Curs Analiza numerica_ Anul I.pdf

UNIVERSITATEA DE STIINTE AGRONOMICE SI MEDICINA VETERINARA BUCURESTI

FACULTATEA DE IMBUNATATIRI FUNCIARE SI INGINERIA MEDIULUI

DEPARTAMENTUL DE INVATAMINT CU FRECVENTA REDUSA

ANALIZA NUMERICĂ

Note de curs

PROF. DR. ALEXE GHEORGHE

2013

Analiză Numerică

USAMVB – FIFIM Departamentul de Invăţământ cu Frecventa Redusa

1

Cuprins 1.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr.1 3 1.1 Sisteme de numeraţie 3 1.2 Reprezentarea unui număr într-o bază oarecare 4 1.3 Schimbarea bazei 5 1.4 Numere aproximative 6 1.5 Metode de rotunjire a numerelor 7

1.5.1 Normalizarea numerelor 8 1.5.2 Rotunjirea prin tăiere 8

1.5.3 Rotunjirea prin simetrie 10 1.6 Reprezentarea numerelor în memoria internă a calculatoarelor 12 1.6.1 Biţi, byte şi alte unităţi de măsură ale memoriei unui calculator electronic 12

1.6.2 Reprezentarea numerelor în virgulă fixă 12 1.6.3 Reprezentarea numerelor în virgulă mobilă 13

1.6.4 Aproximarea numerelor în calculatoarele electronice 13 1.7 O clasificare a erorilor 13 1.8 Aproximarea prin lipsă şi aproximarea prin adaos 14 1.9 Eroarea unei aproximaţii 14 1.10 Eroarea absolută 16 1.11 Eroarea absolută maximă 16 1.12 Eroarea absolută maximă la rotunjiri 17 1.12.1 Eroarea absolută maximă la rotunjirea prin tăiere 17 1.12.2 Eroarea absolută maximă la rotunjirea prin simetrie 19 1.13 Eroarea relativă 23 1.14 Eroarea relativă maximă 24 2.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 2 2.1 Soluţii exacte şi soluţii aproximative 2.2 Metode numerice 2.3 Formule de recurenţă 2.4 Calculul rădăcinii pătrate aproximative dintr-un număr pozitiv 3.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 3 3.1 O clasificare a ecuaţiilor neliniare 3.2 Metoda înjumătăţirii intervalelelor 3.3 Metoda lui Newton 3.4 Formule de recurenţă pentru calcul radicalilor de ordin n 4.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 4 4.1 Forma generală a unui sistem algebric neliniar de ecuaţii 4.2 Metoda aproximaţiilor successive 4.3 Metoda lui Newton 4.4 O metodă de gradient 4.5 Despre alegerea primei aproximaţii 5.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 5 5.1 Problemele lui Cauchy date ca exemple în această unitate 5.2 O clasificare a metodelor numerice pentru probleme de tip Cauchy 5.3 Despre consistenţa, stabilitatea şi convergenţa metodelor numerice 5.4 Ordinul unei metode numerice

Analiză Numerică


2

5.5 Stabilirea formulelor de recurenţă ale metodelor de tip Euler cu ajutorul ecuaţiilor integrale 5.6 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei de tip Euler cu ajutorul seriilor Taylor 5.7 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei lui Euler pe considerente geometrice 5.8 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei lui Euler îmbunătăţită 5.9 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei lui Euler modificată 5.10 Consistenţa, stabilitatea şi convergenţa metodelor de tip Euler 5.11 Ordinul metodelor de tip Euler 5.12 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 5.12.1 Utilizarea metodei lui Euler 5.12.2 Utilizarea metodei lui Euler îmbunătăţită 5.12.3 Utilizarea metodei lui Euler modificată 5.13 Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de ordin superior cu metode de tip Euler 5.14 Determinarea soluţiilor cu o precizie dată 5.15 Observaţii privind pasul reţelei

Analiză Numerică


3

Unitatea de învăţare nr. 1 Elemente de teoria erorilor Cuprins 1.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr.1 1.1 Sisteme de numeraţie 1.2 Reprezentarea unui număr într-o bază oarecare 1.3 Schimbarea bazei 1.4 Numere aproximative 1.5 Metode de rotunjire a numerelor

1.5.1 Normalizarea numerelor 1.5.2 Rotunjirea prin tăiere

1.5.3 Rotunjirea prin simetrie 1.6 Reprezentarea numerelor în memoria internă a calculatoarelor 1.6.1 Biţi, byte şi alte unităţi de măsură ale memoriei unui calculator electronic

1.6.2 Reprezentarea numerelor în virgulă fixă 1.6.3 Reprezentarea numerelor în virgulă mobilă 1.6.4 Aproximarea numerelor în calculatoarele electronice

1.7 O clasificare a erorilor 1.8 Aproximarea prin lipsă şi aproximarea prin adaos 1.9 Eroarea unei aproximaţii 1.10 Eroarea absolută 1.11 Eroarea absolută maximă 1.12 Eroarea absolută maximă la rotunjiri 1.12.1 Eroarea absolută maximă la rotunjirea prin tăiere 1.12.2 Eroarea absolută maximă la rotunjirea prin simetrie 1.13 Eroarea relativă 1.14 Eroarea relativă maximă

1.0. Obiectivele unităţii de învăţare nr. 1

Precizarea tipurilor de erori care apar în analiza numerică 1.1 Sisteme de numeraţie Omenirea a intuit importanţa numerelor încă din cele mai vechi timpuri. Babilonienii, chinezii,

egiptenii, grecii şi romanii reprezentau numerele cu ajutorul unor semne. Astfel, romanii utilizau semnele:

I pentru numărul unu V pentru numărul cinci X pentru numărul zece L pentru numărul cincizeci C pentru numărul o sută D pentru numărul cinci sute M pentru numărul o mie

Analiză Numerică


4

Operaţiile cu numere romane se fac destul de greu. Ca urmare, acest sistem de numeraţie se foloseşte rar.

Un moment, important în istoria civilizaţiei l-a jucat apariţia numerelor arabe, numere care utilizează semnele: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Aceste semne au fost preluate de arabi de la indieni. Sistemul de numeraţie arab este un sistem poziţional. De pildă, numărul 1987 se poate scrie sub forma: 3 2 1 01987 1 10 9 10 8 10 7 10 Scrierea aceasta ne permite să observăm că poziţiile cifrelor în număr sunt unice. Pe parcursul acestei cărţi vom folosi numai sistemul de numeraţie arab.

1.2 Reprezentarea unui număr într-o bază oarecare

Dacă b este un număr natural nenul şi 0 1 na ,a ,...,a sunt toate numerele naturale mai mici strict

decât b, atunci orice număr natural c se poate scrie în mod unic sub forma: m m 1 0

m m 1 0c=c b + c b +...+ c b

unde este semnul pentru înmulţire, iar i 0 1 nc { a , a ,..., a } pentru orice i { 0,1,...,m} şi mc 0 . Numărul b se numeşte baza sistemului de numeraţie, iar numărul c se scrie în mod unic sub forma: m m 1 0c=c c ....c Evident, numerele m m 1 0c ,c ,...,c sunt scrise în ordinea descrescătoare a puterilor bazei b.

Dacă b este un număr real nenul şi 0 1 na ,a ,...,a sunt numere naturale mai mici strict decât b, atunci pentru orice număr real c 1 putem scrie:

m m 1 0 -1 2m m 1 0 1 2c=c b + c b +...+ c b c b c b ...

unde x este semnul pentru înmulţire, iar i 0 1 nc {a , a ,..., a } pentru orice i {m,m 1,...,0, 1, 2,...} şi

mc 0 . Această relaţie este valabilă şi pentru orice număr real c subunitar pozitiv. În acest caz valoarea lui m este 0. Numărul real b care apare în reprezentarea de înainte se numeşte şi acum baza sistemului de numeraţie. În acest sistem numărul c se scrie sub forma:

m m 1 0 1 2c=c c ...c .c c ...

Aici este pus în evidenţă faptul că numărul se poate scrie cu o infinitate de zecimale. În reprezentarea numărului c am folosit punctul în locul virgulei zecimale. Acest mod de scriere îl vom folosi pe tot parcursul acestei cărţi.

Ca prim exemplu considerăm numărul 269.08 . El este un număr scris în baza 10. Pentru el avem reprezentarea:

Analiză Numerică


5

2 1 0 -1 -2269.08=2 10 + 6 10 + 9 10 + 0 10 + 8 10 Considerăm acum numărul 2 . Aşa cum ştim, numărul 2 are o infinitate de cifre

2 1.1421... . Acest număr se poate reprezenta sub forma:

0 1 2 3 42=1 10 + 1 10 +4 10 + 2 10 + 1 10 +... Valoarea fracţiei 1/ 3 este un număr cu o infinitate de zecimale 0,33... . Acum putem scrie reprezentarea: 0 1 21/3=0 10 + 3 10 + 3 10 +... Orice număr raţional se poate scrie sub formă de număr cu o infinitate de cifre. De pildă, numărul: 0.35 îl putem scrie sub forma: 0.34999... deoarece: 0 1 2 3 40.34999...=0 10 + 3 10 + 4 10 +9(1 10 +1 10 +...) iar suma progresiei geometrice din paranteză este egală cu -210 / 9 . Un rol important în informatică îl au sistemele de numeraţie cu bazele 2, 8 şi 16. Aceste sisteme sunt numite sistemul de numeraţie binar, octal şi, respectiv, hexazecimal. Sistemul de numeraţie binar foloseşte cifrele 0 şi 1, sistemul de numeraţie octal foloseşte cifrele 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 şi 7, iar sistemul de numeraţie hexazecimal foloseşte cifrele 0, 1, 2, …, 9 şi literele a, b, c, d, e şi f. Literele a, b, c, d, e şi f reprezintă numerele 10, 11, 12, 13, 14 şi, respectiv, 15.

1.3 Schimbarea bazei Un număr scris într-un sistem de numeraţie se poate scrie uşor în alt sistem de numeraţie. Este bine să ştim că la schimbarea bazei se pot produce inexactităţi care conduc la erori grave dacă nu se ţine seama de existenţa lor. Pentru a evita unele confuzii, baza în care este scris un număr o vom ataşa acestuia sub forma de indice. De pildă, prin notaţiile 10546 , 8546 şi 16546 precizăm că numărul 546 este scris în bazele 10, 8 şi, respectiv, 16. Trecerea unui număr dintr-un sistem de numeraţie cu baza b10 în sistemul de numeraţie zecimal se face imediat. De pildă, numărul 161d se poate scrie sub forma: 1 0

161d =1 16 +13 16 =29 Prin urmare:

16 101d =29

Analiză Numerică


6

Trecerea unui număr întreg din sistemul de numeraţie zecimal într-un sistem de numeraţie cu baza b 0 se face prin împărţiri succesive la b. Mai întâi, se împarte numărul dat la b şi se reţine restul acestei împărţiri. Câtul de la această primă împărţire se împarte din nou la b şi se reţine noul rest. Aceste împărţiri se repetă până când se obţine un cât mai mic decât baza. Resturile obţinute pe parcursul calculelor, scrise în ordinea inversă a obţinerii lor, formează reprezentarea numărului dat în baza aleasă. Ca exemplu, considerăm numărul 1029 . Trecerea acestui număr în baza 2 se face pe baza relaţiilor:

29 14 2 1; 14 7 2 0 ; 7 3 2 1 ; 3 1 2 1 ; 1 0 2 1 ;

Prin urmare:

10 229 11101 Trecerea unui număr subunitar din sistemul de numeraţie zecimal într-un sistem de numeraţie cu o bază b 0 se face prin înmulţiri repetate cu b. După prima înmulţire a numărului cu b se reţine partea întreagă a rezultatului, iar partea fracţionară se înmulţeşte din nou cu b. Calculele se repetă în acest fel până când după o înmulţire se obţine un număr întreg sau se constată o periodicitate în rezultate. Ca exemplu, considerăm numărul 100.2 . Trecerea acestui număr în baza 2 se face pe baza relaţiilor:

0.2 2 0.4 ; 0.4 2 0.8 ;

0.8 2 1.6 ; 0.6 2 1.2 ; 0.2 2 0.4 ;

În acest caz înmulţirile pot continua indefinit. Prin urmare:

10 20.2 0,00110011... Aşadar numărului 100.2 îi corespunde în baza 2 un număr cu o infinitate de cifre. Evident, dacă ne

oprim la un număr finit de cifre, atunci avem un număr care este o aproximaţie a numărului 100.2 . 1.4 Numere aproximative Este bine ştiut că în ştiinţele naturii şi ştiinţele inginereşti sunt elaborate modele matematice care descriu cantitativ fenomemele studiate. Cu aceste modele se determină evoluţia în timp a fenomenelor. Coeficienţii care apar în modele se determină prin măsurare.

Primele unităţi de măsură folosite în antichitate au fost cele pentru măsurarea lungimilor. Ca unităţi de măsură ale lungimii se foloseau unele părţi ale corpului. Dintre acestea menţionăm cotul, care reprezenta distanţa de la cot până la încheietura palmei şi stănjenul care reprezenta lungimea dintre

Analiză Numerică


7

vârfurile degetelor mâinilor întinse lateral. Etalonul pentru lungimi a fost confecţionat în 1801. Acest etalon se păstrează la Sévres, lângă

Paris. Metrul etalon reprezintă a 40000000 parte din lungimea meridianului care trece prin Paris. Această lungime a fost determinată în 1790 de renumiţii geodezi Delambre şi Mechain. La Conferinţa generală de măsuri şi greutăţi din 1960 metrul etalon a fost definit ca fiind egal cu 1650763.73 lungimi de undă din vid ale radiaţiei portocalii emisă de gazul radioactiv Kripton 84.

După război, la noi în mediul rural, se mai folosea cotul şi stâjenul. În Moldova cotul standard avea 0.637 m, iar în Muntenia 0.664 m. Lungimea stânjenului a variat după epocă şi regiune între 1.966 m şi 2.296 m. Stâjenul introdus în Muntenia avea 1.966 m, iar stânjenul introdus în Moldova avea 2.02 m. În Moldova s-a mai folosit şi stânjenul de 2.23. S-a mai folosit şi stânjenul pescăresc cu o lungime de 1.5 m şi stâjenul marin cu o lungime de 1.83 m. Au fost perioade când pentru recunoaşterea terenurilor se utiliza ca unitate de măsură pasul omului considerat a fi de 0.80 m. Pentru măsurarea terenului s-a folosit şi prăjina cu o lungime care varia între şi 5 şi 7 m. Este clar că prin măsurare nu se obţin valorile exacte ale mărimilor măsurate. Rezultatele măsurătorilor depind de precizia aparatelor folosite, de condţiile meteorologice, de nivelul de pregătire al persoanei care face măsurătorile, etc. De pildă, la măsurarea cu panglica de 50 m se recomandă o corecţie bazată pe o formulă în care parametrii principali sunt distanţa măsurată, temperatura la care s-a efectuat măsurarea şi temperatura de etalonare a panglicii. De multe ori pentru a determina valoarea unui parametru se fac mai multe măsurători. În acest fel se obţine un şir de valori 1 2 nx ,x ,...,x şi se ia ca valoare a parametrului măsurat media aritmetică x definită de relaţia:

1 2 nx x ... xx

n

Formula de calcul a mediei aritmetice x este determinată cu metoda celor mai mici pătrate. Mai exact, se determină valoarea lui x astfel ca suma de pătrate:

2 2 21 2 nS(x) ( x x ) ( x x ) .... ( x x )

să aibă valoarea minimă. Măsurătorile introduc o serie de erori numite erori aleatoare. Studierea erorilor de măsurare se poate face cu metode specifice teoriei probabilităţilor. Această teorie dispune de metode care permit determinarea numărului de măsurători pentru a obţine o precizie acceptabilă. Din cele prezentate mai sus deducem că valorile unor parametri care apar în modelele matematice ale fenomenelor studiate nu sunt valori exacte. Aceste valori se numesc valori aproximative. De aceea, numerele asociate acestor parametri prin măsurători se numesc numere aproximative. Modelele matematice în care apar numere aproximative conduc prin calcule tot la numere aproximative. Orice calcul aproximativ necesită cunoaşterea precizei rezultatelor. Pentru a obţine rezultate cât mai precise se impune să utilizăm ca valori ale parametrilor care intervin în modele numere cu o precizie cât mai mare. Nu trebuie nici să exagerăm cu precizia valorilor parametrilor. Este posibil ca o precizie mare să ducă la cheltuieli prea mari. 1.5 Metode de rotunjire a numerelor În multe calcule inginereşti nu este necesară a precizie prea mare. De aceea, numerele obţinute din măsurători sau din calcule se rotunjesc de cele mai multe ori. Rotunjirea numerelor se face prin două metode care sunt cunoscute sub denumirile de rotunjire prin tăiere şi rotunjire prin simetrie. Prin rotunjirea unui număr real x obţinem un alt număr real x . Numărul real x reprezintă o aproximaţie

Analiză Numerică


8

a numărului real x. Prin urmare, x este un număr aproximativ. Pentru a prezenta aceste metode vom folosi forma normalizată a unui număr real scris în baza 10.

1.5.1 Normalizarea numerelor Normalizarea unui număr real x este un procedeu prin care numărul se scrie sub forma: ex f 10 unde f este un număr subunitar, numit mantisă, care are prima zecimală nenulă, iar e este un număr întreg numit exponent. De obicei, secvenţa ef 10 se numeşte forma normalizată a numărului x. Ca exemple, considerăm numerele:

235.61, 783, 0.00342 Aceste numere se scriu sub forma normalizată:

30.23561 10 , 30.783 10 , 20.342 10

Şi aici în locul virgulei zecimale am folosit punctul. În secţiunile următoare presupunem că x este un număr real care poate avea o infinitate de zecimale: m m 1 0 1 2 nx c c ...c .c c ...c ...

cu mc 0 . Acest număr îl scriem sub forma normalizată:

x= m 1

1 2 k k 1 m n+10.a a ...a a ...a ... 10

în care: 1 ma c , 2 m 1a c , …, m 1 0a c , m 2 1a c , …, m n 1 na c

1.5.2 Rotunjirea prin tăiere Rotunjirea prin tăiere păstrează primele k cifre ale mantisei din forma normalizată x= m 1

1 2 k k 1 m n+10.a a ...a a ...a ... 10 . Prin urmare, numărul x se aproximează cu numărul:

m 1

1 2 kx 0.a a ...a 10

Ca exemplu, considerăm numărul: x 59.14763 care se scrie sub forma normalizată: 2x 0.5914763 10

Analiză Numerică


9

Ne propunem să păstrăm primele cinci cifre ale mantisei. Ca urmare, aproximaţia x va fi: 2x 0.59147 10 care se scrie uzual sub forma: x 59.147 Tot ca exemplu considerăm şi numărul: x 68359.14 care se scrie sub forma normalizată: 5x 0.6835914 10 Ne propunem să păstrăm primele două cifre ale mantisei. Ca urmare, aproximaţia x va fi: 5x 0.68 10 care se scrie uzual sub forma: x 68000 Considerăm acum numărul . Aşa cum ştim, este un număr cu o infinitate de zecimale:

=3.1415926535... Acest număr se scrie sub forma normalizată:

1=0.31415926535... 10 Ne propunem să păstrăm primele patru cifre ale mantisei. Ca urmare, aproximaţia va fi: 1=0.3141 10 care se scrie uzual sub forma: =3.141 Mai dăm un exemplu. Aşa cum am văzut în secţiunea 1.3 numărul 0.2 se exprimă în baza doi cu o infinitate de zecimale: 10 20.2 0.00110011...

Evident, dacă în membrul drept ne oprim la un număr finit de cifre, atunci avem un număr care este o aproximare a numărului 100.2 . Numerele aproximative care se obţin în acest fel sunt cu atât mai

apropiate de 0.2 cu cât numărul de cifre reţinute este mai mare. Vom nota cu 1x , 2 8x ,...,x aproximaţiile

numărului 0.2 care se obţin reţinând din numărul 20.00110011... prima cifră de după punct, a doua

Analiză Numerică


10

cifră de după punct şi aşa mai departe. Prin calcul direct se constată că: 1x 0 , 2x 0 , 3x 0.125

4x 0.1875 , 5x 0.1875 , 6x 0.1875

7x 0.1953125 , 8x 0.19921875

De pilldă, pentru a determina valoarea 8x 0.19921875 am făcut calculele:

3 4 7 80.00110011 1 2 1 2 1 2 1 2 sau:

0.00110011 0.125 0.0625 0.0078125 0.00390625 0.19921875

Denumirea mai potrivită a rotunjirii prin tăiere este rotunjirea prin trunchiere. Această denumire a fost rezervată altei rotunjiri. Este vorba de trunchieri care se fac dezvoltărilor în serie Taylor ale unor funcţii elementare.

1.5.3 Rotunjirea prin simetrie Rotunjirea prin simetrie este rotunjirea pe care o facem uzual. Pentru a prezenta modul în care se face această rotunjire scriem numărul x sub forma:

m 1 m 1 k m 1 m 1 k1 2 k k 1 x xx 0.a a ...a 10 0.a ... 10 f 10 g 10

unde:

m 1 m 1 kx 1 2 k x k 1f 0.a a ...a 10 , g 0.a ... 10

Aproximarea care foloseşte rotunjirea prin simetrie se face folosind relaţia:

m 1x x

m 1 m 1 kx x

f 10 , dacă g 1/ 2x

f 10 10 dacă g 1/ 2

Această relaţie se exprimă simplu în cuvinte: dacă prima cifră neglijată este mai mică decât 5, atunci se lasă nemodificată ultima cifră păstrată, iar dacă prima cifră neglijată este mai mare sau egală cu 5, atunci se măreşte cu unu ultima cifră păstrată. Ca exemplu, considerăm numărul: x 59.14763 care se scrie normalizat sub forma: 2x 0.5914763 10 Ne propunem să păstrăm primele 5 cifre ale mantisei. Ca urmare, aproximaţia x va fi: 2x 0.59148 10

Analiză Numerică


11

care se scrie sub forma uzuală: x 59.148 Tot ca exemplu considerăm şi numărul: x 68359.14 care se scrie sub forma normalizată: 5x 0.6835914 10 Ne propunem să păstrăm primele 4 cifre ale mantisei. Ca urmare, aproximaţia x va fi: 5x 0.6836 10 care se scrie sub forma uzuală: x 68360

Considerăm acum numărul:


1=0.31415926535... 10 Ne propunem să păstrăm primele patru cifre ale mantisei. Ca urmare, aproximaţia va fi: 1=0.3142 10 care se scrie sub forma uzuală: =3.142 În exemplele pe care le-am dat primele k-1 cifre reţinute în numerele aproximative x coincid cu cifrele corespunzătoare ale numerelor aproximate x. Acest fapt nu are loc însă în general. Ca un contraexemplu. considerăm numărul: x 6349.999 care se scrie sub forma normalizată: 4x 0.6349999 10 Dacă păstrăm primele cinci cifre ale mantisei, atunci: 4x 0.63500 10

Analiză Numerică


12

care se scrie sub forma uzuală: x 6350

1.6 Reprezentarea numerelor în memoria internă a calculatoarelor 1.6.1 Biţi, byte şi alte unităţi de măsură a memoriei unui calculator electronic Calculatoarele efectuează operaţii cu informaţii codificate în şiruri formate din cifrele 0 şi 1. Aceste cifre se numesc biţi. Codificarea datelor şi programelor de prelucrare a lor în succesiuni de biţi se face automat de calculator. Denumirea de bit provine din cuvintele englezeşti binary digit(=cifră binară). Bitul este cea mai mică unitate de măsură a informaţiei. Un multiplu al acestei unităţi de măsură a informaţiei este byteul. Un byte(se citeşte bait) este format din opt biţi. Pentru a elimina pericolul unor confuzii, specialiştii francezi au introdus denumirea de octet. Aşadar:

1 byte = 1 octet = 8 biţi De obicei, pentru volumele mari de informaţii se folosesc multiplii octetului. Aceştia sunt: 1Ko( kilooctet ) = 102 octeţi = 1024 octeţi 1Mo( megaoctet ) = 202 octeţi = 1024 Ko 1Go( gigaoctet ) = 302 octeţi = 1024 Mo Unităţile de măsură precizate aici se utilizează, de regulă, pentru a specifica dimensiunile memoriei interne şi ale suporţilor externi de informaţii.

