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INDICE

Índice………………………………………………………………………. 1

Raíces cuadradas………………………..……………………………... 2

Decimales…………………………….………………………………… 3

Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Denominador……… 4

Fracciones……………………………………………………………… 5

Problemas con fracciones…………………………………………… 7

Proporcionalidad………………………………… ……………….... 11

Unidades……………………………………………………………….. 18

Ecuaciones 1º grado………………………………………………… 24

Problemas de Geometría………………………………………….. 31

Potencias…………………………………………………………….. 38

Ecuaciones 2º grado………………………………………………. 41

Sistemas de ecuaciones…………………………………………... 43

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TEMA 1: RAICES CUADRADA1. Relaciona con flechas los siguientes números y su raíz

Número 625 487 900 1849 3844Raíz 62 25 43 30 55

2. Realiza efectuando los siguientes pasos: 1º Aproxima 2º Efectúa 3º Comprueba (SACARDOS DECIMALES)

2.1. 475 26 28592.2. 2354,95 28,29 2385,042.3. 945,34 295,13 857,082.4. 2,852 4,98 8,93842.5. 0,85 0,0984 0,325

3. Realiza la raíz cuadrada de los siguientes números, realizando su prueba3.1 0’345 3.2 673’575 3.3 6400003.4 528´93.5 754´983.6 81000000

4. TIPO 1: Un cuadrado tiene 21,3 cm. de lado. Calcula su área

5. TIPO 2: Calcula el lado de un cuadrado de 453’69 cm2 de área

6. Invéntate dos problemas en el cual los datos sean un número y su cuadrado. En el primer problemaconoceremos el número y nos pedirán su cuadrado y en el segundo problema conoceremos el cuadrado delnúmero y nos pedirán el número original. Ambos problemas deben estar bajo un contexto coherente.

7. Juan tiene 87 soldaditos y los quiere poner en formación cuadrada ¿Podrá hacerlo? ¿Cuántos le sobrarían?¿Cuántos tendría que comprar para ponerlos todos en formación cuadrada?

8. Se quiere poner 489 soldados en formación cuadrada. ¿Es posible? ¿Cuántos sobran? ¿Cuántos másdeberíamos traer si queremos poner la formación cuadrada?

9. Juan quiere plantar en su jardín 137 flores formando un cuadrado. ¿Puede hacerlo? ¿Le sobran? Si nopudiera, ¿cuantas tendría que comprar para hacer el cuadrado?

10. Queremos formar un jardín cuadrado sembrando 576 plantas. ¿Es posible? ¿Cuántas sobran? ¿Cuántasmás serán necesarias para formar el cuadrado inmediato mayor?

11. Con 664 baldosas cuadradas se quiere formar el mayor cuadrado posible. Calcula y contesta:a. ¿Cuántas baldosas tendrá cada lado? ¿Cuántas baldosas sobran?b. ¿Cuántas baldosas más serán necesarias para formar el cuadrado inmediato mayor?

12. Se amplia una piscina de superficie cuadrada de 225 m2 en 3/5 de su lado inicial Calcular:a. Los lados de las dos piscinasb. ¿Cuánto ha aumentado la superficie de la piscina?

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TEMA 2: DECIMALES1. Efectúa.- ( Realiza la prueba)

1.1. 32´45 + 0´8 + 4 = 36 + 0´278 + 2´5 + 3´7222=1.2. 35´6–12´47 = 37´61–36´9631.3. 36´5 x 2´07 = 0´213 x 2´3=1.4. 394’75 : 12’4= 3002 : 59´678= 346 : 20´02=

3´5 : 23´789 = 11: 0,027 = 1,44 : 0,231=

2. Realiza las siguientes operaciones:2.1 Multiplica por 100: 256 948,57 47,987 0,722.2 Divide por 100: 256 948,57 47,987 0,722.3 Multiplica y divide por 1000: 256 948,57 47,987 0,722.4 Expresa en potencias de 10: 540000 83000 0,0032

380 0,0000065

3. TIPO I: He comprado 7 garrafas de aceite de 17´5 litros cada una. Sabiendo que cada litro pesa 0´92Kg. ¿Cuántos Kg. pesa todo el aceite?

4. TIPO II: He comprado un total de 460,46 kilos de aceite repartidos en 7 garrafas de 17´5 litros cadauna. ¿Cuánto pesa cada litro de aceite?

5. TIPO III: He comprado un total de 460,46 kilos de aceite repartidos en 7 garrafas. Sabemos que cadalitro de aceite pesa 0,92 Kg. ¿Cuántos litros de aceite hay en cada garrafa?

6. TIPO IV: He comprado varias garrafas de aceite. En total he comprado 460,46 kilos de aceite. Cadagarrafa contiene 17,5 litros de aceite y cada litro de aceite pesa 0,92 kilos. ¿Cuántas garrafas hecomprado?

7. Invéntate un problema en el que intervengan una cantidad total de kilos de un determinado producto,repartidos en una cantidad de cajas, en las que caben una serie de kilos y cada kilo tiene un precio. Da lascuatro posibilidades de plantear el problema.

8. De un listón de madera de 2´9 m tengo que sacar 8 trozos para construir dos cuadros. ¿Cuánto mide cadatrozo?. ¿Cuántos metros sobran?

9. El sueldo mensual de un trabajador es de 1.654’65 euros. ¿Cuánto euros semanales cobra?

10. Un coleccionista de coches en miniatura compra varios modelos. Todos cuestan lo mismo:3,25€. 10.1. ¿Cuántos podrá comprar con 15,76€?10.2. Si quisiera comprar 8 coches, ¿cuánto dinero le haría falta?

11. Lee los siguientes problemas. Escribe la operación que hay que plantear en cada caso y razona si larespuesta debe ser un número natural o un número decimal. Si la respuesta se expresa mediante un númerodecimal, explica cuántos decimales has de sacar.

11.1. ¿Cuántas veces podrá llenar un cazo en el que caben 0,25 litros con el agua que hay en unbarreño que contiene 10,3 litros de agua?

11.2. ¿Cuántos yogures de 0,12 euros puedo comprar con 2 euros?11.3. He comprado cinco flanes de huevo y he pagado exactamente 2,55 euros. ¿cuánto me ha

costado cada flan?

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TEMA 3: MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO Y MÁXIMOCOMÚN DENOMINADOR

1. Escribe y repasa los conceptos de:Nº primo Nº compuesto Múltiplo Divisor

2. Repaso múltiplos–divisoresa) Escribe 5 múltiplos de 4 , 14, 11, 9 y 12b)Escribe 5 divisores de 44; 6 divisores de 72; 10 divisores de 720; 3 divisores de 28; 5 divisores de 24

3. ¿Es 5 divisor de 72? ¿Y 4 es divisor de 28?

4. Señala los números primos de: 3, 4, 5, 8, 9, 11, 14, 15, 27, 21 (Rodéalos con un círculo). Indica, a parte, quenúmeros son pares.

5. Sin efectuar, descompón: 100, 200, 60, 1.000 , 10.000, 600, 36000, 4.000.000

6. ¿Se puede hallar el M.C.M. y M.C.D. de un sólo número?

7. Calcula M.C.D. y M.C.M. en los siguientes casos:6, 14 y 15 24200, 1650 y 231 540 y 630 600 y 720,900, 1.210 y 3.300 2420, 1650 y 231 56000 , 2100 y 14 62 y 15

8. TIPO I: Tres ciclistas tardan en dar una vuelta al circuito 12, 15 y 20 minutos respectivamente. Si salen alas 12 horas, cuando vuelven a coincidir los tres en la línea de salida.

9. TIPO II: Tres ciclistas comienzan a dar vueltas a un circuito a las 12 horas. El primero tarda en dar unavuelta 12 minutos, el segundo 15 minutos y el tercero no lo sabemos. Han vuelto ha coincidir a las 13 horas.¿Cuántos minutos tarda el tercero en dar una vuelta, si su tiempo es el mayor de los tres y menor que lamitad del mcm?

10. Un frutero tiene 180 Kg. de manzanas y 160 de naranjas. Quiere ponerlas en bolsas iguales. ¿Cuántos kilospodrá poner como máximo en cada bolsa y cuántas bolsas necesitará para cada fruta?

11. Para señalizar el recorrido de una regata se ha colocado bolla cada 15m y una baliza cada 42m. ¿Cada cuántosmetros coincidirán una boya y una baliza?

12. El nº de tripulantes de un portaaviones no llega a 2000. Cuando forman en cubierta pueden hacerlo en gruposde 45, de 54 y de 72 personas sin que sobre ni falte ninguna. ¿Cuántos tripulantes tiene dicho portaaviones?

13. Dos campanas suenan cada 35 y cada 42 minutos respectivamente: Si suenan a la vez a las 6 de la tarde.¿Cuándo vuelven a coincidir?

14. Quiero dividir tres piezas de tela de 60 m, 90 m, y 135 m cada una en trozos de igual longitud. ¿Cuál es lamayor longitud que puede tener cada trozo?

15. Tres primas visitan a su abuela: una cada 4 días, otra cada 6 y la última cada 8. Si coincidieron en su visita el 2de junio ¿qué día volverán a coincidir de nuevo?

16. Queremos construir una alfombra de 1400 cm de largo y 770 cm de ancho con paños cuadrados. ¿Cuántomedirá el lado de cada paño?. ¿Cuántos paños habrá a lo largo y a lo ancho?

17. Una plancha de madera quiere serrarse en cuadrados lo más grandes posible. ¿ Cuál será la longitud de cadacuadrado si las dimensiones de la plancha son 512 cm de largo y 192 cm de ancho? ¿ Cuántos cuadradosobtendremos?

5

TEMA 4: FRACCIONES

1. CONCEPTOS SOBRE FRACCIONES

1. Forma dos proporciones con:21

2. Di si son ciertas las siguientes proporciones:123

91 ;

12

36 ;

219

73

3. Halla la fracción irreducible de4515 =

52575 =

10866 =

188 =

80181 =

4. Halla dos fracciones equivalentes mayores y dos menores a 25 /75

5. Halla dos fracciones equivalentes con denominadores menores y dos con denominadores mayores a3648

6. Escribe un quebrado que tenga por denominador 20 y sea equivalente a 7

7. Escribe una fracción que sea equivalente a 9 y que el denominador sea 3

8. Escribe una fracción menor que 5/6 cumpliendo:1. Que tenga menor denominador...2. Que tenga mayor denominador...

9. Ordena de menor a mayora. 6/5, 2/8, 4/7 7/8, 4/6, 1/5 3/5, 2/5, 1/5, 7/5b. 2/9, 2/5, 2/15 6/8, 5/8, 1/8, 10/8 7/5, 7/3, 7/12

10. Ordena de mayor a menor1. 14/21, 5/7, 2/3 3/5, 7/9, 4/6 2/3, 5/3, 7/3, 3/32. 2/7, 9/7, 5/7, 7/7 1 / 4, 1/5, 1/8, 1/10 2/5, 2/3, 2/6, 2/2

11. Di en cada caso qué fracción es mayora. 21/4 y 7/6 4/9, 3/5 y 2/15b. 2/8, 1/7 y 3/14 7/5, 8/3, 4/15

12. Ordena de menor a mayor:1. 1/3, 4/6, 7/18 2/5, 1/6, 3/22. 9/2, 3 / 4 ,7/12 7/6, 2 / 3, 1 / 18 y 7 / 2

13. Tres amigas compran una caja de pastas para merendar. María se come 4 / 5 partes de la caja, Rosa 5 / 7partes y Laura 9/13 partes. ¿cuál de las tres come más?

14. Juan dedica de su tiempo 2/15 al estudio de ciencias, 4/9 al estudio de lengua y el resto a Matemáticas. ¿Aque asignatura dedica más tiempo?

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2. OPERACIONES CON FRACCIONESSUMAS Y RESTAS

1. 11/7 + 6/7 + 3/7 7/9+4/9+1/9-15/9 2+4/3+1/22. 1+3/4 3/2+1/4+5/8 5/3-1/6+3/2-1/83. 11/3 - 2 15/2 - 7 8–1/ 2 + 5 / 64. 3–2 / 5 1 / 4+ 5–1 / 3 7–1 / 4 + 5 / 2

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

5. 61

52

53

59

62

74

64

109

23

23

52

31

82

:73

6. 163

:114

73

:54

23

:65

57

:129

163

:174

OPERACIONES CON SIGNOS

7. 5156

=

315

95 3

51

= )4(912

= )2(

81

8.18

5

5

6 = )4(

1912

= 5

156

=

315

95 )4(

912

=

COMBINADAS9. Efectúa9.1. Fracciones con paréntesis

a)

51

52

41

53

2

43

41

125

1142

b)

31

503

154

253

97

:2

152514

c)

72

:3

55:

215

51

52

41

53

d) 431

21

52

2

43

41

125

1142

e)

37

72

71

379

75

42

2

43

41

125

1142

9.2. Jerarquía de operaciones

f)

32

91

2152

253

32

61

352

53

g)35

:41

121

41

3

3625

853

215

h) 32

3332

35

:41

121

41

3

i) 72

3245

2

51

251

552

34

j)

21

394

152

3

41

1221

315

54

k)

32

91

2152

253 )

42

342

(154

23

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PROBLEMAS DE FRACCIONES

PROBLEMA A (fracción simple)TIPO I: Un padre reparte 36.000 euros. A uno de los hijos le corresponde los 2 / 5. ¿Qué dinero lecorresponde?

TIPO II: Un padre reparte 36.000 euros. A uno de los hijos le corresponde 14.400 euros. ¿Qué fraccióndel dinero inicial le corresponde?

TIPO III: Un padre le da a un hijo 2 / 5 de su dinero, correspondiéndole un total de 14.400 euros.¿Cuánto dinero tenía el padre inicialmente?

PROBLEMA B (suma de fracciones)TIPO I: Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta 1/3 del capital, elsegundo2/5 y el tercero el resto. Al cabo de 3 meses reparten unos beneficios 9.000 euros ¿Cuántocorresponde a cada uno?

