluto y las desigualdades y que
hagas uso de las mismas para la solución de ecuaciones que involucren sus
características.
Es importante que sepas que la introducción de esta unidad, es básica para
los cursos de cálculo.
EXAMEN
UNIDAD IV. FUNCIONES
En esta unidad se busca que entiendas el concepto de función así como el
proceso de surgimiento de tal concepto, sus propiedades relativas y sus posibles
aplicaciones.
Después de esta unidad debes ser capaz de: determinar el dominio y
contradominio de una función, determinar las propiedades de una función;
construir la regla de correspondencia de algunas funciones simples; poder
obtener información a partir de funciones dadas así como graficar en la
computadora funciones más complejas y determinar información importante
sobre la función a partir de esta gráfica.
EXAMEN
UNIDAD V. EXPONENTES
Se espera que identifiques exponentes enteros negativos y
cero así como apliques operaciones como suma, resta,
producto y cociente y que en estas operaciones apliques
correctamente las reglas.
EXAMEN
4
UNIDAD VI. RADICALES Se espera que apliques operaciones como suma, resta, producto y
cociente de radicales, que logres aplicar correctamente sus reglas y
que en estas operaciones las apliques en la solución de ecuaciones.
EXAMEN
UNIDAD VII. NÚMEROS COMPLEJOS
En esta unidad se espera que identifiques los elementos de un número
complejo y que veas más allá de los números reales. Se espera que puedas
hacer operaciones de suma, resta, producto y cociente que involucren
complejos y que veas la relación que existe con las ecuaciones de segundo
grado y grado superior.
EXAMEN
5
De manera general el temario se presenta a continuación:
BIBLIOGRAFÍA
1. CONAMAT : ALGEBRA
2. BELLO, IGNACIO. 2004. “Álgebra”. México. Ed. Thomson.
3. DE OTEYZA, Elena; HERNÁNDEZ, Carlos; LAMM, Emma. 1996. Álgebra. México. Ed. Prentice Hall.
4. GOBRAN, Alfonse; 1990. “Álgebra Elemental”. México. Grupo Editorial Iberoamérica.
5. KAUFMANN, Jerome; SCHWITTERS Karen. 2000.
6. Álgebra intermedia. México. Ed. Thomson.
6
EVALUACIÓN*:
1. Calificación mínima para acreditar cada unidad: 6.0
2. Condiciones para exentar y no presentar examen final: acreditar TODAS las unidades o promedio mínimo de 8.0 Los exámenes se harán durante la misma semana terminada la unidad o a la siguiente semana.
3. Tienes dos oportunidades durante el curso (parciales y final) para acreditar.
4. Si no presentas un examen parcial repruebas la unidad respectiva (claro, a menos de causas de fuerza mayor, en la medida de lo posible, verificables y con aviso previo).
5. La evaluación incluye no sólo los exámenes, sino también, los eventuales trabajos, prácticas de laboratorio, actividades en clase, participaciones extra, trabajos colaborativos y sobretodo LA PARTICIPACIÓN EN EL CURSO. Esta última se tomará en cuenta sólo hasta la calificación final o para determinar si se presenta o no el examen final.
La participación en el curso tomará en cuenta aspectos como: actitud, participación en clase, contribuciones, calidad de las intervenciones.
6. Tu evaluación incluye las siguientes 4 dimensiones fundamentales de las matemáticas:
algorítmica (operaciones manuales y con software, capacidades mnemónicas, etc.)
estratégica (planteamiento y solución de problemas, uso de estrategias de solución, capacidades de argumentación,
etc.)
conceptual (aprendizaje de conceptos)
comunicativa (expresar tu propia opinión sobre hechos matemáticos, describir objetos matemáticos, definir,
comunicar a otros las propias soluciones, etc.)
Los exámenes parciales están sujetos a que haya disposición de tiempo.
NOTAS SOBRE EL FUNCIONAMIENTO
DE LA CLASE Y SUGERENCIAS
1. LO MÁS IMPORTANTE: se aceptan sugerencias y críticas de tu parte. El éxito de nuestro curso depende de que exista una comunicación constante en ambos sentidos.
2. Las dudas más generales se resolverán en clase, las otras en ASESORÍA. El horario de asesoría presencial lo negociamos al inicio del semestre (con base en la disponibilidad de tiempo de tu profesor y de tu horario de clases).
3. Las matemáticas NO SE APRENDEN DE MEMORIA. Es más importante saber dónde hallar las cosas y como utilizarlas.
4. Regularmente habrá en las clases INTERROGACIONES ORALES lo que servirá para evaluar tu participación.
5. Trata de hacer tus TAREAS lo más rápido posible para que haya el necesario TIEMPO DE MADURACIÓN de los conceptos. Si no haces las tareas esto se reflejará en el examen.
6. El EXAMEN de cada unidad lo debes comenzar a preparar el día que iniciamos el estudio de la unidad respectiva:
estar atento en clase y participa en la discusión;
después de clase repasa los conceptos que se estudiaron;
consulta si es necesario bibliografía adicional;
comienza a hacer tu tarea;
todas las dudas que tengas consúltalas con tus compañeros o con el profesor en la clase siguiente;
LO PEOR QUE PUEDES HACER es tratar de estudiar dos o tres días antes del examen: aprendes menos y corres el riesgo de reprobar la materia.
