22
F.ASU CINE A ÎD'4.Pll,DlC AT A ( T o r s i o n w it h r e s t r a in t w srp in e\ Un element de constructie este solicitat la rdsucire (torsiune) dacà în orice secfiune transversalà a sa singurul efort diferit de zero este momentul de ràsucire. OBS. De exemplu, în urma ràsucirii unei secliuni dreptunghiulore, secliunea transversald inilial planà trece aproximativ într-un paraboloid hiperbolic (vezifigura la). La secliunile transversale alcàtuite din dreptunghiuri, pe lângd deplasarea secliunii transversale apore çi o strâmbare a liniei mediane o secliunilor, De exemplu, linia mediand a unui profil dublu T, pdrdseçte planul yGz, astfel încât aceasta a devenit o linie strômbd în spaliu (vezifigurile 1b, lc). a) b) c) Figura I Dacà fenomenul strâmbàrii se poate produce liber, ràsucirea se numeçte liberd sau puld. Dacâ strâmbàrile sunt împiedicate, total sau parfial, ràsucirea este calificatâ ca çi împiedicatà. Împiedicare strâmbàrii poate fi provocatà de rezemarea încastratâ a extremità1ii barei, de variatia bruscà a sectiunii transversale, etc. Impiedicarea strâmbàrii duce la aparilia unor tensiuni suplimentare çi complicà studiul stàrii de solicitare. OBS. În cazul barelor cu secliune robustd (secliunea dreptunghiulard)), împiedicarea strâmbàrii secliunii are o implicatrie mult mai scdzutd decât o are împiedicarea strâmbàrii liniei mediane la bare cu oereli subliri. 1.1 Ràsucirea împiedicatà a barelor cu pereti subtiri cu sectiune transversalà simplu conexà (profil deschis) 1.1.1 Fenomenul ràsucirii împiedicate" ipoteze Se reaminteçte în cazul ràsucirii barelor cu pereti subliri, pe lângà strâmbarea suprafelei secJiunii transversale, existà çi o strâmbare a liniei mediane. Se exemplificà acest lucru considerând o barà cu secfiune dreptunghiularà îngustâ (vezi figura 2a), respectiv o barà cu pereli subtriri (sec{iune dublu T) alcàtuità din dreptunghiuri înguste (vezi figurile2c,2d).

CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Teoria elasticitatii

Citation preview

Page 1: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

F.ASU CINE A ÎD'4.Pll,DlC AT A ( T o r s i o n w it h r e s t r a in t w srp in e\

Un element de constructie este solicitat la rdsucire (torsiune) dacà în orice secfiune transversalàa sa singurul efort diferit de zero este momentul de ràsucire.

OBS. De exemplu, în urma ràsucirii unei secliuni dreptunghiulore, secliunea transversald inilialplanà trece aproximativ într-un paraboloid hiperbolic (vezifigura la). La secliunile transversalealcàtuite din dreptunghiuri, pe lângd deplasarea secliunii transversale apore çi o strâmbare aliniei mediane o secliunilor, De exemplu, linia mediand a unui profil dublu T, pdrdseçte planulyGz, astfel încât aceasta a devenit o linie strômbd în spaliu (vezifigurile 1b, lc).

a) b) c)

Figura I

Dacà fenomenul strâmbàrii se poate produce liber, ràsucirea se numeçte liberd sau puld. Dacâstrâmbàrile sunt împiedicate, total sau parfial, ràsucirea este calificatâ ca çi împiedicatà.

Împiedicare strâmbàrii poate fi provocatà de rezemarea încastratâ a extremità1ii barei, de variatiabruscà a sectiunii transversale, etc. Impiedicarea strâmbàrii duce la aparilia unor tensiunisuplimentare çi complicà studiul stàrii de solicitare.

OBS. În cazul barelor cu secliune robustd (secliunea dreptunghiulard)), împiedicarea strâmbàriisecliunii are o implicatrie mult mai scdzutd decât o are împiedicarea strâmbàrii liniei mediane labare cu oereli subliri.

1.1 Ràsucirea împiedicatà a barelor cu pereti subtiri cu sectiune transversalà simpluconexà (profil deschis)

1.1.1 Fenomenul ràsucirii împiedicate" ipoteze

Se reaminteçte cà în cazul ràsucirii barelor cu pereti subliri, pe lângà strâmbarea suprafeleisecJiunii transversale, existà çi o strâmbare a liniei mediane. Se exemplificà acest lucruconsiderând o barà cu secfiune dreptunghiularà îngustâ (vezi figura 2a), respectiv o barà cu perelisubtriri (sec{iune dublu T) alcàtuità din dreptunghiuri înguste (vezi figurile2c,2d).

