Probleme Detect ie si Estimare n Prelucrarea Informat iei18august2014Acest document contine o lista de probleme date, n diferit i ani universitari, la examenul (atat part ial catsi nal) de DEPI. Scopul acestui document este de a facilita pregatirea student ilor, iar el vine n completareaseminarului siaproblemelordiscutatelacurs.Acestdocumentnuconstituiesubnicioformaoobligat ielegatadealcatuireasubiectelor,iarcunoasterealaperfect iunearezolvariiacestorproblemenugaranteazaunrezultatbunlaexamen. Pentruaobt inenotamarelaparteaaplicativaaexamenului,recomandareaestesase nt eleagamecanismulderezolvareaproblemelor(cum?,dece?sicandseaplica?).Aceasta lista a fost alcatuita printr-o select ie superciala. Daca sunt identicate greseli, neclaritat i sau sedoreste adaugarea unei noi probleme, rugamintea este sa semnalat i acest fapt la corneliu.orea@upb.ro.11 Variabilealeatoare1. (10p)Fievariabilaaleatoare,avanddistribut iaconformw(x) =(x + 1)/2, x [2, 0](x + 1)/2, x (0, 2]0, inrest. Fievariabilaaleatoare= ||. Secer:(a) Sasecalculeze sireprezintegracfunct iaderepartit ieavariabilei.(b) Sasecalculezemedia.(c) Sasecalculezedensitateadeprobabilitateavariabilei. Sasecalculezemedia.2. Fie variabila aleatoare , avanddistribut iaconformw(x) =x, x [1, 0]x, x (0, 1]0, inrest. Fie variabilaaleatoare= 2. Secer:(a) Sasecalculeze sireprezintegracfunct iaderepartit ieavariabilei.(b) Sasecalculezemedia.(c) Sasecalculezedensitateadeprobabilitateavariabilei. Sasecalculezemedia.3. Fievariabilaaleatoare,avanddistribut ia conformw(x) ={ex, x 00, inrest. Fievariabilaaleatoare= 2. Secer:(a) Sasecalculeze sireprezintegracfunct iaderepartit ieavariabilei.(b) Sasecalculezemedia.(c) Sasecalculezedensitateadeprobabilitateavariabilei.4. Fievariabilaaleatoarecufunct iaderepartit ieF(x)=A pentrux < 2x22pentrux [2, 4]1 pentrux > 4, si evariabilaaleatoare= 2+ 3. Secere:(a) CatesteconstantaA.Justicat iraspunsul.(b) Sasecalculezedensitateadeprobabilitate simedialui.(c) Sasecalculezedensitateadeprobabilitate simedialui5. Fie variabila aleatoare , distribuita conform legii w(x) =x2pentru x [m, 1] si e variabila aleatoare=x. Secer:(a) Sasecalculezeconstantam. Sasecalculezemedia sidispersialui.(b) Sa se calculeze si reprezinte grac densitatea de probabilitate a variabilei . Sa se calculeze medialui.6. Fievariabilaaleatoare,distribuitaconformdensitat iideprobabilitatew(x)=axpentrux [1, 2]sievariabilaaleatoare= 2. Secer:(a) Sasecalculezeconstantaa. Sasecalculezemedia sidispersialui.(b) Sa se calculeze si reprezinte grac densitatea de probabilitate a variabilei . Sa se calculeze medialui.7. Fievariabilaaleatoareavanddensitateadeprobabilitatew(x) ={2 2x pentrux [0, 1]0 nrest.(a) Sasecalculeze sisasereprezintegracfunct iaderepartit iealui. Sasecalculezemedialui.(b) Sasecalculezedensitateadeprobabilitate simediavariabileialeatoare= 2.28. Fievariabilaaleatoarecufunct iaderepartit ieF(x) ={0, x < 01 e2x, x [0, +), sievariabilaaleatoare= 2+ 3. Secere:(a) Sasecalculezedensitateadeprobabilitate simedialui.