Curs Mecanica Fluidelor

UNIVERSITATEA DIN BACU FACULTATEA DE INGINERIE

IULIAN FLORESCU

MECANICA FLUIDELORNOTE DE CURS PENTRU UZUL STUDENILOR

Editura ALMA MATER Bacu 2007

UNIVERSITATEA BACU

Tiparul executat sub comanda nr... UNIVERSITATEA din BACU Str. Spiru Haret nr. 9 Bacu Aprut n anul 2007

________________________________________________________________________________________________

PREFA Odat cu celelalte discipline tiinifice, mecanica fluidelor s-a dezvoltat rapid n ultimul timp, numeroasele cercetri efectuate lrgind mult cunotinele asupra comportrii fluidelor, ct i a numeroaselor probleme a cror rezolvare depinde de cunoaterea acestora. Paralel a crescut i numrul aplicaiilor n diverse ramuri ale tehnicii moderne, pentru a cror dezvoltare cunoaterea fenomenelor specifice fluidelor a devenit indispensabil. Lucrarea este rezultatul activitii didactice i tiinifice a autorului, profesor doctor inginer n cadrul Catedrei de Energetic, Mecatronic i tiina Calculatoarelor i se bazeaz pe concepia unitar de predare a acestei discipline n toate universitile tehnice din ar. Aceast lucrare ncearc s dea o prezentare a problemelor reprezentative ale disciplinei, precum i modul specific de rezolvare a lor. Lucrarea cuprinde pe ntinderea a 12 capitole probleme ale mecanicii fluidelor i o anex cu aplicaii ale principalelor capitole . Majoritatea capitolelor au un coninut teoretic pronunat cu demonstraii relativ simple i punctate cu exemple tehnice aplicative. Lucrarea se adreseaz n primul rnd studenilor facultilor cu profil mecanic i energetic i are ca scop aprofundarea i consolidarea sub aspect teoretic i aplicativ a cunotinelor legate de echilibrul sau micarea diferitelor tipuri de fluide. Totodat ofer soluii tiinifice pentru alegerea unor subiecte de cercetare aprofundat i este folositoare specialitilor din industriile de profil. Iulian Florescu

________________________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________ LISTA DE NOTAIIA aria At atmosfera fizic a (a x , a y , a z ) vectorul acceleraie a viteza de propagare a loviturii de berbec at atmosfer tehnic b limea deversorului; C coeficientul lui Chzy; viteza absolut n turbomaini; centru de caren; centrul de presiune c viteza sunetului; D diametrul E energia total unitar; modulul de elasticitate (solide) Eu numrul lui Euler fora F fora de greutate Fg exponentul politropic; frecvena; turaia turbomainii ns rapiditatea n funcie de putere nq rapiditatea n funcie de debit turaia unitar n1 Oxyz triedrul de referin Ox1y1z1 triedrul ataat unui corp n micare P perimetrul udat; p presiunea tensiunea unitar de suprafa pn

n

FmFp

fora masic fora de presiune fora de suprafa numrul lui Froude frecvena rezultanta forelor de inerie unitare rezultanta forelor masice exterioare unitare centrul de greutate acceleraia gravitaiei sarcina hidrostatic; energia specific; energia specific (sarcina) turbomainilor adncimea; presiunea static nlimea de aspiraie sarcina unui rotor real, fluidul perfect sarcina teoretic a unui rotor ideal cu un

FsFr f fi

fm G g HH0 Hs Ht

H t

numr infinit de pale; hr energia disipat (pierderea de sarcin) Ix(Iy,Iz) componenta impulsului pe axa Ox (Oy, Oz); momentul de inerie al suprafeei S fa de Ox (Oy, Oz) i ( j , k ) versorul axei Ox (Oy,Oz)

K k L llvM MaM0

momentul cinetic exponentul adiabatic lungimea; lucrul mecanic lungimea; lucrul mecanic; lungimea de amestec (Prandtl); lucrul mecanic unitar al forelor de viscozitate momentul rezultant numrul lui Mach vectorul moment n raport cu punctul O masa vectorul normalei

m

n

presiunea atmosferic (pat) presiunea critic presiunea dinamic presiunea manometric presiunea static debitul volumic; debitul surs punctiform; debitul QM debitul masic QG debitul gravific debitul unitar Q1l q debitul specific; R raza (cilindru, sfer); raza hidraulic; constanta gazelor perfecte; rezistena la naintare; raza de curbur rezultanta forelor exterioare R Re numrul lui Reynolds vectorul de poziie r r(,z) coordonata cilindric S suprafaa Sh numrul lui Strouhal s elementul de arc T temperatura absolut; perioada vectorul tangent la arcul ds t t timpul U potenialul forelor masice u(v,w) componenta vitezei pe axa Ox (Oy,Oz) u (v , w ) componenta pe Ox (Oy,Oz) a vitezei n micarea medie ul(vl,wl) pulsaiei componentei vitezei pe Ox(Oy,Oz) viteza de transport la turbomaini u V (u , v , w ) vectorul vitez V (u , v , w ) vectorul vitez n micarea medie V l (u l , v l , wl ) vectorul pulsaie al vitezei V viteza medie n seciune v volumul specific (masic) X(Y,Z) coordonata cartezian; componenta forei masice unitare pe Ox (Oy,Oz); valoarea adevrat a unei msurtori x(y,z) coordonata cartezian z variabila complex (planul z) W(z.t) potenialul complex coeficientul lui Coriolis;

pa pcr pd pm pst Q

_______________________________________________________________________coeficientul de compresibilitate izoterm (modulul de compresibilitate) circulaia vectorului vitez; intensitatea vrtejului greutatea specific rugozitatea absolut lungimea caracteristic; grosimea stratului limit; grosimea peliculei de lubrifiant; grosimea substratului laminar; grosimea (perete); l grosimea substratului (filmului) laminar modulul de elasticitate (fluide); coeficientul de viscozitate turbulent (Boussinesq) coeficientul rezistenei locale viscozitate dinamic; randamentul h randamentul hidraulic v randamentul volumic m randamentul mecanic viteza de deformaie volumic coeficientul lui Darcy; coeficientul pierderilor de sarcin lineare viscozitate cinematic produsul criterial densitatea tensiunea superficial a lichidului componenta tangenial a tensiunii unitare tensiunea tangenial ( , ) versorul axei tangeniale n triedrul lui Frenet 0 tensiunea tangenial pe perete funcia de deformaie potenialul vitezelor (planul z); funcia de curent (planul z) ( x , y , z ) vectorul vrtej

viteza unghiular

_____________________________________________________________________________________

CUPRINS Capitolul I. NOIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Generaliti .................................................................................................. 11 1.2. Caracteristicile fizice ale fluidelor ............................................................... 12 1.3. Proprieti fizice fundamentale ale fluidelor................................................ 13 1.4. Proprieti fizice specifice lichidelor .......................................................... 16 1.5. Proprieti specifice gazelor ........................................................................ 19 Capitolul II. STATICA FLUIDELOR 2.1. Definiia i obiectul staticii fluidelor .......................................................... 21 2.2. Ecuaiile generale ale hidrostaticii ............................................................. 22 2.3. Legea fundamental a hidrostaticii ...............................................................24 2.4. Ecuaia general a hidrostaticii n cmp gravitaional ..................................25 2.5. Echilibrul relativ al lichidelor .......................................................................26 2.6. Aciunea fluidelor n repaus pe perei solizi ............................................... 27 2.6.1. Aciunea fluidelor n repaus pe suprafee plane ....................................... 27 2.6.2. Aciunea fluidelor n repaus pe suprafee curbe deschise ......................... 30 2.7. Aciunea fluidelor n repaus pe suprafee curbe nchise ............................. 31 2.7. Plutirea corpurilor ....................................................................................... 34 3. Cinematica fluidelor .................................................................................... 3.1. Noiuni specifice ......................................................................................... 3.2. Micarea unei particule fluide ..................................................................... 3.3. Ecuaia continuitii .................................................................................... 37 37 38 43

4. Dinamica fluidelor ideale ............................................................................. 47 4.1. Ecuaiile lui Euler ........................................................................................ 47 4.2. Relaia lui Bernoulli pentru fluide ideale pe o linie de curent...................... 52 4.3. Relaia lui Bernoulli n micare semipermanent n lungul unei traiectorii ......................................................................... 52 4.4. Relaia lui Bernoulli n micare potenial nepermanent .......................... 54 4.5. Relaia lui Bernoulli pentru cureni cu seciunea finit ............................... 54 4.6. Calculul debitului prin orificii ..................................................................... 56 4.7. Teorema impulsului i teorema momentului cinetic n cazul micrii permanente a fluidelor ....................................................................................... 58 4.8. Teorema impulsului i teorema momentului cinetic aplicate tuburilor de curent n micare permanent ............................................................................. 61 5. Dinamica fluidelor reale ...............................................................................63

_____________________________________________________________________________________ 8

5.1. Micarea laminar a fluidelor reale ............................................................. 5.2. Starea de tensiune ntr-un fluid n micare .................................................. 5.3. Ecuaiile de micare a fluidelor reale sub forma dat de Cauchy (n componente de tensiuni) ..................................................................................... 5.4. Ecuaiile Navier-Stokes pentru micarea laminar a fluidelor reale .................................................................................................................... 5.5. Relaia lui Bernoulli pentru o linie de curent, n micarea laminar a fluidelor reale ...................................................................................