Page 2: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

EB'BE'

a) b) c) d)Figura 2:

În urma ràsucirii, sectiunea transversalà se deplaseazà luând forma unui paraboloid hiperbolicînscris într-un dreptunghi strâmb. Se constatà cà linia medianà Gz a secliunii ràmâne în planulinilial al suprafeJei sectiunii, ceea ce înseamnà cà în planul median al dreptunghiului îngustlunecarea specificà este nulà.

+ unghiul inilial drept între axa Gx çi Gz nu se modificà

= (yr,)r=o = o

Relalia ( 1 ) constituie baza teoriei ràsucirii împiedicate.

În figura 2c este reprezentatà forma deformatà a unui profil dublu T supus la ràsucire, prinaplicarea a douà momente de ràsucire de capât egale. Pe lângà strâmbarea propriu-zisà a sectiuniitransversale se produce çi o strâmbare a liniei mediate (vezi figura 1).

Figura 2c prezintâ ràsucirea liberà, în timp ce figura 2d, pentru bara cu o extremitate încastratà,

prezintâ o deformatie relativ nouà a barei, strâmbarea liniei mediane a secliunii transversale

variind pe lungimea consolei de la 0 în dreptul încastràrii pânà la o valoare maximà la capàtulopus. Rezultà cà strâmbarea liniei mediane dintr-o anumità secliune este împiedicatà, parfial sau

total, de tendinta de strâmbare mai redusà a liniei mediane din secliunea vecinà; de aici provine

çi denumirea de rdsucire împiedicatù

Împiedicarea strâmbàrii liniei mediane reprezintà în fond împiedicarea deplasàrilor elastice ale

punctelor liniei mediane dupà direclia axei barei, ceea ce determinà aparilia unor tensiuni

normale o,.

Deoarece împiedicarea strâmbàrii este variabilà în lungul barei, rezultâ cà çi tensiunile normale

o, variazâ, ceea ce atrage dupà sine aparilia unor tensiuni tangenliale r,, dirrmotiv de echilibru

(vezi forma deformatà a consolei din figura 2d).

În urma acestei deformalii, în sec(iunea transvers alâ apar trei feluri de tensiuni:

(1)

EI

ru

l!li ,iI r rrlI r rilI t lrrl t'l

lI lr', Ir t,Ërr§,æ, æ, æ,=

Page 3: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

1. Tensiuni normale oo, , provenind din încovoierea tàlpilor. Din figura 2d se observà cà

tàlpile profilului sunt încovoiate în planurile lor ca niçte console, dar în sensuri contrare.

Figura 3a prezintà distributia tensiunilor normale o,. Se observà cà tensiunile normale

o, sunt în echilibru local. Efectul lor nu se anortizeazà pe lungimi de barà de acelaçi

ordin de màrime cu dimensiunile sectiunii transversale ci se extinde pe toatà lungimeabarei. Din acest motiv, pentru cazul ràsucirii împiedicate, principiul lui Saint - Venant îçipierde valabilitatea çi în consecintà metode reducerii îçi pierde valabilitatea.

Pentru a putea pàstra ideea reducerii tensiunilor fa1à de punctele semnificative ale secliuniitransversale, Vlasov a introdus un efort rezultant fictiv numit bimomenl, notat cu B.

Pentru o secJiune dublu T, bimomentul se poate defini ca çi produsul dintre momentul M dinplanul tàlpilor çi distanta dintre planurile mediane ale acestora:

B = M.(h-t) [kNm2, daNcm2]

Tensiuni tangen{iala r,; provin ca urrnare a varia{iei liniei mediane a sec}iunii

transversale în lungul barei (figura 3b). Rezultanta acestor tensiuni în cele douà tàlpi,reduse fala de centrul de tdiere(rdsucire) '0C", definesc un moment de ràsucire M ,, numit

moment de încovoiere - rdsucire sau moment de ràsucire îmoiedicatd. Indiceleo'a) "semnaleazâ provenienla màrimilor respective din cauza împiedicàrii strâmbàrii linieimediane çi este preluat de la notarea aça numitei coordonate sectoriale.

xx

z ,'(t )\ a/

(2)

2.

a)

