182
prof.dr. Alexandru STANCU 1 Electricitate şi magnetism Prof.dr. Alexandru STANCU [email protected] Istoria laboratorului de Electricitate și Magnetism Teodor Stamati (1849) Ștefan Micle (1860) Dragomir Hurmuzescu (1896) Ștefan Procopiu (1925) Vasile Tutovan (1972) Constantin Păpușoi (1985) Prof. A. Stancu 2012

CURS Electricitate Si Magnetism

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 1

Electricitate şi magnetism

Prof.dr. Alexandru STANCU

[email protected]

Istoria laboratorului de Electricitate și Magnetism

• Teodor Stamati (1849)

• Ștefan Micle (1860)

• Dragomir Hurmuzescu (1896)

• Ștefan Procopiu (1925)

• Vasile Tutovan (1972)

• Constantin Păpușoi (1985)

Prof. A. Stancu 2012

Page 2: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 2

Facultatea de Fizică

Dragomir Hurmuzescu (1865-1954)• n. 13 martie 1865, Bucureşti

• 1881 Liceul Sf. Sava – Bucureşti

• 1884-1887 Universitatea Bucureşti

• 1887 pleacă la Paris

• 1890 examen de licenţă la Paris

• 1890-1896 teza de doctorat la Gabriel Lippmann

• 1894 inventează dielectrina (Edouard Branly)

• Firma “Alvergnat-Chabaud” comercializează echipamente Hurmuzescu (electrofor, electroscop)

1900 La Paris din 1172 studenţi străini, 168 studenţi români.

Facultatea de Fizică

Realizări ştiinţifice deosebite• 1895 Roentgen descoperă radiaţia X

• 1896 Benoist & Hurmuzescu

• Becquerel şi soţii Curie au folosit aparatură Hurmuzescu

Page 3: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 3

Facultatea de Fizică

Revenirea în ţară

• 1896 revine în ţară (la Universitatea din Iaşi)

• 1897-1900 director al Liceului Internat

• Înfiinţează primul laborator de cercetare ştiinţifică din România – laboratorul de electricitate şi magnetism

Facultatea de Fizică

Laboratorul lui Hurmuzescu la Paris

Page 4: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 4

Facultatea de Fizică

Dragomir Hurmuzescu (1865-1954)

• În 1922, sub conducerea sa, a început să funcţioneze Societatea Română de Radiodifuziune (Societatea de Difuziune Radiotelefonică din România), care la 1 noiembrie 1928 difuza în eter prima emisiune cu anunţul: Alo, alo, aici Radio Bucureşti, urmat de discursul preşedintelui Societăţii, Dragomir Hurmuzescu.

• Este promotorul principal al înfiinţării Politehnicilor din Iaşi şi Bucureşti

• d. 31 mai 1954, Bucureşti

Bibliografie recomandată

1. Electricitate şi magnetism, Edward M. Purcell, Cursul de fizică BERKELEY, vol. II, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1982.

2. Orice alt curs de electricitate şi magnetism3. Orice culegere de probleme4. Pagina web a Departamentului de Fizica

http://stoner.phys.uaic.ro/moodle/

Prof. A. Stancu 2012

Page 5: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 5

Bibliografie (electromagnetism)

• Cursul de la Berkeley (vol. II)

– Electricitate şi magnetism

– E.M.Purcell

• Lectures on Physics (vol. II)

– R.P. Feynman

• Electrodinamica mediilor continue

– L.D. Landau şi E.M. Lifşiţ

• Bazele teoriei electricităţii

– I.E. Tamm

Prof. A. Stancu 2012

Electrostatică: sarcini şi câmpuri

– Sarcina electrică

– Conservarea sarcinii

– Legea lui Coulomb

– Energia unui sistem de purtători de sarcini

– Câmpul electric

– Distribuţii de sarcină

– Flux

– Legea lui Gauss

– Aplicaţii 

Prof. A. Stancu 2012

Page 6: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 6

Sarcina electrică

Prof. A. Stancu 2012

Observaţii empirice (forţa electrică/forţa magnetică)

Thales din Milet în urmă cu 2500 de ani (electrizarea corpurilor prin frecare)

China antică în urmă cu 5000 de ani (magneţii naturali)

Platon (în urmă cu 2400 de ani)

“Piatra pe care Euripide a numit-o magnetică şi care este numită în mod obişnuit a lui Hercule (...) nu atrage numai inelele de fier; ea comunică inelelor o forţă care le dă puterea ce-i aparţine însăşi pietrei, aceea de a atrage alte inele, astfel că se vede uneori un foarte lung lanţ de inele de fier care atârnă unul de altul. Şi forţa lor a tuturor depinde de această piatră.”

Din observaţii empirice ...

• Există două tipuri de sarcină electrică (pozitivă şi negativă)

• Sarcina se conservă• Sarcina se cuantifică

Prof. A. Stancu 2012

Într-un sistem izolat, sarcina electrică totală, adică suma algebrică a sarcinilor pozitive şi negative, se conservă.

Exemplu: foton electron + pozitron

Page 7: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 7

Cuantificarea sarcinii electrice

Experienţa lui Millikan

Robert A. Millikan 

(Nobel Prize for Physics 1923 )

Prof. A. Stancu 2012

Experimentul lui Millikan

Prof. A. Stancu 2012

1.5924(17)×10−19 C 1.602176487(40)×10−19 C

Page 8: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 8

Legea lui Coulomb

Prof. A. Stancu 2012

Charles Augustin Coulomb Născut la 14 iulie 1736, Franţa

1785, interacţiunea dintre mici sfere încărcate electric (balanţa de torsiune)

Prima lege cantitativă în domeniul electricităţii

Experimente

Prof. A. Stancu 2012

Page 9: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 9

Forţa Coulomb

q Q

F21 F12 R12

12

12 312

RF kqQ

R

120

0

1, 8.8544187818 10 /

4k F m

Prof. A. Stancu 2012

În Sistemul Internaţional

[Q]SI=[I]SI[t]SI

1 coulomb = 1 amper x 1 secundă

În starea de echilibru mecanic a sistemului din figură se poate determina forţa care acţionează asupra sarcinii q.

Principiul superpoziţiei

(1)

(2)

(3)

F1

F2

F3

q

F=F1+ F2 +F3 =qE

Prof. A. Stancu 2012

Sarcinile “1”, “2” şi “3” acţionează asupra sarcinii de probă q prin rezultanta forţelor cu care ar acţiona fiecare din ele separat asupra acesteia.

Page 10: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 10

Potenţialul electric

B

A

Q

q0 F0 R

Ra

Rb

ds

dR

B B

ab 0 0 30A A

1 R dsL F ds Qq

4 R

2 2 2 2

R xi yj zk,

ds dxi dyj dzk,

R ds xdx ydy zdz,

R x y z ,

2RdR 2xdx 2ydy 2zdz

R ds RdR Rdscos

B

0ab 0 2

0 0 a bA

1 dR Qq 1 1L Qq

4 R 4 R R

Prof. A. Stancu 2012

Forţa electrostatică

• Forţă conservativă (lucrul mecanic efectuat de către forţa electrostatică asupra unei sarcini punctiforme la deplasarea acesteia între două puncte nu depinde decât de poziţiile celor două puncte nu şi de drumul parcurs între ele) 

Prof. A. Stancu 2012

Page 11: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 11

Diferenţa de potenţial Uab

B

B

ab 0 0 0 0 ab2 20 0 0 a bA

A

1 dR Q dR Q 1 1L Qq q q q U

4 R 4 R 4 R R

Prof. A. Stancu 2012

ab 0 ab

b ab a

L q U

dacă R , U V (potenţialul electrostatic)

a

0 a

1 QV

4 R

Potenţialul electric se determină în mod relativ nu în mod absolut

ab 0 ab 0 a b 0 b a 0 abL q U q V V q V V q V

Potenţialul electrostatic

Potenţialul electrostatic al sarcinii punctiforme într-un punct la distanţa R se defineşte ca fiind o mărime scalară, numeric egală cu lucrul efectuat de forţele electrostatice pentru a deplasa sarcina unitară de la distanţa R până la infinit.

Potenţialul definit în acest fel este numit potenţial coulombian.

La infinit potenţialul coulombian este nul.

Unitatea de măsură a potenţialului în SI este voltul.

ab 0 ab 0 a bL q U q V V

1 joule1 volt =

1 coulomb

Prof. A. Stancu 2012

Page 12: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 12

Intensitatea câmpului electric

Prof. A. Stancu 2012

Q q0

F0 R

0

0

FE

q

30

Q RE

4 R

Definiţia generală

Câmpul creat de o sarcină electrică punctiformă

Linii de câmp electric

Prof. A. Stancu 2012

E

dR

x y z

i j k

E dR E E E 0

dx dy dz

x y z

dx dy dzE E E

Page 13: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 13

Distribuţii de sarcină electrică

Prof. A. Stancu 2012

P

Q

dvq

Rqp

Rq

x

z

y O

q

v 0

q dqlim

v dv

p q q0 qp

1 1V dv

4 R

qpp q q3

0 qp

R1E dv

4 R

Relaţia dintre câmp şi potenţial

ab 0 ab 0 a b 0 b a 0 abL q U q V V q V V q V

0 0

V V VdL q dV q dx dy dz

x y z

x y z

V V VE , E , E

x y z

Prof. A. Stancu 2012

0 0 x y zdL q E dR q E dx E dy E dz

x y zE E i E j E k

dR dxi dyj dzk

V V VdV dx dy dz

x y z

Page 14: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 14

Relaţia dintre câmp şi potenţial

x y z

V V VE E i E j E k i j k

x y z

i j k V V gradVx y z

Prof. A. Stancu 2012

Gradientul unei funcţii scalare

df grad f dR

Prof. A. Stancu 2012

dR dxi dyj dzk

f f fdf dx dy dz

x y z

grad i j kx y z

Page 15: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 15

Suprafeţe echipotenţiale

0 0dL q E dR q dV

Prof. A. Stancu 2012

0V V const.

dV = 0

dV gradV dR 0

E dR 0

E dR

gradV dR

Liniile de câmp sunt perpendiculare pe suprafeţele echipotenţiale

Suprafeţe echipotenţiale ‐ linii de câmp

E

dR

grad V V2=const. < V1

V1=const.'

x y z

V V VE E i E j E k i j k V gradV

x y z

0V V const.

