Curs 3 - Agendadlucanu/cursuri/ap/resurse/...iesire: atomul din C cu cheia cea mai mare elimina intrare: o coada cu prioritati C iesire: C din care s-a eliminat atomul cu cheiaceamaimare

Dorel Lucanu Algoritmica si programare

Curs 3 - Agenda

recursiearbori binariaplicatie: reprezentarea expresiilor ca arboricoada cu prioritati si max-heapcolectii de multimi disjuncte si “union-find”


Subprograme recursive

subprogramul f() apeleaza directsubprogramul g() daca blocul care definestef() include un apel al lui g()subprogramul f() apeleaza indirectsubprogramul g() daca f() apeleaza direct un subprogram h() si h() apeleaza direct sauindirect g()f() este definit recursiv daca se autoapeleaza direct sau indirect


Subprograme recursive: Fibonacci

function fibRec(n)if (n <= 1) then return nelse return fibRec(n-1) + fibRec(n-2)

endfibRec(5)

fibRec(4)

fibRec(3)

fibRec(2)

fibRec(0)fibRec(1)

fibRec(1)

fibRec(2)

fibRec(3)

fibRec(2)

fibRec(0)fibRec(1)

fibRec(1)

fibRec(0)fibRec(1)


Fibonacci – nerecursiv

function fib(n)if (n<=1) return n

// k = 0fk_1 ← 0 // fib[k-1]fk ← 1 // fib[k]for k ← 2 to n dofk_2 ← fk_1fk_1 ← fkfk ← fk_2 + fk_1

return fk;end


Functii recursive: conversie binara

procedure convert(x)1.if (x != 0)2.then convert(x/2)3. print(x % 2)}

convert(12)

convert(6)

convert(3)

convert(1)

convert(0) ─

11

1

110

1100

12 3

x adr.retur

stiva arborele apelurilor

0 1 33 36 3


Functii recursive: turnurile din Hanoi

sursa intermediar destinatie




Functii recursive: turnurile din Hanoi

procedure muta(n, a, b, c)// a = sursa// b = destinatia// c = intermediarif (n = 1) then print(a, “->”, b);else muta(n-1, a, c, b);

print(a, “->”, b);muta(n-1, c, b, a);

end


Tipul de date abstract ArbBin

obiecte : arbori binari• un arbore binar este o colectie de noduri cu

proprietatile:1.orice nod are 0, 1 sau 2 succesori (fiii, copiii)2.orice nod, exceptand unul singur – radacina, are

un singur nod predecesor (tata, parintele)3.radacina nu are predecesori4.fiii sunt ordonati: fiul stang, fiul drept (daca un

nod are un singur fiu, trebuie mentionat care)5.nodurile fara fii formeaza frontiera arborelui


Arbori binari: exemplu

C

DMK A

E G

IFL

H

B


Arbori binari: definitia recursiva:

arborele cu nici un nod (vid) este arborebinardaca v este un nod si t1, t2 sunt arboribinari atunci arborele care are pe v ca radacina, t1 subarbore stang al radacinii sit2 subarbore drept al radacinii, este arborebinar

t2t1

v


ArbBin: operatii

insereaza()intrare:

un arbore binar t, adresa unui nod cu cel mult un fiu (tatal noului nod), tipulfiului adaugat (stinga, dreapta) siinformatia e din noul nod

iesirearborele la care s-a adaugat un nod cememoreaza e; noul nod nu are fii


ArbBin: inserare

C

DMK A

E G

IFL

H

BX

Y


ArbBin: eliminare

elimina()intrare:

un arbore binar t, adresa un nod farafii si adresa nodului-tata

iesirearborele din care s-a eliminat nodul de pe frontiera dat


ArbBin: eliminare

C

L

DMK A

E G

IF

H

B


ArbBin :parcurgere preordine

parcurgePreordine()intrare

un arbore binar t, o proceduraviziteaza()

iesirearborele binar t dar cu nodurile procesatecu viziteaza()in ordinea:

radacina (R)subarborele stanga (S)subarborele dreapta (D)


ArbBin :parcurgere preordine - exemplu

C

L

DMK A

E G

IF

H

B

C, E, K, B, H, A, L, F, G, M, D, I


ArbBin :parcurgere inordine

parcurgeInordine()intrare


iesirearborele binar t dar cu nodurile procesatecu viziteaza()in ordinea S R D


ArbBin :parcurgere inordine - exemplu

C

L

DMK A

E G

IF

H

B

K, H, B, E, L, A, F, C, M, G, I, D


ArbBin: parcurgere postordine

parcurgePostordine()intrare


iesirearborele binar t dar cu nodurile procesatecu viziteaza()in ordinea S D R


ArbBin: parcurgere BFS

parcurgeBFS()intrare


iesirearborele binar t dar cu nodurile procesatecu viziteaza()in ordinea BFS (penivele)


ArbBin: parcurgere BFS - exemplu

C

L

DMK A

E G

IF

H

B

C, E, G, K, A, M, D, B, L, F, I, H


ArbBin : implementare cu structuri inlantuite

reprezentarea obiectelor

C

E G

B

H

K A

L F

M D

I


ArbBin : structura unui nod

un nod v este o structura cu trei campuri:v->inf /* informatia memorata in nod */v->stg /* adresa fiului stanga */v->drp /* adresa fiului dreapta */


