CUERPOS EN EL ESPACIO. ÍNDICECUERPOS EN EL ESPACIO. ÍNDICE• Poliedros.• Leonhard Euler.•Fórmula de Euler.• Poliedros regulares.• Prismas.•Definición.

Elementos. Clasificación.

• Paralelepípedos •Pirámides.

Definición y elementos. Clasificación.

• Cuerpos de revolución. Definición. Cilindro. Cono. Esfera.

• Ejemplos de la vida cotidiana.

POLIEDROSPOLIEDROSUn poliedro es un cuerpo geométrico limitado por cuatro o más polígonos

planos.

Los polígonos que limitan al poliedro se llaman caras.

El lado común a dos caras se llama arista.

El punto común a tres o más aristas se llama vértice.

CARAS

ARISTAS

VÉRTICES

LEONHARD EULERLEONHARD EULER• Leonhard Euler fue un matemático suizo. Nació en Basilea en 1707 y murió en San Petersburgo en 1783.

• En el ámbito de la Geometría desarrolló conceptos básicos como los del ortocentro, el circuncentro y el baricentro de un triángulo, y revolucionó el tratamiento de las funciones trigonométricas al adoptar ratios numéricos y relacionarlos con los números complejos mediante la denominada identidad de Euler.

• A él también le debemos la denominada fórmula de Euler, con la que se relacionan las caras, vértices y aristas de un poliedro.

BIOGRAFÍA DE EULER

FÓRMULA DE EULERFÓRMULA DE EULER

Vamos a observar la relación que existe entre el número de caras, vértices y aristas de un poliedro.

Para ello, vamos a llamar C al número de caras, V al número de vértices y A al número de aristas de un poliedro cualquiera.

Comencemos con un cubo.

Vemos que: C = 6, V = 8, A =12

Si observamos estos números detenidamente, vemos que cumplen que:

C + V – A = 6 + 8 – 12 = 2

FÓRMULA DE EULERFÓRMULA DE EULER

Si hacemos un corte en una esquina obtenemos un nuevo poliedro irregular que guarda la misma relación entre sus caras, aristas y vértices.

En este caso, C = 7, V = 10, A = 15.

Estos números cumplen la misma condición:

C + V – A = 7 + 10 – 15 = 2

FÓRMULA DE EULERFÓRMULA DE EULER

La fórmula de Euler para Poliedros es la siguiente:

Sea P un poliedro cualquiera, que tiene:• Número de caras: C• Número de vértices: V• Número de aristas: A

Entonces se cumple que:

C + V – A = 2

POLIEDROS REGULARESPOLIEDROS REGULARESUn poliedro se llama regular cuando cumple estas dos condiciones:

• Sus caras son polígonos regulares idénticos. • En cada vértice del poliedro concurre el mismo número de caras.

Solo hay cinco poliedros regulares:

•Tetraedro (4): Formado por cuatro triángulos equiláteros.

•Cubo o hexaedro (6): Formado por seis cuadrados.

•Octaedro (8): Formado por ocho triángulos equiláteros.

•Dodecaedro (12): Formado por doce pentágonos regulares.

•Icosaedro (20): Formado por veinte triángulos equiláteros.

Un prisma es un poliedro limitado por: Dos caras iguales y paralelas que son polígonos,

llamados bases. Varios paralelogramos, llamados caras laterales.

PRISMAS. DEFINICIÓNPRISMAS. DEFINICIÓN

BASES

CARASLATERALES

Otros elementos importantes de un prisma son:

PRISMAS. ELEMENTOS.PRISMAS. ELEMENTOS.

APOTEMA BASE

ARISTA BÁSICA

ARISTA LATERAL

ALTURA

PRISMAS

OBLICUOS

RECTOS

IRREGULARESREGULARES

PRISMAS. CLASIFICACIÓNPRISMAS. CLASIFICACIÓN

PARALELEPÍPEDOSPARALELEPÍPEDOS

Un paralelepípedo es un prisma de seis caras, cuyas bases son paralelogramos, iguales y paralelos dos a dos.

Un paralelepípedo en el que la totalidad de sus caras son rectángulos se llama ortoedro.

Un ortoedro queda determinado conociendo las longitudes de las tres aristas que concurren en un vértice. Se llaman las dimensiones del ortoedro: longitud, profundidad y altura.

Un cubo es un ortoedro en el que las tres dimensiones son iguales. Es decir, las seis caras son cuadrados iguales.

a

a´

PIRÁMIDESPIRÁMIDES

Una pirámide es un poliedro que tiene por base un polígono cualquiera y por caras laterales triángulos con un vértice común, que se llama vértice o cúspide de la pirámide.Los elementos de una pirámide son los siguientes:

APOTEMA LATERAL O ALTURA DE LA CARA

ARISTA LATERAL

ALTURA DE LA PIRÁMIDE

APOTEMA BASE

ARISTA BÁSICA

BASE

PIRÁMIDES

OBLICUAS

RECTAS

IRREGULARESREGULARES

PIRÁMIDES. CLASIFICACIÓNPIRÁMIDES. CLASIFICACIÓN

Se llaman cuerpos de revolución a los que se obtienen al girar una figura plana, alrededor de un eje.

CUERPOS DE REVOLUCIÓNCUERPOS DE REVOLUCIÓN

El cilindro se obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

altu

ra

radio

gene

ratr

iz

CILINDROCILINDRO

EJE GIRO

RADIO

GENERATRIZ

BASE

El cono se obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.

radio

generatriz

eje

giro

altu

ra

CONOCONO

EJE GIRO

GENERATRIZ

RADIO

BASE

La esfera se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro .

diám

etro

eje

giro

ESFERAESFERA

GENERATRIZ

CENTRO

RADIO

EJE DE GIRO

EJEMPLOS EN EL ARTE Y EN LA EJEMPLOS EN EL ARTE Y EN LA VIDA COTIDIANAVIDA COTIDIANA

HASTA PRONTO, CHAVALES. ESPERO QUE HAYÁIS APRENDIDO MUCHO.COMPROBAD VUESTRO APRENDIZAJE CON LAS ACTIVIDADES QUE APARECEN EN LA

PÁGINA WEB. ¡¡¡¡ ADIOS !!!!