3. Momentul de ràsucire

transversalà curentà

ùFigura 3:

\=i/ 0

c)

ràsucire M, din sec{iuneaM - nu este întregul moment de

M, = Mr+ M, (3)

M,- momentul de ràsucire liberà. În figura 3c sunt reprezentate tensiunile tangenJiale r,careprovin din acest efort (vezi ràsucire purà - liberà)

G

Page 4: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

Se considerâ, canlJ unei secliuni dublu T (figura 4):

Figura 4

Dacà în urma rotirii secliunii din ràsucirea barei, deplasarea unui punct P al liniei mediane are

componentà dupà linia medianà ce trece prin acel punct atunci în punctul considerat se vaproduce çi o strâmbare a liniei mediane, deplasarea elasticà a punctului va avea çi o componentànormalà pe suprafala sec{iunii transversale; o deplasare componeîtâo'u".

o,Aspectul geometric

Se considerâbara cu pereti subJiri din figura 5.

a) b)Figura 5

Un punct oarecare P de pe linia medianà a sec{iunii poate fi pozilionat fie prin coordonatele sale

carteziene y, z în sistemul de axe de inerfie principale, fie prin coordonata curbilinie "s" în lungulliniei mediane.

Page 5: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

În urma deformàrii barei, secliunea transversalà se roteçte cu un unghi p în jurul.centrului de

ràsucire C.

OBS: Se considerâ, caçi conven(ie, cà rotirea p este pozitivà dacà sensul de rotire este cel orar.

Deplasarea punctului P în sistem cartezianva aveacomponentele (u, ÿ, w) - (x, y, z) sau (6,r7,u)

dupà axele (€,q,*), unde primele douà sunt axe intrinseci punctului P (axa f este tangentà în P

Ia linia medianà a secliunii iar axa ry este normalà în P la linia medianà).

Considerând indeformabilitatea sectiunii transversale, din figura 5b, rezultà:

€ = PP" = W.CoSa = p. g.cosa = t. e

Pentru determinarea componeîtei o'11", se utilizeazà relalia (1),

curent al liniei medianeôu ôË

=/a=ôr*É=u

(4)

adicâ Qr,,)r=o = 0 într-un punct

(s)

Pentru cazul unei secliuni constante în lungul barei, "r" ntJ depinde de"x", astfel încât

ô4ôodç,:=f =l'.(2ôx ôx dx

ôu t . t ^..", = ; = -g'. ar - aspectul geometrtc

Limitând deformaliile barei la domeniul de comportare elastic, pebaza legii lui Hooke

* o x = a. = E. €, = -8. e'. al - aspectul fizic pentru domeniul elastic de comportare

(6)

Prin integrare relaJia (5) devine

u=1,@:i*,=f,(x)-r,i,.ds=-e,.0 (7)so so

Integrarea se face în lungul liniei mediane, pornind de la punctul P6 numit punct sectorial

p1.inpjpg!, pânà la punctul curent P. Functia de integrare "fr(x) este nulà deoarece ar corespunde

unei translafii rigide a sectiunii transversale, incompatibilà cu deformafia barei din ràsucire.

Completând figura 5 cu figura 6 se observà câ dot=r.ds, adicà dublul ariei triunghiuluielementar màsurat. Màrimea notatà cu " cù" reprezintâ coordonata sectorialà a punctului P.

Coordonata sectorialà este pozitivâ dacâpozilia razei vectoare a punctului respectiv se oblineprin rotirea razei vectoare origine CPoîn sens orar.

Alungirea specificà

(8)

(e)

Nu se cunosc: funclia ràsucirii g, poziliile punctelor C çi P0 pentru definirea coordonatei

sectoriale a,l.

Page 6: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

Figura 6

Aspectul static din figura 5 se observà cà singurul efort diferit de zero este momentul de ràsucire

Sinteza aspectelor, constà în identificarea eforturilor calculate static çi

a) N, = 0 = [o,. dA = -f . rp'lr. dA = -8. go . S,oAA

E.g'+0+S,o = !ot'dA=OA

S,olLa,de exemplu cm47 - momentul static sectorial al sectiunii

b) M, =O = [o,. z. dA- -fi,.ç'Ir. z. dA- -f,. eo . S*AA

+ So, = [r.r.dA=0A

c) M,=0=àü, = !r.r.dA=0Srr, Sry p5, de exemplu cms) -momente statice sectoriale liniare

Condiliile (l l), (12), (13) permit definirea completà a coordonatei sectoriale ooa)": ultimele douà

precizeazâ" coordonatele carteziene ale centrului de ràsucire C, iar prima determinâ coordonata

curbilinie §0 a punctului sectorial principal Pp.

