CUERPOS GEOMETRICOS taller 5.pdf

136 Licda. Reyita Taveras de Frías

I n t r o d u c c i ó n

Estudiadas las líneas, los ángulos y las superficies geométricas, procederemos a

estudiar los cuerpos geométricos.

En este taller estudiaremos los poliedros y sus elementos. Su clasificación. Los

poliedros regulares.

También estudiaremos los cuerpos geométricos limitados por la combinación de

superficies planas y no planas como son el cilindro y el cono. Además estudiaremos la

esfera, siendo ésta un cuerpo limitado totalmente por una superficie curva.

TALLER Cuerposgeométricos5


TALLER Cuerposgeométricos

Como dijimos, cuerpo es todo lo que ocupa un lugar en el espacio. Un cuerpo es

geométrico si su superficie es geométrica. Esta podría ser plana, no plana o una

combinación de ambas.

Por ejemplo los poliedros están limitados por superficies planas, la esfera por una

superficie curva (superficie esférica) mientras que tanto el cono como el cilindro están

limitados por una combinación de superficies no planas y planas.

5.1 Cuerpos geométricos

Se llama poliedro al cuerpo limitado por polígonos situados en planos distintos queforman el contorno del poliedro.

5.2 Poliedros

En este taller sólo trataremos con poliedros convexos; esdecir aquellos cuyas caras son polígonos convexos.

Caras: Son los paralelogramos que constituyen su contorno.

Aristas: Son los lados de las caras del poliedro. Dos caras que tienen arista común se

les denomina adyacentes o contiguas y forma un ángulo diedro.

Diagonales: Rectas que se suponen pasan por dos vértices no situados en una misma

cara.

Elementos de los poliedros

Vértices: Son los puntos donde se encuentran tres o más planos donde éstos forman

un ángulo poliedro.

5


Son aquellos que tienen iguales sus aristas, sus caras y sus ángulos.

Las caras de los poliedros regulares sólo pueden ser: triángulos, cuadrados o

pentágonos.

5.2.1 Poliedros regulares

Los poliedros regulares son: Tetraedro; Octaedro; Icosaedro; Hexaedro

(comunmente conocido como cubo ) y Dodecaedro .

Los cinco polígonos regulares son conocidos desde tiempos remotos,

eran conocidos en Egipto, de hecho fueron estudiados por Pitágoras (siglo VI a.

E.C.), ante la imposibilidad de cubrir un plano con polígonos regulares de la

misma especie que no fueran triángulos, cuadrados o pentágonos. En algunos

pavimentos que aun se conservan puede comprobarse esto.

Al observar que el tetraedro tiene tres triángulos en cada vértice y el octaedro

cuatro, debieron pensar en construir un poliedro con cinco triángulos equiláteros

en cada vértice, obteniendo el icosaedro y vieron que ya no era posible continuar

el mismo proceso.

Así por la reunión de tres cuadrados en un vértice obtuvieron el hexaedro o cubo

y reuniendo tres pentágonos en un vértice dio origen al dodecaedro. No pudieron

reunir en un vértice polígonos de más de cinco lados.

El Tetraedro es el poliedro

regular que tiene 4 caras:

En él se unen tres

caras en cada vértice

formando un ángulo

poliedro (tiedro).

El diseño de la izquierda servirá a los estudiantes deorientación para construir un tetaedro usando cartulina.

El Tetraedro


El Octaedro es el poliedro regular

que t iene 8 caras, las cuales

son triángulos equiláteros.

El Octaedro

Dibujando 8 t r i ángu l osequiláteros dispuestos en laforma de la derecha le permitiráa los estudiantes construir eloctaedro.

El hexaedro es el polígono regular que

tiene seis cuadrados. El hexaedro

tiene ocho vértices y doce aristas.

El Hexaedro

87

12

3

6

45

El Icosaedro es el polígono regular

que tiene 20 caras, las cuales

son triángulos equiláteros.