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7. Trata de ENTENDER todos los conceptos y las proposiciones que estudiemos
a que se refieren;
en qué contexto surgen;
cuáles son los supuestos y;
cuáles las conclusiones.
De esta manera podrás aplicar dichos conceptos a la solución no sólo de ejercicios rutinarios sino incluso a ejercicios más
complejos y a la solución de problemas.
8. Buscaremos que trabajes en EQUIPO, de esta manera haces un menor esfuerzo, aprendes más rápido, te enseñas a colaborar con un grupo, conoces a otra gente y te conoces mejor a ti mismo. Sé responsable con el equipo: no esperes que los demás hagan lo que a ti te corresponde y no seas egoísta con tus compañeros que aprenden más lentamente que tú. Tú das algo a alguien y recibes algo de alguien.
9. Por respeto a los demás, queda ESTRICTAMENTE PROHIBIDO el uso de celulares durante la clase. Aprende a controlar
la tecnología: apaga tu celular antes de entrar a clase o al menos desactiva el tono del timbre.
10. Si te das de BAJA, por favor házmelo saber lo más rápido posible.
ACREDITACIÓN: Para la acreditación de la materia se seguirán los lineamientos institucionales establecidos por el Reglamento General de Exámenes establecido en la Ley Orgánica vigente (artículo 70. 71 y 74 del Reglamento de Estudiantes de la UAQ).
Derecho a calificación para acreditación: Asistencia mínima: 80% Tareas mínimas: 80% Calificación mínima aprobatoria para exentar: 8.0 (ocho punto cero) Calificación mínima aprobatoria en examen final: 6.0 (seis punto cero)
PORCENTAJE DE EVALUACIÓN**: Porcentajes de evaluación Tareas*: 10% Actividades en clase (exclusivas) 20% Prácticas de laboratorio 20% Examen 50% Décimas extra 1% c/u
Condición de las tareas*.
Individuales
Formatos especiales
Se suben a la página matebonitasuaq.webnode.mx
Las respuestas serán calificadas de manera automática en formularios de google
No se aceptan tareas fuera de tiempo bajo NINGUNA CIRCUNTANCIA.
Hojas de carpeta para atender las actividades del siguiente material
Incluye autoevaluaciones y reporte de lecturas
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ASIGNATURA PARCIAL MAESTRA Noemí Gabriela Lara Sáenz
ESTUDIANTE GRUPO
FECHA DESCRIPCIÓN Y OBSERVACIONES (Número de actividad) CALIFICACIÓN DÉCIMAS
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Si pierdes este formato y tiene firmas de actividades, éstas ya no serán tomadas en cuenta.
¡CUIDA MUCHO ESTA HOJA, LAS FIRMAS NO SE REPONEN!
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Unidad I: Sistemas de ecuaciones lineales. PLANO CARTESIANO.
Definición: Son dos rectas perpendiculares que se cruzan de manera perpendicular y que contienen a los numeros reales
(ℝ). Dentro del plano cartesiano se pueden asignar pares ordenados 𝑃(𝑥, 𝑦).
Figura 1Plano cartesiano
Ejemplo 1
Localiza en el plano cartesiano los siguientes puntos y únelos.
𝐴(3, −2), 𝐵(2,1), 𝐶(5,2), 𝐷(2,3), 𝐸(3,6), 𝐹(0,4)
𝐺(−3,6), 𝐻(−2,3), 𝐼(−5,2), 𝐽(−2,1), 𝐾(−3, −2)
𝐿(0,0)
ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.
Una ecuación de primer grado con dos incógnitas es una expresión de la forma 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎, donde 𝐴, 𝐵, 𝑦 𝐶 son
constantes y donde 𝑥 y 𝑦 reciben el nombre de incógnitas.
*Recuerda que la ecuación es una IGUALDAD entre dos expresiones denominadas miembros y separadas por el signo igual,
en las que aparecen incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas
Ejemplo 2
Identifica en las siguientes ecuaciones a A, B y C.
2𝑥 − 3𝑦 − 4 = 0 𝐴 = ______ 𝐵 = ______ 𝐶 = ______
−5𝑥 + 4𝑦 = 0 𝐴 = ______ 𝐵 = ______ 𝐶 = ______
3𝑦 − 2𝑥 = 8
𝐴 = ______ 𝐵 = ______ 𝐶 = ______
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SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LINEAL DE PRIMER GRADO CON DOS INCÓGNITAS.
Una ecuación lineal tiene como conjunto solución todos los pares
ordenados (𝑥, 𝑦) que satisfacen la ecuación, donde 𝑥 y 𝑦 son
números reales.
∴Las soluciones son:__________________________
Ejemplo 3
Verifica si los pares ordenados (1,4) 𝑦 (2,−10
3) son soluciones de la ecuación 2𝑥 − 3𝑦 − 14 = 0
Para (1,4) Para (2,−10
3)
Ejemplo 4
Verifica si el punto (−2, −1) es solución de la ecuación 𝑥 +3
2=
3
2(𝑦 − 𝑥) − 5
11
GRAFICA DE UNA ECUACIÓN 𝑨𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎
La grafica de una ecuación 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0, es una recta que forman los puntos de su conjunto solución:
{(𝑥, 𝑦)|𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0}
Ejemplo 5
Gráfica la ecuación 3𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0 usando una tabulación.
