IES LA BAHÍA.Departamento de Matemáti as Curso 2011-12

Ejer i iosde Matemáti as IIpara 2o de Ba hillerato

Índi e generalI ANÁLISIS 31. Fun iones reales de variable real 12. Límite y ontinuidad 33. Derivadas. Té ni as de deriva ión 54. Apli a iones de las derivadas 74.1. Re ta tangente y normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.2. Apli a iones de la Regla de L'H�pital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84.3. Monotonía. Extremos. Problemas de optimiza ión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.4. Curvatura. Puntos de in�exión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.5. Representa ión grá� a de fun iones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Problemas de Sele tividad. Bloque de Análisis 135. La integral inde�nida 185.1. Integrales inmediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2. Integra ión de fun iones ra ionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3. Integra ión por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.4. Integra ión por ambio de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216. La integral de�nida 23Problemas de Sele tividad. Bloque de Análisis-Integra ión 25II ÁLGEBRA 277. Matri es 287.1. Opera iones on matri es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.2. Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.3. E ua iones y sistemas matri iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307.4. Resolu ión de sistemas de e ua iones lineales por Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308. Determinantes 318.1. Determinantes de orden dos y tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.3. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea . . . . . . . . . . . . . . . . 328.4. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.5. Cál ulo de la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.6. E ua iones matri iales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359. Sistemas de e ua iones lineales 36Problemas de Sele tividad. Bloque de Álgebra 381

III GEOMETRÍA 4210.Espa ios ve toriales 4310.1. Ve tores en el espa io . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.2. Produ to es alar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.3. Produ to ve torial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.4. Produ to mixto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.5. Ejer i ios variados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411.El espa io afín 4611.1. Puntos y ve tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611.2. Re tas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611.3. Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4712.El espa io eu lídeo 49Problemas de Sele tividad. Bloque de Geometría 52

2

BLOQUE IANÁLISIS

3

Tema 1Fun iones reales de variable real1. Cal ula el dominio de las siguientes fun iones:a) f(x) =

2x

x2 − 4b) f(x) =

x3 + 3x+ 2

2x3 + 6x2 − 2x− 6 ) f(x) =

√x2 − 4d) f(x) =

√

x+ 1

x− 2e) f(x) =

√x2 − 3x+ 2

x− 2f ) f(x) =

1

x+ 3

√x− 1g) f(x) = Ln(x2 − 4) h) f(x) = Ln

(

1

x2 − 1

) i) f(x) = e1/xj ) f(x) = xLn2 x k) f(x) = xLnx2 l) f(x) =1

Ln(x2 + 3)m) f(x) =1

ex + 1n) f(x) =

1

x+ ex/(x−2) ñ) f(x) =

ex

e2 − ex/(x−1)o) f(x) = |x+ 3| p) f(x) = |x− 1|+ |x− 4| q) f(x) =

∣

∣

∣

∣

x2 + 3

x2 − 4

∣

∣

∣

∣r) f(x) =x2 + |x|x2 − |x| s) f(x) =

x

x− |x− 1| t) f(x) = sen(cosx)u) f(x) = arc tg1

xv) f(x) = cos(Lnx2) w) f(x) =

1

senx2. Cal ula el dominio de las siguientes fun iones:a) f(x) =

x si 0 ≤ x < 2

x+ 2 si 2 ≤ x < 3

2x− 1 si 3 < x ≤ 4

b) f(x) =

1/x si x ≤ 0√x− 1 si 0 < x ≤ 2

2x+ 2 si x > 2 ) f(x) =

x

x− 1− 1

Lnxsi x 6= 1

1 si x = 1

d) f(x) =

2x

1− xsi x < 0

2x

1 + xsi x ≥ 0e) f(x) =

{

Ln(x2 − x− 6) si x 6= 3, 2

0 si x = 3f ) f(x) =

− a

xsi x ≤ −1

x2 + 1 si x > −1

g)PSfrag repla ements 1h)PSfrag repla ements 1

1

3. Dada la fun ión f(x) = 3x2 − 12x+ 9:a) Determina el vérti e e indi a la e ua ión del eje de simetría de su grá� a.b) Los puntos de orte on los ejes de oordenadas, y esboza su grá� a. ) A la vista de ella, indi a la monotonía de sus ramas y expresa el omportamiento de la fun iónpara valores de x muy grandes (positivos y negativos).4. Determina a, b y c en la fun ión f(x) = ax2 + bx+ c para que la grá� a tenga el vérti e en el puntoV (−1, 9) y pase por el punto P (−3, 1). Idem V (−1/3, 2/3) y P (2, 17).5. En ada aso, determina a, b y c en la fun ión f(x) = ax2 + bx+ c para que la grá� a pase por lospuntos:a) P (1, 4), Q(−2,−62) y R(3, 8) b) P (−1, 11), Q(3, 3) y R(5, 23)6. Representa grá� amente las siguientes fun iones, y a la vista de ésta, indi a los intervalos de re- imiento y de re imiento e indi a el omportamiento de la fun ión para valores muy grandes de x(positivos y negativos):a) f(x) =

{

2x2 + 12x+ 16 si x < 1

−x+ 5 si x ≥ 1b) f(x) =

− 1

3(x2 + 4x− 5) si x < 1

1

3(x2 − 8x+ 7) si x ≥ 1 ) f(x) = |x+ 2| − 2(|x|+ 1) d) f(x) = |x− 3|+ |x|+ |x+ 3| − 8e) f(x) = |x+ 2| · |x− 3| f ) f(x) = |x2 − 3x|7. Para las siguientes fun iones f(x) = x+ 3

x− 1, g(x) = 5− x

x− 2y f(x) =

− 2

x− 4:a) Determina su dominio, asíntotas y puntos de ortes on los ejes.b) Esboza su grá� a en un sistema de oordenadas. ) A la vista de la grá� a, expresa el omportamiento de la fun ión para valores muy próximos asu asíntota verti al, y para valores muy grandes de x, positivos y negativos.8. Representa grá� amente las siguientes fun iones:a) f(x) =

|x| si x ∈ [−1, 1]

1

|x| − 1si x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,+∞)

b) f(x) =

1

xsi x < 0

|x− 1| si x ≥ 0 ) f(x) =

{

ex si x ≤ 0

Lnx si x > 0d) f(x) =

1

1− |x| si x ∈ (−1, 1)

√

|x| si x ∈ (−∞,−1] ∪ [1,+∞)9. Representa grá� amente las siguientes fun iones:a) f : (−∞, 2] −→ R

x −→ y = 2xb) f : (0, 1] −→ R

x −→ y = Lnx ) f : (−2π, 2π] −→ R

x −→ y = senxd) f : [0, 2π] −→ R

x −→ y = tg xe) f : (−2, 0] −→ R

x −→ y = e−x+1 f ) f : [0, 2π] −→ R

x −→ y = | cosx|2

Tema 2Límite y ontinuidad1. Cal ula los siguientes límites:a) lım

x→1

1

x− 1b) lım

x→−1

x+ 1

x3 + 3x2 + 3x+ 1 ) lım

x→3

√x+ 1− 2

x− 3d) lımx→∞

√x+ 2x√x2 + 1

e) lımx→∞

(√

x2 + 1−√

x2 − 1) f ) lımx→∞

(

1 +3

x

)3xg) lımx→∞

[

3x− 2

5x+ 2

(

1 +3

x

)]4x h) lımx→∞

(

2x2 + 1

2x2 − 1

)3x2−2 i) lımx→1

(

3x

x+ 2

)1/(x−1)j ) lımx→3

√x+ 1− 2√x+ 6− 3

k) lımx→1

(

2

(x− 1)2− 1

x(x− 1)

) l) lımx→−∞

(√

x2 + 1 + x)2. Cal ula los siguientes límites:a) lımx→0

senx b) lımx→0

Lnx

x ) lım

x→−∞arc tgxd) lım

x→∞log1/2

x2 + 1

xe) lım

x→∞sen

1

xf ) lım

x→0sen

1

xg) lımx→∞

1

sen(1/x)h) lım

x→−∞Ln(1 + x2) i) lım

x→−∞

(

3

5

)xj ) lımx→0

|x|x

k) lımx→1

1

|x2 − 1| l) lımx→0

x senxm) lımx→∞

x arc tgx2 + 3

− xn) lım

x→−∞

1 + ex

Ln(−x)ñ) lım

x→0

x2 + |x|x2 − |x|o) lım

x→0+

1 + e−1/x

1− e−1/x2p) lım

x→+∞(log x)1−3x3. Cal ula los siguientes límites:a) lım

x→∞

(

8x3 + 2

2x3 + 3x− 1

)x/(2x+5) b) lımx→∞

(

3x2 + 1

3x2 − 1

)x2/(x+1) ) lımx→1

(2x− 1)1/(√x−1)d) lım

x→0(x + 2)2/x e) lım

x→−∞

(

5− 1

x

)2x+3 f ) lımx→−∞

(

1

|x|

)−3x+1g) lımx→0

(

3x− 2

x− 1

)Ln x h) lımx→+∞

(

x2 + 3

2x2 − 1+ 2x

)(x+1)/(2x+2)i) lımx→1

(√2x− 1− 1

x− 1

)Ln x j ) lımx→2

(

x− 2

x

)(x2−4)/(x−2) k) lımx→+∞

(

log1/2 x+ log21

x

)l) lımx→−∞

arc tg4x2 + x

xm) lım

x→∞

[

Ln

(

x+ 1

x

)]x n) lımx→∞

sen1

xñ) lımx→0+

cos1

xo) lım

x→+∞e(x

3−1)/x

3

4. Comparando los órdenes de in�nito, asigna límite a estas expresiones:a) lımx→+∞

2x

10x2 − 5b) lım

x→+∞

√x5 + 4

10x2 + 3 ) lım

x→+∞

log(x3 + 1)

2x2 + 5xd) lımx→+∞

2x

log(x3 + 1)e) lım

x→+∞(log x3 − 10x2) f ) lım

x→+∞(2x −

√

x5 + 2)5. Estudia la ontinuidad de las siguientes fun iones, lasi� ando las dis ontinuidades:a) f(x) =2x

x2 − 4b) f(x) =

x3 + 3x+ 2

2x3 + 6x2 − 2x− 6 ) f(x) = |x|d) f(x) = |x− 1|+ |x− 4| e) f(x) =

x2 + |x|x2 − |x| f ) f(x) =

x2 + |x− 1||2x| − x2g) f(x) =

1

2− Lnxh) f(x) = cos(senx2) i) f(x) =

log1/3 x

xj ) f(x) = Ln(1 + ex) k) f(x) =1

1 + ex/(x−1)l) f(x) =

1

1− ex/(x−1)6. Estudia la ontinuidad de las siguientes fun iones lasi� ando las dis ontinuidades:a) f(x) =

{

1/x si x < 12x− 1 si x ≥ 1

b) f(x) =

{

ex si x < 1Lnx si x ≥ 1 ) f(x) =

|x+ 1| si x < −1x2 si −1 ≤ x < 12x+ 1 si x > 1

d) f(x) =

√x+ 6− 3

x− 3si x 6= 3

0 si x = 3e) f(x) =

x3 − 2x2 + x− 2

x− 2si x 6= 2

3 si x = 2

f ) f(x) =

1− x

1−√x

si x 6= 1

1 si x = 17. Estudia la ontinuidad de las siguientes fun iones para los distintos valores del parámetro a:a) f(x) =

{

x2 + ax si x ≤ 2a− x2 si x > 2

b) f(x) =

{

eax si x ≤ 0x+ 2a si x > 08. Halla el valor de m en las siguientes fun iones para que sean ontinuas en todo R:a) f(x) =

x+m− 1

x2 +msi x ≤ −1

x2 −mx− 3 si x > −1b) f(x) =

emx si x ≤ 12x2 + (m− 1)x−m

x+ 2si x > 1

4

Tema 3Derivadas. Té ni as de deriva ión1. Apli ando la de�ni ión de derivada, determina la derivada de ada una de las siguientes fun ionesen los puntos que se indi an:a) f(x) = x2 + 3x; f ′(1) b) f(x) =

√x− 1; f ′(5) ) f(x) =

x

x+ 2; f ′(−1)2. Cal ula la fun ión derivada de ada una de las siguientes fun iones:a) f(x) = tg

√x b) f(x) = sen2 x+ 3 cos5(2x) ) f(x) =

senx+ cosx

senx− cosxd) f(x) = e−x · cos(3x) e) f(x) =

(

x+ 2

x− 2

)5 f ) f(x) = senx3 + cos3(2x)g) f(x) =√1− x2 h) f(x) = cos

√x2 − 1 i) f(x) = Ln3 x− Lnx3j ) f(x) = arc sen

x

2k) f(x) = arc tg

x− 1

x+ 1l) f(x) = arc sen e2x−1m) f(x) = arc cos

√

1− ex

1 + exn) f(x) = Ln

x− 1

x+ Ln3(sen2 x)ñ) f(x) = arc tg

1 + cosx

senx3. Cal ula la fun ión derivada de las siguientes fun iones:a) f(x) = xx b) f(x) = (senx)x ) f(x) = xsen x d) f(x) = xLn x4. Determina la fun ión derivada de la fun ión f : R −→ R de�nida de la forma:f(x) =

1− x

exsi x ≤ 0

cosx si 0 < x < π/2

1/x si x ≥ π/25. Estudia la ontinuidad y derivabilidad de las fun iones:a) f(x) =

ex si x ≤ 01 si 0 < x < 3−x2 + 3x+ 2 si x ≥ 3

b) f(x) =

x2 + 2x+ 1 si x < −12x+ 2 si −1 ≤ x < 2−x2 + 8x si x > 26. Comprueba que f(x) es ontinua pero no derivable en x = 2.

f(x) =

{

Ln(x− 1) si x < 23x− 6 si x ≥ 27. Determina a y b para que la fun ión f : R −→ R de�nida de la forma:

f(x) =

{

−x2 + 2x+ a si x ≤ 3x2 + bx+ 21 si x > 3sea derivable para todo x ∈ R. (Solu ión: a = 3 y b = −10)5

8. ¾Para qué valores de k la fun ión f : R −→ R de�nida de la forma:f(x) =

4 + x+ kx2 si x ≤ 1

− 6

kxsi x > 1es ontinua para todo número real? ¾Para qué valor o valores de k es f derivable en todo x ∈ R?(Solu ión: Es ontinua en todo R para k = −2 y k = −3. Es derivable en todo R para k = −2)9. ¾Cuál debe ser el valor de a para que la fun ión f : R −→ R de�nida de la forma:

f(x) =

(a+ 1)x

1− xsi x < 0

2x

1 + axsi x ≥ 0sea derivable en todo número real x? Para ese valor de a es ribe su fun ión derivada. (Solu ión

a = 1)10. Sean m y n dos números reales, y sea f : R −→ R de�nida de la forma:f(x) =