El Icosaedro

A A A A A

C C

D D

B B B B B

A C

A A

BB

B

C

D

D

1 2 3 4 5

611

712

813

914

1015

16 17 18 19 20

BA

E

H

C D

FG


Es el poliedro regular que tiene

doce caras. Las caras del

Dodecaedro son pentágonos

regulares e iguales.

El Dodecaedro

El área lateral de un poliedro se obtiene sumando las áreas de las caras laterales.

El área lateral de un poliedro regular se obtiene multiplicando el área de una cara

por el número de caras.

5.2.2 Area lateral y área total de un poliedro

Area lateral de un poliedro

Area total de un poliedro

5 2.3 El prisma

El prisma es un poliedro limitado por polígonos iguales y situados en planosparalelos que se llaman bases cuyas caras laterales son paralelogramos.

Los prismas se clasifican según sus bases en: Prisma triangular; prisma

cuadrangular, prisma pentagonal, prisma hexagonal , etc.

Si todos lados de los polígonos que le sirven de bases son iguales, se dice que el

prisma es regular.

El área total se obtiene sumando al área lateral, el área de la (s) caras que actuen

como bases.

Dibujando 12 pentágonosdispuestos en la formasiguiente en una cartulina,permitirá a los estudiantesconstruir el dodecaedro.


Altura: Es la distancia entre las dos

bases. Quedará determinada

por el segmento de recta

perpendicular a las dos

bases.

Aristas laterales: Los lados de los paralelogramos

que sirven de caras laterales que

no forman parte de los polígonos

que sirven de bases.

Elementos de un prisma

Bases: Son los polígonos congruentes

situados en sus planos paralelos

sobre los cuales supondremos

podría descansar la figura.

5 2.4 Clasificación de los primas

Un prisma es recto sí y solo si sus aristas laterales son perpendiculares a sus

bases. Si las bases son polígonos regulares se le llama prisma recto regular .

Prisma recto

Vértices: Son los puntos de encuentro de las aristas.

AB C

DE

F

G H

I

Prisma oblicuo

Un prisma es oblicuo si sus aristas laterales no son perpendiculares a las bases.

Prisma oblicuo Prisma rectoA B

CD

A

H GF

H

A BCD

FG

E

J


Si en un prisma oblicuo se traza un plano que corteperpend i cu l a rmente l a s bases , l a secc i ónque se obtiene recibe el nombre de sección rectadel prisma. En el prisma recto, la base es la secciónrecta.

Es un prisma cuadrangular cuyas bases

son paralelogramos.

El paralelepípedo tiene seis caras, doce

aristas y ocho vértices.

El paralelepípedo recto de base rectangu-

lar recibe el nombre de Ortoedro .

El hexaedro o cubo es un ortoedro que tiene

todas las aristas iguales y las caras son cuadrados.

Las diagonales de un paralelepípedo son los segmentos de rectas que unen dos

vértices no pertenecientes a la misma cara.

Paralelepípedo

Ejercicios para evaluar lo aprendido por los estudiantes

I) Marca con (x) la expresión correcta:

a) Los prismas son poliedros.

b) Los primas son dos bases situadas paralelas.

c) Los primas se clasifican según sus bases.

d) Las caras laterales de un prisma son paralelogramas.

Sí No

Sí No

Sí No

Sí No

A B

CD

E

H G

F


e) Un prisma es recto si sus caras laterales son perpendiculares

a las bases.

f) Un prisma es oblicuo si sus caras laterales no son perpendiculares

a las bases.

g) Todos los paralelepípedos son prismas.

h) Todos los prismas son paralelepípedos.

i) Un paralelepípedo es un prisma de base cuadrangular.

j) Un paralelepípedo es un prisma de base pentagonal.

k) Un prisma puede tener dos bases diferentes.

e) Al prisma recto de base cuadrangular se le llama ortoedro.

m) Las bases de un prisma pueden ser polígonos de cualquier número

de lados.

n) Las caras laterales de los prismas pueden ser polígonos de cualquier número

de lados.

