cuni.czbarta/FSV/mat3/Matematika_III...VIII.2. Primitivní funkce Lemma 6 (o delení polynomu)˚ˇ Necht’ P a Q jsou dva polynomy (s komplexními koeﬁcienty), pˇri cemž polynom

Matematika III

Primitivní funkce a Riemannuv integrálLineární algebraTayloruv polynomExtrémy funkcí více promenných

Matematika III Program

Matematika III

Primitivní funkce a Riemannuv integrál

Lineární algebraTayloruv polynomExtrémy funkcí více promenných


Matematika III

Primitivní funkce a Riemannuv integrálLineární algebra

Tayloruv polynomExtrémy funkcí více promenných


Matematika III

Primitivní funkce a Riemannuv integrálLineární algebraTayloruv polynom

Extrémy funkcí více promenných


Matematika III

Primitivní funkce a Riemannuv integrálLineární algebraTayloruv polynomExtrémy funkcí více promenných


VIII.2. Primitivní funkce


DefiniceNecht’ funkce f je definována na neprázdném otevrenémintervalu I. Rekneme, že funkce F : I → R je primitivnífunkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x ∈ I existujeF ′(x) a platí F ′(x) = f (x).

Veta 1 (jednoznacnost primitivní funkce)Necht’ F a G jsou primitivní funkce k funkci f naotevreném intervalu I. Pak existuje c ∈ R tak, žeF (x) = G(x) + c pro každé x ∈ I.

Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál












PoznámkaMnožinu všech primitivních funkcí k funkci f znacímesymbolem ∫

f (x) dx .

Skutecnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme∫f (x) dx c

= F (x), x ∈ I.

Veta 2 (o existenci primitivní funkce)Necht’ f je spojitá funkce na neprázdném otevrenémintervalu I. Pak f má na I primitivní funkci.




f (x) dx .


= F (x), x ∈ I.





f (x) dx .


= F (x), x ∈ I.




Tvrzení 3 (linearita neurcitého integrálu)Necht’ funkce f má na otevreném intervalu I primitivnífunkci F , funkce g má na I primitivní funkci G a α, β ∈ R.Potom funkce αF + βG je primitivní funkcí k αf + βg na I.



Primitivní funkce k nekterým duležitým funkcím

∫xn dx c

=xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};

na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c

=xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫

1x

dx c= log x na (0,+∞),∫

1x

dx c= log(−x) na (−∞,0),∫

ex dx c= ex na R,



Primitivní funkce k nekterým duležitým funkcím∫xn dx c

=xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};

na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,

∫xα dx c

=xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫

1x

dx c= log x na (0,+∞),∫

1x

dx c= log(−x) na (−∞,0),∫

ex dx c= ex na R,




=xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};


=xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},

∫1x

dx c= log x na (0,+∞),∫

1x

dx c= log(−x) na (−∞,0),∫

ex dx c= ex na R,




=xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};


=xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫

1x

dx c= log x na (0,+∞),

∫1x

dx c= log(−x) na (−∞,0),∫

ex dx c= ex na R,




=xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};


=xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫

1x

dx c= log x na (0,+∞),∫

1x

dx c= log(−x) na (−∞,0),

∫ex dx c

= ex na R,




=xn+1

n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};


=xα+1

α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫

1x

dx c= log x na (0,+∞),∫

1x

dx c= log(−x) na (−∞,0),∫

ex dx c= ex na R,


VIII.2. Primitivní funkce∫sin x dx c

= − cos x na R,

∫cos x dx c

= sin x na R,∫1

cos2 xdx c

= tg x na každém z intervalu

(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x

dx c= − cotg x na každém z intervalu

(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1

1 + x2 dx c= arctg x na R,∫

1√1− x2

dx c= arcsin x na (−1,1),∫

− 1√1− x2

dx c= arccos x na (−1,1).



= − cos x na R,∫cos x dx c

= sin x na R,

∫1

cos2 xdx c


(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x


(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1


1√1− x2


− 1√1− x2





= sin x na R,∫1

cos2 xdx c


(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,

∫1

sin2 xdx c

= − cotg x na každém z intervalu

(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1


1√1− x2


− 1√1− x2





= sin x na R,∫1

cos2 xdx c


(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x


(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,

∫1


1√1− x2


− 1√1− x2





= sin x na R,∫1

cos2 xdx c


(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x


(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1

1 + x2 dx c= arctg x na R,

∫1√

1− x2dx c

= arcsin x na (−1,1),∫− 1√

1− x2dx c

= arccos x na (−1,1).




= sin x na R,∫1

cos2 xdx c


(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x


(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1


1√1− x2

dx c= arcsin x na (−1,1),

∫− 1√

1− x2dx c

= arccos x na (−1,1).




= sin x na R,∫1

cos2 xdx c


(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫

1sin2 x


(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1


1√1− x2


− 1√1− x2




Veta 4 (o substituci)(i) Necht’ F je primitivní funkce k f na (a,b). Necht’ je ϕ

funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu(a,b), která má v každém bode t ∈ (α, β) vlastníderivaci. Pak∫

f(ϕ(t)

)ϕ′(t) dt c

= F(ϕ(t)

)na (α, β).

(ii) Necht’ funkce ϕ má v každém bode intervalu (α, β)vlastní derivaci, která je bud’ všude kladná, nebovšude záporná, a ϕ

((α, β)

)= (a,b). Necht’ funkce f

je definovaná na intervalu (a,b) a platí∫f(ϕ(t)

)ϕ′(t) dt c

= G(t) na (α, β).Pak ∫

f (x) dx c= G

(ϕ−1(x)

)na (a,b).



Veta 4 (o substituci)(i) Necht’ F je primitivní funkce k f na (a,b). Necht’ je ϕ

funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu(a,b), která má v každém bode t ∈ (α, β) vlastníderivaci. Pak∫

f(ϕ(t)

)ϕ′(t) dt c

= F(ϕ(t)

)na (α, β).

(ii) Necht’ funkce ϕ má v každém bode intervalu (α, β)vlastní derivaci, která je bud’ všude kladná, nebovšude záporná, a ϕ

((α, β)

)= (a,b). Necht’ funkce f

je definovaná na intervalu (a,b) a platí∫f(ϕ(t)

)ϕ′(t) dt c

= G(t) na (α, β).Pak ∫

f (x) dx c= G

(ϕ−1(x)

)na (a,b).



Veta 5 (integrace per partes)Necht’ I je neprázdný otevrený interval, funkce f a g jsouspojité na I, F je primitivní funkce k f na I a G je primitivnífunkce ke g na I. Pak platí∫

g(x)F (x) dx = G(x)F (x)−∫

G(x)f (x) dx na I.



Integrace racionálních funkcí

DefiniceRacionální funkcí budeme rozumet podíl dvou polynomu,kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule.

Veta („základní veta algebry“)Necht’ n ∈ N, a0, . . . ,an ∈ C, an 6= 0. Pak rovnice

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0

má alespon jedno rešení z ∈ C.



Integrace racionálních funkcí

DefiniceRacionální funkcí budeme rozumet podíl dvou polynomu,kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule.

Veta („základní veta algebry“)Necht’ n ∈ N, a0, . . . ,an ∈ C, an 6= 0. Pak rovnice

anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0

má alespon jedno rešení z ∈ C.



Lemma 6 (o delení polynomu)Necht’ P a Q jsou dva polynomy (s komplexnímikoeficienty), pricemž polynom Q není identicky rovennule. Pak existují jednoznacne urcené polynomy R a Zsplnující:

Polynom Z je nulový nebo má stupen menší nežstupen Q.P(x) = R(x)Q(x) + Z (x) pro všechna x ∈ C.

Pokud mají P a Q reálné koeficienty, mají i R a Z reálnékoeficienty.

DusledekJe-li P polynom a λ ∈ C je jeho koren (tj. P(λ) = 0), pakexistuje polynom R, pro který platí P(x) = (x − λ)R(x)pro x ∈ C.



Lemma 6 (o delení polynomu)Necht’ P a Q jsou dva polynomy (s komplexnímikoeficienty), pricemž polynom Q není identicky rovennule. Pak existují jednoznacne urcené polynomy R a Zsplnující:

Polynom Z je nulový nebo má stupen menší nežstupen Q.P(x) = R(x)Q(x) + Z (x) pro všechna x ∈ C.

Pokud mají P a Q reálné koeficienty, mají i R a Z reálnékoeficienty.

DusledekJe-li P polynom a λ ∈ C je jeho koren (tj. P(λ) = 0), pakexistuje polynom R, pro který platí P(x) = (x − λ)R(x)pro x ∈ C.



Veta 7 (o rozkladu na korenové cinitele)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupne n.Pak existují císla x1, . . . , xn ∈ C taková, že

P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.

DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Rekneme, že λ jekoren násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splnuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C. (Tj. násobnost korene λ je rovna poctu výskytucísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z vety 7.)




P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.

DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Rekneme, že λ jekoren násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splnuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C.

(Tj. násobnost korene λ je rovna poctu výskytucísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z vety 7.)




P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.

DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Rekneme, že λ jekoren násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splnuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C. (Tj. násobnost korene λ je rovna poctu výskytucísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z vety 7.)



Tvrzení 8 (o korenech polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P je polynom s reálnými koeficienty a z ∈ C jekoren P násobnosti k ∈ N. Pak i komplexne sdruženécíslo z je korenem P násobnosti k.