{

emx−n si x < 1

1− xLnx si x ≥ 1Determina m y n de manera que f sea derivable en R. (Solu ión m = −1 y n = −1)Solu iones ejer i io 2:a) f ′(x) =1

2√x cos2

√x

b) f ′(x) = sen 2x(1− 30 cos4 2x) ) f ′(x) = − 2

1− sen 2xd) f ′(x) = −e−x(cos 3x+ 3 sen 3x)e) f ′(x) =

− 20(x+ 2)4

(x− 2)6f ) f ′(x) = 3x2 cosx3 − 6 cos2 2x · sen 2xg) f ′(x) =

− x√1− x2

h) f ′(x) = −x sen√x2 − 1√

x2 − 1i) f ′(x) =3(Ln2 x− 1)

xj ) f ′(x) =

1√4− x2k) f ′(x) =

1

x2 + 1l) f ′(x) =

2e2x−1

√1− e4x−2m) f ′(x) =

ex

(1 + ex)√

2ex(1 − ex)n) f ′(x) =

1

x(x− 1)+ 6Ln2(sen2 x) · cosx

senxñ) f ′(x) =− 1

2Solu iones ejer i io 3:a) f ′(x) = xx(1 + Lnx) b) f ′(x) = x(senx)x−1 · cosx+ (senx)x · Ln(senx) ) f ′(x) =

senx · xsen x−1 + xsen x · Lnx · cosx d) f ′(x) = 2Lnx · xLn x−1

6

Tema 4Apli a iones de las derivadas4.1. Re ta tangente y normal1. En ada aso, es ribe la e ua ión de la re ta tangente a la grá� a de la fun ión en el punto de ella uya abs isa se indi a:a) f(x) = (x2 + 2x+ 2)3 en x = 0 y en x = −1 b) f(x) =

x2 + 1

x2 − 2en x = 0 y en x = 1 ) f(x) = x · ex en x = 0 y en x = 1 d) f(x) =

ex + e−x

2en x = 0 y en x = Ln2e) f(x) = sen2(2x) en x = 0 y en x = 3π/4 f ) f(x) =

Lnx

x2en x = 1 y en x = e2. Halla los puntos de la grá� a de la fun ión f : R −→ R, de�nida de la forma f(x) = −2x2+2x+5,en los que la tangente es:a) paralela al eje de abs isa. (Solu ión: (1/2, 11/2))b) paralela a la re ta de e ua ión y = 2x+ 3. (Solu ión: (0, 5))3. Halla los puntos de la grá� a de la fun ión f(x) =

x− 2

x+ 2en los que la tangente es:a) paralela a la bise triz del primer y ter er uadrante. (Solu ión: (0,−1) y (−4, 3))b) paralela a la re ta de e ua ión 4x− y + 2 = 0 (Solu ión: (−1,−3) y (−3, 5))4. Determina en qué puntos la re ta y = x/e es tangente a la urva y = Lnx. (Solu ión: (e, 1))5. Halla los puntos de la grá� a de la fun ión de�nida por f(x) = 2x4−x2+x en los que la re ta tan-gente es paralela a la bise triz del primer uadrante. (Solu ión: (0, 0), (1/2, 3/8) y (−1/2,−5/8))6. Dada la urva f(x) =

2

x+ Lnx2, bus a un punto M de la urva en el que la tangente es paralelaal eje de abs isa. (Solu ión: (1, 2))7. Halla todas las posibles re tas tangentes a la urva y = x4 que pasan por el punto (2, 0). (Solu ión:

y = 0 e y =2048

27(x− 2))8. Sea f una fun ión real de variable real, f : R −→ R, de�nida de la forma f(x) = x2 + ax+ b, on ay b números reales. En uentra los valores que deben tomar a y b para que el punto (2, 4) pertenez aa la grá� a de f y que la re ta tangente a ella en di ho punto sea la re ta de e ua ión y = 2x.(Solu ión: a = −2 y b = 4)9. Sea f una fun ión real de variable real, f : R −→ R, de�nida de la forma f(x) = eax + b, on a y bnúmeros reales. En uentra los valores que deben tomar a y b para que el punto (0,−1) pertenez a ala grá� a de f y que la re ta tangente a ella en di ho punto sea la re ta de e ua ión 3x− y− 1 = 0.(Solu ión: a = 3 y b = −2)10. Determina el ángulo bajo el que la urva y = Lnx orta al eje OX . (Solu ión: 45◦)7

11. Sea f(x) = a+ bx2 + x4 y g(x) = c− x3. Cal ula los valores de a, b y c de modo que las grá� as se orten en el punto (1, 1) y sean tangentes en di ho punto. (Solu ión: a = 7/2, b = −7/2 y c = 2)12. La re ta y = 6x+ a es tangente a la urva f(x) =bx− 1

bx+ 1en el punto de abs isas x = 0. Halla a y

b. (Solu ión: a = −1 y b = 3)Solu iones ejer i io 1:a) En x = 0, y = 24x+ 8; en x = −1, y = 1 b) En x = 0, y = −1

2; en x = 1, y = −6x+ 4 ) En x = 0, y = x; en x = 1, y = e(2x− 1) d) En x = 0, y = 1; en x = Ln2, y =

1

4(3x− 3 Ln 2 + 5)e) En x = 0, y = 0; en x = 3π/4, y = 1 f ) En x = 1, y = x− 1; en x = e, y = − 1

e3(x− 2e)4.2. Apli a iones de la Regla de L'H�pital13. Cal ula los siguientes límites:a) lım

x→2

x3 − 8

x2 − 5x+ 6b) lım

x→0

senx

x ) lım

x→0

x− senx

x3d) lımx→0+

Lnx

cotg xe) lım

x→0+xLnx f ) lım

x→0

(

1

x senx− 1

x2

)g) lımx→1

x3 − 3x+ 2

x3 − x2 − x+ 1h) lım

x→a

x− a

xn − ani) lım

x→3

√3x−

√12− x

2x− 3√19− 5xj ) lım

x→0

senmx

xk) lım

x→π/2

tg 5x

tg 3xl) lım

x→0

cosmx− 1

cosnx− 1m) lımx→π/4

1− tg x

cos 2xn) lım

x→0

tg x+ secx− 1

tg x− secx+ 1ñ) lım

x→0

tg x− senx

sen3 xo) lımx→0

senx− x cos x

x(1 − cosx)p) lım

x→1

senπx

2− 1

x− 1q) lım

x→π/4

sec2 x− 2 tg x

cos 4x+ 1r) lımx→π/6

cos 3x

1− 2 senxs) lım

x→1

1− x

Lnxt) lım

x→+∞

ex

x4u) lımx→0

hx − kx

tg xv) lım

x→π/2

Ln senx

(π − 2x)2w) lım

x→1

x3 − 1

Lnx14. Cal ula los siguientes límites:a) lımx→+∞

Lnx√x

b) lımx→∞

x · sen a

x ) lım

x→0+x · Ln(senx)d) lım

x→π(π − x) tg

x

2e) lım

x→0(ex − 1)x f ) lım

x→+∞x1/xg) lım

x→1x1/(x−1) h) lım

x→0+(senx)x i) lım

x→0+

[

3

x+ 1

]xj ) lımx→(π/2)−

(tg x)cos x k) lımx→0+

x3/(4+Ln x) l) lımx→0+

(cotg x)1/Ln x

8

15. Cal ula los siguientes límites:a) lımx→1

(

2

x2 − 1− 1

x− 1

) b) lımx→1

(

x

Lnx− 1

Lnx

) ) lımx→0

(

1

2x− 1

x(eπx + 1)

)d) lımx→0+

(x)1/ Ln x e) lımx→+∞

(xn − an)1/Ln x f ) lımx→0

(1 + senx)1/xg) lımx→0

x

√

1 + x

1− xh) lım

x→0

x− arc senx

(senx)3i) lım

x→π/2(1 + 2 cosx)1/ cosx16. Se onsidera la fun ión f , de�nida en R, por:

f(x) =

x

1 + e1/xsi x 6= 0

0 si x = 0Estudia su ontinuidad y derivabilidad en x = 0.17. Estudia la ontinuidad y derivabilidad de las siguientes fun iones:a) f(x) =

{

xe1/x − 1 si x 6= 0−1 si x = 0

b) f(x) =

Ln(1 + x2)

x2si x 6= 0

1 si x = 0 ) f(x) = x+ |Lnx− 1| d) f(x) =

x2 sen1

xsi x < 0

2x si 0 ≤ x ≤ 1Ln(x2 + x) si x > 118. Halla b y c para que la siguiente fun ión sea ontinua y derivable en x = 0.

f(x) =

x2 + bx+ c si x ≤ 0Ln(1 + x)

xsi x > 019. Halla a para que la siguiente fun ión sea ontinua en R:

f(x) =

Ln(1 + x2) + a si x ≤ 0sen2 x

x2si x > 020. Cal ula las asíntotas de las siguientes fun iones:a) f(x) =

x3

(x− 1)2b) f(x) = x+

√x2 − 1 ) f(x) = Ln(x2 − 4)d) f(x) = xe1/x e) f(x) = Ln

(

x+ 1

x− 1

) f ) f(x) =ex

1− xSolu iones13. a) −12 b) 1 ) 1/6 d) 0 e) 0 f ) 1/6g) 3/2 h) 1

n · an−1i) 8/69 j ) m k) 3/5 l) m2/n2m) 1 n) 1 ñ) 1/2 o) 2/3 p) 0 q) 1/2r) √

3 s) −1 t) +∞ u) Lnh

kv) −1/8 w) 39

14. a) 0 b) a ) 0 d) 2 e) 1 f ) 1g) e h) 1 i) 1 j ) 1 k) e3 l) 1/e15. a) −1/2 b) 1 ) π/4 d) e e) en f ) eg) e2 h) −1/6 i) e216. Es ontinua pero no derivable en x = 0.17. a) Continua y derivable en R− {0} b) Continua y derivable en R; f ′(0) = 0 ) Continua y derivable en (0,+∞)− {e} d) Continua y derivable en R− {1} y derivable en R− {0, 1}18. b = −1/2 y c = 119. a = 120. a) Asíntota verti al: x = 1; obli ua: y = x+ 2 b) Asíntota horizontal: y = 0; obli ua: y = 2x ) Asíntotas verti ales: x = 2 y x = −2. d) Asíntota verti al: x = 0; obli ua: y = x+ 1e) Asíntotas verti ales: x = −1 y x = 1; horizontal: y = 0f ) Asíntota verti al: x = 1; horizontal: y = 04.3. Monotonía. Extremos. Problemas de optimiza ión21. Halla los intervalos de re imiento y de re imiento, así omo los extremos relativos de las siguientesfun iones:a) f(x) = x3 − 3x+ 2 b) f(x) =x2

2− x ) f(x) = x+

√x2 − 1d) f(x) = Ln(x2 − 4) e) f(x) = xe1/x f ) f(x) = xLn xg) f(x) =

x

exh) f(x) = xLn2 x i) f(x) = ex(x2 − 3x+ 1)22. Razona por qué la grá� a de la fun ión f(x) = 3x− senx no puede tener extremos relativos.23. Dada la fun ión f(x) = 1 − (2 − x)5, omprueba que f ′(2) = 0, f ′′(2) = 0 y f ′′′(2) = 0. ¾Tiene fmáximo, mínimo o punto de in�exión?24. Determina a, b y c para que la fun ión f de�nida por f(x) =

x3

ax2 + bx+ ctenga la siguientespropiedades: la re ta y = x − 2 es una asíntota de la grá� a de la fun ión y en x = 3 la fun iónpresenta un extremo relativo.25. Halla a, b, c y d para que la fun ión f(x) = ax3 + bx2 + cx + d tenga un extremo relativo en elpunto (0, 2) y por tangente la re ta y = −x+ 2 en el punto (1, 1).26. De una fun ión f : [−5, 5] −→ R se sabe que la grá� a de su fun ión derivada f ′ es la siguiente:

PSfrag repla ements 1

10

a) Determina de forma razonada los intervalos de re imiento y de de re imiento de f .b) Di uáles son los puntos ríti os o singulares de f y determina de forma razonada si en adauno de ellos la fun ión al anza un máximo o mínimo relativo.27. Cal ula los extremos absolutos de las siguientes fun iones:a) f(x) =√x− 4 + 5 en su dominio b) f(x) = x2 − 2|x|+ 2 en [−1/2, 3/2]28. Estudia el re imiento de la fun ión f(x) =

2x2 − 3x

ex. Determina, si existen, sus máximos y mínimosrelativos.29. Entre los números, uya suma es 36, en uentra aquellos números positivos uya suma de uadradossea mínima.30. Halla las dimensiones del jardín re tangular de mayor área que se puede ins ribir en un terreno ir ular de 100 m de radio.31. Desde la Tierra que suponemos situada en e origen de oordenadas del plano, se observa un objetoque sigue una traye toria de e ua ión x ·y = 16 (donde las distan ias se miden en años luz). ¾Cuálesson las oordenadas del punto de traye toria uya distan ia a la Tierra es mínima, y uánto valesdi ha distan ia?32. Un nadador A, se en uentra a 3 km de la playa enfrente de una aseta. Desea ir a B, en la mismaplaya, a 6 km de la aseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y anda por la arena a 5 km/h, averigua aqué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.33. El propietario de un inmueble tiene alquilados uarenta pisos a 300 e al mes ada uno. Por ada10 e de aumento en el pre io del alquiler pierde un inquilino, que se traslada a otro piso máse onómi o. ¾Cuál es el alquiler que más bene� ios produ e al propietario?34. Dada la fun ión f : [1, e] −→ R de�nida por f(x) =