63 63 65 66 70

6. Analiza dimensional i teoria similitudinii ............................................... 73 6.1. Metodele analizei dimensionale .................................................................. 73 6.2. Noiuni despre similitudine ......................................................................... 76 7. Noiuni de teoria hidrodinamic a lubrificaiei ......................................... 78 8. Teoria stratului limit .................................................................................. 85 8.1. Ecuaiile de micare ale stratului limit ...................................................... 86 8.2. Desprindea stratului limit ........................................................................... 89 9. Micarea turbulent a fluidelor reale ......................................................... 9.1. Structura micrii turbulente ....................................................................... 9.2. Tensiunea tangenial n micarea turbulent ............................................. 9.3. Distribuia vitezelor n micarea turbulent ................................................ 9.4. Ecuaia Reynolds pentru micarea turbulent a fludelor reale .................... 9.5. Calculul pierderilor de sarcin .................................................................... 9.6. Conducte netede i conducte rugoase; grosimea stratului laminar ............................................................................................................... 9.7. Determinarea coeficientului pierderilor de sarcin liniare .......................... 9.8. Calculul pierderilor locale de sarcin .......................................................... 91 91 92 94 94 96 97 98 99

10. Curgerea prin orificii i ajutaje ...............................................................101 11.1. Calculul debitului unui orificiu mic, sub sarcin constant .....................101 10.2. Calculul debitului orificiului mare .......................................................... 102 10.3. Calculul debitului orificiului necat ........................................................ 103 10.4. Curgerea sub sarcin variabil, prin orificii situate la baza rezervorului. Timpul de golire al unui rezervor .................................................................... 104 10.5. Curgerea sub sarcin variabil i cu debit afluent constant ..................... 105 10.6. Curgerea sub sarcin variabil, printr-un orificiu necat ......................... 107 10.7. Curgerea prin ajutaje ............................................................................... 108 10.8. Jeturi de fluid .......................................................................................... 111 11. Micri permanente n conducte sub presiune ...................................... 113 11.1. Calculul conductelor compuse n serie ................................................... 114

CUPRINS 9 _____________________________________________________________________________________

11.2. Calculul conductelor compuse n paralel ................................................ 115 11.3 Calculul conductelor cu debit continuu i terminal ................................. 116 11.4 Calculul conductelor n sifon ................................................................... 118 12. Micarea nepermanent n conducte sub presiune ............................... 12.1. Lovitura de berbec n conducte sub presiune .......................................... 12.2. Ecuaiile fenomenului lovitura de berbec ............................................... 12.3. Soluiile generale ale ecuaiilor cu derivate pariale ale fenomenului lovitura de berbec ......................................................... 121 122 123 126

Bibliografie ........................................................................................ ............. 129

_____________________________________________________________________________________ 10

Introducere 11 _____________________________________________________________________________________

1. INTRODUCERE 1.1. Generaliti Mecanica fluidelor reprezint o diviziune a Mecanicii teoretice, care studiaz micrile, respectiv repausul fluidelor ideale sau reale, compresibile sau incompresibile, sau interaciunea dintre fluidele n micare sau repaus i corpurile solide cu care acestea vin n contact. Mecanica fluidelor se mparte n trei pri: statica, cinematica, i dinamica. Statica fluidelor studiaz repausul fluidelor i aciunile exercitate de acestea asupra suprafeelor solide cu care acestea vin n contact. Cinematica fluidelor studiaz micarea fluidelor fr s se in cont de forele care intervin i modific starea de micare. Dinamica fluidelor abordeaz micarea fluidelor considernd forele care intervin i transformrile energetice produse n timpul micrii. Denumirea de Mecanica fluidelor a aprut relativ recent (n secolul XX) i este atribuit studiului general al micrii i al interaciunii fluidelor cu suprafeele corpurilor solide cu care vin n contact. Iniial cu acest studiu se ocupa Hidraulica, cuvnt care deriv din grecescul hdraulos, provenit din legtura a dou cuvinte: hdor ap i aulos - conduct, i care reflect una din primele probleme practice care a preocupat oamenii. Aceast tiin a cunoscut o diversificare i dezvoltare n strns legtur cu problemele teoretice privind Aerodinamica (stratul limit, rezistena la naintare, teoria profilurilor aerodinamice), Hidraulica (micarea lichidelor cu suprafa liber, micarea aluviunilor, micarea prin medii poroase) i Dinamica gazelor. Datorit complexitii fenomenelor aprute n micarea fluidelor reale, a aprut necesitatea experimentrii pe modele n tunele aerodinamice i apoi pe baza teoriei similitudinii s-au extins rezultatele la problemele tehnice care au fost modelate. Rezultatele deosebite acumulate de Mecanica fluidelor au permis ca n ultimul timp s apar noi domenii tehnice precum: transportul pe ap i subacvatic, hidrotransportul, meteorologia , exploatarea modern a zcmintelor etc. Astzi Mecanica fluidelor este o disciplin mai mult teoretic, care studiaz legile general valabile pentru starea de repaus sau micare a fluidelor. Fenomenele proprii lichidelor, gazelor sau aerului sunt studiate respectiv de hidraulic, termotehnic i aerodinamic sau de alte discipline specifice cum ar fi transferul de cldur, construcii hidrotehnice, construcii aerospaiale .a. n funcie de condiiile impuse la limit se observ dou feluri de aplicaii ale dinamicii fluidelor i anume: a) curgerea fluidului n jurul unui corp solid considerat izolat (avioane, automobile, paraute) fenomen la care urmrim n mod preponderent fora necesar naintrii; b) corpul solid delimitez micarea fluidului (micarea n conducte, canale) la care intereseaz transportul de energie. Ca o remarc general putem afirma c transportul energiei se realizeaz numai cu ajutorul fluidelor n micare (ap, vapori, petrol, gaz natural, aer comprimat). Mainile hidraulice i pneumatice, utilizeaz micarea fluidelor n domenii delimitate de frontiere solide, care pot fi i ele n micare. Se deosebesc mainile care

Mecanica fluidelor 12 _____________________________________________________________________________________

preiau energia mecanic i o transmit fluidului (pompe, ventilatoare), ct i maini care utilizeaz energia fluidului pentru a crea alte forme de energie (motoare). S-au diversificat foarte mult domeniile n care se studiaz i utilizeaz micarea fluidelor: hidrotransportul, fenomene de filtrare, poluarea, mecanica suspensiilor, aeroelasticitatea, magnetohidrodinamica i altele. 1.2. Proprieti fizice ale fluidelor Mecanica teoretic definete dou mari categorii de corpuri materiale: corpuri solide rigide i solide deformabile i corpuri fluide, care cuprind lichidele i gazele. Fa de cele trei stri de agregare cunoscute: solid, lichid, gazoas, putem aminti i o a patra form: plasma, care se definete ca o stare ale crei proprieti sunt determinate de existena electronilor i ionilor n stare liber. Fluidele sunt corpuri materiale care se caracterizeaz n primul rnd prin proprietatea de fluiditate. tim c moleculele unui corp au o stare de agitaie nentrerupt, care este funcie de temperatur i c ntre ele exist fore de atracie (de coeziune). La corpurile solide moleculele ocup locuri bine determinate (stabile), n jurul crora execut oscilaii de amplitudine mic funcie de temperatur, aceste corpuri avnd form i volum fix, sub aciunea unor fore exterioare. Spre deosebire de corpurile solide, lichidele i gazele, sub influena unor fore exterioare relativ mici, pot cpta deformaii orict de mari, astfel nct iau forma recipientului solid n care se gsesc. n consecin lichidele i gazele nu au form proprie i ele se caracterizeaz prin posibilitatea de a deplasa foarte uor particulele din care sunt formate, datorit forelor de coeziune mici. Fluidele trebuie deosebite de materialele care sunt deformabile (situate ntre fluide i solide) cum ar fi pastele sau metalele topite, de a cror studiu se ocup alt tiin numit reologie. Lichidele reprezint fluide care sunt practic incompresibile i sub aciunea forelor gravitaionale iau forma vasului n care exist fr a umple acest vas. Spre deosebire de lichide, gazele sunt fluide la care forele de coeziune sunt mult mai mici ca la lichide i care umplu n totalitate recipientul n care se gsesc, oricare ar fi forma i dimensiunea lui. Mecanica fluidelor studiaz medii continue, omogene i izotrope. Un mediu este continuu i omogen, dac are aceeai densitate n orice punct i este izotrop dac prezint aceleai proprieti n toate direciile. Exist la fluide linii, puncte, sau suprafee de discontinuitate, care prezint condiii specifice la limit. Ipoteza de continuitate Omogenitatea i izotropia permit ca proprietile i relaiile stabilite pentru o particul fluid de dimensiuni mici determinate de condiia neglijrii micrii proprii a moleculelor sau de micarea brownian la gaze s fie valabile pentru tot fluidul. Ipoteza general a continuitii impune pentru mrimile fizice: densitate, vitez, presiune, temperatur, funcii care depind de coordonatele punctului i de timp i care sunt continue cu excepia unor linii, puncte, suprafee de discontinuitate. n studiul mecanicii fluidelor utilizm diferite modele de fluid, n funcie de ipotezele simplificatoare pentru calcule, cum ar fi: fluid uor (fr greutate), fluid ideal (fr viscozitate), fluid incompresibil, la care volumul unei mase determinante este

Introducere 13 _____________________________________________________________________________________

constant, fluid real (compresibil i vscos) , fluide vscoase i incompresibile (lichidele), fluide fr greutate dar compresibile (gazele). Mecanica fluidelor studiaz fenomenele att cu metode experimentale ct i teoretice, de cele mai multe ori combinndu-le. n studiul teoretic se utilizeaz teoremele generale ale mecanicii (teorema impulsului, teorema momentului cinetic, teorema energiei cinetice, legi de conservare), utiliznd un calcul matematic complex. Metodele experimentale de studiu se aplic pentru verificarea calculelor teoretice, pentru determinarea unor legi generale, determinarea unor corecii utiliznd modele fizice la alte scri, rezultatele extinzndu-se prin similitudine. 1.3. Proprieti fizice fundamentale ale fluidelor a) Densitatea (greutatea specific) Densitatea se definete ca masa unitii de volum: m d m = lim = (1.1) V 0 V dV unde: m este masa unui element de volum V. Admind ipoteza continuitii, densitatea este o funcie continu de coordonatele punctului i de timp: = (x,y,z,t). Densitatea se msoar n kg/m3 i are aceeai valoare n orice punct al fluidului omogen. Inversul densitii se numete volum specific sau volum masic: 1 m3 (1.2) v= kg Greutatea specific este greutatea unitii de volum: dG N = (1.3) d V m3 ntre densitate i greutate specific exist relaia: = g Densitatea variaz funcie de presiune i de temperatur. Pentru lichide variaia n raport cu presiunea poate fi neglijat. Densitatea fluidului scade odat cu creterea temperaturii. Pentru ap densitatea maxim este n jurul valorii de 4oC i are valoarea de 1kg/m3. Variaia densitii apei funcie de temperatur este redat n figura 1. (kg/m3) 1 0,99 0,98 0,97 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 (oC)

