Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

Embed Size (px)

Citation preview

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    1/31

    Modelarea prin grafuri a

    problemelor economice

    1

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    2/31

    2

    n general, ntr-un graf , componentele sistemului economicconsiderat se reprezint prin puncte n plan, iar restriciile(legturile, dependenele, influenele) dintre ele prin segmente

    de curb ce unesc aceste puncte, numite arce. ntre dou puncte pot exista unul sau mai multe arce (funcie

    de numrul relaiilor existente), iar arcelor li se pot asocia saunu orientri (dup cum se influeneaz componentele ntreele).

    Arcele orientate se reprezint n desen prin sgei, n sensulrelaiei dintre componente.

    n cazul n care, n anumite aplicaii practice, sensuldependenelor dintre componente nu are o semnificaie

    particular, arcele sunt neorientate i se mai numesc mucii.

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    3/31

    3

    Grafuri orientate

    xi xj

    Un graf orientat, , este denit printr-un cuplu format dinmulimea elementelor sale i mulimea legturilor, care pune n

    eiden conexiunile dintre elemente! "ac mulimeaelementelor este nit, graful este nit #ca$ul problemeloreconomice%! &lementele unui graf se numesc noduri sau 'rfuri,iar perec(ea orientat #xi, xj% se numete arc al grafului ) i are

    pe xi extremitate iniial #nod sau 'rf iniial% i pe xj ca

    extremitate nal #nod sau 'rf nal%!

    x*

    x*

    x3

    x3

    x1

    x1

    x2

    x2

    x+

    x+

    x1

    x2

    x*

    x3

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    4/31

    *

    Termeni uzuali n teoria grafurilor orientate

    Graf parial se obine suprim'nd o parte dintre arcelegrafului iniial! Subgraf al unui graf se obine suprim'nd o parte dintre

    noduri i arcele pentru care aceste noduri sunt extremitiiniiale sau nale!

    Drumntr-un graf o succesiune de arce parcurse n acelai

    sens! ungimea unui drum este egal cu numrul arcelor care l

    formea$! Drum elementareste un drum n care ecare nod apare o

    singur dat! Drum hamiltonianeste un drum elementar care trece, o

    singura data, prin toate nodurile grafului! Circuit este un drum n care nodul iniial coincide cu cel

    nal! Circuit elementareste un drum n care ecare nod apare

    o singur dat, cu excepia nodului iniial care coincide cucel nal!

    Circuit hamiltonian este un circuit care trece, o singura

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    5/31

    Grafuri neorientate

    Un graf neorientat este o perec(e ordonat de doua mulimi

    notat )#., /%, unde . este o mulime nit i neid deelemente numite noduri sau 'rfuri, iar / este o mulime deperec(i neordonate de elemente din . , numite muc(ii!

    +

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    6/31

    Arbori

    Deniie! Se numete arbore, un graf neorientat nit, conex i

    fr cicluri.

    /n graf neorientateste conexdac pentru oricare dou noduri

    ale sale exist un lancare le unete!

    /n laneste format dintr-o succesiune de muc(ii consecutie!

    /n ciclueste un lan nit care pleac dintr-un nod i se ntoarce

    n acelai nod!

    )rafurile din gura de mai jos sunt arbori!

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    7/31

    "rumuri optime n grafuri

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    8/31

    4n marea majoritate a problemelor care pot modelate pringrafuri interesea$ intensitatea legturii dintre elementelegrafului, msurat printr-o aloare numeric asociat arculuicorespun$tor!

    4n problemele economice aceast aloare poate - lungimea drumului dintre dou localiti5- costul parcurgerii traseului repre$entat de arcul respecti5- durata parcurgerii unui traseu5- cantitatea de marf transportat pe drumul respecti5- capacitatea maxim a drumului repre$entat de un arc5- c'tigul repre$entat de trecerea de la o stare la alta a sistemuluietc!6 serie de probleme din aceast categorie necesit determinareadrumurilor de aloare minim sau maxim ntre o perec(e denoduri ale grafului!