Ejemplo 6
Gráfica la ecuación 3𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0 usando la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 (𝒎: 𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝑦 𝒃: 𝒄𝒓𝒖𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂 𝒆𝒏 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒚)
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Ejemplo 7
Gráfica la ecuación 2𝑦 − 𝑥 = 6 usando los parámetros 𝑚 y 𝑏
Actividad 1.
Entregar en hojas de carpeta.
a) Gráfica las siguientes ecuaciones tabulando y usando los parámetros de la pendiente y la intersección de la recta
con el eje y.
Tabulando 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0
Con parámetros 2
3𝑥 −
1
2𝑦 = 4
b) Determina si (4,8) es solución para la ecuación 3𝑥 − 4𝑦 − 12 = 0.
c) Determina si el punto pertenece a la recta indicada.
(−4,2) 𝑒𝑛 𝑦 = −2𝑥 − 6 (1,3) 𝑒𝑛 𝑦 = 𝑥 − 4
(−2,0) 𝑒𝑛 𝑥 + 3𝑦 + 2 = 0 (
1
2, −2) 𝑒𝑛 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0
Práctica de laboratorio: Ecuaciones lineales.
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
En un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, que tienen la forma:
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
El conjunto solución lo forman todos los pares ordenados que satisfacen ambas ecuaciones, es decir:
{(𝑥, 𝑦)|𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1} ∩ {(𝑥, 𝑦)|𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2}
Figura 2 Tipos de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
Actividad 2.
Entregar en hojas de carpeta.
Gráfica y determina el conjunto solución para los siguientes sistemas.
a) {𝑥 + 𝑦 = 2𝑥 − 𝑦 = 6
b) {10𝑥 + 6𝑦 = 45𝑥 + 3𝑦 = 2
c) {2𝑥 + 𝑦 = 5
6𝑥 + 3𝑦 = −9
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MÉTODOS DE SOLUCIÓN PARA SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Método de eliminación (suma y resta).
El método consiste en buscar un número que multiplique a las ecuaciones dadas, de modo que al sumar o restar las
ecuaciones equivalentes quede una cola incógnita que al despejarla nos permita obtener su valor y, después ese valor, será
sustituido en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra incógnita.
Ejemplo 8
Resuelve y comprueba
{2𝑥 + 5𝑦 = 193𝑥 − 4𝑦 = −6
Ejemplo 9
Resuelve y comprueba
{5𝑥 − 3𝑦 = −7
3𝑥 + 5𝑦 = −11
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Método de sustitución.
El método consiste en despejar una de las incógnitas de una ecuación y sustituirla en la otra ecuación para resolver.
Ejemplo 10
Resuelve y comprueba
{3𝑥 − 4𝑦 = −11
5𝑥 + 3𝑦 = 1
Ejemplo 11
Resuelve y comprueba
{−2𝑥 + 𝑦 = −46𝑥 − 3𝑦 = 12
16
Método de sustitución.
El método consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones e igualarlas para resolver la ecuación.
Ejemplo 12
Resuelve y comprueba
{2𝑥 − 3𝑦 = 9
5𝑥 + 6𝑦 = −45
Ejemplo 13
Resuelve y comprueba
{3𝑥 + 4𝑦 = −2
−15𝑥 − 20𝑦 = 7
17
Método de determinantes.
Se tiene que encontrar el determinante del sistema ∆𝑥 y ∆𝑦 para después encontrar el valor de las incógnitas 𝑥 y 𝑦 de la
siguiente forma:
𝑥 =∆𝑥
∆𝑠, 𝑦 =
∆𝑦
∆𝑠
El determinante ∆ (delta) es un arreglo numérico de los coeficientes de 𝑥 y 𝑦.
El sistema SIEMPRE debe estar ordenado:
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 = 𝑐1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑐2
Se presentan los siguientes casos de solución.
∆𝑥 = 𝑐
∆𝑦 = 𝑐
𝑐: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
Hay solución
∆𝑥 =0
0
∆𝑦 =0
0
Soluciones infinitas
∆𝑥 =𝑐
0
∆𝑦 =𝑐
0
No hay solución
Ejemplo 14
Resuelve y comprueba
{4𝑥 − 𝑦 = −9
3𝑥 + 5𝑦 = −1
18
Ejemplo 15
Resuelve y comprueba
{2𝑥 − 𝑦 = 4
4𝑥 − 2𝑦 = 8
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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS.
Ejemplo 16
En una tienda departamental ponen en oferta camisas y pantalones que están fuera de temporada. El primer día se
vendieron cinco pantalones y siete camisas, para totalizar $1060, el segundo día de ventas se invirtieron las cantidades y se
ganaron $1100. ¿Cuál fue el precio de un pantalón y de una camisa?
Ejemplo 17
En un parque de diversiones 6 entradas de adulto y 8 de niño cuestan $880 y 4 entradas de adulto y 5 de niño cuestan $570,
¿Cuál es el precio de entrada de un adulto y de un niño?
Ejemplo 18
Los 2 3⁄ de la suma de 2 números es 92 y los 3 8⁄ de su diferencia es 3. Encuentra los números
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Actividad 3.