TIPO II: Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. Al cabo de 3 meses, han repartido 9000 eurosde beneficios. Al primero de ellos le ha correspondido 3000 euros y al segundo 3600 euros. ¿Qué partedel capital inicial aportó cada uno?

TIPO III: Tres socios aportaron para formar una empresa: 1/3 del capital el primero de ellos, elsegundo 2/5 y el tercero el resto. Al cabo de tres meses, han repartido beneficios, y al tercero de ellos lehan correspondido 2400 euros. ¿Cuánto dinero ha supuesto los beneficios?

A) CONOCIDA CANTIDAD INICIAL CALCULAR UNA FRACCIÓN (directos)

1. En una clase hay 30 estudiantes, de los cuales los 3/5 son alumnas. ¿Cuántas alumnas hay en esta clase?.

2. En la clase de Raquel hay 36 alumnos de los que 5 /6 no sacan SB en lengua, ¿ qué fracción es la que sacaSB?, ¿cuantos alumnos no sacan SB?. Si fuera 15 alumnos los que sacan Notable ¿qué fracciónrepresentaría?

3. Un camión transporta 15 toneladas de fruta, 1/5 de dicha carga son naranjas, 2 / 3 manzanas y el resto peras.¿Cuántas toneladas de cada fruta transporta?

4. Se divide una finca en tres parcelas. La primera es los 2 / 5 y la segunda 1 / 4. Si la finca tiene 20.000 m2.¿Cuánto mide cada una de las parcelas?

5. Un libro se hace con la colaboración de 18 personas. De ellas, 1/3 corresponde a autores, 1/9 a secretarias,1/6 a maquetistas, 2/6 a dibujantes y el resto a personal de imprenta. Calcula el número de colaboradores decada clase.

6. En las elecciones municipales se presentaban dos partidos, A y B. El primero ha obtenido los 3 / 4 de losvotos válidos. El partido B ha conseguido los 5/20 de los votos válidos.

a) ¿Cuál de los partidos ha ganado las elecciones? ¿Por qué?b) Miguel dice que el número de votos que ha conseguido el partido B es la mitad de los que ha

conseguido el partido A. ¿Es cierto lo que dice Miguel?¿Por qué?c) Si el número total de votos válidos ha sido de 2500, ¿cuántos votos válidos ha obtenido el

partido A y cuántos el partido B?

8

7. Don Miguel debía 4200 euros. Ha pagado, primero, 3/5 de la deuda y, después, la sexta parte de la deuda.De nuevo ha pedido un préstamo por el doble de euros de lo que le faltaba por pagar. ¿cuánto debe en laactualidad?

8. Cierta clase de tela, al lavarla, encoge 2/15 de su longitud. Si compro 60 metros y medio de tela por 540euros.

a) ¿Qué longitud tendrá la tela después de lavarla?b) ¿A qué precio resultó el metro de la tela lavada?

B) FRACCIÓN DE UN TOTAL (directos)

1. Un barco carga en Barcelona 1/12 de la capacidad de sus bodegas, en Valencia 1/6 y en Cartagena 1/8. ¿Quéparte de la bodega podrá llenar en Cádiz?

2. En una ciudad, durante el año 1989, ha llovido 73 días, y 15 días estuvo el cielo nublado.a) ¿Qué fracción del año ha llovido?b) ¿Qué fracción del año ha estado el cielo nublado?

3. En un depósito había 3000 litros de agua y estaba lleno. Un día se gastó 1/6 del depósito y otro, 1250 litros.¿Qué fracción queda?

4. En un colegio hay 1095 alumnos que realizan actividades extraescolares: 1 / 3 hace judo, 2 / 5 estudiaitaliano y el resto ballet.

a) ¿Qué fracción realiza ballet?b) ¿Cuántos alumnos hacen cada actividad?

5. Un profesor ha corregido 2/5 de los exámenes con rotulador rojo y 1/4 con bolígrafo azul. Si todavía lequedan por corregir 42 exámenes, ¿cuántos tenía que revisar en total?

6. En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un día corresponden al apartado defrutas. Del dinero recaudado en la venta de frutas, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjasasciende a 43,5 euros, ¿qué caja ha hecho el establecimiento?

7. De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte, quedando aún 3 litros. ¿Cuál es lacapacidad del bidón?

8. Un grupo de amigos comenzó la ESO, pero sólo acabaron estos estudios las 3 / 4 partes del grupo. Los 2/3 delos que acabaron han hecho Bachillerato y únicamente eran 12. ¿Cuántos amigos empezaron juntos la ESO?

9. Los reyes de una dinastía tuvieron nueve nombres diferentes. La tercera parte del número de reyes llevó elprimero de estos nombres; la cuarta parte, el segundo; la octava parte, el tercero; la doceava parte el cuarto, ycada uno de los nombres restantes los llevó un solo rey. Hallar el número de reyes de la dinastía.

10. Tres amigos dividen 720 caramelos en 10 partes iguales. Al repartirse los caramelos, el primero se lleva 5partes y el segundo se lleva 3 partes

a) ¿Cuántas partes se llevará el tercero?b) ¿Cuántos caramelos les tocará a cada uno de ellos?

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C) FRACCIÓN DE LO QUE QUEDA (complejos)

PROBLEMA 1TIPO I: Una máquina teje en un día 1/8 de una pieza de 96 m. Al día siguiente teje los 2/7 de lo quequedó el día anterior. ¿Cuántos metros teje en los dos días? ¿Qué parte de la pieza queda por tejer?

TIPO II: Una máquina teje en un día 12 m de una tela, lo que supone 1/8 del total de la tela. Al díasiguiente teje los 2/7 de lo que quedó el día anterior. ¿Cuántos metros de tela teníamos inicialmente?

TIPO III: Tenemos una tela de 96 m. El primer día hemos tejido 12 metros y el segundo día 24 metros.¿Qué fracción de tela se teje primer día? ¿Y el segundo? ¿Qué fracción de tela supone lo que se teje elsegundo día respecto a la tela que quedaba?

2. Luis hace las 3/5 partes de un trabajo y José Antonio los 2/9 de lo que falta. ¿Cuánto debe hacer Carmenpara terminarlo?

3. Un depósito contiene 600 m3 de agua. Para regar una finca se extraen los lunes los 2/5 del depósito y elmiércoles 1 / 3 del agua que quedaba. ¿Qué cantidad de agua se sacó cada día? ¿Cuántos litros de agua habíael jueves?

4. Un sastre tenía una pieza de paño y empleó los 2/5, luego los 2/7 y le quedaron 22 metros. ¿Cuál era lalongitud de la pieza entera?

5. Sonia ha comprado, con un quinto del dinero que tenía, un libro de aventuras. Con la tercera parte de lo quele quedaba compró una caja de pinturas y con lo que le sobró compró unos pantalones de 39 euros. ¿Cuántodinero tenía Sonia antes de comenzar las compras? ¿Cuánto le ha costado el libro y la caja de pinturas?

6. Un tonel está lleno los 3/5 de su capacidad. Se saca 1/5 del líquido que contiene. Si la capacidad delrecipiente es de 45 litros. ¿Cuántos litros quedan?

7. Una persona se gasta 2/3 de su sueldo en comida, de lo que le resta se gasta 1/4 en alquiler de la casa. Alfinal, con el dinero que le queda se gasta la mitad en divertirse y la otra mitad lo ahorra. Si ahorra 180 euroscada mes, ¿cuánto gana en total?

8. La columna que sostiene un puente está enterrada 1/5 en tierra, protegida de hormigón ¼ de lo que queda ycubierta por el agua 2/3 del resto. Si sobresalen al aire 6 metros ¿cuánto mide la columna?

9. En un quiosco se han vendido a lo largo de la mañana los 2/3 de un lote de periódicos. Por la tarde se hanvendido la mitad de los que han quedado.

d) ¿Qué fracción del total de periódicos representa los vendidos por la tarde?e) Si no se han vendido 20 periódicos, ¿cuántos había al empezar la venta?

10. Un autobús deja en la primera parada 1/5 de los viajeros; en la segunda, 1 / 4 de los que quedaban, en latercera 1/3 del resto y en la cuarta deja 1 / 2 de los que aún quedaban a bordo. Por fin en la quinta y últimaparada deja 10 viajeros y se queda vacío. ¿Cuántas personas había al principio? ¿Cuántas se bajan en cadaparada?

11. El dueño de un establecimiento vende los 2/3 de una pieza de tela y uno de los dependientes 1/5 del resto,quedando 4 m sin vender. ¿Cuántos metros medía la pieza de tela? ¿Cuál es elvalor de la misma a 2’5 Euros el metro?

12. Un jugador pierde la cuarta parte del dinero que lleva y más tarde la mitad de lo que le queda. Suponiendoque se retira del juego, después de estas pérdidas, con 18 euros, ¿cuánto tenía al principio?

13. María quiere ordenar sus libros de lectura. En un estante de la librería puede colocar la mitad de los libros.En el otro 1/3 del resto y todavía le quedan 16 libros sin colocar. ¿Cuántos libros tiene María?

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AMPLIACIÓN

1. A 1/3 de las manzanas que yo tenía añadí 1/4 de las tuyas y llené un cesto de 26 manzanas. Con las que tequedaron has llenado uno de 15 y te sobraron 3. ¿Cuántas manzanas teníamos cada uno?

2. El número de alumnos de una Escuela de Aparejadores pasa de 250 y no llega a 300. En el primer curso sonlos 19/35, en el tercero los 1/14 y en el segundo el resto. Averiguar el número de alumnos de cada curso.

3. Un viajante ha recorrido los 2/5 de la distancia que debe hacer en un día. Si hubiese recorrido 20 Km. más,habría recorrido 7/15 del total. ¿Cuál es el trayecto total que tenia que recorrer?

4. En una tienda hacen liquidación. En ella hay 1400 artículos para vender. La primera semana se venden 3/7del total y la segunda semana la mitad de lo que quedaba. En la tercera y última semana se vende todo a 2.50euros cada producto. ¿Cuál será el importe de la caja esta última semana?

5. Los viajeros de un avión pertenecen a cuatro nacionalidades, en total viajan 65. Colocados en ordendecreciente los números de los que corresponden a cada nacionalidad, cada uno de ellos es 2/3 del anterior.¿Cuántos viajeros hay de cada uno de ellos?

6. Llevo recorridos los 7/15 de un camino y aún me falta 1/3 de kilómetros para llegar a la mitad. ¿Quélongitud tiene el camino?

7. Se han consumido 7/8 partes de un bidón de aceite. Reponiendo 38 litros ha quedado lleno hasta sus 3/5partes. Calcular la capacidad del bidón.

8. Tengo 3 barriles y 600 litros de vino que se distribuyen en tres partes iguales en los tres barriles. El primerose llena hasta sus 2/3 partes; el segundo hasta 4/5. ¿Qué fracción del tercero se llenará sabiendo que sucapacidad es la suma de las capacidades de los dos primeros?

9. Tengo una jarra y una botella llenas de agua. Si vacío los 2/5 de la primera me queda lo mismo que si vacíode la botella 1/3 de su contenido. Sabiendo que la cantidad de agua que queda en una y otra es medio litro.Calcular las capacidades de la jarra y de la botella.

10. Una torre B tiene de altura los 4/3 de otra torre A, más un metro. Una tercera torre C es de alta los 4/3 de latorre B, más 2 metros. Sabiendo que la torre C es doble de alta que la A, ¿qué altura tiene cada una de lastres torres?

11. Un terreno de 4500 m² ha sido adquirido al precio de 85 euros el m². Los 5/9 del mismo fueron vendidos a150 euros el m²; y los 7710 del resto a 165 euros el m². Vendida la parte sobrante, se obtiene una ganancia de339375 euros. Halla que fracción, de todo el terreno, es la última parte vendida y a qué precio fue vendido elmetro cuadrado.

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TEMA 5: PROPORCIONALIDAD

PROBLEMA A)

TIPO I: Hemos comprado un jersey que tenía etiquetado 39 euros. Nos han descontado un 20%. ¿Cuánto hemospagado finalmente por el jersey?

TIPO II: Hemos pagado por un jersey 31,2 euros. Si nos han rebajado un 20%. ¿Cuál era su precio original?

TIPO III: Hemos pagado por un jersey, que costaba 39 euros, 31,2 euros. ¿Cuál ha sido el porcentajedescontado?

PROBLEMA B)

TIPO I: El otro día se averió el frigorífico y el servicio técnico lo ha reparado. El precio de la factura (con un 16% de IVA incluido) y la propina de 2 euros, han supuesto 176 euros. ¿Cuál es el precio de lareparación?

TIPO II: El otro día se averío el frigorífico y el servicio técnico lo ha reparado. La reparación supuso un total de150 euros, pero al hacerme la factura tuve que pagar un incremento de un 16% por el IVA. Siademás le di una propina de 2 euros. ¿Cuánto dinero le pagué finalmente?

TIPO III: Tras la reparación de un frigorífico por el servicio técnico pagué 176 euros. Aunque la reparaciónsupuso un total de 150 euro. ¿qué porcentaje pagué de IVA, sabiendo que también le regalé 2 euros depropina?

A) PORCENTAJES

PROBLEMAS PORCENTAJES (Se conoce cantidad inicial y el % descontado o incrementado)

1. Pedro compra un jersey del que le descuentan el 25%, siendo el precio que marcaba 30 euros. ¿Cuánto lecostó el jersey?

2. En una clase de 40 alumnos 3/5 aprueban matemáticas y el 25% de ellos tienen sobresaliente. ¿Cuántossobresalientes hay?

3. Si he comprado una bicicleta de precio 635 euros y me hicieron el 15 % de descuento. ¿Cuánto pagué?

4. Las personas con más de 60 años pueden solicitar en RENFE la tarjeta dorada. Con ella hacen un descuentodel 25% en todos los billetes de tren. Jesús tiene la tarjeta dorada. ¿Cuánto pagará por un billete cuyo precioordinario es de 29 Euros?