    "e exemplu, problema transportului unor cantiti de produsentre dou localiti, n condiiile existenei unei reele de osele!7e pune problema determinrii acelei rute pentru care costultransportului s e minim!8roblema are ca model un graf orientat evaluat, n carelocalitile sunt repre$entate de nodurile grafului, oselele de

    arcele grafului, iar distanele dintre localiti, considerateproporionale cu costul transportului, prin aloarea ecrui arc

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    9/31

    Exemplu 6 rm industrial are la dispo$iie mai multeariante te(nologice de prelucrare a unui produs! 9ariantelesunt redate n graful de mai jos prin succesiunea unor arce

    adiacente care repre$int fa$ele de prelucrare a produsului,nodurile grafului repre$ent'nd stadii de prelucrare! :iecrei fa$ede prelucrare i corespunde un timp de execuie, aloareaacestuia ind trecut pe ecare arc! 7 se determine ariantate(nologic ce permite obinerea unui timp minim de prelucrareprin care se poate ajunge de la materia prim M8 la produsul

    nit :!

    ;

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    10/31

    rcu e am on ene ecost minim n grafuri

    neorientate

    1=

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    11/31

    Problema comisului voiajor TravelingSalesman Problem

    Enun7e condider norae! 7e cunosc distanele dintre oricare

    dou orae! /n comis-oiajor trebuie s treac prin toate cele norae! 7e cere s se determine un drum care pornete dintr-unora, trece exact o dat prin ecare din celelalte orae i apoireine la primul ora, astfel nc't lungimea drumului s eminim!

    11

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    12/31

    Exemplu Maria a ntocmit o list de comisioane pentrure$olarea unor probleme cotidiene! ocaiile unde trebuie sajung i timpii estimai pentru deplasarea dintr-o locaie n altasunt pre$entai n graful urmtor, unde> este locaia de domiciliu5

    8 este maga$inul cu m'ncare pentru c'ini5) este agenia de bilete de teatru5< este curtoria c(imic5" este farmacia5

    ? este supermarc(etul din $on!

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    13/31

    Arbori de aloare optim

    13

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    14/31

    Arborele !e acoperire minim"

    Enun7e consider n orae! 8entru diferite perec(i de orae #i,

    j%, =BiBn, =BjBn se cunoate costul conectrii lor directe ci,j!Cu toate perec(ile de orae pot conectate5 pentru perec(ilecare nu pot conectate nu se preci$ea$ costul! 7e cere s seconstruiasc o reea prin care oricare dou orae s econectate ntre ele direct sau indirect i costul total alconectrii s e minim!

    1*

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    15/31

    Exemplu 6 rm de telei$iune prin cablu dorete s conecte$e la

    reea opt noi consumatori! 8osibilitile de conectare i distanele #n Dm%

    dintre consumatori, sunt repre$entate n graful de mai jos! 7e cere s se

    determine lungimea minim a cablului necesar pentru conectarea celor

    opt consumatori i ruta urmat de cablu!

    1+

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    16/31

    :luxuri n reele de transport

    1

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    17/31

    1

    #lux maxim $n reele !e transport

    :luxul pe un arc repre$int cantitatea efecti de resurs ce setransport pe arcul respecti, capacitatea acestuia ind cel puinegal cu aceast cantitate!

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    18/31

    1

    6 reea de transport este pre$entat n gura de mai jos,arcele ind ealuate cu aloarea capacitii ecruia dintreele! 7e pune problema determinrii cantitii maxime deprodus ce poate transportat de la sursa x= la destinaia x,

    pe toate drumurile posibile, fr a se depi capacitateaarcelor ce formea$ aceste drumuri!

