Upload
ioana-viziteu
View
1.073
Download
12
Embed Size (px)
Citation preview
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE 1
IOAN P. VIZITEU
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
Unica vecie dată e dragostea
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
2
IOAN P. VIZITEU
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
EDITURA PIM
IAŞI 2010
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
3
Copyright © 2010 Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate autorului Referenţi ştiinţifici: Prof.univ.dr.ing.DUMITRU IVAS
Tehnoredactare: Georgeta Viziteu Director Editorial
Editura PIM Iaşi, 2010 ISBN
Descrierea CIP a Camerei Naţionale a Cărţii Viziteu, Ioan
Fiabilitatea instalaţiilor energetice ISBN 30ex
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
4
REFERAT
Asupra cărţii cu titlul,
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
Autor: IOAN P. VIZITEU
Cartea este rezultatul activităţii didactice, ştiinţifice şi în exploatarea SEN a autorului pe o perioadă îndelungată (28 ani), activităţi care l-au format şi consacrat ca specialist de marcă, lucru dovedit şi de numeroasele sale participări la manifestări ştiinţifice de prestigiu din lume şi din ţară, de premiile obţinute, de apartenenţa la societăţi si comitete ştiinţifice.
Autorul a obtinut titlul de dr.ing in Fiabilitate cu o teza valoroasa care a abordat pentru
prima data la noi problema fiabilitatii sistemelor de protectie si securitate. Meritul major al lucrării “Fiabilitatea instalaţiilor energetice” , autor prof.univ.dr.ing.
Ioan P. Viziteu, constă în tratarea riguroasă a unei teme pe cât de importantă pe atât de puţin regăsită în literatura de specialitate.
Cartea este structurată în trei părţi : 1. Elemente de bază în teoria fiabilităţii 2. Fiabilitatea sistemelor de protecţii şi automatizare ale instalaţiilor electroenergetice 3. Elemente de optim şi tehnici moderne utilizate in fiabilitatea instalaţiilor electroenergetice
Autorul abordează problema fiabilităţii sub aspectele: previzional, experimental şi operaţional. Prof. dr. ing. Ioan P. Viziteu foloseşte în lucrare instrumente matematice sofisticate, de mare acurateţe şi de pe poziţia unui foarte bun cunoscător al fenomenelor din instalaţiile energetice. Lucrarea, are un pronunţat caracter aplicativ, oferind instrumente de analiză atât pentru cei care concep cât şi pentru cei care exploatează instalaţiile de protecţie şi automatizare. Autorul pune la dispoziţia cititorilor o serie de algoritmi care determină fiabilitatea şi securitatea instalaţiilor de protecţie şi autometizare.
Lucrarea reprezintă pentru orice lucrător în domeniul protecţiei şi automatizării instalaţiilor electroenergetice, o invitaţie la o abordare, pe un nivel superior, rafinat, a activităţii sale, cu efecte benefice dintre cele mai concrete, asupra siguranţei Sistemului Energetic Naţional.
Cartea este recomandată atât studenţilor, cercetătorilor, doctoranzilor şi
universitarilor cât şi inginerilor din exploatare, întreţinere, montaj, proiectare din domeniul electric.
Felicit autorul şi editura pentru demersul lor deosebit de util. Prof.dr.ing. Dumitru Ivas
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
5
CUPRINS
PARTEA I-a ELEMENTE DE BAZA IN TEORIA FIABILITATII .........................................11
I.1. Introducere ………………………………………………………..……….….…..12
I.2. Modele matematice folosite în fiabilitate…………….....…….….….……15
I.2.1. Modelarea comportării elementelor şi sistemelor……...…..…...………….15
I.3. Variabile aleatoare….....………………………….…………….…….…….…..25 I.3.1. Operaţii cu variabile aleatoare………..…………….….………...........….……26 I.3.2. Funcţii de repartiţie …………………….…………...….……………….………27
I.3.3. Densitatea de repartiţie…...……………………….…………………..………29
I.3.4. Valori medii ; momente…………......………………………………..…….…29
I.3.4.1. Cazul variabilelor aleatoare discrete…......…………………….…..……….29
I.3.4.2. Cazul variabilelor aleatoare continue……...……………………...………..32
I.3.5. Funcţia caracteristică………….......……………….……………….…..……..33
I.3.6. Funcţia generatoare………………......……………………...…………..…….37
I.4. Legi clasice de probabilitate………………….......…..……..……...…….40
I.4.1. Legi clasice de repartiţie de tip discret…………..…….…….......…….…41
I.4.1.1. Repartiţia binomială sau repartiţia lui Bernoulli (schema urnei
lui Bernoulli).................................................................…....………........….41
I.4.1.2. Repartiţia Poisson …………………………………….………….......….…...43
I.4.1.3. Repartiţia multinominală……………………………......…………..………...44
I.4.1.4. Repartiţia binomială cu exponent negativ…….……….……………….…..46
I.4.1.5. Repartiţia hipergeometrică………….……………….…..…….....….……….46
I.4.2. Legi clasice de repartiţie de tip continuu………….…….…….....……..46
I.4.2.1. Repartiţia normală………….………………………………….....…………...46
I.4.2.2. Repartiţia normală redusă……………….………..……………......…….….48
I.4.2.3. Repartiţia lognormală………………..……………….....……...……………..48
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
6
I.4.2.4. Repartiţia exponenţială……………………..…………....……….…..……….49
I.4.2.5. Repartiţia χ2 (hi pătrat)…….………………………......….....…….….……...49
I.4.2.6. Repartiţia Weibull………..………….......………………....……………….…50
I.5. Fiabilitatea elementului simplu……………………..………..……....…….51
I.5.1 Fiabilitatea elementului simplu nereparabil……………….....….….……..51
I.5.2 Calculul fiabilităţii elementului simplu reparabil………..……...………..55
I.6. Fiabilitatea sistemelor cu structură serie – paralel…….….…….…..…..58 I.6.1 Fiabilitatea sistemelor cu structura serie………….........…...….…..……..58
I.6.2. Fiabilitatea sistemelor cu structura paralel…….......……………...………..59
I.6.3 Fiabilitatea sistemelor cu structură mixtă………….........…..…....………60
I.6.4 Structura redondantă globală…………………………………...…….……64
I.6.5 Structuri necompozabile - Structura triunghi - stea
şi stea – triunghi…………………....…........................................….………65
I.6.6 Reprezentarea parametrică bidimensională…………………..…..………..67
I.7. Construcţia şi simplificarea funcţiilor de structură şi a reţelelor de fiabilitate …………………………..……………………70
I.7.1. Legături şi tăieturi ……………….……………..……….….……….………..70
I.7.2. Simplificarea funcţiilor de structură şi a reţelelor
de fiabilitate...........................................................................................….72
I.7.2.1. Funcţia ϕ este monotonă…………......………..…………………………...72
I.7.2.2. Funcţia ϕ este nemonotonă…….....……….…….….……………………...73
I.8. Metode de calcul a fiabilităţii…....…………………...…………………..75 I.8.1. Metoda binomială………....…...………………………………………………75
I.8.2 Metoda Monte Carlo....……………...………………………………………...79
I.8.3 Metode bazate pe procese Marcov cu parametru continuu ..............82
I.8.3.1. Procese Marcov...………………...………………………………………..….82
I.8.3.2. Intensitatea de tranziţie…...……….………………………………….……….84
I.8.3.3 Ecuaţia diferenţială a parametrilor de stare.....…………..……………..85
I.8.3.4. Metode bazate pe procese Marcov de tip continuu....…..………….…85
I.8.3.5. Metode Markov de tip continuu pentru un sistem serie.....……………..88
I.8.3.6 Repartiţii teoretice şi repartiţii empirice….....…………….………………91
I.8.4 Metoda celor mai mici pătrate simple....…………………………….……92
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
7
I.9. Metodele statistice de determinare a fiabilităţii....…....………………97
I.9.1. Etapele estimării....………………….......……………………………………..97
I.9.2 . Construirea funcţiilor empirice de fiabilitate
)()(),()(^^^^
,, tfttQtR λ …………....…...……………………………………………….98
I.9.3. Planuri de experimentare pentru estimarea
indicatorilor de fiabilitate …………………………….………………….……99
I.10. Estimaţia parametrilor legilor de probabilitate..…........………..….100 I.10.1. Repartiţia complet specificată……………………………………....……..100 I.10.2. Funcţia de estimaţie (estimatorul)…………………….………......………..101
I.10.3. Estimatorul absolut corect……………………………………........………102
I.10.4. Estimaţie eficientă………..………………………………..….....…………..103
I.10.5. Determinarea parametrilor funcţiei de repartiţie………....………....…..104
I.10.6. Metoda verosimilităţii maxime………………..………....………………...105
I.11. Verificarea ipotezelor statistice…….…………..……………………….106 I.11.1 . Puterea unui test…………………….………….....………….…………….107
I.11.2. . Testul χ2………………………………..…...……………………………..…109
PARTEA a II-a FIABILITATEA SISTEMELOR DE PROTECŢII ŞI AUTOMATIZARE ALE INSTALAŢIILOR ELECTROENERGETICE ...................................................111 II.1. Modelul fiabilităţii previzionale...........................................................112
II.1.1 Modelele de fiabilitate ale releelor şi sistemelor de protecţie .................112
II.1.2. Definiţii şi concepte ................................................................................112
II.1.3. Locul şi rolul protecţiilor...........................................................................114
II.1.4. Variante de echipare primară a unui element primar cu
întrerupătoare respectiv protecţii............................................................ 114
II.1.5. Defecţiuni ale protecţiilor şi efectele lor ................................................. 116
II.1.6. Modelul de fiabilitate al unui releu simplu .............................................. 118
II.1.7. Modele de fiabilitate a sistemelor de protecţie montate pe
intrerupătoare ..................................................................................... 122
II.1.8. Model de calcul a fiabilităţii unui element primar cu
considerarea echipării acestuia cu protecţii. .........................................123 II.2. Modelul fiabilităţii experimentale ...................................................... 126
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
8
II.2.1. Expresiile matematice ale probabilităţilor ansamblului constituit
de protecţia de distanţă ........................................................................ 126
II.2.2. Modelul timpului de răspuns, ca variabilă aleatoare, pentru
relee de distanţă.................................................................................... 133
II.3. Modelul fiabilităţii operaţionale ......................................................... 146
II.3.1. Funcţiile statistice pentru fiabilitatea operaţională a instalaţiilor
de protecţie şi automatizare ............................................................. 147
II.3.2. Intensitatea operaţională de transmitere a răspunsurilor eronate..... 149 II.3.3. Intensitatea operaţională de transmitere a funcţionărilor
Intempestive. .....................................................................................153
II.3.4. Intensitatea operaţională de refuz .....................................................157
II.3.5. Densitatea operaţională de repartiţie a timpului
de funcţionare corectă până la primul răspuns eronat
al protecţiei sau automatizării............................................................ 161
II.3.6. Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de
funcţionare corectă până la prima funcţionare
intempestivă a instalaţiei .................................................................. 163
II.3.7. Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de
funcţionare corectă până la primul refuz al instalaţiei ....................... 165
II.3.8. Fiabilitatea operaţională sau probabilitatea de
funcţionare corectă neîntreruptă în intervalul [0, ti]
sau probabilitatea de a nu transmite răspunsuri eronate
în intervalul [0, ti] ............................................................................... 168
II.3.9. Riscul operaţional de funcţionare intempestivă în
intervalul [0, ti] sau probabilitatea de funcţionare intempestivă
în intervalul [0, ti] ............................................................................... 171
II.3.10. Riscul operaţional de refuz, în intervalul [0, ti]
sau probabilitatea de refuz în intervalul [0, ti] ................................... 174
II.3.11. Riscul operaţional de răspuns eronat în intervalul [0,ti] sau
probabilitatea de răspuns eronat în intervalul [0, ti] ...........................177
II.4. Modelul matematic al securităţii sistemelor de relee de protecţie si automatizare ............................................................... 180
II.4.1. Modelul dual de defect ..................................................................... 180
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
9
II.4.2. Riscul şi securitatea din perspectiva modului de
defectare al sistemelor de relee ............................................................ 181
II.4.3. Securitatea sistemelor cu n relee serie (ŞI) ......................................... 185
II.4.4. Securitatea sistemelor cu n relee paralel (SAU) .................................. 187
II.5. Aplicaţii care privesc creşterea fiabilităţii sistemelor de protecţii şi automatizare ale instalaţiilor electroenergetice ......................192 II.5.1. Alegerea instalaţiilor de protecţie şi automatizare pe
baza criteriului performanţă fiabilistă – cost .......................................... 192
II.5.2. Optimizarea nivelului de redundanţă a instalaţiilor de protecţie ............ 194
II.5.3. Analiza disponibilităţii şi credibilităţii sistemelor
de protecţie şi automatizare .................................................................. 198
II.5.4. Calitatea actului de conducere a procesului de mentenanţă ................ 203
II.5.5. Studiul calităţii procesului de mentenanţă ............................................ 205
II.5.6. Stabilirea duratelor optime dintre două intervenţii succesive ................ 207
II.5.7. Prognoze privind fiabilitatea şi securitatea sistemelor
de protecţie şi automatizare ................................................................. 209
II.5.8. Concluzii ............................................................................................... 209
PARTEA a III-a ELEMENTE DE OPTIM SI TEHNICI MODERNE UTILIZATE IN FIABILITATEA INSTALATIILOR ELECTROENERGETICE................211
III.1. Căi de corelare optimă a valorilor indicatorilor de fiabilitate pentru componentele instalaţiilor energetice……..…..212
III.1.1. Greutatea………………………………….…………………………………..212
III.1.2. Importanţa...…………………………………………………………………..213
III.1.3. Aportul....……………..……………………………………………………….114 III.2. Model de optimizare a structurii sistemelor folosind criteriile “ importanţă “ şi “ aport ” a elementelor………………….218
III.3. Tehnici moderne utilizate în fiabilitate…………………....…..…..221
III.3.1. Redondanţă analitică.....……………………………………………..……..221
III.3.2. Redondanţa materială...…………………………………………………….223
III.3.3. Principiul redondanţei analitice.....………………………….……………..224
III.3.4. Redondanţa discretă…........………………………………………………..225
III.3.5. Redondanţă statică.....…………………………..……………………….….227
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
10
III.3.6. Redondanţa dinamică.....……………..…………..……..……………….230
III.4. Spaţiul de paritate generalizată......…...…......….……..……………231
III.5. Detecţia şi diagnoza.………….………….........……………..………...233 III.5.1. Etapele procedurii de detecţie – diagnoză…..………....……………...233
III.5.1.1. Toleranţa la defectări….....….....…..……..………….……………………233
III.5.2. Reducerea informaţiei şi detecţia…………………....…………………234
III.5.3. Detecţia….…………………………………..……………………………...234 III.5.4. Identificarea………..………………………………………………………..234
III.5.5. Tehnicile de detecţie...……………………………..……………………..235
III.6 Redondanţa analitică………….....…..……………………………….….235 III.6.1. Etapele cercetării modelelor...………….………………………………..235
III.6.2. Metoda modelului...………………………………………………………...236
III.6.3. Estimarea stării sistemului....………....…………………..……………...240
III.6.3.1. Filtrajul statistic……...……………….……………………………………..240
III.6.3.2. Filtrul kalman sau captatorul perfect…………………......……...….…241
III.7. Tehnici de detecţie a defectelor traductoarelor…………...……..244 III.7.1. Rezidiul în bucla deschisă…………...………………………………….244
III.7.2. Rezidiul din bucla închisă...…………………………….…………….…244
III.7.3. Tehnica estimării....……………….……………..……………………….…245
III.7.4. Metoda ipotezelor multiple...……………………………………….….…247
III.8. Tehnici moderne de mentenanţă predictivă.....................................248
III.8.1. Monitorizarea şi diagnosticarea modernă a
autotransformatoarelor..........................................................................249
III.8.1.1 Monitorizarea........................................................................................249
III.8.1.2. Diagnosticarea prin măsurători de termoviziune...................................250
III.8.2. Diagnosticarea unităţilor de transformare cu ajutorul
analizelor cromatografice.....................................................................250 III.9. Cum influienţează incertitudinea parametrică optimalitatea politicilor de mentenanţă……….....….………………...252
III.9.1. Disponibilitate şi entropie..... ………....………………..……………….....253
III.9.2. Complexitate şi incertitudine .....………....…...…….…………………….254
III.9.3. Mentenanţă preventivă bazată pe vârstă..... …..…….....………………255
III.9.4. Influienţa incertitudinii parametrice.... ..................................................257
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
11
III.9.5. Criteriul de reparare minimal..... ..……………………..………..……..259
III.9.6. Determinarea costului critic optimal............ …………………… ........260
IV Anexa.……………….……………………………………………….……..262
Bibliografie.........................................................................................267
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
12
PARTEA I-a
ELEMENTE DE BAZA IN TEORIA FIABILITATII
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
13
I.1. INTRODUCERE
Produsele şi serviciile unei economii sunt caracterizate de indicatorul de bază numit
calitate.
Acest indicator are mai multe componente. Una dintre acestea este reprezentată de
fiabilitate.
Fiabilitatea ca noţiune este foarte veche, dar ca teorie apare în ultimele trei decenii.
Teoria fiabilităţii este o ştiinţă interdisciplinară . Ea se referă la toate etapele unui
produs; proiectare , fabricare , transport , montare şi exploatare.
• Bazele fiabilităţii unui produs se stabilesc în perioada de proiectare când se
fixează structura şi se dimensionează elementele sale.
• În timpul fabricării fiabilitatea se asigură prin alegerea corectă a procedeelor şi
utilajelor tehnologice , prin respectarea regimurilor şi condiţiilor de fabricaţie,
prin controlul riguros pe faze a calităţii materialelor folosite.
• Pe timpul transportului fiabilitatea se menţine prin utilizarea unor metode
adecvate de ambalare şi conservare.
• În timpul montajului fiabilitatea se menţine prin respectarea tehnologiilor de
montaj şi conservare până în momentul punerii în funcţiune.
• În timpul exploatării fiabilitatea se asigură prin aplicarea instrucţiunilor
tehnologice de întreţinere şi exploatare şi de conservare , asigurând condiţiile
externe corespunzătoare necesare funcţionării normale şi efectuând la timp şi
conform instrucţiunilor de întreţinere lucrările necesare de întreţinere.
Fiabilitatea s-a impus ca ştiinţă în momentul când uzura morală a produselor a
devenit un proces foarte accelerat.
OBIECTUL CURSULUI Cursul de fiabilitate are ca obiect :
• studiul defecţiunilor ( cauze , apariţie , dezvoltare , metode de combatere) • aprecierea cantitativă a comportării produselor în timp în funcţie de factorii
interni şi externi
• determinarea metodelor şi modelelor de calcul şi de prognoză a fiabilităţii
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
14
• analiza fizică a defectelor
• stabilirea metodelor pentru menţinerea şi creşterea fiabilităţii sistemelor ,
dispozitivelor şi elementelor componente
• stabilirea metodelor de selectare şi prelucrare a datelor privind fiabilitatea
produselor
• determinarea valorilor optime ale indicatorilor de fiabilitate pentru elementele
componente şi pentru sisteme
DEFINIŢII
Din punct de vedere calitativ :
Fiabilitatea este capacitatea unui element sau sistem de a funcţiona fără
defecţiuni în decursul unui anumit interval de timp în condiţii date.
Din punct de vedere cantitativ :
Fiabilitatea este probabilitatea ca elementul sau sistemul să-şi îndeplinească
funcţiunile cu anumite performanţe şi fără defecţiuni într-un anumit interval de timp şi
în anumite condiţii date.
Deci este o funcţie de probabilitate având ca variabilă timpul şi comportarea
sistemului.
Noţiunea de fiabilitate mai poate include şi următoarele aspecte :
• operatorul uman ca element al sistemului
• ierarhizarea funcţiilor sistemului din punct de vedere al importanţei funcţionale
• detalierea efectelor deteriorărilor ţinând cont şi de elementele informaţionale ale
sistemului (semnale )
În sinteză apar deci , trei categorii de elemente :
• aparataj
• operator
• semnale cărora le corespunde :
• fiabilitatea sistemului tehnic
• fiabilitate operaţională ( sistem tehnic + operator )
• fiabilitate funcţională ( sistem + operator + semnale )
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
15
Componente
Operator
Semnale
Fiabilitate
Fiabilitate operaţională
Fiabilitate funcţională
Fig.1
Siguranţa în funcţionare - a unui sistem , este o noţiune mai generală şi cuprinde :
• fiabilitatea elementelor
• redondanţa elementelor şi sistemului
• mentenabilitatea
• profilactica
• mentenanţa
Redondanţa (rezervabilitatea) - se realizează prin structură sau prin
supradimensionare :
Sistem neredontant
Fig.2
Redondanţa pentru elemente
Fig.3
Redondanţa pentrucomponente
Fig.4
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
16
Redondanţa pentrusistem
Fig.5
Mentenabilitatea – este probabilitatea cu un element defect să fie repus în funcţiune într-un interval de timp dat şi în condiţii date. Profilactica – constă în înlocuirea elementelor după o perioadă de funcţionare fără ca acestea să se defecteze. Mentenanţa – constă într-o succesiune de operaţii care să realizeze fiabilitatea elementelor componente. Poate fi : - mentenanţa curativă – înlăturarea deficienţelor în faza de prototip
- mentenanţa preventivă – revizii periodice planificate - mentenanţa corectivă - operaţii de înlocuire a defecţiunilor previzibile -
neprevizibile , apărute după avarii Siguranţa în funcţionare a unui sistem este dictată de :
- siguranţa în funcţionare a elementelor componente - schema de legare a elementelor - intensitatea solicitărilor interne (sarcini ) şi externe (factori de mediu) - durata solicitărilor şi durata de exploatare - calitatea exploatării şi nivelul de organizare a acesteia
I.2. MODELE MATEMATICE FOLOSITE ÎN FIABILITATE I.2.1 . MODELAREA COMPORTĂRII ELEMENTELOR ŞI SISTEMELOR Fenomenele în natură pot fi deterministe sau aleatoare.
Fenomenele aleatoare nu pot fi cunoscute in mod determinist ci doar cu o anumită
probabilitate .
Comportarea în timp a unei instalaţii este un fenomen aleator.
Studiul teoretic al fiabilităţii presupune trei faze :
- analiză
- calcule
- aprecierea rezultatelor
Faza de analiză – constă în ceea ce numim modelare. Se subdivide în următoarele
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
17
subgrupe :
- analiza tehnică : funcţională şi structurală a sistemului;
- stabilirea modelului;
- alegerea modelelor şi procedeelor matematice de rezolvare a modelului.
Faza de apreciere a rezultatelor presupune :
- determinarea punctelor slabe d.p.d.v. a fiabilităţii şi căile de “întărire” a
lor.
- determinarea valorilor optime ale indicatorilor de fiabilitate pentru sistem
şi componentele sale fie după criterii economice fie presupunând nivele
de risc acceptabile.
Comportarea instalaţiilor d.p.d.v. fiabilistic poate fi modelată cu ajutorul fenomenelor
aleatoare – care se studiază cu ajutorul teoriei probabilităţilor. Aceste studii se
realizează:
- fie prin expermente
- fie prin urmărirea în exploatare a sistemelor şi componentele lor.
Comportarea în exploatare are tot valoare de experiment.
Rezultatul unui experiment se numeşte eveniment.
Evenimentul poate fi elementar sau complex (se poate realizarea simultană a unui
complex de condiţii).
Exemple :
- eveniment elementar : o linie electrică subterană care se află sau nu în
funcţiune
- eveniment complex : un generator aflat în stare de funcţionare care se
roteşte cu turaţia normală ( f=fn ) , are tensiunea nominală (U=Un), este
încărcat la puterea naturală (P =Pn ).
Evenimentele privite d.p.d.v. al producerii sau neproducerii lor sunt mărimi logice şi
pot fi modelate cu ajutorul operaţiilor logice.(sau ∪ ; ş i ∩ ; non _ ) . Trecerea
sistemelor sau componentelor din starea de funcţionare în starea de refuz constituie
evenimente aleatoare. De altfel şi trecerea inversă din starea de refuz în cea de
succes (prin reparare,poate fi considerată tot un eveniment aleator datorită
multitudinii parametrilor care determină timpul de recuperare)
• Evenimentul Φ - este numit eveniment imposibil şi este acel eveniment care sigur
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
18
nu poate avea loc.
(Ex. – dacă într-o centrală cazanul este defect turbina nu poate fi în funcţiune). .
• Evenimentul Ω - complementar lui Φ, se numeşte eveniment sigur.
ΦΩ = ………….. (** Ω=Φ Dacă se notează cu A – întrerupătorul închis B - evenimentul ca întrerupătorul să fie deschis Atunci: BA=Ω (1)
Dacă C – este evenimentul ca întrerupătorul să fie străbătut de curent Φ=BC (2) ((((( C şi B – se numesc evenimente incompatibile ( nu se pot produce simultan )
Evenimentele compatibile sunt evenimente care pot avea loc simultan.
Modelarea cazului când elementele nu-şi influienţează reciproc comportarea este
mai simplă şi se face prin evenimente independente. În caz contrar se folosesc
modele ale evenimentelor dependente care sunt mai complicate. Adică, între cele
două evenimente există o condiţionare ( o dependenţă).
Ex : Defectarea unuia din cele două transformatoare existente într-o staţie duce la
creşterea încărcării celuilalt şi deci la creşterea posibilităţii de defectare a celuilalt).
Elementele aflate în stare de funcţionare se zice că se află în stare de SUCCES , iar
cele aflate în stare de nefuncţionare se zice că se află în stare de REFUZ. Mulţimea
stărilor posibile în care se poate afla sistemul se bucură de propietăţile unui sistem
complet de evenimente care este un număr de “ n ” evenimente incompatibile
A1 ……..An care îndeplinesc următoarele condiţii :
Φ== n
in AAAA1
21 ......... (3)
Ω== AAAA i
n
n 1
21 ...... (4)
Dacă avem o centrală cu două grupuri G1 şi G2 se poate vorbi de următoarele
evenimente posibile :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
19
- A0 – nu funcţionează nici unul din grupuri
- A1 – G1 - funcţionează şi G2 nu funcţionează
- A2 – G1 – nu funcţionează şi G2 funcţionează
- A3 – atât G1 cât şi G2 se află în funcţiune
Evident : Φ= AAAA 3210 . (5)
Ω=AAAA 3210 (6) Deci A0 A1 A2 A3 sunt evenimente incompatibile formând un sistem complet de
evenimente.
Un caz particular al unui sistem complet de evenimente este cel al evenimentelor
complementare care satisfac următoarele relaţii:
Ω=AA (7)
Φ=AA (8)
Exemplu :
- se notează cu A - evenimentul când elementul funcţionează
- se notează cu A (non A) - evenimentul când elementul nu funcţionează
A şi A sunt evenimente complementare şi formează împreună un sistem complet de
evenimente.
În cursul unui experiment se poate produce totalitatea evenimentelor , avem astfel
de-a face cu spaţiul evenimentelor elementare. Dacă se notează cu E acest spaţiu ,
se defineşte mulţimea tuturor părţilor sale P (E). Se numeşte corp borelian de
evenimente o formaţie nevidă (k) de părţi ale lui E care satisface următoarele condiţii
:
)(EPK ⊂ ( (9)
kAKA ∈⇒∈∀ (10)
kAKA iNi
Nii∈⇒∈
∈∈∀ )( (11)
O mulţime E de evenimente elementare înzestrată cu un corp borelian de
evenimente k se numeşte câmp borelian de evenimente şi se notează E , k .
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
20
Exemplu : Avem un sistem format din 10 elemente considerat d.p.d.v. al funcţionării
sau nefuncţionării elementelor sale i ( i = 1÷10) . Notând cu Ai evenimentul ca
elementul i să se afle în stare de succes atunci există următoarele stări posibile:
- nu avem nici un element în funcţiune
10
10=C eveniment (deci există un singur eveniment)
- avem un element în funcţiune cu evenimentele AAA 1021 .....
adică C1
10
evenimente (deci există C1
10
- evenimente)
- avem câte două elemente în funcţiune cu evenimentele )(.....)(,)( 1093121
AAAAAA
adică C2
10
evenimente
- avem în funcţie câte i elemente adică Ci
10
- evenimente
- avem în funcţie câte 10 elemente adică C10
10
- evenimente
Aşadar practic toate combinaţiile posibile de evenimente , deci avem un câmp de
evenimente.
Evenimentele care constitue acest câmp sunt în număr de:
2..... 10
10
10
1
10
10
1
10
0
10=∑=++
=CCCC
i
i
(12)
Cunoaşterea câmpului de evenimente pentru un experiment este un pas însemnat în
analiza fenomenului studiat.
Măsura numerică a posibilităţii de realizare sau nu a unui eveniment în cazul de faţă
a unei stări este probabilitatea P(A) care îndeplineşte următoarele condiţii :
1)(0 << AP (13)
- probabilitatea evenimentului sigur este 1
1)( =ΩP (14)
- probabilitatea evenimentului imposibil este zero
0)( =ΦP (15)
- probabilitatea reuniunii a două evenimente incompatibile între ele este egală cu suma probabilităţilor evenimentelor
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
21
)()()( BPAPBAPBA +=Φ= ⇒ (16)
Dacă în urma a “ n “ experimente în condiţii identice un eveniment A se produce de “ m “ ori atunci :
nmAP =)( (17)
dacă numărul experimentelor este suficient de mare. Altfel spus :
Într-un câmp finit de evenimente , ale cărui evenimente sunt egal probabile
probabilitatea unui eveniment oarecare este egal cu raportul dintre numărul de
evenimente elementare favorabile evenimentului dat şi numărul total de evenimente
ale câmpului.
În general modelarea evenimentelor energetice se face cu ajutorul evenimentelor
incompatibile . Adesea interesează probabilitatea de a se realiza oricare din stările
componente ale unei anumite grupe . Se utilizează pt. aceasta teorema adunării
probabilităţilor.
( )APAPAPAPAAAP i
n
inn ∑+++=
=
=1
2121 )(........)()().....( (18)
Probabilitatea sumei a “n” evenimente incompatibile este egală cu suma
probabilităţilor acestor evenimente.
Probabilitatea unei stări prin care trece sistemul este determinată de către o
combinaţie de stări de probabilitate cunoscută a elementelor componente cu
comportare independentă în timp . Asta se realizează prin utilizarea produsului
evenimentelor independente.
( )APAP in
∏=1
)( unde (19)
( )APAPAPAPAAAP i
n
nn ∏= =⋅⋅⋅1
212 )(.......)()().....( (20)
Această teoremă stă la baza metodei binomiale de calcul a fiabilităţii sistemelor .
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
22
Dacă evenimentele nu sunt independente se aplică teorema probabilităţilor
condiţionate.
( ) ( )( )AP
AAPAAP
1
2112 /
= (21)
Şi reprezintă probabilitatea de realizare a evenimentului A2 când se realizează
evenimentul A1. Deci ,
( ) ( )AAPAPAAP 12121 /*)(= (22)
Exemplu Cazul unui bloc generator transformator
SPG
T
B
Fig. 6 Debitarea puterii blocul GT pe bara B presupune funcţionarea generatorului care
depinde de funcţionarea transformatorului , acesta alimentând serviciile proprii SP.
Funcţionarea transformatorului T şi a generatorului G sunt evenimente dependente.
Probabilitatea ca bara B să funcţioneze ( evenimentul fiind bara B aflată sub
tensiune ) este :
( ) ( )TGPTPTGPBP /)()( ⋅== == (23)
Studiu de caz
Fie staţia E (figura 7) prevăzută cu instalaţie de DRRI (declanşare de rezervă la
refuz de întrerupător).
Să se determine probabilitatea de funcţionare în treapta a doua a protecţiei din A
(Z2A) şi de refuz (DRRI) în cazul în care întrerupătorul I pentru defect în K refuză
declanşarea (D ).
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
23
A
C
B
D
K
E
DRRII
Fig.7 Staţie prevăzută cu DRRI
Avem: ( ) ( )( )P
PP
DRRI DDRRI D
D=
(24)
( ) ( )( )P
PP
Z DRRIZ DRRI
DRRIA
A2
2=
(25)
dar ( ) ( )P PDRRI DRRI D= −1 (26)
( ) ( )( )P
PP
Z DRRIZ DRRI
DRRI DA
A2
2
1=
−
(27)
( ) ( )( ) ( )P
PP P
Z DRRIZ DRRI
D DRRI DA
A2
2
1=
− ⋅
(28)
Cum ( )P Z DRRIA2 şi ( )P DRRI D se pot determina din datele obţinute din
exploatare, se obţine:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]P P P PZ DRRI Z DRRI D DRRI DA A2 2 1 = ⋅ − ⋅ (29)
Caz numeric:
Când se cunosc probabilităţile de refuz de declanşare a intrerupătorului şi de
funcţionare în treapta a II-a, când refuză DRRi
( )P D = 0 001,
( )P Z DRRIA2 0 00101= ,
( ) 99111,0=DDRRIP
( ) [ ]P Z DRRIA2 0 00101 1 0 001 0 99111 0 001008 = ⋅ − ⋅ =, , , ,
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
24
Formula probabilităţii totale ilustrează corelaţia dintre probabilitatea unui eveniment A
şi evenimentele N1, N2………… Nn care formează un sistem complet de evenimente.
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )NAPNPNAPNANANAPAP ii i
n
i
n
in /......)( *
1121 ∑=∑==
== (30)
Deci probabilitatea de producere a evenimentului A este suma produselor
probabilităţilor de realizare a evenimentului condiţionat de producerea evenimentelor
Ni
Exemplu
Care este probabilitatea unei declanşări nedorite la întrerupătorul Io din schema de
mai jos (fig.8) când unul din întrerupătoarele I1, I2………… In refuză declanşarea din
cauza lipsei curentului operativ ?
Io
I1
L1I2
L2
Ln
In
.
.
Fig.8
A – evenimentul ca să lipsească curentul operativ la întrerupătoarele I1, I2………… In NI - evenimentele independente ca pe liniile LI să apară un motiv de creştere a curentului (avarie)
( )[ ] ( ) ( )NAPNPNNNAP ii
n
in /....
121 •∑=
= (31)
Dacă se urmăreşte probabilitatea realizării evenimentului A împreună cu numai una
din ipotezele Ni modelarea se face cu formula lui Bayes.
Avem un sistem complet de evenimente H1, H2…Hn cu probabilităţile P (H1), P
(H2)….P (Hn).
Să presupunem că A se poate realiza împreună cu una din aceste ipoteze. Care este
probabilitatea ca odată cu evenimentul A să fie realizată şi ipoteza Hi.
Din relaţia probabilităţilor condiţionate avem.
( ) ( ) ( )HPHAPAPAHP iii ⋅⋅ = /)(/ (32)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
25
( ) ( ))(
)(//
APHPHAP
AHP iii
⋅= (33)
dar,
( )./)()(1
HAPHPAP ii
n
i⋅∑=
=
(34)
deci,
( ) ( )( )∑ ⋅
==
⋅
n
kk
i
HAPHPHPHAPHP
k
iiA
1/)(
/ (35)
Exemplu În construcţia unei linii se folosesc 3000 izolatoare din care 600 sunt refolosite iar
2400 sunt noi . Probabilitatea de conturnare a celor folosite este 0,1 iar a celor noi de
0,05. Câte conturnări din 10 se vor datora izolatoarelor noi ?
Fie - E1 (E2.) – evenimentul ca un izolator solicitat de o supratensiune să fie nou ,
respectiv refolosit
- X – evenimentul de a apare o conturnare
8.0
30002400)( 1
==EP 2.03000600)( 2
==EP (36)
05.01 =
XEP 1.02 =
XEP (37)
Probabilitatea ca o conturnare să se producă la izolatoarele noi se determină folosind
formula lui Bayes.
( ) ( )
( )67.0
/12
1
1
1 )(/=
⋅
⋅=
∑=k
kEPXEPEPEP
EXP
k
X (38)
Din 10 conturnări 6,67 se var datora izolatoarelor noi iar restul de 3,33 izolatoarelor
refolosite care deşi mai puţine au o capacitate mai mică de a suporta supratensiuni
fără a se conturna.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
26
I.3. VARIABILE ALEATOARE Se mai numesc şi variabile întâmplătoare.
Exemplu :
- zilele dintr-un an în care cade ploaia
- nr. de defecte de pe LEA într-un an
- nr.de funcţionări eronate ale protecţiilor într-un interval de timp dat
- nr. de RAR-uri reuşite într-un interval de timp dat
- nr. de puncte care apar la aruncarea unui zar
- timpul de funcţionare fără defecţiuni
- timpul de restabilire
Fie Ω, K , P un corp borelian de probabilitate şi o familie F de părţi a lui Ω care
generează corpul borelian .
F are forma de interval [ a , b ]; - ∞ < a < b < + ∞
β este corpul borelian generat de familia F de intervale de forma [ a , b ]
Se numeşte variabilă aleatoare o funcţie
X : Ω → R cu proprietatea ca ∀ A ∈ B X-1 (A) ∈ K ,
adică X-1 (A) = ω ∈ Ω / X (ω)∈β ∈ K
X este variabilă aleatoare dacă ,
ω ; X (ω) < X sau (39) ω;X(ω)≤X∈ K (40) sau înlocuind cu complementara dacă ω ;X (ω)> X ∈Ksau (41) ω;X(ω)≥X ∈ K (42) • formaţie nevidă (k) de părţi ale mulţimii de evenimente elementare.
Variabilele se numesc independente dacă pentru un sistem de numere reale XI (XI
,X2 …Xn)
avem : P(XI < x1, X2 < x2 ……. Xn < xn) = P ( XI < x1 ) · P ( X2< x2) · ….P ( Xn < xn) (43) Fie X ,Y două variabile aleatoare şi α ∈ R
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
27
XX
XYXYX
⋅
⋅
+
α
α
Sunt deasemeni variabile aleatoare (44)
Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare X (ω) = Y (ω) , ∀ ω ∈Ω .
Cunoaşterea variabilelor aleatoare presupune cunoaşterea :
- valorilor pe care le pot lua acestea
- probabilităţilor cu care sunt luate fiecare dintre aceste valori
Schematic avem :
←
pppxxx
Xn
n
.............21
21 Tabloul care defineşte distribuţia sau repartiţia (45)
variabilei aleatoare X.
Se cere : →xxx n.......21 Valorile posibile ale variabilelor aleatoare (46)
→ppp n......21 Probabilitatea cu care variabila X ia aceste valori (47)
Deci o variabilă aleatoare este o aplicaţie X : Ω → R P ( X = x1 ) + P ( X =x2) + ….+ P ( X=xn) = 1 (48) sau simplificat p1 + p2 + ……..+ pn = 1 (49) I.3.1 OPERAŢII CU VARIABILE ALEATOARE Dacă X este o variabilă aleatoare cu repartiţia :
pppxxx
Xm
m
.............21
21 (50)
şi a o constantă variabilă aleatoare aX are repartiţia :
pppxaxaxa
Xan
n
........
.......
21
21 (51)
iar variabila aleatoare a+x are repartiţia
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
28
++++
pppxaxaxaXa
n
n
.................21
21 ....... (52)
Dacă X şi Y sunt variabile aleatoare , suma Z = X + Y va avea repartiţia :
+++++
ppppyxyxyxyxYX
mnij
nmii
..........................
.................
21
1211
21 (53)
pij – fiind probabilitatea realizării simultane a egalităţii X= xi şi Y= yj Dacă :
pppxxx
Xm
m
.............21
21
qqqyyy
Yn
n
.............
21
21
rrrzzz
Zs
s
...............
21
21
++++++
+++pppp
zyxzyxzyxzyxmnsijk
snmkjiZYX
.............................................111
112111
211 ........ (54)
Dacă
( )( )
qpPqyYPpxXP
jiij
j
i
i
i
⋅=
=
=
==
I.3.2 FUNCŢII DE REPARTIŢIE Dacă X este o variabilă aleatoare , funcţia F(X) = ω / ω ∈ R ; X(ω) < x se numeşte
funcţie de repartiţie a variabilei aleatoare F : R → [ 0 , 1 ]
Simplificat F(x) = P (X < x )
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
29
Deci oricare variabilă aleatoare poate fi dată prin intermediul funcţiei sale de
repartiţie .
Pentru variabilele aleatoare discrete , funcţia de repartiţie este :
∑
<
=xXn
npxF )( unde xXPp nn == )(( ω (55)
Deci : Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete este suma
probabilităţilor valorilor X(ω) situate la stânga lui x
Exemplu : Fie variabila aleatoare X care ia valorile xI ( i = 0, 1, 2, 3, 4, 5 ) , astfel :
2.01.03.01.02.01.0
543210X
utilizând formula ∑
<
=xXn
npxF )( rezultă : (56)
≤<++++
≤<+++
≤<++
≤<+
≤<
<
=
>51
)(
541.03.01.02.01.0
433.01.02.01.0
321.02.01.0
212.01.0
101.0
00
xdacaxdacaxdacaxdacaxdacaxdaca
xdaca
xF
(57)
Aşadar dacă X este o variabilă aleatoare discretă funcţia sa de repartiţie este dată de :
∑<
=xXi
ipxF )( (58)
Exemplu : Fie variabila aleatoare X dată prin tabloul de repartiţie :
81
83
83
81
320 1X
Să se determine funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X .
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
30
Funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare X este :
<
≤<
≤<
≤<
<
=
xdacaxdaca
xdaca
xdaca
xdaca
xF
3
3287
2184
1081
00
1
)(
(59)
I.3.3. DENSITATEA DE REPARTIŢIE Ştim că funcţia de repartiţie îndeplineşte condiţia : )()()( 1221 xFxFxXxP −=<≤ (60)
Dacă X este o variabilă aleatoare şi F(X) este funcţia sa de repartiţie şi dacă ∃ o
funcţie f(n) reală definită şi integrabilă pe R astfel încât :
RxdnnfxFx
∈∀= ∫∞−
)()( (61)
atunci această funcţie fn o numim densitate de repartiţie sau densitate de
probabilitate.
( )x
xxXxPx
xFxxFxxfxx
F ∆∆+<≤
=∆
−∆+==
→∆→∆
)()()()( limlim'00
(62)
De aici rezultă :
dxxfxxXxP )()( =+<≤ ∆ (63)
I. 3.4. VALORI MEDII ; MOMENTE I.3.4.1. CAZUL VARIABILELOR ALEATOARE DISCRETE a. Valori medii Fie X o variabilă aleatoare discretă care ia valorile xn cu probabilităţile Pn = P(X= xn)
( ) ∑∞
=
=1n
nn xPxM (64)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
31
se numeşte valoare medie sau speranţa matematică a variabilelor aleatoare X.
Proprietăţi :
- Media sumei variabilelor aleatoare -
Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare discrete şi există M(X) şi M(Y)
atunci există M(X+Y) şi
( ) )()( YMXMYXM ++ = (65)
- Media produsului dintre o variabilă aleatoare X şi o constantă c –
( ) )(XMccXM ⋅= (66)
Deci ,
( ) ( ) )(11
XMcxPxPxPcXM ni
nni
nni
n ccc ==== ∑∑∑∞
∞=
∞
=
∞
=
(67)
În general : )(
11∑∑
∞
=
∞
=
=
iii
iii XMcXcM (68)
- Produsul a două variabile aleatoare discrete -
( ) )()( YMXMYXM ⋅=⋅ (69)
- Inegalitatea lui Schwartz –
( ) ( )YMXMXYM 2*2)( ≤ (70)
b. Abaterea unei variabile aleatoare
Fie X o variabilă aleatoare discretă a cărei valoare medie este M(X) , variabila
aleatoare
( )XMX −=τ (71)
se numeşte abaterea variabilei aleatoare X.
Media abaterii unei variabile aleatoare : M(τ) = 0
Avem ( ) [ ] ( )[ ]XMMXMXMXMM −=−= )()(τ (72)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
32
Dar media unei constante M(c) = c şi cum M(X) = constant ( )[ ] ( )XMXMM = (73)
Deci . ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 0=−=−= XMXMXMMXMM τ (74)
c. Momente
Fie X o variabilă aleatoare discretă şi r un număr natural . Dacă ∃ M(Xr) atunci
această valoare se numeşte momentul de ordin r al variabilei aleatoare X şi se
notează :
( ) pxXMM nn
r
nrrX ⋅== ∑
∞
=1)( (75)
- Momentul de ordin 1 este chiar media variabilei aleatoare
( ) PxXMXMM n
nnX ⋅=== ∑
∞
=1
1
1 )()( (76)
- Momentul de ordin r al variabilei aleatoare | X | se numeşte momentul
absolut de ordin r al variabilei aleatoare X
||XM
r (77)
- Momentul de ordin r al abaterii τ = X – M(X) , se numeşte moment centrat de
ordin r al variabilei aleatoare X şi se calculează :
( ) ( ) ( )[ ]
−=−== )(XMXMXMXMMXM
r
rrr τ (78)
d. Dispersia Momentul centrat de ordin 2 : ( ) [ ]ττ 2
2 MM = (79)
se numeşte dispersia variabilei aleatoare X şi se notează : ( ) ( ) ( )( )
=== −∆ XMXMXmX
2
2
22 τ (80)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
33
Numărul τ ( ) ( )XmX 2==∆ τ (81)
se numeşte abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare X.
Proprietăţi ale dispersiei :
- ( ) ( ) ( )[ ]XMXMX
222 −=∆ (82)
( ) ( )( )[ ] ( )( )( ) ( ) ( )[ ]
( )
( )[ ]XMXM
XMXMXMXMXM
XMMXMXM
XMXMMXMXMXMXMXMXMXXM
XMXMMXMX
XMMXMM
X
2
22
)()(2
2
2
)(
)()()()()(
)()()(
)()()(
2
*2
2
2
2
22
−=
=⋅+⋅−=
−=
=
+
−=
=⋅+−=
=
=−=
=
+
⋅⋅
−∆
- Dacă : µλ +⋅= XY ;λ şi µ fiind două constante (83)
( ) ( )
( )XYXY
∆∆∆∆⋅=
=
λλ 222
(84)
- Dacă λI sunt n constante iar XI sunt n variabile aleatoare discrete independente
două câte două , atunci :
( )XX i
n
ii
n
iii ∆∑∑∆ ⋅=
⋅
==
2
11
2 λλ (85)
I.3.4.2. CAZUL VARIABILELOR ALEATOARE CONTINUE a. Valori medii Fie X o variabilă aleatoare continuă având funcţia de repartiţie F(X) şi fie f(x)
densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare X , atunci se numeşte valoarea medie
a variabilei aleatoare :
( ) ∫∫+∞
∞−
∞+
∞−== dxxxfXxdtXM )()( (86)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
34
b. Abaterea Dacă X este o variabilă aleatoare continuă şi M)X este media , atunci )(XMX −=τ (87)
se numeşte abaterea variabilei aleatoare X. c. Momentul Dacă X este o variabilă aleatoare continuă , expresia : ( ) ( ) dxxfX xxdFxXMM rrr
r )()( ∫∫+∞
∞−
+∞
∞−=== (88)
se numeşte momentul de ordin r a variabilei aleatoare X. Momentul de ordin r al modulului variabilei aleatoare continue X :
( ) ( ) dxxfdFX xxXMMrrr
r )(∫∫+∞
∞−
+∞
∞−==
= (89)
se numeşte momentul absolut de ordin r al variabilei aleatoare continue X. • Dispersia variabilei aleatoare
( ) ( )( )
= − XMXMM
2.
2 τ (90)
se numeşte dispersia variabilei aleatoare X ( ) ( )( )
= − XMXMM
r
r
..τ (91)
se numeşte momentul centrat de ordin r a variabilei aleatoare continue X. I.3.5. FUNCŢIA CARACTERIATICĂ Fie Ω, K , P un câmp de probabilitate şi Z : Ω → C , Z (ω) = X (ω) + j Y (ω) ,
∀ ω ∈ Ω
Funcţia Y se numeşte variabila aleatoare complexă dacă X şi Z sunt variabile
aleatoare pe acest câmp .
Media variabilei aleatoare complexe Y este :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
35
M(Z) = M(X) + j M (Y) (92)
Expresia :
eitX = cos tX + j sin X ∀ t ∈ R (93)
este o variabilă aleatoare complexă cu modulul egal cu 1.
Valoarea medie a variabilei aleatoare complexe eitX se numeşte funcţie caracteristică
a variabilei aleatoare X.
( ) [ ] )(xdFMt ee itXitX
x⋅== ∫
+∞
∞−ϕ (94)
Pentru variabila aleatoare de timp discret funcţia caracteristică are formula :
( ) ∑∞
=
=1k
k
itX
x petϕ (95)
unde: [ ] NkXP xp kk
∈== (96)
Dacă variabila aleatoare este continuă şi are o densitate de repartiţie f(x) întrucât
dF(x) = f(x) dx , funcţia sa caracteristică va fi :
( ) dxxft eitX
x)(⋅= ∫
+∞
∞−ϕ (97)
Fiecărei variabile aleatoare îi corespunde :
- o funcţie de repartiţie şi
- o funcţie caracteristică.
Funcţiile de repartiţie sunt în general discontinue , din acest motiv în calcule se face
uz de funcţiile caracteristice , acestea fiind continue.
Alt avantaj al funcţiilor caracteristice este reprezentat de faptul că produsul de
convoluţie a 2 funcţii de repartiţie corespunde produsului obişnuit a 2 funcţii
caracteristice.
