Culegere de Probleme de mate- politehnica

CULEGERE DE PROBLEME DE MATEMATICA PENTRU ADMITEREA LA UNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN TIMISOARA

SESIUNEA IULIE 2007

PREFAPrezenta culegere se adreseaz deopotriv elevilor de liceu, n scopul instruirii lor curente, ct i absolvenilor care doresc s se pregteasc temeinic n vederea examenului de bacalaureat i a concursului de admitere n nvmntul superior. Avnd n vedere diversitatea datorat existenei unui mare numr de manuale alternative, ca o consecin a procesului de reform din nvmnt, am cutat s unificm diferitele maniere de prezentare prin alegerea unor probleme pe care le considerm indispensabile pentru abordarea cu succes a cursurilor de matematic din ciclul nti de la toate facultile Universitii Politehnicadin Timioara. La alctuirea problemelor s-a avut n vedere o reprezentare corespunztoare att a prii de calcul, ct i a aspectelor de judecat, respectiv, de raionament matematic. Gradul de dificultate al problemelor nefiind cel al unei olimpiade de matematic, acestea vor putea fi abordate de orice elev sau absolvent cu o pregtire medie a prii teoretice i care posed deprinderi de calcul corespunztoare. Problemele sunt prezentate dup modelul test, cu ase rspunsuri fiecare, dintre care unul singur este corect. Contieni de faptul c doar urmrirea rezolvrii unor probleme nu duce la formarea deprinderilor de calcul i a unui raionament matematic riguros, autorii au ales varianta problemelor propuse fr rezolvri. De asemenea, pentru a nu fora n rezolvare obinerea unui rezultat dinainte cunoscut, nu se face precizarea care dintre cele ase rspunsuri este adevrat, aceasta rezultnd n urma unei rezolvri corecte. Totui, pentru problemele cu un grad mai mare de dificultate, autorii au considerat necesar s dea indicaii pentru rezolvare. innd cont de faptul c prezenta carte va fi folosit i la ntocmirea subiectelor pentru concursul de admitere la Universitatea Politehnica din Timioara, invitm absolvenii de liceu s rezolve testele din acest volum, adugndu-i astfel cunotine noi la cele deja existente i implicndu-se prin aceasta n demersul de evaluare a propriilor competene. Departamentul de Matematic al UPT

Aceast culegere este recomandat pentru admiterea din anul 2007 la Universitatea Politehica din Timioara la urmtoarele faculti:

Facultatea de Arhitectur

Facultatea de Automatic i Calculatoare

Facultatea de Electronic i Telecomunicaii

Facultatea de Electrotehnic i Electroenergetic

BIBLIOGRAFIE[1] [2] MANUALE ALTERNATIVE APROBATE DE MedC pentru clasele IX, X, XI, XII. Leonte A. V., Niculescu C. P., Culegere de probleme de algebr i analiz matematic, Ed. Scrisul Romnesc, Craiova, 1981

[3] Nstsescu C., Brandiburu M., Joia D.: - Exerciii i probleme de Algebr -, EDP, Bucureti, 1981 [4] Catedra de matematic: - Algebr i Analiz matematic - Culegere de teste pentru admitere n nvmntul superior, Universitatea Tehnic din Timioara, 1991 (reeditat n 1992 1996). [5] Catedra de matematic: - Geometrie i Trigonometrie - Culegere de teste pentru admitere n nvmntul superior, Universitatea Tehnic din Timioara, 1991 (reeditat n 1992 1996). [6] Boja N., Bota C., Briloiu G., Bnzar T., Gvru P., Klepp F., Lipovan O., Matei t., Neagu M., Punescu D. : - Teste de matematic pentru bacalaureat i admitere n nvmntul superior, Ed. Mirton, Timioara, 1993. [7] Boja N., Bota C., Bnzaru T., Bnzar T., Hossu M., Lugojan S., Nslu P., Orendovici R., Punescu D., Radu F. : - Probleme de Algebr, Geometrie, Trigonometrie i Analiz matematic pentru pregtirea examenului de bacalaureat i a concursului de admitere n faculti.Ed. Mirton, Timioara, 1996. [8] Bnzaru T, Boja N, Kovacs A, Lipovan O, Babescu G, Gvrua P, Mihu I, Rendi D, Anghelescu R, Milici C. - Probleme de matematic pentru absolvenii de liceu, Ed. Politehnica Timioara, Ediia I.1998,Ediia II-a revzut 1999, Ediia a III-a revizuit 2000. [9] Bnzaru T., Boja N., Kovacs A., Lipovan O., Babescu Gh.,Gvrua P.,Mihu I., Rendi D., Anghelescu R., Milici C. - Matematic Teste gril pentru examenele de bacalaureat i admitere n nvmntul superior Ed. Politehnica, Timioara, 2001.

CUPRINS

MATEMATIC clasa IX-a (simbol AL-IX )..............................................................................................................9 MATEMATIC clasa X-a (simbol AL-X )..............................................................................................................39 MATEMATIC clasa XI-a Algebr superioar (simbol AL-XI ).........................................................................................................95 Geometrie analitic (simbol GA-XI ).......................................................................................................135 Elemente de analiz matematic (simbol AM-XI )......................................................................................................194 MATEMATIC clasa XII-a Algebr superioar (simbol AL-XII )......................................................................................................265 Elemente de analiz matematic (simbol AM-XII ).....................................................................................................307 INDICAII..................................................................................................................358

CLASA a IX-a

MATEMATIC , clasa a IX - a (simbol AL - IX) AL - IX. 001 S se determine numerele reale a cu proprietatea 1 5a 1 , i s se precizeze intervalul n care se afl soluia. a + 2 = 3

3 a) ,1 5 1 3 d) , 5 5

1 4 b) , 5 5 2 e) 0, 5

1 4 c) , 5 5f) [1, )

AL - IX. 002 S se determine numrul natural 6 100 N= k , k =1 2 unde [] noteaz partea ntreag a numrului raional scris n interior. a) 70 b) 83 c) 57 d) 91 e) 97

f) 78

AL - IX. 003 Dac [] reprezint partea ntreag a lui R, s se rezolve ecuaia : x + 1 x 1 3 = 2

precizndu-se n care din urmtoarele intervale se afl soluia a) (2,7) (9,15) c) (-3,2) [3,4 ) (6,14) e) (-1,1] [2,3) (5,8)AL - IX. 004 S se rezolve ecuaia

b) (-5,-3) (1,3 ] [5,7) 3 d) 1, (2,4) [5,7) 2 f) [0,2] [4,7] (9,+)

5 x 2 3[x ] + 2 = 0a) x 1, 2

[ ]

[

)

b) x 1, 2

(

)

c) x (0,1)

10d) x (0,1]

Culegere de probleme

e) x

f) x

[ 2 ,2)

AL - IX. 005 Mulimea soluiilor ecuaiei:

5 + 6x 15x 7 , unde [x] reprezint = 5 8 7 4 c) , , 15 5 1 4 f) , 2 5

partea ntreag a lui x, este

4 a) , 5 7 d) , 15

3 b) , 4 1 3 e) , , 2 4

AL - IX. 006 Notnd cu S mulimea soluiilor ecuaiei 1 1 x = [x ] s se precizeze care din urmtoarele mulimi este S 1 1 b) U k, k + a) , n Z* k n kZ d) {-1,1} e) [-1,1]

c) n 2 ; n Z \ { 1,1}f) (-1,1)

{

}

AL IX. 007 Se consider funcia f: RR, f ( x) = 2 + 1 2i se noteaz f2=f f, , fn = fn-1 f S se determine expresia lui fn a) fn(x) =f(x) + n; d) fn(x) =f(x); b) fn(x) =2nf(x); e) fn(x) =f(x)+2n+1; c) fn(x) =2n f(x)+2n-1+1 f) fn(x) = 2f(x)+1

x

AL-IX. 008 Fie ecuaia . Stabilii care dintre afirmaiile de mai = 3 2 jos este adevrat

x 2

x 3

Algebr IX a) ecuaia are 2 soluii c) ecuaia are o singur soluie e) ecuaia nu are nici o soluie

11b) ecuaia are 3 soluii d) ecuaia are o infinitate de soluii f) ecuaia are numai soluii negative

AL - IX. 009 S se determine unde m Z / {0} pentru care ecuaia

m2 x 1 2 x + 1 , = 5 2 a) n =2; b) n =3;

are soluii i apoi s se determine numrul soluiilor. c) n =4; d) n =5, e) n =1; f) n =0

AL - IX. 010 S se calculeze f ((1,4]) pentru funcia de gradul al doilea definit prin

f ( x) = x 2 4 x + 3 . a) [0,3] b) [1,0) c) (0,3] d) [1,3] e) (1,0) f) (0,3)

AL - IX. 011 Dac funciile f,g :RR au proprietile : f(g(x)) = x2-3x+4, ()xR ; i) ii) g(f(2)) = 2 s se determine cel puin o soluie real a ecuaiei f(x) = g(x) a) x =1 b) x = 2 d) x = 2 e) x = 4

c) x = 2 f) x = 3

AL IX. 012 S se rezolve inecuaia

3 2 1 + . x 2 x + 2 2( x 1)

a) x ( ,1) d) x (1,2) (3, )

b) x ( ,1) 0, (1,2) e) x R \ {1,2}

2 3

c) x 0, [1, 2] (3, )

2 3

2 f) x ( ,2) 0, (1,2) 3

12


AL - IX. 013 S se determine mulimea valorilor lui m R , astfel nct x R 3 x 2 + mx 22 = 0 I x R x 2 ( m + 4) x + 14 = 0 .

{

} {

}

a) (, 5)

b) { 7, 3}

c) R

d) { 19, 5}

e) { 17, 8}

f) { 1 }

AL - IX. 014 S se rezolve inecuaia x < x 2 x .

a) x R d) x (0,+) ( , 2)

b) x (,2) (3,) e) x (,0) (2,+)

c) x (3,+) f) x R \ {0,2}

AL - IX. 015 S se determine valorile parametrului real m astfel nct x R : (m 1) x 2 ( m + 1) x + m + 1 > 0 = .

{

}

5 a) m ( ,1) ,+ 3 5 d) m ,+ 3

b) m [1,+) 5 e) m 1, 3

c) m ( ,1] f) m ( ,1]

AL - IX. 016 S se afle minimul expresiei E = a 2 + 2b 2 3a + 3b pentru a, b R . 9 27 a) f) 3 b) 1 c) 0 d) e) 1 4 8AL - IX. 017 Se consider funcia f : R R , f ( x) = x 2 + mx + m 4 , m R.

S se exprime n funcie de m > 4 , expresia E = x1 f ( x2 m) + x2 f ( x1 m) ,

unde x1 , x 2 sunt rdcinile ecuaiei f ( x) = 0 . a) 1 md) 4(m 2 1)

b) m 2 + 1e) m(m 4)

c) 4m(m 4) f) m 2 + 2

Algebr IX

13

AL - IX. 018 S se determine m R , astfel ca rdcinile x1 i x2 ale ecuaiei x 2 ( 2m 3) x + m 1 = 0 s satisfac relaia 3x1 5x1 x 2 + 2 x 2 = 0 .

a) m1 = 2 , m2 = 3 d) m1,2 = 2 5

b) m1 = 1 , m2 = 1 e) m1,2 = 5

c) m1,2 = 2 7 f) m1 = 2 , m2 = 2

AL - IX. 019 Fie ecuaia 2 x 2 2mx + m 2 2m = 0 , unde m R. Care este mulimea valorilor pe care le pot lua rdcinile reale x1 , x2 cnd m variaz ?

a) [ 2 , 2 ] d) [1,1]

b) [1 2 ,1 + 2 ] e) [1 3 ,1 + 3 ]

c) [2 3 ,2 + 3 ] f) [ 3 , 3 ]

AL - IX. 020 Fie ecuaia 2x2-2(m+2)x+m2+4m+3=0, mR. Dac ecuaia are rdcinile reale x1(m), x2(m), precizai valoarea maxim a expresiei E = x1 (m) + x2 (m) .

a) 3;

b) 4;

c) 2;

d)

2;

e)

3;

f) 1.

AL - IX. 021 Fiind dat ecuaia ax2+bx+c=0, (a 0), s se exprime n funcie de a, b i c suma 3 S3 = x13 + x2 , unde x1,x2 sunt rdcinile ecuaiei date.

a) S3 =

b3 a3

3

bc a2

b) S3 =

c3 bc 3 2 3 a ac3 bc +3 2 3 a a

c) S 3 =

b2 bc 3 3 2 a ab2 bc +3 3 2 a a

d) S3 =

b3 bc +3 2 3 a a

e) S3 =

f) S3 =

14


AL - IX. 022 Se consider ecuaiile x 2 7 x + 12 = 0 i x 2 3 x + m = 0 . S se afle m pentru ca ecuaiile s aib o rdcin comun.

