CAPITOLUL 1

CONSIDERAŢII GENERALE

1.1. OBIECTUL DISCIPLINEI „TEORIA PRELUCRĂRII MĂSURĂTORILOR

GEODEZICE”

În diversele ştiinţe ale măsurătorilor de precizie, în general (statistică,

industrie, finanţe, mecanică, etc.) şi ale măsurătorilor terestre, în special

(astronomie, geodezie, fotogrametrie, teledetecţie, topografie aplicată),

atunci când se tratează problemele din punct de vedere al măsurătorilor de

precizie ridicată, trebuie luate în consideraţie erorile care le depreciază.

Se numesc erori, micile diferenţe rezultate între valorile aproximative

obţinute în urma unor măsurători şi valorile mai precise ce ar trebui să se

obţină (altfel spus, diferenţa dintre valoare măsurată şi valoarea de referinţă

– valoarea etalon). Valoarea mărimii măsurate reprezintă raportul dintre

mărimea măsurată şi o altă mărime de aceeaşi natură, luată ca etalon.

1.2. PROBLEMELE FIUNDAMENTALE ALE TEORIEI ERORILOR

MĂSURĂTORILOR

Erorile inerente, care însoţesc diversele măsurători efectuate în

scopurile şi domeniile mai sus amintite, generează trei probleme

fundamentale ale teoriei erorilor, şi anume:

să se găsească valorile cele mai juste (cele mai probabile) ale

mărimii sau mărimilor de interes măsurate faţă de diversele

măsurători efectuate în număr superior numărului de măsurători

necesare, pe care le vom nota cu ;

să se stabilească gradul de precizie pentru valorile găsite adică să

se stabilească un număr care să caracterizeze precizia medie a

uneia dintre măsurătorile efectuate pe care îl vom numi eroare

medie (abaterea standard) a unei singure măsurători, notată cu

;

cum se poate găsi un număr care să caracterizeze precizia valorii

pe care o vom considera drept cea mai bună, notată cu i.

1

Teoria erorilor este ştiinţa care studiază modul de apariţie şi de

propagare a erorilor şi încearcă soluţii de înlăturare a acestora, propunând o

metodă riguroasă de ajustare1 denumită „metoda celor mai mici pătrate”.

Ca tratare riguroasă, teoria erorilor se bazează pe calculul probabili-

tăţilor. În cadrul prezentului curs, vom aborda minimum de cunoştinţe

matematice de ordin statistic ce stau la baza teoriei erorilor necesare

înţelegerii tehnicilor utilizate de teoria prelucrării măsurătorilor geodezice. În

domeniul măsurătorilor terestre, studiul aprofundat al erorilor este necesar

deoarece ne ajută să efectuăm întotdeauna măsurători adecvate gradului de

precizie cerut, astfel: în unele cazuri nu este economic să efectuăm

măsurători mai precise decât este strict necesar iar în altele, dimpotrivă, nu

este permis să efectuăm măsurători şi calcule mai puţin precise decât ar

trebui.

1.3. ERORILE DE MĂSURARE. CLASIFICĂRI ŞI PROPRIETĂŢI

Se numeşte eroare sau greşeală, cantitatea mai mică sau mai mare cu

care valoarea aproximativă, măsurată, diferă de valoarea de referinţă care ar

trebui obţinută.

Pentru început, în scopul stabilirii acelor erori care por fi prelucrate

matematic şi în consecinţă sunt de interes direct în cadrul prezentului curs,

vom clasifica erorile logice aparente după mărimea şi cauzele lor. Astfel,

după ordinul de mărime putem avea:

erori mari, evitabile, numite şi greşeli;

erori propriu-zise (inevitabile) care sunt erori cu valori mici;

Erorile mari sunt sesizabile imediat, atunci când una dintre valorile

obţinută în măsurători repetate diferă mult, cu o cantitate inacceptabilă, de

celelalte, motiv pentru care se mai numesc şi greşeli grosolane. Acestea

trebuie eliminate imediat, neputându-se lua în considerare la calculul mediei

măsurătorilor.

În continuare, în cadrul tuturor consideraţiilor teoretice asupra erorilor,

se va presupune că toate erorile grosolane sunt evitabile, fiind descoperite şi

eliminate anterior trecerii la calculul valorilor celor mai probabile ale

mărimilor măsurate.

Drept consecinţă, vom subclasifica numai erorile propriu-zise

(inevitabile) rămase în urma acestui proces de selecţie.

1 în limbaj consacrat se numesc soluţii riguroase de compensare

2

1.3.1. Clasificarea erorile propriu-zise (inevitabile) după cauzele lor

Din acest punct de vedere luăm în considerare o serie de cauze:

imprecizia aparatelor sau a metodelor aplicate, grupate sub denumirea de

erori instrumentale, imperfecţiuni fizice sau greşeli ale operatorului, grupate

în erori umane, precum şi influenţa factorilor de mediu climatic (favorabili sau

mai puţin favorabili), grupate în erori fizice.

Erorile instrumentale sunt prezente din construcţie (imperfecţiuni care

diferă de la un aparat la altul al aceleiaşi serii) şi persistă în pofida faptului că

s-a efectuat verificarea şi rectificarea acestora. Erorile de acest tip cresc o

dată cu uzura aparatului şi pot fi reduse sau eliminate uneori prin metoda de

lucru adoptată, aspecte cunoscute din cadrul cursurilor de Topografie,

respectiv Aparate şi instrumente.

