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185Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
* EsteartículoesproductodelproyectodeinvestigaciónRiesgo operativo: parte I,patrocinadoporelCESA,Bogotá,Colombia.VersionesdeestetrabajosepresentaronenelVISimposioNacionalyIIIInternacionaldeDocentesdeFinanzas,Bogotá,juniode2009,seleccionadacomolamejorponenciadelevento;19ºSimposiodeEstadística,Me-dellín,Colombia,juliode2009;SeminariodeEconomíadelBancodelaRepública,juniode2009,enlaAsobancaria,juliode2009,ySeminariodeInvestigacióndelCESA,abrilde2009.Elartículoserecibióel10-04-2010yseaprobóel28-09-2010.
** MagísterenIngenieríaIndustrial,UniversidaddelosAndes,Bogotá,Colombia,2000;EspecialistaenMatemáticasAvanzadas,UniversidadNacionaldeColombia,Bogotá,Colombia,2003;IngenieroIndustrial,UniversidaddelVa-lle,Cali,Colombia,1997.Profesorinvestigador,ColegiodeEstudiosSuperioresdeAdministración(CESA).Correoelectrónico:[email protected].
CuantifiCaCión del riesgo operativo en entidades
finanCieras en Colombia*
Andrés Mora Valencia**
186 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
Andrés MorA VAlenciA
Cuantificacióndelriesgooperativoenentidades
financierasenColombia
ResumenEl propósito del artículo es responder si es posible implementar modelos de medición avanzada para cuantificar riesgo operativo en instituciones financieras en Colombia. Así, se comparan dos modelos desde el enfoque de distribución de pérdidas agregadas, por medio de simulaciones de Montecarlo. Este enfo-que se basa en la teoría de riesgos de seguros para obtener la distribución de pérdidas y estimar el valor en riesgo al 99,9% en un período de un año. El pri-mer modelo, propuesto por Böcker y Klüppelberg, se obtiene con una fórmula cerrada cuando las pérdidas se ajustan a una distribución subexponencial. El otro modelo está basado en la teoría del valor extremo. Al aplicarlo a las pérdi-das por riesgo operativo del 2008 de las entidades financieras colombianas, se encuentra que la máxima pérdida esperada en el 99,9% de los mejores casos es de 3,2 mil millones de pesos, considerado “razonable” según los activos.
Palabras clave: Riesgo operativo, enfoque de distribución de pérdidas agregadas, distribución
subexponencial, teoría del valor extremo.
QuantifyingOperatingRiskinFinancial
InstitutionsinColombia
AbstRActThis article aims to determine if advanced measuring models can be implemen-ted to quantify operating risk in financial institutions in Colombia. Thus, two mo-dels are compared from the aggregate loss distribution approach, using Monte-carlo simulations. That approach is based on the insurance risk theory to obtain loss distribution and estimate the value at risk at 99.9% for a one-year period. The first model, proposed by Böcker and Klüppelberg, is obtained by using a closed formula when losses adjust to a subexponential distribution. The second model is based on the extreme value theory. Upon applying it to the Colombian financial institutions’ losses due to operating risk in 2008, the author found that the maximum expected loss in 99.9% of the best cases is COP 3,200,000,000, which is considered “reasonable” based on their assets.
Key words: Operating risk, aggregate loss distribution approach, subexponential distribution,
extreme value theory.
QuantificaçãodoriscooperacionalementidadesfinanceirasnaColômbia
ResumoO propósito do artigo é responder se é possível implementar modelos de me-dição avançada para quantificar risco operacional em instituições financeiras na Colômbia. Dessa forma, comparam-se dois modelos desde o enfoque de distribuição de perdas agregadas, através de simulações de Monte Carlo. Es-te enfoque se baseia na teoria de riscos de seguros para obter a distribuição de prejuízo e estimar o valor em risco em 99,9% em um período de um ano. O primeiro modelo, proposto por Böcker e Klüppelberg, é obtido usando uma fórmula fechada quando as perdas se ajustam a uma distribuição sub-exponen-cial. O outro modelo está baseado na teoria do valor extremo. Ao aplicá-lo às perdas por risco operacional de 2008 das entidades financeiras colombianas, encontra-se que o prejuízo máximo esperado para 99,9% dos melhores casos é de 3,2 bilhões de pesos, considerado “razoável” de acordo com os ativos.
Palavras chave: Risco operacional, enfoque de distribuição de perdas agregadas, distribuição
sub-exponencial, teoria do valor extremo.
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cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
Introducción
DeacuerdoconlaSuperintendenciaFinan-cieraensuCircular041del2007,elriesgo operativoesla“Posibilidaddeincurrirenpérdidaspordeficiencias, fallaso inade-cuaciones,enelrecursohumano,lospro-cesos,latecnología,lainfraestructuraoporlaocurrenciadeacontecimientosexternos.Estadefiniciónincluyeelriesgolegalyre-putacional,asociadosatalesfactores”;peroladefinicióndeBasileaIIexcluyeelriesgoestratégicoyelreputacional.Generalmente,enlosbancossepresentariesgooperativoporelmalfuncionamientodelasunidadeseneltrabajodiariosevuelvemásunacuestióndecontroldecalidad,quecualquierotracosa.
Enelpunto3.2.4.3delamismaCircularseexigequelaunidadderiesgooperativodelasentidadesdesarrollelosmodelosdemedicióndelriesgooperativo;noobstante,sindatosdepérdida,esimposibletenerunmodelodemedición,yparaelloserecomiendaunpla-zodeentretresycincoañosparaconstruirbasesdedatosdepérdidas(puestoquelama-yoríadeloseventosqueoriginanpérdidaenriesgooperativosonmuypocofrecuentesy,porlotanto,unperíodocortoderegistrodedichoseventosnogeneraríaunaestimaciónconfiabledelriesgo).Sinembargo,elComitédeBasilearecomiendausarescenarioscomoelmétodoprincipalparamedirriesgossilosdatoshistóricossoninsuficientes.
ElComitédeBasileaproponetresenfoquesparacalcularlosrequerimientosdecapitalporriesgooperativo:(1)enfoquedeindi-cadorbásico(oBasic Indicator Approach[BIA]),(2)enfoqueestándar(Standardized
Approach[SA])y(3)enfoquedemediciónavanzada(Advanced Measurement Appro-ach[AMA]).LasregulacionesdelComitédeBasileaparecenestarencaminadasaquelosbancosadaptenelenfoqueAMAdentrodesussistemasdegestiónderiesgooperati-vo.Deestamanera,secreequeenelfuturolagranmayoríadelasentidadesfinancierasincorporaránlosmodelosAMAy,porende,esteseráelenfoqueestándarparalagestiónderiesgooperativo.Actualmente,losenfo-quesBIAySAsonlosmásllamativos,porrequerirmenorcostodeinversión;peroenelfuturoperderánsurelevancia,debidoaquenocumplencontodoslosrequisitosdeunaadecuadagestiónderiesgos(Krauja-lis,KarpavičienėyAurelijus,2006).OtraventajadelenfoqueAMAesquepareceserqueelcapitalregulatorioestimadoresultasermenorqueeldelosotrosdosenfoques(Moosa,2007).
Sinembargo,implementarelenfoqueAMArequierecumplirciertascondiciones.SegúnelComitédeBasilea,unaentidadfinancieraquequieraimplementarunmodeloAMAes-táobligadaaseguirlossiguientesrequisitos:(1)lajuntadirectivaolagerencia,depen-diendodesusfunciones,estarinvolucradaenelsistemadeadministraciónderiesgooperativo,y(2)lasentidadesfinancieras,te-nerunsistemadeadministración,elcualesconceptualmenteimplementadoconintegri-dad.Asímismo,contarconlosrecursossufi-cientesparaelusodelenfoqueenlaslíneasdenegocio,asícomolosprocedimientosdecontrolyauditoría.
DentrodelosmodelosAMAsedescribentresmetodologías:enfoquedemedicióninterna
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Andrés MorA VAlenciA
(Internal Measurement Approach [IMA]),enfoquededistribucióndepérdidas(Loss Distribution Approach [LDA])ycuadrosdemando(scorecards).EstedocumentosecentraenelmodeloLDAparacalcularries-gooperativoynotrataloselementosadicio-nalesparaunaadecuadagestiónderiesgooperativo.