Deci funcţia caracteristică este un instrument de studiu al variabilelor aleatoare mai
uşor de folosit decât funcţia de repartiţie.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
36
• Proprietăţi ale funcţiilor caracteristice :
- Dacă X este o variabilă aleatoare şi ϕx funcţia sa caracteristică atunci :
( ) 10 =ϕ x Demonstraţie: ( ) [ ] 1]1[0 0 === MM exϕ (98)
( ) Rttx
∈≤ 1ϕ
- Funcţia caracteristică este o funcţie uniform continuă pe R
εϕϕ 2)()( 21 <− tt xx
(99)
- Pentru ∀ t ∈ R
( ) ( )txtx
ϕϕ____________
=− (100)
Demonstraţie :
( ) ( )tdFee xitxxdFt itx
xϕϕ
______________________________
)( =∞+∞−
==− ∫∫∞+
∞−
− (101)
- Dacă a şi b sunt două constante reale şi Y = aX + b atunci :
( ) ( )att
X
ibt
y e ϕϕ ⋅= (102)
Demonstraţie :
( ) ( ) [ ]( )
( )at
MdFdF
dFMtt
X
itb
itaXitbitaXitbitbitaX
baXitbaX
baXy
eeeeeee
ee
ϕ
ϕϕ
=
===⋅=
====
∫∫
∫∞+
∞−
∞+
∞−
+∞
∞−
++
+
)(
- Dacă X şi Y sunt două variabile aleatoare independente ,atunci:
( ) ( ) ( )ttt
YXYX ϕϕϕ ⋅=+
(103)
Demonstraţie : ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]eeeee itYitXitYitXYXit
YXMMMMt ⋅=⋅== +
+
)(ϕ (104)
deci, ( ) ( ) ( )ttt
YXYX ϕϕϕ ⋅=+
(105)
- În general dacă X1 X2……. Xn sunt variabile aleatoare
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
37
( ) ( ) ( ) ( )ttttXnXXXnXX ϕϕϕϕ ⋅⋅⋅=
++ .....21....21 (106)
( ) ( )tt
XkXk ϕϕ ∏=∑
(107)
- Dacă momentul absolut de ordin n al variabilei aleatoare X există
atunci derivata de ordin n ϕ(n)(t) şi are valoarea :
( ) )()(
xdFt exi itxnnn
∫+∞
∞−=ϕ (108)
iar :
iM n
n
n X)0(
)()(ϕ
= (109)
Demonstraţie :
Prin derivare de n ori a funcţiei caracteristice se obţine :
( ) )(xdFt exi itxnn
X ∫+∞
∞−=ϕ (110)
pentru t=0 avem :
( ) ][)(0 0 XxdF Miexi nnnn
X== ∫
+∞
∞−ϕ (111)
deci,
iM n
n
n X)0(
)()(ϕ
= (112)
- Dacă pentru ∀ n∈N , momentul absolut de ordin n există ( ∃ M( | X | ) )
atunci funcţia caracteristică ϕX (t) se poate dezvolta în serie de puteri.
( ) ( ) ( )Xit k
n
k
k
XM
kt ∑
=
=1 !ϕ (113)
Demonstraţie: Se utilizează formula lui Marc – Lauri
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
38
( ) ( ) ( )
1
!)!1(......
!2!11
0
;12
<<
=+−
++++=
−
θ
θnn
itx itxRR
itxitxe
n
nn
n
itx
(114)
- Dacă X este o variabilă aleatoare unidimensională având funcţia
caracteristică ϕX (t) reală , are loc inegalitatea :
( ) ( )[ ]tkt
XX k ϕϕ −≤− 121 (115)
În mod particular :
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )[ ]tt
txtx
pentruttxktx
XX
k
ϕϕ −≤−
−≤−
=
−≤−
1421
cos12cos1
2cos1cos1
22
2
(116)
Teorema de inversiune Dacă F este o funcţie de repartiţie şi ϕ funcţia caracteristică pentru x1< x2 , două
puncte de continuitate ale lui F are loc relaţia :
( ) ( ) dtt
it X
u
u
itxitx
u
eexFxF )(21 21
12 lim ϕ∫+
−
−−
∞→
−Π
=− (117)
Teorema de unicitate Funcţia de repartiţie F este unic determinată de funcţia caracteristică ϕX .
( )
−
Π= ∫
+
−
−−
∞→∞→
dttit
xX
u
u
itxity
uy
eF )(21limlim ϕ (118)
I.3.6. FUNCŢIA GENERATOARE Funcţia generatoare a unei variabile aleatoare X este funcţia :
G : Z/Z∈C | Z | ≤ 1 → C
Dată prin relaţia :
( ) ZpG k
kk
Z ∑∞
=
=0
(119)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
39
Funcţia generatoare determină în mod unic repartiţia variabilei aleatoare X . Între
funcţia generatoare a variabilei aleatoare X şi funcţia caracteristică a acesteia există
relaţia :
( ) ( )eit
XGt =ϕ (120)
Derivăm de k ori :
ZpkkkkkZG
ZpkkpZGZpkZppZG
ZpZpZppZGZpZpZpZpZpZG
kk
k
k
k
k
k
k
k
k
k
kk
k
k
k
−
−
−
−
+−−−−
−−⋅⋅−⋅
+++++=
++++++=
++++++=
++++++=
++++++=
)1)....(3)(2)(1()(
)2)(1(123)(''')1(23)(''
3)(')(
.......0000)(..
...........000
...........200
...........210
...........
1
3
31
21
321
12
321
3
3
2
2
1
1
0
0
Deci ,
!
)0(!)(!)(
)()(0)(
() kkZkZ GppGZpG
k
kk
k
k
k =⇒=⇒= (121)
Fie : ( )kXpqk
>=
probabilitatea ca variabila aleatoare X să ia valori mai mari decât k. ( )pppppq kkkk
.......1......1021++−+++=
++ (122)
Introducem funcţia generatoare:
( )
ZZG
ZZ
Z
ZZZH
ZH
ZH
ZH
ZH
ppZpZpZpZ
ZpZpZpZ
Zppp
Zq
k
k
kk
k
k
k
k
k
k
kk
k
k
k
kk
k
k
kk
k
kk
−−
−=
−−
−−
−=
−−−=
−−−=
++−=
=
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑
∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
1)(
11..............
1111)(
.........)(
.........)(
.......1)(
)(
10
001
00
0
001
00
0
010
0
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
40
ZZGZH
−−
=1
)(1)( (123)
- )0(
0Gp = (124)
Demonstraţie :
)0(
...0)(0
)()(0
)(
0
10
0
0
0
0
0G
ZGZ
ZGZGk
ZG
pPPpZp
Zp k
k
=
++=⇒=
=⇒=⇒=
= ∑
(125)
- Cu ajutorul funcţiei generatoare a unei variabile aleatoare se pot calcula
momentele :
( ) ( )( ) ( ) ( ) ZpkkZppZG
ZpkZpZppZG
ZpZpZpZppZG
k
k
k
k
k
k
k
k
k
31
43
'''
22
432
''
13
4
2
32
211
0)(
....................23423000
.............4323200
.................4321
−
−
−
−−−
+=
+⋅⋅+⋅⋅+++=
+⋅+⋅+++=
+++++
Pentru Z=1 avem :
( )( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) )1(')1(''3)1('''
)1(')1(''
)1('
)(2323
22221)1('''
)()1(''
)()1('
)2)(1(..............123423)1('''
)1(..............343212)1(''
..............4321)1('
3
2
23
23
2232
2
22
43
4322
4321
)(
21112
GGGX
GGX
G
rezultaaiciDe
XMXXk
kkkkkG
XMXkG
XMG
kkkG
kkG
kG
MM
XM
MMppkpkpkkkpkpk
Mpkpkpkkp
pkkkppppkkppppp
kpppppp
kkk
kkk
kkk
k
kk
kk
kk
++=
+=
=
+−=+−=
=+−−=−−=−−=
−=−=−=
==
=−−+⋅⋅⋅+⋅=
=−+⋅+++⋅=
=++++=
∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑ −−∑ −⋅⋅
∑
(126) Fie : X = ( X1, X2 ,X3,……….. n) un vector aleator n dimensional având funcţia de repartiţie
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
41
F(x1, x2 ,x3,……….. n) Funcţia caracteristică a vectorului aleator are forma:
( ) ( ) ( )∫+++=
R
xtxtxtn
nn xxxdFettt ni
nX........... 21
.....
212211ϕ (127)
Dacă funcţia caracteristică este reală, ea are forma:
( ) ( ) ( )∫ +++=Rn
xxxdFxtxtxtttt nnnnX...........cos..... 21221121ϕ (128)
I.4. LEGI CLASICE DE PROBABILITATE
A. – Legi clasice de repartiţie de tip discret
B. – Legi clasice de repartiţie de tip continuu
A. Legi clasice de repartiţie de tip discret Repartiţia binomială
Repartiţia Poisson
Repartiţia multinomială
Repartiţia binomială cu exponent negativ
Repartiţia hipergeometrică
B. Legi clasice de repartiţie de tip continuu
1. Repartiţia uniformă
2. Repartiţia exponenţială
3. Repartiţia normală
4. Repartiţia normal redusă
5. Repartiţia lognormală
6. Repartiţia χ2 (hi pătrat)
7. Repartiţia γ (gama)
8. Repartiţia β (beta)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
42
9. Repartiţia student sau Goset
10. Repartiţia Snedecor
11. Repartiţia Weibull
I.4.1 LEGI CLASICE DE REPARTIŢIE DE TIP DISCRET I.4.1.1 REPARTIŢIA BINOMIALĂ
sau repartiţia lui Bernoulli ( schema urnei lui Bernoulli)
Într-o urnă există b bile de două culori . Se extrage una din ele . După ce se vede ce
bilă a fost , (ce culoare a avut ) , bila se introduce din nou în urnă. Avem astfel n
extrageri independente . Fie nr. de bile de o culoare notat cu a (bile albe ) şi nr. de
bile de altă culoare notat cu r (nr.de bile roşii )
a + r = b , b = număr total de bile
Fie A evenimentul care constă în extragerea la întâmplare a unei bile albe şi CA
evenimentul contrar .
Avem :
10,)(
)(
,, =+<=+
==
=+
==
qpqpbr
rarCAPq
ba
raaAPp
(129)
Se fac n extrageri .
Notăm cu Ak evenimentul care constă în obţinerea a k bile de culoarea a din cele n
extrageri . Evenimentul Ak , k=1,2….n formează un sistem complet de evenimente.
Probabilitatea obţinerii a k bile de culoarea a din cele n extragerii este.
qPCA
knkk
nkPKP−
== )()( Variabila aleatoare are următoarea repartiţie:
−− pqpCqpCq nn
n
n
n
n
nk
............................
.......................................................10111111
(130)
Repartiţia determinată de probabilitatea P(Ak) se numeşte repartiţie binomială de
ordinul n şi parametru p şi se notează Bi (n,p).
- Media repartiţiei binomiale este :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
43
( )
( )
( )
qpC
qxpCqpx
qxpCqpx
qpCpxM
knn
k
kkn
knn
k
kkkn
n
knkn
k
kkn
n
knn
k
kknk
kk
knp
qpcăcontţinândşixfăăcând
knp
avemderivând
npkX
−
=
−
=
−−
−
=
−
=
∞
=
∑
∑+
∑+
∑∑
=
=+=
=
=
===
0
0
11
1
11
11
)(xMnp = (131)
- Dispersia este :
( ) ( ) ( )[ ] npqxMxMx =−=∆222 (132)
Demonstraţie :
( ) [ ]
( ) ( )
( ) qxpCqpx
qpCqpxqxpCqpx
qpCkxMxM
knkkk
n
n
knkk
n
nknkkk
n
n
knkk
n
knpx
rezultăederiprinşi
deoareceknp
căŞtiind
−−
−−−−
−
∑+
∑+∑+
∑
=
==
==
1
11
2
2
:var
:
2
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )[ ] npqpnpnnpX
Xnnp
Xnnnp
Xpnnp
Xnnnp
x
xnnnp
pnppnxMMMppnMp
MqpqpMpqpqp
qxpCkpqpxqpx
n
nn
knkkk
n
nn
=−=−−+=−
=−+
=⋅−+
=
−+
=⋅−+
=
=⋅⋅⋅−+
++⋅++
∑++
−
−−
−−−−
)1(
1
1
1
1
1
222222
2
2
222
2
2
2
2
2
221
12221
- Funcţia caracteristică
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
44
( ) [ ] ( ) [ ]qepqepCqpCee ititMt
nknkn
k
kn
knkkn
n
k
itkitX
X +∑∑ ====−
=
−
=**
.
00ϕ
( ) [ ]qep ittn
X +⋅=.
ϕ (133)
- Ştiind că funcţia caracteristică poate avea şi expresia : ( ) ( )eit
XGt =ϕ (134)
unde :
( ) Zp kn
nk
ZG ∑=
=0
este funcţia generatoare , (135)
Se pot determina momentele :
( )( )( ) )1(')1(''3)1('''
)1(')1(''
)1(')(
3
2
1
GGGX
GGX
GXMX
MMM
++=
+=
==
(136)
I.4.1.2. REPARTIŢIA POISSON
Se mai numeşte şi legea evenimentelor rare. Este un caz limită al repartiţiei
binomiale pentru n→∞ şi p→0 cu condiţia np = λ = constant.
Prin definiţie repartiţia discretă determinată de probabilitatea :
e kk
kKP −=
!)( λλ (137)
k=1,2….n λ > 0 se numeşte repartiţie Poisson de parametru λ. Tabloul de repartiţie al legii Poisson este :
⋅⋅⋅ −−−− ..................
!.......
!2!1
...........................................210
k
k
eeee X λλλ λλλ (138)
Această lege se poate obţine din legea binomială făcând n→∞ şi np = λ.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
45
- Media
( ) λ=XM (139) Demonstraţie :
( ) ( )
( ) ( )
λλ
λλ
λλ
λλ
λλ
λλ
λ
λλλλλ
λλ
=⋅=
+
−+++⋅=
−⋅=
=⋅⋅−
⋅===
−
=
−−
∞
=
−−
−∞
=
−∞
==
∑
∑∑∑
ee
ee
eepX
e
kk
kkk
kkXM
k
k
k
k
kk
kk
n
kk
.....!1
.....!2!11.!1
..!1!1.2.1.0.
1
1
0
.
00
-Dispersia ( ) [ ])( 2..22 XMXM −=∆ (140)
[ ] λλ λλλ λλ +=+=⋅== −−∞
==∑∑ 22
0
2
1
22
! eekpXXM k
k
kk
n
kk
Deci , [ ] λλ λλ =−+=∆
2.22 (141) -Funcţia caracteristică Are expresia :
( ) e etit
X
−= 1λϕ (142)
I.4.1.3 REPARTIŢIA MULTINOMINALĂ Avem o urnă care conţine nj bile de culoarea j , j ∈ [1,r] ,
r - nr. maxim de culori
Nr. Total de bile din urmă este :
∑=
=r
jjnn
1
- Evenimentul care constă din extragerea unei bile de culoarea j este notat Aj
Probabilitatea evenimentului Aj este :
( ) ∑=
==++
==r
jj
j
r
jjj pn
nnnnAp cu
np
121
1.......
(143)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
46
- Evenimentul care constă din obţinerea în urma a n extrageri repetate a:
- k1 bile de culoarea 1 ,
- k2 bile de culoarea 2
- .
- .
- r bile de culoarea r ,
- cu Σ kj=n ,
- Se notează Bk1, k2 …..kr
Probabilitatea de producere a evenimentului Bk1, k2 …..kr este :
( ) ( )Bpkkkp krkkn .....21111 ...... = (144)
( ) pppkkkBp kr
r
kk
rkrkk
n ......*!!.......!.
! 2
2
1
121
.....21 = (145)
Această probabilitate determină o repartiţie care se numeşte repartiţie polinomială
sau multinominală. Aceasta provine de la faptul că termenul general al dezvoltării
polinomului :
( )ppp rn....21+
dar membrul drept al probabilităţii ( )Bp krkk .....21
-Media npXM j
=)( (146)
-Dispersia ( ) [ ] ( ) qppnpXMM jjjj
nX =−=−=∆ 1)( 2.
22 (147)
-Funcţia caracteristică Are valoarea :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )epepepep
epepepkkk
eB
itr
r
ititit
krkk
r
trkrktkij
krkkrkkX
itrititn
pt
1
3
3
2
2
1
1
21
21
......2211
.....1......21
.........
1....21
11!!......!
!
++++=
==
=⋅=
∑
∑ ++ϕ
(148)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
47
I.4.1.4. REPARTIŢIA BINOMIALĂ CU EXPONENT NEGATIV
qpCPnknn
kn k−−
−−= 1
1)( (149)
( )
( )
( )
−
∆
=
=
+=
=
eqep
p
ppnM
M
it
itt
nq
nqX
pnX
n
X 1
.
22
22
2
2
1
ϕ
I.4.1.5. REPARTIŢIA HIPERGEOMETRICĂ
( )CCCP n
ba
kn
b
k
an bak
+
−
−=,, (150)
banaXM+
=)(
[ ] [ ] ( )
( ) ( )12
2.22 )(−+
−+=−=
+∆ba
nbanbMba
XMX (151)
I.4.2. LEGI CLASICE DE REPARTIŢIE DE TIP CONTINUU I.4.2.1.REPARTIŢIA NORMALĂ
A fost pusă în evidenţă de Moivre sub formă redusă ca o repartiţie limită a unei
repartiţii binomiale cu p=q=1/2 .
Generalizată pentru pq ∈ (0,1) a fost obţinută de Laplace .La forma generală cea
mai cunoscută insă a ajuns Gauss care a utilizat-o la studiul erorilor
Fie o variabilă aleatoare continuă X . Aceasta urmează o repartiţie normală de
parametri m şi τ2 dacă densitatea sa de probabilitate este :
( )
emx
xf τπτ2
2
221)(
−= − (152)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
48
şi se notează N (m,τ2)
Media :
mXM =)( (153)
Dispersia :
τ 22 )( =∆ X (154)
Funcţia de repartiţie :
( )
dumu
xFx
e∫ ∞−
−−
= τπτ2
2
221)( (155)
Funcţia caracteristică:
( ) et titm
X2
22τϕ −= (156)
Demonstraţie
Media :
( )
dxmu
xdxxxfXM e∫∫∞
∞−
−∞
∞−
−== τπτ
2
2
221)()( (157)
dtdxmtxmxt τττ
=+=⇒−
= (158)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
49
( )
mmm
dtt
mdtt
tdtt
mtXM
Poissonegr
II
eee
==
+=
=+=+=
==
∞
∞−
−∞
∞−
−∞
∞−
−
∫∫∫
πππ
πτ
πτ
πτ
π
221
21
21
21
21)(
.int2
201
222
222
(159)
Dispersia se demonstrează ştiind că:
( ) [ ])( 2.22 XMXM −=τ (160)
I.4.2.2. REPARTIŢIA NORMALĂ REDUSĂ
Dacă o variabilă aleatoare U este repartizată N(0,1)
Se zice că ea urmează o repartiţie normală redusă funcţia sa de repartiţie fiind :
duu
ufx
e∫ ∞−
−= 2
2
21)(π
(161)
Funcţia de mai sus se numeşte funcţia Laplace
I.4.2.3. REPARTIŢIA LOGNORMALĂ
O variabilă aleatoare X continuă urmează o repartiţie lognormală dacă densitatea sa
de repartiţie este :
( )
∫ ∞−
−−
=x
enx
xf τπτ2
2
2
ln
21)( (162)
şi se notează LN(nτ2)
unde n şi τ2 sunt media şi respectiv dispersia logaritmului lui X
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
50
I.4.2.4. REPARTIŢIA EXPONENŢIALĂ
O variabilă aleatoare X urmează o repartiţie exponenţială de parametru λ notată E(λ)
dacă are o densitate de repartiţie :
( )[ ]
>≥=
∞∈−
−
,00
00
xpentru
sixpentruxf
e x λλ
(163)
Media :
λ1)( =XM (164)
Dispersia :
λ2
2 1)( =∆ X (165)
Funcţia caracteristică:
( )it
tX −
=λ
λϕ (166)
Funcţia de repartiţie :
≤
>−=
−
00
01)(
xpentru
xpentruxF
e xλ
(167)
I.4.2.5. REPARTIŢIA χ2 (hi pătrat)
O variabilă aleatoare continuă X este repartizată χ2 cu n grade de libertate şi
parametru τ dacă densitatea sa de probabilitate este :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
51
exxn
nnn
xf τγτ
.1)( 22
.1.2
22
.2
−− ⋅⋅= (168)
cu
dxex x−∞ −
∫=0
1)( ααγ (169)
Gama funcţia lui Euler de speţa a II-a
Funcţia caracteristică a sa este :
( )τϕ 2)( 21 2itn
Xt −
−= (170)
Dacă variabilele aleatoare independente X1 şi X2 sunt repartizate χ2 cu n1 respectiv
n2 grade de libertate atunci variabila aleatoare X1 + X2 este repartizată χ2 cu n1 + n2
grade de libertate .
( )τϕ 2)( 21 221.
21 itnn
XXt −
+−
+= (171)
I.4.2.6. REPARTIŢIA WEIBULL
Modelează durata de viaţă .
Se utilizează cu bune rezultate în studiul :
- uzurii materialelor
- repartiţiei defecţiunii tuburilor în vid
- fiabilităţii în general
O variabilă aleatoare este repartizată Weibull dacă densitatea sa de repartiţie este :
( )
ex
uxx x
ux
o
mxf
mm
0
.
1
0
)(−
= −
−
− (172)
m – parametru de forma
x0 - parametru de scală
u – parametru de localizare sau de calaj
Repartiţia aceasta se mai numeşte şi repartiţie Weibull triparametrică . w (m , x0 ,u)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
52
Funcţia de repartiţie a sa este :
( )
≥<
≥≥−
−
=
−
00
01
)(
0
.
uuxdacă
uuxdacăxux
xFe
m
(173)
Dacă u=0 , m=1 , adică W (1,x0 , 0)
eexx
xxx
xxf λλ −− ==
0
.
0
0 0
1)( (174)
cu x0
1=λ (175)
adică este repartiţia exponenţială negativă.
I.5. FIABILITATEA ELEMENTULUI SIMPLU Elementul simplu este d.p.d.v. fiabilistic o entitate primară indivizibilă. Structura sa
interioară se poate reflecta în comportarea de ansamblu a sistemului din care acest
element face parte. Este interesant studiul în timp al elementului simplu d.p.d.v. al
comportării sale vis à vis de funcţiile nominale programate. Elementele simple pot fi:
• reparabile ( turbine , cazane , relee complexe etc.)
• nereparabile ( garnituri , tranzistoare ,izolatoare ,etc.)
În energetică elementele simple pot fi atât reparabile cât şi nereparabile , dominante
fiind cele reparabile.
I.5.1. FIABILITATEA ELEMENTULUI SIMPLU NEREPARABIL.
Elementul simplu nereparabil este caracterizat de variabila aleatoare numită
timp de funcţionare. Fie F(t) funcţia de repartiţie a acestei variabile
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
53
( ) tptF t f ≤=
Raportul la un interval de timp [0 , t ] pot exista următoarele evenimente
incompatibile (fig.1).
tp TA f ≤=1
elementul se defectează în intervalul [0 , t ] tp TA f >=1
elementul nu se defectează în intervalul [0 , t ] Ω=AA 21
(reuniunea acestor două evenimente formează evenimentul sigur ) 1)(21 =>+=>+≤= tptptpp TtFTTAA fff (176)
Fig.9 Evenimente incompatibile relative la elementul simplu nereparabil
Deducem : )(1 tFT tp f −=> cu tp TtF f <=)( (177)
Cu ajutorul funcţiei de repartiţie F(t) se pot determina :
• Probabilitatea ca elementul simplu să se defecteze în intervalul (0,t )
sau riscul de defectare din interiorul [0 , t ]
)()( tFTtQ tp f =<= (178)
• Probabilitatea ca elementul simplu să funcţioneze fără defectare
(neîntrerupt ) mai mult decât intervalul [ 0 , t ]
tp TtR f >=)( (179)
Tf Tf
0 A1 t 0 A2 t
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
54
se mai numeşte şi fiabilitate iar după unii autori funcţie de siguranţă.
Fie evenimentul care constă în faptul că elementul se defectează în intervalul infinit
mic dt :
dttTt f +<< (180)
Utilizând proprietăţile funcţiilor de repartiţie avem :
( ) ( ) dttftdFtFdttFdttp Ttf
)()( ==−+=
+<< (181)
în care f(t) – este densitatea de repartiţie.
Aşadar probabilitatea ca elementul să se defecteze în intervalul dt este :
( ) ( ) dttftFdttFdttp Tt
f)(=−+=
+<< (182)
f(t) având semnificaţia probabilităţii ca elementul simplu să se defecteze chiar în
momentul t.
Probabilitatea ca elementul să se defecteze în intervalul dt ,dacă a funcţionat corect
(neîntrerupt) în perioada anterioară este :
dtttdttp TTt ff
)(/ λ=
>+≤< (183)
unde λ(t) – se numeşte intensitate de defectare.
Dacă notăm evenimentul :
t
dttt
TBTBf
f
>=
+≤<=
2
1 (184)
Avem :
( )( ) ( )( )
( )tptdtttp
p
pp
TTT
BBB
BBf
ff
>
>+<<=
=
2
21
21 / (185)
Dar B1 include B2 BB 21 ⊂ BBB 121 =⇒
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
55
Aşadar -
( ) ( )( )
)(1)(
)(1)(
)(1)()(/
tFdttf
tFtdF
tFtFdttF
tpdtttp
tdtttpTTTT
f
fff
−=
−=
=−
−+=
>
+≤<=>+≤<
(186)
Prin integrare se obţine:
)(1)( 0
)( tQtF et
dtt =∫−= − (187)
Expresia funcţiei de repartiţie în funcţie de intensitatea de defectare λ(t) a
elementului simplu .
Fiabilitatea va fi :
( )e
t
dtttFtR ∫=−= −0)(1)( λ
(188)
et
dtttR ∫= −0
)()( λ (189)
Intensitatea de defectare are o variaţie în timp de tip “cadă” ca în figura 9
Fig.10 - Curba cadă
Aceasta este caracterizată de următoarele trei zone :
• I – zona de rodaj sau de tinereţe în care intensitatea de defectare este
descrescătoare .În această perioadă se manifestă greşelile de execuţie şi de
montaj.
I II
I
III t
λ(t)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
56
• II – zona de maturitate cu o intensitate de defectare cvasiconstantă
• III – zona de bătrâneţe cu o intensitate de defectare crescătoare în timp datorită
fenomenelor de uzură ireversibile
În calculele de fiabilitate energetică se consideră că intensitatea de defectare este
constantă. Aceasta duce la simplificarea expresiilor indicatorilor fiabilistici.
ee
t
t
tR
tQλ
λ
−
−
−=
−=
1)(
1)( (190)
Adică este necesar ca practic funcţia de repartiţie F(t) să fie exponenţială.
Se mai definesc următorii indicatori de fiabilitate :
• Timpul mediu de funcţionare neîntreruptă
[ ] ∫∞
=0
)( dttRM T f (191)
• Probabilitatea de funcţionare neîntreruptă în intervalul [t1,t2] dacă a funcţionat
neîntrerupt până la t1
∫=
−2
1
)(
21 )(t
t
dtt
ttpλ
(192)
• Timpul mediu de menţinere în starea de funcţionare neîntreruptă dacă elementul
a funcţionat neîntrerupt în intervalul (0,t)
[ ] ∫∞
=−1
11 )(
)(1
tf dttRR
MttT (193)
I.5.2. CALCULUL FIABILITĂŢII ELEMENTULUI SIMPLU REPARABIL
Stadiul fiabilităţii elementului simplu reparabil se încadrează în teoria fiabilităţii
elementelor cu timp finit de restabilire .
Restabilirea constă în refacerea proprietăţilor funcţionale , prin utilizarea procesului
de reparare sau prin înlocuire imediată.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
57
Un element reparabil se caracterizează prin perioade succesive de funcţionare
neîntreruptă cu perioade de reparare.
Timpii de funcţionare şi cei de reparare sunt variabile aleatoare utilizate în
determinarea principalilor indicatori de fiabilitate :
Fie : Tfi – perioada i de funcţionare neîntreruptă
Tri – perioada de reparare următoare perioadei de funcţionare i
Fig.11
Pentru studiul fiabilităţii elementului simplu reparabil se utilizează una din
următoarele metode :
a) Metoda fluxurilor de defectare
b) Metoda funcţiilor condiţionate de repartiţia timpului de funcţionare între două
avarii succesive
c) Metoda Markov
a) Fluxul defectărilor este caracterizat de timpii t1 t2…. tn de apariţia a defectărilor.
Aceşti timpi sunt aleatori.
Intensitatea fluxului are expresia :
( ) [ ] ( )
t
ttk
ttttt k
k
tt
p∆
∆+⋅=
∆∆+Ω
=∑
∞
=
→∆→∆
1
00limlim ,.ϖ (194)
unde :
[ ]ttt ∆+Ω , - este numărul mediu de defectări în intervalul ∆t [ ]tttpk
∆+, - probabilitatea să se producă k defecte în
intervalul ∆t. Se definesc următoarele funcţii de repartiţie :
…
0 t1 t2 tn
Tf1 Tr1 Tf2 Tr2 Tf3 Tfn Trn
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
58
tptF T fi ≤=)( (195) tptG T ri ≤=)( (196) pentru variabilele aleatoare Tfi respectiv Tri Dacă:
λ==∑
nMT
Tfi
f ][1
←intensitatea de defectare a (197)
elementului simplu reparabil
µ== ∑nMT
Tri
d][1 ← intensitatea de reparare a elementului (198)
simplu reparabil
atunci expresiile celor două funcţii de repartiţie sunt :
ee
t
t
tG
tFλ
λ
−
−
−=
−=
1)(
1)( (199)
Numărul mediu de avarii sau restabiliri într-o perioadă de timp T este :
[ ] TTνλ
µλ+
=Ω.,0 (200)
Probabilitatea de funcţionare la momentul t este :
( )e ttp ..)( µλ
µλλ
µλµ +−
++
+= (201)
cu condiţia iniţială : 1)0( =p (202) Probabilitatea de avarie la momentul t este :
( )[ ]e ttptq µλ
µλλ +−−+
=−= 1)(1)( (203)
Dacă timpul este foarte mare t→∞ avem :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
59
[ ][ ] [ ]
[ ][ ] [ ]TT
T
TTT
df
d
t
df
f
t
MMM
tqq
MMM
tpp
+=
+==
+=
+==
∞→
∞→
µλλ
µλµ
)(
)(
lim
lim (204)
I.6. FIABILITATEA SISTEMELOR CU STRUCTURĂ SERIE – PARALEL I.6.1. FIABILITATEA SISTEMELOR CU STRUCTURA SERIE Un sistem se considera serie d.p.d.v. fiabilistic dacă evenimentul bună funcţionare a
sa este realizat când fiecare element component este în stare de bună funcţionare .
Fig. 12
Ei - evenimentul bună funcţionare a evenimentului i
S - starea de bună funcţionare a sistemului
EEEEES ni .............321= (205)
Fiabilitatea este dată de probabilitatea ca sistemul să fie în starea de succes.
)Re( englezadinliabilityefiabilitatRnotat
−−=
∏∏==
==
=⋅⋅=
===
n
ii
n
ii
ni
nis
RE
EEEEEEEER
P
pppP
pSp
11
21
21
)(
)().....(...)()(
)............()( (206)
I 1 2 i n
1 2 i n
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
60
P(Ei) - probabilitatea de bună funcţionare a elementului i
Ri = P(Ei)
Pentru evenimente dependente :
).....
().....()()(12121
3
1
21 EEE
EEE
EEEER
n
ns pppP
−
⋅⋅= (207)
Dacă se utilizează probabilitatea de defectare :
( )[ ]∏ ∏∏= =
−
=
−=−==
n
i
n
ii
n
iis REER ipp
1 11
11)( (208)
I.6.2. FIABILITATEA SISTEMELOR CU STRUCTURA PARALEL
Un sistem are o structură paralelă d.p.d.v. al fiabilităţii dacă pentru buna funcţionare
a sa este suficient cel puţin un element component al său să fie în stare de buna
funcţionare .
Ei - evenimentul bună funcţionare a evenimentului i
S - starea de bună funcţionare a sistemului
EEEEES ni .............321= (209)
În fig. 12a este prezentată schema fiabilistică iar în 12b graful asociat ei .
Conform De MORGAN
EEEEES ni .........321__ −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
= (210)
EEEEES ni____________
............321= (211)
EI – Evenimentul elementului i defect
Folosim deci probabilitatea de defectare :
==
==
EpEpEpEpEpSpR
EEEEEpSpR
nis
nis
____________
__
...................321_
____
3
__
2
__
1
___
)(
................)( (212)
deci ,
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
61
Fig. 13
( )[ ] ∏∏∏===
=−=
==
n
i
n
ii
n
iREpEpSpR iis
1
_
1
_
1
__
1)( (213)
[ ]∏==
−=∏=n
ii
n
iRRR is
11
__
1 (214)
Rs−
- nonfiabilitatea sistemului
−Ri__
nonfiabilitatea elementului
Fiabilitatea sistemului paralel este :
[ ]∏∏==
−−=−=−=n
ii
n
iRRRR iss
11
___
1111 (215)
Pentru evenimente dependente :
).....
().....(*)(12121
21
__
EEEE
EEEER
n
nppPs−
= (216)
I.6.3. FIABILITATEA SISTEMELOR CU STRUCTURĂ MIXTĂ
Aceste structuri conţin combinaţii de tip serie-paralel şi paralel - serie . Analiza
acestor sisteme se face din aproape în aproape utilizându-se relaţiile pentru
a
b
O I
I O
1
1
2 2
3
.
. i
.
.
.
. i
.
. n
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
62
evaluarea fiabilităţii structurilor serie respectiv paralel cunoscute. Funcţie de
structurile predominante evaluarea fiabilităţii poate fi făcută pornind de la :
- fiabilitatea de bună funcţionare ( cazul serie ) sau de la
- probabilitatea de defectare ( cazul paralel ) .
Aceste abordări pot fi făcute în diferite etape în funcţie de situaţia concretă.
Cunoscându-se valorile fiabilităţii componentelor sistemului (RA RB ……….RL ) ş i
considerându-se evenimentele independente se poate determina fiabilitatea
sistemului . ( fig. 14 ) .
SISTEME CU STRUCTURĂ MIXTĂ
Fig.14
D
G
H
A
F E
C B
II
V IV
III
VI
VII
K L
VIII
I
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
63
Descompunerea sistemului se face astfel :
Fig.15
Acestea reprezintă structurile elementare ale sistemului .
Posibilităţile de bună funcţionare ale sistemului sunt prezentate în tabloul alăturat.
Numărul
combinaţiilor
Combinaţia de elemente care trebuie să funcţioneze
Pentru ca sistemul să fie în bună stare de funcţionare
1 A B C K L
2 A D K L
3 E F G K L
4 E F H K L
C BB
I
H G
V
D
I II
V IV
VI
VI
III VII
II A
III
F E
IV
L K
VIII
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
64
Plecând de la simplu la complex, folosindu-ne de cele prezentate în tabelul
precedent pentru a identifica structurile serie , paralel şi apoi evalua fiabilitatea
sistemului.
Pentru structura I avem :
RRR CBI *= (217)
Pentru structura II avem :
( )( ) ( )RRRRRRRRR DIIDDIDIII +−−=−−== 111*_______
(218)
sau
RRRRRRRRRRRRRRRR
DCBCBD
DIIDDIIDII II−+=
=−+=−++−=−= 111__
(219)
Pentru structura III avem :
RRRRRRRRRRRRRRRRRRR
DCBACBD
ADIIADAIIAIII
AA −+=
=−+== (220)
Pentru structura IV avem :
RRR FEIV *= (221)
Pentru structura V avem :
( )( )
RRRRRR
RRRRRRRRR
HGHGV
HGHGHG
V
HGV
−+=−=
+−−=−−==__
______
1
111 (222)
Pentru structura VI avem :
( )
RRRRRRRRRRRRRRRRRRR
HFGEHFEGFE
HGHFVIVVI GE−+=
=−== + (223)
Pentru structura VII avem :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
65
( )( )
RRRRRR
RRRRRRRRR
IVIIIVIIIIVII
VIIIIVIIIIVIIII
VII
VIIIIVII
−+=−=
+−−=−−==__
______
1
111 (224)
Pentru structura VIII avem :
RRR LkVIII = (225)
Fiabilitatea întregului sistem este :
( ) RRRRRRRRR LkVIIIIVIIIIVIIIVIIIS ⋅⋅−+== (226)
Înlocuind expresiile lui RIII , RVI , RVII şi RVIII în relaţia de mai sus se obţine expresia
fiabilităţii sistemului.
I.6.4. STRUCTURA REDONDANTĂ GLOBALĂ
Fig. 16
1 2 3 …….…………..i…………………………………n
1( 1 ) 2( 1 ) 3( 1 ) ………………i( 1 )………………………….………n( 1 )
1( k ) 2( k ) 3( k ) …………..…i( k )………………………….……n ( k )
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
66
Sunt k+1 grupări serie aflate în paralel. O grupare serie conţine n elemente.
Fiabilitatea unei grupări serie este :
RRRRR n
n
iiS ..............21
1
== ∏=
(227)
Aceste elemente serie echivalente cuplate în paralel formează sistemul cu
redondanţă globală:
( )RRRRRR S
kkSSS
k
j
jSg
1.10
0
..........+
=
=== ∏ (228)
( ) ( )RRRR SSkk
gg − ++−=−=−= 1 11
111 (229)
Deci :
( )RR Sk
g − +−= 1 1
1 (230)
Rg – fiabilitatea sistemului cu redondanţă globală
K+1 – numărul total de grupări serie ale sistemului
I.6.5 STRUCTURI - NEDECOMPOZABILE STRUCTURA TRIUNGHI - STEA ŞI STEA - TRIUNGHI
Este cazul sistemelor de mare complexitate cu structuri complicate . Analiza acestora
prin metode exacte fiind foarte laborioasă . Dacă aceste sisteme sunt formate din
elemente a căror nonfiabilitate este foarte mică 1<<Ri se recomandă folosirea de
metode aproximative .
Din expresiile funcţiilor de fiabilitate (utilizând probabilităţile de defectare ale
elementelor) se obţin polinoame în Ri din care se reţin în urma ordonării după
puterile crescătoare ale nonfiabilităţii elementului i - Ri , primii termeni ,contribuţia
celor de grad superior fiind nesemnificativă , deci putându-se neglija .
Prin utilizarea termenelor de transfigurarea stea – triunghi şi triunghi-stea se pot
transforma structurile nedecompozabile ( punte ) în structuri serie-paralel.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
67
• Cazul triunghi – stea
Fig. 17
În ipoteza 1<<Ri
avem:
RRRRRRRRR
23313
23122
31121
≅
≅
≅
(231)
• Cazul stea – triunghi
Fig.17
3 1 3
2
31
12 23
1
2
2
1 3
1 3
2
31
12 23
3 1
2
2
1 3
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
68
Nonfiabilităţile au expresiile:
RRRR
RRRRRRR
RRRRRRR
enecunoscuttriunghistructuriitatilenonfiabili
cunoscutesteastructuriitatilenonfiabili
,1
3223
,23,12,313
2112
,3,2,12
1331
)(
)(
=
−=
−=
(232)
Erorile sunt mai mici cu un ordin de mărime în cazul transfigurărilor triunghi-stea
decât în cazul celor stea-triunghi.
Avantajul transfigurărilor în cazul sistemelor complexe constă în :
rapiditatea reducerii acestora la structuri de tip serie –paralel
simplitatea calculelor de evaluare numerică a fiabilităţii permit , în faza de
proiectare compararea rapidă a fiabilităţilor diverselor variante posibile ale
aceluiaşi sistem.
I.6.6. REPREZENTAREA PARAMETRICĂ BIDIMENSIONALĂ
Considerăm probabilitatea ca fiind un punct în planul cartezian. Funcţie de probabilitatea de funcţionare RI şi de cea de refuz Ri
se definesc doi
parametri ε şi ω.
RR
RR
RRtg
−=
−===
11ωε (233)
Din :
RRtgR
Rtg −=⇒−
= 11 ωω
⇒ 11
+=
ωtgR (234)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
69
sau: 11+
=εR (235)
Din: RtgRtgR
Rtg =−⇒−
= ωωω1
(236)
⇒ 1+=
ωω
tgtgR (237)
sau: ωω
ctgRRR
Rctg
=−⇒−
= 11
1
11
+=
ωctgR (238)
Folosindu-se această reprezentare bidimesională (ε , ω ) a fiabilităţii elementelor , se
evaluiază fiabilitatea sistemelor având diferite structuri :
• Cazul structurilor serie
Elementele au fiabilitatea (i = 1, 2……..n) .
Ştim că fiabilitatea unei structuri serie este :
( ) ( )∏∏∏
=
== +=
+== n
ii
n
ii
n
iSS tgRR
1
1.
1 1
11
1
εω (239)
Considerând că şi RS poate fi scris de forma :
11+
=ε S
SR (240)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
70
Rezultă:
( )
( )∏∏ =
=
+=+⇒+
=+
n
iiSn
ii
S 1
1
111
11
1 εεεε
(241)
( ) 111
−+= ∏=
n
iiS εε (242)
În relaţia (242) εi se determină pentru fiecare element în parte cunoscându-se Ri şi
Ri barat Ri−
.
• Cazul structurilor paralel
Elementele componente au fiabilitatea Ri
Ştim că nonfiabilitatea unei structuri paralel este :
1
1+
= ωctgRp
p (243)
Se obţine:
( )∏
=
+=
+ n
ii
p ctgctg1
1
11
1
ωω (244)
⇒ ( ) 111
−+= ∏=
n
iip ctgctg ωω (245)
• Cazul structurilor nedecompozabile
În acest caz se utilizează transformarea triunghi-stea pentru care avem :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
71
Fig. 18
εεε
εεε312312
31121 1 +++
= (246)
εεε
εεε312312
23122 1 +++
= (247)
εεε
εεε312312
233131 1 +++
= (248)
I.7. CONSTRUCŢIA ŞI SIMPLIFICAREA FUNCŢIILOR DE STRUCTURĂ ŞI A REŢELELOR DE FIABILITATE
I.7.1. LEGĂTURI ŞI TĂIETURI
Fiind dat un sistem cu structura bivalentă S= (E , ϕ)
- E = mulţimea componentelor sistemului
- ϕ = funcţia de structură a sistemului
Definiţie
Numim LEGĂTURĂ o submulţime L ⊆ E , cu propietatea ϕ (X1 , X2 , …… Xn)=1
3 1 3
2
31
12 23
1
2
2
1 3
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
72
unde :
∉
∈=
Lpentru
Lpentru
ee
xi
i
i 0
1
Notăm :
1 - starea de funcţionare
2 – starea de refuz
Aşadar o legătură a sistemului este o mulţime de componente ale sistemului cu
proprietatea că sistemul funcţionează dacă elementele acestei mulţimi funcţionează
şi restul sunt defecte.
Definiţie Numim TĂIETURĂ o submulţime T a sistemului bivalent S cu T⊆ E care satisface
relaţia :
ϕ (X1 , X2 , …… Xn)=0
unde :
∈
∉=
Tpentru
Tpentru
ee
xi
i
i 0
1
se numeşte tăietură.
Aşadar o tăietură T a sistemului S este o mulţime de componente ale acestuia cu
proprietatea că sistemul nu funcţionează dacă componentele acestei mulţimi sunt
defecte , iar restul componentelor funcţionează.
Ex.
( ) ( ) ( ) ( ) taieturaoconstituenuasubmultime
taieturaoconstitueET
legaturaoestenuasubmultime
legaturaoconstitueEL
eeeeee
eeeeeee
543
641
541
6521
,,11,0,0,0,1,1
,,00,1,0,1,1,0
,,00,1,0,0,1
,,,11,1,0,0,1,1
−=
⊆==
−=
⊆==
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Demonstraţie
- Dacă ( )ϕ,ES = , pentru care ( ) 1........., 121 =xxxϕ atunci
1/ =∈= xe ii EL este o legătură a sistemului S
- Dacă ( )ϕ,ES = , pentru care ( ) 0........., 21 =xxx nϕ atunci
0/ =∈= xe ii ET este o tăietură a sistemului
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
73
I.7.2. SIMPLIFICAREA FUNCŢIILOR DE STRUCTURĂ ŞI A REŢELELOR DE FIABILITATE
Fie o reţea de fiabilitate având o structură S= (E, ϕ)
I.7.2.1. FUNCŢIA ϕ ESTE MONOTONĂ
a. Fie L1 L2………………….Lk legăturile minimale ale acestei structuri
Funcţia :
( ) ∏ ∏= ∈
−−=
k
i Liettxx
1
11ϕ (249)
este echivalenta funcţiei de structură a sistemului.
Reţeaua de fiabilitate iniţială este echivalentă cu reţeaua obţinută din punerea în
paralel a celor k legături , fiecare legătură fiind constituită din înserierea elementelor
componente ale legăturilor respective .
Ex. : .,,;.,;.,;.;., 321521431312321 ..... eeeLeeLeeLeLeeL =====
Reţeaua echivalentă este :
Fig. 19
b. Fie T1 T2………………….Tk tăieturile minimale ale acestei structuri
e2 e3
e1
e1 e3
e1 e2
e1
e2
e3
O
Z
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
74
Funcţia ( ) ( )∏ ∏= ∈
−−=k
i Tiettxx
1
11ϕ (250)
este echivalentă funcţiei de structură a sistemului.
Reţeaua de fiabilitate iniţială este echivalentă cu reţeaua obţinută din înserierea celor
k tăieturi minimale . Fiecare din aceste tăieturi este constituită din componentele sale
puse în paralel.
Ex.:
.,
.,
.,,
213
312
3211
.
..
eeTeeT
eeeT
=
=
=
Reţeaua echivalentă este :
Fig. 20
I.7.2.2. FUNCŢIA ϕ ESTE NEMONOTONĂ
a. În acest caz dacă L1, L2………………….Lk sunt legăturile minimale funcţia :
( ) ( )∏ ∏∏
−−−=
∉∈ Liett
Liett xxx 111ϕ (251)
O Z
e1
e1
e1 e2
e2 e2
e3
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
75
este echivalenta funcţiei de structură a sistemului .
Această relaţie se mai putea scrie :
( ) ( )∑ ∏∏= ∉∈
−=
k
i Liett
Liett xxx
11ϕ (252)
b. Dacă T1 T2………………….Tk sunt tăieturile minimale funcţia :
( ) ( )∏ ∏∏= ∈∉
−−=
k
i Tiett
Tiett xxx
1
11ϕ (253)
este echivalentă cu funcţia de structură a sistemului.
Această relaţie mai poate fi scrisă :
( ) ( )∏∑∏∉= ∈
−−=Tiet
tki Tiet
t xxxn
12
1ϕ (254)
Ex:
X1 X2 X3 ϕ( X1 X2 X3) Legăturile sunt:
0
0 0 1 Li=φ Deoarece ϕ( X1 X2 X3)=1
1=∃ xi
0
0 1 0
0
1 0 1 L2=e2
0
1 1 1 L3=e2 e3
1
0 0 1 L4=e1
1
0 1 0
1
1 0 0
1
1 1 1 L5=e2 e3e3
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
76
Funcţia de structură va fi :
( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) xxxxxxxxx
xxxxxxxxxk
it
Liett
Liet
321321132
312321
1
111
111111
+−−+−+
+−−++−−−=
∈
−= ∑ ∏∏= ∈ −−−
ϕ (255)
Tăieturile sunt:
eTeT
eeT
.
..
33
22
211 ,
=
=
=
(256)
Funcţia de structură va fi :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )xxxxxx
xxxxxxxxxn
ki Tiett
Liett
2132
31231
21
1131
1112
11
11 −−−
−−−−−−−=
−=
−−−
∑ ∏∏+= ∉∈
ϕ
(257)
I.8. METODE DE CALCUL A FIABILITĂŢII
1. Metoda binomială
2. Metoda Monte-Carlo
3. Metode bazate pe procese Markov cu parametru continuu
4. Metode bazate pe procese Markov cu parametru discret
5. Metode bazate pe enumerarea exhaustivă a stărilor sistemului
6. Metode bazate pe utilizarea formulei probabilităţii totale
7. Metode bazate pe mulţimea legăturilor şi tăieturilor minimale
8. Metode bazate pe ridicarea la putere a matricei de conexiune
9. Metode bazate pe reducere succesivă a mărimii matricei de conexiune
10. Metoda căilor adiţionale
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
77
I.8.1 METODA BINOMIALĂ
Având două stări posibile pentru echipamente identice relaţia:
qpCPmnmm
nmn
−= ( la totalul de n teste se găsesc m echipamente în starea 1 şi n-m în starea 0)
poate fi mai uşor determinată pe calculator cu formula –
( )( )qm
pmnPP nmnm 1,,1 +−
=+ (258)
Media este :
npxM =)( iar (259)
Dispersia :
( ) qpnx =∆2 (260)
Valorile mediei şi dispersiei sunt utile şi în cazul când modelul binomial se înlocuieşte
cu alte modele. De exemplu pentru valori mari ale lui m şi n repartiţia binomială tinde
către una normală având aceleaşi valori ale mediei şi dispersiei:
( )
eMx
xf σσ 221)( 2.
2.−
Π= −
(261)
adică :
ep npqnqm
npqmnn
−
Π= −
∞→
2.
21
21lim (262)
În energetică în cazul protecţiilor şi automatizărilor n – este de ordinul zecilor /an iar
valoarea q este sub 5%.
Acest lucru face ca repartiţia binomială să tindă în acest caz către o repartiţie
Poisson (Legea evenimentelor rare ) de parametru λ=nq.
Adică relaţia generală :
( ) ekp k
kλλλ −=
!, devine: (263)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
78
( ) ( )enqp nq
m
mn m−=
! (264)
Dacă elementele sistemelor nu sunt identice ( nu au acelaşi p şi acelaşi q ) , cazul
majorităţii sistemelor reale (elementele sunt eterogene) valorile parametrilor p şi q
sunt individuale pentru fiecare element , deci au forma pi , qi .
Sistemul nu mai ia naştere dintr-un binom la puterea n , (p+q)n , ci prin produsul
sumelor dintre pi şi qi .
( )∏=
+n
iii qp
1 (265)
Modelul de determinare a probabilităţilor stărilor în aceste situaţii ( evenimente
independente şi diferite ) este :
( ) 11
=+∏=
n
iii qp (266)
Exemplu
Fie sursele S1, S2 ,S3 care debitează pe o bară a unui consumator . Se cere să se
afle probabilităţile diferitelor nivele de putere pe bară.