Erorile umane depind, atât de acuitatea şi coordonarea mişcărilor

operatorului precum şi de atenţia, gradul de pregătire teoretică, experienţa

practică a acestuia. Nu în ultimul rând, depind şi de condiţiile de lucru

inadecvate (presiuni, stres, etc.) sau de gradul de oboseală al operatorului.

Erorile fizice apar şi sunt influenţate în condiţiile schimbării

temperaturii, presiunii, umidităţii, luminozităţii, poluării atmosferei şi a

turbulenţei (schimbării valorilor locale sau de moment ale concentrării unor

componente ale aerului (particulele de praf, fumul).

1.3.2. Clasificarea erorile în funcţie de valoarea de referinţă:

a) erori adevărate:

(1.1)

unde

εi este eroare adevărată;

xi este valoare măsurată;

μi este valoarea adevărată a mărimii măsurate.

Acest punct de vedere este însă strict teoretic deoarece, în practică, nu

cunoaştem valoarea adevărată a mărimii de măsurat şi în consecinţă nu

putem determina valoarea adevărată a mărimii măsurate. Putem obţine însă

o valoare probabilă a mărimii respective, ceea ce ne duce la concluzia că noi,

încercăm, în permanenţă, să determinăm o eroare probabilă, care se mai

numeşte şi aparentă, definită prin relaţia (1.2).

3

b) erori aparente (probabile):

(1.2)

unde

este valoare aparentă (probabilă);

este valoare măsurată;

este valoare probabilă.

După cum vom vedea ulterior, valoarea cea mai probabilă a mărimii

măsurate, în aproximaţia în care se lucrează, în cazul măsurătorilor de

aceeaşi precizie, este chiar media aritmetică simplă (neponderată) a valorilor

individuale, conform (1.3) iar în cazul măsurătorilor de precizie diferită este

media ponderată:

(1.3)

sau, utilizând notaţia lui Gauss pentru sumă:

(1.4)

1.3.3. Clasificarea erorile propriu-zise (inevitabile) după modul lor de

acţionare

Din acest punct de vedere există:

erori sistematice;

erori întâmplătoare.

Erorile sistematice apar datorită unor cauze permanente, care

acţionează într-un mod constant, sau după legi în general, cunoscute. De

exemplu, dacă măsurăm la temperatura de etalonare o lungime cu o ruletă

(panglică) din oţel, cu o diferenţă în plus (mai lungă) de 0,02 m faţă de

lungimea pe care ea o reprezintă (datorită imperfecţiunii citate), rezultatul

final, va fi în mod sistematic greşit în minus, cu de n ori eroarea de 0,02 m a

instrumentului de măsurare directă a distanţelor utilizat. Rezultatul just al

măsurătorii se va obţine prin eliminarea erorii adică, aplicând, de fiecare dată

corecţia necesară (de etalonare), aşa după cum se va vedea ulterior, pe baza

statisticii matematice, aplicând teoria corelaţiei.

4

1.4. CLASIFICAREA MĂSURĂTORILOR

Se realizează, în general, funcţie de trei criterii:

1.4.1. După modul de determinare a mărimii care ne interesează se

disting:

măsurători directe;

măsurători indirecte;

măsurători condiţionate.

În cazul măsurătorilor directe, mărimile de interes se obţin prin

aplicarea directă a etalonului de măsurat peste acestea, fiecare măsurătoare

indepen-dentă generând câte o valoare pentru respectiva mărime.

Exemple de măsurători directe clare sunt: măsurarea distanţei dintre

două puncte cu ruleta, măsurarea unghiurilor verticale şi zenitale. Uneori, se

consideră măsurători directe funcţiile simple, explicite, de mărimi măsurate

direct, de exemplu: diferenţele de nivel în cazul nivelmentului geometric (cu

nivela), măsurarea unghiurilor azimutale (orizontale) ca diferenţă între două

direcţii sau chiar distanţele măsurate cu aparatură electro-optică, în cazul în

care sunt orizontale. Funcţiile simple pot avea una dintre expresiile (1.5):

în cadrul cărora , reprezintă mărimi măsurate direct

(1.5)

În cazul măsurătorilor indirecte, mărimile care ne interesează se obţin

prin intermediul altor mărimi măsurate direct, între mărimile determinate şi

cele măsurate direct existând anumite relaţii matematice (funcţii implicite).

Exemple de măsurători indirecte sunt: calculul diferenţelor de nivel prin

nivelment trigonometric (cu aparatura electro-optică), calculul coordonatelor

punctelor reţelei geodezice de sprijin (φ, λ, X, Y, Z, x, y, H), calculul para-

metrilor elipsoidului de referinţă, etc. De exemplu, în cazul coordonatelor

planului de proiecţie cartografică carteziene absolute (x, y) sau relative,

numite şi creşteri de coordonate (Δx, Δy) acestea se determină din

coordonatele polare topografice (D, θ) conform relaţiilor cunoscute (de

exemplu, atunci când sistemul cartezian plan are ordonata Ox cu sensul

pozitiv spre Polul Nord): (1.6), (1.7), (1.8):

(1.6)

5

respectiv coordonatele polare cartografice (ρ, δ), conform (1.9):

(1.7)

(1.8)

(1.9)

Măsurătorile condiţionate reprezintă un caz particular al măsurătorilor

directe numai în situaţia în care mărimile măsurate direct nu sunt mărimi

independente şi sunt legate prin anumite relaţii de condiţie. Condiţiile sunt

exprimate sub formă de relaţii matematice generate de proprietăţile

geometrice sau fizice ale mărimilor măsurate direct sau indirect.