5. El 2’06 % de la superficie de España corresponde a Navarra. ¿Cuál es la superficie de Navarra si la de España es 504.7882 Km2?

6. La familia Losada ha comprado un sofá nuevo cuyo precio es de 865,45 euros. Si paga al contado el 20% yel resto a plazos, ¿qué cantidad le quedará por pagar?

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PROBLEMAS PORCENTAJES (Se conoce cantidad inicial y la cantidad final)1. En un anuncio de rebajas, ves:“Pijamasantes 15’75, ahora 11’95”. ¿Cuál es el % rebajado en el pijama?

2. Un tirador de triples en baloncesto consiguió encestar 6 canastas de 10 intentos, ¿qué porcentaje de canastasconsiguió?

3. Luis hace limonada con 12 L de agua y 8 L de zumo de limón. ¿Cuál es el porcentaje de zumo de limón quehay en la limonada?

4. Calcula el tanto por ciento de alcohol en una mezcla de 3 litros de alcohol y 5 litros de agua.

5. En un anuncio de rebajas, ves: Pijamas: antes 15,75 ahora 11,95. Zapatos: antes 39,90, ahora 29,95. Sequiere saber:

a) ¿Están rebajados estos artículos proporcionalmente?b) Si no es así, ¿cuál lo está más?

6. Has comprado una impresora que cuesta 359 euros, pero como tienes que pagar el IVA, al final pagas 416,44euros. ¿Qué tanto por ciento de IVA has pagado?

7. En el instituto hay en 3º de ESO 210 alumnos, y se espera que pasen a 4ª de ESO 170. También hay 160alumnos en 1º de Bachillerato y se espera que pasen a 2º de Bachillerato 130. ¿En qué curso, 3º ó 1º, seespera un mejor resultado?

PROBLEMAS PORCENTAJES (Se conoce cantidad final y el % descontado o incrementado)1. En la factura de compras de libros para tercero mi madre paga 132 euros, después de haberle hecho un

descuento del 25 %. ¿Cuánto suponía la factura inicialmente?

2. Hemos pagado por un ordenador 1250 euros. Si nos han hecho una rebaja del 15%. ¿Cuánto costaba elordenador?

3. En una granja, la peste porcina mata al 18% de los cerdos, quedando 164. ¿Cuántos han muerto?

4. ¿Cuánto pesaba una mercancía que, después de perder el 20% de su peso inicial, pesa ahora 16,5 Kg.?

5. ¿Cuánto costaban unos pantalones si después de rebajarnos el 15 % hemos pagado 90 euros?

6. Un comerciante de electrodomésticos vende las batidoras antiguas a 33’25 euros cada una, perdiendo el 5 % del precio original. ¿Cuál era el precio original de las batidoras?

7. En un congreso de cardiólogos el 15% son españoles. Sabiendo que hay 36 médicos españoles. ¿Cuántos sonlos asistentes al congreso?

8. ¿De cuánto dinero disponemos si sabemos que el 25% de ese dinero es 210 euros?

7. El importe total de una factura de teléfono es de 82’36 euros (16% de IVA incluido) ¿Cuánto se pagaría sin el IVA? ¿Cuál es el importe del IVA?

8. A finales del año 1998 los embalses de Madrid se encontraban al 85% de su capacidad, lo que representa 3Hm3. ¿Cuál es la capacidad total en litros?

9. En una discoteca han entrado el 25 % más de las personas permitidas. Si han entrado un total de 250personas, ¿cuál es la cantidad de personas exactas permitidas?

10. Daniel ha tenido que pagar una multa de tráfico con un 10% de descuento por pronto pago. Además hatenido que pagar 50 euros por la grúa. ¿Cuál era el precio de la multa si abonó 225 euros?

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MAS PROBLEMAS DE PORCENTAJES1. ¿Qué es mayor, el 20% del 50% de 80 o el 200% del 5% de 50?

2. Un artículo que vale 120 euros, ante una gran demanda sube un 20%. Luego, cuando se reduce la demanda,se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo mismo que antes de la subida?

3. En un cultivo de 120.000 bacterias, una enfermedad produce la muerte del 16% de la población. Tratadas lassupervivientes con un producto, se consigue aumentar la población en un 14%. ¿Cuántas bacterias forman lapoblación finalmente?

4. Un ordenador cuesta 1172 . ¿Cuánto se deberá pagar teniendo en cuenta que en la tienda le harán un 12%de descuento y posteriormente se cargará un 16 % de IVA?

5. En una familia, la madre cobra un sueldo de 1000 euros y el padre de 1120 euros. Este mes tienen unosgastos fijos de piso, luz, agua y teléfono que ascienden al 25% de sus ingresos. Un 40% se gasta enmanutención, un 15% en vestido y calzado y un 5% en gastos varios. Pagan un recibo mensual de 200 eurospor la compra de un coche a plazos. ¿Podrán ahorrar algo este mes?

6. Calcula las personas que habrá dentro de 2 años en cierto país si hoy tiene 10800000habitantes y su índice de crecimiento vegetativo es de 30%

AMPLIACIÓN

1. Tengo dos billetes de 50 euros y, para comprar una cadena de música, me falta todavía 1/5 del dinero queposeo. ¿Cuánto pagaré por la cadena al contado si me rebajan un 5%?

2. Para fabricar 100 Kg. de pan se necesitan 40 Kg. de agua, 1 / 2 Kg. de levadura, 3 / 4 Kg. de sal y el resto deharina. En la cocción la masa pierde el 15 % del peso. ¿Cuántos kilogramos de harina hay que emplear paraobtener 500 Kg. de pan?

3. Carmen dice que sus padres le han comprado un ordenador, una impresora, y un escáner. El ordenadorcuesta 995 euros, la impresora 186 euros y el escáner no se acuerda. Sólo se acuerda que ha pagado 1178’5 euros, 16% IVA incluido después de haberle hecho un descuento del 20%. ¿Cuánto vale el escáner?

4. Un librero ha ganado 1968 euros vendiendo 82 ejemplares de una obra, la mitad al precio marcado porcatálogo y la otra mitad con una rebaja del 10%. El editor le da una comisión por libro del 25% sobre elprecio del catálogo. Halla el precio marcado en el catálogo.

5. Durante la primera cuarta parte de la liga, un equipo de fútbol ha ganado el 40% de los puntos posibles. Quéporcentaje de puntos debe ganar en las 3 / 4 partes restantes para que al finalizar la liga tenga el 70% de lospuntos posibles.

6. En una clase, el 50% de los estudiantes lleva gafas. El 30% es rubio y el 10% es rubio y lleva gafas.¿Cuántos estudiantes no son rubios y no llevan gafas?

7. En las olimpiadas de 1948, Olga Gyarmati saltó 5,40 m en longitud y ganó la medalla de oro. En lasolimpiadas de 1988, 40 años después, Jackie Joymer saltó 7,20 m. Para ganar la medalla de oro. Si elporcentaje de aumento siguiera manteniéndose, ¿qué habría que saltar para ganar la medalla de oro enlongitud en las olimpiadas del año 2028?

8. A Pedro le entregaron la factura del arreglo de su moto, pero se le mojó con la lluvia borrándose el cos te delas piezas, quedando: Coste de las piezas…… + IVA 12% ---- 21’6€. Mano de obra---- 75 € + IVA 6 % 45€ Total 321’6 €. ¿Cual fue el coste de las piezas?

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B) REGLAS DE TRES

PROBLEMAS REGLA DE TRES SIMPLE (DIRECTA E INVERSA)1. Cinco excursionistas necesitan 35 Kg de comida. ¿Cuántos Kg. necesitarán once excursionistas?

2. Cuatro alumnos necesitan 150 euros para ir 5 días de excursión ¿Cuántos días podrán ir seis alumnos con600 euros ?

3. Un granjero con 45 gallinas tiene maíz para alimentarlas 30 días. Si vende 20 gallinas, ¿cuántos días podráalimentar a las restantes?

4. Para cercar una finca hacen falta 800 postes colocados cada dos metros. Si sólo se dispone de 500 postes, ¿aqué distancia deben colocarse?

5. Se ha excavado la mitad de un foso en 35 días con 119 obreros. Habiéndose aumentado éstos en 25 obreros,¿en cuántos días acabarán?

6. Si el Kg de naranjas cuesta 0’60 Euros, ¿cuánto costará 10 Kg de naranjas?¿Cuántos Kg. nos darán por 4’80 Euros?

7. Una ganadera tiene pienso para alimentar 320 vacas durante 45 días. Pero debe darles de comer 60 días.Vende las que no puede alimentar. ¿Cuántas vacas vende?

8. Jorge tarda 25 minutos de casa al colegio, dando 100 pasos por minuto. Un día se retrasa al salir y tiene quellegar al colegio en 15 minutos. ¿Cuántos pasos deberá dar por minuto?

9. Cuatro chicos en una acampada de 10 días, han gastado en comer 150 euros. En las mismas condiciones,¿cuánto gastaran en comer 6 chicos en una acampada de 15 días?

10. En una cafetería, un camarero ha observado que por cada 100 Kg de naranjas se obtienen 40 litros de zumo.¿Cuántos Kg de naranjas hacen falta para obtener 150 litros de zumo? ¿Cuántos litros de zumo dan 750 Kgde naranjas?

11. En un campamento de refugiados hay 4500 personas y tienen víveres para 4 meses y medio. Se acuerdatrasladar a 500 personas a otro campamento cercano. ¿Para cuánto tiempo tendrán víveres los refugiados quese quedan?

12. En un comercio han hecho esta oferta:PAGUE 3 Y LLEVE 4

Una señora ha comprado 4 litros de aceite por 12,5 eurosa) ¿Cuánto le ha costado un litro de aceite?b) ¿Cuánto le habría costado un litro de aceite sin la oferta?c) ¿Cuánto se ha ahorrado en su compra?

13. Para hacer una casa en 280 días necesitamos 8 albañiles, si queremos terminarla en la mitad de días,¿cuántos albañiles harán falta?

14. Para hacer arroz con leche para 6 personas se necesitan 2 litros de leche y 1 / 4 de arroz.¿ Cuánto senecesitarán para 10 personas?

15. Para pagar el autobús para la excursión, 30 alumnos deben pagar 18 euros cada uno. ¿Cuánto pagarían sifuesen 40 alumnos?

16. Un ganadero tiene pienso para alimentar a sus 440 animales durante los 80 días de invierno. Al trasladarlos alas naves, se le murieron 20. ¿Cuántos días mas podrá alimentar a las que le quedan?

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17. El Kg de naranjas cuesta 0’60 euros. ¿Cuánto costará 10 Kg de naranja?. ¿Cuántos Kg nos darán por 4’80 euros?

18. Se sabe que los dos quinceavos de la remolacha se convierten en azúcar. ¿Cuánta remolacha hay que adquirirpara obtener 2376 Kg de azúcar?

19. Un automovilista llega a una gasolinera con el depósito vacío y 54673 Km en su cuenta kilómetros. Se gasta40 euros en gasoil y continúa su viaje. Cuando vuelve a tener el depósito vacío, su cuenta kilómetros marca55273 Km. ¿Cuál es el consumo de combustible cada 100 Km recorridos, si sabemos que el litro de gasoilcuesta 0’66 euros?

20. Los ingredientes de una receta de galletas son: 1 vaso de mantequilla; 3 huevos; 2’5 vasos de azúcar; 2 vasos de harina. Sólo tenemos 2 huevos. ¿Cómo debes modificar los restantes ingredientes de la receta para poderhacer galletas?

PROBLEMAS REGLA DE TRES COMPUESTA1. Sabemos que 16 pintores trabajando 8 horas al día durante un mes, terminan un trabajo de 60 pisos. ¿Cuántos

pintores harán falta trabajando 6 horas diarias durante 20 días para pintar 60 pisos?.

2. Veinte mecánicos han revisado 120 coches trabajando 8 horas diarias durante 14 días. ¿ Cuantos días necesitan24 mecánicos, para revisar 90 coches, si trabajan 7 horas diarias

3. ¿Cuánto tiempo emplea una persona en recorrer 720 Km andando 8 horas diarias si en 15 días ha recorrido 405Km andando 9 horas diarias.

4. Marchando con una velocidad media de 40 Km por hora, un barco necesita 9 días y 14 horas para recorrer ladistancia entre dos puertos. ¿Cuántas horas tardará otro barco navegando a 47 Km. por hora?

5. Para pinta una pared de 8 m de largo y 2 m de alto se han utilizado 5 latas de 5 Kg de pintura cada uno.¿Cuántas latas de 25 Kg de pintura se necesitará para pintar tres paredes de 16 m de largo por 2’5 m de ancho?

6. La habitación de un hotel cuesta por persona y noche 27 euros. ¿Cuánto ha de pagar una familia de 4 personaspor 3 noche si utilizan 4 habitaciones?

7. Para pintar 60 pisos 16 pintores trabajan 30 días a razón de 8 horas diarias, ¿cuántos pintores harán falta parapintar 60 pisos si queremos terminar el trabajo en 20 días y trabajando desde las 8 de la mañana hasta las 14horas?

8. El alumbrado de una calle está compuesto por 10 farolas que, funcionando 11 horas diarias, tienen un consumode 1’5 Kw / h. Se estropean tres farolas y para suplir la falta de luz, se da mas potencia aumentando el consumoa 2’3 Kw / h. ¿Cuántas horas deben estar funcionando para que el gasto del Ayuntamiento en luz sea el mismo?

9. Marchando con una velocidad media de 40 Km por hora, un barco necesita 9 días y 14 horas para recorrer ladistancia entre dos puertos. ¿Cuántas horas tardará otro barco navegando a 47 Km por hora?