Fig.21
S1 S2 S3
Consumator
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
79
Sursa Puterea disponibilă Probabilitatea de succes Probabilitatea de refuz
1 S1 p1 q1
2 S2 = 2S1 p2 q2
3 S3 = 3S1 p3 q3
Stările SI S2 S3 Probabilitatea stărilor Puterea disponibilă pe bară
I f f f p1 p2 p3 SI = S1 + S2 + S3 = 6S1
II f f r p1 p2 q3 SII = S1 + S2 = 3S1
III f r f p1 q2 p3 SIII = S1 + S3 = 4S1
IV f r r p1 q2 q3 SIV = S1 = S1
V r f f q1 p2 p3 SV = S2 + S3 = 5S1
VI r f r q1 p2 q3 SVI = S2 = 2S1
VII r r f q1 q2 p3 SVII = S3 = 3S1
VIII r r r q1 q2 q3 SVIII = 0
6S1 cu p = p1 p2 p3
5S1 cu p = q1 p2 p3
4S1 cu p = p1 q2 p3
3S1 cu p = p1 p2 q3 + q1 q2 p3 (267)
2S1 cu p = q2 p2 q3
S1 cu p = p1 q2 p3
• Pentru sistemele cu două elemente serie avem:
Stările e1 e2 Sistem Probabilitatea stărilor
I f f f p1 p2
II f r r p1 q2
III r f r q1 p2
IV r r r q1 q2
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
80
Rezultă probabilităţile de succes şi de refuz ale sistemului .
Corespunzător stării I avem :
Psucces = p1 p2 (268)
Starea de refuz se compune din stările II , III , IV . deci ,
Prefuz = p1 q2 + q1 p2 + q1 q2 (269)
• Pentru sistemele cu două elemente paralel avem :
Stările e1 e2 Sistem Probabilitatea stărilor
I f f f p1 p2
II f r f p1 q2
III r f f q1 p2
IV r r r q1 q2
Starea de succes a sistemului este dată de stările I , II , şi III , astfel avem :
Psucces = p1 p2 + p1 q2 + q1 p2 (270)
Starea de refuz a sistemului este dată de starea IV a elementelor , astfel avem
:
Prefuz = q1 q2 (271)
I.8.2. METODA MONTE – CARLO
Permite obţinerea soluţiilor unei probleme cu ajutorul experimentelor aleatoare
repetate. Se stabileşte un algoritm de determinare a unei mărimi cu o anumită
precizie dată. Datele statistice similare cu ajutorul algoritmului permit obţinerea
mărimii căutate.
Dacă după n experimente obţin datele g1 , g2…………. gn mărimea căutată este :
gngn
lim∞→
= (272)
gn - trebuie să conveargă în probabilitate către g.
Generarea numerelor aleatoare se face prin metode analitice sau neanalitice.
Cele mai frecvente metode analitice cunoscute sunt :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
81
• Metoda mijlocului pătratului
• Metoda congruenţională multiplicativă ( de recurenţă)
xbx nn 01 =+ (modp ) (273)
- b0 , x0 , p fiind numere date
• Metoda congruenţională mixtă
( )Pak
jjijki xbx .mod
1
0
+= ∑
−
=++ (274)
din care se poate obţine relaţia metodei congruenţionale multiplicative dacă se face
a=0 şi k=1
Fie A - procesul simulat
p - probabilitatea de apariţie a evenimentului modelat
N - nr. de încercări
ξ - variabila booleană = ⌠ 1 dacă evenimentul apare
0 dacă evenimentul nu apare
L - nr. total de evenimente favorabile
∑=
=n
ii
L1ξ (275)
f – frecvenţa evenimentului:NLf a
= (276)
• Media frecvenţei evenimentului este :
( ) ( ) pNNpM
NLM
NM
iaf ==== ∑ξ1)(1 (277)
• Dispersia :
( )NpQf a
=∆2 (278)
Demonstraţie :
( ) ( ) ( ) ( )N
QppNpLNNN
f a=
−=== ∑∆∆∆ 2
22
22
2 111 ξ (279)
• Abaterea medie pătratică:
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
82
( )NpQf a
=τ (280)
Conform legii numerelor mari :
( ) pM ff a
tinde
a= → (281)
Diferenţa dintre fa şi media sa P este eroarea care poate fi determinată:
( ) ( ) ( )εε
τ εε 22
2
11NpQpppp fff a
aa
−=<−⇒−=<− (282)
Fie: ( ) δε −=<− 1pp f a (283)
( ) ( )
( )δ
εδ
εδ
δδδε
ε
ε
Npp
NpQ
NpQ
NpQcupp f a
−>>⇒>
>∈=>−
⇒1
1,0
2
2
(284)
Din :
( )
δε
Npppp ff aa
−≤−⇒<−
1 (285)
sau :
( )
δδ pNpp
pNp
p fpf aa
−≤−⇒
−≤−
112
(286)
sau eroarea relativă :
δpNp
p
pf a −≤
− 1 adică δε pN
pr
−<
1 (287)
Această ultimă relaţie arată că eroarea relativă scade odată cu creşterea lui N
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
83
Deci creşterea preciziei cu un ordin de mărime necesită creşterea numărului de
experimente cu două ordine de mărime.
Numărul minim de trageri pentru o anumită precizie fixată este :
δε ppN 2
1 −= (288)
Pentru ε = 10% δ = 0,1 ⇒ p
pp
pN −=
⋅⋅
−= +
−−
11 1010103
12 (289)
Timpul de calcul funcţie de numărul de operaţii pe secundă se scrie :
undăpeoperdenr
NT calc sec..min.. = (290)
Pentru ε = 10%
sec.
1.1.103
min. peoperdenrppT calc
−= (291)
I.8.3. METODE BAZATE PE PROCESE MARCOV CU PARAMETRU CONTINUU
I.8.3.1. PROCESE MARCOV Un proces aleator este o familie de variabile aleatoare :
( ) ( ) TtNiitX ,0,1, ∈== X(t) – starea procesului la momentul t
i - mulţimea stărilor posibile ale procesului
(OT) - domeniul de variaţie în timp
Un proces este de tip Marcov de gradul k dacă starea lui la momentul t depinde
numai de ultimele k stări . Aceasta este un proces fără istorie în sensul că întreaga
sa evoluţie trecută este concentrată în ultimele k stări .
Cel mai des întâlnit este procesul Marcov de gradul 1 a cărui stare depinde numai
de ultima stare ( anterioară)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
84
Dacă mulţimea stărilor i este discretă avem de-a face cu un lanţ Marcov.
Procesele Marcov pentru care variabila t este continuă se numeşte proces Marcov cu
parametru continuu sau proces Markov cu timp continuu.
Modelul Markov permite determinarea probabilităţilor ca sistemul să se afle în fiecare
din cele n stări posibile .
Probabilităţile de tranziţie din starea i la momentul s în starea j la momentul t (t>s) se
defineşte astfel .
( ) ( ) isxjtxptspij=== /)(, (292)
şi reprezintă probabilitatea condiţională ca la momentul t sistemul să se afle în
starea j dacă la momentul anterior s se află în starea i.
Un proces Markov este caracterizat de următoarele :
• Matricea probabilităţilor absolute de stare [pi(t)] şi reprezentă probabilităţile ca
procesul să se afle în stările i la momentul t
• Probabilităţile de tranziţie pij(s,t) şi reprezintă probabilitatea ca sistemul să se afle
în starea j la momentul t dacă la momentul s anterior era în starea i. Probabilităţile care determină un lanţ Markov verifică relaţiile Champman-Kolmogorov:
rel. I ( ) ( ) ( )teesst ppp kj
n
kikij
,,1
∑=
= (293)
rel. II ( ) ( ) ( )tsst ppp ij
n
iij
,1
∑=
= (294)
Adică probabilitatea ca procesul să se afle în starea j la momentul t este egală cu
suma produselor probabilităţilor de a se afla în oricare din stări cu probabilitatea
trecerii din aceste stări în starea j .
Pi(s)
1p1(t)
2p2(t)
kpk(t)
npn(t)
i
pi1(s,e)
pi2(s,e)
pik(s,e)
pin(s,e)
1p1(s)
2p2(s)
kpk(s)
npn(s)
j
Pj(s)
p1j(s,t)
p2j(s,t)
pkj(s,t)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
85
Fig. 22 Fig. 23
Făcând s=t şi t=t+∆t iar rel . II avem :
( ) ( ) ( )tttttt ppp ij
n
iij
∆+⋅=∆+ ∑=
,1
(295)
I.8.3.2. INTENSITATEA DE TRANZIŢIE
Prin definiţie intensitatea de tranziţie din starea i în starea j este :
( )
t
tttpij
tij ∆
∆+=
→∆
,lim
0λ (296)
De aici rezultă:
( ) ( )ttij tttpij
∆+∆=∆+ 0, λ (297)
0(∆t) – probabilitatea producerii evenimentelor simultane (nulă)
Deci:
( ) tij tttpij
∆=∆+ λ, (298)
Probabilitatea ca sistemul să rămână în starea i în intervalul ∆t este complementară
sumei probabilităţilor de trecere în alte stări :
( ) ( ) ttttptttpji
ijji
ijii ∆−=∆+−=∆+ ∑≠
∑≠
λ1,1, (299)
În mod similar pentru starea j avem :
pnj(s,t)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
86
( ) ( ) ttttptttpji
jiji
jijj ∆−=∆+−=∆+ ∑≠
∑≠
λ1,1, (300)
sau :
( ) ( )∑
≠
∆−=∆ji
jijj tttt λλ 1 (301)
I.8.3.3. ECUAŢIA DIFERENŢIALĂ A PARAMETRILOR DE STARE
Probabilitatea ca sistemul să se găsească la momentul t+∆t în starea j este dată de
suma probabilităţilor ca sistemul să treacă din alte stări în starea j plus probabilitatea
ca aceasta să rămână în aceeaşi stare j în intervalul ∆t.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑≠
∆+∆=∆+ji
jjjijij tttptttptttp λλ, (302)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
tptttp
tp
ttptttp jji
ijjtttjj ij
jii
∆
−
∆−
∆
∑
∆
−∆+ ∑≠
+∆
= ≠
λλ 1, (303)
( )( ) ( ) ( ) ( )
tji
ijj
t
tttt
dtd
tttppp
ijji
i
j ∆
∑≠
−∆
∆=
∆∑≠
λλ (304)
dar : ( ) λλ jjji t =− ∑ deci (305)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttttttdtd
ijijjjijji
ij pppp λλλ ∑∑ =+=≠
(306)
deoarece îl include şi pe i=j prin termenul pj λjj
deci:
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
87
( ) ( ) ( ) ( )tpttt qpp ijij ⋅=⋅= λ'
(307)
( ) qijij t =λ - se numeşte matricea intensităţilor (308)
de tranziţie
I.8.3.4. METODE BAZATE PE PROCESE MARCOV DE TIP CONTINUU
( ) [ ] ( )[ ]tt pqp iiji⋅=
' (309)
[ ]qij - matricea de tranziţie
( )[ ]tpi - probabilităţi ale elementelor sistemului în starea I
<
>
=∑
0
0
1
q
ij
ij
ij
(310)
Soluţia sistemului este :
( ) ( )epp t
ii
qt ij
−= 0 (311)
Pentru procese de lungă durată :
( ) tactsodevinet pp iintanlim ⇒=
∞→ (312)
Derivata sa este nulă:
( ) [ ] ( )[ ] 00'
=⋅⇒=
⇒ tt pqp iiji
(313)
Ecuaţiei matriciale anterioare (care nu permite soluţii nebanale)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
88
⇒ îi mai asociem şi ecuaţia : ∑=
=n
iip
1
1 (314)
Având toate stările sistemului se pot selecta două submulţimi:
• submulţimea stării de succes : S
• submulţimea stării de insucces : R
RSN = = mulţimea tuturor stărilor astfel încât se pot calcula
- probabilitatea de succes : ∑∈
=Sj
js pp (315)
- probabilitatea de insucces : ∑∈
=Rj
jr pp (316)
Cu aceste probabilităţi se pot calcula indicatorii de fiabilitate ai sistemului
Adică :
- durata medie totală a stărilor de succes într-o perioadă de timp de
calcul T :
( )[ ] TTtMSJ
JS pp ∑∈
==α (317)
- durata medie totală a stărilor de refuz într-o perioadă de timp de
calcul T:
( )[ ] TTtMrJ
ir pp ∑∈
==β (318)
- media nr. de treceri din starea de succes în starea de refuz:
( )[ ] TTtM ppp iJrJ
Jr
== ∑∑
∈
τ (319)
- media duratei de succes :
[ ] ( )[ ]( )[ ]tMtMM T f τ
α= (320)
- media duratei de insucces:
[ ] ( )[ ]( )[ ]tMtMM T r τ
β= (321)
Toate aceste relaţii sunt valabile pentru cazul în care rata defectărilor este constantă.
λ
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
89
Fig.24
I.8.3.5. METODE MARKOV DE TIP CONTINUU PENTRU UN SISTEM SERIE
Fig.25
Sistemul se va afla în starea de succes atât timp cât toate cele n elemente se vor
afla în stare de succes. Defectarea unui element nu atrage după sine defectarea unui
alt element. Un al doilea element se admite că se poate defecta după ce cel defectat
anterior este reparat şi adus în stare de succes.
=+
=
=
defect esten elementul carein starea 1n starea
defect este 1 elementul careîn starea 2 starea
sistemului a succes de starea 1 starea : Fie
.
. stări de insucces ale
sistemului
[ ] [ ]
=
=⋅
1
0
ppq
i
iiJ (322)
1 2 n
λ1
λ2 λn µ1
µn
1
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
90
Fig.26
1n 3 2 1 +
[ ]
µλ
µλµλ
µµµλ
−
−−
∑−
=
nn
ni
iJq
......
.
.
.
00
0000
22
11
21
1..321
+n
(323)
11
1
=∑+
=
n
iip (324)
0.
*
......
.
.
.
1
3
2
1
22
11
21
00
0000
=
−
+−
−−
∑
p
ppp
nnn
ni
µλ
µλµλ
µµµλ
(325)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
91
=−
=−
=−
=∑+
= −−
=+++
⇔
+
+
∑ +
0
.
0
0
01
1 11
1...............................
11
3212
2111
1321
pp
pppp
pp
pppp
nnn
ii
n
n
i i
µλ
µλµλ
µλ
(326)
=
=
+=
⇒
∑
µλ
µλ
µλ
n
nn
i
i
i
pp
pp
p
1
1
112
1
.
1
1
(327)
Avem :
=
=
∑
∑
∈
∈
RiiR
SiiS
pppp
(328)
i∈S - semnifică stările de succes. Practic starea de succes globală este dată
de suma stărilor de succes.
i∈R - semnifică stările de refuz. Practic starea de refuz globală este dată de
suma stărilor în care sistemul refuză funcţionarea.
Se pot calcula următoarele mărimi fiabilistice:
• Durata medie totală de succes (de funcţionare) în perioada de referinţă T:
( )[ ]tM α
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
92
• Durata medie totală de insucces (de nefuncţionare ) în perioada de referinţă T:
( )[ ]tM β
• Numărul mediu total de stări de insucces (de defectări) în perioada de
referinţă T:
( )[ ]tM ν
• Timpul mediu de funcţionare până la primul defect
[ ]TM f
• Timpul mediu de reparare sau timpul mediu de înlocuire (durata medie a unei
stări de insucces eliminată prin reparare sau înlocuire sau durata medie de
reparare sau înlocuire)
[ ]TM R
Astfel :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
93
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]
[ ] ( )[ ]( )[ ]
[ ] ( )[ ]( )[ ] ∑
∑
∑
∑∑
∑
∑
∑
==
==
=
+==
+==
∈∈
+
=
+
=
+
=
ii
ii
i
R
ii
f
RJiJ
Sii
n
ii
i
n
ii
i
R
n
ii
iS
tMtMM
tMtMM
TtM
T
TtM
TTtM
T
T
pp
p
p
λµλ
λ
µλµλ
µλ
τβ
τα
τ
β
α
1
1
1
1
1
1
1
1
(329)
I.8.3.6. REPARTIŢII TEORETICE ŞI REPARTIŢII EMPIRICE
Funcţiile matematice y=f(t) reprezintă o dependenţă a variabilei y de variabila t.
De exemplu :
batg
y t ++−=2
2
reprezintă legea căderii corpurilor în vid în
câmp gravitaţional (330)
Funcţia anterioară este o funcţie teoretică.
Dacă printr-o experienţă se măsoară corespondenţa dintre t ţi y se obţine o funcţie
empirică unde se vor întâlni abateri faţă de calculele făcute prin relaţia scrisă
experienţa neputând fi făcută în condiţii ideale.
De obicei se spune că experimentele conduc la funcţii empirice.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
94
Funcţia empirică se consideră a fi o reprezentare aproximativă a unei funcţii teoretice
exprimată în mod matematic .În natură dependenţele au caracter mult diferit de cele
din matematică.
Exemplu : dependenţa vârstă – greutate la persoanele din emisfera nordică. Această
legătură reprezintă o lege stocastică.
Repartiţia normală , binomială , Weibull , exponenţială etc . sunt exemple de
repartiţii de natură stocastică.
Repartiţiile empirice prezintă neregularităţi care se înlătură prin operaţia de ajustare.
Să presupunem că avem m puncte :
( ) ( ) ( )ytpytpytp mmm,..............,,
222111
pi – punctele de pe abscisă ( spre exemplu timpul )
yi – punctele de pe ordonată ( spre exemplu frecvenţa)
Punctele pi din plan pot fi elementele unei serii statistice în care abscisele reprezintă
diferite momente , iar ordonatele frecvenţele fenomenului.
Dispunerea în plan a punctelor pi prezintă o oarecare neregularitate . Prin ajustare se
propune să se găsească o curbă care apropie cel mai bine punctele pi obţinându-se
astfel direcţia de dezvoltare a fenomenului reprezentat prin punctele pi.
I.8.4. METODA CELOR MAI MICI PĂTRATE SIMPLE
Fie punctele pi date de relaţia :
btay +=
şi punctele empirice pi rezultate experimental .
Fig.27
Pi’ ( ti , a+bti)
pi ( ti , yi) y=a+bt Y
t ti
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
95
Se impune determinarea coeficienţilor necunoscuţi a şi b astfel încât expresia :
( ) min2.
=∑ −+ ybta ii (331)
adică să determinăm a şi b astfel încât suma pătratelor pp ii
' să fie minimă.
min'2.
=∑
pp ii (332)
Suma pătratelor diferenţelor dintre ordonatele teoretice şi ordonatele empirice să fie
minimă ; procedeul fiind numit şi metoda celor mai mici pătrare .
Determinarea parametrilor se face astfel :
( ) ( )∑ −+==
n
i
not
ybta iibaF1
2., (333)
care va fi minimă când derivatele în raport cu a şi b se anulează.
⇒
=
=
0..
0..
bFaF
δδδδ
( )
( )
=
=
∑ −+
∑ −+
0.
.
0.
.
2.
2.
bii
aii
ybta
ybta
δ
δ
δ
δ
(334)
( )
( )
=−+
=−+
∑∑
02
02
ybttybt
iii
ii
a
a (335)
=−+
=−+⇒
∑ ∑ ∑
∑ ∑ ∑n
iiii
n
ii
tytt
ybt
ba
a
1
2.
1
0
0 (336)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
96
=+
=+
⇒∑ ∑ ∑
∑ ∑
tytt
yt
iiii
ii
ba
bna
2. (337)
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑
==
ttttyt
y
tttttyty
ii
i
ii
i
ii
i
iii
ii
ni
n
bn
a
2.
.
2.
2.
(338)
Se poate simplifica prin schimbarea originii axelor astfel încât 02. =∑ti
Rezultă atunci :
∑
∑∑==
ttyy
i
iii bn
a 2
'
(339)
Fig 28
Această ajustare printr-o linie dreaptă este un caz particular al unei ajustări generale.
∑=
=++++=n
i
i
i
n
n tatatataaa ty0
..3.
3
2.
210 ..................... (340)
Determinarea coeficienţilor aaa n....................1,0 se face impunând condiţia celor mai mici
pătrate.
t ti
pi ( ti , yi)
y=a+bt Y
Ajustarea cu o linie dreaptă prin
metoda celor mai mici pătrate
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
97
( ) min22
110 ........
2.=∑ −++++ ytatataa i
ninii (341)
Pentru cazul parabolei de gradul 2 avem :
taaa ty 2
210 ++= (342)
⇒
=
=
=
0.
0.
0.
2
1
0
a
a
a
F
F
F
δδδδδδ
(343)
( )( )( )
=∑−++
=∑−++
=−++
⇒
∑ ∑∑∑ ∑∑
∑ ∑ ∑
022
02
02
4
2
3
1
2
0
3
2
2
10
2
210
yttatatayttatata
ytataa
i
i
n
iiii
iiii
iii
(344)
⇒ a0 , a1 , a2 prin Cramer .
Pentru simplificare se poate transla sistemul . Translarea se poate face astfel încât
axa y să cadă la mijlocul seriei caz în care :
00 3 == ∑∑ tt ii si (345)
( )
( )
∑−
−=
=
∑−
−=
∑∑ ∑ ∑ ∑
∑∑
∑∑ ∑ ∑ ∑
ttyttyta
tyta
ttyttyta
in
n
in
ni
iiiii
i
ii
ni
iiii
ni
2
2
2.
222
2
1
2.
22
0
(346)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
98
Grafic se reprezintă ca în figura de mai jos.
Fig.29
Dacă curba este dată de o funcţie exponenţială :
bay t.= (347)
se logaritmează :
( ) btabay t .log..loglog.log +== (348)
( ) ( )∑ −+=
=n
iybta iibaF
0
2..log.log.log,.log (349)
=
=
0..
0..
bFaF
δδδδ
(350)
=
=
⇒
∑∑
∑
tyt
y
i
ii
i
b
na
2
log
log
(351)
Y
t
Ajustare parabolică
Ajustare exponenţială
Date reale (experimentale )
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
99
I.9. METODELE STATISTICE DE DETERMINARE A FIABILITĂŢII
I.9.1. ETAPELE ESTIMĂRII
Estimarea fiabilităţii sistemelor pe baza datelor statistice se poate face în două
moduri :
a) organizarea de experimente speciale numite teste de fiabilitate
b) prin prelucrarea de observaţii rezultate din funcţionarea normală a
echipamentelor
Există avantaje şi dezavantaje pentru fiecare din cele două moduri :
• - Prima metodă are ca principal dezavantaj imposibilitatea creării unor condiţii
identice cu cele din regimul de exploatare .
Este recomandată pentru echipamente de protecţie de serie mare (
aparate de măsură , rezistenţe , izolatoare , aparatură de comutaţie , garnituri
pentru etanşare )
• - A doua metodă este mai avantajoasă decât prima prin aceea ca necesită
cheltuieli minime legate numai de înregistrarea şi prelucrarea datelor
statistice.
Are dezavantajul unei durate mari de observaţie şi a greutăţii asigurării numărului
minim necesar de elemente observate. Este singura posibilă pentru echipamentele
de serie mică ( cazane de abur , condensatoare , degazoare , turbine etc )
Etapele estimării indicatorilor de fiabilitate sunt :
1. – în urma observaţiilor se stabilesc seriile statistice ale variabilelor aleatoare
şi se construiesc histogramele ( densităţile empirice de repartiţie )
2. – se fac ipoteze asupra legităţilor teoretice ale variabilelor aleatoare ( timp de
funcţionare până la prima avarie , timp de funcţionare între două avarii
succesive etc )
3. – se verifică ipotezele statistice şi se stabilesc legile de repartiţie ale
variabilelor aleatoare precum şi parametrii lor .
4. – se stabilesc valorile numerice ale indicatorilor de fiabilitate
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
100
I.9.2 . CONSTRUIREA FUNCŢIILOR EMPIRICE DE FIABILITATE
)()(),()(^^^^
,, tfttQtR λ
Datele statistice necesare construirii graficelor funcţiilor )()(),()(^^^^
,, tfsittQtR λ se pot
obţine în urma încercărilor de laborator sau a supravegherii elementelor şi
sistemelor în condiţii de exploatare normală .
În cazul testelor de fiabilitate , în scopul economisirii materialelor elementelor ieşite
din funcţiune nu se înlocuiesc prin altele noi , de aceea numărul elementelor se
reduce continuu.
Pentru construirea funcţiilor empirice se imparte domeniul timpului de funcţionare al
elementelor în subintervale ∆ti = ti – ti-1
Lungimea intervalului ∆t depinde de volumul şi omogenitatea materialului statistic
Cu cât există un număr mai mare de observaţii cu atât intervalele alese pot fi mai
scurte .
Fie N(t) – numărul de elemente în funcţie la momentul t
şi n(t) - numărul de elemente defecte la momentul t
Determinarea funcţiilor empirice se face utilizând relaţiile :
( ) ( )
( ) ttttt
ii
iii
Nnn
i ∆
−∆+= −− 11
^
λ ← intensitatea de defectare (352)
( ) ( )
( ) tttf
i
ii
Nnn
i ∆
−= −
01
^
← probabilitatea de defectare la momentul t
(densitatea repartiţiei timpului de funcţionare (353) până la prima defectare)
( )( )0
1^
Nn
itR i−= ← probabilitatea de funcţionare neîntreruptă în
intervalul ( 0 , t ] (354)
( )( )0
1^
Nn
itQ i−= ← probabilitatea de avariere în intervalul ( 0 , t ] (355)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
101
ttt iii ∆+=−1
( ) ( )tt ii nNN 1)0(−
−= ← numărul de elemente în funcţiune momentul t (356)
) ( )( )ttttp N
N
1
2^
,( 1 2 = ← probabilitatea de funcţionare neîntreruptă în (357)
intervalul [t1, t2 ] dacă până la momentul t1 a funcţionat neântrerupt.
Se fac tabele de tipul următor :
t∆ mi ( )tin 1− ( )tin ( )tiN f i
^
λ i^
pi
^
Qi
^
I.9.3. PLANURI DE EXPERIMENTARE PENTRU ESTIMAREA INDICATORILOR DE FIABILITATE
Un plan de experimentare este caracterizat de următoarele :
N – numărul de elemente supuse experimentării
T – durata experimentării
R* – notaţie ce arată că elementele experimentale dacă se defectează se
repară şi continuă să rămână sub observaţie
R*- notaţie care indică înlocuirea elementelor cu altele noi
Avem astfel următoarele principale planuri de experimentare :
a – planul trunchiat [N ,T , R*] , [N , T , R* ] în care observaţiile statistice
se consideră încheiate după scurgerea unui timp prestabilit T
b – planul cenzurat [N ,R* ,r ] , [N , R* r ] în care observaţia statistică se
întrerupe la apariţia unui număr prestabilit de defectare r ( r < N )
c – planul mixt [N ,R* , (r , T ) ] , [N , R* (r , N ) ] în care observaţia se face
pe o perioadă T însă dacă se produc r defecte observaţia se
întrerupe.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
102
Aşadar momentul întreruperii este :
tr dacă tr < T
T dacă tr ≥ T
tr - este timpul în care se produc r defecte .
Un caz particular este constituit de planul [N , R* N ] care se termină odată cu
defectarea tuturor elementelor şi care se utilizează în special pentru experimentări
accelerate.
Pentru protecţii şi automatizări avem următoarele situaţii :
1.- pentru elementele de supraveghere se poate aplica planul cenzurat ,
planul trunchiat sau cel mixt
2.- pentru partea de logică a protecţiei se întocmeşte un plan ( planul
FRE ) special [N , L , n]
N – nr. de reţele testate
n – nr. de testare făcute fiecărui releu (protecţie)
L – nr. de trepte ale protecţiei testate
I.10. ESTIMAŢIA PARAMETRILOR LEGILOR DE PROBABILITATE
I.10.1 REPARTIŢIA COMPLET SPECIFICATĂ
Să presupunem că avem o selecţie dintr-o populaţie statistică dată a cărei funcţie de
repartiţie teoretică are o formă matematică cunoscută având parametrii necunoscuţi .
Definim repartiţia specificată ca fiind acea repartiţie exprimată printr-o funcţie dată
(densitate de repartiţie sau funcţie de repartiţie ) care conţine anumiţi parametri
necunoscuţi .
Exemplu :
Presupunem că studiem un fenomen pentru care ajungem la concluzia că repartiţia
sa este normală N (m,σ2 )
Deci ,
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
103
( )
emx
xf σπσ2.
2.
22
1)(−
= − (358)
Cum parametrii m şi σ sunt necunoscuţi iar repartiţia este exprimată prin densitatea
de repartiţie f(x) a lui N (m,σ2 ) spunem că repartiţia este specificată.
Cunoaşterea fenomenului presupune cunoaşterea valorilor numerice a parametrilor.
Definim repartiţia complet specificată ca fiind acea repartiţie exprimată printr-o funcţie
dată în care toţi parametrii sunt cunoscuţi. Operaţia prin care determinăm valoarea
parametrilor se numeşte estimarea parametrilor.
I.10.2. FUNCŢIA DE ESTIMAŢIE ( ESTIMATORUL)
Fie x1 , x2 ……..n o selecţie de volum n dintr-o repartiţie specificată . Există o
infinitate de funcţii g(x1 , x2 ……..n) care pot fi luate drept valori ale parametrilor
necunoscuţi ai repartiţiei . Aceste funcţii se numesc estimaţii . Problema este de a
alege din această infinitate de estimaţii pe cele care se apropie cel mai mult de
valorile adevărate ale parametrilor care nu se cunosc.
Fie λ parametrul real necunoscut al funcţiei f(x,λ) şi
( )xxx nnn ..........21λλ = (359)
funcţia necunoscută căutată (estimaţia care trebuie determinată spre a fi luată drept
valoare a parametrului λ)
f(x,λ) – este densitatea de repartiţie
Funcţia ( )xxx nnn ..........21λλ = o numim funcţie de estimaţie sau estimator.
Estimaţia va fi cu atât mai bună cu cât repartiţia sa se concentrează mai puternic în
jurul adevăratei valori a parametrului , adică cu cât dispersia (împrăştierea) valorilor
repartiţiei , faţă de valoarea adevărată este mai mică.
Prin urmare ( )xxx nnn ..........21λλ = trebuie să conveargă în probabilitate către λ.
Spunem că dacă :
( ) λλ →∞→
pxxx nnn
..........lim 21 (360)
atunci ( )xxx nn ......21λ se numeşte estimator corect sau estimaţie consistentă .
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
104
Aceasta înseamnă că dacă această relaţie are loc atunci pentru valori mari ale lui n
funcţia de estimaţie ( )xxx nn ......21λ ia valori apropiate de λ cu o probabilitate
foarte mare adică :
( ) 1→<− ελλ np (361)
Aşadar aceste valori aproximează foarte bine valorile lui λ şi deci ( )xxx nn ......21λ va
fi luată drept un estimator a lui λ.
Dacă există mai mulţi parametri necunoscuţi cele de mai sus rămân adevărate ,
aplicându-se pentru fiecare din aceşti parametri.
De exemplu , pentru repartiţia normală parametrii sunt m şi σ . Vom găsi deci două
funcţii de estimaţie :
( )xxxm nn ........21 şi ( )xxx nn ......21σ (362)
care converg în probabilitate către m respectiv σ când n ia valori foarte mari .
( )
( ) σσ →
→
∞→
∞→
pnn
n
pnn
n
xxxxxxm m
......
......
21
21
limlim
(363)
I.10.3. ESTIMATORUL ABSOLUT CORECT
Convergenţa unei funcţii în probabilitate spre o constantă prezintă foarte adesea mari
dificultăţi .Se preferă astfel să se recurgă la condiţii mai simple :
Iată!
• Dacă:
( )[ ] ( )( )
( )[ ]( )[ ]
λ
α
αλ
λλ
λ
uiparametrulal
corectestimator
unestecaspunem
ncu
nM
xxxxxx
xxx
nn
nn
n
nn
.........
0.........
0
.........
21
212.
21
lim=
=
+=
∆∞→
(364)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
105
• Dacă α(t)=0
Deci , dacă :
( )[ ]( )[ ]
( )[ ]
λ
λ
λ
λ
uiparametrul
acorectaabsolut
estimatieoestecaspunemn
M
xxxxxx
xxx
nn
nn
nn
.........
0.........
.........
21
21
2.21
lim =∞→
=
∆
(365)
Se spune în aceste cazuri că este un estimator nedeplasat.
I.10.4. ESTIMAŢIE EFICIENTĂ
Dacă dintre toate estimaţiile absolut corecte ale unui parametru λ există o estimaţie
λn a cărei dispersie este :
( )[ ]( )
=
∆
δλλδ
λ,inf
2.21
2. 1.........x
xxxnM
nn
(366)
atunci această estimaţie este de dispersie minimă.
f(x,λ) – densităţile de repartiţie ale repartiţiei specificate (continue şi derivabile ,
având derivatele parţiale de ordinul necesar în raport cu parametru λ.
O estimaţie absolut corectă a parametrului λ care are o dispersie minimă se numeşte
estimaţie eficientă.
Dacă ( )xxx nn ......21λ este o estimaţie absolut corectă a parametrului λ ,raportul :
( )( ) ( )
=
∆ δλλδ
λλ
,ln2.
2.
1
xfE
nMn
nn
(367)
se numeşte eficienţa estimaţiei : λn.
Se observă că :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
106
( ) 10 ≤≤ λEn
Dacă :
( ) 1=λEn - estimaţia este eficientă.
( ) ( )⇒
=
∆ δλλδ
λ,ln
2.
2.
11xf
nMn
(368)
( )( )
=⇒
∆
δλλδ
λ,ln
2.
2. 1
xfnM
n
(369)
adică estimaţia n este de dispersie minimă adică o estimaţie eficientă.
I.10.5. DETERMINAREA PARAMETRILOR FUNCŢIEI DE REPARTIŢIE
Principalele variabile aleatoare cu ajutorul cărora se stabilesc intensităţile de
defectare şi de reparare a echipamentelor energetice ( λ şi µ ) sunt timpul de
funcţionare neîntreruptă şi timpul de reparare.
Pe baza datelor statistice este necesar să se stabilească funcţia de repartiţie
teoretică , care modelează cel mai bine variabila aleatoare şi să se determine
parametrii acesteia. D.p.d.v. statistic această determinare reprezintă o estimare
neparametrică , respectiv parametrică.
Estimarea parametrilor poate fi :
- punctuală , sau
- cu ajutorul intervalelor de încredere
Metodele punctuale de estimare parametrică sunt :
- metoda verosimilităţii maxime
- metoda linearizării
- metoda momentelor
- metoda celor mai mici pătrate
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
107
I.10.6. METODA VEROSIMILITĂŢII MAXIME
Fie o variabilă aleatoare X şi f( x , λ ).
Funcţia ( ) ( )∏=
=n
kknn xxxxF f
121 ,,...... λλ - se numeşte funcţie de verosimilitate.
Parametrul necunoscut este soluţia ecuaţiei :
0.ln=
δλδ F
Dacă pentru parametrul λ există o estimare eficientă , atunci ecuaţia de
verosimilitate are soluţie unică . Estimaţia se numeşte suficientă în acest caz
În cazul mai multor parametri funcţia de verosimilitate are expresia :
( ) ( )∏=
=r
kSkSr xxxxF f
1212121 .......,.......;...... λλλλλλ (370)
iar cum F ia valori maxime odată cu lnF parametrii λλλ S.......21 se determină din
sistemul de ecuaţii :
=
=
=
0ln..
0ln
0ln
2
1
λ
λ
λ
δδ
δδ
δδ
S
F
F
F
numite ecuaţii de verosimilitate (371)
Exemplu :
Repartiţia exponenţială pentru care s-au făcut n testări determinându-se valorile
TTT n......21 se scrie :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
108
( )( ) e
et
t
Ttp
tfλ
λ
λ
λ−
−
==
= (372)
Ecuaţia de verosimilitate este :
( ) ( )( ) [ ]( )
( )∑∑
∑∑
∏
=
==
−
−−−
=
−=−
=
−=−=
∑=
==
n
ii
i
n
ii
n
ii
nn
nn
n
in
TTTTTTT
eTTT
eeetTTT
nnF
nF
TF
TTTiF
i
nI
1
1121
21
121
lnln
lnln,......ln
ln,......ln
.............,...... 2
λδλλλδ
δλδ
λλλλ
λ
λλλλ
λλ
λλ
λλλ
(373)
Ecuaţia de verosimilitate se scrie :
TTTTmedii
i
n
nn 110^
===⇒=−∑∑∑ λλ (374)
I.11. VERIFICAREA IPOTEZELOR STATISTICE Există teste neparametrice pentru verificarea timpului funcţiei de repartiţie şi
teste parametrice pentru verificarea valorii parametrilor funcţiilor de repartiţie.
Ne propunem să verificăm dacă ipotezele pe care le facem în legătură cu tipul
funcţiei de repartiţie sunt adevărate . Adică dacă funcţia pe care am intuit-o a modela
fenomenul este cea adevărată sau nu.
O problemă de bază în calculele de fiabilitate este stabilirea timpului funcţiei
de repartiţie pentru variabilele aleatoare. De cele mai multe ori interesează
verificarea exponenţialităţii timpului de funcţionare neîntreruptă şi a timpului de
reparare.
Verificarea ipotezelor statistice parcurge următoarele etape:
• pe baza datelor statistice se construiesc funcţiile empirice de repartiţie
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
109
• se alege una sau mai multe funcţii care se presupune că modelează variabila
aleatoare
• se estimează printr-o metodă oarecare parametrii tuturor funcţiilor ipotetice
• se aplică unul din testele statistice de verificare a ipotezelor (testul χ2 , testul
Kolmogorov – Smirnov , etc.. )
I.11.1. PUTEREA UNUI TEST
Există şi teste de verificare a ipotezelor asupra valorii parametrilor unei repartiţii. Ne
propunem să verificăm ipoteza conform căreia parametrul λ ia valoarea λ0 .
Notăm această ipoteză cu H0 şi o numim ipoteza nulă .
Presupunem că afară de λ0 parametrul λ mai poate lua şi una din valorile
λ1,λ2 …..λn
Ipotezele :
λ
λλ
λ
λ
λ
nnH
HH
=
=
=
:..
:
:
22
11
se numesc ipoteze alternative (375)
Deci :
ealternativipoteze
nulaipoteza
nnH
HH
H
−
−
=
=
=
=
λ
λλ
λ
λ
λ
λ
λ
:
:
:
:
0
22
11
00 (376)
Ipoteza nulă şi ipotezele alternative constituie ipotezele admisibile asupra valorii
parametrului λ.
Fie două ipoteze admisibile :
• ipoteza nulă - λλ 00 : =H
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
110
• ipoteza alternativă - λλ 11 : =H
Mulţimea tuturor observaţiilor posibile se împarte în două regiuni distincte :
V – numită regiune critică
CV - numită regiune de acceptare
• Ipoteza se acceptă dacă rezultatul observaţiei cade în regiunea CV de acceptare
• Ipoteza se respinge dacă rezultatul observaţiei cade în regiunea critică V
Dacă avem o relaţie x1 , x2 ……..xn
şi dacă ( x1 , x2 ……..xn ) ∈ V - respingem ipotezo H0 (nulă)
(şi acceptăm ipoteza H1 ).
şi dacă ( x1 , x2 ……..xn ) ∈ CV - acceptăm ipotezo H0 (nulă)
(şi respingem ipoteza H1 ).
Acceptând sau respingând o ipoteză se pot comite două feluri de erori :
• Erori de ordinul întâi , având probabilitatea α
( )[ ]Hxxx Vp n 021 /......, ∈=α (377)
reprezintă eroarea de a respinge ipoteza H0 când ea este adevărată
(în general α=0,01 sau α=0,05)
α - se numeşte prag de semnificaţie
• Erori de ordinul doi , având probabilitatea β
( )[ ]Hxxx CVp n 121 /.... ∈=β (378)
şi reprezintă eroarea de a accepta ipoteza H0 când ea este falsă.
Cu cât α şi β sunt mai muci cu atât testul este mai puternic
Dintre toate mulţimile V care satisfac relaţia
( )[ ] α=∈ Hxxx Vp n 021 /......, (379)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
111
trebuie să alegem o mulţime care servesc ca o bază a testului , această mulţime este
cea pentru care :
( )[ ] β=∈ Hxxx CVp n 121 /......, (380)
are valoarea minimă. Această regiune determinată în acest caz de mulţimea V este
cea mai bună regiune critică iar testul bazat pe cea mai bună regiune critică se
numeşte cel mai puternic test.
I.11.2 . TESTUL χ2
Acesta este un test neparametric pentru verificarea timpului funcţiei de repartiţie.
Este bazat pe criteriul comparării frecvenţelor .
Fie Xn(x1 , x2 ……..xn) o selecţie de volum n , ordonată sub forma unui şir variaţional.
Se împarte axa ( 0 , ∞ ) în N intervale ;
[ 0 , x1 ) , [x1, x2 ) ………..[xN-1, ∞ )
Fie pi probabilitatea ca valoarea xi să aparţină unui interval [xi-1, xI].
Conform funcţiei de repartiţie :
( ) ( )∫∫−−
== xx
dxxfxx
xdF i
i
i
ipi
11 (381)
F(x) – este funcţia de repartiţie ipoteză.
Testul constă în compararea abaterii frecvenţelor sub formă absolută ( deci
frecvenţele absolute ) individual sau global.
Dacă abaterile sunt mici ( în nişte limite date , cu o anumită probabilitate dată )
funcţia estimată este cea reală.
Pentru aceasta se calculează expresia:
[ ]
∑−
=N
ti
tiei1
2.2
νννχ (382)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
112
ν e - frecvenţa absolută empirică a variabilei aleatoare pe intervale
ν t - frecvenţa teoretică
( )dxxx
xfNN i
ipiti ∫
−
==1
.ν (383)
Se controlează dacă în limitele unei probabilităţi date egală cu δ probabilitatea
P(χ2>χ02) satisface ecuaţia :
δχχ =
>
2.
0
2p (384)
unde :
χ02 – este tabelat în funcţie de δ şi de numărul de grade de libertate.
Dacă există S parametri şi aceştia sunt estimaţi cu aceeaşi selecţie se reduce
numărul gradelor de libertate de la N -1 la N – S – 1.
Există ipotezele :
H0 : F(x) – este funcţia de repartiţie căutată (ipoteza nulă)
H1 : F(x) – nu este funcţia de repartiţie căutată (ipoteza alternativă)
Ipoteza se acceptă la pragul de încredere α ( F(x) este funcţia de repartiţie
căutată ) dacă :
( )12222
−−≤≤ SNsau χχχχ α (385)
Ipoteza nu este acceptată la pragul de semnificaţie α ; ( F(x) nu este funcţia de
repartiţie căutată)
Dacă :
( )122
−> Nχχ (386)
α = 1-δ - se numeşte prag de semnificaţie sau nivel de
semnificaţie
.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
113
PARTEA a II- a
FIABILITATEA SISTEMELOR DE PROTECŢIE ŞI AUTOMATIZARE ALE INSTALAŢIILOR
ELECTROENERGETICE
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
114
II.1. MODELUL FIABILITĂŢII PREVIZIONALE
Fiabilitatea previzională, reprezintă fiabilitatea evaluată pornind de la
concepţia sistemului şi de la datele cu privire la componentele de realizare ale
acestuia având drept scop prognozarea comportării în exploatare a sistemului
considerat. [GEBA 85 ]
II.1.1. MODELELE DE FIABILITATE ALE RELEELOR ŞI SISTEMELOR DE PROTECŢIE
Studiul fiabilităţii sistemelor de securitate presupune abordarea complexă a
problematicii aferente acestora. Astfel, în cele ce urmează, se tratează de la simplu
la complex fiabilitatea:
− releului simplu, ca element de sine stătător;
− releului complex, compus din mai multe relee simple;
− sistemului de protecţie, alcătuit din unul sau mai multe relee complexe în
conexiune cu transformatoarele de măsură, sursele de curent continuu şi
elementele din dispozitivul de acţionare;
− sistemului de protecţie, plus dispozitivul de acţionare, plus echipamentul de
comutare (întrerupătorul);
− elementului protejat, cu două celule, prin care este racordat la sistemul energetic;
− elementului protejat, inclusiv a celor n celule, ale căror echipamente de comutaţie,
sunt comandate de instalaţia de securitate.
II.1.2. DEFINIŢII ŞI CONCEPTE
Sistemele de putere (SP), fac parte din categoria sistemelor mari, a căror
funcţionare are efecte sociale majore.
Elementele primare (EP), precum:
− generatoarele (G),
− transformatoarele (T),
− liniile (L),
− barele colectoare (BC),
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
115
sunt cele prin a căror funcţionare, energia electrică (EE) ajunge la consumatori în
momentul în care este produsă.
Cerinţa, privind continuitatea în alimentare a consumatorilor, este realizată
prin disponibilitatea EP şi prin redundanţă (rezervare).
Disponibilitatea necesară pentru EP, este realizată prin fiabilitatea (R) lor şi
prin mentenanţă (M).
La defectarea unui EP, când asupra sa se execută lucrări de mentenanţă,
nemaifiind necesară funcţionarea, elementul trebuie să poată fi izolat de restul
sistemului primar, care trebuie să rămână în funcţiune.
Această cerinţă este realizată prin încadrarea (figura 50) tuturor elementelor
primare cu întrerupătoare (I) sau mai corect celule. Acestea din urmă fiind
subsisteme complexe, care îndeplinesc următoarele funcţiuni multiple, dintre care, în
continuare ne interesează trei:
− funcţia de comandă (FC) - care constă din punerea şi scoaterea din
funcţiune voită de către operator;
− funcţia de protecţie (FP) - care constă în izolarea elementului defect de
celelalte elemente ale sistemului, care trebuie să rămână în funcţiune;
− funcţia de izolare (FI) - care constă în izolarea unui întrerupător sau EP
defect sau aflat în mentenanţă.
Modelarea protecţiilor, în studiul fiabilităţii sistemelor de putere, poate fi
făcută,numai printr-o corectă localizare a lor în schemele monofilare ale SP şi, o
corectă analiză a efectelor funcţionării sau nefuncţionării lor.
Protecţia sesizează apariţia unui defect, localizează defectul şi comandă
declanşarea întrerupătoarelor, care realizează legătura dintre elementele primare
integre şi cel defect.
Nefuncţionarea protecţiei sau a întrerupătorului comandat are acelaşi efect,
dar include în zona defectă şi elementele primare vecine integre.
În studiile de până acum s-a modelat împreună cu întrerupătorul şi protecţia
aferentă lui. Neabordarea diferenţiată a făcut ca şi datele privind funcţionarea să fie
reduse.
În continuare, se va încerca modelarea detaliată a protecţiilor, pornind de la o
analiză a defecţiunilor protecţiilor şi o detaliere a nefuncţionării protecţiilor în funcţie
de poziţia acestora în sistemul primar.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
116
Acesta din urmă extinde un model propus anterior [IVAS 94].
Trebuie remarcat că efectele nonfiabilităţii protecţiilor sistemelor primare pot fi
analizate din puncte de vedere diferite, dar convergente, din care enumerăm:
− privim sistemul primar în sine;
− privim un element primar al sistemului primar;
− privim numai protecţia;
− privim sistemul primar din punct de vedere al serviciului pe care acesta îl
asigură consumatorilor (alimentarea acestora cu energie electrică).
Ultimul punct de vedere este cel corect, conţinându-le pe celelalte.
II.1.3. LOCUL ŞI ROLUL PROTECŢIILOR
Vorbind despre protecţii ne referim la:
− un releu de protecţie;
− o protecţie destinată unui anumit defect (de distanţă, maximala de curent, etc.) care este deja un subsistem de relee, traductoare, etc.;
− protecţiile montate pe un întrerupător, destinate declanşării acestuia la defectarea elementelor primare pentru care acestea sunt montate;
− sistemul global de protecţie şi automatizare a unui sistem primar.
II.1.4. VARIANTE DE ECHIPARE PRIMARĂ A UNUI ELEMENT PRIMAR CU
ÎNTRERUPĂTOARE RESPECTIV PROTECŢII
Din punctul de vedere al unui element primar, acesta poate fi echipat
(comandat, protejat, izolat, etc.) după cum urmează:
− un întrerupător - în cazul elementelor schemelor radiale (figura 30.a) şi a
generatoarelor);
− două întrerupătoare - în cazul elementelor de interconexiune cu câte un
întrerupător la capăt (figura 30.b);
− trei sau patru întrerupătoare, la elementele de la punctul anterior, cu două
întrerupătoare la un capăt (figura 30c) sau la ambele capete (figura 30.d);
− mai multe întrerupătoare, în cazul barelor colectoare şi transformatoarelor cu mai
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
117
multe înfăşurări (figura 30.e).
Ep - element protejat
Ep1 - linie radială
Ep2 - generator
Ep3 - linie de interconexiune
Ep4 - bară colectoare
Generalizând
cazul din figura 30.e,
rezultă că elementele
sistemelor de putere pot
fi caracterizate de
contururi de protecţie,
materializate de celulele
prin care se face
izolarea lor voită sau
forţată, de celulele
elementelor vecine
( )N nN1− energizate (care reprezintă surse sau sunt legate la surse pe alte căi).
Un defect la elementul E, din figura 30, va fi izolat prin funcţia de protecţie a
întrerupătoarelor (celulelor) care-l leagă cu vecinii (I1, I2, I3 şi I4), dacă toate cele patru
zone rămân energizate după deschiderea întrerupătoarelor (dacă de exemplu N2
este alimentată radial prin E, I2 nu va declanşa).
În caz de refuz a unui întrerupător (de exemplu I4), izolarea se va face prin
aceeaşi funcţie a întrerupătoarelor conturului (elementului) vecin (Nn), care va fi izolat
simultan cu E, de aşa numita protecţie de rezervă, materializată aici de
întrerupătoarele I5 şi I6, cu aceeaşi condiţie enunţată anterior privind sursele.
Este ilustrat aici efectul multiplicator de avarii la nefuncţionarea protecţiilor.
Multiplicarea avariei (declanşarea lui Nn prin I5, I6), la defectarea lui E şi refuzul
lui I4 (figura 31), se realizează numai pe durata comutărilor normale Tm, când se
apelează la funcţia de izolare a celulei (I4) dupa care Nn se repune în funcţiune. E, va
fi repus, după timpul de reparaţie Tr, de înlăturare a avariei care a generat
fenomenul.