1.6.2 Reprezentarea numerelor în virgulă fixă

Numerele întregi se memorează în 8 biţi, 16 biţi, 32 biţi sau 64 de biţi. Este clar că în 8 biţi se pot înregistra numere întregi mici, în timp ce în 16 biţi, în 32 biţi sau în 64 de biţi se pot înregistra numere întregi mai mari. Pentru a prezenta mecanismul prin care se înregistrează numerele întregi în calculatoare ne vom referi la numerele care se pot memora în 8 biţi. Folosind 8 biţi putem înregistra numerele 0, 1, 2, …, 255, adică primele 256 numere naturale (256=28). Numerele naturale din intervalul [0, 255] se pot pune în corespondenţă cu numerele întregi din intervalul [-128, 127], sau, altfel scris, [-27, 27-1]. În adevăr, dacă a este un număr întreg din intervalul [-128, 127], atunci lui i se poate asocia un număr natural b din intervalul [0, 255] definit astfel:

ba dacã a

a dacã a

0

2 08

Numărul b se numeşte codul complementar al numărului a. Evident codurile complementare ale numerelor -128, -127, …, -1 sunt, respectiv, numerele 128, 129, …, 255. Prin urmare, folosind codurile putem memora în 8 biţi orice număr întreg din intervalul [-128, 127]. Numărul 127 se reprezintă în baza 2 sub forma 21111111 . Aşadar, acest număr se reprezintă

pe 8 biţi prin secvenţa 01111111. Numărul 128 şi toate care urmează până la 255 au în prima poziţie a reprezentării pe 8 biţi numărul 1. Prin urmare, numerele 0, 1,…, 127 au cifra 0 în prima poziţie a reprezentării lor binare pe 8 biţi, iar numerele negative -128, -127, …,-1 au cifra 1 pe prima poziţie a reprezentării lor binare pe 8 biţi. Forma de reprezentare a numerelor întregi în memoria calculatoarelor, pe care am expus-o aici,

Analiză Numerică


13

se numeşte reprezentare în virgulă fixă. În această reprezentare, virgula nu este prezentă. Poziţia virgulei se subînţelege a fi într-o poziţie fixă, după ultima cifră a numărului.

1.6.3 Reprezentarea numerelor în virgulă mobilă

Aşa cum am văzut, un număr real x se poate scrie sub forma normalizată: ex f 10 unde f este un număr subunitar, numit mantisă, care are prima zecimală nenulă, iar e este un număr întreg numit exponent.

Este clar că nu orice număr real se poate reprezenta în memoria calculatoarelor în forma cu mantisă şi exponent. De fapt, un număr real care are un număr mare de cifre se aproximează printr-un număr real apropiat care se poate memora în forma cu mantisă şi exponent. Precizia este determinată de numărul de cifre ale mantisei, iar ordinul de mărime al numărului este dat de exponent.

Numerele reale se înregistrează în memoria calculatoarelor în 32 de biţi sau 64 de biţi. Unul din aceşti biţi este rezervat semnului, iar ceilalţi biţi sunt rezervaţi mantisei şi exponentului. Dacă un număr este memorat în 32 sau 64 de biţi, atunci mantisei îi sunt rezervaţi 23 biţi sau, respectiv, 52 de biţi, iar exponentului îi sunt rezervaţi 8 sau, respectiv, 11 biţi. Evident, numerele care se reprezintă în 64 de biţi sunt mai mari şi precizia cu care se reprezintă este mai mare. Dacă ţinem seama că echivalentul binar al unui număr zecimal are de 3,3 ori mai multe cifre, deducem că numerele reale care se reprezintă în 32 de biţi au aproximativ 7 cifre exacte, iar numerele reale care se reprezintă în 64 de biţi au aproximativ 16 cifre exacte. Aşadar, precizia numerelor reale care se reprezintă în 64 de biţi este de două ori şi ceva mai mare faţă de precizia numerelor reale care se reprezintă în 32 de biţi. De aceea, numerele reale care se reprezintă în 32 de biţi se numesc numere în virgulă mobilă cu precizie simplă, iar cele care se reprezintă în 64 de biţi se numesc numere în virgulă mobilă cu precizie dublă.

1.6.4 Aproximarea numerelor în calculatoarele electronice

Calculatoarele electronice efectueaază calculele cu numerele scrise, de regulă, în baza 2.

Trecerea de la baza 10 la baza 2 şi invers este făcută automat de calculator. Aşa cum am văzut, la trecerea dintr-o bază în alta se produc anumite aproximări.

Proiectanţii de calculatoare au avut două opţiuni pentru rotunjirea numerelor rezultate în urma efectuării calculelor: rotunjirea prin tăiere şi rotunjirea prin simetrie. Rotunjirea prin simetrie asigură o precizie mai mare a calculelor, dar necesită mai mult timp de calcul. De aceea, mulţi proiectanţi au adoptat rotunjirea prin tăiere care asigură o precizie suficient de bună a calculelor numerice într-un timp de calcul scăzut. . 1.7 O clasificare a erorilor Literatura de specialitate conţine diferite clasificări ale erorilor care apar la rezolvarea problemelor din ştiinţele naturii şi ştiinţele inginereşti. Principalele clase de erori sunt: - erori iniţiale - erori de calcul Clasa erorilor iniţiale cuprinde erorile datorate modelării matematice necorespunzătoare sau determinării greşite a valorilor parametrilor care apar în modelul matematic al fenomenului studiat. Evident, aceste erori influenţează rezultatele calculculelor. Este posibil ca erorile iniţiale să conducă le rezultate care contravin realităţii. Dintre erorile care conduc la valori greşite ale parametrilor problemelor care trebuie rezolvate

Analiză Numerică


14

menţionăm erorile grosolane şi erorile sistematice. Erorile grosolane sunt provocate de persoana care efectuează măsurătorile. Este posibil ca asemenea erori să fie cauzate de neatenţie, nivelul redus de calificare, etc. De obicei, erorile grosolane se elimină chiar din perioada măsurătorilor. Erorile sistematice sunt provocate de diferite cauze. Dintre acestea menţionăm condiţiile meteorologice. Aşa cum am spus în una din secţiunile anterioare, dacă se face o măsurătoare terestră cu panglica de 50 m la o temperatură diferită de temperatura de etalonare a panglicii, care este temperatura de 25 de grade Celsius, atunci lungimii obţinute i se aplică o corecţie. Clasa erorilor de calcul este cea care ne interesează în această carte. Această clasă include, în principal, erorile de trunchiere şi erorile de rotunjire. La aceste tipuri de erori ne vom referi în secţiunile următoare. 1.8 Aproximarea prin lipsă şi aproximarea prin adaos Fie un număr real x şi o aproximaţie a sa x . Dacă:

x x

atunci se spune că aproximarea lui x s-a făcut prin adaos, iar dacă:

x x atunci se spune că aproximarea lui x s-a făcut prin lipsă. De obicei, dacă x este un număr care aproximează pe x prin lipsă sau adaos, atunci se foloseşte notaţia: x x Este clar că un număr x se poate aproxima cu orice număr real x .

Ca exemplu, considerăm numărul:

=3.1415926535... Este clar că aproximaţia: =3.142 este o aproximaţie prin adaos, iar aproximaţia:

=3.141 este o aproximaţie prin lipsă.

1.9 Eroarea unei aproximaţii

Fie x un număr real şi x o aproximaţie a sa. Diferenţa:

xa x x

se numeşte eroarea aproximaţiei x . Ca exemplu, considerăm numărul real: x 59.14763

Analiză Numerică


15

Dacă alegem aproximaţia: x 59.147 obţinută la rotunjirea prin tăiere a ultimilor două zecimale ale formei normalizate a numărului, atunci: xa x x 59.14763 59.147 0.00063

iar dacă facem rotunjirea prin simetrie cu reţinerea primelor cinci zecimale din forma normalizată a numărului, atunci: x 59.148 şi: xa x x 59.14763 59.148 0.00037

Considerăm acum numărul: =3.1415926535...

Dacă alegem aproximaţia: 3.142 atunci:

xa 3.1415926535... 3.142 0.0004073465...

iar dacă luăm aproximaţia: 3.141 atunci:

xa 3.1415926535... 3.141 0.0005926535...

Evident, prima aproximaţie este prin adaos, iar a doua este o aproximaţie prin lipsă. Mai considerăm şi aproximaţiile numărului 0.2 pe care le-am calculat în secţiunea 1.5.2. Erorile acestor aproximaţii sunt: 1

xa 0.2 , 2xa 0.2 , 3

xa 0.075

4xa 0.0125 , 5

xa 0.0125 , 6xa 0.0125

7xa 0.0046875 , 8

xa 0.00078125

Eroarea cea mai mică, dintre cele calculate, este ultima.

Analiză Numerică


16

1.10 Eroarea absolută Pentru a aprecia mai uşor precizia aproximărilor se foloseşte eroarea absolută. Ca şi înainte, presupunem că x este un număr real şi x o aproximaţie a sa. Numărul real xe definit de relaţia:

xe | x x |

se numeşte eroare absolută a aproximaţiei x . Eroarea absolută a aproximaţiei numărului: x 59.14763 cu numărul: x 59.147 este: 1

xe 0.00063

iar eroarea absolută a aproximaţiei numărului: x 59.14763 cu numărul: x 59.148 este: 2

xe 0.00037

Prin urmare, eroarea absolută comisă la rotunjirea prin lipsă este de aproape două ori mai mare decât eroarea absolută comisă la rotunjirea prin simetrie.

Mai considerăm şi aproximaţiile numărului 0.2 pe care le-am calculat în secţiunea 1.5.2. Erorile absolute ale acestor aproximaţii sunt: 1

xe 0.2 2xe 0.2 3

xe 0.075

4xe 0.0125 5

xe 0.0125 6xe 0.0125

7xe 0.0046875 8

xe 0.00078125

Evident, erorile absolute coincid cu erorile calculate în secţiunea anterioară. 1.11 Eroarea absolută maximă

În secţiunea anterioară am determinat eroarea absolută comisă la aproximarea unor numere cu alte numere determinate după regulile precizate la rotunjirea prin tăiere şi la rotunjirea prin simetrie. Aşa cum ştim, prin măsurători se obţin valori aproximative ale mărimilor reale. Prin urmare, valorile exacte ale mărimilor măsurate nu sunt cunoscute. De aceea, nici eroarea absolută nu se poate determina.

Analiză Numerică


17

Manualele de utilizare ale instrumentelor cu care se fac măsurători conţin preciziile de măsurare pe care le asigură. De pildă, dacă un instrument de măsurare a lungimilor are o precizie de 5 mm, atunci ştim că eroarea absolută poate fi de cel mult 5mm. În teoria erorilor se foloseşte noţiunea de eroare absolută maximă. Această mărime notată cu xe reprezintă cel mai mic număr pentru care este valabilă relaţia:

x x| x x | e e

Prin urmare: x xx e x x e

Ultimele inegalităţi precizează intervalul în care se află valoarea exactă, dar necunoscută, a lui x.

1.12 Eroarea absolută maximă la rotunjiri Considerăm numărul:

m m 1 0 1 2 nx c c ...c .c c ...c ...

cu mc 0 . Acest număr îl scriem sub forma normalizată:

x= m 1

1 2 k k 1 m n+10.a a ...a a ...a ... 10

în care: 1 ma c , 2 m 1a c , …, m 1 0a c , m 2 1a c , …, m n 1 na c

Numărul x se poate scrie şi sub forma:

m 1 m 1 k1 2 k k 1 k 2 m n+1x 0.a a ...a 10 0.a a ...a ... 10

pe care o vom utiliza în secţiunile următoare. 1.12.1 Eroarea absolută maximă la rotunjirea prin tăiere La rotunjirea prin tăiere se păstrează primele k cifre ale mantisei din forma normalizată x= m 1

1 2 k k 1 m n+10.a a ...a a ...a ... 10 . Prin urmare, numărul:

x= m 1

1 2 k k 1 m n+10.a a ...a a ...a ... 10

se aproximează cu numărul:

m 11 2 kx 0.a a ...a 10

În consecinţă, eroarea absolută este:

Analiză Numerică


18

m 1 kx k 1 k 2 m n 1e | x x | 0.a a ...a ... 10

Aşadar: m 1 k

xe 10

adică eroarea absolută maximă este: m 1 k

xe 10

Evident, eroarea absolută maximă depinde de rangul k al ultimei cifre păstrate. Ca exemplu, considerăm numărul: x 59.14763 care se scrie sub forma normalizată: 2x 0.5914763 10 Din acest număr păstrăm primele cinci zecimale ale mantisei. Aşadar, aproximaţia x va fi: 2x 0.59147 10 care se scrie uzual sub forma: x 59.147 Prin urmare: 3 m 1 k

xe | 59.14763 59.147 | 0.00063 0.001 10 10

cu: m 1 , k 5 Tot ca exemplu considerăm şi numărul: x 68359.14 care se scrie sub forma normalizată: 5x 0.6835914 10 Din acest număr păstrăm primele două zecimale ale mantisei. Aşadar, aproximaţia x va fi: 5x 0.68 10 care se scrie uzual sub forma:

Analiză Numerică


19

x 68000 Prin urmare:

3 m 1 kxe | 68359.14 68000 | 359.14 10 10

cu: m 4 , k 2 Considerăm acum numărul:


1=0.31415926535... 10 Din acest număr păstrăm primele patru zecimale ale mantisei. Aşadar, aproximaţia va fi: =0.3141 10 care se scrie uzual sub forma: =3.141

Prin urmare:

3 m 1 kxe | 3.1415926535... 3.141 | 0.0005926535 10 10

cu: m 0 , k 4 1.12.2 Eroarea absolută maximă la rotunjirea prin simetrie

La rotunjirea prin simetrie numărul x s scrie sub forma:

m 1 m 1 k m 1 m 1 k1 2 k k 1 x xx 0.a a ...a 10 0.a ... 10 f 10 g 10

Aproximarea care foloseşte rotunjirea prin simetrie se face folosind relaţia:

m 1

x xm 1 m 1 k

x x

f 10 , dacă g 1/ 2x

f 10 10 dacă g 1/ 2

Dacă prima cifră neglijată este mai mică decât 5, atunci se lasă nemodificată ultima cifră păstrată, iar dacă prima cifră neglijată este mai mare sau egală cu 5, atunci se măreşte cu 1 ultima cifră păstrată.

În consecinţă, eroarea absolută este:

Analiză Numerică


20

m 1 k

x xx m 1 k

x x

g 10 , dacă g 1/ 2e

(1 g ) 10 dacă g 1/ 2

Aşadar:

m 1 kx

1e 10

2

adică eroarea absolută maximă este:

m 1 kx

1e 10

2

Evident, eroarea absolută maximă depinde de rangul k al ultimei cifre păstrate. Ca exemplu, considerăm numărul: x 59.14763 care se scrie normalizat sub forma: 2x 0.5914763 10 Din acest număr păstrăm primele cinci cifre ale mantisei. Aşadar, aproximaţia x va fi: 2x 0.59148 10 care se scrie uzual sub forma: x 59.148 Evident, putem scrie: x 59.14763 59.147 0.00063 59.148 0.001 0.00063 adică: x x 0.001 0.00063 Ca urmare:

3 m 1 kx

1 1e | 0.001 0.00063 | | 0.001 0.0005 | 0.0005 10 10

2 2

cu: m 1 , k 5 Tot ca exemplu considerăm şi numărul:

Analiză Numerică


21

x 68359.14 care se scrie sub forma normalizată: 5x 0.6835914 10 Din acest număr păstrăm primele două zecimale ale mantisei. Aşadar, aproximaţia x va fi: 5x 0.68 10 care se scrie sub forma uzuală: x 68000 Evident, putem scrie: x 68359.14 68000 359.14 x 359.14 Ca urmare:

3 m 1 kx

1 1e 359.14 500 10 10

2 2

cu: m 4 , k 2

Considerăm acum numărul:


1=0.31415926535... 10 Din acest număr păstrăm primele patru cifre ale mantisei. Aşadar, aproximaţia va fi: 1=0.3142 10 care se scrie sub forma uzuală: =3.142 Evident, putem scrie: =3.1415926535... 3.141 0.0005926535 sau: =3.142 0.001 0.0005926535...

Analiză Numerică


22

adică: x x 0.001 0.0005926535... Ca urmare: xe | 0.001 0.0005926535 | | 0.001 0.0005 | sau:

3 m 1 kx

1 1e 0.0005 10 10

2 2

cu: m 0 , k 4 În fine, mai considerăm şi numărul: x 6349.999 care se scrie sub forma normalizată: 4x 0.6349999 10 Dacă păstrăm primele cinci cifre ale mantisei, atunci: 4x 0.63500 10 care se scrie sub forma uzuală: x 6350 Evident, putem scrie: x=6349.999 6349.9 0.099 6350 0.1 0.099 adică: x x 0.1 0.099 Ca urmare: xe | 0.1 0.099 | | 0.1 0.05 | sau:

1 m 1 kx

1 1e 0.05 10 10

2 2

Analiză Numerică


23

cu: m 3 , k 5

1.13 Eroarea relativă

Presupunem că lungimile laturilor unui teren de formă dreptunghiulară sunt: a 10m şi: b 1000m Admitem că după măsurătorile efectuate s-au obţinut valorile aproximative: a 9.99m şi, respectiv: b 999.9m Este clar că eroarea absolută comisă la măsurarea laturii a este: a 0.01m 10mm iar eroarea absolută comisă la măsurarea laturii b este: b 0.1m 100mm Aşa cum observăm, eroarea absolută comisă la măsurarea laturii a este de 10 ori mai mică decât eroarea absolută comisă la măsurarea laturii b. Măsurătoarea laturii b este însă mai bună. În adevăr, în cazul măsurării laturii b la fiecare 1000 m măsuraţi s-a comis o eroare de 100 mm. Prin urmare, în cazul măsurării laturii b la fiecare 10 m măsuraţi s-a comis o eroare de 1mm, în timp ce în cazul măsurării lalurii a la cei 10 m măsuraţi s-a comis o eroare de 10 mm adică o eroare de 10 ori mai mare. Aşadar, eroarea absolută nu este o noţiune pe care să o putem folosi la precizia măsurătorilor. Pentru aceasta se foloseşte altă noţiune, eroarea relativă. Eroarea relativă care se comite la aproximarea unui număr x cu o aproximaţie a sa x se notează cu x şi se defineşte cu relaţia:

x

| x x |x

Este clar că eroarea relativă este un număr adimensional. Acest număr se exprimă, de regulă, în procente. Revenim acum la măsurătorile la care ne-am referit la începutul acestei secţiuni. Putem scrie:

Analiză Numerică


24

aa

e 0.010.001

a 10

în cazul măsurării laturii a şi:

bb

e 0.10.0001

b 1000

în cazul măsurării laturii b. Eroarea relativă a măsurării laturii b este de 10 de ori mai mică decât eroarea relativă a măsurării laturii a. De obicei, eroarea relativă se exprimă în procente. Astfel spunem că precizia măsurării laturii a este 0.1%, iar precizia măsurării laturii b este 0.01%. În expresia erorii relative apare numărul x care, de regulă, este necunoscut. Pentru a obţine o formulă a erorii relative în care să nu apară x se foloseşte dezvoltarea:

x x x x x

xx

e e e e e1(1 ...)

ex x e x x x1x

Dacă ţinem seama că, de regulă: xe | x |

atunci deducem:

x xx

e ex x

De aceea, pentru eroarea relativă x se foloseşte formula:

x

x

ex

Erorile relative calculate cu această formulă pentru laturile a şi b ale terenului pe care l-am considerat mai sus sunt:

aa

e 0.010.001001001... 0.001

a 9.99

în cazul măsurării laturii a şi:

bb

e 0.10.000100010001... 0.0001

999.9b

în cazul măsurării laturii b. Prin urmare, formulele dau aproximativ aceleaşi rezultate.

1.14 Eroarea relativă maximă Ultima formulă de calcul a erorii relative din secţiunea precedentă foloseşte eroare absolută xe .

Analiză Numerică


25

Aşa cum ştim, în formula erorii absolute xe apare valoarea lui x, valoarea care în general este

necunoscută. De aceea, ca şi în cazul erorii absolute se foloseşte eroarea relatvă maximă. Această mărime notată cu x reprezintă cel mai mic număr pentru care este valabilă relaţia:

x x

Şi eroarea relativă se măsoară în procente. Dăm şi un exemplu. Presupunem că în urma unei măsurări s-a obţinut distanţa de 563.24 m între două puncte. Admitem că precizia aparatului cu care s-a efectuat măsurătoarea a fost de 5 mm şi ne propunem să determinăm eroarea relativă maximă a măsurătorii. Calcule simple arată că:

5 9x

0.005 0.510 0.88772 10

563.24 0.56324

Test de autoevaluare 1. Rotunjiţi prin simetrie, la două zecimale, numerele 34.5483 şi 32.5634. 2. Rotunjiţi prin tăiere la două zecimale numerele 34.5483 şi 32.5634. 3. Care sunt principalele unităţi de măsură ale informaţiei.

După parcurgerea unităţii 1 de învăţare trebuie să reţineţi: Ce sunt sistemele de numeraţie. Cum se reprezintă un număr într-o bază. Cum se schimbă baza de numeraţie Ce sunt numerele aproximative. Care sunt metodele de rotunjire. Cum se reprezintă numerele în memoria internă a calculatoarelor. Cum se clasifică erorile. Cum se aproximează numerele prin lipsă şi prin adios. Care sunt erorile care se fac la proximarea numerelor.

Răspunsuri la întrebările din testul de autoevaluare 1. Numerele 34.5483 şi 32.5634 rotunjite prin simetrie la două zecimale sunt 34.55 şi, respectiv, 32.56. 2. Numerele 34.5483 şi 32.5634 rotunjite prin tăiere la două zecimale sunt 34.54 şi, respectiv, 32.56. 3. Principalele unităţi de măsură ale informaţiei sunt octetul, kilooctetul, 1Ko=1024 octeţi, megaoctetul, un Mo=1024Ko şi gigaoctetul, 1Go=1024Mo. Bibliografie minimală 1.Iacob Caius, Matematici clasice şi moderne, Editura tehnică, Bucureşti, 1983 2.Marinescu Gheorghe, Analiza numerică, Editura Academiei, Bucureşti, 1974 3. Akai Terrence, Aplplied Numerical Methods for Engineers, John Wiley & Sons, New York (Carte disponibilă la Biblioteca USAMVB)

http://www.google.ro/imgres?imgurl=http://proestetic.ro/wp-content/uploads/2010/01/retine-260x160.jpg&imgrefurl=http://proestetic.ro/sub-lupa/ingredienti-brevetati-licenta-pentru-jefuirea-legala-a-clientilor/&usg=__WARvIPvcZywz_EsFkQZcPemn6Sc=&h=160&w=260&sz=7&hl=ro&start=109&zoom=0&tbnid=Vcw7SnmGnrqIuM:&tbnh=69&tbnw=112&prev=/images%3Fq%3Dretine!%26start%3D100%26hl%3Dro%26sa%3DN%26gbv%3D2%26tbs%3Disch:1&itbs=1�

Analiză Numerică


26

Unitatea de învăţare nr. 2 Soluţii exacte şi aproximative Cuprins 2.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 2 2.1 Soluţii exacte şi soluţii aproximative 2.2 Metode numerice 2.3 Formule de recurenţă 2.4 Calculul rădăcinii pătrate aproximative dintr-un număr pozitiv

2.1 Soluţii exacte şi soluţii aproximative

Aşa cum ştim, rădăcinile ecuaţiei de gradul al doilea:

2ax bx c 0 se determină cu formula:

2

1,2

b b 4acx

2a

Ca exemplu, considerăm ecuaţia: 2x 7x 12 0 Se constată că: 2 2b - 4ac ( 7) - 4 12 1 1 Prin urmare:

1

7 1x 3

2

, 2

7 1x 4

2

şi: 2 2

1 1x 7x 12 3 7 3 12 0 2 22 2x 7x 12 4 7 4 12 0

Tot ca exemplu considerăm şi ecuaţia:

24x 4x 1 0 Acum avem:

Analiză Numerică


27

2 2b - 4ac 4 - 4 4 (-1) 32 astfel că după simplificări putem scrie:

1

1 2x

2

, 2

1 2x

2

Pentru a obţine valorile numerice ale lui 1x şi 2x trebuie să înlocuim pe 2 cu valoarea sa şi

să efectuăm calculele. Ştim însă că 2 este un număr care se scrie cu o infinitate de zecimale 1.41421356237... . Calculele se pot face însă cu un număr finit de zecimale. Prin urmare, valorile exacte ale lui 1x şi 2x nu le putem determina.