Fig. 1 Variaia densitii apei n funcie de temperatur


La gaze, variaia densitii i greutii specifice cu temperatura i presiunea este deosebit de mare i este dat de ecuaia de stare.b) Compresibilitatea izotermic a fluidelor este proprietatea de variaie a densitii (volumului), sub influena variaiei presiunii. Dac are loc o variaie de presiune p pentru un fluid cu volum V i presiune p, se V produce o variaie relativ de volum proporional cu p, dat de relaia: V V (1.4) = p V unde este coeficient de compresibilitate cubic (m2/N), iar semnul minus arat c unei creteri a presiunii i corespunde o scdere a volumului. n majoritatea fenomenelor studiate considerm lichidele ca fluide incompresibile. De exemplu apa este de 100 de ori mai compresibil dect oelul. Totui exist fenomene care se studiaz innd cont de compresibilitatea lichidelor, cum ar fi lovitura de berbec sau sonicitatea (teoria sonicitii a fost fondat de Gogu Constantinescu n 1916, un mare savant romn care a trit n Anglia). Gazele sunt mai compresibile dect lichidele. Se poate neglija compresibilitatea gazelor pentru viteze mai mici de 0,6c (c este viteza sunetului). Definim modulul de elasticitate cubic ca inversul modulului de compresibilitate cubic: 1 dP (1.5) = = V dV Relaia poate fi exprimat i funcie de densitatea . Pornind de la condiia ca n procesul de comprimare masa s rmn constant: V = C sau: dV + V d = 0 dV d = Separnd variabilele obinem: V de unde: d = (1.6)

tiind c viteza de propagatre a sunetului stabilit de Newton este: c = rezult:

, (1.7)

c=

dp = d

1 d dp

Deoarece =

1

=

1 dp i la fluide incompresibile tinde ctre zero, rezult d

d = 0 , deci c , adic o propagare instantanee a sunetului, ceea ce este n dp contradicie cu realitatea fizic. Prin urmare, n fenomenele legate de propagarea undelor de presiune n medii fluide este necesar considerarea proprietii de compresibilitate a fluidului.

Introducere 15 _____________________________________________________________________________________

Micrile n fluide compresibile pot fi clasificate n funcie de viteza pe care o au fa de viteza sunetului prin numrul lui Mach (Ma), care este adimensional i ne d raportul dintre viteza v i viteza sunetului c (celeritate) n mediul respectiv: v Ma = (1.8) c Pentru Ma < 1, micarea este subsonic, iar pentru Ma > 1, micarea este supersonic.b) Viscozitatea Proprietatea de viscozitate a fost explicat i definit diferit de oamenii de tiin: - Newton a considerat c viscozitatea este o consecin a forelor de coeziune care reacioneaz la deplasarea relativ a particulelor de fluid. Aceast ipotez nu poate fi valabil pentru gaze, la care distanele intermoleculare sunt mari i forele de coeziune neglijabile. - Maxwel explica viscozitatea fluidelor, prin capacitatea de a face s apar fore, atunci cnd se produc variaii brute ale formei fluidului. Putem concluziona c dac fluidul este n micare, n diferite plane de separaie apar fore sau tensiuni tangeniale (fore raportate la aria suprafeei), care se opun variaiei formei volumului considerat, frneaz micarea i modific repartiia vitezelor. Viscozitatea reprezint mecanismul transmiterii micrii n fluid. Viscozitatea se mai poate defini ca o proprietate comun tuturor fluidelor, prin care cu fore suficient de mici se pot produce deformaii orict de mari, cu viteze de deformare mici. Considerm un paralelipiped dreptunghic, cu aria bazei S i nlimea h, figura 2.S Al All h A D B Dl Dll v Bl B Cll

Cl

Cll F

Fig. 2. Determinarea forei de viscozitate

Suprafaa AIBICIDI alunec cu viteza v fa de baz, fora necesar pentru a imprima aceast vitez fiind: v F = S (1.9) h relaie care a fost determinat experimental i unde este coeficient dependent de natura fluidului i se numete viscozitate dinamic. Stratul aderent la plac are aceeai vitez v cu placa. Atracia dintre acest strat i urmtorul face ca i acesta s fie antrenat cu o vitez mai mic vI , astfel nct diferena creat s produc micarea, .a.m.d.


g Unitatea de msur pentru coeficientul de viscozitate dinamic este poise cm s kg n sistemul vechi CGS, sau poisseuille , n sistemul internaional. Tensiunea ms tangenial ce apare ntre dou straturi infinit vecine (h dn), (v dv) este: F dv = = (1.10) S dn Aceast tensiune are tendina de a egala vitezele celor dou straturi, deci se opune micrii stratului cu vitez mai mare (are sens opus micrii acestui strat). Fluidele ale cror tensiuni tangeniale de viscozitate n micare laminar sunt date de relaia (1.10), se numesc newtoniene. Raportul dintre viscozitatea dinamic i densitate se numete viscozitate cinematic: = (1.11) Unitatea de msur n sistemul internaional SI, pentru viscozitatea cinematic este m2/s, iar n vechiul sistem CGS este stockes (cm2 /s). Cteva valori pentru viscozitatea cinematic la temperatura normal pentru diferite fluide sunt prezentate n tabelul 1. Tabelul 1 Fluidul Ap Benzin Alcool Petrol Ulei Glicerin Aer 2 6 -6 -6 -6 m /s 10 0,6510 1,3310 2,510 1,710-4 8,710-4 7,410-3

Variaia viscozitii cu temperatura este diferit pentru lichide i gaze. La lichide scade cu creterea temperaturii, iar la gaze crete.1.4. Proprieti specifice lichidelor

Adeziunea este proprietatea ce rezult din atracia dintre moleculele unui fluid i cele ale suprafeei corpului solid cu care vine n contact. Dac atracia intermolecular a lichidului este mai mic dect cea dintre lichid i perete, atunci lichidul ud peretele (ader la acesta). Ca exemplu putem da apa, care ader la un perete de sticl. n caz contrar spunem c lichidul nu ud pereii (de exemplu mercurul). La gaze adeziunea este neglijabil.d1 r2 r1 d2 dS2 dS1 dS1 dS2

Fig. 3 Suprafa de separaie n echilibru

Introducere 17 _____________________________________________________________________________________

Experimental s-a constatat c suprafaa liber a unui lichid tinde s-i micoreze aria. Aceasta se explic prin faptul c fiecare molecul din suprafaa de separaie este atras de moleculele vecine, iar rezultanta acestor fore este ndreptat spre interior. O mas oarecare de lichid i modific forma astfel ca la un volum dat s fie suprafaa minim (de exemplu: forma sferic a picturilor de ap).Tensiunea superficial , este devinit prin fora ce se exercit tangenial pe unitatea de lungime. Ea modific presiunea n lichid. Pentru a demonstra acest lucru considerm un element din suprafaa de separaie, (un dreptunghi curbiliniu) care are laturile dS1 i dS2 , figura 3. Se observ c:d 1 = d S1 r1 i: d2 = d S2 r2

Proiectnd forele elementare pe normal i tiind c sin sin

d2 d2 , obinem: = 2 2 d2 d S2 2 d S1 2 = d S1 r 2 (1.12) 2 d S d 1 = d S d S1 2 2 r1 2 Suma acestor dou fore trebuie s echilibreze fora care rezult din diferena de presiune de pe cele dou fee ale suprafeei de separaie p: d S2 d S1 F = p d S1 d S 2 = d S1 + d S2 r1 r2 Dup simplificri rezult: 1 1 p = + (1.13) r r 2 1 relaie care este cunoscut sub denumirea de formula lui Laplace.

d 1 d 1 = i 2 2

Capilaritatea reprezint consecina tensiunii superficiale pentru tuburi subiri.

2R

r

z

z

Fig. 4 Tub capilar


Dac introducem n ap un tub de sticl de diametru mic (sub un milimetru) apa ud bine sticla, formnd un menisc concav, iar diferena de presiune este ndreptat n sus, apa urcnd n tub pn ce diferena de nivel z echilibreaz aceast diferen de presiune, figura 4. ( 1 2 ) z = 1 + 1 (1.14) r r 2 1

unde: 1 i 2 sunt greutile specifice ale apei, respectiv aerului. Considernd c suprafaa meniscului are aproximativ forma unei calote sferice, (r1 = r2 = R), relaia 1.14 devine: r R ( 1 2 ) z = ( 1 2 ) z = 2 2 cos unde R este raza tubului i este unghiul de contact al apei cu tubul. Neglijnd 2 n raport cu 1, putem scrie c: R z = 2 cos iar dac 0, obinem legea lui Jurin ntlnit n fizic: 2 2 (1.15) z=h= = R gR Pentru lichide neaderente (mercurul fa de sticl), meniscul este convex iar n tubul capilar se formeaz o denivelare (z < 0). Studiul fenomenelor capilare prezint importan n studiul fenomenelor de infiltraii, n msurtori efectuate cu aparate ce cuprind tuburi capilare .a. Absoria i degajarea gazelor Majoritatea gazelor se dizolv (ptrund prin difuziune) n lichide. Absoria este un proces fizico-chimic i se produce dac concentaia componentelor gazelor este mai mare dect cea corespunztoare lichidului la presiunea i temperatura respectiv. Absorbia crete odat cu creterea presiunii i scade odat cu creterea temperaturii. La presiune i temperatur normal n ap se dizolv 2% gaze n greutate: astfel este posibil viaa florei i faunei acvatice. Dac componenta fazei absorbante (lichidul) este mai mare dect cea a fazei absorbate (gazul) fenomenul se produce invers i se numete desorbie. Desorbia crete odat cu creterea presiunii. Dac n anumite poriuni ale unui lichid n micare presiunea scade pn la valoarea presiunii de vaporizare la temperatura dat se produce vaporizarea lichidului nsoit de degajare de gaze dizolvate. Apare fenomenul numit cavitaie, un fenomen care este duntor pentru mainile i instalaiile hidraulice. Bulele de vapori i de gaz, ajung n zone cu presiuni mai mari i se recondenseaz producnd suprapresiuni i creteri de temperatur mari, precum i zgomote. Aceast ipotez nu a putut explica de ce metalele cu rezisten mecanic mai mic sunt mai rezistente dect metalele cu rezisten mecanic mare (de exemplu: bronzul fa de oel). O alt ipotez, chimic, explic distrugerea metalelor prin faptul c vaporii i gazele degajate pun n libertate oxigenul atomic, care este foarte activ chimic i corodeaz metalul.