Veta 9 (o rozkladu polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupne n sreálnými koeficienty. Pak existují reálná císla x1, . . . , xk ,α1, . . . , αl , β1, . . . , βl a prirozená císla p1, . . . ,pk , q1, . . . ,ql

taková, žeP(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1

· · · (x2 + αlx + βl)ql ,

žádné dva z mnohoclenu x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají spolecnýkoren,mnohocleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný koren.





· · · (x2 + αlx + βl)ql ,

žádné dva z mnohoclenu x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají spolecnýkoren,

mnohocleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný koren.





· · · (x2 + αlx + βl)ql ,

žádné dva z mnohoclenu x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají spolecnýkoren,mnohocleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný koren.



Veta 10 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupen P je ostre menší než stupen Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1

· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z vety 9.

Pak existují jednoznacne urcená reálná císlaA1

1, . . . ,A1p1, . . . ,Ak

1, . . . ,Akpk

,B1

1 ,C11 , . . . ,B

1q1,C1

q1, . . . ,B l

1,Cl1, . . . ,B

lql,C l

qltaková, že platí

P(x)Q(x) =

A11

(x−x1)+ · · ·+ A1

p1(x−x1)

p1 + · · ·+ Ak1

(x−xk )+ · · ·+ Ak

pk(x−xk )

pk

+B1

1x+C11

(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B1

q1x+C1

q1(x2+α1x+β1)

q1 + · · ·

+Bl

1x+C l1

(x2+αl x+βl )+ · · ·+ Bl

qlx+C l

ql(x2+αl x+βl )

ql .






1, . . . ,A1p1, . . . ,Ak

1, . . . ,Akpk

,B1

1 ,C11 , . . . ,B

1q1,C1

q1, . . . ,B l

1,Cl1, . . . ,B

lql,C l


P(x)Q(x) =

A11

(x−x1)+ · · ·+ A1

p1(x−x1)

p1 +

· · ·+ Ak1

(x−xk )+ · · ·+ Ak

pk(x−xk )

pk

+B1

1x+C11

(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B1

q1x+C1

q1(x2+α1x+β1)

q1 + · · ·

+Bl

1x+C l1

(x2+αl x+βl )+ · · ·+ Bl

qlx+C l

ql(x2+αl x+βl )

ql .






1, . . . ,A1p1, . . . ,Ak

1, . . . ,Akpk

,B1

1 ,C11 , . . . ,B

1q1,C1

q1, . . . ,B l

1,Cl1, . . . ,B

lql,C l


P(x)Q(x) =

A11

(x−x1)+ · · ·+ A1

p1(x−x1)

p1 + · · ·+ Ak1

(x−xk )+ · · ·+ Ak

pk(x−xk )

pk

+

B11x+C1

1(x2+α1x+β1)

+ · · ·+ B1q1

x+C1q1

(x2+α1x+β1)q1 + · · ·

+Bl

1x+C l1

(x2+αl x+βl )+ · · ·+ Bl

qlx+C l

ql(x2+αl x+βl )

ql .






1, . . . ,A1p1, . . . ,Ak

1, . . . ,Akpk

,B1

1 ,C11 , . . . ,B

1q1,C1

q1, . . . ,B l

1,Cl1, . . . ,B

lql,C l


P(x)Q(x) =

A11

(x−x1)+ · · ·+ A1

p1(x−x1)

p1 + · · ·+ Ak1

(x−xk )+ · · ·+ Ak

pk(x−xk )

pk

+B1

1x+C11

(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B1

q1x+C1

q1(x2+α1x+β1)

q1 + · · ·

+

Bl1x+C l

1(x2+αl x+βl )

+ · · ·+ Blql

x+C lql

(x2+αl x+βl )ql .






1, . . . ,A1p1, . . . ,Ak

1, . . . ,Akpk

,B1

1 ,C11 , . . . ,B

1q1,C1

q1, . . . ,B l

1,Cl1, . . . ,B

lql,C l


P(x)Q(x) =

A11

(x−x1)+ · · ·+ A1

p1(x−x1)

p1 + · · ·+ Ak1

(x−xk )+ · · ·+ Ak

pk(x−xk )

pk

+B1

1x+C11

(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B1

q1x+C1

q1(x2+α1x+β1)

q1 + · · ·

+Bl

1x+C l1

(x2+αl x+βl )+ · · ·+ Bl

qlx+C l

ql(x2+αl x+βl )

ql .


VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál





Riemannuv integrál – opakování




2.56

1.34

S(f ,D) =n∑

j=1

Mj(xj − xj−1)

S(f ,D) =n∑

j=1

mj(xj − xj−1)




2.56 1.34

S(f ,D) =n∑

j=1

Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑

j=1

mj(xj − xj−1)




2.15 1.84

S(f ,D) =n∑

j=1


j=1

mj(xj − xj−1)




2.08 1.92

S(f ,D) =n∑

j=1


j=1

mj(xj − xj−1)




2.08 1.92

S(f ,D) =n∑

j=1


j=1

mj(xj − xj−1)

inf S(f ,D)?= sup S(f ,D)




2.08 1.92

S(f ,D) =n∑

j=1


j=1

mj(xj − xj−1)

∫ b

af (x) dx := inf S(f ,D) = sup S(f ,D)



Lemma 11 (Spojitost Riemannova integrálu)Necht’ a, b ∈ R, a < b a funkce f má Riemannuv integrálna 〈a,b〉. Pak∫ b

af (x) dx = lim

y→b−

∫ y

af (x) dx = lim

y→a+

∫ b

yf (x) dx .



Lemma 12 (Korektnost zobecneného RI)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b a c ∈ (a,b). Necht’ funkce f máRiemannuv integrál na každém podintervalu〈y , z〉 ⊂ (a,b) a výraz

limy→a+

∫ c

yf (x) dx + lim

z→b−

∫ z

cf (x) dx (1)

má smysl (tj. limity existují a jejich soucet má smysl).

Pakpro každé d ∈ (a,b) má výraz

limy→a+

∫ d

yf (x) dx + lim

z→b−

∫ z

df (x) dx

smysl a je roven výrazu (1).



Lemma 12 (Korektnost zobecneného RI)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b a c ∈ (a,b). Necht’ funkce f máRiemannuv integrál na každém podintervalu〈y , z〉 ⊂ (a,b) a výraz

limy→a+

∫ c

yf (x) dx + lim

z→b−

∫ z

cf (x) dx (1)

má smysl (tj. limity existují a jejich soucet má smysl).Pakpro každé d ∈ (a,b) má výraz

limy→a+

∫ d

yf (x) dx + lim

z→b−

∫ z

df (x) dx

smysl a je roven výrazu (1).



DefiniceNecht’ f : (a,b)→ R, a, b ∈ R∗, a < b a necht’ c ∈ (a,b).Zobecneným Riemannovým integrálem od a do b zfunkce f rozumíme∫ b

af (x) dx := lim

y→a+

∫ c

yf (x) dx + lim

z→b−

∫ z

cf (x) dx , (2)

pokud Riemannovy integrály na pravé strane existují,limity existují a jejich soucet má smysl.

Poznámka1. Definice nezávisí na volbe c ∈ (a,b) (dle Lemmatu 12).2. Pokud má funkce Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉, pak má i zobecnený Riemannuv integrál na (a,b) aoba integrály jsou si rovny (dusledek lemmatu 11).




af (x) dx := lim

y→a+

∫ c

yf (x) dx + lim

z→b−

∫ z

cf (x) dx , (2)


Poznámka1. Definice nezávisí na volbe c ∈ (a,b) (dle Lemmatu 12).

2. Pokud má funkce Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉, pak má i zobecnený Riemannuv integrál na (a,b) aoba integrály jsou si rovny (dusledek lemmatu 11).




af (x) dx := lim

y→a+

∫ c

yf (x) dx + lim

z→b−

∫ z

cf (x) dx , (2)


Poznámka1. Definice nezávisí na volbe c ∈ (a,b) (dle Lemmatu 12).2. Pokud má funkce Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉, pak má i zobecnený Riemannuv integrál na (a,b) aoba integrály jsou si rovny (dusledek lemmatu 11).



Poznámka3. Zobecnený Riemannuv integrál muže být roven +∞nebo −∞.

Pokud je tomu tak, ríkáme, že integrál∫ b

a fdiverguje. Pokud má konecnou hodnotu, ríkáme, žekonverguje. Pokud výraz na pravé strane v 2 nemá smysl,ríkáme, že funkce f nemá zobecnený Riemannuv integrálod a do b.



Poznámka3. Zobecnený Riemannuv integrál muže být roven +∞nebo −∞. Pokud je tomu tak, ríkáme, že integrál

∫ ba f

diverguje.

Pokud má konecnou hodnotu, ríkáme, žekonverguje. Pokud výraz na pravé strane v 2 nemá smysl,ríkáme, že funkce f nemá zobecnený Riemannuv integrálod a do b.




∫ ba f

diverguje. Pokud má konecnou hodnotu, ríkáme, žekonverguje.

Pokud výraz na pravé strane v 2 nemá smysl,ríkáme, že funkce f nemá zobecnený Riemannuv integrálod a do b.




∫ ba f

diverguje. Pokud má konecnou hodnotu, ríkáme, žekonverguje. Pokud výraz na pravé strane v 2 nemá smysl,ríkáme, že funkce f nemá zobecnený Riemannuv integrálod a do b.



Tvrzení 13 (linearita zobecneného RI)Necht’ f a g jsou funkce mající zobecnený RI na intervalu(a,b), a, b ∈ R∗, a < b a necht’ α ∈ R. Potom

(i) funkce αf má zobecnený RI na (a,b) a platí∫ b

aαf = α

∫ b

af ,

(ii) funkce f + g má zobecnený RI na (a,b) a platí∫ b

af + g =

∫ b

af +

∫ b

ag,

pokud je soucet na pravé strane definován.