Entregar en hojas de carpeta.
Resuelve los siguientes ejercicios, no olvides poner conclusión en cada uno de ellos.
1. Encuentra dos números positivos cuya suma sea 225 y su diferencia 135.
2. Una colección de monedas antiguas de $5 y $10, suman la cantidad de $85. Si hay 12 monedas en total, ¿Cuántas
monedas de $10 hay?
3. Un granjero posee cierta cantidad de animales, entre gallinas y borregos, de tal forma que al sumar el número de
cabezas el resultado es 44 y la suma de las patas es 126. ¿Cuántas gallinas y cuántos borregos tiene?
4. El mismo granjero al comprar los borregos y las gallinas pagó en total $6450. Después y al mismo precio, adquirió
10 borregos y 14 gallinas, por los cuales pagó $3420, ¿Cuál es el costo de cada borrego y cada gallina? NOTA: USA
EL DATO DEL PROBLEMA 3 PARA PLANTEAR TUS ECUACIONES CORRECTAMENTE.
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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SON TRES INCÓGNITAS.
Es un sistema de la forma:
𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 = 𝑑1
𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 = 𝑑2
𝑎3𝑥 + 𝑏3𝑦 + 𝑐3𝑧 = 𝑑3
Los métodos más sencillos para resolver estos sistemas son:
Eliminación (suma y resta)
Determinantes
Método de eliminación (suma y resta).
Consiste en tomar dos de las tres ecuaciones para eliminar una incógnita, posteriormente se toma una de las dos ecuaciones
que se eligieron y la que no se utilizó para eliminar la misma incógnita, de tal manera que se obtengan dos ecuaciones con
dos incógnitas, las cuales se pueden resolver con los métodos trabajados anteriormente. Posteriormente se determina el
valor de las incógnitas que faltan.
Ejemplo 19
Resuelve
{
2𝑥 − 3𝑦 − 5𝑧 = −193𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 = −2
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
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Ejemplo 20
Resuelve
{
2𝑥 − 3𝑦 − 5𝑧 = −195𝑥 − 4𝑦 − 2𝑧 = 4
6𝑥 − 9𝑦 − 12𝑧 = 5
Método de determinantes.
Calculamos ∆𝑠 con los coeficientes de las incógnitas así como ∆𝑥, ∆𝑦 y ∆𝑧 para aplicar lo siguiente:
𝑥 =∆𝑥
∆𝑠 𝑦 =
∆𝑦
∆𝑠 𝑧 =
∆𝑧
∆𝑠
No olvides considerar lo siguiente:
El orden es muy importante, el sistema debe estar ordenado en 𝑥, 𝑦 y 𝑧.
Debes tener cuidado con los signos.
Recuerda que el determinante ∆ (delta) es un arreglo numérico de los coeficientes de las ecuaciones.
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Ejemplo 21
Resuelve
{
3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 12𝑥 − 𝑦 + 4𝑧 = 195𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 8
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Actividad 4.
Entregar en hojas de carpeta.
Resuelve los siguientes problemas, no olvides poner la conclusión a cada uno de ellos.
1. Tres profesores compraron libros de Matemáticas. Uno de ellos pagó $845 por 3 de álgebra, 5 de
geometría y 2 de cálculo; otro pagó $580 por 2 de geometría, 4 de algebra y 1 de cálculo; el ultimo
profesor pagó $650 por 1 de álgebra, 3 de geometría y 3 de cálculo ¿cuál es el precio de cada libro?
2. José compró cierto día 3 paletas, 5 helados y 2 dulces, por todo pago $28. Al día siguiente, adquirió 4
paletas, 3 helados y 5 dulces con $25 y el último día, una paleta, un helado y un dulce que le costaron $7.
¿Cuál es el costo de cada golosina?
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Unidad II: Ecuaciones de segundo grado y grado superior. La ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ y 𝑎 ≠ 0, es una ecuación de segundo grado; al término 𝑎𝑥2
se le llama término cuadrático, a 𝑏𝑥 término lineal y a 𝑐 término independiente.
CLASIFICACIÓN.
Figura 3 Clasificación de las ecuaciones de grado dos.
SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO COMPLETA.
Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones.
Las soluciones se conocen como las raíces de la ecuación.
Gráficamente, las soluciones se pueden observar con las intersecciones de una parábola con el eje de las x o
abscisas.
Figura 4 Soluciones "intersección de la gráfica con el eje x"
Ejemplo 22
1) Clasifica en completa, mixta o pura las siguientes ecuaciones.
Ecuaciones de segundo grado
Completas 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Incompletas
Mixtas 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
Puras 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0
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2) Dadas las siguientes gráficas, determina las raíces de las ecuaciones.
a)
b) c)
d) e)
f)
SOLUCIÓN COMPLETANDO EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
Para completar el TCP (Trinomio Cuadrado Perfecto) primero se agrupan los términos que tengan a las incógnitas en un
miembro de ecuación y el término independiente en el otro miembro, posteriormente se suman en ambos miembros de la
igualdad el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal de la ecuación.
Figura 5 Coeficiente del término lineal.