~ Linie de interconexiune
sau trafo Ep3
Ep3
Ep3
Ep1,2,3 Ep1,2,3
Ep4
Ep1 (linie radială)
Ep2 (generator
a)
b) c) d) e)
Figura 30 Variante de echipare ale unui element primar
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
118
II.1.5. DEFECŢIUNI ALE PROTECŢIILOR ŞI EFECTELE LOR
Din punct de vedere a fiabilităţii, protecţiile pot fi considerate ca sisteme
particulare.
Particularităţile lor se încearcă a fi evidenţiate în continuare.
A. - au o singură stare de funcţionare corectă şi mai multe stări de defect şi
anume:
a. declanşează corect;
b. declanşează eronat
b1 fără ca elementul protejat să se defecteze
b2 cu altă temporizare decât cea corectă;
c. nu declanşează la defect;
d. anclanşează fără comandă.
N1
E N2 Nn
N3
I3
I2 I4
I1
Figura 31
Element încadrat în sistem
cu considerarea vecinilor săi
E - element (zonă
protejată)
N1÷Nn - element (zonă
protejată) vecină
I5
I6
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
119
Efectele acestora sunt următoarele:
a. izolează doar elementul primar defect, pe o perioadă egală cu
timpul de reparat Tr
b1. scoate elementul primar, Ep, din funcţiune, doar pentru perioada
unei repuneri în funcţiune prin comutări;
b2. poate duce la declanşări eronate ale altor protecţii;
c. măreşte zona deconectată (dezenergizată), cu zonele aferente
integre, legate de elementul primar protejat, prin întrerupătorul care
refuză declanşarea . Zonele deconectate eronat pot fi repuse în
funcţiune, prin comutări după izolarea întrerupătorului care a refuzat
să lucreze;
d. poate pune în pericol personalul de exploatare (întreţinere) şi
funcţionarea sistemului când zona energizată nedorit este defectă.
B. - au elementele în funcţiune tot timpul (TT, TC, CO) şi elemente (figura 52,
pentru scheme mai complexe), care funcţionează numai la apariţia
defectului (RC, DA, I).
Defecţiunile acestora din urmă, sunt evidenţiate, numai dacă, elementul primar
protejat, pentru care este montată protecţia, se defectează. Precum şi dacă, se fac
lucrări de verificare preventivă sau dacă instalaţiile de protecţie sunt prevăzute cu
funcţii de autotestare.
Efectele în această situaţie sunt următoarele:
− Ieşirea din funcţie a protecţiei nu are efecte negative, dacă este descoperită
înainte ca elementul primar protejat să se defecteze (de exemplu la o operaţie de
mentenanţă). De aici, rezultă concluzii privind politica de mentenanţă sau
autodiagnosticul protecţiei.
− Precizia indicatorilor de fiabilitate a protecţiilor, obţinuţi prin selecţie, depinde de
fiabilitatea elementului primar protejat (EP).
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
120
II.1.6. MODELUL DE FIABILITATE AL UNUI RELEU SIMPLU
Cel mai adesea, releele de protecţie sunt sisteme complexe.
Principial însă, ele sunt de fapt comparatoare, K, între doi sau mai mulţi parametri de
intrare Mi şi o mărime de referinţă (reglaj) R0 (figura 33) cu mărimea de ieşire I, care
ideal, trebuie să îndeplinească următoarele condiţii: Ipentru M R
pentru M Ri
i
=≤
>
0
10
0
reprezentate în varianta ideală prin figura 33.b
• Cazul releelor maximale Parametrul supravegheat de releu are însă două domenii, care arareori se
suprapun şi, care pot fi apreciate ca două mărimi distribuite şi anume: cele normale
N şi cele de avarii,A.
Teoretic, numai acestea pot fi considerate constante (figura 34).
• I- întrerupător • DA- dispozitiv de
acţionare • RC- contactul
releului • RB- bobina
releului • TT- transformator
de tensiune • TC- transformator
de curent • EP- element
primar protejat • C O- curent
operativ
RB
RC CO
(+)
(-)
EP
TT
TC
I DA
Figura 32 Elementul primar şi protecţia asociată lui
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
121
Mi
R0 K
I
Mi
R0 K
I TC
Mi R0
1
P I
a) b)
Mi R0
1
P I
c) d)
Figura 33 Modelul releului simplu
Fiecare din funcţiile de distribuţie din figura 34, pot fi obţinute prin tehnici de
selecţie şi estimaţie a parametrilor.
Odată cunoscute, calculul probabilităţilor de acţionare falsă (intempestivă) sau
rateuri (refuzuri), pot fi obţinute prin integrare (figura 35).
Riscul de funcţionare intempestivă este dat de relaţia:
( ) ( )q f da f draA
Xr
X
R
m
Mint = +⋅∫ ∫ (387)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
122
N R0 A Mi
P
1
a) ideal N R0 A Mi
P
1
b) real corect
N R 0 A Mi
P
1
c) pericol de refuz
P
1
d) prericol de acţionare intempestivă
N R0 A Mi
P
1
e) cu probabilitate atât de refuz cât şi de funcţionare intempestivă
N R 0 A Mi
f(mn) f(n) f(ma)
Figura 34 Funcţiile de distribuţie în
cazul releelor maximale
Rm Am X RM AM
f(r) f(a) P
1
Figura 35 Funcţii de distribuţie corespunzătoare valorilor de reglaj
şi de avarie în cazul releelor maximale ( )f fr a( ) ( ) - funcţia de distribuţie a mărimii de referinţă (avarie)
Rm(Am) - valoarea minimă a mărimii de referinţă (avarie)
RM(AM) - valoarea maximă a mărimii de referinţă (avarie)
Cazul releelor minimale În cazul releelor de tip minimal situaţia se prezintă ca în figura 36.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
123
În mod similar celor prezentate la releele maximale, pentru cazul releelor
minimale (figura 37) riscul de funcţionare eronată (refuz) este:
( ) ( )q f dr f daref rR
Xa
X
A
m
M= +∫ ∫ (388)
A R0 N Mi
P
1
a) ideal A R0 N Mi
P
1
b) real corect
A R i N Mi
P
1
c) prericol de refuz
P
1
d) prericol de acţionare intempestivă
A R 0 N Mi
P
1 e) există atât riscul funcţionărilor intempestive cât şi al refuzurilor
A R 0 N Mi
Figura 36 Funcţiile de distribuţie în cazul releelor minimale
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
124
pentru cazul comparatorului ideal.
II.1.7. MODELE DE FIABILITATE A SISTEMELOR DE PROTECŢIE MONTATE PE ÎNTRERUPĂTOARE
Sistemele de protecţie echipează un întrerupător şi comandă deschiderea
acestuia, la defectarea elementului primar (EP) corespunzător. Sistemele de
protecţie, conţin traductoare, relee specializate, relee intermediare, surse de curent
operativ, etc. Vom considera, că de asemeni, fac parte din sistemele de protecţie,
dispozitivele de acţionare ale întrerupătoarelor şi întrerupătoarele propriu-zise.
Modelele care rezultă în aceste situaţii arată ca în figura 38a şi b.
Cu ajutorul lor se poate calcula, cu uşurinţă probabilitatea de succes, a izolării
unui defect de către întrerupător, care va fi necesară în continuare.
Din schemele prezentate rezultă unele concluzii privind creşterea fiabilităţii
protecţiilor, de exemplu prin utilizarea unor elemente TC şi TT diferite pentru cele
două protecţii, sau chiar a două surse de curent operativ diferite [VIZI 97/1]
Am A Rm X AM R RM
f(a) f(r)
Figura 37 Funcţii de distribuţie corespunzătoare valorilor de avarie
şi de reglaj în cazul releelor minimale
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
125
II.1.8. MODEL DE CALCUL A FIABILITĂŢII UNUI ELEMENT PRIMAR CU CONSIDERAREA ECHIPĂRII ACESTUIA CU PROTECŢII. Vom analiza cazul cel mai frecvent (figura 30.b) pe care-l detaliem în fig. 39.
L2
∼ ∼
Sursă
Vecin 1 N1
Vecin 2 N2
E I1
IC1 L1 IC2
IS1 IS1
I2
S2
Figura 39 Încadrarea unui element primar echipat cu două întrerupătoare în sistemul de putere
Elementul primar, E, caracterizat de intensităţile de defectare (reparare), λE
(µE) şi protejat de întrerupătoarele I1 şi I2, în ai căror indicatori de fiabilitate includem
TC
TT
RS
CO RC
DA I
a)
DA I CO RC1
RC2
RB1
RB2
TC
TT b)
Figura 38 Sisteme de protecţii montate pe întrerupătoare
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
126
şi protecţiile, conform modelelor din paragraful anterior, în care întrerupătoarele
constituie conturul lui, E faţă de elementele vecine N1 şi N2.
Elementele N1 şi N2 au la rândul lor, fiecare, două categorii de vecini şi
anume:
− surse reprezentate generic în figură prin S1 şi S2;
− consumatori (A1 şi A2).
Pentru a putea obţine un model, care să cuprindă, pe lângă fiabilitatea
elementului primar şi influenţele protecţiilor montate pe I1 şi I2 şi a elementelor
vecine, s-a întocmit un graf al stărilor, pentru exemplul din figura 59, prezentat în
figura 40, în care:
E - elementul primar;
N1, N2 - elementele (conturului) vecine;
A1, A2 - consumatorii racordaţi la N1, N2;
X - element integru;
X - element defect energizat;
X - element integru dezenergizat;
X - element defect dezenergizat;
E I1(I2) - elementul E energizat prin I1(I2);
( )λ µX Xi i - intensitatea de defectare (reparare) a elementului Xi;
Tm - timp de comutare normală;
λmmT
=1
- intensitatea de comutare normală a unui vecin N;
λmm - intensitatea de comutare normală a lui N1 şi N2;
Tk - timpul de comutare automată;
λkkT
=1
- intensitatea de comutare automată;
Pi - probabilitatea de funcţionare reuşită, a întrerupătorului Ii şi a protecţiei
aferente;
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
127
q pi i= −1 - probabilitatea de insucces, a întrerupătorului Ii şi a protecţiei
aferente.
22 A1 N1 E N2 A2
25 A1 N1 E N2 A2
24 A1 N1 E N2 A2
23 A1 N1 E N2 A2
14 A1 N1 E N2 A2
15 A1 N1 E N2 A2
16 A1 N1 E N2 A2
17 A1 N1 E N2 A2
12 A1 N1 E N2 A2
18 A1 N1 E N2 A2
19 A1 N1 E N2 A2
20 A1 N1 E N2 A2
21 A1 N1 E N2 A2
25 A1 N1 E N2 A2
0 A1 N1 E N2 A2
1 A1 N1 E N2 A2
2 A1 N1 E N2 A2
3 A1 N1 E N2 A2
4 A1 N1 E N2 A2
5 A1 N1 E N2 A2
6 A1 N1 E N2 A2
8 A1 N1 E N2 A2
9 A1 N1 E N2 A2
7 A1 N1 E N2 A2
10 A1 N1 E N2 A2
11 A1 N1 E N2 A2
λN2
qSλK qSλK
λN1
pSλK pSλK
λm
λN2 λN1
q1qSλK
p1qSλK
p1pSλK
pSq1λK
λm
λm
λm
λm
λmm
λN2 λN1
λmm q2qSλK
p2qSλK
p2pSλK
µN1 µN2
µE λE
q1p2λK q1q2λK
p1q2λK p1p2λK
λm λm
λmm
µN1 µN2
λN1 λN2
λm λm
pSλK pSλK qSλK qSλK
µE µE
Figura 40 Graful stărilor unui element primar echipat cu două întrerupătoare aflat întrun sistem de putere
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
128
Studiu de caz
Modelul de fiabilitate
prezentat în figura 40 [VIZI 97/4],
în care N1 şi N2 semnifică vecinii
elementului primar E, pentru care
sunt cunoscuteλN1=λN2=0,0004[h-1]
şi µN1=µN2=0,02[h-1], ştiindu-se de
asemenea λE=0,0002[h-1] şi
µE=0,05[h-1], precum şi Tk=10-3[h-1]
şi Tm=0,5[h-1], conduce la un
număr de întreruperi care
afectează sarcina conectată în
nodul N1, ca cel prezentat în figura
41’.[VIZI 97/2],
II.2. MODELUL FIABILITĂŢII EXPERIMENTALE
Fiabilitatea experimentală, reprezintă fiabilitatea rezultată în urma încercărilor
experimentale, făcute cu produsul realizat, în scopul depistării şi diagnosticării
defectelor.
II.2.1. EXPRESIILE MATEMATICE ALE PROBABILITĂŢILOR ANSAMBLULUI CONSTITUIT DE PROTECŢIA DE DISTANŢĂ
În [SING 80], [ANDE 84], [ALLA 82], sunt prezentate, atât aspecte care
vizează fiabilitatea operaţională, cât şi aspecte care vizează fiabilitatea
experimentală a instalaţiilor de protecţie şi automatizare, fără însă a fi diferenţiate.
După opinia noastră, chestiunile trebuie disociate, întrucât, rezultatele sunt diferite.
Adică, este posibil să se decidă într-un singur fel pentru situaţia în care realitatea
comportă aspecte diferite, tocmai din cauza faptului că nu se sesizează că
problemele aparţin la planuri diferite.
Figura 41’ Numărul de întreruperi care afectează sarcina dintr-un nod (N1)
3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5
M[ν(t)]N1
q=0,4
q=0,25
q=0,1
λE10-3 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
129
Ne vom ocupa, în cele ce urmează, de fiabilitatea experimentală (numită de
unii autori şi tehnică [GEBA 84]), respectiv de testarea în regim accelerat a
instalaţiilor de protecţie complexe.
Fiabilitatea protecţiilor prin relee reprezintă probabilitatea ca sistemul de protecţie să fie în stare de funcţionare în intervalul (0, t) - adică sistemul să se afle în una din stările Sne sau Smp .
Se caută expresiile matematice, ale probabilităţilor de funcţionare neeronată,
de refuz, de funcţionare intempestivă, precum şi probabilitatea ca protecţiile de
distanţă testate, în condiţii de laborator, să comunice răspunsuri eronate.
Pentru determinarea cantitativă a performanţelor releelor de distanţă, ale căror
caracteristici de funcţionare t f z= ( ) au forma unor trepte (figura 42), se foloseşte o
instalaţie specială, concepută de autor [VIZI 92/4]. [VIZI 92/6], [BARO 88], [NITU
80],[NITU 81].
Definim următoarele mărimi:
-probabilitatea funcţionărilor, corecte corespunzătoare treptei i :
PFNi
i
i
= (389)
-probabilitatea refuzurilor, corespunzătoare treptei i:
J RNi
i
i
= (390)
t4
t3
t2
t1
t
tr.I tr.II
tr.III tr.IV
z1 z2
z3 z4
z
Figura 42 Caracteristica în trepte a protecţiilor de distanţă
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
130
-probabilitatea funcţionărilor intempestive, corespunzătoare treptei i:
I ENi
i
i
= (391)
-probabilitatea ca protecţia să transmită răspunsuri eronate, în treapta i:
Q R ENi
i i
i
=+ (392)
unde: Fi - reprezintă numărul de funcţionări corecte, în treapta i;
Ei - numărul de funcţionări intempestive, corespunzătoare treptei i;
Ri - numărul de refuzuri de acţionare, în treapta i;
Ni - numărul de solicitări ale protecţiei, în treapta i.
Odată stabilite relaţiile probabilităţilor Pi, Ji, Ii şi Qi (relaţiile (393÷396), ale
protecţiei pentru treapta i, se determină funcţie de acestea, prin înlocuirea lui Fi, Ri, Ei
şi Ni corespunzătoare numărului testelor făcute în treapta I, următoarele valori:
tr. I P FN1
1
1
= J RN1
1
1
= I EN1
1
1
= Q R EN1
1 1
1
=+ (393)
tr. II P FN2
2
2
= J RN2
2
2
= I EN2
2
2
= Q R EN2
2 2
2
=+ (394)
tr. III P FN3
3
3
= J RN3
3
3
= I EN
i3
3
3
= Q R EN3
3 3
3
=+ (395)
tr. IV P FN4
4
4
= J RN4
4
4
= I EN4
4
4
= Q R EN4
4 4
4
=+ (396)
Dacă probele vor fi făcute pentru mai multe relee, de exemplu m relee, pentru
fiecare din ele vor fi determinate valorile:
Fik( ) k ∈ (1,2,...,m)
Rik( ) k ∈ (1,2,...,m)
Eik( ) k ∈ (1,2,...,m)
Pentru releul de distanţă, în ansamblul său, vom avea următoarele
probabilităţi:
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
131
P F F F FN N N N
F
N
M M M M SM
S
SS
=+ + ++ + +
= =
=
∑
∑1 2 3 4
1 2 3 4
1
4
1
4 (397)
J R R R RN N N N
R
N
M M M M SM
S
SS
=+ + ++ + +
= =
=
∑
∑1 2 3 4
1 2 3 4
1
4
1
4 (398)
I E E E EN N N N
E
N
M M M M SM
S
SS
=+ + ++ + +
= =
=
∑
∑1 2 3 4
1 2 3 4
1
4
1
4 (399)
Q E E E E R R R RN N N N
E R
N
M M M M M M M M SM
SSM
S
SS
=+ + + + + + +
+ + +=
+= =
=
∑ ∑
∑1 2 3 4 1 2 3 4
1 2 3 4
1
4
1
4
1
4 (400)
unde: P - reprezintă probabilitatea de funcţionare corectă a protecţiei de distanţă;
J - reprezintă probabilitatea de refuz a protecţiei de distanţă;
I - probabilitatea ca releul de distanţă să funcţioneze intempestiv;
Q - probabilitatea ca protecţia să comunice răspunsuri eronate.
Valorile lui FM1 , FM
2 , FM3 , FM
4 sunt determinate ca medii, după testarea unui
număr M de relee în treptele 1, 2, 3 şi 4. Astfel, dacă F k1( ) este numărul de funcţionări
corecte ale releului k în treapta 1, atunci când pentru aceasta s-au făcut N1 teste:
releul 1 releul 2 ..... releul k ..... releul m ↓ ↓ ↓ ↓ F1
1( ) F12( ) F k
1( ) F m
1( )
putem scrie valorile medii FSM (s = 1,2,3,4) astfel:
FF F F F
m mFM
k mk
k
m
111
12
1 11
1
1=
+ + + + += ⋅
=∑
( ) ( ) ( ) ( )( )
(401)
care reprezintă valoarea medie a funcţionărilor corecte, în treapta întâia,
corespunzătoare celor m relee cărora li s-au făcut câte N1 testări,
respectiv : FF F F F
m mFM
k mk
k
m
221
22
2 22
1
1=
+ + + + += ⋅
=∑
( ) ( ) ( ) ( )( )
(402)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
132
care reprezintă valoarea medie a funcţionărilor corecte în treapta a doua,
FF F F F
m mFM
k mk
k
m
331
32
3 33
1
1=
+ + + + += ⋅
=∑
( ) ( ) ( ) ( )( )
(403)
FF F F F
m mFM
k mk
k
m
441
42
4 44
1
1=
+ + + + += ⋅
=∑
( ) ( ) ( ) ( )( )
, (404)
care reprezintă aceleaşi valori medii, corespunzătoare treptelor trei respectiv patru.
Se poate scrie în general:
Fm
FSM
Sk
k
m
= ⋅=
∑11
( ) (405)
În mod similar:
RR R R R
m mRS
M S S Sk
Sm
Sk
k
m=
+ + + + += ⋅
=∑
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 2
1
1 (406)
EE E E E
m mES
M S S Sk
Sm
Sk
k
m=
+ + + + += ⋅
=∑
( ) ( ) ( ) ( )( )
1 2
1
1 (407)
Înlocuind valorile lui FM1 , FM
2 , FM3 , FM
4 se obţine:
P mF
mF
mF
mF
N
k
k
mk
k
mk
k
mk
k
m
SS
=⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅
= = = =
=
∑ ∑ ∑ ∑
∑
1 1 1 11
12
13
14
1
1
4
( ) ( ) ( ) ( )
(408)
sau
PF
N
mF
N
F
m N
SM
S
SS
Sk
k
m
S
SS
Sk
k
m
S
SS
= =⋅
=⋅
=
=
==
=
==
=
∑
∑
∑∑
∑
∑∑
∑1
4
1
411
4
1
411
4
1
4
1 ( ) ( )
(409)
Deci PF
m N
Sk
k
m
S
SS
=⋅
==
=
∑∑
∑
( )
11
4
1
4 (410)
În mod similar se demonstrează că:
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
133
JR
m N
Sk
k
m
S
SS
=⋅
==
=
∑∑
∑
( )
11
4
1
4 (411)
IE
m N
Sk
k
m
S
SS
=⋅
==
=
∑∑
∑
( )
11
4
1
4 (412)
QE R
m N
Sk
k
m
SSk
k
m
S
SS
=+
⋅
== ==
=
∑∑ ∑∑
∑
( ) ( )
11
4
11
4
1
4 (413)
Dacă releul are L trepte şi notăm cu V una din mărimile P, J, I se obţin relaţiile
generale, "relaţiile FRE" (414), în ipoteza că numărul de teste din fiecare treaptă
este egal N1=N2=...=NL=N*:
V∈P,J,I
T∈F,R,E (414)
Acestea, reprezintă probabilităţile de funcţionare neeronată (V=P, T=F), de refuz,
(V=J, T=R), de funcţionare intempestivă, (V=I, T=E) şi probabilitatea ca protecţia să
comunice răspunsuri eronate[VIZI 92/3],.
Studiu de caz Prin testarea la diverse valori ale impedanţei a unor relee frecvent utilizate în
reţelele de 110 kV cu ajutorul simulatorului de defecte s-au obţinut rezultate care pot
fi sintetizate în grafice de tipul celor din figurile 43, 44, 45. Dacă se imaginează un
+=
=
∑∑∑∑
∑∑
= == =
= =
L
S
m
k
kS
L
S
m
k
kS
L
S
m
k
kS
RELmN
Q
TLmN
V
1 1
)(
1 1
)(*
1 1
)(*
1
1
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
134
ecart de timp în jurul valorii timpului, care ar trebui obţinut pentru impedanţa reglată,
se pot reţine şi număra funcţionările pentru care timpul de răspuns este în afara
ecartului. De exemplu: pentru releele D114, în cazul unui ecart de ±40 ms (figura 63),
în jurul valorii t=140 ms (la o impedanţă Z=16,5 ohmi), se constată 2 funcţionări
intempestive pentru 50 de teste, deci probabilitatea de funcţionare intempestivă este
2/50 = 4%. Pentru releele PD3/2, în cazul unui ecart de ±100 ms (figura 64), în jurul
valorii t=1040 ms (la o impedanţă Z=18ohmi, corespunzătoare treptei a doua), se
constată 8 funcţionări intempestive, pentru 50 de teste, deci probabilitatea de
funcţionare intempestivă este 8/50 = 16%. De asemeni pentru releele RD110, în
cazul unui ecart de ±20 ms în jurul valorii t=105 ms (la o impedanţă Z=16,5ohmi) se
constată 2 funcţionări intempestive, pentru 50 de teste. Deci probabilitatea de
funcţionare intempestivă este 2/50 = 4% şi 3 refuzuri adică probabilitatea de refuz
este 3/50 = 6%.
Variaţia timpului de răspuns pentru o impedanţă fixată Z1_3=16,5ohm în cazul releului D114
80100120140160180
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
număr test
timp
răsp
uns
Figura 43
Variaţia timpului de răspuns pentru o impedanţă fixată Z1_5=18ohm în cazul releului PD3/2
640740840940
10401140
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
număr test
timp
răsp
uns
Figura 44
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
135
Variaţia timpului de răspuns pentru o impedanţă fixată Z1_3=16,5ohm în cazul releului RD110
8090
100110120130140
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49
număr test
timp
răsp
uns
Figura 45
II.2.2. MODELUL TIMPULUI DE RĂSPUNS, CA VARIABILĂ ALEATOARE, PENTRU RELEE DE DISTANŢĂ.
Fie un releu de distanţă, având caracteristica t=f(z), în trepte, figura 46(vezi si
fig.47), timpul de răspuns fiind dependent de impedanţa până la locul de defect.
Presupunând un număr de solicitări (nsol), fixat, în raport cu care se observă
răspunsurile protecţiei (nr), în funcţie de timpul după care este transmis impulsul de
declanşare pentru un reglaj fix privind impedanţa de defect (Z fixat), se calculează
raportul nr/np, adică probabilitatea de răspuns, care se reprezintă în funcţie de timpul
de răspuns tr (figura 47).
Figura 46Testarea protecţiilor de distanţă în vecinătatea impedanţelor
de trecere dintr-o treaptă în alta
t4
t3
t2
t1
t
zreg
zreg2 zreg3
z A
B
C
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
136
Tz - timpul de răspuns al protecţiei corespunzător treptei de impedanţă Z fixată pe
releu.
Răspunsurile se vor înscrie, pe o curbă ca cea din figura 47, căreia îi
corespunde densitatea de probabilitate f(tr), cu ajutorul căreia se pot determina o serie
de mărimi foarte utile analizei modului de comportare a releelor de impedanţă.
Dacă, în jurul timpului Tz, se dau limitele Tz - a respectiv Tz + a, se consideră
răspunsuri favorabile ale protecţiei, cele corespunzătoare ecartului [ ]T a T az z− +, .
Dacă t T ar z< − - funcţionarea protecţiei se consideră intempestivă.
Dacă t T ar z> + - funcţionarea protecţiei se consideră întârziată, respectiv
avem de-a face, cu un refuz de funcţionare în treapta considerată a protecţiei.
În raport cu Tz, funcţionarea releului se poate înscrie în una din următoarele
situaţii:
a) Curba deplasată la dreapta (2), adică cea pentru care probabilitatea
maximă se obţine pentru valori ale timpului de răspuns t T Tr z z= >' (fig.48)
b) Curba deplasată la stânga (3), adică, cea pentru care probabilitatea
maximă se obţine, pentru valori ale timpului de răspuns t T Tr z z= <' ' (fig.49)
c) Curba înscrisă (4), adică, cea care are maxima atinsă tot pentru
t Tr z= .(fig.50),dar este de dispersie mai mica
n
nr
sol
a a
Tz tr
Figura 47
1
Fig.47. Funcţia de distribuţie a răspunsurilor
pentru protecţiile de distanţă
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
137
d) Curba circumscrisă (5), adică acea curbă care are maximul atins tot pentru
t Tr z= , dar este de dispersie mai mare(fig.51)
Figura 48 Curba caracteristica refuzurilor de funcţionare
Fig.49 Curba caracteristica funcţionarilor
intempestive
Fig.50 Curba caracteristică unei bune
conformităţi
n
nr
sol
tr
a a
Tz T’z
2
n
nr
sol
tr
a a
Tz T’’z
3
F
Tz tr
a a
1
4
nn
r
sol Figura 50
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
138
Fig.51 Curba caracteristica unei conformitati
reduse
Fig.52 Explicativa pentru calculul
conformităţii
Fig.53 Explicativa la calculul
neconformitatii
n
nr
sol
tr
1
Tz
a a
5
Figura 51
nn
r
sol
tr
1
Tz
4
t1 t2
nn
r
sol
tr
1
Tz t1 t2
5
Fig.73
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
139
Dacă ±a sunt toleranţele de catalog, date de furnizorul de relee, avem
următoarele interpretări pentru echipamentele având curbele prezentate anterior:
− Curba 2 caracterizează releele cu întârzieri de funcţionare, practic refuzuri
de funcţionare în raport cu impedanţa de defect reglată. Pentru aceste relee,
impedanţa reglată pe releu trebuie să fie mai mică decât impedanţa ieşită din
calcul;
− Curba 3 caracterizează releele cu accelerări de funcţionare (funcţionări
intempestive) în raport cu impedanţa de defect reglată. Pentru aceste relee
impedanţa reglată pe releu trebuie să fie mai mare decât impedanţa ieşită din
calcul.
− Curba 4 caracterizează releele care se conformează valorilor reglate şi care
sunt cele rezultate din calcul;
− curba 5 caracterizează o funcţionare corectă doar pentru un număr redus
de teste.
Riscul de funcţionare intempestivă este:
q f dtt t
T az
int ( ) ( )= ⋅
− ∞
−
∫ (415)
Probabilitatea de funcţionare corectă este:
R t tT a
T a
f dtz
z
( ) ( )= ⋅
−
+
∫ (416)
Riscul de funcţionare întârziată (refuz) pentru treapta de impedanţă fixată
este:
q f dtref t t
T az
( ) ( )= ⋅
+
+∞
∫ (417)
Este foarte important ca furnizorul să dea pe lângă toleranţele ±a din jurul
valorii reglate, ale timpului “garantat” de răspuns şi probabilităţile corespunzătoare de
răspuns astfel încât să poată fi trasate curbe de tipul 1
. Practic ar trebui ca echipamentele să fie însoţite în momentul livrării de
o astfel de curbă.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
140
Ingineria convergentă [CATU 97],[VIZI 95/7],[MIHA 97] sugerează impunerea
unor curbe de tipul 1 de către beneficiar. Practic, acesta reprezintă nivelul de
exigenţă al beneficiarului. Odată stabilit, convenit împreună cu furnizorul, acest nivel
de exigenţă trebuie asigurat.
Definim coeficienţii CC şi CN cu ajutorul cărora stabilim gradul de conformitate,
respectiv de neconformitate faţă de exigenţele convenite.
• Cu cât, valoarea coeficientului de conformitate CC (aplicabil în situaţii pentru care
curbele au forma din figura 53):
C f dtt
f dtt
f dtt
tf dt
t
tf dt
tf dt
tC t t t t t t= − + − + −
−∞ −∞
+∞ +∞
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫1 4 4 1 1 4
1 1
1
2
1
2
2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (418)
sau [ ]C f f dtC t t= −+∞
−∞∫ 1 4( ) ( ) (419)
este mai mică, cu atât conformitatea în raport cu exigenţa convenită este mai bună (produsul fiind superior exigenţelor convenite). • Cu cât, valoarea CN (aplicabil în situaţii pentru care curbele au forma din figura 54):
C f dtt
f dtt
f dtt
tf dt
t
tf dt
tf dt
tN t t t t t t= − + − + −
−∞ −∞
+∞ +∞
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫5 1 1 5 1
1 1
1
2
1
2
2 2
5( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (420)
sau [ ]C f f dtN t t= −+∞
−∞∫ 5 1( ) ( ) (421)
este mai mare, cu atât neconformitatea în raport cu exigenţa convenită este mai
mare (produsul fiind inferior exigenţelor convenite).
Valorile t1 si t2 reprezintă punctele de intersecţie între curbele 1 şi 4, respectiv 1 şi 5.
Studiu de caz 1 Stabilirea nivelului de conformitate
Fie două tipuri de relee pentru care curbele experimentale sunt cele din figura
54’ (reprezentate cu albastru, respectiv negru). Exigenţa impusă de beneficiar, se
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
141
prezintă de forma curbei roşii. Vrem să determinăm, care din cele două tipuri de
relee, are gradul de neconformitate mai mare
0
0.001
0.002
0.003
0.004
0.005
0.006
0.007
0.008
0.009
0.01
700 760 820 880 940 1000 1060 1120 1180 1240 1300
0.00997356
6.0858e-015
y( ),,1000 40 t
y( ),,1000 80 t
y( ),,1000 60 t
1290700 t
Figura 54’ Curbele experimentale a două tipuri de relee raportate la curba de exigenţă convenită
Valorile obţinute pentru coeficienţii de neconformitate, a celor două tipuri de relee
sunt prezentate în figura 54’’.Se constată o valoare mult mai mare, a coeficientului de
neconformitate a releului “albastru” faţă de cea a releului “negru”, raportul dintre ele
fiind 1,667.
0.30.34
0.38
0.42
0.46
0.50.54
0.58
0.62
0.66
0.7
700 760 820 880 940 1000 1060 1120 1180 1240 1300
0.645649
0.38757
D1( )t
D2( )t
1290700 t
Figura 54’’ Curbele experimentale a două tipuri de relee raportate la curba de exigenţă convenită
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
142
Studiu de caz 2 Determinarea riscurilor de funcţionare intempestivă
Dacă timpul de răspuns, pentru o anumită valoare a impedanţei, are o
repartiţie normală, de medie m şi dispersie σ,
f( ),,t m σ .1
.σ .2 π
e
( )t m 2
.2 σ2
(422)
riscul ca pentru defecte (fig.56) la distanţa Z1,4 (curba 4 din figura 55),să lucreze
ca şi cum defectul ar fi în Z1,3 (curba 3 din figură 55) va fi:
I( )f d
154.516
260
t.1
.14.64 .2 π
e
( )t 134.5 2
.2 14.642d
80
154.516
t.1
.25.55 .2 π
e
( )t 175 2
.2 25.552
=I( )f 0.297 (423)
În condiţiile în care, furnizorul garantează pentru releu, curbe având toleranţe
±8 cunoscute (curba 6, albastră din grafic), se poate calcula riscul de funcţionare
intempestiva, la defect într-un punct situat la o distanţă ce măsoară o impedanţa
Zreg1. Dacă releul ar fi trebuit să fi fost deja trecut în treapta a doua, el lucrând tot în
treapta rapidă, conform curbei 5 din grafic (curba 5 corespunde răspunsurilor
obţinute pe cale experimentală după cumpărarea releului pentru o impedanţă egală
cu impedanţa de trecere din treapta întâia în treapta a doua - Zreg1), riscul va avea
valoarea (diagrama a cincea comparativ cu diagrama a şasea ):
qint d
100
1000 8
t.1
.23.41 .2 π
e
( )t 288 2
.2 23.412
(424)
=qint 1 Deci riscul, ca pentru un defect situat la o distanţă, căreia îi corespunde
impedanţa de trecere din treapta întâia în treapta a doua, protecţia să funcţioneze
intempestiv, este egal cu 1. Adică, în comparaţie cu diagrama de funcţionare a
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
143
releului, oferită de furnizor (albastra), constatăm că acesta funcţionează după o altă
curbă (curba 5,magenta)
0
0.008
0.016
0.024
0.032
0.04
0.048
0.056
0.064
0.072
0.08
0 120 240 360 480 600 720 840 960 1080 1200
f( ),,t 95.8 5.68
f( ),,t 124.66 6.9
f( ),,t 134.5 14.64
f( ),,t 175 25.55
f( ),,t 288 23.41
f( ),,t 1025 7.5
f( ),,t 1043.5 5.58
f( ),,t 1059.5 6.72
f( ),,t 1000 8
tFigura 55 Explicativă la determinarea riscului de funcţionare intempestivă
Ideal ar fi fost, ca să avem suprapunere între curba 5(magenta), obţinută pe
cale experimentală, după ce am cumpărat releul şi curba albastră, garantată de
furnizor.
Exemplul a fost ales în mod special cu ecart mare, între curba furnizorului şi
cea experimentală pentru a se pune în evidenţă cât mai clar relaţiilor matematice
utilizate.
Studiu de caz 3
Considerăm valoarea impedanţei corespunzătoare unei trepte i şi răspunsul
releului de distanţă în vecinătatea stângă şi dreaptă a treptei de impedanţă Zreg,1
(figura 76). Constatăm că pentru un număr de teste n=50 şi valori ale impedanţei
treptei intai reglate, Zreg,1=17,5 ohmi (in primar), ecartul dintre vecinătăţi fiind de 0,5
ohmi, se obţine o variaţie a timpului de răspuns . Se observă o aplatizare însemnată
a mediei mobile a timpului de răspuns [VIZI 97 - TEZA] în cazul releelor D114, atat la
Z= Zreg1 şi la Z=Zreg1-0,5 ohm În cazul releului PD3/2 se constată la Z=Zreg1-0,5 şi un
salt al mediei mobile(la n=45), ceea ce este echivalent cu creşterea riscului de refuz
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
144
în vecinătatea impedanţei de trecere. Pentru releele de distanţă clasice, utilizate în
SEN în reţelele de 110 kV: D114, RD 110 şi PD 3/2, distribuţia timpilor de răspuns la
limita de trecere din treapta întâia în treapta a doua se prezintă respectiv ca în
figurile 57, 58, 59.
ImpedanţaZi,1Zi,2Zi,3Zi,4
Zreg,iZi,5Zi,6Zi,7Zi,8
ti
ti+1
timp
Figura nr. 56 Testarea timpului de răspuns la limita de trecere dintre două trepte consecutive de impedanţă
82,51922076
122,4936928
158,0345331
271,4283955
1032,7722431031,214237
1052,298756
Z1,8
=19.
5
Z1,7
=19
Z1,6
=18.
5
Z1,5
=18
Zreg
.1=1
7.5
Z1,4
=17
Z1.3
=16.
5
Z1.2
=16
Z1,1
=15.
5
0
10
20
30
40
50
Frec
vent
a ra
spun
suril
or
Tim
pul
de r
aspu
ns[m
s]
Impedanta [ohm/primar]
Distributia numarului de raspunsuri ale protectiilor D114 in functie de impedanta de defect situata la limita de trecerea din treapta intaia in treapta a doua
40-50
30-40
20-30
10-20
0-10
Figura 57
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
145
Este evident, observând graficele din figurile 57, 58 şi 59, că există zone de
interferenţă între curbele de distribuţie ale timpilor de răspuns corespunzătoare
diverselor impedanţe. Este posibil ca de o manieră asemănătoare celei prezentate la
Studiu de caz 1 să se calculeze riscurile ca releele să funcţioneze pentru o
impedanţă vecină, când sunt reglate la o anumită valoare. Trasând graficele timpilor
de răspuns,pentru valorile impedanţelor reglate în vecinătatea impedanţei de
trecere, din treapta întâia în treapta a doua (figurile 60, 61 şi 62), se observă:
• timpul cel mai mic de răspuns în treapta întâia corespunde releelor D114
(suprafaţa albastră), apropiat de cel obţinut şi în cazul releelor RD110;
• cel mai mare timp de răspuns în treapta întâia corespunde releelor din
familia PD (suprafaţa roşie);
• existenţa unor vârfuri care pun în evidenţă întârzieri de funcţionare
(refuzuri) în cazul releelor din familia PD, atât în treapta întâia cât şi în
treapta a doua;
• existenţa unor suprafeţe, care pun în evidenţă funcţionări intempestive, în
treapta a doua, în cazul releelor RD110;
• trecerea din treapta întâia în treapta a doua, la releele D114, se face după
o suprafaţă racordată, în timp ce, pentru celelalte două tipuri de relee
trecerea este mai bruscă;
• timpii de răspuns în treapta a doua, sunt mai mari pentru releele de tip PD
şi RD110.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
146
282.8905011
308.5148918
380.2551656
1125.75066
Z1,8
=19.
5
Z1,7
=19
Z1,6
=18.
5
Z1,5
=18
Zreg
.1=1
7.5
Z1,4
=17
Z1.3
=16.
5
Z1.2
=16
Z1,1
=15.
5
05
101520253035
Fre
cven
ta
Tim
pul
de
rasp
uns
[ms]
Impedanta
Distributia numarului de raspunsuri ale protectiilor PD3/2 in functie de impedanta de defect situata la limita de trecerea din treapta intaia in treapta a
doua
30-35
25-30
20-25
15-20
10-15
5-10
0-5
Figura 58
78.44901102
96.87521914
91.13051709
1088.0052041068.434201
1063.228844
Z1,8
=19.
5
Z1,7
=19
Z1,6
=18.
5
Z1,5
=18
Zreg
.1=1
7.5
Z1,4
=17
Z1.3
=16.
5
Z1.2
=16
Z1,1
=15.
5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Frec
vent
a
Tim
pul d
e ră
spun
s [m
s]
Impedanta
Distributia numarului de raspunsuri ale protectiilor RD 110 in functie de impedanta de defect situata la limita de trecerea din treapta intaia in
treapta a doua
35-4030-3525-3020-2515-2010-155-100-5
Figura 59
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
147
1 611 16 21 26 31 36 41 46
Z1,1
=15.
5
Z1.2
=16
Z1.3
=16.
5
Z1,4
=17
Zreg
.1=1
7.5
Z1,5
=18
Z1,6
=18.
5
Z1,7
=19
Z1,8
=19.
5
0
200
400
600
800
1000
1200
timp
de ra
spun
s [m
s]
Nr.testului
Impedanta
Dependenta timpului de raspuns in cazul releelor D 114 de impedanta(la trecerea din treapta intaia in treapta a doua) si de numarul de teste.
1000-1200800-1000600-800400-600200-4000-200
Figura 60
110
1928
37
46Z1
,1=1
5.5
Z1.2
=16
Z1.3
=16.
5
Z1,4
=17
Zreg
.1=1
7.5
Z1,5
=18
Z1,6
=18.
5
Z1,7
=19
Z1,8
=19.
5
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
timpu
l de
ras
puns
[m
s]
nr. de teste
impedanta
Dependenta timpului de raspuns al protectiei PD3/2 de impedanta de defect ( in vecinatatea trecerii din treapta intaia in treapta a doua ) si de numarul de teste
1200-14001000-1200800-1000600-800400-600200-4000-200
Figura 61
Având în vedere observaţiile precedente, opinăm pentru o utilizare de
următoarea manieră a releelor:
1. Releele D114 pentru liniile de sistem, transformatoare şi
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
148
autotransformatoare;
2. Releele PD3/2, pe linii radiale unde nu se impun pretenţii mari în legătură
cu rapiditatea;
1
22
43
Z1,1
=15.
5
Z1.2
=16
Z1.3
=16.
5
Z1,4
=17
Zreg
.1=1
7.5
Z1,5
=18
Z1,6
=18.
5
Z1,7
=19
Z1,8
=19.
5
0
200
400
600
800
1000
1200
Tim
pul
de r
aspu
ns [m
s]
Nr.testelor
Impedanta
Dependenta timpului de raspuns in cazul protectiilor RD 110 de impedanta (la trecerea din treapta intaia in treapta a doua) si de numarul de teste .
1000-1200
800-1000
600-800
400-600
200-400
0-200
Figura 62 .
3. Releele RD110 pe linii care acceptă deconectări intempestive, fără să pună
în pericol siguranţa sistemului, eventual utilizarea lor în paralel cu relee din
noile tehnologii, declanşările în treapta a doua fiind transmise în condiţii de
tip ŞI;
4. Înlocuirea releelor PD3/2 de pe autotransformatoare, cu relee D114 sau
altele realizate în tehnologie digitală
5. Corelarea utilizării performanţelor acestor tipuri de relee cu rezultatele
privind ierarhizările elementelor primare ale sistemelor, cu ajutorul
indicatorilor de risc probabilistic de tensiune, respectiv de încărcare a
laturilor , precum şi funcţie de importanţa elementelor primare din punct de
vedere a stabilităţii dinamice;
6. Trasarea de diagrame similare şi pentru alte tipuri de relee, inclusiv pentru
cele funcţionând pe principiile tehnologiei digitale şi realizarea de corelări conform cu
punctul 5.
II.3. MODELUL FIABILITĂŢII OPERAŢIONALE Fiabilitatea operaţională sau fiabilitatea în exploatare este fiabilitatea rezultată
în urma observaţiilor făcute în timpul exploatării sistemelor.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
149
II.3.1. FUNCŢIILE STATISTICE PENTRU FIABILITATEA OPERAŢIONALĂ A
INSTALAŢIILOR DE PROTECŢIE ŞI AUTOMATIZARE
Urmărirea instalaţiilor de protecţie şi automatizare, dacă este corect făcută,
poate furniza date extrem de utile în vederea estimării fiabilităţii operaţionale.
Se poate realiza o estimaţie punctuală a caracteristicii de fiabilitate sau se
determină un nivel de încredere în jurul acestei estimări punctuale. Intervalul de
încredere conţine valoarea adevărată a caracteristicii cu o anumită probabilitate, care
este nivelul de încredere [GEBA 84].
În cazul instalaţiilor de securitate care funcţionează în sistemele
electroenergetice, se pot realiza matrice de urmărire statistică cu ajutorul cărora,
ulterior sau simultan, să poată fi determinaţi parametrii care pot caracteriza
fiabilitatea operaţională a acestora.
O astfel de matrice ar trebui să conţină elementele din următorul tabel:
∆ti intervalul de timp de supraveghere, de exemplu o lună.
δnp numărul de evenimente primare care s-au manifestat în intervalul de timp
respectiv.
δnsol numărul de solicitări la care au fost supuse instalaţiile de securitate în
intervalul ∆ti
δnint numărul de instalaţii la care au funcţionat intempestiv (fals) în intervalul ∆ti
δnref numărul de instalaţii care au refuzat acţionare în intervalul ∆ti
N(0) numărul de instalaţii de tipul respectiv aflate în funcţiune la începutul
analizei.
δner numărul de instalaţii care au răspuns eronat la solicitare (au refuzat sau au
funcţionat intempestiv) în intervalul ∆ti
nint numărul cumulat de instalaţii de tipul respectiv care pana la momentul ti au
funcţionat intempestiv aflate în funcţiune
nref numărul cumulat de instalaţii care până la momentul ti au refuzat
funcţionarea în cazul solicitărilor
ner numărul cumulat de instalaţii care până la momentul ti au transmis
răspunsuri eronate la solicitări
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
150
nc numărul de instalaţii care nu au funcţionat eronat până la momentul ti
(opţional)
Sunt adevărate următoarele relaţii:
δ δ δn n ner t t ref ti i i( ) int ( ) ( )= + (425)
δn n nt t t ti i i iint ( ) int ( ) int ( )= + −∆ (426)
δn n nref t ref t t ref ti i i i( ) ( ) ( )= + −∆ (427)
n n ner t t ref ti i i( ) int ( ) ( )= + (428)
Se mai determină:
Nn.int(ti) numărul de relee (instalaţii) care nu au funcţionat intempestiv până la
momentul ti
N N nn t ti i.int ( ) ( ) int ( )= −0 (429)
Nn.ref(ti) numărul de relee (instalaţii) care nu au refuzat până la momentul ti
N N nn ref t ref ti i. ( ) ( ) ( )= −0 (430)
Nn.er(ti) numărul de relee (instalaţii) care nu au transmis răspunsuri eronate până
la momentul ti
[ ]N N n n N nn er t t ref t er ti i i i. ( ) ( ) int ( ) ( ) ( ) ( )= − + = −0 0 (431)
În cazul instalaţiilor din filialele de reţele electrice este necesară urmărirea
funcţionării instalaţiilor printr-o astfel de matrice.
Coloanele sale pot fi (tabelul 5.1):
Tabelul 5.1 Matricea de urmărire statistică a instalaţiilor de protecţie şi automatizare
∆ti δnp δnsol nint δnint nref δnref ner δner N(0) Nn.int Nn.ref Nn.er
Se definesc următoarele mărimi:
− Intensitatea operaţională de transmitere a răspunsurilor eronate; − Intensitatea operaţională de transmitere a funcţionărilor intempestive; − Intensitatea operaţională de refuz; − Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de funcţionare corectă,
până la primul răspuns eronat al protecţiei sau automatizării (instalaţiei de securitate);
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
151
− Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de funcţionare corectă, până la prima funcţionare intempestivă a instalaţiei;
− Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de funcţionare corectă până la primul refuz al instalaţiei;
− Fiabilitatea operaţională de funcţionare corectă neîntreruptă în intervalul [0, ti] sau probabilitatea de a nu transmite răspunsuri eronate în intervalul[0, ti];
− Riscul operaţional de funcţionare intempestivă în intervalul [0, riscul operaţional de funcţionare intempestivă în intervalul [0, ti] sau probabilitatea de funcţionare intempestivă în intervalul [0, ti] ;
− Riscul operaţional de refuz în intervalul [0, ti] sau probabilitatea de refuz în intervalul [0, ti] ;
− Riscul operaţional răspuns eronat în intervalul [0, ti] sau probabilitatea de răspuns eronat, în intervalul [0, ti] ;
Analizele care urmează, au avut în vedere datele obţinute în urma
observaţiilor făcute pe instalaţiile zonei Bacău şi cele ale SEN la foarte inaltă
tensiune. Valorile indicatorilor definiţi au la bază datele de mai sus. Trebuie făcută
precizarea că pe parcursul observaţiilor, pentru echipamentele avute în vedere, au
fost efectuate lucrările de mentenanţă la periodicităţile prevăzute în normativele în
vigoare.
II.3.2. INTENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE TRANSMITERE A
RĂSPUNSURILOR ERONATE
Intensitatea operaţională de transmitere a răspunsurilor eronate, este o
mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă ca raport între numărul de
relee (instalaţii de securitate) care au funcţionat eronat într-un anumit interval
de timp şi produsul dintre numărul de relee care nu au funcţionat eronat, până
la momentul ti şi intervalul de timp considerat.
( )( ) ( )
. ( )
( )
. ( )λ
δer t er t t er ti
n er ti i
er ti
n er ti ii
i in nN t
nN t
=−⋅
=⋅
− + −1 1∆
∆ ∆ (432)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
152
Studiu de caz 1
Mai jos, sunt prezentate (tabelul 5.2) atât valorile medii (prima linie), cât şi
valorile punctuale ale intensităţilor operaţionale de transmitere a răspunsurilor
eronate, în cazul protecţiilor si automatizărilor cât şi în cazul acestora considerate
global,(nediferenţiat) pe un interval de timp de supraveghere cumulat de 68 de luni în
cadrul instalaţiilor din zona Bacău. Unitatea de măsură este h-1. În calcule se va ţine
cont că determinările sunt făcute pentru o lună medie egală cu 30,4 zile.
Tendinţele (trendul intensităţilor de funcţionare eronată) s-au determinat în trei
moduri diferite:
− trendul linear pentru, care sunt date şi expresiile lineare (figura 63 pentru
protecţii, variabila independentă fiind timpul);
− trendul polinomial pentru care, de asemeni, sunt date expresiile matematice
pentru lambda (figura 64 în cazul protecţiilor).