Tvrzení 13 (linearita zobecneného RI)Necht’ f a g jsou funkce mající zobecnený RI na intervalu(a,b), a, b ∈ R∗, a < b a necht’ α ∈ R. Potom

(i) funkce αf má zobecnený RI na (a,b) a platí∫ b

aαf = α

∫ b

af ,

(ii) funkce f + g má zobecnený RI na (a,b) a platí∫ b

af + g =

∫ b

af +

∫ b

ag,

pokud je soucet na pravé strane definován.



Tvrzení 14 (zobecnený RI a nerovnosti)Necht’ a,b ∈ R∗, a < b, a necht’ f a g jsou funkce majícízobecnený Riemannuv integrál na intervalu (a,b). Potomplatí:

(i) Je-li f (x) ≤ g(x) pro každé x ∈ (a,b), pak∫ b

af ≤

∫ b

ag.

(ii) Funkce |f | má zobecnený RI na (a,b) a platí∣∣∣∣∫ b

af∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f |.



Tvrzení 14 (zobecnený RI a nerovnosti)Necht’ a,b ∈ R∗, a < b, a necht’ f a g jsou funkce majícízobecnený Riemannuv integrál na intervalu (a,b). Potomplatí:

(i) Je-li f (x) ≤ g(x) pro každé x ∈ (a,b), pak∫ b

af ≤

∫ b

ag.

(ii) Funkce |f | má zobecnený RI na (a,b) a platí∣∣∣∣∫ b

af∣∣∣∣ ≤ ∫ b

a|f |.



Tvrzení 15 (zobecnený RI a podintervaly)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b, funkce f má zobecnený RI naintervalu (a,b) a c ∈ (a,b). Pak funkce f má zobecnenýRI na intervalech (a, c) a (c,b) a platí∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf .

PoznámkaPOZOR! Pro zobecnené RI (na rozdíl od RI) neplatí:Existují-li zobecnené RI

∫ ca f ,

∫ bc f , pak existuje zobecnený

RI∫ b

a f .



Tvrzení 15 (zobecnený RI a podintervaly)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b, funkce f má zobecnený RI naintervalu (a,b) a c ∈ (a,b). Pak funkce f má zobecnenýRI na intervalech (a, c) a (c,b) a platí∫ b

af =

∫ c

af +

∫ b

cf .

PoznámkaPOZOR! Pro zobecnené RI (na rozdíl od RI) neplatí:Existují-li zobecnené RI

∫ ca f ,

∫ bc f , pak existuje zobecnený

RI∫ b

a f .



Veta 16 (Newtonuv–Leibnizuv vzorec)Necht’ f , je spojitá na intervalu (a,b), a, b ∈ R∗, a < b, anecht’ F je primitivní funkce k f na (a,b). Integrál∫ b

a f (x) dx existuje, práve když existují limity limx→a+ F (x),limx→b− F (x) a jejich rozdíl má smysl.

V tomto prípade platí∫ b

af (x) dx = lim

x→b−F (x)− lim

x→a+F (x). (3)

Výraz na pravé strane v (3) znacíme [F ]ba.




a f (x) dx existuje, práve když existují limity limx→a+ F (x),limx→b− F (x) a jejich rozdíl má smysl.V tomto prípade platí∫ b

af (x) dx = lim


x→a+F (x). (3)





a f (x) dx existuje, práve když existují limity limx→a+ F (x),limx→b− F (x) a jejich rozdíl má smysl.V tomto prípade platí∫ b

af (x) dx = lim


x→a+F (x). (3)




Veta 17 (per partes pro urcitý integrál)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b a f a g mají na intervalu (a,b)spojitou první derivaci. Pak platí∫ b

af ′g = [fg]ba −

∫ b

afg′, (4)

pokud má výraz na pravé strane smysl.



Veta 18 (substituce pro urcitý integrál)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b a f je spojitá na (a,b). Necht’ α,β ∈ R∗, α < β a φ má na intervalu (α, β) spojitou prvníderivaci, je ryze monotónní a zobrazuje (α, β) na (a,b).Pak platí ∫ b

af (x) dx =

∫ β

α

f (φ(t))|φ′(t)| dt , (5)

pokud aspon jeden z integrálu existuje.



Veta (zavedení logaritmu)Existuje jediná funkce (znacíme ji log a nazýváme jiprirozeným logaritmem), která má tyto vlastnosti:(L1) Dlog = (0,+∞),(L2) funkce log je na (0,+∞) rostoucí,(L3) ∀x , y ∈ (0,+∞) : log xy = log x + log y,(L4) lim

x→1

log xx−1 = 1.



Veta 19 (srovnávací kritérium pro integrály)Necht’ a, b ∈ R∗, funkce f , g splnují 0 ≤ f (x) ≤ g(x) provšechna x ∈ (a,b) a f je na (a,b) spojitá. Pokud

∫ ba g

konverguje, pak∫ b

a f konverguje.



Veta 20 (limitní srovnávací kritérium)Necht’ f a g jsou spojité a nezáporné funkce na 〈a,b),b ∈ R∗ a existuje limita limx→b−

f (t)g(t) = c ∈ R∗.

Je-li c ∈ (0,+∞), pak konvergence∫ b

a f jeekvivalentní konvergenci

∫ ba g.

Je-li c = 0, pak z konvergence∫ b

a g plynekonvergence

∫ ba f .

Je-li c = +∞, pak z divergence∫ b

a g plynedivergence

∫ ba f .




f (t)g(t) = c ∈ R∗.



∫ ba g.



∫ ba f .


a g plynedivergence

∫ ba f .




f (t)g(t) = c ∈ R∗.



∫ ba g.



∫ ba f .


a g plynedivergence

∫ ba f .



Veta 21 (integrální kritérium konvergence rad)Necht’ f : (0,+∞)→ R je nezáporná, nerostoucí a spojitá.Rada

∑∞n=1 f (n) konverguje, práve když

∫ +∞1 f (x) dx

konverguje.


VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn

DefiniceNecht’ A je nejaký systém podmnožin Rn. Rekneme, že Aje σ-algebra, jestliže platí:

(i) ∅ ∈ A,(ii) je-li A ∈ A, pak také Rn \ A ∈ A,(iii) jsou-li A1,A2, . . . ∈ A, pak také

⋃∞j=1 Aj ∈ A.

DefiniceNecht’ A je σ-algebra podmnožin Rn. Zobrazeníµ : A → 〈0,+∞) ∪ {+∞} se nazývá míra, jestližeµ(∅) = 0, a jestliže je σ-aditivní, tj. pokud A1,A2, . . . ∈ Ajsou po dvou disjunktní, pak µ(

⋃∞j=1 Aj) =

∑∞j=1 µ(Aj).

Množinám z A se ríká meritelné (prípadne µ-meritelné)množiny.





⋃∞j=1 Aj ∈ A.


⋃∞j=1 Aj) =

∑∞j=1 µ(Aj).






⋃∞j=1 Aj ∈ A.


⋃∞j=1 Aj) =

∑∞j=1 µ(Aj).




Veta 22Existuje práve jedna σ-algebra Λ na Rn a práve jednamíra λ na Λ mající následující vlastnosti:

(i) Λ obsahuje všechny otevrené podmnožiny Rn;(ii) jestliže A,B ∈ Λ, A ⊂ E ⊂ B, a λ(B \ A) = 0, pak

E ∈ Λ;(iii) je-li I = 〈a1,b1〉 × 〈a2,b2〉 × · · · × 〈an,bn〉 ⊂ Rn, pak

λ(I) =∏n

j=1(bj − aj);(iv) λ je translacne invariantní, tj. λ(x + A) = λ(A) pro

každou A ∈ Λ a x ∈ Rn.

Míra λ z predchozí vety se nazývá Lebesgueova míraa množinám v Λ se ríká lebesgueovsky meritelnémnožiny.



Veta 22Existuje práve jedna σ-algebra Λ na Rn a práve jednamíra λ na Λ mající následující vlastnosti:

(i) Λ obsahuje všechny otevrené podmnožiny Rn;(ii) jestliže A,B ∈ Λ, A ⊂ E ⊂ B, a λ(B \ A) = 0, pak

E ∈ Λ;(iii) je-li I = 〈a1,b1〉 × 〈a2,b2〉 × · · · × 〈an,bn〉 ⊂ Rn, pak

λ(I) =∏n

j=1(bj − aj);(iv) λ je translacne invariantní, tj. λ(x + A) = λ(A) pro

každou A ∈ Λ a x ∈ Rn.

Míra λ z predchozí vety se nazývá Lebesgueova míraa množinám v Λ se ríká lebesgueovsky meritelnémnožiny.



PríkladPríklady lebesgueovsky meritelných množin:

otevrené a uzavrené množiny,konvexní množiny,konecné množiny,{xk ∈ Rn : k ∈ N}, tj. množina všech clenu nejaképosloupnosti v Rn.



PríkladPríklady množin nulové míry v Rn:

konecné množiny,{xk ∈ Rn : k ∈ N}, tj. množina všech clenu nejaképosloupnosti v Rn,nadroviny v Rn,grafy spojitých funkcí z Rn−1 do R,hranice konvexních množin,Cantorovo diskontinuum v R.

Je-li V (x), x ∈ Rn výroková forma, pak ríkáme, že V (x)platí pro „skoro všechna x “ nebo „skoro všude“, jestližeexistuje množina E nulové míry taková, že∀x ∈ Rn \ E : V (x).