1

x+ Lnx, determina uáles de las re tastangentes tiene pendiente máxima.35. Des omponer el número 48 en dos sumandos tales que el quíntuplo del uadrado del primero másel séxtuplo del uadrado del segundo sea mínimo.36. En un jardín on forma de semi ír ulo de radio 10 m se va instalar un parterre re tangular, uno de uyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte urva. Cal ulalas dimensiones del parterre para que su área sea máxima.37. En un terreno llano se desea a otar una par ela re tangular usando 80 m de tela metáli a paravallarla, pero dejando en uno de sus lados una abertura de 20 m sin vallar. Halla las dimensiones dela par ela re tangular de área máxima que puede a otarse de esa manera y el valor de di ha área.38. Se toma una uerda de 5 m de longitud y se unen sus extremos. Enton es podemos onstruir onella triángulos isós eles de diferente medidas. Cal ula de manera razonada las dimensiones del quetiene mayor área.39. Dado un triángulo isós eles de base 8 m y altura 5 m, al ula las dimensiones de re tángulo deárea máxima que pueda ins ribirse dentro de di ho triángulo.40. Halla los puntos de la urva y2 = 6x uya distan ia al punto P (4, 0) sea mínima.41. Los barriles que se utilizan para alma enar petróleo tienen forma ilíndri a y una apa idad de 160l. Halla las dimensiones del ilindro para que la hapa empleada en su onstru ión sea mínima.42. Dada una ir unferen ia de radio r, se divide uno de sus diámetros en dos partes que se toman omodiámetros de dos ir unferen ias tangentes interiores a la ir unferen ia dada. ¾Qué longitud debetener ada uno de estos diámetros para que sea máxima el área de la región omprendida entre las ir unferen ias interiores y la exterior?43. Ins ribimos un triángulo isós eles en una ir unferen ia de radio R. Determina las dimensiones deltriángulo de área máxima. 11

4.4. Curvatura. Puntos de in�exión44. Estudia la urvatura y puntos de in�exión de las siguientes fun iones:a) f(x) = x3 − 3x+ 2 b) f(x) =x2

2− x ) f(x) = x+

√x2 − 1d) f(x) = Ln(x2 − 4) e) f(x) = xe1/x f ) f(x) = xLn xg) f(x) =

x

exh) f(x) = xLn2 x i) f(x) = ex(x2 − 3x+ 1)45. La urva y = x3 + ax2 + bx+ c orta al eje de abs isa en x = −1 y tiene un punto de in�exión en

(2, 1). Cal ula a, b y c.46. Dada la fun ión f(x) = ax4+ bx3− 3x2−ax, al ula a y b sabiendo que la fun ión tiene dos puntosde in�exión, uno en x = 1 y otro en x = 1/2.47. De la fun ión f(x) = ax3 + bx sabemos que pasa por el punto (1, 1) y en ese punto tiene tangenteparalela a la re ta 3x+ y = 0:a) Halla a y b.b) Determina sus extremos relativos e intervalos de monotonía.48. La fun ión y = x3 + ax2 + bx+ c veri� a que f(1) = 1, f ′(1) = 0 y que f no tiene extremo relativoen x = 1, al ula a, b y c.49. Sea y = x3 + ax2 + bx+ 7. Halla a y b de manera que la grá� a de la fun ión f tenga una in�exiónen x = 1 uya re ta tangente en ese punto forme un ángulo de 45◦ on el eje OX.50. Determina el valor de las onstantes a, b y c sabiendo que la grá� a de la fun ión f : R −→ Rde�nida por f(x) = x(ax2 + bx + c) tiene un punto de in�exión en (−2, 12) y que en di ho puntola re ta tangente tiene por e ua ión 10x+ y + 8 = 0.4.5. Representa ión grá� a de fun iones51. Representa grá� amente las fun iones:a) f(x) = x3 − 3x+ 2 b) f(x) =x2

2− x ) f(x) = x2 Lnxd) f(x) = x

√

|3− 2x| e) f(x) =x3

(1 + x)2f ) f(x) =

e2x

ex − 1g) f(x) = x2e−x2 h) f(x) =√x2 − 2x i) f(x) =

1

2sen 2x+ senx

12

Problemas de Sele tividad. Bloque deAnálisis1. Sea f : R −→ R la fun ión de�nida por f(x) = x2e−x2 .a) Halla las asíntotas de la grá� a de f .b) Determina los intervalos de re imiento y de de re imiento de f y al ula sus extremos relativoso lo ales (puntos en los que se obtienen y valores que al anza la fun ión). ) Esboza la grá� a de f.2. Se desea onstruir una aja errada de base uadrada on una apa idad de 80 m3. Para la tapay la super� ie lateral se usa un material que uesta 1e/ m2 y para la base se emplea un materialun 50% más aro. Halla las dimensiones de la aja para que su oste sea mínimo.3. De una fun ión f : [0, 4] −→ R se sabe que f(1) = 3 y que la grá� a de su fun ión derivada es laque apare e en el dibujo.PSfrag repla ements

3

1

1a) Halla la re ta tangente a la grá� a de f en el punto de abs isa x = 1.b) Determina los intervalos de re imiento y de de re imiento de f . ¾En qué punto al anza lafun ión f su máximo absoluto? ) Estudia la on avidad y la onvexidad de f4. Se sabe que la fun ión f : (−1, 1) −→ R de�nida por:f(x) =

2x2 − 1

2x+ c si −1 < x < 0

√1− x si 0 ≤ x < 1es derivable en el intervalo (−1, 1).a) Determina el valor de la onstante c.b) Cal ula la fun ión derivada, f ′ ) Halla las e ua iones de las re tas tangentes a la grá� a de f que son paralelas a la re ta dee ua ión y = −x5. Sea f : [0, 2π] −→ R la fun ión de�nida por f(x) = ex(cosx+ senx):13

a) Determina los intervalos de re imiento y de de re imiento de f .b) Halla los extremos relativos (lo ales) y absolutos (globales) de f .6. a) Halla la e ua ión de la re ta tangente a la parábola y = x2 que es paralela a la re ta −4x +y + 3 = 0.b) Halla las e ua iones de las re tas tangentes a la parábola y = x2 que pasan por el punto (2, 0).7. Se quiere fabri ar una aja abierta de hapa on base uadrada y on 32 litros de apa idad. Hallalas dimensiones de la aja que pre isa la menor antidad de hapa.8. Sea f : R −→ R la fun ión de�nida por f(x) = 2− x|x|.a) Esboza la grá� a de f .b) Estudia la derivabilidad de f en x = 0. ) Halla la e ua ión de la re ta tangente a la grá� a de f en el punto de abs isa x = 2.9. Se sabe que

lımx→0

(

1

ex − 1− a

2x

)es �nito. Determina el valor de a y al ula el límite.10. Considera la fun ión f : R −→ R de�nida por f(x) = (x+ 1)(x− 1)(x− 2).a) Halla las e ua iones de las re tas tangente y normal a la grá� a de f en el punto de abs isax = 1.b) Determina los intervalos de on avidad y de onvexidad de f . ¾Tiene puntos de in�exión lagrá� a de f?11. Se sabe que la fun ión f : (1,+∞) −→ R de�nida por

f(x) =

x2 − 4x+ 3 si −1 < x < 0x2 + a

x+ 1si x ≥ 0es ontinua en el intervalo (−1,+∞).a) Halla el valor de a. ¾Es f derivable en x = 0?b) Determina los intervalos de re imiento y de de re imiento de f .12. Sea f : R −→ R la fun ión de�nida por f(x) = Ln(x2 + 1).a) Determina los intervalo de re imiento y de re imiento y los extremos relativos de la fun ión

f (puntos donde se al anzan y valor de la fun ión).b) Cal ula la e ua ión de la re ta tangente a la grá� a de f en el punto de in�exión de abs isanegativa.13. Cal ulalımx→1

(

− 1

Lnx− 1

x− 1

).14. Sea f : R −→ R la fun ión de�nida por f(x) = x2 − |x|.a) Estudia la derivabilidad de f .b) Determina los intervalos de re imiento y de re imiento de f . ) Cal ula los extremos relativos de f(puntos donde se al anzan y valor de la fun ión).14

15. Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, on uno se forma un uadrado y on elotro una ir unferen ia. Cal ula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas deambos re intos sea mínima.16. Determina un punto de la urva de e ua ión y = xe−x2 en el que la pendiente de la re ta tangentesea máxima.17. Sea f la fun ión de�nida por f(x) = x4 + 3

x, para x 6= 0.a) Halla, si existen, los puntos de orte on los ejes y las asíntotas de la grá� a de f .b) Cal ula los intervalos de re imiento y de re imiento y los extremos relativos de f . ) Esboza la grá� a de f .18. Sea f : R −→ R la fun ión dada por f(x) = x2 + px+ q. Cal ula los valores de p y q sabiendo quela fun ión f tiene un extremo en x = −6 y su valor en él es −2.19. Sea f la fun ión de�nida por f(x) = x2 − x+ 1

x2 + x+ 1.a) Estudia si existen y al ula, uando sea posible, las asíntotas de la grá� a de f .b) Determina los intervalos de re imiento y de re imiento, los extremos relativos y los valoresque al anza en ellos la fun ión f . ) Esboza la grá� a de f .20. Sea f : (1,+∞) −→ R de�nida por f(x) = x(Lnx)2

(x− 1)2. Estudia la existen ia de asíntota horizontalpara la grá� a de esta fun ión. En aso de que exista, hállala.21. Se sabe que la fun ión f : [0, 5] −→ R de�nida por

f(x) =

{

ax+ bx2 si 0 ≤ x < 2−4 +

√x− 1 si 2 ≤ x ≤ 5es derivable en el intervalo (0, 5).a) Cal ula las onstantes a y b.b) Halla la e ua ión de la re ta tangente a la grá� a de f en el punto de abs isa x = 2.22. Sea f : R −→ R de�nida por f(x) = x3 + ax2 + bx+ 1.a) Determina a, b ∈ R sabiendo que la grá� a de f pasa por el punto (2, 2) y tiene un punto dein�exión de abs isa x = 0.b) Cal ula las e ua iones de las re tas tangente y normal a la grá� a de f en el punto de in�exión.23. Se desea onstruir una lata de onserva en forma de ilindro ir ular re to que tenga una super� ietotal de 200 m2. Determina el radio de la base y la altura de la lata para que el volumen seamáximo.24. Se quiere onstruir un depósito en forma de prisma de base uadrada sin tapadera que tenga una apa idad de 500m3. ¾Qué dimensiones ha de tener el depósito para que su super� ie sea mínima?25. Sea f : R −→ R de�nida por f(x) = (x− 3)ex.a) Cal ula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se al anzan).b) Determina la e ua ión de la re ta tangente a la grá� a de f en el punto de in�exión.26. Sea f la fun ión de�nida, para x 6= 2 y x 6= −2 por f(x) = x2 + 3

x2 − 4.a) Determina las asíntotas de la grá� a de f .15

b) Determina los intervalos de re imiento y de re imiento y los extremos relativos de f (puntosdonde se obtienen y valores que se al anzan). ) Esboza la grá� a de f .27. De entre todos los re tángulos situados en el primer uadrante que tienen dos de sus lados sobrelos ejes oordenados, y un vérti e en la re ta r de e ua ión x

2+ y = 1 (ver �gura), determina el quetiene mayor área.

PSfrag repla ements2

1

1

r

X

Y

28. Sea f : R −→ R de�nida por f(x) = x2e−x.a) Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se al anzan).b) Estudia y determina las asíntotas de la grá� a de f .29. Sea f : (0,+∞) −→ R la fun ión de�nida por f(x) = x2 Lnx (Ln denota la fun ión logaritmoneperiano).a) Determina los intervalo de re imiento y de re imiento y los extremos relativos de la fun iónf (puntos donde se obtienen y valores que se al anzan).b) Cal ula la e ua ión de la re ta tangente a la grá� a de f en el punto de abs isa x =

√e.30. Tenemos que fabri ar dos hapas uadradas on dos materiales distintos. El pre io de ada uno deestos materiales es de 2 y 3 euros por entímetro uadrado, respe tivamente. Por otra parte, lasuma de los perímetros de los dos uadrados tiene que ser 1 metro. ¾Cómo hemos de elegir loslados de los uadrados si queremos que el oste total sea mínimo?31. Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el produ to de sus uadrados es máximo.32. Sea f : R −→ R de�nida por f(x) = 2x3 + 12x2 + ax + b. Determina a y b sabiendo que la re tatangente a la grá� a de f en su punto de in�exión es la re ta y = 2x+ 333. Sea f : (0,+∞) −→ R la fun ión de�nida por f(x) =

3x+ 1√x

(Ln denota la fun ión logaritmoneperiano).a) Determina los intervalo de re imiento y de re imiento y los extremos relativos de la fun iónf (puntos donde se obtienen y valores que se al anzan).b) Cal ula el punto de in�exión de f .34. Sea f : R −→ R de�nida por f(x) = (3x− 2x2)ex.a) Determina los intervalos de re imiento y de de re imiento de f .b) Cal ula los extremos relativos de f (abs isas donde se obtienen y valores que se al anzan).35. Dada la fun ión f de�nida, para x 6= 0 por f(x) = ex + 1

ex − 1determina las asíntotas de su grá� a.36. Sea f : R −→ R de�nida por f(x) = (3x− 2x2)ex.16

a) Determina los intervalos de re imiento y de de re imiento de f .b) Cal ula los extremos relativos de f (abs isas donde se obtienen y valores que se al anzan).37. Sea f : [0, 2π] −→ R la fun ión de�nida por f(x) = ex(senx+ cosx).a) Determina los intervalo de re imiento y de de re imiento de f .b) Cal ula los puntos de in�exión de la grá� a de f .38. Sea f : R −→ R de�nida por f(x) = x+ 1

ex, determina la e ua ión de la re ta tangente a la grá� ade f en su punto de in�exión.39. Se sabe que la fun ión f : [0, 4] −→ R de�nida por

f(x) =

{

x2 + ax+ b si 0 ≤ x < 2cx+ 1 si 2 ≤ x ≤ 4a) Determina el valor de a, b y c sabiendo que f es ontinua en el intervalo [0, 4], derivable en elintervalo (0, 4) y que f(0) = f(4).b) ¾En qué punto del intervalo se anula la derivada de la fun ión?40. Sea la fun ión f de�nida, para x 6= 0 por f(x) = xe

1x . Determina las asíntotas de la grá� a de f .41. De entre todos los re tángulos de perímetro 8 m, determina las dimensiones del que tiene diagonalde menor longitud.42. Se sabe que la fun ión f : R −→ R de�nida por

f(x) =

{

ax2 + 3x si x ≤ 2x2 − bx− 4 si x > 2a) Halla a y b sabiendo que f es derivable en R.b) Determina la re ta tangente y la re ta normal a la grá� a de f en el punto de abs isa x = 3.43. De entre todas las re tas del plano que pasan por el punto (1, 2), en uentra aquella que forma onlas partes positivas de los ejes oordenados un triángulo de área mínima. Halla el área de di hotriángulo.44. Sean f : R −→ R y g : R −→ R de�nidas por

f(x) = x2 + ax+ b y g(x) = ce−(x+1)Se sabe que las grá� as de f y g se ortan en el punto (−1, 2) y tienen en ese punto la misma re tatangente.a) Cal ula los valores de a, b y c.b) Halla la e ua ión de di ha re ta tangente.