(b) Sasecalculezedensitateadeprobabilitate simedialui32 Perechidevariabilealeatoare1. Fie perechea de variabile aleatoare distribuite conform legii: w(x, y) ={A(y 1)(x 1), (x, y) [0, 1] [1, 0]0 nrest.Secere:(a) SaseaeconstantaA.(b) Sasecalculezedensitat ilemarginalewsiw.(c) Sa se decida asupra (in)dependent ei si respectiv (de)corelat iei celor doua variabile aleatoare. Dacaceledouavariabilealeatoaresuntcorelatesaseprecizeze ncemasura.(d) SasecalculezeP ((x > 0.5) (y< 0.5)).2. Fie perechea de variabile aleatoare distribuite conform legii: w(x, y) ={Aexp (xy4), x 0 siy 00 nrest.Secere:(a) SaseaeconstantaA.(b) Sasecalculezedensitat ilemarginalewsiw.(c) Sasedecidaasupra(in)dependent eicelordouavariabilealeatoare.(d) Sase determine covariat iacelor douavariabile aleatoare precumsi valoareacoecientului decorelat iedintreele.(e) SasecalculezeP ((> 1) (> 1)).3. Fie perechea de variabile aleatoare distribuite conform legii: w(x, y) ={Aexp (2x 2y), x 0 siy 00 nrest.Secere:(a) SaseaeconstantaA.(b) Sasecalculezedensitat ilemarginalewsiw.(c) Sasedecidaasupra(in)dependent eicelordouavariabilealeatoare.(d) Sase determine covariat iacelor douavariabile aleatoare precumsi valoareacoecientului decorelat iedintreele.(e) SasecalculezeP ((< 1) (< 1)).4. Fie perechea de variabile aleatoare distribuite conform legii: w,(x, y) ={A(x + 1)(1 y) , (x, y) [0, 1] [0, 1]0 nrest.Secere:(a) SaseaeconstantaA.(b) Sasecalculezedensitat ilemarginalewsiw.(c) Sa se decida asupra (in)dependent ei si respectiv (de)corelat iei celor doua variabile aleatoare. Dacaceledouavariabilealeatoaresuntcorelatesaseprecizeze ncemasura.(d) SasecalculezeP((x > 0.5) (y< 0.5)).5. Fie perechea de variabile aleatoare distribuite conform legii: w,(x, y) ={Axy, pentru(x, y) [0, 1] [0, 1]0 nrest.Secere:(a) SaseaeconstantaA.(b) Sasecalculezedensitat ilemarginalewsiw.(c) Sa se decida asupra (in)dependent ei si respectiv (de)corelat iei celor doua variabile aleatoare. Dacaceledouavariabilealeatoaresuntcorelatesaseprecizeze ncemasura.(d) SasecalculezeP((x > 0.5) (y< 0.5)).6. Fieperecheadevariabilealeatoare(, )avanddistribut iadeordinuldoi:w(x, y) ={ pentru0 x 1 six y 10 nrest.4(a) Calculat i.(b) Calculat i sireprezentat igracdensitat iledeprobabilitatemarginalealeluisi.(c) Calculat iP (( 0, 5) (< 0, 5)).(d) Calculat icovariat iaintresi. Suntsicorelate?Darindependente?Justicat i!7. Fieperecheadevariabilealeatoare(, )avanddistribut iadeordinuldoi:w(x, y) ={(y + 1) pentrux [0, 2], y [0, 2x]0 nrest.(a) Calculat iconstanta.(b) Calculat i densitat ile de probabilitate marginale ale lui si si conchidet i asupra (in)dependent eintre cele doua variabile. Pe baza densitat ilor de probabilitate se poate spune ceva despre graduldecorelat iealcelordouavariabile?53 Semnalealeatoare1. Fie semnalul aleator X(t) = sin(5t) + cos(5t) +, unde , , sunt variabile aleatoare independenteprovenind dintr-o distribut ie gaussiana de medie 0 si dispersie 2. Semnalul X(t) este aplicat la intrareaunuiltrutrecejosavandfrecvent adetaiereT=1. Sasedecidaasuprastat ionaritat iisemnaluluiX(t). Sasecalculezefunct