Introducere 19 _____________________________________________________________________________________

Ipoteza termochimic pune la baza fenomenului temperaturile foarte mari (mii de grade) care apar. Exist i o ipotez electric a fenomenului de cavitaie, care se bazeaz pe diferena de potenial dintre bulele de gaz i lichid. Cavitaia este un fenomen complex, care se aplic prin ansamblul tuturor acestor ipoteze. Presiunea de vaporizare crete odat cu temperatura unui lichid i este mai mare pentru aceeai temperatur la lichidele volatile, figura 5.Pv

1 at alcool 0,062 0 20 ap\ 40 60 80 100

t (oC)

Fig. 5 Variaia presiunii de vaporizare n funcie de temperatur

1.5. Proprieti specifice gazelor

Gazele datorit spaiilor intermoleculare mari sunt fluide mult mai uoare i mai compresibile dect lichidele. Gazele ocup prin expansiune tot volumul disponibil (coeziunea este neglijabil). Datorit compresibilitii accentuate, densitatea variaz mult cu presiunea la o temperatur dat. Ecuaia de stare Clapeyron-Mendeleev se exprim pentru o mas de gaz m dat, de volum V: p V = mRT sau: (1.16) p = RT nlocuim pe R cu obinem:

p

=

T

kJ unde: este constanta universal a gazelor perfecte 8,31 , iar este masa k mol o K molar. Gazele care satisfac ecuaia (1.21) se numesc gaze perfecte. Dac se ia n consideraie m expresia densitii p = ecuaia (1.20) se scrie sub forma V m pV = mRT = T . (1.17)

n studiul repausului sau al micrii unui gaz perfect (fr frecri sau oc) se deosebesc urmtoarele legi de variaie a densitii n funcie de presiune: izocora =


const., izoterma exterior) p

p

= const., adiabata (n care gazele nu schimb cldur cu mediul p

k

= const., unde k este exponentul adiabatic i politropa

n

= const., unde

n este exponentul politropic. Dac ntr-un volum dat se afl un amestec de gaze atunci presiunea parial a fiecrui gaz este egal cu presiunea pe care ar exercita-o dac ar ocupa singur ntregul volum, iar presiunea total este egal cu suma presiunilor pariale (legea lui Dalton).

Statica fluidelor 21 _____________________________________________________________________________________

2. STATICA FLUIDELOR 2.1. Definiia i obiectul staticii fluidelor Statica fluidelor studiaz echilibrul fluidelor i aciunea pe care acestea le exercit asupra corpurilor solide cu care vin n contact. ntr-un fluid n repaus nu apar fore de viscozitate, ele fiind condiionate de deplasarea relativ a particulelor. Rezult c n starea de repaus proprietatea de viscozitate nu se manifest i prin urmare relaiile din statica fluidelor sunt stabilite pentru fluidele perfecte (pentru fluide incompresibile i compresibile). Un fluid n repaus se manifest ca un fluid ideal (nevscos) relaiile fiind valabile i pentru fluide reale (vscoase). Un fluid n repaus este acionat de dou categorii de fore, care l echilibreaz: forele masice i forele de suprafa. Forele masice sunt analoage celor ntlnite n mecanica corpurilor rigide i se datoreaz prezenei cmpurilor exterioare. Cele mai obinuite fore masice ntlnite sunt cele de greutate datorate cmpului gravitaional exterior masei de fluid considerate. n cazul unui repaus relativ (fluidul se afl n repaus fa de un sistem de referin mobil care execut o micare accelerat fa de un sistem de referin fix), pe lng forele de greutate apar i forele de inerie. Forele de suprafa joac rolul forelor de legtur din mecanica rigidului. Pentru un fluid n repaus forele de suprafa sunt fore de presiune fiind compresiuni normale la elementele de suprafa. Pentru a demonstra acest lucru separm cele dou poriuni A i B ale unui fluid aflat n echilibru prin seciunea S figura 6.A S M

FS

B

Fig. 6 Echilibrul unei particule de fluid

Fiecare dintre cele dou poriuni trebuie s fie n echilibru. Considernd echilibrul poriunii A, putem nlocuim efectul poriunii B printr-o for de suprafa care este o compresiune. O for elementar F este normal la elementul de suprafa S deoarece n cazul n care ar fi nclinat componenta sa tangenial ar strica echilibrul fluidului. Prin definiie presiunea n punctul M este: F d F p(M ) = lim = (2.1) S 0 S dS Rezult c presiunea este n funcie de coordonatele punctului, valoarea ei nu depinde de orientarea arbitrar a seciunii S care trece prin punctul M. Presiunea ntr-un punct fiind aceeai pe orice direcie, este o mrime scalar. Pentru a demonstra aceasta detam din fluidul n echilibru tetraedrul OABC aa cum rezult din figura 7.


z C

PnS

Py

zx 2

PxB

yz 2y

i k Pz

j

x

A

xy 2

Fig. 7 Particul de fluid n echilibru

Introducem pe feele tetraedrului forele elementare de presiune (compresiuni normale). Considerm n normala la suprafaa ABC (dirijat spre exteriorul volumului de fluid) i S mrimea acestei suprafee. Considerm fora masic (elementar) unitar f m ( X , Y , Z ) i px, py, pz, pn presiunile n lungul axelor de coordonate i al normalei, ecuaiile de echilibru pe direciile axelor sunt: xyz yz =0 p x 2 pn S cos(n ,i ) + X 6 xyz zx (2.2) pn S cos(n ,j ) + Y =0 py 2 6 xyz xy =0 p z 2 pn S cos(n ,k ) + Z 6 Deoarece: yz zx xy S cos(n ,i ) = , S cos(n ,j ) = , S cos(n ,k ) = 2 2 2 x y z rezult: p x pn = X , p y pn = Y , p z pn = Z 3 3 3 Trecnd la limit, tetraedrul tinznd n toate direciile (dup x,y,z), ctre punctul M obinem: px = py = pz = pn = p(M) = p(x,y,z) (2.3) Rezultatul este independent de nclinarea feei ABC, deci presiunea ntr-un fluid n repaus este un scalar.2.2. Ecuaiile generale ale hidrostaticii (ecuaiile lui Euler pentru statica fluidelor)Ecuaiile pentru echilibrul fluidelor se obin din anularea rezultantei forelor ce acioneaz asupra maselor de fluid. Considerm o particul fluid de forma unui paralelipiped desprins dintr-un fluid aflat n echilibru de dimensiuni dx, dy, dz, i densitate , figura 8.


Rezultanta forelor masice unitare f m (X, Y, Z ), acioneaz n centrul de mas al particulei considerate i are expresia: (2.4) d Fm = f m d m = f m d x d y d z i are componentele: (2.5) dFmx = Xdxdydz, dFmy = Ydxdydz, dFmz = Zdxdydz. Forele de suprafa sunt fore de presiune datorate aciunii fluidului asupra particulei considerate. tiind c forele de presiune sunt proporionale cu mrimea suprafeelor elementare considerate i c presiunea este n funcie de coordonatele punctului n spaiu, p = p (x,y,z), atunci forele de presiune pe feele determinate de planele sistemului de referin se pot exprima astfel: pdydz, pdxdz, pdxdyz

p p + d zd xd y z Cl

y Bl

p p + d yd xd z y

Ol pdydz C O pdxdz A pdxdy

Al B

p p + d xd y d z x x

Fig. 8 Particul de fluid n echilibru La presiunile pe feele opuse se adaug creterile pariale datorate variaiilor obinute prin deplasarea n cele trei direcii, obinndu-se: p p p d x d y d z, p + d y d x d z, p + d zd xd y p+ x y z Condiia de echilibru dup axa Ox va fi: p pd yd z p + d x d y d z + X d x d y d z = 0 (2.6) x p x d x d y d z + X d x d y d z = 0 p (2.7) d x d y d z + Y d x d y d z = 0 sau: y p d x d y d z + Z d x d y d z = 0 zn mod analog s-a calculat dup Oy i Oz. Dup simplificare cu dx,dy,dz, ecuaiile difereniale de echilibru dup cele trei axe sunt: p p p = X , = Y , = Z (2.8) x y z


Cele trei ecuaii exprim condiiile de echilibru ale volumului de fluid considerat, ntre forele de presiune i forele masice. Acestea sunt ecuaiile generale ale hidrostaticii ecuaiile cu derivatele pariale de ordinul I, stabilite de Euler pentru echilibrul fluidului. A gsi condiia de integrabilitate a acestui sistem nseamn a preciza condiiile pe care trebuie s le ndeplineasc fora masic unitar f m (X,Y,Z) pentru ca sub aciunea sa fluidul s rmn n echilibru. Multiplicm cele trei ecuaii, respectiv prin dx, dy, dz, le adunm i obinem: p p p dx+ (2.9) dy+ d z = ( X d x + Z d y + Z d z ) x y z Membrul stng al egalitii reprezint difereniala total a presiunii p, astfel putem scrie: dp = (Xdx+Ydy+Zdz) (2.10) Ecuaia reprezint expresia variaiei de presiune ntre dou puncte ale unui fluid situate la distana elementar ds care are proieciile dx, dy, dz. Deoarece membrul stng al egalitii este o diferenial total, expresia are sens dac paranteza din membrul drept este o diferenial total a unei funcii de x, y ,z n acelai domeniu. Considerm o funcie scalar U(x,y,z) uniform n domeniul dat. Dac componentele forei masice unitare X, Y, Z pot fi exprimate ca derivate pariale ale funciei U n raport respectiv cu x, y, z, putem scrie: U U U (2.11) X = , Y = Z = x y z sau: f m = gradU (2.12) unde U reprezint potenialul forelor masice exterioare. Aceasta reprezint condiia necesar i suficient pentru ca un cmp de fore masice unitare s determine echilibrul unui fluid, adic trebuie s fie potenial. Spre exemplu, cmpul gravitaional este potenial deci sub aciunea sa un fluid poate fi n echilibru.2.3. Legea fundamental a hidrostaticii

Dac nlocuim n relaia (2.10), expresiile din relaia (2.11), obinem: dp + dU = 0 (2.13) iar prin integrare: p + U = Ct (2.14) care reprezint legea fundamentaal a hidrostaticii. O remarc general este: dac un fluid se afl n repaus fa de un sistem de referin fix (sau sistem inerial) singurele fore masice care apar n fluid sunt forele de greutate (create de cmpul gravitaional); n cazul unui echilibru relativ apar n plus i forele de inerie. Consecinele legii fundamentale a hidrostaticii 1) Dac n ecuaia (2.10), considerm dp = 0, (p = ct), se obine Xdx+Ydy+Zdz = 0 (deoarece 0), care reprezint ecuaia diferenial a suprafeelor de egal presiune, numite i suprafee izobare. Definim suprafaa echipotenial locul geometric al punctelor n care potenialul forelor masice este constant.