E dR 0

Prof. A. Stancu 2012

Page 16: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 16

Câmpul sarcinii punctuale

Prof. A. Stancu 2012

Q Simetria problemei

Câmpul sarcinii punctiforme

Prof. A. Stancu 2012

O

x

y

z

i

j

k

uR

u

u

r

R

x y z

dx dy dzE E E

x 30

y 30

z 30

1 xE Q ,

4 R

1 yE Q ,

4 R

1 zE Q

4 R

dx dy dzx y z

Page 17: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 17

Coordonate sferice

Prof. A. Stancu 2012

p p p p

p p p p

p p p

x R sin cos

y R sin sin

z R cos

O

x

y

z

i

j

k

uR

u

u

r

R

00

1 1V Q V

4 R

00 0

1 1R R Q

4 V

Câmpul sarcinii punctiforme

Prof. A. Stancu 2012

1 1

2 2

ln x ln y C x K y

ln x lnz C x K z

dx dy dzx y z

Q

x

y

z

x=K2z

x=K1y

linia de câmp

0 0 0x , y ,z0

10

xK

y

02

0

xK

z

Page 18: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 18

Fluxul câmpului electric

Prof. A. Stancu 2012

3 3

R Rd dS dS

R R

30 0

Q R QE dS dS

4 R 4

R

dS

d

()

Q

Relaţia flux‐linii de câmp

Prof. A. Stancu 2012

0

Q4

R

dS

d

()

Q

Fluxurile sunt egale prin cele două suprafeţe

Numărul de linii de câmp care străbat cele două suprafeţe sunt egale

liniidecâmpN

Page 19: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 19

Fluxul

Prof. A. Stancu 2012

4

0

Q

30 0

Q R QE dS dS

4 R 4

Fluxul

Prof. A. Stancu 2012

2

0

Q2

30 0

Q R QE dS dS

4 R 4

Page 20: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 20

Fluxul

Prof. A. Stancu 2012

0 0

interior suprafata0

1 1Q Q

2

30 0

Q R QE dS dS

4 R 4

Teorema lui Gauss

Prof. A. Stancu 2012

Fluxul intensităţii câmpului electric printr-o suprafaţă închisă este egal cu suma sarcinilor interioare suprafeţei plus semisuma sarcinilor de pe suprafaţă raportate la .0

Page 21: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 21

Concluzii

Prof. A. Stancu 2012

Observăm că fluxul nu depinde de forma suprafeţei. Faptul că el este însă proporţional cu sarcina electrică interioară ne conduce spre interpretarea fluxului printr-o suprafaţă ca număr de linii de câmp ce trec prin aceasta.

Să presupunem că dintr-o sarcină punctuală pozitivă pornesc linii de câmp într-un număr proporţional cu mărimea sa. Numărul de linii de câmp ce trec prin suprafaţă, dacă aceasta este închisă şi include sarcina este acelaşi indiferent de forma suprafeţei.

Pentru a obţine în această interpretare fluxul nul în cazul sarcinilor exterioare suprafeţei închise trebuie să adoptăm următoarea convenţie. Se alege un sens pozitiv de străbatere al suprafeţei - în sensul normalei la suprafaţă în punctul respectiv - adică, la numărul de linii de câmp ce străbat o suprafaţă se adună numărul de linii de câmp ce formează cu normala la suprafaţă unghiuri mai mici decât 90° şi se scade numărul de linii de câmp ce formează cu normala la suprafaţă unghiuri mai mari decât 90°.

Concluzii

Prof. A. Stancu 2012

Dacă fluxul este proporţional cu numărul de linii de câmp ce trec prin suprafaţă (respectând convenţia de mai sus), intensitatea câmpului electric poate fi interpretată ca densitate de linii ce trec prin suprafaţă.

Teorema lui Gauss este o consecinţă directă a dependenţei de inversul pătratului distanţei a forţei electrice (legea lui Coulomb). Utilizând teorema lui Gauss putem demonstra că în interiorul unei distribuţii superficiale sferice intensitatea câmpului electric este nulă. Dacă se verifică experimental acest fapt validăm nu numai teorema lui Gauss ci şi legea lui Coulomb. De fapt, asemenea verificări au fost făcute cu precizie foarte mare.

Page 22: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 22

Două sarcini punctuale

Prof. A. Stancu 2012

qa

z

qb

Simetria problemei

Două sarcini punctuale

Prof. A. Stancu 2012

O

x

y

z

i

j

k

k

ur

ur

R

x rcos

y rsin

z z

Page 23: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 23

2 sarcini

Prof. A. Stancu 2012

Simetrie cilindrică

(axială)

z

x

yO

qa

qb

2 sarcini

Prof. A. Stancu 2012

p p p

a p p p p r p a a

b p p p p r p b b

a ba b

0 a b

a ba b a b3 3

0 a b

R x i y j z k,R R

d dR x i y j z k r u z k,R R

2 2

d dR x i y j z k r u z k,R R

2 2

1 q qV V V

4 R R

1 R RE E E q q

4 R R

z

x

yO

qa

qb

P Ra

Rb

Page 24: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 24

2 sarcini

Prof. A. Stancu 2012

a b1 1

2 20 2 22 2p p p p

a p r p b p r p

3 32 20 2 2

2 2p p p p

1 q qV

4d d

r z r z2 2

d dq r u z k q r u z k

2 21E

4d d

r z r z2 2

qb qaO

b0 a0

b

a

z

r

() Prof. A. Stancu 2012

Page 25: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 25

Unghiul solid

Prof. A. Stancu 2012

R

R sin()

R cos()

h=R [1-cos()]

2calotasfericaS 2 Rh 2 R 1 cos

calota sferica

2

S2 1 cos

R

2 sarcini

Prof. A. Stancu 2012

a aa

0

q4

qb qa O

b0a0

b

a

z

r

()

b bb

0

q4

a b

a a

b b

2 1 cos

2 1 cos

a a b bq cos q cos C

Page 26: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 26

Exemple:

Prof. A. Stancu 2012

Sistem de doua sarcini

Prof. A. Stancu 2012

Page 27: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 27

Dipol

Prof. A. Stancu 2012

Dipol punctiform

Prof. A. Stancu 2012

z

r

+ -

R-

R+

R

2 30 0 0 0

1 1 cos 1

4 4 4 4

R Rq q q l RV p

R R R R R R

Page 28: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 28

În plan

Prof. A. Stancu 2012

p ee 3 2

0 p 0 p

R1 p cosV p

4 R 4 R

eR 3

p 0 p

e3

p 0 p

V 2p cosE

R 4 R

V p sinE

R 4 R

z

r

R

E

ER E

Ecuaţia liniei de câmp

Prof. A. Stancu 2012

0

0

0

R R

R

R R R

R

R

E E u E u

dl dR u Rd u

E dl

E u E u dR u Rd u

E Rd u E dR u

Rd dRE E

z

r

R

E

ER E

Page 29: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 29

Ecuaţia liniei de câmp

Prof. A. Stancu 2012

eR 3

p 0 p

e3

p 0 p

V 2p cosE

R 4 R

V p sinE

R 4 R

R

Rd dRE E

2

2

2

sin 2cos2cos

sin2 sin

sin

ln sin ln

ln sin ln ln sin

Rd dR

d dRR

d dR

RR k

R

d d R

k2sinR k

Linii de câmp

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0

90

180

270

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

ERE

E

R

Prof. A. Stancu 2012

2sinR k V=const

Page 30: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 30

De calculat !

Prof. A. Stancu 2012

pe 3

0 p

R1V p

4 R

e p p e5 3

0 p p

3 p R R1 pE grad V

4 R R

Problemă

Prof. A. Stancu 2012

Fie q1 şi q2 două sarcini electrice punctiforme de semne contrare. Din A porneşte o linie de câmp ce formează cu dreapta ce uneşte sarcinile unghiul 1.Să se calculeze unghiul 2 pe care îl va face această linie de câmp cu dreapta AB în punctul B. Sub ce unghi minim 0 pleacă din A o linie de câmp care nu ajunge în B? Ce unghi va face această linie de câmp cu axa Oz la infinit?

Page 31: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 31

Problemă

Prof. A. Stancu 2012

Două sarcini punctiforme identice de mărime q se află la distanţa 2d.Cât de mult se va apropia linia de câmp ce formează la plecarea din sarcina q unghiul a cu dreapta ce uneşte sarcinile pe planul de simetrie (dmin).Calculaţi unghiul dintre linia de câmp şi planul de simetrie al sistemului departe de sarcini, în funcţie de d.Pentru puncte situate departe de sistem calculaţi intensitatea câmpului electric şi potenţialul.

Suprafeţe echipotenţiale

Prof. A. Stancu 2012

a bo o1 1

2 22 22 2p p p p

o o1 1

2 2 b2 22 2p p p p

1 12 22 2

2 2p p p p

q q4 V

d dr z r z

2 2

1 1 4 Vn

qd d

r z r z2 2

1 1n

d dr z r z

2 2

a

b

qn=

q

n = n

0V = 0

Page 32: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 32

Suprafeţe echipotenţiale

Prof. A. Stancu 2012

2 22 2p p p 2

22 2p p c o

2

c o2 2

d n 1r z z d 0 pentru n 1

4 n 1

r z z r

n 1 nz d ;r d

2 n 1 n 1

Se observă că suprafaţa echipotenţială sferică V0=0 înconjoară sarcina în modul mai mică.

Suprafeţe echipotenţiale

Prof. A. Stancu 2012

x

O

qb

qa

z

C(0,0,zc)

0 2

2

c 2

a

b

nr d

n 1

n 1z d 0 dacă n 1

2 n 1

qn = 1

q

Page 33: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 33

Distribuţii continue

Prof. A. Stancu 2012

•Distribuţii liniare

•Segment liniar, inel circular

•Distribuţii superficiale

•Disc, plan, sferă,

•Distribuţii volumice

•Sferă

Distribuţii liniare

Prof. A. Stancu 2012

Simetrie axială!

z

A B

Page 34: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 34

Segment

Prof. A. Stancu 2012

Q(z,0)

P(zp,rp)

A(-d/2,0) B(d/2,0) O

dz

z

r

Rqp

d/2

qpp 3

0 qpd/2

R1E dz

4 R

qp p p rR z z k r u

dq

Segment

Prof. A. Stancu 2012

d/2

qpp 3

0 qpd/2

R1E dz

4 R

qp p p rR z z k r u

dq

d/2

p p p r 3/22 20p pd/2

1 dzE z z k r u

4 z z r

d/2

ppr 3/22 20

p pd/2

r dz1E

4 z z r

d/2

ppz 3/22 20

p pd/2

z z dz1E

4 z z r

3/2 2 2 22 2

dC

a aa

3/2 2 22 2

d 1C

aa

Page 35: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 35

Segment

Prof. A. Stancu 2012

d/2 d/2

pp ppr 3/2 3/22 22 20 0

p p p pd/2 d/2

d/2

p ppp

2 2 22 20 0 p2 2p p p

p p p pd/2

d z zr dz r1E

4 4z z r z z r

d dz zz zr 2 2

4 4 r d dr z z r z r z r2 2

p p

2 20 p

2 2p p p p

d dz z

2 24 r d d

z r z r2 2

3/2 2 2 22 2

dC

a aa

Segment

Prof. A. Stancu 2012

d/2 d/2

p p ppz 3/2 3/22 22 20 0

p p p pd/2 d/2

d/2

p p

2 2 220 0 p2 2p p

p p p pd/2

z z dz z z d z z1E

4 4z z r z z r

r r14 4 r d dz z r z r z r

2 2

4

p p

2 20 p 2 2

p p p p

r r

r d dz r z r

2 2

3/2 2 22 2

d 1C

aa

Page 36: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 36

Câmpul total

Prof. A. Stancu 2012

P(zp,rp)