1 d) m { ,2}

a) m { 4,0},

b) m { 1,0} e) m {2,3}

c) m { 4,1} f) m {0,1}

AL - IX. 023 S se determine parametrii reali m i n astfel ca ecuaiile (5m 52)x 2 + (4 m )x + 4 = 0 i (2n + 1)x 2 5nx + 20 = 0 s aib aceleai rdcini.

a) m = -11, n = 7; d) m = 11, n = 7

b) m = - 7, n = 11 e) m = 7, n = 11

c) m = 9, n = 7 f) m = 9, n = -7

AL - IX. 024 Fie ecuaia 3mx 2 + (2m + 1)x + m + 1 = 0 , m R , ale crei rdcini sunt x1 i x2. S se determine o relaie independent de m ntre rdcinile ecuaiei.

a) x1 + x2 = x1 x2 d) x1 + x2 + x1 x2 =

2 b) x12 + x2 = 2 x1 x2

2 c) x12 x2 = 2 x1 x22 f) x12 + x2 + x1 x2 = 0

1 3

2 e) x12 + x2 3 x1 x2 = 0

AL - IX. 025 Se consider ecuaiile ax 2 + bx + c = 0,

a ' x 2 + b' x + c ' = 0

a 0, a ' 0 cu rdcinile x1 , x2 i respectiv x1 ' , x2 ' . Dac ntre coeficienii celor dou ecuaii exist relaia ac '+ a ' c 2bb' = 0 , atunci care din urmtoarele relaii este verificat de rdcinile celor dou ecuaii?a) x1 x2 + x1 ' x2 '2( x1 + x2 )( x1 '+ x2 ') = 0 c) x1 x1 '+ x2 x2 ' = x1 + x1 '+ x2 + x2 ' e) x1 x2 = x1 ' x2 ' b)

1 1 1 1 + = + x1 x2 x1 ' x2 ' d) 2 x1 = x2 x2 '+2 x1 ' 1 1 f) x1 x2 + x1 + x2 = + x1 ' x2 '

Algebr IX

151 x2 + x = 1 .c) x1 = 1, x2 = 0 f) x1 = 0, x2 = 2

AL - IX. 026 S se rezolve ecuaia iraional

a) x1 = 0, x2 = 1 d) x1 = 1, x2 = 2

b) x1 = 1, x2 = 1 e) x1 = 1, x2 = 2

AL - IX. 027 Determinai toate valorile lui x Z pentru care are loc inegalitatea

3 x 11 7 + x < 0 .d) {4,5,6,7,8} a) { ,3,4,5,6,7,8} 1 b) { ,2,3,4,5,7,8} 1 e) {2,3,5,6,7} c) {2,3,4,5,6,7,8} f) {2,4,5,6,7,8}

AL - IX. 028 Fie funcia f : R R , f ( x) =

3x 1 . S se determine x pentru care 3x 2 + 1

funcia ia cea mai mare valoare.3

a) 1 3

b)

3 +1 3

c) 1

d) 1+ 3

e)

1 2

f) 1+ 3

AL - IX. 029 S se determine toate valorile lui m R pentru care funcia

f : R R,este monoton. a) m ( , o )

2 x 1, x ( ,1) f (x ) = mx m + 1, x [1, )b) m = 4 e) m [ 2,1)

d) m [0, )

c) m R f) m

AL - IX. 030 S se determine valorile lui m R astfel nct funcia

f : R R,

x + m, x ( ,3] f (x ) = mx + 2, x (3, )

s fie surjectiv. a) m = 1 b) m (0,1) c) m 0, 2

1

16


d) m 1,

1 2

e) m

f) m = 1

AL - IX. 031 S se determine mulimea E astfel nct funcia f : E R R,

f ( x ) = max{2 x 5, x 2}

s fie bijecie a) E = R + d) E = [0,1] b) E = [ ,0] e) E = ( ,3] f) E = [1, ) c) E = R

AL - IX. 032 Fie funcia de gradul al doilea f m (x ) = mx 2 (2m 1)x + m 1 , (m 0) . S se determine m astfel nct vrful parabolei asociate acestei funcii s se gseasc pe prima bisectoare.

a) m =

1 4

b) m = 4

c) m =

1 2

d) m = 2

e) m =

1 6

f) m = 6

AL - IX. 033 Determinai valorile parametrului real m astfel nct dreapta de ecuaie y + 1 = x s taie parabola de ecuaie y = mx 2 + (m 5)x + m 2 + 2 n punctele (1,0) i (4,3).

a) m1 = 1, m2 = 3 d) m = 1

b) m1 = 3, m2 = 3 e) m = 21

c) m = 3 f) m = 3

AL - IX. 034 Fie familia de funcii de gradul al doilea

f m ( x ) = x 2 2(m 1)x + m 2, m R

S se arate c vrfurile parabolelor asociate acestor funcii se gsesc pe o parabol a crei ecuaii se cere. b) y = x 2 + x + 1 c) y = x 2 x + 1 a) y = x 2 e) y = 2 x 2 x + 3 f) y = x 2 + 1 d) y = x 2 + x 1 AL - IX. 035 Determinai expresia analitic a funciei de gradul doi f : R R ,

Algebr IX

17

f ( x ) = ax 2 + 4 x + c , tiind c graficul ei taie axa Oy n punctul 1 i are abscisa 2 vrfului . 3 a) f ( x ) = 2 x 2 + 4 x + 1 b) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x 1 d) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 1 c) f ( x ) = 4 x 2 + 4 x + 1 f) f ( x ) = 3 x 2 + 4 x + 3 e) f ( x ) = x 2 + 4 x + 1AL - IX. 036 S se determine m R astfel nct parabolele asociate funciilor f ( x ) = x 2 2 x 4 i g (x ) = mx 2 2mx 6 s aib acelai vrf.

a) m = -1 d) m = 2

b) m = 1 e) m = 3

c) m = -2 f) m = -5

AL - IX. 037 Fiind dat familia de parabole f m ( x ) = mx 2 2(m + 1)x + m + 2 ,

m R* s se determine valorile lui m pentru care obinem parabole ale cror punctede intersecie cu axa Ox sunt simetrice fa de origine. a) m R { 1} d) m = 1 e) m { 1,1,2} b) m = 2 c) m = 1 f) m = 3

AL - IX. 038 S se determine p, q R dac funcia f : R R ,

f ( x ) = x 2 + px + q are maximul 4 n punctul x = -1.b) p = 1, q = 2 e) p = q = 1

a) p = 2, q = 3 d) p = q = 2

c) p = 3, q = 2 f) p = 2, q = 3

AL - IX. 039 Presupunem c pentru ecuaia ax 2 + bx + c = 0

(a 0) avem > 0c)

i rdcinile x1 , x2 . S se calculeze x1 x2 n funcie de i a. a)

2a

b)

a

2a

18


d)

e)

a

f)

b + 2a 2a

AL - IX. 040 Fie f : R R,

Dac f (8) = 2 , s se determine mulimea A = x Z f x 2 = f ( x ) .

f ( x ) = x 2 + x + a, a R .

{

( )

}

1 a) A = { ,2}

d) A = { 1,0,1}

e) A = { 1,1}

b) A = {0,1}

c) A = { 1,0} f) A = {0,2}

AL - IX. 041 Fie o funcie f : R R , astfel nct f (1) = 5 i x, y R ,

f ( x + y ) f (x ) = Kxy + 2 y 2 , unde K este o constant.b) K = 3, d) K = 1; f) K = 2;

S se determine valoarea lui K i funcia f. a) K = 4; f ( x ) = 2 x + 3 c) K = 3; e) K = 4;

f (x ) = x + 42

f (x ) = 2 x + 3

f (x ) = 2 x 2 x + 4 f (x ) = 2 x 2 3x + 6 f x = 2x2 2x + 5

(

)

AL - IX. 042 Se d ecuaia 4 x 2 4(m 1)x m + 3 = 0 i se cer valorile lui m3 3 astfel nct s avem 1 + 4 x1 + 4 x2 = m , unde x1 i x 2 sunt rdcinile ecuaiei date.

a) m1 = 1 , m2 = 2 , m3 = c) m1 = 0 , m2 = 2 , m3 =

4 3

b) m1 = 1 , m2 = 2 , m3 =

3 4

3 4 3 4

d) m1 = 1 , m2 = 2 , m3 =

3 4 3 4

e) m1 = 1 , m2 = 2 , m3 =

f) m1 = 1 , m2 = 2 , m3 =

Algebr IXAL - IX. 043 Care sunt valorile k reale pentru care inecuaia x 2 ( k 3) x k + 6 < 0 nu are soluii ?

19

a) k ( 5,0) d) k [ 3,8]

b) k [1,5) e) k [ 2,3] ( 4,7)

c) k [ 3,5] f) k [ 1,2) ( 4,5)

AL - IX. 044 Pentru ce valori ale parametrului real m inegalitile 2 x 2 mx + 2 2< < 6 sunt satisfcute pentru orice x R ? x2 x + 1

a) m R d) m ( ,2)

b) m ( 2,6) e) m ( 6,6)

c) m ( 6,+) f) m [ 2,6] 4 . x 4x + 52

AL - IX. 045 S se rezolve inecuaia 5 x 2 20 x + 26

a) [1,0)

4 b) ,+ 5

c) {0, 1}

d) R

e)

f) 2 , 2

(

)

AL - IX. 046 S se determine mulimea valorilor parametrului real m astfel nct 4 x 2 6mx + 9 s nu ia nici o valoare mai mic dect 3 funcia f : R R, f (x ) = x2 +1 sau mai mare dect 13.

2 2 a) , 3 3 d) [ 11] ,

b) ( 2,2) e) ( 1,2]

2 2 c) , 3 3 f) 2 , 2

(

)

AL - IX. 047 S se determine valorile parametrului real m astfel nct

20x 2 + (m + 1) x + m + 2 x2 + x + ma) m 1 2 2 ,1 + 2 2


> 0 pentru orice x R .

{(

})

1 b) m , 1 + 2 2 ,+ 4

[

))

c) m ( ,1) (4,+) e) m 1 2 2 ,1 + 2 2

d) m ,1 2 1 + 2 ,+ 1 f) m ,1 + 2 2 4

(

) (

AL - IX. 048 S se afle cea mai mic valoare a funciei f : R R ,

f ( x ) = x 2 2 x 1 m 2 + 1 + m + m 2 , cnd parametrul real m parcurge toate valorile posibile. a) 1 b) 0 c) 1 d) 1 2 e) 1 8 f) 1 4

AL - IX. 049 S se determine distana celui mai apropiat vrf al parabolelor f ( x ) = x 2 + mx + m 4 , m R de axa Ox.

a) 0

b)

2

c) 2

d) 3

e) 4

f) 1

AL - IX. 050 S se determine m R * astfel nct 4mx 2 + 4(1 2m) x + 3( m 1) > 0

pentru orice x > 1. a) m ( ,0) d) m (0,1] b) m ( 0,+) e) m [2,+) c) m (1,4] f) m ( 11) \ {0} ,

AL - IX. 051 Pentru ce valori ale lui m , mulimea

A = x R

{

, (m 1) x 2 2(m + 1) x + m = 0} [ 11]

are un singur element ?

Algebr IX

213 c) m , 4 1 f) m , 4

a) m R d) m [ 2,1]

b) m ( 1,+) 1 1 e) m ,+ 4 3

AL - IX. 052 Fie ecuaia x 2 (1 m) + 2 x( a m) + 1 am = 0 , unde a 1 i m sunt parametri reali. Pentru ce valori ale lui a, ecuaia admite rdcini reale oricare ar fi valoarea parametrului m ?5 a) a , 4

b) a R c) a (1,1) d) a (0,1) e) a [0,+) f) a (1,+)

AL - IX. 053 Se consider ecuaia mx 2 x + m 7 = 0 . Cruia din intervalele indicate mai jos trebuie s aparin parametrul real m, astfel ca ecuaia dat s aib o singur rdcin cuprins n intervalul [2,4] ? a) ( ,1] b) (2,+ ) 1 c) 0, 2 1 d) ,0 2 11 9 e) , 17 5 9 f) 0, 5

AL - IX. 054 S se determine valorile parametrului m R \ {0} astfel nct ecuaia mx 2 ( m 1) x 1 = 0 s aib ambele rdcini n intervalul ( ,3] . b) m ( 11] \ {0} , 1 1 e) m , 3 5

1 a) m , (0,+ ) 5 d) m ( ,0) [2,+)

1 1 c) m , ,+ 5 5 1 f) m , ( 0,+) 3

AL - IX. 055 S se determine Im f = f ( x ) x R pentru funcia f : R R ,

{

}

f (x ) =

x 3x + 2 x2 + x + 12

22


a)

9 2 21 9 + 2 21 , 3 3 9 2 21 c) , 3 9 3 21 9 + 3 21 e) , , U 3 3

b)

9 + 2 21 , 3

d) ,

9 2 21 9 + 2 21 , U 3 3 9 3 21 9 + 3 21 f) , 3 3

AL - IX. 056 Rezolvai n R inecuaia 1 x x 2 3x + 2 > 0 . a) x (1,3] d) x ( 0,2) ( 3,4) b) x (1,3) e) x [2,4] c) x (2,4) f) x ( 1,4]

AL - IX. 057 S se rezolve n R ecuaia x 2 1 + x 2 4 1 = 0 . a) x ( 2,1) b) x R c) x [2,+) d) x e) x ( ,2] f) x R \ {1,4}

AL - IX. 058 Precizai care este mulimea soluiilor sistemului 2 3 y 2 xy = 160 . 2 y 3xy 2 x 2 = 8 a) (8,2); ( 8,2); (17,5); ( 17,5)

{

}

17 17 b) ( 2,8); ( 2,8); ,5 ; ,5 2 2

17 5 17 5 c) ( 2,8); ( 2,8); , ; , 2 2 2 2 17 17 e) (1,4); ( 1,4); ,5 ; ,5 2 2

5 5 d) ( 2,8); ( 2,8); 17, ; 17, 2 2 17 17 f) ( 1,4); (1,4); ,5 ; ,5 2 2

Algebr IXAL - IX. 059 S se rezolve sistemul

23

x + y = 3 xy = 2a) {(1,3), (3,1)} d)

{( 1,2), (2,1)}

{(2,3), (3,2)} e) {(1,1)}b)

c) {(1,2 ), (2,1)} f)

{(2,2)}

AL - IX. 060 S se determine soluiile reale ale sistemului

y 4 x + = y +1 x +1 3 x + y + xy = 5 a) {(2,1), (1,2 )} , d)

{(2,3), (3,2)}

b) {(1,1)}

e) {(1,3), (3,1)}

c)

{(2,2)} f) {(2,2 ), (1,1)}

AL - IX. 061 n care din urmtoarele mulimi se afl soluiile sistemului

x 2 + y 2 + xy = 91 x + y + xy = 13 a)

x1 [0,2], y1 {7,8}

x2 [5,10], y2 ( 1,1) x2 {5,7}, y2 ( 1,2) x1 (2,3), y1 (0,7 )

b)

x1 ( 1,3], y1 [7,9]

x2 {7,8, 9], y2 [0,3] x1 (2, ), y1 ( ,0] x1 (1,5), y1 (7,9 ) x2 {3,5,7}, y2 {0,1,3} x2 (7,9 ), y2 (1,5)

c)

d)

e)

x1 [ 7,2], y1 [3,5) x2 (3,6 ), y2 (3,6 )

f)

AL - IX. 062 Determinai a, b Z pentru care soluiile sistemului

24 x y 3 + 3 = a x y x + y = b sunt numere ntregi a) a = 2; b = 1 d) a = 2; b = -1


b) a = 2; b = k e) a = 4; b = 2k

c) a = 2; b = 2k f) a = 2k; b = k

AL - IX. 063 S se determine soluiile sistemului

x2 = 4 x y = 25

5 a) 1 2, ; ( 2,5) 5 c)

(2,5); 2, 1

(2,5); (2,5)b)

1 1 2, ; 2, 5 5 x=2

x = 2; este singura soluie y=5 x= 4

d)

y= x =2 y =5

1 este singura soluie 5este singura soluie

e)

1 este singura soluie x= 5

f)

AL - IX. 064 Fie (S ) :

x2 + y2 = z , m R . Fie x + y + z = m

~ ~ ~ A = {m R (S ) admite o soluie real unic, notat cu xm , ym , zm } ~ 2 ~ 2 ~ 2 S1 = m i S 2 = xm + ym + zm . Atunci m A m A 1 1 3 3 b) S1 = ; S 2 = 25 c) S1 = ; S 2 = a) S1 = 0; S 2 = 2 2 4 4

