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CUADRILÁTEROSCUADRILÁTEROSProf. Gustavo Adolfo Bojorquez Márquez
MATEMÁTICA4to de Secundaria
Contenido TemáticoContenido Temático
RecursosRecursos
EvaluaciónEvaluación
BibliografíaBibliografía
CréditosCréditos
PresentaciónPresentación
I.E. N° 5090 “ANTONIA MORENO DE CÁCERES”
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Aprendizajes esperados:• Clasificar Cuadriláteros.
• Identificar las propiedades de los cuadriláteros
• Aplicar las propiedades de los cuadriláteros en la resolución de ejercicios.
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PresentaciónPresentaciónLas primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición').
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CUADRILÁTEROSSon polígonos que tienen cuatro lados.
Los cuadriláteros convexos se clasifican en: paralelogramos, trapecios y trapezoides. Cada uno de ellos tienen sus propias características.
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PARALELOGRAMOSSon cuadriláteros que tienen sus lados opuestos paralelos. Se
llama base a cualquiera de sus lados, y su altura es la distancia que existe entre dos lados opuestos.
PROPIEDADES:1.- Los lados opuestos son congruentes: AB = DC ; AD = BC.2.- Los ángulos opuestos son congruentes: A C; D B3.- Las diagonales se intersecan en su punto medio. 4.- Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios
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• Área =base ∙ altura
base = 12 cm
h = 4 cm
A
D C
B
Área =12 ∙ 4 = 48 cm2
Ejemplo:
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CLASIFICACIÓN DE PARALELOGRAMOS
A.- RECTÁNGULOS
• 2 pares de lados iguales
• 4 ángulos interiores iguales a 90°
• diagonal(d) = (largo)2 + (ancho)2
d = a2 + b2
• Área = largo ∙ ancho
A = a∙b
• Perímetro = suma de sus 4 lados
P = 2(a + b)
Las diagonales son congruentes y se dimidian.
AC =BD, AE =EC =DE = EB
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Ejercicios de aplicación:
Solución:
d = 52 + 122
diagonal(d) = (largo)2 + (ancho)2
d = 25 + 144
d = 169
d = 13 cm
Calcular la diagonal de un rectángulo cuyo largo y ancho miden 12 cm y 5 cm respectivamente.
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2. Determinar el perímetro de la zona achurada del rectángulo ABCD de la figura.
Solución:
P = 2( 21 + 12) cm
P = 2·(33) cm
P = 66 cm
Por las características de la zona achurada, su perímetro es igual al perímetro del rectángulo.
Luego, el perímetro de la zona achurada es:
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B.- CUADRADO
• 4 lados iguales
• 4 ángulos interiores iguales a 90°
• diagonal = lado ∙ 2
d
a
a a
a
d = a 2
• Área = (lado)2
Área = a2
Área = d2
2
• Área = (diagonal)2
2
• Perímetro = 4a
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Propiedades de las diagonales del cuadrado:
• Son iguales: AC = BD
• Se dimidian: AE = EC = DE = EB
Ejercicios de aplicación:
1. Determinar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 10 cm.
Solución: Área = (10)2
2
Área = 50 cm2
Como Área = (diagonal)2
2
• Son bisectrices
• Son perpendiculares: AC BD
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diagonal = lado ∙ 2
2
Solución:
diagonal = 3 ∙ 2 2 cm
diagonal = 3 ∙ 2 cm
diagonal = 6 cm
2. Determinar la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 3 cm.
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• 4 lados iguales
• ángulos opuestos iguales
• Área = lado ∙ altura
• Área = producto de diagonales
2
Área = d1 ∙ d2
2
Área = a ∙ h
P = 4a
• Perímetro = suma de sus 4 lados
C.- ROMBO
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Propiedades de las diagonales del rombo
• Son bisectrices.
• Se dimidian: AE = EC y DE = EB
Ejemplo:
• Son perpendiculares: AC BD
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• 2 pares de lados iguales
• Ángulos opuestos iguales
• Área = base ∙ altura
P = 2a + 2b
• Perímetro = suma de sus 4 lados
Área = a ∙ h
C.- ROMBOIDE
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Propiedades de las diagonales
• Se dimidian: AE = EC y DE = EB
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TRAPECIOS
Son cuadriláteros que tienen dos lados paralelos que se llaman bases y dos lados no paralelos.
CLASIFICACIÓN DE TRAPECIOS
A.-TRAPECIO RECTO.- Uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases.
B.- TRAPECIO ISÓSCELES.- Los lados no ´paralelos son congruentes.Los ángulos adyacentes a sus bases son congruentes y sus diagonales también son congruentes.
C.- TRAPECIO ESCALENO.- Los lados no paralelos no son congruentes.
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PROPIEDADES DE LOS TRAPECIOS
A
B
M N
C
B
D
QP
C
A
A
D
En un trapecio, el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos es paralelo a las bases y su longitud es igual a la semisuma de las longitudes de las bases. Este segmento recibe el nombre de mediana, base media, paralela media.
MN BC ; MN AD
2
ADBCMN
El segmento que une los puntos medios de las diagonales de un trapecio es paralelo a las bases y su longitud es igual a la semidiferencia e las bases. Este segmento es un parte de la mediana del trapecio.
PQ BC ; PQ AD
2
BCADPQ
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TRAPEZOIDE
Son cuadriláteros convexos que no tienen ningún par de lados paralelos. Cuando una de sus diagonales es mediatriz de la otra diagonal, el trapezoide se llama trapezoide simétrico o bisósceles.
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PROBLEMAS
1.- En un paralelogramo ABCD, las medidas de los ángulos consecutivos A y B son: 7x – 30° y 3x +10° respectivamente. Calcular el complemento de B.
A
CB
D7x -30
3x +10°Como se sabe que dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios, entonces:7x – 30 + 3x +10 = 18010x = 200X = 20.Luego:Angulo A = 7(20) – 30 A = 140 – 30 A = 110°Angulo B = 3(20) + 10 B = 60 + 10 B = 70°RESPUESTA.- El complemento del ángulo B mide 20°
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2.- Las bases de un trapecio isósceles están en relación de 3 es a 5. Si la suma de sus lados no paralelos es de 50 m y su perímetro de 82 m. Calcular la mediana del trapecio.
M N
C
D
B
A
AB + CD + BC + AD = 82Pero: AB = CD = 2525 + 25 + BC + AD = 82BC + AD = 32
Pero:
Luego:
3AD + 5AD = 1608AD = 160AD = 20 m.Luego: BC = 12 m.La mediana:
5
3
AD
BC5
3ADBC
325
3 AD
AD
162
1220
MN
RESPUESTA.- La mediana del trapecio es 16 m.
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3.- En un trapecio el segmento que une los puntos medios de las diagonales es 9 m y la suma de las bases es 30 m. Hallar las bases.
QP
C
A D
B)(2
19 BCAD
18 = AD – BCLuego:
18
30
BCAD
BCAD
2AD = 48AD = 24Luego:BC = 6. RESPUESTA.- Las bases miden 24 m y
6 m.
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