Curs Dsis 2014 Stratan

Dinamica structurilor i inginerie seismic

Note de curs

Aurel Stratan

Timioara 2014

Dinamica Structurilor i Inginerie Seismic. [v.2014] http://www.ct.upt.ro/users/AurelStratan/

ii

Cuprins 1. INTRODUCERE .......................................................................................................................................... 1

2. DINAMICA SISTEMELOR CU UN SINGUR GRAD DE LIBERTATE DINAMIC ......................................... 3

2.1. ECUAII DE MICARE, FORMULAREA PROBLEMEI, METODE DE REZOLVARE ........................................................ 3 2.1.1. Sisteme cu un singur grad de libertate dinamic ...................................................................................... 3 2.1.2. Relaia for-deplasare ............................................................................................................................. 4 2.1.3. Fora de amortizare .................................................................................................................................. 5 2.1.4. Ecuaia de micare n cazul unei fore externe ......................................................................................... 6 2.1.5. Ecuaia de micare n cazul aciunii seismice ........................................................................................... 7 2.1.6. Formularea problemei i determinarea eforturilor .................................................................................. 8 2.1.7. Combinarea rspunsului static cu cel dinamic ......................................................................................... 9 2.1.8. Metode de rezolvare a ecuaiei de micare ............................................................................................... 9

2.2. VIBRAII LIBERE .............................................................................................................................................. 11 2.2.1. Vibraii libere neamortizate .................................................................................................................... 11 2.2.2. Vibraii libere amortizate ........................................................................................................................ 12

2.3. VIBRAII FORATE ........................................................................................................................................... 16 2.3.1. Rspunsul dinamic sub aciunea unei fore de tip treapt i ramp ....................................................... 16 2.3.2. Vibraii forate ale sistemelor SGLD produse de fore armonice ........................................................... 21 2.3.3. Vibraii forate ale sistemelor SGLD produse de fore armonice ........................................................... 25 2.3.4. Determinarea amortizrii din ncercri de vibraii forate amortizate .................................................. 31 2.3.5. Amortizarea la structurile inginereti ..................................................................................................... 32

3. NOIUNI DE SEISMOLOGIE INGINEREASC ................................................................................................. 33

3.1. INTRODUCERE .................................................................................................................................................. 33 3.2. ACTIVITATEA SEISMIC LA NIVEL MONDIAL .................................................................................................... 34 3.3. CAUZELE CUTREMURELOR ............................................................................................................................... 35

3.3.1. Cutremure tectonice ................................................................................................................................ 35 3.3.2. Alte cauze ale cutremurelor .................................................................................................................... 37

3.4. TIPURILE DE FALII ............................................................................................................................................ 37 3.5. UNDELE SEISMICE ............................................................................................................................................ 38 3.6. EFECTELE CUTREMURELOR .............................................................................................................................. 39 3.7. INTENSITATEA I MAGNITUDINEA ..................................................................................................................... 42

3.7.1. Intensitatea seismic ............................................................................................................................... 42 3.7.2. Magnitudinea .......................................................................................................................................... 44

3.8. NREGISTRAREA MICRII SEISMICE ................................................................................................................. 45 3.9. SEISMICITATEA ROMNIEI ............................................................................................................................... 46

4. RSPUNSUL SEISMIC AL SISTEMELOR CU UN SINGUR GRAD DE LIBERTATE DINAMIC ............ 49

4.1. MICAREA SEISMIC ........................................................................................................................................ 49 4.2. DETERMINAREA RSPUNSULUI SEISMIC ........................................................................................................... 50 4.3. SPECTRE DE RSPUNS ELASTIC ......................................................................................................................... 51

4.3.1. Spectrul de rspuns elastic al deplasrii ................................................................................................ 51 4.3.2. Spectrul de rspuns elastic al pseudo-vitezei.......................................................................................... 52 4.3.3. Spectrul de rspuns elastic al pseudo-acceleraiei ................................................................................. 53 4.3.4. Spectrul combinat D-V-A ........................................................................................................................ 54 4.3.5. Spectre de vitez i acceleraie ............................................................................................................... 55

4.4. CARACTERISTICILE SPECTRELOR DE RSPUNS ELASTIC .................................................................................... 55 4.5. SPECTRE ELASTICE DE PROIECTARE .................................................................................................................. 57 4.6. RSPUNSUL INELASTIC AL SISTEMELOR SGLD ................................................................................................ 60

4.6.1. Introducere ............................................................................................................................................. 60 4.6.2. Efectul comportrii elasto-plastice ......................................................................................................... 62 4.6.3. Relaia dintre ductilitate i factorul de reducere Ry ............................................................................ 63

5. SISTEME CU MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE DINAMIC ................................................................. 66

5.1. ECUAII DE MICARE, FORMULAREA PROBLEMEI, METODE DE REZOLVARE ...................................................... 66 5.1.1. Forele elastice ....................................................................................................................................... 66 5.1.2. Forele de amortizare ............................................................................................................................. 67 5.1.3. Forele de inerie .................................................................................................................................... 68 5.1.4. Ecuaia de micare: fore dinamice ........................................................................................................ 69 5.1.5. Ecuaia de micare: aciunea seismic ................................................................................................... 70

iii

5.2. VIBRAII LIBERE ALE SISTEMELOR MGLD ....................................................................................................... 72 5.2.1. Moduri proprii de vibraie ale sistemelor MGLD neamortizate ............................................................. 72 5.2.2. Ortogonalitatea modurilor proprii ......................................................................................................... 74 5.2.3. Normalizarea modurilor ......................................................................................................................... 75 5.2.4. Dezvoltarea modal a deplasrilor ........................................................................................................ 76 5.2.5. Soluia ecuaiei de micare ..................................................................................................................... 76 5.2.6. Vibraii libere amortizate ale sistemelor MGLD .................................................................................... 78

5.3. RSPUNSUL DINAMIC AL SISTEMELOR MGLD ................................................................................................. 80 5.3.1. Analiza modal ....................................................................................................................................... 80 5.3.2. Analiza rspunsului seismic n timp folosind analiza modal ................................................................ 81 5.3.3. Analiza spectral .................................................................................................................................... 86

6. CALCULUL STRUCTURILOR LA ACIUNEA SEISMIC .............................................................................. 90

6.1. INTRODUCERE .................................................................................................................................................. 90 6.2. ACIUNEA SEISMIC ........................................................................................................................................ 90

6.2.1. Spectrul elastic ........................................................................................................................................ 90 6.2.2. Spectrul de proiectare pentru analiza elastic ....................................................................................... 94

6.3. METODE DE CALCUL ELASTIC ........................................................................................................................... 98 6.3.1. Metoda de calcul cu fore laterale .......................................................................................................... 98 6.3.2. Metoda de calcul modal cu spectre de rspuns .................................................................................... 100 6.3.3. Combinarea efectelor componentelor aciunii seismice ....................................................................... 102

6.4. CONFORMAREA SEISMIC A STRUCTURILOR................................................................................................... 104 6.4.1. Simplitatea structurii ............................................................................................................................ 104 6.4.2. Uniformitate, simetrie i redundan .................................................................................................... 104 6.4.3. Rezisten i rigiditate lateral n orice direcie ................................................................................... 105 6.4.4. Rezisten i rigiditate la torsiune ........................................................................................................ 105 6.4.5. Realizarea ca diafragme a planeelor .................................................................................................. 106 6.4.6. Fundaii adecvate ................................................................................................................................. 107

6.5. CRITERII DE REGULARITATE STRUCTURAL ................................................................................................... 107 6.5.1. Criterii de regularitate n plan ............................................................................................................. 107 6.5.2. Criterii de regularitate pe vertical ...................................................................................................... 107 6.5.3. Alegerea metodei de calcul structural .................................................................................................. 108

6.6. MODELUL STRUCTURAL ................................................................................................................................. 109 6.7. EFECTELE DE TORSIUNE ACCIDENTAL .......................................................................................................... 110 6.8. CLASE DE IMPORTAN I DE EXPUNERE ........................................................................................................ 111 6.9. COMBINAREA ACIUNII SEISMICE CU ALTE TIPURI DE ACIUNI ....................................................................... 112 6.10. CONCEPTE DE PROIECTARE ............................................................................................................................. 112

6.10.1. Conceptul de proiectare disipativ a structurii .................................................................................... 113 6.10.2. Conceptul de proiectare slab-disipativ a structurii ............................................................................ 115 6.10.3. Alegerea principiului de proiectare ...................................................................................................... 116

6.11. VERIFICAREA LA SLU .................................................................................................................................... 116 6.11.1. Condiia de rezisten ........................................................................................................................... 116 6.11.2. Limitarea deplasrilor laterale la SLU ................................................................................................ 117 6.11.3. Verificarea ductilitii locale i globale ............................................................................................... 118 6.11.4. Rezistena fundaiilor ............................................................................................................................ 119 6.11.5. Rosturi seismice .................................................................................................................................... 119

6.12. VERIFICAREA LA SLS ..................................................................................................................................... 120

7. PROIECTAREA SEISMIC A STRUCTURILOR DIN OEL ......................................................................... 122

7.1. PRINCIPII DE PROIECTARE ............................................................................................................................... 122 7.2. TIPURI DE STRUCTURI ..................................................................................................................................... 123 7.3. DUCTILITATEA STRUCTURILOR METALICE ...................................................................................................... 125

7.3.1. Ductilitatea de material ........................................................................................................................ 125 7.3.2. Ductilitatea de seciune......................................................................................................................... 125 7.3.3. Ductilitatea de element ......................................................................................................................... 126 7.3.4. mbinrile elementelor structurale ....................................................................................................... 127 7.3.5. Ductilitatea structurii ........................................................................................................................... 128

7.4. CADRE METALICE NECONTRAVNTUITE ......................................................................................................... 128 7.5. CADRE METALICE CONTRAVNTUITE CENTRIC .............................................................................................. 131 7.6. CADRE METALICE CONTRAVNTUITE EXCENTRIC .......................................................................................... 133 7.7. CADRE CU CONTRAVNTUIRI CU FLAMBAJ MPIEDICAT .................................................................................. 134

8. PROIECTAREA SEISMIC A STRUCTURILOR DIN BETON ARMAT....................................................... 136


iv

8.1. PRINCIPII DE PROIECTARE, CLASE DE DUCTILITATE ........................................................................................ 136 8.2. TIPURI DE STRUCTURI ..................................................................................................................................... 136 8.3. DUCTILITATEA STRUCTURILOR DIN B.A. ......................................................................................................... 138

