Curs Geostatistica

Faceți clic pentru editarea stilului de subtitlu al coordonatorului

GEOSTATISTICA

Note de curs

Curs nr.1

Experiment, eveniment Un experiment, experienţă sau probă este o

procedură sau o metodologie care se execută pentru verificarea unei ipoteze cu scopul validării sau invalidării acesteia şi care poate da un număr finit sau infinit de rezultate.

Exemple: extragere de carote mecanice dintr-o formaţiune

geologică măsurarea unei proprietăţi (radioactivitate,

densitate, porozitate etc.)

Experiment, eveniment

Rezultatul unei experiment se numeşte eveniment

Exemplu: pe un zăcământ, au fost săpate 3 sonde şi din

fiecare sondă s-au extras câte o carotă mecanică, la care au fost măsurate porozităţile. Se poate afirma că au fost realizate pentru acest zăcământ:

3 experimente şi au rezultat 19 evenimente

Experiment, eveniment

Nr. crt. Sonda 1 Sonda 2 Sonda 3

1 0,20 0,14 0,16

2 0,22 0,21 0,23

3 0,19 0,26 0,26

4 0,15 0,24 0,19

5 0,21 0,15 0,20

6 0,17 0,18

7 0,25

8 0,23

Tipuri de evenimente

Tipuri de evenimente - Eveniment aleatoriu este acela care

se poate produce sau nu la efectuarea unui experiment;

- Eveniment sigur este acela care se produce cu certitudine la orice efectuare a a unui experiement; se notează cu ;


- Eveniment imposibil nu se produce la nici o efectuare a experimentului; se notează cu ;

- Evenimente incompatibile; Doua sau mai multe evenimente sunt incompatibile daca nu se pot realiza impreuna

Click to edit the outline text format Second Outline

Level Third Outline

LevelFourth Outline Level Fifth Outline Level Sixth Outline Level Seventh Outline Level Eighth Outline Level

Ninth Outline LevelFaceți clic pentru a edita stilurile de text Coordonator Al doilea nivel

Al treilea nivel Al patrulea nivel

» Al cincilea nivel


Level Third Outline





Tipuri de evenimente - Evenimente

compatibile, Doua sau mai multe evenimente sunt compatibile daca se pot realiza impreuna

Evenimentul complementar, unui eveniment E, reprezintă multimea tuturor elementelor cu exceptia elementelor continute de evenimentul E

baE , ,, baE c


Un eveniment A1 implică un alt eveniment A2 (A1A2) dacă realizarea lui A1 atrage după sine şi realizarea lui A2.

Evenimentul A2 este evenimentul contrar evenimentului A1 şi se notează cu CA1, dacă realizarea lui A2 este echivalentă cu nerealizarea lui A1 .

Sistem complet de evenimente Câmp de evenimente

Evenimentele A1, A2, A3……An formează un sistem complet de evenimente dacă se realizează cu certitudine unul şi numai unul dintre aceste evenimente.

Câmp de evenimente. Prin definiţie, o mulţime K de evenimente formează un câmp de evenimente în următoarele condiţii:

1) Dacă A K, atunci şi CA K 2) Dacă A K şi B K, atunci A B K 3) Când mulţimea K are o infinitate de evenimente,

din Ai K rezultă: 4) Evenimentul sigur K

KAU i

K

i

1

Combinatia evenimentelor

Reuniunea evenimentelor Evenimentul E reprezintă reuniunea

evenimentelor E1 şi E2 daca evenimentul E contine toate elementele commune si necomune ale celor două evenimente, şi se notează:

21 EEE


Intersectia evenimentelor Evenimentul E reprezintă intersectia

evenimentelor E1 şi E2 daca evenimentul E contine toate elementele commune ale celor două evenimente, se noteaza:

21 EEE

Click to edit the outline text format

Second Outline Level Third Outline

LevelFourth

Outline Level Fifth

Outline Level

Sixth Outline Level

Seventh Outline Level

Eighth Outline Level





Reuniunea evenimentelor Intersectia evenimentelor


19.0,15.01 E

24.0,18.02 E

24.0,15.021 EE

19.0,18.021 EE

Proprietaţile evenimentelor

- comutativitate A B = B A; A B = B A - asociativitate A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C - absorţie (A B) A = A (A B) = A - distributivitate A (B C) =(A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) - complementaritate (A CA) B = B