Sí No

Sí No

Sí No

Sí No

Sí No

Sí No

Sí No

Sí No

Sí No

Sí No

5.2.5 Area lateral y área total del prisma

Como ya dijimos, el área de un poliedro se obtiene sumando las áreas de las caras

laterales, en el caso del prisma las caras laterales son paralelogramos.

Dado que el área de un paralelogramo se obtiene mediante el producto de la base

por la altura, el área lateral de un prisma de n caras será:

bh + bh + bh + … = (b+b+b+b…) h = phn veces n veces

Si el prisma es recto, la altura de cada paralelogramo de las caras laterales es una

arista lateral del prisma. De ahí que: El área lateral de un prisma recto se obtiene

mediante el producto del perímetro de la base por la medida de la longitud de una de

sus aristas laterales. AL = a p

→Area lateral → →

Arista lateral

Perímetro de la base

Altura

→


→


Si el prisma es oblicuo, el área lateral se obtiene mendiante el producto del perímetro

de la sección recta por la medida de la longitud de una de las aristas laterales.

Area total de un prisma recto

El área total de un prisma se obtiene sumando el área lateral, el área de las dos

caras que le sirven de bases.

At = AL + 2B

→Area total →

Area lateral

→Dos veces el área de la base

Dado que tanto el área lateral como el área total de un poliedro dependen de la suma de las áreas de las caras laterales, sugerimos a los docentes insistir en la presentación de los cuerpos geométricos en forma desarrollada pues esto les permitirá ver las caras laterales como polígonos a los cuales se

les puede determinar el área.

Sugerencia al docente

Problemas sugeridos a los docentes para evaluar en sus estudiantes el nivel de

comprensión de lo tratado.

I) Determina el área lateral y el área total de un prisma que tiene como base un

triángulo equilátero que tiene como medida del lado 20 dms y como medida de la

altura 1.5 mts.

II) Determina el área lateral y el área total de un ortoedro que tiene como base un

cuadrado de 22 cms de lado si la arista del prisma es 122cms.

III) Determine el área lateral y el área total de un hexaedro que tiene 14 pulgs de

medida de la arista.

IV) Encuentre el área lateral de un prisma triangular que tiene como base un triángulo

equilátero de 5 dms de lado y cuya altura es 18 dms.


V) Encuentra el área total de un prisma pentagonal cuyas bases son polígonos

regulares de 7 cms. de lados, cuya apotema es 2.5 cms si la altura del prisma es 28 cms.

VI) Determine el volumen de un paralelepípedo cuya base es un cuadrado de 4.8 cms

de lado que tiene 21.6 cms de altura.

¿Como clasificaría Ud. de grado de dificultad de los problemas siguientes para un

estudiante del segundo ciclo del nivel básico?

I) Determina la capacidad de una caja que tiene forma de paralelepípedo si la altura de

la caja es 18 pulgadas el ancho mide 24 pulgadas y el largo de la misma es de 38 pulgadas.

II) Determina el volumen de una caja fuerte que tiene forma de hexaedro si la medida

de la arista es de 9 pulgadas.

III) Calcula la capacidad de una cisterna que tiene 7 pies de largo, 6 pies de ancho y 12

pies de profundidad.

IV) Si la capacidad de una cisterna que tiene forma de hexaedro es de 4913 m3, ¿cuál

es la medida de la arista?

V) Se compró un refrigerador que tenía 3.5 pies de largo, 2.2 pies de ancho y 8 pies de

altura ¿cuál es el volumen que ocupa ese electrodoméstico en una habitación?

Muy fácil

Fácil Muy dificil

Dificil

Muy fácil

Fácil Muy dificil

Dificil

Muy fácil

Fácil Muy dificil

Dificil

Muy fácil

Fácil Muy dificil

Dificil

Muy fácil

Fácil Muy dificil

Dificil


5.2.6 Teorema de Pitágoras en el espacio

El cuadrado de la diagonal de un ortoedro esigual a la suma de los cuadrados de las aristasque concurren en un vértice.

Sean AB, BE y BC tres aristas que concurren

en el vértice B. Sea DE una diagonal del ortoedro.