Dac fluidul este incompresibil ( = ct), pentru U = Ct se obine p = ct, deci ntr-un fluid n repaus absolut suprafeele echipoteniale sunt i izobare. 2) Din relaia (1.13) rezult c fora masic ce acioneaz asupra unei particule fluide este normal la suprafaa echipotenial (izobar) ce trece prin punctul de aplicaie al forei i este ndreptat n sensul scderii potenialului, deci n sensul creterii presiunii. 3) Suprafeele echipoteniale nu se intersecteaz deoarece presiunea fiind un cmp scalar este unic ntr-un punct dup orice direcie i deci n punctul respectiv nu pot exista dou poteniale egale. 4) O suprafa izobar este i izodens ( = ct); afirmaia este evident pentru un fluid incompresibil la care = ct n toat masa deci i pe suprafaa izobar. 5) Temperatura pe o suprafa echipotenial este constant deoarece p i fiind constante din ecuaia lui Clapeyron-Mendeleev rezult: p T= = ct . (2.15) R 6) Suprafaa de separaie dintre dou fluide imiscibile cu densitile 1 2 este echipotenial; de asemenea i dintre un lichid i un gaz. Considernd c ntre dou puncte infinit vecine ale acestei suprafee diferena de presiune este aceeai, indiferent n ce fluid este calculat: d p = 1 d U = 2 d U . Rezult c: ( 1 2 ) d U = 0 (2.16) de unde: dU = 0, deci U = ct. 7) Dac forele masice sunt neglijabile n raport cu cele de presiune presiunea n fluid este constant. n acest caz, dac f m = 0 rezult din relaia (2.11) c U = ct, deci conform relaiei (2.14), p = ct (conform primei consecine). Rezult c dac ntr-o zon a fluidului are loc o suprapresiune p aceasta se transmite n toat masa fluidului. Aceast consecin poart numele de principiul lui Pascal.2.4. Ecuaia general a hidrostaticii n cmp gravitaional

Particularizm componentele forei masice unitare pentru cmpul gravitaional X = 0, Y = 0 i Z = - g. Rezult c: f m = gk (2.17) Integrnd obinem: U = ( g ) d z = gz + C( D)

(2.18) + U = C , devine P

Ecuaia

fundamental

a

hidrostaticii

P

+ gk = C sau

p + z = C l . Putem scrie relaia sub forma: p + z = ct

(2.19)

n care termenii au dimensiuni de lungime. Considernd un fluid n repaus absolut, figura 9 putem scrie relaia (2.19) pentru dou puncte ale fluidului A i B:


pA

+ zA =

pB

+ z B tiind c pA= po relaia devine:

pB = p = po + (zA- zB) = po + h (2.20) Se observ c presiunea crete liniar cu adncimea. Unghiul pe care l face graficul cu verticala este: H (2.21) = tg = H deci tg este proporional cu , fiind un coeficient ce rezult n raport de scrile alese.A h H zA zB z=0 H B P0 P0 P

P0+ (zA-zB)

Fig. 9 Distribuia de presiuni ntr-un lichid n repaus n cazul mai multor lichide imiscibile n repaus greutilor lor specifice, fig. 10.P0 h1 h2 h3 1 2 3 1 P + h 0 1 1 2 P0 + 1 h1 + 2 h2 3 P0 + 1 h1 + 2 h2 + 3 h3 P

ele se aeaz n ordinea

1 < 2 < 3

Fig. 10 Distribuia de presiuni n cazul a trei lichide imiscibile

z = ct rezult p = ct. ntr-un lichid n repaus planele orizontale sunt plane izobare. De aici dou consecine: - suprafaa liber a lichidelor este orizontal (principiul vaselor comunicante) - suprafaa de separaie dintre dou lichide imiscibile este un plan orizontal.2.5. Echilibrul relativ al lichidelor

Asupra unui lichid aflat n echilibru relativ fa de un sistem de referin ce se mic accelerat n raport cu un sistem fix, acioneaz fore masice de greutate i fore masice de inerie. Notm forele masice absolute (de greutate) cu f m ( X , Y , Z ) i fore de inerie unitare cu f i ( X i , Yi , Z i ) , rezult:

f m + f i = gradU unde U este potenialul forelor masice, sau:


X + Xi =

U U U , Y + Yi = , Z + Zi = z x y

(2.22)

Pentru deducerea ecuaiei suprafeei libere unde p = po, din ecuaia de echilibru p + U = C rezult: U(x,y,z) = Cl (2.23) Rezolvarea unei probleme de echilibru relativ necesit parcurgerea urmtoarelor etape: - se alege un sistem de axe legat de vasul n care se gsete lichidul; - se determin acceleraia (fora de inerie unitar) pentru o particul de fluid, n funcie de coordonatele sale: f i = a ( x, y, z ) i fora de greutate unitar

- n relaia (2.23), constanta Cl se determin din condiia ca volumul n echilibru absolut s fie acelai cu cel din echilibrul relativ; - se determin repartiia presiunilor pe pereii vaselor.2.6. Aciunea fluidelor n repaus pe perei solizi

fm = g ; - se determin potenialul U cu expresia: U = ( X + X i ) d x + (Y + Yi ) d y + (Z + Z i ) d z ;

Aciunea fluidelor asupra unui perete solid cu care este n contact se calculeaz nsumnd forele elementare de presiune: d Fp = p n d S (2.24) unde n este normala la suprafaa elementar dS a peretelui orientat spre fluid. Dac suprafaa este oarecare, forele elementare de presiune sunt oarecare n spaiu i efectul lor este un torsor format de rezultanta forelor i momentul rezultant n raport cu originea sistemului ales: Fp = pn d SS

(2.25) (2.26)

M o = r xpn d SS

Considernd c se cunoate repartiia de presiuni din starea de repaus a fluidului, vom analiza starea de echilibru absolut.2.5.1. Aciunea fluidelor n repaus pe suprafee plane

Normala n n acest caz este constant i deci forele de presiune sunt paralele i de acelai sens: Fp n p d S (2.27)S

Rezultanta este o for normal la suprafa, orientat dinspre fluid spre perete: M o = n x rp d S (2.28)S


Considerm c rezultanta forelor de presiune are punctul de aplicaie n C, numit i centrul de presiune, momentul rezultantei este: (2.29) M ol = rC xFp = n xrC p d SS

Conform teoremei lui Varignon pentru sisteme de fore paralele cele dou (2.30) momente sunt egale: M o = M ol rezult:rC =

rpdSS

S

pdS

(2.31)

Relaia (2.31) reprezint expresia vectorului de poziie al centrului de presiune. a. Aciunea unui fluid uor n repaus pe o suprafa plan n acest caz presiunea este constant i rezult: Fp = n p d S = n pSS

(2.32)

Fp = pS

rC =

r dSS

dSS

= rG

(2.33)

Aciunea unui fluid uor n repaus pe o suprafa plan este o for normal la suprafa, de mrime pS, care se aplic n centrul de greutate al suprafeei. b. Aciunea unui fluid greu n echilibru pe o suprafa plan Considerm un vas cu un perete nclinat i alegem un sistem de axe convenabile conform figurii 12. n cazul fluidului greu presiunea este p = hO

h

FpG C y yl

dS xl

x

Fig. 12 Aciunea unui lichid pe un perete plan nclinat

Fp = n h d S = n y sin d S = n sin y d SS S S

(2.34)


unde:

ydSS

este momentul static al ariei S n raport cu axa x i putem scrie:

ydS = yS

G

S

(2.35) (2.36)

deci:

Fp = n ( yG sin )S = n hG S

Rezultanta foelor de presiune este normal la suprafa i are valoarea egal cu greutatea unui cilindru de lichid avnd aria seciunii egal cu S i nlimea egal cu adncimea centrului de greutate al suprafeei S. Poziia centrului de presiune se determin n modul urmtor: r h d S r y sin d S r y d S r y d S rC = S = S = S = S yG S y sin d S ydS hd S S S S

Rezult coordonatele centrului de presiune C, punctul de aplicaie a forei Fp: 2 xy d S y dS i yG = S xC = S yG S yG Sunde

(2.37)

xy d S = IS

xy

este momentul de inerie centrifugal al ariei S i

yS

2

d S = I x este

momentul de inerie al ariei S fa de axa x. I xy I (2.38) xC = yC = x Rezult: yG S yG S Dac alegem convenabil sistemul de axe (axe de simetrie), Ixy = 0 deci i xC = 0. Putem aplica teorema lui Steiner: 2 l I x = I x + yG S (2.39)l Ix (2.40) yG S n cazul n care pe suprafaa liber a lichidului se exercit o presiune relativ p1 formulele stabilite sunt valabile dac sistemul de referin se alege cu Ox la nivelul P presiunii atmosferice, deci la nlimea h1 = 1 .

de unde:

yC = yG +

Dac peretele de suprafa S este orizontal C coincide cu G i presiunea este constant pe toat suprafaa. n cazul fundului unui rezervor presiunea are mrimea SH, unde S este aria seciunii, H este nlimea lichidului i nu depinde de forma vasului, figura 13.