iadeautocorelat ieasemnaluluirezultatlaiesirealtrului.2. Fiesemnalulcondit ionatdeterminist(t) =phi sin(2t)+ cos(2t), unde si sunt variabile aleatoare independente gaussiene de medie 0 si dispersie3. Sasecalculezemediasemnalului, funct iadeautocorelat ieprecumsi funct iadeautocorelat iecerezultadupatrecereasemnaluluiprintr-unFTSidealcufrecvent adetaiere0= 3.3. Fie semnalul aleator X(t) =cos(t+), unde este ovariabilaaleatoare distribuitauniformnintervalul [2, 2]. Semnalul X(t) esteaplicat laintrareaunui ltrutrecejos ideal cufrecvent adetaiereT=4. Sasedecidaasuprastat ionaritat ii semnalului X(t). Sasecalculezefunct iadeautocorelat ieasemnaluluirezultat(Y (t) = FTJ(X(t)))laiesirealtrului.4. Fie semnalul aleator X(t) =sin(t+), unde este o variabila aleatoare distribuita uniformnintervalul [, ]. Semnalul X(t) este aplicat la intrarea unui ltru trece jos ideal cu frecvent a de taiereT= 2. Sasedecidaasuprastat ionaritat iisemnaluluiX(t). Sasecalculezefunct iadeautocorelat ieasemnaluluirezultat(Y (t) = FTJ(X(t)))laiesirealtrului.5. Fiesemnalulaleator(t) = 9cos?(0t + ),unde0esteoconstantapozitivacunoscuta,iaresteovariabilaaleatoaredistribuitauniform nintervalul[3, 5].(a) Sasearateca(t)estestat ionar nsenslarg.(b) Seaplica(t)laintrareaunuiltrutrecesuscufrecvent adetaiere40. Sasecalculezefunct iadeautocorelat ieasemnaluluirezultatlaiesirealtrului64 Detect iasemnalelor1. Launlant detransmisiunebinaracudetect ie,setransmitsemnaleleechiprobabiles0(t)= cos(t)sis1(t) = sin(t)pentrut [0, 1]. Zgomotulcareafecteazacanaluldetransmisiuneestealb,stat ionar,avandodistribut iegaussianademedie1si dispersie1. Deciziaseiapebazaadouaesantioanealesemnaluluirecept ionat,lamomentelet1= 0.25sit2= 0.75. Sepresupuncosturiegalepentrudeciziigresite sicosturinulepentrudeciziicorecte.(a) SasededucaformaceamaisimplaareguliidedecizieBayes.(b) Cedecizieseiadacavectorulrecept ionateste r = {1; 2}?(c) Sasecalculezeprobabilitateacaaceastadeciziesaegresita, presupunandcunoscutevalorilefunct ieierf(x) =2x0exp(t2)dt.2. La un lant de transmisiune binara cu detect ie, se transmit semnalele x1(t) = sign(cos(2t)) si x2(t) =sign(cos(2t+)) pentrut [0, 2] . Zgomotul care afecteazacanalul de transmisiune este alb,stationar,avand o distribut ie gaussiana de medie 0 si dispersie 1. Decizia se ia pe baza a 3 esantioanealesemnaluluireceptionat,lamomentele121 si32. Sepresupun2P0= P1.(a) Catsuntcosturileastfel ncatpragultestuluisacoincidacuraportulproabilitat ilorapriorii.(b) Pentruacestevalori,sasededucaformaceamaisimplaareguliidedecizieBayes.(c) Cedecizieseiadacavectorulreceptionateste r = [0.7500.75]?(d) Sasecalculezeprobabilitatealuaiiuneideciziigresite.3. La un lant de transmisiune binara cu detect ie, se transmit semnalele echiprobabile s0(t) = 1 si s1(t) =1 t, pentrut [0, 1]. Zgomotulcareafecteazacanaluldetransmisiuneestealb, sta?ionar, avandodistribut iegausianademedien=0si variant a2n=1/9. Deciziaseiapebazaadouaesantioanealesemnaluluirecept ionat,lamomentelet1= 0.2 sit2= 0.8. Sepresupuncosturiegalepentrudeciziigresite sicosturinulepentrudeciziicorecte.