Debemos demostrar que: DE2 = AB 2 + BE2 + BC2

Si trazamos BD diagonal del paralelogramo ABCD que le sirve de base al prisma

tendremos que:

C = 900 (ABCD es un rectángulo) (por definición de ortoedro).

El BCD es rectángulo, por lo que: DB2 = DC2 + BC2 (I)

El ángulo DBE es recto (por ser BE perpendicular a las bases) (según la definición de

ortoedro).

El triángulo rectángulo DBE se tiene que: DE2 = BD2 + BE2 (II)

Sustituyendo en (II) a DB2 por su igual:

DE2 = DC2 + BC2 + BE2

Por lo que DE2 = AB 2 + BC2 + BE2 (Sustituyendo a DC por su igual AB ).

La idea de la diagonal de un ortoedro podría captarse mejorsi usamos una caja y representamos la recta que actúa comodiagonal por un cordón estirado, un alambre o cualquier otrotipo de objeto.


Enunciado:

Hemos incluido la demostración de este teorema a sabiendas de que en el nivel

básico no se contemple este tema; sin embargo consideramos que los estudiantes del

Séptimo y del Octavo grados podrían comprenderlo y aplicarlo.

A B

CD

F

H

G

E

Demostración:


5.2.7 La Pirámide

La pirámide es un poliedro limitado por un polígono que le sirve de base y triángulosque le sirven de caras laterales y que tienen un vértice común.

Una pirámide es regular cuando el polígono que le sirve de base es un polígono

regular.

El diseño que está a la derecha es el que resulta de suponer quehemos hecho un corte en la pirámide que aparece a la izquierdatanto por una de las aristas laterales como por cada uno de loslados del polígono que le sirve de base, menos uno.

Estimular a los estudiantes a hacer de todos y cada uno de los poliedros regulares un dibujo del diseño en cartulina para fines de construcción de cada cuerpo geométrico.


Caras: Son los triángulos que la limitan lateralmente.

Vértice: Es el punto común donde se encuentran todas las caras laterales.

Base: Es el polígono en el que suponemos descansa el cuerpo.

Aristas laterales: Son lados de los triángulos que no coinciden con la base.

Altura: Es la perpendicular trazada del vértice de la pirámide a la base.

Apotema: Es la altura común de los triágulos que forman las caras laterales de los

triángulos.

Elementos de la pirámide

BA

CD

EE

AB C

DE

V V


Clasificación de las pirámides

Las pirámides, al igual que las prismas, se clasifican según su base. Las mismas

pueden ser: triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc.

I) Marca las respuestas correctas:

a) Las pirámides son poliedros.

b) Las caras laterales de las pirámides son siempre triángulos.

c) La pirámide tiene una sola base.

d) La base de la pirámide puede ser cualquier polígono.

e) El vért ice de una pirámide es el punto donde se encuentran todas las

caras laterales.

Ejercicios para ser aplicados a los estudiantes para evaluar la comprensión de lo

anterior.

Sí No

Sí No

Sí No

Sí No

II) Marca con (x) la expresión adecuada:

a) La gráfica de la derecha corresponde a

Un prisma Una pirámide

b) La perpendicular bajada del vértice de una pirámide a su base, recibe el nombre de:

Altura Apotema Arista

c) La altura común a cada uno de los triángulos que constituyen las caras laterales de

una pirámide recibe el nombre de:


d) Las intersecciones de dos de los triángulos que forman las caras laterales de una

pirámide reciben el nombre de:


Sí No

AB C

DE

V


III) Tomando como referencia la gráfica de la derecha, complete correctamente:

a) ABCDE es la _______________ de la pirámide.

b) AV es una __________________ de la pirámide.

c) VH es la ___________________ de la pirámide.

d) VJ es la ___________________ de la pirámide.

e) Es triángulo AEV es una _____________de la pirámide.

5.2.8 Area lateral, área total y volumen de una pirámide

El área lateral de una pirámide es igual al semiproducto del perímetro de la basepor la apotema.