A(-d/2,0) B(d/2,0) O

Epz

z

r Epr

p p

pr2 2

0 p2 2

p p p p

d dz z

2 2E4 r d d

z r z r2 2

p ppz

2 20 p 2 2

p p p p

r rE

4 r d dz r z r

2 2

Formulă simplificată

Prof. A. Stancu 2012

P(d/2,rp)

A(-d/2,0) B(d/2,0)

O z

r

Epz

Epr

rp

d

2 2pd r

pr 2 20 p p

dE

4 r d r

ppz 2 2

0 p p

rE 1

4 r d r

2 2

p

dsin

d r

p

2 2p

rcos

d r

p

dz

2

Page 37: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 37

Formulă simplificată

Prof. A. Stancu 2012

O

z

r

Epz

Epr

+

pr0 p

E sin sin4 r

pz0 p

0 p

E 1 cos 1 cos4 r

cos cos4 r

Cazul simetric

Prof. A. Stancu 2012

O

z

r

Epr

pr0 p

E 2sin4 r

pzE 0

Fir infinit 2

pr0 p

E2 r

Page 38: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 38

Cazul simetric (distribuţie liniară infinită)

Prof. A. Stancu 2012

Cazul simetric (distribuţie liniară infinită)

Prof. A. Stancu 2012

z

n E

r

L

r r0 0 p

L2 rLE E

2 r

r r0

dVE dV E dr dr

dr 2 r

0

V lnr C2

0 00

r r ,V 0 C lnr2

0

0

rV ln

2 r

Page 39: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 39

Inel

Prof. A. Stancu 2012

Q

P(0,0,zp)

Rqp

d

x

y

z

r0

2

0

0 qp0

2

0 0 0

2 20 qp 0 qp 0 0 p

0

r dV

4 R

r r rV d 2

4 R 4 R 2 r z

2 2qp 0 pR r z

Calculul câmpului electric pe axa inelului

Prof. A. Stancu 2012

0

2 20 0 p

3/22 2z 0 0 p p

p 0

20 p 2

3/22 20 0 0 00 p

rV

2 r z

V 1E r r z 2z

z 2 2

r z sin cos

2 r 2 rr z

Q

P(0,0,zp)

Rqp

d

x

y

z

r0

Page 40: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 40

Calcul prin integrare

Prof. A. Stancu 2012

02

0 qp

r ddE

4 R

Q

P(0,0,zp)

Rqp

d

x

y

z

r0

dEx

dEz

dEy

dE

xdE dEsin cos

ydE dEsin sin

zdE dEcos

0

qp

rsin

R

Rezultate din integrare

Prof. A. Stancu 2012

2

0x 2

0 qp0

2

0y 2

0 qp0

2

20z 2

0 qp 0 00

r sinE cos d 0

4 R

r sinE sin d 0

4 R

r cosE d sin cos

4 R 2 r

Page 41: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 41

Disc încărcat uniform (potenţialul)

Prof. A. Stancu 2012

P(0,0,zp)

x

y

z

r0

r

dr

2 20 p

2 rdrdV

4 r z

0 0r r

2 2 2 2p 0 p p2 2

0 0 0p0 0

22 2 2 200 p p 0 p p2 2

0 0 0 0

rdrV d r z r z z

2 2 2r z

r Qr z z r z z

2 r 2 r

Disc (câmpul electric pe axă)

Prof. A. Stancu 2012

p p2 2z 0 p p2 2 2 2

p p 0 0 0 0 p 0 p

p pp p

2 2 2 20 p 0 p0 p 0 p

p

0 p 0

z zV Q QE r z z

z z 2 r 2 r z r z

z zz z2

2 z 4 zr z r z

z2 cos

4 z 4

P(0,0,zp)

x

y

z

-k

Page 42: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 42

Cazuri particulare

Prof. A. Stancu 2012

P(0,0,zp)

x

y

z

-k

z0

E4

Când raza tinde la infinit sau când distanţa faţă de disc tinde la zero

2 z0

E2

Planul infinit (suprafaţă Gauss)

Prof. A. Stancu 2012

x

y

z

n S

d

d

total baza supr.laterala z

baza z

supr.laterala

2 2E S

E S

0total

0 0

Q S

z

0

E2

Page 43: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 43

Distribuţie sferică superficială

Prof. A. Stancu 2012

P

z

Calcul prin integrare (exemplu)

Prof. A. Stancu 2012

P(0,0,zp)

z

d

R0 sin

R0 cos R0

zp- R0 cos

Q

O

0 0

2 20 0 0

2 sin14 2 cosp p

R R ddV

z R z R

2 2 20 02 cosp pt z R z R

02 2 sinptdt z R d

max

min

20 0

max min0 0 02 2

t

p pt

R RV dt t t

R z z

Page 44: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 44

Calcul (continuare)

Prof. A. Stancu 2012

P(0,0,zp)

z

d

R0 sin

R0 cos R0

zp- R0 cos

Q

O

A) Punct în exterior

0pz Rmin 0pt z R

max 0pt z R

0 0max min 0

0 0

20

0 0

22 2

4

4 4

p p

p p

R RV t t R

z z

R Qz z

Calcul (continuare)

Prof. A. Stancu 2012

P(0,0,zp)

z

d

R0 sin

R0 cos R0

zp- R0 cos

Q

O

B) Punct în interior

0pz R min 0 pt R z

max 0 pt R z

0 0max min

0 0

20

0 0 0 0

22 2

4

4 4

pp p

R RV t t z

z z

R QR R

Page 45: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 45

Rezultat

Prof. A. Stancu 2012

00 0

00

.4

( ).

4

Qptr R R

RV R

Qptr R R

R

P(0,0,zp)

z

d

R0 sin

R0 cos R0

zp- R0 cos

Q

O

Câmpul sferei încărcate uniform

Prof. A. Stancu 2012

0

020

0 .( )

.4

R

ptr R RE R Q

ptr R RR

Page 46: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 46

Calcul cu teorema lui Gauss

Prof. A. Stancu 2012

E

n

R0

Ri

Re

20

0

20 0

02

0

4 .

4 .2

4 0 .

R e

R

R i

QE R ptr R R R

QE R ptr R R

E R ptr R R R

Distribuţie superficială 0cos

Prof. A. Stancu 2012

P(0,0,zp)

z

d

R0 sin

R0 cos R0

zp- R0 cos

Q

O

0 0

2 20 0 0

2 sin14 2 cosp p

R R ddV

z R z R

00

0

30 0

020

.3

( ).

3

z ptr z R

V RR

ptr z Rz

00

0

30 0

030

.3

( )2

.3

z

ptr z R

E zR

ptr z Rz

Page 47: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 47

Rezultate

Prof. A. Stancu 2012

00

0

30 0

020

.3

( ).

3

z ptr z R

V RR

ptr z Rz

00

0

30 0

030

.3

( )2

.3

z

ptr z R

E zR

ptr z Rz

Sferă (distribuţie volumică)

Prof. A. Stancu 2012

E

n

R0

Ri

Re

32 0

00

32 00 0

0

32

00

414 .

3

414 .

3

1 44 .

3

R e

R

R i

RE R ptr R R R

RE R ptr R R

RE R ptr R R R

020 0 0

020

.4

.4

R

Q Rptr R R

R RE

Qptr R R

R

Page 48: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 48

Potenţialul

Prof. A. Stancu 2012

020 0 0

020

.4

.4

R

Q Rptr R R

R RdVE

QdRptr R R

R

020 0 0

020

.4

.4

dV Q Rptr R R

dR R R

dV Qptr R R

dR R

2

1 020 0 0

2 00

.4 2

.4

Q RV C ptr R R

R R

QV C ptr R R

R

Calcul

Prof. A. Stancu 2012

Condiţii la limită !!!

0 00 0

R R R RR R R R

V V

0R

V

2

20

120 0 0 0 0

10 0

0

4 2 4

32 4

C

RQ QC

R R R

QC

R

2

1 020 0 0

2 00

.4 2

.4

Q RV C ptr R R

R R

QV C ptr R R

R

Page 49: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 49

Rezultate

Prof. A. Stancu 2012

2

020 0 0

00

3.

4 2 2

.4

Q RV ptr R R

R R

QV ptr R R

R

020 0 0

020

.4

.4

R

R

Q RE ptr R R

R R

QE ptr R R

R

Teorema lui Gauss (în forma locală)

Prof. A. Stancu 2012

0

qE dS

0 00 0

1lim limv v

qdiv E

v v

div E dv E dS

()

teorema Gauss-Ostrogradski

Page 50: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 50

Divergenţa în coordonate carteziene

Prof. A. Stancu 2012

B(x0+x/2, y0+y, z0+z/2)

A(x0+x/2, y0, z0+z/2)

x

y

z

R0

z

x

y

div (calcul)

Prof. A. Stancu 2012

B(x0+x/2, y0+y, z0+z/2)

A(x0+x/2, y0, z0+z/2)

x

y

z

R0

z

x

y

y A B yA yB

yB yA

E x z E x z

E E x z

0 0 0 0 0 0

0 0 0

, , , ,

, ,2 2

y yyA y

x y z x y z

E Ex zE E x y z

x z

0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0

, , , , , ,

, ,2 2

y y yyB y

x y z x y z x y z

E E Ex zE E x y z y

x y z

Page 51: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 51

div (calcul)

Prof. A. Stancu 2012

B(x0+x/2, y0+y, z0+z/2)

A(x0+x/2, y0, z0+z/2)

x

y

z

R0

z

x

y

y A B yA yB

yB yA

E x z E x z

E E x z

0 0 0

0 0 0

, ,

, ,

yy yB yA

x y z

y

x y z

EE E x z y x z

y

Ev

y

0 0 0, ,

xx

x y z

Ev

x

0 0 0, ,

zz

x y z

Ev

z

0 0 0, ,

yx ztotal

x y z

EE Ev

x y z

yx zEE E

div Ex y z

Rotorul

Prof. A. Stancu 2012

0C E dl

0

lim 0Sn

Crot E

S

rot E dS E dl

()

teorema Stokes

Page 52: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 52

rot (calcul)

Prof. A. Stancu 2012

x

y

z

R 0

z

x

yA B

CD

M NPQ

rot (calcul)

Prof. A. Stancu 2012

x

y

z

R 0

z

x

y A B

CD

M N P Q

ABCDA AB BC CD DA

yM xN yP xQ

C C C C C C

E y E x E y E x

0 0 0 0 0 0

0 0 0

, , , ,

, ,2

y yyM y

x y z x y z

E EyE E x y z x

x y

0 0 0

0 0 0

, ,

, ,2

yyP y

x y z

EyE E x y z

y

0 0 0 0 0 0

0 0 0, , , ,

, ,2

x xxN x

x y z x y z

E ExE E x y z y

x y

0 0 0

0 0 0, ,

, ,2

xxQ x

x y z

ExE E x y z

x

Page 53: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 53

rot (calcul)

Prof. A. Stancu 2012

x

y

z

R 0

z

x

y A B

CD

M NPQ

yM yP xN xQ

y x

y x

C y E E x E E

E Ey x x y

x y

E Ex y

x y

y x

z

E Erot E

x y

x y z

i j k

rot E Ex y z

E E E

EcuaţiaPoisson. Ecuaţia Laplace

Prof. A. Stancu 2012

0

0

div E

rot E E gradV

0

div gradV

0

V

0

V

0V 2 2 2

2 2 2 0V V Vx y z

Page 54: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 54

Condiţii la limită. Soluţia ecuaţiei Laplace.