Deoarece, bimomentul,B nu poate fi definit static, Vlasov l-a exprimat sub forma:

U = Io,.at.dAA

sau od, - -f,. e' . a==>.8 = -n'rp'!, dA= -E'gn' I,A

unde 1, =tai .dAA

I,lL6, de exemplu cm67 - moment de inerfie sectorial

pe cale de rezistentà.

(10)

(11)

(t2)

(1 3)

(14)

Page 7: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

) -8.0' - B, I.

B.at-I

u

OBS. Bimomentul B nu se poate calcula pe cale staticà.

Exemplu de determinare a bimomentului-pentru o secliune dublu T

tr'igura 7

B = M .(h-t)= tn* ., = !(o,.dA).y.r = [o,.at.dA

r,

Se izoleazà un element diferenlial prin douà sectiuni traversale infinit vecine çi un plan

longitudinal care la nivelul 'os" de sectionare este normal pe linia medianà a sectiunii transversale

(figura 8).

Tensiunilenormaleo.depesuprafa!a,4,definescrezultanta:

(l s)

Datorità varia{iei tensiunilor în lungul barei, în sectiuneax'rdx, atunci çi rezultanta I,va avea o

creçtere cu cantitatea diferenfialà d/".

Pe faleta longitudinalà, tensiunile tangentiale ,o, se însumeazà în rezultanta:

dL" = 1. 't, ' dx

Se considerâ câ r, este uniform distribuit pe là1imea rr.

Din condilia de echilibru pe axax rezlltâI, + dI, - I, - dL, = 0 + dI, = d[,,

(16)

I, = !o..dAAs

(r7)

(l 8)Din rela{ia o,=T)r,-*P.dA=+

Page 8: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

unde: S, = t * . dA - momentul static sectorial al po(iunii de arie 1,.As

Prin diferenliere, 1inând cont cà *

= ,orrr.+ dI, = *.0,

dB.*

Ecualia (17) devine, *rU = r,.t, . & + r, = # = ff

unde M = ll -momentul de încovoiere - ràsucireu,clx

OBS. Relatia (19) are structura matematicà a formulei lui Juravski.

(le)

(20)

4 \\1o r\

['igura 8

Page 9: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

1.1.4 Ecuatia diferentialà a rà§ucirii împiedicate. intesarea ei

Din ecuatia M, = M, + M,- momentul de ràsucireliberâ, M1

M.=0.G.1,=Q'.G.1, Ql)

(p' = 0 = + - ràsucirea specificà (Rotirea relativà în jurul axei barei a douà sectiuni situate la'dxdistantà unitarà, se numeçte ràsucire soecifïcd (0)).

- momentul de încovoiere - râsucire, M,

M,=ff=-n'1.'Q' Q2)

B=-E'e''|, Q3)

* M, - -fi, ' I ,'Q' + G' I,'9' Q4)

Se deriveazà ecuafia (24) îîraport cu abscisa barei:

dM' --m,(x)--[,'1,'e'' +G'1,'rP" (25)dx

Se împarte relalia (25) cu EI,Çi se noteazà cu:

(26)

Astfel cà relalia (25) devine:

o,, _kz .tou =m,(x)E.I,(27)

Ecuatia (27) reprezîntâ ecuatia diferentialù a rùsucirii împiedicate.

Solutia acestei ecualii este:

g=gr+go (28)

unde: g" - solulia generalà a ecualiei omogene;

Po - solulia Particularà'

Solutia devine:

û=ûo*p,'.thY * B,J-:!b * M,o'@*6, Qg)k -u GI, Iu kGI, 'P

unde:

Ao,û0, - rotirea secfiunii, respectiv ràsucirea specificà în dreptul originii barei (z : 0);

Bo - bimomentul în origine;Mto - momentul de ràsucire concentrat în aceastà sectiune.