H S S S S

Fig. 13 Paradox hidrostatic


Este un paradox hidrostatic deoarece fora de presiune n mod aparent ar trebui s fie egal cu greutatea lichidului din fiecare vas.2.6.2. Aciunea fluidelor n repaus pe suprafee curbe deschise

Torsorul forelor de presiune poate fi echivalat cu un sistem de trei ecuaii: d Fp = d Fp i = p(n , i ) d S = p d S yoz x (2.41) d Fp y = d Fp j = p (n , j ) d S = p d S xoz d Fpz = d Fp k = p (n , k )d S = p d S xoy unde: d S yoz , d S zoz , d S xoy sunt proieciile elementului de suprafa dS al pereteluirespectiv pe planele yoz, zox, xoy. Rezult: Fpx = p d S yoz ; Fp y = p d S zox ; Fpz = S yoz S zox

S xoy

pdS

xoy

(2.42)

Suportul forei Fpx trece prin centrul de presiune Cl, respectiv Fp y prin Cll i

Fpz prin Clll, vectorii de poziie fiind determinai cu relaiile:rC i =S yoz

rp d S pdS

yoz

;yoz

rC ll =

S zox

rp d S pdS

zox

;zox

rC lll =

S xoy

rp d S pdS

xoy

(2.43)xoy

S yoz

S zox

S xoy

Forele care nlocuiesc torsorul trec prin centrele de presiune ale proieciilor suprafeei curbe ale peretelui pe planele de coordonate. a) Aciunea fluidelor uoare n repaus pe perei curbi deschii n acest caz p = ct., deci putem scrie: Fpx = pS yoz ; Fp y = pS zox ; Fpz = pS xoy respectiv: (2.45) = rG l ; rC ll = rG ll ; rC lll = rG lll S Forele echivalente cu torsorul sunt paralele cu axele de coordonate i trec prin centrele de greutate ale proieciilor suprafeei pe planele de coordonate. b) Aciunea fluidelor grele n repaus pe suprafee curbe deschise Considerm o curb deschis ABCD pe care o proiectm pe planele triedrului triortogonal Oxyz, figura 14.rC l =S yoz

(2.44)

r dS

yoz


All Dll

Bll Alll Cll B Dlll Blll

x

y

Al

Bl

Clll

A

Dl

Cl

z

D

C

Fig. 14 Aciunea unui fluid asupra unei suprafee curbe deschise

Presiunea fluidului la nlimea z este p = z, n acest caz rezultnd: l Fpx = z d S yoz = zG S yoz S yoz ll Fp y = z d S zox = zG S zox S zox lll Fpz = z d S xoy = zG S xoy = V S xoy respectiv: r z d S yoz r z d S zoxrC l =Syoz

(2.46)

z G l S yozS xoy

;

rC ll =

S zox

z G ll S zox = rG (V )

rz d S

xoy

rC lll =

z G lll S xoy

=

S xoy

r dVV

(2.47)

n concluzie, efectul este un torsor nlocuit nu un sistem de trei fore n general neconcurente i paralele cu axele de coordonate. Forele orizontale se determin analog cu cele exercitate de un lichid pe perei plani, unde se nlocuiete suprafaa cu proiecia suprafeei curbe. Fora vertical este egal cu greutatea lichidului cuprins ntre suprafaa peretelui curb i planul xOy i trece prin centrul de grreutate al acestui volum.

2.7. Aciunea fluidelor n repaus pe suprafee curbe nchisetim c proiecia unei suprafee curbe nchise pe un plan este nul. Considerm planul P cu normala sa N i o suprafa curb nchis S, figura 15. Proiecia suprafeei elementare dS pe un plan este: d S p = d S (n , N ) Proiecia total este: S p = N n d S = divN d V = 0S V

(2.48)


(P)

S

N

(V)

ds

n

Fig. 15 Proiecia unei curbe nchise pe un plan

unde s-a aplicat formula lui Gauss de transformare a integralei de suprafa n integral de volum, (divN = 0 ) . a) Aciunea fluidelor uoare n repaus pe suprafee curbe nchise innd cont c Syoz = Szox = Sxoy = 0, rezult c: Fp x = Fp y = Fp z = 0 (2.49)

Aciunea fluidului nu este totui nul, el dezvoltnd tensiuni unitare n peretele solid al rezervoarelor. Acest calcul este necesar pentru dimensionarea rezervoarelor. b) Aciunea fluidelor grele n repaus pe suprafee curbe nchise Considerm o suprafa curb nchis aflat n fluid i un sistem de referin cu planul x0y situat pe suprafaa liber, figura 16.0 y A z D FpllFpl

x

C

B

Fig. 16 Aciunea fluidelor grele asupra suprafeelor curbe nchise

innd cont de faptul c proieciile suprafeei curbe sunt nule, rezult: Fp x = Fp y = 0 Pentru determinarea forei Fpz , considerm suprafaa dat secionat de un plan paralel cu xOy i format astfel din dou suprafee deschise ACB i BDA. Fora de presiune pe poriunea superioar este ndreptat n jos Fpl , respectiv pe poriunea inferioar n sus, Fpll .cil cil Fpz = Fpl Fpll = V ACB V ADB = V ; Fpz = V k

(2.50)

Aceast for trece prin centrul de greutate al volumului V.


Un corp scufundat ntr-un lichid este supus unei fore verticale portante egal cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp i trece prin centrul de greutate al volumului conform principiului lui Arhimede. Trebuie fcut remarca c aceast for este o for de suprafa (de presiune) i este exprimat prin produsul dintre lichid i volum; nu este o for masic. Principiul lui Arhimede este valabil i pentru gaze, dar datorit greutii specifice mici a gazelor este sesizat doar la corpuri solide cu greuti specifice mici cum ar fi dirijabilele. Fora portant poate fi determinat i direct integrnd forele de presiune pe suprafaa nchis S: (2.51) Fp = pn d S = gradp d VS V

tim c: p = z + po rezult:V

deci: gradp = k (2.52)

Fp = k d V = V k

Principiul lui Arhimede rmne valabil i pentru corpuri parial scufundate n fluid, figura 16.Sll 0 S0 x

y z

Sl

Fig. 16 Corp parial scufundat n lichid

Suprafaa este nchis S = Sl + Sll, So fiind aria delimitat de corp din suprafaa liber a lichidului. Pe cele dou suprafee Sl i Sll acioneaz presiunile p = po + z, respectiv po. Fp = n ( po + z ) d S n po d S = n po d S z n d S (2.53)Sl S ll S Sl

Integrala

npS

o

d S este nul.Pe suprafaa liber a lichidului z = 0, deci i pe So. Putem

aduna la Fp termenulFp =

So

z n d S , obinnd:o

S l + So

z n d S = gradz d V = VVo

k

(2.54)

unde Vo este volumul de lichid dezlocuit de corp numit i volum de caren. Principiul lui Arhimede poate fi stabilit i pentru un corp scufundat n dou lichide imiscibile, figura 17, cu greuti specifice 1 < 2 , n repaus. Presiunea n lichidul cu 1, pentru z < h este: (2.55) p1 ( z ) = po + 1 z Presiunea n lichidul cu 2, pentru z > h este: p 2 ( z ) = po + 1 h + 2 ( z h ) (2.56) Pentru suprafaa de separaie (z = h), cele dou presiuni sunt egale: p1(h) = p2(h).


0 h Vl V zll

x Sl

1 < 2

y

S0 Sll 2

Fig. 17. Aciunea fluidelor grele asupra suprafeelor curbe nchise

Rezultanta forelor de presiune ce acioneaz asupra corpului este: Fp = n p1 d S n p2 d S = po n d S 1 n z d S po n d S Sl S ll Sl Sl S ll

n [ 1h 2 ( z h)]d SS ll

adunm i scdem fora: 1hS o . Rezult: Fp = 1S l + So

n zdS

S ll + S o

n [ h (z h)]d S1 2

(2.57)

Deci fora portant este suma forelor portante pariale i are modulul egal cu suma greutilor volumelor de lichid dezlocuite. Dac volumele Vl i Vll au centrele de greutate Gl i Gll, fora portant trece printrun punct G situat pe dreapta GlGll, ntre segmente fiind stabilit relaia: G l G Fpz 2V2 = = (2.58) G ll G Fp1 1V1 Rezultatul se poate extinde pentru mai multe lichide imiscibile.

2.8. Plutirea corpurilorAsupra unui corp cufundat ntr-un lichid acioneaz fora de greutate: Fg = mV unde m este greutatea specific a corpului i fora portant Vc, unde este greutatea specific a lichidului i Vc volumul de caren (volumul de lichid dezlocuit). Dac m > , corpul se scufund, deoarece Fg > Fp. Dac m = corpul rmne n echilibru indiferent, ceea ce corespunde plutirii scufundate (plutire submarin). Cazul cel mai important este acela cnd m < , deci Fg = Fp, cnd corpul plutete la suprafaa lichidului i creeaz un volum de caren, Vc = V. Rezult: mV = Vc (2.59) Un astfel de corp liber scufundat parial n lichid se numete plutitor. Dac un vas are anumite ncrcri, acestora le corespunde mai multe carene (poriunea din corp care este scufundat i creeaz volumul de caren) cuprinse ntre


carena minim pentru vasul gol i carena maxim corespunztoare vasului ncrcat la limit. Centrul de greutate C al volumului de caren, n care se aplic fora portant se numete centru de caren. Pentru diferite nclinri ale plutitorului, la aceast greutate Fg, carenele au acelai volum, conform condiiei de echilibru, formele lor fiind n general diferite (cu excepia plutitorului omogen sferic) ns poziia centrului de caren se schimb. Cele dou fore care echilibreaz un plutitor n poziia normal de plutire au acelai suport. n cazul unei nclinri provocate de perturbaii exterioare poziia centrului de caren se modific, din C se mut n Cl, figura 18.a. Cele dou fore nu au acelai suport i formeaz un cuplu de fore, care tinde s readuc plutitorul n poziia normal, deci plutirea este stabil. n aplicaiile plutirii corpurilor se pune n general problema cutrii condiiilor necesare pentru o plutire stabil n cazul unor perturbaii care nu depesc anumite limite. Definim planul de plutire planul suprafeei libere a lichidului, iar linia de plutire curba de intersecie a plutitorului cu planul de plutire. Aria figurii plane mrginit de linia de plutire se numete arie de plutire. Raportm plutitorul la un sistem de axe astfel nct planul xOy s conin centrul de greutate G i centrul de caren C, corespunztor poziiei normale de plutire, axa Oz unind punctele C i G. Axa Oz este ax de plutire i este solidar cu plutitorul. Axa Oy este de obicei ax longitudinal a plutitorului i se numete ax de nclinaie. Adncimea maxim a plutitorului sub linia de plutire se numete pescaj (h), figura 18. b. Vericala forei portante care trece prin centrul de caren corespunztor punctului nclinat Cl, intersecteaz axa de plutire n punctul M, numit i metacentru. Cnd plutitorul tinde s revin n poziia vertical, metacentrul tinde ctre un metacentru principal Mo. Poziia metacentrului fa de centrul de greutate al plutitorului depinde de echilibrul plutirii.z

y

Fg G C Cl

M Fg Fp a) h G C Fp b) x

Fig. 18 Plutirea corpurilor a. plutitor nclinat; b. plutitor n poziia de echilibru

Echilibrul este stabil atunci cnd metacentrul se afl deasupra centrului de greutate, GM > 0.


