Centre de greutate

Mecanica I 1

CURS 6

CENTRE DE GREUTATE

CUPRINS

6. Centre de greutate ………………………………....………...……………………………1

Cuprins……………………………………………………………………………………..1

Introducere modul………………………………………………………………………….1

Obiective modul...………………………………………………………………………….2

6.1. Centre de greutate …………………………………………...…………………....2

6.2. Momente statice .......................................................................................................4

Test de autoevaluare 1 ..................................................................................................5

6.3. Centre de greutate pentru corpuri omogene .........................................................5

6.4. Centre de greutate pentru corpuri omogene simple uzuale ................................7

Test de autoevaluare 2 ................................................................................................11

6.5. Teoremele Pappus – Guldin ..................................................................................11

6.6. Centre de greutate pentru corpuri neomogene ...................................................12

Test de autoevaluare 3 ................................................................................................13

Bibliografie modul……………………………………………………………………………13

Rezumat modul……………………………………………………………………………….14

Rezolvarea testelor de autoevaluare………………………………………………………..…14

6. Centre de greutate

Introducere

modul

În acest modul se introduc noţiuni importante în inginerie, cum ar fi:

centrul de greutate, moment static şi masă specifică.

Se va arăta cum se determină centrele de greutate pentru corpuri

compuse şi se va determina poziţia centrului de greutate pentru

corpuri omogene simple uzuale.

La finalul modulului se vor enunţa teoremele Pappus-Guldin,

teoreme cu ajutorul cărora se determină arii şi volume pentru

corpuri obţinute prin rotaţia unor curbe, respectiv suprafeţe.

Centre de greutate

Mecanica I 2

Obiective modul

După parcurgerea acestui modul cursantul va şti:

- să definească poziţia centrului de greutate pentru un sistem

de puncte materiale şi pentru un solid rigid;

- noţiunea de moment static şi teorema momentelor statice;

- să determine poziţia centrului de greutate pentru corpuri

omogene compuse;

- poziţia centrului de greutate pentru corpuri omogene simple

uzuale;

- să enunţe teoremele Pappus-Guldin.

Durata medie de

studiu individual

2 ore

Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în

acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare.

6.1. Centre de greutate

Un caz particular al sistemelor de forţe paralele vectori legaţi este sistemul forţelor de

greutate.

Pentru corpuri sau sisteme de puncte materiale cu dimensiuni neglijabile în raport cu raza

Pământului şi aflate în vecinătatea suprafeţei acestuia, se poate considera că forţele de atracţie

exercitate de Pământ alcătuiesc un sistem de forţe paralele. Aceste forţe se numesc forţe de

greutate şi pot fi exprimate în funcţie de masele punctelor materiale:

unde este vectorul acceleraţie gravitaţională, considerat constant în mărime direcţie şi sens

(deşi acesta variază în funcţie de latitudine şi longitudine, fiind dirijat către centrul

Pământului). Mărimea acceleraţiei gravitaţionale se va considera:

Fie un sistem de puncte materiale de mase şi un sistem de referinţă cartezian Oxyz.

Rezultanta forţelor de greutate ale punctelor materiale (forţe ce sunt considerate paralele,

Centre de greutate

Mecanica I 3

verticale şi având sensul către suprafaţa Pământului) va păstra direcţia şi sensul forţelor de

greutate, mărimea va fi suma mărimilor forţelor din sistem iar punctul de aplicaţie va fi în

centrul acestor forţe paralele, denumit centru de greutate (figura 6.1).

Fig. 6.1. Determinarea poziţiei centrului de greutate

Poziţia centrului de greutate va fi dată de relaţia:

Se observă că pentru sisteme de puncte îndeplinind condiţiile de mai sus poziţia centrului de

greutate depinde doar de modul de distribuire al maselor sistemului. În acest mod se ajunge la

o noţiune mai cuprinzătoare, aceea de centru de masă, care are sens şi pentru corpuri ce nu

sunt la suprafaţa Pământului.