Algebr IX

25

d) S1 = ; S 2 =

1 2

3 4

e) S1 = 5; S 2 = 14

f) S1 5; S 2 = 25 soluiile reale ale sistemului

AL - IX. 065 n care din urmtoarele mulimi se afl 3 6 x y = 98 ? 4 x + x 2 y + y 2 = 49

a) x ( 11); y { 1,0,1} , c) x , 3

b) x 3 , 3 ; y 3 , 3

(

) (

)

(

) (

3 ,+ ; y 2,3 3

) [

]

d) x ( ,7); y ( 7,+ )

1 1 , e) x , ; y ( 11) 2 2

2 2 1 1 f) x 2 , 2 ; y 2 , 2

AL IX. 066 S se determine toate tripletele de numere reale (x, y, z) care verific sistemul neliniar x2 y = 0, y2 xz = 0 , z2 16y = 0 a) (0,0,0) ; (2,4,4) ; (2,4,8); b) (0,0,0); (2,4,8); (2,4,8) c) (0,0,0) ; (2,4,8) ; (2,4,8) ; d) (0,0,0) ; (2,4,8) ; (2,4,8) f) (1,1,4) ; (1,1,1); (1,1,1); (1,1,1) e) (0,0,0) ; (2,4,8) ; (2,4,8) ; AL IX. 067 S se determine condiiile pe care trebuie s le verifice parametri reali a,b astfel nct sistemul

x 3 y 3 = a(x y ) 3 x + y 3 = b( x + y )

s aib toate soluiile reale b) a,bR+ a 3b, b 3a e) a,bR a=b c) a,bR+ a 2b, b 2a f) a,bR+

a) a,bR a2 = 3b d) a,bR

x + y + z = 6 AL IX. 068 Fiind dat sistemul x 2 + y 2 + z 2 = 14 x 3 + y 3 + z 3 = 36

26


s se precizeze numrul soluiilor reale i intervalele n care se afl aceste soluii a) n = 3 b) n = 6 (x,y,z) [1,5] [1,5] [1,5] (x,y,z) [0,4] [0,4] [0,4] c) n = 1 d) n = 6 (x,y,z) [3,7][3,7][3,7] (x,y,z) [2,9] [2,9] [2,9] e) n = 3 f) n = 2 (x,y,z) [0,1] [0,1] [0,1] (x,y,z) [1,2] [1,2] [1,2]AL IX.069 S se determine n care din intervalele de mai jos se afl soluiile sistemului

xy yz zx x2 + y2 + z2 = = = 6 2 y + 3x 3z + y x + 2 za)

1 3 1 x 0, , y 0, , z 1, 2 2 2

b) x

3 2 2 2 ,1, y 0, 2 , z 2 ,1

1 3 1 2 , y ,1, z 0, 2 2 2 2 3 e) x (1,2), y 0, 2 , z (0,1) c) x ,

d) x (0,1), y (1,2 ), z (2,3) f) x 0,

3 3 , y 1, , z 1, 2 4 2

(

)

AL - IX. 070 S se determine valorile parametrului real a astfel nct sistemul x 2 + y 2 = 2 z 13 s aib o soluie unic real. 2 2 x y + z = a + 3a 2 3 35 3 + 35 a) a ( ,2) b) a , c) a { 1,2} 2 2

d) a ( 1,2)

e) a { 4,1}

f) a ( 4,1)

AL - IX. 071 S se determine m R astfel nct x 2 + y 2 4 x 4 y + m > 0 pentru orice x , y R .

Algebr IX a) m = 7 b) m ( ,1) c) m < 3 d) m ( 3,5) e) m (8,+ )

27f) m [ 3,5)

AL - IX. 072 Fie f :R R, f ( x ) = (m 2 )x 2 + 2(m + 1)x + m 3 . S se afle n care din urmtoarele intervale se gsete m astfel nct valoarea minim a funciei f s fie 9 .

a) m ( ,0 ) b) m (0,1) c) m ,3 d) m (4,7 ) e) m [7,9] f) m (8,+ )

1 2

AL - IX. 073 S se determine parametrul m R + din ecuaia mx 2 + (m + 1)x 5 = 0 ,

astfel nct rdcinile acesteia s verifice inegalitile x1 < 1, x2 > a) m ( 0,6) d) m (0,+) b) m [0,6] e) m ( ,0 ) c) m R

1 . 2

f) m { 1} ( 0,5)

AL -IX. 074 S se determine parametrul m Z \ {2} , astfel ca rdcinile x1 i x 2

ale ecuaiei (m 2) x 2 5 x + m + 1 = 0 s satisfac condiiile: x1 (,2) , x2 (3,5) . a) m = 1 b) m = 3 c) m = 4 d) m = 5 e) m = 3 f) m = 2

AL - IX. 075 S se afle mulimea valorilor funciei f definit prin formula x2 + 2 . f ( x) = x2 + 1

a) (, 0)

b) (0,+ )

c) [ 1, 1]

d) [2, + )

e) 2 , 2

(

)

f) {1}

AL - IX. 076 Fie f : R R , f ( x ) =

3x 2 + mx + n . S se determine m, n R x2 + 1

astfel nct f ( R ) = [ 3,5] .

28 5 7 a) m 2 3 ; n , 2 2


{ } d) m [ 2 3 ,2 3 ]; n = 0

b) m 4 3 ; n { 1} e) m [ 3,5]; n [ 11] ,x 2 + 2( m + 1) x + n

{

}

c) m 2 3 ; n { 1}

{ } f) m { 3 2 }; n = 1

AL - IX. 077 Fie f : R R , f ( x ) =

. S se determine m R x2 + 2 pentru care exist n R astfel nct f ( R ) [ 2,3] . b) m 2 3 ,2 3

a) m ( ,0 ) d) m 1 3 ,1 + 3

[

]]

c) m ( 1,+) f) m 2 ,+

[

]

e) m 1 2 3 ,1 + 2 3

[

[

)

AL - IX. 078 Fie ecuaia x 2 x = mx( x + 1) . S se determine valorile parametruluireal m astfel nct aceast ecuaie s aib trei rdcini reale diferite. a) m R d) m ( ,1] b) m (1,1) e) m R \ { 11} ,1 + 4 m2 x x 2 m x2 + 1

c) m f) m R \ {1}

AL - IX. 079 Fie f : I R R , f ( x ) =

(

(

)

)

, m R \ {0} . S se

determine m astfel nct I s fie un interval mrginit de lungime minim. a) m = 0 b) m = 2 c) m = 2 d) m = 1 e) m = 2 f) m = 4

AL - IX. 080 Numerele a , b, c R satisfac egalitatea 2a 2 + b 2 + c 2 = 3 . S se determine valoarea minim pe care o poate lua expresia a 2b + c .

a) 33

b)

33 2

c)

33 2

d) 10

e)

1 2

f) 10

Algebr IX

29

AL - IX. 081 S se rezolve inecuaia 2 + 3x + 5x + 4 < 0 . 4 2 a) , 5 3 4 7 c) , 5 9

4 2 b) , 5 5

3 1 d) , 5 5

7 e) 0, 9

7 f) ,0 9

AL - IX. 082 S se determine x R pentru care a) x ( ,0) b) x = 1 c) x =3 2

1 + x 1 x = 1.

d) x =

3 2

e) x =

3 2

f) x

AL - IX. 083 Fie inecuaia 4 x 2 > 1 x . Care din intervalele de mai jos reprezint mulimea soluiilor inecuaiei ?a) ( ,3) 17 b) ,20 2 c) ( 2,2] d) (22,+ ) e) [4,5)

1 7 f) 2 ,2

AL - IX. 084 S se determine mulimea A = x R a) ( ,1] b) [2,+ ) c) [1,+ ) d) ( ,1] {3}

x 2 5x + 6 3 x . e) [1,2) {3} f) [3,+)

x AL - IX. 085 S se rezolve ecuaia x 2 + =1. x 1a) x = 1 2 d) x = 1 2 2 2 1 2 b) x = 2 1 e) x = 1 2 2 1 2 c) x = 1 2 1 2 2 1 2

2

1 f) x = 1 2 2 2 1 2

30


AL - IX. 086 S se determine domeniul maxim de definiie D , al funciei

f : D R R , unde f ( x ) = n 1 n +1 x + 1 + n +1 n x 1 , n N .a) D = {0} pentru n = 2 k b) D = ( ,1] pentru n = 2 k

D = [1,+) pentru n = 2 k + 1

D = R pentru n = 2 k + 1d) D = {1} pentru n = 2 k

c) D = [0,+ ) pentru n = 2 k

D = {0,1} pentru n = 2 k + 1

D = {0,1} pentru n = 2 k + 1

e) D = [1,+) pentru n = 2 k

D = [ 1,+ ) pentru n = 2 k + 1

f) D = [ 1,+ ) pentru n = 2 k

D = {0} pentru n = 2 k + 1

AL - IX. 087 Se consider ecuaia: 2 x + 1 + 1 2 x = 4 + x . n care din mulimile indicate mai jos , ecuaia are o singur rdcin real ?

a) ( ,4)

1 1 b) , 2 5

c) (8,+ )

d) (1,2) [3,+)

e) ( 2,1)

1 f) 4, 2

AL - IX. 088 Precizai care este mulimea soluiilor inecuaiei 15 + 5x 13 2 x 2 . 109 13 ,2 b) A = 2, a) A = 49 2

109 c) A = 3, 49 102 f) A = ,2 49

13 d) A = 3, 2

e) A = [ 3,2]

AL - IX. 089 S se afle pentru ce valori ale parametrului m R , ecuaia

x + 8m + x = 4 x + 8m + 4 are soluii reale.a) m R b) m ( ,0 ) c) m [ 1,1] \ {0}

Algebr IX

31 1 2

d) m 0, 2

1

e) m ,+

1 2

f) m ,

AL - IX. 090 Precizai mulimea A creia i aparin valorile reale ale lui x pentru care

are loc egalitatea a)A = ( 0,1)

3 x 1 8 3 x

( x)

x

= 5x 2 x . d)A = (2,3) e)A (2,7) f)A = [3,+)

b)A = (1,2)

c)A = [2,3)

AL - IX. 091 S se calculeze valoarea expresiei a 3 + b 3 2ab ab a 3 + b 3 2ab ab ab E= pentru a = 2 + 3 i b = 2 3 . a a b b a a b b + ab

a) E = 4

b) E = 4

c) E = 2

d) E = 2

e) E = 1

f) E = 1

AL - IX. 092 S se precizeze valoarea numrului real

E = 26 + 6 13 4 8 + 2 6 2 5 + 26 6 13 + 4 8 2 6 + 2 5a) E = 6 b) E =

2 3

c) E =

13 2

d) E = 4

e) E =

5 2

f) E = 1

AL - IX. 093 S se determine valoarea expresiei

E = 3 20 + 14 2 + 3 20 14 2a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 AL - IX. 094 S se determine valoarea expresiei e) 5 f) 0

E=6

(27

(9n 1

n

9n 1

)

1 2 1 n2 3

19 272 3

)

, nZ

a)

72

b)

2 3n 1

c)

d)

2 3

n+3 2

e) 1

f) 2

32


AL - IX. 095 S se simplifice fracia:

F=

x 3 + y 3 + z 3 3 xyz (x y )2 + ( y z )2 + (x z )2b) F = x + y + z e) F =

a) F = x y + z d) F = x + y + z + 1

x+ y+ z+3 2

x+ y+z 2 x + y + z +1 f) F = 2c) F =

AL - IX. 096 Care este mulimea valorilor reale ale lui x pentru care avem

1 + x(2 x) 1 x( 2 x) = 2(2 x) ? a) x {0,1} b) x {3,4} c) x [0,1] d) x [1,2] e) x [2,3] f) x [0,2]

AL - IX. 097 Pentru x y s se determine valoarea expresiei

E=

(x

2

y2 ) 3 x + 3 y2 3 3 2

(

)

3

x + 3 x y 3 x y 3 y552

( xy + y )3 3 2

1

1

2

a) 1

b) x + y

c) x y

d) x 3

e) x 3 + y 3

f) y 3

AL - IX. 098 S se rezolve ecuaia

1 a2 x2 x dat, n mulimea numerelor reale.

a2 x2

1 = 0 , cu a R , a > 0 ,

a) x { a , a} d) x { a} (0, a ]

b) x [ a , a ] \ {0} e) x ( 0,+)

c) x [ a ,+) \ {0} f) x { a} [a ,+ )

AL - IX. 099 Fie ecuaia x 2 ( m 1) x + m 1 = 0 , m R . S se determine m astfel

Algebr IX

33

nct

3

x1 + x 2 + 3 9 x1 x 2 = 3 .

a) m { 1,3} b) m {5,8} c) m {1,6} d) m { 3,8} e) m { 2,9} f) m {2,9}

AL - IX. 100 S se rezolve ecuaia

n

( x + 1)

2

+ n ( x 1) =2

5n 2 x 1. 2 c) x = 2n + 1 2n 1 5n 2 n 5n + 2 n

a) x =

5n + 1 5n 1 5n 1 5n + 1

b) x =

2n 1 2n + 1 5n + 2 n 5n 2 n

d) x =

e) x =

f) x =

AL - IX. 101 S se rezolve inecuaia x x 2 + 2 > x 2 1 .

a) x [0,+) d) x ( 11) ,

b) x ( ,1) e) x ( 1,+)

1 c) x ,+ 2 f) x (1,+ )

AL - IX. 102 S se determine toate soluiile reale ale ecuaiei

a) x {2,5,10}

x + 3 4 x 1 + x + 8 6 x 1 = 1. b) x [5,10] c) x {5,10} d) x [1,5] e) x (5,+)

f) x (5,10)

AL - IX. 103 S se determine numrul rdcinilor reale ale ecuaiei

2 x2 + 3 3 x2 = 0 .a) o rdcin real d) nici o rdcin real b) dou rdcini reale e) patru rdcini reale c) trei rdcini reale f) ase rdcini reale

AL - IX. 104 S se determine toate soluiile reale ale ecuaiei

34


x2 1 + x 1a) x { 11} , b) x { 2,11} ,

1

x2

= 0. c) x f) x { 11,0} ,

d) x R \ {0}

e) x ( ,1] {1}

AL - IX. 105 S se calculeze valoarea expresiei E = x + 2 x 1 + x 2 x 1 , pentru x [1,2] .

a) E = 1 + x d) E = 3x x2

b) E = x 2 3x + 4 e) E = 6 x 2 x2

c) E = 2

f) E = 2(2 x )

AL - IX. 106 S se determine valorile lui m R pentru care ecuaia

mx 2 x + 1 + mx 2 + x + 1 = x are soluii n R i s se determine aceste soluii.a) m = d) m =