(a) SasededucaformaceamaisimplaareguliidedecizieBayes.(b) Cedecizieseiadacavectorulrecept ionateste r = {0.7, 0.3}(c) Deteminat iprobabilitateacadeciziasaegresite.4. Launlant detransmisiunebinaracudetect ie,setransmitsemnaleleechiprobabiles0(t)= cos(t)sis1(t) = sin(t)pentrut [0, 1]. Zgomotulcareafecteazacanaluldetransmisiuneestealb,stat ionar,independent de semnal, avand o distribut ie gaussiana de medie 1 si dispersie 1. Decizia se ia pe baza adouaesantioanealesemnaluluirecept ionat,lamomentelet1= 0.25sit2= 0.75. Sepresupuncosturiegalepentrudeciziigresite sicosturinulepentrudeciziicorecte.(a) (4+2p)Sasededucaformaceamai simplaaregulii dedecizieBayes.Cedecizieseiadacaserecept ioneaza r = {1; 2}?(b) (4p) Sa se calculeze probabilitatea unei erori, presupunand cunoscuta funct ia erf(x) =2x0exp(t2)dt.75 Estimareaparametrilor1. Pentru estimarea unei tensiuni necunoscute U, despre care se stie a priori ca este distribuita uniformnintervalul [0, 10]V ,se efectueaza patru masuratori indenpendente: u1= 5, 6V ,u2= 5, 1V ,u3= 4, 6V ,u4= 4, 7V . Zgomotul care afecteaza masuratorile este aditiv si modelat ca provenind dintr-o distribut iegaussianademedien = 1 sivariant a2n= 0, 64. Sepresupunecainstant eledezgomotcareafecteazadouamasuratori diferitesunt independentestatistic. Sasecalculezeestimatul maximaposterioriUmapaltensiuniinecunoscute.2. Se pune problema masurarii n condit ii de zgomot al unui parametru. Inainte denceperea masuratorilorse stieca parametrulrespectivpoateluaoricevaloare nintervalul[0,5]. Sefaccincimasuratoriinde-pendente nurmacarorarezultavalorile[3, 1; 3, 2; 3, 0; 2, 9; 2, 8]. Fiecaremasuratoareestedegradatadeunzgomot,alb,gaussiandemedie1 sidispersie1. Sasecalculezeestimatulmaximaposteriorii.3. Sepuneproblemamasurarii ncondit iidezgomotalunuiparametru, desprecareinitialsest iedoarca poate lua valoari n intervalul [3, 3]. Se fac patru masuratori independente n urma carora rezultavalorile [2; 1; 1; 2]. Fiecare masuratoare este degradata de un zgomot, alb, gaussian de medie -1sidispersie1. Sasecalculezeestimatulmaximaposteriorii.4. Sepuneproblemaestimarii valorii unui parametru, . Pentruaceastaseefectuazapatrumasuratoriindependente, n urma carora rezulta valorile: 1..4= 5, 4, 5, 3. Se stie ca masuratorile sunt afectate dezgomot alb,aditiv;ecare esantion de zgomot este modelat ca provenind dintr-o distribut ie gaussianademedie4si dispersie1.Inaintedencepereamasuratorilor sestiacaparametrul estedistribuitgaussiandemedie2sidispersie1. Sasecalculezeestimatulmaximaposteriorialparametrului.5. Pentru estimarea unei temperaturi necunoscute T, despre care se stie apriori ca este distribuita uniformn intervalul [10, 20], se efectueaza trei masuratori independente: t1= 15, t2= 18 si t3= 13. Zgomotulcareafecteazamasuratorileesteaditiv simodelatcaproveninddintr-odistribut iegaussianademedien=0si variant a2n=2. Sepresupunecainstant eledezgomot careafecteazadouamasuratoridiferitesuntindependentestatistic. SasecalculezeestimatulmaximaposterioriTmapaltemperaturiinecunoscute.8