10. Una persona leyendo 4 horas diarias, a razón de 15 páginas por hora, tarda en leer un libro 10 días. Si leyendoa razón de 10 páginas por hora tardase 20 días, ¿cuántas horas diarias leería?

11. Transportar 720 cajas de libros a 240 Km cuesta 4320 euros. ¿Cuántas cajas iguales se han transportado a 300Km si hemos pagado 6187,50 euros?

12. Tres trabajadores construyen una zanja de 1 m de ancho, 2 m de profundidad y 20m de largo. ¿Cuánto m delargo construirán cinco trabajadores si la zanja tiene 3m de profundidad y 1´5m de ancho?

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C) GRIFOS, INTERÉS Y REPARTOS PROPORCIONALES

MODELO GRIFOS

1. Un grifo llena un depósito en 6 minutos y otro en 3 minutos. Si los dos grifos están abiertos a la vez,¿cuántos minutos tardarán en llenarlo?

2. Un grifo llena un depósito en 2 horas, y otro grifo en 3 horas. ¿Cuánto tardará en llenarse el depósito si seabren ambos grifos a la vez?

3. Luis y Sandra realizan las mismas tareas domésticas un día cada uno. Luis emplea 3 horas y media y Sandra,4 horas. ¿Cuánto tiempo emplearían si las realizaran los dos juntos?

4. Un recipiente se llena con un grifo en 4 horas; otro grifo solo lo llena en 2 horas y un tubo de desagüe lovacía en 3 horas. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse el recipiente si se abren el tubo de desagüe y los dosgrifos?

5. Dos grifos llenan un depósito en 6 horas. Uno solo, tardaría 10 horas en llenarlo, pero no funciona. ¿Cuántashoras debe estar abierto el otro grifo para que el depósito se llene?

6. Tres grifos abiertos a la vez llenan una piscina en 24 horas. ¿Cuánto tardarían en llenarla 8 grifos iguales alos anteriores Una bañera tarda en llenarse tres horas con el grifo del agua caliente abierto y dos horas con elgrifo del agua fría, una vez llena y sin caer agua tarda en vaciarse cuatro horas. Si abrimos a la vez los dosgrifos y el desagüe, ¿cuánto tiempo tarda en llenarse?

7. Tres escavadoras hacen un trabajo en 20, 24, y 15 días respectivamente. ¿Cuánto tiempo tardarán las tresjuntas?

8. Tres obreros tarda, cada uno, en hacer una obra 7, 14 y 12 días. ¿Cuánto tardarán los tres juntos?

9. Un grifo abierto 9 horas durante 8 días ha arrojado 5400 litros. ¿Cuántos litros arrojará durante 18 días a 8horas diarias?

MODELO INTERÉS SIMPLE

1. ¿Cuánto tiempo hay que tener colocadas 3000 euros al 5 % para que se conviertan en un millón?

2. Calcula el interés que producen 7200 euros depositados en el banco al 6% durante 200 días

3. A que tanto por ciento se han depositado 150.000 euros en un banco, si en dos años ha producido unosintereses de 9.125 euros?

4. Calcula el interés que producen 3500 euros al 5% durante 3 años

5. Un capital de 7250 euros se ingresa al 5’25% durante 3 años. ¿Qué interés se obtiene al final del periodo?

6. ¿Qué capital prestado al 5% de un interés anual de 120 euros?

7. ¿A qué porcentaje se deben depositar 4500 euros para obtener un interés anual de 90 euros?

8. ¿Por cuánto tiempo debe ser prestado un capital de 72000 euros, al 5,5% anual, para que produzca un interés de12400 euros?

9. ¿Qué es preferible, comprar una casa que cuesta 120000 euros, y luego alquilarla por 6500 euros al año, oinvertir el importe de la casa al 5,5 %?

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REPARTOS PROPORCIONALES1. En una carrera se reparte 5.000 En partes inversamente proporcional a los tiempos empleados a los tres

primeros. Si los tiempos fuero de 50, 52 y 54 segundos, ¿qué premio corresponde a cada atleta?

2. Tres sastres compran un lote de piezas iguales que cuesta 576’80 . El primero se queda con dos piezas, elsegundo con 5 y el tercero con 7. ¿Cuánto debe pagar cada sastre?

3. Tres amigos se reparten 720 caramelos en partes proporcionales a sus edades, que son 10 años, 12 y 14,respectivamente. ¿Cuántos caramelos les tocan a cada uno de ellos?

4. Entre tres pintores han pintado una casa y han cobrado 4160 euros. El primero ha trabajado 15 días, el segundo12 días, y el tercero 25 días. ¿Cuánto dinero tiene que recibir cada uno?

5. María, Paloma y Sara han cobrado por un trabajo 244 euros. María ha trabajado 7 horas, Paloma 5 horas y Sara4 horas. ¿Qué le corresponde cobrar a cada una, proporcionalmente a su trabajo?

6. En una prueba ciclista se reparte 16650 euros entre los tres primeros corredores, de modo inversamenteproporcional al tiempo que han tardado en llegar. El primero tarda 12 minutos, el segundo 15 minutos y eltercero 18 minutos. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

7. Un padre reparte un premio de lotería de 9300 euros en proporción inversa a las edades de sus hijos, que son:6, 8, 12 y 18. Halla lo que le corresponde a cada hijo.

8. Un empresario reparte una paga de beneficios de 990 euros entre sus tres empleados de forma inversamenteproporcional a los días que faltaron al año. El empleado A faltó 3 días; el B 4 días, y el C, 6 días. ¿Cuánto lecorresponde a cada uno?

9. Dos ganaderos alquilan un terreno para pasto de sus dos manadas por 3500 euros. La manada del primero lacomponen 40 vacas, y la del segundo, 300 ovejas. ¿cuánto ha de pagar cada uno si cada vaca come como 10ovejas?

10. Dos leñadores aceptan cortar madera por 1500 euros. Uno, con tres ayudantes, trabajó 5 días; el otro, con 4ayudantes, trabajó 6 días. ¿Qué dinero debe recibir cada leñador?

PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN. PROPORCIONALIDAD.(PARA LOS ALUMNOS DE 2º ESO)1. Un recién nacido aumenta en el primer mes la cuarta parte de su peso y en el segundo mes gana las dos terceras

partes del aumento del primero. Al fin del segundo mes pesa 5 Kg y 100 g. ¿Cuánto pesó al nacer?

2. Se compra un coche de 36000 euros, pagando los 2/5 al contado y el resto con un aumento del 18% enmensualidades durante 2 años. ¿Cuánto corresponde pagar cada mes?

3. Dos ganaderos alquilan un terreno para pasto de sus dos manadas por 3500 euros. La manada del primero lacomponen 40 vacas y la del segundo, 300 ovejas. ¿Cuánto ha de pagar cada uno si una vaca come como 10ovejas?

4. La producción de cebollas disminuye en un 15% y la de zanahorias aumenta en un 20%, en qué relación quedala producción?

5. Tres maestros albañiles realizan una obra. Uno con dos peones, trabajó 20 días; otro, con un peón, trabajó 30días y el tercero, con cuatro peones, trabajó 10 días. ¿Qué dinero debe recibir cada maestro albañil?

6. Una excursión tiene una relación chicos-chicas de 5 a 3. Se añaden 3 chicos más y la relación pasa a ser 2 a 1.¿Cuántas personas hay en la excursión?

7. Se reparte un número N, en partes inversamente proporcionales a 4, 5 y 9. La parte correspondiente a 4 es 900.¿Qué les corresponde a los otros dos números y qué número es N?

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TEMA 6: UNIDADESObjetivo Unidimensionales ( masa, longitud, capacidad)1. Efectúa:

54 Km = Dm8000 cg = Hg0’53 cg = g342 Dl = l600 cm = hm567 ml = dl7’5 m x 10 = Dm9’78 x 100 Dg = Kg0’89 m x 2000 = Km1 / 4 Hl = l3 /4 Kg = g4600 cg = Hg

Recuerda:

Un número con una sola unidad de una magnitud se llama incomplejo 8 m.

Un número con varias unidades de una magnitud se llama complejo 7 Kg 8 g 0’9 cg

2. Reduce a incomplejo de metros los complejos dados:

a) 3 Km 9 Hm 7 Dm 6 m = b) 6 Hm 2 m 4 dm 6 cm 5 mm =c) 37 Km 4 Dm 4 dm 5 cm 7 mm d) 6 Km 9 Dm 6 m 8 dm 5 mm =

3. Completa cada casilla

Kl Hl Dl l dl cl24

36 4’5

37502400

Objetivo Superficie

1. Efectúa72 Km2 = Hm2

567000 dm2 = Km2

2 Km2 x 10000 = m 2

23000 mm2 = m2

62 x 104 m2 = Dm2

0’798 Dm2 = cm2

94’8909 Km2 = m2

0’98 Hm2 x 100 = m2

2. Transforma en complejo:a) 632’89 m2 b) 34’90088 cm2

c) 5’00987Km d) 15468’6500987 Hm

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3. Ordena de mayor a menor ( , ):a) 36’246 Dm2, 3654’8 m2, 0’35643 Hm2

b) 64’783 m2, 0’785309 Hm2, 6’4763 Dm2, 647’63dm2

4. Escribe en incomplejo de cm2

a) 74 Dm2 3 m2 6 cm2 =b) 31 Hm2 6 Dm2 14 dm2 =c) 4 Dm2 17 m2 9 dm2 3 cm2 =

5. Efectúa la siguiente resta de números complejos: (pásalo primero a incomplejo)84 Hm2 67 m2 28 m2 - 17 Hm2 43 m2 15 cm2 =4 Dm2 69 m2 4 dm2 - 2 Dm2 75 m2 17 cm2 =

6. Realiza el siguiente producto y lo pasas después a incomplejo de Dm2

35’8009 cm2 x 102 =

Objetivo “ Unidades agrarias” (hectárea Ha = Hm2, área a = Dm2, centiárea ca = m2)1. Efectúa

678 m2 = áreas7 Ha x 100 = Km2

0’98 ca x 10 = m2

35 Ha = m2

4500 m2 = Ha5 Km2 = Ha

2. Coloca el signo >, < ó = para que la siguiente expresión sea correcta;4 Ha 17 a 24 ca ........ 4172400 dm2

3. Ordena de mayor a menor ( , ):453 Dm2, 4’53 a, 0’453 Hm2, 453000 m2, 45’3 Ha, 453 x 10 mm2, 0’000453 Km2, 0’00453 a

Objetivo “ Unidades de tiempo”1. Efectúa

148 horas = días720 minutos = horas133 días = semanas3 horas y cuarto = minutos72 meses = años5 días y tres horas = minutostres días y medio = minutos1.543 d. C. = siglo10 0 a. C. = siglo987 a. C. = siglo

2. Expresa en forma incompleja de segundos:a) 4 horas, 37 minutos, 48 segundos =b) 1 día y 300 segundos =c) 1 año, 4 días, 33 minutos, 54 segundos =d) 3’ 56097 horas = e) 27’09845 horas = f) 132’45 minutos =

3. Realiza las siguientes operaciones:(23 horas 20 minutos - 15 horas 45 minutos 37 segundos) :522 horas 29 minutos 15 segundos + 3 horas 39 minutos 42 segundos): 12

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Objetivo “ Unidades de ángulos”

1. Efectúa

58º 33’ 55’’ 26º 3’ 24’’ 34º 35’ 56’’ 712º 43’ 40’’ + 25º 33’ 49’’ --

2. Expresa en grados: a) 45608’ = b) 7200’’ = c) 8737’’ = e) 4 rectos =

3. Expresa en segundos: a) 4º = b) 5º 19’ 23’’ = c) 62o 76” =

Objetivo Unidades

1. Efectúa25 Hm= cm3 l = Dl2´5Dg = cm3

12 Kg = gr250 Dm = Km.4´5Hl = dl2600 m2 = Km2

2540 cm3 = m3

65,8Hm3= Kg(H2O)9600 cm = m50000 dm = Km36 Km. = m200 gr. Kg3 Hm = Kl0´005 Tm gr.36 Ha = m2600 cm l500 gr. = Kg.300000 Hm m367’6004 Km = cm1 / 4 Kg = g0’0545 Km x 1000 = Hm90807’9 cm = Dm1 / 4 Kl = dl56 mg = g3’56 Hm2 = Km2

1 / 4 m2 = dm2

4’56 x 105 m2 = Km2

36090’8 cm2 = m2

0’00078 Km2 = dm2

4 x 106 mm2 = dm2

2. Pasar a complejo: 1456845’0009 dm2

3. Reduce a incomplejo de Hm2: 34 Km2 22 Dm2 6 m2

4. Efectúa la siguiente resta de números complejos: (pásalo 1º a incomplejo)65 km2 8 Dm2 15 m2 45 dm2 6 mm2 -44 Hm2 6 Dm2 6 m2 67 cm2 6 mm2

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5. Efectúa43 Hm2 = áreas234 Ha = Km2

