Curs 1 Statica Mecanica

MECANICĂCLASICĂ

Curs_1Prof.univ.dr.ing.

Florin Bauşic2013

INTRODUCERE

• Pe baza unor considerente istorice şi metodologice mecanica se divide în trei părţi: statica , cinematica şi dinamica .

• Statica – studiază echivalenţa sistemelor de forţe aplicate corpurilor , precum şi echilibrul corpurilor fără a ţine seama de timp .

• Cinematica– studiază mişcarea corpurilor fără a ţine cont de forţele care le acţionează precum şi de masa lor Se realizează astfel un studiu geometric al mişcării determinându-se distribuţia de viteze şi de acceleraţii.

• Dinamica– studiază mişcarea corpurilor ţinând seama de masa lor şi de forţele care le acţionează .

STATICA

Modele ale Mecanicii Clasice

Punct material

Mediu continuu

Solid rigid

Sisteme materiale

Punctul material constituie cel mai simplu model teoretic şi reprezintă un punct aparţinând corpului studiat care conţine toate proprietăţile corpului inclusiv masa acestuia.

Deci punctul material reprezintă un punct geometric căruia i se atribuie o masă

STATICA

• Modelul de punct material poate fi folosit ca pentru un corp ale cărui dimensiuni sunt neglijabile în raport cu distanţele faţă de corpurile vecine, sau al unui corp asupra căruia acţionează un sistem de forţe concurente , de cele mai multe ori în centrul de masă .

• În figura este reprezentat un exemplu de corp care poate fi modelat printr-un punct material şi anume o pană.

STATICA

STATICA

Punctului material

Soliduluirigid

Sistemelor de corpuri

Solidului deformabil

Liber

Cu legături

Liber

Cu legături

Solide rigide

Puncte materiale

Fără frecare

Cu frecare

Cu frecare

Fără frecare

Fără frecare

Cu frecare

Fără frecare

Cu frecare

STATICA

• Poziţia unui punct material faţă de sistemul de referinţă cartezian poate fi determinată prin :

• o mărime vectorială numită vector de poziţie

• trei mărimi scalare ( x, y, z) care sunt coordonatele punctului material faţă de sistemul de referinţă considerat

STATICA• Vectorul de poziţie sau raza vectoare a unui

punct M( x,y,z) în raport cu originea sistemului de referinţă Oxyz este prin definiţie vectorul :

kzjyixrOM având punctul de aplicaţie în O şi

vârful în M .

unde: x , y , z reprezintă coordonatele punctului M faţă desistemul de referinţă Oxyziar:

k,j,i sunt versorii axelor Ox, Oy şi Oz

O

z

y

x

k

j

i

M (x,y,z)

r

STATICA

• Punct material liber este punctul material care poate ocupa orice poziţie în spaţiul E3 . Un punct material liber are 3 grade de libertate în spaţiul E3 reprezentate prin coordonatele sale faţă de un sistem de axe triortogonal Oxyz.

• În acest caz cele trei mărimi scalare se numesc parametri de poziţie şi pot lua orice valoare independent una de cealălaltă.

STATICA

• Prin numărul gradelor de libertate se înţelege numărul minim de parametri scalari independenţi necesari pentru a determina în mod univoc poziţia a unui punct material .

• Prin legătură se înţelege o restricţie geometrică impusă poziţiei acelui punct material liber şi anume de a se situa pe o curbă , pe o suprafaţă sau într-un punct fix din spaţiu.

STATICA

• În funcţie de numărul restricţiilor geometrice legăturile pot fi :

• bilaterale →atunci când punctul material nu poate părăsi curba sau suprafaţa (fig.3.3), în ambele sensuri pe direcţia normalei la suprafaţă în poziţia dată

• unilaterale →atunci când punctul este împiedicat să părăsească curba sau suprafaţa într-un singur sens ( fig.3.4) , pe direcţia normalei la suprafaţă în poziţia dată.