Estamosinteresadosencalcularmedidasderiesgoparaestimaruncapital regulatoriobasadoenunvalorenriesgo(VaR)al99,9%paraunperíododeunaño.Muchosbancosenelmundocalculanmedidasderiesgoconunaconfiabilidaddeentreel99,96%yel99,98%(Jobst,2007).BasileaIIreconocesietetiposderiesgosyocholíneasoperativasparalosbancos.Losriesgosoperativos(olostiposdepérdida)seclasificanasí:
• Fraudeinterno.• Fraudeexterno.• Relacioneslaborales.• Clientes.• Dañosaactivosfísicos.• Fallastecnológicas.• Ejecuciónyadministracióndeprocesos.
Yclasificalaslíneasoperativas(olíneasdenegocios)delasiguientemanera:
• Finanzascorporativas.• Emisión,negociaciónyventa.• Bancapersonalyminorista.• Bancacomercial.• Compensación,liquidaciónyregistro.• Serviciosycustodiadevalores.• Administracióndeactivos.• Serviciosdecomprayventa.
Losanexos1y2describencondetallelostiposderiesgosoperativos(TR)ylaslíneasoperativas(LO),respectivamente,deacuer-doconlaregulacióncolombiana,aunquenonecesariamenteunaentidadfinancieradebacontarcontodaslaslíneasoperativasmen-cionadasenlosanexos.
EstedocumentodescribedosmetodologíasdecálculoderiesgooperativoapartirdemodelosLDA.Deestamanera,elartícu-losedivideen:sección1,quedescribelosmodelosAMA,mientraslasección2pre-sentalosestudiospreviosparaimplemen-tarmodelosAMA.Lasección3introducelosmodelosLDA,uncasoespecíficodelosmodelosAMA,ypresentalosdosmétodosparaestimarelvalorenriesgooperacional(OpVaR).Enlasección4seencuentranlassimulacionesqueusanlosmétodosdescritosenlasecciónanterior,apérdidasagregadascuandolasseveridadessedistribuyensegúnelmodelodePareto.Enlasección5seapli-caelmétododemáximaverosimilituddeWeissman(MLE-W)paraestimarelOpVaRcondatosdepérdidasporriesgooperativoreportadosporlasinstitucionesfinancierasenColombiaparael2008.Finalmenteenlaúltimasecciónseconcluye.
1. Modelos de enfoque de medición avanzada
LosmodelosAMAsebasanenelcálculointernodeunaentidadfinancieradelafre-cuenciaylaseveridad(montodepérdida)poruneventoderiesgooperativo.Losmo-delosLDAcombinanlasdistribucionesdefrecuenciayseveridadparaconstruiruna
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cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
distribucióndepérdidastotalesy,conbaseenestadistribución,calcularlamedidaderiesgorequeridacomouncuantildedichadistribución.Lasestimacionesdepoten-cialespérdidasporriesgooperativobajoelenfoqueAMAestánsujetasalassiguientescondiciones:
• Datosinternos.• Datosexternos.• Análisisdeescenarios.• Entornodelnegocioyfactoresdecontrol
interno.
Jobst(2007)resumelostresenfoquesquesevanausarenlacuantificacióndelriesgooperativoy,comosemencionó,esteartículotrataunodelosmétodosdelenfoqueAMA.Comolasdistribucionesdepérdidaporries-gooperativoexhibencolaslargas,elcálculodelVaRtradicionalsequedacortoenlame-dicióndealtoscuantilesendistribucionesdeestetipo.Paraelloseutilizalateoríadelvalorextremo,quecorrigelasimperfeccionesdeunVaRtradicional.Talteoría1esunaherra-mientaestadísticaquedesarrollatécnicasymodelosparadescribirlosresultadosinespe-rados,anormalesoextremos,comoeventosderiesgooperativo.
2. Estudios previos
Moosa(2007)resumeestudiosempíricosderiesgooperativo.Paratratarelproblemadedatos,AllenyBali(2004)estimaronunmo-
1 UnaampliadescripcióndelateoríadelvalorextremosepresentaenEmbrechts,KlüppelbergyMikosch(1997);McNeil,FreyyEmbrechts(2005);BalkemayEmbrechts(2007);Beirlant,Goegebeur,SegersyTeugels(2004);ReissyThomas(1997).
deloderiesgooperativoparainstitucionesfinancierasusandoseriesdetiempomensua-lesderetornosdeaccionesdesde1973hastael2003.Conellorepresentaronelmodeloatravésdeunmodeloderegresión.Lasprin-cipalesvariablesexplicativasrepresentanriesgocrediticio,riesgodetasadeinterés,riesgocambiarioyriesgodemercado.Porconsiguiente,elresiduodeestemodelore-presentaelriesgooperativo.Losautoresen-contraronquelasinstitucionesfinancierastienenconsiderablesgradosdeexposiciónalriesgooperativoresidualquenohabíansidogestionadoshastaesemomento.
EndeFontnouvelle,DeJesus-RueffyRo-sengren(2006),lacantidaddecapitalparasoportarelriesgooperativo,amenudo,exce-deráelcapitalparariesgodemercadoysusestimadosseránconsistentesconelniveldecapitalquealgunasinstitucionesfinancierasdegrantamañoestánasignandoparaelries-gooperativo(entredosysietemildemillo-nesdedólares).Deestamanera,semuestraquelaspérdidasporriesgooperativosonunafuenteimportantederiesgoparalosbancos.Losautorestambiénencontraronqueladis-tribucióndepérdidasobservadasvaríasig-nificativamenteporlíneaoperativa.Tambiénconcluyeronquetrabajarcondatosinternosyexternosdeeventosrarosdegranimpactopodríamejorarsignificativamentelosmode-losderiesgooperativodelosbancos.Des-deelpuntodevistametodológico,seaplicala técnicapicossobreelumbral(POT)2adatosdefuentescomoOpRisk Analyticsy
2 DeFontnouvelleetal.(2006)argumentanelusodees-tatécnicabasándoseelteoremadePickands-Balkema-deHaan,segúnelcualladistribucióndepérdidasqueexcedeunumbrallosuficientementealtoconvergea
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Andrés MorA VAlenciA
OpVantage,afindeestimarlosparámetrosycuantilesdelasdistribucionesdelasseve-ridades.
EndeFontnouvelle,RosengrenyJordan(2004)seusaronlosdatosdepérdida(The 2002 Operational Risk Loss Data Collection Exercise [LDCE])deseisgrandesbancosyseencontróquelosdetiposdeevento(otambiénconocidoscomotiposdepérdida)sonbastantesimilaresatravésdelosbancosanalizados.Además,losresultadossoncon-sistentesconlascifrasdecapitaleconómicoreveladasporalgunosbancosdegranesca-la.Ensuanálisisdescriptivodelosdatos,estosdatosdepérdidaparalamayoríadelaslíneasoperativasytiposdepérdidapuedenserbienmodeladospordistribucionestipo-Pareto(véaseDefinición6),mientrasqueparaelresto,laspérdidasexhibencolasmuylargas.
Losautoresajustandistribucionesdeseve-ridadparamétricaalosdatosdepérdidaportipodeeventoylíneaoperativa,ycomoestasdistribucionesexhibencolaslargas,utilizanlatécnicadelateoríadelvalorextremoba-sadoenregresión3,propuestoporHuisman,Koedijk,KoolyPalm(2001),paraestimarlosparámetrosdeladistribuciónymedidasderiesgo.Paramodelarlafrecuenciadelaspérdidasporriesgooperativo, losautoresconsideraron ladistribuciónPoissony ladistribuciónbinomialnegativa.Finalmente,
unadistribucióngeneralizadadePareto(GPD).Laspérdidasqueusansuperanelmillóndedólares.
3 DeFontnouvelleetal.(2004)sustentanelusodeestatécnicaparareducirelsesgoquesepresentaalestimarlosparámetrosdeladistribuciónconlateoríadelvalorextremocuandolamuestradedatosespequeña.
afindeencontrarlafuncióndedistribucióndepérdidas,combinaronladistribucióndefrecuenciasconladeseveridades,mediantesimulaciónMonteCarlo,ydeestamaneracalcularonelcapitaleconómicocomouncuantilalto(puedeseral99,9%)deestadis-tribución.