Echilibrul este instabil atunci cnd metacentrul se afl sub centrul de greutate, GM < 0. Echilibrul este indiferent atunci cnd M coincide cu G, GM = 0. Distana dintre punctul metacentric M i centrul de caren, pentru poziia vertical al plutitorului poate fi determinat conform teoremei metacentrului cu relaia: g Iy CM = (2.60) Vc unde I yg este momentul de inerie al ariei de plutire calculat fa de axa de nclinaie Oy, care trece prin centrul de greutate al ariei de plutire. Condiia de stabilitate a plutirii, poate fi scris i altfel: g Iy GM > 0 sau CM CG > 0 sau CG > 0 Vc

(2.61)

Cinematica fluidelor 37 _____________________________________________________________________________________

3. CINEMATICA FLUIDELOR 3.1. Noiuni specifice Cinematica studiaz micarea fluidelor fr s considere forele care acioneaz asupra lor determinnd micarea, efectund un studiu geometric al acesteia. De aceea, studiile cinematicii fluidelor sunt valabile att pentru fluide ideale ct i pentru cele reale. Cinematica fluidelor are la baz ipoteza continuitii, caracterizat de parametrii care sunt funcii de timp i de punct, continue i derivabile. Ca metod de lucru, considerm c masa de fluid este format dintr-un numr foarte mare de particule fluide, analoage punctelor materiale din mecanica solidului. Studiul cinematic al mecanicii fluidelor const n determinarea traiectoriilor, vitezelor i acceleraiilor particulelor de fluid. Se pot utiliza dou metode. Prima metod care poart denumirea Lagrange, studiaz micarea fiecrei particule de fluid n raport cu un sistem fix Oxyz, poziia unei particule depinznd de timp i de coordonatele poziiei iniiale xo, yo, zo, corespunztoare timpului iniial to: x = x( x0 , y0 , z 0 , t ); y = y ( x0 , y0 , z 0 , t ); z = z ( x0 , y0 , z 0 , t ) (3.1) Componentele vitezei i acceleraiei se determin cu relaiile:

u=

x ; t

v=

y ; t

w=

z t

(3.2)

ax =

u 2 x ; = t t 2

ay =

v 2 y ; = t t 2

az =

w 2 z = 2 t t

(3.3)

Aceast metod este mai rar ntlnit i este necesar cnd se studiaz micarea unei particule individualizate. A doua metod, metoda Euler, studiaz cmpul vitezelor n punctele spaiului ocupat de fluidul n micare i variaia acelor viteze n funcie de timp. Cmpul vitezelor este dat de relaiile: u = u ( x, y, z , t ); v = v( x, y, z , t ); w = w( x, y, z , t ) (3.4) sau V = V (r , t ) , unde x, y, z reprezint coordonatele punctelor spaiului i nu ale particulei fluide ca n cazul metodei precedente. Metoda Euler este mai simpl i utilizeaz teoria cmpurilor ca aparat matematic de studiu. Componentele vitezelor se determin prin derivarea total a funciilor x = x(t), y = y(t), z = z(t):

u=

dx ; dt

v=

dy ; dt

w=

dz dt

(3.5)

Traiectoria particulelor se obine din integrarea ecuaiilor precedente: x = x(xo , yo , zo , t ); y = y ( xo , yo , zo , t ); z = z (xo , yo , zo , t ) (3.6) unde xo, yo, zo sunt constantele de integrare i reprezint coordonatele particulei la momentul iniial to. Pentru determinarea cmpului acceleraiilor derivm pe u, v, w, innd cont c sunt funcii de x, y, z i de t, utiliznd regula de difereniere total: u u u u du = dt + dx+ dy+ dz t x y z


Pentru componentele acceleraiei obinem urmtoarele expresii: d u u u u u a x = d t = t + u x + v y + w z d v v v v v +u +v +w = a y = d t t z y x d w w w w w +w +v +u = a z = dt z y x t

(3.7)

nmulind relaiile cu i , respectiv cu j i k versorii axelor de coordonate i adunnd, obinem: d V V V V V V (3.8) = +u +v +w = a= + (V ) V dt t x y z t deci acceleraia este derivata total a vitezei. Se observ c aceast derivat total este V format din acceleraia local i acceleraia convectiv (de antrenare): t V V V sau : (V ) V . +v +w u x y z Acceleraia local reprezint variaia vitezei n puncte fixe n spaiu i este caracteristic micrilor nepermanente (coordonatele punctelor sunt considerate ca invariabile). n micarea permanent acceleraia local este nul. Cmpul acceleraiilor se poate exprima n coordonate carteziene i sub alt form echivalent: d u u u 2 + v 2 + w 2 u w v u + w = + ax = v d t t x 2 z x x y w v d v v u 2 + v 2 + w 2 v u + u w (3.9) = + ay = y z x y d t t x 2 2 2 2 a z = d w = w + u + v + w + v w v v u w y z z x t x dt 2

iar forma vectorial este: V V2 a= + grad + rotV x V 2 t Expresia vectorial pune n eviden partea potenial, gradV 2

(3.10)i partea

rotaional, rotV x V a acceleraiei consecutive. Cinematica fluidelor opereaz cu noiuni specifice micrii fluidelor. Curentul de fluid este o mas de fluid n micare. Linia de curent este linia curb care urmrind direcia de curgere este tangent la vectorii vitez ai particulelor care la un moment dat coincid cu punctele de pe curba respectiv, figura 19. n general linia de curent nu este identic cu traiectoria. n cazul micrilor nepermanente liniile de curent i modific forma n timp, iar n cazul micrilor permanente, cnd vectorii de vitez au poziii fixe n fiecare punct din spaiu, liniile de curent coincid cu traiectoriile i rmn aceleai n orice moment. n


general, liniile de curent nu se intersecteaz (o particul nu poate avea dou viteze diferite) dect n cazul unor puncte critice. v2 v3 v1 C B D v4 AFig. 19 Linie de curent

Ecuaiile difereniale ale liniilor de curent se obin din condiia ca vectorul d r = (dx, dy, dz) s fie paralel cu vectorul vitez, adic: dx dy dz (3.11) V xd r = 0 sau : = = u v w n cazul micrilor permanente vizualizarea traiectoriilor se poate realiza prin introducerea de suspensii fine n fluid. Tubul de curent este suprafaa tubular format de liniile de curent, care trec la un moment date prin toate punctele unei curbe nchise. n micarea permanent, tubul de curent i pstreaz n timp forma i dimensiunile. Firul de curent este fluidul din interiorul unui tub de curent elementar (cu seciune transversal foarte mic), care materializeaz o linie de curent. Seciunea transversal a unui tub de curent (seciunea vie) este suprafaa normal pe toate liniile de curent care o strbat limitat de tub. Perimetrul udat este lungimea conturului seciunii transversale a unui tub de curent, mrginit de perei rigizi. Raza hidraulic este raportul dintre aria seciunii transversale i perimetrul udat: A (3.12) R= P Debitul unui curent de fluid printr-o suprafa S este fluxul vectorului vitez V, prin aceast suprafa, i reprezint limita raportului dintre volumul V care trece prin suprafaa S ntr-un interval de timp t, cnd aceasta tinde la 0, figura 20. V (3.13) Q = lim = V n d S = Vn d S t 0 t S S Debitul se poate defini i ca volumul de fluid care trece printr-o suprafa n unitatea de timp. n afara acestui debit numit i debit volumic, se mai definesc debitul masic Qm=Q i debitul gravific Qg=Q. Vn S V n dFig. 20 Suprafaa S fa de care calculm debitul

Circulaia vitezei V de-a lungul unei curbe oarecare este: AB = V d s = Vt d SAB AB

(3.14)


n cazul n care curba este nchis C, atunci circulaia vitezei poate fi exprimat cu ajutorul unei integrale de suprafa, S fiind o suprafa oarecare care se sprijin pe curba C, (teorema lui Stokes): = V d s = rotV n d S (3.15)C

S

Vrtejul unei particule de fluid este vectorul definit prin relaia:i j y v k z w (3.16)

=

1 1 rotV = 2 2 x u

i reprezint viteza unghiular medie de rotaie a particulei n jurul unei axe ce trece prin centrul ei de greutate. Componentele sale sunt: 1 w v 1 u w 1 v u x = 3.17) y z ; y = 2 z x ; z = 2 x y 2 Linia i tubul de vrtej sunt noiuni analoage cu cele definite anterior, n care se nlocuiete vectorul V cu . Tipuri de micri specifice fluidelor Micrile fluidelor se pot clasifica dup diferite criterii. Din acestea menionm: - dup modul de variaie n timp a parametrilor micrii, pot fi permanente (viteza, presiunea, densitatea sunt constante n timp) i nepermanente, cnd parametrii sunt n funcie de timp; - dup modul de desfurare a micrii n lungul curentului se deosebesc micri uniforme (liniile de curent sunt paralele i rectilinii) i neuniforme, cnd liniile de curent au o form oarecare, de-a lungul crora vitezele variaz ca mrime i direcie; - dup cmpul vitezelor se deosebesc micri poteniale, cnd exist o funcie , numit funcie de potenial, astfel nct V = grad (aceste micri se mai numesc i micri irotaionale rotV = rot grad = 0 ) i micri nepoteniale sau rotaionale; - dup structura fizic a curgerii unui fluid real sunt micri laminare care se produc la viteze relativ mici i n care straturile se mic paralel unele cu altele i micri turbulente la care particulele diferitelor straturi se amestec ntre ele i se deplaseaz dup traiectorii neregulate.

3.2. Micarea unei particule fluideMicarea unui fluid este mult mai complicat dect micarea unui rigid solid (care poate fi descompus ntr-o micare de translaie i o rotaie n jurul unei axe instantanee de rotaie) deoarece fiecare particul de fluid sufer o translaie, o rotaie i o deformaie. Considerm o particul de fluid, figura 21.


z M r Mldr

VV Vrot VlVdef

r +dr

y

xFig. 21 Deplasarea unei particule fluide

n punctul M (x,y,z) viteza are componentele u, v i w, iar ntr-un punct nvecinat M' (x+dx,y+dy,z+dz) viteza V' are componentele: u u u u = u + x d x + y d y + z d z v v v (3.18) v = v + d x + d y + d z x y z w w w dx+ dy+ dz w = w + x y z 1 v 1 w Dac adunm i scdem la prima ecuaie termenii d y i d z , putem s-o 2 x 2 x scriem sub forma: u 1 u v 1 u w u = u + d x + + d y + + d z + 2 y x 2 z x x (3.19) 1 u w 1 v u d z d y 2 z x 2 x y n mod analog se obin relaiile pentru v' i w'. Se observ c ultimele dou paranteze sunt componentele vitezei unghiulare de rotaie, deci ele reprezint rotaia particulei. Se noteaz: 1 v u a xy = + = a yx 2 x y 1 u v (3.20) a zx = + = a xz 2 z x u a xx = x

unde axy = ayx, azx = axz, reprezint viteze specifice de deformare unghiular iar axx i analog ayy, azz reprezint viteze specifice de deformare liniar. Cu aceste notaii ecuaia (3.19) devine: u = u + axx d x + axy d y + axz d z + y d z z d y

componentele v' i w' se determin n mod analog. Pentru determinarea semnificaiei lui axx se consider un element de fluid liniar AA', paralel cu Ox, de lungime dx, fig. 22.