8.3.1. Ductilitatea materialelor ...................................................................................................................... 138 8.3.2. Ductilitatea de seciune......................................................................................................................... 139 8.3.3. Ductilitatea de element ......................................................................................................................... 140 8.3.4. Nodurile cadrelor ................................................................................................................................. 145 8.3.5. Ductilitatea structurii ........................................................................................................................... 146

9. PROIECTAREA SEISMIC A PODURILOR ..................................................................................................... 148

9.1. CERINE FUNDAMENTALE I PRINCIPII DE PROIECTARE .................................................................................. 148 9.2. CALCULUL STRUCTURAL LA ACIUNEA SEISMIC .......................................................................................... 149 9.3. DUCTILITATEA I CONFORMAREA SEISMIC A STRUCTURILOR PENTRU PODURI ............................................. 149 9.4. TIPURI DE STRUCTURI I FACTORI DE COMPORTARE ....................................................................................... 151

1. Introducere

1

1. Introducere Dinamica structurilor are ca obiectiv principal elaborarea unor metode de determinare a eforturilor i deformaiilor n structuri supuse unor aciuni dinamice. O aciune dinamic este o aciune a crei mrime, direcie sau punct de aplicare variaz n timp. Dinamica structurilor dezvolt metodele de calcul specifice disciplinei de statica construciilor, considernd variaia n timp a rspunsului unei structuri ca efect al unei aciuni dinamice.

Multe dintre aciunile care solicit structurile inginereti pot fi considerate statice, n principal pentru a simplifica calculul structural. Cu toate acestea, majoritatea structurilor sunt supuse i unor aciuni dinamice pe parcursul duratei de via. Din punct de vedere teoretic, este convenabil s se fac distincia ntre ncrcri periodice i neperiodice. Cteva exemple tipice de aciuni dinamice sunt reprezentate schematic n Figura 1.1. O aciune periodic este caracterizat de faptul c nregistreaz aceiai valoare la perioade determinate de timp. Aciunile periodice pot fi armonice simple, descrise de o funcie trigonometric sinus sau cosinus (vezi Figura 1.1a). Acest tip de fore dinamice sunt generate de echipamente rotative cu o mas care nu este echilibrat perfect. Alte forme de aciuni periodice sunt mai complexe (vezi Figura 1.1b). Astfel de solicitri dinamice pot fi generate de presiunea hidrodinamic generat de elicea unui vapor, sau de motoare cu piston. Aciunile neperiodice sunt fie ncrcri de tip puls, de scurt durat (Figura 1.1c), cum ar fi cele generate de o explozie, fie aciuni de lung durat (Figura 1.1d), generate de cutremurele de pmnt.

(a)

echipamente care conin mase

rotative excentrice

(b)

elicea unui vapor

(c)

presiunea pe o cldire datorat unei explozii n

vecintatea acesteia

(d)

cutremur de pmnt

Figura 1.1. Exemple de ncrcri dinamice tipice: aciune periodic armonic (a), aciune periodic complex (b), aciune de tip puls (c), aciune de lung durat (d) dup Clough i Penzien, 2003.

t

p(t)

p(t)

t

p(t)

t

t

g


2

Exist dou diferene eseniale ntre rspunsul dinamic i cel static al unei structuri. Prima dintre acestea const n variaia n timp a aciunii dinamice i, n consecin, a rspunsului structurii n cazul unei aciuni dinamice. n timp ce o structur acionat de o ncrcare static are un rspuns caracterizat de o stare unic a sistemului, o aciune dinamic implic determinarea unei succesiuni de stri ale structurii la intervale succesive de timp. n consecin, o problem de dinamic este mai complex i mai consumatoare de timp i resurse dect o problem de static.

Cea de-a doua diferen ntre aciunile statice i cele dinamice const n faptul c cele din urm genereaz fore de inerie, care intervin n echilibrul de fore ale structurii. Calculul rspunsului unei structuri ar putea fi realizat prin metodele staticii construciilor dac forele de inerie ar fi neglijabile, chiar dac aciunea i rspunsul structurii variaz n timp. Forele de inerie sunt considerabile atunci cnd masa structurii i acceleraiile acesteia sunt importante, determinarea rspunsului structurii necesitnd abordri specifice dinamicii structurilor.

2. Dinamica sistemelor cu un singur grad de libertate dinamic

3


2.1. Ecuaii de micare, formularea problemei, metode de rezolvare

2.1.1. Sisteme cu un singur grad de libertate dinamic

Multe tipuri de structuri inginereti pot fi idealizate ca i structuri relativ simple, care faciliteaz determinarea rspunsului dinamic. Un exemplu este castelul de ap din Figura 2.1a. Aceast structur poate fi schematizat printr-o mas m fixat la captul superior al unei console fr mas, dar cu rigiditatea k (vezi Figura 2.1b), numit pendul inversat. n relaie cu aceast schematizare structural, dinamica structurilor are ca obiectiv determinarea deformaiilor i eforturilor n pendulul inversat atunci cnd asupra masei acioneaz o for dinamic lateral (orizontal), sau cnd o micare seismic orizontal induce oscilaii ale bazei pendulului inversat. Sistemul structural din Figura 2.1b este un sistem cu un singur grad de libertate dinamic (GLD).

(a) (b)

Figura 2.1. Un castel de ap (a), http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Carmel-indiana-water-tower.jpg i idealizarea acestuia sub forma unui pendul inversat (b).

Numrul de grade de libertate dinamic (GLD) necesare ntr-o analiz dinamic a unei structuri este numrul de deplasri independente necesare pentru definirea poziiei deplasate a maselor fa de poziia lor iniial.

Pe lng castelul de ap din Figura 2.1a, multe alte tipuri de structuri pot fi idealizate ca i structuri cu un singur grad de liberate dinamic (SGLD). Un exemplu este cadrul parter reprezentat n Figura 2.2, care poate fi idealizat printr-un sistem format din masa m concentrat la nivelul riglei, cadrul fr mas care ofer rigiditate sistemului i amortizorul care disipeaz energia de vibraie a sistemului. ntr-o structur real fiecare element structural (grinda i stlpii) contribuie la masa, rigiditatea i amortizarea structurii. n schema idealizat n schimb, fiecare dintre aceste proprieti este concentrat ntr-o component separat: componenta de mas, componenta de rigiditate i componenta de amortizare.

Este de menionat faptul c numrul de grade de libertate dinamic este n general diferit de numrul de grade de libertate static (gradul de nedeterminare geometric) folosite la determinarea eforturilor n structur prin metoda deplasrilor (o problem de static). Astfel, cadrul din Figura 2.2 are un singur grad de libertate dinamic (deplasarea lateral a masei concentrate la nivelul acoperiului), n schimb gradul de nedeterminare static este egal cu trei (dou rotiri de noduri i o deplasare lateral).

k

m


4

Figura 2.2. Un sistem cu un singur grad de libertate dinamic sub aciunea unei fore dinamice p(t) (a); i a unei micri seismice la baza structurii (b).

Vor fi considerate dou tipuri de ncrcare dinamic: (1) o for dinamic p(t) dup direcia orizontal (vezi Figura 2.2a) i (2) o micare seismic orizontal ug(t) aplicat la baza structurii (vezi Figura 2.2b). n ambele cazuri u reprezint deplasarea lateral ntre mas i baza structurii.

2.1.2. Relaia for-deplasare

S considerm structura din Figura 2.3a asupra creia acioneaz fora static fS pe direcia gradului de libertate u. Determinarea relaiei dintre fora fS i deplasarea u este o problem clasic de statica construciilor.

Figura 2.3. Relaii for-deplasare (Chopra, 2001).

n cazul unui sistem liniar elastic (vezi Figura 2.3d), materialul din care este compus structura are o comportare elastic, iar eforturile n structur se determin pe baza ipotezei deplasrilor mici, folosind un calcul de ordinul I. Pentru un astfel de sistem relaia dintre fora fS i deplasarea u este liniar:

Sf k u= (2.1)

unde k este rigiditatea lateral a sistemului, unitile acesteia fiind (For/Lungime).

n cazul unor structuri reale, elementele structurale pot intra n curgere la deformaii mari, curba de descrcare i rencrcare diferind de curba de ncrcare iniial. Acest efect se datoreaz comportrii plastice a materialului, iar sistemul corespunztor se numete inelastic (vezi Figura 2.3c). Pentru un astfel de sistem relaia dintre fora fS i deplasarea u nu mai este liniar i depinde de istoria i direcia de ncrcare:

( ),S Sf f u u= (2.2)


5

unde u reprezint viteza sistemului (viteza pozitiv corespunde creterii deformaiilor, iar viteza negativ micorrii deformaiilor).

Rspunsul dinamic al sistemelor inelastice este important deoarece multe structuri au o comportare inelastic sub aciunea unor micri seismice puternice din cauza curgerii, fisurrii i a degradrii elementelor structurale.

2.1.3. Fora de amortizare

ncercri pe sisteme simple cu un singur grad de libertate dinamic au artat c amplitudinea vibraiilor unui sistem care este lsat s vibreze liber scade cu timpul (vezi Figura 2.4). Acest fenomen apare ca urmare a amortizrii sistemului. n cazul unor structuri simple, amortizarea se datoreaz efectului termic al deformaiilor ciclice elastice ale materialului i frecrii interioare a materialului. n cazul structurilor reale, exist multe alte mecanisme care contribuie la disiparea energiei. Printre acestea se numr frecarea n mbinrile metalice, deschiderea i nchiderea microfisurilor la elementele din beton armat, frecarea ntre elementele structurale i cele nestructurale (de exemplu pereii de compartimentare), etc. Practic, este imposibil descrierea matematic a tuturor acestor fenomene n cazul unor construcii reale. Prin urmare, amortizarea structurilor este reprezentat ntr-o manier mult simplificat, folosind o amortizare vscoas echivalent.

Figura 2.4. nregistrarea vibraiilor libere ale unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic (Chopra, 2001).