PríkladPríklady množin nulové míry v Rn:

konecné množiny,{xk ∈ Rn : k ∈ N}, tj. množina všech clenu nejaképosloupnosti v Rn,nadroviny v Rn,grafy spojitých funkcí z Rn−1 do R,hranice konvexních množin,Cantorovo diskontinuum v R.

Je-li V (x), x ∈ Rn výroková forma, pak ríkáme, že V (x)platí pro „skoro všechna x “ nebo „skoro všude“, jestližeexistuje množina E nulové míry taková, že∀x ∈ Rn \ E : V (x).



DefinicePro A ⊂ Rn definujeme charakteristickou funkcimnožiny A takto:

χA(x) =

{1 x ∈ A,0 x ∈ Rn \ A.

Necht’ A1, . . . ,Ak ⊂ Rn a c1, . . . , ck ∈ R. Funkci tvaru∑kj=1 cjχAj nazýváme jednoduchou funkcí. Jsou-li navíc

A1, . . . ,Ak ∈ Λ, pak funkci∑k

j=1 cjχAj nazývámejednoduchou meritelnou funkcí.




χA(x) =

{1 x ∈ A,0 x ∈ Rn \ A.

Necht’ A1, . . . ,Ak ⊂ Rn a c1, . . . , ck ∈ R. Funkci tvaru∑kj=1 cjχAj nazýváme jednoduchou funkcí.

Jsou-li navícA1, . . . ,Ak ∈ Λ, pak funkci

∑kj=1 cjχAj nazýváme

jednoduchou meritelnou funkcí.




χA(x) =

{1 x ∈ A,0 x ∈ Rn \ A.

Necht’ A1, . . . ,Ak ⊂ Rn a c1, . . . , ck ∈ R. Funkci tvaru∑kj=1 cjχAj nazýváme jednoduchou funkcí. Jsou-li navíc

A1, . . . ,Ak ∈ Λ, pak funkci∑k

j=1 cjχAj nazývámejednoduchou meritelnou funkcí.



DefiniceZobrazení f : Rn → R∗ nazýváme numerickou funkcí.

Rekneme, že numerická funkce f je meritelná, jestližeexistuje posloupnost jednoduchých meritelných funkcí{fj}∞j=1 taková, že pro všechna x ∈ Rn platílimj→∞ fj(x) = f (x).

DefiniceJe-li {fj}∞j=1 posloupnost numerických funkcí, rekneme ženumerická funkce f je bodovou limitou posloupnosti {fj},jestliže pro každé x ∈ Rn platí limj→∞ fj(x) = f (x).Znacíme limj→∞ fj = f nebo fj → f .



DefiniceZobrazení f : Rn → R∗ nazýváme numerickou funkcí.Rekneme, že numerická funkce f je meritelná, jestližeexistuje posloupnost jednoduchých meritelných funkcí{fj}∞j=1 taková, že pro všechna x ∈ Rn platílimj→∞ fj(x) = f (x).




DefiniceZobrazení f : Rn → R∗ nazýváme numerickou funkcí.Rekneme, že numerická funkce f je meritelná, jestližeexistuje posloupnost jednoduchých meritelných funkcí{fj}∞j=1 taková, že pro všechna x ∈ Rn platílimj→∞ fj(x) = f (x).




DefiniceLebesgueuv integrál jednoduché nezáporné meritelnéfunkce f :=

∑kj=1 cjχAj definujeme predpisem

∫f dλ =

k∑j=1

cjλ(Aj),

kde používáme konvenci 0 · (+∞) = 0.



DefiniceLebesgueuv integrál nezáporné meritelné funkcedefinujeme predpisem∫

f dλ = sup{∫

g dλ : g ∈ JM+, g ≤ f},

kde JM+ je množina všech nezáporných jednoduchýchmeritelných funkcí.



Oznacme f+ := max{f ,0} a f− := max{−f ,0}.

DefiniceLebesgueuv integrál meritelné funkce definujemepredpisem ∫

f dλ =

∫f+ dλ−

∫f− dλ,

pokud je rozdíl definován.

Ríkáme, že funkce f je (lebesgueovsky) integrovatelná,pokud má konecný Lebesgueuv integrál.



Oznacme f+ := max{f ,0} a f− := max{−f ,0}.

DefiniceLebesgueuv integrál meritelné funkce definujemepredpisem ∫

f dλ =

∫f+ dλ−

∫f− dλ,

pokud je rozdíl definován.Ríkáme, že funkce f je (lebesgueovsky) integrovatelná,pokud má konecný Lebesgueuv integrál.



Veta 23 (vlastnosti meritelných funkcí)Meritelné funkce mají následující vlastnosti:

(i) Jsou-li f ,g meritelné a α ∈ R, pak i αf , f + g, fg, fg

jsou meritelné, pokud jsou definované na celém Rn.(ii) Jsou-li f ,g meritelné, pak i max{f ,g} a min{f ,g}

jsou meritelné.(iii) Je-li f reálná meritelná a g reálná spojitá, pak g ◦ f je

meritelná.(iv) Je-li {fj}∞j=1 posloupnost meritelných funkcí

s bodovou limitou f , pak f je také meritelná.(v) Spojité funkce jsou meritelné.



DefiniceJe-li M ⊂ Rn meritelná množina a f meritelná funkce, pakdefinujeme ∫

Mf dλ =

∫χM f dλ.



Veta 24 (vlastnosti Lebesgueova integrálu)Necht’ M je meritelná množina a f , g jsou meritelnéfunkce.

(i) Necht’ α ∈ R. Pak∫

M αf dλ = α∫

M f dλa∫

M(f + g) dλ =∫

M f dλ +∫

M g dλ, pokud jsou výrazynapravo definovány.

(ii) Platí-li f ≤ g skoro všude na M, pak∫M f dλ ≤

∫M g dλ, pokud oba integrály existují.

(iii) Jestliže∫

M f dλ existuje, pak existuje i∫

M |f | dλ a platí∣∣∫M f dλ

∣∣ ≤ ∫M |f | dλ.(iv) Je-li f = 0 skoro všude na M, pak

∫M f dλ = 0.

(v) Je-li f = g skoro všude na M, pak∫

M f dλ =∫

M g dλ,pokud alespon jeden z integrálu existuje.



Veta 25 (souvislost s Riemannovým integrálem)

(i) Jestliže existuje Riemannuv integrál∫ b

a f , pakexistuje i Lebesgueuv integrál

∫(a,b) f dλ a oba

integrály se rovnají.

(ii) Je-li f omezená na 〈a,b〉, pak její Riemannuv integrálexistuje, práve když je skoro všude spojitá.

(iii) Je-li f spojitá nezáporná funkce na (a,b), pak∫(a,b) f dλ =

∫ ba f , kde vpravo je zobecnený

Riemannuv integrál.







integrály se rovnají.(ii) Je-li f omezená na 〈a,b〉, pak její Riemannuv integrál

existuje, práve když je skoro všude spojitá.

(iii) Je-li f spojitá nezáporná funkce na (a,b), pak∫(a,b) f dλ =

∫ ba f , kde vpravo je zobecnený

Riemannuv integrál.







integrály se rovnají.(ii) Je-li f omezená na 〈a,b〉, pak její Riemannuv integrál

existuje, práve když je skoro všude spojitá.(iii) Je-li f spojitá nezáporná funkce na (a,b), pak∫

(a,b) f dλ =∫ b

a f , kde vpravo je zobecnenýRiemannuv integrál.



Veta 26 (Príklady integrovatelných funkcí)

(i) Necht’ M ⊂ Rn je omezená otevrená nebo uzavrenámnožina a f je omezená spojitá funkce na M. Pak f jeintegrovatelná na M.

(ii) Necht’ M ⊂ Rn je omezená konvexní otevrenámnožina a f je spojitá funkce na M. Pak f jeintegrovatelná na M i na M a platí

∫M f dλ =

∫M f dλ.



Veta 26 (Príklady integrovatelných funkcí)

(i) Necht’ M ⊂ Rn je omezená otevrená nebo uzavrenámnožina a f je omezená spojitá funkce na M. Pak f jeintegrovatelná na M.

(ii) Necht’ M ⊂ Rn je omezená konvexní otevrenámnožina a f je spojitá funkce na M. Pak f jeintegrovatelná na M i na M a platí

∫M f dλ =

∫M f dλ.



Veta 27 (Fubiniova)Necht’ m,n ∈ N a f : Rm+n → R je integrovatelná funkce.Pro každé x ∈ Rm definujme funkci fx : Rn → R predpisemfx (y) = f (x , y). Pak pro skoro všechna x ∈ Rm je funkce fxintegrovatelná a platí∫

Rm+nf dλ =

∫Rm

(∫Rn

fx (y) dλ(y)

)dλ(x). (6)

PoznámkaNecht’ m,n ∈ N a f : Rm+n → R∗ je nezáporná meritelnáfunkce. Pro každé x ∈ Rm definujme funkci fx : Rn → Rpredpisem fx (y) = f (x , y). Pak pro skoro všechna x ∈ Rm

je funkce fx meritelná a platí opet vzorec (6). Zde ovšemmuže být integrál

∫Rm+n f dλ nekonecný.