De exemplu, în cazul măsurării unghiurilor unui triunghi plan, ABC

trebuie satisfăcută condiţia simplă, scrisă sub forma relaţiei:

(1.10)

care ne impune ca suma unghiurilor compensate ale triunghiului să fie de

200G. Diferenţa în plus sau în minus a sumei unghiurilor măsurate provizorii,

notate cu A0, B0, C0 faţă de această valoare, este neînchiderea, notată cu w,

conform cunoscutei relaţii (1.11) care, la compensare neriguroasă, se

împarte în mod egal la cele trei valori unghiulare determinate prin măsurători

indirecte (1.13), calculându-se astfel aşa-numitele erori de neînchidere vA, vB,

vC, egale şi de semn contrar corecţiei, notată generic c i care se va aplica,

conform celor ştiute de la topografie, tot prin distribuire în mod egal (1.14).

(1.11)

(1.12)

Suma acestor corecţii este egală şi cu semn contrar cu neînchiderea:

(1.13)

În domeniul topografic, erorile sunt considerate egale, şi anume, în exemplul

nostru reprezintă o treime din valoarea neînchiderii (1.14):

(1.14)

Dacă însă întru-un triunghi plan se măsoară direct toate elementele

liniare şi unghiulare (trei laturi şi trei unghiuri), adică un număr de n mărimi 6

(în cazul acesta n 6) dintre care un număr de r (în cazul acesta n 3) sunt

executate în excedent (în plus) sau suplimentar (se mai numesc măsurători

supraabundente) atunci, mărimile măsurate trebuie să satisfacă un număr de

r ecuaţii de condiţie. Din punct de vedere strict topografic însă, ar fi fost

suficiente fie măsurarea unei laturi şi două unghiuri adiacente acesteia fie

două laturi şi unghiul dintre ele situaţie în care, compensarea riguroasă a

măsurătorilor este imposibilă (în afară de compensarea în tur de orizont) şi

nu s-ar cunoaşte cu precizie ridicată valorile cele mai probabile ale

elementelor (unghiuri şi laturi).

1.4.2. După condiţiile de precizie:

măsurători de aceeaşi precizie;

măsurători de precizii diferite.

Condiţiile de precizie sunt rezultatul direct al condiţiilor practice de

măsurare iar în acest sens, măsurătorile de aceeaşi precizie sunt acele

măsurători efectuate cu acelaşi instrument, de către acelaşi operator, în

aceleaşi condiţii fizico-atmosferice şi orare, cu aceeaşi metodă iar dacă, de la

o sesiune de măsurare la alta, diferă unul sau mai mulţi factori dintre cei mai

sus amintiţi, măsurătorile devin măsurători de precizii diferite în cadrul

cărora, influenţa mai mare sau mai mică a acestor factori stabileşte o

pondere corespunzătoare, motiv pentru care se numesc măsurători

ponderate.

1.4.3. În funcţie de necesitate:

măsurători strict necesare;

măsurători suplimentare.

Cazul măsurătorilor strict necesare este acela în care, pentru

determinarea mărimii cerută se efectuează strict numărul de măsurători prin

care este posibilă obţinerea informaţiei căutate (vezi exemplul anterior). În

practica măsurătorilor geodezice se efectuează însă întotdeauna, măsurători

suplimentare pentru a se ridica gradul de precizie al poziţionării punctelor

sau al determinării unor parametri fizici. Numărul măsurătorilor suplimentare,

notat anterior cu r, le defineşte gradul de libertate şi conferă posibilitatea de

compensare riguroasă a lor, prin tehnicile Teoriei prelucrării măsurătorilor

geodezice, în majoritatea cazurilor prin metoda celor mai mici pătrate.

1.4.4. Funcţie de legătura de dependenţă (interdeterminare) dintre

măsurători:7

măsurători independente;

măsurători corelate.

CAPITOLUL 2

NOŢIUNI DE STATISTICĂ ŞI TEORIA PROBABILITĂŢILOR

2.1. TEORIA PROBABILITĂŢILOR

Erorile de măsurare şi observaţie au un caracter întâmplător (aleatoriu)

motiv pentru care Teoria prelucrării măsurătorilor topo-geodezice le

prelucrează după principii probabilistice situaţie în care ne vom familiariza cu

câteva noţiuni din acest domeniu interesat numai de experimente aleatoare,

adică numai de acele experimente în care intervine întâmplarea.

Unul dintre conceptele de bază ale teoriei probabilităţilor este

evenimentul. Este definit ca fiind fenomenul care se poate produce sau nu în

cadrul unui experiment şi despre care se poate spune cu certitudine dacă s-a

produs sau nu numai după efectuarea experimentului.

2.1.1. EVENIMENTE: DEFINIŢIE ŞI CARACTERISTICI. OPERAŢII CU

EVENIMENTE

Pentru o mai bună înţelegere considerăm exemplul experimentului

aruncării unui zar care are, în mod evident, un caracter aleatoriu. În acest caz

evenimentele pot fi: apariţia unei feţe cu număr par, apariţia unei feţe cu un

anumit număr, de exemplu 6, apariţia unei feţe cu număr mai mic de 3, mai

mare de 4, etc.

Fiecărui experiment îi corespunde un eveniment sigur, care se

realizează cu certitudine, notat cu E, şi un eveniment imposibil, notat cu ,

care nu se poate realiza la nici o efectuare a experimentului. Fiecărui

eveniment, notat cu A, îi corespunde un eveniment contrar, notat cu a

cărui realizare constă, prin definiţie, în nerealizarea primului şi deci aceste

evenimente sunt contrare unul altuia.