Dacă înlocuim pe 2 cu o aproximaţie a sa şi efectuăm calculele, atunci obţinem două numere 1x şi 2x care aproximează valorile exacte ale rădăcinilor 1x şi, respectiv, 2x , valori pe care nu

le putem determina. De pildă, dacă înlocuim pe 2 cu 1.41, atunci obţinem: 1x 1.205 , 2x 0.205 Se constată că: 2

1 14x 4x 1 0.0119 0 22 24x 4x 1 0.0119 0

Aşadar, aproximaţiile 1x 1.205 şi 2x 0.205 ale valorilor lui 1x şi, respectiv, 2x , satisfac ecuaţia

24x 4x 1 0 cu o anumită aproximaţie. Să reţinem că pentru ecuaţia 2x 7x 12 0 am reuşit să determinăm soluţiile 1x şi 2x în

timp ce pentru ecuaţia 24x 4x 1 0 am reuşit să determinăm numai aproximaţiile 1x şi 2x ale

soluţiilor 1x şi, respectiv, 2x . Valorile lui 1x şi 2x pentru care:

21 1ax bx c 0 22 2ax bx c 0

se numesc soluţii exacte ale ecuaţiei 2ax bx c 0 , iar valorile lui 1x şi 2x pentru care:

21 1ax bx c 0 22 2ax bx c 0

se numesc soluţii aproximative ale ecuaţiei.

2.2 Metode numerice Exemplele pe care le-am dat în secţiunea anterioară arată că soluţiile exacte ale ecuaţiilor nu

se pot obţine nici măcar pentru toate ecuaţiile de gradul al doilea. Acest fapt este valabil chiar şi pentru ecuaţia de gradul unu. În cazul ecuaţiilor de grad mai mare situaţia este şi mai dificilă. Pentru aceste ecuaţii nu există nici măcar formule pentru calcuul soluţiilor. Situaţia se complică în cazul ecuaţiilor

Analiză Numerică


28

transcendente care se exprimă cu funcţii diferite de funcţia polinomială. De aceea, atenţia oamenilor de ştiinţă s-a îndreptat spre elaborarea unor metode de determinare a soluţiilor aproximative ale ecuaţiilor algebrice sau transcendente. Este binecunscută metoda tangentelor de rezolvare a ecuaţiilor algebrice sau transcendente elaborată de Isaac Newton, metodă cunoscută astăzi şi sub numele de metoda lui Newton.

Metoda lui Newton face parte dintr-o clasă bogată de metode, clasă cunoscută sub denumirea de metode numerice. Literatura de specialitate cunoaşte metode numerice pentru determinarea soluţiilor aproximative ale ecuaţiilor algebrice sau transcendente, pentru determinarea soluţiilor aproximative ale ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale, pentru determinarea soluţiilor aproximative ale ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii cu derivate parţiale şi altele.

De cele mai multe ori, metodele numerice sunt singurele cu care putem să obţinem soluţii ale problemelor rezultate din modelarea matematică a fenomemelor studiate în ştiinţele naturii şi ştiinţele inginereşti. Exemplul care urmează este concludent.

Fig. 2.1

Considerăm o problemă în care se cere să determinăm debitul unui râu într-o secţiune

transversală a sa. Pentru aceasta trebuie să calculăm aria domeniului delimitat de conturul albiei, contur reprezentat printr-o funcţie f(x), şi suprafaţa liberă a râului, figura 2.1.

Fig. 2.2

Calculul ariei unei secţiuni revine la calculul unei integrale definite:

b

a

s f(x)dx

în care a şi b sunt abscisele punctelor de intersecţie ale graficului funcţiei f(x) cu axa Ox. Aproape întotdeauna nu se cunoaşte însă expresia funcţiei f(x). În asemenea situaţii valoarea lui s se aproximează cu o valoare ns care reprezintă suma ariilor dreptunghiurilor care acoperă secţiunea,

figura 2.2. Pentru a calcula valoarea aproximativă ns , alegem pe suprafaţa liberă o reţea de puncte

0 1 2 nx a,x ,x ,...,x b , care pot fi echidistante, şi determinăm, prin măsurare, valorile lui f(x) în punctele

reţelei. După ce determinăm valorile 0 1 nf(x ),f(x ),...,f(x ) putem calcula ariile dreptunghiurilor care au

latura superioară situată pe intervalele 0 1[x ,x ] , 1 2[x ,x ] ,…, n 1 n[x ,x ] . Este clar că aria dreptunghiului cu

Analiză Numerică


29

latura superioară situată pe intervalul i i 1[x ,x ] este:

i i 1 i(x x )f(x )

Ca urmare, valoarea s a integralei se poate aproxima cu suma:

n 1 0 1 2 1 2 n n 1 ns (x x )f(x ) (x x )f(x ) ... (x x )f(x )

Această metodă de aproximare a valorii integralei se numeşte metoda dreptunghiurilor. În problema pe care am formulat-o apar mai multe tipuri de erori. Menţionăm numai câteva dintre ele. În primul rând, valorile 0 1 nf(x ),f(x ),...,f(x ) sunt determinate prin măsurare. Rezultatele

măsurării sunt afectate de diferite erori. Pe de altă parte, aria secţiunii este aproximată cu suma ariilor dreptunghiurilor care acoperă secţiunea. Este clar că eroarea aproximaţiei se reduce pe măsură ce creşte valoarea lui n, adică pe măsură ce acoperim secţiunea cu dreptunghiuri care au baza din ce în ce mai mică. Un număr mai mare de puncte conduce însă la costuri mai mari. Orice calcul inteligent făcut cu o metodă numerică necesită o evaluare a erorii care se face. Studiul erorilor de calcul care se comit la aproximarea prin metode numerice face obiectul Analizei numerice. Tot în cadrul Analizei numerice se studiază şi alte probleme cum sunt stabilitatea soluţiilor aproximative şi convergenţa lor către soluţiile exacte. Pentru aceasta, Analiza numerică foloseşte mijloace specifice Analizei funcţionale.

Teoremele de existenţă şi unicitate a soluţiilor care se studiază în diferite ramuri ale matematicii îşi au importanţa lor. Nu putem trece la determinarea unei soluţii aproximative, care se numeşte şi soluţie numerică, înainte de a ne asigura că soluţia exactă există. Determinarea soluţiilor aproximative este una din etaple rezolvării. În această etapă se folosesc algoritmi bazaţi pe metode numerice care se transpun în proceduri de calcul în diferite medii de programare.

2.3 Formule de recurenţă Un şir n n{ x } de numere reale se poate da printr-o relaţie de forma:

nx x(n)

cu x funcţie cunoscută sau printr-o formulă de forma: n 0 1 n 1x x(x ,x ,...,x )

cu x funcţie cunoscută şi 0x , 1x , …, n 1x date. În primul caz spunem că şirul este dat prin termenul său

general, iar în al doilea caz spunem că şirul este dat printr-o formulă de recurenţă. Ca exemplu, considerăm şirul n n{ x } dat prin termenul general:

n

n 3x

2n 1

Evident, în acest caz funcţia f are expresia:

n 3

x(n)2n 1

Analiză Numerică


30

iar elementele şirului sunt:

0x 3 , 1

4x

3 , 2x 1 , ..., n

n 3x

2n 1

, …

Acest şir este convergent şi limita sa este 1

x2

.

Tot ca exemplu, considerăm şi şirul n n{ x } definit prin relaţiile:

n n 1n 1

1 ax (x )

2 x

cu: 0x a

în care a este un număr real şi pozitiv. Acest şir este dat printr-o formulă de recurenţă în care funcţia x are expresia:

n 1 n 1n 1

1 ax(x ) (x )

2 x

Şirul n n{ x } definit de formula de recurenţă:

n n 1n 1

1 ax (x )

2 x

cu:

0x a

este convergent şi limita sa este a . În adevăr, prin calcule simple obţinem:

2

n 1n

n 1

(x a)x a

2x

şi:

2

n 1n

n 1

(x a)x a

2x

Pe baza acestei relaţii deducem:

n20n

n 0

x ax a( )

x a x a

Analiză Numerică


31

Dacă introducem notaţia:

0

0

x ab

x a

atunci din ultima relaţie obţinem:

n

n

2

n 2

bx a(1 2 )

1 b

pentru n=1,2,... . Această relaţie arată că şirul n n{ x } este convergent şi limita sa este a .

2.4 Calculul rădăcinii pătrate aproximative dintr-un număr pozitiv Elementele şirului definit de formula de recurenţă:

n n 1n 1

1 ax (x )

2 x

cu: 0x a

care are limita a , se numesc aproximaţii succesive ale numărului a . Elementul 0x se numeşte

prima aproximaţie a lui a , 1x se numeşte a doua aproximaţie a lui a şi aşa mai departe. Cu

ajutorul acestui şir putem determina valoarea rădăcinii pătrate a astfel ca eroarea absolută să nu depăşească o valoare dată.

Numărul a din formula de recurenţă care defineşte şirul n n{ x } este pozitiv. Ca urmare, toţi

termenii şirului sunt pozitivi. Din relaţia:

2n 1

nn 1

(x a)x a

2x

deducem: nx a

pentru n=1,2,… . Pe de altă parte, din:

n n 1 n 1 n 1 n 1n 1 n 1

1 a 1 ax x (x ) x ( x )

2 x 2 x

obţinem:

Analiză Numerică


32

2n 1 n 1 n 1

n n 1 n 1n 1 n 1 n 1

x a (x a)(x a)1 ax x ( x ) 0

2 x x x

Aşadar, şirul n n{x } pe care l-am considerat este descrescător:

1 2 nx x ...x ... a Din relaţia:

n 1x a deducem:

n 1 n 1n 1

ax a x

x

Dacă folosim şi relaţia:

n n 1 n 1n 1

1 ax x ( x )

2 x

atunci putem scrie: n 1 n 1 nx a 2(x x ) sau: n n 1 nx a x x

Prin urmare: n n 1 n| x a | | x x |

Aşadar, pentru a calcula valoarea lui a astfel ca eroarea absolută să nu depăşească o valoare dată este suficient să determinăm succesiv termenii şirului până când:

n 1 n| x x | Ca exemplu numeric concret, ne propunem să calculăm valoarea aproximativă a lui 2 astfel ca eroarea absolută să nu depăşească valoarea:

0.001 = Prin urmare, trebuie să calculăm valorile 1 2 n 1 nx ,x ,...,x ,x pe baza formulei:

Analiză Numerică


33

n n 1n 1

1 ax (x )

2 x

cu: 0x a 2 Începem cu calculul valorii lui 1x . Evident, avem:

1 00

1 a 1 2x (x ) (2 ) 1.5

2 x 2 2

Prin urmare: 0 1x x 2 1.5 0.5 0.001

Calculăm acum valoarea lui 2x . Avem:

2 11

1 a 1 2x (x ) (1.5 ) 1.416667

2 x 2 1.5

Aşadar: 1 2x x 1.5 1.416667 0.083333 0.001

N xn | xn-1-xn | | xn-1-xn

| 0 2.000000 - - 1 1.500000 0.500000 Nu 2 1.416667 0.083333 Nu 3 1.414216 0.002451 Nu 4 1.414214 0.000002 Da

Fig. 2.3 Determinăm acum valoarea lui 3x . Avem:

3 22

1 a 1 2x (x ) (1.416667 ) 1.414216

2 x 2 1.416667

În consecinţă: 2 3x x 1.416667 1.414216 0.002451 0.001

În continuare calculăm valoarea lui 4x . Acum avem:

Analiză Numerică


34

4 33

1 a 1 2x (x ) (1.414216 ) 1.414214

2 x 2 1.414216

Ca urmare: 3 4x x 1.414216 1.41421467 0.000002 0.001

Calculele efectuate ne arată că valoarea aproximativă a lui 2 determinată este: 2 1.414214 Aşa cum ştim, 2 este un număr iraţional. Valoarea sa este: 2 1.41421356237... Rezultatele calculelor efectuate sunt concentrate în tabelul din figura 2.3 .

Test de autoevaluare Calculaţi valoarea rădăcinii pătrate 5 cu 6 zecimale cu ajutorul formulei de recurenţă:

n n 1n 1

1 ax (x )

2 x

cu: 0x a

După parcurgerea unităţii 2 de învăţare trebuie să reţineţi: Ce sunt soluţiile exacte şi soluţiile numerice. Ce sunt metodele numerice.

Răspunsuri la întrebările din testul de autoevaluare

Valoarea rădăcinii pătrate 5 cu 6 zecimale este 2.236068. Bibliografie minimală 1.Iacob Caius, Matematici clasice şi moderne, Editura tehnică, Bucureşti, 1983 2.Marinescu Gheorghe, Analiza numerică, Editura Academiei, Bucureşti, 1974 3. Akai Terrence, Aplplied Numerical Methods for Engineers, John Wiley & Sons, New York (Carte disponibilă la Biblioteca USAMVB)


Analiză Numerică


35

Unitatea de învăţare nr. 3 Metode iterative de rezolvare a ecuaţiilor neliniare Cuprins 3.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 3 3.1 O clasificare a ecuaţiilor neliniare 3.3 Metoda înjumătăţirii intervalelelor 3.4 Metoda lui Newton 3.5 Formule de recurenţă pentru calcul radicalilor de ordin n

3.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 3 Rezolvarea ecuaţiilor algebrice sau transcendente cu metoda înjumătăţirii intervalelor şi cu metoda lui Newton 3.1 O clasificare a ecuaţiilor neliniare În acest capitol considerăm ecuaţii de forma: F(x) 0

unde F este o funcţie continuă definită pe un interval din mulţimea R a numerelor reale. O ecuaţie de această formă se numeşte ecuaţie algebrică dacă F este un polinom şi transcendentă în caz contrar. De pildă, ecuaţia:

3 2x 15x 71x 105 0 3.2 Metoda înjumătăţirii intervalelelor Metoda înjumătăţirii intervalelor este o metodă simplă de determinare a soluţiilor aproximative

ale ecuaţiilor neliniare. În această metodă se presupune că funcţia F care apare în ecuaţia: F(x) 0

este continuă şi are o singură rădăcină într-un interval [a,b] . Pentru a determina un şir de aproximaţii ale rădăcinii exacte din intervalul [a,b] se determină un şir de intervale k k[a ,b ] , cu k 0,1,... 0a a ,

0b b , incluse unul în altul k k k 1 k 1[a ,b ] [a ,b ] . Drept soluţie aproximativă cu aproximaţia se ia mijlocul:

k 1 k 1k 1

a bx

2

Analiză Numerică


36

al intervalului k 1 k 1[a ,b ] pentru care:

k 1 k 1b a

Pentru a prezenta metoda înjumătăţirii intervalelor, considerăm că funcţia F are pe intervalul [a,b] graficul din figura 3.1. Soluţia exactă a ecuaţiei F(x) 0 este abscisa punctului în care graficul funcţiei intersectează axa absciselor Ox . În desen am notat cu 0a valoarea lui a şi cu 0b valoarea lui b.

Fig. 3.1

Ca primă aproximaţie a soluţiei exacte a ecuaţiei F(x) 0 se ia mijlocul intervalului 0 0[a ,b ] ,

adică:

0 00

a bx

2

.

Dacă: 0F(x ) 0

atunci 0x este chiar soluţia exactă a ecuaţiei. În caz contrar, calculele se continuă cu intervalul 0 0[a ,x ]

sau cu intervalul 0 0[x ,b ] după cum soluţia exactă se află în intervalul 0 0[a ,x ] sau în intervalul 0 0[x ,b ] .

Noul interval se notează cu 1 1[a ,b ] . Pentru a decide cu ce interval se continuă calculele, 0 0[a ,x ] sau

0 0[x ,b ] , se calculează valoarea produsului 0 0F(a )F(x ) . Desigur, dacă 0 0F(a )F(x ) 0 , atunci calculele

se continuă cu intervalul 0 0[a ,x ] , iar dacă 0 0F(a )F(x ) 0 , atunci calculele se continuă cu intervalul

0 0[x ,b ] . Evident, în primul caz noul interval 1 1[a ,b ] este definit de relaţiile: 1 0a a , 1 0b x

iar în al doilea caz noul interval 1 1[a ,b ] este definit de relaţiile:

Analiză Numerică


37

1 0a x , 1 0b b

Este clar că în cazul din figura 3.1 calculele se continuă cu intervalul 0 0[x ,b ] . La iteraţia următoare se

repetă calculele cu intervalul 1 1[a ,b ] . Ca urmare, a doua aproximaţie a soluţiei va fi:

1 11

a bx

2

În cazul din figura 3.1 calculele se continuă cu intervalul 1 1[x ,b ] . Acest interval a fost notat cu 2 2[a ,b ] .

Desigur, la iteraţia următoare se repetă calculele cu intervalul 2 2[a ,b ] . Ca urmare, a treia aproximaţie a soluţiei va fi:

2 22

a bx

2

În cazul din figura 3.1, calculele se continuă cu intervalul 2 2[a ,x ] . Acest interval a fost notat cu 3 3[a ,b ] .

Din cele prezentate rezultă că în metoda înjumătăţirii intervalelor se construieşte un şir de intervale k k[a ,b ] cu k=0, 1, 2,... cu proprietatea:

k k k

b ab a

2

Dacă notăm cu soluţia exactă a ecuaţiei, atunci putem scrie:

k k k k

b a| x | b a

2

Prin urmare:

k kk k

b alim | x | lim 0

2

adică: kk

lim x

Aşadar, şirul de aproximaţii ale soluţiei ecuaţiei F(x) 0 este convergent şi limita sa este chiar rădăcina exactă a ecuaţiei din intervalul (a,b) .

Desigur, soluţia exactă a ecuaţiei F(x) 0 se aproximează cu unul din elementele şirului

k k{x } construit prin înjumătăţirea intervalelor. Drept soluţie se ia mijlocul intervalului k k[a ,b ] pentru care se îndeplineşte condiţia:

k kb a

sau condiţia:

Analiză Numerică


38

k| F(x ) | cu număr real pozitiv suficient de mic. Este clar că a doua condiţie include şi cazul în care la un moment dat a fost obţinută chiar soluţia exactă a ecuaţiei.

Fig. 3.2

Ca exemplu, considerăm ecuaţia:

3 2x 15x 71x 105 0

pe care am utilizat-o şi în alte exemple pe care le-am dat în secţiunile anterioare. Ne propunem să determinăm o aproximaţie a soluţiei care se află în intervalul [4.5,6] . În acest scop am structurat calculele sub forma din figura 3.2.

Aşa cum se observă, în celulele A2, B2 şi C2 am introdus numerele 0, 4.5, şi, respectiv, 6, iar în celelalte celule din liniile 2, 3 am introdus formulele: (B2+C2)/2 în celula D2 +B2^3-15*B2^2+713B2-105 în celula E2 +D2^3-15*D2^2+71*D2-105 în celula F2 @IF(C2-B2<0.001,”Stop”,”Next”) în celula G2 @IF(@ABS(F2)<0.001,”Stop”,”Next”) în celula H2 +A2+1 în celula A3

@IF(E2*F2<0,B2,D2) în celula B3 @IF(E2*F2<0,D2,C2) în celula C3

După ce am introdus aceste formule am copiat blocul E2..H2 în blocul E3..H3 şi apoi am copiat blocul A3..H3 în blocul A4..H13.

Rezultatele din figura 3.2 arată că la iteraţia k=10 se îndeplineşte condiţia: 10|F(x ) | 0.001

Prin urmare, la iteraţia k=10 am obţinut soluţia aproximativă:

10x 5.000244140625

Analiză Numerică


39

Această soluţie este o aproximaţie foarte bună a soluţiei exacte:

x=5 Tot din rezultatele afişate, observăm că la iteraţia 11 s-a îndeplinit şi condiţia:

11 11b a 0.001 La această iteraţie am obţinut soluţia: 11x 4.9998779296875 Şi această soluţie reprezintă o aproximaţie foarte bună a soluţiei exacte:

x=5

Fig. 3.3

Eroarea comisă la aproximarea soluţiei exacte x=5 cu soluţia aproximativă

10x 5.000244140625 este: x | 5 5.000244140625 | 0.000244140625 iar eroarea comisă la aproximarea soluţiei exacte x=5 cu soluţia aproximativă 11x 4.9998779296875 este: x | 5 4.9998779296875 | 0.0001220703125 Aşadar, eroarea comisă la aproximarea soluţiei exacte cu soluţia aproximativă 11x 4.9998779296875 este mai mică decât eroarea comisă la aproximarea soluţiei exacte x=5 cu soluţia aproximativă

10x 5.000244140625 . În figura 3.3 apar alte rezultate ale calculelor bazate pe formulele pe care le-am introdus mai

înainte. Acum am înlocuit numărul 4.5 din celula B2 cu numărul 4. Aşa cum se observă, chiar de la

Analiză Numerică


40

prima iteraţie, în celula H2 a apărut cuvântul Stop. Prin urmare, chiar de la prima iteraţie calculată s-a îndeplinit condiţia:

0|F(x ) | 0.001 De fapt, acum: 0F(x ) 0 Aşadar, chiar de la prima iteraţie s-a obţinut soluţia exactă: x=5

Calculele au continuat şi, la iteraţia k=11, s-a obţinut şi soluţia aproximativă: 11x 5.99951171875 care îndeplineşte condiţia:

11 11b a 0.001

Fig. 3.4

3.3 Metoda lui Newton Metoda lui Newton, cunoscută şi sub numele de metoda tangentei, este o metodă de

determinare a soluţiilor aproximative ale ecuaţiilor neliniare. Şi în această metodă se presupune că în intervalul [a,b] în care se caută soluţia, ecuaţia:

F(x) 0

are o singură rădăcină. În plus, se presupune că funcţia F(x) este derivabilă de două ori pe intervalul [a,b] în care se află soluţia exactă. Formula de recurenţă care generează şirul k k{x } care aproximează soluţia exactă se poate construi printr-un procedeu geometric, figura 3.13. Pentru aceasta, presupunem că am reuşit să determinăn elementul kx . Din punctul kN de coordonate k(x ,0) ridicăm o perpendiculată care

intersectează graficul funcţiei în punctul kM de coordonate k k(x ,y ) . Evident, avem k ky F(x ) . Acum

ducem tangenta la graficul funcţiei prin punctul kM . Aşa cum se ştie, ecuaţia acestei tangente este:

Analiză Numerică


41

k k ky y F'(x )(x x ) iar:

k kF'(x ) tg

k fiind unghiul pe care tangenta îl face cu direcţia pozitivă a axei Ox . Pentru a obţine abscisa punctului de intersecţie al tangentei cu axa Ox înlocuim în ecuaţia tangentei pe y cu 0. Ca urmare, putem scrie:

k k k 1 ky F'(x )(x x ) Cum: k ky F(x ) deducem: k 1 k k kx x F(x ) /F'(x ) Aceasta este relaţia de recurenţă pe baza căreia se determină şirul de aproximaţii în metoda lui Newton.

Fig. 3.5

Ca exemplu, considerăm ecuaţia:

3 2x 15x 71x 105 0

pe care am utilizat-o şi în alte exemple pe care le-am dat în secţiunile anterioare. Ne propunem să determinăn o aproximaţie a soluţiei care se află în intervalul [4.5,6] . În acest scop am structurat calculele sub forma din figura 3.6..