(A CA) B = B


Level Third Outline





Exemplu

S=(2,3,4,5,6,7,8,9) A=(2,4,6) B=(2,3,4,5,7) C=(1,5,8,9) AUB=(2,3,4,5,6,7) =(2,4)BA

CA

Determinarea faciesurilor prin combinarea evenimentelor

Probabilitate

Probabilitatea unui eveniment al unei experienţe care are un număr finit de cazuri egal-probabile este egala cu raportul dintre numărul cazurilor favorabile realizării evenimentului şi numărul cazurilor egal-probabile ale experienţei

Probabilitate

Dacă experimental E se efectuează de "n" ori şi evenimentul A s-a realizat de "m" ori, raportul m/n se numeşte frecvenţă relativă. Pentru valori mari ale lui "n", raportul m/n tinde către o valoare limită, adică


Level Third Outline





Probabilitate

n

mP

n lim

Mărimea P este numită probabilitatea evenimentului A şi se notează cu P(A) = p


Level Third Outline






Level Third Outline





Frecvenţă şi probabilitate

Legile probabilităţilor

Axioma nr.1-pentru orice eveniment A, 0 P(A) 1

Axioma nr.2

- probabilitatea evenimentului sigur este întotdeauna egală cu 1, adică: P() = 1

Axioma nr.3

- probabilitatea evenimentului imposibi "" este egală cu 0, P() = 0


Axioma nr.4

- probabilitatea evenimentului contrar evenimentului A, P(CA) este egală cu:

P(CA) = 1 - P(A)Axioma nr.5

- considerând două evenimente A1 şi A2, atunci,

P(A1 A2) = P(A1) + P(A2) - P(A1 A2)


Level Third Outline





Legile probabilităţilorAxioma nr.6

Daca A1 si A2 sunt doua evenimente incompatibile (exclusive mutuale)

( ) atunci: Prob( )= Prob(A1) +Prob(A2)

21 AA

21 AA


Level Third Outline






Generalizand axioma nr.6 pentru n evenimente incompatibile (exclusiv mutuale)

)(Pr)(Pr)(Pr)(Pr

)(Pr

121

321

n

iin

ni

AobAobAobAob

AAAAAob


Inegalitatea lui Boole

Din inegalitatea lui Boole rezulta inegalitatea lui Bonferroni,data de expresia:

)(Pr)(Pr)(Pr 2121 AobAobAAob

)(Pr)(Pr1)(Pr1 2121 AobAobAAob

Probabilitatea condiţionată.

probabilitatea evenimentului B, condiţionată de realizarea evenimentului A,

probabilitatea evenimentului A, condiţionată de realizarea evenimentului B

APBAPBPA /

BPABPAPB /

Dependenţa şi independenţa evenimentelor

P(A1 A2 A3… An) = P();P() = 1

Într-un sistem complet de evenimente :

Doua evenimente A şi B sunt indepen-dente dacă:

P(A B) = P(A).P(B)

EXEMPLU

Se consideră experimentul S, S=(1,2,3,4,5,6) Evenimentul A=(2,4,6) Evenimentul B=(1,2,3,4) Evenimentul C=(1,3,5) Sa se calculeze p(A), p(B), p(C), p(AUB), p(AUC), p(BUC), BAp CAp CBp

Curs nr.2

Variabile aleatoare

Variabila aleatoare este o mărime care ia valori din mulţimea valorilor posibile în funcţie de rezultatul unui experiment.

Se defineşte variabilă aleatoare, în cazul câmpului finit, o funcţie reală X definită pe un sistem complet de evenimente.

Tipuri de variabile aleatoare

Variabilele aleatoare pot fi: variabile aleatoare discrete şi variabile aleatoare de tip continuu;

- variabilele aleatoare discrete sunt variabilele care au o mulţime finită sau numărabilă de valori;

- variabilele aleatoare de tip continuu sunt variabilele ale căror mulţime de valori este un interval al dreptei reale.

Repartiţia unei variabile

Repartiţia unei variabile aleatoare discrete este tabelul format din valorile posibile (prima linie) şi probabilităţile respective (a doua linie). Repartiţia variabilei aleatoare discrete este reprezentata de tabloul:

n

n

PPPP

xxxxX

321

321: 11

n

iiP

Legea de probabilitate

Se numeşte lege de probabilitate corespondenţa dintre valorile posibile ale variabilei aleatoare şi probabilităţile corspunzătoare.

Corespondenţa între valorile variabilei aleatoare şi probabilităţile corespunzătoare este o funcţie care poartă numele de funcţie de repartiţie şi se notează cu F(x).