Două evenimente A şi B se numesc incompatibile dacă nu se pot realiza

simultan, respectiv compatibile dacă se pot realiza simultan.

8

Fiind date două evenimente, notate cu A, respectiv B se pot efectua

următoarele operaţii şi, de asemenea se pot stabili următoarele tipuri de

relaţii între evenimente:

2.1.1.1. Reuniunea

Se defineşte reuniunea lor, evenimentul a cărui realizare reclamă

realizarea a cel puţin unuia dintre evenimentele A, B.

2.1.1.2. Intersecţia

Se defineşte intersecţia lor, evenimentul a cărui realizare

reclamă realizarea simultană a evenimentelor A şi B. Dacă evenimentele

sunt:

compatibile expresia matematică este:

incompatibile expresia matematică este:

2.1.1.3. Diferenţa

Se defineşte diferenţa lor, evenimentul are se realizează atunci şi

numai atunci când se realizează A şi nu se realizează B şi matematic se

exprimă:

2.1.1.4. Incluziunea (implicarea)

În cadrul unei experienţe aleatoare se spune că evenimentul A implică

evenimentul B, dacă realizarea evenimentului A are drept consecinţă

realizarea evenimentului B şi matematic se exprimă: Se observă

imediat că orice eveniment implică evenimentul sigur, iar prin generalizarea

unor anumite rezultate se admite că evenimentul imposibil implică orice

eveniment, fapt ce se poate exprima prin următoarele tipuri de relaţii:

2.1.1.5. Echivalenţa

Evenimentele A şi B sunt echivalente dacă şi ce se poate

scrie

Evenimentul care nu este implicat în nici un eveniment diferit atât de el

însuşi cât şi de evenimentul imposibil se numeşte eveniment elementar al

unei experienţe aleatoare. Celelalte evenimente se numesc evenimente

compuse.

Notând cu K o clasă de submulţimi ale lui E care are următoarele

proprietăţi:

1. dacă atunci

2. dacă atunci

9

şi unde elementele lui K sunt evenimente, în cazul în care mulţimea E este

infinită se admite în plus că:

3. dacă atunci

Cuplul se numeşte câmp de evenimente. În acest câmp,

elementele lui E sunt evenimente elementare, evenimentul sigur este E, iar

evenimentul imposibil este .

2.1.2. Probabilitate: definiţie şi proprietăţi. Câmp de probabilitate

Fiind dat un câmp de evenimente , funcţia se numeşte

probabilitate dacă:

(2.1)

Dacă pentru şi I este o familie cel mult numărabilă de

indici.

Tripletul se numeşte câmp de probabilitate complet aditiv sau

câmp borelian de probabilitate.

Dacă E conţine un număr finit de elemente: se observă că:

În acest caz, orice eveniment

se va scrie: Presupunând că toate

evenimentele elementare, notate cu ei au aceeaşi probabilitate se deduce

imediat că:

(2.2)

Relaţia (2.2) este exprimarea matematică a definiţiei clasice2 a

probabilităţii conform D. Roşculeţ: probabilitatea este raportul dintre

numărul cazurilor favorabile şi numărul cazurilor egal posibile.

O altă definiţie rezultă mai simplu dacă considerăm un eveniment,

notat cu A, care poate avea un număr de n rezultate posibile, situaţie în care,

se numeşte probabilitate a acestuia şi se notează cu P(A), raportul dintre

numărul rezultatelor favorabile producerii evenimentului, notate cu m, şi

numărul total de rezultate, conform cu N. Fotescu:

(2.3)

2 Raportul dintre numărul cazurilor favorabile şi numărul cazurilor posibile într-un experiment în care toate rezultatele au şanse egale de apariţie, conform lui Jaques Bernoulli (1705)

10

Din definiţia probabilităţii îi rezultă implicit proprietăţile:

1. Probabilitatea evenimentului sigur este 1: (în urma experimentului

se produce cu certitudine unul din evenimentele câmpului)

2. Probabilitatea evenimentului imposibil este 0: .

3.

4. Probabilitatea unui eveniment întâmplător este cuprinsă între 0 şi 1.

5. Dacă atunci:

6. Dacă atunci:

7. Dacă atunci:

8. Dacă atunci:

9. Dacă atunci: rezultând produsul

probabilităţilor.

9. Dacă un şir de evenimente din K, atunci:

(probabilitatea reuniunii mai multor evenimente este egală cu suma

probabilităţilor evenimentelor).

10. , pentru orice eveniment X.

2.1.3. FORMULE UTILIZATE ÎN CALCULUL UNOR PROBABILITĂŢI

2.1.4. Variabile aleatoare

Variabila aleatoare sau variabila stochastică este o mărime care, în

funcţie de rezultatul unui experiment, poate lua o valoare dintr-o mulţime

bine definită de valori (mulţimea valorilor posibile). Ea poate fi continuă sau

discretă.

Se numeşte continuă, o variabilă aleatoare ale cărei valori posibile

umplu un interval finit sau infinit.

Se numeşte discretă, o variabilă aleatoare care poate lua numai valori

izolate. Numărul posibil al unei variabile aleatoare discrete se consideră în

general a fi finit (sau cel mult numărabil).