Area lateral de una pirámide

El área total de una pirámide se obtiene mediante la suma del área lateral con el

área de la base.

Area total de una pirámide

Dado que en problemas de este tipo pueden presentarse como datos tanto la apotema de la pirámide como la apotema de un polígono regular cualquiera, ¿no cree Ud. que sería prudente establecer la diferencia entre ambas?


e) La gráfica de la derecha corresponde a:

Una pirámide pentagonal.

Un prisma pentagonal.

Un paralelepípedo.

Un prisma de base hexagonal.E

AB JH

V

CD

AL= p x a

2

AL: Area lateral

p: Perímetro de la base

a: Apotema de la pirámide

At= AL + B

EA

B JH

V

CD


Ejemplo: Calcular el área lateral y el área total de una pirámide cuya base es un

octágono regular de 6 cms de lado, si la apotema de la pirámide es de 30 cms y la

apotema del polígono que le sirve de base es 2 cms.

1o El perímetro del octágono regular es: 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 6 x 8 = 48 cms.

2o La apotema es 30 cms.

AL = 48 x 302

= 14402

= 720 cm2

At= AL + B

B = p x a2

48 x 2=2

= 48 cm2

Ejercicios para evaluar lo aprendido

I) Determine el área lateral de una pirámide triángular que tiene 3.5 mts de apotema y

cuya base es un triángulo equilátero de 1.3 mts de lado.

II) Encuentre el área total de una pirámide de base hexagonal de 196 m2 cuya altura

es 4.2 m.

III) La base de una pirámide es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 60 y 80

cms respectivamente. Si la apotema de la pirámide es de 1.2 mts. ¿Cuál es su área

lateral?

IV) Calcular el área lateral y el área total de una pirámide que tiene como base un

cuadrado cuya medida es 18 metros, si la apotema de la pirámide es de 9 metros.

At = AL + B = 720 + 48 = 768 cm2


¿Para cuáles grados del segundo ciclo del nivel básico serían los problemas

siguientes?

I) Si el área lateral de una pirámide es 480 m2 y la apotema de la misma es 8 mts,

¿cuál es el perímetro de la base?

II) Si el área lateral de una pirámide es 72 pulgadas cuadradas y el perímetro de la

base es una yarda, ¿cuál es la medida de la apotema?

El volumen de una pirámide se obtiene mediante el cálculo de la tercera partedel área de su base por altura.

V = 13 Bh

Volumen de una pirámide

III) Si el área total de una pirámide es 624 dm2 y su área lateral es 480 dm2, ¿cuál

es el área de su base?

Si la pirámide siguiente, el área del pentágono ABCDE es 240 mts2 y la altura

27 metros.

EA

B JH

V

CD

¿Cuál es su volumen?


I) Determina el volumen de una pirámide cuadrangular que tiene un cuadrado de 28

pulgs de lado y cuya altura es de 11 pies.

II) Si el volumen de una pirámide es 185 mts3 y su altura es 5 mts. ¿Cuál es el área

de la base?

III) Calcula el volumen de una pirámide octagonal que tiene como área de la base 324

dm2 si la altura de la pirámide es 27.50 dms.

IV) Calcula el volumen de una pirámide de base rectangular si el rectángulo que le sirve

de base tiene 3 y 6 cms en sus lados paralelos y la altura de la pirámide es 23.46 cms.

Ejercicios sugeridos para evaluar el nivel de comprensión de los estudiantes de lo

tratado anteriormente.

V) Determina el volumen de las pirámides cuyos datos aparecen a continuación.

a) B = 169 cms2 h = 28 cms

b) B = 184 dms2 h = 9 cms

c) B = 34 ms h = 7.25 mts


5.3 El cilindro

Se le llama cilindrido al cuerpo geométrico limitado por una superficie cilíndrica y dossuperficies planas iguales situadas en planos paralelos que le sirven de bases.

Como dijimos en el tema de las superfices, la superficie cilíndrica es la engendrada

por una recta, llamada generatriz , que se traslada paralelamente a otra, llamada eje,

deslizándose sobre una línea curva llamada directriz.