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
153
Tabelul 5.2 Lambda eronat protecţii şi automatizări
Timpul [luni]
lambda er.(ti) protectii [h-1]
lambda er.(ti) autom. [h-1]
lambda er.(ti) protectii si automatizari [h-1]
Timpul [luni]
lambda er.(ti) protectii [h-1]
lambda er.(ti) autom. [h-1]
lambda er.(ti) protectii si automatizari [h-1]
Val. med. 3.95E-06 1.069E-06 5.1365E-06
Val. med. 3.95E-06 1.069E-06 5.1365E-06
1 2.06729E-06 1.52982E-05 2.58819E-06 35 2.25801E-06 0 2.90009E-062 6.23006E-06 0 7.80878E-06 36 2.26174E-06 0 1.16993E-053 0 5.11844E-06 0 37 9.10707E-06 0 2.93107E-064 2.07984E-06 5.13761E-06 2.60787E-06 38 2.28056E-06 0 5.88731E-065 6.26805E-06 5.15693E-06 7.8685E-06 39 4.57634E-06 0 1.78923E-056 0 5.17639E-06 0 40 1.38679E-05 0 5.99014E-067 0 0 0 41 4.63829E-06 0 08 0 0 2.62786E-06 42 0 0 9.04445E-069 2.09254E-06 0 2.6329E-06 43 6.98106E-06 0 1.21662E-05
10 2.09574E-06 0 1.59815E-05 44 9.37172E-06 1.05926E-05 1.53439E-0511 1.26909E-05 0 0 45 1.18156E-05 0 3.07565E-0612 0 0 5.34792E-06 46 2.36721E-06 0 013 4.24339E-06 0 5.36885E-06 47 0 0 6.17902E-0614 4.25657E-06 0 0 48 4.75083E-06 0 1.8791E-0515 0 0 2.68969E-06 49 1.44022E-05 0 6.2924E-0616 2.13159E-06 0 0 50 4.81762E-06 5.31683E-06 3.15343E-0617 0 0 0 51 2.41305E-06 0 3.1607E-0618 0 0 1.08438E-05 52 2.41731E-06 0 3.168E-0619 8.57974E-06 0 2.71632E-06 53 2.42158E-06 0 3.17533E-0620 2.1483E-06 5.19599E-06 1.92815E-05 54 2.42587E-06 0 021 1.52049E-05 0 5.53122E-06 55 0 0 3.1827E-0622 4.35807E-06 0 2.7712E-06 56 2.43017E-06 0 6.39507E-0623 2.18251E-06 5.21575E-06 5.56488E-06 57 4.87763E-06 0 024 4.37896E-06 0 5.58754E-06 58 0 0 025 4.39299E-06 0 5.6104E-06 59 0 0 026 4.40712E-06 5.23566E-06 2.81095E-06 60 0 0 3.205E-0627 2.20711E-06 0 5.64503E-06 61 2.44316E-06 0 9.68289E-0628 4.42848E-06 0 8.52014E-06 62 7.36889E-06 0 029 6.67507E-06 5.25572E-06 5.70371E-06 63 0 0 030 4.46454E-06 0 0 64 0 0 031 0 0 1.15031E-05 65 0 0 3.23524E-0632 8.98763E-06 0 2.88181E-06 66 2.46071E-06 0 3.31339E-0533 2.2506E-06 0 2.88788E-06 67 2.50569E-05 0 034 2.2543E-06 0 2.89397E-06 68 0 0 3.32141E-06
TRENDUL LINIAR AL INTENSITĂŢII DE TRANSMITERE A RASPUNSURILOR ERONATE ÎN CAZUL PROTECŢIILOR
lambda er. = 2E-08t + 6E-06
0
0,000005
0,00001
0,000015
0,00002
0,000025
0,00003
0,000035
0,00004
0,000045
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69
timpul[luni]
lam
bda
eron
at [h
-1]
Fig.63
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
154
TRENDUL POLINOMIAL AL INTENSITĂŢII DE TRANSMITERE A RASPUNSURILOR ERONATE ÎN CAZUL PROTECŢIILOR
lambda er. = 1E-14t5 + 2E-12t4 - 4E-10t3 + 2E-08t2 - 1E-07x + 5E-06
0
0,000005
0,00001
0,000015
0,00002
0,000025
0,00003
0,000035
0,00004
0,000045
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69
timpul[luni]
lam
bda
eron
at [h
-1]
Fig.64
Pentru protecţii, se constată o uşoară creştere în timp a intensităţii
operaţionale de funcţionare eronată, vizibilă atât pe graficul trendului linear, cât şi pe
cel al celui polinomial. În calculele obişnuite sugerăm utilizarea valorilor medii (tabelul
5.2). Pentru calculele acoperitoare, de tip pesimist, sunt date mediile maximelor
anuale ca luând valori între anumite limite în funcţie de gradele de încredere (figura
65).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120.1039
0.103905
0.10391
0.103915
0.10392
0.103925
lam
bda
eron
at [1
/an]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1295% 90% 85% 80% 75% 70%
Media maximelor intensitatilor de functionare eronata in cazul instalatiilor de protectie, in functie de gradele de incredere ( 95%---70%)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
155
Figura 65
Studiu de caz 2
Analiza diferenţiată pe tipuri de protecţii şi automatizări, având în vedere doar
instalaţiile zonei Bacău este prezentată în tabelul 5.3.a şi tabelul 5.3.b. Se constată o
comportare extraordinar de bună a releisticii LZ31, R3Z24 şi R1Z24a, pentru care
lambda este 0. Acest lucru se poate datora numărului mediu mic de solicitări, precum
şi numărului mic de relee de aceste tipuri, aflate în exploatare.
Tabelul 5.3 a .Lambda eronat mediu pe tipuri de protecţii şi automatizări(Zona Bacău)
EAW (RD310, RD110 Q3 ŞI
Q4, RD7)
ZPA ,D111,
D113,D114, D400
GSCI (PD3/2, PD3, PD2)
ABB (LZ31) SIEMENS (R3Z24)
SIEMENS (R1Z24A)
număr mediu de solicitări
60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333
Lambda eronat mediu [1/h]
1.38144E-05 7.71547E-06 1.40721E-05 0 0 0
Tab.5.3 b
maximale linii+trafo
diferenţiale linii
diferenţiale bare
diferenţiale trafo
protecţii homopolar
e
drri rar aar dasf
număr mediu de solicitări
9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667
Lambda eronat mediu [1/h]
1.56914 E-06
3.01408 E-05
6.97998E-06
5.41719 E-07
4.22994 E-06
1.58636 E-06
6.0314E-06
2.9918E-06
3.9578E-06
Tabelul 5.4 Lambda eronat mediu pe tipuri de protecţii la FIT (SEN)
SIEMENS ZPA ABB EAW
număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571
Lambda eronat mediu [1/h] 4.16548E-06 4.80475E-06 3.68632E-06 4.9507E-06
Confirmarea este dată de faptul că, în cazul analizei făcute la nivelul tuturor
protecţiilor din SEN, unde atât numărul de solicitări, cât şi cel de relee de acelaşi tip
este mult mai mare, valorile lui lambda, pentru releele din tipurile amintite nu mai este 0
(Siemens şi ABB tabelul 5.4).
II.3.3. INTENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE TRANSMITERE A FUNCŢIONĂRILOR INTEMPESTIVE
Intensitatea operaţională de transmitere a funcţionărilor intempestive
este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă ca raport între
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
156
numărul de relee (instalaţii de securitate), care au funcţionat intempestiv, în
intervalul de timp considerat şi produsul dintre numărul de relee care nu au
funcţionat intempestiv până la momentul ti şi respectivul interval de timp.
int ( ) int ( ) int ( )
.int ( )int ( )
.int ( )λ
δt
t t ti
n t i
ti
n ti ii
i in nN t
nN t
=−⋅
=⋅
− + −1 1
1
∆
∆ ∆ (433)
Studiu de caz 1
În tabelul 5.5 sunt prezentate, atât valorile medii (prima linie), cât şi valorile
punctuale ale intensităţii operaţionale de transmitere a funcţionărilor intempestive în
cazul protecţiilor (coloanele 2 şi 5) şi automatizărilor (coloanele 3 şi 6). Timpul de
supraveghere a instalaţiilor de la Zona Bacău, a fost de 68 de luni, unitatea de
măsură fiind 1/h. Tabelul 5.5 Lambda intempestiv protecţii şi automatizări
Timpul [Luni] Lambda Int. (Ti) protecţii
[h-1]
Lambda Int. (Ti) automatizări [h-1]
Timpul [Luni] Lambda Int. (Ti) protecţii
[h-1]
Lambda Int. (Ti) automatizări [h-1]
Val. med. 4.8309E-06 9.6435E-07 Val. med. 4.8309E-06 9.6435E-07 1 2.58819E-06 1.52982E-05 35 2.90009E-06 0 2 7.80878E-06 0 36 1.16993E-05 0 3 0 5.11844E-06 37 2.93107E-06 0 4 2.60787E-06 5.13761E-06 38 5.88731E-06 0 5 7.8685E-06 5.15693E-06 39 1.78923E-05 0 6 0 5.17639E-06 40 5.99014E-06 0 7 0 0 41 0 0 8 2.62786E-06 0 42 9.04445E-06 0 9 2.6329E-06 0 43 1.21662E-05 0
10 1.59815E-05 0 44 1.53439E-05 1.05926E-05 11 0 0 45 3.07565E-06 0 12 5.34792E-06 0 46 0 0 13 5.36885E-06 0 47 6.17902E-06 0 14 0 0 48 1.8791E-05 0 15 2.68969E-06 0 49 6.2924E-06 0 16 0 0 50 3.15343E-06 5.31683E-06 17 0 0 51 3.1607E-06 0 18 1.08438E-05 0 52 3.168E-06 0 19 2.71632E-06 0 53 3.17533E-06 0 20 1.92815E-05 5.19599E-06 54 0 0 21 5.53122E-06 0 55 3.1827E-06 0
2.7712E-06 0 56 6.39507E-06 0 23 5.56488E-06 5.21575E-06 57 0 0 24 5.58754E-06 0 58 0 0 25 5.6104E-06 0 59 0 0 26 2.81095E-06 5.23566E-06 60 3.205E-06 0 27 5.64503E-06 0 61 9.68289E-06 0 28 8.52014E-06 0 62 0 0 29 5.70371E-06 5.25572E-06 63 0 0 30 0 0 64 0 0 31 1.15031E-05 0 65 3.23524E-06 0 32 2.88181E-06 0 66 3.31339E-05 0 33 2.88788E-06 0 67 0 0 34 2.89397E-06 0 68 3.32141E-06 0
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
157
Pentru protecţii, tendinţa intensităţii operaţionale de funcţionare intempestivă s-a
realizat prin:
− trendul linear (figura 66), pentru care este dată şi ecuaţia, în care variabila
independentă este timpul;
− trendul polinomial (figura 67), pentru care, de asemeni, este dată forma
explicită matematică.
TRENDUL LINIAR A INTENSITĂŢII DE FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR
lambda int. = 2E-08t + 5E-06
0
0,000005
0,00001
0,000015
0,00002
0,000025
0,00003
0,000035
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67
timpul[luni]
lam
bda
inte
mpe
stiv
[h-1
]
Fig.66
TRENDUL POLINOMIAL A INTENSITĂŢII DE FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR
lambda int. = 4E-13t5 - 7E-11t4 + 3E-09t3 - 7E-08t2 + 6E-07t + 2E-06
0
0,000005
0,00001
0,000015
0,00002
0,000025
0,00003
0,000035
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67
timpul[luni]
lam
bda
inte
mpe
stiv
[h-1
]
Fig.67
Pentru calculele obişnuite sugerăm, atât pentru protecţii, cât şi pentru
automatizări utilizarea valorilor medii (tabelul 5.5). Pentru calcule acoperitoare de tip
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
158
pesimist, sunt date mediile maximelor anuale. Acestea iau valori între anumite limite
cu diverse grade de încredere (95%, 90%, 85%, 80%, 75%, 70% - figura 67).
00.0000020.0000040.0000060.0000080.00001
0.0000120.0000140.0000160.0000180.00002
lam
bda
inte
mpe
stiv
[1/a
n]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1295% 90% 85% 80% 75% 70%
Media maximelor intensitatilor de funcţionare intempestivă in cazul instalatiilor de protectie, in functie de gradele de incredere ( 95%---70%)
Fig.68
Studiu de caz 2
Analiza diferenţiată pe tipuri de protecţii şi automatizări (pentru statistici la nivelul
zonei Bacău), este prezentată în tabelele 5.6.a şi 5.6.b. Ca şi în cazul intensităţii
operaţionale de transmitere a răspunsurilor eronate, se constată valori nule pentru
releele LZ31, R3Z24 şi R1Z24a. Explicaţia constă în faptul că, pe lângă o foarte bună
comportare a acestora la Zona Bacău, atât numărul de relee cât şi numărul de
solicitări a fost redus. Acest fapt este demonstrat şi de situaţia în care, analiza are în
vedere toate protecţiile Siemens şi ABB de la FIT existente în SEN (tabelul 5.7),
unde numărul de relee, dar şi numărul de solicitări a fost mult mai mare.
Tabelul 5.6 a Lambda intempestiv mediu pe tipuri de protecţii şi automatizări (Zona Bacău)
EAW (RD310, RD110 Q3 ŞI
Q4, RD7)
ZPA D111,
D113,D114, D400
GSCI (PD3/2, PD3, PD2)
ABB (LZ31) SIEMENS (R3Z24)
SIEMENS (R1Z24A)
număr mediu de solicitări
60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333
Lambda intempestiv mediu [1/h]
8.27196E-06 3.32368E-06 6.47269E-06 0 0 0
Tabelul 5.6 b
maximale linii+trafo
diferenţiale linii
diferenţiale bare
diferenţiale trafo
protecţii homopolar
e
drri rar aar dasf
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
159
număr mediu de solicitări
9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667
Lambda intempestiv mediu
[1/h]
9.21309 E-07
3.01408E-05
6.97998E-06
4.63381 E-07
3.80761 E-06
1.58636E-06
6.48453 E-07
0 3.95784 E-06
Tabelul 5.7 Lambda int. mediu la nivel (SEN)
SIEMENS ZPA ABB EAW număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571 Lambda intempestiv mediu [1/h]
3.42113E-06 4.20367E-06 3.35838E-06 4.85036E-06
II.3.4. INTENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE REFUZ
Intensitatea operaţională de refuz este o mărime obţinută pe cale
statistică, reprezentând raportul dintre numărul de relee, care au refuzat
funcţionarea în cazul unor solicitări, dintr-un interval de timp ∆ti şi, produsul
dintre numărul de relee (instalaţii de securitate), care nu au refuzat până la
momentul ti şi respectivul interval de timp.
( )( ) ( )
. ( )
( )
. ( )λ
δref t ref t t ref ti
n ref ti i
ref ti
n ref ti ii
i in nN t
nN t
=−⋅
=⋅
− + −1 1∆
∆ ∆ (434)
Expresia lui Nn.ref(ti) este dată în 430.
Studiu de caz 1
În tabelul 5.8 sunt prezentate atât valorile medii (prima linie), cât şi valorile
punctuale ale intensităţilor operaţionale de refuz, în cazul protecţiilor (coloanele 2 şi
5) şi automatizărilor (coloanele 3 şi 6). Timpul de supraveghere a fost de 68 de luni,
unitatea de măsură este 1/h.
Pentru calculele obişnuite sugerăm, atât pentru protecţii, cât şi pentru
automatizări utilizarea valorilor medii (tabelul 5.8 prima linie).
Tabelul 5.8 Lambda refuz în cazul protecţiilor şi automatizărilor luate cumulat
Timpul [Luni] Lambda Refuz (Ti) Protecţii [1/h]
Lambda Refuz (Ti) Automatizări [1/h]
Timpul [Luni]
Lambda Refuz (Ti) Protecţii [1/h]
Lambda Refuz (Ti) Automatizări [1/h]
Val. med. 1.5721E-06 4.5132E-06 Val. med. 1.5721E-06 4.5132E-06
1 0 0 35 0 0 2 0 5.05762E-06 36 0 1.19184E-05 3 0 0 37 0 0 4 0 5.07635E-06 38 0 0 5 1.04031E-05 1.02285E-05 39 0 0
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
160
6 2.60573E-06 5.13339E-06 40 0 5.98521E-06 7 2.61069E-06 5.15268E-06 41 0 0 8 0 1.56344E-05 42 0 6.01147E-06 9 0 0 43 2.67698E-06 0
10 0 0 44 2.17558E-05 0 11 0 0 45 0 0 12 0 5.23135E-06 46 0 6.03795E-06 13 0 0 47 0 0 14 0 5.25139E-06 48 5.46061E-06 1.21832E-05 15 0 0 49 0 0 16 0 5.27159E-06 50 0 0 17 7.87709E-06 1.06249E-05 51 0 0 18 2.63074E-06 5.33313E-06 52 2.73576E-06 0 19 0 1.07499E-05 53 0 0 20 0 3.86867E-05 54 0 1.22925E-05 21 0 0 55 8.25671E-06 0 22 0 0 56 0 0 23 5.28175E-06 3.98104E-05 57 2.75777E-06 6.17394E-06 24 5.30218E-06 1.14696E-05 58 0 0 25 0 5.75888E-06 59 2.76333E-06 6.20187E-06 26 0 5.78318E-06 60 8.34045E-06 0 27 0 0 61 2.7858E-06 0 28 0 5.80769E-06 62 0 0 29 2.65623E-06 1.17146E-05 63 0 0 30 2.66139E-06 0 64 0 0 31 2.66656E-06 0 65 2.79147E-06 0 32 0 1.18156E-05 66 0 1.2517E-05 33 2.67176E-06 0 67 0 0 34 0 0 68 0 6.28722E-06
Pentru calculele acoperitoare, de tip, pesimist au fost date mediile maximelor
anuale. Acestea iau valori între anumite limitem, cu anumite grade de încredere
(figura 69).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0.000002
0.000004
0.000006
0.000008
0.00001
0.000012
lam
bda
refu
z [1
/an]
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1295% 90% 85% 80% 75% 70%
Media maximelor intensitatilor de refuz in cazul instalatiilor de protectie, in functie de gradele de incredere ( 95%---70%)
Fig.69
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
161
Atât pentru protecţii, cât şi pentru automatizări, tendinţa intensităţii operaţionale de
refuz s-a realizat prin:
− trendul linear (figura 70 pentru automatizări), pentru care sunt date şi
expresiile analitice;
− trendul polinomial (figura 71 automatizări). De asemeni se dă expresia
analitică a lui lambda, funcţie de timp, care poate fi utilizată în calculele de
predicţie. Valoarea descendentă a trendului poate fi interpretată şi ca o
reflectare a unor lucrări de întreţinere, din ce în ce, mai de bună calitate.
TRENDUL LINIAR A INTENSITĂŢII DE REFUZ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR
lambda refuz = -8E-08t + 7E-06
0
0,000005
0,00001
0,000015
0,00002
0,000025
0,00003
0,000035
0,00004
0,000045
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67
timpul[luni]
lam
bda
refu
z [h
-1]
Fig.70
TRENDUL POLINOMIAL A INTENSITĂŢII DE REFUZ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR
lambda refuz = -4E-13t5 + 7E-11t4 - 4E-09t3 + 8E-08t2 - 1E-07t + 3E-06
0
0.000005
0.00001
0.000015
0.00002
0.000025
0.00003
0.000035
0.00004
0.000045
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67
timpul[luni]
lam
bda
refu
z [h
-1]
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
162
Fig.71
Studiu de caz 2
Analiza diferenţiată pe tipuri de protecţii şi automatizări (numai cu referire la
instalaţiile Zona Bacău) este prezentată în tabelele 5.8.a şi 5.8.b. Pentru releele ABB
(LZ31) şi Siemens (R3Z24 şi R1Z24a) valoarea lui lambda este şi în acest caz 0. Ca
şi în cazurile anterioare explicaţia constă în aceea că, pe lângă o foarte bună
comportare a acestor relee, numărul lor precum şi numărul de solicitări la care au
fost supuse este mic. Se poate constata, că în cazul unui număr foarte mare de relee
(toate din SEN pentru FIT), acest indicator nu mai este zero (tabelul 5.9).
Tabelul 5.8.a Lambda refuz mediu pe tipuri de protecţii şi automatizări
EAW (RD310, RD110 Q3 ŞI
Q4, RD7)
ZPA ,D111,
D113,D114, D400
GSCI (PD3/2, PD3, PD2)
ABB (LZ31) SIEMENS (R3Z24)
SIEMENS (R1Z24A)
număr mediu de solicitări
60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333
Lambda refuz mediu [1/h]
3.25225E-06 3.60564E-06 4.93838E-06 0 0 0
Tabelul 5.8.b
maximale linii+trafo
diferenţiale linii
diferenţiale bare
diferenţiale trafo
protecţii homopolar
e
drri rar aar dasf
număr mediu de solicitări
9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667
Lambda refuz mediu [1/h]
6.09201 E-07
0 0 7.6451 E-08
3.41465 E-07
0 5.16584 E-06
2.99185 E-06
0
Confirmarea este dată de faptul că în cazul analizei făcute la nivelul tuturor
protecţiilor din SEN, unde atât numărul de solicitări, cât şi cel de relee de acelaşi tip
este mult mai mare, valorile lui lambda pentru releele din tipurile amintite nu mai este
0 (Siemens şi ABB tabelul 5.9). Tabelul 5.9 Lambda refuz mediu la nivel SEN
SIEMENS ZPA ABB EAW
număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571
Lambda refuz mediu [1/h]
5.81163E-07 4.35193E-07 2.60506E-07 5.03606E-08
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
163
II.3.5. DENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE REPARTIŢIE A TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL RĂSPUNS ERONAT AL PROTECŢIEI SAU AUTOMATIZĂRII
Densitatea de repartiţie operaţională a timpului de funcţionare corectă,
până la primul răspuns eronat este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se
exprimă ca raport între numărul de relee (instalaţii de securitate), care au
funcţionat eronat într-un interval de timp dat şi produsul dintre numărul total de
relee ţinute sub observaţie şi intervalul de timp considerat.
( )( ) ( )
( )
( )
( )f
n nN t
nN ter t er t er t i
i
er t
ii
i i=−
⋅=
⋅−1
0 0∆ ∆δ
(435)
Studiu de caz
În tabelul 5.10, sunt prezentate valorile punctuale ale acestei mărimi, în cazul
automatizărilor (coloanele 2 şi 5) şi al protecţiilor (coloanele 4 şi 6).
Tabelul 5.10 Densitatea de repartiţie operaţională a timpului de funcţionare corecta pana la primul răspuns eronat
Nr. Crt. Automatizări Protecţii Nr. Crt. Automatizări Protecţii 1 1.51171E-05 2.06418E-06 35 1.0078E-05 2.06418E-06 2 5.03902E-06 6.19253E-06 36 0 8.25671E-06 3 5.03902E-06 0 37 0 2.06418E-06 4 1.0078E-05 4.12836E-06 38 0 4.12836E-06 5 1.51171E-05 1.23851E-05 39 5.03902E-06 1.23851E-05 6 1.0078E-05 2.06418E-06 40 0 4.12836E-06 7 5.03902E-06 0 41 5.03902E-06 0 8 1.51171E-05 2.06418E-06 42 0 4.12836E-06 9 0 2.06418E-06 43 1.0078E-05 1.03209E-05
10 0 2.06418E-06 44 0 2.68343E-05 11 0 1.23851E-05 45 5.03902E-06 2.06418E-06 12 5.03902E-06 0 46 0 0 13 0 4.12836E-06 47 1.0078E-05 4.12836E-06 14 5.03902E-06 4.12836E-06 48 0 4.12836E-06 15 0 0 49 5.03902E-06 4.12836E-06 16 5.03902E-06 2.06418E-06 50 0 2.06418E-06 17 1.0078E-05 0 51 0 2.06418E-06 18 5.03902E-06 6.19253E-06 52 0 4.12836E-06 19 1.0078E-05 1.03209E-05 53 1.0078E-05 2.06418E-06 20 4.03122E-05 2.06418E-06 54 0 0 21 0 1.44492E-05 55 0 8.25671E-06 22 0 4.12836E-06 56 5.03902E-06 4.12836E-06 23 4.03122E-05 2.06418E-06 57 0 2.06418E-06 24 1.0078E-05 8.25671E-06 58 5.03902E-06 0 25 5.03902E-06 8.25671E-06 59 0 2.06418E-06 26 1.0078E-05 4.12836E-06 60 0 8.25671E-06 27 0 2.06418E-06 61 0 8.25671E-06 28 5.03902E-06 4.12836E-06 62 0 0 29 1.51171E-05 6.19253E-06 63 0 0
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
164
30 0 6.19253E-06 64 0 0 31 0 2.06418E-06 65 1.0078E-05 4.12836E-06 32 1.0078E-05 1.03209E-05 66 0 2.06418E-05 33 0 2.06418E-06 67 5.03902E-06 0 34 0 4.12836E-06 68 5.03902E-06 2.06418E-06
Pentru instalaţiile din Zona Bacău este prezentată tendinţa acestei mărimi prin
trendul linear (figura 72 pentru automatizări şi 73 pentru protecţii) respectiv cel
polinomial (figura 74 pentru automatizări şi figura 75 pentru protecţii).
TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE ERONATĂ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR
f er(ti) = -1E-07t + 9E-06R2 = 0.0781
00.000005
0.000010.000015
0.000020.000025
0.000030.000035
0.000040.000045
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67
timpul [luni]
f ref
. (ti)
Figurra 72
TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE ERONATĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR
f er(ti) = 4E-10t + 5E-06R2 = 3E-06
0
0.000005
0.00001
0.000015
0.00002
0.000025
0.00003
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67
timpul [luni]
f ref
. (ti)
Figura 73
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
165
TRENDUL POLINOMIAL AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE ERONATĂ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR
f er(ti) = -5E-13t5 + 8E-11t4 - 5E-09t3 + 1E-07t2 - 1E-06t + 9E-06R2 = 0.1164
0
0.00001
0.00002
0.00003
0.00004
0.000051 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67
timpul [luni]
f ref
. (ti)
Figura 74
TRENDUL POLINOMIAL AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE ERONATĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR
f er(ti) = 4E-14t5 - 1E-12t4 - 3E-10t3 + 2E-08t2 - 3E-07t + 5E-06R2 = 0.026
0
0,000005
0,00001
0,000015
0,00002
0,000025
0,00003
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67
timpul [luni]
f ref
. (ti)
Figura 75
II.3.6. DENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE REPARTIŢIE A TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ A INSTALAŢIEI
Densitatea de repartiţie operaţională a timpului de funcţionare corectă, până la prima funcţionare intempestivă, este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă prin raportul numărului de relee (instalaţii de securitate), care au funcţionat intempestiv într-un interval de timp dat şi produsul dintre numărul total de relee aflate sub observaţie şi mărimea intervalului de timp considerat.
int ( ) int ( ) int ( )
( )int ( )
( )f
n nN t
nN t
tt t i
i
t
ii
i i=−
⋅=
⋅−1
0 0∆ ∆δ
(436)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
166
Studiu de caz În tabelul 5.11, sunt prezentate valorile densităţii de repartiţie operaţională a
timpului de funcţionare corectă, până la prima funcţionare intempestivă, atât pentru instalaţiile de automatizare (coloanele 2 şi 5), cât şi pentru cele de protecţie (coloanele 4 şi 6).
Tabel nr. 5.11 Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de funcţionare corectă până la prima funcţionare intempestivă
Nr. Crt. Automatizări Protecţii Nr. Crt. Automatizări Protecţii 1 1.51171E-05 2.06418E-06 35 0 2.06418E-06 2 0 6.19253E-06 36 0 2.06418E-06 3 5.03902E-06 0 37 0 8.25671E-06 4 5.03902E-06 2.06418E-06 38 0 2.06418E-06 5 5.03902E-06 6.19253E-06 39 0 4.12836E-06 6 5.03902E-06 0 40 0 1.23851E-05 7 0 0 41 0 4.12836E-06 8 0 0 42 0 0 9 0 2.06418E-06 43 0 6.19253E-06
10 0 2.06418E-06 44 1.0078E-05 8.25671E-06 11 0 1.23851E-05 45 0 1.03209E-05 12 0 0 46 0 2.06418E-06 13 0 4.12836E-06 47 0 0 14 0 4.12836E-06 48 0 4.12836E-06 15 0 0 49 0 1.23851E-05 16 0 2.06418E-06 50 5.03902E-06 4.12836E-06 17 0 0 51 0 2.06418E-06 18 0 0 52 0 2.06418E-06 19 0 8.25671E-06 53 0 2.06418E-06 20 5.03902E-06 2.06418E-06 54 0 2.06418E-06 21 0 1.44492E-05 55 0 0 22 0 4.12836E-06 56 0 2.06418E-06 23 5.03902E-06 2.06418E-06 57 0 4.12836E-06 24 0 4.12836E-06 58 0 0 25 0 4.12836E-06 59 0 0 26 5.03902E-06 4.12836E-06 60 0 0 27 0 2.06418E-06 61 0 2.06418E-06 28 0 4.12836E-06 62 0 6.19253E-06 29 5.03902E-06 6.19253E-06 63 0 0 30 0 4.12836E-06 64 0 0 31 0 0 65 0 0 32 0 8.25671E-06 66 0 2.06418E-06 33 0 2.06418E-06 67 0 2.06418E-05
Pentru instalaţiile din Zona Bacău este prezentată tendinţa acestei mărimi,
prin trendul linear (figura 76 pentru automatizări şi 77 pentru protecţii) şi prin cel
polinomial (figura 78 pentru protecţii).
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
167
TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR
f int. (ti) = -4E-08t + 3E-06R2 = 0.102
-0.0000020
0.0000020.0000040.0000060.000008
0.000010.0000120.0000140.000016
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67
timpul [luni]
f int
. (ti)
Figura 76
TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR
f int.(ti) = 6E-09t + 3E-06R2 = 0.001
0
0.000005
0.00001
0.000015
0.00002
0.000025
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67
timpul [luni]
f int
. (ti)
Figura 77
TRENDUL POLINOMIAL AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMA FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR
f int.(ti) = 4E-13t5 - 5E-11t4 + 3E-09t3 - 6E-08t2 + 5E-07t + 1E-06R2 = 0.0848
0
0.000005
0.00001
0.000015
0.00002
0.000025
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67
timpul [luni]
f int
. (ti)
Figura 78 II.3.7. DENSITATEA OPERAŢIONALĂ DE REPARTIŢIE A TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL REFUZ AL INSTALAŢIEI
Densitatea de repartiţie operaţională a timpului de funcţionare corectă,
până primul refuz este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă prin raportul numărului de relee (instalaţii de securitate), care au refuzat să funcţioneze la solicitările făcute într-un interval de timp dat şi produsul dintre
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
168
numărul total de relee aflate sub observaţie şi mărimea intervalului de timp considerat.
( )( ) ( )
( )
( )
( )f
n nN t
nN tref t ref t ref t i
i
ref t
ii
i i=−
⋅=
⋅−1
0 0∆ ∆δ
(437)
Studiu de caz În tabelul 5.12, sunt prezentate valorile densităţii de repartiţie operaţională a
timpului de funcţionare corectă, până la primul refuz, atât pentru instalaţiile de automatizare (coloanele 2 şi 5), cât şi pentru cele de protecţie (coloanele 4 şi 6).
Tabelul 5.12 Densitatea operaţională de repartiţie a timpului de funcţionare corecta pana la primul răspuns al instalatei
Nr. Crt. Automatizări Protecţii Nr. Crt. Automatizări Protecţii 1 5.03902E-06 0 35 1.0078E-05 0 2 0 0 36 0 0 3 5.03902E-06 0 37 0 0 4 1.0078E-05 8.25671E-06 38 0 0 5 5.03902E-06 2.06418E-06 39 5.03902E-06 0 6 5.03902E-06 0 40 0 0 7 1.51171E-05 2.06418E-06 41 5.03902E-06 0 8 0 0 42 0 0 9 0 0 43 0 2.06418E-06
10 0 0 44 0 1.65134E-05 11 5.03902E-06 0 45 5.03902E-06 0 12 0 0 46 0 0 13 5.03902E-06 0 47 1.0078E-05 0 14 0 0 48 0 4.12836E-06 15 5.03902E-06 0 49 0 0 16 1.0078E-05 0 50 0 0 17 5.03902E-06 6.19253E-06 51 0 0 18 1.0078E-05 2.06418E-06 52 0 2.06418E-06 19 3.52732E-05 0 53 1.0078E-05 0 20 0 0 54 0 0 21 0 0 55 0 6.19253E-06 22 3.52732E-05 0 56 5.03902E-06 0 23 1.0078E-05 4.12836E-06 57 0 2.06418E-06 24 5.03902E-06 4.12836E-06 58 5.03902E-06 0 25 5.03902E-06 0 59 0 2.06418E-06 26 0 0 60 0 6.19253E-06 27 5.03902E-06 0 61 0 2.06418E-06 28 1.0078E-05 0 62 0 0 29 0 2.06418E-06 63 0 0 30 0 2.06418E-06 64 0 0 31 1.0078E-05 2.06418E-06 65 1.0078E-05 2.06418E-06 32 0 0 66 0 0 33 0 2.06418E-06 67 5.03902E-06 0 34 0 0 68 5.03902E-06 0
Pentru instalaţiile din Zona Bacău, sunt prezentate trendurile lineare, ale
automatizărilor, respectiv protecţiilor în figurile 79 şi 80 iar cele polinomiale, sunt
prezentate în figurile 81 şi 82.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
169
TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL REFUZ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR
f ref.(ti) = -8E-08t + 7E-06R2 = 0.0582
0
0,000005
0,00001
0,000015
0,00002
0,000025
0,00003
0,000035
0,00004
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67
timpul [luni]
f ref
. (ti)
Figura 79
TRENDUL LINIAR AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL REFUZ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR
f ref.(ti) = 5E-09t + 1E-06R2 = 0.0014
00.0000020.0000040.0000060.000008
0.000010.0000120.0000140.0000160.000018
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67
timpul [luni]
f ref
. (ti)
Figura 80
TRENDUL POLINOMIAL AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL REFUZ ÎN CAZUL AUTOMATIZĂRILOR
f ref(ti) = -4E-13t5 + 7E-11t4 - 4E-09t3 + 7E-08t2 - 3E-07x + 4E-06R2 = 0.1249
0
0.000005
0.00001
0.000015
0.00002
0.000025
0.00003
0.000035
0.00004
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67
timpul [luni]
f ref
. (ti)
Figura 81
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
170
TRENDUL POLINOMIAL AL DENSITĂŢII TIMPULUI DE FUNCŢIONARE CORECTĂ PÂNĂ LA PRIMUL REFUZ ÎN CAZUL PROTECŢIILOR
f ref(ti) = -4E-14t5 + 6E-12t4 - 3E-10t3 + 7E-09t2 - 1E-07t + 2E-06R2 = 0.0234
-0.0000020
0.0000020.0000040.0000060.000008
0.000010.0000120.0000140.0000160.000018
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67
timpul [luni]
f ref
. (ti)
Figura 82
II.3.8. FIABILITATEA OPERAŢIONALĂ SAU PROBABILITATEA DE FUNCŢIONARE CORECTĂ NEÎNTRERUPTĂ ÎN INTERVALUL [0, TI] SAU PROBABILITATEA DE A NU TRANSMITE RĂSPUNSURI ERONATE ÎN INTERVALUL [0, TI]
Fiabilitatea operaţională sau probabilitatea de a nu transmite răspunsuri
eronate este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă ca fiind
complementul raportului dintre numărul cumulat de relee (instalaţii de
securitate), care au funcţionat eronat, până la un moment dat şi numărul total
de relee aflate sub observaţie.
( )( )
( )R n
Nt er ti
i= −10
(438)
Studiu de caz
În tabelele 5.13.a şi 5.13.b, este prezentată fiabilitatea operaţională medie, pe
tipuri de instalaţii. De remarcat valorile foarte bune (maxime posibile) ale acestei
mărimi în cazul releelor LZ31 (ABB), R3Z24 şi R1Z24a (Siemens). Aceste rezultate
se datoresc pe de o parte comportării foarte bune în exploatare a acestor tipuri de
relee, iar pe de altă parte faptului că, atât numărul lor, cât şi numărul solicitărilor la
care au fost supuse în zona Bacău a fost mic. Acest lucru este pus în evidenţă şi prin
rezultatele obţinute din analiza statistică la nivel SEN pentru instalaţiile de FIT
prezentată în tabelul 5.14.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
171
Tabelul 5.13 a Fiabilitatea operaţională medie pe tipuri de instalaţii
EAW (RD310, RD110 Q3 ŞI
Q4, RD7)
ZPA ,D111,
D113,D114, D400
GSCI (PD3/2, PD3, PD2)
ABB (LZ31) SIEMENS (R3Z24)
SIEMENS (R1Z24A)
număr mediu de solicitări
60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333
Probabilitatea medie de succes (R med.)
0.76408451 0.81025641 0.77314815 1 1 1
Tabelul 5.13 b
maximale linii+trafo
diferenţiale linii
diferenţiale bare
diferenţiale trafo
protecţii homopolare
drri rar aar dasf
număr mediu de solicitări
9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667
Probabilitatea medie de succes (R med.)
0.95117 0.54762 0.869048 0.984333 0.863569 0.9231 0.8128 0.9345 0.8267
Tabelul 5.14 Fiabilitatea operaţională medie pe tipuri de protecţii [SEN]
SIEMENS ZPA ABB EAW număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571
Probabilitatea medie de succes(R med.)
0.888441 0.910363 0.88532 0.812314
Maximele fiabilitatii in perioada celor sase ani studiati, pentru cazul protectiilor
00.20.40.60.8
11.2
1 2 3 4 5 6
timpul [ani]
Rm
ax.
Figura 83
Pentru instalaţiile de protecţie, în general, pot fi folosite calculele de tip
optimist. Marjele de valori corespunzătoare diverselor grade de încredere aflându-se
în figura 84.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
172
Media max imelor probabil i tatati i de functionare neeronata în cazul instalati i lor de protectie; max ime si
minime functie de gradele de incredere (95%---70%)
0.78
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 95% 90% 85% 80% 75% 70%
pr0b
abilit
atea
Fig.84
Trendul linear şi expresia sa analitică, în cazul protecţiilor, este prezentat în
figura 85. Pentru automatizări în figura 86 este prezentat, atât trendul linear, cât şi cel
polinomial, figură în care se află şi expresiile analitice ale acestora. Este bine să
precizăm că fiabilitatea are în vedere numărul cumulat de relee care transmit
răspunsuri eronate. Deci se măsoară probabilitatea cumulată.
EVOLUTIA PROBABILITĂŢII DE FUNCŢIONARE NEERONATĂ IN CAZUL INSTALATIILOR DE PROTECTIE
R(t) = -0.0037t + 1.0108R2 = 0.9923
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70
TIMPUL [LUNI]
VAL
OAR
EA F
IABI
LITA
TI
Fig.85
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
173
Evolutia probabilitatii de a nu transmite răspunsuri eronate in cazul instalatiilor de automatizare
R1(t) = -0.0035t + 0.961R2 = 0.9129
R2(t) = -5E-08t4 + 7E-06t3 - 0.0003t2 - 0.0018t + 0.9856R2 = 0.9864
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70
timpul [luni]
R (t
i)
Fig.86
II.3.9. RISCUL OPERAŢIONAL DE FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN INTERVALUL [0, TI] SAU PROBABILITATEA DE FUNCŢIONARE INTEMPESTIVĂ ÎN INTERVALUL [0, TI]
Riscul operaţional de funcţionare intempestivă sau probabilitatea de
funcţionare intempestivă este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se
exprimă ca raport între numărul cumulat de funcţionări intempestive, până la
un anumit moment şi numărul total de relee (instalaţii de securitate) aflate sub
observaţie.
int ( ) int ( )
( )q n
Nt
ti
i=0
(439)
Studiu de caz
În tabelele 5.14.a şi 5.14.b, este prezentat riscul operaţional mediu de
funcţionare intempestivă, pe tipuri de instalaţii de protecţie şi automatizare. Se
remarcă valorile nule ale acestuia în cazul Siemens şi ABB aflate în exploatareîn
zona Bacău. Valorile acestui risc se modifică în cazul statisticii elaborate la nivel
SEN, pentru instalaţiile electroenergetice de FIT (tabelul 5.15) deoarece, atât
numărul de relee, cât şi cel al solicitărilor este mult mai mare.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
174
Tabelul 5.14 a Riscul mediu de funcţionare intempestiva pe tipuri de instalaţii
EAW (RD310, RD110 Q3 ŞI
Q4, RD7)
GSCI (PD3/2, PD3, PD2)
ABB (LZ31) SIEMENS (R3Z24)
SIEMENS (R1Z24A)
număr mediu de solicitări
60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333
Probabilitatea medie de funcţionare intempestivă (q int med)
0.15258216 0.10897436 0.12962963 0 0 0
Tabelul 5.14 b
maximale linii+trafo
diferenţiale linii
diferenţiale bare
diferenţiale trafo
protecţii homopolare
drri rar aar dasf
număr mediu de solicitări
9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667
Probabilitatea medie de funcţionare intempestivă (q int med)
0.02539 0.45238 0.130952 0.013333 0.124631 0.0769 0.0117 0 0.1733
Tabelul 5.15 Riscul mediu de funcţionare intempestiva pe tipuri de protecţii la nivel SEN
SIEMENS ZPA ABB EAW număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571
Probabilitatea medie de funcţionare intempestivă (q int med)
0.097432 0.076784 0.103386 0.180801
Pentru instalaţiile de protecţie în general (fără a se ţine cont de tipul acestora),
se pot folosi pentru calculele de tip pesimist valorile riscului operaţional de
funcţionare intempestivă, între limitele corespunzătoare diverselor grade de
încredere, aşa cum sunt ele ilustrate în figura 87.
Trendul linear (de culoare roşie) şi cel polinomial (de culoare verde) şi
expresiile analitice aferente lor, în cazul protecţiilor, sunt prezentate în figura 88. În
cazul automatizărilor aceleaşi trenduri sunt ilustrate în figura 89.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
175
00,050,1
0,15va
loare
a
risc
ulu
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
95% 90% 85% 80% 75% 70%
Media maximelor riscului de functionare intempestiva in cazul instalatiilor de protectie in functie de gradele de incredere
( 95%---70 %)
Fig.87
EVOLUTIA RISCULUI DE FUNCTIONARE INTEMPESTIVA INCAZUL PROTECTIILOR
q int1 (t) = 0.0027t - 0.0074R2 = 0.9887
q int2 (t) = 5E-09t4 - 1E-06t3 + 1E-04t2 + 0.0005t + 0.0034R2 = 0.9952
-0,05
0
0,05
0,1
0,15
0,2
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71
timpul [luni]
q in
t (t)
Fig.88
Variatia riscului de functionare intempestiva in cazul instalatiilor de automatizare
q int1 (t) = 0.0005t + 0.0193R2 = 0.9197
q int2 (t) = -2E-11t6 + 4E-09t5 - 3E-07t4 + 2E-05t3 - 0.0003t2 + 0.0039t + 0.0074R2 = 0.96950
0,010,020,030,040,050,060,07
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70timpul [luni]
q.in
t (ti)
Fig.89
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
176
Spre exemplu, pentru reducerea riscului de funcţionare intempestivă a
protecţiilor homopolare de tensiune, utilizate în cazul reţelelor având neutrul tratat
prin rezistenţă, a fost imaginat un releu electronic, cu ajutorul căruia sunt eliminate
declanşările false determinate de respectiva protecţie, în cazul arderii siguranţelor de
medie tensiune din celula de măsură [VIZI 96/4]. Schema acestui releu este
prezentată în figura 90.In acelaşi scop s-au dat soluşii pentru DRRI [VIZI 90/2] şi
pentru DASF[VIZI 94/6].
functionareprotectie homo-polara de tens.(defect real in primar)
UH
UH
ardere sigurantamedie tens.
Prag detensiune
mare
circuitelogice de tip“NU” si detip “DA’’
circuitelogice de tip “ŞI” cutrei porti
circuitelogice detip “ŞI”
circuitelogice detip “ŞI-NU”
circuitelogice detip “DA”
circuitelogice de tip“SAU”
circuitelogice detip “ŞI”
UR
US
UT Prag detens.joasa
Fig.90.Releu electronic de tensiune homopolară pentru reţelele având neutrul tratat prin rezistenţă
II.3.10. RISCUL OPERAŢIONAL DE REFUZ, ÎN INTERVALUL [0, TI] SAU PROBABILITATEA DE REFUZ ÎN INTERVALUL [0, TI]
Riscul operaţional de refuz sau probabilitatea de refuz este o mărime
obţinută pe cale statistică, ce se exprimă ca raport între numărul cumulat de
refuzuri până la un anumit moment şi numărul total de relee (instalaţii de
securitate) aflate sub observaţie.
( )( )
( )q
nNref t ref t
ii=
0 (439)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
177
Studiu de caz
În tabelele 5.16.a şi 5.16.b, este prezentat riscul operaţional mediu de refuz,
pe tipuri de instalaţii de protecţie şi automatizare, calculat după datele din
exploatarea echipamentelor din Zona Bacău. În afara riscurilor nule, existente în
cazul releelor Siemens şi ABB, se constată aceeaşi bună funcţionare, în cazul
protecţiilor diferenţiale de linii şi a celor de bare (qref med = 0). În tabelul 5.17, este
prezentată valoarea medie a aceluiaşi risc, diferenţiat pe tipuri de protecţie la FIT,
statistica având în vedere datele de la nivelul întregului SEN.
Tabelul 5.16 a Riscul operaţional mediu de refuz pe tipuri de instalaţii(Zona Bacău)
EAW (RD310, RD110 Q3 ŞI
Q4, RD7)
GSCI (PD3/2, PD3, PD2)
ABB (LZ31) SIEMENS (R3Z24)
SIEMENS (R1Z24A)
număr mediu de solicitări
60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333
Probabilitatea medie de refuz (q ref
med)
0.08333333 0.08076923 0.09722222 0 0 0
Tabelul 5.16 b maximale
linii+trafo diferenţiale
linii diferenţiale
bare diferenţiale
trafo protecţii
homopolare drri rar aar dasf
număr mediu de solicitări
9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667
Probabilitatea medie de refuz (q ref med)
0.02344 0 0 0.002333 0.011799 0 0.1756 0.0655 0
Tabelul 5.17 Riscul operaţional mediu de refuz pe tipuri de protecţii la nivel SEN
Valorile medii ale maximelor riscului operaţional de refuz, pentru toate tipurile
de protecţii, luate nediferenţiat, sunt date între anumite limite, corespunzătoare
diverselor grade de încredere (95%, 90%, 85%, 80%, 75%, 70%), în figura 91. Ele
pot fi utilizate cu succes, în calculele pesimiste.
SIEMENS ZPA ABB EAW număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571 Probabilitatea medie de refuz (q ref med) 0.014127 0.089637 0.011294 0.006884
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
178
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05qref.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
95% 90% 85% 80% 75% 70%
Media maximelor riscului de refuz in cazul protectiilor , functie de gradele de incredere ( 95%---70% )
Fig.91
Evoluţia riscului operaţional de refuz, precum şi trendul linear (de culoare
roşie) şi cel polinomial (de culoare verde), în cazul protecţiilor, luate în general
(nediferenţiate pe tipuri) şi, expresiile analitice ale acestora, sunt ilustrate în figura
92. Aceleaşi trenduri, pentru cazul automatizărilor (figurate în aceleaşi culori),
precum şi expresiile analitice aferente lor, sunt pezentate în figura 93.
EVOLUTIA RISCULUI DE REFUZ IN CAZUL PROTECTIILOR
q ref2 (t) = 0.0009t - 0.0035R2 = 0.9736
q ref1 (t) = -9E-09t4 + 1E-06t3 - 6E-05t2 + 0.0015t - 0.003R2 = 0.9845
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70
TIMPUL [LUNI]
VA
LOA
RE
A R
ISC
ULU
I
Fig.92
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
179
Variatia riscului de refuz in cazul instalatiilor de automatizare
q ref1 (t) = 0.003t + 0.0197R2 = 0.9021
q ref2 (t) = 6E-08t4 - 8E-06t3 + 0.0003t2 + 0.0004t + 0.0014R2 = 0.9862
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70
timpul [luni]
q.re
f(ti)
Fig.93
II.3.11. RISCUL OPERAŢIONAL DE RĂSPUNS ERONAT ÎN INTERVALUL [0,TI] SAU PROBABILITATEA DE RĂSPUNS ERONAT ÎN INTERVALUL [0, TI]
Riscul operaţional de răspuns eronat sau probabilitatea de răspuns eronat
este o mărime obţinută pe cale statistică, ce se exprimă ca raport între numărul
cumulat de funcţionări eronate (intempestive şi refuzuri), până la un anumit moment
şi numărul total de relee (instalaţii de securitate) aflate sub observaţie.
( )( )
( )int ( ) ( )
( ) int ( ) ( )QnN
n nN
q qter t t ref t
t ref tii i i
i i= =+
= +0 0
(440)
Studiu de caz
În urma studiilor efectuate asupra instalaţiilor de protecţie şi automatizare din
zona Bacău, s-au obţinut următoarele valori medii, pentru riscul de răspuns eronat
(diferenţiate pe tipuri de instalaţii tabelele 5.18.a şi 5.18.b). Se constată că această
mărime, are valorile cele mai mici (0), în cazul instalaţiilor de protecţie echipate cu
relee LZ31, R3Z24 şi R1Z24a. Aceasta, demonstrează, o foarte bună funcţionare a
echipamentelor respective, însă trebuie ţinut cont şi de faptul că numărul solicitărilor
la care acestea au fost expuse, este posibil să nu fie concludent. Observaţia de mai
sus, este confirmată şi de valorile din tabelul 5.19, obţinute pentru întregul număr de
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
180
relee aflate la nivel SEN, care echipează celulele de FIT unde numărul de solicitări la
care acestea au fost supuse, a fost mult mai mare.
