Upload
alex-sinteanu
View
22
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Curs fizica Universitatea transilvania
Citation preview
IV. UNDE ELASTICE
r
c c
r
Unde longitudinale in fluide si solide:
Unde transversale in solide:
Unde de suprafata in lichide:
Exemple de tipuri de unde
IV. UNDE ELASTICE
La propagarea undei logitudinale in fluide, deplasarea ξ (x) a particulelor
determina pentru un element de masa “dm” fenomene de dilatare (dx’ > dx) si
contractie (dx’< dx).
Rezulta o modificare a densitatii locale, cu excesul de densitate ρ’=ρ – ρ0, (ρ’<<
ρ, ρ0) si a presiunii locale, cu excesul de presiune p’=p - p0, (p’<< p, p0 ) locale:
Ecuatiile de propagare sunt:
2 2
2 2 2
10
x c t
2 2
2 2 2
10
' '
x c t
2 2
2 2 2
10
' '
x c t
(1) (2) (3)
RTKc ad
0
0ad
RTK
unde: (4) - este viteza de faza
(viteza de propagare a undei)
(5) - este modulul de compresie
adiabatica
Exemplu. - Pentru gaze ideale:
unde este exponentul adiabatic. (7)
d x
d x'
( x )
( S )
d m
c
x
(6)
2p c
0
adKc
ad
ad
dpK V
dV
IV. UNDE ELASTICE
2.2. Unde longitudinale în solide
2 2
2 2 2
10 8
x c t
Ecuatia de propagare pentru deplasarea ξ:
unde
este viteza de faza a undelor logitudinale in solide
(E - modul de elasticitate Young, iar ρ - densitatea)
9c E /
2.3. Unde transversale în solide
Ecuatia de propagare pentru deplasarea ξ:
unde
este viteza de faza a undelor logitudinale in solide
(G - este modul de torsiune,
iar ρ - densitatea)
11c G /
2 1 12G E /
2 2
2 2 2
10 10
x c t
d x
d x'
( x )
( S )
d m
c
x
(x) dx (x+dx)
x x+dx x
(S)
d
c
dm
IV. UNDE ELASTICE
2.4. Unde monocromatice plane
, p , Notam cu - functia de unda si .
Forma generala a ecuatiei diferentiale a undelor :
2
2 2
10 13
c t
2 2 2
2 2 2operatorul Laplace
x y z
unde
2 2
2 2 2
10 14
x c t
Dacă unda se propagă pe direcţia Ox atunci, din punct de vedere matematic operatorul lui
Laplace se reduce la o derivată de ordinul II in raport cu x. Astfel ecuaţia diferenţială
generală a undelor va fi de forma:
1 2 15x x
x,t t tc c
Solutia ecuatiei (14):
unde reprezinta undele progresiva si regresiva. 1 2si
xS
1 2
01
,2
2
22
2
tcxxx
IV. UNDE ELASTICE
Dacă perturbaţia produsă de sursa S este o perturbaţie armonică (sinusoidală)
,
atunci expresia funcţiei de undă pentru unda progresivă va fi tot de formă sinusoidală:
16S t Acos t
17x
x,t Acos tc
Unda prezintă o periodicitate temporală de perioadă T:
Unda prezintă de asemenea si o periodicitate spatiala cu lungimea de unda λ:
18x x
Acos t T Acos tc c
219T
20x x
Acos t Acos tc c
221
cc T
A
- A
t
T
x = c t
t = c t
x
λ
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
directie de propagare
IV. UNDE ELASTICE
(17)
IV. UNDE ELASTICE
Obs.
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
complexă.
IV. UNDE ELASTICE
2.5. Unde monocromatice sferice
Ecuatia diferentiala a undelor sferice:
2 2
2 2 2
10
1
r c r
pentru
r,t r r ,t
r A rr,t t cos t
r c r c
Solutia ecuatiei:
A
r,t cos t krr
rktie
r
Atr
,~
(32)
(33)
(34)
(35)
IV. UNDE ELASTICE
3. Mărimi energetice specifice undelor elastice 3.1. Densitatea de energie
- Procesul de propagare a undelor este însoţit de un transport de energie, numită
energia undei.
- Considerăm un element infinitezimal al mediului considerat de volum dV.
Această porţiune al mediului va avea o energie suplimentară:
1dW dT dU
- Excesul de energie cinetică asociată elementului de volum dV si masa dm=ρ0dV
(unde ρ0 este densitatea) aflat în mişcarea ondulatorie cu viteza v, va fi:
2 20
1 12
2 2dT dm v v dV
- Excesul de energie potenţială apare ca urmare a comprimării sau dilatării
elementului de volum respectiv. Comprimarea (sau dilatarea) vor determina o
modificare ρ’ a densităţii fluidului şi o modificare dV’ a elementului de volum
în raport cu valorile ρ0 şi dV pentru starea când prin mediu nu se propagă
unde. Datorită conservării masei dm=dm’ , se poate scrie:
0 0dV dV dV ;
0Pentru : dV dV ', ' dV 0
dV dV
IV. UNDE ELASTICE
- Energia potenţială elementară dU poate fi scrisă ca fiind egală cu lucrul
mecanic al forţelor de presiune suplimentara medie,
Cu relatia , rezulta:
0 2 2medp p' / p'/
2
2
0 0
32 2
med
p pdU p dV dV dV
c
- Eenergia mecanică totală suplimentară a elementului de volum dV va fi:
2 2
2 2
0 02 2
0 0
1 1 14
2 2 2
p pdW v dV dV v dV
c c
- Densitatea de energie locala a mediului va fi:
2
2
0 2
0
15
2
dW pw v
dV c
3.2. Intensitatea undelor elastice
Definitie: Intensitatea undelor elastice este o marime
fizica numeric egala cu energia transportata de unda in
unitate de timp prin unitate de suprafata a mediului,
normala pe directia de propagare
6W
IS t
Fig. 1
c :
2p c
IV. UNDE ELASTICE
Energia ΔW transportata de unda in timpul Δt prin suprafata ΔS se regaseste in
volumul ΔV=ΔS·c·Δ t. Rezulta:
7W w V
I c wS t S t
Pentru unde monocromatice plane:
0
9 10mm
pp t p' cos t kx ; v t,x cos t kx
c
Cu formula de mediere temporala a functiei periodice de perioada T:
unde densitatea de energie medie a undei este
2
2
0 2
0
18
2
dW pw v
dV c
2 2
0
1 1
2
T
cos t kx cos t kx dtT
densitatea de energie medie a undei devine
2
2
2
0
11mpw cos t kx
c
Rezulta
2
2
0
122
mpw
c
IV. UNDE ELASTICE
Iar intensitatea undei este: 22
0 0
132
efmpp
Ic c
Obs. Pentru unde monocromatice sferice:
2
0
2 2
0
116
2
mp II c w
c r r
unde 2
0
02
mpI
c
reprezintă intensitatea undei emisă de sursa undei.
3 2
2
0
142
mm
c 'I '
2 2 2 2
0
115
2I c A ,A
2
0 0m m m mp' c ' si p' c v c A Cu relatiile:
rezulta pentru intensitatea undelor plane monocromatice expresiile alternative:
unde reprezinta presiunea efectiva sau acustica. 2ef mp p /
Mărimea Z = ρ0 c numită impendanță acustică caracterizeaza proprietatile elastice
ale mediului. Cu aceasta notatie, relatiile (13 si (15) devin
2
13efp
I 'Z
2 2115
2I Z A '