Figura 2.5. Fora de amortizare (Chopra, 2001)

n Figura 2.5 este reprezentat un amortizor vscos liniar supus unei fore fD de-a lungul gradului de libertate u. Efortul din amortizor este egal i de sens invers cu fora exterioar fD (vezi Figura 2.5b). Relaia dintre fora fD i viteza de deformare a amortizorului u este dat de relaia (vezi Figura 2.5c):

Df c u= (2.3)

unde constanta c reprezint coeficientul de amortizare vscoas. Unitile acestuia sunt (ForTimp/Lungime).

Coeficientul de amortizare vscoas pentru structuri reale poate fi determinat pe baza unor ncercri de vibraii libere sau forate ale construciilor. Amortizarea vscoas echivalent este folosit pentru modelarea energiei disipate la deformaii ale structurii n domeniul elastic. n domeniul inelastic, datorit comportrii


6

inelastice a elementelor structurale, se produce o disipare suplimentar de energie, care trebuie cuantificat n mod direct.

2.1.4. Ecuaia de micare n cazul unei fore externe

n Figura 2.6 este reprezentat un sistem cu un singur grad de libertate dinamic (SGLD) supus unei fore dinamice p(t) pe direcia gradului de libertate u. Att fora p(t), ct i deplasarea rezultat u(t) variaz cu timpul. Ecuaia diferenial care stabilete deplasarea u(t) poate fi determinat prin dou metode: (1) folosind legea a doua a lui Newton i (2) folosind principiul de echilibru dinamic (principiul lui D'Alambert). O alternativ celor dou metode o constituie stabilirea ecuaiei de micare pe baza componentelor de rigiditate, amortizare i mas.

Legea a doua a lui Newton

Forele care acioneaz asupra masei m la un moment dat sunt: fora perturbatoare p(t), fora elastic (sau inelastic) fS i fora de amortizare fD (vezi Figura 2.6b). Fora extern p(t), precum i deplasarea u(t), viteza

( )u t i acceleraia ( )u t sunt pozitive n direcia pozitiv a axei x. Forele fS i fD sunt reprezentate n figur

acionnd n sens invers, deoarece acestea sunt fore interne (eforturi) care se opun deformaiei, respectiv

vitezei. Legea a doua a lui Newton stabilete c derivata impulsului ( )d mudt

n raport cu timpul este egal

cu rezultanta tuturor forelor aplicate sistemului. innd seama de faptul c n mecanica clasic masa poate fi considerat constant, derivata impulsului devine mu .Fora rezultant de-a lungul axei x este p - fS - fD, i folosind legea a doua a lui Newton obinem:

S Dp f f mu = (2.4)

de unde:

S Dmu f f p+ + = (2.5)

nlocuind n ecuaia (2.5) relaiile (2.1) i (2.3), aceast ecuaie devine:

( ) ( ) ( ) ( )mu t cu t ku t p t+ + = (2.6)

Aceasta este ecuaia de micare ce caracterizeaz deplasarea u(t) a sistemului idealizat din Figura 2.6a, presupus a fi liniar elastic, sub aciunea unei fore dinamice p(t).

Figura 2.6. Determinarea ecuaiei de micare pentru un sistem SGLD (Chopra, 2001).

Principiul lui D'Alambert

Principiul lui D'Alambert se bazeaz pe noiunea de for de inerie, care este egal cu produsul dintre mas i acceleraie i acioneaz n sens invers acceleraiei. Conform principiului lui D'Alambert, un sistem este n echilibru dinamic dac n fiecare moment forele care acioneaz asupra sistemului, inclusiv fora de inerie, sunt n echilibru static. n Figura 2.6c este prezentat sistemul de fore care acioneaz asupra masei m, aceasta din urm fiind nlocuit cu fora de inerie, reprezentat cu linie ntrerupt pentru a o distinge de forele reale. Scriind echilibrul forelor se obine ecuaia (2.5), care a fost obinut anterior folosind legea a doua a lui Newton.


7

Componentele de rigiditate, amortizare i mas

Ecuaia de micare a unui sistem dinamic poate fi formulat printr-o procedur alternativ. Sub aciunea forei exterioare p(t), starea sistemului este descris de deplasarea u(t), viteza ( )u t i acceleraia ( )u t , (vezi

Figura 2.7a). Acest sistem poate fi vizualizat ca i combinaia a trei componente pure: (1) componenta de rigiditate: cadrul fr mas i fr amortizare (vezi Figura 2.7b); (2) componenta de amortizare: cadrul amortizat, dar fr mas sau rigiditate (vezi Figura 2.7c); i (3) componenta de mas: masa concentrat la nivelul acoperiului, fr rigiditatea sau amortizarea cadrului (vezi Figura 2.7d).

Relaia dintre fora extern fS i deplasarea u pentru un sistem liniar elastic este dat de ecuaia (2.1), cea ntre fora de amortizare fD i viteza u de relaia (2.3), iar fora de inerie fI care acioneaz asupra componentei de mas este dat de relaia If mu= . Astfel, fora exterioar p(t) poate fi considerat distribuit

la cele trei componente ale structurii, iar S D If f f+ + trebuie s egaleze fora exterioar p(t), ceea ce

conduce la ecuaia de micare formulat de relaia (2.5). Aceast abordare pentru stabilirea ecuaiei de micare este util n cazul sistemelor complexe, cu mai multe grade de libertate dinamic.

(a) Deplasarea u Viteza u Acceleraia u

(b) Deplasarea u

(c) Viteza u

(d) Acceleraia u

Figura 2.7. Sistemul (a), componenta de rigiditate (b), componenta de amortizare (c) i componenta de mas (d), Chopra, 2001.

Sistemul cu un singur grad de libertate dinamic idealizat prin cadrul parter din Figura 2.6 este sugestiv n contextul ingineriei civile. n tratatele clasice de mecanic i fizic, comportarea sistemelor SGLD este analizat pe baza unui sistem format dintr-o mas, un resort elastic i un amortizor (vezi Figura 2.8a). Folosind legea a doua a lui Newton (vezi Figura 2.8b) sau principiul lui D'Alambert (vezi Figura 2.8c) se obine aceeai ecuaie de micare (2.6) care a fost determinat anterior pentru cadrul parter.

Figura 2.8. Reprezentarea clasic a unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic, Chopra, 2001.

2.1.5. Ecuaia de micare n cazul aciunii seismice

n contextul ingineriei seismice, problema principal a dinamicii structurilor este determinarea rspunsului structural sub efectul micrii seismice care acioneaz la baza structurii. Notnd deplasarea terenului cu ug, deplasarea total (sau absolut) a masei cu ut i deplasarea relativ ntre teren i mas cu u (vezi Figura 2.9), n orice moment se poate scrie urmtoarea relaie:

( ) ( ) ( )t gu t u t u t= + (2.7)

Att ut ct i ug se refer la acelai sistem inerial de referin, iar direciile lor pozitive coincid.

Ecuaia de micare pentru sistemul SGLD din Figura 2.9a poate fi determinat prin oricare dintre metodele descrise n seciunea 2.1.4. n continuare se va folosi principiul echilibrului dinamic al lui D'Alambert. Pe baza echilibrului forelor care acioneaz asupra sistemului (vezi Figura 2.9b), inclusiv a forei de inerie fI se poate scrie:


8

0I S Df f f+ + = (2.8)

Doar deplasarea relativ u ntre mas i baza structurii produce eforturi i fore de amortizare n structur (micarea de corp rigid nu produce eforturi n structur). Astfel, pentru un sistem liniar elastic sunt valabile relaiile (2.1) i (2.3). Fora de inerie fI este proporional cu acceleraia total

tu a masei:

tIf mu= (2.9)

nlocuind ecuaiile (2.1), (2.3) i (2.9) n ecuaia (2.8) obinem:

0tmu cu ku+ + = (2.10)

de unde, folosind relaia (2.7), obinem:

gmu cu ku mu+ + = (2.11)

Comparnd relaiile (2.6) i (2.11), se poate observa c ecuaia de micare a unui sistem acionat de acceleraia ( )gu t impus bazei este identic cu cea a unui sistem cu baza fix acionat de o for exterioar

egal cu ( )gmu t aplicat masei. Astfel, micarea seismic la baza structurii poate fi nlocuit cu o for

seismic efectiv (vezi Figura 2.10):

( ) ( )eff gp t mu t= (2.12)

Figura 2.9. Un sistem SGLD supus micrii seismice la baz (Chopra, 2001).

Figura 2.10. Fora seismic efectiv (Chopra, 2001).

Fora seismic efectiv este egal cu produsul dintre mas i acceleraia terenului, acionnd n sens invers acceleraiei. Este important de observat c fora seismic efectiv depinde de doi factori: masa structurii construciile cu masa mai mare fiind supuse unor fore efective mai mari acceleraia terenului construciile amplasate n zone seismice puternice fiind supuse unor fore efective

mai mari

2.1.6. Formularea problemei i determinarea eforturilor

Problema fundamental n dinamica structurilor este determinarea rspunsului unui sistem sub efectul unei aciuni dinamice, care poate fi o for dinamic exterioar p(t) sau acceleraia terenului aplicat la baza structurii ( )gu t . n cazul unui sistem liniar elastic cu un singur grad de libertate dinamic, acesta este definit

de masa m, rigiditatea k i coeficientul de amortizare c. Termenul de rspuns se refer ntr-un sens larg la orice cantitate care definete comportarea structurii, cum ar fi deplasarea, viteza, acceleraia masei, sau eforturi i tensiuni n elementele structurii. n cazul unei ncrcri seismice, pot fi necesare att valorile totale (sau absolute), ct i cele relative ale deplasrii ( )u t , vitezei ( )u t i acceleraiei ( )u t . Deplasrile relative


9

( )u t asociate deformaiilor structurii sunt cele mai importante, deoarece eforturile n elementele structurii

sunt n relaie direct cu deformaiile.

Prin rezolvarea ecuaiei de micare a sistemului cu un grad de libertate dinamic (cadrul parter din exemplele anterioare), se obine variaia n timp a deformaiei ( )u t a structurii. Pe baza acestor valori, printr-o analiz

static a structurii, se pot determina eforturile din elementele structurale (momentele de ncovoiere, eforturile axiale i cele tietoare) n orice moment de timp dat. Aceast analiz static a structurii poate fi vizualizat n dou moduri: Structura poate fi analizat sub efectul deplasrii laterale impuse ( )u t . Folosind metoda deplasrilor se

pot determina rotirile de noduri, iar ulterior eforturile n elementele structurale. Cel de-al doilea mod const n folosirea unei fore statice echivalente, un concept central n determinarea

rspunsului seismic al structurilor. La orice moment de timp dat t, aceasta este o for static exterioar fS care produce deplasarea u determinat din analiza dinamic. Astfel: ( ) ( )Sf t ku t= (2.13) unde k este rigiditatea lateral a structurii. Eforturile din elementele structurale (momentele de ncovoiere, eforturile axiale i cele tietoare) pot fi determinate n orice moment de timp dat, printr-o analiz static a structurii sub efectul forelor fS determinate conform ecuaiei (2.13).