Aşa cum se observă, în celulele A2 şi B2 am introdus numerele 0 şi, respectiv, 4.5, iar în celelalte celule din liniile 2, 3 am introdus formulele: +B2^3-15*B2^2+71*B2-105 în celula C2 3*B2^2-30*B2+71 în celula D2 +A2+1 în celula A3 +B2-C2/D2 în celula B3

Analiză Numerică


42

În continuare am copiat formulele din blocul C2..D2 în blocul C3..D3 şi am introdus formula:

@IF(@ABS(B3-B2)<0.001,”Stop”,”Next”) în celula E3

după care am copiat blocul A3..E3 în blocul A4..E5. Formula din celula E3 verifică îndeplinirea condiţiei:

k 1 k|x x | 0.001

Fig. 3.6

Rezultatele afişate în figura 3.6 arată că la iteraţia k=3 se îndeplineşte condiţia

k 1 k|x x | 0.001 . Prin urmare, la iteraţia k=3 am obţinut soluţia aproximativă:

3x 5.000000000005970

care este o aproximaţie foarte bună a soluţiei exacte:

x=5 3.4 Formule de recurenţă pentru calcul radicalilor de ordin n Metoda lui Newton ne permite să deducem formule de recurenţă pentru determinarea radicalilor de ordin n din numere reale şi pozitive. Pentru a deduce aceste formule considerăm că a este un număr real şi pozitiv şi ne punem problema aproximării valorii n a . Este clar că valoarea lui n a este soluţia ecuaţiei: nx a 0 Această ecuaţie este o ecuaţie algebrică de forma: F(x) 0 cu: nF(x) x a Formula de recurenţă a metodei lui Newton corespunzătoare acestei ecuaţii este:

k 1 k n 1k

1 ax [(n 1)x ]

n x

Analiză Numerică


43

De aici, deducem că formula de recurenţă pentru determinarea rădăcinii pătrate dintr-un număr a este:

k 1 kk

1 ax (x )

2 x

iar formula de recurenţă pentru determinarea rădăcinii cubice dintr-un număr a este:

k 1 k 2k

1 ax (2x )

3 x

Formula de recurenţă cu care se poate calcula rădăcina pătrată am folosit-o deja în capitolul

anterior. Acum dăm un exemplu de utilizare a formulei de recurenţă pentru calculul rădăcinii cubice. Mai exact, ne propunem să calculăm valoarea 3 8 . În acest scop am structurat calculele sub forma din figura 3.7. Numărul 8 l-am introdus în celula B2. Acest număr l-am luat şi ca aproximaţie iniţială 0x . De asemenea, am introdus formulele:

+A2+1 în celula A3

(2*B2+$B$2/B2^2)/3 în celula B3 @IF(@ABS(B3-B2)<0.001) în celula C3 Este clar că formula @IF(@ABS(B3-B2)<0.001) verifică îndeplinirea condiţiei: k 1 k| x x | Blocul A3..C3 l-am copiat în blocul A4..C10. Valorile afişate arată că la iteraţia k=7 s-a obţinut soluţia:

7x 2.000000001071190

Fig. 3.7

Evident, valoarea 7x 2.000000001071190 aproximează foarte bine valoarea 3 8 . Să mai observăm

că la iteraţia k=8 s-a obţinut chiar valoarea exactă a rădăcinii cubice 3 8 . Este clar că pentru a calcula rădăcina cubică din alt număr, introducem numărul respectiv în celula B2 şi copiem blocul A10..C10 mai jos dacă soluţia aproximativă nu se obţine până la iteraţia k=8.

Analiză Numerică


44

Test de autoevaluare Calculaţi valoarea rădăcinii pătrate 11 cu ajutorul procedurii din secţiunea 3.4.

După parcurgerea unităţii 3 de învăţare trebuie să reţineţi: Cum se calculează soluţiile ecuaţiilor algebrice sau transcendente cu ajutorul metodei înjumătăţirii intervalelor şi cu ajutorul metodei lui Newton.

Răspunsuri la întrebările din testul de autoevaluare

Valoarea rădăcinii pătrate 11 calculată cu ajutorul procedurii din secţiunea 3.4 este 3.316624790355400. Bibliografie minimală 1.Iacob Caius, Matematici clasice şi moderne, Editura tehnică, Bucureşti, 1983 2.Marinescu Gheorghe, Analiza numerică, Editura Academiei, Bucureşti, 1974 3. Akai Terrence, Aplplied Numerical Methods for Engineers, John Wiley & Sons, New York (Carte disponibilă la Biblioteca USAMVB)


Analiză Numerică


45

Unitatea de învăţare nr. 4 Metode iterative de rezolvare a sistemelor algebrice neliniare de ecuaţii Cuprins 4.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 4 4.1 Forma generală a unui sistem algebric neliniar de ecuaţii 4.2 Metoda aproximaţiilor successive 4.3 Metoda lui Newton 4.4 O metodă de gradient 4.5 Despre alegerea primei aproximaţii

4.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 4 Rezolvarea sistemelor algebrice de ecuaţii neliniare cu metode iterative

4.1 Forma generală a unui sistem algebric neliniar de ecuaţii

Forma generală a unui sistem algebric de ecuaţii neliniare este:

1 1 2 nf (x , x , ..., x ) 0

2 1 2 nf (x , x , ..., x ) 0

………………… m 1 2 nf (x , x , ..., x ) 0

în care cel puţin una din funcţiile 1 1 2 nf (x , x , ..., x ) , 2 1 2 nf (x , x , ..., x ) , ..., m 1 2 nf (x , x , ..., x ) este

neliniară, iar 1x , 2x , ..., nx sunt necunoscutele sistemului. În acest capitol vom prezenta câteva metode iterative de rezolvare a sistemelor algebrice

neliniare de ecuaţii. Aceste metode pornesc de la un element:

(0) (0) (0) (0)1 2 nx (x , x , ...,x )

şi construiesc un şir de elemente (i)

i{x } numite iteraţii. Dacă şirul de iteraţii (i)i{x } este convergent,

atunci elementul:

(k) (k) (k) (k)1 2 nx (x , x , ..., x )

pentru care au loc relaţiile:

(k) (k 1)1 1| x x | , (k) (k 1)

2 2| x x | ,..., (k) (k 1)n n| x x |

se ia drept soluţie aproximativă cu aproximaţia . Aproximaţia este un număr real şi pozitiv suficient de mic, de exemplu 0.001 sau 0.0001.

Analiză Numerică


46

În cele ce urmează vom considera sisteme algebrice neliniare de două ecuaţii cu două necunoscute scrise sub forma generală:

F(x, y) 0 G(x, y) 0

cu F şi G funcţii date. 4.2. Metoda aproximaţiilor succesive Considerăm un sistem algebric neliniar de două ecuaţii cu două necunoscute x şi y scris sub forma: F(x, y) 0 G(x, y) 0 Presupunem că sistemul se poate scrie şi sub forma: x f(x, y) y g(x, y) Admitem că sistemul are soluţia: x , y şi notăm cu (0)x şi, respectiv, (0)y o aproximaţie a acestei soluţii.

Pornind de la aproximaţia iniţială (0)x , (0)y a soluţiei, construim şirul de aproximaţii: (k) (k 1) (k 1)x f(x , y ) (k) (k 1) (k 1)y g(x , y ) cu k=1, 2, …. Pentru convergenţa şirurilor (k)

k{x )} şi (k)k{y )} sunt suficiente condiţiile:

x x| f (x,y) | | g (x,y) | 1

y y| f (x,y) | | g (x,y) | 1

în care xf şi xg reprezintă derivatele parţiale ale lui f şi, respectiv, g în raport cu x, iar yf şi yg

reprezintă derivatele parţiale ale lui f şi, respectiv, g în raport cu y. În calculele efective se determină un şir finit de iteraţii. Drept soluţie se ia prima pereche

(k) (k)(x , y ) , pentru care sunt satisfăcute simultan inegalităţile: (k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y | cu pozitiv şi suficient de mic. Pentru a da un exemplu, considerăm sistemul algebric de două ecuaţii liniare cu două necunoscute:

Analiză Numerică


47

11 12 1a x a y b 21 22 2a x a y b

Dacă 11a şi 22a sunt nenule, atunci putem scrie acest sistem şi sub forma: 1 12 11x (b a y) / a 2 21 22y (b a x) / a Pe baza acestor formule construim şirurile: (k) (k 1)

1 12 11x (b a y ) / a

(k) (k 1)2 21 22y (b a x ) / a

Se demonstrează că:

„Şirurile (k)k{x } şi (k)

k{y } converg către soluţia sistemului, pentru orice valori (0)x şi (0)y date, dacă şi numai dacă se îndeplineşte condiţia:

12 21

11 22

a a| | 1

a a

în care 11 12 21 22a , a , a , a sunt coeficienţii sistemului.”

Fig. 4.1

Analiză Numerică


48

Considerăm acum un caz concret. Mai exact, considerăm sistemul: 2x 3y 1

x 4y 6 pe care îl scriem sub forma: x (1 3y) / 2 y (6 x) / 4 În acest caz avem:

11a 2 , 12a 3 , 21a 1 , 22a 4 Prin urmare, se îndeplineşte condiţia necesară şi suficientă:

12 21

11 22

a a| | 1

a a

pentru convergenţa şirurilor:

(k) (k 1)x (1 3y ) / 2

(k) (k 1)y (6 x ) / 4

În figura 4.1 apar rezultatele calculelor pe care le-am efectuat pentru a determina soluţia sistemului pe care l-am considerat cu metoda aproximaţiilor succesive. În celulele A3, B3, C3 am introdus numărul 0. Prin urmare, am luat:

(0)x 0= , (0)y 0=

Pentru a determina iteraţiile următoare, în celulele A4, B4, C4, D4 am introdus, respectiv, formulele: A3 1+ + (1 3*C3)/2+

(6 B3)/4- @IF(@AND(@ABS(B4 B3)<$B$1, @ABS(C4 C3)<$B$1),"Da","Nu")- -

Să observăm că a doua şi a treia formulă determină valorile iteraţiilor (1)x , (1)y . Ultima formulă verifcă îndeplinirea condiţiilor:

(k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y |

corespunzătoare valorii: k 1=

Analiză Numerică


49

Mai exact, ultima formulă returnează cuvântul Da atunci când se îndeplinesc ultimele inegalităţi şi cuvântul Nu în caz contrar. Cum observăm, la iteraţia:

k 1= nu se îndeplinesc ultimele inegalităţi. Pentru a continua calculele, am copiat blocul A4..D4 în blocul A5..D20.

Rezultatele calculelor ne arată că la iteraţia:

k 17= se îndeplinesc condiţiile: (k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y | Prin urmare, pentru:

0.001= am obţinut soluţia aproximativă:

(17)x 1.999413 , (17)y 1.000196 Această soluţie aproximează foarte bine soluţia exactă a sistemului: x 2 , y 1

Se poate constata uşor că pentru:

0.01= obţinem soluţia aproximativă:

(13)x 1.995829 , (13)y 1.001390 iar pentru:

0.0001=

obţinem soluţia aproximativă:

(21)x 1.999918 , (21)y 1.000027 Pentru a determina soluţia aproximativă corespunzătoare lui:

0.0001= a trebuit să copiem blocul A20..D20 în blocul A21..D26. Numărul de iteraţii necesar determinării unei soluţii aproximative depinde de valoarea lui .

Analiză Numerică


50

Cum observăm, numărul de iteraţii necesar determinării unei soluţii aproximative creşte pe măsură ce valoarea lui scade. Metoda aproximaţiilor succesive am testat-o şi pe sistemul:

x y 1 x y 7

Acum am construit şirurile:

(k) (k 1)x 1 y (k) (k 1)y 7 x În acest caz în celulele A4, B4, C4, D4 am introdus, respectiv, formulele: A3 1+ + 1 C3+

7 B3- @IF(@AND(@ABS(B4 B3)<$B$1, @ABS(C4 C3)<$B$1),"Da","Nu")- - Cum observăm, figura 4.2, la iteraţia:

k 1= nu se îndeplinesc condiţiile:

(k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y | Pentru a determina şi iteraţiile următoare, am copiat blocul A4..D4 în blocul A5..D7.

Fig. 4.2


k 4=

reapar valorile de la iteraţia:

k=0

Analiză Numerică


51

Aşadar, şirurile:

(k) (k 1)x 1 y (k) (k 1)y 7 x cu: (0)x 0= , (0)y 0= nu sunt convergente.

Sistemul pe care l-am considerat acum are totuşi soluţie. Aceasta este: x 4 , y 3 Şirurile de iteraţii nu sunt convergente deoarece nu se îndeplineşte condiţia necesară şi suficientă de convergenţă:

12 21

11 22

a a| | 1

a a

Fig. 4.3

Pentru a mai da un exemplu, considerăm sistemul algebric neliniar de două ecuaţii cu două necunoscute: 2x y 8

x 2y 1 Este vorba de sistemul pe care l-am considerat şi în secţiunea 9.29. În figură 17.3 apar graficele funcţiilor: 2y x 8

y (x 1) / 2

Analiză Numerică


52

asociate celor două ecuaţii ale sistemului. Cum am mai spus, soluţiile sistemului sunt coordonatele punctelor de intersecţie ale parabolei

de ecuaţie:

2y x 8 cu dreapta de ecuaţie:

y (x 1) / 2

În acest caz simplu, prin calcule directe, deducem că cele două soluţii ale sistemului sunt:

1x 3 , 1y 1

2x 5 / 2 , 2y 7 / 4

Pentru a determina o aproximaţie a primei soluţii exacte, am utilizat formulele de recurenţă:

(k) (k 1)x y 8 (k) (k 1)y (x 1) / 2

pe care le-am dedus din ecuaţiile sistemului. Pe baza acestor formule de recurenţă, am obţinut rezultatele din figura 4.4. Şi acum am luat: (0)x 0= , (0)y 0= iar în celulele A4, B4, C4, D4 am introdus, respectiv, formulele: A3 1+ + @SQRT(C3 8)+

(B3 1)/2- @IF(@AND(@ABS(B4 B3)<$B$1, @ABS(C4 C3)<$B$1),"Da","Nu")- -

Să observăm că a doua şi a treia formulă determină valorile iteraţiilor (1)x , (1)y . Ultima formulă verifică îndeplinirea condiţiilor:

(k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y |

corespunzătoare valorii: k 1= Mai exact, ultima formulă returnează cuvântul Da atunci când se îndeplinesc ultimele inegalităţi şi cuvântul Nu în caz contrar.

Analiză Numerică


53

Fig. 4.4

Cum observăm, la iteraţia:

k 1= nu se îndeplinesc ultimele inegalităţi. Pentru a continua calculele, am copiat blocul A4..D4 în blocul A5..D11.

Fig. 4.5


k 8=

se îndeplinesc condiţiile: (k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y | Prin urmare, pentru:

0.001=

Analiză Numerică


54

am obţinut soluţia aproximativă:

(8)x 2.999848 , (8)y 0.999950 Această soluţie aproximează foarte bine soluţia exactă a sistemului: x 3 , y 1

Pentru a determina o aproximaţie a celeilalte soluţii exacte, am utilizat formulele de recurenţă:

(k) (k 1)x y 8 (k) (k 1)y (x 1) / 2

pe care le-am dedus, de asemenea, din ecuaţiile sistemului. Pe baza acestor formule de recurenţă, am obţinut rezultatele din figura 17.5. Acum am luat tot: (0)x 0= , (0)y 0= iar în celulele A4, B4, C4, D4 am introdus, respectiv, formulele: A3 1+ + @SQRT(C3 8)- +

(B3 1)/2- @IF(@AND(@ABS(B4 B3)<$B$1, @ABS(C4 C3)<$B$1),"Da","Nu")- - Cum observăm, la iteraţia:

k 1= nu se îndeplinesc condiţiile: (k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y | Pentru a continua calculele, am copiat blocul A4..D4 în blocul A5..D12. Rezultatele calculelor ne arată că la iteraţia:

k 9= se îndeplinesc condiţiile:

(k 1) (k)| x x | , (k 1) (k)| y y | Prin urmare, pentru:


Analiză Numerică


55

(9)x 2.500033 , (8)y 1.749880

Această soluţie aproximează foarte bine soluţia exactă a sistemului: x 2.5 , y 1.75 Ecuaţiile sistemului pe care l-am considerat în această secţiune se pot scrie şi sub forma: x 2y 1

2y x 8 Aşadar, în acest caz avem: f(x,y) 2y 1 2g(x,y) x 8 Aceste funcţii nu satisfac condiţiile suficiente care asigură convergenţa şirurilor de iteraţii (i)

i{x } , (i)i{y }

corespunzătoare formulelor x 2y 1 , 2y x 8 . De aceea, este posibil ca aceste şiruri să nu fie convergente pentru orice valori iniţiale. 4.3. Metoda lui Newton Şi în secţiunea de faţă considerăm un sistem algebric neliniar de două ecuaţii cu două necunoscute x şi y scris sub forma: F(x, y) 0 G(x, y) 0

Admitem că sistemul are soluţia: x , y şi notăm cu (0)x şi, respectiv, (0)y o aproximaţie a acestei soluţii. Metoda lui Newton utilizează şirurile de aproximaţii:

(k) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1)yx x (F(x , y )G (x , y )

(k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1)yF (x , y )G(x , y )) / J(x , y )

(k) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1)xy y (F (x , y )G(x , y )

(k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1)xF(x , y )G (x , y )) / J(x , y )

unde: (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1)

x yJ(x , y ) F (x , y )G (x , y ) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1)

y xF (x , y )G (x , y )

Analiză Numerică


56

Pentru ca şirurile (k)k{x } şi (k)

k{y } să fie convergente către şi, respectiv, trebuie ca aproximaţiile

iniţiale (0)x şi (0)y să fie suficient de apropiate de şi, respectiv, . În plus, funcţiile F(x, y) , G(x, y) şi derivatele lor parţiale de ordinul întâi în raport cu x şi y trebuie să fie continue, iar funcţia J(x, y) să fie diferită de zero pentru x=, y=.

Pentru a da un exemplu, considerăm sistemul algebric de două ecuaţii liniare cu două necunoscute: 11 12 1a x a y b+ = 21 22 2a x a y b+ = Evident, acum avem: 11 12 1F(x,y) a x a y b= + - 21 22 2G(x,y) a x a y b= + - Prin urmare: 11 22 21 12J(x,y) a a a a

Aşadar, în cazul unui sistem algebric de ecuaţii liniare, J(x,y) este egal cu determinantul sistemului. În plus, prin calcule directe deducem că:

1 12

2 22(k)1 22 2 12 11 22 12 21

11 12

21 22

b a

b ax (b a b a ) /(a a a a )

a a

a a

11 1

21 2(k)2 11 1 21 11 22 12 21

11 12

21 22

a b

a by (b a b a ) /(a a a a )

a a

a a

Aceasta este chiar soluţia exactă a sistemului care se obţine cu metoda lui Cramer. Prin urmare, în metoda lui Newton se obţine soluţia exactă chiar de la prima iteraţie. Pentru a mai da un exemplu, am considerat din nou sistemul algebric neliniar de două ecuaţii cu două necunoscute: 2x y 8

x 2y 1 pe care l-am rezolvat şi în secţiunea precedentă. Aşadar, avem: 2F(x,y) x y 8

G(x,y) x 2y 1

Analiză Numerică


57

Prin calcule directe, deducem că: (k) (k 1) 2 (k 1)x (2(x ) 15) /(4x 1)

(k) (k 1) 2 (k 1) (k 1)y ((x ) 2x 8) /(4x 1)

Fig. 4.6

Pentru a determina o aproximaţie a uneia din cele două soluţii exacte ale sistemului cu metoda

lui Newton am luat: (0)x 0= , (0)y 0=

iar în celulele A4, B4, C4, D4 am introdus, respectiv, formulele: A3 1+ + (2*B3^2 15)/(4*B3 1)+ -

(B3^2 2*B3 8)/(4*B3 1)- + - @IF(@AND(@ABS(B4 B3)<$B$1, @ABS(C4 C3)<$B$1),"Da","Nu")- -

Să observăm că a doua şi a treia formulă determină valorile iteraţiilor (1)x , (1)y . Ultima formulă verifcă îndeplinirea condiţiilor:

(k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y |

corespunzătoare valorii: k 1= Mai exact, ultima formulă returnează cuvântul Da atunci când se îndeplinesc ultimele inegalităţi şi cuvântul Nu în caz contrar. Cum observăm, figura 4.6, la iteraţia:

k 1= nu se îndeplinesc ultimele inegalităţi. Pentru a continua calculele, am copiat blocul A4..D4 în blocul

Analiză Numerică


58

A5..D10.

Fig. 4.7


k 7=

se îndeplinesc condiţiile: (k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y | Prin urmare, pentru:


(7)x 2.500000 , (7)y 1.750000 Soluţia pe care am obţinut-o nu este chiar soluţia exactă. De aceasta ne putem convingem dacă afişăm valorile din celulele B10, C10 cu 15 zecimale. În adevăr, constatăm că:

(7)x 2.500000000402870 , (7)y 1.750000000201430

Această soluţie aproximează foarte bine souluţia exactă:

x 5 / 2 , y 7 / 4

Pentru a determina o aproximaţie a celeilalte soluţii exacte, în procedura pe care am prezentat-o am luat: (0)x 0.5= , (0)y 0= Acum am obţinut rezultatele din figura 4.7.


Analiză Numerică


59

k 7=

se îndeplinesc condiţiile:

(k 1) (k)| x x | , (k 1) (k)| y y | Prin urmare, pentru:

0.001= am obţinut soluţia:

(7)x 3.000000 , (7)y 1.000000

Soluţia pe care am obţinut-o nu este chiar soluţia exactă. De aceasta ne putem convingem

dacă afişăm valorile din celulele B10, C10 cu 15 zecimale. În adevăr, constatăm că: (7)x 3.00000000040287 , (7)y 1.00000000020143 Această soluţie aproximează foarte bine soluţia exactă: x 3 , y 1

17.4. O metodă de gradient Ca şi în secţiunea anterioară, considerăm un sistem algebric neliniar de două ecuaţii cu două

necunoscute x şi y scris sub forma: F(x, y) 0 G(x, y) 0 Admitem că sistemul are soluţia exactă: x , y şi notăm cu (0)x şi, respectiv, (0)y o aproximaţie a acestei soluţii.

Metoda de tip gradient pe care o prezentăm în această secţiune utilizează funcţia: 2 2H(x,y) F(x,y) G(x,y)

şi relaţiile de recurenţă:

(k) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1)xx x H(x , y )H (x , y ) /

(k 1) (k 1) 2 (k 1) (k 1) 2x y(H (x , y ) H (x , y ) )

(k) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1) (k 1)yy y H(x , y )H (x , y ) /

(k 1) (k 1) 2 (k 1) (k 1) 2x y(H (x , y ) H (x , y ) )

Analiză Numerică


60

în care xH şi yH reprezintă derivatele parţiale ale lui H în raport cu x şi, respectiv, y.

Fig. 4.8

Relaţiile de recurenţă se deduc din condiţiile de minimizare a funcţiei H(x, y). Pentru ca

descreşterea funcţiei H(x, y) să fie maximă, se aleg ca direcţii de variaţie direcţiile gradientului funcţiei

H în punctul de coordonate (k) (k)(x , y ) , adică direcţiile vectorului: (k) (k) (k) (k) (k) (k)

x ygrad H(x , y ) H (x , y )i H (x , y ) j

Pentru a da un exemplu, considerăm din nou sistemul algebric neliniar de două ecuaţii cu două necunoscute: 2x y 8

x 2y 1 În acest caz funcţia H(x, y) este: 2 2 2H(x,y) (x y 8) (x 2y 1) Prin urmare: 2

xH (x,y) 4x(x y 8) 2(x 2y 1)

Analiză Numerică


61

2yH (x,y) 2(x y 8) 4(x 2y 1)

Pentru a determina o aproximaţie a uneia din cele două soluţii exacte ale sistemului cu metoda

de gradient am luat: (0)x 0= , (0)y 0=

În plus, pentru a determina şi valorile funcţiilor: 2 2 2H(x, y) (x y 8) (x 2y 1)

2xH (x, y) 4x(x y 8) 2(x 2y 1)

2yH (x, y) 2(x y 8) 4(x 2y 1)

x x y yE(x, y) H (x, y)H (x, y) H (x, y)H (x, y)= +

pentru: (0)x x= , (0)y y=

în celulele E3, F3, G3, H3 am introdus, respectiv, formulele:

(B3^2 C3 8)^2 (B3 2*C3 1)^2- - + - - 4*B3*(B3^2 C3 8)+2*(B3 2*C3 1)+ - - - - 2*(B3^2 C3 8) 4*(B3 2*C3 1)- - - - - -

+E3^2+F3^2 E3^2 F3^2+ + În continuare, în celulele A4, B4, C4, D4 am introdus, respectiv, formulele:

A3 1+ + B3 D3*E3/G3+ - C3 D3*F3/G3+ -

@IF(@AND(@ABS(B4 B3)<$B$1,@ABS(C4 C3)<$B$1),"Da","Nu")- -

Să observăm că a doua şi a treia formulă determină valorile iteraţiilor (1)x , (1)y . Ultima formulă

verifcă îndeplinirea condiţiilor:

(k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y |

corespunzătoare valorii: k 1= Mai exact, ultima formulă returnează cuvântul Da atunci când se îndeplinesc ultimele inegalităţi şi cuvântul Nu în caz contrar. Cum observăm, figura 4.8, la iteraţia:

k 1=

Analiză Numerică


62

nu se îndeplinesc ultimele inegalităţi. Pentru a continua calculele, am copiat blocul E3..H3 în blocul E4..H4. De asemenea, am copiat blocul A4..H4 în blocul A5..H23.


k 20= se îndeplinesc condiţiile: (k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y | Prin urmare, pentru:


(20)x 2.499985 , (20)y 1.747994 Această soluţie aproximează foarte bine souluţia exactă:

x 5 / 2 , y 7 / 4 Pentru a determina şi cealaltă soluţie a sistemului am luat: (0)x 0.5= , (0)y 0= Întrucât pe coloana D nu a apărut cuvântul Da am mai copiat blocul de celule A23..H23 în blocul de celule A24..H30.