Cilindro circular

5.3.1 Clasificando los cilindros

Un cilindro es circular cuando sus bases son círculos.

Cilindro de revolución

Se le llama cilindro de revolución alcilindro que se supone engendrado por larotación de un rectángulo alrededor de unode sus lados. El lado móvil del rectángulo se convierte

en la generatriz del cilindro, mientras

que el lado fijo es la altura de cilindro.

Cilindro recto y cilindro oblicuo

Un cilindro es recto cuando su generatriz es perpendicular a las bases; de lo contrario

es oblicuo.

Nos limitaremossólo al estudiode cilindros cir-culares rectos.

A D

BC


5.3.2 Area lateral, área total y volumen del cilindro

Se llama área latera l de un cilindro al área de su superficie cilíndrica.

Area lateral

Estimular a los estudiantes a cortar a lo largo de la generatrizenvases que tengan formas cilíndricas con el objetivo de quevean la superficie cilíndrica convertida en la superficiede un rectángulo.Como el área del rectángulo se obtiene mediante el productode la base por la altura, los estudiantes podrán apreciar quela base de este rectángulo es la circunferencia convertida enuna línea recta y la altura del rectángulo es la generatriz de lasuperficie cilíndrica.


Fórmula para determinar el área lateral de un cilindro

AL = p l

→Area lateral → → Generatríz


Cuando el cilindro es circular, el perímetro de la base es el de una circunferencia.

AL = p l

πAL = d l

AL = 2 r lπ

Así, cuando le digamos que el área lateral del cilindro se obtienemediante el producto del perímetro de la base por la generatriz,los estudiantes asimilarán el concepto. No se limitarán a recordaruna fórmula.


Los cilindros que no son circulares suelen tener como bases superficies planas limitadaspor elipses.

El área de la superficie plana limitada por una elipse se obtiene mediante la fórmula:A = ab . En dicha fórmula a representa el semieje mayor de la elipse y b el semiejemenor.

Tanto el cálculo del perímetro de una elipse como la demostración del origen de la fórmula

del área de la superficie limitada por la elipse, requieren de informaciones que no podemos

poner en este nivel.

Existe una fórmula, relativamente sencilla que puede darnos de forma aproximada el

perímetro de la elipse. La misma es:

Donde a es la semieje mayor de la elipse, mientras que b es el semieje menor.

π

Usamos un ejemplo del perímetro y el área de una elipse.

17 m

ms

P 164.63 mms

Sólo para docentes

π~P 3 (a+b) - (3a+b) (a+3b)

Eje mayor0

b

a

~P 3.14 3 (51) - (119) (85)

P 3.14 153 - 10115~

π~P 3 (a+b) - (3a+b) (a+3b)

~P 3.14 3 (34 + 17) - 3(34)+17 34 + 3(17)

~P 3.14 153 - 100.57335

~P 3.14 52.43

~

Area: abπ3.14 (34) (17) = 1814.92 mm2

0

ba

34 mms


Area total de un cilindro circular

El área total de un cilindro circular es igual a su área lateral sumada con lasáreas de sus dos bases.

I) AT = AL + 2B→

AT = 2 rl + 2 ( r 2)π π

AT = 2 rl + 2 r 2π π

→

Sacando 2 r como factor común:π

(l + r) AT = 2 r πII)

Sólo a estudiantes que conozcan la factorización podría presentárseles la fórmula (II) para calcular el área total de un cilindro circular. Sería para éstos una oportunidad de ver una aplicación de la factorización.


El volumen del cilindro es el producto del área de la base por la altura.

Volumen del cilindro

V = Bh

I) Determine el área lateral, área total y el volumen de un cilindro circular que tiene 20

pulgs. de altura si el radio de su base es 6 pulgs.

Problemas propuestos para evaluar a los estudiantes del Octavo grado en la

comprensión de lo explicado.


III) Se quiere revestir de papel una caja redonda destinada a guardar un sombrero.