2.1.7. Combinarea rspunsului static cu cel dinamic

n aplicaiile practice este deseori necesar determinarea eforturilor totale dintr-o structur, rezultate din combinarea ncrcrilor statice (de obicei gravitaionale) existente n structur nainte de aplicarea aciunii dinamice, cu cele rezultate din aciunea dinamic. n cazul sistemelor liniar elastice este valabil principiul suprapunerii efectelor, de aceea rspunsul total poate fi determinat prin suprapunerea rezultatelor a dou analize separate: (1) analiza static a structurii sub efectul ncrcrilor permanente, utile, variaiei de temperatur, etc. i (2) rspunsul dinamic al structurii.

n cazul sistemelor inelastice nu mai este valabil principiul suprapunerii efectelor. Rspunsul dinamic al unor astfel de sisteme trebuie s in cont de deformaiile i eforturile existente n structur nainte de aplicarea ncrcrii dinamice.

2.1.8. Metode de rezolvare a ecuaiei de micare

Ecuaia de micare a unui sistem liniar elastic cu un singur grad de libertate dinamic este o ecuaie diferenial de ordinul doi, determinat anterior:

( )mu cu ku p t+ + = (2.14)

Pentru a defini problema n mod complet, trebuie specificate deplasarea iniial (0)u i viteza iniial (0)u .

De obicei structura este n repaus nainte de aplicarea ncrcrii dinamice, astfel nct cele dou valori sunt egale cu zero. n cele ce urmeaz sunt trecute n revist trei metode de rezolvare a ecuaiei de micare.

Soluia clasic

Soluia complet u(t) a unei ecuaii difereniale liniare neomogene de ordinul doi este compus din suma soluiei complementare uc(t) i a celei particulare up(t). Astfel, u(t) = uc(t) + up(t). Deoarece ecuaia diferenial este de ordinul doi, exist dou constante de integrare n soluia complementar, care pot fi determinate cunoscnd condiiile iniiale. Soluia clasic de rezolvare a ecuaiei de micare este deosebit de util n cazul vibraiilor libere i a celor forate la care fora dinamic este definit analitic.

Exemplu:

Ecuaia de micare n cazul unui sistem SGLD neamortizat (c = 0), sub efectul unei fore de tip treapt p(t)=p0, t0 este:

0mu ku p+ = (a)

Soluia particular a ecuaiei (a) este

0( )pp

u tk

= (b)


10

iar soluia complementar este:

( ) cos sinc n nu t A t B t = + (c)

unde A i B sunt constante de integrare i n k m = .

Soluia complet este dat de suma ecuaiilor (b) i (c):

0( ) cos sinn np

u t A t B tk

= + + (d)

Dac sistemul este n repaus nainte de aplicarea ncrcrii dinamice, pentru t = 0 avem (0) 0u = i (0) 0u = . Pentru aceste condiii iniiale se pot determina constantele A i B:

0 0p

A Bk

= = (e)

nlocuind ecuaiile (e) n ecuaia (d) rezult soluia ecuaiei de micare analizate:

0( ) (1 cos )np

u t tk

=

Integrala Duhamel

O alt modalitate de a determina soluia unei ecuaii difereniale liniare se bazeaz pe reprezentarea ncrcrii seismice sub forma unei secvene de impulsuri infinitezimale. Rspunsul unui sistem sub efectul forei aplicate p(t) la timpul t se obine prin nsumarea rspunsului tuturor impulsurilor pn n acel moment. Pentru cazul unui sistem SGLD neamortizat aflat n repaus nainte de aplicarea ncrcrii dinamice, rezult urmtoarea relaie:

0

1( ) ( )sin[ ( )]

t

nn

u t p t dm

= (2.15)

unde n k m = . Ecuaia (2.15) este cunoscut sub denumirea de integral Duhamel i reprezint o form special a integralei de convoluie. Ecuaia este valabil numai pentru condiii iniiale "de repaos". Integrala Duhamel reprezint o metod alternativ fa de metoda clasic de determinare a rspunsului dinamic, dac fora p(t) este definit analitic i este suficient de simpl pentru evaluarea analitic a integralei. Pentru ncrcri dinamice definite numeric la valori de timp discrete, integrala Duhamel poate fi integrat numeric.

Exemplu:

S se determine rspunsul unui sistem SGLD neamortizat (c = 0), sub efectul unei fore de tip treapt p(t)=p0, t0.

Pentru aceast ncrcare dinamic, ecuaia (2.15) rezult:

0 000 0

cos ( )1( ) sin[ ( )] (1 cos )

ttn

n nn n n

p t pu t p t d t

m m k

=

=

= = =

Acest rezultat este identic cu cel obinut prin metoda clasic.

Metode numerice

Metodele de rezolvare a ecuaiei de micare descrise anterior sunt aplicabile numai sistemelor liniar elastice i ncrcrilor dinamice definite analitic. Analiza rspunsului dinamic al sistemelor inelastice i a celor la care ncrcarea dinamic este prea complicat pentru a fi definit analitic, poate fi efectuat prin metode numerice (calcul biografic).


11

2.2. Vibraii libere

Vibraiile libere ale unei structuri au loc atunci cnd structura este scoas din poziia de echilibru static i lsat s vibreze liber fr vreo for dinamic perturbatoare. Vibraiile libere au loc dup ce cauza care a scos structura din starea de repaus a ncetat.

2.2.1. Vibraii libere neamortizate

Micarea unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic (de exemplu cadrul portal discutat anterior) sub aciunea unei fore dinamice p(t) este descris de ecuaia (2.6): ( )mu cu ku p t+ + = . n cazul vibraiilor libere neamortizate fora perturbatoare lipsete p(t) = 0, la fel i amortizarea (c = 0). Astfel, ecuaia de micare devine:

0mu ku+ = (2.16)

Vibraiile libere apar ca urmare a scoaterii sistemului din echilibru, prin aplicarea masei unei deplasri iniiale (0)u sau a unei viteze iniiale (0)u la timpul zero, definit ca i timpul n care este iniiat micarea:

(0) (0)u u u u= = (2.17)

Folosind metoda clasic de rezolvare, soluia ecuaiei difereniale omogene (2.16) folosind condiiile iniiale (2.17) este:

(0)

( ) (0)cos sinn nn

uu t u t t

= +

(2.18)

unde s-a folosit notaia

n k m = (2.19)

Ecuaia (2.18) este reprezentat n Figura 2.11, din care se poate observa c sistemul efectueaz o micare oscilatorie fa de poziia de echilibru static i c valoarea deplasrii este aceeai la fiecare 2 n secunde. Acest tip de micare poart denumirea de micare armonic simpl. Poriunea a-b-c-d-e a curbei deplasare-timp descrie un ciclu complet de micare armonic a sistemului. Din poziia de echilibru static la punctul a, masa se deplaseaz n sens pozitiv, atingnd deplasarea pozitiv maxim uo n punctul b, moment n care viteza este egal cu zero i deplasarea ncepe s scad, atingnd poziia de echilibru static n punctul c, cnd viteza devine maxim, astfel nct masa continu s se deplaseze n sens negativ, atingnd deplasarea minim uo n punctul d, moment n care viteza este din nou egal cu zero iar deplasarea ncepe s scad din nou, pn cnd masa ajunge n poziia de echilibru static e.

Timpul n care un sistem cu un singur grad de libertate dinamic efectueaz un ciclu complet de oscilaii libere neamortizate se numete perioad proprie de vibraie, se noteaz cu Tn i se msoar n secunde. Relaia dintre aceasta i frecvena circular proprie (sau pulsaia proprie de vibraie), care se msoar n radiani pe secund este:

2

n

n

T

= (2.20)

Frecvena proprie de vibraie fn reprezint numrul de oscilaii complete pe care l efectueaz sistemul ntr-o secund, se msoar n Hz i este dat de urmtoarele relaii:

1

n

n

fT

= (2.21)

2

nnf

= (2.22)

Proprietile de vibraie proprie n , nT i nf depind doar de masa i rigiditatea structurii, conform ecuaiilor (2.19) la (2.21). Odat cu creterea rigiditii unei structuri perioada proprie de vibraie va scdea, iar frecvena proprie de vibraie va crete. n mod similar, creterea masei unei structuri conduce la creterea perioadei proprii de vibraie i scderea frecvenei proprii de vibraie. Termenul "propriu" folosit n


12

definiiile n , nT i nf se refer la faptul c acestea sunt proprieti ale sistemului, depinznd doar de caracteristicile acestuia.

Figura 2.11. Vibraii libere neamortizate ale unui sistem liniar elastic SGLD (Chopra, 2001).

Frecvena circular proprie n , frecvena proprie de vibraie nf i perioada proprie de vibraie nT pot fi exprimate ntr-o form alternativ prin:

1

22

stn n n

st st

g gf T

g

= = = (2.23)

unde st mg k = , iar g este acceleraia gravitaional. Valoarea st reprezint deformarea elastic a unui sistem SGLD atunci cnd asupra acestuia acioneaz o for static egal cu mg .

Deplasarea sistemului SGLD variaz ntre valoarea maxim 0u i cea minim 0u . Valoarea 0u se numete

amplitudinea micrii oscilatorii i este dat de:

( ) ( )2

2

0

00

n

uu u

= +

(2.24)

Amplitudinea oscilaiilor depinde de deplasarea iniial ( )0u i viteza iniial ( )0u , precum i de proprietile structurii ( n ).