Prin derivarea solutiei, aceasta devine:

e' = e'o 'cht« - Bo 'tr t M ,o +F * ,P', (30)

Page 10: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

Prin derivarea relatiei (30) çi multiplicând cu (-^E'l,) se obline relatia bimomentului:, GI. shls

B = -go I snnc + Bochl« t M,o ï - EI,e p

Solutia particularà e o se determinà astfel:

. se cautà o funclie g(x) carc sà satisfacà condiliileq(0) = 9' (0) = 9' (0) = 0 ; rP*(O) = 1

o astfel de functie este:

,pr=ryK

. se face o schimbare de variabilà x->x-to se alcàtuieçte solu{ia particularà, folosind functia e+ çi membrul drept

diferenJiare

o o =! oo(. - ù#?d,= #i, hk(x - t) - k(x - t)1. *,(t). dt

Se observà cà solutia particularà depinde de modul de lncàrcare a barei.

Figura 9: Douà tipuri de încàrcare întâlnite în practicà

o Pentru încàrcarea cu moment de ràsucire uniform distribuit (figura 9a)

(3 1)

(32)

al ecuatiei

(33)

olx<a

a<x3b

b<x<l

0(x<c

c1x<l

9o =0

a, =ful,ror--a)-, -k'(x;a)' ] ,'0,

a, -- hl,ror. - a) - ry - chk(x - b) + ry\o Pentru încârcarea cu moment concentrat (figura 9b)

9r=0

,, = ?o,,frnt(x - c)- k@ - Ql (3s)

Page 11: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

Pentru ca funcliile ç,g' çi ,B sà devinà operante trebuie sà cunoaçtem valorile parametrilor

iniliali e6,g'0,8, §i M6,pàtàrîetrii care se determinâpebazaconditiilor de margine (rezemare).

Astfel avem:a) capàt simplu rezemat- di" pr""t de vedere al ràsucirii este acel reazefir care împiedicà rotirea secliunii, dar

permite stâmbarea liniei mediane. Astfel, prin strâmbarea liniei mediane (liberà sà se

producà) tensiunile normale o, =0) B = 0. Conditiile pentru rez;emarea simplà se scriu

astfel:

eo =0Bo =0

b) capàt încastrat-

"..6t" r, î*piedica atât rotirea sectiunii cât si strâmbarea liniei mediane care este obligatà

sà se mentinà în planul secJiunii încastrate. Astfel condiliile sunt:

Qo =04--ç'oO=0

Pentru orice valoare a coordonatei sectoriale ro (pentru orice punct la seclinii mediane), rezultâ

câ: g|=ç.

c) capàt liber (nerezemat)

Condiliile se pun asupra eforturilor:- dacà marginea este neîncàrcatâ Bs = Mt7: 0

- în çaz contrar, eforturile primesc chiar valorile încàrcàrilor direct aplicate.

OBS: În cazul unor rczemâri intermediare pe lângâ condiliile la limità puse în dreptul capetelor

barei, sunt necesare çi conditiile de continuitate a deformaliilor, respectiv de echilibru în dreptul

reazemului intermediar.

1.L.5 Determinarea caracteristicilor geometrice sectoriale

A. Determinarea pozi{iei centrului de ràsucireCentrul de ràsucire se determinà în douà etape:

1) Se alege un centru de ràsucire arbitrar C7 çi un punct sectorial principal, de asemenea

arbitrar Po.

Page 12: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

2) Se face transla{ia de la centrul arbitrar Ct la adevàratul centru de ràsucire. C, folosind

relatiile (12,13).

În figura 10 s-a notat cu pruza vectoare CP, crt r perpendiculara dusa din C pe tangenta în P la

linia medianâ, cu d unghiul dintre razavectoare CO çi axa de inerlie Gy. Cu aceste notafii, se

poate scrie diferenliala coordonatei sectoriale definità prin utilizarea centrului de râsucire C çi apunctului sectorial principal arbitrar Po'.

(y., z"

Figura l0

Axele y çi z sunt axe de ine4ie principale Sy : S, : Ir,:0, astfel cà se permite explicitarea

absciselory6,çi z6 ale punctului C. Rezultà formulele de calcul ale coordonatelor centrului de

ràsucire:

S,y = [r'. r.dA=O> y" = ÿ"r*try-AY

[''' Y'a't5,, = f.r'. z. dA = 0 = z, = r,, -uT

A

(36,37)

(38, 39)

unde,

arj - coordonata sectorialà a punctului curent, definita cu ajutorul centrului de ràsucire arbitrar Cl

çi cu un punct sectorial principal arbitrar Po

Pentru sectiuni la care linia medianà este alcàtuità din linii drepte, integralele din relatiile (36,37)

se pot rezolva cu regula de integrare Vereçciaghin. Integralele de suprafajà se pot rescrie sub

forma unor integrale liniare d.4:/,.ds:

2,,!d,.z.dsJi

-y -y-,4Iy

Z',!d,'v'dsJi

-4 Zc - Zcl-I,

unde suma de la numàràtor se extinde pe numàrul de lungimi de linie medianà s, cu grosimea

constantà /; respectivà.