Rezultatele calculelor, figura 17.9, ne arată că la iteraţia:

k 27= se îndeplinesc condiţiile:

(k) (k 1)| x x | , (k) (k 1)| y y | Prin urmare, pentru:

0.001= am obţinut soluţia:

(27)x 2.999647 , (27)y 0.998226 Această soluţie aproximează foarte bine souluţia exactă: x 3 , y 1

Analiză Numerică


63

Fig. 4.9

4.5. Despre alegerea primei aproximaţii

Prima aproximaţie a soluţiei unui sistem algebric neliniar de ecuaţii are, de multe ori, un rol esenţial în metodele iterative. S-a demonstrat că şirurile construite în unele metode iterative sunt convergente numai dacă iteraţia iniţială este suficient de apropiată de soluţia exactă. În cazul sistemelor algebrice neliniare de două ecuaţii cu două necunoscute, determinarea primei aproximaţii se poate face uşor pe cale grafică. Această metodă nu se mai poate folosi în cazul sistemelor cu un număr mare de ecuaţii. Multe sisteme de acest tip provin însă din modelarea unor probleme concrete. În asemenea situaţii prima aproximaţie se poate alege folosind semnificaţia reală a necunoscutelor sistemului.

Test de autoevaluare Calculaţi o soluţie aproximativă a sistemului neliniar de ecuaţii algebrice: 2

1 34x 9x 25

Analiză Numerică


64

21 22x 3x 7

După parcurgerea unităţii 4 de învăţare trebuie să reţineţi: Cum se calculează soluţiile sistemelor neliniare de ecuaţii algebrice.

Răspunsuri la întrebările din testul de autoevaluare Sistemul algebric neliniar de ecuaţii: 2

1 34x 9x 25

21 22x 3x 7

are soluţia: 1x 2 , 2x 1

Bibliografie minimală 1. Iacob Caius, Matematici clasice şi moderne, Editura tehnică, Bucureşti, 1983 2. Marinescu Gheorghe, Analiza numerică, Editura Academiei, Bucureşti, 1974 3. Akai Terrence, Aplplied Numerical Methods for Engineers, John Wiley & Sons, New York (Carte disponibilă la Biblioteca USAMVB)


Analiză Numerică


65

Unitatea de învăţare nr. 5 Metode numerice de rezolvare a ecuaţiilor şi sitemelor de ecuaţii diferenţiale Cuprins 5.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 5 5.1 Problemele lui Cauchy date ca exemple în această unitate 5.2 O clasificare a metodelor numerice pentru probleme de tip Cauchy 5.3 Despre consistenţa, stabilitatea şi convergenţa metodelor numerice 5.4 Ordinul unei metode numerice 5.5 Stabilirea formulelor de recurenţă ale metodelor de tip Euler cu ajutorul ecuaţiilor integrale 5.6 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei de tip Euler cu ajutorul seriilor Taylor 5.7 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei lui Euler pe considerente geometrice 5.8 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei lui Euler îmbunătăţită 5.9 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei lui Euler modificată 5.10 Consistenţa, stabilitatea şi convergenţa metodelor de tip Euler 5.11 Ordinul metodelor de tip Euler 5.12 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 5.12.1 Utilizarea metodei lui Euler 5.12.2 Utilizarea metodei lui Euler îmbunătăţită 5.12.3 Utilizarea metodei lui Euler modificată 5.13 Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de ordin superior cu metode de tip Euler 5.14 Determinarea soluţiilor cu o precizie dată 5.15 Observaţii privind pasul reţelei

5.0 Obiectivele unităţii de învăţare nr. 5 Prezentarea metodelor de tip Euler pentru rezolvarea problemei lui Cauchy

5.1 Problemele lui Cauchy date ca exemple în acest capitol În exemplele pe care le dăm în acest capitol apar trei probleme ale lui Cauchy. Este vorba de o problemă a lui Cauchy pentru o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi, o problemă a lui Cauchy pentru un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi şi de o problemă a lui Cauchy pentruo ecuaţie diferenţială de ordinul doi. Cele trei probleme care apar în exemplele pe care le dăm au soluţii exacte. Aceasta ne permite să facum comparaţii cu soluţiile numerice pe care le obţinem. Ca exemplu de problemă a lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi: y ' f(x, y) cu condiţia iniţială: 0 0y(x ) y

Analiză Numerică


66

în care 0x şi 0y sunt constante date, vom considera în toate cazurile problema lui Cauchy pentru

ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:

2

yy '

1 x

cu condiţia iniţială: y(0) 1 Prin urmare:

2

yf(x, y)

1 x

, 0 0x 0, y 1

Această problemă are soluţia exactă: arctgxy(x) e În cazul problemei lui Cauchy pentru sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul unu este suficient să considerăm problema lui Cauchy pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' f(x, y, z) z ' g(x, y, z) cu condiţiile iniţiale: 0 0y(x ) y , 0 0z(x ) z

în care 0x , 0y şi 0z sunt constante date. Ca exemplu numeric concret, vom considera în toate cazurile

problema lui Cauchy pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' 4y 3z z ' y 2z cu condiţiile iniţiale: y(0) 0 , z(0) 2 Prin urmare: f (y,z) 4y 3z, g( y, z) y 2z , 0x 0 , 0y 0 , 0z 2

Această problemă are soluţia exactă:

x 5x3 3y(x) e e

2 2 , x 5x3 1

z(x) e e2 2

Analiză Numerică


67

În fine, ca exemplu de problemă a lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordin doi: y '' g(x, y, y ') cu condiţiile iniţiale: '

0 0 0 0y(x ) y , y '(x ) y

în care 0x , 0y şi '

0y sunt constante date, vom considera problema lui Cauchy pentru ecuaţia

diferenţială: y '' 9y ' 8y cu condiţiile iniţiale:

y(0) 1, y '(0) 1

Prin urmare: g(x, y, y ') 9y ' 8y , '

0 0 0x 0, y 1, y 1

Această problemă are soluţia exactă: xy(x) e

Aşa cum ştim, problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială y '' g(x, y, y ') se reduce la rezolvarea problemei lui Cauchy pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' z z ' g(x, y, z) cu condiţiile iniţiale: 0 0 0 0y(x ) y , z(x ) z

în care: '

0 0z y

În cazul exemplului nostru, rezolvarea problemei lui Cauchy pentru ecuaţia de ordinul doi y '' 9y ' 8y se reduce la rezolvarea sistemului de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' z z ' 8y 9z cu condiţiile iniţiale: y(0) 1 , z(0) 1

Analiză Numerică


68

Aşadar: f z, g 8y 9z şi: 0 0 0x 0, y 1, z 1

Această problemă are soluţia exactă: xy(x) e , xz(x) e 5.2 O clasificare a metodelor numerice pentru problema lui Cauchy De multe ori, coeficienţii care apar în ecuaţiile diferenţiale sunt funcţii ale căror valori se cunosc numai în anumite puncte. În plus, în problemele reale este adesea suficient să se determine valorile aproximative ale soluţiei numai într-o reţea de noduri: 0 1 na x x ... x b

De cele mai multe ori se folosesc reţele de noduri echidistante: 0x a , i i 1x x h

cu i 1, 2, ..., n şi h o constantă pozitivă dată numită pasul reţelei. În cele ce urmează, valorile exacte ale funcţiei necunoscute y(x) în nodurile 1 2 nx , x ,...,x le notăm cu 1 2 ny(x ), y(x ), ..., y(x ) , iar numerele

cu care aproximăm aceste valori le notăm cu 1 2 ny , y , ..., y . Valorile 1 2 ny , y , ..., y reprezintă o soluţie

numerică a problemei. Soluţiile numerice sunt preferate uneori şi în cazurile în care se pot determina soluţiile exacte. De pildă, problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi: 3y ' 2.3746 1.8y 0.5746y cu condiţia iniţială: y(0)=0 se poate rezolva exact. Soluţia sa este [ Salvadori ]:

21 y y 4.13 2y 1

x=0.28(-ln(1-y)+ ln 0.76(ctg -ctg 0.254))2 4.13 3.94

Determinarea valorii lui y pentru un x dat revine însă la rezolvarea unei ecuaţii transcendente care este destul de complicată. Soluţiile numerice se determină cu două familii de metode. Este vorba de:

- familia metodelor cu un singur pas

Analiză Numerică


69

- familia metodelor cu mai mulţi paşi

Familia metodelor cu un singur pas se bazează pe relaţii de recurenţă în care valoarea iy se determină

în funcţie de valoarea anterioară i 1y . Aceste metode mai sunt cunoscute sub numele de metode pas

cu pas. Familia metodelor cu mai mulţi paşi se bazează pe relaţii de recurenţă în care valoarea iy se

determină în funcţie de valorile i 1 i 2 0y , y , ..., y .

Dacă pentru determinarea lui iy obţinem o relaţie de forma:

i i 1 i 2 i ky (y , y , ..., y )

atunci metoda se numeşte metodă explicită sau directă, iar dacă pentru determinarea lui iy obţinem o

relaţie de forma:

i i 1 i k(y , y , ..., y ) 0

atunci metoda se numeşte implicită sau indirectă. Evident, în cazul k 1 metoda este cu un singur pas, iar în cazul k i metoda este cu mai mulţi paşi.

5.3 Despre consistenţa, stabilitatea şi convergenţa metodelor numerice Considerăm problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi: y ' f(x, y) cu condiţia iniţială: 0 0y(x ) y

în care 0x şi 0y sunt constante date.

Presupunem că problema lui Cauchy pe care am formulat-o se poate rezolva printr-o metodă numerică de forma: 0 0y(x ) y

i i 1 i 1 i 1y y h (x , y , h)

cu i 1, 2, ..., n . În acest context dăm o serie de definiţii şi rezultate. Metoda numerică definită de funcţia se numeşte consistentă cu ecuaţia diferenţială y ' f(x, y) dacă pentru orice soluţie y(x) are loc relaţia:

i i 1 i 1 i 1h 0

1lim{max | [y(x ) y(x )] (x , y(x ), h) |} 0

h

pentru orice i 1, 2, ..., n . Se demonstrează că o condiţie necesară şi suficientă pentru ca metoda numerică definită de funcţia să fie consistentă este ca: (x, y, 0) f(x, y)

Analiză Numerică


70

pentru orice x [a, b] , [a, b] fiind domeniul pe care este definită funcţia necunoscută y(x) a ecuaţiei. Considerăm acum problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:

y ' f (x, y) (x) cu condiţia iniţială: 0 0 0y(x ) y z

Această problemă se numeşte problema perturbată a problemei lui Cauchy pe care am formulat-o iniţial. Admitem că problema perturbată se poate rezolva printr-o metodă numerică de forma: 0 0y(x ) z

i i 1 i 1 i 1 iy y h( (x , y , h) )

cu i 1, 2, ..., n . Metoda numerică utilizată la rezolvarea problemei lui Cauchy pe care am formulat-o iniţial se numeşte stabilă dacă există două constante A şi B care nu depind de pasul h astfel încât: i i 0 0 imax |y z | A | y z | Bmax | |

pentru orice i 1, 2, ..., n . Prin urmare, mici perturbaţii asupra datelor problemei conduc la perturbaţii mici ale soluţiei. Se demonstrează că metoda numerică definită de funcţia este consistentă dacă funcţia (x, y, h) verifică o condiţie Lipschitz în raport cu variabila y.

Metoda numerică definită de funcţia se numeşte convergentă dacă: i ih 0

lim max | y(x ) y | 0

pentru orice i 0, 1, ..., n . Se demonstrează[ ] că metodă numerică definită de funcţia este convergentă dacă este consistentă şi stabilă. 5.4 Ordinul unei metode numerice Se spune că o metodă numerică definită de o funcţie este de ordin mai mare sau egal cu p dacă pentru toate soluţiile numerice are loc relaţia:

pi i 1 i 1 i 1

1max | [y(x ) y(x )] (x , y(x ), h) | O(h )

h

pentru orice i 1, 2, ..., n . Notaţia pO(h ) desemnează o sumă care împărţită la ph tinde către o constantă finită când h tinde la 0. Se demonstrează[ ] că în cazul unei metode numerice de ordin mai mare sau egal cu p definită de o funcţie (x, y, h) care îndeplineşte o condiţie de tip Lipschitz are loc relaţia: p

i imax | y(x ) y | O(h )

Analiză Numerică


71

pentru orice i 0, 1, 2, ..., n . 5.5 Stabilirea formulelor de recurenţă cu ajutorul ecuaţiilor integrale

Considerăm problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi: y ' f(x, y) cu condiţia iniţială: 0 0y(x ) y


Ne propunem să determinăm soluţia numerică asociată reţelei de noduri: 0 1 na x x ... x b

definită de relaţia de recurenţă: 0 i i 1x a, x x h

cu i 1, 2, ..., n şi h pasul reţelei. Ca de obicei, notăm cu 1 ny , ..., y aproximaţiile valorilor exacte

1 ny(x ), ..., y(x ) .

Pentru a obţine formulele de recurenţă ale metodelor de tip Euler cu ajutorul ecuaţiilor integrale, integrăm ecuaţia diferenţială y ' f(x, y) pe intervalul i 1 i[x , x ] . Ca urmare, obţinem ecuaţia:

i

i 1

x

i i 1x

y(x ) y(x ) f(x, y(x))dx

Această ecuaţie conţine funcţia necunoscută y(x) sub semnul integralei. De aceea, ecuaţia obţinută se numeşte ecuaţie integrală.

Dacă aproximăm integrala i

i 1

x

x

f(x, y(x))dx

cu aria dreptunghiului care are vârfurile în punctele

de coordonate i 1(x , 0) , i(x , 0) , i i i(x , f(x , y(x )) şi i 1 i i(x , f(x , y(x )) , atunci obţinem relaţia:

i i 1 i 1 i 1y y hf(x , y )

cu i 1, 2, ..., n şi 0 0x , y , h constante date. Metoda numerică bazată pe ultima relaţie este cunoscută

sub numele de metoda lui Euler. Această metodă a fost elaborată de Leonard Euler (1707 1783) , membru al Academiei de Ştiinţe din Petersburg, întemeietorul teoriei ecuaţiilor diferenţiale, teorie născută din calculul integral. A. N. Krîlov, cunoscut specialist în metode numerice, spunea, în una din cărţile sale [ ]: „Ca şi în majoritatea problemelor calculului integral, şi aici începutul a fost făcut de Euler”.

Dacă aproximăm integrala i

i 1

x

x

f(x, y(x))dx

cu aria trapezului care are vârfurile în punctele de

Analiză Numerică


72

coordonate i 1(x , 0) , i(x , 0) , i i i(x , f(x , y(x )) şi i 1 i 1 i 1(x , f(x , y(x )) , atunci obţinem relaţia:

i 1 i 1 i ii i 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2

cu i 1, 2, ...,n şi 0 0x , y , h constante date. Aşa cum observăm, valoarea necunoscută iy apare în

ambii membri ai relaţiei. De aceea, dacă funcţia f(x, y) are o expresie complicată, atunci determinarea lui iy conduce la rezolvarea unei ecuaţii algebrice sau transcendente. Pentru a evita acest mod de

rezolvare, Heun a introdus o metodă de tip predictor–corector. În etapa de predicţie se determină cu metoda lui Euler o predicţie iy a valorii iy , adică:

i i 1 i 1 i 1y y hf(x , y )

iar în etapa de corecţie se determină valoarea corectată iy cu formula:

i 1 i 1 i i

i i 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2

Ultima relaţie se obţine din relaţia i 1 i 1 i ii i 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2

înlocuind pe iy din i if(x ,y ) cu iy .

Aşadar, metoda lui Heun, cunoscută şi sub numele de metoda lui Euler îmbunătăţită, foloseşte relaţiile: i i 1 i 1 i 1y y hf(x , y )

i 1 i 1 i ii i 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2

5.6 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei lui Euler cu ajutorul seriilor Taylor

Considerăm problema Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:

y ' f(x, y) cu condiţia iniţială: 0 0y(x ) y


Ne propunem să determinăm soluţia numerică asociată reţelei de noduri: 0 1 na x x ... x b

definită de relaţia de recurenţă: 0 i i 1x a, x x h

cu i 1, 2, ..., n şi h pasul reţelei. Ca de obicei, notăm cu 1 ny , ..., y aproximaţiile valorilor exacte

Analiză Numerică


73

1 ny(x ), ..., y(x ) .

Presupunem că soluţia ecuaţiei se poate dezvolta în seria Taylor:

(n)

ny '(x) y (x)y(x h) y(x) h ... h ...

1! n!

Este clar că:

'' (n)

n 1 ny(x h) y(x) y (x) y (x)y '(x) h ... h O(h )

h 2! n!

Pe de altă parte: y ' f(x, y) iar prin calcul direct obţinem:

f f

y '' (x, y(x)) (x, y(x))f(x, y(x))x y

Din aproape în aproape se pot calcula şi derivatele următoare. Cum am mai spus, acest calcul se complică pe măsură ce creşte ordinul de derivare. Dacă în seria Taylor scrisă mai înainte alegem n 1 , atunci obţinem:

y(x h) y(x)

f(x,y) O(h)h

Acum înlocuim aici pe x cu i 1x . În acest fel obţinem:

i i 1

i 1 i 1

y(x ) y(x )f(x , y(x )) O(h)

h

Dacă renunţăm la termenii de ordinul lui h din membrul drept, atunci putem scrie: i i 1 i 1 i 1y y hf(x , y )

cu i 1, 2, ..., n şi 0 0x , y , h constante date. Metoda numerică bazată pe această relaţie este metoda lui

Euler pentru problema lui Cauchy pe care am enunţat-o la începutul acestei secţiuni. Acum metoda lui Euler a fost construiă cu ajutorul seriilor Taylor. 5.7 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei lui Euler pe considerente geometrice În secţiunile anterioare am dedus formula de recurenţă a metodei lui Euler de rezolvare numerică a problemei lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:

y ' f(x, y) cu condiţia iniţială:

Analiză Numerică


74

0 0y(x ) y

în care 0x şi 0y sunt constante date. Pentru aceasta am folosit atât metoda ecuaţiilor integrale cât şi

metoda dezvoltării în serie Taylor. Formula de recurenţă a metodei lui Euler se poate stabili şi folosind considerente geometrice.

Presupunem că figura 5.1 conţine graficul funcţiei y y(x) care este soluţia problemei lui Cauchy pe care am formulat-o. Pentru a deduce formula de recurenţă a metodei lui Euler pe cale geometrică, considerăm punctul 0P de coordonate 0 0(x , y ) . Ecuaţia tangentei la curba y y(x) în

acest punct este: 0 0 0y y y '(x )(x x )

Intersecţia acestei tangente cu dreapta: 1x x

este punctul 1P de coordonate 1 1(x , y ) . Prin urmare:

1 0 0 1 0y y y '(x )(x x )

Cum: 0 0 0y '(x ) f(x , y )

obţinem: 1 0 0 0y y hf(x , y )

Mai notăm cu 1Q punctul de intersecţie al dreptei:

1x x

cu graficul funcţiei:

y y(x) Este clar că ordonata 1y a punctului 1P este aproximaţia soluţiei problemei lui Cauchy pentru 1x x ,

iar ordonata 1y(x ) a punctului 1Q este valoarea exactă a soluţiei pentru aceeaşi valoare a lui x. În

figura 5.1 am notat cu e valoarea 1 1e y y(x ) . Evident | e | este eroarea absolută a aproximaţiei 1y .

Analiză Numerică


75

Fig. 5.1

Prin punctul 1P putem duce o dreaptă care are direcţia paralelă cu direcţia tangentei la graficul

funcţiei în punctul 1Q . Ecuaţia dreptei este:

1 1 1y y y '(x )(x x )

Intersecţia acestei drepte cu dreapta: 2x x

este punctul 2P de coordonate 2 2(x , y ) . Prin urmare:

2 1 1 2 1y y y '(x )(x x )

Cum: 1 1 1y '(x ) f(x , y )

deducem: 2 1 1 1y y hf(x , y )

Mai notăm cu 2Q punctul de intersecţie al dreptei:

2x x

cu graficul funcţiei:

y y(x) Evident, ordonata 2y a punctului 2P este aproximaţia soluţiei problemei lui Cauchy pentru 2x x , iar

ordonata 2y(x ) a punctului 2Q este valoarea exactă a soluţiei pentru aceeaşi valoare a lui x.

Pe aceeaşi cale, obţinem punctele 3 nP , ..., P , 3 nQ , ..., Q . Prin urmare, metoda pe care am

Analiză Numerică


76

folosit-o ne conduce la o linie poligonală 0 1 2 3 nP , P , P , P , ..., P care aproximează soluţia ecuaţiei. De

aceea, metoda lui Euler mai este cunoscută sub numele de metoda liniilor poligonale. Procedeul geometric pe care l-am utilizat ne arată că este valabilă formula de recurenţă:

i i 1 i 1 i 1y y hf(x , y )

cu i 1, 2, ..., n şi 0 0x , y , h constante date. Aceasta este formula de recurenţă a metodei lui Euler.

Ca exemplu, considerăm problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:

2

yy '

1 x

cu condiţia iniţială: y(0) 1 Ne propunem să determinăm soluţia numerică în reţeaua de noduri: 0x 0 , 1x 0.1 , 2x 0.2 , …., 10x 1

Pentru a determina aproximaţia 1y , în formula de recurenţă a metodei lui Euler luăm i 1 . În

acest fel obţinem formula: 1 0 0 0y y hf(x ,y )

Prin calcul direct, deducem:

01 0 0 0 0 2

0

yy y hf(x ,y ) y h

1 x

1

1 0.1 1.11 0

adică: 1y 1.1

Valoarea soluţiei exacte arctgxy(x) e , calculată cu şase zecimale, în nodul 1x este:

1y(x ) 1.104805

Prin urmare: 1 1y(x ) y 1.104805 1.100000 0.004805 0.01

Aşadar, eroarea absolută a aproximaţiei 1y este mai mică decât valoarea:

0.01

Analiză Numerică


77

Pentru a determina aproximaţia 2y , în formula de recurenţă a metodei lui Euler luăm i 2 . În

acest fel obţinem formula: 2 1 1 1y y hf(x ,y )


12 1 1 1 1 2

1

yy y hf(x ,y ) y h

(1 x )

2

1.11.1 0.1 1.208911

1 0.1

adică: 2y 1.208911


2y(x ) 1.218226

Prin urmare: 2 2y(x ) y 1.218226 1.208911 0.009315 0.01


0.01 Să observăm că eroarea absolută 2 2y(x ) y 0.009315 a aproximaţiei 2y este mai mare decât

eroarea absolută 1 1y(x ) y 0.004805 a aproximaţiei 1y .

Le fel se pot calcula aproximaţiile 3 4 10y , y , ...,y . Aceste calcule nu le mai facem. Prezentăm

însă o procedură QP pentru efectuarea automată a calculelor. Un set de rezultate ale calculelor bazate pe procedura pe care o vom prezenta în continuare apare în figura 5.2. Procedura foloseşte formula de recurenţă:

i i 1 i 1 i 1y y hf(x , y )

cu i 1, 2, ..., n şi 0 0x , y , h constante date.