2.1.4.1. Repartiţia unei variabile aleatoare discrete

Se numeşte repartiţie a unei variabile aleatoare discrete, enumerarea

valorilor posibile ale variabilei aleatoare şi a probabilităţilor corespunzătoare

acestora. De obicei această repartiţie se scrie sub forma unui tablou în care,

prima linie conţine toate valorile posibile, iar a doua linie conţine

probabilităţile corespunzătoare:

11

, unde 1 i n(2.4)

Deoarece variabila X, care ia valorile X1, X2, …, Xn, formează un sistem

complet de evenimente, avem:

Densitatea de repartiţie – a unei variabile aleatoare X este definită de

derivata funcţiei de repartiţie:

Legătura dintre funcţiei de repartiţie şi densitatea de repartiţie este

exprimată prin:

şi este reprezentată de aria zonei delimitate de axa x şi curba

Probabilitatea ca variabila aleatoare X sa ia valori în intervalul (a,b] este:

Deoarece probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valori între

este 1 (certitudinea), rezultă:

(adică suprafaţa cuprinsă între curbă şi axa absciselor rămâne întotdeauna

egală cu unitatea).

Distribuţii utilizate în studiul erorilor de măsurare

...................

Fiecare eroare de măsurare iε este rezultantă a n erori individuale

.

...........................

Densitatea de repartiţie a erorii aleatoare este:

Înlocuind mărimea cu rezultatul măsurării , relaţia devine

12

şi se spune că x urmează legea de repartiţie normală de parametri ,

notată

....................

Proprietăţile densităţii normale de repartiţie:

1) Curba ................... şi scade treptat..............

2) Deoarece curba erorilor normal...........

3)

4) .................

......................

13

Fig.2.1Reprezentarea grafică a densităţii de repartiţie

normală

0,15

42,842,8

34,1 34,1

68,2

95,6

99,7

0,15

f(x)

Se poate calcula probabilitatea ca variabila aleatoare să ia valori într-un

interval dat. În particular sunt calculate următoarele probabilităţi:

.....................

Dacă în cazul distribuţiei normale se face schimbarea de variabilă:

, se obţine distribuţia Laplace. În acest caz variabila Z are media 0

şi dispersia 1 şi se notează , cu densitatea de repartiţie:

Funcţia este dată de relaţia:

Media variabilei este n, iar varianţa 2n.

Repartiţia (n) şi repartiţia normală sunt legate prin teoremele:

Fig. 2.2Curbele densităţii de repartiţie normal având acelaşi centru de dispersie şi erori medii

pătratice diferite

)

14

a) dacă variabilele aleatoare sunt distribuite normal cu N(0,1)

atunci variabilele aleatoare este repartizată

b) dacă X este o variabilă aleatoare repartizată

este o estimaţie a varianţei populaţiei respective, atunci variabila aleatoare

este repartizată (se citeşte hi pătrat cu n-1 grade de

libertate).

Distribuţia t (student)...........

...............

Daca reprezintă media unei selecţii de volum n asupra unei variabile

aleatoare x repartizate atunci variabila aleatoare

urmează o repartiţie t(n-1)

Distribuţia F (Fisher) – Varianta aleatoare x urmează o repartiţie Fischer cu

grade de libertate,notata daca are densitatea de repartiţie:

Media variabilei aleatoare este , iar varianţa

pentru

Repartiţia Fischer este legata de repartiţia normala prin teorema:

15

Daca X si Y sunt doua variabile aleatoare independente repartizate

, atunci, variabila este repartizată

Pe baza legăturilor stabilite între repartiţiile rezultă:

- repartiţia t descrie repartiţia mediei;

- repartiţia descrie repartiţia variantei;

- repartiţia F permite compararea variantelor a două selecţii din aceeaşi

populaţie.

2.1.4.2. Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare

Este funcţia care exprimă probabilitatea ca valorile acestei variabile să

fie mai mici decât un număr real, notat cu x: şi care are

următoarele proprietăţi:

1.

2.

3.

4. Dacă

5. În cazul variabilelor aleatoare discrete, funcţia de repartiţie este:

adică suma probabilităţilor valorilor situate la stânga lui

x.

2.1.4.3. Operaţii cu variabile aleatoare discrete

1. Adunarea variabilelor aleatoare discrete

Fiind date două variabile aleatoare X şi Y, vom numi suma lor, variabila:

, unde 1 i n; 1 j m(2.5)

unde Pij este probabilitatea realizării simultane a egalităţii: şi în

acest caz:

(2.6)

2. Produsul variabilelor aleatoare discrete

Prin definiţie acesta este Z = X · Y şi are distribuţia:

16

(2.7)

2.1.4.4. Variabile aleatoare independente

Variabilele X şi Y se numesc independente dacă pentru i şi j, 1 i n;

1 j m, evenimentele (X Xi) şi (Y Yj) sunt independente, caz în care avem:

(2.8)

2.2. STATISTICĂ MATEMATICĂ

Statistica matematică este o ramură a matematicii aplicate care se

ocupă cu gruparea, analiza şi interpretarea datelor referitoare la un anumit

fenomen de masă, precum şi unele previziuni privind producerea lui viitoare.

Se numeşte populaţie statistică sau mai simplu populaţie, orice

mulţime de elemente care este supusă unei prelucrări statistice.

Pentru a putea forma o populaţie, toate aceste elemente trebuie să

satisfacă o proprietate comună. Fiecare element al populaţiei poartă numele

de unitate statistică sau individ, iar proprietatea comună care interesează

statistica se numeşte caracteristică. Dacă informaţiile statistice sunt luate de

la fiecare individ al unei populaţii, se realizează o enumerare completă.

Datorită condiţiilor concrete referite la cost, timp, probleme de organizare, de

cele mai multe ori enumerarea completă este impracticabilă, preferându-se

prelevarea informaţiei de la un număr oarecare de indivizi, luaţi la întâmplare

din populaţia respectivă, realizându-se astfel o selecţie.