Prof. A. Stancu 2012

0V Condiţii la limită

•Dirichlet

•Neumann

•mixte

0frontieradomeniuluiV V R

'0

frontieradomeniului

VV R

n

Într-un anumit domeniu din spaţiu

Soluţie unică în domeniul respectiv!!! V R

Exemplu

Prof. A. Stancu 2012

R0

Re 00 .V pt R R

00

0

R R

R

V V

V

Page 55: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 55

Coordonate sferice

Prof. A. Stancu 2012

p p p p

p p p p

p p p

x R sin cos

y R sin sin

z R cos

x

y

z

Oi

j

k

uR

u

u

r

R

Coordonate curbilinii ortogonale

Prof. A. Stancu 2012

x

y

z

O i

j

k

uR

u

u

r

R dR

uR

u

u

r

RdR

sinRdR dR u Rd u R d u

Page 56: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 56

Energia câmpului electric

Prof. A. Stancu 2012

q,V

W qV

În câmp electric EXTERIOR

Energia unui sistem de n sarcini

Prof. A. Stancu 2012

q1,V12 q2,V21

2 21 1 12 1 12 2 21 1 1 2 2

1 12 2

W q V q V q V q V q V q V

1 1 2 2

1

1 1...

2 2

n

n n i i

i

W q V q V q V qV

Page 57: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 57

Energia. Câmp uniform.

Prof. A. Stancu 2012

S

0

E k

l

21 2

20 0

2 22 20 0 0

20

2 2 2

2

2 2 2

2

QV QV QU CUW

S SUC W

l l

S E EE lEl U W lS V

l

EWw

V

Energia unui sistem de sarcini distribuite

Prof. A. Stancu 2012

012 2

W Vdv div E Vdv

0

div E

div VE V div E E gradV

div VE dv VE dS

0

2W div VE dv E gradV dv

Page 58: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 58

Continuare

Prof. A. Stancu 2012

div VE dv VE dS

Dacă se integrează pe întreg spaţiul ...

1V

R 2

1E

R 2S R

Integrala tinde la zero !

Continuare

Prof. A. Stancu 2012

0

2W div VE dv E gradV dv

20

2W E dv

20

2w E

Densitatea de energie

Page 59: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 59

Exemple

Prof. A. Stancu 2012

12

W Vdv 20

2W E dv

1. Sferă încărcată superficial

2

0 0 0 0

1 1 1 1 12 2 4 2 4s

Q QW V dS dS

R R

Metoda 1

Exemple

Prof. A. Stancu 2012

0

0

020

2 2 20 0

0

2 220

20 0 0

0 .

1.

4

42 2

14

2 4 2 4R

pt R R

E Qpt R R

R

W E dv E R dR

Q QR dR

R R

Page 60: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 60

Exemple

Prof. A. Stancu 2012

2. Sferă încărcată în volum

2

020 0 0

00

3.

4 2 2

.4

Q RV ptr R R

R R

QV ptr R R

R

020 0 0

020

.4

.4

R

R

Q RE ptr R R

R R

QE ptr R R

R

Exemple

Prof. A. Stancu 2012

0

22

20 0 0

22

20 0 0

0

3 50 0

20 0 0

230

0 0 0 0

1 1 34

2 2 4 2 2

1 34

2 4 2 2

1 3 14

2 4 2 3 2 5

1 1 1 34 1

332 4 2 5 5 4

R

Q RW Vdv R dR

R R

Q RR dR

R R

R RQR R

Q QR

R R

20

2W E dv

2

020 0 0

00

3.

4 2 2

.4

Q RV ptr R R

R R

QV ptr R R

R

Page 61: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 61

Exemple

Prof. A. Stancu 2012

020 0 0

020

.4

.4

R

R

Q RE ptr R R

R R

QE ptr R R

R

0

0

0

0

2 2

2 2 20 02 2

0 0 0 00

24

6 20 0

0

52 20

60 0 0 0 0

4 42 2 4 4

1 1 12 4

1 1 1 32 4 5 5 4

R

R

R

R

Q R QW E dv R dR R dR

R R R

QR dR dR

R R

RQ QR R R

Câmpul electric în jurul conductorilor

Prof. A. Stancu 2012

• Conductori în electrostatică

• Teorema lui Coulomb

• Presiunea electrostatică

• Capacitatea electrică

• Condensatorul

• Influenţa electrostatică

• Metoda imaginilor

Page 62: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 62

Linii de câmp

Prof. A. Stancu 2012

Experiment

Liniile de câmp sunt normale la suprafaţa conductorului

Conductori în electrostatică

Prof. A. Stancu 2012

o

•Sarcinile electrice se distribuie pe suprafaţa exterioară a conductorului

•Câmpul în interiorul conductorului este nul

Page 63: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 63

Proprietăţi

Prof. A. Stancu 2012

•Câmp zero în interiorul conductorului

•Potenţialul constant

•Sarcina se distribuie la suprafaţă

•Liniile de câmp sunt normale la suprafaţă

Teorema lui Coulomb

Prof. A. Stancu 2012

Page 64: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 64

Câmpul în apropierea conductorului

Prof. A. Stancu 2012

0n

SE S

0nE

Câmpul pe suprafaţa conductorului

Prof. A. Stancu 2012

02 n

SE S

02nE

Page 65: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 65

Câmpul

Prof. A. Stancu 2012

0

0

0 în interior

pesuprafaţă2

înapropierea suprafeţei

nE

Presiunea electrostatică

Prof. A. Stancu 2012

2

02nSS E

pS

Page 66: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 66

Densitatea de sarcină

Prof. A. Stancu 2012

Q1, R1 Q2, R2 211 2

0 1 0 2

21 1 1

22 2 2

222 21 1

0 1 0 2

1 1 2 2

4 4

4

4

444 4

constant

QQV V

R R

Q R

Q R

RRR R

R R

Regulă: rază mică, densitate de sarcină mare

Capacitatea conductorului izolat

Prof. A. Stancu 2012

Q, V

,

,

Q V

nQ nV

QC

V

Principiul superpoziţiei

1

1 ( )1SI

CC F Farad

V

Page 67: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 67

Influenţa electrostatică

Prof. A. Stancu 2012

-Q

Q

Elemente corespondente

Influenţa totală

Prof. A. Stancu 2012

Q

-Q

Ecranul electric

Page 68: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 68

Metoda imaginilor

Prof. A. Stancu 2012

q 0

V = 0

O

z

Cazul planului infinit

Prof. A. Stancu 2012

q0

V=0

O

z

Page 69: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 69

Problema echivalentă

Prof. A. Stancu 2012

q0

V=0

O

z

-q0

R0

d

d

Soluţia celor două probleme ...

Prof. A. Stancu 2012

q0

V=0

O

z

q0

V=0

O

z

-q0

R0

d

d

Când R0 tinde la infinit ...

Page 70: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 70

Câmpul şi potenţialul

Prof. A. Stancu 2012

R+

R-

P(zp,rp)

q0-q0

r

O

03 3

04q R R

ER R

0

0

1 14q

VR R

22

p r p

p p

R r u z d k

R r z d

Densitatea de sarcină de influenţă

3/2 2 22 2

d 1C

aa

Prof. A. Stancu 2012

R+

R-

P(zp,rp)

q0-q0

r

O

00 0 3/20 2 2

0

0 0 03/2 2 22 2

0 0 0

24

12

i z iz

p

p pi i p p

pp

q dE r

r d

r drQ r dr q d q d q

r dr d

Page 71: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 71

Densitatea de sarcină

Prof. A. Stancu 2012

rp

zp

q0

z

Sarcina de influenţă totală este -q0

Sfera conductoare. Cazul I

Prof. A. Stancu 2012

x

y

zq0

z0

R0

()

Page 72: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 72

Problema

Prof. A. Stancu 2012

V=0

Problema echivalentă

Prof. A. Stancu 2012

x

y

zq0

z0

R0

q’0z’0

q0

z0 V=0

Page 73: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 73

Problemele echivalente

Prof. A. Stancu 2012

V=0

V=0

Calcul

Prof. A. Stancu 2012

q’0z’0

q0

z0 V=0P

p

R0

Page 74: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 74

Continuare

Prof. A. Stancu 2012

'0 0

2 2 2 '2 '0 00 0 0 0 0 0 0 0

2 2 '2 ' '2 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 ' '20 0 0 0

2 2 '2 '2 2 20 0 0 0 0 0

' 00 0

0

2' 00

0

1 10,

4 42 cos 2 cos

2 cos 2 cos

p p

p

p

p

q qV

R z R z R z R z

q R z R z q R z R z

q z q z

q R z q R z

Rq q

z

Rz

z

Probleme

Prof. A. Stancu 2012

0

2 '0 0

0

2 sin

i R

i i p p

E

Q R d q

Demonstraţi !!!

Puteţi demonstra SIMPLU utilizând teorema lui Gauss sau prin integrare directă.

Page 75: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 75

Sfera izolată

Prof. A. Stancu 2012

Cazul sferei izolate

Prof. A. Stancu 2012

V

q0

q’0

q’’0

'' ' 00 0 0

0

Rq q q

z

Page 76: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 76

Problemă

Prof. A. Stancu 2012

Să se calculeze câmpul într-o cavitate sferică de rază R2inclusă într-o sferă de rază R1 dacă distanţa dintre centre este a. Sfera de rază R1 din care se decupează sfera de rază R2 este încărcată uniform cu sarcini electrice uniform distribuite în volum cu densitatea .

a

R2 R1

Sisteme de conductori

Prof. A. Stancu 2012

Q1, V1 Q2, V2

Q3, V3

Q4, V4 Qn, Vn

Page 77: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 77

2 conductori

Prof. A. Stancu 2012

Q2, V2 Q1, V1

Principiul superpoziţiei

Q2=C21, V2=0Q1=C11, V1=1

Q2=C21 V1, V2=0 Q1=C11 V1, V1

x V1=

Q2=C22, V2=1Q1=C12, V1=0

Q2=C22 V2, V2 Q1=C12 V2, V1=0

x V2=

2 conductori

Prof. A. Stancu 2012

Q2=C21 V1, V2=0 Q1=C11 V1, V1

Q2=C22 V2, V2 Q1=C12 V2, V1=0

Q2=C21 V1 +C22 V2, V2 Q1= C11 V1 + C12 V2, V1

+

=1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

Q C V C V

Q C V C V

Page 78: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 78

Condensatorul

Prof. A. Stancu 2012

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V p Q p Q

V p Q p Q

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

Q C V C V

Q C V C V

Condensator = sistem format din două conductoare izolate între ele şi încărcate cu sarcini egale şi de semne contrare.