Moscadelli(2004)tambiénanalizólosdatosdeLCDEycomparólasensibilidaddeanáli-sistradicionalescomúnmenteutilizadosenelcampodeactuaciónconmétodosdevaloresextremosparaestimarlasdistribucionesdeseveridades.Elautorhallóquelateoríadeva-loresextremossedesempeñamejorquelosmétodostradicionalesentodaslasocholí-neasoperativas.Otroresultadoimportanteesquelaestimacióndelíndicedevalorextremodelasdistribucionesdeseveridadesparatreslíneasoperativasessignificativamente(al95%)mayorqueuno.Estasdistribucionesexhibencolasextremadamentelargasysonconocidascomomodelosdemediainfinita(infinite mean models)ysusproblemashansidoanalizadosydiscutidosporNešlehová,Chávez-DemoulinyEmbrechts(2006),espe-cialmenteenloconcernientealanosubadi-tividaddelVaR,estoes,queelVaRpuedeguiaracargosdecapitalabsurdamentealtosenestoscasos(modelosdemediainfinita).Ensusejemplos,losautoresmostraronqueelVaRnoessubaditivoparafuncionesdedis-tribuciónconcolasextremadamentelargasconíndicesdevalorextremomayoresqueuno,severidadesindependientesyparaunpercentilsuficientementegrande.
Adicionalmente,siseusaunamedidaco-herentealriesgo,quecumpleelaxiomadesubaditividad(comoelconditional tail ex-
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cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
pectation4),estamedidanoestádefinidaparalosmodelosdemediainfinita.EnunestudiosimilaraldeMoscadelli,Wei(2006)utilizódatosdelabaseOpVarparacalcularelriesgooperativoagregadoenlascolas,implemen-tandounenfoquebayesiano,afindeestimarladistribucióndefrecuencias,yladistribu-cióndelasseveridades,introduciendounacovariación.Weiconcluyeque“laprincipalfuerzadelrequerimientodecapitaleslacoladeladistribuciónyeltamañodeunbanco”(2006,p.3).AcontinuaciónsepresentanlosmodelosLDA,elcentrodeestudiodeesteartículo.
3. Enfoque de distribución de pérdidas
LosmodelostipoLDAseoriginanenlateo-ríaderiesgodeseguros.PrimeroserevisaelmodeloestándarLDA,quecomprendelosmodelosdePoissoncompuestoybinomialnegativo,comocasosespeciales.Dadoquelasseveridades tienendistribucionesconcolaslargas,seusaelresultadodeBöckeryKlüppelberg,dondelosautoresobtienenunaaproximaciónaunaformacerradadelOpVaR.LosmodelosLDAsecomponendetreselementosprincipalmente:(a)elcompo-nentedefrecuencia,esdecir,elnúmerodepérdidas;(b)elcomponentedeseveridad,esdecir,lacantidaddelaspérdidasindividua-les,y(c)laspérdidastotales,queseobtienede“componer”ladistribucióndelafrecuen-ciaconladelaseveridad.Lassiguientesde-
4 Conditional tail expectation (CTE)al99,9%secalculacomoCTE99,9%=E(L |L>VaR99,9%),dondeE(.)eselvaloresperadoyL.representalaspérdidas.
finicionesyejemplossontomadosdeBöckeryKlüppelberg(2005).
Definición 1 (estándar LDA):
• Elprocesodeseveridad:lasseveridades(Xk)k∈Nsonvariablesaleatoriaspositivasindependienteseidénticamentedistribui-das(iid)quedescribenlamagnituddecadaeventodepérdida.
• Elprocesodefrecuencia:elnúmeroN(t)deeventosdepérdidaenelintervalodetiempo[0,t]parat≥0esaleatorio.Elproceso de recuentoresultante(N(t))t≥0esgeneradoporunasucesióndepuntos(T(n))n≥1devariablesaleatoriasnonega-tivasquesatisfacen:
0≤T1≤T2≤… y N(t)=sup{n≥1:Tn≤t},t≥0
• Elprocesodeseveridadyelprocesodefrecuenciaseasumenindependientes.
• Elprocesodepérdidaagregada:lapérdi-daagregadaS(t)altiempotconstituyeunproceso:
S t X tii
N t
( )= ≥=
( )
∑1
0, .
EstadefiniciónnorequierequelamediaolavarianzadelasseveridadesXkseafinita;Moscadelli(2005)encuentraquedistribu-cionesusadasparamodelarseveridadesenriesgooperativoexhibencolasmuylargas,dondetalesmomentosnosepuedencalcular.
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Andrés MorA VAlenciA
Ejemplo 1 (Poisson-LDA y binomial-nega-tiva-LDA):
• ElPoisson-LDAesunaestándarLDA,donde(N(t))t≥0esunprocesodePoissonhomogéneoconintensidadλ>0,enpar-ticular:
P N t n p n etn
ntt
n
( )=( )= ( )=( )
∈−λ λ
!, N0
P N t n p n etn
ntt
n
( )=( )= ( )=( )
∈−λ λ
!, N0
• Labinomial-negativa-LDAesunaestán-darLDA,donde(N(t))t≥0estádadoporunprocesobinomialnegativoqueparaβ,γ>0,satisface:
P N t n p nnn t
ttt( )=( )= ( )=
+ −
+
+
γ ββ β
γ1
∈n
n, N0
P N t n p nnn t
ttt( )=( )= ( )=
+ −
+
+
γ ββ β
γ1
∈n
n, N0
LadistribuciónbinomialnegativaesunamezclagammadeunadistribucióndePois-
son,esdecir,estapuedeversecomounadis-tribucióndePoissondondeelparámetrodeintensidadλesunavariablealeatoriaquesedistribuyegamma.N0denotaelconjuntodelosenterosnonegativos.
Distribuciones de severidad subexponen-ciales (S).Porlogeneral,lasdistribucionesdepérdidaenriesgooperativoexhibenco-laslargas.
AlgunasdeestasdistribucionessemuestranenelCuadro1ypertenecenalaclasella-madadistribuciones subexponencialesysedenotacomoF∈S(véaseelapéndiceA3deEmbrechtsetal.,1997,paramásdetalles).OtrosejemplosdeestasdistribucionessonBurr,BenktandertipoIyIIylog-gamma.Estasdistribucionesobtienensunombre,de-bidoaquesuscolasdecaenmáslentamentequelasdeunaexponencial.ξesconocidoco-moelparámetrodeíndicedevalorextremo.
Lapropiedaddelasdistribucionessubexpo-nencialesesquelacoladelasumadenva-
Cuadro 1
Distribuciones de severidad más populares
Nombre Función de distribución Parámetros
Lognormal F x x( )= −
Φ
ln µσ
μ ∈ R, σ > 0
Weibull F x x( )= − −
−
1 expθ
τ
θ > 0, 0 < τ < 1
Pareto F x x( )= − +
−
1 11
θ
ξ
ξ, θ > 0
Nota:Φeslafuncióndedistribuciónnormalestándar.
Fuente:tomadodeKlüppelbergyBöcker(2005).
193Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
riablesaleatoriassubexponencialestieneelmismoordendemagnituddelacoladelava-riablemáximaentreellas.Másformalmente:
limPr
Pr max , ,, .
x
n
n
X X xX X x
n→∞
+ + >( )>( )( )
= ≥1
1
1 2
para alg˙ n
limPr
Pr max , ,, .
x
n
n
X X xX X x
n→∞
+ + >( )>( )( )
= ≥1
1
1 2
para alg˙ n paraalgún
Segúnesto,lasumadenseveridadesiidesprobablementemásgrande,debidoaqueunodelostérminosdelasumaesgrandeo,enotraspalabras,enriesgooperativo,gran-despérdidassedebenprincipalmenteaunagranpérdidaindividual,másquealaconse-cuenciadepérdidasindependientespequeñasacumuladas.Algunosautoresdenominanes-tehechocomoelparadigmadequeunagranpérdidacausalaruina:“One big loss causes the ruin paradigm”.
Entre tanto, la distribución de la pérdida agregadaestádadapor:
G x S x
p n S x N t n
p n F x
t t
tn
t
tn
n
( ) = ≤( )
= ( ) ≤ ( )=( )
= ( ) ( )
=
∞
=
∞∗
∑
∑
Pr
Pr |0
0
G x S x
p n S x N t n
p n F x
t t
tn
t
tn
n
( ) = ≤( )
= ( ) ≤ ( )=( )
= ( ) ( )
=
∞
=
∞∗
∑
∑
Pr
Pr |0
0
G x S x
p n S x N t n
p n F x
t t
tn
t
tn
n
( ) = ≤( )
= ( ) ≤ ( )=( )
= ( ) ( )
=
∞
=
∞∗
∑
∑
Pr
Pr |0
0
G x S x
p n S x N t n
p n F x
t t
tn
t
tn
n
( ) = ≤( )
= ( ) ≤ ( )=( )
= ( ) ( )
=
∞
=
∞∗
∑
∑
Pr
Pr |0
0
DondeF(x)=Pr(Xk ≤x)es lafunciónde
distribucióndeXk,yF x X xni
i
n∗
=
( )= ≤
∑Pr
1
es
laconvolucióndeF.Paralamayoríadelasdistribucionesdeseveridadesyfrecuencia,Gtnopuedesercalculadademaneraanalí-tica.Existenmétodosdeaproximaciónparasolucionaresteproblema,comoelalgoritmo
recursivodePanjer,simulaciónMontecarloylatransformadarápidadeFourier.