Coloana A conţine valorile lui i. Pentru a genera aceste valori, în celula A3 am introdus valoarea iniţială a lui i, în celula A4 am introdus formula +A3+1 şi am copiat această formulă în blocul A5..A13.

Coloana B conţine nodurile reţelei. Pentru a genera reţeaua de noduri, în celula B3 am introdus valoarea iniţială a lui x, în celula B4 am introdus formula +B3+$B$1 şi am copiat această formulă în blocul B5..B13.

Coloana C conţine soluţia numerică 1 2 10y , y , ...,y . Pentru a calcula aceste numere, în celula C3

am introdus valoarea iniţială 0y , în celula C4 am introdus formula +C3+$B$1*C3/(1+B3^2) şi am copiat

această formulă în blocul C5..C13. Formula pe care am introdus-o în celula C4 corespunde membrului drept al formulei de recurenţă:

Analiză Numerică


78

i i 1 i 1 i 1y y hf(x , y )

cu:

2

yf(x, y)

1 x

.

Coloana D conţine valorile soluţiei exacte arctagxy(x) e în nodurile reţelei de pe coloana B.

Pentru a calcula aceste valori, în celula D3 am introdus formula @EXP(@ATAN(B3)) şi am copiat această formulă în blocul D4..D10.

Fig. 5.2

Coloana E conţine erorile absolute ale soluţiei numerice 1 2 10y , y , ...,y de pe coloana C. Pentru

a calcula aceste valori, în celula E3 am introdus formula @ABS(D3-C3) şi am copiat această formulă în blocul E4..E10. Figura 5.2 conţine valorile numerice corespunzătoare nodurilor reţelei de pe coloana B. Dacă dorim să obţinem valorile soluţiei şi în punctele 11 12x 1.1, x 1.2,... , atunci trebuie să copiem blocul

A13..E13 în liniile următoare. Valorile din coloana E arată că erorile absolute cresc pe măsură ce ne îndepărtăm de punctul iniţial. Acest rezultat era de aşteptat. În adevăr, linia poligonală generată de metoda lui Euler se îndepărtează de graficul soluţiei exacte pe măsură ce valoarea lui x creşte. Diferenţa absolută maximă apare în celula E13. Procedura pe care am prezentat-o în această secţiune o putem utiliza şi la determinarea soluţiei numerice în altă reţea de noduri. Pentru aceasta este suficient să modificăm valoarea lui h din celula B1. Desigur, dacă dorim să determinăm soluţia numerică a altei probleme Cauchy, atunci trebuie să modificăm valorile iniţiale 0y şi 0z din celulele B3 şi C3. Dacă dorim să rezolvăm problema lui

Cauchy pentru altă ecuaţie diferenţială, atunci trebuie să modificăm şi formulele de pe coloana C. Să mai observăm că numerele de pe coloanele D şi E sunt calculate cu ajutorul soluţiei exacte. Desigur, dacă nu cunoaştem soluţia exactă, atunci aceste coloane nu le mai introducem.

5.8 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei lui Euler îmbunătăţită

Metoda lui Euler aproximează printr-o linie poligonală soluţia problemei lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:

Analiză Numerică


79

y ' f(x, y)

cu condiţia iniţială:

0 0y(x ) y

în care 0x şi 0y sunt constante date. Rezultatele din exemplul pe care l-am dat ne arată că erorile

absolute ale valorilor numerice obţinute se măresc pe măsură ce valoarea lui x creşte. Formula de recurenţă a metodei lui Euler am determinat-o cu ajutorul desenului din figura 5.1. Cu ajutorul aceluiaşi desen deducem şi formula de recurenţă a metodei lui Euler îmbunătăţită. De fapt, în metoda lui Euler îmbunătăţită, determinarea unei aproximaţii iy se face în două etape. În prima

etapă se determină a predicţie iy a aproximaţiei iy cu metoda lui Euler adică:

i 1 i 1 i 1iy y hf(x , y )

iar în a doua etapă se determină o corecţie a predicţiei iy . Valoarea corectată se notează cu iy .

Pentru a determina corecţia predicţiei iy se scrie dreapta care trece prin punctul de coordonate

i 1 i 1(x , y ) şi are panta:

i 1 i 1 i if (x , y ) f(x , y )p

2

adică: i 1 i 1y y p(x x )

Este clar că: i 1 i 1 i 1y '(x ) f(x , y ) , i i iy '(x ) f(x ,y )

Prin urmare, panta p este media aritmetică a valorilor aproximative ale pantelor în punctele de coordonate i 1 i 1(x , y(x )) şi i i(x , y(x )) .

Intersecţia tangentei:

i 1 i 1y y p(x x )

cu dreapta: ix x

conduce la relaţia: i i 1 i i 1y y p(x x )

adică:

Analiză Numerică


80

i 1 i 1 i ii i 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2

Aşadar, metoda lui Euler îmbunătăţită utilizează formulele de recurenţă: i i 1 i 1 i 1y y hf(x , y )

i 1 i 1 i ii i 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2

cu i 1, 2, ..., n şi 0x , 0y , h constante date.


2

yy '

1 x


Pentru a determina predicţia 1y , în prima formulă de recurenţă a metodei lui Euler îmbunătăţită

luăm i 1 . În acest fel obţinem formula: 1 0 0 0y y hf(x , y )


00 0 0 01 2

0

yy y hf(x ,y ) y h

1 x

1

1 0.1 1.11 0

adică: 1y 1.1

Pentru a determina corecţia 1y , în a doua formulă de recurenţă a metodei lui Euler îmbunătăţită

luăm i 1 . În acest fel obţinem formula:

0 0 1 11 0

f(x , y ) f(x , y )y y h

2


Analiză Numerică


81

0 12 2

0 0 1 0 111 0 0

y yf(x , y ) f(x , y ) 1 x 1 x

y y h y h2 2

2

1 1.11 0 1 0.11 0.1 1.104455

2

adică: 1y 1.104455


1y(x ) 1.104805

Prin urmare: 1 1y(x ) y 1.104805 1.104455 0.000349 0.001


0.001 Să observăm că eroarea absolută 1 1y(x ) y 0.000349 a aproximaţiei 1y pe care am obţinut-o cu

metoda lui Euler îmbunătăţită este mai mică decât eroarea absolută 1 1y(x ) y 0.004805 a

aceleeaşi aproximaţii 1y pe care am obţinut-o cu metoda lui Euler.

Pentru a determina predicţia 2y , în prima formulă de recurenţă a metodei lui Euler îmbunătăţită

luăm i 2 . În acest fel obţinem formula: 1 1 12y y hf(x ,y )


11 1 1 12 2

1

yy y hf(x ,y ) y h

1 x

1.1044551.104455 0.1 1.213807

1 0.1^ 2

adică: 2y 1.213807

Pentru a determina corecţia 2y , în a doua formulă de recurenţă a metodei lui Euler îmbunătăţită

luăm i 2 . În acest fel obţinem formula:

Analiză Numerică


82

1 1 2 22 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2


1 22 2

1 1 2 2 1 22 1 1

yyf(x , y ) f(x , y ) 1 x 1 x

y y h y h2 2

2

1.104455 1.2138071 0.1^ 2 1 0.21.104455 0.1 1.217487

2

adică: 2y 1.217487


2y(x ) 1.218226

Prin urmare: 2 2y(x ) y 1.218226 1.217487 0.000738 0.001



metoda lui Euler îmbunătăţită este mai mică decât eroarea absolută 2 2y(x ) y 0.009315 a

aceleeaşi aproximaţii 1y pe care am obţinut-o cu metoda lui Euler.

Fig. 5.3

Analiză Numerică


83


însă o procedură QP pentru efectuarea automată a calculelor. Un set de rezultate ale calculelor bazate pe procedura pe care o vom prezenta în continuare apare în figura 5.3. Procedura foloseşte formulele de recurenţă:

i i 1 i 1 i 1y y hf(x , y )

i 1 i 1 i ii i 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2

cu i 1, 2, ..., n şi 0 0x , y , h constante date. Datorită rotunjirilor, a şasea zecimală a aproximaţiei 2y pe

care am obţinut-o în calculul manual diferă de cea pe care am obţinut-o prin calculul automat. Coloana A conţine valorile lui i. Pentru a calcula aceste valori, în celula A3 am introdus valoarea iniţială a lui i, în celula A4 am introdus formula +A3+1 şi am copiat această formulă în blocul A5..A13.


În celulele E3 şi F3 am introdus valoarea lui 0y şi, respectiv, valoarea lui 0 0f(x , y ) . Mai exact,

în celula E3 am introdus numărul 1, iar în celula F3 am introdus formula +F3/(1+B3^2). Formula pe care

am introdus-o în celula F3 corespunde funcţiei 2

yf(x, y)

1 x

.

Coloana C conţine predicţiile aproximaţiilor 1 2 10y , y , ...,y , predicţii care în figura 5.5 sunt notate

cu ipy . Predicţiile 1 2 10py , py ,..., py le-am calculat în mai multe etape. În prima etapă am calculat

numărul din celula C4. Pentru aceasta, în celula C4 am introdus formula E3+$B$1*F3. Celelalte numere de pe coloana D le-am calculat ulterior. Formula pe care am introdus-o în celula C4 corespunde membrului drept al formulei:

i i 1 i 1 i 1y y hf(x , y )

cu:

2

yf(x, y)

1 x

Coloana D conţine valorile funcţiei 2

yf(x, y)

1 x

în perechile de numere i i(x , py ) . Valorile de

pe coloana D le-am calculat în mai multe etape. În primul rând am calculat numărul din celula D3. Pentru aceasta, în celula D3 am introdus formula +E3/(1+B3^2). Celelalte numere de pe coloana D le-am calculat ulterior.

Coloana E conţine aproximaţiie 1 2 10y , y , ...,y . Aceste aproximaţii le-am calculat în mai multe

etape. Aşa cum am precizat deja, în celula E3 am introdus valoarea iniţială 0y . Acum, în celula E4 am

introdus formula +E3+$B$1*(F3+D4)/2. Celelalte numere de pe coloana E le-am calculat ulterior. Formula pe care am introdus-o în celula E4 corespunde membrului drept al formulei:

i 1 i 1 i ii i 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2

Analiză Numerică


84

cu:

2

yf(x, y)

1 x

Coloana F conţine valorile funcţiei 2

yf(x, y)

1 x

în perechile de numere i i(x , y ) . Valorile de

pe coloana F le-am calculat în mai multe etape. Aşa cum am spus deja, în celula F3 am introdus valoarea funcţiei f (x, y) în perechea de puncte 0 0(x , y ) . Acum, în celula F4 am introdus formula

+E4/(1+B4^2). Celelalte numere de pe coloana F le-am calculat ulterior. Coloana G conţine valorile soluţiei exacte arctgxy(x) e în nodurile reţelei de pe coloana B.

Pentru a calcula aceste valori, în celula G3 am introdus formula @EXP(@ATAN(B3)) şi am copiat această formulă în blocul G4..G13. Coloana H conţine erorile absolute ale soluţiei numerice 1 2 10y , y , ...,y de pe coloana E. Pentru

a calcula aceste valori, în celula H3 am introdus formula @ABS(E3-G3) şi am copiat această formulă în blocul H4..H13. Figura 5.3 conţine valorile numerice corespunzătoare nodurilor reţelei de pe coloana B. Dacă dorim să obţinem valorile soluţiei şi în punctele 11 12x 1.1, x 1.2,... , atunci trebuie să copiem blocul

A13..H13 în liniile următoare. Numerele de pe coloana H ne arată că erorile absolute ale soluţiei numerice 1 2 10y , y , ...,y sunt

mai mici decât erorile absolute corespunzătoare obţinute cu metoda lui Euler, erori care apar în figura 5.2. Procedura pe care am prezentat-o în această secţiune o putem utiliza şi la determinarea soluţiei numerice în altă reţea de puncte. Pentru aceasta este suficient să modificăm valoarea lui h din celula B1. Desigur, dacă dorim să determinăm soluţia numerică a altei probleme Cauchy, atunci trebuie să modificăm valorile iniţiale 0x şi 0y din celulele B3 şi E3. Dacă dorim să rezolvăm problema lui

Cauchy pentru altă ecuaţie diferenţială, atunci trebuie să modificăm şi formulele de pe coloanele D şi F. Să mai observăm că numerele de pe coloanele G şi H sunt calculate cu ajutorul soluţiei exacte. Desigur, dacă nu cunoaştem soluţia exactă, atunci aceste coloane nu le mai introducem.

5.9 Stabilirea formulei de recurenţă a metodei lui Euler modificată Considerăm din nou problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:

y ' f(x, y)

cu condiţia iniţială:

0 0y(x ) y


În metoda lui Euler îmbunătăţită am scris ecuaţia dreptei care trece prin punctul de coordonate

i 1 i 1(x , y ) şi are coeficientul unghiular i 1 i 1 i if (x , y ) f(x , y )p

2

. Metoda lui Euler modificată utilizează

dreapta care trece prin acelaşi punct şi are panta:

i 1 i 1 i 1 i 1

h hp f(x , y f(x , y ))

2 2

Analiză Numerică


85

Ecuaţia dreptei este:

i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

h hy y f(x , y f(x , y ))(x x )

2 2

Dacă intersectăm această dreaptă cu dreapta: ix x

atunci obţinem un punct a cărui abscisă este valoarea aproximativă a soluţiei problemei lui Cauchy pentru ix x . Prin urmare:

i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

h hy y hf(x , y f(x , y ))

2 2

cu i 1, 2, ..., n şi 0 0x , y , h constante date. Aceasta este formula de recurenţă a metodei lui Euler

modificată. Ca exemplu, considerăm problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:

2

yy '

1 x


Pentru a determina valoarea aproximaţiei 1y , în formula de recurenţă a metodelui lui Euler

modificată luăm i 1 . În acest fel obţinem formula:

1 0 0 0 0 0


2 2


0

h 0.1x 0 0.05

2 2

00 0 2 2

0

yh h 0.1 1f(x , y ) 0.05

2 2 1 x 2 1 0

0 0 0

hy f(x , y ) 1 0.05 1.05

2

0 0 0 0 2

h h 1.05f(x , y f(x , y )) f(0.05, 1.05) 1.047382

2 2 1 0.05

Analiză Numerică


86

Aşadar:

1 0 0 0 0 0

h hy y hf(x , y f(x , y )) 1 0.1* 1.047382 1.104738

2 2

adică: 1y 1.104738


1y(x ) 1.104805

Prin urmare: 1 1y(x ) y 1.104805 1.104738 0.000067 0.0001



metoda lui Euler modificată este mai mică decât eroarea absolută 1 1y(x ) y 0.000349 a aceleeaşi

aproximaţii 1y pe care am obţinut-o cu metoda lui Euler îmbunătăţită.

Pentru a determina valoarea aproximaţiei 2y , în formula de recurenţă a metodelui lui Euler

modificată luăm i 2 . În acest fel obţinem formula:

2 1 1 1 1 1


2 2


1

h 0.1x 0.1 0.15

2 2

11 1 2 2

1

yh h 0.1 1.104738f(x , y ) 0.05469

2 2 1 x 2 1 0.1

1 1 1

hy f(x , y ) 1.104738 0.054690 1.159428

2

1 1 1 1 2

h h 1.159428f(x , y f(x , y )) f(0.15, 1.159428) 1.133915

2 2 1 0.15

Aşadar:

2 1 1 1 1 1


2 2

Analiză Numerică


87

1.104738 0.1* 1.133915 1.218130 adică: 2y 1.218077


2y(x ) 1.218226

Prin urmare: 2 2y(x ) y 1.218226 1.218130 0.000096 0.0001



metoda lui Euler modificată este mai mică decât eroarea absolută 2 2y(x ) y 0.000739 a aceleeaşi

aproximaţii 2y pe care am obţinut-o cu metoda lui Euler îmbunătăţită.

Fig. 5.4


însă o procedură QP pentru efectuarea automată a calculelor. Un set de rezultate ale calculelor bazate pe procedura pe care o vom prezenta în continuare apare în figura 5.4. Procedura foloseşte formula de recurenţă:

i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1


2 2


Analiză Numerică


88

Coloana A conţine valorile lui i. Pentru a calcula aceste valori, în celula A3 am introdus valoarea iniţială a lui i, în celula A4 am introdus formula +A3+1 şi am copiat această formulă în blocul A5..A13.


În celulele C3, D3, E3 şi F3 am introdus valorile lui y, x h/ 2 , y hf(x, y) / 2 şi f (x h / 2, y hf(x, y) / 2) , corespunzătoare valorii iniţiale 0x . Pentru a calcula aceste valori, în celula

C3 am introdus valoarea iniţială 0y , în celula D3 am introdus formula +B3+$B$1/2, în celula E3 am

introdus formula +C3 + $B$1/2*C3/(1+B3^2), iar în celula F3 am introdus formula +E3/(1+D3^2). Coloana C conţine aproximaţiile 1 10y , ...,y . Aceste aproximaţii le-am calculat în mai multe

etape. Aşa cum am precizat deja, în celula C3 am introdus valoarea iniţială 0y . Acum, în celula C4 am

introdus formula C3+$B$1*F3. Celelalte numere de pe coloana C le-am calculat ulterior. Formula pe care am introdus-o încelula C4 corespunde membrului drept al formulei:

i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1


2 2

cu:

2

yf(x,y)

1 x

Coloana D conţine valorile expresiei h

x2

corespunzătoare nodurilor reţelei de pe coloana B .

Aşa cum am precizat deja, în celula D3 am introdus formula +B3+$B$1/2. Pentru a calcula şi celelalte numere de pe coloana D am copiat formula din celula D3 în blocul D4..D13.

Coloana E conţine valorile expresiei y hf(x, y) / 2 corespunzătoare valorilor lui x şi y de pe coloana B şi, respectiv, coloana C. Cum am precizat deja, în celula E3 am introdus formula +B4+$B$1/2*C4/(1+B4^2). Acum am copiat celula E3 în celula E4. Celelalte numere de pe coloana E le-am calculat ulterior.

Coloana F conţine valorile expresiei f(x h / 2, y hf(x, y) / 2) corespunzătoare valorilor lui x şi y de pe coloana B şi , respectiv, coloana C. Cum am precizat deja, în celula F3 am introdus formula +E3/(1+D3^2). Acum am copiat celula F3 în celula F4. Celelalte numere de pe coloana F le-am calculat ulterior.

Pe linia 4 din figura 5.4 apar valorile corespunzătoare lui i 1 . Pentru a calcula şi valorile corespunzătoare următoarelor valori ale lui i, am copiat blocul C3..F3 în blocul C4..F13. Să observăm că figura 5.4 conţine valorile numerice corespunzătoare nodurilor reţelei de pe coloana B. Dacă dorim să obţinem valorile soluţiei şi în punctele 11 12x 1.1, x 1.2,... , atunci trebuie să copiem blocul

A13..F13 în liniile următoare. Coloana G conţine valorile soluţiei exacte arctgxy(x) e în nodurile reţelei de pe coloana B.

Pentru a calcula aceste valori, în celula G3 am introdus formula @EXP(@ATAN(B3)) şi am copiat această formulă în blocul G4..G13. Coloana H conţine erorile absolute ale soluţiei numerice 1 10y , ...,y de pe coloana C. Pentru a

calcula aceste valori, în celula H3 am introdus formula @ABS(G3-C3) şi am copiat această formulă în blocul H4..H13.

Numerele de pe coloana H ne arată că erorile absolute ale soluţiei numerice 1 10y , ...,y

calculate cu metoda Euler modificată, figura 5.4, sunt mici decât erorile absolute ale soluţiei numerice

Analiză Numerică


89

1 10y , ...,y calculate cu metoda Euler îmbunătăţită, figura 5.3.

Procedura pe care am prezentat-o în această secţiune o putem utiliza şi la determinarea soluţiei numerice în altă reţea de puncte. Pentru aceasta este suficient să modificăm valoarea lui h din celula B1. Desigur, dacă dorim să determinăm soluţia numerică a altei probleme Cauchy, atunci trebuie să modificăm valorile iniţiale 0x şi 0y din celulele B3 şi C3. Dacă dorim să rezolvăm problema lui

Cauchy pentru altă ecuaţie diferenţială, atunci trebuie să modificăm şi formulele de pe coloanele E şi F. Să mai observăm că numerele de pe coloanele G şi H sunt calculate cu ajutorul soluţiei exacte. Desigur, dacă nu cunoaştem soluţia exactă, atunci aceste coloane nu le mai introducem. 5.10 Consistenţa, stabilitatea şi convergenţa metodelor de tip Euler În secţiunea 5.2 am enunţat o teoremă care afirmă că o metodă numerică definită de o funcţie

(x, y, h) este consistentă dacă şi numai dacă funcţia îndeplineşte condiţia: (x, y, 0) f(x, y) pentru orice x [a, b] şi orice yR . Pentru metodele de tip Euler pe care le-am prezentat avem:

(x, y, h) f(x, y) f(x, y) f(x h, y hf(x, y))

(x, y, h)2

h h(x, y, h) f(x , y f(x, y))

2 2

Prin urmare, cele trei metode de tip Euler pe care le-am considerat sunt consistente. Teorema de existenţă şi unicitate a soluţiei problemei lui Cauchy, pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:


0 0y(x ) y

în care 0x şi 0y sunt constante date, este demonstrată în ipoteza ca funcţia f(x, y) îndeplineşte

condiţia lui Lipschitz în raport cu variabila y. Din consistenţa metodelor numerice de tip Euler deducem că funcţia (x, y, h) îndeplineşte condiţia lui Lipschitz în raport cu a doua variabilă independentă. Prin urmare, potrivit unei teoreme pe care am enunţat-o în secţiunea 5.2, metodele de tip Euler sunt stabile. Aşadar, în baza unei teoreme din aceeaşi secţiune deducem că metodele de tip Euler sunt convergente. 5.11 Ordinul metodelor de tip Euler În secţiunea 5.5.3 am văzut că are loc relaţia:

i i 1i 1 i 1

y(x ) y(x )f(x , y(x )) O(h)

h

Analiză Numerică


90

Prin urmare, metoda lui Euler bazată pe relaţia de recurenţă: i i 1y y hf(x, y)

cu ajutorul căreia se rezolvă numeric problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul întâi:


0 0y(x ) y

în care 0x şi 0y sunt constante date este o metodă numerică de ordinul unu. Se demonstrează[ ] că

metoda lui Euler îmbunătăţită şi metoda lui Euler modificată sunt metode de ordinul doi. În finalul acestei secţiuni, considerăm din nou problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială

de ordinul întâi:

2

yy '

1 x

cu condiţia iniţială: y(0) 1

Fig. 5.5

Problema formulată am rezolvat-o în secţiunile anterioare cu cele trei metode de tip Euler pe

care le-am prezentat. Coloanele C, D şi E din figura 5.5 conţin rezultatele calculelor pe care le-am obţinut cu metoda lui Euler, metoda lui Euler îmbunătăţită şi, respectiv, metoda lui Euler modificată. În aceeaşi figură apar şi valorile soluţiei exacte corespunzătoare nodurilor reţelei din coloana B.

Analiză Numerică


91

Fig. 5.6

Figura 5.6 conţine erorile absolute ale soluţiilor numerice de pe coloanele C, E şi D. Erorile

absolute ale soluţiei numerice pe care am obţinut-o cu metoda lui Euler sunt mai mici decât valoarea: 0.1 erorile absolute ale soluţiei numerice pe care am obţinut-o cu metoda lui Euler

îmbunătăţită sunt mai mici decât valoarea:

0.01

iar erorile absolute ale soluţiei numerice pe care am obţinut-o cu metoda lui Euler modificată sunt mai mici decât valoarea: 0.001 Metoda lui Euler este o metodă de ordinul unu, iar metoda lui Euler îmbunătăţită şi metoda lui Euler modificată sunt metode de ordinul doi. Prin urmare, rezultatele obţinute privind erorile absolute sunt cele aşteptate

5.12 Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi 5.12.1 Utilizarea metodei lui Euler Metoda lui Euler se poate utiliza şi la rezolvarea problemei lui Cauchy pentru sisteme de ecuaţii

diferenţiale de ordinul întâi. Pentru prezentarea algoritmului de calcul este suficient să considerăm sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' f(x, y, z) z ' g(x, y, z) cu condiţiile iniţiale: 0 0 0 0y(x ) y , z(x ) z

Analiză Numerică


92

în care 0x , 0y şi 0z sunt constante date. Formulele de recurenţă pentru rezolvarea numerică a

problemei lui Cauchy pe care am enunţat-o se pot deduce atât cu ajutorul ecuaţiilor integrale cât şi cu ajutorul seriilor Taylor.