Ejemplo 23
Resuelve la ecuación utilizando TCP, 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 0
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Ejemplo 24
Encuentra las raíces utilizando TCP para: 𝑥2 − 5𝑥 − 6 = 0
Ejemplo 25
Encuentra las raíces utilizando TCP para: −𝑥2 − 2𝑥 + 3 = 0
28
Ejemplo 26
Encuentra las raíces utilizando TCP para: 𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 0
FÓRMULA GENERAL.
Deducción. Sea la ecuación general de segundo grado de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
29
Ejemplo 27
Resuelve utilizando la fórmula general 3𝑥2 − 5𝑥 − 2 = 0
Ejemplo 28
Resuelve utilizando la fórmula general 2𝑥2 − 3𝑥 = 0
30
Ejemplo 29
Resuelve utilizando la fórmula general 𝑥2 + 4𝑥 + 5 = 0
DISCRIMINANTE DE UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO.
La expresión 𝐼 = 𝑏2 + 4𝑎𝑐 es el discriminante de una ecuación de segundo grado y permite saber si las raíces son reales o
imaginarias.
1) Si 𝐼 > 0, las raíces son reales y diferentes.
2) Si 𝐼 = 0, la solución es 𝑥 =−𝑏
2𝑎
3) Si 𝐼 < 0, las raíces son complejas o imaginarias.
Ejemplo 30
Determina el carácter de las raíces para 20𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0
Ejemplo 31 Cómo son las raíces para 4𝑦2 − 8𝑦 + 7 = 0
31
FACTORIZACIÓN.
Otra forma de resolver las ecuaciones de segundo grado es factorizando la expresión e igualando a cero cada factor para
posteriormente despejar la incógnita.
Ejemplo 32 Resuelve factorizando 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = 0
Ejemplo 33 Resuelve factorizando 𝑥2 + 11𝑎𝑥 + 10𝑎2 = 0
Ejemplo 34 Resuelve factorizando 6𝑥2 − 7𝑥 − 3 = 0
Ejemplo 35
Resuelve factorizando 3𝑥2 + 19𝑥 − 14 = 0
32
SOLUCIÓN A UNA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO INCOMPLETA.
Mixtas.
Tiene la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0, para obtener las raíces de la expresión se aplica factor común y una de las raíces siempre es
cero.
Ejemplo 36 Determina la solución para 𝑥2 − 5𝑥 = 0
Ejemplo 37 Determina la solución para (𝑥 − 3)2 − (2𝑥 + 5)2 = −16
Puras.
Tiene la forma 𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0, para obtener sus raíces o soluciones se despeja 𝑥 o se factoriza la ecuación.
Ejemplo 38
Encuentra las soluciones para 2𝑥−3
𝑥−3=
𝑥−2
𝑥−3
33
Ejemplo 39 Resuelve la ecuación 𝑥2 − 9 = 0
Ejemplo 40 ¿Cuáles son las raíces para 4𝑥2 − 1?
PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
Ejemplo 41 La suma de dos números es 18 y la suma de sus cuadrados es 180. ¿Cuáles son los números?
34
Ejemplo 42 Determina las dimensiones de un rectángulo, si su perímetro es de 280 𝑚y su área de 4000 𝑚2
Actividad 5.
Entregar en hojas de carpeta.
Resuelve el siguiente problema.
A partir de una pieza cuadrada de lata, se desea construir una caja con base cuadrada y sin tapa, quitando cuadrados en
las esquinas de 2 𝑐𝑚 por lado y doblando hacia arriba los lados; si la caja debe tener 90 𝑐𝑚3, ¿Cuáles son las dimensiones
de la pieza de hoja de lata que deberá usarse?
Práctica de laboratorio: Sistemas mixtos.
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SISTEMAS MIXTOS.
Geométricamente este tipo de sistemas de ecuaciones se generan cuando se intersectan una recta y una curva con ecuación
cuadrática (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola) o dos ecuaciones cuadráticas. La solución que satisface a ambas
ecuaciones son los puntos de intersección entre las gráficas y por tanto la solución se representa mediante un par ordenado
(𝑥, 𝑦)
Solución a un sistema cuadrático-lineal.
Ejemplo 43
Resuelve el sistema
{𝑥2 + 𝑦2 = 10𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
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Ejemplo 44
Resuelve el sistema
{𝑥2 + 𝑦2 = 9
𝑥 + 𝑦 = 0
Solución a un sistema con dos ecuaciones cuadráticas.
Ejemplo 45
Resuelve el sistema
{𝑥2 + 3𝑦2 = 31
3𝑥2 − 𝑦2 = 3
37
Ejemplo 46
Resuelve el sistema
{9𝑥2 − 2𝑦2 = 1
9𝑥2 + 2𝑦2 = 1
Sistema cuadrático mixto.
Ejemplo 46
Resuelve el sistema
{𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 4
𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 4 = 0
38
Ejemplo 46
Resuelve el sistema
{2𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 = 15
𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 9
Actividad 6.
Entregar en hojas de carpeta.
Resuelve los siguientes sistemas.
a) {𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑦 = 5
𝑥2 + 6𝑦 = 21 b) {
𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑦 = 9−𝑥 + 𝑦 = 1
c) {𝑥2 + 4𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = −3
39
ECUACIONES DE GRADO SUPERIOR.