UnaalternativaparaestimarelOpVaR,queestádadoporcuantilesaltosdeladistribu-cióndepérdidaagregadaGt,esconcentrar-seenlacoladerechadeestadistribuciónenlugardeladistribuciónentera.Unresultadoimportanteenactuaríaesqueparaunmo-deloestándarLDAconseveridadessubex-ponencialesbajocondicionesdébilesdere-gularidadyparaunvalordet >0fijo(véaseteorema1.3.9deEmbrechtsetal.,1997)setieneque:
G x E N t F x xt ( ) ( )( ) ( ) →∞~ , , (1)
DondeE(N(t))eselvaloresperadode lafrecuenciadepérdidas,yF x F x( )= − ( )1 yG x G x( )= − ( )1 sonlasdistribucionesdelascolasdelasseveridadesydelapérdidaagre-gadarespectivamente.Elsímbolo“~”signi-ficaqueelcocienteentreelladoderechoyelladoizquierdodelaecuación(1)tiendeaunocuandoxtiendeavaloresmuygrandes.
Sehamostradoquelarelaciónen(1)secum-plecuandoseusanmodelosdePoisson-LDAybinomial-negativa-LDA(véanseejemplos1.3.10y1.3.11,deEmbrechtsetal.,1997).Estos resultadosson importantespara laestimacióndelOpVaR,comoseverámásadelante.
Ejemplo 2 (modelo compuesto Poisson-subexponencial [SCP]). Esteesunmodelodepérdidaagregadadondeladistribucióndelaseveridadessubexponencialyladis-tribucióndelasfrecuenciassigueunprocesohomogéneodePoisson.Estoes:
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Andrés MorA VAlenciA
• Elprocesodeseveridad:lasseveridades(Xk)k∈Nsonvariablesaleatoriaspositivas(iid)confuncióndedistribuciónsubex-ponencialquedescribenlamagnituddecadaeventodepérdida.
• Elprocesodefrecuencia:elnúmeroN(t)deeventosdepérdidaenelintervalodetiempo[0,t]parat≥0esaleatorio,don-de(N(t))t≥0esunprocesohomogéneodePoissonconintensidadλ>0:
P N t n p n etn
ntt
n
( )=( )= ( )=( )
∈−λ λ
!, N0
P N t n p n etn
ntt
n
( )=( )= ( )=( )
∈−λ λ
!, N0
• Elprocesodeseveridadyelprocesodefrecuenciaseasumenindependientes.
• Elprocesodepérdidaagregada:lapérdi-daagregadaS(t)altiempotconstituyeunproceso:
S t X tii
N t
( )= ≥=
( )
∑1
0, .
3.1 Estimación del OpVaR: método de Böcker y Klüppelberg (BK)
UsandoladefinicióndelVaRcomocuantil(véaseDefinición2)ylarelaciónen(1),Böc-keryKlüppelberg(2005)obtuvieronunafór-mulaanalíticaparaestimarelOpVaRenmo-delosLDA,quesemuestraenelTeorema1.
Definición 2 (VaR).SupongaqueGtes ladistribucióndepérdidaagregada.EntonceselVaRaltiempotconunaconfiabilidadαse
definecomoelα-cuantildeladistribucióndepérdida:
VaR t tGα α α( )= ( ) ∈( )← , ,0 1
DondeG x R G xt t← ( )= ∈ ( )≥{ }α αinf : ,0<α
<1,eslainversageneralizadadeGt.SiGtescontinuaentoncesVaR t tGα α( )= ( )−1
Usando(1)losautoresobtuvieronunafór-mulaasintóticaparaOpVaR.
Teorema 1 (OpVaR analítico).ConsidereunmodeloestándarLDAparaunt>0fijoyunaseveridadsubexponencialconfuncióndedis-tribuciónF.Asumaademásqueelestimadodecolaen(1)secumple.EntonceselVaRt (α)satisfacelaaproximación:
VaR FE N t
ot αα
α( )= −−( )( )
+ ( )( )
→← 1 1 1 1 1, .
VaR FE N t
ot αα
α( )= −−( )( )
+ ( )( )
→← 1 1 1 1 1, . (2)
LademostracióndeesteteoremasepuedeencontrarenKlüppelbergyBöcker(2005).DondeF←eslainversageneralizadadeF,E(N(t))eselvaloresperadodelafrecuenciadepérdidasyαeslaprobabilidadalaquesequierecalcularelVaR.Elteorematienedosresultadosimportantes:primero,elOpVaRanivelesaltosdeconfiabilidadsólodependedelacolaynodelcuerpodeladistribucióndelapérdidadeseveridades.Segundo, lafrecuenciaentraen(2)amaneradevalores-perado;enconsecuencia,lasobredispersiónmodeladaporladistribuciónbinomialnega-tivanotieneefectoasintóticoenelcálculodelOpVaR.
195Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
Elresultadoobtenidoen(2)sedaparaunaclasegeneraldemodelosLDA.Afindeobte-nerunaaproximacióndeprimerordenparaelOpVaR,bastacombinar(2)conlacoladeladistribuciónsubexponencialdelaseveridadF.ElCuadro2muestraaproximacionesdeprimerordendelVaRt(α)conalgunasfuncio-nessubexponencialesdeseveridad.
Cuadro 2
Aproximación de primer orden del VaRt(α) cuando α → 1 para la distribución de pérdida
agregada con distribuciones de severidad más comunes*
Función VaRt(α)
Lognormal exp µ σα
−−( )( )
−Φ 1 1E N t
Weibull θα
τ
lnE N t( )( )−
1
1
Pareto θα
ξ
E N t( )( )−
−
11
*Siseasumeque ladistribucióndefrecuenciassigueunprocesohomogéneodePoissonE(N(t))=λt,ysiesbinomialnegativa,E(N(t))=γt/β.
Fuente:tomadodeKlüppelbergyBöcker(2005).
Lassiguientesdefinicionessepuedenen-contrarenEmbrechtsetal.(1997)ysondeimportanciaparaenunciarelTeorema2,másadelante.
Definición 3 (función de variación lenta).Unafunciónpositiva,Lebesgue-medibleLen(0,∞)esdevariaciónlentaen∞si:
lim , .u
L uxL u
x→∞
( )( )= >1 0
Ejemplosdefuncionesdevariaciónlentasonlasconstanteslogarítmicas,potenciasdelo-garitmosyfuncionesdelogaritmositerados.
Definición 4 (funciones de variación regu-lar).Seafunafunciónpositivamedible.Siparaalgúnρ ∈R:
lim , ,t
f xtf t
x x→∞
−( )( )= >ρ 0 (3)
Entoncesfsedenominadevariaciónregularconíndiceρ.Notodaslasfuncionesdevaria-ciónregularsonfuncionessubexponenciales,porejemplo,ladistribucióndeWeibulldecolalargayladistribuciónlog-normal.
Definición 5 (colas de distribución de variación regular).SeaXunavaria-ble aleatoria con cola de distribuciónF x F x X x( ) = − ( )= >( ): Pr1 para x > 0. SiparaF larelación(3)sedaparaalgúnρ≥0,entoncesXsedenominavariaciónregularconíndice–ρysedenotaporF RV∈ −ρ
.Lacantidadρsedenominatambiénelíndice de la coladeF.
SedefineRV RV:=≥
−
ρρ
0
Teorema 2 (OpVaR analítico para el modelo SCP).Considereelmodelodepérdidaagre-gadaSCP:
• SiF S RV RV∈ ∩ ∪( )∞ entoncesVaRt(α)estáasintóticamentedadopor:
VaR F
tt ααλ
α( ) −−
→←~ , .1 1 1
196 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
Andrés MorA VAlenciA
• LacoladeladistribucióndeseveridadperteneceaRV-ρparaρ>0,esdecirF x x L x( )= ( )−ρ parax≥0yparaalgunafuncióndevariaciónlentaLsiysólosi:
VaR t Lt α
λα α
αρ
( )−
−
→~ , .
11
11
1
Donde Lesunafuncióndevariaciónlenta.