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    19/31

    1;

    Exemplu 8entru a ncl$it, apa de la un agent termic estetrecut, de la punctul de colectare x= la punctul de ieire x,printr-un sistem de conducte care trec prin mai multe ca$ane,supuse sursei calorice!

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    20/31

    8roblema de transport

    2=

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    21/31

    :orma generala a problemei de transport

    6 problem de transport const n determinarea unui plan detransport pentru un produs omogen, de la anumite centreproductoare, n scopul satisfacerii cerinelor unorconsumatori i minimi$rii c(eltuielilor de transport!

    7e consider c exist un numr Di de furni$ori #depo$ite%care posed produsul respecti n cantiti egale cu diiE 1,2,F, mi ncentre beneciare Bj,jE 1, 2, F,n, care solicitacest produs n cantitile necesare, bj!

    7e presupune c o unitate de produs transportat de ladepo$itul Dila beneciarul Bjcost cijuniti bneti!

    7e cere s se determine planul optim de transport, adic cecantitixijde produs trebuie s e transportate de la ecare

    depo$it la ecare beneciar, astfel nc't s e respectatecondiiile- s e satisfcut n cea mai mare msur cererea deproduse n centrele beneciare5- c(eltuielile totale de transport s e minime!

    21

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    22/31

    ?abelul de date initiale

    BjDi

    B1 B2 Bj Bn !isponibil,di

    D1 c11x11

    c12x12

    c1jx1j

    c1nx1n

    d1

    D2 c21x21

    c22x22

    c2jx2j

    c2nx2n

    d2

    Di ci1

    xi1ci2

    xi2 cij

    xij cin

    xindi

    Dm cm1

    xm1

    cm2

    xm2 cmj

    xmj cmn

    xmn

    dm

    "ecesar,bj b1 b2 bj bn

    22

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    23/31

    Modelul matematic al problemei detransport

    ( )

    njmix

    njbx

    midx

    xcxf

    ij

    j

    m

    iij

    i

    n

    jij

    m

    i

    n

    jijij

    ,#,,#,$

    ,#,

    ,#,

    min

    #

    #

    # #

    ==

    =

    =

    =

    =

    =

    = =

    23

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    24/31

    7oluiile problemei de transport

    % matrice ( ) njmixX ij ,#,,#, === ale crei componente satisfac sistemul de restricii icondiiile de nenegati&itate ale modelului matematic n form standard se numete soluie admisibila

    problemei de transport.!ac, n plus, matriceaXminimizeaz funcia obiecti& ea se numetesoluie optimsauplan

    de transport optimpentru problema dat.

    6bseratii

    o problema de transport admite cel putin o solutie admisibila5 o problema de transport admite cel putin o solutie de ba$aadmisibila, deci areintotdeauna solutie optima

    o solutie de ba$a admisibila contine n G m H 1 componente5

    daca toate componentele solutiei admisibile de ba$a sunt

    nenule, solutia se numeste nedegenerata5

    daca cel putin una dintre cele n G m H1 componente este nula,solutia admisibila de ba$a se numeste degenerata

    2*

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    25/31

    !reci"are ecare ariabil corespunde unei rute #este cantitatea de produstransportat pe aceast rut%5 se a identica ecare ariabilxij cu ruta #i,j%!

    - a gsi o soluie de ba$ nedegenerat nseamn a gsi cel mult mH n G 1rute, din cele mn posibile, pe care s se transporte cantitatea disponibil5

    - rutele or organi$ate ntr-un tabel asemntor celui n care se pre$intdatele problemei de transport, ecrei rute asociindu-se o csu #i,j%

    Iuta#i,j%

    BjDi

    B1 B2 Bj Bn !isponibil,di

    D1 d1

    D2 d2

    Di di

    Dm dm

    "ecesar,bj b1 b2 bj bn

    2+

  • 7/24/2019 Curs 3_ Probleme Modelate Prin Grafuri

    26/31

    &xemplu 6 societate dispune de trei centre de producie A, J i