Veta 27 (Fubiniova)Necht’ m,n ∈ N a f : Rm+n → R je integrovatelná funkce.Pro každé x ∈ Rm definujme funkci fx : Rn → R predpisemfx (y) = f (x , y). Pak pro skoro všechna x ∈ Rm je funkce fxintegrovatelná a platí∫

Rm+nf dλ =

∫Rm

(∫Rn

fx (y) dλ(y)

)dλ(x). (6)

PoznámkaNecht’ m,n ∈ N a f : Rm+n → R∗ je nezáporná meritelnáfunkce. Pro každé x ∈ Rm definujme funkci fx : Rn → Rpredpisem fx (y) = f (x , y). Pak pro skoro všechna x ∈ Rm

je funkce fx meritelná a platí opet vzorec (6). Zde ovšemmuže být integrál

∫Rm+n f dλ nekonecný.



Veta 28 (o substituci)Necht’ G ⊂ Rn je otevrená množina, funkceϕ1, . . . , ϕn ∈ C1(G) a zobrazení ϕ : G→ Rn definovanépredpisem ϕ(x) = [ϕ1(x), . . . , ϕn(x)] necht’ je prosté. Dálepredpokládejme, že determinant (tzv. jakobián)

Jϕ(x) =

∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ1∂x1

(x) . . . ∂ϕ1∂xn

(x)...

. . ....

∂ϕn∂x1

(x) . . . ∂ϕn∂xn

(x)

∣∣∣∣∣∣∣je nenulový v každém bode x ∈ G. Pak ϕ(G) je otevrenáa pro každou meritelnou M ⊂ ϕ(G) a každou f : G→ R∗platí ∫

Mf dλ =

∫ϕ−1(M)

f(ϕ(x)

)|Jϕ(x)| dλ(x),

pokud je alespon jeden z techto integrálu definován.Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál

IX.1. Vektorové prostory


Symbol K znací množinu R nebo C.

Matematika III IX. Lineární algebra



Symbol K znací množinu R nebo C.



Definice

Vektorovým prostorem nad K rozumíme trojici (V ,+, ·),kde V je neprázdná množina, + je operace z V × V doV a · je operace z K× V do V , pricemž tyto operace majínásledující vlastnosti:



Definice

∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita scítání),

∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita scítání),množina V obsahuje prvek, který znacíme o (aríkáme mu nulový prvek), splnující

∀v ∈ V : o + v = v .

∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .



Definice

∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita scítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita scítání),

množina V obsahuje prvek, který znacíme o (aríkáme mu nulový prvek), splnující

∀v ∈ V : o + v = v .




Definice

∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita scítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita scítání),množina V obsahuje prvek, který znacíme o (aríkáme mu nulový prvek), splnující

∀v ∈ V : o + v = v .




Definice


∀v ∈ V : o + v = v .

∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,

∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .



Definice


∀v ∈ V : o + v = v .

∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,

∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .



Definice


∀v ∈ V : o + v = v .

∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,

∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .



Definice


∀v ∈ V : o + v = v .

∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,

∀v ∈ V : 1 · v = v .



Definice


∀v ∈ V : o + v = v .




DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor nad K a U ⊂ V ,U 6= ∅. Rekneme, že U je vektorový podprostor prostoruV , jestliže∀u,v ∈ U : u + v ∈ U,

∀a ∈ K ∀u ∈ U : a · u ∈ U.



DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor nad K a U ⊂ V ,U 6= ∅. Rekneme, že U je vektorový podprostor prostoruV , jestliže∀u,v ∈ U : u + v ∈ U,∀a ∈ K ∀u ∈ U : a · u ∈ U.



DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, m ∈ N,u1, . . . ,um ∈ V a λ1, . . . , λm ∈ K. Výraz

λ1u1 + · · ·+ λmum

nazýváme lineární kombinací vektoru u1, . . . ,um.

Pokudalespon jedno z císel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoríme o netriviální lineární kombinaci, v opacnémprípade jde o triviální lineární kombinaci. Lineárníkombinací prázdné množiny vektoru rozumíme nulovývektor.




λ1u1 + · · ·+ λmum

nazýváme lineární kombinací vektoru u1, . . . ,um. Pokudalespon jedno z císel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoríme o netriviální lineární kombinaci, v opacnémprípade jde o triviální lineární kombinaci.

Lineárníkombinací prázdné množiny vektoru rozumíme nulovývektor.




λ1u1 + · · ·+ λmum

nazýváme lineární kombinací vektoru u1, . . . ,um. Pokudalespon jedno z císel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoríme o netriviální lineární kombinaci, v opacnémprípade jde o triviální lineární kombinaci. Lineárníkombinací prázdné množiny vektoru rozumíme nulovývektor.



DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Rekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárne závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru.

Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárne závislé, pak ríkáme, že jsou lineárne nezávislé.Rekneme, že množina M ⊂ V je lineárne nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou ruzných vektoru z M jelineárne nezávislá.

DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, M ⊂ V . Rekneme, žemnožina M generuje V , jestliže každý vektor z V jelineární kombinací konecne mnoha vektoru z M.



DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Rekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárne závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru. Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárne závislé, pak ríkáme, že jsou lineárne nezávislé.

Rekneme, že množina M ⊂ V je lineárne nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou ruzných vektoru z M jelineárne nezávislá.




DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Rekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárne závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru. Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárne závislé, pak ríkáme, že jsou lineárne nezávislé.Rekneme, že množina M ⊂ V je lineárne nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou ruzných vektoru z M jelineárne nezávislá.




DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Rekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárne závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru. Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárne závislé, pak ríkáme, že jsou lineárne nezávislé.Rekneme, že množina M ⊂ V je lineárne nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou ruzných vektoru z M jelineárne nezávislá.




DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor a B ⊂ V . Rekneme,že B je báze prostoru V , jestliže množina B je lineárnenezávislá a generuje V .



Veta 29 (o bázi vektorového prostoru)

(i) Každou lineárne nezávislou podmnožinuvektorového prostoru lze doplnit na bázi tohotoprostoru.

(ii) Každý vektorový prostor má bázi.(iii) Pocet prvku báze prostoru V je urcen jednoznacne a

nazýváme ho dimenze prostoru V (znacíme dim V).

DefiniceJe-li dim V < +∞, rekneme, že V je konecnerozmerný(konecnedimenzionální). Je-li dim V = +∞, mluvíme onekonecnerozmerném (nekonecnedimenzionálním)vektorovém prostoru.





(ii) Každý vektorový prostor má bázi.

(iii) Pocet prvku báze prostoru V je urcen jednoznacne anazýváme ho dimenze prostoru V (znacíme dim V).


















Tvrzení 30 (o bázi konecnerozmernéhoprostoru)Necht’ V je vektorový prostor dimenze n ∈ N nad K.

(i) Jsou-li v1, . . . ,vn lineárne nezávislé vektory vprostoru V , pak množina {v1, . . . ,vn} je bázíprostoru V .

(ii) Jestliže pro vektory v1, . . . ,vn ∈ V platílinK{v1, . . . ,vn} = V, je množina {v1, . . . ,vn} bázíprostoru V .



Tvrzení 30 (o bázi konecnerozmernéhoprostoru)Necht’ V je vektorový prostor dimenze n ∈ N nad K.

(i) Jsou-li v1, . . . ,vn lineárne nezávislé vektory vprostoru V , pak množina {v1, . . . ,vn} je bázíprostoru V .

(ii) Jestliže pro vektory v1, . . . ,vn ∈ V platílinK{v1, . . . ,vn} = V, je množina {v1, . . . ,vn} bázíprostoru V .


IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic

IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustavlineárních rovnic

DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:

∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).




DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),

∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).




DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).



DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Jádrem lineárního zobrazeníL nazveme množinu

Ker(L) = L−1({o}) = {u ∈ U : L(u) = o}.

Symbolem Im(L) znacíme obor hodnot zobrazení L, tedy

Im L = L(U) = {v ∈ V ; ∃u ∈ U : L(u) = v}.



DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Jádrem lineárního zobrazeníL nazveme množinu

Ker(L) = L−1({o}) = {u ∈ U : L(u) = o}.

Symbolem Im(L) znacíme obor hodnot zobrazení L, tedy

Im L = L(U) = {v ∈ V ; ∃u ∈ U : L(u) = v}.



Veta 31 (vlastnosti jádra a obrazu)Necht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Potom platí:

(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.

(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).




(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.

(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).




(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).



Necht’ U, V jsou vektorové prostory, L : U → V je lineárnízobrazení a b ∈ V . Uvažujme rovnici

L(x) = b. (7)

Veta 32 (rešení nehomogenní rovnice)Necht’ x0 ∈ U je rešením rovnice (7). Potom množina

{x0 + w : w ∈ Ker(L)}

je množinou všech rešení rovnice (7).



Necht’ U, V jsou vektorové prostory, L : U → V je lineárnízobrazení a b ∈ V . Uvažujme rovnici

L(x) = b. (7)

Veta 32 (rešení nehomogenní rovnice)Necht’ x0 ∈ U je rešením rovnice (7). Potom množina

{x0 + w : w ∈ Ker(L)}

je množinou všech rešení rovnice (7).



Necht’ A ∈ M(m × n), b ∈ Rm. Uvažujme soustavu mrovnic o n neznámých

Ax = b. (8)

Dusledek 33Má-li soustava (8) rešení x0 ∈ Rn, pak množina všechrešení má tvar

{x0 + w : Aw = o}.



Necht’ A ∈ M(m × n), b ∈ Rm. Uvažujme soustavu mrovnic o n neznámých

Ax = b. (8)

Dusledek 33Má-li soustava (8) rešení x0 ∈ Rn, pak množina všechrešení má tvar

{x0 + w : Aw = o}.


IX.3. Bilineární formy


DefiniceRekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:

(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).





(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),

(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).





(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),

(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).





(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),

(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).





(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).