Condensatorul

Prof. A. Stancu 2012

1 11 1 12 21 2

2 21 1 22 2

1 11 12

2 21 22

, ;V p Q p Q

Q Q Q QV p Q p Q

V p Q p Q

V p Q p Q

1 11 22 12 212

1QC

V V p p p p

Page 79: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 79

Condensatorul plan

Prof. A. Stancu 2012

0 0

0

Q UE

S d

SQC

U d

+Q

-Q

E

d U

S

Condensatorul sferic

Prof. A. Stancu 2012

R1

R2

U

2 2

1 1

20

20 0 1 2

0 1 2

2 1

4

1 14 4

4

R

R R

R

R R

QE

R

Q dR QU E dR

R R R

R RQC

U R R

Page 80: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 80

Condensatorul cilindric

Prof. A. Stancu 2012

2 2

1 1

0 0

2

0 0 1

0

2

1

2 2

ln2 4

2

ln

r

r r

r

r r

QE

r rL

rQ dr QU E dr

r L r

LQC

rUr

Sistem de două conductoare sferice

Prof. A. Stancu 2012

Q1

Q2

R1

R2

d

11

0 1

22

0 2

110 1

220 2

12 21

4

4

14

14

0

QV

R

QV

R

pR

pR

p p

Page 81: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 81

Continuare

Prof. A. Stancu 2012

211

0 1 011 22 12 21

21 0 1 0 2 02

0 0 2

4 4 1 1 1; ;

4 4 44 4

QQV

R dp p p p

QQ R R dV

d R

21 21

1 0 1 0 22 2 21 2 1 2 1

11 0 221 21 2 2

2 0 1 0 22 21 2 1 2

22

22 0 21 2

1 212 21 0 2

1 2

4 4

4 ;

4 4

4 ;

4

dR Rd RQ V V

d R R d R R d RC

d R RdR R d RQ V V

d R R d R R

d RC

d R R

dR RC C

d R R

Energia

Prof. A. Stancu 2012

1 2

1

2 2

1 2

0

2 220 0 0

1; 2;

2

2 2 2 2

;

2 2 2

n

i i

i

W QV n Q Q Q

Q QU CU QW V V

CS

C U EddS E E

W Ed Sd vd

Page 82: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 82

Lucrul mecanic (Q=const.)

Prof. A. Stancu 2012

dx

F

Q

20

2

0

2 2

0 0 0

2

0

.

;2

2

2 2 2

2

s

Q const

SQFdx dW d C

C x

QdW d x

S

Q QFdx dx F Q QE

S S

F pS S

U=const.

Prof. A. Stancu 2012

dx

F

U

x

2

20

220 0

2

20

2

.

2

;2

2 2

2

U const

U dCU UdC Fdx

SU dCFdx C

xS SUU

Fdx d dxx x

SUF

x

Page 83: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 83

Cazul general

Prof. A. Stancu 2012

Q=constant

U=constant

.

0

.

2

ext electric

electricext

electricext electric

dW Fdx dW

Q const

dWdW F

dx

U const

dWUdW UdQ dW dQ F

dx

Gruparea condensatoarelor (in serie)

Prof. A. Stancu 2012

U

U1 U2 U3

Q +Q Q Q +Q +Q

1 2 31 2 3

1 2 3

1

1 1 1 1

1 1

echivalent

echivalent

n

s ii

Q Q Q QU U U U

C C C C

C C C C

C C

Page 84: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 84

Gruparea condensatoarelor (in paralel)

Prof. A. Stancu 2012

U

Q1 +Q1

Q2 +Q2

Q3 +Q3

1 2 3 1 2 3

1 2 3

echivalent

echivalent

Q Q Q Q C U CU C U C U

C C C C

1

n

p i

i

C C

Problema 9.1

Prof. A. Stancu 2012

B

A

Să se calculeze capacitatea echivalentă între punctele A şi B.

Toate condensatoarele au capacitatea cunoscută C.

Page 85: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 85

Problema 9.2

Prof. A. Stancu 2012

B

A

Să se calculeze capacitatea echivalentă între punctele A şi B.

Toate condensatoarele au capacitatea cunoscută C.

Transformarea triunghi‐stea

Prof. A. Stancu 2012

C1

C2 C3

C12C31

C23

12 311 12 31

23

23 122 23 12

31

31 233 31 23

12

C CC C C

C

C CC C C

C

C CC C C

C

1 212

1 2 3

2 323

1 2 3

3 131

1 2 3

C CC

C C C

C CC

C C C

C CC

C C C

Page 86: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 86

Alte reguli ...

Prof. A. Stancu 2012

1. Se aplică legea conservării sarcinii în nodurile reţelei

2. Pentru ochiuri de reţea se poate scrie că suma căderilor de tensiune este zero

Problema 9.3

Prof. A. Stancu 2012

E

E

C

3C

K

Să se calculeze sarcinile electrice care traversează punctele 1, 2 şi 3 la închiderea întrerupătorului K. Se cunosc E şi C.

Page 87: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 87

Prof. A. Stancu 2012

x d-x

Q

Q1 Q2

Q

/2

Curentul continuu. Circuite de curent continuu

• Curentul continuu (staţionar)

• Legea lui Ohm

• Legile lui Khirchhoff

• Efectele curentului continuu (termic, chimic, magnetic)

• Legea lui Joule

• Legile electrolizei

Prof. A. Stancu 2012

Page 88: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 88

Medii conductoare

Prof. A. Stancu 2012

Conductorii sunt corpuri în care mişcarea sarcinilor (curentul electric) apare sub acţiunea câmpului electric.

1827 Ohm I=U/R

R – rezistenţa electrică

UL

r

S

1L LR

S S

Forma diferenţială a legii lui Ohm

Prof. A. Stancu 2012

1

1

LU RI j S

S

U

Lj E

jE

1. Dielectrici <10-5(m)-1

2. Semiconductori 10-

5<<103(m)-1

3. Conductori 103< (m)-1

I j dS

Page 89: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 89

Rezistivitatea metalelor

Prof. A. Stancu 2012

Aluminiu 2.8 10-8 (m) 3.6 107 (m)-1

Cupru 1.7 10-8 (m) 5.8 107 (m)-1

Fier 1.0 10-7 (m) 1.0 107 (m)-1

Argint 1.6 10-8 (m) 6.2 107 (m)-1

Nichel 6.8 10-8 (m) 1.5 107 (m)-1

Aur 2.0 10-8 (m) 5.0 107 (m)-1

rezistivitatea conductivitatea

Prof. A. Stancu 2012

Page 90: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 90

Ecuaţia de continuitate

Prof. A. Stancu 2012

Q

S

n j

0

0

V V V

V

div j

di

Qd

v jt

v dv j dS dt

dit

vt t

dvv j

Timp de relaxare 

Prof. A. Stancu 2012

0

0 0

0 0

0

0 0 exp

div j div Et t

divEt

divE

t tt

Exemplu: Cu =6,0 107 (m)-1

0=8,8 10-12 F/m

0/=10-19 s (aprox.)

Page 91: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 91

Câmpul în interiorul unui conductor

Prof. A. Stancu 2012

În electrostatică E=0 în interiorul conductorilor.

Când există curenţi electrici în conductori, câmpul electric este diferit de zero.

Câmpul electric în cazul c.c.

Prof. A. Stancu 2012

j E

0 0j E

Simplificare: Conductori liniari filiformi

Câmpul electric are componentă tangenţială dar şi normală la suprafaţa conductorului parcurs de curent

Page 92: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 92

Sarcini de suprafaţă şi de volum

Prof. A. Stancu 2012

Sarcinile de suprafaţă sunt sursele câmpului care există în conductor şi care asigură curentul în acesta.

Sarcinile de volum ... conductori neomogeni!

Mecanismul de generare a curenţilor

Prof. A. Stancu 2012

Sursa de tensiune electromotoare

• separă sarcinile pozitive de cele negative

• sarcinile de la bornele sursei nu creează direct câmpul electric în conductori dar asigură formarea unei distribuţii a sarcinilor pe conductori care să realizeze câmpul electric în interiorul acestora.

Page 93: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 93

Modificarea potenţialului în lungul conductorului

Prof. A. Stancu 2012

0 0j E

Potenţialul nu mai este constant într-un conductor!

TOTUŞI, câmpul în interiorul conductorului este creat de sarcini de suprafaţă care nu îşi schimbă densitatea în timp. Consecinţa este că acest câmp este câmp potenţial.

Legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit

Prof. A. Stancu 2012

12

12 12

1 2V V El U

j jS Ij E E

S S

IU l IR

S

Page 94: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 94

Originea câmpului electromotor

Prof. A. Stancu 2012

Câmpul electric electromotor nu poate fi tot de origine electrostatică.

Dacă ar fi aşa, lucrul mecanic al forţei electrice de-a lungul unui contur închis ar fi nul.

Legea lui Ohm pentru un circuit simplu

Prof. A. Stancu 2012

E,r

R

EE RI rI I

R r

Page 95: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 95

Efectul termic al curentului electric

Prof. A. Stancu 2012

22

dL UdQ

dQ Idt

dL UIdt

dL UP UI RI

dt R

2

2 21V

l P jP j S P E j E

S S l

Forma locală

Circuite electrice. Legile lui Kirchhoff.

Prof. A. Stancu 2012

Circuite electrice...

Noduri ale reţelei (n)

Laturi ale reţelei (l)

K1...pentru noduri (n-1 ecuaţii)

K2...pentru ochiuri de reţea (l-n+1 ecuaţii)

0k

k k k

I

R I e

Page 96: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 96

Exemplu

Prof. A. Stancu 2012

E2,r2

R1 R2

E1,r1

Exemplu

Prof. A. Stancu 2012

E2,r2

R1 R2

E1,r1

I2

I1

I

1 2

1 1 2 1 1 1

1 2 2 2

I I I

IR I R I r E

IR I r E

Page 97: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 97

Metoda curenţilor pe ochiuri

Prof. A. Stancu 2012

E,r

R1 R2

R3 R4

Rd J1

J0

J2

A B C

D

0

0 1

0 2

1

2

1 2

r

AB

BC

DA

CD

BD

I J

I J J

I J J

I J

I J

I J J

Metoda curenţilor pe ochiuri

Prof. A. Stancu 2012

E,r

R1 R2

R3 R4

Rd J1

J0

J2

A B C

D

0 1 2 1 1 2 2

0 1 1 1 3 2

0 2 1 2 2 4

0

0

d d

d d

J r R R J R J R E

J R J R R R J R

J R J R J R R R

Page 98: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 98

Continuare 

Prof. A. Stancu 2012

0 1 2 1 1 2 2

0 1 1 1 3 2

0 2 1 2 2 4

0

0

d d

d d

J r R R J R J R E

J R J R R R J R

J R J R J R R R

1 2 1 2

1 1 3

2 2 4

0

1

2

0

0d d

d d

r R R R R

R R R R R

R R R R

J

J

R

E

J

Este adaptabilă pentru punerea automată în ecuaţie.

