ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE CIENCIA

ESCUELA DE FÍSICA Y MATEMÁTICAS

BIOFÍSICA

Mecánica cuántica

Integrantes:

Diana Aguay

Catherine Pino

Temas:

7.5. Eigenvalores, números cuánticos y degeneración

7.6. Eigenfunciones

Fecha:

El 26 de Junio del 2013

7.5. Eigenvalores, números cuánticos y degeneración

Uno de los resultados más importantes de la Teoría de Schrödinger del átomo con un electrón, es la predicción de los valores permitidos de la energía total correspondiente a estados ligados del átomo, dado por (7-22).

Comparando los Eigenvalores predichos, con las predicciones del modelo de Bohr (ver 4-18)

Se puede comprobar que ambos métodos conducen a valores idénticos de las energías permitidas. Además, la concordancia de ambas predicciones con la experimentación es excelente, La derivación de la ecuación (7-22) por Schrödinger constituyo la primera verificación convincente de su teoría de la mecánica cuántica. En la figura 7-3 se ilustra el potencial de Coulomb V(r) para el átomo con un electrón y sus Eigenvalores En .

¿Cuál es la relación entre el potencial de Coulomb y sus Eigenvalores con los potenciales estudiados en el capítulo 6 y sus Eigenvalores? Una diferencia obvia entre estos dos casos, es que el cálculo mecánico – cuántico que conduce a los Eigenvalores del potencial de Coulomb es notablemente más complicado. Sin embrago, el potencial de Coulomb es una descripción exacta de un sistema tridimensional real, Los potenciales previamente estudiados son descripciones aproximadas de sistemas ideales unidimensionales, construidos para simplificar los cálculos. Para el caso del potencian de Coulomb, las complicaciones se originan, en parte debido a su simetría esférica, que obliga a usar coordenadas polares esféricas en ligar de coordenadas cartesianas. Las semejanzas son mucho más

fundamentales que las diferencias. Para el potencial de Coulomb, como para cualquier otro potencial ligante, las energías totales permitidas de una partícula ligada al potencial, están discretamente cuantiadas. En la figura 7-4 se hace una comparación entre las energías permitidas del potencial de Coulomb y las correspondientes a varios potenciales ligantes unidimensionales. En esta figura, el potencial de Coulomb está representado por un corte transverso a lo largo del diámetro de un átomo con un electrón. Nótese que todos los potenciales ligantes poseen una energía de punto cero; es decir, el nivel más bajo permitido de la energía total, siempre se encuentra por encima del mínimo correspondiente a la energía potencial .Asociado a esta energía de punto cero, el átomo con un electrón posee un movimiento de punto cero , de modo similar al de otros sistemas descritos por potenciales ligantes. En la siguiente sección se verá como estos fenómenos pueden proporcionar una explicación básica de la estabilidad del estado base del átomo.

A pesar de que los Eigenvalores de átomo con un electrón solo depende del número cuántico n , las Eigenfunciones dependen de los tres números cuánticos n, l m, ya que resultan del productos de las tres funciones

El hecho de que aparezcan tres números cuánticos es una consecuencia de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo contiene tres variables independientes, una por cada coordenada espacial. Resumiendo las condiciones que deben cumplir los números cuánticos, se tiene que:

Estas condiciones se pueden expresar en forma más conveniente como:

Algunas veces a n se le llama número cuántico principal, por el papel que juega en la determinación de la energía total del átomo. Como el impulso angular orbital o azimutal del átomo, depende del número l , como pronto se verá, a l con frecuencia se le llama número cuántico azimutal. También se verá que si se coo9ca un aromo en un campo magnético externo, su energía dependerá de ml. Consecuentemente, a ml se le llama en ocasiones, número cuántico magnético.

Las condiciones (7-27) hacen evidente que para una n dada existen generalmente varios posibles valores diferentes para l y ml . Como la forma de las Eigenfunciones depende de los tres número cuánticos , evidentemente habrá situaciones en las que dos o más Eigenfunciones diferentes correspondan exactamente al mismo Eigenvalores En . Como las Eigenfunciones describen el comportamiento del átomo, este tendrá estados con un comportamiento completamente diferente pero que, a pesar de todo, tienen la misma energía total. En física, el término que se usa para caracterizar estos fenómenos es degeneración y las Eigenfunciones correspondientes al mismo Eigenvalores se dice que son degeneradas. Existen una ligera relación con el uso común de esta palabra: “Las Eigenfunciones degeneradas no son por ello reprendibles”

La degeneración también ocurre en mecánica clásica y en la llamada mecánica cuántica antigua. En el análisis de las orbitas elípticas del átomo de Bohr- Sommerfeld, en la sección 4-10, se indicó que la energía total del átomo era independiente del tamaño del sema-eje menor de la elipse. De esta manera, el ato tiene estados con comportamientos muy diferentes, es decir en los electrones moviéndose en orbitas muy diferentes que de todas maneras tienen las misma energía total .En el movimiento planetario ocurre exactamente el mismo fenómeno. Esta degeneración clásica es comparable con la degeneración en l que ocurre en el tratamiento cuántico del átomo con un electro. En el caso del modelo Bohr-Sommerfeld o del movimiento planetario, la energía también resulta independiente de la orientación en el espacio del plano de la órbita. Esto es comparable con la degeneracion del átomo cancito en ml. Tanto en mecánica clásica como en la cuántica, la degeneración resulta de ciertas propiedades de la función de la energía potencial que describe el sistema. En el tratamiento cuántico del átomo con un electrón, la degeneración respecto de ml resulta que la energía potencial es esféricamente simétrica y la entreguita total del átomo es independiente de su orientación en el espacio. La degeneración respeto a l es una consecuencia de la forma particular en la que el potencial de Coulomb depende de r.

Se aplica al átomo un campo magnético externo, entonces su energía total dependerá de su orientación en el espacio, debido a la interacción entre la corriente en el átomo y el campo aplicado. Más adelante se estudiara este efecto y

se encontrara que la orientación en el espacio queda determinada por el numero cuántico ml . Así, en un campo magnético externo, la denervación respecto a ml se elimina y el átomo tendrá diferentes niveles de energía ,, correspondientes a diferentes valores de ml

Si el campo magnético externo se reduce en intensidad gradualmente, la dependencia de la energía total del átomo con ml se reduce a cero los niveles de energía correspondientes a diferentes valores de ml se degeneran en un solo nivel y las Eigenfunciones correspondientes se vuelven degeneradas.

Muchas propiedades atómicas de los átomos alcalinos se pueden analizar en términos del movimiento de un solo electrón “ de valencia” en un potencial esféricamente simétrico, pero que no tiene la dependencia l/r del potencial de Coulomb. La energía de este electrón su depende de l . Por lo tanto, la degeneración respecto a l , se elimina si se altera la forma conforme el potencial depende de r. Más adelante en este libro, se estudiara este fenómeno en varias ocasiones, y en ese proceso se obtendrá una visión más clara del origen de la degeneración respecto a l del potencial de Coulomb.

Para un átomo mono electrónico aislado resulta fácil encontrar mediante (7-27) cuantas Eigenfunciones degeneradas existen correspondientes a un Eigenvalor particular En. Los valores posibles de los números cuánticos para n=1,2 y 3 , se muestran en la tabla 7-1 .Por inspección de la tabla es evidente que:

1. Para cada valor de n, hay n valores posibles de l

2. Para cada valor de l, hay (2l +1) valores posibles de ml

3. Para cada valor de n hay un valor total de n2 Eigenfunciones degenerados

Bibliografía

Física cuántica - Eisberg Resnick