Veta 34 (reprezentace bilineárních forem)Zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineární forma, práve kdyžexistuje matice A ∈ M(n × n) taková, že

∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = uT Av .

DefiniceMatice A ∈ M(n × n) z predchozí vety se nazýváreprezentující maticí formy B.



Veta 34 (reprezentace bilineárních forem)Zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineární forma, práve kdyžexistuje matice A ∈ M(n × n) taková, že

∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = uT Av .

DefiniceMatice A ∈ M(n × n) z predchozí vety se nazýváreprezentující maticí formy B.



DefiniceRekneme, že bilineární forma B : Rn × Rn → R jesymetrická, jestliže platí

∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = B(v ,u).

PoznámkaBilineární forma B je symetrická, práve když jejíreprezentující matice A je symetrická, tj. A = AT .



DefiniceRekneme, že bilineární forma B : Rn × Rn → R jesymetrická, jestliže platí

∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = B(v ,u).

PoznámkaBilineární forma B je symetrická, práve když jejíreprezentující matice A je symetrická, tj. A = AT .



DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Rekneme, že B je

pozitivne definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,

negativne definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivne semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativne semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z predchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.




pozitivne definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativne definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,

pozitivne semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativne semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z predchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.




pozitivne definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativne definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivne semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,

negativne semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z predchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.




pozitivne definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativne definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivne semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativne semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,

indefinitní (ID), neplatí-li nic z predchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.




pozitivne definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativne definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivne semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativne semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z predchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.



DefiniceRekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .

Tvrzení 35 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:

A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.





A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;

A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.





A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;

A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.





A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;

A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.





A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;

A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.





A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.



DefiniceSymetrickou elementární úpravou matice A ∈ M(n × n)budeme rozumet úpravu, kdy provedeme jistouelementární rádkovou úpravu matice A a vzniklou maticiupravíme odpovídající sloupcovou úpravou.Symetrickou transformací matice A budeme rozumetkonecnou posloupnost symetrických elementárních úprav.



Lemma 36 (o matici transformace)Necht’ T je transformace matic o m rádcích. Potomexistuje regulární matice B ∈ M(m ×m) taková, žekdykoli A′ ∈ M(m × n) vznikla z A ∈ M(m × n) pomocí T ,tak platí BA = A′.

Veta 37 (o matici symetrické transformace)Uvažujme symetrickou transformaci T matic typu n × n.Potom existuje regulární matice B ∈ M(n × n) taková, žekdykoli matice A′ ∈ M(n × n) vznikne z A ∈ M(n × n)pomocí T , tak platí BABT = A′.



Lemma 36 (o matici transformace)Necht’ T je transformace matic o m rádcích. Potomexistuje regulární matice B ∈ M(m ×m) taková, žekdykoli A′ ∈ M(m × n) vznikla z A ∈ M(m × n) pomocí T ,tak platí BA = A′.

Veta 37 (o matici symetrické transformace)Uvažujme symetrickou transformaci T matic typu n × n.Potom existuje regulární matice B ∈ M(n × n) taková, žekdykoli matice A′ ∈ M(n × n) vznikne z A ∈ M(n × n)pomocí T , tak platí BABT = A′.



Lemma 38 (o symetrické transformacisymetrické matice)

(i) Je-li A ∈ M(n × n) symetrická matice aC ∈ M(n × n), pak CACT je opet symetrická matice.

(ii) Symetrická transformace zachovává symetrii matice.

Veta 39 (symetrické transformace a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice a necht’B ∈ M(n × n) vznikla z A pomocí symetrickétransformace. Matice A je pozitivne definitní (negativnedefinitní, pozitivne semidefinitní, negativne semidefinitní,indefinitní), práve když B je pozitivne definitní (negativnedefinitní, . . . ).



Lemma 38 (o symetrické transformacisymetrické matice)

(i) Je-li A ∈ M(n × n) symetrická matice aC ∈ M(n × n), pak CACT je opet symetrická matice.

(ii) Symetrická transformace zachovává symetrii matice.

Veta 39 (symetrické transformace a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice a necht’B ∈ M(n × n) vznikla z A pomocí symetrickétransformace. Matice A je pozitivne definitní (negativnedefinitní, pozitivne semidefinitní, negativne semidefinitní,indefinitní), práve když B je pozitivne definitní (negativnedefinitní, . . . ).



Veta 40 (diagonalizace symetrické matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak ji lzesymetrickou transformací prevést na diagonální matici.



Veta 41 (Sylvestrovo kritérium)Necht’ A = (aij) ∈ M(n×n) je symetrická matice. Pak A je

pozitivne definitní, práve když∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...

...ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,

negativne definitní, práve když

(−1)k

∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...

...ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,



Veta 41 (Sylvestrovo kritérium)Necht’ A = (aij) ∈ M(n×n) je symetrická matice. Pak A je

pozitivne definitní, práve když∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...

...ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,

negativne definitní, práve když

(−1)k

∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...

...ak1 . . . akk

∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,



pozitivne semidefinitní, práve když pro každou k -ticiprirozených císel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí ∣∣∣∣∣∣∣

ai1i1 . . . ai1ik...

...aik i1 . . . aik ik

∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0,

negativne semidefinitní, práve když pro každou k -ticiprirozených císel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí

(−1)k

∣∣∣∣∣∣∣ai1i1 . . . ai1ik...


∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0.



pozitivne semidefinitní, práve když pro každou k -ticiprirozených císel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí ∣∣∣∣∣∣∣

ai1i1 . . . ai1ik...


∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0,

negativne semidefinitní, práve když pro každou k -ticiprirozených císel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí

(−1)k

∣∣∣∣∣∣∣ai1i1 . . . ai1ik...


∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0.


IX.4. Vlastní císla a vektory


DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Rekneme, že λ ∈ C je vlastní císlomatice A, jestliže existuje nenulový vektor x ∈ Cn takový,že Ax = λx . Vektor x pak nazýváme vlastním vektoremmatice A príslušným k vlastnímu císlu λ.

Veta 42 (o charakteristickém polynomu matice)Necht’ A ∈ M(n × n). Prvek λ ∈ C je vlastním císlemmatice A, práve když det(λI − A) = 0. Funkceλ 7→ det(λI − A) je polynom stupne n s koeficientemjedna u λn.

Veta 43 (o poctu vlastních císel)Matice A ∈ M(n × n) má nejvýše n ruzných vlastníchcísel.





















DefiniceNecht’ A ∈ M(n× n). Polynom λ 7→ det(λI −A) se nazývácharakteristický polynom matice A. Násobnost vlastníhocísla matice definujeme jako násobnost tohoto císlajakožto korene charakteristického polynomu.

Veta 44 (vlastní císla symetrické matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak jsouvšechna její vlastní císla reálná.



DefiniceNecht’ A ∈ M(n× n). Polynom λ 7→ det(λI −A) se nazývácharakteristický polynom matice A. Násobnost vlastníhocísla matice definujeme jako násobnost tohoto císlajakožto korene charakteristického polynomu.

Veta 44 (vlastní císla symetrické matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak jsouvšechna její vlastní císla reálná.



DefiniceRekneme, že matice Q ∈ M(n × n) je ortogonální, jestližeplatí QT Q = QQT = I .

Veta 45 (spektrální rozklad matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak existujeortogonální matice Q ∈ M(n × n) taková, že

QAQT =

λ1 . . . 0...

. . ....

0 . . . λn

,

kde λ1, . . . , λn jsou vlastní císla matice A.



DefiniceRekneme, že matice Q ∈ M(n × n) je ortogonální, jestližeplatí QT Q = QQT = I .

Veta 45 (spektrální rozklad matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak existujeortogonální matice Q ∈ M(n × n) taková, že

QAQT =

λ1 . . . 0...

. . ....

0 . . . λn

,

kde λ1, . . . , λn jsou vlastní císla matice A.



Veta 46 (vlastní císla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:

A je pozitivne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla kladná,

A je negativne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla záporná,A je pozitivne semidefinitní, práve když jsou všechnajejí vlastní císla nezáporná,A je negativne semidefinitní, práve když jsouvšechna její vlastní císla nekladná,A je indefinitní, práve když má kladné vlastní císlo izáporné vlastní císlo.




A je pozitivne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla kladná,A je negativne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla záporná,

A je pozitivne semidefinitní, práve když jsou všechnajejí vlastní císla nezáporná,A je negativne semidefinitní, práve když jsouvšechna její vlastní císla nekladná,A je indefinitní, práve když má kladné vlastní císlo izáporné vlastní císlo.




A je pozitivne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla kladná,A je negativne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla záporná,A je pozitivne semidefinitní, práve když jsou všechnajejí vlastní císla nezáporná,

A je negativne semidefinitní, práve když jsouvšechna její vlastní císla nekladná,A je indefinitní, práve když má kladné vlastní císlo izáporné vlastní císlo.




A je pozitivne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla kladná,A je negativne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla záporná,A je pozitivne semidefinitní, práve když jsou všechnajejí vlastní císla nezáporná,A je negativne semidefinitní, práve když jsouvšechna její vlastní císla nekladná,

A je indefinitní, práve když má kladné vlastní císlo izáporné vlastní císlo.




A je pozitivne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla kladná,A je negativne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla záporná,A je pozitivne semidefinitní, práve když jsou všechnajejí vlastní císla nezáporná,A je negativne semidefinitní, práve když jsouvšechna její vlastní císla nekladná,A je indefinitní, práve když má kladné vlastní císlo izáporné vlastní císlo.