Principiul superpoziţiei stărilor de echilibru.

Sursa de tensiune, sursa de curent

Prof. A. Stancu 2012

e

v

iv

i e

i=j

v

iv

i j

Page 99: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 99

Teorema lui Thévenin

Prof. A. Stancu 2012

O reţea liniară văzută din două dintre nodurile sale, A şi B, este

hi l tă

B

A

B

e0

R0

A

Exemplu de calcul

Prof. A. Stancu 2012

E

R1 R2

R3 R4

Rd

A B C

D

Să se calculeze curentul prin Rd folosind teorema lui Thévenin.

Page 100: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 100

Calcul 

Prof. A. Stancu 2012

3 41 20

1 2 3 4

R RR RR

R R R R

R1 R2

R3 R4

A

B C

D

I

J

Calcul 

Prof. A. Stancu 2012

E

R1 R2

R3 R4

A

B C

D

I

J

0 1 3B De V V IR JR

1 2

3 4

1 4 2 30

1 2 3 4

eI

R R

eJ

R R

R R R Re e

R R R R

Page 101: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 101

Rezultat 

Prof. A. Stancu 2012

0

0 d

ei

R R

E

R1 R2

R3 R4

Rd

A B C

D

1 4 2 3

01 2 3 4

R R R Re e

R R R R

3 41 2

01 2 3 4

R RR RR

R R R R

Teorema lui Norton

Prof. A. Stancu 2012

O reţea liniară văzută din două dintre nodurile sale, A şi B, este echivalentă cu un generator de curent de intensitate egală cu cea în scurtcircuit între A şi B legat în paralel cu o rezistenţă internă egală cu rezistenţa reţelei între A şi B.

B

A

B

i0 R0

A

Page 102: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 102

Probleme

Prof. A. Stancu 2012

r R R

C C

E,r

Transformarea triunghi‐stea

Prof. A. Stancu 2012

C1

C2 C3

C12C31

C23

12 311 12 31

23

23 122 23 12

31

31 233 31 23

12

C CC C C

C

C CC C C

C

C CC C C

C

1 212

1 2 3

2 323

1 2 3

3 131

1 2 3

C CC

C C C

C CC

C C C

C CC

C C C

Page 103: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 103

Transformarea triunghi‐stea

Prof. A. Stancu 2012

1 212 1 2

3

2 323 2 3

1

3 131 3 1

2

R RR R R

R

R RR R R

R

R RR R R

R

12 311

12 23 31

23 122

12 23 31

31 233

12 23 31

R RR

R R R

R RR

R R R

R RR

R R R

R1

R2 R3

R12R31

R23

Problema 1

Prof. A. Stancu 2012

R R

R

R R

Page 104: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 104

Curenţi în medii continue

Prof. A. Stancu 2012

0

0

0 0

j E

I j dS E dS

Q CU

QE dS

Q CU UI R

I C

+Q -Q

Împământarea liniilor de tranziţie

Prof. A. Stancu 2012

+Q -Q

Page 105: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 105

Tensiunea de pas

Prof. A. Stancu 2012

L

I

Dependenţa de temperatură a rezistivităţii

Prof. A. Stancu 2012

Pentru temperaturi moderate rezistivitatea creşte liniar cu temperatura.

1911 Kamerlingh Onnes descoperă experimental supraconductivitatea.

Mercurul sub 4,2K are rezistivitate aproximativ nulă. Rezistivitatea devine mai mică decât

10-25m (de exemplu Cuprul ... 10-12m)

Page 106: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 106

Curenţii electrici în lichide

• Lichidele sunt în general slab conductoare

• Ionii pozitivi/negativi sunt purtători mobili

• Electroliza

Prof. A. Stancu 2012

Curenţi prin gaze-curentul în vid• dioda, trioda cu vid

Câmpul sarcinilor electrice în mişcare

Prof. A. Stancu 2012

Page 107: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 107

Prof. A. Stancu 2012

00

02F q

d

0

2021

vc

00 0 2

0 00 2

22 1

F q qd v

dc

Prof. A. Stancu 2012

Transformările Lorentz

0 0

00 2

'

x x

y y

z z v t

vt t z

c

0 0

00 2

x x

y y

z z v t

vt t z

c

0 202

1

1v

c

Page 108: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 108

Prof. A. Stancu 2012

0 00 02 2

00 2

0 0 0

0020 2

1

1

1

xx

z

yy

z

zz

z

udx dxu

v vdtdt dz u

c c

uu

vu

c

dz v dt u vdzu

vvdt udt dzcc

00 2

00 2

0

02

1

1

1

xx

z

yy

z

zz

z

uu

vu

c

uu

vu

c

u vu

vu

c

Prof. A. Stancu 2012

00 2

1 z

vu

c

2

2

2

2

1

1 si

1

1

c

u

c

u

12 2 2 2

2

1

2

2220

2 2 22 2 2 2 20 0 00 02 2 2

12 2 22 2 2

0 0 02 2 2 2

02

1

1

1 1 1

1 1 1

1

x y z

y zx

z z z

x y zz

z

u u u

c

u u vu

v v vc u c u c u

c c c

u u uv v vu

c c c c

vu

c

112 2 22 22

0 002 2 2

1 1 1x y zz

u u uv vu

c c c

Page 109: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 109

Prof. A. Stancu 2012

0

0

00

0

2

2

0 01

1

x x

z x x

xz xx

xx

dpF

dt

vu F

d mu d m u

dt dt

vd dm u u m u

dt c dt

d m ud

c

dtm u

dt dt dt

xzx uuc

vu

20

0 1 00 2

1 z

vdtu

dt c

Prof. A. Stancu 2012

00 0 0 2

0 0 0 0 0 0

0 002

0

2

002

0

0 1

1

1

1

1

1

1

1

zz z z z

z z

z

z

z

z

z

z

vd dm u m u u

dt dt c

d dm u v m u v

dtdt dtdt

dm u v

v dtuc

d m u dm v

v dt d

dpF

dt

Fv

uc

tu

c

0 0

dm v

dt

Page 110: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 110

Prof. A. Stancu 2012

Pentru simplificarea relaţiei utilizăm teoremaenergiei:

'uFtd

Ed

2

02 cmcmE

uFtd

dcm

2

00 0

20 02

0 02 2

0 02 2

0 00 02 2

1

1

1 1

z z

z

yxx y z

z z

x x y y z

m vF F F u

v m cuc

uv u vF F F

v vc cu uc c

v vF u F u F

c c

Prof. A. Stancu 2012

00 2

00 2

0 00 02 2

1

1

x z x

y z y

z x x y y z

vF u F

c

vF u F

c

v vF F u F u F

c c

dqFy

0

00 2

dqu

c

vFu

c

vF zyzy

0

002

002

00 2

11

Page 111: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 111

Prof. A. Stancu 2012

dq

c

vFy

0

002

20

21

202

1y

vF F

c

2

20

0

00

00

122

c

vd

qd

qF

202m e

vF F

c

Prof. A. Stancu 2012

00 2

00 2

0 00 02 2

1

1

x z x

y z y

z x x y y z

vF u F

c

vF u F

c

v vF F u F u F

c c

21

uF

kFjFiF zyx

001

jFc

viF

c

vxy

2

002

002

Page 112: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 112

Prof. A. Stancu 2012

Eq

01 2 0q B

BuqEqF

00

Forţa Lorentz

Prof. A. Stancu 2012

00 qndlSdqtotal

BudlSFd m

0

udl

ld

S

Ij

0

BldIFd m

Forţa Laplace

Page 113: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 113

Prof. A. Stancu 2012

Legea de transformare a câmpurilor

BuqEqFBuqEqF

0000 ;

20

0

00

;

;

c

EvBBBB

BvEEEE

IIII

IIII

Prof. A. Stancu 2012

Câmpul electric al sarcinilor în mişcare

304 R

RQE

kzjyixR

jyixur r

P

Page 114: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 114

Prof. A. Stancu 2012

232204 zr

zQEE z

II

232204 zr

rQEE r

232204 zr

zQEE

IIII

23220

00 4 zr

rQEE

Prof. A. Stancu 2012

tvzz

rr

00

2020

2222 tvzrzrR

ktvzurR r

00

00000 cos si sin RtvzRr

Page 115: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 115

Prof. A. Stancu 2012

0

22

202

0200

220

200

220

2 sin1cossinc

vRRRR

30

023

02

2

20

2

20

0

03

00

0sin1

1

44 R

R

c

v

c

vQ

R

RQuEkEE r

II

232204 zr

zQEE

IIII 23220

00 4 zr

rQEE

tvzz

rr

00

Prof. A. Stancu 2012

00 0 0 02 2 2

202

00 032 2 3

20 0220

02

0

1 1

11

41 sin

B B

v EB B v E v E

c c c

vRQ cv E v B

c c Rv

c

II II

30

002

04

1

R

RvQ

cB

00

2 1

c

Page 116: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 116

Prof. A. Stancu 2012

30

00

0

4 R

RvQB

30

00

4 R

RlIdBd

Legea Biot-Savart

Prof. A. Stancu 2012

Problemă

Demonstraţi că interacţiunea dintre două elemente de curentnu satisface principiul acţiunii şi reacţiunii. Cum interpretaţiacest fapt?