1 ; x [5,7] 41 ; x [2,+ ) 4

1 1 b) m , ; x [2,+) 2 8 1 1 e) m , ; x {2,3} 4 4

c) m =

1+ 7 1 ; x 2 ,+ 4 2 ; x {4,6} 3

f) m =

AL - IX. 107 Fiind date funciile f , g : [ 1,1] [ 1,1] definite prin

x 2 , x [ 1,0] i f (x ) = x, x (0,1] s se determine funcia h = g o f .

x, x [ 1,0] g (x ) = 2 x , x (0,1]

a) h = f d) h = g2

b) h = g e) h = fg

c) h = f 2

2 x , x [ 1,0] f) h( x ) = 4 x , x (0,1]

Algebr IXAL - IX. 108 Fie f , g : R R

35

x 3, dac x 2 i f (x ) = 2 x + 5, dac x < 2Atunci ( f o g )( x ) este :

x 2 + 1, dac x 0 g (x ) = x + 7, dac x > 0

x 2 2, x ( ,1] x 2 + 2, x ( ,0] 2 2 x + 7, x ( 1,0] a) ( f o g )( x ) = b) ( f o g )( x ) = 2 x 4, x (0,5] x 11, x (5, ) x + 4, x (0,5] 2 x + 19 x (5, ) x 2 2, x ( ,1] c) ( f o g )( x ) = x 4, x ( 1,0] 2 x 19, x (0,8) d) ( f o g )( x ) =

2 x 2 + 7, x ( ,5] x + 4, x (5, )

x 2 2, x ( ,1] x 2 2, x ( ,5] e) ( f o g )( x ) = f) ( f o g )( x ) = 2 x 19, x ( 1, ) 2 x 19, x (5, ) x 1 x ( ,2 ) 2 x 3 x [2,+ ) x + 1 x ( ,1) 2 ( x + 3) x [1,+ )

AL - IX. 109 Fie f : R R ; f ( x ) =

S se determine inversa acestei funcii. a) f 1 ( x ) = x + 1 x R b) f 1 ( x ) = 1

c) f

1

(x ) = x;

x R

1 (x + 3) x ( ,1] d) f ( x ) = 2 x + 1, x (1, ) 1

36 1 x 1 x ( ,2 ) 1 e) f ( x ) = 1 ) 2 x 3 x [2,+


f) funcia nu poate fi inversabil

AL - IX. 110 S se precizeze care din rspunsurile de mai jos este corect pentru funcia f : R R ,

2 x 4, x 6 f (x ) = x + 2, x > 6b) f este inversabil i f 1 ( y ) = 2

a) f nu este inversabil;

y+4 , y 2,

y8 y >8

c) f este inversabil i f 1 ( y ) = y e) f este inversabil i f 1 ( y ) =

d) f este inversabil i f 1 ( y ) = y 2 f) f este inversabil i

y+4 2

y+4 ,y >8 f (y) = 2 y 2, y 8 1

AL - IX.111 Determinai valorile lui a R pentru care funcia

f ( x ) = a x + 1 + x 1 + (2 a )x a 1

este inversabil i determinai inversa ei.

a) a =

1 ; 2

x x 1 f 1 ( x ) = x + 2 x >1 3

b) a = 0;

x 1 2 ; x < 1 f 1 ( x ) = x; 1 x 1 x + 2 ; x >1 3

Algebr IX

37 x+a 1 2a ; x > 1 f 1 ( x ) = x; 1 x 1 x + 2 ; x < 1 3 x 2; x < 1 1 f ( x ) = x; 1 x 1 x + 2 ; x >1 3 1 2

c) a 1 3 x + 2a 1 2a ; x < 1 f 1 (x ) x; 1 x 1 x + 2 ; x >1 3

d) a

1 ; 2

f) a = 1;

AL - IX.112 S se aleag un interval maximal [a,b ) , astfel nct pentru

f : [a, b ) [ f (a ), ) , f ( x ) = x 2 x 2 s existe f 1 . S se precizeze dac f 1 este strict cresctoare sau descresctoare.a) [1, ) ; f 1 strict descresctoare; c) , ; f 1 strict descresctoare 2 e) , ; f 1 strict descresctoare 2 b) , ; f 1 strict cresctoare 2 d) [1, ); f 1 strict cresctoare f) , ; f 1 strict cresctoare 3

1

1

3

4

AL - IX.113 S se determine m R astfel nct funcia

x 2 mx + 1, x 0 s fie strict descresctoare pe R. f (x ) = x + m, x > 0d) m [0,1] a) m b) m R e) m (1,2 ) c) m ( ,0 ) f) m [2, )

CLASA a X-a

MATEMATIC , clasa a X - a (simbol AL - X) AL - X. 001 Pentru ce valori ale lui m R , graficul funciei f : R R ,f ( x ) = me x (m + 1)e x , taie axa Ox ?

a) ( 1,0)

1 b) 1, 2

c) ( ,1) ( 0,+)

d) ( 5,+)

e) ( ,2)

f) R

x x 3 AL - X. 002 S se rezolve ecuaia: 3 + 2 2 3 2 2 = . 2

a) x = 1

b) x = 2

c) x =

lg 3 + 2 2

(

2 lg 2

)

d) x

e) x =

lg 3 2 2

(

2 lg 2

)x

f) x = 2 lg 2

AL - X. 003 S se rezolve ecuaia: 1 + 2

(

) + (3 2 2 )

x

=2.

a) x1 = 0, x 2 = 1

b) x1 = 0, x 2 = 2

c) x1,2 =

ln 3 5 ln 2 ln 3 2 2

(

(

)

))

d) x1,2 =

ln 3 2 2 ln 2 ln 3 5

(

(

)

)

1+ 5 2 e) x1 = 0, x 2 = ln 1 + 2 ln

(

)

f) x1 = 0, x 2 =

ln 2 2 3 ln 3

(

AL - X. 004 Determinai valoarea lui x pentru care e x + e x = 2 a) 1 b) 1 c) 2 d) 0 e) 2 AL - X. 005 n care din urmtoarele mulimi se afl soluia ecuaiei

f) ln2

40


4x 3a) e,e 2

x

1 2

=3

x+

1 2

22 x 1c) (3,7 ] f) (9,11)

(

d) 1, 3

( ]

)

b) ( 1,1) e) (0,1)

AL - X. 006 S se rezolve ecuaia 2 x 3x = 6 x 9 x

a) x1 = 0 este unica soluie d) x1 = 0

b) x1 = 0

c) x1 = 0

x2 =

1 1 log 2 3

x2 = log 2f) x1 = 0

e) x1 = 0

x2 = log 2 3 + 1

x2 =

1 log 2 3

x2 = log 2 3

AL - X. 007 Determinai funcia f : R R , astfel nct y = f ( x ) s fie soluie a

ecuaiei e y e y = x . a) f ( x ) = ln x c) f ( x ) = ln e) f ( x ) = ln b) f ( x ) = ln x +2

(x

+1 x

)

(

x2 + 4

)

d) f ( x ) = ln f) f ( x ) = ln

x x2 + 4 2

x + x2 + 4 2

x x2 + 4 2

AL - X. 008 Determinai mulimea A la care aparine soluia ecuaiei

23 x a) A =

(

2 ,8

)

8 1 6 2 x x 1 = 1 3x 2 2 1 b) A = ,16 2

c)

(

3

2 ,9

)

Algebr X

41

d) A = [ 2,0 )

e) A = 0, 2

1

f) A = (0,1)

AL - X. 009 S se determine valorile lui m R pentru care ecuaia

(3x 1)(x m 1) x1 1 (2 x + m ) x1 = (x m 1) x1m are trei rdcini reale i distincte. 2b) m R

cu condiiile x > m + 1 i x >

a) m d) m , \

2 3 3 2

e) m ,

1 2

3 1 , 2 2 1 f) m , 2 c) m R \

a) (4,+ )

1 AL - X. 010 S se rezolve inecuaia: 3b) [ 2,1) c) (0,10)

x +2

> 3 x .d) (1,+) e) (2,+ ) f) ( 11) ,

AL - X. 011 S se determine m R astfel nct inegalitatea m + 1 > 0

s fie adevrat pentru orice x < 0 . a) m b) m ( 2,2) c) m [ 2,2] d) m [2,+)

4 9

x

2 3

x

e) m < 2

f) m 2

AL - X. 012 Care este soluia sistemului de inecuaii:

1 3x + 1 1 ? 3 9x + 1 2 c) (3,+ )

a) log 3 2, log 3 3 + 17

[

(

)]

3 + 17 b) log 3 1 + 2 , log 3 2

(

)

42


d)

(

2, 3

)

3 17 e) log 3 1 2 , log 3 2 x

(

)

f) [1, log 3 5]

2 2 x 1 2 AL - X. 013 S se rezolve inecuaia: x > 1+ . x 3 2 3a) x 0, log 2

3

d) x 0, log 2 ( 5 1)3

(

5 1 2

b) x 0, log 2

3

)

e) x 0, log 2 ( 5 + 1)3

(

5 + 1 2

c) x (0,1) f) x (1,1)

)

AL - X. 014 S se rezolve inecuaia: x

x

0 . c)1; a ; a4

a 2 ;1

13 105

d) a 34 ; a 1 ;1

f)1; a 3 ; a 3

AL - X. 024 S se rezolve ecuaia: log x 2 ( x + 2) + log x x 2 + 2 x = 4 .

(

)

a) x = 1

b) x = 1

c) x = 3

d) x = 4

e) x = 2

f) x = 8

AL - X. 025 S se rezolve ecuaia: a log 6 x 5x log 6 a + 6 = 0 , a > 0, a 1 .

a) x1 = log a 3 , x 2 = log a 2

b) x1 = 6 log a 3 , x 2 = 6 log a 2

c) x = 6

log a

2 3

d) x1 = log a 3 , x 2 = log a 2

e) x = 6

log a

3 2

f) x1 = a log 6 3 , x 2 = a log 6 2

AL - X. 026 S se rezolve ecuaia: log 2 3 + 2 log 4 x =

(

1 log 9 16 log x 3 x

)

.

Algebr X

453 16 1 3

a) x = 3

b) x = 1

c) x =

16 3

d) x =

e) x =

f) x = 3

AL - X. 027 S se determine m R astfel nct ecuaia

m + lg x = 2 s aib o lg( x + 1)

singur soluie real. a) m b) m < 0 c) m = 1 d) m = lg 2 e) m = lg 4 f) m = lg 6

AL - X. 028 S se determine valoarea parametrului ntreg m astfel nct ecuaia log 1 m 3 x 2 2 3 log 1 m 4 x + 7 log 1 m 6 = 0 s aib o rdcin dubl. 3 3 3

a) m = 1

b) m = 2

c) m =

3 3

d) m = 4

e) m = 9

f) m = 9

1 AL - X. 029 Rezolvnd ecuaia: log 3 log 2 (log 4 x ) = 2 log 9 , log 4 (log 2 x )

[

]

s se stabileasc n care din urmtoarele intervale se afl soluia acesteia. a) 1, 2

(

]

b) [2,3]

c) 2 3,4

[

)

d) [4,5)

e) [5,18]

f) (18,+ )

AL - X. 030 S se determine valorile lui m > 0 pentru care funcia

f ( x ) = x 2 log m 1 2

1 x log 1 m + 3 log 1 m 4 este definit pe R . 2 2 2 1 3 d) m 0,

a) m = 4

b) m ,5

c) m ,+

1 4

e) m =

1 4

f) m

AL - X. 031 Fiind dat expresia:

46


E = (log x 2 + log 2 x 2) log 2 x + (log x 2 + log 2 x + 2 ) log 2 x , s se determine toate valorile lui x R pentru care E = 2 .a) [1,+ ) b) [1,2] {3} e) [1,2] \ c) ,2 2 f) (1,2 ) (3,+ )

1

1 d) ,2 \ { } 2

1

3 2

AL - X. 032 S se rezolve ecuaia

lg x 2 + 2 lg x = 23 .a) x=10 b) x=100 c) x= 1000 d) x=1 e) x=2 f) x=3

AL - X. 033 Fie f : ,+ [0,+ ) , f ( x ) = log a 2

1

(

2x 1 + 1 , a > 1

)

S se rezolve inecuaia f a) x [2,4]

1

( x ) 5 , unde f 1 este inversa funciei f .b) x [0, log a 2] e) x [1, log a 3] c) x [0, log a 4] f) x [5,8]

d) x [0,1]

AL - X. 034 Fiind date funciile f : R R , f ( x ) = 2

2 x + 3, x ( ,0]2 x + x, x (0, )

e x , x ( ,1) i g : R R , g ( x ) = arcsin x, x [ 1,1] , s se determine ln x , x (1, ) soluia din intervalul ( 1,0] a ecuaiei ( g o f )( x ) = 0 .a) x = 1 b) x = 0 c) x =

1 2

Algebr X

47

d) x =

2 3

e) x =

1 1 i x = 4 2

f) Nu exist.

3 AL - X. 035 Se consider inecuaia: log a x log a 2 x + log a 4 x , a > 0, a 1 4 i se noteaz cu Ma mulimea tuturor soluiilor sale. Care dintre urmtoarele afirmaii este adevrat ? 1 a) M 1 = 0, 2 2 d) M 1 = , 4

1 b) M 1 = ,+ 2 2

1 c) M 1 = ,+ 2 2 f) M 2 = ( 2,10)

1 4

e) M 1 = ( 5,+ )10

AL - X. 036 S se rezolve inecuaia: log 3 x < 1 .

a) x (0,1) 1 1 d) x , ,+ 3 3

1 1 b) x , 3 3 e) x ( 3,+)

1 1 c) x 3, ,3 3 3 f) x ( 3,3)

AL - X. 037 Fie P( x ) = x 2 x log a y + 3 log a y 8 , y > 0 , a ( 0,1) . S se determinetoate valorile lui y astfel nct P( x ) > 0 , oricare ar fi x R .

a) y a 4 , a 8 d) y ( a ,2)

(

)

( ) e) y (a , a )b) y a 8 , a 43

c) y a 8 , a

[

]

f) y a 2 , a

[

]

AL - X. 038 S se determine m R astfel nct sistemul x lg x + y lg y = m + 101 , s admit soluii reale. 2 log y 10 log x 10 log 10 + log 10 = lg x lg y y x

48


a) m [0,10] d) m (10,100)

b) m (99,0) e) m (,100)

c) m [81, 0) f) m

e x 1, x < 0 AL - X. 039 Se consider funcia f : R (1,+) , f ( x) = . x, x0 Calculai inversa sa, f a) f11

.

ln( x + 1), x ( 1,0) ( x) = 2 x , x [0,+)ln x, x (1,0) ( x) = x, x [0,+) 2 ln( x + 1), x (1,0) ( x) = 2 x , x [0,+)

b) f

1

ln( x 1), x (1,0) ( x) = 2 x, x [0,+)

c) fe) f

1

1

ln( x 2 + 1), x (1,0) d) f ( x) = 2 x 1, x [0,+) ln x 2 , x (1,0) f) f 1 ( x) = 2 x + 1, x [0,+)1

AL - X. 040 S se rezolve inecuaia: log x 2 log 2 x 2 > log 2 x 2 . 4 1 1 , (1,+) a) x 23 2 2 d) x ( 1,+) b) x ( 2,1) e) x c) x

1 ,1 (1, ) 2 f) x ( 0,1)

1 1 , (1, ) 3 2 2

AL - X. 041 Se consider expresia E ( x ) = log 4 x + log x 4 . Determinai valorilelui x R astfel nct E ( x ) < a) x (1,2) d) x (16,+) 5 . 2 c) x [1,2] [16,32] f) x (110) ( 20,+ ) ,

b) x ( 0,1) ( 2,16) e) x (1,2) ( 20,+)

Algebr X

49

AL - X. 042 tiind c a ( 0,1) s se determine mulimea:

{x R

log a x 2 log x a 1 .