2.2.2. Vibraii libere amortizate

Micarea unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic (de exemplu cadrul portal discutat anterior) sub aciunea unei fore dinamice p(t) este descris de ecuaia (2.6): ( )mu cu ku p t+ + = .

n cazul vibraiilor libere amortizate fora perturbatoare lipsete p(t)=0, astfel nct ecuaia de micare (2.6) ( )mu cu ku p t+ + = devine:

0mu cu ku+ + = (2.25)

mprind ecuaia (2.25) cu m obinem:

22 0n nu u u + + = (2.26)

unde n k m = , conform definiiei anterioare i

2 n cr

c c

m c

= = (2.27)

Ne vom referi la valoarea


13

2

2 2cr nn

kc m km

= = = (2.28)

prin coeficientul de amortizare critic, iar este fraciunea din amortizare critic.

Coeficientul de amortizare c este o msur a energiei disipate de sistem ntr-un ciclu de oscilaii libere. Pe de alt parte, fraciunea din amortizarea critic este o msur adimensional a amortizrii, proprie unui sistem i care depinde inclusiv de masa i rigiditatea acestuia.

Tipuri de micare

n Figura 2.12 sunt prezentate deformaiile u(t) ale unor sisteme SGLD supuse unei deplasri iniiale u(0) pentru trei valori ale . Dac c = ccr sau 1 = , sistemul revine la poziia de echilibru static fr a efectua vreo oscilaie. Dac c > ccr sau 1 > , sistemul revine la poziia de echilibru static fr a efectua vreo oscilaie, la fel ca n cazul 1 = , dar mai lent. Dac c < ccr sau 1 < , sistemul oscileaz fa de poziia de echilibru static cu amplitudini care scad n timp.

Figura 2.12. Oscilaii libere ale unor sisteme cu amortizare subcritic, critic i supracritic (Chopra, 2001)

Coeficientul ccr se numete coeficient de amortizare critic deoarece aceasta este valoarea cea mai mic a coeficientului de amortizare care prentmpin complet oscilaiile. Acesta delimiteaz zona dintre micarea oscilatorie i cea neoscilatorie.

Majoritatea structurilor inginereti (cldiri, poduri, baraje, structuri marine, etc.) sunt caracterizate de o amortizare subcritic (c < ccr), cu fraciuni din amortizarea critic sub 0.1. De aceea, n continuare ne vom referi doar la acest tip de sisteme, n contextul ingineriei civile existnd puine raiuni pentru studiul dinamicii structurilor cu amortizare critic (c = ccr) sau a celor cu amortizare supracritic (c > ccr).

Sisteme cu amortizare subcritic

Soluia ecuaiei (2.25) innd cont de condiiile iniiale (2.17) pentru sisteme cu c


14

amortizate este D i c aceasta depinde de frecvena circular proprie a oscilaiilor libere neamortizate n prin intermediul relaiei (2.30). n mod similar, perioada vibraiilor amortizate 2D DT = depinde de perioada proprie a oscilaiilor neamortizate Tn prin relaia:

21

nD

TT

=

(2.31)

Figura 2.13. Comparaie ntre oscilaii libere amortizate i neamortizate (Chopra, 2001).

n timp ce amplitudinea oscilaiilor neamortizate este aceeai n toate ciclurile, amplitudinea micrii amortizate scade cu fiecare ciclu de oscilaie. Ecuaia (2.29) indic faptul c amplitudinea micrii amortizate scade exponenial cu timpul. nfurtoarea micrii de oscilaii amortizate este nte , unde:

( ) ( )2

2 0 (0)0 n

D

u uu

+

= +

(2.32)

Amortizarea are ca efect reducerea frecvenei circulare de la n la D i lungirea perioadei de vibraie de la Tn la TD. Acest efect este neglijabil pentru fraciuni din amortizarea critic sub 20% (vezi Figura 2.14), domeniu care include majoritatea structurilor inginereti.

Efectul mai important al amortizrii este cel asupra ratei de atenuare a oscilaiilor libere, efect exemplificat n Figura 2.15.

Figura 2.14. Efectul amortizrii asupra perioadei proprii de vibraie (Chopra, 2001).


15

Figura 2.15. Oscilaii libere pentru patru nivele ale amortizrii: 2%, 5%,10% 20%i =

Atenuarea micrii

n cele ce urmeaz este analizat relaia ntre raportul dintre dou vrfuri succesive ale micrii de oscilaie amortizat i fraciunea din amortizarea critic. Raportul dintre valoarea deplasrii la timpul t i cea care este nregistrat dup o perioad TD este independent de t. Acest raport poate fi determinat din ecuaia (2.29):

( )( ) exp( ) n DD

u tT

u t T=

+ (2.33)

Folosind ecuaiile (2.31) i (2.20) obinem:

2

( ) 2exp

( ) 1D

u t

u t T

= +

(2.34)

Ecuaiile (2.33) i (2.34) reprezint n acelai timp i raportul dintre vrfurile succesive ale micrii oscilatorii (vezi Figura 2.16) 1i iu u + , deoarece aceste vrfuri au loc la intervale de timp egale cu TD:

2

1

2exp

1

i

i

u

u

+

=

(2.35)

Logaritmul natural al acestui raport se numete decrement logaritmic i este notat prin :

2

1

2ln

1

i

i

u

u

+= =

(2.36)

Pentru valori mici ale fraciunii din amortizarea critic, 21 1 , ceea ce conduce la relaia aproximativ:

2 (2.37)

Figura 2.16. Vrfurile unei micri oscilatorii amortizate (Chopra, 2001).

n Figura 2.17 sunt indicate relaiile exacte i aproximative ntre decrementul logaritmic i fraciunea de amortizare critic . Se poate concluziona c relaia (2.37) este valabil pentru 0.2 < , caz care acoper majoritatea situaiilor practice.


16

n cazurile n care atenuarea micrii se produce lent, datorit unei amortizri mici a structurii, este util determinarea decrementului logaritmic pe baza unor vrfuri aflate la cteva perioade. Pe durata a j oscilaii amplitudinea micrii se diminueaz de la u1 la u1+j. Acest raport este dat de:

31 1 2

1 2 3 4 1

j j

j j

uuu u ue

u u u u u

+ +

= =

De unde:

( ) ( )1 11 ln 2jj u u += (2.38)

Figura 2.17. Relaia exact i cea aproximativ ntre decrementul logaritmic i fraciunea de amortizare critic, (Chopra, 2001).

ncercri de vibraii libere amortizate

Pentru structuri inginereti practice, determinarea analitic a fraciunii din amortizarea critic nu este posibil, de aceea aceast proprietate se determin experimental. ncercrile experimentale de oscilaii libere amortizate pe structuri reale reprezint una dintre modalitile de determinare practic a amortizrii. Pentru sisteme cu o amortizare mic, fraciunea din amortizarea critic poate fi determinat din relaiile:

1 1

ln ln2 2

i i

i j i j

u usau

j u j u

+ += =

(2.39)

Prima dintre aceste relaii este echivalent cu ecuaia (2.38), iar cea de-a doua este o relaie similar, fiind exprimat n termeni de acceleraie (mai uor de nregistrat experimental dect deplasrile), i care poate fi demonstrat a fi adevrat pentru structuri slab amortizate.

2.3. Vibraii forate

Forele dinamice care pot fi aplicate structurilor inginereti au diverse forme. n acest capitol vor fi analizate dou clase de aciuni dinamice. Prima dintre acestea reprezint forele care variaz arbitrar n timp, spre exemplu cele de tip treapt i oc. Cea de-a doua categorie de aciuni dinamice sunt forele armonice i periodice, care pot s apar, spre exemplu, ca urmare a funcionrii unor dispozitive rotative amplasate.

2.3.1. Rspunsul dinamic sub aciunea unei fore de tip treapt i ramp

Spre deosebire de forele perturbatoare armonice, rspunsul dinamic sub aciunea unor fore de tip treapt, ramp sau impuls este influenat ntr-o msur foarte mic de amortizarea sistemului. De aceea, rspunsul dinamic n aceste din urm cazuri va fi demonstrat n principal pe baza vibraiilor neamortizate.

Rspunsul dinamic sub aciunea unei fore de tip treapt

O for de tip treapt este exemplificat n Figura 2.18a i este definit de urmtoarea relaie:


17

( ) 0 0p t p t= (2.40)

Folosind integrala Duhamel pentru rezolvarea ecuaiei de micare a unui sistem SGLD neamortizat se obine:

( ) ( ) 002

( ) 1 cos 1 cosst nn

p tu t u t

k T

= =

(2.41)

unde ( ) 00stu p k= este deformaia static sub aciunea forei p0.

Figura 2.18. Un sistem SGLD (a), fora de tip treapt (b), rspunsul dinamic (c), Chopra, 2001.

Deplasarea normalizat ( ) ( )0stu t u n raport cu timpul normalizat nt T este reprezentat n Figura 2.18c. Se poate observa c sistemul oscileaz fa de o nou poziie de echilibru, deplasat cu ( )0stu fa de poziia iniial 0u = . Deplasarea maxim poate fi obinut egalnd cu zero derivata ecuaiei (2.41) n raport cu timpul, ceea ce conduce la sin 0n nt = . Aceast ecuaie are soluia:

0nt j = sau 0 2 nj

t T= (2.42)

Deplasarea maxim corespunde unor valori impare ale lui j, n timp ce valorile pare conduc la deplasri minime. Amplitudinea deplasrii se obine din ecuaia (2.41), nlocuind n aceasta valorile t0 din relaia (2.42):

( )0 02 stu u= (2.43)

Rezultat care indic faptul c o for de tip treapt aplicat dinamic produce o deplasare care este de dou ori mai mare dect deplasarea datorat aceleiai fore aplicat static.

Rspunsul unui sistem amortizat sub aciunea forei de tip treapt poate fi obinut evalund integrala Duhamel pentru vibraii amortizate, ceea ce conduce la:

( )0 2( ) 1 cos sin1nt

st D Du t u e t t

= +

(2.44)

Rspunsul dinamic al sistemului amortizat este reprezentat n Figura 2.18 cu linii ntrerupte pentru dou valori ale fraciunii din amortizarea critic. Efectul amortizrii este o depire mai mic a micrii fa de poziia static i o descretere n timp a vibraiilor. Valoarea amortizrii controleaz mrimea depirii i rata cu care scad amplitudinile vibraiilor. Dup un timp suficient de mare, vibraiile nceteaz, fapt care reprezint stadiul staionar.