LademostracióndeesteteoremasepuedeencontrarenBöckeryKlüppelberg(2006).Elproblemaquesurgealaplicarherramien-tasdelateoríadelvalorextremoesqueendatosempíricos,porlogeneral, Lnoseco-noce;perosiasumimosunafuncióndedistri-buciónparamodelarseveridades,lafuncióndevariaciónlentasíseconoce.ElsiguienteejemploestomadodeBöckeryKlüppelberg(2005).
Ejemplo 3 (modelo Pareto-LDA).Elmode-loPareto-LDAesunmodeloestándarLDAdadoen laDefinición1,conseveridades(Xk)k∈NdistribuidassegúnelmodelodePare-to,esdecir,paraparámetrosξ,θ>0:
F x x x( )= +
>−
1 01
θ
ξ
, .
ComoresultadodelTeorema1:
VaRE N t
t α θα
α
ξ
( )( )( )−
→~ , .
11(4)
Enrealidad,cualquierdistribucióndeseveri-dadquesatisfaceF x x( ) ( )−~ θ
ξ1 cuandox→∞seobtienedelaaproximacióndadaen(4).
Acontinuaciónsepresentaotrametodolo-gíaalternaparacalcularelriesgooperativobasándoseenherramientasdelateoríadelvalorextremo.
3.2 Estimación del OpVaR: método de máxima verosimilitud de Weissman
Otraalternativaesestimarcuantiles,enes-pecialparariesgooperativo,mediantelateo-ríadelvalorextremo.Existendosclasesdemodelosparatratarvaloresextremos:block maxima(máximosporbloque)yPOT.Esteúltimoeslatécnicamásusadaparaanalizarlacoladeunafuncióndedistribución.Lasdostécnicassebasanenmodelosdistribucio-nalesobtenidosapartirdeteoríasasintóticas.
Elproblemaconestosmétodoseslaestima-cióndelosparámetrosdelasdistribucioneslímites,enparticularelparámetrodeforma(tambiénllamadoelíndicedevalorextremo[ξ]),elcualdeterminaelcomportamientodelosvaloresextremos.DeterminarelumbralenelmétodoPOTconllevauntrade-offen-tresesgoyvarianzaenlaestimacióndelosparámetrosdelafuncióndedistribuciónqueseasumeparaajustarlosvaloresextremos.
Elusarmétodosbasadosencuantiles(porejemplo,elestimadordeHill)tambiénde-pendedelaelecciónapropiadadeestadís-ticosordenadossuperiores.Elegirelumbralóptimo(enelmétodoPOT)conllevaalmis-
197Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
moproblemadeelegirelnumeroóptimokdeestadísticosordenadossuperiores(enelestimadordeHill).Siseutilizaelmétodoblock maxima,elsesgosepresentaconblo-quesmuypequeñosyvarianzaenelcasocontrario.
Deestamanera,laestimacióndelíndicedevalorextremoseconvierteenunproblemaimportanteparacalculardemaneraconfiablecuantilesaltoscomounamedidaderiesgo,siguiendolateoríadelvalorextremo;sinem-bargo,laseleccióndek(odelumbral)paraestimarelíndicedevalorextremonoesunatareafácil.EnMora(2009)setrataestepro-blemaysepresentaunanálisiscomparativodealgunosestimadoresdelíndicedelvalorextremo.Enestasecciónseutilizaelméto-doMLEparaunmodeloderegresiónexpo-nencial(ERM),yasíobtenerunestimadodelíndicedeladistribucióndepérdidasyelestimadordeWeissman,afindecalcularelcuantilaltocomomedidadeOpVaR.
Beirlant,Dierckx,GoegebeuryMatthys(1999)introducenunmodeloderegresiónexponencialbasándoseenlog-espaciadosentreestadísticosordenadosconsecutivosyextremosdeunadistribucióntipoPareto,afindereducirelsesgoquesepresentaenlaestimacióndelíndicedevalorextremoenelgráficodeHill.
Definición 6 (distribuciones tipo Pareto).UnadistribucióntipoParetoodecolaslargasesunadistribuciónFquesatisface:
1 01− ( )= ( ) →∞ >−F x x L x xξ ξ, , ,
DondeLesunafuncióndevariaciónlentaparatodox>0.LasdistribucionestipoParetotambiénsedenominandistribuciones con co-la de Pareto.Ejemplosdeestasson:gammainversa,tdeStudent,log-gamma,FyBurr.
Encuantoalaseleccióndek,existenvariosmétodosadaptativosparaescoger—véase,porejemplo,lasección4.7deBeirlantetal.(2004)ylasreferenciasallícontenidas—.Unmétodopuedeserminimizarelerror cuadrático medio asintótico(AMSE,porsusiglaeninglés)delestimadordeHill,queestádadopor:
AMSE A ABias
kb
k n
H
k n
H
k n
H
n k
ξ ξ ξ
ξρ
, , ,
,
var( ) ( ) ( )( ) = ( )+ ( )
= +−
2
1
2
.
kk
bk k
k n k
k
= +−
>
arg min;
,
10
2 2
1ξ
ρ ,
x b r
y X x knn k n k n
H= + +
++
−
( )log log ,, ,ξ
11
−++
−log , log ,
kn
Xn k n
11
Q p X kn pn k n k n
H� �1 11
−( ) = +++( )
−
( )exp log log, ,ξ
=++( )
= −−
( )
X kn p
k nn k n
k nH
,
,
, , ,11
1 1ξ�
… ..
Dondeξeselíndicedevalorextremo(tam-biénconocidocomoelparámetrodeforma),ρesconocidoenlateoríadelvalorextremocomoelparámetrodesegundoorden,keselsubíndicedelestadísticodeordenybesunafuncióntalqueb(x)→0cuandox→∞.Laideaesestimarelk óptimomedianteelesti-madordeHill(véase,porejemplo,lasección4deBeirlantetal.,1999),donde:
AMSE A ABias
kb
k n
H
k n
H
k n
H
n k
ξ ξ ξ
ξρ
, , ,
,
var( ) ( ) ( )( ) = ( )+ ( )
= +−
2
1
2
.
kk
bk k
k n k
k
= +−
>
arg min;
,
10
2 2
1ξ
ρ ,
x b r
y X x knn k n k n
H= + +
++
−
( )log log ,, ,ξ
11
−++
−log , log ,
kn
Xn k n
11
Q p X kn pn k n k n
H� �1 11
−( ) = +++( )
−
( )exp log log, ,ξ
=++( )
= −−
( )
X kn p
k nn k n
k nH
,
,
, , ,11
1 1ξ�
… ..
ˆ, ˆ ˆξ ρb y denotanlosestimadoresdemáximaverosimilituddeξ,byρrespectivamente,ysonobtenidosmedianteelmétodoMLEparaelmétododeregresiónexponencial.
198 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
Andrés MorA VAlenciA
Sobreelestimador de Weissman,asumaquelalinealidadenelgráficodecuantilesdePa-reto(véasesección1.2.1deBeirlantetal.,2004)persistedesdelaskobservacionesmásgrandes(hastainfinito),entoncespodemosusarlalíneaconecuación:
AMSE A ABias
kb
k n
H
k n
H
k n
H
n k
ξ ξ ξ
ξρ
, , ,
,
var( ) ( ) ( )( ) = ( )+ ( )
= +−
2
1
2
.
kk
bk k
k n k
k
= +−
>
arg min;
,
10
2 2
1ξ
ρ ,
x b r
y X x knn k n k n
H= + +
++
−
( )log log ,, ,ξ
11
−++
−log , log ,
kn
Xn k n
11
Q p X kn pn k n k n
H� �1 11
−( ) = +++( )
−
( )exp log log, ,ξ
=++( )
= −−
( )
X kn p
k nn k n
k nH
,
,
, , ,11
1 1ξ�
… ..
Ancladoenelpunto −++
−log , log ,
kn
Xn k n
11 .
Seax=–logpparaobtenerelestimadodeQ(1–p):
AMSE A ABias
kb
k n
H
k n
H
k n
H
n k
ξ ξ ξ
ξρ
, , ,
,
var( ) ( ) ( )( ) = ( )+ ( )
= +−
2
1
2
.
kk
bk k
k n k
k
= +−
>
arg min;
,
10
2 2
1ξ
ρ ,
x b r
y X x knn k n k n
H= + +
++
−
( )log log ,, ,ξ
11
−++
−log , log ,
kn
Xn k n
11
Q p X kn pn k n k n
H� �1 11
−( ) = +++( )
−
( )exp log log, ,ξ
=++( )
= −−
( )
X kn p
k nn k n
k nH
,
,
, , ,11
1 1ξ�
… ..
Dondepesunnúmeromuypequeñoentre0y1.ParaseleccionarelkóptimoseminimizaelAMSEconelmétodoMLEparaelmétododeregresiónexponencial.