}

1 a) ,1 a 2 ,+ a 1 d) 1, a

[

)

b) , a 2 0, a 3 a 1 e) 0, a 2 ,+ a

1

(

)

1 c) 0, a 2 1, a f) a, 0, a 2

(

]

[

)

1 a

[

)

(log x ) 3 + (log y ) 3 = 9 2 2 AL - X. 043 S se rezolve sistemul: . 2 2 x ( log 2 x ) + y ( log 2 y ) = 258 a) x = 2, y = 2 d) x = 2, y = 4 x = 4, y = 2 b) x = 4, y = 4 e) x = 2, y = 3 ; x = 3, y = 2 c) x = 3, y = 9 ; x = 9, y = 3 f) x = 1, y = 9 ; x = 9, y = 1

x lg y y lg z z lg x = 10 AL - X. 044 S se rezolve n R sistemul: x lg y lg z y lg x lg z z lg x lg y = 1000 . x y z = 10 a) x = 10, y = z = 1 b) x = y = 10, z = 1 c) x = y = z = 10 d) x = y = z = 10 1 e) Sistemul nu are soluii n R f) x = 1, y = 5, z = 2

AL - X. 045 S se determine mulimea tuturor numerelor naturale pentru care inegalitatea: 2n > n3 este adevrat. a) N b) c){0,1} e) {n N; n 10} \ { } d) {0,1} {n N ; n 10} 12f) {n N; n 5} {0,1}

50


AL X. 046 S se determine mulimea tuturor numerelor naturale pentru care urmtoarea inegalitate15

a 37 a 59 a K

( 2 n 1)( 2 n + 3 )

a < a n , a > 1, n N , este adevrat.b) n N e) n f) {n N : n = 2k + 1} c) n N \ {3,4,5}

d) {n N : n = 2k }

a) {n N, n 3}

AL - X. 047 S se determine numrul de elemente ale mulimii

A4 15 E = n N n + 4 < (n + 2) ! (n 1) ! a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5

AL X. 048 ntr-o discotec, dintr-un grup de 7 fete i 8 biei, la un anumit dans, trebuie s se formeze 4 perechi din cte o fat i un biat. n cte moduri se pot forma cele patru perechi ?a) 105; b) 210; c) 14700; d) 58800; e)2450; f) 420.

AL - X. 049 La o reuniune de 12 persoane, fiecare a dat mna cu fiecare dintre ceilali participani. Cte strngeri de mn au fost?a) 132 b) 66 c) 12! d) 12 e) 33 f) 144

AL - X. 050 n cte moduri se poate face un buchet cu dou garoafe albe i cinci garoafe roii avnd la dispoziie 20 garoafe albe i 9 garoafe roii ?a) 180 d) 22.400 b) 18.000 e) 23.940 c) 90.000 f) 24.140

AL - X. 051 Care este domeniul maxim de definiie D al funciei: 2 2 + f : D R , f ( x ) = C7xx +10 + C5xx + 43 x 4 ?

Algebr X

51

a) D = {1,9,11}

d) D = [7,+) N

e) D = {2,3,4,5}

b) D = {2,3,4}

c) D = ( ,1] Z f) D = [1,6] N

AL - X. 052 S se precizeze n care din mulimile de mai jos se afl toate numerele n n 1 naturale n care verific relaia: C3n 2 = A2 n 1 .a)A1 = N \ {1,2,3,4,7,9} d) A4 = {2 k + 1, k N} b)A1 = N \ {2,3,4,5,6,9,30} e) A6 = N \ {2,3,5,7,9,30} c) A3 = (9,30) f) A5 = {3k k N}


C3nn ++42 n 4 = 210, n N .a) n=4 b) n=3 c) n=2 d) n=1 e) n=5 f) n=6

2

AL X. 054 Soluia ecuaieise afl n intervalul : a) (14,19); b) (-8,-3);

+ C xx+83 = 5( x + 6 )( x + 5)( x + 4)

c) (-6,-4);

d) (20,24)

e) (21,27);

f) (19,20).

AL X.055 S se precizeze n ce interval se afl soluia ecuaiei C xx+14 =

7 x( x + 1)( x 1) 15d) (7,9] e) (11,17) f) (-1,1).

a) (8,12) b) (10,12) c) (-1,4) AL - X. 056 S se rezolve ecuaia

3C x2+1 + x P2 = 4 Ax2 .a) x=3 d) x=2 b) x=4 e) x=7 c) x=5 f) x=10

52


AL - X. 057 S se calculeze suma: 1 1 2 1 2 3 1 2 n S n = 1 C1 + 2 C2 + C2 + 3 C3 + C3 + C3 + ... + n Cn + Cn + ... + Cn .

(

) (

)

(

)

a) S n = n 2 n

n( n + 1) 2n( n + 1) 2

b) S n =

(n + 1) 2 n n2n( n + 1) 2

c) S n = ( n 1) 2 n +1 + 2 e) S n = (n 1)2 n + 2

d) S n = ( n + 1) 2 n 1

n(n + 1) 2

f) S n = n 2 n + n( n + 1)

AL - X. 058 S se calculeze suma:k k E = Cn + Cn 1 + ... + Ckk+1 + Ckk , unde n, k N, n k . k a) E = Cn +11 k+ b) E = Cn +11 k+ c) E = Cn +12 k d) E = Cn +12 k +1 e) E = Cn + 2+ f) E = Cnk+ 22

AL - X. 059 S se calculeze expresia: k k C k Cn 2 Cn 22 E= n , n 3, k 2, n k + 2 . k 1 Cn 2a) E = 1 b) E = 2 c) E = 3 d) E = 1 2 e) E = 1 3 f) E = 1

x x AL - X. 060 Determinai mulimea A a valorilor lui x R pentru care: C101 > 2C10 .

a) A = ( ,3) ( 11] , d) A = {8,9,10}

b) A = {5,6,7} e) A = [ 3,2] {1,2}

c) A = [1,7] f) A = {1,2,3,4}

1 3 AL - X. 061 S se rezolve inecuaia: C3 x + C6 x 24 , precizndu-se care din urmtoarele intervale conine soluia.

Algebr X

53

1 a) 0, 2

1 b) ,1 2

c) ,1 4

3

d) ,1 6

5

e) [7,14]

f) [14,+)

Axy = 10 Axy 1 AL - X. 062 S se precizeze soluia sistemului : y 5 y +1 . C x = C x 3 a) x = 23, y = 14 d) x = 12, y = 3 b) x = 20, y = 5 e) x = 10, y = 2 c) x = 17, x = 8 f) x = 8, x = 5

AL X. 063 S se determine numerele naturale x i y , astfel nct numerele C xy11 , C xy1 , C xy s fie n progresie aritmetic, iar numerele Axy , Axy +1 , Axy++11 s fie n progresie geometric.a) x = 1, y = 3; b) x=3, y = 1; e) x N *, y = 1; c) x = y = 3; f) x = 4, y = 2

1 d) x = 3, y = ; 2

AL - X. 064 S se determine al patrulea termen din dezvoltarea binomului 1 2n n x + 3 , n ipoteza c 2 2 240 = 0 , n N . x a) 4xn

b) 4 x

c) 6 3 x

d)

63

e) 4

f) 2 x 2

x

AL - X. 065 S se precizeze termenul care nu conine pe x din dezvoltarea binomului1 1 ax 2 + xa 2 30

, a , x R * . +7 c) C30 a 5 4 d) C30 a 12 15 e) C30 a 14 8 f) C30 a 8

10 a) C30 a 15

5 b) C30 a 7

54


1 AL X. 066 n dezvoltarea binomului x + , n N , n 2, x R , + 4 2 x coeficienii primilor 3 termeni formeaz o progresie aritmetic. S se determine termenii raionali ai dezvoltrii. a) T1; T7; T9; d) T1; T3; T7; b) T1; T5; T9; e) T2; T6; T8; c) T2; T4, T8; f) T1; T3; T5.

n

AL X. 067 Determinai x din expresia

log a x dezvoltrii este egal cu a) x1 = 3a , x2 = a2 d) x1 = 3a, x2 = a -2

x

1 + , (a > 0, a 1) x 21 . a4b) x1= 2a , x2 = a3 e) x1 = a, x2 = a4 c) x1 = 2a -1 , x2 = a-3 f) x1 = a 1, x2 = a- 4

n

tiind c suma coeficienilor binomiali ai dezvoltrii este 128, iar al aselea termen al

AL - X. 068 Ci termeni care nu conin radicali sunt n dezvoltarea binomului 3 x2 + 4 x a) Un termen d) Nici unul16

? b) Doi termeni e) ase termeni c) Trei termeni f) Patru termeni13

a 3 AL - X. 069 Care este expresia termenului din dezvoltarea binomului 3 +3 , a care conine pe a4 ? a) 187a4 37

b) 286

a4 37

c) 107

a4 35

d) 286

a4 33

e) 202

a4 37

f) 200

a4 34

Algebr X

5521

x AL - X. 070 Care este termenul din dezvoltarea binomului 3 + y n care exponenii lui x i y sunt egali ?

y , 3 x

a) T13

b) T10

c) T6

d) T8

e) T15

f) T11

AL - X. 071 n dezvoltarea binomului 2 x + 2 1 x , suma coeficienilor binomiali ai ultimilor trei termeni este egal cu 22. S se afle valorile lui x pentru care suma dintre termenul al treilea i termenul al cincilea este egal cu 135.

n

a) x1 = 1, x 2 = 2 d) x1 = 1, x 2 = 2

b) x = 2 e) x = 1

c) x1 = 1, x 2 = 2 f) x1 = 1, x 2 = 1

1 AL - X. 072 n dezvoltarea binomului x + , suma coeficienilor binomiali 3 x este cu 504 mai mic dect suma coeficienilor binomiali din dezvoltarea binomului

n

( a + b)a) 3x

3n

. S se afle termenul al doilea al primei dezvoltri. b) 3 3 x c) 3 3 1 x d) 3 3 x 2 e) 3 f) 3x 2

AL - X. 073 S se determine termenul ce nu conine pe a din dezvoltarea binomului

1 4 3 3 2 + a , a 0 a 8 a) T9 = C17 = 24.3105 c) T6 = C17 = 6188

17

6 b) T7 = C17 = 12376 1 d) T2 = C17 = 17

2 e) T3 = C17 = 136

3 f) T4 = C17 = 680

56


AL - X. 074 S se gseasc rangul celui mai mare termen din dezvoltarea (1 + 0,1) a) 9 b) 10 c) 11 d) 20 e) 30 f) 22

100

.

AL - X. 075 Determinai valoarea celui mai mare coeficient binomial al dezvoltrii binomului (a + b) , dac suma tuturor coeficienilor binomiali este egal cu 256.n

a) 1

b) 8

c) 60

d) 70

e) 28

f) 7

AL X. 076 S se determine coeficientul lui x23 din dezvoltarea lui (x2 + x + 1)13 . a) 0 b) 13 c) 21 d) 442 e) 884 f)169

AL X.077 S se afle coeficientul lui x12 din dezvoltarea (10x2 +15x 12) (x+1)15 .5 a) 13C15 5 b) 14C15 5 c) 15C15

5 d) 20C15

5 e) 25C15

5 f) 30C15

AL - X. 078 tiind c suma coeficienilor binomiali ai dezvoltrii (1 + x ) n + (1 + x ) n +1 este 1536, s se calculeze coeficientul lui x 6 din aceast dezvoltare. a) 295 b) 294 c) 320 d) 293 e) 128 f) 200 AL - X. 079 S se calculeze0 2 4 6 2 E = C n C n + C n C n + ... + (1) k C n k + ...

a) E = 2 cos

n 4 n 4

b) E =

2 n cos

n 6

c) E =

2n cos

n 4

d) E = 2 sin

e) E =

2n sin

n 6

f) E =

2n sin

n 4

Algebr X

57

AL X. 080 Dac

a = tg , 0, , s se calculeze suma 2

1 3 5 7 C n aC n + a 2 C n a 3C n + ...

a)

sin sin n cos n1 sin n cos sin n

b)

sin n sin cos n sin n cos n sin

c)

sin n sin cos n 1 sin n sin cos n n

d)

e)

f)

AL - X. 081 Care este cel de-al 10-lea termen al irului 1,3,5,7,...? a) 10 b) 11 c) 15 d) 20 e) 19 f) 17

AL - X. 082 S se gseasc primul termen a1 i raia r ai unei progresii aritmetice a a + a 4 = 7 . (a n ) n1 dac : a 2 a 6 = 2a 7 4 8 a) a1 = 4, r = 3 d) a1 = 5, r = 2 b) a1 = 4, r = 4 e) a1 = 2, r = 2 c) a1 = 3, r = 1 f) a1 = 1, r = 1

AL - X. 083 S se determine suma primilor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice (an), dac a1=2, a5=14. a) 10100 b) 7950 c) 15050 d) 16500 e) 50100 f) 350 AL - X. 084 Pentru o progresie aritmetic suma primilor n termeni ai ei este S n = 5n 2 + 6n . S se determine primul termen a1 i raia r. a) a1 = 11, r = 9 b) a1 = 11, r = 10 c) a1 = 11, r = 11

58d) a1 = 10, r = 11


e) a1 = 10, r = 10

f) a1 = 9, r = 9

AL - X. 085 S se determine raia i primul termen ale unei progresii aritmetice pen1 tru care a 5 = 18, iar S n = S 2 n , unde S n este suma primilor n termeni ai progresiei. 4 a) a1 = 6, r = 3 d) a1 = 2, r = 5 b) a1 = 14, r = 1 5 e) a1 = 8, r = 2 c) a1 = 2, r = 4 f) a1 = 1, r = 1

AL - X. 086 ntr-o progresie aritmetic termenul al noulea i al unsprezecelea sunt dai , respectiv , de cea mai mare i cea mai mic rdcin a ecuaiei : 1 1 lg 2 + lg x 2 + 4 x + 5 = lg x 2 4 x + 5 + 1 . 2 2 Se cere suma primilor 20 termeni ai progresiei.