Fie un solid rigid (figura 6.1). Se poate considera că acesta este un mediu continuu şi infinit

de puncte materiale. Un asemenea punct se poate modela printr-un element infinitezimal (cu

dimensiunile tinzând către zero) având masa elementară . Acest element va avea forţa de

greutate elementară:

Relaţia de determinare a poziţiei centrului de greutate pentru solidul rigid presupune

efectuarea unor sume infinite, adică a unor integrale:

O

z

y

x

C

Sistem de puncte materiale

O

z

y

x

x

y

z

Solid rigid

Centre de greutate

Mecanica I 4

unde integralele se efectuează pe domeniul solidului rigid (lungime, suprafaţă sau volum).

Coordonatele centrului de greutate pentru sisteme de puncte materiale şi pentru solidul rigid

sunt:

6.2. Momente statice

Momentele statice sunt mărimile scalare egale cu sumele de produse dintre masele punctelor

din sistem şi coordonatele acestora în raport cu un reper considerat. Pentru solidul rigid,

sumele devin integrale. În relaţiile ce definesc coordonatele centrului de greutate, numărătorii

fracţiilor reprezintă momente statice în raport cu planele sistemului de coordonate (SyOz, SxOz

respectiv SxOy).

Numitorii fracţiilor reprezintă chiar masa totală a sistemului de puncte materiale, respectiv a

solidului rigid.

Atfel, se poate enunţa teorema momentelor statice:

Momentul static al unui sistem material (corp, sistem de puncte materiale) în raport cu un

reper (plan, axă sau punct) este egal cu produsul dintre masa totală a sistemului material şi

distanţa (pozitivă sau negativă) de la centrul de greutate al sistemului la reperul considerat.

Centre de greutate

Mecanica I 5

Momentul static al unui sistem material în raport cu un plan, o axă sau un punct de simetrie

este egal cu zero [2]. Aceasta conduce la următoarea consecinţă:

Un sistem material care admite un plan, o axă sau un punct de simetrie are centrul de greutate

în acel plan, pe acea axă sau în acel punct.

Test de

autoevaluare 1

1. Poziţia centrului de greutate pentru un solid rigid se determină cu

relaţia:

a)

b)

c)

2. Enunţul ,,noţiunea de centru de masă cuprinde noţiunea de centru

de greutate” este:

a) adevărat;

b) fals.

3. Enunţaţi teorema momentelor statice.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

6.3. Centre de greutate pentru corpuri omogene

În cazul corpurilor omogene masa specifică μ este aceeaşi în toate punctele corpului (este

constantă). Masa specifică este masa unităţii de volum pentru corpuri de tip bloc, masa

unităţii de arie pentru corpuri de tip placă sau masa unităţii de lungime pentru corpuri de tip

bară.

Pentru bare omogene, masa specifică se poate exprima astfel:

Această relaţie arată că

raportul masă/lungime este

acelaşi indiferent de cât de

M, L

Fig. 6.3

Centre de greutate

Mecanica I 6

mare este partea corpului considerată (figura 6.2).

Rezultă:

Coordonatele centrului de greutate pentru un corp de tip bară sunt:

unde integralele se efectuează pe toată lungimea barei.

Pentru plăci omogene masa specifică ( numită şi densitate aparentă) se poate exprima astfel:

Rezultă:

Coordonatele centrului de greutate pentru un corp de tip placă sunt:

Pentru blocuri omogene masa specifică (numită şi densitate) se poate exprima astfel:

Rezultă:

Coordonatele centrului de greutate pentru un corp de tip bloc sunt:

Centre de greutate

Mecanica I 7

Se observă că în cazul corpurilor omogene se poate vorbi despre centre de greutate

geometrice, poziţia acestora depinzând doar de geometria corpurilor.

În cazul sistemelor de corpuri omogene alcătuite prin asamblarea unor corpuri simple uzuale,

definite geometric, cărora li se cunosc poziţiile centrelor de greutate în raport cu un sistem de

referinţă ales, relaţiile devin:

- pentru sisteme de bare omogene:

- pentru sisteme de plăci omogene:

- pentru sisteme de blocuri omogene:

6.4. Centre de greutate pentru corpuri simple uzuale

Se vor determina poziţiile centrelor de greutate pentru câteva corpuri utilizate mai des în

aplicaţii.