Se llama ecuación de grado superior a toda ecuación que admite la siguiente forma:
𝑎0𝑥𝑛 + 𝑎1𝑥𝑛−1 + 𝑎2𝑥𝑛−2 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛 = 0
∀𝑛 ∈ 𝑁| 𝑛 ≥ 3 ∧ 𝑎0 ≠ 0
Frecuentemente se conoce como ecuación polinomial.
Solución a ecuaciones de grado superior: división sintética.
Ejemplo 47
Determina la solución para 𝑥3 − 5𝑥2 + 2𝑥 + 8 = 0
Ejemplo 48
Determina la solución para 2𝑥4 + 𝑥3 − 8𝑥2 − 𝑥 + 6 = 0
40
Ejemplo 49
Determina la solución para 𝑥3 − 𝑥2 − 4 = 0
Actividad 7.
Entregar en hojas de carpeta.
Encuentra las soluciones a las ecuaciones siguientes.
a) 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0
b) 2𝑥4 + 𝑥3 − 8𝑥2 − 𝑥 + 6 = 0
c) 𝑥4 − 1 = 0
Práctica de laboratorio: Ecuaciones de grado superior.
41
Unidad III: Valor absoluto y Desigualdades. DESIGUALDAD.
Es la relación de orden que existe entre dos cantidades y se representa con el símbolo “menor qué<” y “mayor qué>”
La solución a una desigualdad recibe el nombre de conjunto solución y éste puede expresarse en notación de intervalo y
gráficamente.
Ejemplo 50 Verifica cuál de los siguientes elementos del conjunto {−3, 2, 4, 5} son soluciones de la desigualdad 3𝑥 − 2 < 8
Propiedades de las desigualdades.
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ Supongamos 𝑎 = 5, 𝑏 = 3, 𝑐 = 1
1. Si 𝑎 > 𝑏 y 𝑏 > 𝑐, entonces 𝑎 > 𝑐
2. Si 𝑎 > 𝑏, entonces 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 y 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐
3. Si 𝑎 > 𝑏 y 𝑐 > 0, entonces 𝑎𝑐 > 𝑏𝑐 y 𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐
4. Si 𝑎 > 𝑏 y 𝑐 < 0, entonces 𝑎𝑐 < 𝑏𝑐 y 𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐
42
Figura 6 Tabla de desigualdades.
Desigualdad lineal con una variable.
Para determinar el conjunto solución de una desigualdad, se despeja la variable y se toman en consideración las
propiedades.
Ejemplo 51 Resuelve la desigualdad (inecuación) 6𝑥 − 10 > 3𝑥 + 5
Ejemplo 52 Determina el intervalo y gráfica el conjunto solución de la desigualdad 2𝑥 − 6 + 3𝑥 ≥ 8𝑥 + 21
43
Ejemplo 53
Cuál es el conjunto solución para 4 >2−3𝑥
7> −2
Actividad 8.
Entregar en hojas de carpeta.
Determina el conjunto solución de las siguientes desigualdades, expresa la solución en notación de intervalo y gráficamente.
a) 𝑥(𝑥 + 12) > (𝑥 − 4)2
b) −5 − (𝑥+4
5) > 11 − 3𝑥
c) −1 <5−𝑥
3≤ 7
Actividad 9.
Entregar en hojas de carpeta.
Determina el conjunto solución de las siguientes desigualdades, expresa la solución en notación de intervalo y gráficamente.
a) 5−𝑥
2−
𝑥−17
4≥
𝑥
3−
7𝑥−3
12
b) 𝑥
3−
8
7≤ 3𝑥 +
2
3
c) 0 ≤ 6 −3
2𝑥 ≤ 9
44
Actividad 10.
Entregar en hojas de carpeta.
Determina el conjunto solución de las siguientes desigualdades, expresa la solución en notación de intervalo y gráficamente.
a) −6 <2𝑥−3
4< 2
b) 1
3>
𝑥−1
5>
1
9
c) −5 ≤2−3𝑥
6≤ 2
Desigualdades cuadráticas.
Se factoriza la expresión cuadrática, después se buscan los valores que hagan cero a cada factor, esos valores se indican en
la recta numérica y se forman los intervalos a analizar mediante una tabla de signos.
Ejemplo 54 Determina el conjunto solución para 𝑥2 − 5𝑥 − 6 > 0
Ejemplo 55 Determina el conjunto solución para 𝑥2 − 25 ≥ 0
45
Ejemplo 56 ¿Cuál es el conjunto solución para 6𝑥2 < 7𝑥 + 3?
Ejemplo 56 Determina el conjunto solución para −𝑥2 + 5𝑥 < 0
46
Actividad 11.
Entregar en hojas de carpeta.
Determina el conjunto solución para:
a) 16 − 𝑥2 ≥ 0
b) −2𝑥2 + 8𝑥 < 0
c) 𝑥2 − 𝑥 − 20 > 0
d) 𝑥2 + 3𝑥 + 6 > −2𝑥 + 2
Desigualdad racional.
En este tipo de desigualdades se analiza el signo del numerador y del denominador para obtener el signo de cociente, según
sea la desigualdad dada.
Ejemplo 57
Resuelve 3
2𝑥+3<
1
𝑥−2
47
Ejemplo 58
Resuelve la desigualdad (3−𝑥)(𝑥2+2)
(𝑥−5)(𝑥+3)≥ 0
Actividad 12.