235 m2 = Ha12000 Km2 = áreas

6. Efectúa a) 12 h 23’ 13” - 6h 45’ 56” b) 48 horas 33’ 56” : 7

7. Reduce a incomplejo de dg: 45 Kg 4 Dg 76g 67cg

8. Indica los siglos correspondientes a : 348 antes de Cristo, 1.967, 549, 1.247 antes de Cristo

9. Expresa en grados 5640”

10. Expresa en minutos 3 horas 360”

11. Efectúa650 m = Hm36000 dm3 = Dm3

0´0002 Tm = g650 Ha = Km2

1000000 m2 = Áreas3’6 l = Hl4’90 dm3 = mm3

600 Hm = dm0´0005 Hm3 = Hl600000 cl = m3

76500 Kg = Kl6700 Tm = Hm3

8000 cm3 = l56 h = min80 Ha = Km2

6 Hm3 = Tm2 Kg/m3 = gr/cm3

3’2 m/sg = Km/h70 Hm2 = Ha500 dm3 = Hm3

0’06 Kg = gr70.000 Kl = m3

134 dm2 = Km2

300 Tm = Hm3 (de agua)

12. Efectúa (Objetivo: Cambio misma magnitud)10000 m3 = Hm3

500 Hm2 = Areas300 Ha = Km2

600 m3 = Hl2 x 109 gr = Tm700 Hl = m3

2 x 104 dl = Hl0´008 Hl = g

13. Efectúa (Objetivo: Magnitudes equivalentes)0´005 Hm3 = Tm23’4 Tm = m3

0´785 Hg = Dl

22

1.980 Kg = Dm3

127 m3 = Hl

14. Efectúa (Objetivo: Cambio misma magnitud)200 m2 = mm2

0376 Hm3 = dm3

5.300 Ha = Km2

600.000 cm3 = m3

7 x 107 gr = Tm700 m2 = Km2

3 x 106 cg = Kg0´008 Hl = dl

15. Efectúa (Objetivo: Magnitudes equivalentes)0´03 Hm3 = Tm345 Kl = m3

0´785 g = cl2.345 Hg = Dm3

127 m3 = Hl

16. Efectúa (Objetivo: Cambio misma magnitud)0’376 Hm3 = dm3

5.300 Ha = Km2

7 x 107 gr = Tm700 m2 = Km2

3 x 106 cg = Kg0´008 Hl = dl

17. Efectúa (Objetivo: Magnitudes equivalentes)

0´03 Hm3 = Tm345 Kl = m3

0´785 g = cl2.345 Hg = Dm3

18. Cambia las unidades según se pide:

a) 65 dam =............................... cmb) 12,1 m=................................ mmc) 67,95 m=................................ kmd) 765 mm =................................ hme) 35,2 ha =................................ af) 23 cm2 =................................ dam2

g) 0,26 dm2 =............................ dam2

h) 1,23 hm2 =................................ ai) 59 mm3 =................................ hm3

j) 32,4 m3 =................................ hm3

k) 163 mm3 =................................ km3

l) 0,44 Q =................................ mgm) 163 mg =................................ kgn) 5,4 g =................................ Qo) 3,27 kg =................................ T

23

19. Realiza los siguientes cambios de unidades:

85 Hm ............................................................. cm3’78 Km2…………………………………….. dm2

104’24 l……………………………………… mm3

7’14 dm……………………………………… Hm75.00.0 Hm3……………………………..... m3

20. Cambia las unidades según se pide:a) 0,03 m + 1 dam + 0,0567 dm =...................... hmb) 678 mm + 345 cm +8 m =.............................. kmc) 53 ha + 53 cm2 =............................................. dam2

d) 16 cm2 + 35 mm2 + 0,56 dm2 =....................... hae) 43 dam3 + 580m3 =…………………………..Le) 3 Q + 25300 mg =........................................... kgf) 1632 mg + 69800 g =...................................... kgg) 37,8 Kg + 0,2 Q =........................................... Th) 134 dm3 + 4222 cm3 + 75552 mm3 =………..m3

PROBLEMAS DE UNIDADES

1. Este año han ardido en Andalucía 1.500 Áreas de monte. ¿Cuántos m2 son?

2. Para embotellar agua se almacena en un estanque de medidas: 15m de largo, 5m de ancho y 2m deprofundidad. ¿Cuántos Hm3 de agua caben? ¿Cuántas garrafas de 25 l se pueden llenar? ¿Cuántos kg pesatodo el agua acumulada?

3. Queremos construir una alfombra de 1400 cm de largo y 770 cm de ancho con paños cuadrados. ¿Cuantomedirá el lado de cada paño? ¿Cuántos paños habrá a lo largo y a lo ancho?

4. Pedro compra 900.000m2 de tierra de regadío para cultivarla. Si necesita mensualmente 5.000 l por Hm2.¿Cuántos m3 de agua gasta al año? ¿Cuántas Tm pesa el agua anual gastada?

5. Vamos a pintar una pared de 12 metros cuadrados. Si usamos 27Kg de pintura, ¿cuántos kilogramos gastarépor cada metro de pared?. ¿Cuántos Kg necesitaré para una pared de 21 metros cuadrados?. ¿Cuántos metroscuadrados podré pintar con 15Kg?

6. Juan sube 5 escaleras. Pedro baja 2 escaleras. Si cada escalera tiene 3 metros de altura calcula la altura quesepara a Juan y a Pedro.

7. Iván recorre 1Km y 6,2hm para ir de su casa a la de Manuel. Después va a casa de Amelia, para lo que recorre1Km y 4,8hm más. Por fin regresa, por el mismo camino, a su casa. ¿Cuál es la distancia total recorrida porIván, en metros?

8. Al medir la superficie de tres fincas colindantes se ha obtenido:A =7,5 áreas B = 2350 m2, C)=0,45 haSi se juntan las tres ¿cuál es, en metros cuadrados, la superficie resultante?

24

TEMA 7: ECUACIONES

1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

1. Expresa en lenguaje simbólico las siguientes expresiones:

a) Número de zapatos que hay en una habitación con “x” personasb) Número de dedos de “x” manosc) Número de orejas en una habitación de “x” personasd) Número de personas que hay en una habitación después de llegar dose) Número de cromos que me quedan después de perder 12 en el juegof) Número de lectores en una biblioteca después de irse 8g) La edad de un padre es triple de la de su hijoh) Un número más dos unidadesi) Número de patas en una cuadra de caballosj) Un número menos dos unidadesk) Restar la mitad de un número al 2l) Añadir 2 al doble de un númerom) El doble de un número menos su mitadn) La mitad de las manzanas de una cestao) Dos números pares consecutivos.p) El triple de un número menos 3 unidadesq) La cuarta parte de una cantidad de dinero más 50€.r) Distancia recorrida por un coche en 6 horas.s) Dos ángulos de un triángulo se diferencian en 20º.t) La edad de pedro hace 4 añosu) La edad de Juan dentro de 16 añosv) El doble de mi edad menos 2 añosw) La mitad de un número menos su tercera partex) Dos quintos de un númeroy) Un ciclista ha recorrido 87 Km. ¿Cuántos le faltan para llegar a la meta?

2. Despejar la incógnitaa. 3 x = 5b. 5 x = 10c. 8 x = 6d. 26 x = 13e. 4 x = 26f. 33 x = 192g. 5 x = 0h. 4 x = - 9i. 3 / 5 x = - 7j. 7 x = 21 / 5k. - 3 x = 7 / 4l. 4 / 7 x = - 6 / 5m. 5 / 8 x = - 5

n.43

55

x

o.47

23

x

p.7

1683

x

25

3. Cambiar de signo, si el coeficiente es negativo, y despejar la incógnitaa. - 3 x = - 6b. - 5 x = 10c. - x = 9d. - 4 x = - 18e. -21 x = 1f. - x = 0g. - x = -1

4. Reducir términos semejantes y despejar la incógnitaa) 2x + 6 = x–5b) 4x–6x–1 = -3x + 6c) 3x–2 = 4x + 7d) 6x–6 = 5x + 1e) 3x + 2 = 2x–1f) 2x + 5 = 17–4x

5. Quitar denominadores (Cuidado si hay fracciones con signo menos delante), transposición detérminos, reducir términos semejantes y despejar la incógnita

a) 4x–6 = 3x + 9 b) 2 x _ x–2 = x–4 c) x + 1 _ x–1 = x6 18 5 3 4 6 7

d) 5x + 3 = 3x + 1 e) 3x + 5x = 3x - 1 f) 3–2x = x2 2 2 3 4 4

g) 2x–3 - 4x–1 = 3x + 1 + 6x–22 2 4 6

6. Quitar paréntesis, quitar denominadores (Cuidado si hay fracciones con signo menos delante),transposición de términos, reducir términos semejantes y despejar la incógnita.

a) 3 (x–3) + 4 (x + 1) = 6x + 6

b) 2 (x–6) + 5 (x + 3) = 6 (x + 5)3

c) 6 (x + 4)–4 (x + 5) = x–6

d) 5 (x + 7)–3 (x + 6) = - x + 42 3

e) 3 (2x–6 ) + 4 (x + 5) = 3 (3x + 9)3 6 2

f) 3 (x + 2) + 2 (x + 1) = 4 (x +7)5

g) x + 1 + 2 ( x–2) = 2 ( x + 1)3

h) 3 ( x–1) + 2 (x–2) = 18x + 33 15 2

i) 5 (x + 2) + x–1 = 16x + 302 3 6

7. Resuelve las siguientes ecuaciones

a) 2x + 3 (x–1) = 6 (x–3) + 13b) x–4 (x–8) = 3 (x–5) + 5c) 5 (x + 9)–3 (x–7) = 11 (x + 2) - 10d) 4 (5–6x) = 2 (8x + 3) + 4

26

e) 2 (3x–8) = (6x + 4)–15 · 2xf) 8 + [3 + 2x–(3x–9)] = 0g) [x–(4 + 2x)] - 2(4x + 3) = 1h) x + 2 _ x + 3 = x + 4 _ x–5

2 3 4 5i) 3–2x _ 4–5x = 7x–5

5 3 2

j)2

352

34

x

x

k) x +32

x = 3x–61

l) 231

)5(23 xx

m)5

)1(32

113

)2(2463

x

xx

n) )3(22)103(6 xxxx

o)6

62

52

34

xxx

p) 13

1154

22

xx

q) xxxx

21

21

43

54

r) 3221036 xxxx

s)18

4512

16

32

63

xxxx

t)221

32

126

1 xxx

2. PROBLEMAS DE ECUACIONES

TIPO I: En un corral tenemos 61 animales, entre conejos y gallinas. Sabemos que 37 de ellos son conejos.¿Cuántos animales hay de cada clase? ¿Cuántas patas hay?

TIPO II: Javier y Esther fueron de visita a la granja de su abuelo. Durante su estancia vieron un corral conconejos y gallinas, Javier dijo haber contado 61 animales y Esther 196 patas. Determina el número de conejosy gallinas.

2.1 PROBLEMAS DIRECTOS

1. Halla tres números pares consecutivos cuya suma sea 24

2. Si el perímetro de un hexágono mide 54 m. ¿Cuánto mide su lado?

3. Un número más el doble del siguiente es 26. ¿Cuál es ese número?

4. La suma de dos números es 32 y uno de ellos es igual a la séptima parte del otro. Halla los dos números

27

5. Cervantes nació en el siglo XVI y la suma de las cifras del año de su nacimiento es igual a 17. ¿En qué añonació el ilustre autor de Don Quijote de la Mancha si la cifra de las unidades es 7?

6. Reparte 105 euros entre 5 personas, de modo que a cada una le correspondan 5 euros más que a la anterior.

2.2 PROBLEMAS DE FRACCIONES MEDIANTE ECUACIONES

1. ¿Cuánto costó un libro, si 1/5, más 1/6, más 1/7 de su precio, menos 2 euros, suman la mitad de su precio?

2. Los 2/3 más los 2/9 de un número valen 80, ¿cuál es ese número?

3. Tres socios forman una empresa. El primero aporta los 2/5 del capital, el segundo 1/3, y el tercero 12000euros. Halla el capital de la empresa y lo que ha aportado cada socio

4. En unos exámenes son eliminados en el ejercicio escrito la cuarta parte de los alumnos presentados, y en elsiguiente, el oral, la quinta parte de los que quedaron. Aprobaron los dos ejercicios 774 alumnos. ¿Cuántosalumnos se presentaron y cuál es el % de aprobados?

5. Con la sexta parte del dinero que tenía le compré un regalo a mi hermana. Con la mitad de lo que mequedaba compre un libro y con las 18 euros restantes compré un CD ¿Cuánto dinero tenía?

6. Un agricultor vende 1/3 de su cosecha de vino; después embotella los 4/7 de lo restante. Le quedan 120 Hl,¿cuántos hectolitros de vino había cosechado?

7. Un muchacho dijo a otro: “Adivina cuántos euros tengo sabiendo que la tercera parte de ellos menos uno es igual a la sexta parte”. ¿Cuánto dinero tenía?

8. El camino que un empleado recorre para ir a la oficina es tal que aumentado en sus 3 / 4 da 7 Km. ¿Cuántomide el camino?

9. De un barril lleno de agua se saca la mitad de contenido y después un tercio del resto, quedando en él 200litros. Calcula la capacidad del barril.

10. Un barco carga en Barcelona 1/12 de la capacidad de sus bodegas, en Valencia 1/6 y en Cartagena 1/8. ¿Quéparte de la bodega podrá cargar en Sevilla? ¿Cuántos litros carga en cada puerto si la capacidad de la bodegaes de 48.000 litros?

2.3 PROBLEMAS DE GEOMETRÍA1. Un campo tiene forma rectangular y su perímetro es de 784 m. Calcula su área sabiendo que la base mide

104 m más que la altura.

2. La base de un rectángulo es 4 veces mayor que su altura. Si el perímetro de dicho rectángulo es igual a 40cm. Calcular las dimensiones del rectángulo.

3. Halla las dimensiones de un rectángulo sabiendo que su perímetro es de 272 m y que el largo es los 5/3 delancho.

4. Con una cuerda de 120 cm formamos un rectángulo cuyo lado mayor es el triple del lado menor. Halla elvalor de los lados.

5. El perímetro de un rectángulo es 40 cm. Si sabemos que la base es doble que la altura. Cuál es su área

6. El perímetro de un triángulo isósceles es 180 cm. Cada uno de los lados iguales es 30 cm mayor que la base.¿cuánto mide cada lado?

28

2.4 PROBLEMAS POSIBLES DE PLANTEAR MEDIANTE SISTEMAS

1. Un canaricultor vende los canarios a 9 euros cada uno y las canarias a 3,6 euros, contabilizando una venta de342,5 euros. Si las canarias exceden en 5 al doble de los canarios, ¿cuántos hay de cada sexo?

2. En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de patas 4280. Si disminuimos en 70 el nº de cerdos, elnº de gallinas será el triple que éstos. ¿Cuántos cerdos y gallinas hay?

