I. Cực trị hàm nhiều biến:

1. Định nghĩa:

Cực trị địa phương: Cho f(x,y) xác định trên D là tập mở chứa . Ta nói:

là điểm cực tiểu địa phương của f nếu

là điểm thấp nhất của f trong một lân cận nào đó của , nghĩa là

là điểm cực đại địa phương của f nếu

là điểm cao nhất của f trong một lân cận nào đó của , nghĩa là

2. Cực trị toàn cục (Giá trị lớn nhất –Giá trị nhỏ nhất):

là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D nếu

là điểm thấp nhất của f trên D, nghĩa là :

là điểm cực đại toàn cục của f trên D nếu

là điểm cao nhất của f trên D, nghĩa là :

2. Điều kiện cần: Nếu f có các đạo hàm riêng tại và f đạt cực trị địa phương tại thì

Các điểm thỏa hệ phương trình (*) được gọi là điểm dừng của f.

3. Điều kiện đủ :

1. Dạng toàn phương:

Biểu thức được gọi là một dạng toàn phương của x,y .

Biểu thức

được gọi là một dạng toàn phương của x,y,z

Định nghĩa tổng quát cho n biến: Một dạng toàn phương n

biến là biểu thức có dạng

Với dạng toàn phương , ta có ma trận

được gọi là ma trận của dạng toàn phương

và được gọi là nhân tử cấp k của dạng toàn

phương.

Dạng toàn phương được gọi là xác định dương

nếu

Dạng toàn phương được gọi là xác định âm nếu

Dạng toàn phương xác định âm hay xác định dương được gọi là xác định dấu.

Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong lân cận của thì vi phân cấp 2 của f là một dạng toàn phương theo

.

2. Định lý : Nếu f có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong một lân cận của khi đó

Nếu là dạng toàn phương xác định

dương thì là điểm cực tiểu địa phương của f. Điều này tương đương với :

Tất cả Hk đều dương >>>>cực tiểu địa phương

Nếu là dạng toàn phương xác định

âm thì là điểm cực đại địa phương của f.

Điều này tương đương với

4. Các ví dụ:

1.

Đạo hàm riêng : 3x²+3y²-15, 6xy-12

Điểm dừng : {[x=-1,y=-2],[x=1,y=2],[x=-2,y=-1],[x=2,y=1]}

Ma trận Hess

Tại (2,1)?

Tại (-2,-1)?

Giá trị hàm số là {-28,-26,26,28}

2.

Điểm dừng M0(0,0) . Ma trận Hesse:

Tại M0 thì

3. ,

Điểm dừng: ,

Ma trận Hess :

4. Điểm dừng {[x=1,y=0]}, ma trận Hess

?????

Tính vi phân cấp 2:

(điểm yên ngựa)

II. Cực trị có điều kiện:

Định nghĩa: Cực trị của hàm với ràng buộc

được gọi là cực trị có điều kiện của f.

1. Phương pháp: Xét hàm Lagrange

Ta có:

được gọi là nhân tử Lagrange.

Nếu là cực đại (cực tiểu ) của L thì

là cực đại (cực tiểu ) của f với điều kiện

Điểm dừng : giải hệ

Tính và xét dấu .

Điều này dẫn đến xét ma trận Hesse biên tại điểm dừng:

Tính các nhân tử Hesse biên.

Nếu thì f đạt cực

tiểu tại với điều kiện

Nếu thì f đạt cực đại tại với điều

kiện

Trường hợp :

Trường hợp :

Các ví dụ:

VD1: Tìm cực trị có điều kiện của với điều kiện

Hàm Lagrange:

Điểm dừng: {[x=-(4/5),y=-(3/5),λ=(5/2)], [x=(4/5),y=(3/5),λ=-(5/2)]}

Ma trận Hesse biên :

Tính

Tại [x=-(4/5),y=-(3/5),λ=(5/2)]…..????

Tại [x=(4/5),y=(3/5),λ=-(5/2)]…..???

VD2: Tìm cực trị có điều kiện của với điều

kiện

Hàm Lagrange:

Điểm dừng

[x=-1,y=1,z=1,λ=-1], [x=1,y=-1,z=1,λ=-1],

[x=1,y=1,z=-1,λ=-1], [x=3,y=3,z=3,λ=-9]

Ma trận Hesse:

Cực trị toàn cục:

2. Hàm lồi, lõm toàn cục: Cho là hàm số xác định trên D là một tập lồi. Ta nói

là hàm lồi ngặt toàn cục trên D nếu

là hàm lõm ngặt toàn cục trên D nếu

Định lý:

Nếu thì f lồi ngặt toàn cục trên D.

Nếu thì f lõm ngặt toàn cục trên D.

Trường hợp hàm 1 biến:

a. f lồi ngặt toàn cục

b. . f lõm ngặt toàn cục

Trường hợp hàm n biến: Xét ma trận Hesse tại điểm M bất kỳ trong D.

a. f lồi ngặt toàn cục trên D

b. f lõm ngặt toàn cục trên D.

3. Điều kiện đạt cực trị toàn cục:

Nếu là điểm dừng của f (nghĩa là ) . Khi đó:

Nếu f lồi ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực tiểu toàn cục trên D tại

Nếu f lõm ngặt toàn cục trên D thì f đạt cực đại toàn cục trên D tại

4. Tóm tắt:

Hàm một biến Hàm nhiều biến

Đk cấp 1:

Điều kiện cấp 2:

Xét đạo hàm cấp hai:

f đạt cực tiểu toàn cục tại

f đạt cực đại toàn cục

Điểu kiện cấp 2: Xét ma trận Hesse tổng quát (tại điểm M bất kỳ trong D)

f đạt cực tiểu toàn cục tại

f đạt cực đại toàn cục tại

tại

là cực đại toàn cục

của f với đk

là cực tiểu toàn cục

của f với đk

Trường hợp cực trị có điều kiện:

Xét hàm Lagrange

Tìm điểm dừng

Xét ma trận Hesse biên tại điểm

bất kỳ