Siendo que la caja es redonda y que el radio de su base es 7 pulgadas y la altura es

4 pulgs. ¿Cuántos pies cuadrados de papel harán falta si toda la caja debe quedar

revestida?

IV) El tanque que usa un camión de los que se uti l izan para transportar el

combustible que distribuye, tiene capacidad para 10,000 galones. Si el radio del

círculo que sirve de base al cilindro es 125 cm. ¿Cuál es el largo del tanque?

V) Una onza fluida equivale a 29.57 ml. ¿Cuántas onzas fluidas contiene el envase de

un medicamento que tiene forma cilíndrica si la altura del envase es 20 dm. y el

radio es de 10 cms. si el envase está totalmente lleno?

II) ¿Cuántos galones de agua contiene el tanque del acueducto de un pueblo si el

mismo tiene forma cilíndrica con un radio de 15 mts. y una altura de 30 mts.?

(1 galón americano = 3.785 litros).

5.4 Cono

Se llama cono el espacio comprendido entre una de las hojas de la superficiecónica y un plano cualquiera.

La parte del cono interceptada por la superficie es la base del cono. El centro de la

superficie cónica recibe el nombre de vértice del cono .

La perpendicular bajada desde el vértice del cono a la base es la altura del mismo.

El eje de la superficie cónica es el eje del cono.

El cono es recto si el eje es perpendicular a la base; de no serlo, el cono es oblicuo.


5.4.1 Clasificación de los conos

El cuerpo geométrico limitado por una

superficie cónica y un círculo que le sirve

de base.

Cono circular

Cono circular recto

Es el cono que se considera como el

sólido engendrado por un triángulo rectán-

gulo que gira alrededor de uno de sus

catetos.

5.4.2 Relación entre el cono y las líneas curvas

La circunferencia, la elipse y la parábola son líneas curvas que se originan cuando

un plano corta o intercepta un cono circular recto.

Si un cono circular recto es cortado por

un plano paralelo a la base, la intersección

entre el plano y la superficie cónica es una

circunferencia.

Si el plano que corta al cono es paralelo

a la generatriz la línea curva que se forma

con la intersección entre el plano y la

superficie cónica es la parábola.

Si el plano que corta el cono es oblicuo

a la generatriz, la línea curva que se forma

con la intersección entre el plano y la superficie

cónica es la elipse.


La hipérbola es una curva que tiene dos

ramas porque se origina de la intersección

de un plano que pasa paralelo al eje de la

superficie cónica y la misma, como sabemos,

tiene dos mantos.

Recordemos que la superficie cónica es la

engendrada por una recta indefinida que se

mueve sobre una curva dada girando alrededor

de un punto de una recta fija,llamada eje que

pasa por XX’ cortándola oblicuamente.

La recta que gira alrededor del eje se le llama

generatriz, la curva es la directriz, el punto fijo es 0,

se le llama vértice de la superficie cónica.

.

El cateto fijo es el eje del cono.

La hipotenusa que engendra la superficie

cónica, es la generatriz.

El cateto móvil (OA) engendra la base del

cono y es el radio de la misma.

El vért ice B es el vért ice del cono.

La distancia del vértice a la base nos da la

altura. En este cono, el eje coincide con

la altura.

BD, AB y BC . . . Son Las d i ferentes

posiciones de la hipotenusa.

0

X

X’

A

0 CD

B

5.4.3 Cono de revolución

Se llama cono de revolución al cilindro que se supone engendrado por larotación de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.


El área lateral del cono circular es igual al semiproducto de la longitud dela generatriz por el perímetro de la base

Area lateral del cono circular

Porque el cono es circular, el perímetro de labase es el perímetro de una circunferencia.

12AL

= C l

22

AL = π r l

AL = π r l

→

→

Area total del cono circular

El área total del cono circular es igual al área lateral más el área de la base.

At = AL + r2π

At = r l + r2π

At = r (l + r)π (Sacando r como factor común)π

Porque el cono escircular, el área dela base es el áreadel circulo.