STATICA

Legătuăbilaterală

Punctul material

Punctul materialLegătură

unilaterală

STATICA

• Forţa este o mărime vectorială care caracterizează interacţiunea dintre corpuri , având direcţia şi intensitatea acestei interacţiuni

STATICANOTAREA FORŢELORForţe date ( active ):

P,G,Rd , FForţe de legătură ( reacţiuni )

LR,H,V,N

Eforturi

ijS,SForţa de frecare de alunecare

T

STATICA

Clasificarea forţelor după direcţia lor

1F

2F3F

1F

2F3F

1F

2F3F

Criteriul de clasificare

Denumirea forţelor

Reprezentare grafică Caracteristici

După direcţia lor

Forţe concurente

Acelaşi punct de aplicaţie

Forţe paralele Au direcţiile paralele

Forţe oarecare Au direcţiile oarecare

STATICANatura forţelor :

-Forţe exterioare

-a)date sau aplicate P; G

-b) de legătură ( reacţiuni) NA ; NB

-Forţe interioare

-a) de legătură F21 ; F12

--b) eforturi sau tensiuni

-S1 ; S2

STATICA

Modul de aplicare

a) Forte concentrate

b) Forte distribuite

Se numeşte proiecţie a unei forţe pe o axă produsul scalar dintre forţă şi versorul axei respective.

Conform notaţiilor din figura proiecţia unei forţe pe o axă este o mărime scalară, egală cu produsul dintre mărimea forţei şi cosinusul unghiului dintre forţă şi axă.

Proiecţia unei forţe pe o axă

cosFiFFx

x

Fx

F

i

Versorul axei

• Proiecţia forţei F faţă de axă este deci o mărime scalară a cărei semn se determină în funcţie de orientarea vectorului F faţă de axă

2,0

,2

2

proiecţia este pozitivă

proiecţia este negativă

proiecţia este nulă

Expresia analitică a forţei într-un sistem cartezian

Orice forţă se poate descompune în componente după axele unui sistem cartezian de coordonate , putând fi exprimată analitic utilizând proiecţiile sale pe axele sistemului menţionat.

Astfel, dacă forţa este conţinută în triedrul din figura expresia ei analitică este:

OFz

Fx

y

x

z

Fy

F

kFjFiFF zyx Modulul unei forţe astfel definite va fi: 2

z2y

2x FFFF

Cosinusurile directoare

• Unghiurile α,β şi γ formate de direcţia forţei cu axele sistemului de referinţă vor avea următoarele expresii rezultate conform definiţiei proiecţiei unei forţe pe o axă:

F

F

FFF

Fcos

F

F

FFF

Fcos

F

F

FFF

Fcos

z

2z

2y

2x

y

y

2z

2y

2x

y

x

2z

2y

2x

X

1coscoscos 222

Relaţiile din stânga prezintă expresiile cosinusurilor directoare care se bucură de proprietatea:

APLICATIA 1Macaraua din figura dezvolta o forta F = 600 N în fir.

•Să se determine expresia analitică a forţei Fcunoscând unghiurile α = 45° si β = 54° .

REZOLVARE

Pentru a determina expresia analitica a fortei F este necesar sa se gaseasca valoara unghiului pe care îl face cu axa Oz.

Acesta se determina din relatia dintre cosinusurilor directoare:

1coscoscos 222

1cos40cos54cos 222 260,0069,0931,01cos 1,105sau9,74

N35354cos.60054cosFFx

N46040cosFFy

N1569,74cosFFz

kFjFiFF zyx )N(k156j460i353F

Aplicatia 2

Cilindrul hidraulic AB exercita forta F = 4000 N asupra benei autobasculantei din figura. Sa se exprime F în functie de proiectiile

sale pe axe cunoscând unghiul α = 30°.

REZOLVARE

jFiFF yx N346032000

2

3.4000cosFFx

N20002

1.4000sinF90cosFFy

)N(j2000i3460F

N400020003460FFF 222y

2x

Verificare

Statica punctului material liber Compunerea forţelor concurente ce acţionează asupra unui punct material liber

Se consideră un punct material M , situat în planul xOy şi acţionat de două forţe concurente şi ca în figura din dreapta.