Dacă integrăm cele două ecuaţii diferenţiale ale sistemului pe intervalul i 1 i[x , x ] , atunci

obţinem:

i

i 1

x

i i 1x

y(x ) y(x ) f(x, y(x), z(x))dx

i

i 1

x

i i 1x

z(x ) z(x ) g(x, y(x), z(x))dx

Acum aproximăm integrala i

i 1

x

x

f(x, y(x), z(x))dx

cu aria dreptunghiului cu vârfurile în punctele de

coordonate i 1(x , 0) , i(x , 0) , i i i i(x , f(x , y(x ), z(x )) , i 1 i 1 i 1 i 1(x , f(x , y(x ), z(x )) , iar integrala i

i 1

x

x

g(x, y(x), z(x))dx

o aproximăm cu aria dreptunghiului cu vârfurile în punctele de coordonate

i 1(x , 0) , i(x , 0) , i i i i(x , g(x , y(x ), z(x )) , i 1 i 1 i 1 i 1(x , g(x , y(x ), z(x )) . În acest fel obţinem formulele de

recurenţă:

i i 1 i 1 i 1 i 1y y hf(x , y , z )

i i 1 i 1 i 1 i 1z z hg(x , y , z )

cu i 1, 2, ..., n şi 0 0x , y , h constante date. Acestea sunt formulele de recurenţă ale metodei lui Euler

cu care se rezolvă problema lui Cauchy pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' f(x, y, z) z ' g(x, y, z) Formulele de recurenţă obţinute se pot deduce şi cu ajutorul seriilor Taylor. În adevăr, din dezvoltările în serie Taylor:

(n)ny '(x) y (x)

y(x h) y(x) h ... h ...1! n!

(n)nz '(x) z (x)

z(x h) z(x) h ... h ...1! n!

obţinem:

i i 1i 1 i 1 i 1

y(x ) y(x )f(x , y(x ), z(x )) O(h)

h

i i 1i 1 i 1 i 1

z(x ) z(x )g(x , y(x ), z(x )) O(h)

h

Dacă renunţăm la termenii care conţin pe h la puteri mai mari sau egale cu doi, atunci obţinem:

Analiză Numerică


93

i i 1 i 1 i 1 i 1y y hf(x , y , z )

i i 1 i 1 i 1 i 1z z hg(x , y , z )


Ca exemplu, considerăm problema lui Cauchy pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' 4y 3z z ' y 2z cu condiţiile iniţiale: y(0) 0 , z(0) 2 Ne propunem să determinăm soluţia numerică în reţeaua de noduri: 0x 0 , 1x 0.01 , 2x 0.02 , ..., 10x 0.1

Pentru a determina aproximaţiile 1y şi 1z , în formulele de recurenţă ale metodei lui Euler pe

care le-am dedus în această secţiune luăm i 1 . În acest fel obţinem formulele: 1 0 0 0 0y y hf(x , y , z )

1 0 0 0 0z z hg(x , y , z )

Prin calcul direct, deducem: 1 0 0 0 0 0 0 0y y hf(x , y , z ) y h(4y 3z )

0 0.01(4 0 3 2) 0.06

1 0 0 0 0 0 0 0z z hg(x , y , z ) z h( y 2z ) 2 0.01( 0 2 2) 2.04

adică: 1y 0.060 , 1z 2.040

Valorile soluţiilor exacte x 5x3 3y(x) e e

2 2 , x 5x3 1

z(x) e e2 2

, calculate cu trei zecimale, în

nodul 1x sunt:

1y(x ) 0.062 , 1z(x ) 2.041

Prin urmare: 1 1y(x ) y 0.062 0.060 0.002

1 1z(x ) z 2.041 2.040 0.001

Analiză Numerică


94

Aşadar, erorile absolute ale aproximaţiilor 1y şi 1z sunt mai mici decât valoarea

0.01 adică: 1 1y(x ) y , 1 1z(x ) z

Pentru a determina aproximaţiie 2y şi 2z , în formulele de recurenţă ale metodei lui Euler pe

care le-am dedus în această secţiune luăm i 2 . În acest fel obţinem formulele: 2 1 1 1 1y y hf(x ,y ,z )

2 1 1 1 1z z hg(x ,y ,z )

Prin calcul direct, deducem: 2 1 1 1 1 1 1 1y y hf(x ,y ,z ) y h(4y 3z )

0.06 0.01(4 ( 0.06) 3 2.04) 0.124

2 1 1 1 1 1 1 1z z hg(x ,y ,z ) z h( y 2z ) 2.04 0.01(0.06 2 2.04) 2.081

adică: 2y 0.124 , 2z 2.081


2 2 , x 5x3 1

z(x) e e2 2

, calculate cu trei zecimale, în

nodul 2x sunt:

2y(x ) 0.127 , 2z(x ) 2.083

Prin urmare: 2 2y(x ) y 0.127 0.124 0.003

2 2z(x ) z 2.083 2.081 0.002

Aşadar, erorile absolute ale aproximaţiilor 2y şi 2z sunt mai mici decât valoarea:

0.01 adică: 2 2y(x ) y , 2 2z(x ) z

La fel se pot calcula aproximaţiile 3 3 4 4 10 10y , z , y , z , ..., y , z . Aceste calcule nu le mai facem.

Analiză Numerică


95

Prezentăm însă o procedură QP pentru efectuarea automată a calculelor. Un set de rezultate ale calculelor bazate pe procedura pe care o vom prezenta în continuare apare în figura 5.7. Procedura foloseşte formulele de recurenţă:

i i 1 i 1 i 1 i 1y y hf(x , y , z )

i i 1 i 1 i 1 i 1z z hg(x , y , z )

cu i 1,2,... şi 0 0x , y , h constante date. Datorită rotunjirilor, a treia zecimală a erorilor absolute ale

aproximaţiilor 2y şi 2z obţinute prin calcul manual diferă de cea pe care am obţinut-o prin calculul

automat. Coloana A conţine valorile lui i. Pentru a calcula aceste valori, în celula A3 am introdus valoarea iniţială a lui i, în celula A4 am introdus formula +A3+1 şi am copiat această formulă în blocul A5..A13. Coloana B conţine nodurile reţelei. Pentru a genera reţeaua de noduri, în celula B3 am introdus valoarea iniţială a lui x, în celula B4 am introdus formula +B3+$B$1 şi am copiat această formulă în blocul B5..B13. Coloanele C şi D conţin soluţiile numerice 1 2 10y , y , ..., y şi 1 2 10z , z , ..., z . Pentru a calcula

aceste soluţii, în celulele C3 şi D3 am introdus valorile iniţiale 0y şi 0z . De asemenea, am introdus

formulele: +C3+$B$1*(4*C3-3*D3) în celula C4 +D3+$B$1*(-C3+2*D3) în celula D4 În plus, formulele din blocul C4..D4 le-am copiat în blocul C5..D13. Să observăm că formula din celula C4 corespunde membrului drept al formulei:

i i 1 i 1 i 1 i 1y y hf(x , y , z )

cu:

f(x, y, z) 4y 3z iar formula din celula D4 corespunde membrului drept al formulei:

i i 1 i 1 i 1 i 1z z hg(x , y , z )

cu:

g(x, y, z) y 2z

Coloana E conţine valorile soluţiei exacte x 5x3 3y(x) e e

2 2 în nodurile reţelei de pe coloana

B. Pentru a calcula aceste valori, în celula E3 am introdus formula 3/2*@EXP(B3)-3/2*@EXP(5*B3) şi am copiat această formulă în blocul E4..E13.

Coloana F conţine valorile soluţiei exacte x 5x3 1z(x) e e

2 2 în nodurile reţelei de pe coloana

B. Pentru a calcula aceste valori, în celula F3 am introdus formula 3/2*@EXP(B3)+1/2*@EXP(5*B3) şi am copiat această formulă în blocul F4..F13. Coloana G conţine erorile absolute ale soluţiei numerice 1 10y , ...,y de pe coloana C. Pentru a

Analiză Numerică


96

calcula aceste valori, în celula G3 am introdus formula @ABS(E3-C3) şi am copiat această formulă în blocul G3..G13.

Fig. 5.7

Coloana H conţine erorile absolute ale soluţiei numerice 1 10z , ..., z de pe coloana D. Pentru a

calcula aceste valori, în celula H3 am introdus formula @ABS(F3-D3) şi am copiat această formulă în blocul H3..H13.

Figura 5.7 conţine valorile numerice corespunzătoare nodurile reţelei de pe coloana B. Dacă dorim să obţinem valorile soluţiei şi în punctele 11 12x 1.1, x 1.2,... , atunci trebuie să copiem blocul

A13..H13 mai jos. Procedura pe care am prezentat-o în această secţiune o putem utiliza şi la determinarea

soluţiei numerice în altă reţea de puncte. Pentru aceasta este suficient să modificăm valoarea lui h din celula B1. Desigur, dacă dorim să determinăm soluţia numerică a altei probleme Cauchy, atunci trebuie să modificăm valorile iniţiale 0x , 0y şi 0z din celulele B3, C3 şi D3. Dacă dorim să rezolvăm problema

lui Cauchy pentru alt sistem de ecuaţii diferenţiale, atunci trebuie să modificăm şi formulele de pe coloanele C şi D. Să mai observăm că numerele de pe coloanele E, F, G şi H sunt calculate cu ajutorul soluţiei exacte. Desigur, dacă nu cunoaştem soluţia exactă, atunci aceste coloane nu le mai introducem.

5.12.2 Utilizarea metodei lui Euler îmbunătăţită

Problema lui Cauchy pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' f(x, y, z) z ' g(x, y, z) cu condiţiile iniţiale: 0 0 0 0y(x ) y ,z(x ) z

în care 0 0 0x , y , z , h sunt constante date se poate rezolva şi cu ajutorul metodei lui Euler îmbunătăţită.

Formulele de recurenţă ale acestei metode le deducem cu ajutorul ecuaţiilor integrale. Dacă integrăm cele două ecuaţii diferenţiale ale sistemului pe intervalul i 1 i[x , x ] , atunci

obţinem:

Analiză Numerică


97

i

i 1

x

i i 1x

y(x ) y(x ) f(x, y(x), z(x))dx

i

i 1

x

i i 1x

z(x ) z(x ) g(x, y(x), z(x))dx

Acum aproximăm integrala i

i 1

x

x

f(x, y(x), z(x))dx

cu aria trapezelui cu vârfurile în punctele de coordonate

i 1(x , 0) , i(x , 0) , i i i i(x , f(x , y(x ), z(x )) , i 1 i 1 i 1 i 1(x , f(x , y(x ), z(x )) , iar integrala i

i 1

x

x

g(x, y(x), z(x))dx

o

aproximăm cu aria trapezului cu vârfurile în punctele de coordonate i 1(x , 0) , i(x , 0) ,

i i i i(x , g(x , y(x ), z(x )) , i 1 i 1 i 1 i 1(x , g(x , y(x ), z(x )) . În acest fel obţinem formulele de recurenţă:

i 1 i 1 i 1 i i ii i 1

f(x , y , z ) f(x , y , z )y y h

2

i 1 i 1 i 1 i i ii i 1

g(x , y , z ) g(x , y , z )z z h

2


Metoda Euler îmbunătăţită este o metodă de tip predictor-corector. În etapa de predicţie se determină predicţiile iy şi iz cu metoda lui Euler, adică:

i 1 i 1 i 1 i 1iy y hf(x , y , z )

i i 1 i 1 i 1 i 1z z hg(x , y , z )

iar în etapa de corecţie se determină valorile iy şi iz cu formulele:

ii 1 i 1 i 1 i ii i 1

f (x , y , z ) f(x , y , z )y y h

2

ii 1 i 1 i 1 i ii i 1

g(x , y , z ) g(x , y , z )z z h

2

cu i 1, 2, ..., n şi 0 0 0x , y , z , h constante date.

Ca exemplu, considerăm din nou problema lui Cauchy pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' 4y 3z z ' y 2z cu condiţiile iniţiale: y(0) 0 , z(0) 2 Ne propunem să determinăm soluţia numerică în reţeaua de noduri:

Analiză Numerică


98

0x 0 , 1x 0.01 , 2x 0.02 , ..., 10x 0.1

Pentru a determina predicţiile 1y şi 1z , în formulele de recurenţă ale predicţiilor din metoda lui

Euler îmbunătăţită pe care le-am dedus în această secţiune luăm i 1 . În acest fel obţinem formulele: 0 0 0 01y y hf(x ,y ,z )

1 0 0 0 0z z hg(x ,y ,z )

Prin calcul direct, deducem: 0 0 0 0 0 0 01y y hf(x , y , z ) y h(4y 3z )

0 0.01(4 0 3 2) 0.060000

1 0 0 0 0 0 0 0z z hg(x , y , z ) z h( y 2z ) 2 0.01( 0 2 2) 2.040000

adică: 1y 0.060000 , 1z 2.040000

Pentru a determina corecţiile 1y şi 1z , în formulele de recurenţă ale corecţiilor din metoda lui

Euler îmbunătăţită pe care le-am dedus în această secţiune luăm i 1 . În acest fel obţinem formulele:

10 0 0 1 11 0

f(x , y , z ) f(x , y , z )y y h

2

10 0 0 1 11 0

g(x , y , z ) g(x , y , z )z z h

2


0 0 0 0 0f(x , y , z ) 4y 3z 6.000000

0 0 0 0 0g(x , y , z ) y 2z 4.000000

şi:

1 11 1 1f(x , y , z ) 4y 3z 4 ( 0.060) 3 (2.040) 6.360000

1 11 1 1g(x , y , z ) y 2z 0.060 2 2.040 4.140000

Aşadar:

10 0 0 1 11 0

f(x , y , z ) f(x , y , z )y y h

2

6 6.360 0.01 0.061800

2

Analiză Numerică


99

10 0 0 1 11 0

g(x , y , z ) g(x , y , z )z z h

2

4 4.142 0.01 2.040700

2

adică: 1y 0.061800 , 1z 2.040700


2 2 , x 5x3 1

z(x) e e2 2

, calculate cu şase zecimale, în

nodul 1x sunt:

1y(x ) 0.061831 , 1z(x ) 2.040711

Prin urmare: 1 1y(x ) y 0.061831 0.061800 0.000031

1 1z(x ) z 2.040711 2.040700 0.000011

Aşadar, erorile absolute ale aproximaţiilor 1y şi 1z sunt mai mici decât valoarea

0.0001 adică: 1 1y(x ) y , 1 1z(x ) z

Să observăm că erorile absolute 1 1y(x ) y 0.000031 şi 1 1z(x ) z 0.000011 ale aproximaţiilor

1y şi 1z pe care le-am obţinut cu metoda lui Euler îmbunătăţită sunt mai mici decât erorile absolute

1 1y(x ) y 0.002 şi 1 1z(x ) z 0.001 ale aceloraşi aproximaţii 1y şi 1z pe care le-am obţinut cu

metoda lui Euler. Pentru a determina predicţiile 2y şi 2z , în formulele de recurenţă ale predicţiilor din metoda lui

Euler îmbunătăţită pe care le-am dedus în această secţiune luăm i 2 . În acest fel obţinem formulele: 1 1 1 12y y hf(x , y , z )

2 1 1 1 1z z hg(x , y , z )

Prin calcul direct, deducem: 1 1 1 1 1 1 12y y hf(x , y , z ) y h(4y 3z )

0.061800 0.01(4 ( 0.061800) 3 2.040700) 0.125493

2 1 1 1 1 1 1 1z z hg(x , y , z ) z h( y 2z ) 2.040700 0.01(0.061800 2 2.040700) 2.082132

Analiză Numerică


100

adică: 2y 0.125493 , 1z 2.082132

Pentru a determina corecţiile 2y şi 2z , în formulele de recurenţă ale corecţiilor din metoda lui

Euler îmbunătăţită pe care le-am dedus în această secţiune luăm i 2 . În acest fel obţinem formulele:

21 1 1 2 22 1

f(x , y , z ) f(x , y , z )y y h

2

21 1 1 2 2

2 1

g(x , y , z ) g(x , y , z )z z h

2


1 1 1 1 1f(x , y , z ) 4y 3z 4 ( 0.061800) 3 2.04700 6.369300

1 1 1 1 1g(x , y , z ) y 2z 0.061800 2 (2.040700) 4.143200

şi:

2 22 2 2f(x , y , z ) 4y 3z 4 ( 0.125493) 3 2.082132 6.748368

2 22 2 2g(x , y , z ) y 2z 0.125493 2 2.082132 4.289757

Aşadar:

21 1 1 2 22 1

f(x , y , z ) f(x , y , z )y y h

2

6.369300 6.7483680.061800 0.01 0.127388

2

21 1 1 2 22 1

g(x , y , z ) g(x , y , z )z z h

2

4.143200 4.2897572.040700 0.01 2.082865

2

adică: 2y 0.127388 , 2z 2.082865


2 2 , x 5x3 1

z(x) e e2 2

, calculate cu şase zecimale, în

nodul 2x sunt:

2y(x ) 0.127454 , 2z(x ) 2.082887

Analiză Numerică


101

Prin urmare: 2 2y(x ) y 0.127454 0.127388 0.000066

2 2z(x ) z 2.082887 2.082865 0.000022


0.0001

adică: 2 2y(x ) y , 2 2z(x ) z

Să observăm că erorile absolute 2 2y(x ) y 0.000066 şi 2 2z(x ) z 0.000022 ale

aproximaţiilor 2y şi 2z obţinute cu metoda lui Euler îmbunătăţită sunt mai mici decât erorile absolute

2 2y(x ) y 0.003 şi, respectiv, 2 2z(x ) z 0.002 ale aceloraşi aproximaţii 2y şi 2z pe care le-

am obţinut cu metoda lui Euler.

Fig. 5.8

Le fel se pot calcula aproximaţiile 3 3 4 4 10 10y , z ,y , z , ..., y , z . Aceste calcule nu le mai facem.

Prezentăm însă o procedură QP pentru efectuarea automată a calculelor. Un set de rezultate ale calculelor bazate pe procedura pe care o vom prezenta în continuare apare în figura 5.8 şi figura 5.9. Procedura foloseşte formulele: i 1 i 1 i 1 i 1iy y hf(x , y , z )

i i 1 i 1 i 1 i 1z z hg(x , y , z )

în etapa de predicţie şi formulele:

Analiză Numerică


102

ii 1 i 1 i 1 i ii i 1

f (x , y , z ) f(x , y , z )y y h

2

ii 1 i 1 i 1 i ii i 1

g(x , y , z ) g(x , y , z )z z h

2

în etapa de corecţie.

Coloana A conţine valorile lui i. Pentru a calcula aceste valori, în celula A3 am introdus valoarea iniţială a lui i, în celula A4 am introdus formula +A3+1 şi am copiat această formulă în blocul A5..A13.


Fig. 5.9

În celulele G3, H3, I3, şi J3 am introdus valoarea iniţială 0y , valoarea iniţială 0z , valoarea lui

0 0f(y , z ) şi, respectiv, valoarea lui 0 0g(y , z ) . Mai exact, în celula G3 am introdus numărul 0, în celula

H3 am introdus numărul 2, în celula I3 am introdus formula +4*G3-3*H3, iar în celula J3 am introdus formula –G3+2*H3. Formula pe care am introdus-o în celula G3 corespunde funcţiei f (y, z) 4y 3z , iar formula pe care am introdus-o în celula H3 corespunde funcţiei g(y, z) y 2z .

Coloana C conţine predicţiile 1 2 10y , y , ..., y% % % , predicţii care în figura 5.8 sunt notate cu ipy .

Predicţiile 1 2 10py , py , ..., py le-am calculat în mai multe etape. În prima etapă am calculat numărul din

celula C4. Pentru aceasta, în celula C4 am introdus formula +G3+$B$1*I3. Celelalte numere de pe coloana C le-am calculat ulterior. Formula pe care am introdus-o în celula C4 corespunde membrului drept al formulei:

i i 1 i 1 i 1y y hf(y , z )

cu: f (y, z) 4y 3z

Coloana D conţine predicţiile 1 2 10z , z , ..., z% % % , predicţii care în figura 5.8 sunt notate cu ipz .

Analiză Numerică


103

Predicţiile 1 2 10pz , pz , ..., pz le-am calculat în mai multe etape. În prima etapă am calculat numărul din

celula D4. Pentru aceasta, în celula D4 am introdus formula +H3+$B$1*J3. Celelalte numere de pe coloana D le-am calculat ulterior. Formula pe care am introdus-o în celula D4 corespunde membrului drept al formulei:

i i 1 i 1 i 1z z hg(y , z )

cu: g(y, z) y 2z

Coloana E conţine valorile funcţiei f (y, z) 4y 3z în perechile de numere i i(py , pz ) .

Numerele de pe coloana E le-am calculat în mai multe etape. În primul rând am calculat numărul din celula E3. Pentru aceasta, în celula E3 am introdus formula +4*C3-3*D3. Celelalte numere de pe coloana E le-am calculat ulterior.

Coloana F conţine valorile funcţiei g(y, z) y 2z în perechile de numere i i(py , pz ) .

Numerele de pe coloana F le-am calculat în mai multe etape. În primul rând am calculat numărul din celula F3. Pentru aceasta, în celula D3 am introdus formula –C3+2*D3. Celelalte numere de pe coloana F le-am calculat ulterior.

Coloana G conţine aproximaţiile 1 2 10y , y , ..., y . Aceste aproximaţii le-am calculat în mai multe

etape. Aşa cum am precizat deja, în celula G3 am introdus valoarea iniţială 0y . Acum în celula G4 am

introdus formula +G3+$B$1*(I3+E4)/2. Celelalte numere de pe coloana G le-am calculat ulterior. Formula pe care am introdus-o în celula G4 corespunde formulei:

ii 1 i 1 i 1 i ii i 1

f(x , y , z ) f(x , y , z )y y h

2

cu: f (y, z) 4y 3z

Coloana H conţine aproximaţiile 1 2 10z , z , ..., z . Aceste aproximaţii le-am calculat în mai multe

etape. Aşa cum am precizat deja, în celula H3 am introdus valoarea iniţială 0z . Acum în celula H4 am

introdus formula +H3+$B$1*(J3+F4)/2. Celelalte numere de pe coloana G le-am calculat ulterior. Formula pe care am introdus-o în celula H4 corespunde formulei:

ii 1 i 1 i 1 i ii i 1

g(x , y , z ) g(x , y , z )z z h

2

cu: g(y, z) y 2z

Coloana I conţine valorile funcţiei f (y, z) 4y 3z în perechile de numere i i(x , y ) . Numerele

de pe coloana I le-am calculat în mai multe etape. Aşa cum am spus deja, în celula I3 am formula +4*G3-3*H3. Acum, am copiat celula I3 în celula I4. Celelalte numere de pe coloana I le-am calculat ulterior.

Analiză Numerică


104

Coloana J conţine valorile funcţiei g(y, z) y 2z în perechile de numere i i(x , y ) . Numerele

de pe coloana J le-am calculat în mai multe etape. Aşa cum am spus deja, în celula J3 am formula -G3+2*H3. Acum, am copiat celula J3 în celula J4. Celelalte numere de pe coloana J le-am calculat ulterior.

Pe linia 4 din figura 5.8 şi figura 5.9 apar valorile corespunzătoare lui i 1 . Pentru a genera şi valorile corespunzătoare următoarelor valori ale lui i, am copiat blocul C4..J4 în blocul C5..J13. Să observăm că rezultatele din figurile precizate corespund nodurilor reţelei de pe coloana B. Dacă dorim să obţinem valorile soluţiei şi în punctele 11x 0.11 , 12x 0.12 , ..., atunci trebuie să copiem blocul

A13..J13 mai jos. Coloana K conţine erorile absolute ale aproximaţiilor 1 2 10y , y , ..., y de pe coloana G. Pentru a

calcula aceste valori, în celula K3 am introdus formula @ABS(3/2*@EXP(B3)-3/2*@EXP(5*B3)-G3) şi am copiat această formulă în blocul K4..K13.