Entregar en hojas de carpeta.
Determina el conjunto solución para las siguientes desigualdades.
a) 5
4𝑥−3> 0
b) 4
3𝑥−3≤
2
𝑥−4
Desigualdades de grado superior.
En este tipo de desigualdades es necesario encontrar todos los factores que permitan dividir la recta de numeros reales
para poder analizar las posibles soluciones.
48
Ejemplo 59 Determina el conjunto solución para 𝑥3 − 8𝑥2 + 20𝑥 − 16 ≤ 0
Ejemplo 60 Determina el conjunto solución para (𝑥 + 2)(𝑥 − 4)(2 − 𝑥)(𝑥 + 1) ≥ 0
49
Desigualdades con valor absoluto.
El conjunto solución de una desigualdad que involucra valor absoluto está dado por las siguientes propiedades:
Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ y 𝑏 > 0
|𝑎| < 𝑏 se expresa cómo:
−𝑏 < 𝑎 < 𝑏
|𝑎| > 𝑏 se expresa cómo:
−𝑎 > 𝑏 o 𝑎 > 𝑏
|𝑎| ≤ 𝑏 se expresa cómo:
−𝑏 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏
|𝑎| ≥ 𝑏 se expresa cómo:
−𝑎 ≥ 𝑏 o 𝑎 ≥ 𝑏
Ejemplo 61 Determina el conjunto solución de |𝑥 + 1| < 7
Ejemplo 62
Determina el conjunto solución para |𝑥−10
5| ≤ 5
50
Ejemplo 63 Determina el conjunto solución para |𝑥 − 2| > 3𝑥 + 1
Ejemplo 64
Determina el conjunto solución para |𝑥−1
𝑥+2| ≥ 4
51
Ejemplo 65 Resuelve la desigualdad |𝑥 + 1| ≥ |1 − 2𝑥|
Actividad 13.
Entregar en hojas de carpeta.
Resuelve
a) |6 −3
4𝑥| > 9
b) |3
4𝑥 −
1
2| ≤
1
8
Actividad 14.
Entregar en hojas de carpeta.
Resuelve
a) |𝑥+4
𝑥| > 2
b) |𝑥| ≤ |𝑥 − 1|
52
Unidad IV: Funciones. Función.
Una función 𝑓 es una regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos conjuntos. Esta regla dice que a cada
elemento 𝑥 del primer conjunto llamado dominio, se le asigna un solo elemento 𝑦 del segundo conjunto llamado
contradominio.
Figura 7 Diagrama sagital función.
Relación.
Regla de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos. No restricción en la asociación de conjuntos.
Figura 8 Diagrama sagital relación.
Ejemplo 66 1. Determina si los siguientes diagramas representan una función o una relación.
2. Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados corresponden a una función o relación.
53
3. Determina si las siguientes graficas son funciones o relaciones.
Actividad 15. Determina si las gráficas son función o relación.
a) b) c)
d) e) f)
g)
h) i)
j)
k)
l)
54
Notación.
Una función se escribe como 𝑦 = 𝑓(𝑥) donde:
𝑥: Variable independiente.
𝑦: Variable dependiente.
Dominio y contradominio de una función.
Se dice que el conjunto 𝐴 es el dominio 𝐷𝑓 y 𝐵 el contradominio 𝐶𝑓 de la función. En términos del plano cartesiano, el
dominio corresponde al conjunto formado por los posibles valores para 𝑥 mientras que el contradominio corresponde a los
valores posibles para 𝑦.
𝐷𝑓 = {1,2,3,4}
𝐶𝑓 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}
Calculo grafico de dominios y contradominios.
55
Calculo de dominios de forma analítica.
Tipos de funciones.
Ejemplo 67
¿Cuál es el dominio de la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 5𝑥 − 6?
Ejemplo 68
Determina el dominio de 𝑓(𝑥) =𝑥−3
𝑥+5
Ejemplo 69
Determina el dominio para 𝑓(𝑥) =𝑥
𝑥2−5𝑥+6
Polinomial.
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2𝑥 − 1
𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1
No hay restricción
∴ 𝐷𝑓 −∞, ∞ +
Racional
𝑓 𝑥 =5
2 + 3𝑥
Restricción𝑐
0
Raiz cuadrada
𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 4
Restricción
𝑔 𝑥 ≥ 0
Combinadas
𝑓 𝑥 =𝑥 − 1
2𝑥 + 3
Restricción
Depende del tipo de función
56
Actividad 16.
Entregar en hojas de carpeta.
Determina el dominio para las siguientes funciones, represéntalo en notación de intervalo y de gráfica.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4
b) 𝑓(𝑥) =𝑥
−𝑥+3
c) 𝑓(𝑥) = 5𝑥100 + 10𝑥50 + 1
d) 𝑓(𝑥) =𝑥−4
𝑥2−25
e) 𝑓(𝑥) =𝑥−3
𝑥2−5𝑥
Práctica de laboratorio: Funciones.
Ejemplo 70
Determina el dominio 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 16
Ejemplo 71
Determina el dominio 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2
57
Ejemplo 72
Determina el dominio 𝑓(𝑥) = √−3𝑥
Actividad 17.