30

00

4 R

RlIdBd

BldIFd m

Page 117: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 117

Calculul câmpului magnetic creat de curenţi electrici

Circulaţia vectorului inducţie magnetică

Prof. A. Stancu 2012

PP ldBdC

Page 118: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 118

Prof. A. Stancu 2012

PQQP

QPp

QP

QPQ ldld

R

RIld

R

RlId

3

03

0

44

dl dl d SQ P

2

202

30

320

444dISd

R

RI

R

RSdIdC

PQ

PQ

QP

QP

2dd

Prof. A. Stancu 2012

ddtotal 0

d d

Page 119: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 119

Prof. A. Stancu 2012

dCI

d0

4

0 0

4 4P P P P P P P

I IB dl d grad dl grad V dl

VI

p 0

4

P P PB grad V

Prof. A. Stancu 2012

4

Page 120: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 120

Prof. A. Stancu 2012

Teorema Ampère

0 0B dl I j S rotB dS

0rotB j

0B dl I

Prof. A. Stancu 2012

Potenţialul vector magnetic

V

QQP

QPQP dv

R

RjB

30

4

Page 121: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 121

Prof. A. Stancu 2012

V

QQP

QPQP dv

R

RjB

30

4

QPQ

QPP

QP

QP

Rgrad

Rgrad

R

R 113

P Q

1

1( rot j 0)

P QQP Q P

QP QP QP

Q PQP

rot jjrot j grad

R R R

j grad am folositR

Prof. A. Stancu 2012

V

QQP

Qpp dv

R

jrotB

40

Q

V QP

QP dv

R

jA

40

P P PB rot A

Page 122: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 122

Metode de calcul pentru inducţia magnetică

1. Aplicând direct legea Biot-Savart pentru elementul de curent şi integrând de-a lungul curentului care generează câmpul magnetic

2. Calculând potenţialul scalar şi apoi utilizând relaţia între inducţia magnetică şi potenţialul scalar

3. Calculând potenţialul vector şi apoi utilizând relaţia între inducţia magnetică şi potenţialul vector

4. Aplicând teorema lui Ampère (pentru sistemele cu simetrie ridicată)

Prof. A. Stancu 2012

0

00 0

0

22

B dl I

IB r I B

r

Prof. A. Stancu 2012

Page 123: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 123

dz

Q

P(zP,rP)

/ 20

3/ 2

/ 20

3/ 22 2/ 2

/ 20

3/ 22 2/ 2

/ 2

03/ 22 2 2

/ 2

4

4

4

1

4

L

L

LP P r

LP P

LP

LP P

L

PP

PP P

L

RB I dL

R

z z k r uI dzk

z z r

r dzuI

z z r

z zIr

r z z r

3/2 2 2 22 2

dC

a aa

Prof. A. Stancu 2012

Prof. A. Stancu 2012

Interacţiunea dintre curenţi liniari paraleli

Definiţia Amperului

012 1 2 1 2

71 2 0

20

7

2

, 4 10

, 1 , 1 , 12

2 10

F B I L I I Ld

HI I I

m

F I L I A L m d md

F N

Page 124: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 124

P(0,0,zp)

2 2

0

2 1 cos 2 1 p

p

z

r z

0 0

2 20

14 2

p

p

zI IV

r z

Prof. A. Stancu 2012

0

2 20

1/ 22 200

1/ 2 3/ 22 2 2 200 0

3

3/ 22 2 2 2 30 0 00 0 02 2

0 0

12

2

12

2 2

sin2 2

pz

p p p

p pp

p p p p

p p p p

p

zIdV dB

dz dz r z

I dz r z

dz

Ir z z r z z

I I rr z r z z z B

r r z

Prof. A. Stancu 2012

Page 125: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 125

P(0,0,zp)

0 0 03 34 4 4 m

m

I I R RV S p

R R

p IS

Prof. A. Stancu 2012

0

5 3

3

4

m mp R R p

B gradV rotAR R

Demonstraţi !!!

Prof. A. Stancu 2012

Page 126: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 126

03

0 03 3

0

3 3

,4

0 04 4

4

0

m m m

mm

m

RA p p p k

R

i j kp

A p yi xjR R

x y z

i j k

pB rotA

x y z

y x

R R

Prof. A. Stancu 2012

3/ 22 2 20 03

5/ 22 2 20 05

05

03 3

03 5 3

4 4

332

4 2 4

3

4

4

1 3 2 1 3

4 2 2

m mx

x

m m

my

z m

m

p p xxB rotA x y z

z R z

p x p xzx y z z

R

p yzB

R

x yB p

x R y R

xp x y

R R R

5

2 2

03 5

05 3

2 2

2

32

4

3

4

m

m m

y

R

x yp

R R

p R R pB

z z

R R

Prof. A. Stancu 2012

Page 127: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 127

Formule generale

Prof. A. Stancu 2012

pe 3

0 p

R1V p

4 R

e p p e5 3

0 p p

3 p R R1 pE grad V

4 R R

În plan

Prof. A. Stancu 2012

p ee 3 2

0 p 0 p

R1 p cosV p

4 R 4 R

eR 3

p 0 p

e3

p 0 p

V 2p cosE

R 4 R

V p sinE

R 4 R

z

r

R

E

ER E

Page 128: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 128

Ecuaţia liniei de câmp

Prof. A. Stancu 2012

0

0

0

R R

R

R R R

R

R

E E u E u

dl dR u Rd u

E dl

E u E u dR u Rd u

E Rd u E dR u

Rd dRE E

z

r

R

E

ER E

Ecuaţia liniei de câmp

Prof. A. Stancu 2012

eR 3

p 0 p

e3

p 0 p

V 2p cosE

R 4 R

V p sinE

R 4 R

R

Rd dRE E

2

sin 2cos2cos

sin2 sin

sin

ln sin ln

Rd dR

d dRR

d dRR

d d R

2sinR k

Page 129: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 129

Linii de câmp

Prof. A. Stancu 2012

2sinR k

Calcul prin integrare directă

Prof. A. Stancu 2012

R

dL

dB z

y

x

00 3

0 02

0 02

0 02

0 02

4

4

cos4

sin cos4

sin sin4

z

x

y

I RdB r d u

RI r d

dBR

I r ddB

RI r d

dBR

I r ddB

R

Page 130: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 130

2 22 2 3

30 0 0 0 0 003/ 2 3/ 2 3/ 22 2 2 2 2 2

00 00 0 0

20 0

20

20 0

20

sin4 4 2

sin cos 04

sin sin 04

z

x

y

I r d I r I rB d B

rr z r z r z

I r dB

R

I r dB

R

Prof. A. Stancu 2012

Sistemul de bobine Helmholtz

Prof. A. Stancu 2012

2/3

220

20

2/3

220

20

0

33021

2/2/

sinsin

dzr

r

dzr

rB

BBBB PPzzz

00

z

z

dzdB

00

2

2

z

z

dz

Bd

...!3!2

03

03

32

02

2

0

z

dz

Bdz

dz

Bdz

dzdB

BzBz

z

z

z

z

zzz

d=r0

Page 131: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 131

Câmpul uniform

Prof. A. Stancu 2012

Câmpul solenoidului

Prof. A. Stancu 2012

B este uniform în interiorul solenoidului şi este zero în exteriorul acestuia.

Page 132: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 132

3

30 0 0z 220 0

0 p

dI nIdz rdB sin

2r 2r r z z

P(zp)

Q(z)dz O(0)

B(d/2) A(-d/2)

d/2d/2

2p0 0 0

z 3/2 22 22p 0p 0d/2 d/2

p p0

2 22 2

p 0 p 0

z znIr dz nIB

2 2 z z rz z r

d dz z

nI 2 22 d d

z r z r2 2

3/2 2 2 22 2

dC

a aa

Prof. A. Stancu 2012

Coordonate cilindrice

1

1

z

r

zr

r

z

rAArot A

r z

AArot A

z r

rA Arot A

r r

Prof. A. Stancu 2012

Page 133: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 133

Cazul Ar= Az=0

1

0

1 1

zrr

zr

rzz

rA AArot A B

r z z

AArot A B

z r

rA rAArot A B

r r r r

Prof. A. Stancu 2012

Solenoidul infinit

Prof. A. Stancu 2012

d z 0 0 sB nI i

Pe axa bobinei !

Ci

Datorită simetriei

•Inducţia nu are componentă după

0 s 0z

0

i pentrur rB

0 pentrur r

Page 134: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 134

B dS rotA dS A dL

Prof. A. Stancu 2012

Curent superficial plan

Prof. A. Stancu 2012

L

s

Ii

L

Simetrie !

Page 135: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 135

dB

Prof. A. Stancu 2012

0

2 2

0 02 22 2 2 2

2 2

2 20 0 02 2 2 2

0 022 2 2 2

cos

sin

2

2 2

ln 02 4 4

sin2 2

z

y

s

P

s sz

PP P

L LLPs s s

z PL

P PL L

s s PPy

P P

dB dB

dB dB

i dydB

y z

i dy i ydyydB

y zy z y z

d y zi i iydyB y z

y z y z

i dy i z dyzdB dB

yy z y z

2

0 0 02 2

0

0

1 2

2 2 2

,2

P

LLs P s P s P

yP P P P PL L

sy

P

sy

z

i z i z i zdy y LB arctg arctg

y z z z z z

i LB arctg

z

icand L B

Prof. A. Stancu 2012

Page 136: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 136

Discontinuitatea componentei tangenţiale

Prof. A. Stancu 2012

z

O

0 sparalel

0 s

i 2 pentruz 0B

i 2 pentruz 0

Sarcini magnetice fictive

Prof. A. Stancu 2012

L

-qm

+qm

I

S

B -qm

+qm

L

Page 137: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 137

Fenomene electrice şi magnetice variabile în timp

Fenomenul de inducţieelectromagnetică

Fenomenul de inducţie electromagnetică

• Curenţii produc câmp magnetic. Acesta acţionează asupra momentelor magnetice (magneţi permanenţi, alţi curenţi)

• Motoare electrice pe această idee ?

• Faraday observă că un câmp magnetic, oricât de intens nu produce curenţi electrici. Efectele apar numai când apar modificări.

Prof. A. Stancu 2012

Page 138: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 138

Fenomenul de inducţie electromagnetică

Prof. A. Stancu 2012

Experienţele lui Faraday (1839)

De ce un curent electric nu creează un un alt curent electric în conductorii din preajmă?

Prof. A. Stancu 2012

Page 139: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 139

Definiţie

Fenomenul de apariţie a unei t.e.m. Într-un circuit străbătut de un flux magnetic variabil

cosB S SH

t.e.m. de inducţie se poate obţine prin modificarea oricăruia dintre cei patru termeni.

Prof. A. Stancu 2012

Cazuri particulare

• Circuit mobil – inducţie magnetică statică

• Circuit fix – inducţie magnetică variabilă

Prof. A. Stancu 2012

Page 140: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 140

Prof. A. Stancu 2012

Motor ‐ generator

Prof. A. Stancu 2012

Page 141: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 141

Aplicaţii practice

Prof. A. Stancu 2012

Prof. A. Stancu 2012

Page 142: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 142

Prof. A. Stancu 2012

Microfon ‐ difuzor

Prof. A. Stancu 2012

Page 143: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 143

Inducţie ‐ autoinducţie

Prof. A. Stancu 2012

Forţe care acţionează asupra curenţilor induşi

Prof. A. Stancu 2012

Page 144: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 144

Curenţi turbionari (induşi) în conductori masivi

Prof. A. Stancu 2012

Curenţi turbionari (Foucault)

Prof. A. Stancu 2012

Page 145: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 145

Aspecte cantitative – legea inducţiei electromagnetice

B

v

F

0

L

e vBdx BLv

L

Prof. A. Stancu 2012

Legea inducţiei electromagnetice

0

L

de

dt

d Be B dS dS E dl rotE dS

d

dy de

t t

Bro

vBdx BLv B

t

L

E

dt d

t

t

Prof. A. Stancu 2012

Page 146: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 146

Câmpul electric

0

0

BrotE

t

divB B rotA

Arot E

t

A AE gradV E gradV

t t

Prof. A. Stancu 2012

Regula fluxului se aplică şi când variază câmpul şi când se mişcă circuitul.

FE v B

q

Ce câmp se aplică asupra sarcinilor pentru a le pune în mişcare ca urmare a fenomenului de inducţie electromagnetică?