Coloana L conţine erorile absolute ale aproximaţiilor 1 2 10z , z , ..., z de pe coloana H. Pentru a

calcula aceste valori, în celula L3 am introdus formula @ABS(3/2*@EXP(B3)+1/2*@EXP(5*B3)-H3) şi am copiat această formulă în blocul L4..L13. Numerele de pe coloanele K şi L ne arată că: i iy(x ) y , i iz(x ) z

cu: 0.001 Pe de altă, parte rezultatele obţinute în secţiunea anterioară cu metoda lui Euler, rezultate care apar în figura 5.7, ne arată că: i iy(x ) y , i iz(x ) z

cu: 0.1 în aceleaşi noduri. Prin urmare, rezultatele pe care le-am obţinut cu ajutorul metodei lui Euler îmbunătăţită, rezultate care apar în figurile 5.8 şi 5.9 sunt mai bune decât rezultatele pe care le-am obţinut cu ajutorul metodei lui Euler, rezultate care apar în figura 5.7.

Procedura pe care am prezentat-o în această secţiune o putem utiliza şi la determinarea soluţiei numerice în altă reţea de puncte. Pentru aceasta este suficient să modificăm valoarea lui h din celula B1. Desigur, dacă dorim să determinăm soluţia numerică a altei probleme Cauchy, atunci trebuie să modificăm valorile iniţiale 0x , 0y şi 0z din celulele B3, G3 şi H3. Dacă dorim să rezolvăm problema

lui Cauchy pentru alt sistem de ecuaţii diferenţiale, atunci trebuie să modificăm şi formulele de pe coloanele E, F, I şi J. Să mai observăm că numerele de pe coloanele K şi L sunt calculate cu ajutorul soluţiei exacte. Desigur, dacă nu cunoaştem soluţia exactă, atunci aceste coloane nu le mai introducem.

5.12.3 Utilizarea metodei lui Euler modificată

Considerăm din nou problema lui Cauchy pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' f(x, y, z)

Analiză Numerică


105

z ' g(x, y, z) cu condiţiile iniţiale: 0 0 0 0y(x ) y , z(x ) z

în care 0x , 0y şi 0z sunt constante date.

Problema formulată se poate rezolva şi cu ajutorul metodei lui Euler modificată. Formulele de recurenţă ale acestei metode sunt:

i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

h h hy y hf(x , y f(x ,y ,z ), z g(x ,y ,z ) )

2 2 2

i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

h h hz z hg(x ,y f(x ,y ,z ),z g(x ,y ,z ) )

2 2 2

cu i 1, 2, ... şi 0 0 0x , y , z , h constante date.

Ca exemplu, considerăm din nou problema lui Cauchy pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' 4y 3z z ' y 2z cu condiţiile iniţiale: y(0) 0 , z(0) 2 Ne propunem să determinăm soluţia numerică în reţeaua de noduri: 0x 0 , 1x 0.01 , 2x 0.02 , ..., 10x 0.1

Pentru a determina aproximaţiile 1y şi 1z , în formulele de recurenţă ale metodei lui Euler

modificată pe care le-am scris în prima parte a acestei secţiuni luăm i 1 . În acest fel obţinem formulele:

1 0 0 0 0 0 0 0

h hy y hf( y f(y , z ), z g(y , z ) )

2 2

1 0 0 0 0 0 0 0

h hz z hg( y f(y , z ), z g( y , z ) )

2 2


0 0 0 0 0 0

h h 0.01y f(y ,z ) y (4y 3z ) 0 (4 0 3 2) 0.03

2 2 2

0 0 0 0 0 0

h h 0.01z g(y ,z ) z ( y 2z ) 2 ( 0 2 2) 2.02

2 2 2

În consecinţă:

Analiză Numerică


106

1 0 0 0 0 0 0 0

h hy y hf( y f(y , z ), z g(y , z ) )

2 2

0 0.01 f( 0.03, 2.02) 0.01(4 ( 0.03) 3 2.02) 0.061800

1z 2 0.01 g( 0.03, 2.02) 2 0.01 (0.03 2 (2.02)) 2.040700

adică: 1y 0.061800 , 1z 2.040700

Aceste valori aproximative sunt egale cu cele pe care le-am obţinut cu metoda lui Euler îmbunătăţită în secţiunea anterioară.

Pentru a determina aproximaţiile 2y şi 2z , în formulele de recurenţă ale metodei lui Euler

modificată pe care le-am scris în prima parte a acestei secţiuni luăm i 1 . În acest fel obţinem formulele:

2 1 1 1 1 1 1 1

h hy y hf( y f(y , z ), z g(y , z ) )

2 2

2 1 1 1 1 1 1 1

h hz z hg( y f(y , z ), z g( y , z ) )

2 2


1 1 1 1 1 1

h hy f(y ,z ) y (4y 3z )

2 2

0.010.061800 (4 ( 0.061800) 3 2.040700) 0.093647

2

1 1 1 1 1 1

h hz g(y ,z ) z ( y 2z )

2 2

0.012.040700 ( 0.061800 2 2.040700) 2.061416

2

În consecinţă:

2 1 1 1 1 1 1 1

h hy y hf( y f(y , z ), z g(y , z ) )

2 2

0.061800 0.01 f( 0.093647, 2.061416) 0.061800 0.01 (4 ( 0.093647) 3 2.061416) 0.127388

2 1 1 1 1 1 1 1

h hz z hg( y f(y , z ), z g( y , z ) )

2 2

2.040700 0.01 g( 0.093647, 2.061416) 2.040700 0.01 (0.093647 2 2.061416) 2.082865

adică: 2y 0.127388 , 2z 2.082865

Analiză Numerică


107

Şi aceste valori aproximative sunt egale cu cele pe care le-am obţinut cu metoda lui Euler îmbunătăţită în secţiunea anterioară. Le fel se pot calcula valorile 3 3 4 4 10 10y , z , y , z , ..., y , z . De asemenea, se poate întocmi o

procedură QP pentru efectuarea automată a calculelor. La întocmirea procedurii se folosesc, desigur, formulele:

i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

h h hy y hf(x , y f(x ,y ,z ), z g(x ,y ,z ) )

2 2 2

i i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1

h h hz z hg(x ,y f(x ,y ,z ),z g(x ,y ,z ) )

2 2 2

cu i 1, 2, ... şi 0 0 0x , y , z , h constante date.

5.13 Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale de ordin superior cu metode de tip Euler

Rezolvarea problemei lui Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale de ordin superior se face, de regulă,

prin reducere la rezolvarea unui sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi. Astfel, rezolvarea problemei lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul doi: y '' g(x, y, y ') cu condiţiile iniţiale: '

0 0 0 0y(x ) y , y '(x ) y

în care 0x , 0y şi '

0y sunt constante date se reduce la rezolvarea problemei lui Cauchy pentru sistemul

de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' z z ' g(x, y, z) cu condiţiile iniţiale: 0 0 0 0y(x ) y , z(x ) z

în care: '

0 0z y

Problema lui Cauchy la care am ajuns se poate rezolva cu orice metodă numerică de tip Euler

pentru sisteme de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi. De pildă, pentru a rezolva problema cu metoda lui Euler, folosim formulele de recurenţă: i i 1 i 1y y hz

i i 1 i 1 i 1 i 1z z hg(x , y , z )

cu i 1,2, ..., n şi 0 0 0x , y , z , h constante date..

Analiză Numerică


108

Ca exemplu, considerăm problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul doi: y '' 9y ' 8y cu condiţiile iniţiale:

y(0) 1, y '(0) 1

Rezolvarea problemei lui Cauchy pe care am formulat-o se reduce la rezolvarea sistemului de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' z z ' 8y 9z cu condiţiile iniţiale: y(0) 1 , z(0) 1 Ne propunem să determinăm soluţia numerică corespunzătoare reţelei de noduri: 0 1 2 10x 0, x 0.01, x 0.02,..., x 0.1


care le-am scris în prima parte a acestei secţiuni luăm i 1 . În acest fel obţinem formulele: 1 0 0y y hz

1 0 0 0z z hg( y , z )

Prin calcul direct, deducem: 1 0 0y y hz 1 0.01 1 1.01

1 0 0 0 0 0 0z z hg( y , z ) z 0.01( 8y 9 z ) 1 0.01 1 1.01

adică: 1y 1.01 , 1z 1.01

Valorile soluţiilor exacte xy e şi xz e , calculate cu şase zecimale, în nodul 1x sunt:

1y(x ) 1.010050 , 1z(x ) 1.010050

Prin urmare: 1 1y(x ) y 1.010050 1.01 0.00005

1 1z(x ) z 1.010050 1.01 0.00005

Analiză Numerică


109


0.0001 adică: 1 1y(x ) y , 1 1z(x ) z


care le-am scris în prima parte a acestei secţiuni luăm i 1 . În acest fel obţinem formulele: 2 1 1y y hz

2 1 1 1z z hg( y , z )

Prin calcul direct, deducem: 2 1 1y y hz 1.01 0.01 1.01 1.020100

2 1 1 1 1 1 1z z hg(y , z ) z 0.01( 8y 9 z )

1.01 0.01 1.01 1.020100

adică: 2y 1.020100 , 2z 1.020100

Valorile soluţiilor exacte xy e şi xz e , calculate cu şase zecimale, în nodul 2x sunt:

2y(x ) 1.020201 , 2z(x ) 1.020201

Prin urmare: 2 2y(x ) y 1.020201 1.020100 0.000101

2 2z(x ) z 1.020201 1.020100 0.000101


0.001 adică: 2 2y(x ) y , 2 2z(x ) z

Le fel se pot calcula valorile 3 3 4 4 10 10y , z , y , z , ..., y , z . De asemenea, se poate întocmi o

procedură QP pentru efectuarea automată a calculelor. La întocmirea procedurii se folosesc, desigur, formulele:

Analiză Numerică


110

i i 1 i 1y y hz

i i 1 i 1 i 1 i 1z z hg(x , y , z )

cu i 1,2, ..., n şi 0 0 0x , y , z , h constante date.

5.14 Determinarea soluţiilor cu o precizie dată În această secţiune determinăm cu o precizie dată soluţia numerică a unei probleme a lui Cauchy pentru o ecuaţie diferenţială de ordinul întâi: y ' f(x, y) cu condiţia iniţială: 0 0y(x ) y


Problema lui Cauchy enunţată o rezolvăm numeric cu un proces iterativ bazat pe metoda Euler îmbunătăţită. Pentru a determina predicţiile (0)

iy folosim formula:

(0)

i i 1 i 1 i 1y y hf(x , y )

iar pentru a determina corecţiile (k)

iy folosim formula:

(k 1)

(k) i 1 i 1 i ii i 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2

cu k 1, 2, ... . Procesul iterativ se opreşte în momentul în care: (k) (k 1)

i iy y

unde este un număr real şi strict pozitiv care reprezintă precizia cu care dorim să calculăm soluţia aproximativă. Corecţia (k)

iy care satiface condiţia (k) (k 1)i iy y se ia drept aproximaţie iy


2

yy '

1 x

cu condiţia iniţială: y(0) 1 Ne propunem să determinăm soluţia numerică cu precizia:

0.001

Analiză Numerică


111

în reţeaua de noduri: 0x 0 , 1x 0.1 , 2x 0.2 , …., 10x 1

Pentru a determina predicţia (0)

1y , în formula de recurenţă a predicţiilor din metoda lui Euler

îmbunătăţită pe care am scris-o în prima parte a acestei secţiuni luăm i 1 . În acest fel obţinem formula: (0)

1 0 0 0y y hf(x ,y )


(0) 01 0 0 0 0 2

0

yy y hf(x ,y ) y h

1 x

11 0.1 1.1

1 0

adică: (0)

1y 1.1

Pentru a determina corecţia (1)

1y , în formula de recurenţă a corecţiilor din metoda lui Euler

îmbunătăţită pe care am scris-o în prima parte a acestei secţiuni luăm i 1 şi k 1 . În acest fel obţinem formula:

(0)

0 0 1 1(1)1 0

f(x , y ) f(x , y )y y h

2


(0)10

(0) 2 20 0 1 1(1) 0 1

1 0 0

yyf(x , y ) f(x , y ) 1 x 1 x

y y h y h2 2

2

1 1.11 0 1 0.11 0.1 1.104455

2

adică: (1)

1y 1.104455

Să observăm că: (1) (0)

1 1y y 1.104455 1.1 0.004455 0.001

Prin urmare, condiţia:

Analiză Numerică


112

(1) (0)

1 1y y

nu se îndeplineşte. Aşadar, trebuie să determinăm corecţia (2)

1y .

Pentru a determina corecţia (2)1y , în formula de recurenţă a corecţiilor din metoda lui Euler


(1)

0 0 1 1(2)1 0

f(x , y ) f(x , y )y y h

2


(1)10

(1) 2 20 0 1 1(2) 0 1

1 0 0

yyf(x , y ) f(x , y ) 1 x 1 x

y y h y h2 2

2

1 1.1044551 0 1 0.11 0.1 1.104676

2

adică: (2)

1y 1.104676


1 1y y 1.104676 1.104455 0.000221 0.001

Prin urmare, condiţia: (2) (1)

1 1y y

se îndeplineşte. Aşadar, valoarea soluţiei numerice în nodul 1x cu aproximaţia 0.001 este:

(2)

1 1y y 1.104676


1y(x ) 1.104805

Prin urmare: 1 1y(x ) y 1.104805 1.104676 0.000129 0.001

Analiză Numerică


113


0.001

Pentru a determina predicţia (0)2y , în formula de recurenţă a predicţiilor din metoda lui Euler

îmbunătăţită pe care am scris-o în prima parte a acestei secţiuni luăm i 2 . În acest fel obţinem formula: (0)

2 1 1 1y y hf(x ,y )

Prin calcul direct, obţinem:

(0) 12 1 1 1 1 2

1

yy y hf(x ,y ) y h

1 x

2

1.1046761.104676 0.1 1.214050

1 0.1

adică: (0)

2y 1.214050

Pentru a determina corecţia (1)

2y , în formula de recurenţă a corecţiilor din metoda lui Euler


(0)

1 1 2 2(1)2 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2


(0)21

(0) 2 21 1 2 2(1) 1 2

2 1 1

yyf(x , y ) f(x , y ) 1 x 1 x

y y h y h2 2

2

1.104676 1.2140501 0.1^ 2 1 0.21.104676 0.1 1.217731

2

adică: (1)

2y 1.217731


2 2y y 1.217731 1.214050 0.003681 0.001

Prin urmare, condiţia:

Analiză Numerică


114

(1) (0)

2 2y y

nu se îndeplineşte. Aşadar, trebuie să determinăm corecţia (2)

2y .

Pentru a determina corecţia (2)2y , în formula de recurenţă a corecţiilor din metoda lui Euler


(1)

1 1 2 2(2)2 1

f(x , y ) f(x , y )y y h

2


(1)21

(1) 2 21 1 2 2(2) 1 2

2 1 1

yyf(x , y ) f(x , y ) 1 x 1 x

y y h y h2 2

2 2

1.104676 1.2177311 0.1 1 0.21.104676 0.1 1.217908

2

adică: (2)

2y 1.217908


2 2y y 1.217908 1.217731 0.000167 0.001

Prin urmare, condiţia: (2) (1)

2 2y y

se îndeplineşte. Aşadar, valoarea soluţiei numerice în nodul 2x cu aproximaţia 0.001 este:

(2)

2 2y y 1.217908


2y(x ) 1.218226

Prin urmare: 2 2y(x ) y 1.218226 1.217908 0.000318 0.001


Analiză Numerică


115

0.001

Fig. 5.10

La fel se pot calcula valorile 3 4 10y , y , ...,y . Aceste calcule nu le mai facem. Prezentăm însă o

procedură QP pentru efectuarea automată a calculelor prin care se determină aproximaţia iy .

Imaginea din figura 5.10 conţine rezultatele calculelor efectuate pentru determinarea aproximaţiei 1y .

Fig. 5.11

Celula A3 conţine valoarea lui h, iar celula B3 conţine valoarea lui . Aceste valori se modifică

dacă dorim să modificăm pasul h al reţelei 0 1 nx , x , ..., x sau să modificăm precizia cu care dorim să

obţinem soluţia aproximativă. Celulele A5 şi B5 sunt rezervate valorilor lui i 1x şi, respectiv, i 1y . Aceste valori le schimbăm

când trecem de la o valoare numerică la alta. Celula A8 conţine valoarea lui i 1 i 1f(x , y ) . Pentru a calcula aceasta valoare, în celula A8 am

introdus formula: +B5/(1+A5^2)

Analiză Numerică


116

Această formulă corespunde funcţiei:

2

yf(x, y)

1 x

cu care se exprimă ecuaţia diferenţială a problemei lui Cauchy pe care dorim să o rezolvăm. Celula B8 conţine valoarea lui ix . Pentru a calcula această valoare, în celula B8 am introdus

formula: +A5+A3 Celula B11 conţine valoarea predicţiei (0)

iy . Pentru a calcula această valoare, în celula B11 am

introdus formula: +B5+A3*A8 Celula C11 conţine valoarea lui (0)

i if (x , y ) . Pentru a calcula această valoare, în celula C11 am

introdus formula:

+B11/(1+$B$8^2) Această formulă corespunde funcţiei:

2

yf(x, y)

1 x

cu care se exprimă ecuaţia diferenţială a problemei lui Cauchy pe care dorim să o rezolvăm.

Celula C12 conţine valoarea lui (1)iy . Pentru a calcula această valoare, în celula C12 am

introdus formula: $B$5+$A$3*($A$8+C12)/2 După ce am introdus datele şi formulele precizate, am copiat celula C11 în celula celula C12 şi apoi am copiat blocul B12..C12 în blocul B13..C13. Coloana D conţine formule cu care se verifică îndeplinirea condiţiei:

(k) (k 1)i iy y

Pentru a genera aceste formule, în celula D12 am introdus formula: @IF(@ABS(B12-B11)<$B$3,”Da”,”Nu”) şi am copiat această formulă în celula D13. Formulele de pe coloana D returnează cuvântul Nu dacă se îndeplineşte condiţia (k) (k 1)

i iy y şi cuvântul Da în caz contrar.

În figura 5.10 apar rezultatele calculelor cu care se determină aproximaţia 1y . Acum în celula

A5 am introdus valoarea 0, iar în celula B5 am introdus valoarea 1. Rezultatele calculelor sunt identice cu cele pe care le-am determinat manual. În figura 5.11 apar rezultatele calculelor cu care se determină

Analiză Numerică


117

aproximaţia 2y . Acum în celula A5 am introdus numărul 0.1, care este valoarea lui 1x , iar în celula B5

am introdus numărul 1.104676, care este valoarea lui 1y .

Metoda pe care am prezentat-o în această secţiune se poate utiliza şi la determinarea soluţiei numerice a problemei lui Cauchy pentru un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' f(x, y, z) z ' g(x, y, z) cu condiţiile iniţiale: 0 0y(x ) y , 0 0z(x ) z

cu 0 0 0x , y , z constante date.

În acest caz, pentru determinarea predicţiilor (0)iy şi (0)

iz utilizăm formulele:

(0)

i i 1 i 1 i 1 i 1y y hf(x , y , z )

(0)i i 1 i 1 i 1 i 1z z hg(x , y , z )

iar pentru determinarea corecţiilor (k)

iy şi (k)iz utilizăm un proces iterativ bazat pe formulele de

recurenţă:

(k 1) (k 1)

(k) i 1 i 1 i 1 i i ii i 1

f(x , y , z ) f(x , y , z )y y h

2

(k 1) (k 1)

(k) i 1 i 1 i 1 i i ii i 1

g(x , y , z ) g(x , y , z )z z h

2

după indicele k, cu k 1, 2, ... . Procesul iterativ se opreşte în momentul în care se îndeplinesc simultan condiţiile: (k) (k 1)

i iy y , (k) (k 1)i iz z

unde este un număr real şi strict pozitiv care reprezintă precizia cu care dorim să calculăm soluţia aproximativă. Valoarea lui (k)

iy care satiface condiţia (k) (k 1)i iy y se ia drept valoare aproximativă

a lui iy , iar valoarea lui (k)iz care satiface condiţia (k) (k 1)

i iz z se ia drept valoare aproximativă a

lui iz .

Aşa cum ştim, problema lui Cauchy pentru o ecuaţie diferenţială de ordin superior se reduce la rezolvarea problemei lui Cauchy pentru un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi. Prin urmare, metoda pe care am folosit-o în această secţiune o putem utliza şi la rezolvarea aceleeaşi probleme pentru o ecuaţie diferenţială de ordin superior.

Pentru a prezenta algoritmul de calcul, considerăm problema lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul doi:

y '' g(x, y, y ')

cu condiţiile iniţiale:

Analiză Numerică


118

'

0 0 0 0y(x ) y , y '(x ) y

în care 0 0x , y , '

0y sunt constante date.

Rezolvarea problemei lui Cauchy pentru ecuaţia diferenţială de ordinul doi y '' g(x, y, y ') se reduce la rezolvarea problemei lui Cauchy pentru sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi: y ' z z ' g(x, y, z) cu condiţiile iniţiale: '

0 0 0 0 0y(x ) y , z(x ) z y

În acest caz, pentru determinarea predicţiilor (0)

iy şi (0)iz utilizăm formulele:

(0)

i i 1 i 1y y hz

(0)i i 1 i 1 i 1 i 1z z hg(x , y , z )

iar pentru determinarea corecţiilor (k)

iy şi (k)iz utilizăm un proces iterativ bazat pe formulele de

recurenţă:

(k 1)

(k) i 1 ii i 1

z zy y h

2

(k 1) (k 1)

(k) i 1 i 1 i 1 i i ii i 1

g(x , y , z ) g(x , y , z )z z h

2

cu k 1, 2, ... . Procesul iterativ se opreşte în momentul în care se îndeplinesc simultan condiţiile: (k) (k 1)

i iy y , (k) (k 1)i iz z

unde este un număr real şi strict pozitiv care reprezintă precizia cu care dorim să calculăm soluţia aproximativă. Valoarea lui (k)

iy care satiface condiţia (k) (k 1)i iy y se ia drept valoare aproximativă

a lui iy , iar valoarea lui (k)iz care satiface condiţia (k) (k 1)

i iz z se ia drept valoare aproximativă a

lui iz .

5.15 Observaţii privind pasul reţelei Metoda de determinare a soluţiilor problemelor lui Cauchy pe care am prezentat-o în secţiunea

anterioară include un proces iterativ controlat de condiţia:

(k) (k 1)i iy y

unde este un număr real şi strict pozitiv dat care reprezintă precizia cu care dorim să calculăm soluţia

Analiză Numerică


119

aproximativă. Desigur, acum se pune şi problema convergenţei procesului iterativ. Practica rezolvării numerice a problemei lui Cauchy arată că numărul eficient de iteraţii este doi sau trei. Dacă numărul de iteraţii este mai mare, atunci se micşorează valoarea pasului h al reţelei. Dimpotrivă, dacă este suficientă o singură iteraţie, atunci se măreşte valoarea lui h. Evident, pentru un h mic avem o reţea formată dintr-un număr mai mare de puncte, dar un număr mai mic de iteraţii, iar pentru un h mare avem o reţea formată dintr-un număr mai mic de noduri, dar un număr mai mare de iteraţii

Test de autoevaluare Cum se poate rezolva problema lui Cauchy:

2y '' 2xy ' y 3x y(0) 2 , y '(0) 1

După parcurgerea unităţii 5 de învăţare trebuie să reţineţi: Cum se rezolvă problema lui Cauchy pentru ecuaţii şi sisteme de ecuaţii diferenţiale.

Răspunsuri la întrebările din testul de autoevaluare Problema lui Cauchy:

2y '' 2xy ' y 3x y(0) 2 , y '(0) 1

se rezolvă prin reducerea la un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul unu. Bibliografie minimală 1.Iacob Caius, Matematici clasice şi moderne, Editura tehnică, Bucureşti, 1983 2.Marinescu Gheorghe, Analiza numerică, Editura Academiei, Bucureşti, 1974 3. Akai Terrence, Aplplied Numerical Methods for Engineers, John Wiley & Sons, New York (Carte disponibilă la Biblioteca USAMVB)


Documents

Curs Analiza numerica_ Anul I.pdf