Rspunsul dinamic sub aciunea unei fore de tip ramp

O for de tip ramp este exemplificat n Figura 2.19a i este definit de urmtoarea relaie:

( ) 0 0r

tp t p t

t= (2.45)


18

Folosind integrala Duhamel pentru rezolvarea ecuaiei de micare a unui sistem SGLD neamortizat se obine:

( ) ( )0 0sin sin 2

( )2

n n nst st

r n r n r r n

t T t Tt tu t u u

t t T t t T

= =

(2.46)

unde ( ) 00stu p k= este deformaia static sub aciunea forei p0.

Ecuaia (2.46) este reprezentat grafic n Figura 2.19c pentru tr/Tn=2.5, mpreun cu deformaia static n momentul t:

( ) ( ) ( )0st str

p t tu t u

k t= = (2.47)

Se poate observa c sistemul dinamic oscileaz cu perioada Tn fa de poziia de echilibru static.

(a) (b) (c)

Figura 2.19. Un sistem SGLD (a), fora de tip ramp (b), rspunsul dinamic i cel static (c), Chopra, 2001.

Rspunsul dinamic sub aciunea unei fore de tip treapt cu cretere finit

Deoarece n realitate o for nu poate fi aplicat instantaneu, prezint interes analiza rspunsului dinamic al unei fore care are o cretere finit tr, dar rmne constant dup atingerea acestei valori. O astfel de for este exemplificat n Figura 2.20a:

( )( )0

0

0r r

r

p t t t tp t

p t t

=

(2.48)

Aceast aciune dinamic are dou faze: faza de ramp i faza constant.

Expresia deplasrii n faza de ramp este cea identic relaiei (2.46):

( )0sin

( ) nst rr n r

ttu t u t t

t t

=

(2.49)

iar rspunsul n faza constant poate fi determinat nlocuind relaia (2.48) n ecuaia (2.15):

( ) ( )01

( ) 1 sin sinst n n r rn r

u t u t t t t tt

=

(2.50)


19

(a) (b)

Figura 2.20. Un sistem SGLD (a), fora de tip treapt cu cretere finit (b), Chopra, 2001.

Figura 2.21. Rspunsul dinamic i cel static al unui sistem SGLD sub aciunea unei fore tip treapt cu cretere finit (Chopra, 2001).

Deplasarea normalizat ( ) ( )0stu t u este o funcie de timpul normalizat nt T , deoarece ( )2n nt t T = . Aceast funcie depinde doar raportul tr/Tn, deoarece ( )2n r r nt t T = i nu separat de tr i Tn. Aceast ecuaie este reprezentat n Figura 2.21 pentru cteva valori ale raportului tr/Tn dintre timpul de cretere a forei i perioada proprie a sistemului, mpreun cu rspunsul static ( ) ( )stu t p t k= . Aceste rezultate permit urmtoarele observaii: n timpul creterii forei (faza de ramp) sistemul oscileaz fa de poziia de echilibru static cu perioada

proprie de vibraie Tn


20

Pentru zona de for constant (faza constant) sistemul se comport similar, oscilnd fa de poziia de echilibru static cu perioada proprie de vibraie Tn

Dac viteza este egal cu zero la finalul fazei de ramp ( ) 0ru t = , sistemul nu oscileaz n timpul fazei de for constant

Pentru valori mici ale raportului tr/Tn (timpi mici de cretere a forei) rspunsul este similar cu cel datorat unei fore de tip treapt (vezi Figura 2.20c)

Pentru valori mari ale raportului tr/Tn rspunsul dinamic este apropiat de poziia de echilibru static, ceea ce semnific un efect dinamic sczut.


21

2.3.2. Vibraii forate ale sistemelor SGLD produse de fore armonice

O for armonic are forma 0( ) sinp t p t= sau 0( ) cosp t p t= , unde p0 reprezint amplitudinea forei perturbatoare, iar pulsaia acesteia, creia i corespunde perioada 2T = (vezi Figura 2.22a). n cele ce urmeaz se va prezenta rspunsul unui sistem cu un singur grad de libertate dinamic sub aciunea unei ncrcri de tip sinus, rspunsul la o ncrcare dinamic de tip cosinus fiind similar cu acesta.

n cazul unor vibraii neamortizate generate de o for perturbatoare armonic de forma 0( ) sinp t p t= , ecuaia de micare (2.6) devine:

0 sinmu ku p t+ = (2.51)

Deformaia u(t) a sistemului SGLD poate fi obinut rezolvnd ecuaia (2.51) pentru condiiile iniiale:

(0) (0)u u u u= = (2.52)

unde (0)u i (0)u sunt deplasarea, respectiv viteza n momentul de timp n care este aplicat fora dinamic

p(t). Soluia particular a ecuaiei (2.51) este:

( )

02

1( ) sin

1p n

n

pu t t

k

=

(2.53)

Soluia complementar a ecuaiei (2.51) este:

( ) cos sinc n nu t A t B t = + (2.54)

Soluia complet fiind suma soluiei particulare i a celei complementare, obinem:

( )

02

1( ) cos sin sin

1n n

n

pu t A t B t t

k

= + +

(2.55)

Folosind condiiile iniiale (2.52) se obine soluia final:

( ) ( )( ) ( )

0 02 2

0 / 1( ) 0 cos sin sin

1 1n

n n

n n n

u p pu t u t t t

k k

= + +

(2.56)

rspuns tranzitoriu rspuns staionar

Ecuaia (2.56) este reprezentat n Figura 2.22b pentru 0.2n = , (0) 0u = , (0) /n ou p k= cu linie continu. Termenul din ecuaia (2.56) care include sin t reprezint soluia particular a ecuaiei de micare (2.51), aceasta din urm fiind reprezentat cu linie ntrerupt n Figura 2.22b.

Pe baza ecuaiei (2.56) i folosind Figura 2.22b se poate observa c deplasarea u(t) are dou componente distincte de vibraie: o micare oscilatorie cu frecvena egal cu cea a forei perturbatoare, definit de termenul coninnd

sin t o micare oscilatorie la frecvena proprie de vibraie a sistemului, definit de termenii coninnd cos nt

i sin nt

Prima dintre aceste componente se numete rspuns staionar sau forat, deoarece acesta se datoreaz forei dinamice aplicate i nu este influenat de condiiile iniiale. Cea de-a doua component poart denumirea de rspuns tranzitoriu, care depinde de deplasarea i viteza iniial, precum i de proprietile sistemului SGLD i de fora perturbatoare. Rspunsul tranzitoriu exist chiar i pentru (0) (0) 0u u= = , caz n care ecuaia (2.56) devine:

( )

02

1( ) sin sin

1n

nn

pu t t t

k

=

(2.57)


22

Figura 2.22. Fora armonic 0( ) sinp t p t= (a); rspunsul unui sistem SGLD sub aciunea unei fore armonice pentru 0.2n = , (0) 0u = , (0) /n ou p k= (b), Chopra, 2001.

Rspunsul tranzitoriu apare n Figura 2.22 ca diferena dintre rspunsul total i cel staionar. Acesta continu la infinit doar n cazul teoretic al vibraiilor neamortizate, amortizarea prezent n cazul structurilor reale ducnd la diminuarea amplitudinii oscilaiilor cu timpul, motiv pentru care se numete tranzitoriu.

n cazul n care se neglijeaz efectul dinamic al sistemului SGLD, coninut n termenul de acceleraie din ecuaia (2.51), se obine deplasarea static a sistemului n orice moment de timp t dat:

( ) 0 sinstp

u t tk

= (2.58)

Valoarea maxim a deplasrii statice este:

( ) 00stp

uk

= (2.59)

care reprezint deformaia maxim a sistemului sub aciunea unei fore statice cu valoarea p0 i care va fi denumit n continuare deformaie static. Folosind aceast ultim notaie, rspunsul staionar poate fi exprimat ca:

( )( )20

1( ) sin

1st

n

u t u t

=

(2.60)

Factorul din paranteza ptrat a expresiei (2.60) este reprezentat n Figura 2.23 funcie de raportul dintre pulsaia perturbatoare i pulsaia proprie de vibraie a sistemului SGLD ( )n . Pentru 1n < sau

n < acest factor este pozitiv, indicnd faptul c deplasarea u(t) i fora perturbatoare p(t) au acelai semn


23

algebric (sistemul se deplaseaz n acelai sens n care acioneaz fora). n acest caz se spune c deplasarea este n faz cu fora perturbatoare. Pentru 1n > sau n > acest factor este negativ, indicnd faptul c deplasarea u(t) i fora perturbatoare p(t) au semne algebrice opuse (sistemul se deplaseaz n direcie opus sensului n care acioneaz fora). n acest caz deplasarea este defazat fa de fora perturbatoare.

Figura 2.23. Reprezentarea factorului ( )2

1

1 n funcie de raportul n (Chopra, 2001).

Noiunea de faz poate fi descris matematic prin exprimarea relaiei (2.60) n funcie de amplitudinea u0 a deplasrii u(t) i a unghiului de faz n urmtoarea form:

( ) ( ) ( )0 0( ) sin sinst du t u t u R t = = (2.61)

unde

( ) ( )

0

20

01

1

nd

nst n

uR i

u

(2.62)

Pentru n < unghiul de faz = 0, indicnd faptul c deplasarea u(t) variaz proporional cu sin t , n faz cu fora perturbatoare p(t). Pentru n > unghiul de faz = , indicnd faptul c deplasarea u(t) variaz proporional cu sin t , defazat fa de fora perturbatoare p(t). Variaia unghiului de faz funcie de raportul n este reprezentat n Figura 2.24.


24

Figura 2.24. Factorul dinamic de deplasare i unghiul de faz pentru un sistem neamortizat acionat de o for armonic (Chopra, 2001).