4. Simulación
EstasecciónpresentasimulacionesMonte-carlodepérdidasporriesgooperativoutili-zandolosdosmétodos5vistosparacalcular
5 ParaelmétodoBKseutilizalafórmula(4)yparaMLE-WseutilizanlosscriptsenS-PLUS,elaboradosporBeirlantetal.(2004),ysepuedenencontrarenhttp://ucs.kuleuven.be/Wiley/index.html(capítulo4).Losarchivosqueseutilizaronfueron:Hill2oQV.SSCparaestimarel índicedevalorextremo,medianteelMLEparaelmodeloderegresiónexponencialy
OpVar(BKyMLE-W)paramodelosPare-to-LDA(comoenelEjemplo3),esdecir,laseveridadsedistribuyesegúnelmétododeParetoconparametrosξ=0,6,1y1,7ylafrecuenciadeloseventosdepérdida(enes-tassimulaciones)sedistribuyesegúnPoissonconunparámetroλiguala100.
4.1 Caso 1
Estecasoesunasimulaciónde100.000reali-zacionesdeunmodeloPareto-PoissonLDAconλ=100paraPoisson.LosparámetrosdeladistribucióndeParetosonθ =1yξ =0,6(1/1,7)(Gráfico1yCuadro3).
Cuadro 3
Estimación de OpVaR para los datos simulados del Gráfico 1
Método 99,8% 99,85% 99,9% 99,95%
Método BK 581 688 873 1.313
Método MLE-W 813 922 1.101 1.491
Cuantil empírico 824 923 1.091 1.470
Fuente:elaboraciónpropia.
ElvalordeXn – k,nusadoes669,3dadoqueelkóptimoes311cuandoseminimizaelAMSE(0,06%)porelmétododeMLEparaelmétododeregresiónexponencial.
4.2 Caso 2
ElCaso2esunasimulaciónde100.000rea-lizacionesdeunmodeloPareto-PoissonLDAconλ=100paraPoisson.Losparámetrosde
Hillkopt.SSCparaencontrarelvalordekóptimo,queminimizaelAMSEalestimaríndicemencionado.
199Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
ladistribuciónParetosonθ=1yξ=1(Grá-fico2yCuadro4).
Cuadro 4
Estimación de OpVaR para los datos simulados del Gráfico 2
Método 99,8% 99,85% 99,9% 99,95%
Método BK 50.000 66.667 100.000 200.000
Método MLE-W 58.150 77.533 116.299 232.596
Cuantil empírico 57.275 77.952 127.127 239.002
Fuente:elaboraciónpropia.
ElvalordeXn – k,nusadoes6.882,021dadoqueelkóptimoes1.689cuandoseminimi-zaelAMSE(0,06%)porelmétododeMLEparaelmétododeregresiónexponencial.
4.3 Caso 3
Estecasocontieneunmodelodemediainfi-nitaparalaseveridadyesunasimulaciónde100.000realizacionesdeunmodeloPareto-PoissonLDAconλ=100paraPoisson.Lospa-rámetrosdeladistribucióndeParetosonθ=1yξ=1,42(1/0,7)(Gráfico3yCuadro5).
Gráfico 1
Simulación de 100.000 datos de un modelo de Pareto-Poisson LDA (CPoi[100,Pa(1,1/1,7)])
6.000
4.000
2.000
0
0 100.00080.00020.000 40.000 60.000
Pérd
idas
Fuente:elaboraciónpropia.
200 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
Andrés MorA VAlenciA
Cuadro 5
Estimación de OpVaR para los datos simulados del Gráfico 3
Método (‘000) 99,8% 99,85% 99,9% 99,95%
Método BK 5.162 7.786 13.895 37.402
Método MLE-W 4.931 7.338 12.851 33.496
Cuantil empírico 5.255 8.408 14.868 36.977
Fuente:elaboraciónpropia.
ElvalordeXn – k,nusadoes24.541,6dadoqueelkóptimoes9.275cuandoseminimizaelAMSE(0,02%)porelmétododeMLEparaelmétododeregresiónexponencial.
4.4 Comentarios
En los resultadosde lassimulacionesseobservaqueelOpVaRcalculadomedianteelmétodoMLE-WseaproximamásaloscuantilesempíricosdelasdistribucionesdepérdidasimuladasparaloscasosdondelasseveridadessedistribuyenParetoconpa-rámetrosξ=0,6y1;sinembargo,cuandolaseveridadsedistribuyeParetoconpará-metroξ=1,42,elmétodoquedaunmejoraproximadoalcuantilempíricoesBK.Esteúltimocaso,comoyasehabíamencionado,correspondealoscasosde“mediainfinita”,
Gráfico 2
Simulación de 100.000 datos de un modelo Pareto-Poisson LDA (CPoi[100,Pa(1,1)])
1.4*10^7
10^7
6*10^6
2*10^6
0
0 100.00080.00020.000 40.000 60.000
Pérd
idas
Fuente:elaboraciónpropia.
201Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
dondelasdistribucionesdeseveridadesex-hibencolasextremadamentelargasyelcál-culotradicionaldeVaRpuedeguiaracargosdecapitalabsurdamentealtosenestoscasos.
5. Caso colombiano
Enestecasoseutilizaronlaspérdidasenmi-lesdepesosporsiniestros-riesgooperativoquereportaronlasentidadesfinancieras6alaSuperintendenciaFinancieradeColombia
6 Delas32entidadesfinancierasanalizadas,15corres-pondenabancos;una,acorporaciónfinanciera;nueve,acompañíasdefinanciamientocomercial;una,aunor-ganismocooperativodegradosuperior;dos,abancosdesegundopiso,ycuatro,acooperativasfinancieras.
enel2008(véasehtt://www.superfinancie-ra.gov.co).ElanálisispreviodelosdatosseresumeenelCuadro6.
Cuadro 6
Resumen de las estadísticas más importantes de las pérdidas por riesgo operativo de las entidades financieras en Colombia para el 2008
Media 2.744.544,95
Desviación estándar 6.980.589,88
Mediana 191.296,46
Coeficiente de asimetría 4,42
Curtosis 23,10
Fuente:elaboraciónpropia.
Gráfico 3
Simulación de 100.000 datos de un modelo Pareto-Poisson LDA (CPoi[100,Pa(1,1/0,7)])
1.5*10^10
10^10
5*10^10
0
0 100.00080.00020.000 40.000 60.000
Pérd
idas
Fuente:elaboraciónpropia.
202 Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
Andrés MorA VAlenciA
ComosepuedeobservarenelCuadro6,losdatosexhibenaltacurtosisyasimetríaposi-tiva,esdecir,unadistribucióndelosdatosconcolaquetiendeaserlargaaladerecha,datostípicosqueseanalizanbajolateoríadelvalorextremo.Conestosdatosdepérdidaseconstruyeunadistribuciónempíricadepérdidasdelsectorfinancieroypormediodeunapruebadebondaddeajuste7seestimalafunciónparamétricaquemejorseajustaalosdatosreales.EnelCuadro7semuestraelvalordelestadísticobajolapruebaKolo-mogorov-Smirnov(K-S).
Cuadro 7
Prueba de bondad de ajuste para los datos de pérdida de las entidades financieras en
Colombia (2008)
Posición Distribución K-S
1 Log-normal 0,09 (0,93)
2 Gamma 0,12 (0,76)
3 Normal 0,31 (0,00)
Fuente:elaboraciónpropia.
Para32datosconunasignificanciadel5%,elvalorcríticodelapruebaK-Sesde0,211.Enparéntesisseencuentraelvalordepdelaprueba;porlotanto,nohayevidenciaes-tadísticaparaaceptarladistribuciónnormal
7 Variostextosexplicanlastrespruebasmáscomún-menteusadas.Véase,porejemplo,EvansyOlson(2002)paraunabrevedescripcióndeestaspruebas.ElmétodoK-Sesmejorquechi-cuadrado(χ2)paratamañospequeñosdemuestracomoenestecaso;sinembargo,lapruebaA-Dponderalasdiferenciasentrelasdistribucionesensuscolasenmayormedidaqueensusrangosmedios.Lahipótesisnuladeestasprue-basesquenohaydiferenciassignificativasentreladistribuciónempíricaylateórica.EnesteartículoseusaelpaqueteRiskSimulatorpararealizarlapruebadebondaddeajuste.
comounbuenajustealosdatosempíricos8.Siseutilizaelvalordepcomométododepo-sicionamiento,lafunciónquemejorseajustaparaestecasoesladistribuciónlog-normal,mediantelapruebaK-S.