17

Tema 5La integral inde�nida5.1. Integrales inmediataCal ular las siguientes integrales:1.-∫ x10 dx 2.-∫ 2x3 dx3.-∫ x√xdx 4.-∫ 1

x2dx5.-∫ (3x4 − 2x3 + x2 − 2x+ 1) dx 6.-∫ 4

√3xdx7.-∫ √

3x3 dx 8.-∫ x3 + 7x+ 3

x2dx9.-∫ (3 cosx− 5ex) dx 10.-∫ 23x+1 dx11.-∫ 2x+ 5

3√x

dx 12.-∫ (4 senx− 5 cosx) dx13.-∫ (3ex−1 + 5 · 22x+2) dx 14.-∫ 3√x+ x√x

dx15.-∫ sen(3x+ π) dx 16.-∫ (√3x+ 1)

)

dx17.-∫ 13√5x− 2

dx 18.-∫ x√

x2 + 1dx19.-∫ 3

xdx 20.-∫ x

x2 + 1dx21.-∫ tg xdx 22.-∫ cotg xdx23.-∫ x2

x3 + 8dx 24.-∫ xex

2

dx25.-∫ 3x

2xdx 26.-∫ esenx cosxdx

18

27.-∫ cos 2xdx 28.-∫ cos(2x+ 1) dx29.-∫ x cos(x2 + 1) dx 30.-∫ ex cos ex dx31.-∫ sen 5xdx 32.-∫ sen(4x+ 3) dx33.-∫ x sen(x2 + 5) dx 34.-∫ 3 sec2 xdx35.-∫ 7

cos2 xdx 36.-∫ sec2(2x+ 1) dx37.-∫ sec4 xdx 38.-∫ 3 cosec2 xdx39.-∫ 8

sen2 xdx 40.-∫ (5 + 5 cotg2 x) dx41.-∫ cosec2 xdx 42.-∫ cosec4 xdx43.-∫ 2x√

1− x4dx 44.-∫ ex√

1− e2xdx45.-∫ 1

3 + 3x2dx 46.-∫ 1

1 + 9x2dx47.-∫ cosx

1 + sen2 xdx 48.-∫ ex

1 + exdx49.-∫ (2x2 + 3)2 dx 50.-∫ e4x−3 dx51.-∫ √

3

cos2 xdx 52.-∫ cos

(

x− π

2

)

dx53.-∫ (

3x+1

x2

)

dx 54.-∫ (

x4 − 3x√x+ 2

x

)

dx55.-∫ (x+ 1)2 dx 56.-∫ (x3 + 1)2 dx57.-∫ 2

xdx 58.-∫ x2

6x3 + 1dx59.-∫ 1

xLnxdx 60.-∫ e2x−3 dx

19

5.2. Integra ión de fun iones ra ionales61.-∫ 4x3 + 2x− 1

2x+ 1dx =

2

3x3−1

2x2+

3

2x−5

4Ln |2x+1|+C 62.-∫ 4

x2 − 2x+ 2dx = 4 arc tg(x− 1) + C63.-∫ 6

x3 − 2x2 − x+ 2dx = 2Ln |x−2|+Ln |x+1|−3 Ln |x−1|+C64.-∫ 1

(x− 2)2(x2 + 2)dx = −1

9Ln |x−2|− 1

6x− 12+

1

18Ln(x2+2)+

1

18√2arc tg

(

x√2

)

+C65.-∫ 3x2 + 1

x4 − 1dx = Ln |x− 1| − Ln |x+ 1|+ arc tg x+ C66.-∫ 1

x3 + 1dx =

1

6Ln

∣

∣

∣

∣

(x+ 1)2

x2 − x+ 1

∣

∣

∣

∣

+1√3arc tg

2x− 1√3

+C67.-∫ x2 + 1

(x− 1)3dx = Ln |x− 1| − 2

x− 1− 1

(x− 1)2+ C 68.-∫ − x2 + x− 1

3− xdx =

1

2x2 + 2x+ 7Ln |x− 3|+ C69.-∫ 8x+ 6

(4x2 + 4x+ 5dx = Ln |4x2+4x+5|+1

2arc tg

(

x+1

2

)

+C70.-∫ 2

x3 + x2 + x+ 1dx = Ln |x+1|−1

2Ln(x2+1)+arc tgx+C71.-∫ x2 + x+ 1

(x3 − x2 − x+ 1dx = Ln |4x2+4x+5|+1

2arc tg

(

x+1

2

)

+C72.-∫ x3

x2 + 4x− 5dx =

1

2x2−4x+

1

6(Ln |x− 1|+ 125 Ln |x+ 5|)+C73.-∫ 1

x3 − 1dx =

1

3

(

Ln |x− 1|+ Ln |x2 + x+ 1| −√3 arc tg

2x+ 1√3

)

+C74.-∫ 7x+ 1

6x2 + x− 1dx =

2

3Ln(3x+1)+

1

2Ln(2x+1)+C5.3. Integra ión por partes75.-∫ Lnxdx = x(Lnx− 1) + C 76.-∫ x · 2x dx =

x · 2xLn 2

− 2x

Ln2 2+ C77.-∫ x arc tg(x+1) dx =

1

2

(

x2 arc tg(x+ 1)− x+ Ln(x2 + 2x+ 2))

+C78.-∫ x · Ln2 xdx =1

2x2

(

Ln2 x− Lnx+1

2

)

+ C79.-∫ Lnx

x3dx = − 1

2x2Lnx− 1

4x2+ C 80.-∫ (x2 + x)e−2x+1 dx = −1

2e−2x+1(x+ 1)2 + C81.-∫ √

x+ 13√x

Lnxdx = (6

7x7/6+

3

2x2/3) Lnx−36

49x7/6−9

4x2/3+C20

82.-∫ e3x cos 4xdx =1

25e3x(4 sen 4x+ 3 cos 4x) + C83.-∫ x2e3x dx =

1

3e3x

(

x2 − 2

3x+

2

9

)

+ C 84.-∫ 3√xLnxdx =

3

4x4/3 Lnx− 9

16x4/3 + C85.-∫ x arc senx√

1− x2dx = −

√

1− x2 arc senx+ x+ C 86.-∫ x2 sen(x+1) dx = (2−x2) cos(x+1)+2x sen(x+1)+C87.-∫ Lnx− 1

x+ 1dx = xLn

x− 1

x+ 1+Ln |x+1|−Ln |x−1|+C 88.-∫ x senxdx = −x cosx+ senx+ C5.4. Integra ión por ambio de variables89.-∫ x

1 +√xdx = 2

[√x3

3− x

2+√x− Ln(1 +

√x)

]

+ C ( ambio: x = t2)90.-∫ √ex − 1 dx = 2(

√ex − 1− arc tg

√ex − 1) + C ( ambio: ex − 1 = t2)91.-∫ x2

3√1 + 2x

dx =3 3√

(1 + 2x)2

8

(

(1 + 2x)2

8− 2(1 + 2x)

5+

1

2

)

+ C ( ambio: 1 + 2x = t3)92.-∫ 1

1 + tg xdx =

1

2Ln |1 + tg x| − 1

4Ln |1 + tg2 x|+ 1

2x+ C ( ambio: tg x = t)93.-∫ 1

1 + cos2 xdx =

√2

2arc tg

tg x√2

+ C ( ambio: tg x = t)94.-∫ ex + 1

ex − 4 + 4e−xdx = Ln |ex − 2| − 3

ex − 2+ C ( ambio: ex = t)95.-∫ x√

x+ 1dx = 2

[

√

(x+ 1)3

3−√x+ 1

]

+ C ( ambio: x+ 1 = t2)96.-∫ 1

x+ 3√xdx =

3

2Ln

∣

∣

∣

3√x2 + 1

∣

∣

∣+ C ( ambio: x = t3)97.-∫ √

9− 4x2 dx =9

4arc sen

2x

3+

x

2

√

9− 4x2 + C ( ambio: x =3

2sen t)98.-∫ 1

1 +√xdx = 2[

√x− Ln |

√x+ 1|] + C ( ambio: x = t2)99.-∫ 1

9ex + 4e−xdx =

1

6arc tg

(

3

2ex)

+ C ( ambio: ex = t)100.-∫ senx

1 + 4 cos2 xdx = −1

2arc tg(2 cosx) + C ( ambio: cosx = t)101. En uentra la primitiva de la fun ión f(x) =

1

1 + 3xque se anula para x = 0.

(Solu ión : F (x) =1

3Ln |1 + 3x|

)

21

102. Halla una fun ión g(x) que sea primitiva de f(x) = senx, uya grá� a pase por el punto (π, 0).(Solu ión: g(x) = − cosx− 1)103. Halla f sabiendo que f(0) = 1, f ′(0) = 2 y f ′′(x) = 3x. (Solu ión: f(x) =x3

2+ 2x+ 1)104. Halla la familia de urvas en las que la pendiente de las re tas tangentes a di has urvas en ualquierpunto viene dado por la fun ión f(x) = x · e2x. Obtén de esa familia, la urva que pasa por el punto

A(0, 2).(Solu ión : F (x) =

xe2x

2− e2x

4+ C; F (x) =

xe2x

2− e2x

4+

9

4

)105. Halla la fun ión F para la que F ′(x) =1

x2y F (1) = 2. (Solu ión: F (x) = − 1

x+ 3)106. De todas las primitivas de la fun ión y = 4x − 6, ¾ uál de ellas toma el valor 4 para x = 1?(Solu ión: F (x) = 2x2 − 6x+ 8)107. Halla f(x) sabiendo que f ′′(x) = 6x, f ′(0) = 1 y f(2) = 5. (Solu ión: F (x) = x3 + x− 5)108. Representa tres primitiva de la fun ión f :

PSfrag repla ements 2

1

f

109. Se sabe que la grá� a de una fun ión f pasa por el punto (1, 1) y que f ′(1) = 2. Se ono e tambiénque su derivada segunda es la fun ión g(x) = 2. Cal ula razonadamente la fun ión f . (Solu ión:f(x) = x2)110. Cal ula la primitiva de la fun ión f(x) = Ln2 x que se anule para x = e.

22

Tema 6La integral de�nida1. Cal ula las siguientes integrales de�nidas:a)∫ 3

−2

(3x2 − 2x+ 7) dx b)∫ 1

0

4x · 2x dx )∫ 10

5

x√x− 1

dxd)∫ e

1/e

|Lnx| dx e)∫ 6

1

4√x+ 3

dx f )∫ π/2

0

sen 2xdxg)∫ 5

3

Lnx

xdx h)∫ 1

0

ex

ex + 2dx i)∫ 1

−1

4x

(x2 + 2)dxj )∫ π/2

0

cosx sen3 xdx k)∫ 8

0

3√1 + x

dx l)∫ 4

0

√9 + 4xdxm)∫ √

3

1

1

1 + x2dx n)∫ 2

0

4x2(1 + x3)5 dx ñ)∫ 4

1

√x− 1

xdxo)∫ π2

0

sen√x

3√x

dx p)∫ 0

−1

x2 · e2x dx q)∫ π/4

−π/4

tg xdxr)∫ 2

0

√

9− x2 dx s)∫ 1

0

(x − ex cosx) dx t)∫ 3

2

x

x2 − 1dxu)∫ 3

2

x3

(x− 1)2dx v)∫ 1

0

1

x3 + 1dx w)∫ 6

3

√2x− 3√

2x− 3− 1dxx )∫ 5

2

x2 + 1

x3 − xdx y)∫ 6

3

x√x− 2 dx z )∫ 1

0

√x2 − 1

xdx2. Obtén la derivada de las siguientes fun iones:a) F (x) =

∫ x

0

ecos t dt b) F (x) =

∫ x

0

t2 dt ) F (x) =

∫ x2

0

1

3 + tdtd) F (x) =

∫ x

−3

|t+ 2| dt e) F (x) =

∫ x3

2

et

t2 + 1dt f ) F (x) =

∫ x2

x

Ln(t2 + 4) dt3. Cal ula ∫ 6

1

f(x) dx, siendo f la siguiente fun ión:f(x) =

12

xsi x > 6

x2 − 34 si 3 ≤ x ≤ 625 si x < 34. Cal ula el área omprendida entre la urva y = 3x2 − x+ 1, el eje OX y las re tas x = 0 y x = 4.5. Cal ula el área del re into limitado por la parábola de e ua ión y = x2, el eje OX , la re ta dee ua ión x = 2 y la re ta x = 4. 23

6. Cal ula el área del re into determinado por la parábola de e ua ión y = −x2, el eje OX y las re tasx = −2 y x = 2.7. Hallar el área de la región limitada por la parábola y = x2 − 6x+ 5 y el eje OX .8. Hállese el área de la región limitada por la parábola x = y2 y la re ta x = 4.9. Hallar el área de la región limitada por la hipérbola xy = 12, el eje OX y las re tas x = 1 y x = e.10. Hállese el área de la región limitada por una ualquiera de las ondas de las urvas y = senx yy = cosx.11. Cal ular el área de la región limitada por la re ta y = 2x y la parábola y =

1

2x2.12. Hallar el área de la región limitada por la re ta y = −2x y la parábola y = 4x− x2.13. Cal ular el área de la región limitada por las parábolas y = −x2 y x = y2.14. Hallar el área limitad por las parábolas y = x2 − 3x e y = −x2 + x15. Hallar el área limitada por la re ta 2x− y − 5 = 0 y la parábola y = x2 − 4x16. Hallar el área de la región limitadas por y = −x2 + 2x e y = −x.17. a) Dibuja la región limitada por la urva y = x(3− x) y la re ta y = 2x− 2.b) Halla el área de la región des rita en el apartado anterior.18. Comprueba que ∫ 2

0

|2x− 1| dx =5

2.19. Cal ula el área limitada por la urva y = x3 − 2x2 + x y la re ta tangente a ella en el origen de oordenadas.20. Halla el área omprendida entre la urva y =

4

9 + 2x2el eje de abs isas y las re tas verti ales quepasan por los puntos de in�exión de di ha urva.21. Dibuja el re into omprendido entre las grá� as de las fun iones y =

1

x2, y = x, y = 8x, y halla suárea.22. Cal ula el área del re into plano limitado por la urva y = x2ex y las re tas x = 0 y x = 5.23. Halla el polinomio de segundo grado que pasa por los puntos (0, 1) y (3, 0), sabiendo que el árealimitada por esa urva, el eje OY y el eje OX positivo es 4/3.24. Dada la urva y = x2 + 2x + 2, halla el área limitada por la urva, la re ta tangente en el puntodonde la fun ión tiene un extremo y la tangente a la urva on pendiente 6.25. De la fun ión f(x) = ax3 + bx2 + cx+ d se sabe que tiene un máximo relativo en x = 1, un puntode in�exión en (0, 0) y que ∫ 1

0

f(x) dx =5

4. Cal ula a, b, c y d.26. Cal ula el área limitada por f(x) =

4x

x2 + 4, el eje X y las re tas x = a y x = b, siendo a y b lasabs isas del máximo y mínimo de f .27. Halla el área omprendida entre las urvas y = ex, y = 2x− x2 y las re tas x = 0 y x = 2.28. Considera la región del plano que determinan las urvas y = ex e y = e2x y la re ta x = k.a) Halla su área para k = 1.b) Determina el valor de k > 0 para que el área sea 2.24

Problemas de Sele tividad. Bloque deAnálisis-Integra ión1. Sea f la fun ión de�nida porf(x) =

−a

xsi x ≤ −1

x2 + 1 si x > −1a) Halla el valor de a sabiendo que f es ontinua.b) Esboza la grá� a de f . ) Cal ula el área del re into limitado por la grá� a de f , el eje de abs isa y las re tas x+ 2 = 0y x− 2 = 0.2. Sea f la fun ión de�nida porf(x) =

{

ex − 1 si x ≥ 0

xe−x2 si x < 0a) Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, al ula la derivada de f en di ho punto.b) Cal ula el área del re into limitado por la grá� a de f , el eje de abs isas y la re ta x = −1.3. Halla una fun ión f : R −→ R tal que su grá� a pase por el punto M(0; 1), que la tangente en elpunto M sea paralela a la re ta 2x− y + 3 = 0 y que f ′′(x) = 3x2.4. Considera la f : R −→ R la fun ión de�nida por f(x) = x|x|.a) Dibuja la región a otada del plano que está limitada por la grá� a de f y la bise triz del primery ter er uadrante.b) Cal ula el área de la región des rita en el apartado anterior.5. Considera la f : R −→ R la fun ión de�nida por f(x) = ex + 4e−x.a) Determina los intervalos de re imiento y de de re imiento de f y halla sus extremos absolutoso globales (puntos en los que se obtienen y valores que al anza la fun ión).b) Cal ula el área del re into limitado por la grá� a de f , el eje de abs isas y las re tas x = 0 yx = 2.6. Siendo Ln x el logaritmo neperiano de x, halla el área de la super� ie sombreada.