Factorul dinamic de deplasare Rd este egal cu raportul dintre amplitudinea micrii oscilatorii u0 i deplasarea static ( )0stu . Expresia factorului dinamic de deplasare din ecuaia (2.62) este prezentat grafic n Figura 2.24 funcie de raportul n i permite urmtoarele observaii: pentru valori mici ale raportului n (fora dinamic variaz "lent"), factorul dinamic de deplasare Rd

este doar cu puin mai mare dect 1, amplitudinea micrii dinamice fiind apropiat de deformaia static

pentru 2n > ( 2n > ), factorul dinamic de deplasare Rd < 1, amplitudinea micrii dinamice fiind mai mic dect deformaia static

odat cu creterea raportului n peste 2 factorul dinamic de deplasare Rd scade, ajungnd la valoarea 0 pentru n , ceea ce implic faptul c oscilaiile datorate unei variaii foarte rapide ale forei perturbatoare n comparaie cu pulsaia proprie a sistemului sunt mici

pentru 1n ( apropiat de n ), factorul dinamic de deplasare Rd este mult mai mare dect 1, ceea ce nseamn c amplitudinea micrii dinamice este mult mai mare dect deformaia static

Pulsaia rezonant reprezint pulsaia forei perturbatoare pentru care factorul dinamic Rd este maxim. n cazul unui sistem neamortizat pulsaia rezonant coincide cu pulsaia proprie de vibraie n , iar factorul dinamic de deplasare Rd este infinit la aceast pulsaie. Totui, micarea de oscilaie nu devine infinit imediat, ci gradual, dup cum se va vedea din cele ce urmeaz.

Pentru n = soluia (2.57) a ecuaiei de micare nu mai este valabil, soluia particular (2.53) nefiind valabil deoarece este parte a soluiei complementare. n acest caz soluia particular are forma:

( ) 0 cos2p n n np

u t t tk

= = (2.63)

iar soluia complet pentru condiii iniiale de repaus (0) (0) 0u u= = devine:


25

( )01( ) cos sin2 n n n

pu t t t t

k = (2.64)

sau

( )0

( ) 1 2 2 2cos sin

2st n n n

u t t t t

u T T T

=

(2.65)

Aceast relaie este reprezentat grafic n Figura 2.25, de unde se poate observa c timpul n care are loc o oscilaie complet este egal cu Tn. Micarea oscilatorie u(t) are maxime locale pentru ( )1/ 2 nt j T= cu valori de ( )( )01/ 2 , 1,2,3...stj u j = , i minime locale pentru nt jT= cu valori de ( )0 , 1,2,3...stj u j = . n fiecare ciclu de oscilaie amplitudinea deplasrii crete cu valoarea:

( ) ( ) ( ) 01 0 01j j st stp

u u u j j uk

+ = + = = (2.66)

Amplitudinea deplasrii crete la infinit, dar aceasta devine infinit doar dup un timp infinit.

Figura 2.25. Rspunsul unui sistem neamortizat sub aciunea unei fore sinusoidale cu frecvena n = , (0) (0) 0u u= = (Chopra, 2001).

Creterea infinit a deformaiilor n cazul sistemelor neamortizate sub aciunea unei ncrcri armonice este teoretic din dou motive. n primul rnd, structurile reale au o amortizare intrinsec, care va limita amplificarea la infinit a deformaiilor. n cel de-al doilea rnd, structurile reale nu au un rspuns infinit elastic, astfel nct, odat cu creterea deformaiilor peste o anumit valoare, structura fie va suferi deformaii n domeniul plastic, rigiditatea va scdea i pulsaia proprie nu va mai fi egal cu cea perturbatoare, fie va ceda ntr-un mod fragil.

2.3.3. Vibraii forate ale sistemelor SGLD produse de fore armonice

Rspunsul staionar i tranzitoriu

n cazul unor vibraii amortizate generate de o for perturbatoare armonic de forma 0( ) sinp t p t= ecuaia de micare (2.6) devine:

0 sinmu cu ku p t+ + = (2.67)

Deformaia u(t) a sistemului SGLD poate fi obinut rezolvnd ecuaia (2.67) pentru condiiile iniiale:

(0) (0)u u u u= = (2.68)

unde (0)u i (0)u sunt deplasarea, respectiv viteza n momentul de timp n care este aplicat fora dinamic

p(t). Soluia particular a ecuaiei (2.67) este:


26

( ) sin cospu t C t D t = + (2.69)

unde

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2

02 22

02 22

1

1 2

2

1 2

n

n n

n

n n

pC

k

pD

k

=

+

= +

(2.70)

Soluia complementar a ecuaiei (2.67) este identic cu soluia ce caracterizeaz oscilaiile libere amortizate:

( )( ) cos sinntc D Du t e A t B t = + (2.71)

unde 21D n = . Soluia complet a ecuaiei (2.67) este:

( )( ) cos sin sin cosnt D Du t e A t B t C t D t = + + + (2.72) rspuns tranzitoriu rspuns staionar

Figura 2.26. Rspunsul unui sistem SGLD amortizat sub aciunea unei fore armonice pentru 0.2n = , 0.05 = , (0) 0u = , (0) /n ou p k= (Chopra, 2001).

Constantele A i B de mai sus pot fi determinate folosind condiiile iniiale (0)u i (0)u . Similar vibraiilor

forate neamortizate, rspunsul dinamic n cazul unor vibraii forate amortizate este compus din dou componente: rspunsul tranzitoriu i cel staionar sau forat.

Ecuaia (2.72) este reprezentat grafic n Figura 2.26 pentru 0.2n = , 0.05 = , (0) 0u = , (0) /n ou p k=. Rspunsul total este indicat cu linie continu, iar cel staionar cu linie ntrerupt. Diferena dintre rspunsul total i cel staionar este rspunsul tranzitoriu, care scade exponenial cu timpul cu o rat care depinde de

n i . Dup un timp rspunsul unui sistem amortizat acionat de o for perturbatoare armonic este guvernat de componenta staionar. n mare parte din cele ce urmeaz se va studia doar componenta staionar a vibraiilor forate. Se va avea totui n vedere, c este posibil ca deformaia maxim a sistemului s aib loc nainte ca sistemul s ating stadiul staionar.

Rspunsul pentru = n

n continuare se va examina rolul amortizrii n reducerea vibraiilor tranzitorii i n limitarea vibraiilor staionare pentru cazul n care pulsaia forei perturbatoare este egal cu pulsaia proprie a sistemului. Pentru


27

n = constantele C i D din ecuaia (2.70) devin C=0 i ( )0 2stD u = . Pentru n = i condiii iniiale

de repaus, constantele A i B din ecuaia (2.72) pot fi determinate a fi ( )0 2stA u = i ( )2

02 1stB u = .

nlocuind valorile constantelor A, B, C i D n ecuaia (2.72), aceasta devine:

( )0 21

( ) cos sin cos2 1

ntst D D nu t u e t t t

= +

(2.73)

Ecuaia (2.73) este reprezentat grafic n Figura 2.27 pentru fraciunea din amortizarea critic 0.05 = . Comparnd-o pe aceasta cu vibraiile neamortizate reprezentate n Figura 2.25, se poate observa c amortizarea atenueaz micarea oscilatorie n fiecare ciclu, limitnd rspunsul la valoarea:

( )0

0 2stuu

= (2.74)

Pentru sisteme cu o amortizare mic, termenul coninnd sin Dt din ecuaia (2.73) este neglijabil, iar

D n , astfel nct ecuaia (2.73) se simplific la:

( ) ( )01

( ) 1 cos2

ntst nu t u e t

(2.75)

funcia nfurtoare

Variaia n timp a deplasrii are forma dat de funcia cos nt , amplitudinea acesteia fiind indicat n Figura 2.27 cu linie ntrerupt.

Amplitudinea micrii staionare sub aciunea unei fore perturbatoare cu pulsaia n = i rata la care este atins starea de micare staionar depinde foarte mult de amortizarea sistemului. Acest fapt se poate observa n Figura 2.28, n care este reprezentat ecuaia (2.73) pentru trei valori ale : 0.01, 0.05 i 0.1. Cu ct amortizarea este mai mic, cu att este mai mare numrul de oscilaii necesare pentru a atinge o anumit proporie din amplitudinea micrii staionare u0. De exemplu, numrul de oscilaii complete necesare pentru a atinge 95% din u0 este egal cu 48 pentru = 0.01, 24 pentru = 0.02, 10 pentru = 0.05, 5 pentru = 0.1 i 2 pentru = 0.2.

Figura 2.27. Rspunsul unui sistem amortizat cu 0.05 = sub aciunea unei fore perturbatoare sinusoidale cu n = ; (0) (0) 0u u= = (Chopra, 2001).


28

Figura 2.28. Rspunsul a trei sisteme amortizate cu = 0.01, 0.05 i 0.1 sub aciunea unei fore perturbatoare sinusoidale cu n = ; (0) (0) 0u u= = (Chopra, 2001).

Deformaia maxim i unghiul de faz

Deformaiile sistemului n stadiul de vibraii staionare sunt definite de ecuaiile (2.69) i (2.70), i pot fi rescrise sub urmtoare form:

( ) ( ) ( ) ( )0 0sin sinst du t u t u R t = = (2.76)

unde 2 20u C D= + i ( )1tan D C = . nlocuind valorile C i D, rezult:

( ) ( ) ( )

0

2 220

1

1 / 2 /d

stn n

uR

u

= = +

(2.77)

( )( )

12

2 /tan

1 /

n

n

=

(2.78)

Factorul dinamic de deplasare Rd este egal cu raportul dintre amplitudinea deplasrii oscilatorii u0 i deplasarea static ( )0stu . Ecuaia (2.76) este reprezentat grafic n Figura 2.29 pentru trei valori ale raportului / n i o valoare fix a amortizrii ( = 0.2). n aceast figur sunt indicate valorile Rd i , precum i variaia n timp a deformaiei statice, care este proporional cu fora perturbatoare p(t). Micarea staionar are aceeai perioad ca i fora perturbatoare ( 2 /T = ), dar cu un defazaj de / 2 .

n Figura 2.30 este prezentat factorul dinamic de deplasare funcie de / n pentru cteva valori ale fraciunii din amortizarea critic . Comparnd o reprezentare similar a factorului dinamic pentru cazul vibraiilor neamortizate din Figura 2.24, se poate observa c amortizarea reduce factorul Rd, i, n consecin, amplitudinea micrii pentru toate pulsaiile forei perturbatoare. Aceast reducere este ntr-o strns legtur cu pulsaia forei perturbatoare, fiind examinat mai jos pentru trei regiuni ale scrii de pulsaie: Pentru valori ale raportului 1n ( nT T , atunci cnd fora dinamic variaz "lent"), factorul

dinamic de deplasare Rd este doar cu puin mai mare dect 1, amplitudinea micrii dinamice fiind apropiat de deformaia static i fiind cvasi-independent de valoarea amortizrii. Astfel,

( ) 00 0stp

u uk

= (2.79)

Acest rezultat implic faptul c rspunsul dinamic este foarte apropiat de cel static i este guvernat de rigiditatea sistemului.