[(

) ]

a) 15

b) 18

c) 22

d) 30

e) 40

f) 100

unde a, b R , pentru orice n 1 . S se determine a i b astfel nct irul (an )n 1 s fie progresie aritmetic cu primul termen egal cu 2. b) a R , b (1,2 ) c) a = 1, b = 0 a) a = 2, b = 3 e) a = 2, b = 1 f) a = 1, b = 2 d) a = 2, b = 0 AL - X. 088 Fie p, q N*, p q . S se determine raia unei progresii aritmetice n care primul termen este 3, iar raportul ntre suma primilor p termeni i suma primilor q termeni este a) 1

AL - X. 087 Fie (an )n 1 un ir avnd suma primilor n termeni S n = n 2 + an + b ,

p2 . q2b) 2 c) 6 d) 5 e) 4 f) 3

Algebr X

59

AL - X. 089 Fie a1 , a2 ,..., an R \ {0} termenii unei progresii aritmetice cu raia

r 0 . n funcie de a1 , n i r s se calculeze suma: 1 1 1 Sn = + + ... + . a1a2 a2 a3 an 1ana)

n a1 (a1 + n ) n 1 d) a1 (a1 nr )

n +1 a + na1r n e) (a1 + r )nb)2 1

n 1 a1 [a1 + (n 1)r ] n+2 f) a1 + (n 1)rc)

AL X. 090 Fie a1 , a2 ,..., an , an +1 , n + 1 numere reale n progresie aritmetic de raie r. S se calculeze suma: a) r b a1

( 1) Ck k =0

n

k n

ak +1 .d) 0 e) n f) 2n

c) 1

AL X. 091 S se determine numrul termenilor unei progresii aritmetice descresctoare dac simultan sunt ndeplinite condiiile :2 9 = 27 (i) Raia satisface ecuaia (ii)Primul termen satisface ecuaia : 3 x2 x 3

lg 2 + lg( y + 1) = lg(5 y + 7 ) lg 3(iii) Suma progresiei este cu 9 mai mic dect exponentul p al binomului1 3 2 b + b 3 n a crui dezvoltare termenul al patrulea conine pe b la puterea nti.

p

a) n = 5

b) n = 3

c) n = 6

d) n = 10

e) n = 4

f) n=8

60


AL - X. 092 S se determine primul termen a1 i raia q pentru progresia a a1 = 15 . geometric (a n ) n1 dac : 5 a 4 a 2 = 6 a) a1 = 0, q = 1a1 = 16 d) sau 1 q = 2 a1 = 1 q = 2

b) a1 = 1, q = 2

c) a1 = 16, q =a = 4 f) 1 sau q = 2

1 2

e) a1 = 1, q = 1

a1 = 2 q = 4

AL - X. 093 Suma a trei numere n progresie aritmetic este egal cu 12. Dac se adaug acestora, respectiv numerele 1, 2, 11, progresia devine geometric . S se afle aceste numere. a) 5,4,7 i 15,14,13 d) 1,3,5 i 17,15,13 b) 1,4,7 i 17,4,-9 e) 5,9,13 i 18,14,10 c) 6,8,10 f) 2,4,6 i 1,4,9

AL X. 094 Trei numere sunt n progresie geometric. Dac se mrete al doilea cu 32, progresia devine aritmetic, iar dac se mrete apoi i al treilea cu 576, progresia devine din nou geometric. Care sunt cele trei numere ? a) 4,20,100 sau 1,-7,49 ; c) 100,4,20 sau 1,49,-7 ; e) 8,10,12 sau -3,-1,0 ; b) 4,100,20 sau -7,1,49 ; d) 2,4,6 sau 6,4,2 ; f) 1,2,3 sau 49,50,51

AL X. 095 Pot fi numerele 7,8,9 elemente ale unei progresii geometrice ? a) b) c) d) e) f) Da n ordinea 7,8,9 cu o raie q100

lg 2 lg 3Klg n are valoare 2nc) n = 99 i n = 100 f) Nu exist n N

AL - X. 158 S se determine valorile raionale ale parametrilor a i b astfel nct 1 + 2 s fie rdcin a ecuaiei : x 4 + ax 3 + bx 2 + 5x + 2 = 0 . a) a = 3, b = 1 b) a = 3, b = 1 c) a = 3, b = 1 d) a = 2, b = 1 e) a = 2, b = 1 f) a = 2, b = 1

AL - X. 159 S se determine toate valorile parametrilor reali a i b pentru care ecuaia x 4 + 3x 3 + 6 x 2 + ax + b = 0 are cel mult dou rdcini reale.a) a = 1, b = 2 d) a , b R b) a R , b = 5 e) a = 2, b = 3 c) a R \ {1}, b = 2 f) a 1, b 3

AL - X. 160 S se determine parametrul real a astfel nct ecuaia : x 4 + 2 x 3 + ax 2 + 2 x + 1 = 0 , s aib toate rdcinile reale.a) a ( ,3] b) a ( 6,3] c) a ( 0,1) d) a ( ,6] e) a = 0 f) a = 1

AL X. 161 Se consider ecuaia

x 4 (2 m 1)x 3 + 2 m x 2 (2 m 1)x + 1 = 0

S se determine m R astfel nct ecuaia s aib dou rdcini reale, distincte, negative. a) m = log 2 3 b) m = 2 c) m

76d) m < 0

Culegere de probleme e) m (0,1) f) m (2, )

AL - X. 162 Precizai mulimea A creia i aparine cel mai mic numr ntreg k pentru care ecuaia x 4 2( k + 2) x 2 12 + k 2 = 0 are numai dou rdcini reale distincte.a) A = { 6,5,4} b) A = { 2,11} , e) A = c) A = { 3,2,7} f) A = {0,1,2}

d) A = { 1,0,7}

AL - X. 163 S se determine toate polinoamele de gradul n N * , P R[ X ] , careverific identitatea : P(1) + P( x ) + P x 2 + ... + P x n = 1 + x + x 2 + ... + x n P( x ) , () x R .

( )

( ) (4

)

a) k x 2 + 12

( d) k ( x

) + x)

( e) k ( x

b) k x 2 x

) 3)

( f) k ( x

c) k x 3 x2

) 2)

AL - X. 164 S se determine parametrii reali m, n i p pentru care ecuaiile de gradul trei : (m + 1) x 3 + ( m + n + p 1) x 2 + ( 3m n 2 p) x + 3 m 2n 2 p = 0 ix 3 + x + 1 = 0 au aceleai rdcini.

a) m = n = p = 1 d) m = 1 n p, n, p R f) m =

b) m,n, p e) m =

c) m =

4 p 1 p2 ,n = , p = 5 3 3

p+2 1 4p ,n = , p 5 3 3

p+2 1 4p ,n = , p R 3 3

AL - X. 165 S se determine parametrii reali a, b i c tiind c ecuaiile x 4 + ax 2 + bx + 2 = 0 i x 3 3x + 2c = 0 au o rdcin dubl comun.

Algebr X a) a = 1,b = 2,c = 1 a = 1, b = 2, c = 1 d) a = 2, b = 3, c = 1 b) a = 1, b = 2, c = 2 e) a = 1, b = 3, c = 1 a = 1, b = 2, c = 1

77c) a = 1, b = 3, c = 1 a = 1, b = 3, c = 1 f) a = b = c = 1

AL - X. 166 S se determine suma coeficienilor polinomului obinut din dezvoltarea

(10x

8

x4 8

)

1997

.8 e) C1997

a) 0

b) 1

c) 2 1997

d) 101997

f) 1997

AL - X. 167 S se determine coeficientul lui x 1997 din expresia :E = (1 + x )1997

+ x(1 + x )

1996

+ x 2 (1 + x )

1995

+ ... + x 1996 (1 + x ) + x 1997 , x R \ { 1,0} .e) 1997 f)1999

a) 0

b) 1

c) 1996

d) 1998

AL - X. 168 S se determine toate valorile lui m R astfel nct ecuaia :x 4 + x 3 2 x 2 + 3mx m 2 = 0 , s admit numai rdcini reale. 1 1 1 b) ,1 c) 1, d) ,1 e) ( 4,1] a) 4 4 4

f) ,2 4

1


5x5 4 x 4 + 5x3 + 5x 2 4 x + 5 = 0a) 1;

3 i 21 1 i 3 2 i 21 1 i 3 2 i 21 1 i 3 ; ; ; b) 3; c) 1; 5 5 5 2 3 2 1 i 21 1 i 3 3 i 3 1 i 2 2 i 3 1 i 2 ; ; ; d) 1; e) 1; f) 1; 3 2 3 2 3 2

AL - X. 170 tiind c ecuaia

78


2ax 5 + 2(a + b )x 4 + (2b + 3)x 3 + 2ax 2 + (2a + b 2 )x + b + 1 = 0este reciproc s se calculeze suma rdcinilor negative ale acesteia a) 5 b) 6 c)

9 2

d) 1

e)

1 2

f)

3 2

AL - X. 171 Determinai polinomul de grad minim cu coeficieni raionali care admite 4 5 ca rdcini x1 = i x 2 = . 2 3i 1 5a)13 X 4 + 46 X 3 13 X 2 + 30 X + 100 c) X 4 5 X 2 + 129 e) X 4 3 X 2 + 5 X + 6 b)13 X 4 46 X 3 + 13 X 2 + 30 X 100 d) X 4 + 10 X 3 X 2 + 5 f) X 4 9 X 2 + 81

AL - X. 172 Determinai modulul rdcinilor ecuaiei 9 x 4 + 8 x 3 + 14 x 2 + 8 x + 9 = 0 .a) 2 b) 1 c) 3 d) 0 e)

2

f)

3

AL - X. 173 S se determine a R * astfel nct ecuaia ax 3 x 2 (a + 2) x 2a = 0s aib o rdcin complex de modul egal cu 1. a) a = 1 b) a = 1 c) a = 2 d) a = 2 e) a = 1 2 f) a = 1 2

AL - X. 174 S se determine a R astfel nct ecuaia x 4 + 2 x 3 + ax 2 + 2 x + 1 = 0 s aib numai dou rdcini reale.a) a ( ,2) b) a ( 2,+) c) a ( 2,3] d) a (1,+ ) e) a (6,2] f) a

AL - X. 175 Calculai E = z1 z 2 + 1 + z1 z 2 1 pentru numerele complexe z1 i z2( z fiind complexul conjugat numrului z)

2

2

Algebr X

79

a) 2 z1 + z2 d) 2 z1 z22

(

2

2

)

b) 2 1 + z1 z2 e) 1 + z1

(

(

2

( )(1 z ) )( z 1) f) 2(1 + z z )2

)

c) 2 1 + z11

2

2

2

2

2

2

1

2

AL - X. 176 S se gseasc valorile reale ale lui m pentru care numrul 3i 43 2mi 42 + (1 m )i 41 + 5 este real i 2 = 1

(

)

a) m = 1

b) m = 2

c) m =

5 2

d) m = 31996

e) m = 1

f) m = 01996

1+ i AL - X. 177 S se calculeze valoarea expresiei E = 1 i a) i b) 2 c) i d) 2

1 i + 1+ i

e) 2i

f) 2i

AL - X. 178 Precizai partea imaginar a numrului complex

(2 i ) i + 6 . 1 + 4 + 3i 1+ i 4i 3 2 i2

a)

23 i 10

b)

29 i 10

c)

19 i 10

d)

10 i 13

e)

33 i 10

f)

10 i 33

AL - X. 179 S se determine R astfel nct numrul complexs fie real. a)

1 i 3 + ( + 1)i 1+ 2 3

3 +1 2 3 +1 3 d) e) 4 4 4 z1 + z 2 AL X. 180 Fie z1,z2C i x + iy = . Atunci avem: z1 z 2b) c)

1 3 2

3+2 4

f)

802 2 2 2


a) x =

z1 + z 2 z1 z 22 2

, y=

z1 z 2

z1 z 2

b) x =

2 z12 + z 2 , 2 z12 z 2

y=i2

2 z1 z 2 2 z12 z 2

c) x =

z1 + z 2 z1 + z 22 2

2

,

y=i

z1 z 2 + z1 z 2 z1 + z 22

d) x =

z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 22 2 2

2

, y=i

z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z 22 2 2

e) x =

z1 z 2 z1 z 22

2

,

y=

z1 z 2 z1 z 2 z1 z 22

2

f) x =

,

y=

z1 z 2

AL - X. 181 S se calculeze z dac z = 2 + 2 + i 2 2 . a) 1 b) 2 c)

4

2

d) 16

e) 4

f) 6

AL X. 182 Fie z1 = a+bi, cu a,bR* i z 2 =

1 z1 , dou numere complexe. 1 + z1

2 Atunci z1 z2 i z 2 sunt reale dac z1 are una dintre expresiile:

a) i;

b) 1+i;

c) 1-i;

d) 1-2i;

e) 3-5i;2

f) 1+2i

AL - X. 183 S se determine numerele complexe z astfel nct 4 z 2 + 8 z 3 = 0 . 3 a) z 1 i , 2 1 3 d) z i , 2 2 1 i 3 b) z 2 2 i 5 e) z 1 i , 2 3 1 c) z i , 2 2 3 2 2i 5 i + 7 f) z , , 3 2 2

AL X. 184 S se precizeze cu care din valorile date mai jos este egal z =

(1 + i ) . 7 (1 i )9

Algebr X

81

a) z = 1 + i

b) z = 2

c) z = 1 i

d) z = i

e) z = i

f) z = 2 + i

AL - X. 185 Creia din mulimile de mai jos aparine =

z z + , pentru z z

z C \ {0} ?Nb) Z c) Q d) R e) C \ R f) R \ {0}

AL - X. 186 S se determine toate numerele complexe z C care verific ecuaia z z = 1 + 2i .a) z = d) z = 1 +i 2 b) z1 = 1 3 + i , z 2 = 2i 2 2 1 e) z1 = 0, z 2 = + i 2 c) z1 = 0, z 2 = f) z = 5 + 3i 2

3 + 2i 2

3 2i 2

AL - X. 187 S se afle numerele complexe z = x + iy , x , y R \ {0} , de modulastfel nct x + iy 2 a) z {1 i ,1 i}

2,

(

)

3

s fie imaginar.