Arbori binari: parcurgePreordine()

procedure parcurgePreordine(v)if (v = NULL) then returnelse viziteaza(v)

parcurgePreordine(v->stg) parcurgePreordine(v->drp)

end


Arbori binari: implementarea parcurgerii BFS

C

DMK A

E G

Coada = C( E G K A M D )


Arbori binari: implementarea parcurgerii BFS

procedure parcurgeBFS(t)begin

if (t = NULL) then returnelse C ← (t)

while (not esteVida(C))citeste(C, v)viziteaza(v)elimina(C)if (v→stg ≠ NULL)then insereaza(C, v->stg)if (v→drp ≠ NULL)then insereaza(C, v->drp)

end


Aplicatie: expresii intregi

Expresii intregidefinitieexemple

Reprezentarea expresiilor ca arborisimilaritati intre cele doua definitiiarborele asociat unei expresiinotatiile pref-, in- si postfixate si parcurgeri

ale arborilor


Definitia expresiilor intregi

<int> ::= ... –2 | -1 | 0 | 1 | 2 ... <expr_int> ::= <int>

| <exp_int> <op_bin> <exp_int>| (<exp_int>)

<op_bin> ::= + | − | * | / | %

reguli de precedenta12-5*2 este (12-5)*2 sau 12-(5*2)reguli de asociere15/4/2 este (15/4)/2 sau 15/(4/2)?15/4*2 este (15/4)*2 sau 15/(4*2)?


Expresiile reprezentate ca arbori

-12 + 17 * 5 – (43 + 34 / 21 * 66)

−

+ +

* *

/

-12

17 5

34 21

66

43


Notatiile postfixate si prefixate

notatia postfixata se obtine prin parcurgepostordine-12 17 5 * + 43 34 21 / 66 * + -notatia prefixata se obtine prin parcurgepreordine- + -12 * 17 5 + 43 * / 34 21 66

−

+ +

* *

/-12

17 5

34 21

66

43


Coada cu prioritati: tip de data abstract

obiecte de tip data: structuri de date in care elementele sunt numite atomi; orice atom un camp-cheie numit prioritate


Coada cu prioritati:operatii

citesteintrare: o coada cu prioritati Ciesire: atomul din C cu cheia cea mai mare

eliminaintrare: o coada cu prioritati Ciesire: C din care s-a eliminat atomul cu cheia cea mai mare

insereazaintrare: o coada cu prioritati C si un atom at iesire: C la care s-a adaugat at


maxHeap

arbori binari completi cu proprietatea: pentruorice nod, cheia din acel nod este mare decitsau egala cu cheile din nodurile fiiexemplu

12

437 1

9 8

5 2


maxHeap: eliminarea

12

437 1

9 8

5 2


maxHeap: inserarea

12

437 1

9 8

5 2

10


maxHeap:implementarea cu tablouri

(∀k) 1 ≤ k ≤ n-1 ⇒ a[k] ≤ a[(k-1)/2]

876543210

12

437 1

9 8

5 2

0

21

3

7 8

4 5 6

12 9 8 7 1 3 4 5 2


maxHeap: inserare

procedure insereaza(a, n, cheie)begin

n ← n+1a[n-1] ← cheiej ← n-1heap ← falsewhile ((j > 0) and not heap) do

k ← [(j-1)/2]if (a[j] > a[k])then swap(a[j], a[k])

j ← kelse heap ← true

end


maxHeap - elimina

procedure elimina(a, n)begin

a[0] ← a[n-1]n ← n-1j ← 0heap ← falsewhile ((2*j+1 < n) and not heap) do

k ← 2*j+1if ((k < n-1) and (a[k] < a[k+1]))then k ← k+1if (a[j] < a[k])then swap(a[j], a[k])

j ← kelse heap ← true

end


maxHeap: timp de executie

inaltime (adancime) arbore = lungimea celuimai lung drum de la radacina la frontieralungime drum = numar arcen =2k+1-1inaltime arbore = k = log (n+1)-1operatiile inserare/eliminare necesita timpulO(inaltime abore) = O(log n)

0

21

3 4 5 6


Colectii de multimi disjuncte: tip de data abstract

obiecte: colectii de submultimi disjuncte (partitii) ale unei multimi universoperatii:

find()intrare: o colectie C, un element x din universiesire: submultimea din C la care apartine x

union()intrare: o colectie C, doua elemente x si y din universiesire: C in care componentele lui x si resp. y sint reunite

single()intrare: o colectie C, un element x din universiesire: C la care componenta lui x are pe x ca unic element


Colectii de multimi disjuncte: “union-find”

structura “union-find”multimea univers = {0,1, ..., n-1}submultime = arborecolectie = padurereprezentarea unei paduri prin legaturaparinte

2

6

1 3 0

5

8

4

7

9

9876543210

-159-1-18-1665parinte


Colectii de multimi disjuncte: “union-find”

function find(C, i)begin

temp ← iwhile (parinte[temp] >= 0) do

temp ← parinte[temp]return temp

endprocedure union(C, i, j)begin

ri ← find(i)rj ← find(j)if (ri ≠ rj)then parinte[rj] ← ri

end

Documents

Curs 3 - Agendadlucanu/cursuri/ap/resurse/...iesire: atomul din C cu cheia cea mai mare elimina intrare: o coada cu prioritati C iesire: C din care s-a eliminat atomul cu cheiaceamaimare