Compunerea celor două forţe concurente în punctul M se poate aborda prin două metode şi anume :

1. metoda geometrică2. metoda analitică

α

1F

2F

)( 1

)( 2

M =O x

y

Statica punctului material liber

Compunerea forţelor concurente prin metoda geometrică

Metoda se bazează pe principiul paralelogramului forţelor prin care se poate înlocui efectul produs de cele două forţe cu rezultanta acestora. În acest fel s-a realizat reducerea sistemului de forţe concurente. Cunoscând :

)(),(,,F,F 2121

ne propunem să determinăm mărimea , direcţia şi sensul rezultantei R altfel spus să se determine RR şi unghiul β pe care îl face rezultanta cu 1F

α

1F

2F

)( 1

)( 2

M =O x

y


Astfel ducând prin extremitatea lui

o paralelă la direcţia )( 1

şi prin extremitatea lui 2F

o paralelă la direcţia )( 2

obţinem punctul B.

Unind punctul M cu punctul B obţinem rezultanta

R

Construcţia grafică este prezentată în figura alaturata.

βγ

α

R

1F

2F

)( 1

)( 2

B

M=O A x

y1F


βγ

α

R

1F

2F

)( 1

)( 2

B

M=O A x

y

În triunghiul MBA aplicând teorema lui Pitagora generalizată obţinem :

cosFF2FFcosFF2FFR 2122

2121

22

21


Aplicând teorema sinusului în triunghiul MBA obţinem :

)sin(

R

sin

F

sin

F 12

de unde rezultă :

cosFF2FF

sinF

R

Fsin

2122

21

22

Statica punctului material liber Compunerea forţelor prin metoda analitică

Metoda analitică se bazează pe exprimarea celor două forţe prin proiecţii pe axele Ox şi Oy.

βγ

α

R

1F

2F

)( 1

)( 2

B

M=O A x

y

iFF 11

jsinFicosFF 222

jRiRR yx

cosFFcosRR 21x sinFsinRR 2y


Mărimea rezultantei este dată de relaţia :

2y

2x RRR

Înlocuind Rx şi Ry în R obţinem :

cosFF2FFsinFcosFFR 2122

21

222

221

cosFF2FF

sinF

R

sinFsin

2122

21

22

sinFsinRR 2y

Utilizând :

Rezultă :

APLICAŢIA 3

Un punct material O este acţionat de trei forţe concurente

321 F,F,F

ce constituie diagonalele feţelor unui paralelipiped OABCDEFG, de laturi OA= a, OC = b, OE = c, ca în figuraalaturata.Să se determine rezultantasistemului de forţe concurente.

REZOLVARE1.Metoda analitică

Se scriu expresiile vectoriale ale forţelor , obţinându-se :

kciaOEOAF1

jbiaOCOAF2

3F OC OE bj ck

Rezultanta se obţine din :

321 FFFR

kc2jb2ia2R Deci :

Modulul rezultanei este: 222 cba2RR

REZOLVAREDirecţia rezultantei se obţine cu ajutorul cosinusurilor directoare. Astfel avem:

222222x

cba

a

cba2

a2

R

Rcos

2 2 2 2 2 2

2cos

2

yR b b

R a b c a b c

2 2 2 2 2 2

2cos

2zR c c

R a b c a b c

REZOLVARE2. Metoda geometrică

Mărimea diagonalei paralelipipedului OABCDEF va fi dată de relaţia

222222 cbaOEOCOAOG

Dar:

2221 OEOAF

2222 OCOAF

2223 OEOCF

Rezultă : R = 2 OG

REZOLVARE

Direcţiile diagonalei OG faţă de axele Ox, Oy şi Oz vor fi :

222 cba

a

OG

OAcos

222 cba

b

OG

OAcos

222 cba

c

OG

OAcos

C

A B

DE

FG

O

x

y

z

APLICATIA 4

Asupra inelului unui element de fixare pentru lemn actioneaza forţele

FA = 60 N si FB = 80 N având între ele unghiul α =45°. Sa se determine forta rezultanta R.

Rezolvare

jRiRR yx

N59,1082

2.6080cosFFR ABx

N59,282

2.60sinF90cosFR AAy

N29,11259,2859,108RRR 222y

2x

x

y

O

Statica punctului material liberDescompunerea unei forţe după două direcţii concurente

Operaţia de descompunere a unei forţe după direcţii date este operaţiainversă compunerii forţelor.