Page 13: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

B. Determinarea pozifiei punctului sectorial principal

Cu raza vectoare origine CPo, coordonata sectorialà a punctului P este dublul alJiei P.CP .

Coordonata sectorialà corectà a aceluiaçi punct P trebuie însà definità plecând de laruza origine

CPç, coordonata fiind dublul ariei CPoP. Rezultà câ at = a' - a)7,

unde: ar' - coordonata sectorialà definità de raza CPo;

ao - coordonata sectorialà de diferentà, adicà dublul ariei CPrPo.

Figura ll

Folosind condilia de mai sus se obline:

S,o = ! o. a,e = ! r' . dA- rr! a,l = O

AAA

lr'.ilA)A)d= (40)

C. Calculul momentului de iner{ie sectorialCunoscând poziliile punctelor C Çi Po, coordonata sectorialà a punctului P este determinatà.

Reprezentarea variafiei coordonatelor sub forma unei diagrame, pennite în cazul frecvent al

sectiunilor cu linia medianà alcàtuità din linii drepte, calculul momentului de ine4ie sectorialprinprocedeul de integrare Vereçciaghin a diagramelor:

I, = !atz .dA

À

Zr,[ r.at.dss,

=!at.c,t.t,A

.ds = (41)

OBS. Toti termenii sunt pozitivi; I,[L6]- moment de inerfie sectorial.

Page 14: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

Calculul practic al momentul critic elasticPentru cazll uzrsal al grinzilor cu secliune constantà, dublu-simetrice sau mono-simetrice, înraport cu rxa minimà de inerfie, momentul critic elastic poate fi determinat cu expresia (42).Aceastà expresie este aplicabilà elementelor structurale încovoiate dupà axa maximà de inerfie,pentru diverse rezemàri çi tipuri de încàrcare.

-qz)2]" - (czze-rr,,r\ g2)

Coeficientul k, se referà la posibilitatea de rotire a secliunii transversale pe reazeme, dupà axa

minimà de inerfie a sec{iunii, iar coeficientul k, se referà la posibilitatea deplanàrii sectiuniitransversale pe reazeme. Aceçti coeficienti variazâ, între 0.5 (fixare perfectà la ambele capete),

0.7 (fixare perfectà la un capàt çi celalalt capàt liber) çi 1.0 (liber la ambele capete). Dacà nu s-au

luat màsuri speciale pentru fixarea deplanàrii secfiunii transversale în dreptul reazemelor,coeficientul k, poate fi considerat, în mod conservativ, egal cu unitatea. Dealtfel, având învedere cà în multe situalii practice fixarea atât din punct de vedere al încovoierii dupà axa

minimà de inerfie cât çi din punct de vedere al deplanàrii este doar parfialà, ambii coeficienJi potfi consideraJi în mod conservativ egali cu unitatea. Cu toate acestea, existà detalii structurale de

îmbinare sau de rezemare a grinzilor pentru care se poate considera o fixare perfectà.

Proiectantul trebuie sà aibà în vedere relatia între modul de alcàtuire al detaliilor structurale çialegerea coeficienlilor lungimilor de

^flambaj pentru calculul momentului critic elastic pentru

flambaj prin încovoiere - ràsucire. In Figura 12 sunt prezentate câteva exemple cu detaliistructurale (îmbinare rigidà çi articulatà rigla-stâlp, îmbinare articulatà grindà secundarà - grindàprincipalà, reazem articulat grindà) pentru care sunt precizate condiliile de fixare.

- încastrat pentru încovoiere dupà axa y- Rotire dupà axa z lmpiedicatà- Deplanarea împiedicatâa) Îmbinare rigidà grindà - stâlp

- Articulalie pentru încovoiere dupâ axa y- Rotire dupâ axa zliberâ- Deplanare liberàc) Îmbinare grindà secundarâ-principalà

- Articulatie pentru încovoiere dupà axa y- Rotire dupà axa z liberà- Deplanare liberâb) Îmbinare articulatà grindà - stâlp

- Articulalie pentru lncovoiere dupà axa y- Rotire dupâ axa zpar\ial împiedicatâ- Deplanare liberâd) Reazem aniculat-sectiune de capàt liberà