Circuit care se mişcă

Când circuitul este fix

Prof. A. Stancu 2012

Page 147: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 147

Inducţia mutuală

1 10

1 2 12 2 0

1 22 21 1 12;

N IB

LdB N N S dI

N Sdt L dt

dI dI

dt dt

Prof. A. Stancu 2012

Autoinducţia

1 21 11 12

1 22 21 22

11 1 22 2; ;

dI dIM M

dt dtdI dI

M Mdt dt

M L M L

Prof. A. Stancu 2012

Page 148: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 148

Energia câmpului magnetic

B

t

indusB

Prof. A. Stancu 2012

2

2 2

1

2 2

1

2

indus

ddL e Idt Idt Id

dtLI

LI IdW Id dW LIdI W

B dS rotA dS A dL

IW A dL A jdv

rotH j

W A rotHdv

div a b b rota a rotb

div A H H rotA ArotH

Prof. A. Stancu 2012

Page 149: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 149

1

2

1

21

2

1

2

W A rotHdv

div A H H rotA ArotH

W div AH rotAdv

W H

v

Bdv

H d

1

2w H B

Densitatea de energie a câmpului magnetic

Prof. A. Stancu 2012

Cuplul forţelor

1. .

2. .

I

d

const

I const

W

d

dW

d

Prof. A. Stancu 2012

Page 150: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 150

Aparate electrodinamice

I1 I2

2

2 211 1 22 2 12 1 2

1

2 1 2

12

2

1 12

2 2ik i ki

W L I I L I L I L I I

dLI C

d

CI

dLd

Prof. A. Stancu 2012

Wattmetrul

A B

I i

Z R

12

12

121

dLIi

dU

iR

d C RP

dLL

P CR d

d

Prof. A. Stancu 2012

Page 151: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 151

Circuite electrice în regim tranzitoriu şi alternativ

Generatorul de curent alternativ

Page 152: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 152

T.e.m. alternativă

Variaţia fluxului

Page 153: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 153

T.e.m. indusă

0 0cos sind d

e NBS t NBS tdt dt

Circuit RLC in curent alternativ

u(t)

R L C

A B D E

Page 154: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 154

Ecuaţia pentru circuitul RLC serie

Forma finală a ecuaţiei

Page 155: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 155

Soluţia

Problema cu condiţii iniţiale

Page 156: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 156

Soluţia ecuaţiei omogene

Soluţia ecuaţiei neomogene (1)

Page 157: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 157

Soluţia ecuaţiei neomogene (2)

Soluţia ecuaţiei neomogene (3)

Page 158: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 158

Soluţia ecuaţiei neomogene (4)

Soluţia ecuaţiei neomogene (5)

Page 159: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 159

Soluţia generală

Soluţia staţionară

Page 160: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 160

Regimul permanent

Impedanţa

Page 161: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 161

Impedanţa, rezonanţa

Factor de calitate

Page 162: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 162

Metoda numerelor complexe

Importanţa soluţiei armonice

Page 163: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 163

Metoda numerelor complexe

Impedanţa complexă

Page 164: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 164

Reactanţele complexe

Probleme

Page 165: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 165

Puterea în circuite AC

RI

LI I/C

ZI=U I

0

0

0

0

0 0

22

0

sin

sin

sin / 2

/ sin / 2

/

1/

sin

1/tan

R

L

C

i I t

u I R t

u I L t

u I C t

I U Z

Z R L C

u I Z t

L C

R

Puterea instantanee

0

0

0

0

0 0

0

2 20

sin

sin

sin / 2

/ sin / 2

/

sin

sin

R

L

C

R R

i I t

u I R t

u I L t

u I C t

I U Z

u I Z t

p u i RI t

p ui

Page 166: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 166

Regim lent variabil

• Circuite în curent alternativ

– Metoda analitică

– Metoda fazorială

– Metoda numerelor complexe

Metoda analiticău(t)

R L C

A B D E

idtC1=

Cq=u=u

dtdiL-e=u=u

Ri=u=u

DEC

BD L

ABR

tU=Cq+

dtdiL+Ri m sin

tL

U=q+q2+q m2oo sin

LC1=

LR=2

2o

o

Page 167: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 167

Metoda analitică

m

m

mR

m mL L

m mC C

Uq(t)= cos t

ZU

i(t)=q(t)= sin tZ

RUu (t)=Ri(t)= sin t

ZL U U

u (t)=Lq(t)= cos t =X sin t +Z Z 2

q(t) U Uu (t)= = cos t =X sin t

C C Z Z 2

1L

Ctg =R

22

m

m

C1-L+R=

IU

=Z

Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale

R=10 R=40

Page 168: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 168

Metoda fazorială

RI

LI I/C

ZI=U I

0

0

0

0

0 0

22

0

sin

sin

sin / 2

/ sin / 2

/

1/

sin

1/tan

R

L

C

i I t

u I R t

u I L t

u I C t

I U Z

Z R L C

u I Z t

L C

R

Metoda numerelor complexe

exp

exp

1

m

m

u t u U j t

i i I j t

dij i

dt

q idt ij

mm UCj

LjRI

1

IU

IU

Zm

m

22 1*

CLRZZZ c

1 1

R

L L

C C

Z R

Z X j L

Z X jj C C

Page 169: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 169

Aplicaţii

• Circuitul RLC paralel

• Puterea în circuite de curent alternativ

• Rezonanţa RLC serie

Regimul tranzitoriu

• RL 

• RC

• RLC ...

Page 170: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 170

RL

u(t)

R L

A B 0

0

0

0

( 0) 0

( ) exp

0, 0

( ) 1 exp

diRi L U

dti t

U Rti t k

R L

Ut i k

R

U Rti t

R L

RL

0

( 0)

( ) exp

0,

( ) exp

diRi L

dti t I

Rti t k

L

t i I k I

Rti t I

L

u(t)

R L

A B

Page 171: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 171

RC

u(t)

R C

A B D E

0

0

0

0

0

;

( 0) 0

( ) exp

0, 0

( ) 1 exp

( ) exp

q dqRi U i

C dtq t

tq t CU k

RC

t q k CU

tq t CU

RC

U ti t

R RC

Curentul de deplasare (1)

Page 172: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 172

Curentul de deplasare

d d

D

Q D DI S S j

t t t t

+

00

n n nE D E

Ecuaţiile lui Maxwell

0

DrotH j

t

BrotE

t

divB

divD

Page 173: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 173

Soluţia sistemului ec. Maxwell

... , , , , , 16necunoscute E D H B j necunoscute

D E

B H

j E

0

DrotH j

t

BrotE

t

divB

divD

Relaţii constitutive(de material)

Alte ecuaţii ...

0

0

1

0

1

2

0

2

Ddiv rotH div j divj divD divD

t t t

Bdiv rotE div

w

divBt t

divB

div

B

D

E D H

Densitatea de energie a câmpuluielectromagnetic

Page 174: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 174

Energia câmpului electromagnetic

1

2

P j Edv

D DrotH j P rotH Edv

t t

Bdiv E H H rotE E rotH H E rotH

t

P D E H B dv E H dtW W

P S d P S dt t

Vectorul Poynting S

1

2P D E H B dv E H d

tW W

P S d P S dt t

S E H

Page 175: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 175

Ec. Maxwell

... , , , , , 16

3 .

3 .

3 .

necunoscute E D H B j necunoscute

D E ec

B H ec

j E ec

3 .

3 .

0

DrotH j

t

BrotE

t

ec

ec

divB

divD

WP S d

t

div jt

1 1

2 2w E D B H

Ecuaţiile lui Maxwell

Ecuaţiile Maxwell –condiţiile de trecere (la limită)

2 1

2 1

2 1

2 1

0

0

t t

n n

t t s

n n

E E

D D

H H i

B B

Page 176: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 176

Problemă

20

2

0 0 20

;4

4

1

4

0

d

d

Q tE

R

QSj R R j R

tD E Q

j jt t R t

rot B j j

Transmisia energiei

2

2 2 22

2

2 22

r z

z

r

S E H

jE

j rH

r

j j r j jP S rL rL r L V

r

Ez

H

Sr

jz

Page 177: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 177

Ecuaţia undelor

0

DrotH j

t

BrotE

t

divB

divD

0 0 0

0 0 0

0

ErotB j

t

Erot rotA j

t

B rotA ArotE rotE rot E

t t t

AE gradV

AE gradV

tt

D E

B H

j E

Condiţia de etalonare

0 0 0

0 0 0

2

0 2

0 0

0 0 0 0

0

Erot rotA j

t

Agrad div A A j gradV

t t

V

A VA j grad div A

t

A

div A Lorentz

E gr V

t

at

t

d

Page 178: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 178

Ecuaţia undelor pentru V şi A

2

0 0 02

AA j

t

0

0

0 00

2

0 0 20

0

divE

Adiv gradV

t

divA VV divA

t

AE gradV

t

t

VV

t

Ec. Undelor pentru E,H

0 0

0 0

0

0

0

D ErotH j rotB

t t

B BrotE rotE

t t

divB divB

divD divE

j

Page 179: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 179

Calcul (1)

0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

0

0

ErotB

t rotE rotErot rotB grad divB B

B t trotEt rotB rotB

rot rotE grad divE EdivB t t

divE

BB

t t

EE

t t

2

0 0 2

2

0 0 2

0

0

BB

t

EE

t

Soluţia ecuaţiei undelor (2D)

2

2 2

2

2

2

2 2

10

' ''

1 1' ''

ff

v tx

f tv

x xf t f f t f

t v t v

x xf t f f t f

x v v x v v

Page 180: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 180

Soluţia armonică (3D)

2

0 0 2

2

0 0 2

0

0

0

0

, exp

, exp

...xx x x x

EE

t

BB

t

E E R t E j t k R

B B R t E j t k R

Ej E

tE

jk E E jkEx

Soluţia armonică 3D

2

0 0 0 00 0

00 0 00 0

jt

jk k

E ErotB B jk B j Et t

B B jk E j BrotE E

t t jk BdivB B jk EdivE E

Page 181: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 181

Continuare ...

0 0 0

0

0

jk B j E B E B

jk E j B

jk B

jk E

E

B

k

Puterea emisă

O

x

y

z

ij

k

uR

u

u

r

R

E

B

SR

Page 182: CURS Electricitate Si Magnetism

prof.dr. Alexandru STANCU 182

Puterea medie radiată

• Radiaţia curenţilor alternativi de joasă frecvenţă este mică.

• Lumina solară care străbate atmosfera este difuzată de moleculele de aer care pot fi asimilate cu nişte oscilatori elementari. Sub acţiunea undelor, oscilatorii efectuează oscilaţii forţate (departe de rezonanţă, deci cu amplitudinea independentă de frecvenţa undei incidente). Intensitatea radiaţiei luminii difuzate este proporţională cu frecvenţa (la puterea a patra). Deci, puterea radiată prin unda cu frecvenţa mai mare (culoarea albastră) este mult mai mare decât cea corespunzătoare luminii roşii. Cerul are culoarea albastră din acest motiv.

• Domeniul de frecvenţă a undelor electromagnetice.

2 40

3012

pP

v