Bara rectilinie

Fie o bară rectilinie de lungime L. Deoarece bara

acceptă două axe de simetrie, centrul de greutate C

se va afla la intersecţia acestora (din figura 6.4).

Bara arc de cerc

Fie o bară în formă de arc de cerc, cerc având raza R şi centrul în O.

Lungimea arcului se poate exprima în funcţie de unghiul la centru:

L

L/2 L/2

A B C

Fig. 6.4

Centre de greutate

Mecanica I 8

, unghiul β exprimat în radiani.

Arcul de cerc admite ca axă de simetrie bisectoarea unghiului la centru (figura 6.5). Se va

considera axa Ox a sistemului de referinţă chiar axa de

simetrie. Rezultă că trebuie determinată doar coordonata

, coordonata fiind zero.

Pentru determinarea numărătorului se face schimbarea de

coordonate

unde unghiul θ variază de la – la .

Dezvoltând expresia lui se obţine:

Placa dreptunghiulară

Placa dreptunghiulară cu laturile b şi h acceptă

două axe de simetrie. La intersecţia acestora se află

centrul de greutate C (figura 6.6).

Placa triunghi dreptunghic

Pentru determinarea poziţiei centrului de greutate a unei plăci triunghi dreptughic se vor alege

axele sistemului de referinţă coliniare cu catetele acestuia. Deoarece triunghiul dreptunghic

are aceeaşi poziţie în raport cu ambele axe (o axă este paralelă cu o catetă şi perpendiculară pe

cealaltă) se va determina o singură coordonată ( ), cealaltă obţinându-se prin analogie.

O

A

B

y

x C

OC

β α

α

θ

dθ

Fig. 6.5

C

b

b/2 b/2

h

h/2

h/2

Fig. 6.6

Centre de greutate

Mecanica I 9

Se alege un element de arie

dreptunghiular cu lungimea

variabilă ( ) şi lăţimea

constantă cu care se

,,acoperă” triunghiul prin

deplasare pe verticală de la O la

h. Cum aria tinde către zero şi latura tinde de asemenea la zero, acest element

dreptunghiular de arie are o comportare de punct în raport cu axa Ox, deci calculul presupune

determinarea unei integrale simple. Aceasta este o urmare a faptului că s-a ales latura finită

a elementului elementar de arie paralelă cu axa în raport cu care determinăm coordonata

centrului de greutate. Mărimea laturii variabile se determină din asemănarea celor două

triunghiuri dreptunghice din figura 6.7. Astfel:

Se înlocuiesc termenii în integrală:

Prin analogie:

Se observă că centrul de greutate al unei plăci triunghi dreptunghic se află la o treime din

catetă în raport cu cealaltă catetă. Din punct de vedere geometric, centrul de greutate pentru o

asemenea placă se află la intersecţia medianelor.

Placa sector de cerc

Fie o placă sector de cerc cu raza R şi unghiul la centru β. Bisectoarea unghiului la centru este

axă de simetrie deci vom alege o axă a sistemului de referinţă chiar această bisectoare (figura

O

b

h

y h-y

x

y

dy

Fig. 6.7

b/3

h/3

C

Centre de greutate

Mecanica I 10

6.8). Ca şi la bara arc de cerc, se va determina distanţa de la centrul cercului la centrul de

greutate al sectorului de cerc (notată OC).

Numitorul este aria sectorului de cerc:

Pentru calculul numărătorului se va considera

elementul de arie (figura 6.8). Prin schimbarea

variabilelor (utilizând coordonatele polare şi ),

rezultă:

unde variază de la 0 la R iar variază de la ( )

la .

Variabilele sunt independente, deci putem rezolva această integrală separând variabilele şi

cunoscând că produsul acestor variabile în integrală conduce la produsul a două integrale

simple:

Poziţiile centrelor de greutate (notate cu C) pentru trei sectoare de cerc utilizate frecvent în

aplicaţii se prezintă în figura 6.9, unde are semnificaţia de excentricitate.