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

PSfrag repla ements31 25

7. Cal ula el área del re into a otado que está limitado por la re ta y = 2x y por las urvas y = x2 ey =

x2

28. Cal ula ∫ 0

−2

1

x2 + 2x− 3dx9. Sea f : R −→ R la fun ión de�nida por f(x) = (x − 1)e2x. Cal ula la primitiva de f uya grá� apasa por el punto (1, e2).10. Cal ula:a) ∫

5x2 − x− 160

x2 − 25dxb) ∫

(2x− 3) tg(x2 − 3x) dx11. Sea I =

∫ 2

0

x3

√1 + x2

dx:a) Expresa I apli ando el ambio t = 1 + x2.b) Cal ula el valor de I.12. El área del re into limitado por las urvas de e ua iones y =x2

ae y =

√ax, on a > 0, vale 3.Cal ula el valor de a.13. a) Sea f : R −→ R la fun ión dada por f(x) = ax2 + b. Halla los valores de a y b sabiendo que

∫ 6

0

f(x) dx = 6 y que la pendiente de la re ta tangente a la grá� a de la fun ión f en el puntode abs isa 3 vale −12.b) Sea f : R −→ R la fun ión dada por f(x) = x2 + px+ q. Cal ula los valores de p y q sabiendoque la fun ión tiene un extremo en x = −6 y su valor en él es −2.14. Cal ula ∫

(x2 − 1)e−x dx15. Sean las fun iones f y g : [0,+∞) −→ R, dadas por f(x) = x2 y g(x) = λ√x, donde λ es unnúmero real positivo �jo. Cal ula el valor de λ sabiendo que el área del re into limitado por lasgrá� as de ambas fun iones es 1/3.16. Sea f : (0, 2) −→ R la fun ión de�nida por

f(x) =

{

Lnx si 0 < x ≤ 1Ln(2− x) si 1 < x < 2siendo Ln la fun ión logaritmo neperiano.a) Estudia la derivabilidad de f en el punto x = 1.b) Cal ula ∫ 1,5

1

f(x) dx.17. a) Haz un esbozo del re into limitado por las urvas y =15

1 + x2e y = x2 − 1.b) Cal ula el área de di ho re into.

26

BLOQUE IIÁLGEBRA

27

Tema 7Matri es7.1. Opera iones on matri es1. Dadas las matri es A =

(

7 −23 1

) y B =

(

−3 0−2 2

), al ula:a) −2A+ 3B b) 1

2A · B ) B · (−A) d) A ·A−B · B2. Efe túa las siguientes opera iones on matri es:a) (

1 2 3 45 7 9 11

)

+

(

3 −2 5 61 1 3 3

) b)

3 4 52 1 3

−3 4 12 3 −4

+

3 −4 −32 1 −15 7 24 −3 6

) 1

3

1 1 12 02 2 3 41 3 2 1

d) 2

3

6 312 618 12

e) (

4 2 −5 −2)

2313

f ) (

a b c d)

abcd

g)

a 0 00 b 00 0 c

0 0 a0 b 0c 0 0

3. Siendo A =

(

1 23 1

) halla A2 y A3.4. Siendo A =

(

a bc 0

) y B =

(

0 ab c

). Halla:a) (A+B)2 b) A2 +B2 + 2AB ) A2 −B2 d) (A+B)(A−B)5. ¾Por qué siendo A y B dos matri es uadradas del mismo orden no se veri� a, en general, que(A+B)2 = A2 +B2 + 2AB ni (A+B)(A−B) = A2 −B2?6. Dadas las matri es A =

(

1 −2 13 0 1

) y B =

(

4 0 −1−2 1 0

), omprueba que:a) (A+B)t = At +Bt b) (3A)t = 3At7. Cal ula en ada aso, la matriz B que veri� a la igualdad:a) (

3 −1 51 0 3

)

+B =

(

4 0 69 2 2

) b) 2

(

−1 4−3 −2

)

− 3B =

(

−5 40 −1

)8. Para la matriz A =

(

0 −11 0

), al ula A50 y A97. En uentra los valores de a y b para que lamatriz A onmute on la matriz (

a 0b 1

) 28

9. Consideremos la matriz A =

0 3 41 −4 −5−1 3 4

a) Demuestra que se veri� a la igualdad A3 + I = O, siendo I la matriz unidad y O la matriznula.b) Cal ula razonadamente A10.10. En uentra todas las matri es, A, simétri as y de orden dos que veri�quen A2 = I.11. En uentra todas las matri es de orden dos que umplan:a) A2 = A b) A2 = O12. Dada la matriz A =

4 5 −1−3 −4 1−3 −4 0

, al ula A2, A3, . . . A12813. Comprueba que A2 = 2A − I, siendo A =

5 −4 22 −1 1−4 4 −1

e I la matriz unidad de orden 3.Utiliza esta igualdad para al ular A4.14. Determina a y b de forma que la matriz A =

(

2 −1a b

) veri�que A2 = A.15. Cal ula An y Bn siendo:A =

1 1/7 1/70 1 00 0 1

B =

(

1 00 3

)

16. Dada la matriz A =

0 2 −10 0 10 0 0

, prueba que A3 es la matriz nula.Demuestra después que la matriz I +A+A2 es la matriz inversa de I −A.17. Sea A una matriz uadrada tal que A2 = A. Si B = 2A− I, demostrar que B2 es igual a la matrizunidad.18. Demuestra que si A veri� a la rela ión A2 −A− I = 0, enton es existe A−1.Hàllala.7.2. Matriz inversa19. Halla la inversa de la matriz A =

(

3 72 5

)20. Prueba que la matriz A =

(

2 −14 −2

) no tiene inversa.21. Comprueba que la matriz inversa de A es A−1:A =

1 2 10 1 02 0 3

A−1 =

3 −6 −10 1 0−2 4 1

22. Halla la matriz inversa de A =

(

1 2−1 0

) y la de B =

(

−1 02 4

)

29

23. Prueba que A2−A−2I = O, siendo A =

0 1 11 0 11 1 0

e I la matriz identidad de orden 3. Cal ulaA−1 usando la igualdad anterior.7.3. E ua iones y sistemas matri iales24. Halla las matri es X e Y que veri�quen el sistema:

2X + Y =

(

1 42 0

)

X − Y =

(

1 −11 0

)25. Cal ula X tal que X −B2 = A ·B, siendo:A =

1 0 11 1 00 0 2

B =

1 0 −11 1 10 0 1

26. Determina los valores de m para los uales X =

(

m 00 2

) veri�que X2 − 5

2X + I = O27. Resuelve: ( 1 −1

3 2

)(

xy

)

=

(

1 xy −1

)(

32

)28. Halla las matri es X e Y que veri�quen el sistema:

5X + 3Y =

(

2 0−4 15

)

3X + 2Y =

(

1 −1−2 9

)7.4. Resolu ión de sistemas de e ua iones lineales por Gauss29. Resuelve los siguientes sistemas de e ua iones por el método de Gauss:a) {

x− y + z = 72x− 2y + 2z = 3

b) {

x+ 2y − 2z = 72x− 3y + z = 1

) {

3x+ y − z = 19x+ 3y − 3z = 3d)

2x+ y + 2z = 103x+ 2y − z = 125x− y − 2z = 11

e)

2x− y + z = 14x+ 2y + 2z = 2x+ 3y + z = 8

f )

x− y − z = −32x+ 2y − z = 1x+ 7y + z = 11g)

2x− y + z = 1−2x+ y − z = −16x− 3y + 3z = 3

h)

x− y + 3z = −42x− 2y + 6z = 13x+ y + z = 2

i)

x+ y − 3z = 04x− z = 23x− y + 2z = −7

30

Tema 8Determinantes8.1. Determinantes de orden dos y tres1. Desarrollar los siguientes determinantes:a) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

5 7 80 45 551 2 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

a 0 00 b 00 0 c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

) ∣

∣

∣

∣

tan a sec aseca tan a

∣

∣

∣

∣d) ∣

∣

∣

∣

cos a cos 2a1 cos a

∣

∣

∣

∣

e) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b cb c dd e f

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f ) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1a b ca2 b2 c2

∣

∣

∣

∣

∣

∣g) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

4 2 −15 −2 4

−3 5 −2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

h) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 8 11 7 01 6 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

m 1 31 −1 −15 −3 m

∣

∣

∣

∣

∣

∣8.2. Propiedades de los determinantes2. Comprueba las igualdades:a) ∣

∣

∣

∣

2 54 3

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

2 45 3

∣

∣

∣

∣

b) ∣

∣

∣

∣

4 3 + 15 2− 3

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

4 35 2

∣

∣

∣

∣

+

∣

∣

∣

∣

4 15 −3

∣

∣

∣

∣ ) ∣

∣

∣

∣

3 · 2 3 · 45 1

∣

∣

∣

∣

= 3

∣

∣

∣

∣

2 45 1

∣

∣

∣

∣

d) ∣

∣

∣

∣

4 76 9

∣

∣

∣

∣

= −∣

∣

∣

∣

7 49 6

∣

∣

∣

∣3. Expresa el determinante ∣

∣

∣

∣

t− 1 2t+ 41 + t t

∣

∣

∣

∣

omo suma de uatro determinantes.4. Si ∣∣∣∣

m np q

∣

∣

∣

∣

= −5, ¾ uál es el valor de ada uno de los siguientes determinantes? Justi� a lasrespuestas:a) ∣

∣

∣

∣

m+ n p+ qn q

∣

∣

∣

∣

b) ∣

∣

∣

∣

p mq n

∣

∣

∣

∣

) ∣

∣

∣

∣

3n −m3q −p

∣

∣

∣

∣d) ∣

∣

∣

∣

p 2mq 2n

∣

∣

∣

∣

e) ∣

∣

∣

∣

1 n/mmp mq

∣

∣

∣

∣

f ) ∣

∣

∣

∣

m 5mp 5p

∣

∣

∣

∣5. Sabiendo que ∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z1 2 43 5 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2 halla el valor de los siguientes determinantes sin desarrollar:a) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

4x 4y 4z1 2 43 5 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

3x 3y 3z1/2 1 23 5 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y z2x+ 1 2y + 2 2z + 43 + x 5 + y 1 + z

∣

∣

∣

∣

∣

∣6. Prueba sin desarrollar que los siguientes determinantes son eros:31

a) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 a b+ c1 b c+ a1 c a+ b

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣7. Si ∣∣∣∣∣

∣

a b cp q rx y z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 7, al ula el valor de los siguientes determinantes sin desarrollarlos:a) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

c a br p qz x y

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

3a 3b 3ca+ p b+ q c+ r−x+ a −y + b −zc

∣

∣

∣

∣

∣

∣

) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

a+ 2x b+ 2y c+ 2zp q r

2x+ p 2y + q 2z + r

∣

∣

∣

∣

∣

∣8.3. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea8. Cal ula el determinante de la matriz A =

3 1 174 13 −21 −6 −3

:a) Por la regla de Sarrus.b) Desarrollándolo por la ter era olumna. ) Desarrollándolo por la segunda �la.9. Cal ula los siguientes determinantes:a) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 6 −11 0 1 30 3 0 20 1 1 0

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2 3 −5 −55 2 7 −3−3 −7 4 4−4 2 3 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 2 02 5 3 13 8 4 24 14 1 4

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣d) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a 0 0 00 b 0 00 0 c 00 0 0 d

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

e) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a 0 1 20 b 7 90 0 c 30 0 0 d

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f ) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a 1 1 42 a 1 02 0 a 01 0 2 a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣g) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 3 41 3 6 101 4 10 201 5 15 35

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

h) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 1 1 11 −1 1 11 1 −1 11 1 1 −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

3 1 1 11 3 1 11 1 3 11 1 1 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣j ) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1 11 2 3 41 3 6 101 4 10 20

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

k) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 3 42 3 4 13 4 1 24 1 2 3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

l) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 2 2 42 3 2 84 2 4 132 8 4 11

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣10. Desarrolla los determinantes, ha iendo eros previamente:a) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1 11 2 3 41 4 9 161 8 27 64

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

m m m mm a a am a b bm a b c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b c d−1 x 0 00 −1 x 00 0 −1 x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣11. Halla en fun ión de a, el valor del siguiente determinante:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a 1 1 11 a 1 11 1 a 11 1 1 a

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣32

12. Cal ula:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 + x 1 1 11 1 + x 1 11 1 1 + x 11 1 1 1 + x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣13. Determina los valores de m que anulan al determinante ∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 −1 0m m+ 1 m2m 2m+ 1 2m− 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣14. Comprueba que las igualdades siguientes son verdaderas:a) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

x+ a b ca x+ b ca b x+ c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= x2(x+ a+ b+ c)b) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

a− b − c 2a 2a2b b − c− a 2b2c 2c c− a− b

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (a+ b+ c)3 ) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 + x 1 1 11 1− x 1 11 1 1 + z 11 1 1 1− z