DefiniceNecht’ A = (aij) ∈ M(n × n). Stopou matice A rozumímecíslo

tr(A) =n∑

i=1

aii .

Veta 47 (vlastnosti stopy)Necht’ A,B,C ∈ M(n × n), a ∈ R. Pak platí:

(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).




tr(A) =n∑

i=1

aii .


(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),

(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).




tr(A) =n∑

i=1

aii .


(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),

(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).




tr(A) =n∑

i=1

aii .


(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),

(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).




tr(A) =n∑

i=1

aii .


(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).


IX.5. Norma vektoru

DefiniceNormou vektoru x ∈ Rn rozumíme císlo

‖x‖ =

√√√√ n∑i=1

x2i .

Veta 48 (vlastnosti normy)Necht’ x ,y ∈ Rn, α ∈ R. Pak platí

(i) ‖x‖ ≥ 0,(ii) ‖x‖ = 0, práve když x = o,(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖,(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (trojúhelníková nerovnost),


IX.5. Norma vektoru


‖x‖ =

√√√√ n∑i=1

x2i .


(i) ‖x‖ ≥ 0,

(ii) ‖x‖ = 0, práve když x = o,(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖,(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (trojúhelníková nerovnost),


IX.5. Norma vektoru


‖x‖ =

√√√√ n∑i=1

x2i .


(i) ‖x‖ ≥ 0,(ii) ‖x‖ = 0, práve když x = o,

(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖,(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (trojúhelníková nerovnost),


IX.5. Norma vektoru


‖x‖ =

√√√√ n∑i=1

x2i .


(i) ‖x‖ ≥ 0,(ii) ‖x‖ = 0, práve když x = o,(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖,

(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (trojúhelníková nerovnost),


IX.5. Norma vektoru


‖x‖ =

√√√√ n∑i=1

x2i .


(i) ‖x‖ ≥ 0,(ii) ‖x‖ = 0, práve když x = o,(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖,(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (trojúhelníková nerovnost),


X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné

X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálnépromenné

Matematika III X. Tayloruv polynom












DefiniceNecht’ f je funkce, a ∈ R a funkce f má v bode a vlastnín-tou derivaci. Pak polynom

T f ,an (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +

12!

f ′′(a)(x − a)2+

+ · · ·+ 1n!

f (n)(a)(x − a)n

nazýváme Taylorovým polynomem funkce f v bode arádu n.

PoznámkaOznacíme-li T = T f ,a

n , pak platí T (k)(a) = f (k)(a) prok = 0,1, . . . ,n.



DefiniceNecht’ f je funkce, a ∈ R a funkce f má v bode a vlastnín-tou derivaci. Pak polynom

T f ,an (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +

12!

f ′′(a)(x − a)2+

+ · · ·+ 1n!

f (n)(a)(x − a)n

nazýváme Taylorovým polynomem funkce f v bode arádu n.

PoznámkaOznacíme-li T = T f ,a

n , pak platí T (k)(a) = f (k)(a) prok = 0,1, . . . ,n.



Veta 49 (Peanuv tvar zbytku)Necht’ n ∈ N, a ∈ R a funkce f má v bode a vlastní n-touderivaci. Potom

limx→a

f (x)− T f ,an (x)

(x − a)n = 0.

Veta 50 (o jednoznacnosti)Necht’ n ∈ N, a ∈ R, funkce f má v bode a vlastní n-touderivaci a P je polynom stupne nejvýše n splnující

limx→a

f (x)− P(x)

(x − a)n = 0.

Potom P = T f ,an .



Veta 49 (Peanuv tvar zbytku)Necht’ n ∈ N, a ∈ R a funkce f má v bode a vlastní n-touderivaci. Potom

limx→a

f (x)− T f ,an (x)

(x − a)n = 0.

Veta 50 (o jednoznacnosti)Necht’ n ∈ N, a ∈ R, funkce f má v bode a vlastní n-touderivaci a P je polynom stupne nejvýše n splnující

limx→a

f (x)− P(x)

(x − a)n = 0.

Potom P = T f ,an .



DefiniceNecht’ f a g jsou funkce, a ∈ R∗. Rekneme, že funkce f jev bode a malé o od g (píšeme f (x) = o

(g(x)

), x → a),

jestliže platí

limx→a

f (x)

g(x)= 0.

Poznámka1. Rovnost f (x) = g(x) + o(h(x)) je jiný zápis prof (x)− g(x) = o(h(x)).2. Veta 49 ríká, že f (x) = T f ,a

n (x) + o((x − a)n)




(g(x)

), x → a),

jestliže platí

limx→a

f (x)

g(x)= 0.

Poznámka1. Rovnost f (x) = g(x) + o(h(x)) je jiný zápis prof (x)− g(x) = o(h(x)).

2. Veta 49 ríká, že f (x) = T f ,an (x) + o((x − a)n)




(g(x)

), x → a),

jestliže platí

limx→a

f (x)

g(x)= 0.

Poznámka1. Rovnost f (x) = g(x) + o(h(x)) je jiný zápis prof (x)− g(x) = o(h(x)).2. Veta 49 ríká, že f (x) = T f ,a

n (x) + o((x − a)n)



Tvrzení 51 (aritmetika malého o)Necht’ a ∈ R∗.

(i) Jestliže f1(x) = o(g(x)

), x → a a f2(x) = o

(g(x)

), x → a, potom

f1(x) + f2(x) = o(g(x)

), x → a.

(ii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)

), x → a a f2(x) = o

(g2(x)

), x → a,

potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)g2(x)

), x → a.

(iii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)

), x → a a f2 je nenulová na jistém

prstencovém okolí bodu a, potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)f2(x)

),

x → a.

(iv) Jestliže f (x) = o(g1(x)

), x → a a existuje vlastní limx→a

g1(x)g2(x)

,potom f (x) = o

(g2(x)

), x → a.

(v) Jestliže f (x) = o(g(x)

), x → a a h je omezená na jistém

prstencovém okolí bodu a, potom h(x)f (x) = o(g(x)

), x → a.

(vi) Jestliže m,n ∈ N ∪ {0}, m ≤ n, a f (x) = o((x − a)n

), x → a,

potom f (x) = o((x − a)m

), x → a.





), x → a a f2(x) = o

(g(x)

), x → a, potom

f1(x) + f2(x) = o(g(x)

), x → a.


), x → a a f2(x) = o

(g2(x)

), x → a,


), x → a.




),

x → a.



g1(x)g2(x)

,potom f (x) = o

(g2(x)

), x → a.




), x → a.


), x → a,


), x → a.





), x → a a f2(x) = o

(g(x)

), x → a, potom

f1(x) + f2(x) = o(g(x)

), x → a.


), x → a a f2(x) = o

(g2(x)

), x → a,


), x → a.




),

x → a.



g1(x)g2(x)

,potom f (x) = o

(g2(x)

), x → a.




), x → a.


), x → a,


), x → a.





), x → a a f2(x) = o

(g(x)

), x → a, potom

f1(x) + f2(x) = o(g(x)

), x → a.


), x → a a f2(x) = o

(g2(x)

), x → a,


), x → a.




),

x → a.



g1(x)g2(x)

,potom f (x) = o

(g2(x)

), x → a.




), x → a.


), x → a,


), x → a.





), x → a a f2(x) = o

(g(x)

), x → a, potom

f1(x) + f2(x) = o(g(x)

), x → a.


), x → a a f2(x) = o

(g2(x)

), x → a,


), x → a.




),

x → a.



g1(x)g2(x)

,potom f (x) = o

(g2(x)

), x → a.




), x → a.


), x → a,


), x → a.





), x → a a f2(x) = o

(g(x)

), x → a, potom

f1(x) + f2(x) = o(g(x)

), x → a.


), x → a a f2(x) = o

(g2(x)

), x → a,


), x → a.




),

x → a.



g1(x)g2(x)

,potom f (x) = o

(g2(x)

), x → a.




), x → a.


), x → a,


), x → a.



Tvrzení 52 (malé o a složená funkce)Necht’ a,b ∈ R∗, f (y) = o

(g(y)

), y → b, limx→a ϕ(x) = b

a existuje δ ∈ R, δ > 0, takové, že

∀x ∈ P(a, δ) : ϕ(x) 6= b.

Potom f(ϕ(x)

)= o

(g(ϕ(x)

), x → a.



Veta 53 (Lagrangeuv tvar zbytku)Necht’ n ∈ N, a dále necht’ I je otevrený interval,f ∈ Cn+1(I) a a ∈ I. Potom pro každé x ∈ I existuje císloξ ∈ 〈a, x〉 splnující

f (x) = T f ,an (x) +

1(n + 1)!

f (n+1)(ξ)(x − a)n+1.


X.2. Taylorovy polynomy a rady elementárních funkcí

X.2. Taylorovy polynomy a radyelementárních funkcí

Tvrzení 54 (TP elementárních funkcí)Pro každé k ∈ N platí:

T exp,0k = 1 + x + 1

2!x2 + · · ·+ 1

k!xk ,

T sin,02k−1 = T sin,0

2k =

x − 13!x

3 + 15!x

5 + · · ·+ (−1)k−1 1(2k−1)!x

2k−1,

T cos,02k = T cos,0

2k+1 = 1− 12!x

2 + 14!x

4 + · · ·+ (−1)k 1(2k)!x

2k ,

T log(1+x),0k = x − 1

2x2 + 13x3 + · · ·+ (−1)k−1 1

k xk ,

T (1+x)α,0k =

(α0

)+(α1

)x + · · ·+

(αk

)xk , kde α ∈ R,(

α0

)= 1,

(αj

)= α(α−1)···(α−j+1)

j! .