- Articulatie pentru încovoiere dupà axa y- Rotire dupà axa z împiedicatà- Deplanare lmpiedicatàe) Reazem articulat - sectiune de capàt rigidizatâ'

Fig. 12: Detalii de îmbinàri

Page 15: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

§rt^lc.t It\l+ l*àô.t I\l.-l

il

rri

lôl.§ lc.l

I

il

8qe,Y o-()'2'= âÈ Xx§iiÈ t<EEôV«triq, Fi G)

C§-A9Êt'.=. o xo Ê'(=c)(r)

ùI

-lotÊ+"a

§l^"lsl.o+

I

§l*l=, 1

l= ilt5 §l^! ^

()h0)

s«lE'tr5fiÊEo",Éo=à

§ I

Ë€"rl§Ëg rl!=6)hi È\loo7) cd o^l-

a 6) NlÉE il

'F'A ats^l- Li'jbo

ôN.§+

-9ô lto* lclil

Ir!

*oL^§Yc.t I

, ol.

q)l.rQv)

»cüLrq)€li

C)U

I c.t

"§ l§il§,)

il

IN

c.lI

-acô

a-l.§l N

§l \rÀ le>t

il

N

cll

N

tr

q)

he)

t

I()ü2

€)

€)I6lli6lQ

q)C§ O)

dbâ0.=o0)EEJc)

b9C)q(nc

c!.§ôlI\

N"§+

il

\

§*§+§.§ilc-l \rlt

\

il

CËoÊt()()(h

-t

q)&

i€zô o C-l ca

é)cll

N

tr

h.e)

E

ê)

It2tr

6ltr

Page 16: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

il

I

Gi^. G-

à+l\6.§v \ v§)-t

-i "§-l+ I ]_,ll SL -§lÔrS++

çd§)Y + 1 *:\-§.§gtd

§l+'§J.* '-s- ' -§- |-l+l]_,J 5

ll ô.1 sl ru v -ll\l-. a{ \s++t+

+

+

r{

\l=lt

Èl.§l\g"§t d

ll ü)

§

§l§l\l

sl*'i l-

il

I

lol§ §l*"'JÈ §§ ô{ .i\++.a

àtt+5 al-l sf,f* ülS { Sl-r'

()dilr"§_§§.C..lv

'--ll

il

UNlt

JJ

.§cl N

o \l\rr *o§)àn

ti

-t§l*'c.il

I

? ^\ l*.,r'^q

-a 1.f,

§il

N

+"§N

il\

È tl=ttll-ù§

"§ c.l§a

il§{rl \

---l ..r )- "i§ § 3lr Y'N. { isc.i-srr t?,+Nll + ol - "§lCl \ N -§

x$î§l=À Y *ioi §È + j" =*[ e_D .§i^ :1- s "f': ' î ll =* :11- i ',i §-§\tt ll \a',

\o§à

N--l>

-ltlr

.+ ra) \o

Page 17: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

I

I

+\\i.

N-Nvȧ*^ -+ § §l*.",\,al--) | -§

Èl= dl+' § IiltÈ^'ôc{.§+'++

ôl

§I

il

^- l-+il

c.l

§il

§

§,RlllNdlJ §l=ll '-t]-----\ti - l\"

+

il

tr

ll

>'

"a -§*§À-§

+ § + §l=!" * i= *"1il Ô{ ll

oll §\\

- I . )'-- -----. ^\3ls *Il^s iil _ "sl + ȧ "i-Y*o i\t- \ r ôI

)----------, ll + '- +

e]) § -ol^ à -js sl -§ *-l " c.r l-tt ll i, l§\o+

^\ \§ .. §r\-ts§.-e§ t.EE; E

HPcË âP- É,.-q

§ 6.1 Èr'- :oolucn^E olf. I

J 'o.l -oc5=2)JCË HH Ê(.) Ots És -9

H

-+l6

r- oô o\

Page 18: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

il

il

l'

l1\ oo,\r'; *l'+

!NI\ §,^N§§-T",. I G'-l{' 5 |rr-x.9srr

d

§l^I+

N

"§ I c"l

ilê

N

.lali,ll

il

N

oil

àL.J* l*'"

ll

N

ùI

I

oil

N/---.---\ §.§lN \'

r<r

cT+\i§^+:t'+lc-l'+*SsNî iiG*.,1' \' +

*l§"§§ilf

Èsl1\ +r§t-\

"s À ..iY-§+ll '*tq.s\\9il

il\§\

\kl^ ^.*rl- _ r

tt \a':- + §i\-\r \'