Funcţia de repartiţie

Se numeşte funcţie a de repartiţie (sau de distribuţie) a variabilei aleatoare X aplicaţia:

Data de

1,0: RFF x

xXPxF

Proprietatile functiei de repartitie

Pentru orice Rx 1.1

xLimF

x

0.2 xLimF

x

10.3 xF

xF

xFhxF .4

0hRx

este nedescrescătoare pentru orice

si pentru orice

5. Funcţia de repartiţie este F(x), este o funcţie continuă la stânga, adică:

Orice aplicaţie

care satisface condiţiile 1,…..5 este o funcţie de repartiţie a unei variabile aleatoare

0,

0

hxFhxLimFx

1,0: RFF x

Reprezentarea grafică a unei funcţii de repartiţie continue

Permeabilitatea rezultată din carote mecanice, logaritmul permeabilităţii şi probabilitatea calculată


Functia de repartitie

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

200 400 600 800 1000 1200 1400

xi

pi Series1


Functia de repartitie

0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.00

5.00 5.80 6.60 7.40

ln xi

pi Series1

Functia de discontinuitate cu xo punct de discontinuitate

Functia de repartitie a unei variabile aleatoare discrete

Densitatea de repartiţie

Se defineşte densitate de probabilitate (densitate de repartiţie) sau densitatea funcţiei de repartiţie:

f(x) = F'(x)

Variabila aleatoare X are o densitate de repartiţie (sau de probabilitate) dacă există o aplicaţie astfel ca

x

dxxfxF

),0[: Rxff

Densitatea de repartiţie f(x) reprezintă de fapt, frecventa evenimentului în vecinătatea lui x.

Cea mai bună interpretare fizică a lui f(x) este derivata lui F(x)

Proprietatile densitatii de repartitie

Rxxf ,0

1

dxxf

dxxfbxaobbabab

a Pr,,

Densitatea de repartitie pentru repartitii empirice

Densitatea de repartiţie este cunoscută ca histogramă.

Histograma este un grafic în coordonate rectangulare care are în ordonată frecventele relative şi în abscisă valorile intervalelor de clasă.

Distribuţie uniformă

Distribuţie normală

Distribuţie oblică la dreapta

Distribuţie oblică la stânga

Valorea medie a unei variabile aleatoare continue

Dacă X este o variabilă aleatoare de tip continuu, cu densitatea de repartiţie f , media variabilei aleatoare este:

dxxfxXM

dxxfxXMb

a

Repartiţii empirice

Pentru repartiţii empirice, fiecare valoare individuală a variabilei aleatoare X, x1, x2, …xN, apare de n1…..nN ori frecvenţe absolute, repartiţia empirică este:

N

N

nnn

xxxX

...

...

21

21

Valorile caracteristice ale unei variabile aleatoare discrete

Valoarea medie a variabilei aleatoare X cu repartiţia

m = M(x) =

n

iiiPx

1

n

n

PPP

xxxX

...

...:

21

21

Valoarea medie pentru repartiţii empirice

Nnn

xnx i

i

ii ,

i

ii N

nf

N

iiixfx

1

ii pf xMxpx ii

Proprietăţile mediei

M(a) = a M(aX) = aM(X) M(X+Y) = M(X) + M(Y) M(X.Y) = M(X).M(Y)

Medie pătratică şi Medie armonică

21

1

2

2

i

N

iii

n

xnx

N

i i

i

N

ii

x

n

nX

1

1

Medie geometrică

in ni

N

ixX

10

Media nu caracterizează împrăştierea valorilor.

DISPERSIA (VARIANŢA)

Variabila aleatoare X - M(x) se numeşte abatere faţă de medie. Valorile individuale ale abaterii sunt:

X1 - M(x)=X’1 X2 - M(x) =X’2 . . . xn - M(x) =X’n

Dispersia

Dispersia are valoarea medie a pătratului abaterii [X - M(x)], adică:

sau

222 XMXMXD

22 XMXMD

Proprietăţile dispersiei

02 aD

XDaaXD 222

YDXDYXD 222

Repartiţii empirice

Pentru repartiţiile empirice, dispersia se scrie:

N

ii

N

iii

n

xxnS

1

1

2

2

1

1

22

2

N

xNxS

n

ii

inN

Momentul iniţial

kk XM

XM1 22 XM

21222 XMXMD

Momentul centrat

kk XMXM

01 XMMXMXMXM

XDXMXM 222

Dependenţa dintremomentul iniţial şi momentul centrat

2122

312133 23

41

2121344 364

Valorile caracteristice pentru variabilele aleatoare continue

b

a

kk dxxfx

b

a

kk dxxfXMX

b

a

dxxfXMXXD 22

Indicatorii variaţiei (dispersiei)

Coeficientul de variaţie, abaterea medie pătratică

x

SCv

2SS

Asimetrie şi exces

33

A

32

23

A

33

4

E

Documents

Curs Geostatistica