T exp,0k = 1 + x + 1

2!x2 + · · ·+ 1

k!xk ,


2k =

x − 13!x

3 + 15!x

5 + · · ·+ (−1)k−1 1(2k−1)!x

2k−1,

T cos,02k = T cos,0

2k+1 = 1− 12!x

2 + 14!x

4 + · · ·+ (−1)k 1(2k)!x

2k ,

T log(1+x),0k = x − 1

2x2 + 13x3 + · · ·+ (−1)k−1 1

k xk ,

T (1+x)α,0k =

(α0

)+(α1

)x + · · ·+

(αk


α0

)= 1,

(αj

)= α(α−1)···(α−j+1)

j! .





T exp,0k = 1 + x + 1

2!x2 + · · ·+ 1

k!xk ,


2k =

x − 13!x

3 + 15!x

5 + · · ·+ (−1)k−1 1(2k−1)!x

2k−1,

T cos,02k = T cos,0

2k+1 = 1− 12!x

2 + 14!x

4 + · · ·+ (−1)k 1(2k)!x

2k ,

T log(1+x),0k = x − 1

2x2 + 13x3 + · · ·+ (−1)k−1 1

k xk ,

T (1+x)α,0k =

(α0

)+(α1

)x + · · ·+

(αk


α0

)= 1,

(αj

)= α(α−1)···(α−j+1)

j! .





T exp,0k = 1 + x + 1

2!x2 + · · ·+ 1

k!xk ,


2k =

x − 13!x

3 + 15!x

5 + · · ·+ (−1)k−1 1(2k−1)!x

2k−1,

T cos,02k = T cos,0

2k+1 = 1− 12!x

2 + 14!x

4 + · · ·+ (−1)k 1(2k)!x

2k ,

T log(1+x),0k = x − 1

2x2 + 13x3 + · · ·+ (−1)k−1 1

k xk ,

T (1+x)α,0k =

(α0

)+(α1

)x + · · ·+

(αk


α0

)= 1,

(αj

)= α(α−1)···(α−j+1)

j! .





T exp,0k = 1 + x + 1

2!x2 + · · ·+ 1

k!xk ,


2k =

x − 13!x

3 + 15!x

5 + · · ·+ (−1)k−1 1(2k−1)!x

2k−1,

T cos,02k = T cos,0

2k+1 = 1− 12!x

2 + 14!x

4 + · · ·+ (−1)k 1(2k)!x

2k ,

T log(1+x),0k = x − 1

2x2 + 13x3 + · · ·+ (−1)k−1 1

k xk ,

T (1+x)α,0k =

(α0

)+(α1

)x + · · ·+

(αk


α0

)= 1,

(αj

)= α(α−1)···(α−j+1)

j! .



DefiniceNecht’ f je funkce, a ∈ R a funkce f má v bode a derivacevšech rádu. Potom radu

∞∑n=0

1n!

f (n)(a)(x − a)n

nazýváme Taylorovou radou funkce f o stredu a. Vespeciálním prípade a = 0 mluvíme o MacLaurinove rade.



Veta 55 (T. rady elementárních funkcí)Platí:

∀x ∈ R : exp x =∞∑

n=0

1n!

xn,

∀x ∈ R : sin x =∞∑

n=1

(−1)n−1

(2n − 1)!x2n−1,

∀x ∈ R : cos x =∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!x2n,

∀x ∈ (−1,1〉 : log(1 + x) =∞∑

n=1

(−1)n−1

nxn,

∀x ∈ (−1,1) : (1 + x)α =∞∑

n=0

(α

n

)xn,

tedy tyto funkce jsou souctem své Taylorovy rady o stredu 0 prouvedené hodnoty x.


X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce více promenných

X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce vícepromenných













DefiniceNecht’ G ⊂ Rn je otevrená množina, a ∈ G a f ∈ C2(G).Definujme funkci T f ,a

2 : Rn → R predpisem

T f ,a2 (x) = f (a)+

n∑i=1

∂f∂xi

(a)(xi−ai)+12

n∑i,j=1

∂2f∂xi∂xj

(a)(xi−ai)(xj−aj).

Tuto funkci nazýváme Taylorovým polynomem druhéhorádu funkce f v bode a.



Oznacme symbolem ∇2f (a) matici druhých parciálníchderivací funkce f v bode a (tzv. Hessovu matici), tj.

∇2f (a) =

(∂2f∂xi∂xj

(a)

)i,j=1..n

.

Pak mužeme psát

T a2 (x) = f (a) +∇f (a)(x − a) +

12

(x − a)T∇2f (a)(x − a).



Veta 56 (o TP funkce více promenných)Necht’ a ∈ Rn, ∆ > 0 a f ∈ C2

(B(a,∆)

). Potom existuje

funkce ω : B(a,∆)→ R taková, že

∀x ∈ B(a,∆): f (x) = T f ,a2 (x) + ω(x) · ‖x − a‖2

a platílimx→a

ω(x) = 0.


XI.1. Podmínky druhého rádu


Opakování

DefiniceBud’ G ⊂ Rn otevrená, neprázdná, f : G→ R. Rekneme,že f nabývá v bode a ∈ G lokálního maxima, jestližeexistuje δ > 0 takové, že B(a, δ) ⊂ G a∀y ∈ B(a, δ) : f (y) ≤ f (a).Rekneme, že f nabývá v bode a ∈ G ostrého lokálníhomaxima, jestliže existuje δ > 0 takové, že B(a, δ) ⊂ G a∀y ∈ B(a, δ) \ {a} : f (y) < f (a).Podobne difinujeme lokální minimum a ostré lokálníminimum. Body lokálního minima a lokálního maxima senazývají body lokálního extrému, podobne body ostréholokálního extrému.

Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných



Opakování

DefiniceBud’ G ⊂ Rn otevrená, neprázdná, f : G→ R. Rekneme,že f nabývá v bode a ∈ G lokálního maxima, jestližeexistuje δ > 0 takové, že B(a, δ) ⊂ G a∀y ∈ B(a, δ) : f (y) ≤ f (a).Rekneme, že f nabývá v bode a ∈ G ostrého lokálníhomaxima, jestliže existuje δ > 0 takové, že B(a, δ) ⊂ G a∀y ∈ B(a, δ) \ {a} : f (y) < f (a).Podobne difinujeme lokální minimum a ostré lokálníminimum. Body lokálního minima a lokálního maxima senazývají body lokálního extrému, podobne body ostréholokálního extrému.



Opakování

Veta (nutná podmínka 1. rádu)Necht’ f ∈ C1(G) a f nabývá v a lokálního extrému. Potomplatí ∇f (a) = 0, tj. a je stacionárním bodem funkce f .



DefiniceNecht’ f je funkce n promenných. Je-li bod a ∈ Rn

stacionárním bodem funkce f a f nenabývá v a extrému,tj.

∀δ > 0 ∃x ,y ∈ B(a, δ) : f (x) > f (a) a f (y) < f (a),

pak bod a nazýváme sedlovým bodem funkce f .



Veta 57 (nutné podmínky druhého rádu)Budiž G ⊂ Rn otevrená, f ∈ C2(G), a ∈ G. Potom platí:

(i) Je-li a bodem lokálního maxima funkce f , je matice∇2f (a) negativne semidefinitní.

(ii) Je-li a bodem lokálního minima funkce f , je matice∇2f (a) pozitivne semidefinitní.



Veta 57 (nutné podmínky druhého rádu)Budiž G ⊂ Rn otevrená, f ∈ C2(G), a ∈ G. Potom platí:

(i) Je-li a bodem lokálního maxima funkce f , je matice∇2f (a) negativne semidefinitní.

(ii) Je-li a bodem lokálního minima funkce f , je matice∇2f (a) pozitivne semidefinitní.



Veta 58 (postacující podmínky druhého rádu)Budiž G ⊂ Rn otevrená, f ∈ C2(G), a ∈ G a necht’ a jestacionárním bodem funkce f . Potom platí:

(i) Je-li ∇2f (a) negativne definitní, nabývá f v bode aostrého lokálního maxima.

(ii) Je-li ∇2f (a) pozitivne definitní, nabývá f v bode aostrého lokálního minima.

(iii) Je-li ∇2f (a) indefinitní, nenabývá f v bode a anilokálního maxima, ani lokálního minima, tj. a jesedlový bod funkce f .














XI.2. Extrémy konkávních funkcí


Veta 59 (charakterizace konkávních funkcí trídyC2)Budiž G ⊂ Rn otevrená konvexní množina a f ∈ C2(G).Potom je funkce f na množine G konkávní, práve když provšechna x ∈ G je matice ∇2f (x) negativne semidefinitní.




Veta 59 (charakterizace konkávních funkcí trídyC2)Budiž G ⊂ Rn otevrená konvexní množina a f ∈ C2(G).Potom je funkce f na množine G konkávní, práve když provšechna x ∈ G je matice ∇2f (x) negativne semidefinitní.



Veta 60 (postacující podmínka pro globálnímaximum)Necht’ G je otevrená konvexní podmnožina Rn, f ∈ C2(G)a a ∈ G. Necht’ platí

(i) ∀x ∈ G : ∇2f (x) je negativne semidefinitní,(ii) ∇f (a) = o.

Potom funkce f nabývá v bode a svého maxima namnožine G.


Documents

cuni.czbarta/FSV/mat3/Matematika_III...VIII.2. Primitivní funkce Lemma 6 (o delení polynomu)˚ˇ Necht’ P a Q jsou dva polynomy (s komplexními koeﬁcienty), pˇri cemž polynom