Operaţia de descompunere a unei forţe după două direcţii date se poate efectua cu cele două metode şi anume:

1) metoda geometrică

2) metoda analitică


(Δ1)

(Δ2)

α

β

F


Se aplică principiul paralelogramului, ducând prin originea şi extremitatea forţei F

paralele la cele două direcţii )( 1 şi )( 2 obţinându-se forţele 1F şi 2F

astfel încât să se respecte relaţia :

21 FFF


Descompunerea unei forţe plane după două direcţii cu metoda analitică

Ţinând cont de relaţia dedusă din regula paralelogramului şi anume :

21 FFF se efectuează proiecţiile pe direcţiile ortogonale Ox şi Oy obţinându-se relaţiile :

cosFcosFF 21

sinFsinF2


Se rezolvă acest sistem de ecuaţii în necunoscutele F1 şi F2 .Avem astfel :

1

1F 2

2F

sinsin0

cos1

)sin(FsinsinF

coscosF1

sinFsinF0

cosF12

sin

)sin(FF1

sin

sinFF2

De unde obţinem:

Aplicaţia 5

G

B A

O

(Δ 1)

(Δ 2)30°

Fir

O greutate G este susţinută de suportul OAB din figura.

Se cere să se determine mărimea eforturilor din firul AB şi bara OA.

G

REZOLVARE

REZOLVAREAplicând teorema sinusului în triunghiul AMN obţinem :

90sin

S

30sin

G

60sin

S OAAB

de unde rezultă :

G2

2

1G

30sin

90sinGSOA

3G

2

1.2

3G

30sin

60sinGSAB


ABOA SSG

2. Metoda analitică

Proiectând relaţia vectorială

pe axele Ox şi Oy obţinem:

GsinS)Oy(

0ScosS)Ox(

OA

ABOA

de unde rezultă :

G2

2

1G

sin

GSOA

3G2

3.G2cosSS OAAB


• Se consideră un punct material liber M de coordonate x , y , z aflat în repaus faţă de un sistem de referinţă inerţial ( S .I. R. ) .

• Problema care trebuie rezolvată constă în găsirea condiţiei necesare şi suficiente pentru ca punctul material să rămână în continuare în repaus şi după ce i s-a aplicat un sistem de forţe , adică să rămână în echilibru .

Echilibrul punctului material liber

n

1i

ii21d FF....FFR

Considerăm că asupra punctului material M acţionează un sistem de forţe concurente Fi , i = 1, n , a cărei rezultantă este prin definiţie dată de relaţia :

Condiţia necesară şi suficientă pentru ca punctului material liber sa fie în echilibru este ca rezultanta forţelor aplicate să fie nulă:

0FR

n

1i

id

kFjFiFR iyiyixd

Tinând cont ca:


• Această ecuaţie vectorială este echivalentă cu 3 ecuaţii scalare obţinute prin proiectarea relaţiei

• pe axele sistemului de referinţă obtinându-se astfel:

0FR

n

1i

id

0FR ixdx

0FR iydy

0FR izdz

Aplicaţia 6 • În figura este prezentată asamblarea unui guseu cu trei profile laminate care sunt

solicitate de către forţele axiale : F1 = 2000 N ; F2 = 3000 N ; F3 = 2500 N, concurente în punctul 0 . Să se determine mărimea şi poziţia rezultantei .

Rezolvare

O

45˚30˚

y

x

1F 2F3F

Asamblarea guşeului cu trei profile laminate solicitate de forţe axiale este echivalenta cu trei forte concurente în O conform figurii din dreapta.

N33630sinFF45sinFFR 321iyy N7512165141430cosF45cosFFR 31ixx

N822336751RRR 222y

2x

O

45˚30˚

y

x

1F 2F3F

24914,0arccos

914,0822

751

R

Rcos x

REZOLVARE

REZOLVARE

Aplicaţia 7• Componentele forţei de aşchiere care

acţionează asupra vârfului M al unui cuţit de strung reprezentat în figura, au modulele : P1 = 150 daN ; P2 = 60 daN ; P3 = 37 daN .

• Să se calculeze forţa de aşchiere rezultantă şi unghiurile pe care le face aceasta cu direcţiile componentelor .

3P

1P

2P

x

O=M

y

z

REZOLVARE

R

3P

1P

2P

x

O=M

y

z

daN1663760150PPPR 22223

22

21

94,0166

150

R

Pcos 1

223,0166

37

R

Pcos 3

361,0166

60

R

Pcos 2

Documents

Curs 1 Statica Mecanica