2 2 b) z 1 i 3 1 3 , 2 2

(

) (

)

3 3 c) z 1 i 5 1 i 5 , 3 3 e) z

(

) (

)

2 d) z 2

((

3 i ,

) 22 (

3 i 5 i

)

3 3 2i 2 2i 2 , 3 3

(

) (

)

3 f) z 3

5 i ,

) 33 (

)

82


AL - X. 188 Fie a R + i z C , astfel nct z +

1 = a . S se determine cea mai z

mare i cea mai mic valoare posibil a lui z .

a)

a + a2 + 4 ,0 2

b) a ,0

c)

a + a2 + 4 a2 + 4 a , 2 2f) 3a a , 4 4

d) 2 + a 2 + 4 , a 2 + 4 2

e)

a2 + 4 a a2 + 4 a 1 , 2 2

AL - X. 189 Fie z un numr complex astfel nct z a = a 2 b 2 , unde, a > b > 0 .S se calculeze

bz . b+z b ac)

a) a

b) 1

ab a+b

d)

a2 b2 a2 + b2

e) 1 +

b a

f)

a b a+ b

AL - X. 190 Fie aC . S se calculeze valoarea expresiei

i 1 1 2 E (a ) = a + +ia+ (1 + i ) a (1 + i ) . 2 2 4a) 1- a d) 2a b) 1+a e) 1 2 2 + i sin . S se calculeze : 3 3 E = (1 + ) 1 + 2 ... 1 + 1997 . c) a f) 0

2

2

AL - X. 191 Fie = cos

(

)

(

)

a) E = 1

b) E = 2

c) E = 2 663

d) E = 2 1997

e) E = 2 665

f) E = 4

Algebr X

831 = 1 , x

AL - X. 192 Pentru x C \ R care satisface ecuaias se calculeze valoarea expresiei

x+

E = x 333 +a) E=1 b) E=2

1 . x 333d) E=i e) E=2i f) E=3i

c) E=-3

AL - X. 193 Fie i rdcinile ecuaiei x 2 + x + 1 = 0 . S se calculeze 2000 + 2000 .e) i 3 a) 1 b) 0 c) 1 d) i 3 AL - X. 194 Fie z un numr complex de modul 1 i argument . S se calculeze expresia f) 2

zn , (n N ). 1 + z 2na) 2 cos n d) b) cos n e) c) 2 sin n f)

1 2 cos n

1 cos n

1 2 sin n

AL - X. 195 Precizai care din valorile de mai jos sunt rdcinile ecuaiei z 2 2i 3z 5 = 0 .a) z = 2 i 3 d) z = 2 i 2 b) z = 2 + i 3 e) z = 3 i 2 c) z = 3 i 2 f) z = 3 i 3

AL - X. 196 Soluia ecuaiei z 2 + (5 2i )z + 5(1 i ) = 0 este: a) i 3, i 2 ; b) 3i, 2 i ; c) 2i, 3 i ; d) 2 i, 3 i ; e) 5 2i, 1 i ; f) 2i, 3i

84


AL - X. 197 Se consider ecuaia (2 i ) z 2 ( 7 + 4i ) z + 6 + mi = 0 , n care z Ceste necunoscuta, iar m este un parametru real. S se determine valorile lui m pentru care ecuaia admite o rdcin real. a) m 12,

33 5

b) m = 32

c) m {2,5}

33 d) m 12, 4

33 e) m 0, 5

31 f) m 2, 2

AL - X. 198 Formai ecuaia de grad minim, cu coeficieni reali, care admite ca rdcini i rdcinile ecuaiei : z 2 3 2 z + 5 + 2 i = 0 .a) z 3 6 2 z 2 + 2 z + 27 = 0 c) z 4 + 2 2 z 3 4 z 2 6 2 z + 27 = 0 e) z 4 + 2 z 3 28 z 2 27 = 0 b) z 4 6 2 z 3 + 28 z 2 30 2 z + 27 = 0 d) z 4 2 z 2 + 28 z + 27 = 0 f) z 4 6 2 z 2 + 30 2 z + 27 = 0

AL - X. 199 Se d ecuaia 2 z 2 5 + i 3 z + 2 1 + i 3 = 0 . Fie o rdcin aecuaiei pentru care | | = 1. S se determine x R astfel nct s aib loc egalitatea

(

) (

)

1 + ix = . 1 ix

a) x =

1 3

b) x =

1 c) x = 3 3

d) x = 3

e) x =

2 2 f) x = 3 3

AL - X. 200 S se afle numrul rdcinilor reale ale ecuaiei (1+ iz)5 = m (1- iz)5 unde mC , m = 1 .C- { 1} a) 1; b) 2; c) 3; d) 4; e) 5; f) 0

AL - X. 201 Pentru z C s se determine soluiile sistemului

Algebr X

85

z 2 2i = 4 . z +1+ i =1 z 1 ia) z1 = 1, z 2 = 1 i d) z1 = 0, z 2 = 1 + i b) z1 = 1 i, z2 = 1 + i e) z1 = i, z 2 = 0 c) z1 = 1 i, z 2 = 0 f) z1 = i, z 2 = 1 + i

AL - X. 202 S se calculeze rdcina ptrat din numrul complex z = 3 + 4i, i = 1 . a) 2 + i, 2 i b) 1 + 2i, 1 + 2i c) 1 + 2i, 1 2i d) 2 + i, 2 + i e) 1 2i, 1 2i f) 2 i, 1 2i

(

)

AL - X. 203 S se calculeze rdcinile de ordinul n=3 ale lui z =a) z1 = i, z2 = i, z3 = 1 c) z1 =

1+ i . 1 i

1 1 3 + i , z2 = 3 + i , z3 = i 2 2 1 1 e) z1 = 1 + 3i , z2 = 1 + 3i , z3 = i 2 2

( (

) )

( (

)

b) z1 = 1, z2 = 1, z3 = i d) z1 = z 2 = z3 = i, f) z1 = z2 = z3 1,

)

AL - X. 204 S se determine toate rdcinile complexe ale ecuaiei z 4 + 81 = 0 .a)

3 2 3 2 (1 i ) , 2 (1 i ) 2 d) 2 (1 i ) , 2 (1 i )

3 3 (1 i ) , 2 (1 i ) 2 e) 2 i , 2 ib)

c) 2(1 i ) , 2(1 i ) f) 3 i , m 3 i

AL - X. 205 Fie mulimile :

2 B = z C* | arg z < 3 C = {z C | z + 1 1}; D = {z C | z i 2}; A = {z C | z = 1}, 5 2 E = {z C | Im z = 2}, F = z C* | < arg z < 4 3

86


S se precizeze care dintre urmtoarele afirmaii sunt corecte. a) A este discul de centru 0 i raz 1; B este mulimea punctelor din semiplanul y>0, C este cercul de centru A(-1,0) i raz 1; D este cercul de centru A(0,1) i raz 2 E este o dreapt paralel cu axa Oy; F este Int AOB unde A

2 2 1 3 i B , 2 , 2 2 2

AL X. 206 S se determine modulul i argumentul redus pentru numrul complex: z = cosa +sina + i(sina- cosa).a) z = 2, arg z =

4

b) z = 2 , arg z = a

4

c)

a z = 2 cos , arg z = 2 4 z = 2, arg z =

d)

a z = 2 cos , arg z = a 2 4 z = 2, arg z = a

e)

4

f)

4

AL X. 207 S se scrie sub form trigonometric numrul complex : z = 1+ cos - isin, unde (0,).a) z = 2 cos c) z = 4 cos

cos 2 + i sin 2 2

b) z = cos cos d) z = cos

2

+ i sin

2

2

(cos + i sin )

2

+ i sin

2 i sin

e) z = cos (cos + i sin )

f) z = 2 cos cos

2

2

AL X. 208 Determinai partea real a numrului complex z =

1 i 3 . 2(sin + i cos )c) Re z = cos

a) Re z = sin

7 3

b) Re z = cos

7 + 6

5 3

Algebr X

87 + 4 + 4

d) Re z = sin

7 + 6

e) Re z = cos

f) Re z = sin

AL X. 209 S se determine modulul i argumentul redus pentru numrul complex:

a) z = 2 , arg z =

2 3

1 i 3 z = 1+ i . b) z = 2, arg z =

16

2 3 2 3

c) z = 2, arg z =

3

d) z =

2 , arg z =

3

e) z = 2 8 , arg z =

f) z = 28 , arg z =

3

AL X. 210 S se scrie sub forma z = x + iy numrul complex : z =

(

3i 3 3+i

)

7

.

a)

3 27

( 1 + i 3 )

b)

1 1 i 3 128 1 128

(

)

c)

1 2 i 2 2 1 128

d) i

e)

(

3+i

)

f)

(

3i

)

AL X. 211 S se determine numrul complex: Z = 1 + i 3a) Z = 2 n cos

(

) + (1 i 3 ) , nN .n n

n 3

b) Z = 2 n +1 sin

n 3

c) Z = 2 n +1 cos

n 3

d) Z = 2 n sin

n 3

e) Z = 2 n +1 cos

n n n n n +1 + i sin i sin f) Z = 2 cos 3 3 3 3

AL X. 212 tiind c z +a) E = 2cos n

1 1 = 2 cos .S se calculeze expresia: E = z n + n , nN. z z b) E = 2isin n c) E = 2sin n

88d) E = cos n

Culegere de probleme e) E = 2icos n f) E = sin n

AL X. 213 Se noteaz cu z1 i z2 rdcinile complexe ale ecuaiei: z3 +1=0. n S se determine valorile posibile pe care le poate lua expresia: E (n ) = z1n + z 2 , cnd n ia valori ntregi pozitive.

{ c) {E (n ) e) {E (n )

a) E (n ) n N

} = {0,1} n N } = { 1,2} n N } = { 2}

b) d) f)

} = {0,1,2} {E (n ) n N } = Z {E (n ) n N } = Nn N

{E (n )

AL X. 214 S se determine toate soliiile ecuaiei z = z n 1 , oricare ar fi numrul natural n 2.

2k 2k + i sin , k 0, n 1 e) z1 = 0, z k = cos n n

a) z = 1+ i

b) z = 1 i

c) z = i

d) z1 = 0, z2 = i f) z1 = 1 + i 3 , z 2 = 1 i 3

AL X. 215 S se determine rdcinile z k , k 0,5 ale ecuaiei: z6 = i.

k k + i sin , k = 0,5 11 11 k k c) z k cos + i sin , k = 0,5 7 7 k k e) z k = cos + i sin , k = 0,5 13 13a) z k = cos

b) z k = cos

4k + 1 4k + 1 + i sin , k = 0,5 12 12 2k 2k d) z k = cos + i sin , k = 0,5 5 5 2k + 1 2k + 1 f) z k = cos + i sin , k = 0,5 12 12

AL X. 216 Fie o rdcin complex a ecuaiei: zn = 1, nN * , n 2. S se precizeze valoarea expresiei: S = 1 + 2 + 3 2 + ... + n n 1 .a) S =

1 1

b) S =

1 1

c) S =

n 1

Algebr X

89n 1n

d) S =

n 1

e) S = n

f) S =

AL X. 217 S se determine rdcinile ecuaiei: nN *, x,tR. a) x k = tg c) x k = tg

1 + ix = cos t + i sin t n care 1 ix t + k , k = 0, n 1 2n t + 2k , k = 0, n 1 2n t + k , k = 0, n 1 n

t + 2k , k = 0, n 1 2n t + k , k = 0, n 1 n t + 2k , k = 0, n 1 2n

b) x k = tg

d) x k = sin f) x k = sin

e) x k = cos

AL X. 218 Precizai numrul maxim de rdcini comune ale ecuailor: z8 = 1 i z12 = 1.a) nici una b) una c) dou d) patru e) trei4

f) opt

1 + iz 1 + a i AL X. 219 Fie z i , i = 1,4 soluiile ecuaiei: , a R* . = 1 iz 1 a i Care este valoarea produsului z1 z 2 z 3 z 4 ?a) 1 b) 2 c) 1 d) 3 e) 3 f) 2

AL X. 220 S se calculeze expresia:

E = 1 + 3 (cos t + i sin t ) + 3 (cos t + i sin t ) + (cos t + i sin t ) .2 3

a) cos

3t 3t + i sin 2 2

b) 8 cos

3t 2

c) 8 cos 3

t 3t 3t cos + i sin 2 2 2

903t 2


d) 8 sin

e) cos 3

t 3t 3t cos + sin 2 2 2

f) cos

3t 3t i sin 2 2

AL X. 221 S se afle poziia celui de al treilea vrf al triunghiului echilateral, tiind c afixele a dou vrfuri sunt: z1 = 1, z2 = 2+i.a)

3 3 1+ 3 3 + 3 1 3 +i +i b) 2 2 2 2 3 3 1+ 3 3 + 3 1 3 e) i d) i +i +i 2 2 2 2

c) 3+i f) 1 + i

AL X. 222 Fie M1 , M2 , M3 , M4 puncte ale cror afixe sunt, respectiv,

z1 = 2 i 3 , z 2 = 2 + i 3 , z 3 = 6 + i , z 4 = 6 i . Care dinafirmaiile urmtoare este adevrat b) M1 , M2 , M3 , M4 sunt conciclice a) M1 , M2 , M3, M4 sunt coliniare c) patrulaterul M1M2M3M4 nu este inscriptibil d) patrulaterul M1M2M3M4 este un ptrat e) M1M2 = M3M4 f) patrulaterul M1M2M3M4 este romb.

AL X. 223 S se determine valorile expresiilor:

2 4 2(n 1) + cos + ... + cos n n n 2 4 2(n 1) S 2 = sin + sin + ... + sin , nN n n n S1 = 1 + cosb) S1 = 0, S2 = 1 e) S1 = -1, S2 = 0 c) S1 = S2 = -1 f) S1 = 0, S2 = -1

a) S1 = S2 = 1 d) S1 = S2 = 0

AL X. 224 Se dau numerele complexe: z1 = sin cos + i (sin + cos ) inumerele n pentru care

z 2 = sin + cos + i (sin cos ) , unde este parametrul real dat. S se gseasc

(z1 z2 )n

este un numr real i pozitiv.

Algebr X a) n = 3p, p N d) n = 4p, pN b) n = 2p, pN e) n = 4p + 1, p N

91c) n = 2p+1, p N f) n = 3p + 1, p N

AL X. 225 Numerele complexe z1 i z2 satisfac relaia: z1 + z 2 = z1 z 2 .Care din afirmaiile urmtoare este adevrat ? a) z1 = 0, z2 =1- i b) z1 = z2 = 2+3i c) z1 = 0, z 2 > 0 d) z1 >2 i z 2 >2 e) cel puin unul din cele dou numere are modulul mai mic sau egal cu 2. f) z1 >2, z2 = 0

AL X. 226 Fie z C \ {0} , w =

z z i Im( w ) -partea imaginar a numrului + z z

w.Care dintre afirmaiile urmtoare este adevrat ? a) Im( w )>0 b) Im( w )< 0 d) w 0 pentru orice zC \ {0} c) dac z = i atunci w 0

e) w R i exist a,b R astfel nct z 2 = az + b Dac z = i , atunci w = i .

