Embed Size (px)
Citation preview
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ 2. DINAMICA PUNCULUI MATERIAL
2.1. Principiile mecanicii clasice
dt
pdvm
dt
d
dt
vdmF
F m a
Dinamica abordează studiul mişcărilor mecanice luând în considerare cauzele care duc la modificarea în timp a poziţiilor , vitezelor şi acceleraţiilor sistemelor mecanice. Caracteristicile esenţiale al mecanicii clasice sunt exprimate prin axiomele sau principii enuntate de catre Isaac Newton in lucrarea "Philosophie naturalis principia mathematica" / ”Principiile matematice ale filosofiei naturale “ – 1687:
2.1.1. Primul principiu sau principiul inertiei
ENUNT: Orice corp îşi menţine starea de repaus sau de mişcare rectilinie uniformă atât timp cât asupra sa nu acţionează vreo forţa sau rezultanta forţelor care acţionează asupra sa este nulă.
Acest principiu introduce notiunea de inertie, ca si proprietate a corpurilor de a se opune actiunii
altor corpuri. Masura inertiei corpurilor este masa inertiala, numeric egala cu masa gravifica
2.1.2. Principiul al 2-lea sau principiul fundamental
Acest principiu introduce notiune de forta, ca masura a interactiunii dintre corpuri.
- statice (de deformare sau echilibrare)
Efectele fortelor pot fi:
- dinamice (de modificare a starii de miscare, deci a vitezei)
ENUNT: O forţă ce acţionează asupra unui corp de masă m îi imprimă acestuia o acceleraţie direct proportionala cu forta si invers proportionala cu masa acestuia:
unde reprezinta inpulsul corpului vmp
F
Fa k
m
(in SI k=1)
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
2.1.3. Principiul al 3-lea sau principiul actiunilor reciproce:
ENUNT: Când un corp „i” acţionează asupra altui corp „j” cu o forţă numită
forţă de acţiune, cel de-al doilea corp acţionează şi el asupra primului cu o forţă
numită forţă de reacţiune, de aceeaşi mărime şi pe aceeaşi direcţie, dar de
sens contrar, adică
2.1.4. Principiul independentei actiunii fortelor:
ENUNT: Dacă mai multe forţe (i = 1, 2, ..., n) acţionează în acelaşi timp asupra unui
corp de masă m, fiecare dintre respectivele forţe produce propria sa acceleraţie, în
mod independent de prezenţa celorlalte forţe, acceleraţia rezultantă fiind egala cu
suma vectorială a acceleraţiilor individuale.
jiF
ijF
i
i
F m a
F ma
i i
i
i
F ma
F F
ia a
j i i jF F j i i jF F
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
2.2. Transformările lui Galilei şi principiul relativităţii clasice Consideram doua sisteme de referinta inertiale, unul fix S si altul S’ aflat
in miscare uniforma cu viteza constanta fata de sistemul S.
Transformarile Galilei sunt transformarile de coordonate, timp,
viteza si acceleratie la trecerea de la un sistem de referinta inertial la
altul.
a) Transformarea de coordonate.
Din:
b) Transformarea de timp
Timpul fiind absolut, difera in cele 2 sisteme de referinta inertiale doar
printr-o constanta aditiva, legata de alegerea originii (t=0 in S si t’=0 in S’):
c) Transformarea vitezelor.
Derivand relatia (1) in raport cu timpul tinand cont de faptul ca, in
conformitate cu rel. (2), dt = dt’:
unde
0
0
'
,
0 .
r R r
R r ut
unde r R ct
.u ct
0' (1)r r r ut
0' (2)t t t
0'
'
drdr dru
dt dt dt ' (3)v v u
0. .
'( ); ' ( '); 0
'abs rel
drdr drv v vitezaabsoluta fatadeS v v viteza relativa fatadeS
dt dt dt
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
d) Transformarea acceleratiilor.
Derivand relatia (3) in raport cu timpul tinand cont de faptul ca, in conformitate cu rel. (2), dt =dt’:
'
'
dv dv du
dt dt dt ' (4)a a
. .
'( ); ' ( '); 0( )
'abs rel
dv dv dua a acceleratiaabsoluta fatadeS a v acceleratia relativa fatadeS u ct
dt dt dt
“Principiile si prin urmare legile mecanicii newtoniene (clasice) sunt aceleaşi în
toate sistemele de referinţă inerţiale deci, sunt invariante la transformările Galilei,
adică sunt Galilei - invariante sau G - invariante"
sau:
“Fenomenele mecanice decurg la fel în toate sistemele de referinţă inerţiale"
Rezultă că, din punct de vedere al fenomenelor mecanice, toate sistemele de
referinţă inerţiale sunt absolut echivalente. Într-adevăr, nici o experienţă mecanică
efectuată în interiorul unui laborator nu ne permite să determinăm mişcarea sa rectilinie
faţă de stelele fixe.