Tabelul 5.18 a Riscul operaţional mediu de răspuns eronat pe tipuri de instalaţii (Zona Bacău)
EAW (RD310, RD110 Q3 ŞI
Q4, RD7)
GSCI (PD3/2, PD3, PD2)
ABB (LZ31) SIEMENS (R3Z24)
SIEMENS (R1Z24A)
număr mediu de solicitări
60.0833333 48.5833333 6.16666667 5.58333333 8.25 0.58333333
Probabilitatea medie de transmitere a
răspunsurilor eronate (Q med)
0.23591549 0.18974359 0.22685185 0 0 0
Tabelul 5.18 b
maximale linii+trafo
diferenţiale linii
diferenţiale bare
diferenţiale trafo
protecţii homopolare
drri rar aar dasf
număr mediu de solicitări
9.58333 0.83333 0.583333 1.833333 13.33333 0.75 96.333 3.0833 8.6667
Probabilitatea medie de transmitere a
răspunsurilor eronate (Q med)
0.04883 0.45238 0.130952 0.015667 0.136431 0.0769 0.1872 0.0655 0.1733
Tabelul 5.19Riscul de răspuns eronat pe tipuri de protecţii la FIT (SEN)
SIEMENS ZPA ABB EAW număr mediu de solicitări 225.7143 102.7143 515.4286 117.8571
Probabilitatea medie de transmitere a răspunsurilor eronate (Q med)
0.111559 0.089637 0.11468 0.187686
În calculele acoperitoare, de tip pesimist, pot fi utilizate datele dintre limitele
corespunzătoare diverselor grade de încredere (95%, 90%, 85%, 80%, 75%, 70%),
prezentate în figura 94. Acestea, reprezintă mediile maximelor riscului operaţional de
funcţionare eronată (de transmitere a răspunsurilor eronate), aferente instalaţiilor de
protecţie în general, fără a se face diferenţieri între diferitele tipuri de echipamente
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
181
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0,16
0,18
0,2
valo
area
ris
culu
i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Media maximelor riscului de functionare eronata a instalatiilor de protectie functie de gradele de incredere ( 95%---70%)
Fig.94
Evoluţia riscului operaţional de răspuns eronat, este prezentat pentru cazul
protecţiilor nediferenţiate pe tipuri, în figura 95.
EVOLUTIA PROBABILITĂŢII DE FUNCŢIONARE ERONATĂ CORESPUNZATOARE INSTALATIILOR DE PROTECTIE
Q = 0.0037t - 0.0108
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70
TIMPUL [LUNI]
VAL
OAR
EA R
ISC
ULU
Fig. 95
În cazul automatizărilor, evoluţia acestui risc precum şi trendurile sale linear
(roşu) şi polinomial (verde), împreună cu expresiile lor analitice sunt ilustrate în figura
96.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
182
Fig.96
II.4. MODELUL MATEMATIC AL SECURITĂŢII SISTEMELOR DE RELEE DE PROTECŢIE SI AUTOMATIZARE
II.4.1. MODELUL DUAL DE DEFECT
Un element poate să refuze funcţionarea, când trebuie să funcţioneze, sau
poate să funcţioneze intempestiv când nu există motiv de a acţiona.[ ]
Fie qref - riscul de refuz de funcţionare;
qinst - riscul de funcţionare intempestivă.
Pentru un sistem paralel, având două elemente identice avem:
2
21 refrefrefref qqqQ =⋅= , (441)
adică sistemul refuză, dacă ambele elemente refuză.
Dacă însă funcţionează, oricare din ele intempestiv, contează modul de
funcţionare intempestivă ( întrucât schema transmite răspuns eronat de tip
intempestiv) riscul de funcţionare intempestivă este.
( ) ( )intint2
int2
intintint 21111 qqqPRQ −=−−=−=−= (442)
Riscul sistemului va fi:
Q = P(releul să funcţioneze eronat) = Qref + Qint ⇒
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
183
( )Q q q qref= + −2 2int int (443)
Securitatea poate fi calculată cu relaţia:
( )S Q q q qref= − = − − ⋅ −1 1 22int int (444)
Acest rezultat, sugerează o diagramă logică, ce include ambele tipuri de funcţionări
eronate (refuzul şi acţionarea intempestivă).
Astfel, sistemul este defect, dacă ambele relee
refuză simultan, sau cel puţin un releu
funcţionează intempestiv .
Figura 97 Contacte în paralel de relee care transmit impuls la o bobina
de declanşare
Protecţiile 1 şi 2(fig.97) transmit în paralel impulsuri de declanşare, la bobina de
declanşare BD. Fiecare din contactele finale ale protecţiilor, poate funcţiona
intempestiv sau refuza. Astfel, dacă există condiţii de declanşare şi ambele protecţii
refuză, contactele rămân deschise; avem cazul unui refuz al protecţiilor, deci refuz de
declanşare (defect de închidere = open failure).
În mod similar, dacă există o selectivitate necorespunzătoare sau alte cauze,
rezultând închideri intempestive ale contactelor protecţiilor, spunem că avem un
defect de închidere (de scurtare - shorted failure). [ALLA 82]
II.4.2. RISCUL ŞI SECURITATEA DIN PERSPECTIVA MODULUI DE DEFECTARE AL SISTEMELOR DE RELEE
Defectele aparatelor se pot datora vechimii lor, pericolelor şi proastei
mentenanţe.
Presupunem cazul unui sistem redundant de protecţie, transmiţând impuls la o
singură bobină de declanşare. Considerăm două moduri de defectare:
− refuz de închidere, când există condiţii de defect;
− funcţionare intempestivă, când nu există defect primar.
Definim probabilităţile corespunzătoare celor două tipuri de evenimente astfel:
− qref i - probabilitatea de refuz de funcţionare a releului I, când există defect
în zona de lucru;
(+)
(+)
(-) BD
Prot.1
Prot.2
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
184
− qint i - probabilitatea de funcţionare intempestivă a releului i, când nu există
defect în zona sa de lucru (absenţa defectului primar).
Pentru un întreg sistem sau subsistem avem următoarele:
− Qref i - probabilitatea de refuz a subsistemului i;
− Qint i - probabilitatea de funcţionare intempestivă a subsistemului i.
Utilizând aceste definiţii, putem stabili formulele de probabilitate pentru
sistemele de relee.
Cazul releelor paralel (SAU)
Q q qrefSAU
ref ref= ⋅1 2 (445)
dacă q qref ref1 2≠
Q qrefSAU
ref= 2 (446)
dacă q q qref ref ref1 2= =
Schema logică de funcţionare a sistemului este prezentata în fig.99
Cum întotdeauna q qref ref1 2 1⋅ < ⇒ Q q qrefSAU
ref ref= <2 , (447)
probabilitatea de refuz, în cazul schemelor SAU, este mai mică decât în cazul
utilizării unui singur releu.
( )( )Q q qSAUint int int= − − − ⇒1 1 11 2 (448)
Q q q q qSAUint int int int int= + − ⋅1 2 1 2 dacă q qint int1 2≠ (449)
şi ( ) ( )Q q q qSAUint int int int= − − = −1 1 2
2 dacă q q qint int int1 2= = (450)
Deoarece q
qQ qint
intint int
<− >
⇒ >1
2 1 (451)
Deci probabilitatea de funcţionare intempestivă, în cazul utilizării unei scheme
SAU, este mai mare decât în cazul folosirii unui singur releu.
Cazul releelor serie (ŞI)
Q q qIintŞ
int int= ⋅1 2 dacă q qint int1 2≠ (452)
SAU
1
2
Figura 99 Schema logică de funcţionare a sistemelor cu relee
paralel
1
2
Figura 98 Relee paralel
ŞI
1
2
Figura 101 Schema logică de funcţionare a sistemelor cu relee
serie
1 2
Figura 100 Relee serie
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
185
şi Q qIintŞ
int= 2 dacă q q qint int int1 2= = (453)
( )( )Q q q q q q qrefI
ref ref ref ref ref refŞ = − − − = + − ⋅1 1 11 2 1 2 2 2 dacă q qref ref1 2≠ (454)
( )Q q qrefI
ref refŞ = −2 dacă q q qref ref ref1 2= = (455)
Deci probabilitatea de funcţionare intempestivă, a releelor serie (ŞI), este mai mică
decât în cazul utilizării unui singur releu, iar probabilitatea de refuz în cazul releelor în
schemă ŞI(serie) este mai mare decât în cazul utilizării unui singur releu.
Expresiile insecuritatii(riscului), respectiv securităţii, în cele doua cazuri sunt
următoarele:
Cazul SAU
Q S Q QSAU SAUrefSAU SAU= = + int (456)
S Q q q q q q qSAU SAU
ref ref= = ⋅ + + − ⋅1 2 1 2 1 2int int int int dacă q qq qref ref
int int1 2
1 2
≠≠
(457)
( )S Q q q qSAU SAU
ref= = + ⋅ −2 2int int dacă q qq qref ref
int int1 2
1 2
==
(458)
Securitatea are expresiile:
S S Q q q q q q qSAU SAU SAUref ref= − = − = − ⋅ − − + ⋅1 1 1 1 2 1 2 1 2int int int int dacă
q qq qref ref
int int1 2
1 2
≠≠
(459)
( )S S Q q q qSAU SAU SAUref= − = − = − − ⋅ −1 1 1 22
int int dacă q qq qref ref
int int1 2
1 2
==
(460)
Studiu de caz 1
În cazul a doua instalaţii conectate SAU, când riscului de refuz i se dă valoarea
maxima, 0.05 (vezi fig.91), iar cel intempestiv ia valori între limitele 0.06-0.016 (vezi
fig.88), variaţia securităţii unui astfel de sistem, arată ca în fig.102
0.70.720.740.760.780.8
0.820.840.860.880.9
0.06 0.072 0.084 0.096 0.108 0.12 0.132 0.144 0.156 0.168 0.18
0.8811
0.7031
S ,,q int 0.05 2
0.160.06 q int
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
186
Fig.102 Variaţia securităţii în cazul a doua instalaţii conectate în logica de tip SAU, la q.ref constant
Daca însă, riscul maxim, variază între limitele sale (0.02-0.05), iar riscului
intempestiv i se dă valoarea maxima posibila, 0.16, securitatea se prezintă ca în
fig.103
0.7030.7030.7040.7040.7040.7040.7050.7050.7050.7060.706
0.02 0.023 0.026 0.029 0.032 0.035 0.038 0.041 0.044 0.047 0.05
0.7052
0.7031
S ,,0.16 q ref 2
0.050.02 q ref Fig.103 Variaţia securităţii în cazul a doua instalaţii conectate în logica de tip SAU, la q.int constant
Securitatea atinge valori mult mai mici, în cazul variaţiei riscului de refuz, ea
fiind mult mai sensibilă în raport cu acest risc decât cu riscul de funcţionare
intempestivă.
Cazul ŞI
Q S Q QI Iref
I IŞ Ş ŞintŞ= = + (461)
S q q q q q qI
ref ref ref refŞ
int int= + − ⋅ + ⋅1 2 1 2 1 2 dacă q qq qref ref
int int1 2
1 2
≠≠
(462)
iar securitatea corespunzătoare este:
S S Q q q q q q qI I Iref ref ref ref
Ş Ş Şint int= − = − = − ⋅ + ⋅ − ⋅1 1 1 1 2 1 2 1 2 (463)
apoi
( )S Q q q qI I
ref refŞ Ş
int= = ⋅ − +2 2 dacă q qq qref ref
int int1 2
1 2
==
(464)
iar securitatea:
( )S S Q q q qI I SAUref ref
Ş Şint= − = − = − ⋅ − −1 1 1 2 2 (465)
Studiu de caz 2
În cazul a doua instalaţii conectate ŞI, când riscului de refuz i se dă valoarea
maximă, 0.05 ( vezi fig.91), iar cel intempestiv ia valori între limitele 0.06-0.016 (
vezi fig.88), variaţia securităţii unui astfel de sistem, arată ca în fig.104. Dacă însă,
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
187
riscul maxim variază între limitele sale (0.02-0.05), iar riscului intempestiv i se da
valoarea maxima posibila, 0.16, securitatea se prezintă ca în fig.105
0.870.8730.8760.8790.8820.8850.8880.8910.8940.897
0.9
0.06 0.072 0.084 0.096 0.108 0.12 0.132 0.144 0.156 0.168 0.18
0.8989
0.8769
S ,,q int 0.05 2
0.160.06 q int Fig.104 Variatia securităţii în cazul a doua instalaţii conectate în logica de tip ŞI, la q.ref constant
0.860.8680.8760.8840.892
0.90.9080.9160.9240.9320.94
0.02 0.023 0.026 0.029 0.032 0.035 0.038 0.041 0.044 0.047 0.05
0.9348
0.8769
S ,,0.16 q ref 2
0.050.02 q ref Fig.105 Variatia securităţii în cazul a doua instalaţii conectate în logica de tip ŞI, la q.int constant
II.4.3. SECURITATEA SISTEMELOR CU N RELEE SERIE (ŞI)
Schema clasica de fiabilitate a unui astfel de sistem este prezentata în fig.106:
A1 A2 A3 Ai An Figura 106 Cazul a n relee serie
Sistemul refuză, dacă cel puţin un element refuză; schema echivalentă de refuz fiind
prezentata în fig.107:
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
188
qref 1 qref 2 qref 3 qref i qref n
Figura 107 Schema echivalentă de refuz în cazul a n relee
serie
Sistemul va funcţiona intempestiv, dacă toate elementele sale, simultan,
funcţionează intempestiv. Schema echivalentă de funcţionare intempestivă este
prezentată în fig.108:
Expresiile probabilităţilor de funcţionare intempestivă şi de refuz sunt:
Q q q q qIi nint
Şint int int int... ...= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅1 2 (466)
Q qIi
i
n
intŞ
int==∏
1 (467)
( ) ( ) ( ) ( )Q q q q qrefI
ref ref refi refnŞ ... ...= − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −1 1 1 1 11 2 (468)
( )∏=
−−=n
irefi
Iref qQ
1
ª 11 (469)
Schema clasică de fiabilitate, având în vedere dualismul
refuz-funcţionare[ ] intempestivă, specific sistemelor de
relee, este echivalentă cu doua scheme una de tip serie
fig.126, care pune în evidenţă refuzurile şi una paralel
(fig.127) care pune în evidenţă funcţionările intempestive.
Această schemă echivalentă, compusa practic din doua
subsisteme, unul având n elemente serie cu probabilităţile de refuz qref.1, qref.2, ...
...qref.i...... qref.n, iar celălalt având n elemente paralel, cu probabilităţile de funcţionare
intempestiva qint.1, qint.2,....... qint.i,........ qint.n, se numeşte schemă de securitate a
sistemelor cu n relee serie.
Riscul ca sistemul să furnizeze răspunsuri eronate va fi:
Q Q QIref
I IŞ ŞintŞ= + (470)
( )Q q qIrefi
i
n
ii
nŞ
int= − − += =∏ ∏1 1
1 1
iar securitatea:
( )S Q q qI Irefi
i
n
ii
nŞ Ş
int= − = − −= =∏ ∏1 1
1 1 (471)
qint 1
qint 2
qint i
qint n
Figura 108 Schema echivalentă de funcţionare intempestivă în cazul a n relee serie
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
189
Dacă elementele sunt identice avem:
( )( )
Q q q
S q q
Iref
n n
Iref
n n
Şint
Şint
= − − +
= − −
1 1
1 (472)
II.4.4. SECURITATEA SISTEMELOR CU N RELEE PARALEL (SAU)
Dacă avem A1, A2, …, An elemente în paralel,
(fig.109), sistemul refuză, dacă toate elementele sale refuză.
Deci schema de refuz este o schemă paralel (fig.110).
Q q q q q qrefSAU
ref ref refi refn refii
n
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ==∏1 2
1... ... (473)
În schimb, dacă oricare din elementele acestuia
funcţionează intempestiv, sistemul funcţionează intempestiv
(schema de funcţionare intempestivă fiind una serie- fig.110)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Q q q q q qSAUi n
i
n
int int int int int int... ...= − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − = − −=∏1 1 1 1 1 1 11 2 1
1 (474)
Riscul ca sistemul să comunice răspunsuri eronate este:
Q Q QSAUrefSAU SAU= + ⇒int (475)
( )Q q qSAUrefi
i
n
ii
n
= + − −= =∏ ∏1 1
1 1int (476)
iar securitatea sistemului va fi:
( )S Q q qSAUi
i
n
refii
n
= − = − += =∏ ∏1 1
1 1int (477)
Dacă elementele sunt identice avem:
( )( ) n
refnSAU
nnref
SAU
qqS
qqQ
−−=
−−+=
int
int
1
11 (478)
A1
A2
Ai
An
Figura 109 Cazul a n relee paralel
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
190
Aşadar, schema de securitate a unui sistem având n elemente paralel se
poate considera ca fiind compusă din două subsisteme, unul alcătuit din n elemente
paralel având probabilităţile de refuz: q q q qref ref refi refn1 2, ,..., ,..., , iar celălalt alcătuit din n
elemente serie având probabilităţile de funcţionare intempestivă
q q q qi nint int int int, ,..., ,...,1 2 .
Studiu de caz
Variaţia fiabilităţii, R(qref,n) şi a securităţii S(qint, qref,n), pentru protecţiile cu
relee ZPA arată ca în figura 111. Se observă, că fiabilitatea creşte cu numărul de
instalaţii aflate în paralel, în timp ce securitatea atinge un maxim, pentru n=2, după
care scade.
0.7
0.8
0.9
1
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.999946
0.726398
R( ),0.089637 n
S ,,q int 0.089637 n
41 n Fig.111 Comparaţie între fiabilitate şi securitate în cazul instalaţiilor cu relee ZPA
Diferenţa evoluţiei celor două mărimi este mult mai bine pusă în evidenţă, în
cazul instalaţiilor de automatizare RAR (fig.112)
qref 1
qref 2
qref i
qref n
qint 1 qint 2 qint 3 qint i qint n
Figura 110 Schema echivalentă de refuz în cazul sistemelor de relee paralel
Figura 110 Schema echivalentă de funcţionare intempestivă în cazul sistemelor de relee paralel
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
191
0.8
0.82
0.84
0.86
0.88
0.9
0.92
0.94
0.96
0.98
1
1 1.7 2.4 3.1 3.8 4.5 5.2 5.9 6.6 7.3 8
R( ),0.1756 n
S ,,q int 0.1756 n
n Fig.112 Comparaţie între fiabilitate şi securitate în cazul instalaţiilor de automatizare RAR
Riscul de refuz, al automatizărilor RAR, este diminuat cu peste 10% în cazul
utilizării unor scheme speciale[VIZI 91/3] , de asemeni diminuarea depaşeşte 15% in
cazul folosirii releelor electronice pentru controlul impulsurilor de reanclanşare, la
ieşirea din releele RAR (figura 113). [VIZI 94/1.
Securitatea poate să prezinte o pantă permanent negativă, în funcţie de
numărul de elemente aflate în paralel, sau una pozitivă într-un anumit interval de
variaţie a numărului de elemente, după care ea să devină din nou negativă.
Studiu de caz
În cazul unor echipamente având riscul intempestiv constant, qint=0,11 şi qref
variabil, evoluţia securităţii se prezintă ca în figura 114.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
192
P1 2 Trafo1
UB TT Bară
Detector de
unghi
Afişor ∆ϕ
Timp
T
SI1
O
SAU
O
DD1
DD2 1
1
2
+
UL
TT Linie
SI2
SI3
O
Amplificator RE
RAR (-)
Reanclanşare
NU
NU
DD3 1
2
P2 Trafo2
prescriere unghi de comparare
Figura 113 Releu electronic pentru controlul reanclanşării
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
193
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.878706
0.625822
S ,,q int 0.014127 n
S ,,q int 0.089637 n
S ,,q int 0.011294 n
S ,,q int 0.06884 n
S ,,q int 0.0833333 n
S ,,q int 0.09722222 n
S ,,q int 0.02344 n
S ,,q int 0.011799 n
S ,,q int 0.11 n
S ,,q int 0.1756 n
S ,,q int 0.2 n
41 n Figura 114 Variaţia securităţii în funcţie de qref şi numărul de relee aflate în paralel
Se constată că, pentru qref=qint, securitatea rămâne constantă, până în momentul
în care mai este pus un releu în paralel, dacă se adaugă şi altele aceasta scade, panta
fiindu-i evident negativă. Pentru valori ale riscului de refuz mai mari decât riscul de
funcţionare intempestivă, (curbele 1 şi 2), securitatea atinge un maxim după care scade
odată cu creşterea numărului de relee aflate în paralel. Evoluţia riscului este în mod
evident, inversă celeia pe care o are securitatea(fig.115).
0.1
0.25
0.4
1 2.5 4
0.374522
0.121294
Q ,,q int 0.014127 n
Q ,,q int 0.089637 n
Q ,,q int 0.011294 n
Q ,,q int 0.06884 n
Q ,,q int 0.0833333 n
Q ,,q int 0.09722222 n
Q ,,q int 0.02344 n
Q ,,q int 0.011799 n
Q ,,q int 0.11 n
Q ,,q int 0.1756 n
Q ,,q int 0.21 n
41 n
Figura 115 Variaţia riscului în funcţie de qref şi numărul de relee aflate în paralel
1
2
1 2
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
194
II.5. APLICAŢII CARE PRIVESC CREŞTEREA FIABILITĂŢII SISTEMELOR DE PROTECŢII ŞI AUTOMATIZARE ALE INSTALAŢIILOR ELECTROENERGETICE
Principalele probleme dezvoltate în acest capitol sunt:
− alegerea instalaţiilor de protecţie şi automatizare pe baza criteriului performanţă
fiabilistă-cost;
− optimizarea nivelului de redundanţă;
− analiza disponibilităţii şi credibilităţii instalaţiilor de protecţie şi automatizare;
− analiza calităţii actului de conducere a procesului de mentenanţă precum şi al
calitaţii acţiunilor de menetenanţă propriu-zisă;
− stabilirea duratelor optime dintre două intervenţii succesive;
− prognozarea fiabilităţii şi securităţii sistemelor de protecţie şi automatizare.
II.5.1. ALEGEREA INSTALAŢIILOR DE PROTECŢIE ŞI AUTOMATIZARE PE BAZA CRITERIULUI PERFORMANŢĂ FIABILISTĂ – COST
Plecându-se de la nivelul minim de securitate ce trebuie asigurat de un anumit
echipament, de la intensitatea de transmitere a răspunsurilor eronate ale diverselor
tipuri de protecţii şi de la costurile corespunzătoare acestora, în cele ce urmează se
stabileşte un algoritm de alegere a instalaţiilor (echipamentelor) de protecţie şi
automatizare, astfel încât soluţia utilizată să fie cea mai avantajoasă din punct de
vedere economic.
Dacă riscul de transmitere a răspunsurilor eronate acceptat este Qadm,
probabilitatea admisibilă de a nu transmite răspunsuri eronate este[VIZI 96/3],:
Radm = 1 - Qadm (479)
Probabilitatea ca protecţia să nu transmită răspunsuri eronate, un interval mai
mare decât (0,t) este:
R eT t ter( )>− ⋅= λ
(480)
Alegem între două tipuri de protecţii pentru care cunoaştem:
λer1 - intensitatea de transmitere a răspunsurilor eronate (funcţionări intempestive
şi refuzuri) a primului tip de protecţie;
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
195
λer2 - intensitatea de transmitere a răspunsurilor eronate a celui de-al doilea tip de
protecţie;
C1 - costul de achiziţie al primului tip de protecţie;
C2 - costul de achiziţie al celui de-al doilea tip de protecţie.
R eT t ter( )11 1>
− ⋅= λ (481)
R eT t ter( )22 2>
− ⋅= λ (482)
reprezintă probabilităţile ca protecţia să nu transmită răspunsuri eronate în intervalul
(0,t).
Din relaţia R e eadmt ter er= =− ⋅ − ⋅λ λ1 1 2 2 (483)
putem determina duratele de utilizare t1 şi t2 ale celor două tipuri de protecţie, astfel
încât probabilitatea de a nu transmite răspunsuri eronate, să fie mai mare decât
valoarea sa limită admisibilă:
tRadm
er1
1= −
lnλ
(484)
tRadm
er2
2= −
lnλ
(485)
Costul pe unitatea de timp, de utilizare, până la înlocuire va fi:
CCt
CRn
er
adm1
1
1
1 1= = −⋅λ
ln (486)
CCt
CRn
er
adm2
2
2
2 2= = −⋅λ
ln (487)
Rezultă:
CC
CC
n
n
er
er
1
2
1 1
2 2=
⋅⋅
λλ
(488)
Făcând Cn1=Cn2 rezultă:
λ λer erC C1 1 2 2⋅ = ⋅ (489)
Adică ştim care dintre cele două protecţii, văzute pe piaţă este mai economic de
cumpărat. Dacă sunt incluse pe lângă costurile de investiţie iniţială ( )C CI I1 2, şi
costurile de exploatare ( )C CE E1 2, :
C C CI E1 1 1= + (490)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
196
C C CI E2 2 2= +
Avem: ( )( )
CC
C C
C Cn
n
er I E
er I E
1
2
1 1 1
2 2 2=
⋅ +
⋅ +
λ
λ (491)
Dacă: CC
n
n
1
21> - este mai avantajos să cumpărăm protecţia 2
CC
n
n
1
21< - este mai avantajos să cumpărăm protecţia 1.
Dacă se ţine cont de actualizarea cheltuielilor şi de daunele care se pot
produce la consumatorii de energie electrică, avem:
C C C k D fI EA iA ijCMA iARj
N
i
n
i
n
i1 1 1111
= + ⋅ + ⋅===∑∑∑ (492)
C C C k D fI EA iA ijCMA iARj
N
i
n
i
n
i2 2 2111
= + ⋅ + ⋅===∑∑∑ (493)
semnificaţia mărimilor fiind următoarea: C1,C2 - cheltuielile totale actualizate; C1I,C2I - cheltuielile de întreţinere iniţiale;
C CEA EAi i1 2, - cheltuielile de exploatare anuale în anul i;
kiA - coeficientul de actualizare al cheltuielilor; DijCMA - dauna la consumatorul racordat la plecarea j în anul i; fAR = N·Q - frecvenţa anuală a răspunsurilor eronate;
N=T·λ - numărul de solicitări ale protecţiei;
T - timpul unui an [ore]; Q - probabilitatea de a transmite răspunsuri eronate; Q = qref + qint;
λ - este intensitatea de defectare a elementului primar. II.5.2. OPTIMIZAREA NIVELULUI DE REDUNDANŢĂ A INSTALAŢIILOR DE PROTECŢIE
Redundanţa asigură, în general, eliminarea refuzurilor, cu alte cuvinte scade
probabilitatea de refuz. Ea se impune a fi utilizată în situaţiile în care, intensitatea de
refuz are valori ridicate.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
197
Stabilirea numărului optim de elemente redundante se poate face, utilizând,
unul din algoritmii [CATU 89/2] cunoscuţi:
− bazaţi pe metode euristice;
− bazaţi pe metoda utilizării multiplicatorului Lagrange;
− bazaţi pe utilizarea programării dinamice;
− determinarea rutei celei mai fiabile, în cazul în care informaţia trebuie
transmisă între mai multe niveluri ierarhice.
Nu trebuie uitat faptul că, creşterea nivelului de redundanţă, sporeşte riscul
funcţionărilor intempestive.
Informaţiile, prin intermediul instalaţiilor de protecţie, se transmit de regulă, pe
lanţuri de tip serie.
Ne propunem să creştem fiabilitatea instalaţiilor de protecţie prin asigurarea
redundanţei elementelor lanţului de tip serie.
Fie un lanţ cu n elemente (relee) serie, pentru care realizăm redundanţa
succesivă. Să presupunem că, pentru început realizăm o rezervare de m ori pentru
elementul 1 (figura 116).
qref1 qref2 qref3 qrefi qrefn
qref1
m qref1
2
Figura 116 Schema echivalentă de refuz a unui lanţ cu n relee serie
qint1 qint1 qint1 qint1 qint1
1 2 3 j m
qint2
Qint3
qinti
qintn
Figura 117 Schema echivalentă de funcţionare intempestivă a unui lanţ cu n relee serie
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
198
Introducerea elementelor în paralel produce modificări în schema duală
corespunzătoare funcţionărilor intempestive (figura 117).
Expresiile riscurilor de refuz şi de funcţionare intempestivă, vor fi:
( ) ( )Q q qref refm
refii
n= − − −
=∏1 1 11
2 (494)
( )[ ]Q q qmi
i
n
int int int= − −=∏1 1 1
2 (495)
Dacă se realizează redundanţa prin multiplicare pentru fiecare din cele n
elemente astfel:
elementul 1 de m1 ori;
elementul 2 de m2 ori;
…..
elementul i de mi ori;
…..
elementul n de mn ori,
putem scrie relaţiile generale:
( ) ( ) ( ) ( )Q q q q qref refm
refm
refim
refnmi n= − − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −1 1 1 1 11 2
1 2 ... ... (496)
( ) ( ) ( )Q q q qm m
nmn
int int int int...= − −
⋅ − −
⋅ ⋅ − −
1 1 1 1 1 11 21 2
(497)
Securitatea sistemului va fi:
( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]nnm
nmmm
refnmref
mref qqqqqqS int2int1int21 11...11111...111 2121 −−⋅⋅−−⋅−−+−⋅⋅−⋅−−= (498)
sau
( ) ( )S q qrefim
i
n
im
i
ni i
= − −
+ − −
= =∏ ∏1 1 1 1
1 1int (499)
Optimizarea constă în găsirea gradului de multiplicare m1 m2 … mi … mn
aferent fiecăruia din cele n elemente 1, 2, … i, … n, astfel încât, securitatea să fie
mai mare decât o valoare limită prestabilită (costul de realizare a redundanţei fiind
minim - eventual).
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
199
limSS ≥ ; C C= min (500)
Sau să avem securitate maximă la un cost mai mic decât o valoare prestabilită
S S= max ; C C≤ lim (501)
Este important să se ştie că, deşi fiabilitatea creşte prin mărirea redundanţei,
fiind cu atât mai bună cu cât redundanţa fiecărui element este mai mare, securitatea,
care este un indicator mult mai complex în ceea ce priveşte caracterizarea
succesului instalaţiilor de protecţie şi automatizare, creşte prin componenta sa
specifică refuzului dar scade prin componenta sa specifică funcţionărilor
intempestive.
Deci, există un optim de redundanţă pentru care securitatea are valoare
maximă[VIZI 97/3],. Ori tocmai acest optim se doreşte a fi stabilit astfel încât riscul
răspunsurilor eronate al instalaţiilor de protecţie şi automatizare să fie minim.
Relaţiile anterioare se mai pot scrie :
QTOT ≤ Qlim , C = Cmin sau QTOT = Qmin , C ≤ Clim (502)
Studiu de caz
Se consideră protecţia unei linii de înaltă tensiune, pentru ale cărei
elemente se cunosc riscurile de funcţionare intempestivă şi de refuz precum
şi costurile aferente acestora. Se pune problema optimizării securităţii
(minimizarea riscului), în condiţiile multiplicării prin redundanţă a elementelor
componente ale protecţiei .
Rezultatele se prezintă ca mai jos.
ELEMENTUL DIN SCHEMA DE PROTECŢIE E1 E2 E5 E6 E8 E9
q.ref 0.050044 0.048002 0.0443386 0.044709 0.001116 0.009091 q.int 0.00443386 0.0217 0.02108465 0.107393 2.23E-03 0.009091
preţ unitar (USD) 1000 1500 500 5000 100 100 nr. min de elem.
redund. 1 1 1 1 1 1
Tabel 6.1 Valorile riscurilor şi a preţurilor corespunzătoare elementelor serie din lanţul de optimizat
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
200
circ.crt. (E1)
circ.tens. (E2)
circ.cc. (E5)
protecţie (E6)
bob.decl. (E8)
E.v.d. (E9)
risc. sistem.
Cheltuieli($)
1 1 1 1 1 1 0.182800304 8200 2 1 1 1 1 1 0.141904362 9200 2 2 1 1 1 1 0.100714055 10700 2 2 2 1 1 1 0.060840976 11200 2 2 2 2 1 1 0.018852197 16200 2 2 2 2 2 2 0.008827824 16400 2 2 2 2 2 1 0.017757236 16300 3 2 2 2 2 2 0.006463834 17400 3 3 2 2 2 2 0.004279393 18900 3 3 2 3 2 2 0.002374238 23900
Tabel 6.2 Variantele de redundanţă ale lanţului serie analizat
În figura 118, reprezentând trendul riscului, se observă că acesta, în funcţie de
varianta de redundanţă utilizată, scade, după care creşte, deşi numărul de elemente
redundante se măreşte.
Variatia riscului sistemului functie de de redondanta (trendul riscului)
Q = 3E-05v5 - 0.0009v4 + 0.0106v3 - 0.0506v2 + 0.0553v + 0.167R2 = 0.9941
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
varianta (numărul de elemente redondante)
Ris
cul
sist
emul
ui
Figura 118 Dependenţa riscului de varianta de redundanţă folosită (trendul riscului)
II.5.3. ANALIZA DISPONIBILITĂŢII ŞI CREDIBILITĂŢII SISTEMELOR DE PROTECŢIE ŞI AUTOMATIZARE
Coeficientul de disponibilitate, determinat în funcţie de media timpului de bună
funcţionare [MTBF] şi de media timpului de mentenanţă, [MTM], are expresia:
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
201
IMTBF
MTBF MTMA =+
(503)
În privinţa MTBF afirmaţia necesită câteva precizări:
a) Cazul protecţiilor clasice [VIZI 96/5]
− Se poate vorbi de MTBF, în sens clasic, numai dacă ne referim la partea de
curent alternativ (elemente de demaraj, elemente de măsură, elemente de
direcţie, etc.), care se află în permanenţă sub excitaţia mărimilor tensiune şi
curent din secundarele transformatoarelor de măsură;
− Mărimea MTBF nu poate caracteriza, în sens fiabilistic clasic şi, partea de
logică (de curent continuu), deoarece aceasta are regimul de funcţionare
"în aşteptare". Practic nu ştim dacă această parte, pe timpul funcţionării
normale a echipamentelor primare, este în stare de bună funcţionare sau
nu. Este adevărat însă, că în urma analizelor privind fiabilitatea
operaţională se poate determina intensitatea de transmitere a răspunsurilor
eronate (funcţionări intempestive şi refuzuri) cu ajutorul căreia se poate
estima media timpului de bună funcţionare, dintre două răspunsuri eronate
ale instalaţiei de protecţie sau automatizare.
b) Cazul protecţiilor prevăzute cu posibilităţi de autotestare
Media timpului de bună funcţionare poate fi considerată aptă să caracterizeze
din punct de vedere fiabilistic, atât elementele funcţionând în curent alternativ
(demaraj, măsură, direcţie, etc.), cât şi pe cele care constituie partea logică a
instalaţiei.
Dacă aceste protecţii sunt şi tolerante la defectări, media timpului de bună
funcţionare (relaţia 505) creşte în raport cu cea a protecţiilor clasice (relaţia 504) (fig.
119)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
202
T’fr T’fi T’mi T’m2 T’f1 T’m1 T’f2
Tf1 Tm1 Tf2 Tm2 Tfi Tmi Tfr
a)
b)
Figura 119 MTBF pentru instalaţiile clasice şi cele tolerante la defectări a) Protecţii clasice b) Protecţii tolerante la defectări
Tfi - durata de funcţionare dintr-un interval oarecare de timp;
Tmi - timpul de mentenanţă după respectiva mentenanţă.
Corespunzător celor două figuri MTBF va fi:
MTBFT
r rT
fii
r
fii
r= ==
=
∑∑1
1
1 (504)
MTBFT
r rT
fii
r
fii
r'
''= ==
=
∑∑1
1
1 (505)
Definim coeficientul stării de funcţionare eronată ca fiind:
K MTBF MTMTVse = −
−1 (506)
unde: TV - este timpul se supravieţuire al sistemului de securitate.
Evident, MTBF<MTBF’, deoarece, în general Tfi < T fi' , întrucât pentru
protecţiile tolerante la defectări, după timpul de funcţionare normală Tfin , urmează un
timp de funcţionare cu defectul mascat, corespunzător lăţimii suprafeţei haşurate din
figura (119.b), T fidm' , timp în care instalaţia de securitate este aptă să-şi menţină
capacitatea de a răspunde corect la solicitări, funcţionând corect (fig. 120).
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
203
T’fi
T’fidm T’fin
Tfi
Figura 120 Timpii de funcţionare corectă în cazul protecţiilor clasice (Tfi) şi a celor tolerante la defectări (T'fi)
Aşadar, se poate scrie că:
T T T Tfi fin fidm fi' ' '= + > (507)
Prin urmare, coeficientul stării de funcţionare eronată, în cazul instalaţiilor
clasice, este mai mare decât în cazul instalaţiilor prevăzute cu autotestare şi
autodiagnoză.
Credibilitatea, ca măsură a probabilităţii de a nu exista defecţiuni care să ducă la răspunsuri eronate ale sistemului , evident că în cazul instalaţiilor clasice, are valoarea dată numai de detectările de defecte descoperite în mod întâmplător, în cazul lucrărilor de verificare periodică. În timp ce, în cazul instalaţiilor de securitate autotestabile, atât timp cât acestea au module în stare de bună funcţionare, practic, se sesizează toate defectele care ar putea duce la funcţionări eronate. Cu alte cuvinte, probabilitatea de a detecta stările instalaţiei, care ar conduce la funcţionări intempestive sau refuzuri, este în mod teoretic egală cu unitatea, în cazul protecţiilor autotestabile şi, foarte mică, în cazul instalaţiilor clasice. Credibilitatea este cu atât mai mare cu cât viteza de testare este mai mare. Pentru reducerea timpului de mentenanţă, (MTM), au fost imaginate o serie de echipamente pentru efectuarea lucrărilor [VIZI 94/5]
În direcţia realizării de echipamente autotestabile există foarte mult teren de acţiune. Preocupările autorului s-au îndreptat spre realizarea unui releu electronic pentru anclanşarea automată a buclelor deschise, cu autotestare, care să mărească credibilitatea automatizărilor de tip AAR de linie, existente în cadrul instalaţiilor de sistem de 110 kV (figura 121) [VIZI 94/1].
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
204
IEŞIRE
Blocaj extern
Bloc măsură Ul
R S T N
Ul
Bloc generare tensiune prescrisă
Upr.
Upr.
Bloc măsură Ub
R S T N
Ub
Circuit de
blocaj
Bloc analiză stare Ua şi Ub
Bloc autotestare
RESET
D1b D2b D3b
D1a D2a D3a
Bloc temporizator şi amplificator
D1 D3 D2
“A lucrat releul”
“Releu defect”
RESET EXTERN Bloc
alimentare
+ -
220 V ca
24 V
“ON/OFF”
+24 Vcc +15 Vcc
Figura 121 Releu electronic cu autotestare pentru anclanşarea automată a buclelor deschise
De asemeni, plecînd de la releele numerice existente [GAL 94],[ABB 96], s-a
conceput o schemă de releu de distanţă, pentru care sunt detectate, inclusiv
defectele de traductoare (funcţia de validare mărimi) sau cele din circuitele
secundare de curent, respectiv tensiune, pe principiul redundanţei analitice (figura
122).
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
205
AUTOSUPRAVEGHERE ŞIAUTODIAGNOZĂ
UNITATE DE PROGRAMARE
SEMNALI-ZĂRI
INTER-FAŢĂ
IEŞIRE
DECLAN-ŞĂRI
UNITATEDE
START
UNITATEDE
AFIŞARE
UNITATEADE
LOGICĂ
Funcţia de toleranţăla defectări
Funcţia deprotecţie
Funcţia deRAR
Funcţia deperturbograf+
locator
Condiţii externe +controale
Funcţia decomunicaţie
INTERFAŢĂ
INTRĂRI
Funcţie devalidare mărimi
I
U
Figura 122 Releu de distanţă digital tolerant la defectări utilizând redundanţa analitică
II.5.4. CALITATEA ACTULUI DE CONDUCERE A PROCESULUI DE
MENTENANŢĂ
Disponibilitatea ca mărime privită sub aspectul combinat dintre mentenabilitate
[MOR 92], mentenanţă şi fiabilitate:
A R F Mt t t t r( ) ( ) ( ) ( )= + ⋅ (508)
cu: M et tr
r( ) = − −1 µ - mentenabilitatea[FERB 94]
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
206
F Rt t( ) ( )= −1 - nonfiabilitatea,
tr - timpul de repunere în funcţie a instalaţiei,
permite aprecierea calităţii managementului actului de mentenanţă.
Pentru instalaţiile de securitate, intensitatea de reparare µ, ar trebui dată de
furnizor, calculul său de către acesta trebuind să fie făcut după relaţia [GEBA 84]:
µ =1
MTR (509)
cu: MTRn t n t n t
n n n
n t
n
k k k
k k
i i ii
k
i ii
k=+ + +
+ + += =
=
∑
∑1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1
1
λ λ λλ λ λ
λ
λ
(510)
unde:
ni - numărul de componente de acelaşi tip ale echipamentului de securitate;
λi - intensitatea de defectare a acestui tip de componente;
ti - timpul mediu, apreciat de furnizor, pentru înlăturarea defecţiunii unei
componente din grupul ni (luat din normele de montaj).
Cu aceste valori se calculează A t0 ( )
Pe baza observaţiilor din exploatare, în timpul a "m" acţiuni de mentenanţă,
media timpului de reparare, MTR, are expresia:
(511)
Cu aceste valori se calculează Am t( )
Conducătorul (managerul) procesului de exploatare şi întreţinere a
echipamentului, făcând comparaţie între valorile obţinute pentru A t( ) , va avea
informaţii despre calitatea coordonării procesului de mentenanţă. Astfel, diferenţa
disponibilităţilor obţinute determină un ecart:
ε = −A At m t0 ( ) ( ) (512)
care reflectă calitatea procesului de conducere a acţiunilor de mentenanţă.
Dacă acest ecart este mare, el se traduce prin:
- fie o organizare defectuoasă a formaţiilor;
- fie o dotare insuficientă ca volum sau nivel tehnologic;
MTRt t t
m mtmi
i
m=
+ + += ⋅
=∑
1 2
1
1
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
207
- fie o instruire necorespunzătoare;
- fie chiar lipsa calificării;
- fie o foarte mare viteză de degradare a echipamentului [VIZI 95/6].
Pentru instalaţiile de protecţie
A = P + Q⋅M (513)
P - reprezentând probabilitatea de funcţionare neeronată a protecţiei;
Q - reprezentând probabilitatea ca protecţia să comunice răspunsuri eronate
valorile lor putând fi determinate cu relaţiile FRE [VIZI 92/3]
II.5.5. STUDIUL CALITĂŢII PROCESULUI DE MENTENANŢĂ
Se propune, pentru aprecierea calităţii lucrărilor de întreţinere un indicator.
Acesta, pe lângă posibilitatea analizei calităţii lucrărilor de mentenanţă [CAR 94/2],
ne poate da informaţii şi cu privire la momentul când se poate renunţa la o instalaţie
de securitate:
Fie Qm = Qp·Qa (514)
indicatorul calităţii lucrărilor de mentenanţă al instalaţiilor de protecţie şi
automatizare,
unde:
♦ Qp - reprezintă indicatorul coeficienţilor funcţionali, ilustrând, în ce măsură
coeficienţii funcţionali ai protecţiilor şi automatizărilor (coeficient de revenire etc.), s-
au îmbunătăţit sau nu, după efectuarea lucrărilor de mentenanţă. Expresia sa este:
Qkk
kkp
i m
ii
j
j mj
i i
=
⋅
∏ ∏( )
( )
( )
( )0
0α β
(515)
• Se foloseşte raportul k kj m j( ) ( )0 , în cazul în care, după lucrările de
mentenanţă se doreşte să se obţină coeficienţi funcţionali, având valori mai
mici decât cei de referinţă daţi prin norme, deci k kj m j( ) ( )> 0
• Se foloseşte raportul k kj j m( ) ( )0 în cazul în care după lucrările de
mentenanţă se doreşte să se obţină coeficienţi funcţionali având valori mai
mari decât cei de referinţă daţi prin norme, deci k kj m j( ) ( )< 0
Aşadar, dacă valorile de referinţă ale coeficienţilor funcţionali ai instalaţiilor în
cauză sunt ki ( )0 , ei îmbunătăţindu-se după efectuarea lucrărilor de mentenanţă când
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
208
capătă valorile ki m( ) , indicatorul Qp se obţine din produsul rapoartelor supraunitare
existente între cele două mărimi aflate la puterile αi şi βi între care există relaţia:
α βi i∑ ∑+ = 1 (516)
Coeficienţii de pondere αi şi βi se stabilesc în funcţie de experienţa de
exploatare, ei reflectând ponderea diverşilor coeficienţi funcţionali ai protecţiilor în
raport cu ceilalţi coeficienţi.
♦ Qa - reprezintă factorul de atenuare a principalelor mărimi perturbatoare,
ilustrând în ce măsură factorii perturbatori (umiditate, temperatură, influenţa
câmpurilor, etc.) s-au îmbunătăţit după efectuarea lucrărilor de mentenanţă
Qkk
kka
s
s ms
r m
rr
i i
=
⋅
∏ ∏( )
( )
( )
( )
0
0
γ δ
(517)
cu γ δss
rr
∑ ∑+ = 1 (518)
în care:
ks ( )0 - este parametrul perturbator limită acceptat;
ks m( ) - este parametrul perturbator după intervenţie;
Variaţia lui Qm în funcţie de timpul de viaţă al echipamentului este prezentată
în figura 123.
tv - este momentul în care
echipamentul ar trebui vândut,
chiar dacă la un preţ foarte scăzut
deoarece în foarte scurt timp
parametrii săi nu mai pot fi
menţinuţi(refăcuţi) nici prin lucrări
de mentenanţă;
tr - momentul în care
echipamentul ar trebui retras din exploatare, funcţionarea sa nemaiprezentând nici
securitate, nici credibilitate.
Studiu de caz
Se consideră o protecţie maximală de curent, cu blocaj voltmetric situată într-o
cabină de relee, în care se execută lucrări de mentenanţă. În cazul releelor maximale
de curent Ki(0)=0,85 (coeficient de revenire), după lucrările de mentenanţă acesta
Qm
1,4
1
tv tr t
Figura 123 Variaţia indicatorului calităţii procesului de mentenanţă
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
209
este Ki(m)=0,86. Pentru releele minimale de tensiune Ku(0)=1,15; Ku(m)=1,08.
Umiditatea Kv(0)=70%, după lucrările de mentenanţă Kv(m)=63%, iar temperatura
Kt(0)=100C ş i Kt(m)=160C. Din experienţa de exploatare şi întreţinere, se apreciază
că: α α β βi u v t= = = = 0 5, .
Indicatorul calităţii procesului de mentenanţă este:
Qkk
kk
kk
kkp
i m
i
u
u mv m
v
t m
t=
⋅
⋅
⋅
=
( )
( )
,( )
( )
,( )
( )
,( )
( )
,
,0
0 50
0 5
0
0 5
0
0 5
1 384
Deci lucrările de întreţinere au fost bine executate.
II.5.6. STABILIREA DURATELOR OPTIME DINTRE DOUĂ INTERVENŢII SUCCESIVE
În vederea asigurării unei funcţionări corecte a protecţiilor şi automatizărilor,
care nu dispun de module de autotestare, pentru evitarea acţionărilor false şi a
refuzurilor în funcţionare, normativele [PE 88], [INST 92 ] recomandă intervalul de
timp, după care trebuie făcute verificări periodice. Desigur că, indicaţiile din normativ
s-au stabilit pe baza experienţei de exploatare, dar acestea trebuie actualizate
conform cu evoluţia sistemelor de protecţie folosite [VIZI 95/6].
Este clar că, un interval mic între două verificări profilactice, determină o
funcţionare sigură, probabilitatea apariţiei unui defect, în acest interval fiind redusă,
mai ales dacă instalaţiile nu sunt îmbătrânite; în acelaşi timp, însă, verificările dese
solicită mai mult personalul de întreţinere şi exploatare, iar pe de altă parte, scot din
funcţiune instalaţia de protecţie prin relee sau automatizare pe durata verificărilor. Un
interval de timp prea mare, între două verificări succesive, măreşte riscul unor
funcţionări intempestive sau refuzuri în funcţionare în eventualitatea defectării
instalaţiei în cauză. Aspectele mai sus menţionate nu sunt dorite, de unde ideea
necesităţii unei cât mai corecte aprecieri a duratei dintre două verificări profilactice.
Corectitudinea stabilirii periodicităţii verificărilor protecţiilor se poate face dacă
se dispune de date statistice, din exploatare, pe baza cărora se pot calcula indicatorii
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
210
de fiabilitate operaţională ai instalaţiei şi durata optimă de funcţionare între două
verificări succesive.
Indicatorii de fiabilitate, pentru tipul de protecţie sau automatizare considerată
se vor calcula separat, pentru fiecare sursă de insucces: acţionări intempestive şi
refuzuri în funcţionare.
Aceşti indicatori, în ipoteza admiterii funcţiei de repartiţie exponenţială
(λ=constant) sunt prezentaţi mai jos:
Indicatori de fiabilitate Acţionări intempestive Refuzuri de funcţionare
Intensitatea de defectare
[ ]λ int ( )int ( ) int ( )
( ) int ( )t
t t t
t
n nN n t
=−
− ⋅
+ ∆
∆0 [ ]λ ref t
ref t t ref t
ref t
n nN n t
( )( ) ( )
( ) ( )=
−
− ⋅
+ ∆
∆0
Probabilitatea medie de succes
R et ttint ( ) int ( )= − ⋅λ ∆ R eref t tref t( ) ( )= − ⋅λ ∆
Probabilitatea medie de insucces Q
tt
tint ( )
int ( )=
⋅λ ∆2
Qt
ref tref t
( )( )
=⋅λ ∆
2
Tabelul nr. 6.3 Indicatorii de fiabilitate funcţie de sursele de insucces
Dacă riscul limită acceptat pentru acţionările false este Qint.lim, iar cel puţin
pentru refuzuri este Qref.lim timpii dintre două verificări succesive rezultă din relaţiile:
∆tQ
optim12
≤⋅ int.lim
intλ (519)
∆tQ
optimref
ref2
2≤
⋅ .limλ
(520)
( )∆ ∆ ∆t t toptim optim optim= min ,1 2
Acest interval de timp se compară cu timpii daţi prin norme ∆t:
Dacă ∆ ∆t toptim < - lucrările de mentenanţă trebuie efectuate cu o frecvenţă
mai mare decât cea dată prin norme.