3. Un yogur de frutas cuesta 10 céntimos más que uno natural. ¿Cuál es el precio de cada uno si he pagado 2’6€ por cuatro naturales y seis de fruta?

4. En una clase hay 60 alumnos entre chicos y chicas. Usan gafas el 16% de los chicos y el 20% de las chicas.Si el nº total de alumnos que usan gafas es 11. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase?

5. Jaime y su hermana van un sábado al cine y otro al circo; en total se gastan 250 euros. ¿Cuánto cuesta cadaentrada si la entrada del cine vale 3 euros menos que la del circo?

6. En un test de 30 preguntas se obtiene 0’75 puntos por cada respuesta correcta y se restan 0’25puntos porcada error. Si mi nota es 10’5 puntos. ¿Cuántos aciertos y errores he tenido?

7. Un comerciante ha vendido en un día cierto nº de artículos A a un precio de 12 euros, y un nº de artículos B a9 euros. Al final del día tenía en caja un total de 72 euros. Vendió un total de 7 artículos entre A y B.¿Cuántos vendió de cada clase?

8. En una prueba de 20 preguntas, dan 5 puntos por cada respuesta correcta y quitan 3 puntos por cada fallo.¿Cuántas preguntas ha acertado Manolo si su puntuación ha sido 68?

9. Pedro y Juan emplean 360 euros cada uno en comprar libros. El precio de los adquiridos por Juan, excede en30 euros al de los comprados por Pedro, quien ha comprado dos libros más que Juan. Averiguar el precio delos libros adquiridos por Juan y por Pedro.

10. El doble de las horas transcurridas es igual al cuádruplo de las que quedan por transcurrir. ¿Qué hora es?

11. La suma dos números con el anterior del mayor es 419. Si el doble del mayor es 5 veces el menor. ¿Cuálesson dichos números?

12. Rafael y Ángel tienen 45 manzanas. Dice Rafael a Ángel: “Dame 5 manzanas y así tendré el doble que tú”. ¿Cuántas tienen cada uno?

13. Un librero vendió 84 libros a dos precios distintos: unos a 45 euros y otros a 36 euros, y obtuvo de la venta3105 euros. ¿Cuántos libros vendió de cada clase?

14. Un padre para estimular a su hijo a estudiar matemáticas le dice: por cada ejercicio que resuelvas bien te daré0’70 euros y por cada uno que hagas mal me darás 0’50 euros. Después de hacer 25 ejercicios, el muchachose encuentra con 5’50 euros, ¿cuántos ejercicios ha resuelto bien?

15. En un grupo de 312 personas hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que dehombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay?

16. Una madre compra 3 pantalones y 2 camisetas por 105 euros. Si cada pantalón cuesta el doble que unacamiseta. ¿Cuánto vale cada prenda?

17. El doble de la suma de dos enteros es igual a –64. Uno de ellos es igual al triple del otro. ¿Cuáles son losdos números?

29

18. Reparte 10000 euros entre tres personas de manera que la primera reciba 450 euros más que la segunda yésta 1000 más que la tercera.

19. Un hotel tiene habitaciones dobles y sencillas. Tiene en total 50 habitaciones y 87 camas. ¿Cuántashabitaciones de cada tipo tiene el hotel?

2.5 PROBLEMAS DE EDADES

1. El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro dan los 44 años de su padre, y dentro de 2 años laedad de Juan será el doble que la de Pedro. ¿Cuántos años tienen ahora?

2. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace 5 años la edad del padre eratriple de la del hijo. ¿Cuántos años tienen cada uno?

3. La suma de las edades de un padre, una madre y su hijo es de 142 años. Si sumamos la edad de los padresnos da 6 veces la edad del hijo más 2 años, mientras que si restamos a la edad del padre la de la madre elresultado es la décima parte de la del hijo. ¿Qué edad tiene cada uno?

4. Hace 3 años la edad de Juan era doble que la de Pedro. Dentro de 7 años la edad de Juan será 4/3 de la dePedro. ¿Cuántos años tienen en la actualidad Juan y Pedro?

5. La edad de un padre es doble que la de su hijo. Hace tres años la edad del padre era triple que la del hijo.¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo?

6. La edad de Pedro era doble que la de Luis hace un año. Cuando pasen 9 años la edad de Pedro será 4/3 de laedad de Luis. ¿Qué edad tiene actualmente cada uno?

7. La edad de un padre es 4 veces mayor que la de su hijo. Pero hace 6 años la edad del padre era 7 vecesmayor. ¿Cuál es la edad actual de ambos?

8. La edad de la madre de Luis es triple de la de él, y dentro de 14 años sólo tendrá el doble. ¿Cuál es la edadde cada uno?

9. Juan tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces los años de Juan. Averigua la edad de cada uno.

10. La edad de Antonio es doble de la de Luis. Hace 7 años la suma de las 2 edades era igual a la edad actual deAntonio. Calcula: a) Las edades actuales de Antonio y de Luis b) ¿Cuándo tendrá Antonio el triple de laedad de Luis?

11. Un señor tiene 42 años y su hijo 10 años. ¿Dentro de cuantos años la edad del padre será el triple que la delhijo?

2.6 PROBLEMAS DE AMPLIACIÓN

1. Se tiene 2 depósitos de agua. El contenido en litros del 1º es igual a 3 / 4 del contenido del 2º, y el contenidodel 1º más 20 l es igual al contenido del 2º. ¿Cuántos litros contiene cada depósito?

2. Dos personas compran tela de distinta clase. Entre ambas compraron 55 m. Y cada una de ellas gastó lamisma cantidad. Si la primera hubiera comprado los metros que compró la segunda, habría gastado 360euros, y si la segunda hubiera comprado lo que compró la primera, su gasto hubiera sido 250 euros, ¿Cuántosmetros compró cada una y a qué precio?

30

3. En un colegio hay 372 personas entre profesores, chicas y chicos. Si al doble del nº de profesores se le añadeel nº de chicas se tienen 100 personas menos que el triple del nº de chicos. Si las chicas aumentaran en 3, sunº sería el doble que el de chicos. ¿Cuántos hay de cada uno de estos grupos?

4. En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que dehombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en la fiesta si el total es de156 personas.

5. Halla un nº de dos cifras sabiendo que la cifra de las decenas es el triple de la cifra de las unidades. Si seinvierte el orden de sus cifras dicho nº disminuye en 24.

6. Halla un nº de dos cifras sabiendo que su cifra de las unidades es el doble de su cifra de las decenas. Si seinvierte el orden de sus cifras dicho nº aumenta en 36.

7. Entre 15 amigos han de pagar una deuda de 1380 euros. Como algunos de ellos no tienen dinero, cada unode los restantes han pagado 23 euros más de las que le correspondían. ¿Cuántos son los amigos que no tienendinero?

8. Un almacenista compra 11 sillas a 350 euros cada una. Se estropean un cierto nº de ellas y vende las que lequedan aumentando por silla el precio de compra tantas veces 50 euros como sillas se han estropeado. Deesta manera resulta que el almacenista no gana ni pierde. Hallar el nº de sillas estropeadas.

9. Un grupo de estudiantes organiza una excursión, para lo cual alquilan un autocar cuyo coste total es de 540euros. Al salir, aparecen 6 estudiantes más y esto hace que cada uno de los anteriores pague 3 euros menos.Se pide: el nº de estudiantes que fueron a la excursión y qué cantidad pagó cada uno.

10. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres, y triple número de niños que de hombres ymujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay, si en total hay 156?

11. Las edades de 3 hermanos, sumadas dos a dos, dan 5, 7 y 8 años, respectivamente. ¿Sabrías decir los años decada uno?

12. Si la estatura de Carlos aumentase en el triple de la diferencia de las estaturas de Antonio y Juan, Carlos seríaigual de alto que Juan. Hallar las estaturas de Carlos, Antonio y Juan, sabiendo que entre los tres miden 515cm, y que la estatura de Antonio es de los 9/8 de la de Carlos.

13. Una factura de 760 euros se ha pagado con billetes de 50, 20 y 5 euros. El nº de billetes de 50 euros es dobleque el de los de los de 20 euros, y el de los de 5 euros son la sexta parte de los primeros. ¿Cuántos son losbilletes de cada clase?

14. Un comerciante compra por 1620 euros una partida de saquitos de café. Una segunda partida le cuesta lamisma cantidad, pero cada saquito de éstos le cuesta 27 euros más, y la partida consta de dos saquitosmenos. Calcular el precio de un saquito de la nueva partida.

15. Para distribuir un lote de objetos, se le da igual número de ellos a cada una de las 15 personas presentes, perollega una persona más y hay que dar a cada una un objeto menos, sobrando ahora 11 objetos. Calcular losobjetos que corresponden a cada persona, y cuántos había en el lote.

16. Se han de encuadernar 5000 libros, de lo que se encarga una casa que lo hace a razón de 140 diarios. A losdos días y medio, se encarga simultáneamente a otra casa que encuaderna 170 libros cada día. ¿Al cabo decuánto tiempo terminarán el trabajo y cuántos libros encuadernará cada uno?

17. En un colegio hay 372 personas entre profesores, chicas y chicos. Si al doble del nº de profesores se le añadeel nº de chicas se tienen 100 personas menos que el triple del nº de chicos. Si las chicas aumentaran en tres,su nº sería el doble que el de chicos. ¿Cuántos hay de cada uno de estos grupos?

31

TEMA 8: GEOMETRÍA

PROBLEMAS DE PERÍMETROS Y ÁREAS

PROBLEMAS DIRECTOS FIGURAS PLANAS

1. Calcula el área de un triángulo de 4m de base y 3m de altura

2. Que área tiene un círculo de 2m de diámetro

3. Calcula el área de un hexágono de 3cm de lado y 2 cm de apotema

4. Calcula el área de un prisma hexagonal de 4cm de lado de la base y de 3 cm de altura

5. Una clase es cuadrada y el lado mide 7 m. Si en la clase hay 28 alumnos, ¿qué superficie le correspondea cada alumno?

PROBLEMAS DIRECTOS FIGURAS TRIDIMENSIONALES

1. Calcula el área total de un cono de 9 cm de radio de la base y 12 cm de altura

2. Calcula el área total de una pirámide de base cuadrada de 9 cm de lado y 12 cm de altura de la pirámide.¿Tiene más área lateral que el cono del problema anterior?

3. Calcula la superficie de un tetraedro regular de 8 cm de arista.

4. El dependiente de una tienda envuelve una caja de zapatos de 30 cm de larga, 18 cm de ancha y 10 cm dealta con un corte de papel, de forma que un 15% del envoltorio queda solapado sobre sí mismo. ¿Quécantidad de papel ha utilizado?

5. Un silo de almacenamiento de grano está formado por un cuerpo cilíndrico de 6 m de altura, coronado por uncono de 3 m de altura. Si el radio de la base es de 2 m, averigua la cantidad de chapa empleada en laconstrucción.

6. Las tres aristas de un prisma rectangular recto miden 6, 10 y 12 cm, respectivamente. Halla la arista de uncubo que tenga la misma superficie total que el prisma.

PROBLEMAS FIGURAS COMBINADAS

1. Calcular el área de la zona coloreada de la siguiente figura, sabiendo que el lado del cuadrado es 3 cm :

32

2. Calcula el área de la cartulina que queda después de cortar el círculo10 m

4 m 2’5 m

3. Determina el área de la figura5 m

4 m

8 m

4. El lado del cuadrado de la figura mide 30 cm. Calcula el área de la corona circular

5. Calcula el área coloreadab = 3 cm

4 mm

a = 2 cm

33

PROBLEMAS COMBINADOS

1. En la feria del disco hay muchos puestos que exponen CD. La cara del estuche de un CD es cuadrada y sulado mide 12 cm. Todas las mesas expositoras de CD tienen 3 m de largo por 1’2 m de ancho (cada una).¿Cuantos CD caben en cada mesa?

2. Una finca tiene forma de trapecio. La base menor tiene 5 m, la base mayor es el doble de la menor y su alturaes 3 m. Si el m2 de la finca cuesta 130 euros. Calcula cuanto cuesta la finca.

3. Un ganadero tiene un prado cuadrado de 24 m de lado y le quiere poner tres filas de alambre alrededor. Cadametro de alambre cuesta 1’8 euros. ¿Cuánto le cuesta el alambre?

4. Un campo de fútbol mide de largo 105 m y de ancho 65 m. Queremos reponer el césped y cobran 25euros/m². ¿Cuánto tenemos que pagar?

5. Una apisonadora arrastra un cilindro de 2’5 m de largo y su radio mide 80 cm.a) ¿Qué área pisa un una vuelta?b) ¿Cuántas vueltas tiene que dar para pasar por un tramo de carretera de 200 m de largo por 10 de

ancho?

6. Tenemos un terreno cuya forma es la misma que la de un trapecio rectangular. Sabemos que la base mayormide 800 m, la menor es 500 m y el lado que forma el ángulo recto es de 500 m. Calcula el área deltrapecio

7. El hilo de cobre de una bobina de 3’5 cm de radio tiene50 vueltas. Si el metro de hilo cuesta 1’7 euros,¿cuánto cuesta el hilo?

PROBLEMAS DE VOLÚMENES

PROBLEMAS DIRECTOS

1. Calcular el volumen de un prisma de 7m de altura y de base un hexágono de 5cm de lado y 3 de apotema.

2. El lado de una pirámide triangular de mármol tiene de base un triangulo isósceles de lados 3, 5 y 3 m. Sualtura es 10 m. ¿Cuál es su volumen?

3. Calcula el volumen de una pirámide hexagonal de 6 m de lado de la base y 8 de apotema de la pirámide. Site falta otro dato te diré que el radio de la base es 8

4. Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular de 6 m, de lado de la base y 10 m de apotema

5. Un depósito de gas tiene forma de esfera de 18 m de diámetro. ¿Cuántos m3 de gas caben en él?

6. El lado de la base de un prisma hexagonal regular mide 10 cm y la altura del prisma es 5 / 2 de dicho lado.Calcula el área total y volumen del prisma.