Deoarece in mecanica clasica masa corpurilor este aceeasi in orice sistem de referinta (m = m’) rezulta:
Fortele fiind aceleasi in orice sistem de referinta inertial se poate enunta principiului relativitatii clasice:
' 'F ma ma F
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
2.3. Teoreme de variatie şi legi de conservare
2.3.1. Teorema şi legea conservării impulsului - Impulsul unui punct material se defineste ca fiind produsul dintre masa acestuia
şi vectorul viteză, adică
vmp
a) Teorema impulsului
- forma diferentiala:
"Viteza de variaţie momentană a impulsului unui punct material este egală cu forţa
rezultantă ce acţionează asupra punctului material în momentul respectiv"
Fdt
pd
dt
- forma integrala:
2
1
2
1
12
t
t
dtFpdppp
2
1
21
t
t
, dtFH
unde marimea se numeste impuls al fortei
"Variaţia impulsului unui punct material în intervalul de timp de la t1 la t2 este egal cu
impulsul forţei rezultante ce acţionează asupra punctului material în acest interval de
timp" b) Legea de conservare a impulsului: “Impulsul unui punct material izolat se
conservă". .constpimplicaceceea,psaudt/pdFDin
000
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
2.3.2. Teorema şi legea conservării momentului cinetic Prin definiţie, “Momentul cinetic al unui punct material, în raport cu un punct fix numit pol, este un vector egal cu produsul vectorial dintre vectorul de poziţie al punctului material în raport cu acel pol şi impulsul punctului material” (Fig.1).
vmrprL
sinrmvsinrpLL
“Momentul unei forţe, în raport cu un pol este egal cu produsul vectorial dintre vectorul de poziţie al punctului de aplicaţie al forţei în raport cu acel pol şi forţa respectivă” (Fig.2).
a)Teorema momentului cinetic
Frdt
pdrp
dt
rdpr
dt
d
dt
Ld
unde
reprezinta momentul fortei rezultante in raport cu polul O:
FrM
Fig. 1
Fig.2
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
- forma diferenţială:
Mdt
Ld
“Viteza de variaţie a momentului cinetic al unui punct material în raport cu un pol este egală cu momentul , în raport cu acel pol, al forţei rezultante ce acţionează asupra punctului material.”
- forma integrala:
"Variaţia momentului cinetic al unui punct material în intervalul de timp de la t1 la t2
este egal cu impulsul momentului forţei rezultante ce acţionează asupra punctului
material în acest interval de timp"
unde se numeste impuls al momentului fortei
)t(
)t(
dtMK2
1
12
)(
)(
)t(
)t(
dtMLdLLL
2
1
12
2
1
b) Legea de conservare a momentului cinetic :
“Momentul cinetic al unui punct material izolat se conservă".
.constLimplicaceceea,Lrespectivdt/LdzultaRe
KsiMFDin
00
000 12
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
2.3.3. Lucrul mecanic, putere; energie cinetică, teorema energiei cinetice
a) Lucrul mecanic
)r(FF rdrFW
dtvrd
2
1
2
1
21
r
r
t
t
, dtvFrdFW
rFcosrFW
constF
b) Putere
- Puterea medie t
WPm
- puterea instantanee sau momentană
dt
W
t
WlimPt
0vF
dt
rdFP
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
c) Teorema energiei cinetice
221
2 2
d mv vW Fdr Fvdt vdt mvdv md d mv
dt
” Energia cinetică a unui punct material este mărimea scalară egală cu semiprodusul
dintre masa şi pătratul vitezei punctului material ”.
2
2
1mvT
dT Fdr Fvdt W
2 2
1 1
2 1 12
r t
r t
T T T Fdr Fvdt W
”Variaţia energiei cinetice a unui punct material în decursul unei deplasări este egală cu
lucrul mecanic efectuat de rezultanta forţelor ce acţionează asupra punctului material în
timpul deplasării respective.”
Rezulta
si
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ 2.3.4. Energia potenţială şi energia mecanică totală a) Câmpuri de forţe conservative şi energia potenţială
W1a2 = W1b2, sau W1a2 - W1b2 = 0
W1a2 – W1b2 = W1a2 + W2b1 = 0,
“Lucrul mecanic efectuat de forţele unui câmp conservativ ce acţionează asupra unui punct material, în decursul
deplasării acestuia pe o traiectorie închisă, este nul”:
0rdF
“ Energia potenţială într-un punct al unui câmp conservativ de forţe, în care s-a definit un
punct de referinţă (ro pentru care U(ro)=0) este egală cu lucrul mecanic efectuat de forţele
câmpului pentru deplasarea punctului material din punctul de referinţă în punctul dat, luat cu
semn schimbat”:
=> Fortele conservative:
- Energia potentiala (U):
0
r
r
U( r ) Fdr 2 dU Fdr δW 1
x y zdU Fdr F dx F dy F dz
matematic :
U U UdU dx dy dz
x y z
x y zU U U
F ; F ; Fx y z
U U U dUF i j k U gradU
x y z dr
- In câmpuri de forţe conservative:
II. ELEMENTE DE MECANICĂ CLASICĂ
b) Energia potentiala si legea conservarii energiei mecanice totale
2
1
1221
r
r
, TTTrdFW
- teorema energiei cinetice:
- definiţia energiei potenţiale: r2
1,2 2 1 1 2
r1
W Fdr ΔU (U U ) U U
Considerăm o deplasare finită a punctului material sub acţiunea unei forţe conservative
2112 UUTT 1 1 2 2T U T U
” Energia mecanică totală a unui punct material aflat in camp de forte conservative,
calculata ca suma dintre energia cinetică şi energia potenţială a punctului material
se conserva”.
Rezulta sau
=> Legea conservarii energiei mecanice totale:
E = T + U = const.