Dacă ∆ ∆t toptim > - lucrările de mentenanţă pot fi efectuate cu o frecvenţă
mai mica decât cea dată de norme.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
211
II.5.7. PROGNOZE PRIVIND FIABILITATEA ŞI SECURITATEA SISTEMELOR DE PROTECŢIE ŞI AUTOMATIZARE
Pentru a avea informaţii despre un fenomen viitor, sunt utilizate datele
obţinute pe cale experimentală , cu ajutorul cărora se obţine o curba f(t) reconstituită
după descompunerea în serii Fourier[ROT-97] a fenomenului despre care s-au cules
datele experimentale. Se stabileşte momentul t, în care fenomenul se doreşte a fi
cunoscut şi, se calculează expresia din relaţia 610. Pot fi determinaţi coeficienţii ak,
bk, ck cu ajutorul cărora este construită funcţia teoretică. Se pot astfel obţine atât date
care să anticipeze evenimentele primare deci şi numărul de solicitări, cât şi
coeficienţi ak, bk, ck cu ajutorul cărora să poată fi scrisă expresia analitică a
indicatorilor de fiabilitate (densitate de repartiţie, intensitate de transmitere a
răspunsurilor eronate, intensitate de funcţionare intempestivă, intensitate de refuz,
riscuri etc.).
După o relaţie de tipul:
( ) ( )( )f t a b k t c k tk k kn
( ) sin cos= + +=
∞
∑ ω ω1
(521)
unde: ϖπ
=2T
T - intervalul pe care s-au cules datele
se pot obţine prognoze în legătură cu fenomenul urmărit plecând de la datele culese
pentru perioadele anterioare.
Momentul t este bine să fie dat în luni (30,4 zile).
II.5.8. CONCLUZII
Capitolul oferă instrumente de analiză atât pentru cei care concep schemele
în care sunt utilizate instalaţii de protecţie şi automatizare cât şi pentru cei care
exploatează şi întreţin astfel de instalaţii. Sunt expuse o serie de algoritme menite să
analizeze o parte din elementele care influenţează fiabilitatea şi securitatea
instalaţiilor de protecţie şi automatizare.
Este vorba de următoarele:
− alegerea instalaţiilor de protecţie şi automatizare pe baza criteriului
performanţă fiabilistă-cost, luându-se în considerare, atât costurile de
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
212
investiţie iniţială şi de exploatare, cât şi a daunelor care se pot produce la
consumatorii de energie electrică;
− optimizarea nivelului de redundanţă prin asigurarea nedepăşirii de către
riscuri a unor praguri prestabilite, în condiţiile unor costuri minime sau a
asigurării unor riscuri minime, la costuri mai mici decât nişte valori impuse;
− analiza disponibilităţii şi credibilităţii sistemelor de protecţie şi automatizare,
plecând de la indicele de disponibilitate pentru instalaţiile clasice precum şi
pentru cele prevăzute cu autotestare şi autodiagnoză. Propunerea în scopul
realizării acestei analize a unui coeficient care să caracterizeze starea de
funcţionare eronată. Conceperea unor scheme care să ducă la creşterea
disponibilităţii şi credibilităţii. Este cazul releului electronic cu autotestare
pentru anclanşarea automată a buclelor deschise şi, a releului digital de
distanţă cu validarea mărimilor de intrare utilizând principiile redundanţei
analitice şi a toleranţei la defectări.;
− analiza calităţii lucrărilor de mentenanţă şi a calităţii actului de conducere al
procesului de mentenanţă. Introducerea unui indicator care pe lângă
calitatea lucrărilor de mentenanţă poate da informaţii şi în legătură cu
momentul în care o instalaţie de securitate trebuie scoasă din funcţiune;
− stabilirea duratelor optime, dintre două intervenţii succesive la instalaţiile de
protecţie şi automatizare aflate în exploatare, astfel încât acestea să
asigure un anumit nivel de securitate impus;
prognozarea fiabilităţii şi securităţii sistemelor de protecţie şi automatizare
plecând de la datele obţinute din exploatarea acestora, într-o perioadă anterioară.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
213
PARTEA a III - a
ELEMENTE DE OPTIM SI TEHNICI MODERNE UTILIZATE IN FIABILITATEA INSTALATIILOR ELECTROENERGETICE
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
214
III.1. CĂI DE CORELARE OPTIMĂ A VALORILOR INDICATORILOR DE FIABILITATE PENTRU COMPONENTELE INSTALAŢIILOR ENERGETICE
Optimizarea indicatorilor de fiabilitate a instalaţiilor energetice poate propune : - determinarea simultană a valorilor optime pentru indicatorii de fiabilitate ai
componentelor unui sistem şi a indicatorului fiabilitate globală a acestuia
- determinarea valorilor optime ale indicatorilor de fiabilitate a subsistemelor sau
componentelor sistemului , fiind impus indicatorul fiabilitate globală a sistemului
- determinarea valorilor optime ale indicatorilor globali ai unui sistem când se
urmăreşte un optim global la nivelul economiei naţionale.(În această situaţie este
necesară exprimarea bănească a nesiguranţei în alimentarea cu energie
electrică)
Stadiul optimizării indicatorilor de fiabilitate necesită evidenţierea influenţei pe care o are fiecare element asupra fiabilităţii sistemului .
Această influenţă este determinată de :
- poziţia elementului în modelul structural
- fiabilitatea celorlalte elemente
- fiabilitatea elementului în cauză
III.1.1. GREUTATEA
Greutatea elementului i este dată de raportul dintre greutatea funcţiei diferenţiale
asociată funcţiei algebrice logice ( funcţia de structură ) a sistemului şi numărul
stărilor generate de cele m elemente ale sistemului.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−
== ∆ xGxG
xyG yyg ii
mmxi
xi 01221][
(522)
unde :
( ) ( ) ( )myx xxy i
......1.........211= - se numeşte funcţie unitate (523)
( ) ( ) ( )myx xxy i
......0.........210= - se numeşte funcţie nulă (524)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
215
( )xyxi∆ se numeşte funcţia diferenţială de argument i (525)
( )[ ]xyG - greutatea funcţiei y(x) – este numeric egală cu
numărul de valori ale m-ulei x=(x1 x2………….xm)
pentru care y(x)=1
Pentru forma normal disjunctiv ortogonală greutatea funcţiei este dată de relaţia :
( )[ ] ∑=
−=n
j
imxyG12 γ
(526)
γi – rangul miniterminilor care compun funcţia y(x)
m - nr.de elemente
n - nr.de minitermeni
∑∑
∑∑∑∑
=
−−
=
−−
=
−−
=
−−=
−−
=
−−
−=
−=−
=
p
f
rfl
j
rj
xi
p
f
rfl
j
rjm
p
f
rfml
j
rjm
xi
g
g
1
)1(
1
)1(
1
)1(
1
)1(1
)1(
1
)1(
22
22222
(527)
l – nr. de minitermeni care îl conţin pe xi
p – nr. de minitermeni care îl conţin pe xi
În practică :
2 1−
−= m
ii
xi
plg (528)
Calculul minitermenilor poate fi făcut pe mai multe căi pentru cazul când nu se
utilizează calculatorul mai comod este întocmirea tablourilor Karmingh
III.1.2. IMPORTANŢA
Acest criteriu este definit de derivata parţială a probabilităţii de succes a sistemului în raport cu probabilitatea de succes a elementului.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
216
( ) ( )
( ) ( )PPQPP
PPP
PP i
SOi
S
i
Si
S
i
iSOS
i
S −=−
=−
= 11δ
(529)
( )P iS1 - probabilitatea de succes a sistemului când 1=Pi
( )P iSO - probabilitatea de succes a sistemului când 0=Pi
Creşterea probabilităţii de funcţionare a sistemului la creşterea probabilităţilor de
funcţionare a elementelor se poate determina cu o relaţie de forma :
PPPPPPPPPPPPPPPP
PP kkjikji kji
Sl
jiji ji
ii i
SS
CC
P
C lmmm
∆∆⋅∆++∆∆⋅∆⋅⋅
++∆⋅∆⋅⋅
+∆⋅=∆ ∑∑∑∈∈∈
..................
..... 21...,,
2
21 δδδδδδ
δ δδ
(530)
Această relaţie are la bază valorile numerice ale importanţei elementelor
componente.
Acest criteriu permite determinarea elementelor care influenţează mai mult fiabilitatea
sistemului , importanţa depinzând de siguranţa în funcţionare a celorlalte elemente şi
nu de siguranţa elementului în cauză.
Când probabilitatea de funcţionare a tuturor elementelor este 0,5 greutatea se
confundă cu importanţa.
III.1.3. APORTUL
Se defineşte ca produsul dintre importanţa şi siguranţa elementului sau produsul dintre viteza de variaţie a siguranţei sistemului în raport cu siguranţa elementului şi siguranţa elementului.
PPPB i
i
Si δ
δ= (531)
Aportul defineşte creşterea siguranţei sistemului după restabilirea elementului , din
element defect în element fiabil (cu fiabilitate Pi).
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
217
( )
( )PPPPPPPP
PB iSOS
i
iSOS
iii
Si −=
−==
δδ
(532)
Acesta este cel mai complet indicator al participării elementului la fiabilitatea
sistemului.
Ex.
Fig.124
Varianta 1 L1 = L2 = 5km
Varianta 2 L1 = L2 = 200km
Modelul structural are o funcţie algebrică logică de forma :
( ) xxxxxxxxxxxxxxxxxy 6543275431742631 +++= (533)
Pornind de la valorile numerice ale intensităţii de defectare şi reparare se pot calcula
probabilităţile de funcţionare ale elementelor şi cu ajutorul acestora se pot calcula
valorile criteriilor “greutate” “importanţă” “aport” PPPBP
Pg ii
Si
i
Sxi
=;;
Pentru variantele de 5km şi 200km se observă că greutatea nu este influenţată de
lungimea liniilor.
Importanţa unei linii creşte odată cu creşterea lungimii datorită scăderii probabilităţii
de funcţionare a liniei vecine cu creşterea lungimii.
În varianta 1 liniile sunt mai sigure , importanţa cuplei fiind de circa 400ori mai mică
decât a liniilor .
L1 110 B1 T1 MT
110 L2 B2 T1 MT
C 110
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
218
În varianta 2 , scăzând probabilităţile de funcţionare ale liniilor creşte importanţa
cuplei de circa 20ori , deasemeni creşte şi importanţa barelor.
Se pune problema ca odată cu creşterea probabilităţii de funcţionare a elementelor
componente ale unui sistem pe seama creşterii cheltuielilor să se poată obţine pentru
indicatorii de fiabilitate valori optime.
Criteriul “importanţă ” permite exprimarea probabilităţii de nefuncţionare a unui sistem
, funcţie de probabilităţile de nefuncţionare a elementelor sale.
( )
QPP
QP
i
iSS
i
S 1−=
δ
δ (534)
Aşadar dacă se exprimă creşterea probabilităţii de nefuncţionare sub forma:
.....21 ,
2
+∆⋅∆⋅+∆⋅=∆ ∑∑∈∈
QQQQQQQ
QQ jiji ji
Si
i i
SS
CC mmδδδ
δ δ (535)
Expresie, în care se pot neglija termenii de ordin 2 , eroarea fiind acceptabilă în
energetică . Se obţine :
QQQQ i
i i
SS
Cm
∆=∆ ∑∈
1 δ
δ (536)
În această manieră orice reducere a probabilităţii de refuz a oricărui element al
sistemului va determina o reducere a probabilităţii de refuz a acestuia cu valoarea
QS∆ obţinându-se
QQQQQQQ i
i i
SOSOS
Cm
∆⋅−=−= ∑∆∈
1 δδ
(537)
dar,
QQQ iiOi−=∆ (538)
deci,
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
219
( ) QQQQQ
QQQQQQQQ i
i i
SiO
i i
SOiiO
i i
SOS
CCC mmm
⋅∑∑∑∈∈∈
+⋅−=−−=111 δδ
δδ
δδ
(539)
QO – valoarea iniţială a probabilităţii de nefuncţionare a sistemului
QiO – valoarea iniţială a probabilităţii de nefuncţionare a elementului I
În problemele de optimizare nonfiabilitatea este introdusă fie sub formă de restricţii
(în sensul de a nu se depăşi un anumit prag de nonfiabilitate ) fie sub forma de
cheltuieli ( în termenul care constituie daunele şi care intră în funcţia scop) :
DPIZ KKK dpI ++= (540)
Daunele exprimându-se sub forma :
QdkD sop= (541)
D - daunele
d - dauna specifică pe unitatea de timp datorită defectării
Kd – coeficient dimensional
În acest caz:
+−= ∑∑ QQQQQ
QQdK ii
SiOi
i
SOOp
Q
D
O
δδ
δδ
1
(542)
⇒
QQQ
dKQdKQQQQdK i
i i
SOpOOpi
i
SOOp
CD
m
∑∑∈
+=
+=
1
11
δδ
δδ
(543)
Modelele având la bază algoritmul lui Beliman permit determinarea valorilor optime
ale indicatorilor de fiabilitate pentru elementele componente ale sistemului .
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
220
III.2. MODEL DE OPTIMIZARE A STRUCTURII SISTEMELOR FOLOSIND CRITERIILE “ IMPORTANŢĂ “ şi “ APORT ” A ELEMENTELOR
Optimizarea structurii sistemului din punct de vedere al fiabilităţii urmăreşte :
a) fie obţinerea valorii optime a indicatorilor de fiabilitate ai elementelor componente
când este impusă valoarea indicatorului global al sistemului
b) fie obţinerea valorilor indicatorilor de fiabilitate ai elementelor , concomitent cu
optimizarea indicatorului global al sistemului
Funcţia scop exprimă de fiecare dată cheltuielile care se fac în perioada de investire şi în cea de exploatare a sistemului.
• Când se impune indicatorul global al sistemului , cazul “a ” , limitele se referă
la indicatorul de fiabilitate al sistemului.
• Când şi indicatorul global face obiectul optimizării , cazul “b ” , pot fi impuse
şi alte limite : cost , gabarit , greutate etc.
Se scrie funcţia scop ca o relaţie dintre indicatorul de fiabilitate considerat şi
cheltuielile de realizare a investiţiei
- IS = f1(q) ; I - cheltuieli de investiţii , q – indicatorul considerat
- – ES = f2(q) , ES - cheltuieli de exploatare ) .
Relaţia depinde de calea pe care se obţine creşterea fiabilităţii. Dacă aceasta se face
prin redondanţă indicatorul folosit este nonfiabilitatea ( probabilitatea de
nefuncţionare a elementului care se rezervează ).
imizatascopfunctiaimZ EI SS minmin ←=+= (544)
II Oi n= - IO – investiţia necesară unui element (545)
QQ n
O= - n - nr. de elemente în paralel (546)
Probabilitatea de nefuncţionare scade odată cu creşterea numărului elementelor
puse în paralel
nQnQO
O lnln
lnln == ⇒ (547)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
221
deci,
QQI
IQIO
O
O
Oi lnlnlnln
== (548)
Qo – probabilitatea de nefuncţionare a unui element din cele n puse în
paralel
Q - probabilitatea de nefuncţionare a subsistemului rezultat din
punerea în paralel a celor n elemente
Ii - investiţia totală pentru subsistemul i format din n elemente în
paralel
Fig.125
Variaţia probabilităţii de nefuncţionare a sistemului se determină cu relaţia :
...21 ,
2
+∆∆+∆=∆ ∑∑∈∈
QQQQQQQ
QQ jiji ji
Si
i i
SS
CC mmδδδ
δ δ (549)
Reducerea probabilităţii de defectare a orcărui element duce la reducerea
probabilităţii de defectare a sistemului :
...21 ,
2
+∆∆+∆−=∆−= ∑∑∈∈
QQQQQQQ
QQQQQ jiji ji
Si
i i
SOSOS
CC mmδδδ
δ δ(550)
Neglijând termenii de ordin superior , elementele energetice fiind în general de înaltă
fiabilitate .
Se obţine :
.
i
n
1 2 m
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
222
QQQQQ i
ii
SOS
∆−= ∑δ
δ (551)
∆Qi – este reducerea probabilităţii de defectare a elementului i
QQQ iiOi−=∆ (552)
Se obţine :
( )
QQQQQQQ
QQQQQQ
QQQQQQ
ii
i
SOSi
ii
SiO
ii
SOS
iiOi
i
SOS
∑∑∑
∑
+==+−=
−−=
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
1
(553)
QO – valoarea iniţială a probabilităţii de nefuncţionare a sistemului
QiO – valoarea iniţială (naturală) a probabilităţii de nefuncţionare a elementului i
• a. În cazul când se impune valoarea maximă limită a indicatorului global QS
notată Qe urmărindu-se minimizarea costului total pentru sistem , avem :
≤
=+=
EIZ
eS
SS immin
(554)
Cheltuielile de investiţii şi de exploatare se pot exprima în funcţie de
probabilităţile de nefuncţionare a elementului i
( ) ( ) 1011
<<== ∑∑==
QQEEQII ii
m
iiSi
m
iiS (555)
deci ,
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
223
( ) ( )
≤
=+= ∑ ∑= =
eS
m
ii
m
iiiiS
Q
im
Q
QEQIZ1 1
min
(556)
Sistem care permite determinarea indicatorilor de fiabilitate folosind un model
clasic de programare dinamică .
• b. Când şi indicatorul de fiabilitate globală face obiectul optimizării problema
optimizării se reduce la aplicarea repetată a algoritmului de la cazul anterior . Funcţia scop are deci forma :
( ) ( ) imQEQIZ i
m
iii
m
ii min
11
=+= ∑∑==
(557)
În cazul când nu există nici un element în paralel (structura cea mai simplă), valoarea
indicatorului q se numeşte Qnatural . Această valoare este valoarea limită acceptată
pentru primul pas
QQ itanaturalQ
lim=≤ (558)
Se scade din valoarea Qnatural o treaptă ∆Q (a cărui valoare depinde de precizia
impusă ) se obţine o nouă valoare limită pentru QS şi se repetă aplicarea algoritmului
programării dinamice pentru determinarea noii valori a lui Qi şi a cheltuielilor totale Z
care se compară cu cele anterioare . Dacă noua valoare a lui Z este mai mică se
repetă operaţia cu o nouă valoare a lui Qlimită . Operaţia se repetă până ce valoarea
Z = Zi începe să crească. În această situaţie valoarile Qi obţinute sunt cele optime
structura sistemului fiind cea optimă.
III.3. TEHNICI MODERNE UTILIZATE ÎN FIABILITATE
III.3.1. REDONDANŢĂ ANALITICĂ
Tehnicile redondanţei analitice au luat un avânt deosebit graţie pătrunderii calculatoarelor electronice.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
224
Aceasta se aplică în special la detecţia defectelor traductoarelor a căror informaţii cer să fie validate înainte ca ele să fi alimentat sistemele de comandă sau conducere a unei instalaţii. Ideea este :
• fie de a dubla (sisteme duplex) sau tripla (sisteme triplex) căile de
măsură ; este cazul aşazisei redondanţe materiale.
• Fie în utilizarea relaţiilor analitice care există între măsurile mărimilor
dependente care sunt sau nu de aceeaşi natură ; este cazul
redondanţei analitice
Fig.126
Ne propunem să tratăm : principiile de bază ale redondanţei
Intrare date
I = 0
QS = Qnatural
I = I + 1
Qlimită = Qlimită - ∆Q Rutină
program
dinamică
DA NU
DA NU
Tipăreşte
date
STOP
I=0
Zj< Zj-1
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
225
metodele teoretice care permit generalizarea relaţiilor care leagă
măsurile între ele noţiunile de redondanţă directă , statică şi dinamică
noţiunile de paritate simplă şi generalizat
III.3.2. REDONDANŢA MATERIALĂ Fie: m1 – măsura traductorului 1
m2 – măsura traductorului 2
m3 – măsura traductorului 3
mif – valorile filtrate ale măsurilor traductoarelor i
(m1f ; m2f ; m3f)
mmr ff 21 −= - reziduul dintre valorile filtrate ale traductorului 1 şi 2 (559)
Fig. 127 Redondanţă materială dublă
Fig. 128 Redondanţă materială triplă
Reziduul r = m1f – m2f este comparat cu un prag care este funcţie de
caracteristicile statice ale zgomotelor traductoarelor.
Redondanţa dublă permite numai detectarea unui defect simplu.
Redondanţă triplă permite detectarea şi localizarea defectelor de traductoare.
Sunt calculate în acest caz trei reziduuri:
m1
m2
FILTRU
FILTRU
+
-
PRAG MAXI
PRAG MINI
DETECTOR SEMNAL
m1f
m2f
m1
m2
FILTRU
FILTRU
DETECTOR
m1f
m2f
FILTRU m3
m3f
r2
r1
r3
VOTER Diagnosti
Traductor
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
226
ff
ff
ff
mmr
mmr
mmr
323
312
211
−=
−=
−=
(560)
Voterul are rolul de a detecta traductorul defect.
III.3.3. PRINCIPIUL REDONDANŢEI ANALITICE
Utilizează atât informaţiile primite de la traductoare cât şi informaţiile suplimentare provenite de la modele. Această redondanţă are drept obiect detecţia şi recunoaşterea defectelor de
funcţionare şi luarea de măsuri corective corespunzătoare . Se bazează pe relaţia
cauză-efect existent între intrările şi ieşirile observate ale sistemului . Se poate folosi
atât în cazul traductoarelor cât şi la detecţia şi localizarea defectelor elementelor de
acţionare sau a procesului însuşi.
Fig. 129 Traductorul material înlocuit printr-un model analitic
Această redondanţă presupune două faze distincte : a) – generarea reziduurilor
b) - luarea deciziei
Reziduul reprezintă ecartul între comportamentul observat şi comportamentul de referinţă aşteptat în funcţionare sănătoasă. În absenţa defectelor reziduurilor sunt de medie nulă cu o varianţă nominală. Sunt selectate reziduurile care satisfac compromisul . Intrarea cea mai sensibilă posibil la defectele care se caută a fi
Traductor 1
Traductor 2
Intrare 1
Intrare 2
Intrare 3
MODEL
VOT
LOGIC
m valid
m1
m2
mS
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
227
detectate trebuie să fie cel mai puţin sensibilă la erorile de modelare şi la zgomotele de măsură. III.3.4. REDONDANŢA DISCRETĂ Se aplică în cazul sistemelor multiplex unde se dispune de două sau mai multe
sisteme de măsură identice. Pentru fiecare variabilă scalară necunoscută x a
vectorului X se achiziţionează mai multe măsuri yi .
De exemplu în cazul a două măsuri yi şi yJ ale unei variabile x se asociază reziduul .
yyp JiiJ−= (561)
În cazul unui sistem triplex când pentru o mărime scalară x avem măsurile y1 y2 y3 afectate de erorile ε1 ,ε2 ,ε3 avem:
εεε
33
22
11
+=
+=
+=
x
x
x
yyy
sau
+
=
εεε
3
2
1
3
2
1
111
X
yyy
(562)
Fie : ε−−
+=−
Hy x
Pentru a găsi relaţiile de redondanţă între măsuri este suficientă eliminarea mărimii
necunoscute x . Aceasta revine la a căuta o matrice ν numită matrice de paritate
care satisface relaţia:
0=Hν (563)
Înmulţind ecuaţia de mai sus cu matricea ν:
0==+=−−−
HdeoareceHxy νενεννν (564)
Notăm py−−
=ν şi-l numim vector de paritate . Acest vector este nul în cazul
absenţei defectelor şi zgomotelor în traductoare . În cazul sistemelor triplex o soluţie
evidentă este :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
228
101110
011
−−
−=ν (565)
Cu următoarele ecuaţii de paritate :
εεεεεε
1313
3232
2121
−=−
−=−
−=−
yyyyyy
(566)
Numai două din cele 3 ecuaţii de paritate sunt independente ( Rangul ν matricei
este 2) . În general rangul lui ν este egal cu numărul de măsuri m minus numărul
necunoscutelor n de eliminat :
nmrang −=ν (567)
În cazul nostru conservăm primele 2 linii ale lui ν
εν−−
=−
−=
yyy
p3
2
1
.110011
(568)
Vectorul de paritate p se deplasează în spaţiul cu două dimensiuni numit SPAŢIU
DE PARITATE SIMPLĂ .
νενενεεεε
ννν 321321 321
3
2
1
.−−−−−−−
++==p (569)
Vectorul ν formează o bază în spaţiul de paritate . Această formulare a lui p−
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
229
arată ca o eroare ε i are loc într-un traductor i , vectorul p se va deplasa urmărind
direcţia particulară a vectorului ν i în spaţiul de paritate .
Exemplu: dacă traductorul 3 este defect, 1 şi 2 fiind traductoare sănătoase, rezultă →
P = ε3υ3 (ε1 ε1) fiind practiv nuli, samd)
Fig. 130
În concluzie componentele vectorului de paritate sunt semnale “indicatori de
defecte ale traductoarelor” în absenţa zgomotului (medie nulă ) şi în absenţa
defectelor , vectorul „p” trebuie să fie de medie nulă .
Localizarea defectelor este posibilă supraveghind direcţia vectorului „p” în spaţiul de
paritate. Totodată un sistem duplex este insuficient pentru a localiza traductorul
defect ( rang ν = 1 ) şi trebuie deci cel puţin un sistem triplex.
III.3.5. REDONDANŢĂ STATICĂ
Obiectul redondanţei statice este de a căuta relaţiile algebrice dintre valorile
instantanee ale măsurilor . Redondanţa directă pleacă de la gradul de coerenţă al
mai multor măsuri ale unei aceleiaşi mărimi x care se caută a fi estimată.
B(-1,1)
ν2
A(1,0)
ν3 C(0,-1)
← Vectorii de bază în spaţiul de paritate
υ x
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
230
Problema e dacă nu s-ar putea estima una din variabilele măsurate plecând de la
altele . Fie un ansamblu de măsuri yi (i=1÷m) ale unui vector y , aceste măsuri
depind de un vector x cu n componente xj (j=1÷n).
Redondanţele instantanee au ca expresie :
( )liniarcazul
nelinearcazul
ya
yyyyf
i
m
ii
mi
←=−
←=−
∑=
0
0..............
1
21
,
(570)
Unde yi este este valoarea celei de-a i măsuri.
În cazul linear vectorul de măsură y este legat de mărimea vectorilor x printr-un
model de forma :
( ) ( ) ( )1,,1, nnmm
H xy ε−−−
+=
(571)
unde : Y - vectorul mărimilor sau observaţiilor – de dimensiune m
x - vectorul necunoscutelor sau de stare de dimensiune n
H + matricea observaţiilor de dimensiune (m * n)
Vectorul de paritate este p−
;
p = υY=υε;υ fiind matricea de paritate care satisface υH=0 (572)
Condiţia de existenţă a lui ν este ca numărul de măsuri m să fie superior
dimensiunii n a lui x .
Matricea ν posedă următoarele proprietăţi :
• posedă m-n linii linear independente , rangul său fiind egal cu m-n
• vectorii linii ai matricei ν sunt ortogonali vectorilor coloană ai lui H şi
formează o bază în spaţiul de paritate de dimensiune m-n
• matricea ν nu este unică deoarece există o infinitate de moduri de a
găsi o bază în spaţiul de paritate .
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
231
Descompunerea vectorului de măsură ε−−−
+= xy H în cazul proiecţiilor ortogonale:
yyy H−−−
+= ν în cazul protecţiilor ortogonale (573)
Fie H spaţiul descris de vectorii coloană ai matricei H şi ν spaţiul descris de vectorii
linie ai matricei ν
Fig. 131
Vectorul hxx i
n
iiH ∑
=−
=1
aparţine spaţiului H de dimensiune n ,iar vectorul de
măsură y−
aparţine lui Rm care se descompune în două spaţii complementare H şi
ν , cu ν spaţiul ortogonal a lui H.
Vectorul y−
se descompune în doi vectori prin proiectare pe spaţiile H şi ν.
yyy H ν−−−
+= (574)
H
yH
ε
yν
Hx
υ
Y
Yz
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
232
( )
( ) yHHHy
XyHHHyT
T
THI
HTHH
−
−
−
−−
−
−
−=
==
1
^1.
ν
(575)
Condiţiile pentru ca cele m-n ecuaţii de paritate să fie independente şi ca liniile lui ν
să fie ortonormate ( )IT =νν conduc la alegerea lui ν astfel ca :
( ) HHHHI TT T 1−
−=νν (576)
pentru alegerea lui ν astfel :
pyy TTT
−−−
=== ννννν εν (577)
Vectorul de paritate se deduce printr-o relaţie în spaţiul ν . Aşadar redondanţa statică exploatează relaţiile între valorile instantanee sau stabilitate ale observaţiilor unui sistem fapt ce permite ca ieşirea de la un traductor să poată fi reconstituită plecând de la informaţiile primite de la alte traductoare. Variaţiile reziduului pot fi datorate : - fie unei defectări de traductor - fie unei degradări a sistemului. Redondanţa statică nu se aplică la detectarea defectelor elementelor de acţionare . III.3.6. REDONDANŢA DINAMICĂ
Acest tip de redondanţă se realizează prin cercetarea relaţiilor integro-diferenţiale între măsurători . • În reprezentare cantitativă este o redondanţă între măsuri şi derivatele lor.
• În reprezentare discretă este o redondanţă între valorile discrete prezente şi
trecute ale măsurătorilor
Expresia generală a relaţiilor de redondanţă dinamică se scrie :
( ) ( ) 01111
=−+− ∑∑∑∑====
jkjk uy jj
ij
m
ij
jij
m
iβα (578)
yi(k) – măsura celei de-a i observaţie la momentul k
ui(k) – măsura celei de-a i intrare la momentul k
αij, βij – coeficienţi de relaţie
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
233
Formularea discretă este mai apropiată de implementarea numerică pe
calculator .
Se disting două tipuri de redondanţe dinamice :
Autoredondanţă
Interredondanţă
Autoredondanţa priveşte redondanţa unui traductor vizavi de el însuşi în cadrul
acesteia intervin numai valorile prezente şi trecute ale unui aceluiaşi traductor.
Interredondanţa leagă informaţiile provenind de la mai multe traductoare.
Pentru înţelegerea acestora este necesară introducerea noţiunii de spaţiu de paritate
generalizată.
III.4. SPAŢIUL DE PARITATE GENERALIZATĂ
În cadrului spaţiului de paritate generalizată se apreciază cu mărimile discrete.
Fie :
( ) ( ) ( )
( ) ( )kHk
kGkFk
xyuxx
−−
−−−
=
+=+ 1
(579)
x−
- vectorul de stare de dimensiune n
u−
- vectorul intrărilor
y−
- vectorul de măsuri de dimensiune m
F, G, H – matrici ale sistemului de stare discret
Sistemul de stare integrat pe orizontal [ k , k+1] dă :
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
234
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )ikkrk
ikkrk
uGFHxFHy
uGFxFx
r
i
irr
r
i
irr
++=+
++=+
−
−
=
−−
−−
−
−
=
−−
−−
∑
∑
1
0
1
1
0
1
(580)
Fie :
( )
( )
( )
( )
( )( )
( )
−+
+
+
=
+
+
−
−
−
−−
−
−
−
1..
1
*
.......
...
..
..
*..
.
.
1
21
000000
rk
k
k
rk
k
k
u
uu
HGHFHF
HGHG
kx
FH
HFH
y
yy
rrr
(581)
iar în prezenţa zgomotelor :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε−−−−
++= rkrkrrk uGxHy ,, (582)
Relaţiile de redondanţă sunt obţinute prin multiplicarea sistemului cu matricea de
paritate Ω cu condiţia ca :
( ) 0=Ω rH (583)
H(r) – fiind matricea de observabilitate.
Ecuaţia de paritate generalizată are forma generală :
( ) ( ) ( ) ε−−−
ΩΩ =
−= rkrGrky up ,, (584)
Toate aceste ecuaţii nu sunt independente mai ales dacă fereastra de observabilitate
[k , k+r] este prea largă.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
235
III.5. DETECŢIA ŞI DIAGNOZA
III.5.1. ETAPELE PROCEDURII DE DETECŢIE – DIAGNOZĂ III.5.1.1. TOLERANŢA LA DEFECTĂRI
Sistemele tolerante la defectări sunt sistemele care-şi pot continua execuţia corectă a funcţiilor lor de intrare – ieşire în prezenţa unor defectări apărute în timpul funcţionării. Este foarte important ca pentru sistemele de mare răspundere funcţională
componentele acestora să fie tolerate la defectări. Din punct de vedere tehnic,
această cauză nu este uşor de realizat .
Pentru a putea funcţiona tolerant la propriile defectări , sistemele de proiectare şi
automatizare trebuie să-şi detecteze propriile defecte să localizeze aceste defecte şi
să-şi stabilească pentru mai departe structurile proprii astfel încât ele să-şi realizeze
integral sau parţial propriile facturi .
Aşadar este nevoie să-şi detecteze şi să-şi diagnostigheze dacă este posibil , ele
însele defecţiunile proprii .
Sistemele sunt caracterizate de :
• variabile de intrare
• variabile de ieşire
• variabile de stare ( acestea rezumă trecutul şi prezic viitorul imediat al sistemului)
Variabilele de intrare-ieşire sunt legate prin relaţii de tip cauză-efect. Controlul
acestor relaţii permite obţinerea de informaţii despre starea sistemului. Acesta
putându-se afla în una din următoarele trei stări :
• stare de deteriorare
• stare de defect
• stare de avarie
Este deci necesară detectarea şi diagnosticarea defectelor .Etapele procedurii
de detecţie diagnoză sunt :
• achiziţia de date ( observarea variabilelor )
• comprimarea sau reducerea informaţiilor
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
236
• detecţia – permite să se decidă dacă sistemul se află sau nu în stare structurală
normală
• stabilirea diagnosticului – atribuie defectul traductoarelor , organelor de comandă
a procesului
• predicţia (prognosticul ) – permite previzionarea evoluţiei viitoare
• analiza consecinţelor – indică impactul defectului asupra securităţii , calităţii
aspectelor economice
• planificarea acţiunilor – stabilirea acţiunilor de mentenanţă a reconfigurărilor sau a
acţiunilor de urgenţă
III.5.2. REDUCEREA INFORMAŢIEI Şi DETECŢIA
Reducerea informaţiei se face :
• în spaţiul de stare
• in spaţiul structurilor
Se urmăreşte mărimea reziduului rezultat din diferenţa model-sistem real .
Se compară astfel rezultatul relaţiei model şi rezultatul măsurătorii reale . Acest
rezidiu va face obiectul detecţiei.
III.5.3. DETECŢIA
Se face prin utilizarea testelor de ipoteze asupra reziduurilor şi anume : aparţine
vectorul aleator al reziduurilor la una sau alta din ipotezele HO sau H1
HO – starea bună
H1 - starea de defect
Reducerea informaţiei în spaţiul structurilor ( sau ) a parametrilor structurali poartă
numele de identificare.
III.5.4. IDENTIFICAREA
Constă în determinarea în timp real a modelului matematic plecând de la cunoaşterea semnalelor de intrare şi de ieşire. Reziduul sau distanţa (proximitatea ) dintre model şi proces se apreciază cu ajutorul
unui criteriu care trebuie minimizat .
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
237
Minimizarea se face fie utilizându-se metoda:
• celor mai mici pătrate simple
• sau metoda celor mai mici pătrate recursive în timp real
Astfel sunt estimaţi parametrii modului teoretic . Se asigură prin urmare o cât mai
bună conformitate între model şi procesul real .
III.5.5. TEHNICILE DE DETECŢIE
Se doreşte estimarea semnalelor observate .Tehnicile de detecţie permit aceste
estimări .
Acestea sunt :
• filtrarea clasică
• filtrarea statistică ( Filtru Kolman ) care permite determinarea stării celei mai
probabile a sistemului . Se pleacă de la ecuaţia de stare şi de la ecuaţia de
observare . Se obţin astfel :
⇒ESTIMAREA APRIORI SAU PREDICŢIA
⇒ESTIMAREA APOSTERIORI SAU FILTRAJUL
III.6. REDONDANŢA ANALITICĂ
• validează semnalele înainte , ca acestea să ajungă la blocul de decizie
• permite localizarea defectelor traductoarelor prin urmărirea vectorului de paritate
în spaţiul de paritate
III.6.1. ETAPELE CERCETĂRII MODELELOR Fig.132
Etapele cercetării modelelor sunt : • caracterizarea - sau căutarea tipului de model
SEMNALE DE INTRARE
SEMNALE DE IEŞIRE IDENTIFICARE
MODEL
MATEMATIC
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
238
• identificarea – corelaţia , optimizarea estimarea
• verificarea
• validarea – examinarea modelului identificat pentru alte semnale de intrare
Se urmăreşte proximitatea (distanţa) dintre modelul propus şi proces desfiinţându-se
un criteriu care trebuie minimizat.
Metoda de identificare trebuie să îndeplinească următoarele condiţii :
• să fie una în timp real
• să fie sensibilă la modificările mici ale procesului
• să aibă un timp de răspuns cât mai mic ( precocitate de detecţie )
• să perturbe sistemul cât mai puţin
Cea mai utilizată metodă de identificare este metoda modelului:
III.6.2. METODA MODELULUI
Fig.133
MODEL PROPUS (CARACTERIZAT)
EXISTĂ O
IDENTITATE DE
COMPORT. ÎNTRE
OBIECTŞI MODEL
MODIFICARE PARAMETRI
STRUCTURALI AI MODELULUI
ASTFEL ÎNCÂT SĂ → BUNA
PROCESUL POATE
FI MODELAT CU
MODELUL ALES
STOP
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
239
În spaţiul parametrilor vectorii de bază sunt cei n parametri ai sistemului :
a−
- vectorul parametrilor modelului
ao−
- vectorul nominal
Se urmăreşte distanţa de structură ∆s(a) şi de stare ∆E(a)
( )
−
−−=∆
−−
− aaaa MaS
T
00 (585)
M - matricea pozitiv definită:
( ) ( )
−
−−−=
∆
−−−−∫
−
ttmNmE SaStSatSa
T
0,0, (586)
Sm – ieşiri model
S0 – ieşiri obiect ( proces real )
Ieşirile modelului pot fi lineare sau neliniare
Metoda modelului
A. – În cazul ieşirilor model lineare îşi propune determinarea parametrilor modelului
prin :
a) - minimizarea distanţei de stare
b) - sau prin minimizarea distanţei de structură
a) Minimizarea distanţei de stare se face :
⇒ prin metoda celor mai mici pătrate simple
aaeS
aaeSaaeS
nn 21
2122
2111
.
.
+=
+=
+=
baVbaa
e
ee
S
SS
T
nn
−−−
+=+
=
2
12
1
2
1
1....11
.
. (587)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
240
S
SS
n
.
.2
1
- vectorul observaţiilor
1....11
2
1
e
ee
n
- vectorul intrărilor
aa
2
1 - vectorul parametrilor modelului – trebuie determinat
b−
- vectorul de zgomot
Estimarea parametrului “a” se face prin minimizarea
criteriului
( )∑ −= SSy imi2 (588)
[ ] SVVVa TTay
−
−=⇒=
1^
0δδ
(589)
V – matrice formată plecând de la intrări (informaţii)
Zgomotul trebuie să fie de matrice nulă
⇒ prin metoda celor mai mici pătrate recursivă în timp real
Aceasta permite calculul parametrului â(k) când cunosc â(k-1)
estimat la momentul anterior (k-1)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
241
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−−+−=
−−−
11^^^
kkkkfkk aVSaa T (590)
f(k)- vector care reglează convergenţa.
Când sistemul nu este staţionar şi se urmăreşte evoluţia
parametrilor se introduce un factor de uitare .
b) Minimizarea distribuţiei de structură
Distribuţia de structură este :
( ) ( ) ( )
−
−−=∆
−−
− aaaka kmMmkS
T
00 (591)
unde :
( ) ( )kkS SSm 0−=∆ (592)
În cazul unui proces cu o singură ieşire avem :
( )kTkS Va−−
= 0)( (593)
( )kV−
- vectorul informaţie
Parametrii sunt :
( ) ( )( ) ( )[ ] ( )
( ) ( ) TVMVVMSS
aan
T
m
m
kk
kkkkkm
+−
−−=+
−
−
−
−
− 1
10
1λ
(594)
λ - factor de relaxare similar factorului de uitare
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
242
prezentat anterior
Tn – talon pentru a menţine dispersia estimatorului
limitată
Tn ≠ 0 când avem procese comandate în buclă închisă
B. - Cazul ieşirilor model neliniare
Metoda nu se pretează pentru punere în practică în timp real.
III.6.3. ESTIMAREA STĂRII SISTEMULUI
III.6.3.1. FILTRAJUL STATISTIC
Permite determinarea stării celei mai probabile a sistemului . Semnalele de comandă
ale unui sistem pot fi murdărite de zgomote. Filtrarea clasică nu este satisfăcătoare
deoarece introduce defazaje care pot prejudicia stabilitatea sistemului. Se folosesc
din acest motiv filtrele statistice . Dacă putem avea acces la starea sistemului prin
metodele de estimare avem posibilitatea detecţiei defectelor sistemului prin
redondanţă analitică. De asemeni estimând starea sistemului prin observaţii diferite
putem testa coerenţa observaţiilor .
Deci putem astfel controla :
• starea sistemului
• starea informaţiilor pe baza cărora sistemul ia decizii ( starea traductoarelor )
Filtrajul statistic foloseşte teoria estimaţiei . Cu ajutorul său se estimează vectorul de
stare al sistemului. Filtrajul statistic modelează forma semnalului.
Fig.135
MODEL
STRUCTURĂ
LINEARĂ
Semnal
observat
Zgomot de
observaţie W(t
Zgomot de proces
l(t) Semnal util
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
243
III.6.3.2. FILTRUL KALMAN SAU CAPTATORUL PERFECT Un estimator este eficace dacă :
• media sa este egală cu valoarea reală
• dispersia sa tinde către zero
Se pleacă de la ecuaţia de stare şi de la ecuaţia de observare.
Ecuaţia de stare este :
wuGxFx kkkk++=
+1 (595)
iar ecuaţia de observare este :
vxHS kkk+= (696)
în care :
( )kx−
- este vectorul de stare
( )kS−
- vectorul de observare
( )ku−
- vectorul de comandă
( )kw−
- vectorul de zgomot al procesului
( )kv−
- vectorul de zgomot de măsură
F - matricea de tranziţie
G - matricea de comandă
H - matricea de observare
Fig. 136
Modelul statistic direct al semnalului dat prin ecuaţiile anterioare .
Interpretarea filtrului Kalman se face pornind de la ecuaţiile de predicţie şi filtraj.
G Z-1 H
F
wk
+
+
+
+
xk
vk
Sk uk
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
244
• Predicţia sau estimarea apriori se bazează pe modelarea şi construcţia
semnalului . Dacă la momentul k-1 apariţia de estimare a dat o estimare fără
abatere .
xx kkk
−=
−−− 11/1
^ (597)
estimatorul apriori următor este :
uGxFx kkkkk
11/11/
^^−
−−−
+= (598)
• Filtrajul sau estimaţia aposteriorii permite estimarea optimă a stării ţinând seama
de noile observaţii Sk conformei metodei celor mai mici pătrate simple estimaţia
optimă este o combinaţie lineară de estimaţia apriori şi noile observaţii :
SKxLx kkkkk
+=−
^^
1//
(599)
Ştiind că : vxHS kkk
+= (600)
Estimaţia optimă devine : KvxKHxLx kk
kkkk
++=−
^^
1//
(601)
Speranţa matematică (media) este :
( ) ( )vxKHMxLMxM kkkkkk
KM++
=
−
^^1//
(602)
Estimatorul apriori fiind fără abatere avem :
( ) ( )vxKHxLMxM kkkkkk
KM++
=
−−
11//
^^ (603)
fie :
( ) xKHLxM kkk+=
^
/
(604)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
245
Condiţia pentru ca estimatorul să fie fără abatere este : 1=+ KHL (605) ( ) vxKHxLx kkk
kkkkK++=
−−
1/1//
^^ (606)
Cum : xHSvvxHS
kkkkk
kkk
^^1/1/ −−
−=⇒+= (607)
Avem :
( )
−+=
−−=
+ xHSKxKHLx kkk
kkkk
^^^
1/1/1
/ (608)
Deci:
−+=
−− xHSKxx kkk
kkkk
^^^
1/1//
(609)
Avem în vedere ecuaţiile de predicţie şi filtraj :
−+=
−+=
−−
−−
xHSKxx
uGxFx
kkk
kkkk
kkkkk
^^^
1^^
1/1//
1/1/
(610)
Fig.137
K
F H
uk 1−
+ -
G
MODEL FILTRARE PREDICŢIE
Z 1− x kk 1/ −
Sk
x kk 1/ −
uk 1−
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
246
III.8. TEHNICI DE DETECŢIE A DEFECTELOR TRADUCTOARELOR III.8.1. REZIDIUL ÎN BUCLA DESCHISĂ Fig.138 ei – mărimea de intrare
Se măsoară în permanenţă ecartul :
)(1)()(^
1 kkkr hh −= (611) adică diferenţa dintre ieşirea reală a traductorului şi ieşirea din model care este o
mărime estimată.
Deci din informaţii despre starea traductorului (este bun sau defect) în funcţie de
mărimea lui r.
III.7.2. REZIDIUL DIN BUCLA ÎNCHISĂ Dacă modelul din exemplul de mai sus este corect estimarea stării traductorului este
bună . Dar dacă modelul nu este corect? Atunci este necesară corectarea modelului.
Se procedează la utilizarea relaţiilor de construire a unui filtru KALMAN.
Fig.139
PROCES
( TRADUCTOR )
MODEL
h1 +
r
ei
h^
1
PROCES
( TRADUCTOR )
FILTRU SAU
RECONSTRUCTOR
h1 +
r−
h^
1
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
247
Predicţia :
( )1)1(1)(1
^^
−+−+= kkk lbhah i (612)
Estimaţia (filtrajul):
)(*)(1)(^
1 krkkk hh +−=+ (613)
cu )(1)(^
1 kkr hh −= (614) k- matricea de câştig
Rezidiul r(k) se stabilizează la o valoare constantă din cauza buclei închise în cazul
în care traductorul ar furniza o mărime abstractă .Metoda în bucla deschisă este cea
mai bună d.p.d.v. al robusteţii.
III.7.3 TEHNICA ESTIMĂRII Teoria filtrării şi estimării permite generarea funcţiilor de paritate şi filtrele de
diagnosticare asociate. Ecartul dintre mărimi şi valorile estimate este în funcţie de
zgomote şi defecte .
a. Estimarea unui ansamblu de măsură în funcţie de o singură măsură. Fig.140 Are particularitatea că defectarea măsurii utilizată pentru estimare atrage după sine o
eroare de estimare asupra tuturor celorlalte măsuri , în timp ce o defectare a oricărei
Filtru
estimator y
y
y
m
j^
^
^1
LOGICA
DE
DECIZIE
DIAGNOSTIC
Yj
Y1
Yi
Ym
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
248
alte măsuri nu creează ecart (reziduu) decât pentru aceea măsură , astfel
defecţiunea poate fi uşor detectată şi diagnosticată .Metoda utilizată în aeronautică
pentru observarea elementelor de acţionare (servo-valve) mai este numită şi metoda
imaginii electronice.
Fig.141 Detecţia defectului de servo-valva se face prin analiza reziduului dintre valoarea
măsurată Y şi valoarea reconstituită Y^
b. Estimarea unei măsuri în funcţie de un ansamblu de măsuri
Este soluţia opusă celei prezentate anterior de cea mai bună calitate.
Fig.142 Diagnosticarea defectelor traductorului i se face prin compararea cu valoarea
reconstituită pe baza informaţiilor primite de la alţi traductori (traductorul în cauză
fiind exclus d.p.d.v. al furnizării de mărimi către intrarea în estimator)
Metoda prezintă avantajul ca indiferent dacă una din mărimile Yj se defectează ,
concomitent cu defectarea lui Yi – defectul lui Yj este diagnosticat.
SISTEM
IMAGINE
ELECTRONIC
DETECŢIE Intrare
e(t)
Y(t)
+
-
)(^
tY
LOGICA DE
DECIZIE
DIAGNOSTIC FILTRU
ESTIMATOR
YI
Y1
Yj
Ym
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
249
c. Estimarea măsurilor plecând de la un ansamblu de măsuri.
De această dată traductorul în cauză este închis.
Fig.143 Toate componentele vectorului estimat sunt modificate în cazul defectării unei
singure măsuri însă abaterile determinate de defectarea unui traductor reflectate în
estimaţie sunt mult mai mici decât ale mărimii defecte ( care se deplasează în raport
cu valoarea normală) şi acest fapt se reflectă în valoarea reziduului mărimii
respective, fapt ce permite detecţia şi diagnoza defectului.
III.7.4. METODA IPOTEZELOR MULTIPLE Această tehnică presupune cunoaşterea diferitelor defecte posibile la care se
asociază diferite modele de funcţionare şi diferite ipoteze.
De exemplu :
- ipoteza Ho= fără defecte
- ipoteza H1= abaterea traductorului i
- ipoteza H2= întreruperea traductorului j
- ipoteza H3= deriva (alunecarea ) traductorului k
Problema este de a determina ipoteza Ho ,H1………… Hm plecând de la ansamblul
observaţiilor y1 ,o………… m
Diagnostic
FILTRU
ESTIMATOR
DEC
IZIE
Y1
YI
Ym
r1
ri
rm
Y1
Y i^
Y m^
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
250
Ipoteza reţinută din cele m ipoteze posibile este cea a cărei densitatea de
probabilitate condiţionată este cea mai mare .
Fig.144
III.8. TEHNICI MODERNE DE MENTENANŢĂ PREDICTIVĂ Asistam la o tendinţă de trecere de la strategii de mentenanţă preventivă bazate
exclusiv pe programare în timp către o strategie de mentenanţă bazată pe
fiabilitate şi stare tehnică.
La unele categorii de instalaţii/echipamente altele decât ansamblurile funcţionale,
se efectuează mentenanţă bazată pe timp şi pe stare, fundamentată pe baza
inspecţiilor tehnice periodice, a constatărilor în urma acţiunilor de mentenanţă
anterioare şi a documentaţiilor tehnice.