De exemplu, populaţia este o mulţime ale cărei elemente au anumite

caracteristici comune iar selecţia reprezintă o submulţime a populaţiei

extrasă după anumite reguli. Simplificând, putem spune că în domeniul

statistic se evaluează cantitativ şi calitativ pe lângă mulţimi şi submulţimi iar

pentru a caracteriza elementele populaţiei se utilizează o serie de indicativi

cantitativi şi calitativi.

În domeniul topo-geodezic ne interesează numai indicatorii cantitativi

dintre care sunt necesari şi suficienţi doi: media şi dispersia.

După ce, în urma observaţiilor s-au obţinut datele necesare sub formă

numerică, primul pas în interpretarea şi analiza datelor constă în

reprezentarea lor grafică.

17

În funcţie de caracterul materialului şi problema care trebuie rezolvată

se folosesc următoarele tipuri de grafice:

a. hărţi rectilinii

Două caracteristici ale unui individ sunt reprezentate sub forma unui

punct într-un sistem de axe de coordonate rectangular3. Diferite serii de date

asemănătoare, clasificate după aceeaşi caracteristică, pot fi reprezentate pe

acelaşi grafic.

b. grafice circulare şi dreptunghiulare

Graficul circular este un cerc împărţit în diferite sectoare circulare cu

unghiurile la centru proporţionale cu diferite componente ale totalului. În

graficul dreptunghiular cantităţile sunt reprezentate prin arii sau lungimi

aşezate orizontal sau vertical.

Pentru o mai uşoară interpretare a rezultatelor şi pentru simplificarea

calculelor se poate face o grupare a observaţiilor efectuate asupra unei

singure caracteristici comună unui număr mare de indivizi. În acest scop se

împarte intervalul de variaţie într-un număr de intervale egale şi se

înregistrează numărul de observaţii încadrate în fiecare interval, număr ce se

numeşte frecvenţa absolută a intervalului. Tabela care ne arată repartiţia

frecvenţelor în intervale se numeşte tabelă de frecvenţă.

Dacă frecvenţa absolută se notează cu fi atunci frecvenţele relative se

definesc prin:

unde n reprezintă numărul total de observaţii(2.8)

De exemplu, dacă asupra unei mărimi se execută un număr de n

măsurători sau determinări, obţinem, în general, un număr de n valori, notate

cu xi, unde valori care constituie o variabilă aleatoare.

Distribuţia acestei variabile este complet definită dacă se prezintă într-un

tablou atât valorile respective cât şi frecvenţele de apariţie ale acestor valori

(tabelul nr. 1), în cadrul căruia:

x1, x2, x3, ….., xn sunt valori ale variabilei aleatoare;

fi reprezintă frecvenţa absolută de apariţie, având forma:

(2.9)

dacă notăm:

ni numărul cazurilor;

3 se înţelege un sistem cartezian ortogonal

18

n numărul total al măsurătorilor (încercărilor).

Tabelul nr. 1

xi x1 x2 x3 …… xn

fi f1 f2 f3 …… fn

Dacă împărţim în mai multe intervale valoarea variabilei aleatoare x i şi

adoptăm un sistem cartezian plan de coordonate xOy, în care pe axa

absciselor vom marca mărimea intervalului iar pe axa ordonatelor frecvenţa

de apariţie vom obţine o reprezentare grafică a distribuţiei numită diagrama

frecvenţelor sau histogramă.

În cazul reprezentărilor intervalele pot fi alese egale sau inegale dar

este recomandabil totuşi să fie egale. De asemenea, se recomandă ca pe axa

ordonatelor să se aleagă scara astfel încât suprafaţa fiecărui dreptunghi

(format de mărimea intervalului şi frecvenţa de apariţie) să genereze

frecvenţe relative. În aceste condiţii se ajunge ca, în final, însumând toate

suprafeţele frecvenţelor de apariţie să realizăm suprafaţa totală egală cu

unitatea. Suma acestor suprafeţe reprezintă o formă geometrică denumită

poligonul frecvenţelor. Dacă mărimea intervalului tinde către 0, numărul

măsurătorilor tinde către ∞, atunci poligonul frecvenţelor tinde către o curbă

continuă, curbă ce se numeşte densitatea de probabilitate a variabilei

aleatoare respective. Această curbă este complet definită de către o funcţie

de aspectul:

(2.10)

unde:

P(xi) reprezintă probabilitatea de apariţie a valorii respective;

F(xi) reprezintă densitatea de probabilitate.

2.3. Valori tipice folosite în măsurători

Pentru o mai bună înţelegere a noţiunilor de bază cu care se lucrează în

cadrul Teoriei Prelucrării Măsurătorilor şi Geodezice vom prelua câţiva

indicatori din cadrul statisticii matematice şi le vom studia proprietăţile.

2.3.1. Indicatori cantitativi

2.3.1.1. Media

În cazul variabilelor aleatoare continue, expresia mediei este:

19

(2.21)

unde se mai numeşte operator de medie.

În cazul valorilor discrete, expresia mediei este:

(2.22)

unde fi este frecvenţa de apariţie şi are expresia (2.4).

Un caz particular îl reprezintă situaţia în care variabila aleatoare x i

apare o singură dată, expresia mediei fiind:

(2.23)

Proprietăţile mediei sunt următoarele:

1) unde a const.

2)

3)

4) dacă

(2.24)

2.3.1.2. Dispersia (varianţa)

Dispersia teoretică, notată cu D, este un parametru care caracterizează

gradul de împrăştiere a valorilor individuale în jurul mediei sau varianţa.