Volumen del cono

El volumen del cono se obtiene mediante el cálculo de la tercera parte del productodel área de la base por su altura,

Altura

V = 13

Bh

→ Volumen →

Area de la base

→

13

V = ( r2 h)π→

r2 hπV =3

Porque el cono escircular, el área dela base es el áreadel circulo

π

Si el cono es circular, entonces:


I) Determine el área lateral, área total y volumen de cada uno de los conos cuyos datos

aparecen a continuación:

a) r = 8 cms ; l = 15 cms.

b) r = 10 dms ; l = 2 ms.

Ejercicios sugeridos para el evaluar el aprendizaje logrado por los estudiantes

II) La profesora del kinder quiere que cada uno de sus 35 estudiantes haga un gorro

para su cabeza de cartulina. Si el gorro lleva forma de cono ¿qué cantidad de

cartulina se usará en cada gorro, si como promedio el diámetro de la cabeza de

cada niño es 5.5 pulgs. y la altura del gorro es de 6 pulgs?

Como dijimos, superficie esférica es el lugar geométrico de los puntos del espaciosituados a una distancia dada de un punto dado llamado centro.

La distancia dada del centro a la superficie se llama radio de la superficie esférica.

Toda recta que pase por el centro de la superficie esférica es un diámetro.

La superficie esférica puede considerarse engendrada de la rotación de una

semicircunferencia alrededor del diámetro.

5.5 La esfera

Esfera: Es el cuerpo geométrico limitadopor la superficie esférica.

El radio de la esfera es el radio de la

superficie esférica que la limita.

c) r = 7.8 Hms ; l = 3.5 dms.

e) r = 3 pies ; h = 18 pies

d) r = 5 pulgs. ; h = 60 pulgs.

Determine el valor de verdad de cada proposición:

Todos los radios de una esfera son iguales.

Si dos esferas son iguales, tienen radios iguales.

Todos los diámetros de una esfera son iguales.

Si dos esferas tienen radios iguales, éstas serán iguales.

Ejercicio para evaluar lo apendido sobre la esfera:


5.5.1 Area de la superficie esférica

El área de la superficie esférica es igual al producto del diámetro por la circunferencia

de un círculo máximo.

A = 4 r2

5.5.2 Volumen de la esfera

El volumen de la esfera es igual al área de la superficie esférica multiplicada la

tercera parte de su radio.

V = 4 r2π r 13

V = r3π43

Ya que: V = r3 , y el radio equivale a la mitad del diámetro:π43

π43V =

3 d2

→

π43V =

3d8

→

V = 16

π d3

¿Verdad que este es un momentooportuno para repasar lo aprendidotanto en el Algebra como en laAritmética?

Sección plana de una esfera

Si un plano corta una esfera , la sección determinada en la misma es un circulo.

El círculo determinado en una superficie esférica por un plano que pase por un

diámetro se llama círculo máximo, mientras que se le llama círculo menor a la sección

plana determinada por un plano que no contiene centro.

= d (2 r)

= 2r (2 r)

π

πA

Aπ

13


III) En una caja con forma de hexaedro o cubo se guarda una pelota de baloncesto;

¿qué espacio queda en la caja si ésta tiene 15 pulgs. de arista y la pelota tiene 3.5

pulgs. de radio?

IV) En una caja con forma de 4 pies de largo, 3 pies de ancho y 12 pies de altura,

¿cuántas pelotas de béisbol podrían colocarse si cada pelota tiene un radio de

una pulgada?

Ejercicios para evaluación de los estudiantes en lo aprendido.

I) Determine el área de la superficie y el volumen de las esferas cuyos radios y

diámetros sean:

a) r = 2 cm.

b) r = 1.3 dms.

c) r = 2.7 mts.

d) d = 13 cms.

e) d = 2.5 pulgs.

f) d = 7 dms.

II) Si el volumen de una esfera es 11,304 cm3, ¿cuál es la medida de su radio?

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CUERPOS GEOMETRICOS taller 5.pdf