AL X. 227 Determinai mulimea tuturor punctelor din plan ale cror afix y verificrelaia:

1 z + R . z

a) axa real mai puin originea b) cercul cu centrul n origine i raza 2 c) cercul cu centrul n origine i raza 1 d) axa imaginar e) axa real fr origine reunit cu cercul cu centrul n origine de raz 1 f) axa imaginar reunit cu cercul cu centrul n origine de raz 2

AL X. 228 Considerm dou numere complexe z1 , z2 C* \ R astfel nct: z1 z 2 = z1 z 2 . Ce putem afirma despre imaginile lor ?

92


a) sunt coliniare cu originea b) sunt conciclice cu originea c) coincid d) mpreun cu originea formeaz vrfurile unui triunghi nedegenerat e) imaginea lui z1 coincide cu imaginea lui

1 z2

f) mpreun cu originea formeaz un triunghi isoscel.

AL X. 229 Vrfurile A, B, C ale unui triunghi au afixele 1, 1 + z , 1 + z + z 2 , unde

2 2 + i sin z = r cos cu r (0,1) . Precizai poziia originii O (0,0) fa de 3 3 laturile triunghiului. a) O [ AB ] b) O [ AC ] c) O [BC ] d) O aparine interiorului triunghiului e) O aparine exteriorului triunghiului f) O este centrul cercului nscris n triunghiul ABC

AL X. 230 S se calculeze : E = 1 itgt , t R - (2k + 1) 2 , k Z ,n N*. a)

1 + itgt

n

tgnt + i tgnt i ctgnt + i ctgnt i

b)

1 + itgnt 1 itgnt

c)

1 + ictgnt 1 ictgnt

d)

e) ctgnt + i

f) 1 + itgnt

CLASA a XI-a

MATEMATIC , clasa a XI a ALGEBR SUPERIOAR (simbol AL - XI) AL - XI. 001 Se dau matricele A = S se calculeze matricea C = A + B. a) C = 2

1 0, (6 ) 0, (3) 2 ; B = 1 3 0,5 1,4 5 2

1 1 ; 3 2 0, (3) 0

b) C = 0 e) C =

1 0,5 2

c) C = 0 1 f) C = 0

1 0

d) C = 1

0, (6 ) 1 1 1 2

1 1 2

AL - XI. 002 Se dau matricele ptratice de ordinul al doilea E = 4

5 3 i 6

1 2 F = 3 7 . S se calculeze matricea A = 2E 3F a) A =

13 12 1 9 13 12 1 9

b) A =

13 12 1 9

c) A =

13 12 1 9

d) A =

e) A =

13 12 1 9

f) A =

13 12 1 9

2 1 0 AL - XI. 003 Fie A = 2 1 1 M 3 (Z ) . 3 1 3

Algebr XI Dac f ( x ) = 3 x s se calculeze f ( A) .

95

6 3 0 a) f ( A) = 2 1 1 3 1 3

2 3 0 b) f ( A) = 6 1 1 c) 9 1 3

6 3 0 f ( A) = 6 3 3 9 3 9 f) f ( A) = I 3

2 3 0 d) f ( A) = 2 3 1 3 1 9

1 0 6 e) f ( A) = 2 3 1 9 1 3

AL - XI. 004 S se calculeze produsul de matrice AB, unde

1 3 2 1 A= 0 1 2 , B = 3 2 a)

7 11

b)

11 7 3 63)

c)

11 7 2 3 1 2

11 d) 7

e) (11 7

11 f) 7 3

AL - XI. 005 S se rezolve ecuaia matriceal:

1 2 2 4 X 2 5 = 3 7 a)

2 0 1 1

b)

0 2 1 0

c)

1 1 3 4

961 2 5 2


d)

e)

1 4 1 1

f)

2 1 0 1

AL - XI. 006 S se rezolve ecuaia matriceal:

1 1 1 1 1 3 X 2 1 0 = 4 3 2 1 1 1 1 2 53 2 0 a) 4 5 2 5 3 0 3 2 0 b) 1 5 1 1 3 0 3 2 1 c) 1 5 1 1 3 0

3 1 0 d) 4 5 1 5 3 0

3 2 0 e) 4 5 0 5 3 2

3 2 0 f) 4 5 2 5 3 1

AL - XI. 007 S se rezolve ecuaia matriceal

1 2 3 6 9 8 X 2 3 4 = 3 4 1 0 1 6

1 1 a) X = 1 1 3 1 2 2 3

0 1 1 b) X = 1 0 1 1 1 1

2 1 1 c) X = 1 1 2 2 1 1 f) X = 2

d) X = 1

e) X = 1 1 1

1 2 3 3 1

AL - XI. 008 Aflai a R astfel ca matricea diagonal constant

Algebr XI

97

a 0 0 X = 0 a 0 s fie soluia comun a ecuaiilor matriceale 0 0 a 3 1 (1 2 3)X 2 = 1 i (3 2 1)X 2 = 1 1 3 a) a =

3 10 10 3

b) a =

2 10 10 2

c) a =

1 10

d) a =

e) a =

f) a = 10

AL - XI. 009 S se determine toate matricile X, cu proprietatea c AX = XA , unde A =

1 2 . 3 1 1 0 b) 0 1 2 e) ; ,R 3 2 c) ; R 0 f) ; ,R

1 a) ; ,R 1 2 d) ; R 3 1

2 2 2 4 AL - XI. 010 S se determine matricea X care verific relaia: X = . 3 3 6 3 a) X = (1 1 2)d) X = (1 2 3) 1 1 b) X = 0 0 1 e) X = 1 2 2 0 1 1 c) X = 2 2 1 1 f) X = 2 2

98


AL - XI. 011 Care este valoarea parametrului aR pentru care exist x,y,z,t R , nu 1 3 1 3 0 0 2 1 1 2 toi nuli, astfel nct x + y = ? + z + t 1 a 1 1 2 1 a 0 0 1 2

a) a = 1

b) a = 0

c) a = 1

d) a = 2

e) a = 2

f) a = 4

AL - XI. 012 S se determine constantele reale p i q pentru care matricea 1 0 1 A = 0 1 0 satisface relaia A3=pA2+qA . 1 0 1

a) p = 2 , q = 3 d) p = 2 , q = 3

b) p = 3 , q = 2 e) p = 2 , q = 1

c) p = 1 , q = 4 f) p = 1 , q = 3

2 2 3 1 2 3 AL - XI. 013 S se rezolve ecuaia matriceal X 1 1 0 = . 1 2 1 1 3 2 6 31 5 a) X = 4 12 14 4 6 2 d) X = 31 5 11 6 32 21 b) X = 4 23 14 5 31 4 e) X = 4 12 10 2 4 6 c) X = 1 3 2 1 2 2 6 32 21 f) X = 4 23 14

AL - XI. 014 S se determine matricea X care verific ecuaia 1 2 1 2 2 0 1 X = 3 0 3 . 3 1 12 6 9

Algebr XI 3 2 4 b) X = 5 1 3 5 2 4 e) X = 3 0 3 3 2 3 c) X = 5 1 4 1 1 1 f) X = 0 1 1

99

5 0 1 a) X = 3 2 1 0 3 5 d) X = 3 2 4

AL XI. 015 S se rezolve ecuaia matricial

1 2 3 1 5 3 X 0 1 2 = 2 1 1 1 2 1 3 4 5 4 4 8 1 a) X = 9 16 1 ; 4 4 24 16 4 4 8 1 c) X = 9 16 1 ; 4 4 24 16 4 4 8 1 e) X = 9 16 1 ; 4 4 24 16 4 4 8 1 b) X = 9 16 1 4 4 24 16 1 3 4 1 d) X = 1 2 1 2 7 8 0 1 3 4 1 f) X = 1 2 1 2 7 8 0

AL XI. 016 S se determine toate matricile formate cu elemente din codul binar

100


1 B= {0,1} care s transforme prin nmulire matricea coloan 2 n matricea coloan 3

3 1 2 4 1 0 a) 0 1 1 1 c) 0 1 0 0 e) 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 i 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 i 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 b) 1 0 1 0 d) 1 1 1 0 f) 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1

0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0

1 0 i 0 1

AL - XI. 017 S se rezolve ecuaia: X 2 = 4

12 , XM2(Z). 1 2 c) X = 1 3 i X = 2 2 3 1 2

2 a) X = 1

3 2

2 3 b) X = 1 2

Algebr XI

101

6i i 3 3 d) X = 2i i 3 3

2 3 e) X = 1 2

2 3 f) X = 1 2

1 AL - XI. 018 S se determine toate matricile X M2( Z ) astfel ca: X 2 = 2 1 0 a) 1 1 1 0 d) i 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 b) i 1 1 1 1 1 0 1 0 e) i 1 1 1 1 1 0 c) 1 1 1 0 f) i 1 1

0 . 1

1 0 1 1

m 3 0 1 1 2 AL - XI. 019 Se dau matricele A = cu mR.. S se , C = , B = 2 0 1 0 2 0 determine valorile lui m R astfel nct s existe trei constante nu toate nule, a,b,cR cu condiia aA+bB+cC = 0, 0 - matricea nul. 5 5 a) m = 1 b) m = 0 c) orice m R d) m e) m = f) m = 4 4

AL - XI. 020 S se calculeze suma:

1 k k2 k3 . k =1 1 2 3 k ( k + 1)n

n a) n n c) n

n(n + 1) 2 2n n(n + 1) 2 2n

n(n + 1)(2n + 1) 6 3n n(n + 1)(2n + 1) 6 3n

n(n + 1) 2 n(n + 1)(n + 2 ) 3 2

b)

n n! 2n! 3n! n 2n 3n 3n!

n(n + 1) 3 3n!

d)

1

n n2 3

1 2

n(n + 1) n3

102


n! e) n!

(2n )! (3n )! (4n )! 2! 3! (6n )!

1 n! n 2 n 3 f) n 2n 3n 3n!

AL XI. 021 Dac =

1 1 1 + i 3 iar A = 2 , s se determine numrul 1 2

(

)

an R astfel nct s avem

A 2 + A3 + ... + A n = an A,a) 2 n + 2 d) 2 n 1 + 2

()n N .c) 2 n 2 f) 2 n1 + 1 .

b) 2 n1 2 e) 2 n1 1

AL - XI. 022 Dac este o rdcin a ecuaiei x2+x+1 = 0 i n = 3p, pN*, s se calculeze suma: n k 2 k 3k . 3k 2k k k =1

2 n a) n 2 2 3 d) 2 2

1 1 n b) n 1 1 2 3 e) 3 2

0 0 n c) n 0 0 n 0 0 f) 0 0 n

1 1 AL XI. 023 Fie A = 1 1 2

2 1 1 2 ; B = 2 1 , unde este o rdcin 1 1 1

cubic complex a unitii i fie ecuaia matriceal AX = B. Fie S suma modulelor elementelor matricei X. Atunci : a) S = 4; d) S = 1+ 3 ; b) S = 16; e) S = 1 3 ; c) S = 3; f) S = 2 + 3

Algebr XI

103

AL XI. 024 Fie M mulimea tuturor matricelor cu 4 linii i 5 coloane n care toate elementele sunt numerele +1 i - 1 i astfel nct produsul numerelor din fiecare linie i din fiecare coloan este -1 . S se calculeze numrul elementelor mulimii M.

a) 2 d) 4

b) 7 e) 0

c) 6 f) 1

a b AL - XI. 025 Se consider matricea M = , a,b,c,dR. S se determine c d condiiile n care exist p,qR , unici astfel ca M 2-pM-qI = 0, I fiind matricea unitate, 0 matricea nul. S se determine n acest caz valorile lui p i q. a) b = c, a = d, p = a, q = b2-a2 c) b = c, a,dR, p = a+d, q = b2-a2 b) b,cR, a = d, p = 2a, q = bc-a2 d) b 0 sau c 0 sau a d, p=a+d, q = bc-ad f) b 0, a d, cR, p = a+d, q = -ad

e) b = 0, c = 0, a = d, p = a+d, q = bc-ad

AL - XI. 026 Fie A,B,C Mn ( C ) cu proprietile A+B = AB, B+C = BC, C+A = CA. Pentru ce valoare mR are loc egalitatea A+B+C = mABC ?

a) m = 1

b) m =

1 2

c) m =

1 4

d) m = 3

e) m =

3 4

f) m =

1 3

a b AL - XI. 027 Fie A = o matrice nenul cu ad = bc , a,b,c,dR. S se c d determine (n funcie de elementele matricii A) numrul real r asfel nct s aib loc egalitatea An = rn-1A pentru orice nN, n 2. a) r = a-d d) r = b-c b) r = a+d e) r = a+c c) r = b+c f) r = b+d

104


1 0 0 AL - XI. 028 S se determine puterea n N a matricei A = 2 1 0 . 3 2 1 1 a) A = an b nn

0 1 an0 1 an0 1 an

0 an = 2 n 0 , b = 2n 2 + n 1 n 0 an = 2 n 0 , b = 2n 2 1 n 0 an = n 2 0 , b = 2n 2 + n 1 n

1 b) A = an b nn

0 1 an 0 1 an0 1 an

0 an = n 0 , b = n2 1 n 0 an = 2 n 0 , b = n2 + n 1 n 0 an = n 0 , b = n2 n 1 n

1 c) A = an b nn

1 d) A = an b nn

1 e) A = an b nn

1 f) A = an b nn

1 2 100 AL - XI. 029 Fie matricea A = . Calculai det P(A), unde P(x) = x - 1. 0 3 a) 0 b) 1 c) -1 d) 99 e) 100 f) -100

1 an 1 2 AL - XI .030 Fie A = . S se arate c An este de forma: An = i s se 0 1 0 1 determine apoi an , n N. a) a n +1 = a n + 2, a n = 2nd) a n +1 = 2a n , a n = 2 n b) a n +1 = a n , a n = 1 e) a n +1 = a n + 2, a n = 2 n c) a n +1 = a n + 1, a n = n f) a n +1 = 2a n , a n = 2n 2

AL - XI. 031 S se determine An, nN*, unde AM3(Z) este o matrice care verific

Algebr XI 1+x2) = (1 x x2)A pentru orice xR . 1 0 0 b) A = n 1 0 n 0 1 n

105

relaia: (1

1+x

1 n n a) A = 1 1 0 1 1 1 n

1 n n c) A = 0 1 0 0 0 1 n

1 n n d)

Documents

Culegere de Probleme de mate- politehnica