Entregar en hojas de carpeta.
Determina el dominio para las siguientes funciones.
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 2
b) 𝑓(𝑥) = √2 − 𝑥
c) 𝑓(𝑥) = √2𝑥2 + 5𝑥 + 2
d) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 8𝑥 + 12
e) 𝑓(𝑥) =−10𝑥
4𝑥2−5𝑥+7
f) 𝑓(𝑥) = −9𝑥2 + 𝑥 + 2
58
Unidad V: Exponentes. Es la operación en la cual la cantidad llamada base se debe multiplicar por ella misma las veces que lo indique el exponente.
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 …
Donde 𝑎 es la base y 𝑛 el exponente.
Ejemplo 73 ¿Cuál es el resultado de (−2𝑥)3?
Teoremas de los exponentes.
Ejemplo 74 Determina el resultado de las operaciones con exponentes.
𝑥3 ∙ 𝑥5 =
(−5𝑚)(8𝑚3)(−2𝑚2) =
𝑚5
𝑚2 =
−27𝑚7
−3𝑚3=
(−12𝑚7)0 =
(−3𝑥)−2 =
(𝑚4)3 =
(𝑥3 ∙ 𝑦4 ∙ 𝑧2)4 =
(𝑚4𝑛3
𝑟2 )
5
=
(2𝑥
3𝑦)
−2
=
59
Actividad 18.
Entregar en hojas de carpeta.
1. Desarrolla las siguientes potencias.
(3𝑥2)3 =
(−6𝑥2𝑦3)3 =
(7
4𝑚−2)
2
=
(6𝑎
3𝑏)
5
=
2. Simplifica las expresiones y muestra el resultado sin exponentes negativos.
(3𝑦)(−5𝑦2) =
(−𝑚3𝑛−1)(𝑚−2𝑛2) =
3𝑎5𝑏−7
𝑎3𝑏−6 =
(𝑥45) (𝑥
−25 ) (𝑥
35) =
60
Unidad VI: Radicales. La expresión √𝑎
𝑛 recibe el nombre de radical y se define como:
√𝑎𝑛
= 𝑏 si y solo sí 𝑏𝑛 = 𝑎
Un radical es una expresión algebraica que se forma con los siguientes elementos:
Figura 9 Partes de una raíz.
Teoremas de los radicales.
Ejemplo 75
Expresa como exponente fraccionario los siguientes
radicales.
Expresa en forma de radical.
√𝑥4 =5
𝑦
13 =
√𝑏 =
4(𝑚 + 𝑛)
25 =
√(𝑎 + 𝑏)35=
𝑥
13 + 𝑦
13 =
√𝑥4 + 𝑦43=
(𝑥3𝑦)
12 =
√𝑚74 √𝑚35
=
(𝑚−1 − 𝑛−2)
37 =
61
Simplificación.
Un radical de la forma √𝑎𝑚𝑛 con 𝑚 ≥ 𝑛, se puede simplificar expresando 𝑎𝑚 como un producto de bases donde el
exponente de una de ellas sea múltiplo de 𝑛.
Ejemplo 76 Simplifica los siguientes radicales.
√𝑥133=
√72𝑥3𝑦4𝑧5 = 1
2√128𝑥6𝑦5𝑧3
=
62
Unidad VII: Números complejos. Se forman por una parte real y una imaginaria. Son de la forma 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, con 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, donde 𝑎 es la parte real y 𝑏 es la imaginaria. De manera gráfica se tiene un plano especial para este tipo de números.
Figura 10 Plano complejo.
Operaciones con números complejos.
Suma, Resta, Multiplicación y División
Sean los números complejos 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 y 𝑤 = 𝑐 + 𝑑𝑖 se define:
𝑧 + 𝑤 = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖
𝑧 + 𝑤 = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑)
𝑧 − 𝑤 = (𝑎 − 𝑐) + (𝑏 − 𝑑)𝑖
𝑧 + 𝑤 = (𝑎 − 𝑐, 𝑏 − 𝑑)
𝑧 ∙ 𝑤 = (𝑎 + 𝑐)(𝑏 + 𝑑)𝑖 = (𝑎 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)𝑖 𝑧
𝑤=
𝑎 + 𝑏𝑖
𝑐 + 𝑑𝑖= (
𝑎𝑐 + 𝑏𝑑
𝑐2 + 𝑦2 ) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐2 + 𝑦2 ) 𝑖
Ejemplo 77 Realiza las siguientes operaciones.
Sean los números complejos 𝑧 = 2 + 3𝑖 y 𝑤 = −4 + 6𝑖
𝑧 + 𝑤 =
𝑧 − 𝑤 =
𝑧 ∙ 𝑤 =
𝑧
𝑤=
63
Actividad 19.
Realiza las operaciones para los siguientes casos.
𝑤 = 2 − 5𝑖 y 𝑧 = 2 + 6𝑖 𝑧 = 6 + 4𝑖 y 𝑧 = 3 − 5𝑖
𝑧 + 𝑤 =
𝑧 + 𝑤 =
𝑧 − 𝑤 =
𝑧 − 𝑤 =
𝑧 ∙ 𝑤 =
𝑧 ∙ 𝑤 =
𝑧
𝑤=
𝑧
𝑤=