În cazul variabilelor aleatoare continue, dispersia are expresia:

(2.25)

În cazul valorilor discrete, dispersia are expresia:

(2.26)

Un caz particular îl reprezintă situaţia în care variabila aleatoare, notată

cu xi, apare o singură dată, expresia dispersiei fiind:

(2.27)

Deoarece dispersia reprezintă o măsură medie a abaterilor individuale

faţă de medie, nu pot fi luate ca măsuri a împrăştierii, expresii de forma

(1.28):

sau (2.28)

20

Deoarece în practică, numărul de măsurători este întotdeauna finit, se

obişnuieşte să se folosească dispersia de selecţie în locul celei teoretice:

(2.28)

Pentru a putea însă exprima abaterea medie în aceeaşi unitate de

măsură ca şi variabila, în practică se utilizează rădăcina pătrată a dispersiei

ce reprezintă abaterea standard numită şi abatere standard sau eroare

medie pătratică:

(2.29)

Proprietăţile dispersiei sunt următoarele:

1) , unde a const.

2)

3)

4) , dacă

5) , dacă

(2.30)

2.3.2. Momente

Prin moment de ordinul k al unei variabile aleatore se înţelege:

pentru funcţii continue, expresia:

(2.31)

pentru valori discrete, expresia:

(2.32)

Pentru cazul particular în care valoarea xi apare o singură dată avem:

(2.33)

Pentru relaţia (1.33) defineşte media aritmetică.

Momentul centrat de ordin k:

(2.34)

2.3.3. Covarianţa coeficientului de corelaţie

21

Covarianţa exprimă gradul de interdependenţă dintre variabilele întâm-

plătoare (în aceeaşi măsură atunci când una se îndepărtează de media sa se

îndepărtează şi celelalte de media lor).

Dacă x şi y sunt două variabile aleatoare se numeşte covarianţă

(corelaţie) a numărului lor, una dintre cele două relaţii de mai jos:

(covarianţa teoretică)

(2.34)

sau

(covarianţa de selecţie)

(2.35)

Coeficientul de corelaţie se utilizează pentru a determina gradul de

interdependenţă dintre două componente x şi y. Considerând schimbarea de

variabilă:

; (2.36)

avem:

(2.37)

Coeficientul de corelaţie, notat cu rxy, caracterizează legătura dintre

două variabile aleatoare studiate simultan, valorile pe care le preia fiind

cuprinse între 1 şi ‒1. Se exprimă cu relaţia:

pentru ‒1 r 1(2.38)

Dacă r 1, între cele două variabile există o legătură liniară, ele fiind

complet corelate (pozitiv sau negativ). Cu cât r ia valori mai apropiate de 1

sau ‒1 cu atât corelaţia dintre mărimile studiate este mai puternică. Un

coeficient de corelaţie egal cu 0 arată că cele două variabile sunt

independente.

Aplicaţii

1. Dispersia unei variabile aleatoare

În unele aplicaţii practice este mai comod să se opereze cu expresia dispersiei sub forma

următoare:

(2.39)

22

2. Normarea unei variabile aleatoare

Considerând variabila:

(2.40)

unde Z este variabila normalizată, iar expresia mediei este:

(2.41)

iar expresia dispersiei, atunci când este:

(2.42)

3. Dispersia mediei aritmetice

Media aritmetică are expresia:

(2.43)

Dacă, au aceeaşi dispersie, adică:

(2.44)

4. Media şi dispersia vectorului aleator

(2.45)

2.3.4. Media şi dispersia unei funcţii de n variabile aleatoare

2.3.4.1. Funcţii liniare

2.3.4.1.1. Media unei funcţii liniare

Fie o funcţie liniară:

(2.46)

iar, conform proprietăţilor mediei, rezultă:

(2.47)

2.3.4.1.2. Dispersia unei funcţii liniare

Fie o funcţie liniară Z cu doua variabile aleatoare x şi y:

23

(2.48)

În mod similar, funcţiei: îi corespunde

următoarea exprese de calcul a dispersiei:

(2.48)

care se numeşte eroarea liniară a funcţiei.

2.3.4.2. Funcţii neliniare

Fie funcţia neliniară:

(2.49)

pe care o considerăm continuă pe domeniul D şi stabilim că ea admite

derivate parţiale de orice ordin. Funcţia poate fi adusă la forma liniară prin

aplicarea unei dezvoltări în serie Taylor în jurul unor valori aproximative, din

care reţinem numai termenii de ordinul I.

Figura nr. 1. Interpretarea geometrică a dezvoltării în serie Taylor

(2.50)

2.3.4.2.1. Media unei funcţii neliniare

(2.51)

2.3.4.2.2. Dispersia unei funcţii neliniare

Dispersia se poate scrie sub forma:

F(X)

x

24

(2.52)

Dacă variabilele sunt independente, atunci:

şi

Uneori se dă eroarea funcţiei şi se cer erorile parametrilor. În acest caz,

pentru a determina erorile medii pătratice se aplică principiul influenţelor

egale ale erorilor.

Atunci când în expresie ne intervin şi funcţii trigonometrice ale căror

erori sunt exprimate în secunde (centezimale sau sexagesimale), pentru ca

funcţia să fie liniară acestea trebuie exprimate în radiani, operaţie ce se

realizează prin aplicarea coeficientului de transformare ρcc, respectiv ρ″.