C e

O

C

O R

e

e

R C

O

Fig. 6.9

O

A

B

y

x C

OC

β α

α

θ

dθ

Fig. 6.8

dρ ρ

R

Centre de greutate

Mecanica I 11

Test de

autoevaluare 2

1. Pentru plăci omogene masa specifică se mai numeşte şi:

a) densitate;

b) densitate aparentă;

c) densitate de suprafaţă.

2. În cazul plăcilor alcătuite prin asamblarea unor plăci simple

uzuale, poziţia centrului de greutate este dată de expresiile:

a)

b)

c)

3. Enunţul ,,pentru o placă sector de cerc centrul de greutate se află

pe bisectoarea unghiului la centru” este:

a) adevărat;

b) fals.

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

6.5. Teoremele Pappus – Guldin

Teorema 1. Aria suprafeţei generată prin rotirea completă a unui arc de curbă plană şi

omogenă în jurul unei axe conţinută în planul său şi pe care nu o traversează, este egală cu

lungimea arcului de curbă înmulţită cu lungimea cercului descris de centrul său de masă

(figura 6.10.a).

Teorema 2. Volumul generat prin rotirea completă a unei suprafeţe plane şi omogene în jurul

unei axe conţinută în planul său şi pe care nu o intersectează este egal cu produsul dintre aria

suprafeţei şi lungimea cercului descris de centrul său de masă (figura 6.10.b).

Centre de greutate

Mecanica I 12

6.6. Centre de greutate pentru corpuri neomogene

De regulă, astfel de corpuri se obţin prin asamblarea unor corpuri omogene având mase

specifice diferite. În această situaţie, se împarte corpul în părţile sale omogene şi se determină

poziţiile centrelor de greutate pentru fiecare parte, definite de coordonatele , şi în

raport cu un sistem de referinţă ales. Coordonatele centrului de greutate al corpului neomogen

se vor determina cu relaţiile:

Pentru corpuri neomogene având masa specifică variabilă după o lege cunoscută,

coordonatele centrului de greutate se determină astfel:

C

L

a)

C

A

b)

) Fig. 6.10. Teoremele Pappus - Guldin

Centre de greutate

Mecanica I 13

Test de

autoevaluare 3

1. Enunţaţi prima teoremă Pappus – Guldin.

2. Relaţia ce exprimă cea de-a doua teoremă Pappus – Guldin este

, unde A este aria unei suprafeţe plane omogene şi

este raza cercului descris de centrul de masă al acestei suprafeţe.

Relaţia este:

a) adevărată;

b) falsă.

3. Pentru corpuri neomogene, coordonatele centrului de greutate se

determină cu relaţiile:

a)

b)

c)

Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la

finalul modulului.

Bibliografie modul

[1]. Hangan, S., Slătineanu, I., ,,Mecanică”, Editura Didactică şi

Pedagogică, Bucureşti, 1983, pag. 62-76 ;

[2]. Szolga, V., Szolga, A. M., ,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi

îndrumător de seminar. Partea I”, Editura Conspress, Bucureşti,

2003, pag. 51-61;

[3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R., ,,Mecanica Teoretică”,

Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 148-161.

Centre de greutate

Mecanica I 14

Rezumat modul

În acest modul s-au introdus noţiunile: centru de greutate, moment

static şi masă specifică.

S-au dezvoltat relaţiile de calcul pentru poziţia centrului de greutate

al unui corp omogen şi ale unui corp omogen compus din alte

corpuri omogene. S-a determinat poziţia centrului de greutate pentru

o serie de corpuri omogene uzuale.

Pentru calculul anumitor arii şi volume s-au enunţat teoremele

Pappus – Guldin. În finalul modulului s-a abordat problema

determinării poziţiei centrului de greutate pentru corpuri

neomogene.

Rezolvare

test de autoevaluare

1

1. c;

2. a;

3. Consultare aspecte teoretice pag. 4.

Rezolvare

test de autoevaluare

2

1. b;

2. c;

3. a.

Rezolvare

test de autoevaluare

3

1. Consultare aspecte teoretice pag. 11;

2. b;

3. c.