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= x2z215. Prueba que:a) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

a+ b b + c c+ ap+ q q + r r + px+ y y + z z + x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

a b cp q rx y z

∣

∣

∣

∣

∣

∣b) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1 1a b c da2 b2 c2 d2

a3 b3 c3 d3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= (b− a)(c− a)(d− a)(c− b)(d− b)(d− c)16. Resuelve las siguientes e ua iones:a) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x −1 −1 0−x x −1 11 −1 x 11 −1 0 x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 b) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x 1 0 00 x 1 00 0 x 11 0 0 x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 ) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

−1 x x xx −1 x xx x −1 xx x x −1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 0 d) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

x a b ca x b cb c x ac b a x

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 017. Resuelve la siguiente e ua ión:∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

1 1 1 1x −1 3 2x2 1 9 4x3 −1 27 8

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= 08.4. Rango de una matriz18. Halla el rango de las siguientes matri es: 33

a) A =

(

5 3 6 2 11 2 2 2 4

) b) B =

5 2 13 2 04 2 14 3 0

) C =

5 2 2 14 3 3 26 1 2 15 2 3 23 4 4 3

19. Halla el rango de las siguientes matri es:a)

1 2 −1 22 1 0 14 5 −2 52 −1 1 2

b)

3 5 16 10 −21 0 14 5 0

)

1 2 3 1 −14 5 6 2 11 0 0 3 4

20. Determina, según los valores de a, el rango de las siguientes matri es:a) A =

1 2 37 1 1a 2 3

b) B =

3 1 −4 61 1 4 41 0 −4 a

21. Determina según los valores de m el rango de las siguientes matri es:a)

1 2 37 1 1m 1 2

b)

2m 1 12 m 12 1 m

)

1 1 1 11 2 2 21 2 3 31 2 3 m

8.5. Cál ulo de la inversa de una matriz22. Halla las matri es inversas de las siguientes:A =

(

2 54 3

)

B =

(

1 13 4

)

C =

2 1 23 0 15 2 2

D =

4 −2 53 −1 23 2 7

E =

5 0 1 02 1 0 00 2 0 10 1 1 1

23. Dada la matriz A =

1 0 −10 λ 34 1 −λ

. Averigua para que valores de λ, la matriz A no tiene inversa.Cal ular la inversa de A uando λ = 2.24. Cal ula la matriz inversa de ada una de las siguientes matri es para aquellos valores de a que seaposible:a) (

a −11 a

) b) (

3 a1 a

) ) (

a− 2 00 a

)25. Consideramos la matriz siguiente:A =

x 1 00 1 3x 1 1

a) Halla los valores de x para los que A tiene inversa.b) Cal ula, si es posible, A−1 para x = 2.34

8.6. E ua iones matri iales26. Resuelve la e ua ión AXB = C siendo:A =

(

3 24 3

)

B =

(

2 31 2

)

C =

(

1 11 1

)27. Dada A =

(

2 31 2

), halla una matriz X tal que AXA =

(

1 12 3

)28. Resuelve la e ua ión AX +B = C, donde:A =

0 1 31 1 02 0 0

B =

2 1−1 03 4

C =

1 −10 11 −2

29. Cal ula la matriz A sabiendo que veri� a la siguiente igualdad:A ·

1 2 30 2 30 0 3

=

2 0 00 2 00 0 2

30. Dadas las matri es:A =

(

−2 0 11 −1 5

)

B =

3 10 1−1 2

C =

(

1 23 4

)

D =

(

−9 3−8 17

)halla la matriz X que veri� a AB + CX = D.31. Halla X tal que 3AX = B, siendo:A =

1 0 20 1 11 0 1

B =

1 0 21 0 11 1 1

35

Tema 9Sistemas de e ua iones lineales1. Halla el valor de k sabiendo que el sistema {

2x− 2y = 76x+ ky = 2

no tiene solu ión. Haz la interpreta ióngeométri a.2. Dis ute el sistema siguiente según los valores de m: { x+ 2y = 32x+ y = m

. Interpreta geométri amente elsistema.3. Dis ute el siguiente sistema según los valores de k: { x+ ky = 3kx+ 4y = 64. Dis ute, según los valores de m, el siguiente sistema: { x+ 3my = 1mx− 3my = 2m+ 35. Dis ute el siguiente sistema según los valores de c:

x− 3y = 12x+ y = 33x− 2y = c6. Resuelve los siguientes sistemas de dos e ua iones on dos in ógnitas por el método de Cramer:a) {

x+ 3y = 42x− y = 1

b) {

7x+ 4y = 805x− 6y = 4

) {

2x− 3y = 5x− y = −5d) {

6x+ 5y = 165x− 12y = −19

e) {

10x+ 4y = 320x− 5y = 29

f )

x− y = 12

5x+

3

4y = 57. Resuelve los siguientes sistemas de tres e ua iones on tres in ógnitas por el método de Cramer:a)

−x+ y + z = 3x− y + z = 7x+ y − z = 1

b)

x+ y + z = 112x− y + z = 53x+ 2y + z = 24

)

x+ 4y − 8z = −84x+ 8y − z = 768x− y − 4z = 110d)

x− y + z = 32y + 3z = 153x+ y = 12

e)

x+ 2y − 3z = −163x+ y − 2z = −102x− 3y + z = −4

f )

x+ y − 2z = 92x− y + 4z = 42x− y + 6z = −18. Dis ute según los valores de m y resuelve, en los asos que sea posible, los sistemas:a)

mx+ y − z = 1x− 2y + z = 13x+ 4y − 2z = −3

b)

2x+ y − z = 1x− 2y + z = 35x− 5y + 2z = m9. Dis ute según los valores del parámetro a y resuelve, en los asos en que sea posible, el sistema:

3x+ 2y + az = 15x+ 3y + 3z = 2ax+ y − z = 110. Dis ute y resuelve, en los asos que sea posible, los sistemas:a)

ax+ y + z = 1x+ ay + z = 1x+ y + az = 1

b)

ax+ y + z = 1x+ ay + z = a5x+ y + az = a236

11. Dis ute y resuelve en los asos que sea posible, según los valores de m, los siguientes sistemas:a)

x+my + z = m+ 2x+ y +mz = −2(m+ 1)mx+ y + z = m

b)

(m+ 2)x+ y + z = m− 1mx+ (m− 1)y + z = m− 1(m+ 1)x+ (m+ 1)z = m− 112. Dado el sistema de e ua iones lineales

2x+ y = m−2x+ y = −1x−my = −2

, dis útelo para los distintos valores delparámetro y resuélvelo uando sea ompatible.13. Estudia, según los valores de a y b, la ompatibilidad del sistema

2x− y − 2z = bx+ y + z = 5

4x− 5y + az = −1014. Dis ute los siguientes sistemas de e ua iones según los valores de a y b:a)

ax+ by + z = 1x+ aby + z = bx+ by + az = 1

b)

ax+ 2z = 25x+ 2y = 1

x− 2y + bz = 315. Halla el valor del parámetro m para que el siguiente sistema homogéneo tenga más de una solu ión:

2x−my + 4z = 0x+ y + 7z = 0x− y + 12z = 016. Resuelve el siguiente sistema lineal homogéneo:

6x+ 18y − 10z = 07x− 2y − 4z = 04x+ 10y − 6z = 017. Dado el sistema homogéneo

3x+ 3y − z = 0−4x− 2y +mz = 03x+ 4y + 6z = 0 al ula m para que tenga solu ión distinta de la trivial. Resuélvelo para ese valor.18. Halla m para que el sistema lineal homogéneo

y + 2z = 03y + z = 0my + z = 0

tenga solu ión distinta de la trivialy resolverlo.19. Dado el sistema {

mx− y = 1x−my = 2m− 1

, halla m para que:a) No tenga solu ión. b) Tenga solu ión úni a. ) Tenga in�nitas solu iones. d) Tenga una solu ión en la que x = 3.20. Dado el sistema {

3x− 2y + z = 52x− 3y + z = 4

:a) Añade una e ua ión lineal al sistema dado de modo que el sistema resultante sea in ompatible.b) Añade una e ua ión lineal al sistema dado de modo que el sistema resultante sea ompatiblee indeterminado. Resuelve el sistema así formado.37

Problemas de Sele tividad. Bloque deÁlgebra1. Si ∣∣∣∣

∣

∣

x y zt u va b c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −6, al ula el valor de los siguientes determinantes sin desarrollarlos:a) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

−3x −y −z3t u v3a b c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

−2y x z−2u t v−2b a c

∣

∣

∣

∣

∣

∣

) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

x y zt u v

2x− a 2y − b 2z − c

∣

∣

∣

∣

∣

∣2. Sabiendo que A =

3 −2 11 −4 −2−1 a− 1 a

tiene rango 2, ¾ uál es el valor de a?3. Denotemos por M t a la matriz transpuesta de una matriz M .a) Sabiendo que A =

(

a bc d

) y que det(A) = 4, al ula los siguientes determinantes:det(−3At) y

∣

∣

∣

∣

2b 2a−3d −3c

∣

∣

∣

∣b) Sea I la matriz identidad de orden 3 y sea B una matriz uadrada tal que B3 = I. Cal uladet(B). ) Sea C una matriz uadrada tal que C−1 = Ct. ¾Puede ser det(C) = 3?. Razona la respuesta.4. Se sabe que ∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

= −2. Cal ula, indi ando las propiedades que utili es, los siguientesdeterminantes:a) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

3a11 3a12 15a13a21 a22 5a23a31 a32 5a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

b) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

3a21 3a22 3a23a11 a12 a13a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣

) ∣

∣

∣

∣

∣

∣

a11 a12 a13a21 − a31 a22 − a32 a23 − a33

a31 a32 a33

∣

∣

∣

∣

∣

∣5. Considera las matri es:A =

(

1 0 10 1 2

)

, B =

1 00 10 0

, C =

1 00 21 0

a) Cal ula A · B, A · C, At · Bt, siendo At, Bt y Ct las matri es traspuestas de A, B y C,respe tivamente.b) Razona uáles de las matri es A, B, ,C y A ·B tienen inversa y en los asos en que la respuestasea a�rmativa, halla la orrespondiente matriz inversa.38

6. SeaA =

1 1 −10 m− 3 3

m+ 1 2 0

a) Determina los valores de m ∈ R para los que la matriz A tiene inversa.b) Para m = 0 y siendo X =(

x y z), resuelve X ·A =

(

3 1 1)7. Sea A =

(

4 21 3

) y sea I la matriz identidad de orden 2.a) Cal ula los valores de λ ∈ R tales que |A− λI| = 0.b) Cal ula A2 − 7A+ 10I.8. Considera las matri esA =

(

−32

)

, B =(

2 1)

, y C =

(

−1 −26 6

)a) Halla, si existe, la matriz inversa de AB + C.b) Cal ula si existen los números reales x e y que veri� an: C (

xy

)

= 3

(

xy

)9. Considera A =

(

a 10 −a

), siendo a un número real.a) Cal ula el valor de a para que A2 −A =

(

12 −10 20

)b) Cal ula en fun ión de a, los determinantes de 2A y At. ) ¾Existe algún valor de a para el que la matriz A sea simétri a? Razona la respuesta.10. Considera el sistema de e ua iones linealesx− y + z = 2

x+ λy + z = 8λx+ y + λz = 10

a) Clasi� a el sistema según los valores de λ.b) Resuelve el sistema para λ = 2.11. Considera las matri esA =

1 1 02 1 1

m− 4 1 1−m

, X =

xyz

, O =

000

a) Halla el valor de m ∈ R para el que la matriz A no tiene inversa.b) Resuelve AX = O para m = 3.12. Considera el sistema de e ua iones linealesx+ y − z = −4

3x+ λy + z = λ− 12x+ λy = −2

a) Clasi� a el sistema según los valores de λ.b) Resuelve el sistema para λ = 1.39

13. Resuelve:

2 0 51 1 −2−1 1 1

xyz

+

−223

=

502

14. Considera el sistema de e ua iones linealesλx− y − z = −1x+ λy + z = 4

x+ y + z = λ+ 2

a) Clasi� a el sistema según los valores de λ.b) Resuelve el sistema para λ = 2.15. Resuelve ABtX = −2C, siendo Bt la matriz traspuesta de B yA =

(

1 0 32 −1 0

)

, B =

(

−1 3 00 2 −2

)

, C =

(

1 40 −1

)16. Considera el sistema de e ua iones linealesλx+ y − z = 1x+ λy + z = λx+ y + λz = λ2

a) Clasi� a el sistema según los valores de λ.b) Resuelve el sistema para λ = 2.17. Se sabe que el sistema de e ua ionesx+ αy = 1x+ αz = 1y + z = α

tiene una úni a solu ión.a) Prueba que α 6= 0.b) Halla la solu ión del sistema.18. Halla a y b sabiendo que el sistema de e ua ionesx+ 3y + z = 1

−x+ y + 2z = −1ax+ by + z = 4

tiene al menos dos solu iones distintas.19. Resuelve el sistema de e ua iones

3 −2 11 −4 −2−1 −6 −5

xyz

=10−120. Considera el sistema de e ua iones lineales

x+ λy = λλx+ y + (λ − 1)z = 1

λx+ y = λ+ 2

a) Clasi� a el sistema según los valores de λ.b) Resuelve el sistema uando sea ompatible indeterminado.40

21. Un tendero dispone de tres tipos de botellas que llamaremos A, B y C. El men ionado tenderoobserva que si vende a 1e las botellas del tipo A, a 3e las del tipo B y a 4e las del tipo C, enton esobtiene un total de 20e. Pero si vende a 1e las del tipo A, a 3e la del tipo B y a 6e las del C,enton es obtiene un total de 25e.a) Plantea el sistema de e ua iones que rela iona el número de botellas de ada tipo que poseeel tendero.b) Resuelve di ho sistema. ) ¾Puede determinarse el número de botellas de ada tipo de que dispone el tendero? (Ten en uenta que el número de botellas debe ser entero y positivo).22. Considera el sistema de e ua ionesmx+ 2y + z = 2

x+my = m2x+mz = 0

a) Determina los valores de m para los que x = 0, y = 1 y z = 0 es solu ión del sistema.b) Determina los valores de m para los que el sistema es in ompatible. ) Determina los valores de m para los que el sistema tiene in�nitas solu iones.23. Considera el sistema de e ua ionesx+ 3y + z = 0

2x− 13y + 2z = 0(a+ 2)x− 12y + 12z = 0

Determina el valor de a para que tenga solu iones distintas de la solu ión trivial y resuélvelo paradi ho valor de a.24. Considera el sistema de e ua ionesmx− y = 1

x−my = 2m− 1

}a) Clasi� a el sistema según los valores de m.b) Cal ula los valores de m para los que el sistema tiene una solu ión en la que x = 3.