29

Figura 2.29. Rspunsul staionar al unor sisteme amortizate ( = 0.2) sub aciunea unei fore perturbatoare sinusoidale cu pulsaia: / n = 0.5 (a), / n = 1 (b), / n = 2 (c), Chopra, 2001.

Pentru 1n ( nT T , adic fora dinamic variaz "repede"), factorul dinamic de deplasare Rd tinde ctre zero odat cu creterea raportului n i este puin afectat de valoarea amortizrii. Pentru valori

ridicate ale raportului n , termenul ( )4

n domin ecuaia (2.77), care poate fi aproximat cu:

( )2

00 2 20

nst

pu u

m

= (2.80)

ceea ce implic faptul c rspunsul este controlat de masa sistemului. Pentru 1n (pulsaia forei perturbatoare este apropiat de pulsaia proprie de vibraie a sistemului),

factorul dinamic de deplasare Rd este sensibil la valoarea amortizrii, i pentru valori mici ale amortizrii poate fi mult mai mare dect 1, ceea ce nseamn c amplitudinea micrii dinamice poate fi mult mai mare dect deformaia static. Pentru 1n = ecuaia (2.77) devine:


30

( )0 0

0 2st

n

u pu

c = = (2.81)

ceea ce implic faptul c amplitudinea micrii este controlat de amortizarea sistemului.

Unghiul de faz , care indic defazajul n timp dintre rspunsul dinamic al sistemului i fora perturbatoare, variaz cu raportul n i este reprezentat grafic n Figura 2.30. Valoarea acestuia este examinat mai jos pentru aceleai trei regiuni ale domeniul de valori n : Pentru valori ale raportului 1n (fora dinamic variaz "lent"), unghiul de faz este apropiat de 0,

deplasarea sistemului fiind aproximativ n faz cu fora perturbatoare, ca n Figura 2.29a. Deplasarea sistemului i fora perturbatoare au acelai sens.

Pentru 1n (fora dinamic variaz "repede"), unghiul de faz este apropiat de 2, deplasarea sistemului fiind n esen defazat de fora perturbatoare, ca n Figura 2.29c. Deplasarea sistemului i fora perturbatoare au sensuri opuse.

Pentru 1n (pulsaia forei perturbatoare este apropiat de pulsaia proprie a sistemului), unghiul de faz este egal cu /2 pentru orice valoare a fraciunii din amortizarea critic , deplasarea sistemului nregistrnd un vrf la trecerea forei prin valoarea 0, situaie exemplificat n Figura 2.29b.

Figura 2.30. Factorul dinamic de deplasare i unghiul de faz pentru un sistem amortizat acionat de o for perturbatoare armonic (Chopra, 2001).


31

Rspunsul la rezonan

Frecvena rezonant este definit ca frecvena la care se nregistreaz amplitudinea maxim a rspunsului n termeni de deplasare, vitez sau acceleraie. Dup cum se poate observa din Figura 2.30, valorile maxime ale deplasrii se nregistreaz la valori ale pulsaiei puin diferite de pulsaia proprie a sistemului. Frecvena (sau pulsaia) de rezonan poate fi determinat derivnd expresia Rd n raport cu n i egalnd-o cu zero.

Pentru 1 2 < pulsaia rezonant pentru deplasare este egal cu 21 2n .

Pentru un sistem neamortizat pulsaia rezonant este egal cu pulsaia proprie de vibraie a sistemului n . De notat faptul c pulsaia rezonant pentru un sistem amortizat este diferit de pulsaia vibraiilor amortizate

D . Totui, pentru valori mici ale amortizrii ( 20% < ), diferenele ntre pulsaia rezonant, cea proprie i cea amortizat sunt minore. Valoarea factorului dinamic de deplasare corespunztor pulsaiei rezonante este:

2

1

2 1dR

=

(2.82)

2.3.4. Determinarea amortizrii din ncercri de vibraii forate amortizate

Determinarea pe cale analitic a coeficientului de amortizare vscoas c sau a fraciunii din amortizarea critic nu este posibil. Una dintre soluiile acestei probleme o constituie efectuarea de ncercri de vibraii libere i interpretarea datelor obinute, folosind noiunea decrementului logaritmic, aa cum s-a descris n seciunea 2.2.2. Aceast procedur este simpl i relativ uor de aplicat n condiii de laborator, pe modele simple de structuri. Totui, aplicarea metodei decrementului logaritmic n cazul structurilor reale este dificil dac nu imposibil, deoarece aplicarea unei deplasri iniiale sau a unei viteze iniiale structurilor reale implic fore foarte mari i structuri de reaciune de dimensiuni comparabile cu structurile ncercate. Exist ns posibilitatea determinrii fraciunii din amortizarea critic pe baza unor ncercri de vibraii forate armonice, care pot fi realizate mult mai uor n cazul structurilor inginereti. Vibraiile pot fi produse cu ajutorul unor dispozitive rotative cu mas excentric, fixate de structur. Prin modificarea masei excentrice sau a vitezei de rotaie, se poate modifica foarte uor amplitudinea, respectiv pulsaia forei armonice perturbatoare. Efectund ncercri de vibraii forate la diferite valori ale pulsaiei forei armonice perturbatoare i nregistrnd deplasarea de vrf a structurii, se pot obine curbe Rd-/n ca n Figura 2.31.

Figura 2.31. Definiia limii de band la semiputere (Chopra, 2001).


32

Forma curbei Rd-/n depinde de amortizarea sistemului. Una dintre modalitile de obinere a fraciunii din amortizarea critic const n folosirea principiului de lime de band la semiputere, definit ca i diferena dintre valorile pulsaiilor de cele dou pri ale pulsaiei rezonante ( )b a pentru care factorul dinamic de deplasare este de 1 2 ori mai mic dect valoarea acestuia la rezonan. Acest concept este exemplificat n

Figura 2.31.

Pentru valori mici ale lui este adevrat urmtoarea relaie:

2b a

n

= (2.83)

relaie care poate fi reformulat ca i:

2b a

n

= sau 2

b a

n

f f

f

= (2.84)

unde 2f = este frecvena de vibraie. Acest rezultat permite evaluarea amortizrii unei structuri pe baza unor ncercri de vibraii forate.

2.3.5. Amortizarea la structurile inginereti

Determinarea analitic a amortizrii structurilor inginereti nu este fiabil, din raiunile expuse n seciunea 2.1.3. Fraciunea din amortizarea critic pentru diferite tipuri de structuri i dou nivele de solicitare sunt prezentate n Tabelul 2.1. Este de remarcat faptul c majoritatea normelor de proiectare seismic nu recunosc variaia amortizrii funcie de tipul de material i nivelul eforturilor n structur, specificnd n toate cazurile o fraciune din amortizarea critic de 5%.

Tabelul 2.1: Valori recomandate ale fraciunii din amortizarea critic pentru diferite tipuri de structuri i niveluri de solicitare (Newmark i Hall, 1982; Chopra, 2001).

nivelul eforturilor n structur

tipul de structur (%)

eforturi de maxim 0.5 din limita de curgere

structuri metalice sudate, structuri din beton precomprimat, structuri din beton armat puternic (fisuri limitate)

2-3

structuri din beton armat cu fisuri semnificative 3-5 structuri metalice mbinate cu uruburi sau nituite, structuri din lemn mbinate cu uruburi sau cuie

5-7

eforturi apropiate de limita de curgere

structuri metalice sudate, structuri din beton precomprimat (fr pierderea total a precomprimrii)

5-7

structuri din beton precomprimat cu pierderea total a precomprimrii 7-10 structuri din beton armat 7-10 structuri metalice mbinate cu uruburi sau nituite, structuri din lemn mbinate cu uruburi

10-15

structuri din lemn mbinate cu cuie 15-20

3. Noiuni de seismologie inginereasc

33

3. Noiuni de seismologie inginereasc

3.1. Introducere

n medie peste 10000 de persoane au decedat anual din cauza cutremurelor de pmnt n secolul XX (Bolt, 2001, vezi Figura 3.1). Chiar dac structurile proiectate i construite conform standardelor moderne de proiectare seismic sunt n general mult mai sigure, eliminnd la maxim pierderile de viei omeneti, pierderile economice cauzate de cutremurele de pmnt sunt n cretere la nivel mondial. Dou exemple notorii n acest sens sunt cutremurele din 1994 de la Northridge (SUA), cu pierderi estimate la 40 miliarde dolari americani, i din 1995 de la Kobe (Japonia), soldat cu pierderi de aproximativ 100 miliarde dolari americani (Scawthorn, 2003).

Figura 3.1. Pierderi de viei omeneti datorate cutremurelor majore n secolul XX (Bolt, 2001).

Ingineria seismic este un domeniu al ingineriei care are ca scop reducerea efectelor cutremurelor de pmnt asupra construciilor inginereti. Aceasta se ocup cu: (1) studierea acelor aspecte ale seismologiei i geologiei care sunt importante pentru problem, (2) analiza rspunsului dinamic al structurilor sub aciunea micrii seismice i (3) dezvoltarea i aplicarea unor metode de planificare, proiectare i execuie a construciilor rezistente la efectul cutremurelor de pmnt. Ingineria seismic se ntreptrunde cu geologia pe de o parte, i cu tiinele sociale, arhitectura i aciunile autoritilor pe de alt parte.

Seismologia este o ramur a geologiei care studiaz vibraiile create att de surse naturale - cutremure de pmnt i erupii vulcanice, ct i de surse artificiale - explozii subterane. Seismologia inginereasc are ca obiectiv explicarea i prezicerea micrilor seismice puternice dintr-un amplasament i studiul caracteristicilor micrii seismice care sunt importante pentru rspunsul structurilor inginereti.

Pionierul cercetrilor moderne de seismologie a fost inginerul irlandez Robert Mallet, care a ntreprins studii de teren temeinice dup cutremurul din Napoli din 1857 (Italia). Acesta a explicat "masele dislocate de piatr i mortar" folosind termeni i principii ale mecanicii, i a creat astfel un vocabular de baz, coninnd termeni precum: seismologie, hipocentru, isoseismic.

Inginerii constructori sunt interesai de micrile seismice puternice, care pot produce distrugeri semnificative asupra construciilor. Cu

Documents

Curs Dsis 2014 Stratan