Conestafunciónprobabilísticasegeneraunadistribucióndepérdidasmediantelasimula-ciónMontecarlo.Alsimular100.000datosdistribuidoslog-normalconlosparámetrosobtenidosdelapruebadebondaddeajuste,seobtieneelGráfico4.
Cuandoelgráficode losexcesosmedios(mean excess plot)presentaunalíneacre-cientesepuededecirquesondatoscondistri-bucióndecolaslargas;locontrariosucederíaparadatoscondistribucióndecolascortas.Ladistribuciónlog-normalesuncasotípicodedistribuciónconcolaslargas.Loscuanti-lesexponencialesseilustranenelGráfico5.
Laformacóncavaapartirdelalínearectaenestetipodegráficomuestraquelosdatosexhibencolaslargas.Ladistribuciónlog-nor-malesmuyutilizadaenelsectordeseguros,paramodelargrandespérdidasporsinies-tros(véase,porejemplo,Mikosch[2004],tabla3.2.19),yeslaqueseusaparaesti-marelcuantilal99,9%medianteelmétodoMLE-W,porserunadistribuciónsubexpo-nencial,comoyasevio.
ElvalorenmilesdepesosdeXn – k,nusadoes1.276.262.099,dadoqueelkóptimoes262cuandoseminimizaelAMSE(0,34%)por
8 Sedicequenohayevidenciaestadísticaparaaceptarlahipótesisnulasielvalordepesmenoralniveldesignificancia.
203Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
Conclusiones
Enestedocumentoseprobarondosmétodosparacuantificarriesgooperativoal99,9%deconfiabilidadendistribucionesdeseveridaddeParetocondiferentesvaloresdeparáme-trodeforma.ComoloanotanensuartículoNešlehováetal.(2006),elVaResasintóti-camentesuperaditivoparadistribucionesdepérdidaconcolasmuylargas,estoes,sumarindividualmenteelVaRsubestimaríael“ver-dadero”VaRparadistribucionesdepérdidaconíndicesdevalorextremomayoresqueuno.Portalrazónsepruebanlosdosnuevos
elmétododeMLEparaelmétododeregre-siónexponencialelvalordelíndicedelvalorextremoes0,9473697.Conestosdatosal99,9%deconfiabilidadlapérdidamáximaporriesgooperativoparaelsectorfinancierocolombianoenel2009,enmilesesdepesoscolombianos,es3.189.988.440,calculadomedianteelestimadordeWeissman.Esteni-veldecapitalseconsidera“razonable”enelsentidodeDuttayPerry(2006),esdecir,silarazóndecapital/totaldeactivosestáporde-bajodel3%.Considerandolas32entidadesquereportaronpérdidaporriesgooperativo,estarazónesdel1,7%.
Gráfico 4
Excesos medios para 100.000 datos simulados de una distribución log-normal
5*10^10
3*10^10
10^10
0
0 8*10^102*10^10 4*10^10 6*10^10
Mea
m E
xces
s
Threshold
Fuente:elaboraciónpropia.
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Andrés MorA VAlenciA
métodosquereducenesteproblemaalcuan-tificarriesgooperativo.
UnmétodonovedosoeselpropuestoporBöckeryKlüppelberg,quienesobtienenunafórmulaexplícitaparaestimarelOpVaRcuandolosdatosdepérdidaexhibencolaslargas.Dehecho,enlaprácticalaspérdidasporriesgooperativoexhibencolaslargas,comosevetambiénenelcasocolombiano.Elotrométodo(MLE-W)estábasadoenlateoríadelvalorextremoyseempleóunadelastécnicasparaestimarelíndicedevalorextremo(queesunodelosproblemaspor
resolverenlaaplicacióndelateoría;véaseEmbrechts,2009),desarrolladaporBeirlantyotros investigadores.ConestevalorseusóelestimadordeWeissmanparacalcu-larelcuantilal99,9%,comoestimadodelOpVaR.
LosresultadosdelasimulaciónmuestranqueelmétodoMLE-Wfuncionabastantebienparadistribucionesdepérdidaconcolasnotanlargas;mientrasquelafórmulaexplíci-tadeBöckeryKlüppelbergtieneunamejoraproximacióncuandolacoladeladistribu-ciónesextremadamentelarga.
Gráfico 5
Cuantiles exponenciales para 100.000 datos simulados de una distribución log-normal
12
10
8
6
4
2
0
0 5*10^10 10^10 1.5*10^11
Expo
nent
ial Q
uant
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Ordered Data
Fuente:elaboraciónpropia.
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cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
SibienvariosautorescuestionanelusodemetodologíasAMA,porsermáscostosasycomplejasparasuaplicación,asuvezsonmássensiblesalriesgoypermitenmedirdemaneramásconfiableelriesgooperativo.ElmétodoBKesmuyfácildeimplementarysusresultadossonbastantebuenos,deacuerdoconlassimulacionesenestedocumentoylastambiénrealizadasensuartículodel2005.Deestamanera,conestedocumentosepretendebrindarherramientasútilesyconfiablesalasentidadesfinancierasbajoelmarcoregula-toriocolombianoylascaracterísticasdeunadistribucióndepérdidasporriesgooperativoencontradasenlapráctica.Siempreycuandosecumplanlosrequisitosmencionadosenlasección2,lasentidadesfinancierascolom-bianasestaránmejorpreparadasparacumplirconsusrequerimientosregulatoriosypreve-nirgrandespérdidasporriesgooperativo.
Unproblemaactualeslanodisponibilidaddebasesdedatosdepérdidasporriesgoope-rativoparaaplicarlosmétodosaquídescri-tos.Portalrazón,sóloseaplicóelmétodoMLE-Wparaelcasocolombianoyseesperaquecuandosecuentencondichasinforma-ciones,elsectorfinancieropuedacompartirestosdatosconlaacademia,preocupacióntambiéncompartidaporimportantesinves-tigadoreseneltema(Nešlehováetal.,2006).
ComofuturainvestigaciónsepodríautilizarelrefinamientopropuestoporBöckerySprit-tullaalOpVaRanalíticopresentadoporBöc-keryKlüppelbergparacuantificarelriesgooperativo,medianteelsupuestodequelasdistribucionesdeseveridadtienenmediafi-nitayquesegúnlosautoressereduceelerrordeaproximaciónalOpVaR.
Agradecimientos
Elautoragradecelasvaliosassugerenciasyrecomendacionesdelosevaluadoresanóni-mos,queayudaronsignificativamenteame-jorarlaversiónpreviadeesteartículo.
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cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
Anexo 1
Tipos de riesgo
Tipo de riesgo Descripción
Fraude internoActos que de forma intencionada buscan defraudar o apropiarse indebidamente de activos de la entidad o incumplir normas o leyes, en los que está implicado, al menos, un empleado o administrador de la entidad.
Fraude externo Actos, realizados por una persona externa a la entidad, que buscan defraudar, apro-piarse indebidamente de activos o incumplir normas o leyes.
Relaciones laborales Actos que son incompatibles con la legislación laboral, con los acuerdos internos de trabajo y, en general, la legislación vigente sobre la materia.
Clientes Fallas negligentes o involuntarias de las obligaciones frente a los clientes y que impiden satisfacer una obligación profesional frente a estos.
Daños a activos físicos Pérdidas derivadas de daños o perjuicios a activos físicos de la entidad.
Fallas tecnológicas Pérdidas derivadas de incidentes por fallas tecnológicas.
Ejecución y administración de procesos Pérdidas derivadas de errores en la ejecución y administración de los procesos.
Fuente:tomadodelaSuperintendenciaFinancieradeColombia.
Anexo 2
Clasificación de las líneas operativas
N° Líneas operativas (Nivel 1) N° Líneas operativas
(Nivel 2) Descripción
1 Finanzas corpora-tivas
1.1 Finanzas corporativas Evaluación y estructuración financiera de proyectos. Asesoría en licitaciones y en esquemas de participa-ción privada en proyectos. Optimización de estructuras financieras. Valoración de proyectos de privatizaciones, fusiones y adquisiciones. Asesoría en estructuraciones, emisiones y colocaciones de instrumentos financieros al mejor esfuerzo. Asesoría en materia de estructura-ción del capital, en estrategia industrial y en cuestio-nes afines o relacionadas. Estudios de inversiones. Análisis financiero.
1.2 Finanzas de administra-ciones locales/públicas
1.3 Banca de inversión
1.4 Servicios de asesora-miento
2 Emisión, negocia-ción y venta
2.1 Ventas
Negociación en posición propia sobre operaciones o valores de derivados con subyacente valores, con in-dependencia de sus características. Valores adquiridos en desarrollo de contratos de underwriting. Emisión de deuda o acciones.