2.3.5. Matricea de varianţă – covarianţă

Fiind daţi un număr de n vectori aleatori: X1, X2, ….., Xn pentru care se

calculează varianţele şi covarianţele în toate combinaţiile dintre cei n vectori,

apoi aceste valori se ordonează într-un tablou se obţine matricea de varianţă

‒ covarianţă, de forma generală:

(2.53)

elementele de pe diagonala principală reprezentând varianţa iar cele

dinafară reprezentând covarianţa.

De exemplu, matricea de varianţă ‒ covarianţă pentru trei variabile: x, y şi z se

scrie sub forma:

(2.54)

Elementele de pe diagonala principală reprezintă varianţa iar cele dinafară

reprezintă covarianţa şi se determină cu relaţia:

(2.55)

Dacă i j, atunci varianţa este egală cu media dispersiei:

(2.56)

Proprietăţile matricei de varianţă ‒ covarianţă sunt următoarele:

25

1. Este o matrice pătrată, simetrică şi pozitiv definită:

2. Dacă toate covarianţele sunt nule: pentru i, j; i j, atunci

variabilele respective sunt independente (sau vectorii X1, X2,…., Xn sunt

independenţi).

3. Dacă toate covarianţele sunt nule şi varianţele sunt diferite:

măsurătorile sunt independente de precizii diferite.

4. Dacă toate covarianţele sunt nule şi varianţele sunt egale:

atunci vectorii sunt de aceeaşi precizie, vorbim despre măsurători

independente de aceeaşi precizie.

În unele cazuri, pentru a determina gradul de corelaţie dintre componente, se calculează

matricea de corelaţie care are următorul aspect:

unde (2.57)

2.3.6. Ponderile

2.3.6.1. Definirea ponderilor

Se numeşte pondere expresia numerică a încrederii acordate unei

valori măsurate. Dacă mai multor măsurători li se atribuie aceeaşi pondere,

acestea sunt considerate măsurători de aceeaşi precizie. Uneori însă, în

cadrul aceleiaşi lucrări, se prelucrează măsurători care prezintă diferite grade

de încredere, adică au ponderi diferite, situaţie în care este necesar să se

stabilească un procedeu de determinare a ponderii.

Considerăm două măsurători x1 şi x2, executate asupra aceleiaşi mărimi

care au varianţele respectiv Considerăm că p1 şi p2 reprezintă

ponderile celor două măsurători adică expresiile numerice ale încrederii

acordate acestora, se poate sune că ponderea este invers proporţională cu

varianţa:

(2.5)

unde c este o constantă de proporţionalitate oarecare. Dacă se consideră

atunci relaţia (2.) poate fi scrisă pentru o măsurătoare oarecare x i sub

forma:

26

(2.59)

Factorul de proporţionalitate, notat cu este numit variaţia unităţii de

pondere (varianţa unei măsurători cu ponderea 1 sau factor de varianţă.

Dimensiunea ponderii este inversa dimensiunii varianţei respectivei

măsurători adică, inversa pătratului dimensiunii valorii măsurate. De

exemplu, dacă valoarea măsurată este exprimată în metri (m), varianţa se

exprimă în m2, iar ponderea în m-2.

În practica lucrărilor de specialitate se calculează însă inversa ponderilor:

(2.60)

Ţinând seama de expresia lui avem:

(2.61)

unde:

(2.62)

deci putem scrie relaţia care reprezintă cazul cel mai general al ponderii unei funcţii:

(2.63)

Dacă variabilele aleatoare sunt independente, atunci:

(2.64)

Expresia de calcul a ponderea va fi:

(2.65)

În cazul unei selecţii, variaţia unităţii de pondere, notată cu are expresia

de calcul:

1-n

x-xps

n

1i

2

ii20

(2.66)

Rădăcina pătrată din varianţa unităţii de pondere (1.71) se numeşte abaterea

standard a unităţii de pondere sau eroare medie pătratică a unităţii de

pondere:

27

(2.67)

2.3.6.2. Legătura dintre matrice ponderilor şi matricea de varianţă ‒

covarianţă

În unele probleme, nu sunt cunoscute valorile efective ale varianţelor şi

covarianţelor, motiv pentru care sunt înlocuite cu nişte cantităţi proporţionale

cu acestea numite coeficienţi de pondere, notaţi cu qii, factorul de

proporţionalitate fiind varianţa unităţii de pondere:

Astfel:

, unde şi (2.68)

sau unde (2.69)

Cu toate aceste condiţii, matricea de varianţă ‒ covarianţă devine:

(2.70)

unde Qxx este matricea coeficienţilor de pondere.

Varianţa unităţii de pondere este adimensională, iar coeficienţii unităţii

de pondere au aceeaşi unitate de mărime ca şi varianţa sau covarianţa.

Dacă se exprimă ponderea pi şi se consideră vectorii aleatori

independenţi (variabilele independente), atunci matricea de varianţă ‒

covarianţă devine:

(2.71)

28

(2.71)

p, matricea ponderilor este o matrice simetrică de forma:

(2.72)

Dacă variabilele aleatoare independente sunt de aceeaşi precizie:

iar în matricea de varianţă – covarianţă, avem:

se obţine, cazul variabilelor aleatoare independente de aceeaşi precizie,

unde, matricea de varianţă – covarianţă are expresia:

cu I este notată matricea unitate.

Exemplu: transmiterea erorilor în unele lucrări topo–geodezice

1. Eroarea unui unghi în funcţie de eroarea direcţiilor.

Se consideră direcţiile măsurate d1 şi d2. Unghiul se obţine ca

diferenţă a celor două direcţii. Funcţia de mărimi măsurate direct va fi:

.

29

iar dispersia acesteia va fi:

dacă se consideră şi măsurătorile ca fiind

independente

30