7. Una barra de tiza de base cuadrada tiene una arista de 1 dm y otra de 1 cm. Calcula: a) Su área total; b) Suvolumen

8. Un triángulo equilátero de 6 cm de lado gira alrededor de una de sus alturas. Calcula el área total y elvolumen del sólido engendrado.

34

PROBLEMAS COMBINADOS

1. Una esfera de 10 cm de radio está introducida en un cilindro de igual diámetro que altura y en el que cabeexacta. Calcula el volumen del cilindro no ocupado por la esfera.

2. Tenemos una cartulina cuadrada de 20 cm de base por 30 cm de altura. Si la enrollamos y formamos uncilindro. ¿Qué volumen tendrá dicho cilindro? Si hacemos lo mismo pero tomando de base 30cm y de altura20 cm. ¿Tendrá el mismo volumen?

3. Una piscina de 25 m de largo, 12 m de ancho y 2’5 m de profundidad se pretende llenar con una manguera que deja caer 23 litros de agua por minuto. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse?

4. Ocho esferas iguales son empaquetadas, en un cubo de arista 10 cm de manera que cada esfera es tangente atres caras del cubo y a tres esferas. (Se hará el dibujo en clase)

a) Halla el volumen de las 8 esferasb) Halla el volumen del cubo donde se encuentran las 8 esferasc) Si abrimos una cara del cubo y llenamos el recipiente de agua. ¿Cuántos litros

podremos echar?

6. Para medir el volumen de una piedra procedemos del siguiente modo: en una vasija cilíndrica echamos aguahasta la mitad, aproximadamente. Sumergimos la piedra y sube el nivel 22 mm. ¿Cuál es el volumen de lapiedra, sabiendo que la vasija tiene 15 cm de altura y 8’4 cm de diámetro exterior y 7’8 cm de diámetro interior? ¿Necesitas todas las dimensiones de la vasija para calcular el volumen de la piedra?

7. Al introducir una piedra en el recipiente cilíndrico, de 20 cm de diámetro la altura del agua sube 5 cm. ¿Cuáles el volumen de la piedra?

8. Una mesa tiene forma de hexágono regular cuyo lado mide 1’2 m, y tiene una sola pata. La altura de la pata es de 90 cm su diámetro es de 14cm. La madera de la pata cuesta 35 euros y el metro cuadrado de la maderapara construir la parte hexagonal, 54 euros. ¿Cuánto cuesta la madera para hacer la mesa?

9. Halla el volumen de cemento necesario para hacer una tubería de 1m de largo, con un diámetro de 20 cm ycuyo grosor es de 2 cm.

10. ¿Cuánto vale el radio r del cono?

5 cm10 cm

4 cm

PROBLEMAS APLICACIÓN DE PITÁGORAS

1. En un triángulo rectángulo isósceles, calcula la longitud de la hipotenusa si los catetos miden 4 dam.

2. Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 m y 20 m.

3. Calcula la altura de un triángulo equilátero de 4 cm de lado.

35

4. Halla la diagonal de un cuadrado de lado 6m.

5. En un rombo se conoce un lado que mide 5 m, y una diagonal que mide 6 m. Calcula su área.

6. Un poste de madera tiene 8 m de altura, y se quiere sujetar con tres cables que van desde el extremo superiora un punto del suelo que dista de la base del poste 3 m. ¿Qué longitud de cable se necesita?

7. Calcula la apotema de un hexágono regular de lado 4 cm.

8. Dibuja un rombo cuyas diagonales miden 9 cm y 4 cm. ¿Cuánto mide el lado?

9. En un trapecio isósceles, las bases miden 12 cm y 8 cm respectivamente. Si la altura es de 5 cm, calcula lalongitud de los lados oblicuos.

10. En un trapecio isósceles las bases miden 16’7 m y 11’3 m; la altura mide 8’5 m. Calcula su perímetro y su área.

11. Calcula la altura de un trapecio rectángulo sabiendo que las bases miden 8 cm y 5 cm y el lado oblicuo 5 cm.

12. Calcula el Área total y volumen de una pirámide de base hexagonal si la apotema de la pirámide mide 5m yla altura 3m

13. Halla el área de un rombo en el que una diagonal mide 12’6 m y el perímetro 42’4 m.

14. Halla el área lateral de una pirámide regular, sabiendo que su base es un triángulo equilátero de 16 m de ladoy su arista lateral mide 10 m.

15. Una pirámide tiene por base una cara de un cubo cuya superficie total es de 384 cm². Se sabe que el vérticede la pirámide está colocado en el centro del cubo. Halla su área lateral y su volumen.

PROBLEMAS PARA DESPEJAR UNA INCÓGNITA

1. Queremos hacer una piscina de 8 m de larga por 4 m de ancha de forma que quepan 80.000 litros de agua.¿Qué profundidad tendremos que darle?

2. El perímetro de un cuadrado inscrito en una circunferencia es 20 cm. Halla el diámetro de la circunferencia.

3. El área de un círculo mide 25 cm². ¿Cuánto mide el radio?

4. El área de un cuadrado mide 225 m². ¿Cuánto mide su lado?

5. El perímetro de un rectángulo mide 47’6 m. Si la base mide 15’2 m, ¿cuánto medirá la altura?

6. Las ruedas delanteras de un tractormiden 70 cm de diámetro, y las traseras 1’5 m. Si el tractor recorre 25 Km, ¿cuántas vueltas habrán dado las ruedas delanteras? ¿Y las traseras?

7. El perímetro de una parcela cuadrangular mide 56 m, se vende a 15€ el m². ¿Cuánto vale la finca?

8. El tronco de un árbol mide de circunferencia 1 m. ¿Cuánto mide el diámetro?

9. Se ha construido un tubo cilíndrico soldando, por los lados más cortos un rectángulo de chapa de 20 cm delargo por 15 cm de ancho. ¿Cuál es el diámetro del tubo?

10. La superficie total de un cubo es 54 dm². ¿Cuánto mide su arista?

36

11. Calcula el radio de la base de un cilindro cuya área lateral es de 400 cm², sabiendo que su generatriz mide 4cm.

PROBLEMAS AMPLIACIÓN: SEMEJANZA, PITÁGORAS, ÁREAS Y VOLÚMENES

Áreas y volúmenes figuras planas

1. La apotema de un triángulo equilátero mide 8 cm. Determina el perímetro y el área de dicho triángulo.

2. Hallar la altura de un triángulo equilátero, conociendo la longitud de lado L. Obténgase a continuación lafórmula del área de dicho triángulo en función del lado.

3. Las bases de un trapecio miden 6 cm y 18 cm y los lados no paralelos 8 cm y 10 cm. Calcular el perímetro yel área del triángulo formado por la base menor del trapecio y las prolongaciones de sus lados no paralelos.

4. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 20 m y uno de los catetos excede al otro en 40 cm. Hallar suárea y la altura correspondiente al ángulo recto.

5. Calcular el perímetro y el área de un triángulo semejante a uno dado, cuyos lados miden, respectivamente, 4m, 6 m y 8 m, sabiendo que la razón de semejanza del triángulo desconocido al dado es 3/2.

6. Hallar el área de un triángulo equilátero sabiendo que la suma de su base con su altura es 10 m.

7. Una finca de forma triangular tiene superficie de 4 Ha y un lado de 180 m, se desea dividir la finca medianteuna paralela a ese lado, de modo que el triángulo parcial que resulte tenga una superficie de 1 Ha y 69 áreas.Calcular la longitud de la paralela que ha de trazarse.

8. El área de un rectángulo es 108 cm² y la diagonal mide 15 cm. Calcular las longitudes de los lados delrectángulo

9. Calcular las diagonales de un rombo, sabiendo que su lado mide 5 cm y su área 24 cm².

10. Se compra una alfombra rectangular de dimensiones iguales a 2’5 m por 1’6 m, a razón de cierto valor porm². Pero como sobre el importe se obtiene un descuento del 10% no hay que pagar más que 16,5 euros.¿Cuál era aquel valor del m²?

11. Un rombo cuya área es de 42 m², tiene como suma de sus diagonales 20 m. Hallar su perímetro.

12. La base mayor de un trapecio isósceles vale 46mm, la base menor, 30 mm y los otros lados 17 mm cada uno.Hallar el área del cuadrilátero que tiene por vértice los puntos medios de sus cuatro lados.

13. Un solar de forma rectangular tienen la diagonal de 26 m; la diferencia entre dos lados contiguos es 14 m. Sedesea saber el valor del solar al precio de 95 euros el metro cuadrado.

14. La base mayor de un trapecio rectángulo es 5/3 de la base menor y el doble del lado oblicuo. Calcular loscuatro lados del trapecio, sabiendo que el área es 96 dm²

15. En un trapecio isósceles, la altura, el área y cada uno de los lados no paralelos mide, respectivamente, 4 cm,68 cm² y 5 cm. Calcular las bases.

16. Se da una circunferencia y el cuadrado inscrito en él. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 4 m. Calcularel área de la parte que queda entre la circunferencia y el cuadrado.

37

Áreas y volúmenes de figuras tridimensionales1. En un jardín de forma rectangular, cuyas dimensiones son 80 m y 90 m se construye un estanque rectangular

cuyos lados miden 10 m y 15 m. La tierra extraída se esparce alrededor del estanque y el nivel del terreno seeleva así 3 cm. Hallar la profundidad del estanque.

2. La base de un prisma recto es un triángulo equilátero, y la razón de la arista lateral a la arista de la base es15/8. Hallar las longitudes de las aristas y el área lateral del prisma, sabiendo que la diagonal de una caralateral mide 17 cm.

3. La base de un prisma de 10 m de altura, es un triángulo rectángulo isósceles, cuya hipotenusa mide 6 m.Calcular su volumen.

4. Halar el volumen de un prisma hexagonal regular, sabiendo que su área lateral es 720 cm², y que la suma desu arista básica y arista lateral es 23 cm. Se sabe además que la arista es mayor que la arista básica.

5. Las dimensiones de un estanque rectangular son 18 y 20 metros respectivamente. Un tubo arroja en dichoestanque agua a razón de 18 litros por segundo. ¿En cuánto tiempo el nivel del agua se elevará en 80 cm?

6. Una pirámide regular de base cuadrada tiene de superficie lateral un valor triple del correspondiente al áreade la base. Sabiendo que el área total es 72 cm², se pide calcular su volumen.

7. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular, sabiendo que el lado de la base mide 6 cm y que suárea es doble del área de la base.

8. El perímetro de la base de una pirámide cuadrangular es de 64 dm, y el área de su superficie total, de 8metros cuadrados. Calcular el volumen de esta pirámide.

9. El área lateral de una pirámide triangular es el doble del área de la base. Hallar la apotema de la pirámide,sabiendo que el lado de la base mide 4 cm.

10. En una pirámide regular de base cuadrada, la suma de la altura, de la apotema de la base y de la apotema dela pirámide, es 36 cm, siendo la apotema de la base igual a 3/5 de la de la pirámide. Calcular el área total dela pirámide si el lado de la base mide 12 cm.

11. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular, sabiendo que el lado de la base mide 4 cm y que elárea lateral es doble del área de la base.

12. ¿Cuánto vale la diagonal de un cubo cuya superficie total es de 10 m²?

13. El líquido contenido en una vasija cilíndrica de 8 cm de diámetro alcanza 18 cm de altura, se echa en otravasija cilíndrica de 6 cm de diámetro. Calcular la altura que alcanzará este líquido en la segunda vasija

14. Una vasija cilíndrica tiene de superficie total 392’5 cm². Calcular su capacidad sabiendo que su generatriz es igual al diámetro. La vasija es sin tapa.

15. En un cono de revolución la altura mide los 15/17 del lado, y sumando 1/5 de la altura con la mitad del radioda 14 cm. Calcular el radio, el lado y el área de la superficie total.

16. Determinar el radio de la base de un cono, cuya generatriz es de 50 cm, sabiendo que su superficie total esequivalente a la de un cilindro de 1 dm de altura y 0’6 m de diámetro.

17. Un cono cuya generatriz es igual a 5 cm, tiene por área lateral 4710 mm². Hallar el ángulo del sector circularque resulta al desarrollarlo.

18. El área de un cubo es 24 cm². Calcular el área de la superficie esférica circunscrita.19. Conociendo el área de una superficie esférica, que es 1256 m², obtener el volumen de la esfera.

38

TEMA 9: POTENCIAS

1. Responder de forma razonada a las siguientes preguntasa) El valor de (–2)x(-2) es positivo o negativo.-b) El valor de (–2)x(-2)x(-2) es positivo o negativo.-c) El valor de (–3)x(-3)x(-3)x(-3) es positivo o negativo.d) El valor de (–2)x(-2)x(-2)x(-2)x(-2) es positivo o negativo.-e) El valor de (–5)x(-5)x(-5)x(-5)x(-5)x(-5) es positivo o negativo.-f) El valor de (–7)15 es positivo o negativo.-g) El valor de (–4)22 es positivo o negativo.-

2. En: -3x3x3x3x3 el factor es ___. El signo de la potencia es ___. Expresado abreviadamente sería___

3. -78 es + ó - ; -53 es + ó - ; -83 es + ó - ; -64 es + ó -

4. Resuelve mentalmente: 33 = 24 = 34 = 25 = 63 = 107 =

5. Tienes que buscar la forma mas simplificada de efectuar estas operaciones dando el resultado final

8x8x8x8x8x8x8 = 55 x 25 = 33 x 23 = 7x7x7x7x7x7x7x78x8x8x8x8 78

32 x 80 x 37 x 3-9 = 25 x 54 x 22 x 52 x 32 = (32)3: 93 =

6. Para resolver mentalmente 7 x 8 x 25 Pedro ha multiplicado 7 x 2 = 14 y a continuación ha calculado elresultado = 1.400. ¿Crees que es correcto lo que ha hecho? Comprueba tu respuesta haciéndolo de las dosformas. ¿Podría hacer lo mismo con 33 x 52?. En que casos se puede aplicar lo que ha hecho Pedro.