41

BLOQUE IIIGEOMETRÍA

42

Tema 10Espa ios ve toriales10.1. Ve tores en el espa io1. Dados los ve tores ~u = (1, 0,−1), ~v = (2, 0, 1) y ~w = (0, 0, 1):a) ¾Son ~u, ~v y ~w linealmente independiente?b) Dar un ve tor ~t que dependa linealmente de ~u, ~v y ~w.2. Prueba que los ve tores ~u = (0, 1, 1), ~v = (1, 2, 3) y ~w = (5, 7, 12) son linealmente dependientes.Expresa uno de ellos omo ombina ión lineal de los otros dos.3. Prueba que los ve tores ~u1 = (0, 1, 1), ~u2 = (1, 0, 1) y ~u3 = (1, 1, 0) forman una base. Cal ula las oordenadas del ve tor ~u = (1, 2, 3) respe to a la base anterior.4. Dados los ve tores ~u = (3, 3, 2), ~v = (5,−2, 1) y ~w = (1,−1, 0):a) Halla los ve tores ~u− 2~v + 3~w y −2~u+ ~v − 4~wb) Cal ula a y b tales que ~u = a~v + b~w.5. Dados los ve tores ~u = (1,−3, 2), ~v = (−2, 6,−4) y ~w = (2, 0, 1):a) Expresa ~u omo ombina ión lineal de ~v y ~w.b) ¾Es posible expresar ~w omo ombina ión lineal de ~u y ~v? ) ¾Son linealmente dependientes o independientes ~u, ~v y ~w?6. ¾Cuáles de los siguientes ve tores tienen la misma dire ión?

~a(1,−3, 2) ~b(2, 0, 1) ~c(−2, 6,−4) ~d(5,−15, 10) ~e(10,−30, 5)7. Estudia la dependen ia o independen ia lineal de los siguientes onjuntos de ve tores:a) ~u = (1, 2, 1), ~v = (−1, 0, 3) y ~w = (1, 2,−1) b) ~a = (1, 2, 3), ~b = (1, 4, 11), ~c = (1, 1,−1) y ~d = (0, 1, 4) ) ~u = (1, 1, 0), ~v = (1, 0, 1) y ~w = (5, 2, 3)8. Determina k para que los siguientes onjuntos de ve tores sean linealmente independiente:a) ~u = (k,−3, 2), ~v = (2, 3, k) y ~w = (4, 6,−4) b) ~u = (3, 2, 5), ~v = (2, 4, 7) y ~w = (1,−1, k)9. ¾Para qué valores de a el onjunto de ve tores S = {(1, 1, 1), (a, 1, 1), (1, a, 0)} es una base?10.2. Produ to es alar10. Dados los ve tores ~u = (2,−3, 5) y ~v = (6,−1, 0), halla:a) Los módulos de ~u y ~v.b) El produ to es alar de ~u y ~v. ) El oseno del ángulo que forman.d) La proye ión del ve tor ~u sobre ~v.e) La proye ión del ve tor ~v sobre ~u. 43

f ) Halla m para que el ve tor (m, 2, 3) sea ortogonal a ~u.11. Dados los ve tores ~a = ~i+m~j + ~k y ~b = −2~i+ 4~j +m~k, halla m para que los ve tores ~a y ~b sean:a) Paralelos b) Ortogonales12. ¾Son ~a = (1, 2, 3) y ~b = (2,−2, 1) ortogonales? Si no lo son, halla el ángulo que forman.13. Comprueba que el ve tor ~u(1/2, 1/2, 0) no es unitario y da las oordenadas de un ve tor unitariode la misma dire ión que ~u.10.3. Produ to ve torial14. Dados los ve tores ~u = (3, 1,−1) y ~v = (2, 3, 4), halla:a) Los módulos de ~u y ~v.b) El produ to ve torial de ~u y ~v. ) Un ve tor unitario a ~u y ~v.d) El área del paralelogramo que tiene por lados los ve tores ~u y ~v.15. Dados los ve tores ~u = 2~i−~j +~k y ~v = −~i+3~j+2~k, omprueba que los ve tores ~u× ~v y ~v× ~u sonopuestos y halla su módulo.16. Halla el área del paralelogramo que forman los ve tores ~a = (7,−1, 2) y ~b = (1, 4,−2).17. Halla un ve tor perpendi ular a ~u(2, 3, 1) y a ~v(−1, 3, 0) y que sea unitario.18. Halla dos ve tores de módulo la unidad y ortogonales a (2,−2, 3) y (3,-3,2).19. Halla un ve tor ortogonal a ~u(1,−1, 0) y a ~v(2, 0, 1) y uyo módulo sea √24.10.4. Produ to mixto20. Halla el produ to mixto de los siguientes ve tores:a) ~u = (1,−3, 2), ~v = (1, 0,−1) y ~w = (2, 3, 0) b) ~u = (3, 2, 1), ~v = (1,−2, 0) y ~w = (−4, 1, 1) ) ~u = (1, 2,−1), ~v = (3, 0, 2) y ~w = (−1, 4,−4)21. Dados los ve tores ~u = (2, 1, 3), ~v = (1, 2, 3) y ~w = (−1,−1, 0), halla el produ to mixto [~u,~v, ~w].¾Cuánto vale el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas los ve tores dados?22. Cal ula el volumen del paralelepípedo determinado por ~u = (1, 2, 3), ~v = (−2, 1, 0) y ~w = ~u× ~v.10.5. Ejer i ios variados23. Sean ~e1, ~e2 y ~e3 tres ve tores linealmente independientes:a) ¾Son también linealmente independientes los ve tores:

~u = ~e1 − ~e3, ~v = ~e2 + ~e3 y ~w = ~e1 − ~e2 + ~e3b) Halla ~u× ~v y omprueba que el ve tor que obtienes es ortogonal a ~u y ~v. ) Halla [~u,~v, ~w].24. a) Comprueba que el paralelogramo determinado por los ve tores ~u = (3,−2, 1) y ~v = (4, 3,−6)es un re tángulo. 44

b) Halla su área multipli ando la base por la altura y omprueba que obtienes el mismo resultadosi hallas |~u× ~v|.25. Dados los ve tores ~u1(2, 0, 0), ~u2(0, 1,−3) y ~u3 = a ~u1+ b ~u2, ¾qué rela ión deben umplir a y b paraque ~u3 sea ortogonal al ve tor ~v(1, 1, 1)?26. Cal ula las oordenadas de un ve tor ~u que sea ortogonal a ~v = (1, 2, 3) y ~w = (1,−1, 1) y tal que[~u,~v, ~w] = 19

45

Tema 11El espa io afín11.1. Puntos y ve tores1. Los puntos A(2, 1, 0) y B(−1, 3,−2) son vérti es onse utivos de un paralelogramo uyo entro esel punto M(1, 1, 1). Halla los otros dos vérti es.2. Los puntos (1, 3,−1), (2, 0, 2) y (4,−1,−3) son vérti es onse utivos de un paralelogramo. Halla elvérti e D y el entro del paralelogramo.3. Halla las oordenadas de los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales, siendo

A(1, 3, 0) y B(−2, 5,−4).4. Comprueba si los puntos A(1,−2, 1), B(2, 3, 0) y C(−1, 0,−4) están alineados.5. Halla los puntos P y Q tales que −→AQ =

3

5

−−→AB y −→

AP =2

3

−→AQ, siendo A(2, 0, 1) y B(5, 3,−2).6. Halla el simétri o del punto A(−2, 3, 0) respe to del punto Q(1,−1, 2).7. Cal ula a y b para que los puntos A(1, 2,−1), B(3, 0,−2) y C(4, a, b) estén alineados.11.2. Re tas8. Es ribe las e ua ión de la re ta que pasa por el punto A(1, 0,−1) y tiene omo ve tor de dire ión

~v(2,−1, 1), en todas sus formas. ¾Pertene en los puntos P1(0, 1, 3) y P2(7,−3, 2) a la re ta anterior?En aso negativo determina la re ta que los ontiene.9. Halla las e ua iones de los ejes de oordenadas.10. Obtener las e ua iones paramétri as de la re ta que pasa por A(1, 7, 3) y B(2,−1,−8), y obtenerotros dos puntos de ella.11. Comprueba si alguno de los siguientes puntos pertene en a la re ta r :

x = 3− λy = 2 + 3λz = −1a) P (3, 2,−1) b) Q(−2, 17,−1) ) R(1, 5, 0) d) S(2, 8,−1)12. Comprueba si existe alguna re ta que pase por los puntos P (3, 1, 0), Q(0,−5, 1) y R(6,−5, 1).13. Dada la re ta r :

x = 2− ty = 5 + tz = 3− 6t

t ∈ R, halla un punto por el que pasa y la dire ión de la re ta.14. Para las siguientes re tas, al ula una determina ión lineal y exprésalas en forma paramétri a:a) r :

{

x+ y − z + 2 = 03x− y + 4z − 3 = 0

b) s :

{

y = 3x+ 2z = −6x+ 5

) t :

{

x = 6z + 1y = 715. Estudia la posi ión relativa de las re tas r y s en los siguientes asos:

46

a) r :x

2=

y − 2

− 1=

z − 1

3y s :

x = 2− 2λy = 2λz = 5− 6λb) r :

x+ 1

1=

y − 3

− 2=

z − 1

− 1y s :

x− 1

2=

y + 1

− 4=

z + 1

− 2 ) r :x− 1

2=

y + 2

− 1=

z + 1

1y s :

x+ 4

− 4=

y + 3

2=

z − 2

− 2d) r :x− 3

1=

y + 2

2=

z − 1

− 2y s :

x

− 1=

y + 7

− 1=

z − 2

− 3e) r :x+ 1

2=

y − 6

− 1=

z + 4

6y s :

x− 3

3=

y − 1

2=

z − 7

− 516. Halla los valores de m y n para que las re tas r y s sean paralelas:r :

x = 5 + 4ty = 3 + tz = −t

y s :x

m=

y − 1

3=

z + 3

n11.3. Planos17. Halla la e ua ión del plano que pasa por P (2, 3, 5) y es paralelo a ~u(−1,−2,−3) y ~v(1, 3, 5), entodas sus formas.18. Halla las e ua iones paramétri as e implí itas de los planos OXY , OXZ y OY Z.19. Prueba que los puntos A(1,−1, 2), B(2, 2,−3) y C(1, 1, 0) no están alineados y halla la e ua ióndel plano que determinan.20. Comprueba si los puntos A(1, 2, 5), B(0, 1, 2), C(2,−1, 4) y D(1,−1, 2) y E(2, 2, 2) son o no opla-narios. En aso a�rmativo, halla la e ua ión del plano que los ontiene.21. Dado el plano de e ua ión 2x− y + 5z − 1 = 0, determina sus e ua iones paramétri as.22. Comprueba si el punto P (15, 2, 7) pertene e al plano siguiente:

x = 3− 5λ+ µy = 1− λz = µ23. Halla la e ua ión general del plano en los siguientes asos:a) Contiene a la re ta r :

x = 2ty = 3 + tz = 1− t

t ∈ R y al punto A(2,−1, 2).b) Contiene a las re tas r1 :

x = 2 + λy = 1− 2λz = 4− λ

r2 :

x = 1 + 2λy = −2 + λz = 3λ ) Contiene a las re tas: r :

x = 3− λy = 2 + 3λz = 1

s :

x = 2 + λy = −3λz = 324. Halla la posi ión relativa de los siguientes pares de planos:a) {

π : x− 2y + 3z = 1π′ : 2x− 4y + 6z = 2

b) {

π : 2x− 6y + 2z − 3 = 0π′ : x− 3y + z + 4 = 0

) {

π : x+ y − z = −1π′ : 2x− 3y + z = 2

47

25. Estudia la posi ión relativa de los siguientes planos:a)

x+ 2y − z − 3 = 03y + 2z − 1 = 0x+ y + z − 2 = 0

b)

2x− y + z − 3 = 0x− y + z − 2 = 03x− y + z − 4 = 0

)

x− y + z − 1 = 03x+ y − 2z = 02x+ 2y − 3z + 4 = 026. Determina las posi iones relativas de la re ta y plano siguientes:a)

π : 2x+ 2y + z − 1 = 0

r :x− 1

2=

y − 3

− 2=

z + 1

1

b)

π : x+ y − 1 = 0

r :x− 1

2=

y − 3

− 2=

z

1

)

π : x+ y − 1 = 0

r :x− 2

2=

y + 1

− 2=

z

127. Halla los valores del parámetro k para que los tres planos

α : x+ y + kz = 1β : kx+ y + z = 1γ : 2x+ y + z = ktengan una re ta en omún. Halla también el ve tor de dire ión de di ha re ta.28. Dados los planos de e ua iones

α : ax− 2z = 15β : 2x+ y + z = −7γ : x+ y + az = −8aa) Determina los valores de a para que los tres planos pasen por una re ta.b) En este aso, determina dos puntos de di ha re ta y el ve tor de dire ión.29. Dado el punto A(1, 2,−1) y la re ta r :

{

3x+ y − z + 1 = 02x− 3y + z − 2 = 0

, se pide:a) E ua ión general de la radia ión de planos de vérti e el punto A.b) Expresión general del haz lineal de planos de arista la re ta r. ) Expresión general de la radia ión de re tas de vérti e el punto A.30. Dados los planos π1 : x− y + 3 = 0 y π2 : 2x+ y − z = 0, determina:a) La e ua ión de la re ta perpendi ular a π1 por el punto P (2, 2, 1).b) La e ua ión del plano perpendi ular a la re ta que determinan π1 y π2 por A(1, 1,−1). ) La re ta paralela a π1 y π2 por el punto B(2, 2, 3).31. Halla la e ua ión del plano que pasa por el punto A(2, 0, 1) y ontiene a la re ta x− 1

2=

y + 3

1=

z

− 1.32. Una re ta es paralela a los planos x + y = 1 y x + z = 0 y pasa por el punto (2, 0, 0). Halla lase ua iones.33. ¾Es posible que un plano quede determinado por el punto A(2, 3, 4) y los ve tores ~u(1, 2, 3) y

~v(−4,−8,−12)?34. ¾Es ierto que tres puntos ualesquiera del espa io determinan un plano?35. Determina b para que la re ta x− 1