2.2 Creación de mercado
2.3 Posición propia
2.4 Tesorería
2.5 Emisión
Continúa
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N° Líneas operativas (Nivel 1) N° Líneas operativas
(Nivel 2) Descripción
3 Banca personal y minorista 3.1 Banca personal y mino-
rista
Recepción de depósitos en cualquier modalidad. Otor-gamiento de créditos en las modalidades de microcré-dito, consumo, vivienda y, en general, cualquier ope-ración activa de crédito que celebren con sus clientes. Para la clasificación de las actividades en esta línea se deberá tener en cuenta que la actividad de captación y colocación de recursos se circunscribe únicamente a personas naturales y microempresas, según definición de la Ley 590 del 2000 con sus modificaciones o adicio-nes. Sin embargo, en el caso de créditos de vivienda se deben excluir los otorgados para financiar proyectos de construcción con independencia de si se otorgan a persona natural o jurídica.
4 Banca comercial 4.1 Banca comercial
Recepción de depósitos en cualquier modalidad. Otor-gamiento de créditos en las modalidades de comercial, vivienda y en general cualquier clase de operación ac-tiva de crédito. Para la clasificación de las actividades en esta línea se deberá tener en cuenta que la actividad de captación y colocación de recursos se circunscribe únicamente a personas jurídicas excepto microempre-sas. En los créditos de vivienda solamente se deben incluir los otorgados para financiar proyectos de cons-trucción con independencia de si se otorgan a persona natural o jurídica.
5 Compensación, li-quidación y registro
5.1 Compensación, pago y li-quidación
Prestación de servicio de compensación como con-traparte central de operaciones. Administración de sistemas de compensación y liquidación de operacio-nes. Administración de las garantías otorgadas para la compensación, pago y liquidación de operaciones. Administración de sistemas de pago de bajo y alto valor.
5.2 Registro de operacionesRegistro de operaciones realizadas por las bolsas de valores, agropecuarias y sistemas de negociación que no impliquen compensación y liquidación.
6 Servicios de agen-cia
6.1 Custodia
Custodia y administración de instrumentos financieros por cuenta de clientes, incluidos el depósito y servi-cios conexos como la gestión de efectivo y de garan-tías reales.
6.2 Agente de transferencias Obrar como agente de transferencia.
7 Administración de activos
7.1 Administración de fondos Administración de fondos o recursos distintos de los señalados en las líneas operativas números 8 a 12.
7.2 Almacenamiento de ac-tivos
Almacenamiento y administración general de mercan-cías de terceros en bodegas propias o particulares como consignatarios o como parte de la prestación de un servicio. Expedición de certificados de depósito de mercancías y bonos de prenda.
Continúa
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cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
N° Líneas operativas (Nivel 1) N° Líneas operativas
(Nivel 2) Descripción
8
Negocios fiducia-rios de inversión y fondos mutuos de inversión
8.1 Fondo común ordinario
Los contratos fiduciarios tienen como finalidad la in-versión o colocación de los recursos fideicomitidos. Fondos mutuos de inversión administrados o no por una sociedad fiduciaria.
8.2 Fondo común especial
8.3 Fideicomiso de inversión con destinación específica
8.4 Fondos mutuos de inver-sión
9 Negocios fiducia-rios inmobiliarios
9.1 Administración y pagos Contratos fiduciarios cuya finalidad principal es la administración de recursos y bienes afectos a un proyecto inmobiliario o la administración de los recursos asociados al desarrollo y ejecución de dicho proyecto. Recaudo de los dineros provenientes de la promoción y consecución de interesados en adquirir inmuebles dentro de un proyecto inmobiliario.
9.2 Tesorería
9.3 Preventas
10Negocios fiducia-rios de administra-ción
10.1 Administración y pagos
Contratos fiduciarios de administración cuya finalidad es la entrega de bienes a una sociedad fiduciaria para que los administre y desarrolle la gestión encomenda-da por el constituyente y destine los rendimientos al cumplimiento de la finalidad señalada.
10.2 Patrimonios derivados de procesos de titularización
10.3 Administración de cartera
10.4 Acuerdos de reestructu-ración
11 Negocios fiducia-rios en garantía
11.1 Fiducia en garantía Contratos fiduciarios en virtud de los cuales una per-sona transfiere bienes o recursos con la finalidad de garantizar el cumplimiento de obligaciones propias o de terceros.
11.2 Fiducia en garantía y fuen-te de pago
12 Seguridad social y cesantías
12.1Administración de recur-sos del régimen de ahorro individual con solidaridad
Administración de fondos, pasivos o recursos relacio-nados con el sistema de seguridad social integral ex-cepto aquellos relacionados con riesgos profesionales. Administración de cesantías. Administración de fondos de pensiones voluntarias.
12.2
Administración de recur-sos del régimen de prima media con prestación de-finida
12.3 Administración de pasivos pensionales
12.4Administración de fondos de jubilación e invalidez-fondos voluntarios
12.5 Administración de cesan-tías
12.6Administración de otros recursos del sistema de seguridad social integral
Continúa
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N° Líneas operativas (Nivel 1) N° Líneas operativas
(Nivel 2) Descripción
13 Comisión y corre-taje 13.1 Intermediación de valores,
seguros y reaseguros
Intermediación para la negociación de operaciones y valores de derivados con subyacente valores, con in-dependencia de sus características. Valores adquiridos en desarrollo de contratos de underwriting. Recepción y transmisión de órdenes de clientes en relación con uno o más instrumentos financieros. Ejecución de órdenes en nombre de clientes. Actividad de intermediación de seguros, reaseguros y de capitalización.
14 Seguros de perso-nas
14.1 Exequias
Celebración de contratos de seguros de personas, en los ramos señalados en el nivel 2.
14.2 Accidentes personales
14.3 Colectivo vida
14.4 Educativo
14.5 Vida grupo
14.6 Salud
14.7 Vida individual
14.8 Pensiones voluntarias
14.9 Previsional de invalidez y sobrevivencia
14.10 Enfermedades de alto costo
14.11 Pensiones Ley 100
14.12 Pensiones con conmuta-ción pensional
14.13 Riesgos profesionales
14.14 SOAT
15 Seguros de daños
15.1 Automóviles
Celebración de contratos de seguros de daños, en los ramos señalados en el nivel 2.
15.2 Incendio y terremoto
15.3 Sustracción
15.4 Corriente débil
15.5 Lucro cesante
15.6 Montaje y rotura de ma-quinaria
15.7 Minas y petróleos
15.8 Vidrios
Continúa
211Cuad. Adm. Bogotá (Colombia), 23 (41): 185-211, julio-diciembre de 2010
cuAntificAción del riesgo operAtiVo en entidAdes finAncierAs en coloMbiA
N° Líneas operativas (Nivel 1) N° Líneas operativas
(Nivel 2) Descripción
15 Seguros de daños
15.9 Agrícola
Celebración de contratos de seguros de daños, en los ramos señalados en el nivel 2.
15.10 Semovientes
15.11 Todo riesgo contratista
15.12 Hogar
15.13 Transporte
15.14 Aviación
15.15 Navegación y casco
16Seguros patrimo-niales y de respon-sabilidad
16.1 Cumplimiento
Celebración de contratos de seguros patrimoniales y de responsabilidad en los ramos señalados en el nivel 2.
16.2 Manejo
16.3 Desempleo
16.4 Responsabilidad civil
16.5 Crédito comercial, crédito a la exportación
17 Reaseguros 17.1 Actividad de reaseguros Asunción de riesgos derivados de contratos de rea-seguro.
18 Actividades no fi-nancieras
18.1 Servicios tecnológicos Prestación de servicios tecnológicos (hardware, soft-ware y telecomunicaciones) por parte de las entidades a personas naturales o jurídicas.
18.2 Servicios generales
Servicios y productos de carácter general ofrecidos a personas naturales y jurídicas, que no pueden catalo-garse en ninguna de las líneas establecidas y que no tienen una relación directa con servicios tecnológicos o aduaneros.
18.3 Servicios aduaneros Intermediación aduanera en los diferentes procesos y modalidades de comercio internacional.
19 Actividades institu-cionales 19.1 Institucionales
Actividades que no pueden ser catalogadas en ninguna línea operativa de las señaladas y que están relaciona-das con el funcionamiento administrativo o de apoyo de las entidades.
Fuente:tomadodelaSuperintendenciaFinancieradeColombia.