7. En este apartado tienes que corregir los fallos, explicando cual es el error

a)

35 2

= (-3)-7 -4 = 22 (32 + 5)6 = 312 x 56

b)

53 3

= 59 (23x32x34)3= (23x38)3= 29x324

c) (63)3 x52 = 3018 = 1 = 1012

100003

d) 1 = 10-4 0´000001-5 = 1 0´00001 = 10-4

0’0001 1030

8. Expresa como potencias de 10.

a) 1000000= b) 0´00001= c)1

1000= d)

10 000001

=

e)1

100000000= f) 5000000000= g)

2500000000

= h) 0´0001=

i) 0´00000005= j)1

0 0000005= k)

15300000000

= l)1

0 1=

39

9. Efectúa las siguientes operaciones y elige la respuesta correcta:

a) 32 x 5 x 35 x 56 a) 1514 b) 310 x 56 c) 37 x 56 d) Ninguna

b)38

45

3223

xx

= a) 35 x 24 b) 32 x 24 c) 4

2

23

d) Ninguna

c) 54 53 x a) 1520 b) 320 x 5 c) 39 x 55 d) 320 x 55

10. Expresa en forma de potencia y opera en base 10:

a. 0´001 x 10.000 = a) 106 b) 102 c) 10b. 100.000 x 10.000 = a) 1011 b) 109 c) 10c. 0´000001 x 0´00001 = a) 10 - 9 b) 10 - 11 c) 1011

d. 1 / 0´00001 x 10.000 x 10–7 = a) 102 b) 10 -8 c) Ningunae. (1 / 1.000) x (0´000001) x (1 / 0´0001) = a) 10-5 b) 101 c) Ninguna

11. Indica la respuesta correcta después de efectuar

a. (5 x 3)5 = a) 85 b) 15 x 5 = 75 c) 53 x 3 d) 5 x 33 d) Ningunab. (7 x 3 x 21)3 = a) 2115 b) 66 x 36 c) 75x 35 d) Ningunac. (7 / 21)4 = a) 1 / 34 b) 74 / 21 c) 34 d) Ningunad. (5 / 2) –5 = a) 25 / 55 b) 55 / 25 c) 1 d) 52 / 2e. - (- 3)4 x 33 x–3-6 a) No se puede b) 313 c)–3 d) 3 e) - 313

f. 53 x 52 x 5 –3 = a) -52 b) 52 c) 5-18

g. 254 / 510 = a) No se puede b) 1 / 5-2 c) 5-2

h. 0352

= a) 215 b) 22 c) 2-15 d) 1

i. 2222 = a) 28 b) 2-6 c) -28 d) 2-8

12. Ejercicios para resolver

a)25

25

7 3

4

x =

3

83

8

5 4

x =

b)

29

29

29

2 4 5

x x =1

1053

3 3

x =

c)

243

2 158

32

59

xx

24

310

59

425

2 6

x x x =

d)

13

2 6

=

25

7 3

=

e)

23

56

4 3

x =

38

38

4 3 3

: =

40

f)

3 4 9 6 8

12 2 4 2 3 3

2 3 2 3 6 4

2 2 3 2 3

x x x x

x x x x x=

2

33

2

4 3

x =

g)83

83

38

2 3 3 9

x x =

32

32

2 1

x =

h)53

53

2 4

: =

32

13

256

495

2

3 22

5

3

x x x x

i)

8154

15

4

= 4 2 3 0

=

j)

14

1 4

=45

4 212

=

k)14

14

14

2 4 3 2 2 0

x x =

49

1681

49

23

5 2

3 4

:

:=

41

TEMA 10: ECUACIONES DE 2º GRADOCALCULOS

1. Indica el valor de los coeficientes a, b y c en las siguientes ecuaciones:a) 2x2 + 3x–5 = 0 b) –3x2–x +1 = 0c) 3x2–4 = 0 d) 3x2–4x = 6e) x2–x = 0 f) x2 = xg) 4x–3 = x2 h) x2 = -1

2. Escribe la ecuación de 2º grado que corresponde a este problema: “El área de un rectángulo mide 32 cm2. Laaltura de dicho rectángulo es la mitad de la base.”

3. Sin resolver estas ecuaciones, distribúyelas en tres conjuntos:A. Las que tienen dos soluciones distintas.B. Las que tienen dos soluciones iguales.C. Las que no tienen solución.

a) 3x2–7x + 2 = 0 d) 3x2 + 5x–2 = 0 g) 5x2–7x + 8 = 0b) x2–2x + 3 = 0 e) 4x2–4x + 1 = 0 h) x2 + x + 1 = 0c) 4x2–12 + 9 = 0 f) 4x2–5x + 3 = 0 j) 36x2 + 12x + 1 = 0

4. Ejercicios para resolver:a) 16x2 + 24x–7 = 0b) 6x2–x–2 = 0c) 4x2 + 20x + 23 = 0d) x2–2x + 1 = 0e) 4x2 + 20x + 16 = 0f) 3x2–2x + 1 = 0g) 4x2 + 20x + 9 = 0h) x2 + 3x + 2 = 0i) 2x2 + x–1 = 0j) x2 + 4x + 2 = 0k) 6x2 + 5x + 1 = 0l) 4x2–7x–2 = 0m) x2–5x + 6 = 0n) x2–7x–2 = 0o) x2–8x + 12 = 0

5. Resolver las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas1. x2 - 4 = 02. x2 - 36 = 03. 2x2 - 72 = 04. -2x2 + 6 = 05. 3x2 - 12 = 06. 3x2 - 27 = 07. 4x2 - 1 = 08. 4x2 - 16 = 09. 4x2 - 100 = 010. x2 - 16x = 011. x2 - 64x = 012. -x2 + x = 013. 2x2 + 4x = 0

42

14. 3x2 - 2x = 015. 3x2 - 30x = 016. 3x2 + 27x = 017. 3x2 + x = 0

PROBLEMAS

1. Halla el rectángulo cuyo perímetro es 24 y su área es 11

2. El perímetro de un triángulo rectángulo es 14 cm y la hipotenusa es 10 cm. ¿Cuál es la longitud de sus catetos?

3. La suma de los cuadrados de tres números pares consecutivos positivos es igual a 200. Averigua cuáles sonesos números.

4. ¿En cuanto ha de ampliarse un cuadrado de 5 cm de lado para que el área del nuevo cuadrado sea 64 cm2?

5. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm. La diferencia entre las longitudes de los catetos es 7cm. ¿Cuántos cm mide cada cateto?

6. Los hindúes en el siglo V conocían la solución de la ecuación de 2º grado y ya tenían este “rompecabezas” que quiero que tu resuelvas:“Regocíjanse los monos divididos en dos bandos.Su octava parte al cuadradoEn el bosque se solaza.Con alegres gritos, doceatronando el campo están.¿Sabes cuantos monos hayen la manada, en total?”

7. El cateto mayor de un triángulo rectángulo mide 1 cm más que el menor y la hipotenusa mide 1 cm menosque el doble del cateto menor. Calcula el perímetro del triángulo.

8. Un jardín cuadrado tiene otro cuadrado interior plantado de césped de forma que los vértices del interiorcoinciden con los puntos medios de los lados del jardín. Si el cuadrado sembrado tiene un área de 8m2,calcula la longitud del lado del jardín.

9. Encuentra dos números racionales sabiendo que su diferencia es 1 y la suma de sus cuadrados es 2.245.

10. En el salón de un colegio, el número de asientos en cada fila es 5 más que el número de filas. Si hay 300asientos. ¿Cuántas filas de asientos hay?

11. Dos móviles salen al encuentro uno del otro desde diferentes pueblos que distan entre sí 500km. El primerova a 40 km./h. , y el segundo, a 60 Km./h. ¿A qué distancia de cada punto de partida se encontrarán?

43

TEMA 11: SISTEMAS DE ECUACIONES DE 2º GRADO

RESOLVER POR LOS TRES MÉTODOS LOS SIGUIENTES SISTEMAS DE ECUACIONES

1.

122

yxyx

653532

yxyx

2.

10282756

yxyx

784

xyyx

3.

421843

yxyx

653532

yxyx

4.

21132

yxyx

2322

yxyx

5.

4241832

yxyx

9342

yxyx

6.

594232

yxyx

14245

yxyx

7.

121016352

yxyx

4241832

yxyx

8.

2076

1494yx

yx

232723

yxyx

9.

02354

yxyx

12422223

yxyx

10.

224

032yx

yx

732

543yx

yx

11.

3023

2

2123

yx

yx

44

PROBLEMAS DE SISTEMAS

1. El doble de la edad de Juan más la de su hermano Pedro dan los 44 años de su padre, y dentro de 2 años laedad de Juan será el doble que la de Pedro. ¿Cuántos años tienen ahora?

2. La edad de un padre más el doble de la de su hijo suman hoy 120 años y hace 5 años la edad del padre eratriple de la del hijo ¿Cuántos años tienen cada uno?

3. En una granja hay cerdos y gallinas, sumando el total de patas 4.280. Si disminuimos en 70 el nº de cerdos , elnº de gallinas será el triple que estos . ¿Cuántos cerdos y gallinas hay ?

4. La suma de las edades de un padre , una madre y su hijo es de 142 años . Si sumamos la edad de los padres nosda 6 veces la edad del hijo mas 2 años , mientras que si restamos a la edad del padre la de la madre el resultado esla décima parte de la del hijo .¿ Que edad tiene cada uno ?

5. En un aparcamiento hay coches y motos. En la 1ª planta hay 78 vehículos, y en la 2ª hay 64. ¿Cuántos vehículosde 4 ruedas hay en cada planta, si en la 1ª hay 40 ruedas más que en la 2ª y en total son 504 ruedas?

6. Dos ciclistas parten de dos ciudades separadas por 256 Km. Si los dos ciclistas circulan en el mismo sentidotardan en encontrarse 16 h. , pero si circulan en sentidos opuestos tardan tan sólo 4 h. ¿Que velocidad llevacada uno de ellos ?

7. En una clase hay 60 alumnos entre chicos y chicas . Usan gafas el 16 % de los chicos y el 20 % de las chicas .Si el nº total de alumnos que usan gafas es 11. ¿Cuántos chicos y chicas hay en la clase ?

8. Hace 3 años la edad de Juan era doble que la de Pedro. Dentro de 7 años la edad de Juan será 4/3 de la dePedro . ¿ Cuántos años tienen en la actualidad Juan y Pedro ?

9. Un comerciante ha vendido en un día cierto nº de artículos a un precio de 12 euros , y un nº de artículos B a 9euros. Al final del día tenía en caja un total de 72 euros. Vendió un total de 7 artículos entre A y B. ¿Cuántosvendió de cada clase ?

10. Un recipiente se llena con un grifo en 4 h. ; otro grifo solo lo llena en 2 h. y un tubo de desagüe lo vacía en3h. ¿ Cuánto tiempo tarda en llenarse el recipiente si se abren el tubo de desagüe y los dos grifos ?

11. La edad de un padre es doble que la de su hijo . Hace tres años la edad del padre era triple que la del hijo .¿Cuáles son las edades actuales del padre y del hijo ?

12. La edad de Pedro era doble que la de Luis hace un año . Cuando pasen 9 años la edad de Pedro será 4/3 de laedad de Luis. ¿Qué edad tiene actual mente cada uno ?

13. La edad de un padre es 4 veces mayor que la de su hijo . Pero hace 6 años la edad del padre ere siete vecesmayor. ¿Cuál es la edad actual de ambos ?

14. Se tiene dos depósitos de agua . El contenido en litros del 1º es igual a 3 / 4 del contenido del 2º ,y elcontenido del 1º mas 20 l. es igual al contenido del 2º . ¿ Cuántos l. contiene cada depósito ?

15. Con una representación teatral se recaudan 385,13 euros. y asisten 704 personas entre hombres , mujeres yniños. Si el doble de personas mayores es menor en 20 unidades al quíntuplo de los niños y si las mujeresfueran la mitad, estarían el doble que los hombres . ¿ Cuantos hombres , mujeres y niños asistieron ?.

16. En un colegio hay 372 personas entre profesores , chicas y chicos . Si al doble del nº de profesores se le añadeel nº de chicas se tienen 100 personas menos que el triple del nº de chicos . Si las chicas aumentaran en tres ,su nº sería el doble que el de chicos . ¿ Cuantos hay de cada uno de estos grupos ?

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17. La suma de dos nº con el anterior del mayor es 419. Si el doble del mayor es 5 veces el menor. ¿Cuáles sondichos nº?

18. Halla cual es el nº de dos cifras si sabemos que la suma de sus dos cifras resulta otro nº que es igual a 26 másdos veces el primer nº.

19. Halla un nº de dos cifras sabiendo que la cifra de las decenas es el triple de la cifra de las unidades. Si seinvierte el orden de sus cifras dicho nº disminuye en 24.

20. Halla un nº de dos cifras sabiendo que su cifra de las unidades menos su cifra de las decenas es igual a 3. Si seinvierte el orden de sus cifras resulta otro nº que es igual a 2 más dos veces el primer nº

21. Halla un nº de dos cifras sabiendo que su cifra de las unidades es el doble de su cifra de las decenas. Si seinvierte el orden de sus cifras dicho nº aumenta en 36.

22. Busca una fracción equivalente a 2/3, tal que los 5/9 del denominador excedan en dos unidades a los 3 / 4 delnumerador.

23. Una persona compró 2 Kg. de naranjas y 3 Kg. de limones por 3’25 Euros. Otra persona compró en la misma tienda 3 Kg. de naranjas y 2 Kg. de limones por 3’07 euros. ¿Cuál es el precio de las naranjas y de loslimones?