3=

y − 2

b=

z

6no orte al plano α : 2x− 4y + 5z = 6.36. a) Halla la e ua ión de la re ta que pasa por el punto (1, 0, 0) y es perpendi ular al plano x− y−

z + 2 = 0.b) Halla la e ua ión del plano que pasa por el punto (1, 1, 1) y es perpendi ular a la re ta r :

x = 2ty = 3 + tz = 1− t 48

Tema 12El espa io eu lídeo1. Estudia la posi ión de las re tas r y s y halla el ángulo que forman:r :

x = 3λy = 1 + 2λz = −14 + 5λ

y s :

{

x− y = 3y + z = 152. Halla el ángulo que forma la re ta y el plano:a) r :

x+ 1

− 2=

y + 3

4=

z

2y π : x− 2y − z + 1 = 0b) r : x = λ, y = 1 + 2λ, z = −2 y π : 2x− y + z = 03. Cal ula el ángulo que forman los planos α : z = 3 y β : x− y + 2z + 4 = 0.4. Cal ula la distan ia del punto dado a la re ta, en los siguientes asos:a) P (0, 7, 0) y

x = −5 + 4λy = 5+ λz = −10 + 3λb) P (1, 0, 0) y r : x− 1 =

y + 1

2= z ) P (1, 2, 3) y r :

{

x = 0y = 05. Cal ula la distan ia entre las re tas, estudiando antes su posi ión relativa:r :

x = 13 + 12λy = 2z = 8 + 5λ

y s :

x = 6y = 6 + µz = −96. Cal ula la mínima distan ia entre los siguientes pares de re tas y la perpendi ular omún:a) r :

x = −4− 2λy = −5 + 2λz = −1− 3λ

y s :

x = 5− 3µy = 4− µz = 5− 5µb) r :

x = 1 + λy = 1− 2λz = 5− 7λ

y s :

{

2x− 3y + 2 = 03x− y + 1 = 07. Halla la e ua ión del plano que ontiene a los puntos A(−4, 0,−2) y B(0, 3,−1) y es perpendi ularal plano π : x+ 3z − 5 = 0.8. Halla el punto simétri o de P (1, 0, 1) on respe to del plano π : x− y + z = 1.9. Determina el punto simétri o de A(−3, 1,−7) respe to de la re ta x+ 1

1=

y − 3

2=

z + 1

210. Halla el punto de :

x = λy = 3− λz = 1 + 2λ

uya distan ia al punto P (1, 0, 2) sea √5.49

11. Halla la distan ia entre las re tas r y s:r :

x = 2λy = 1 + λz = 3− λ

y s :

{

x− 2y − 1 = 0y + z = 012. Un tetraedro tiene por vérti es A(2, 1, 0), B(3, 4, 0) y C(5, 1, 0). El uarto vérti e, D, está sobre lare ta r : x = 1 − λ, y = 2 + λ, z = 3 + λ. Halla las oordenadas de D para que el volumen deltetraedro sea 6 unidades úbi as.13. a) Cal ula un punto R de la re ta s :

x = 5 + λy = λz = −2− 2λ

que equidiste de los puntos P (1, 0,−1) yQ(2, 1, 1).b) Cal ula el área del triángulo determinado por los puntos P , Q y R.14. Sean la re ta r y el plano π dados por:

r :

x = 3λy = −λz = 2λ

y π : 2x− 3y + z + 1 = 0a) Cal ula el seno del ángulo que forman r y π.b) Halla la e ua ión de la proye ión ortogonal de r sobre π.15. Halla la e ua ión del plano perpendi ular a la re ta x+ 3

2=

y − 4

3=

z

4y que pasa por el punto

(−1, 1, 0) y al ula el volumen de la �gura limitada por el plano anterior y los tres planos oorde-nados.16. Halla la e ua ión de la re ta s que pasa por el punto P (2,−1, 1) y orta perpendi ularmente a lare ta x− 3

1=

y + 1

2=

z

317. Comprueba que las re tasr :

x

0=

y − 1

1=

z + 3

2y s :

x− 1

1=

y + 1

− 1=

z

3se ruzan y halla la e ua ión de la perpendi ular omún a ambas.18. Determina la e ua ión de la re ta que pasa por P (1, 2, 2) y es perpendi ular a las re tas:r1 :

{

x+ 2y − 3z − 1 = 0x+ 2y − z = 0

y r2 :

{

3x− y + 3z = 0x+ 4y − 2 = 019. Halla la e ua ión del plano π que ontiene a la re ta r :

{

x+ y − z + 1 = 0x+ 2y + z = 0

y es ortogonal alplano α : 2x− y + 3z + 1 = 0.Obtén también las e ua iones paramétri as de la re ta determinada por π y α.20. Dados la re ta r :x

2=

1− y

1=

z + 1

3y el plano π : x+3y− 3z+3 = 0, halla el plano que ontienea r y es perpendi ular a π.21. Dados las re tas r :

{

x− 2z + 3 = 0y − z − 4 = 0

y el plano π : x+ 2y + 3z − 1 = 0, halla la e ua ión de unare ta situada en el plano π, que pase por el punto P (2, 1,−1) y sea perpendi ular a r.50

22. a) Cal ula α y β para que el ve tor (α, 5, β) sea perpendi ular a los ve tores (1, 0, 3) y (1, 1, 4).b) Área del triángulo de vérti es P (−1, 1, 1), Q(0, 2, 3) y R(1, 2, 1).23. Dado el punto A(6, 5, 8) y la re ta r : x+ 3 = y − 2 = z:a) E ua ión del plano que pasa por A y es perpendi ular a r.b) Punto simétri o de A respe to a r. ) Distan ia del punto A a la re ta r.24. a) Demuestra que las re tas r :

{

2y + kz = 1x = 0

y s :

x = 3− kλy = 2λz = 3− 4λ

se ortan parak = 3 y k = 4/3.b) Para k = 3 ¾Cuál es el punto de interse ión? ¾Qué ángulo forman? ¾Cuál es la e ua ión delplano que las ontiene?25. Es ribe la e ua ión de la re ta que se apoya en r : x =

y − 1

2=

z − 3

3y s :

{

x = yz = 0

ypasa por A(1, 5,−2).26. E ua ión del plano que ontiene a la re ta x− 1

2=

y − 1

3=

z

1y es paralelo a la re ta s que pasapor A(2, 0, 0) y B(0, 1, 0).27. a) Estudia, según los valores de a y b, la posi ión relativa de la re ta r :

{

3x− y + 2z = 1x+ 4y + z = b

y elplano π : 2x− 5y + az = −2.b) Para el aso en que la re ta y el plano se orten en un punto. ¾Qué ángulo forman r y s?28. Sea r la re ta que pasa por el punto A(0, 2, 1) y tiene omo ve tor dire tor ~v(1,−1, 1):a) Halla el punto P de la re ta r que esté más er ano al punto B(4, 7, 5).b) Halla el uarto vérti e Q del paralelogramo on vérti es APBQ. ¾Puedes espe i� ar de quétipo de paralelogramo se trata?29. a) Obtener un punto de la re ta r :x− 1

2=

y

3=

z − 1

− 1que equidiste de los puntos A(−1, 1, 2) y

B(4, 4, 2).b) Cal ula el área del triángulo determinado por los tres puntos.30. Sean los ve tores ~u(−1, 2, 3), ~v(2, 5,−2), ~x(4, 1, 3) y ~z(4, 1,−8). ¾Se puede expresar x omo ombi-na ión lineal de ~u y de ~v? En aso a�rmativo es ribe di ha ombina ión.Expresa x omo ombina ión lineal de ~u, ~v y ~z.

51

Problemas de Sele tividad. Bloque deGeometría1. Sea r la re ta de e ua ión x− 5

2=

y + 2

− 1=

z

4y s la re ta dada por { 3x− 2y + z = 2

−x+ 2y − 3z = 2a) Determina la posi ión relativa de ambas re tas.b) Halla la e ua ión del plano que ontiene a la re ta r y es paralelo a la re ta s.2. Considera la re ta r de e ua iones { x+ y + z = 1x− 2y + 3z = 0a) Determina la e ua ión del plano que ontiene a la re ta r y no orta al eje OZ.b) Cal ula la proye ión ortogonal del punto A(1, 2, 1) sobre la re ta r.3. Considera los puntoa A(2, 1, 2) y B(0, 4, 1) y la re ta r de e ua ión x = y − 2 =

z − 3

2a) Determina un punto C de la re ta r que equidiste de A y B.b) Cal ula el área del triángulo de vérti es ABC.4. Halla la e ua ión de un plano que sea paralelo al plano π de e ua ión x + y + z = 1 y que forme on los ejes de oordenadas un triángulo de área 18√3.5. Sea la re ta de e ua ión x− 1

1=

y + 2

3=

z − 3

− 1y el plano π de e ua ión 2x−y+z+1 = 0. Cal ulael área del triángulo ABC, siendo A el punto de orte de la re ta r y el plano π, B el punto (2, 1, 2)de la re ta r y C la proye ión ortogonal del punto B sobre el plano π.6. Halla las e ua iones paramétri as de una re ta sabiendo que orta a la re ta r de e ua ión x = y = z,es paralela al plano π de e ua ión 3x+ 2y − z = 4 y pasa por el punto A(1, 2,−1).7. Considera el plano π de e ua ión 2x+ y − z + 2 = 0 y la re ta r de e ua ión x− 5

− 2= y =

z − 6

ma) Halla la posi ión relativa de r y π según los valores del parámetro m.b) Para m = −3, halla el plano que ontiene a la re ta r y es perpendi ular al plano π. ) Para m = −3, halla el plano que ontiene a la re ta r y es paralelo al plano π.8. Considera el punto P (3, 2, 0) y la re ta r de e ua iones { x+ y − z − 3 = 0x+ 2z + 1 = 0a) Halla la e ua ión del plano que ontiene a P y a la re ta r.b) Determina las oordenadas del punto Q simétri o de P respe to de la re ta r.9. Determina los puntos de la re ta r de e ua iones

x = 0

y − 1 =z − 3

2

que equidistan del plano π dee ua ión x+ z = 1 y del plano π′ de e ua ión y − z = 3.52

10. Considera los puntos A(1, 0,−2) y B(−2, 3, 1).a) Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales.b) Cal ula el área del triángulo de vérti es A, B y C, donde C es un punto de la re ta de e ua ión−x = y − 1 = z. ¾Depende el resultado de la ele ión on reta de C?11. Sea r la re ta de e ua ión

x = a+ ty = 1− 2tz = 4− t

y s la re ta de e ua ión x− 1

2=

y + 2

1=

z

3a) Cal ula el valor de a sabiendo que las re tas r y s se ortan.b) Cal ula el punto de orte.12. Halla el punto A de la re ta r de e ua ión x = y = z y un punto B de la re ta s de e ua iónx =

y

− 1=

z + 1

2de forma que la distan ia entre A y B sea mínima.13. Cal ula el área del triángulo de vérti es A(0, 0, 1), B(0, 1, 0) y C, siendo C la proye ión ortogonaldel punto (1, 1, 1) sobre el plano x+ y + z = 1.14. Considera el punto A(0, 1,−1), la re ta 3 ≡

{

x− 2y + z = 02x− z = −4

y el plano π ≡ x− 2y− z = 2. Hallala e ua ión de la re ta que pasa por A, es paralela a π y orta a r.15. Se sabe que el triángulo ABC es re tángulo en el vérti e C, que pertene e a la re ta interse iónde los planos y + z = 1 y y − 3z + 3 = 0, y que sus otros dos vérti es son A(2, 0, 1) y B(0,−3, 0).Halla C y el área del triángulo ABC.16. Halla la perpendi ular omún a las re tasr ≡

x = 1y = 1z = α

y s ≡

x = βy = β − 1z = −117. Considera las re tas

r ≡{

x = yz = 2

y s ≡{

x+ y = 1z = 3Halla la e ua ión de una re ta que orte a r y s y sea perpendi ular al plano z = 0.18. Sean los puntos A(1, 0,−1 y B(2,−1, 3.a) Cal ula la distan ia del origen de oordenadas a la re ta que pasa por A y B.b) Cal ula el área del paralelogramo de vérti es onse utivos ABCD sabiendo que la re ta deter-minada por C y D pasa por el origen de oordenadas.19. Halla la distan ia entre las re tas

r ≡

x = 0

y − 1 =z − 2

− 3

y s ≡{

x− 1 = 1− zy = 020. Considera los puntos P (6,−1,−10), Q(0, 2, 2) y R, que es el punto de interse ión del plano π ≡

2xλ‘y + z − 2 = 0 y la re ta r ≡{

x+ y + z − 1 = 0y = 1Determina λ sabiendo que los puntos P , Q y R están alineados.21. Considera el plano π ≡ 2x+ y − z + 7 = 0 y la re ta r ≡

x = 1 + λy = 1 + λz = 1 + 3λ53

a) Halla la e ua ión del plano perpendi ular a π y que ontenga a r.b) ¾Hay algún plano paralelo a π que ontenga a la re ta r? En aso a�rmativo determina suse ua iones.22. Las re tasr ≡

{

x+ y − 2 = 02x+ 2y + z − 4 = 0

y s ≡{

x+ y − 6 = 0x+ y − z − 6 = 0 ontienen dos lados de un uadrado.a) Cal ula el área del uadrado.b) Halla la e ua ión del plano que ontiene al uadrado.23. Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5, 3) y D(−1, 4, 3).a) Prueba que los uatro puntos están en un mismo plano. Halla la e ua ión de di ho plano.b) Demuestra que el polígono de vérti es onse utivos ABCD es un re tángulo. ) Cal ula el área de di ho re tángulo.24. Dados los ve tores ~u = (2, 1, 0) y ~v = (−1, 0, 1), halla un ve tor unitario ~w que sea oplanario on

~u y ~v y ortogonal a ~v.25. a) Cal ula el valor de m para el que la matriz A =

(

1 01 m

) veri� a la rela ión 2A2 −A = I ydetermina A−1 para di ho valor de m.b) Si M es una matriz uadrada que veri� a la rela ión 2M2−M = I, determina la expresión deM−1 en fun ión de M y de I.26. Se sabe que el sistema de e ua iones lineales

−λx+ y + (λ+ 1)z = λ+ 2x+ y + z = 0

(1− λ)x − λy = 0

tiene más de una solu ión.a) Cal ula, en di ho aso, el valor de la onstante λ.b) Halla todas las solu iones del sistema.27. Considera la matriz A =

(

1 −11 λ

).a) Determina la matriz B = A2 − 2A.b) Determina los valores de λ para los que la matriz B tiene inversa. ) Cal ula B−1 para λ = 1.28. a) Cal ula la matriz inversa de A =

1 1 00 1 11 0 1

.b) Es ribe en forma matri ial el siguiente sistema y resuélvelo usando la matriz A−1 hallada enel apartado anterior,x+ y = 1

y + z = −2x+ z = 3

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