,I,L"l ..r ll 'o*tl- \t i

lltt6^\*l

6lr ^-l.-t

+l*% l^v l-

- le.r Ill"§lr----------JlÉl

il§

*;l. §\r .s-L ll r .-l

-i^ î;" ilxi à"t§lYll il illl.s§)§\\\

N*

,"+

N--l>

Page 19: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

+6

§) ttq^\§+lù\ll .v

\r*ls Ltt q-ls

oil

L"I$

'=tr

oE Hlso'i ub *1

5E §Eui=^6È

lvE .Èsu)\troo

Nln

-l -"§t§rl+-l d

"§1"§

ilx 3"§l I

ll s-'§ I

§)

il

N

il

*

oil§

NI

\§^§

'i .-l :r. Ii =lu sl--{Yil*;§*i.ôt +ll \r io.l^\r lt *'l *

\lrt\\

sl *§l §Èl+e.rlo§lÂ

I

c! co

Page 20: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

Tabelul .2: Caracteristici sectoriale cele mai uzuale ffansversale

Momentul de

inertie sectorial 1,

Momentulde ine4ie latorsiune 1,

Pozilia centruluide torsiune e

Coordonata sectoriala /t)

'"ü o, t"4"

2brt3, +b,f

0

5

orift*=t,

f,1ru, * u-)

u:,4,1'.?]-'le) f;t u,*t-) 34

6b, + b,

[(br--e)/2]b"

,bfJ_...11

tlro,'ûfia++sbna3 +brbl,)-

-I r"'

l{'4 *

+2a + b*)

brüL,al .

Iy

lt,t, zaz

[(U-e)/2]b*

-{[(bt-e)/2]b"++ [a(by +e)]]lr'* 3b1

fiÀl

l

t2(2bî +b- +2a)

'lü(fi +2btt"++4bra+6b"a)+

+4a213brb* +3ft, +

+4bra +2b*a + a2 )f

'\bu" *ro3\ l

+b-)0

-b*g/2

t*lf ftr-db*/2re

(U-db*/2-abt

whereg:by'1l(b"+2b1)

( t',0!)( t, +zt"\

I n )lrbrt ) !1ru, *u-) 0

Jr1

\@l\+(b1-g)b"/2

whereg:bt2l(b"+2bt)

fi@,'*t-') Itu,*u,)0

Values of ar for this section

are secondary effects only,for the upper and lower

surfaces

Page 21: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

Tabelul 1.3: V ia bimomentului pentru cele mai des întâlnlte cazun i[Tipul de încàrcare/rezemare Ecuatia bimomentului Valoarea maximà

g =-r,shk(l-x)- kl.ch klx=0 B, = Mlb

B.=-+.[H.sh k(t-x)-

-ch kl +ch la")

x=0 B, = ml2c

ærï,jji_l

t 111.ffi BI2

Br = ml'P

o _M .shloc"'- 2k Hcn-2

IX=-

2u,=#r

,.=#1,, "no(t_.)

z.sh!!2

x=oJ*=l )

I2

B, = ml'g

B.=ml'j

s =L.'2kch,{x-ch r(i--)

,n!!2

x=0I2

x=lB =Mn-2

u, =#.ü-ch,tx+

l+È/.sh H-chH-k'l'.sh h

H.chkl-sh kl

x=l B =*l*'2

ffi"A

Srr=#'

{ 0,."n!!-l)

I

11H

H.)

È/.sh

-rnl

l-sh È/

-4)..n)l

I2

x=l

B,uMI

-ÿ2

B =Mlu

Page 22: CURS 1&2-30.09.2013 TEORIA ELASTICITATII SI PLASTICITATII.pdf

- M I str.lxp --.t@' È Ltl'ch H-shH

("'"H -rhr -H)-rno[r-1]l2 2 2) \ 2))

. thÉ/D=A-i c=*l.shH-eh&/+1 "n{-t'n=-L) r

kzÿchW2

- chil -l'î=-' r HshHkz12chbl

{("ng*u-rhÉr shkl- HchE.')t_w, sh/d-zshLn=J

H(cbkl -t)o=ô

klpbâ -chld +r-HshY,-,= J '*-H(Hchkl -shH)

HshH-2shU+2 shH-2sh&; u_ 2' HchH -shHH(Hcttkl -shkl)