În cadrul mentenanţei preventive, la anumite categorii de instalaţii, se efectuează
– mentenanţă predictivă care include monitorizarea prin mijloace tehnice
speciale continuă sau periodică şi
– diagnoza cuprinzând analiza informaţiilor şi identificarea tendinţelor.
Prin mentenanţă predictivă se estimează comportarea (ulterioară) în timp a
componentelor şi se poate preveni o defectare iminentă sau probabilă.
Filtrul KOLMAN
Ho
Funcţia de verosimilitate
Filtrul KOLMAN
H1
Funcţia de verosimilitate
Filtrul KOLMAN
Hm
Funcţia de verosimilitate
.
MAX
Ipoteza
reţinută
Măsuril
Y−
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
251
• În cadrul strategiei de mentenanţă predictivă, un loc important este acordat
diagnosticării corecte a degradărilor cauzate
– pe de o parte de îmbătrânire sau uzură şi
– pe de altă parte de efectele evenimentelor accidentale care apar pe
parcursul duratei de viaţă.
• În acest context nu se ţine cont numai de precizările privind fiabilitatea
echipamentelor date de furnizor, ci de un complex de informaţii colectate şi
evaluate de specialiştii implicaţi în operare (exploatare), respectiv service.
• Tehnologiile de monitorizare şi evaluare a echipamentelor vor ocupa un loc
din ce în ce mai important pentru luarea deciziilor privind momentul optim de
intervenţie asupra echipamentelor.
III.8.1. MONITORIZAREA SI DIAGNOSTICAREA MODERNA A AUTOTRANSFORMATOARELOR (AT) III.8.1.1. MONITORIZAREA
Autotransformatoarele noi sunt dotate cu instalatii de monitorizare (de exemplu de
tip MS2000). Montarea acestora presupune pe lângă modificarea circuitelor
secundare pentru integrarea în SCADA şi realizarea comunicaţiei la distanţa cu
serverul central.
Aceasta din urma se realizează prin modem pe linie telefonică obişnuită (sau FO)
dar necesită prezenţa în staţie a unui calculator PC dedicat instalaţiei de monitorizare. Pentru aceasta se monteaza un PC în camera de comandă şi se
realizeaza circuitele de comunicatie necesare. Legătura între instalaţia de
monitorizare montată pe AT şi PC se realizeaza prin pozarea unui cablu de fibră
optică protejat prin pat de cablu. În acest fel există o legatură permanentă între
instalaţia de monitorizare şi serverul central prin care se poate urmări continuu
funcţionarea instalaţiei de monitorizare. Toate informaţiile furnizate de instalaţia de
monitorizare sunt disponibile şi pe PC-ul dedicat acesteia aflat in camera de
comandă. Este posibila şi parametrizarea software a PC-ului pentru comunicaţia la distanţă.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
252
III.8.1.2. DIAGNOSTICARE PRIN MĂSURĂTORI DE TERMOVIZIUNE Una din metodele moderne de diagnosticare se realizeaza cu ajutorul camerei de
termoviziune. Funcţionând în domeniul infraroşu şi având un senzor de căldură
menţinut la o temperatură foarte coborâtă, camera detectează amprenta termică,
temperatura, oricărui obiect, în domeniul (–10) o C - 450o C, vizualizarea făcându-se
direct printr-un vizor sau pe un display, în mod alb-negru sau color (de exemplu cu
256 culori, în 9 palete cromatice).
De obicei există posibilitatea memorarii imaginii in camera sau să fie făcut stop
cadru pe o imagine ca si posibilitatea de înregistrare automată a imaginilor la un
interval reglabil de timp (de exemplu în domeniul 10 sec. – 10 ore), în cazul în care
se doreşte evoluţia în timp a temperaturii in funcţie de variaţia în timp a încărcării.
La punctele calde găsite şi înregistrate în memorie, se notează încărcarea celulei
de care aparţin la ora măsurătorii, apoi după preluarea imaginii se calculează
temperatura la care poate ajunge respectivul punct la o încărcare maximă a celulei.
Dacă din măsurătoarea iniţială cu camera de termoviziune, temperatura punctului
cald e mult mai mare decât a punctelor similare din aceiaşi celulă, acesta e trecut ca
problema care trebuie urgent de rezolvată.
Supravegherea realizată prim termometrie este o metodă deosebit de utilă
prin care se poate aprecia la momentul oportun necesitatea intervenţiei la un element
din sistem.
Astfel sunt evitate indisponibilităţi ale elementelor de sistem cu durate mari de timp.
III.9.2. DIAGNOSTICAREA UNITĂŢILOR DE TRANSFORMARE CU AJUTORUL ANALIZELOR CROMATOGRAFICE
O altă metodă ce furnizează date importante ce stau la baza deciziilor luate
pentru unităţile de transformare o constituie analiza cromatografică a gazelor
dizolvate în uleiul electroizolant din transformatoare, autotransformatoare şi bobine
de compensare:
– hidrogen,
– metan,
– oxid de carbon,
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
253
– dioxid de carbon,
– etilenă,
– etan şi acetilenă, folosind o seringă special construită.
Soft-urile folosite în asociere cu analizorul sunt: EZChrom, PPMreport şi TOA
(Transformer Oil Analyst).
O analiză completă a gazelor din ulei poate fi realizată în câteva minute.
Prin concepţie aparatul măsoară probe de gaze colectate cu ajutorul sondei GP-100
sau din sistemele de colectare a echipamentelor de monitorizare tip AMS-500.
Probele de ulei recoltate direct din unităţile de transformare pot fi analizate la
fel de rapid folosind metoda Shake Test.
Această metodă constă în agitarea într-o seringă tip ShakeTest a unui volum de ulei
şi unul de aer ( fără CO2 ) şi măsurarea concentraţiilor de gaze rezultate.
• Cauzele deteriorărilor care se dezvoltă în transformatoare sunt de două feluri :
– termice şi
– electrice,
Aceste cauze permit o stabilire orientativă a deteriorarilor după compoziţia gazelor
dizolvate.
• Pronosticarea se face cu ajutorul următorilor termeni consacraţi:
– ”descărcări electrice”,
– ”supraîncălzire”,
– ”supraîncălzire şi descărcări electrice
• Un alt criteriu important care stă la baza prognosticării defectelor este şi viteza
acumulării de gaze în ulei.
• Toate defectele care depind de timpul dezvoltării deteriorării, pot fi împărţite în
3 grupe :
– defect evolutiv brusc,
– defect evolutiv rapid şi
– defect evolutiv lent.
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
254
III.9. CUM INFLUIENŢEAZĂ INCERTITUDINEA PARAMETRICĂ OPTIMALITATEA POLITICILOR DE MENTENANŢĂ
Impactul tehnico-economic face din definiţia mentenanţei optimale o foarte importantă problemă. Scopul este de a ilustra limitele modelelor mentenanţei optimale in condiţiile aplicării acestora situaţiilor reale caracterizate de incertitudini inevitabile. În prima parte subliniem relaţiile dintre disponibilitate si entropie, apoi studiem cum complexitatea funcţională şi incertitudinea parametrică influienţează disponibilitatea sistemului marcov staţionar . În partea a doua prezentăm trei modele aplicate pentru studiul politicilor mentenanţei optimale:
1 perioada optimă pentru mentenanţa preventivă bazată pe vârsta echipamentelor 2 perioada optimă pentru testarea unui dispozitiv aflat în aşteptare 3 costul critic optim pentru reparaţia minimă
Arătăm că incertitudinile parametrilor tehnico-economici se propagă prin
modele şi diminuează acurateţea optimului teoretic. Ca şi concluzie sugerăm cercetarea unui compromis între complexitatea modelelor şi incertitudinea informaţiei disponibile. Conceptul de mentenanţă se inscrie in cadrul mai general de siguranţă in funcţionare. Astazi ea se orientează spre ceea ce numim mentenanţă bazată pe fiabilitate. Insăşi definiţia mentenabilităţii nu este înca stabilizată. Normele internaţionale definesc mentenanţa drept o combinare a tuturor acţiunilor tehnice şi administrative incluzând şi acţiunile de supraveghere in intenţia de a menţine sau restaura starea în care dispozitivul poate să-şi îndeplinească performanţele şi funcţiile cerute. Se consideră mentenanţa în relaţie cu trei funcţii generice ale Siguranţei în funcţionare
• fiabilitatea, • mentenabilitatea • disponibilitatea Este replasat conceptul de mentenanţă într-un cadru mai pertinent, cel al
politicilor de optim tehnico-economic al mentenanţei şi punerea în evidenţă a limitelor soluţiilor optimale atunci când se ţine cont de incertitudinile care afectează în mod inevitabil parametrii modelelor utilizate.
Ne propunem să arătăm cum incertitudinea poate afecta disponibilitatea sistemelor, considerând chestiunea sub doua unghiuri complementare.
Mai intîi evidenţiem pentru un sistem marcovian cu doua stări o relaţie generală între disponibilitatea şi entropia sa, care este o masură a dezordinii ataşată procesului de defectare/reparare .
Apoi printr-o extindere a sistemului cu două stări la un numar mai mare de stări se arată influienţa complexitîtii şi incertitudinii parametrilor asupra disponibilităţii.
In partea a doua se prezintă în mod succesiv trei cazuri de politici • mentenanţa, • test şi
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
255
• reparare care permit analizarea influienţei parametrilor tehnico-economici asupra soluţiilor optimale.
Primul caz, cel al mentenanţei preventive bazată pe varsată, coduce la determinarea unei periodicităti optimale, criteriul de respectat putând fi oricare dintre:
• disponibilitatea maxima sau • costul minim.
Al doilea caz cel al testîrii unui dispozitiv conduce la determinarea unei
periodicităţi optimale a testelor, Criteriul fiind disponibilitatea maximă . Al treilea caz constă în a alege între:
• o inlocuire şi o • reparaţie cu un cost minimal
Analiza conduce la determinarea costului critic minimal care separă cele două decizii posibile, criteriul fiind costul minimal. Perspectivele care se deschid privesc utilizarea conjugată a:
• modelelor simple si robuste şi • a metodelor care ţin cont de propagarea incertitudinii parametrilor,permiţând
evaluarea eficacităţii economice reale a politicilor optimale reputate.
Intr-un sistem markovian cu doua stări se scriu relaţiile între fiabilitate, entropie si disponibilitate. Disponibilitatea putând fi influienţată de mentenanţă. Se creşte numărul de stări, deci complexitatea şi se poate arăta cum incertitudinile parametrilor se propagă şi afectează disponibilitatea. III.9.1. DISPONIBILITATE ŞI ENTROPIE
• Entropia informaţiei în sens Shanon are expresia: (615)
(616)
Pentru un sistem Markov simplu cu două stări mutual exclusive, una de bună foncţionare şi alta de defectare, entropia sa se scrie:
(617)
( ) ( )i
ni
iin pLnppppH ∑
=
=
−=1
21 ),...,(
( )∑=
=
=ni
iip
11
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
256
Probabilitea (p) este cea de buna foncţionare . Entropia este o funcţie convexă şi simetrică care posedă un maxim unic şi
care coresponde la:
(617)
(618)
Obiectivul constă în atingerea unei disponibilităţi cât mai aproape de unitate,
ceea ce în termeni de fiabilitate se scrie :
(619)
Mentenananţa nu intervine ea nefiind decât un mijloc de ameliorare a
disponibilitătii.
III.9.2. COMPLEXITATE ŞI INCERTITUDINE
Creştem complexitate considerând un sistem cu patru stări:
• Starea de bună funcţionare: depinzând de timpul mediu de bună funcţionare
(Tf), sistemul apoi defectându-se
• Detecţia având durata (Td),
• Identificarea având durata (Ti)
• Reparaţia caracterizată de durată (Tr), după care sistemul redevine funcţional
• Disponibilitatea sistemului se scrie:
(620)
• Valoarea medie a disponibilităţii (Di) variază, în funcţie de numărul de stări i
(621)
• Coeficientul de variaţie al disponibilitaţii variază după relaţia :
0=∂∂ pH
( ) ( )2/1== pHpMaxH
( )HR −= exp
( ) ( )[ ]frid TTTTD +++=− 111
iDi 1=( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]pLnppLnppH −⋅−+⋅−= 11
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
257
(622)
Dacă CV este inferior lui 15%, lucrurile se complică .
Se pot interpreta separat aceste relaţii funcţie de numărul stărilor , deci funcţie
de complexitatea funcţională a sistemului.
Se constată descreşterea valoarii disponibilităţii în raport invers cu numărul de
stări deci cu complexitatea sistemului markovian considerat
Intrucat apar in plus:
- duratele de reparaţie,
- duratele de detecţie şi de
- identificare a defecţiunilor .
• Variabilitatea disponibilităţii descreşte atunci când complexitatea sistemului
creşte .
• Se poate spune că cu cât disponibilitatea unui sistem este mai ridicată cu atât
ea este mai incertă.
• Este deci justificată luarea în consideare a icertitudinii parametrice la
efectuarea calculelor de performanţă functională bazată pe observarea
comportamentului trecut sau pe proiectarea comportamentului viitor (aspecte
previzionale) .
III.9.3. MENTENANŢĂ PREVENTIVĂ BAZATĂ PE VÂRSTĂ
Se consideră un dispositiv având rata de defectare instantanee h(t) care
corespunde, de exemplu, la un model Weibull .
• definit printr-un parametru de scală η (cf:durata de viaţă caracteristică) şi
• un parametru de forme β (cf: intensitatea de uzură )
( ) ( )1−≈ iiCVi
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
258
Modelul Weibull:
(623)
Politica de mentenanţă bazată pe vârstă constă în:
• Pe de o parte în restabilirea periodică a fiabilităţii dispozitivului
• Iar pe de altă parte în repararea sa de câte ori apare un defect
• Costul mentenanţei preventive periodice este net inferior celui de reparaţie
care este dependent de gravitatea defectului
Acest model este interesant căci el permite:
• Pe de o parte calcularea unei periodicităţi optimale în funcţie de parametrii
technico-economici,
• Iar pe de altă parte face posibilă corespunderea criteriului de optimalitate la un
cost minimal sau la o disponibilitate maximală
• Periodicitatea optimală (T*) este soluţia unică a ecuaţiei :
(624)
Unde :
• h(t) – Rata de defectare
• R(t)- Funcţia de fiabilitate (supravieţuire) ;
• (r) – raportul (inferior unităţii) între costul de mentenanţă şi de reparaţie
(parametru economic).
Relaţia (547) ia forma particulară, (rel. 548):
Unde erf (u) este funcţia eroare
(625)
Pentru un raport al costurilor inferior lui 1/3 perioda optimală devine :
( ) ( ) ( ) 1−⋅= βηηβ tth
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ −=⋅⋅+*
0
** 11T
rdttRThTR
( )[ ] ( ) ( ) ( )rTTerfT −=−+⋅⋅ 11]exp[ 2*** ηηηπ
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
259
(626)
III.9.4. INFLUIENŢA INCERTITUDINII PARAMETRICE Perioda optimală este o funcţie non lineară a doi parametri: • unul technic (cf: durată de viaţă caracteristică a dispozitivului ) şi • altul economic (cf: raportul costurilor),
Determinăm variabilitatea periodei optimale în funcţie de cele două variabile:
Cu coefficientul de variaţie inferior lui 30%, cel al periodei optimale se scrie
relaţia :
(627)
• Daca parametrul economic est determinat atunci incertitudinea
care afectează perioda optimală este cea a parametrului η , adică cea a
duratei de viaţă medii a dispozitivului.
In mod reciproc dacă parametrul tehnic este dominant incertitudinea
perioadei optimale este cam jumatate din cea a parametrului economic (raportul
costurilor).
• In cazul unui dispozitiv având:
Parametrii technici :
Parametrii economici :
Perioda optimală T* devine : &
Practic putem alege :
( )rrT −⋅≈ 1* η
( ) ( ) ( ) ( )]411[ 222*ηη CVCVCVCVTCV rr +⋅+⋅≈
( )0=rCV
≈== anMTTFh 1;2;000,10 βη %10=ηCV
( ) %20&5/1 == rCVr
( ) 21* ≈ηT ( ) 21* ≈ηT
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
260
• Perioda optimală într-un interval de 6 la 8 luni, in jurul optimului teoric egal cu
7 luni.
• Se poate deci conclude că incertitudinea parametrică degradează optimul
tehnic
Asta justifică faptul că perioada optimă (in general optimul tehnic) se
poate alege:
• nu punctual ci
• într-o plajă a cărei intindere depinde statistic de coeficientul sau de variaţie.
Notăm:
• (Tt) perioda de test,
• (Ta) durata medie de defectare,
• (Tr) durata medie de reparare
• (p) probabilitatea ca dispozitivul sa nu raspunda la solicitari.
Indisponibilitate medie (I) ca suma a doua indisponibilitati partiale:
• una corespunzatoare regimului de asteptare
• Si alta depinzand de procedura de testare
(628)
Perioda optimală de test (Tt*) poate fi obţinută:
• Cercetând disponibilitatea maximă
• Sau indisponibilitatea minimă
(629)
• In mod practic este destul de dificilă cunoaşterea cu precizie a celor trei
parametri care determină perioada optimală de testare.
• Fiabilitatea fiind foarte ridicată valorile observabile nu sunt foarte semnificative
• In termeni statistici esenţiali sunt :
- cazul duratei de defectare
( ) ( ) ( ) ( )[ ]atrtr TTTTTpI /2++⋅=
( ) ( ) ( ) ( )art TTpT ⋅⋅⋅= 2*
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
261
- şi într-o mai mică masură probabilitatea de a nu raspunde la
solicitare
• Se poate calcula coeficientul de variaţie al perioadei optimale prin propagarea
incertitudinii parametrilor :
(630)
• Pentru cazul prac al unui grup diesel valorile sunt destul de realiste :
- Durata de reparare aprox 2 zile
- Durata dintre defectări aprox 1 an
- Aprox. 2 refuzuri la 100 de sollicitări
Perioada optimală rezultă:
(631)
• Testele se pot realiza cu o periodicitate săptămânală Tt = 168 h , valoare
care constituie o limită superioară.
III.9.5. CRITERIUL DE REPARARE MINIMAL
Pentru echipamentele energetice foarte costisitoare politicile de mentenanţă
trebuie să determine o disponibilitate foarte ridicată.
Daca avem un defect major :
• fie se repară echipamentul
• fie se inlocuieşte
Alegerea optimului între aceste două strategii rezultă din considerente tehnico
economice :
- o reparaţie minimă avand costul (Cr) sub o valoare critică (Cc*), limitată
superior de costul de înlocuire (Cn), egal cu preţul dispozitivului nou.
( ) ( ) 222* 21 part CVCVCVTCV ++⋅≈
( ) ( )%10&50 == rr CVhT( ) ( )%30&000,10 == aa CVhT( ) ( )%20&%2 == pCVp
( ) ( )%19&141 ** ≈≈ tt CVhT
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
262
Ne bazam pe doua ipoteze :
• una de natură technică (cf: fiabilitate dispositivului ),
• alta economică (cf:costul reparaţiei)
III.9.6. DETERMINAREA COSTULUI CRITIC OPTIMAL
• Conform Weibull fiabilitatea R(t) este :
(632)
• Funcţia de repartiţie exponenţială este:
(633)
• Costul critic optimal este soluţia ecuaţiei nelineare:
(634)
• Costul critic se scrie ca limita asimptotică;
(635) • Sau mai general:
(636)
• Se poate remarca că dacă se cunoaşte costul de înlocuire (Cn) (parametrul de
formă al distribuţiei Weibull) , incertitudinea sa se repercutează direct asupra
costului critic optimal.
• Exempul unui generator de mare putere
Coeficienţii de variaţie, ai costului critic optimal:
( ) ( ) ]exp[ βηttR −=
( ) ( )[ ]0exp1 rrr CCCF −−=
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0]exp1[1 0*
0* =+−⋅⋅−+− rcrnc CCCCC β
( )βnc CC ⇒*
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]1exp111 0* ⋅−+⋅−+≈ ββ rnc CCC
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
263
(637)
- (K’,K”) sunt constante :
• Precizia este acceptabilă dacă coeficienţii de variaţie sunt inferiori lui 20 % .
• Coeficientul de variantă a costului critic ia forma:
(638)
Valorea optimală a costului critic:
(639)
• Coeficientul de variantă correspunzator :
(640)
Se observă:
• Dispersia semnificativă a costului critic în jurul valorii sale medii
• Incertitudinea care poate fi exploatată in sensul introducerii în procesul de
decizie a unor noi criterii (întarzierea reparaţiei, nivelul de pregătire a celui
care repară etc) Modelul reparatiei minime este mai elaborat decat primele două :
• metoda bazată pe vârstă şi
• metoda bazată pe testare
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]222* 1''' ββ CVCVKCVKCCV rc +⋅⋅+⋅≈
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]222* 116/1 ββ CVCVCVCCV rc +⋅⋅+≈
( )359.0* ≈cC
( ) %5.11* ≈cCCV
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
264
IV. ANEXA PROBABILITĂŢI
Fie un câmp de evenimente Ω, K şi o funcţie P : K → R care satisface - P(A) ≥ 0 pentru ∀ A ∈ K - P(Ω) =1 Dacă A , B ∈ K şi Φ=BA aaa
atunci –
)()()( BPAPBAP += (641)
se numeşte probabilitate Tripletul Ω, K , P se numeşte câmp borelian de probabilitate Dacă
P : K → R şi dacă Ai ∈ K şi Φ=AA ji ji ≠
Atunci :
( ) )(∑= APAP ii (642)
Probabilitatea P satisfăcând deci condiţiile : - P(A) ≥ 0 - P(Ω) =1 - Φ=AA ji
ji ≠ (evenimente incompatibile)
- ( ) )(∑= APAP ii __ se numeşte probabilitate complet aditivă. (643)
În acest caz tripletul Ω, K , P se numeşte câmp de probabilitatea Dacă - Φ≠AA ji
(evenimente compatibile)
- ( ) )(∑≠ APAP ii (644)
- )()()()( BAPBPAPBAP −+= (645)
PROBABILITĂŢI CONDIŢIONATE
Fie Ω, K , P un câmp borelian de probabilitate şi A,B ∈ K cu P(A) ≠ 0 , Expresia
⇒ ( ))()( APBAPPA
BP B
==
(646)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
265
se numeşte probabilitatea evenimentului B condiţionată de evenimentul A. Proprietăţi :
- ( ) 0≥BPA (647)
- 1=
ΩAP (648)
- Φ=AA ji ji ≠ (649)
- ( ) ∑
=
AAAP i
iA (650)
- )(
)(AP
BAPABP
=
( ) 0/0)(0)(
0(≥⇒
≠
>
>
ABPAPAP
BAP (651)
- ( ) ( )1)(
)()(
====
ΩΩΩAPAP
APAPPAP AA
(652)
- ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
∑∑∑
===
==
=
−
AA
APAAP
APAAP
APAAP
APAAP
APAAP
AAP ii iiiii
)()()()()(
(653)
FORMULA PROBABILITĂŢII TOTALE
Fie evenimentele Ai incompatibile şi P(Ai) ≠0 Este adevărată relaţia:
( )
∑=
AAPAAP
ii i *)( (654)
Ştim că : ( ) )()()(
* APAAPAAP
APAAP
AAP i
ii
ii
=⇒=
(655)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
266
Sumând avem :
( )
= ∑∑APAA
PAAPi
ii)(
(656)
Dar ,
( ) ( )[ ] ( )[ ]
( ) [ ] )(APAPAAPAAPAAPAA
i
ii i
==
⇒==
Ω∑∑
(657)
deci ,
( ) )(* APAAPAP i
i
= ∑ (658)
adică ,
( )∑
=i A
APAPAPi
i *)( (659)
PROBABILITATEA INTERSECŢIEI A “n” EVENIMENTE Dacă - Κ∈Ai
şi Φ≠
−
=
1
1
n
iiAP (660)
atunci ( )
=
−= AAA
APAAAPA
APAPAPn
nn
ii
12121
3
1
21
1 ............** (661)
Demonstraţie – Metoda inducţiei complete Pentru n=2 avem
( ) ( )
=
AAPAPAAP
1
221 *1 evident din formula probabilităţilor condiţionate
p. Pn-1 adevărat ,
demonstrăm n
( )
−
−
=
−
=
AAAAP
AAPAPAP
n
nn
ii
221
1*......
.....1
21
1
1
(662)
Serie:
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
267
Demonstraţie
=
−
=
−
= AAPAP n
n
ii
n
ii
1
1
1
1
(663)
Dar ,
( ) ( )
=⇒=
ABPAPBAPAP
BAPABP *)()(
(664)
Deci,
=
=
−
−−
=
−
=
−
=
AAAAPAA
APAAPAP
AAPAPAAP
n
nn
ii
nn
ii
Bn
A
i
n
i 221
1
21
3
1
2211
1
1
1
1
1 .....*** ....)( (665)
Deci,
( )
=
−−
−−
= AAA
APAAAAPA
PPAPAPn
n
n
nn
ii
121221
1
1
21
1
1 ....*
.........* (665’)
FORMULA LUI BAYES
Fie evenimentele Ai∈K şi ∪ Ai = Ω , P(Ai) ≠ 0 incompatibile două câte două ⌡ Dacă A∈K este un eveniment pentru care P(A) ≠ 0 atunci are loc relaţia :
( )∑
=
AAPAP
AAPAP
AAP
ii
jj
j
*
*)( (667)
Avem ,
( ) ( )
( )
==
=⇒=
⇒ AAPAPAAP
AAPAPAAPAP
AAPAAP
jj
jj
jj
j *
*
)(
)()(*
(668)
Formula probabilităţii totale :
( ) ( )
= ∑ A
APAPAP i * (669)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
268
Deci ,
( )∑
=
AAPAP
AAPAP
AAP
ii
jj
j
*
*)( (670)
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
269
BIBLIOGRAFIE
ABB 96 - Buyer’s Guide 96/97 vol 2 Protection , Monitoring and control ABB - 1996 ALLA 82 - R.N. Allan - Terminal effects and protection sistem failurs in composite system reliability
evoluation - IEEE - Transaction on Power Apparatus and systems, vol.. Pass - 101, No.12,
December 1982
ALLA 94 - Ronald Allan, s.a…Effect of protection system on bulk power reliability evoluation - IEEE
Transaction on Power System, vol.9, No.1, February 1994
ANDE 84 - P.M. Anderson - Reliability modeling of power systems - IEEE - Transmision on Power
Apparatus and Systems, vol.PAS - 103, No.8, August 1984
ANGE 80 - Ion Angeloiu, ş.a., Introducere în sisteme tehnice, Editura militară, Bucureşti, 1980
BADE 73 - I Badea , Gh. Broşteanu , I Chenzbraun, P. Columbeanu Protecţia prin relee şi
automatizarea sistemelor electrice Ed.Tehnică Bucureşti 1973
BARO 88 - T.Baron,Al. Isac-Maniu şi alţii Calitatea şi fiabilitatea - manual practic voi.1şi 2 Ed.Tehnică
, Bucureşti 1988
BAST 82 - Patrik Bastard s.a…The technique of finite-impuls-response filtering applied to digital
protection and control of medium voltage power system IEEE Transactions on Power Delivery
vol.7 nr.2 aprilie 1982, pag. 620
BOIS 93 - Boisseau C, Tautin P - Evaluation monitoring method applied to instrument transformers
Electricite de France, mai 1993 pag.21
CAR 94/1Cârlan Probleme de optimum în ingineria sistemelor tehnice, Editura Academiei Romane,
Bucureşti, 1994
CAR 94/2 - Miltiade Cârlan, Curs de fiabilitate, CFP -RENEL, Bucureşti, 1994
CARL 91 - Carlos A.Dortolina 2.s.a …, An aproche for explicity modelyng the protective relaying
sistem in substation reliability evoluation studies - IEEE. Transmitions on Power Systems
vol.6, Nr.4, november 1991pag.1373
CATA 93 - V.Catania A Modular-Network Architecture for Performance Enhancement in Extended
Local Area Network, IEEE Transaction on Reliability, vol. 42, No. 1, 1993, pag. 50 CATU 85 - V.Cătuneanu, I. Bacivarof Fiabilitatea sistemelor de telecomunicaţii, Editura militară,
Bucureşti, 1985
CATU 89/1 - V.Cătuneanu, A. Bacivarof Structuri electronice de înaltă fiabilitate, Editura militară,
Bucureşti, 1989
CATU 89/2 - V.Cătuneanu, Florin Popentiu, Optimizarea fiabilităţii sistemelor, Editura Academiei RSR,
Bucureşti, 1989
CĂTU 97 - Vasile Cătuneanu TQM, Metodă şi tehnică de bază în aplicarea ingineriei convergente în
intreprinderile industriale - FRPC & ROMCONTROL SA Simpozionul COMPETITIVITATE ŞI
PROFIT PRIN CALITATE , mai 1997
CHIAN 91 - Shih-Chian Yang Reconfigurable Fault Tolerant Network for Fast Packet Switching, IEEE
Transaction on Reliability, vol. 40, No. 4, 1992, pag. 476
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
270
CONS 92 - Cristian Constantinescu Predicting Performability of a Fault/Tolerant Microcomputer
for Process Control, IEEE Transaction on Reliability, vol. 41, No. 4, 1992, pag. 558 CRT 94 - Gh.Cârţină. Gh. Georgescu, M,Gavrilas, Claudia Boiciu Retele neuronale artificiale si
sisteme expert in energetica Editura “Gh.Asachi” Iasi 1994
DESP 95 - Philippe Despiney La surveillance des reducteurs de mesure, RGE-Revue general de
l’electricite, nr .4 aprilie 1995 pag.42
DOTL 92 - G.Dotlic, M.Petrovic s.a… Aquisition and statistical analysis of protection devices and
automatic reclasers operating data - CIGRE, Septembrie 1992 Paris
ERNA 93 - M. Ernault, A. Giard, B. Meyer, P. Pauciatici -Security studies at the planning
stage:influence of severe incidents on the stability of the French power sistem, Electricite de
France, septembrie 1993 pag.9
FERB 94 - P. Ferbach - Path planning for mentenance operations Electricite de France, august 1994
pag.40
GAL-94-Stelian Alexandru Gal .Protecţia de distanţă digitală pentru sistemele electroenergetice
Teza de doctorat UP Timişoara, 1994
GEBA 84 - T.Gebar s.a… Fiabilitatea şi mentenabilitatea sistemelor de calcul, Ed. Tehnică,
Bucureşti, 1984
HAZI 96 - Hazi Gh. Considerarea caracteristicilor statistico-probabilistice în optimizarea regimurilor
sistemelor electroenergetice Teza de doctorat UT Iaşi, 1996
HONG 93 - J.S. Hong , C.H. Lie Joint Reliability-Importance of Two Edges in an Unidirected Network,
IEEE Transaction on Reliability, vol. 42, No. 1, 1993, pag. 17 IEEE 91- On Reliability of Expert Systems, IEEE Transaction on Reliability, vol. 40, No. 4, 1991, pag.
408 IEEE 92/1 - A comparativ evoluation of Four System Level Diagnosis Strategies for Hypercubes, IEEE
Transaction on Reliability, vol. 41, No. 1, 1992, pag. 26 IEEE 92/2 - Optimization Models for Selection of Programs Considering Cost & Reliability, IEEE
Transaction on Reliability, vol. 41, No. 2, 1992, pag. 281 ILYN 92 - Ilynichnin s.a…, Service exponence and field tests summarizing the protection and devices
improvement in EHV - UHV transmitions, CIGRE septembrie 1992 Paris
IOFI 79 - B.I.Iofiev Comanda automată în caz de avarie a sistemelor electroenergetice Ed.
Tehnică Bucureşti 1979
INST 92 - Instrucţiune privind executarea lucrărilor de exploatare şi reparaţii capitale ale fondurilor fixe
energetice din gestiunea filialelor de reţele electrice (uz intern) Decizia DGTDEE
nr.115/1992
IVA 92 - Cornelia Ivaşcu, Automatizări şi protecţii prin relee în sistemele electroenergetice, vol. II,
Universitatea Tehnica din Timişoara 1992
IVAS 81 - D. Ivas Fiabilitate în energetică - Pentru uzul studenţilor U.T. Iaşi 1981
IVAS 94 - D. Ivas , F. Munteanu Modelling of circuit-breakers as Multifunctional and Multivalent
Elements in Reliability Calculations for H V Installations Proceedings of The
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
271
International Conference “Towards a Sustainable Energy Efficiency ”Neptun ,România ,June
1994
LEVI 92 - Levkov V -State of the art on fault tolerant real time distributed sistems Electricite de
France, iunie 1992 pag.43
LI 92 -Li Duan , Iacov Y Haimes A Decomposition Method of Optimization of Large-System
Reliability, IEEE Transaction on Reliability, vol. 41, No. 2, 1992, pag. 183 LIMN 91 - Nicolaos Limnios Arbre de defaillance Edition Hermes Paris 1991 pag.44
LOVE 79 - Daniel I Lowe Failure aualysis of low voltage power aud control circuits Sesion
Member IEEE Beehtel Power Corporation vos Angeles , California 1979
MIHA 97 - Adrian Mihalache Sisteme fractal de asigurare a calităţii FRPC & ROMCONTROL SA
Simpozionul COMPETITIVITATE ŞI PROFIT PRIN CALITATE Bucureşti mai 1997
MIHO 76 Gh. Mihoc Bazele matematice ale teoriei fiabilitãţii Editura Ştiinţifică şi Enciclopedică
Bucureşti 1976
MIHO 80 - Gh. Mihoc ,I.Micu,Teoria fiabilităţii şi statistică matematică Editura Didactică şi Pedagogică
Bucureşti 1980 MOR 92 - Allain Moriu G -Action methodology for dependability studies of sistems, Electricite de
France, iulie 1992 pag.80
MOS-92-Mosneron Dupin F- Human factors of safety:a few landmarcs Electricite de France, iunie
1992 pag15
MROC 91-R.S.Mroczkowski, J.M. Maynard Estimating the Reliability of Electrical Connectors, IEEE
Transaction on Reliability, vol. 40, No. 5, 1991, pag. 507 MUNT 95 - F. Munteanu Contribuţii privind metodele şi tehnicile de analiză a fiabilităţii structurii şi
regimurilor de funcţionare a subsistemelor de distribuţie a energiei electrice - Teză de
doctorat - UT Iaşi 1995
MUNT 97 - F. Munteanu, D.Ivas, Ioan Viziteu, Nodal reliability equivalent Concept for Voltage
Perturbations Analysis in Power Distribution Networks, PMAPS International Conference -
Vancouver Canada 1997
NITU 80 - V.I. Nitu , C. Ionescu Fiabilitatea în energetică Editura Didactică şi Pedagogică , Bucureşti
1980
NITU 81 - V. Nitu , C. Mingiuc, P Nitu Fiabilitatea şi securitatea centralelor nuclearo-electric E.S.S.E.
Bucureşti 1981
PE 88 -PE 116-2/88 - Instrucţiuni de încercări şi măsurători la instalaţiile de automatizare a părţii
electrice din centrale şi staţii ICEMENERG Bucureşti 1990
PE 94 -PE 116/94 - Normativ de încercări şi măsurători la echipamente şi instalaţii electrice
ICEMENERG Bucureşti 1995
PE 95 -PE 013/95 Normativ privind metodele si elementele de calcul al siguranţei în funcţionare a
instalaţiilor energetice Icemenerg Bucureşti 1995
PERS 95 - Ron Perso Utilizare Excel pentru windows Tenora 1996
PHIL 92 - Phillipe Guuinic La fiabilite previsionnelle en electrotechnique, RGE-Revue general de
l’electricite nr .8 septembrie 1992, pag.4
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
272
POEA 87 - Alexandru Poeată , Gh. Georgescu Conducerea automată a reţelelor electrice de
distribuţie ENERG nr.3/1987
POEA 90 - Alexandru Poeată Observabilitatea şi controlabilitatea instalaţiilor electroenergetice Al X-
lea simpozion - Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice Bacău 1990 POPO 88 - Alexandrescu A. Popovici Proiectarea securităţii sistemelor complexe Editura Ştiinţifică şi
Enciclopedică , .Bucureşti 1988
ROT 97 - Dan Rotar, Teza de doctorat Contribuţii privind optimizarea circuitelor de comanda ale
motoarelor pas cu pas prin implementarea acestora cu microprocesor, UT Iaşi 1997
SEEH 91 - H.Seehase, A Reliability Model for Connector Contacts, IEEE Transaction on Reliability,
vol. 40, No. 5, 1991, pag. 513
SHEN 91 - K.Shen The Effectiveness of Adding Standby Redundancy of System and Component
Level, IEEE Transaction on Reliability, vol. 40, No. 1, 1991, pag.53 SING 80 - C.Sing, A.D. Patton - Models and concepts for power system reliability evaluation including
protection - system failures. Electric Power and Energy Systems nr.4 1980
STAN 82 - Florin Stanciulescu, Dinamica sistemelor mari, Editura Academiei RSR, Bucuresti,
1982
SULT 92 - Sultanem F, Erhard P - La simulation temps-reel a EDF pour le test des protections et des
regulateurs de tension, Electricite de France, martie 1992 pag. 28
TARC 89 - C. Târcolea , A.Filipoiu , S.Bontaş Tehnici actuale în teoria fiabilităţii Editura Ştiinţifică şi
Enciclopedică .Bucureşti 1989
TEOD 88 - Dan Teodorescu Automatizări microelectronice Ed.Tehnică Bucureşti 1988
TODO 89 - Ioan Todoran Răspunsuri posibile - Corelaţie şi prognoză Ed.Dacia - Cluj Napoca 1989
VIZI 85 - Ioan Viziteu - Solutie pentru cresterea sigurantei în functionare a retelelor de medie tensiune
cu neutrul tratat prin bobina de stingere Al- VIII-lea simpozion “Siguranta în functionare a
instalatiilor energetice - Curtea de Arges - iulie 1985
VIZI 87/1 - Ioan Viziteu, Georgeta Viziteu - Folosirea indicatorilor de siguranţa a nodurilor de sistem
pentru determinarea probabiliăţii de asigurare a unei anumite puteri pe barele nodurilor - Al IX-
lea simpozion - “Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice”-Iasi - octombrie 1987
VIZI 87/2 - Ioan Viziteu - Contribuţii privind interpretarea corecta a diagramelor vectoriale a protectiilor
de distanta - A VII-a sesiune de comunicări tehnico-ştiinţifice - “Producerea transportul şi
utilizarea raţionala a energiei”- Suceava, 1987
VIZI 88/1 - Ioan Viziteu - Consideraţii privind intreruperea circuitelor de curent Simpozionul Naţional al
Reţelelor Electrice - ediţia a V-a vol.II Cluj Napoca 1988
VIZI 88/2 - V.Nasturas ,V. Munteanu , Ioan Viziteu, Gh. Şchiopu - Consideraţii privind introducerea
protecţiei de rezerva a barelor de medie tensiune în staţiile de transformare- Simpozionul
Naţional de Reţele Electrice - ediţia a V-a, vol. II, Cluj-Napoca 1988
VIZI 88/3 - Ioan Viziteu - Dispozitiv pentru conectarea şi deconectarea automată a bateriilor de
condensatoare - Certificat de inovator nr.3116
VIZI 88/4 - Ioan Viziteu - Dispozitiv pentru sesizarea întreruperii circuitelor de curent - Brevet RSR
94570
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
273
VIZI 90/1 - Ioan Viziteu, Roşu Sandu Gh.- Consideraţii privind creşterea fiabilităţii protecţiei cuplelor
realizată cu relee de distanta româneşti- Al X-lea simpozion “Siguranţa în funcţionare a
instalaţiilor energetice” Bacau - 1990
VIZI 90/2- Ioan Viziteu, Stefan Fratila, Rosu S.Gh. - Creşterea siguranţei în funcţionare a instalaţiilor
prin modificarea organului de direcţie a protecţiilor de distanta RD 110 - Al X-lea simpozion
“Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice”- Bacau - 1990
VIZI 90/4 - Ioan Viziteu, Rosu S. Gh. - Consideraţii privind verificarea locatoarelor de scurtcircuite linii
(LSL) -Al X-lea simpozion -“Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice”- Bacau - 1990
VIZI 90/3 - Ioan Viziteu, Ştefan Frăţilă - Consideraţii privind realizarea schemelor de DRRI - Al X-lea
simpozion “Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice” - Bacau - 1990
VIZI 90/5 - Ioan Viziteu - Consideraţii privind ridicarea şi interpretarea corectă a diagramelor
vectoriale ale protecţiilor homopolare Sesiunea jubiliară ICEMENERG - Bucureşti - noiembrie
1990
VIZI 90/6 - Ioan Viziteu, Roşu S. Gh. - Elemente de fiabilizare a regulatoarelor automate RATT-
Simpozionul - “Siguranţa în funcţionare a instalaţiilor energetice” Bacău - 1990
VIZI 91/1 - Ioan Viziteu, Aurel Cristea , Dorel Uricaru, Gh. Hazi.- Asupra unor probleme legate de
punerea în funcţie şi întreţinerea instalţiilor de telemecanica Al III-lea simpozion - Optimizarea
dezvoltării şi exploatării instalaţiilor energetice - Iasi - 1991
VIZI 91/2 - Ioan Viziteu, Dănuţ Chiriac, Puiu Berzunţiu- Consideraţii privind testarea fiabilităţii releelor
intermediare - Simpozionul - “30 de ani de invăţmânt universitar la Bacău” - Bacău - 1991
VIZI 91/3 - Ioan Viziteu, E. Potoraca, D. Moise , Puiu Berzunţiu, Roşu S.Gh.- Aspecte privind
automatizarea RAR în reţelele de 110KV - Simpozionul - “30 de ani de invăţământ universitar
la Bacău” - Bacău - 1991
VIZI 91/4 - Ioan Gheorghiu, Ioan Viziteu, Ştefan Frăţilă, Valentin Ciuche, I. Agafiţei - Analizator de
perturbaţii”- Simpozionul - “Optimizarea dezvoltării şi exploatării instalaţiilor energetice”- Iasi-
1991
VIZI 92/1 - Ioan Viziteu - Structurare Functions of High and Very High Voltage Lines Protections -
C.N.E., Neptun, 1992
VIZI 92/4 - Ioan Viziteu - Consideraţii privind testarea fiabilităţii releelor fiabilităţii de distanţa”
Sesiunea jubiliara “ 80 de ani de invăţământ electrotehnic la Iaşi” - Secţiunea “Tehnici noi în
conducerea reţelelor de distribuţie”- Iaşi- 1992 pag…
VIZI 92/3 - Ioan Viziteu - Aspecte ale modelării matematice a fiabilităţii releelor de distanţa - Sesiunea
jubiliara “80 de ani de învăţământ electrotehnic la Iaşi” - Secţiunea - “Tehnici noi în
conducerea reţelelor de distribuţie” - Iaşi - 1992 pag.
VIZI 92/2 - Ioan Viziteu - Releu electronic pentru sesizarea întreruperilor din secundarele
transformatoarelor de curent - Brevet de invenţie nr. 105872 VIZI 92/5 - Ioan Viziteu, Hazi Gh.- Contributions on Controlling Differential Protection circuits -
C.N.E., Neptun, 1992
VIZI 92/6 - Ioan Viziteu - Considerations on Testing Complex Relays Reliability - C.N.E.,1992
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
274
VIZI 92/7 - Ioan Viziteu - Funcţia de repartiţie a impedanţei de defect privită ca variabila
aleatoare- Simpozionul “Siguranţă în funcţionare a instalaţiilor energetice “ - ediţia a XII-a - Timişoara
- octombrie 1992
VIZI 94/1 - Ioan Viziteu, Muraru Adrian - Relais electronique tolerant les defections pour
l’automatisation des boucles ouvertes - C.N.E., Neptun, 1994
VIZI 94/2 - Ioan Viziteu - Modernisations des automatisations de reanclanchement automatique
rapide - C.N.E, Neptun, 1994
VIZI 94/3 - Ioan Viziteu - L’amelioration de l’alimentation de protections a distance des stations haute
puissance - C.N.E., Neptun, 1994
VIZI 94/4 - Ioan Viziteu, Adrian Muraru - Possibilites d’ameliorations de schema des instalation de
service internes de circuit continuu des stations de transformations - C.N.E., Neptun, 1994
VIZI 94/5 - I. Onea, A. Muraru, R.Struţu, Roşu S. Gh., Ioan Viziteu Truse pentru verificarea releelor
complexe - Conferinţa de electroenergetică - Timişoara - noiembrie 1994 Lucrarea -I.31 -
pag.225
VIZI 94/6 - Ioan Viziteu, Fraţilă St., Onea Ioan - Consideraţii privind deconectarea sarcinii la
scăderea frecvenţei Conferinţa de electroenergetică - Timişoara - noiembrie 1994 Lucrarea -
III.40 -pag.. 870
VIZI 94/7 - Ioan Viziteu.R. Struţu, A.Muraru - Aspecte ale măsurării parametrilor energiei electrice cu
ajutorul aparatelor numerice Conferinţa de electroenergetică - Timişoara - noiembrie 1994
Lucrarea -I.30- pag.221
VIZI 94/8 - Ioan Viziteu, Radu Struţu, Adrian Muraru Aparate indicatoare digitale de tablou pentru
traductoare GTDEE Buletin informativ nr. 29-numar festiv-pag.40, inovaţie - aviz 5043 /1994
VIZI 94/9 - Ioan Viziteu, Radu Struţu, Adrian Muraru Voltmetre şi ampermetre digitale independente,
GTDEE Buletin informativ nr. 29-numar festiv-pag.42, inovaţie - aviz 5044/1994
VIZI 95/1 - Ioan Viziteu -Protecţii de distanţă utilizând principiul logicii majoritare 2 din 3 - Simpozionul
de siguranţa în funcţionarea SEN - Galaţi - septembrie - 1995 - secţiunea I lucrarea nr.38
VIZI 95/2 - Ioan Viziteu, Posibilităţi de eliminare a erorilor determinate de coeficientul de ramificaţie
Simpozionul de Siguranţa în Funcţionare- SEN, Galaţi septembrie 1995, secţia I, lucrarea 9
VIZI 95/3 - Ioan Viziteu, Gh. Hazi. Puncte de vedere privind siguranţa în funcţionare a protecţiilor
transformatoarelor de putere, Simpozionul de Siguranţa în Funcţionare SEN, Galati,
septembrie 1995, secţiunea I, lucrarea 31
VIZI 95/4 - Ion Viziteu, Redundanta invertoarelor din staţiile de transformare, Sesiunea Jubiliara
ICEMENERG 1960-1995 postere, secţia V
VIZI 95/5 - Ioan Viziteu, Gh Hazi. Validarea informaţiilor care ajung la protecţiile prin relee, Sesiunea
jubiliara ICEMENERG 1960-1995 postere, secţia V
VIZI 95/6 - Ioan Viziteu, dr. Cornelia Ivaşcu. Mentenanţa preventivă şi creşterea eficientei instalaţiilor
de protecţie prin relee - Revista energetica - seria B- septembrie-octombrie 1995 pag.252
VIZI 95/7 - Ioan Viziteu Ingineria convergentă a protecţiilor si automatizărilor A IV -a Conferinţa de
instalaţii electrice si automatizări SIEAR Sinaia octombrie 1995
FIABILITATEA INSTALAŢIILOR ENERGETICE
275
VIZI 96/1 - Ioan Viziteu. - Vectorii critici a elementelor structurale ale schemelor de protecţie -
Simpozionul naţional de reţele electrice - octombrie 1996 Cluj-Napoca - Lucrarea -2.3.5.-
pag.183
VIZI 96/2 - Ştefan Fraţilă, Ioan Viziteu - Reducerea riscurilor de comanda greşită a întrerupătoarelor
generatoarelor - Simpozionul naţional de reţele electrice - octombrie 1996 - Cluj-Napoca
Lucrarea -2.3.6 -pag.185
VIZI 96/3 - Ioan Viziteu, Jean Guy Pineault, Dumitru Ivas… The choice of complex protections based
on the performance - price criteria - National Energy Conferince septembrie 1996 - Neptun -
Lucrarea - 3B-205 - pag.334
VIZI 96/4 - Ioan Viziteu, Ştefan Fraţilă, Mircea Fătu Eliminarea declanşărilor în reţelele cu neutrul
tratat prin rezistenta la arderea siguranţelor de medie tensiune Conferinţa Naţională de
Energetica Industriala -BACAU -1996, pag
VIZI 96/5 - Ioan Viziteu, Gh. Hazi Influenţa fiabilităţii elementelor asupra fiabilităţii schemelor de
protecţie şi automatizare Conferinţa Naţională de Energetica Industriala -BACAU 1996-
VIZI 97/1 - Gh.Hazi., Ioan Viziteu, Ştefan Frăţilă Posibilităţi de creştere a siguranţei în funcţionare
pentru protecţiile LEA 110kV Simpozionul de Siguranţa în Funcţionare SEN, Craiova,
octombrie, 1997
VIZI 97/2 - Gh Hazi., Ioan Viziteu, Aneta Hazi Indicatori de fiabilitate înscrişi în contracte. Calculul
duratei maxime de restabilire a alimentarii pentru consumatorii de energie electrica,
Simpozionul de Siguranţa în Funcţionare SEN, Craiova, octombrie, 1997
VIZI 97/3 - Ioan Viziteu, Gh Hazi., Mihai Dobraniş, Antonela Butnaru Algoritm de calcul a securităţii
sistemelor de protecţie cu ajutorul analizelor de risc, Simpozionul de Siguranţă în Funcţionare
SEN, Craiova, octombrie, 1997 VIZI 97/4 - Ioan Viziteu, Florin Munteanu, Dumitru Ivas Protection and Security Systems Modelling for
Reliability Calculations in Power Networks First Conferince On Mathematical Methods in
Reliability Bucuresti, septembrie 1997
VUJO 92 - M Vujosevic ,M Sucur Reliability Analyses for a Tree-Structured Hierarchic Control System,
IEEE Transaction on Reliability, vol. 41, No. 2, 1992, pag. 190 YAMA 93 - S.Yamada, J.Hishitan, S.Osaki Software-Reliability Growth with a Weibull Test-Effort: A
Model & Application, IEEE Transaction on Reliability, vol. 42, No. 1, 1993, pag. 100