Diferena deplasrilor relative ale captului elementului liniar n intervalul de timp dt reprezint dilatarea sau contractarea acestuia i este: z A l u A dxu+ u dx x

y

xFig. 22 Deformarea liniar a unei particule fluide

u u d x d t u d t = d xdt (3.21) u + x x deci, viteza specific de deformaie liniar este: u 1 u (3.22) = d xdt a xx = x d x d t x Pentru interpretarea termenilor de forma ayz, azy se examineaz micarea unei particule de form paralelipipedic, a crei seciune cu un plan paralel cu yOz este dreptunghiul ABCD, figura 23. zD D'' C C'' D' C' A=A'' B'' B A' y B'

0

Fig. 23 Deformaia unghiular a unei particule fluide

ntr-un interval de timp dt, particula se deplaseaz i se deformeaz ocupnd poziia A'B'C'D'. Dac anulm translaia i rotaia, aducem particula n poziia A''B''C''D''. Deplasarea relativ DD'' se datoreaz diferenei dintre vitezele punctelor A v v i D, vD v A = d z i are mrimea: DD = d z d t . Analog rezult: z z w BB = d ydt . y n ipoteza unor deplasri mici, deformaia medie a unghiului drept BAD este: 1 1 DD BB 1 v w + (3.23) ( + ) = dt = + 2 2 AD AB 2 z y Deci viteza de deformaie unghiular are expresia: 1 + 1 v w = a yz (3.24) = + 2 d t 2 z y


Rezult c axx, ayy, azz reprezint vitezele de deformaie liniar, iar mrimile axy, axz, ayz reprezint viteze specifice de deformaie unghiular. Revenind la expresiile vitezelor u', v', w', putem determina vectorul vitez V nmulind respectiv cu i , j , k i adunnd. Dac considerm funcia scalar: 1 = axx d x2 + ayy d x2 + azz d x2 + 2axy d x d y + 2axz d x d z + 2ayz d y d z (3.25) 2 vectorul V este: V = V + xd r + grad cu precizarea c gradientul funciei se calculeaz n raport cu dx, dy, dz. Funcia se mai numete funcie de deformaie, iar cuadrica corespunztoare este un elipsoid de deformaie. Utiliznd relaia vectorial anterioar, putem formula urmtoarea teorem: dac se cunoate micarea particulei fluide M( r ), micarea unei particule vecine Ml( r + d r ) se compune dintr-o micare de translaie definit de viteza 1 V a punctului M, dintr-o micare de rotaie definit de viteza unghiular = rotV 2 n jurul unei axe care trece prin M i dintr-o micare de deformaie a cuadricei = ct. cu centrul n M i care trece prin Ml, micare compus dintr-o deformaie liniar definit de mrimile axx, ayy, azz i deformaie unghiular definit de mrimile axy, axz, ayz, figura 21. Aceast teorem poart numele de teorema lui Cauchy-Helmholtz.

(

)

3.3. Ecuaia continuitii

Aceast ecuaie este expresia matematic a principiului conservrii masei de fluid n micare. Se consider cazul general al unui fluid compresibil cu (x,y,z,t) n micare nepermanent cu V (x,y,z,t). Alegem un volum de fluid de forma unui paralelipiped cu muchiile dx, dy, dz, figura 24. Relaia care exprim continuitatea fluidului se obine egalnd variaia masei de fluid din volumul considerat cu diferena dintre masa care intr n acest volum i masa de fluid care iese din el, n acelai interval de timp. ( w) w + d zd xd ydt y

( v ) v + d yd xd z dt y ( u ) u + d xd y d z d t y

udydzdtz y x

vdxdzdt wdxdydtFig. 24 Particul fluid paralelipipedic


La timpul t masa de fluid este dxdydz, iar la timpul t + dt devine d t d x d y d z . Variaia masei este: d m = d xd yd zdt + t t Diferena dintre masa de fluid intrat i cea ieit n intervalul de timp dt, considernd cele trei direcii este: ( u ) ( v ) ( w) (3.26) d m = x + y + z d x d y d z d t Din egalarea celor dou expresii rezult: ( u ) ( v ) ( w) + + + = 0 sau + div(V ) = 0 (3.27) t x y z t Dac efectum derivatele produselor u, v, w, obinem alt form a ecuaiei continuitii: u v w dp dp + + (3.28) x y + z = 0 sau dt + divV = 0 dt p n cazul micrii permanente a unui fluid compresibil = 0, deci se obine: t (u ) (v ) ( w) + + = 0 sau div (V ) = 0 (3.29) x y z Pentru un fluid incompresibil, = const. n micare permanent sau nepermanent, ecuaia continuitii are expresia: u v w (3.30) + + = 0 sau divV = 0 x y z adic cmpul vitezei unui fluid incompresibil este solenoidal.Ecuaia continuitii pentru un tub de curent oarecare Considerm un volum de fluid V(t) n interiorul unui tub de curent limitat de dou seciuni S1 i S2, respectiv la intrare i la ieire. Masa din interiorul tubului este: m = d V . n intervalul de timp dt densitatea fluidului crete cu d t , iar masa de t V d V d t . Aceast cretere a masei se datoreaz faptului c prin t V suprafaa de intrare S1 ptrunde n intervalul de timp dt o mas de fluid mai mare dect cea care iese din acelai interval de timp prin suprafaa de ieire S2, diferena fiind: d m = 1Vn1 d S1 2Vn2 d S 2 d t S S2 1 Egalnd cele dou expresii ale variaiei masei rezult: (3.31) t d V = S 1Vn1 d S1 S 2Vn2 d S 2 = Qm1 Qm2 V 1 2

fluid crete cu d m =

Ecuaia (3.31) se interpreteaz astfel: variaia masei de fluid dintr-un tub de curent n unitatea de timp este egal cu diferena dintre debitul masic intrat n tubul de curent i debitul masic ieit din tub.


n micarea permanent,

S1

= 0 i rezult c: t 1Vn1 d S1 = 2Vn2 d S 2 = QMS2

(3.32)

deci n micarea permanent a unui fluid compresibil debitul masic prin orice seciune este constant. Dac fluidul este incompresibil indiferent de felul micrii debitul volumic este constant. Considerm un tub de fluid elementar limitat de dou seciuni transversale situate la o distan infinit mic ds. ntr-un interval de timp dt prin seciunea l intr masa VSdt, iar prin seciunea 2 iese masa VS + ( VS ) d s d t , figura 25. s 2 1

ds vSdtFig. 25 Tub de fluid

vS + s (vS ) d t

Variaia masei de fluid n intervalul de timp dt este dat de diferena dintre cele dou mase, d m = ( VS ) d s d t . s Pe de alt parte masa iniial dV = Sds sufer n timpul dt variaia (S d x ) ( S ) dm = dt = d sdt t t Egalnd cele dou expresii diferite ale variaiei masei, rezult: (S ) + (VS ) = 0 (3.33) t s care reprezint ecuaia continuitii pentru un fluid compresibil n micare nepermanent. Dac fluidul este compresibil i micarea este nepermanent ntr-un tub S de curent cu perei solizi, atunci = 0 i ecuaia devine: t S + ( VS ) = 0 (3.34) t s S Dac seciunea este constant n lungul tubului, = 0 i rezult: s + (V ) = 0 (3.35) t s Pentru un fluid compresibil n micare permanent ecuaia ia forma: VS = QM = const . (3.36)


adic debitul masic este constant n lungul tubului. Dac fluidul este incompresibil ecuaia continuitii se scrie sub forma: VS = Q = const (3.37) deci debitul volumic este constant n lungul tubului de curent.

Dinamica fluidelor ideale 47 _____________________________________________________________________________________

4. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE 4.1. Ecuaiile lui Euler Dinamica fluidelor studiaz micarea fluidelor i interaciunea lor cu corpurile rigide, innd seama de forele care intervin i de transformrile energetice produse n timpul micrii. n dinamica fluidelor se aplic principiile generale ale mecanicii generale, legi de variaie i legi de conservare. n studiul mecanicii fluidelor ideale, ipoteza de fluid perfect (fr viscozitate) reprezint o prim aproximaie, rezultatele obinute putnd fi folosite cu ajutorul unor coeficieni de corecie i pentru probleme reale. Ca metod de lucru se pot extrapola principiile i teoremele mecanicii rigidului solid la dinamica mediului fluid continuu. Pentru aceasta considerm mediul fluid ca fiind format dintr-o infinitate de particule infinit mici a cror micare se supune legii mecanicii clasice, fiind suficient s determinm ecuaiile de micare pentru o particul oarecare din mediul fluid. Ca form a particulei fluide alegem forma paralelipipedic, forma adoptat pentru particul neavnd influen asupra rezultatelor obinute. Considerm o particul infinit mic de form paralelipipedic detaat de mediul de fluid, figura 26. p p+ d zd xd y y

p p+ d yd xd z y p p + y d x d y d z

pdydz

x

y zpdxdz pdxdy

Fig. 26. Particul de fluid paralelipipedic sub aciunea forelor de suprafa

unde f m este fora masic unitar f m ( X , Y , Z ) . Componentele masice sunt:

Particula elementar de mas dm se afl n echilibru dinamic sub aciunea forei de inerie i a forelor exterioare, deci putem scrie: d m a = d Fm + d Fs (4.1) Forele masice sunt aceleai ca i n statica fluidelor, deci fora masic este: d Fm = f m d m (4.2)

d Fm = X d x d y d z x d Fmy = Y d x d y d z d Fmz = Z d x d y d z

(4.3)


Forele de suprafa se pot calcula pe fiecare fa a particulei prin produsul dintre valoarea presiunii (considerat constant pe fiecare fa a particulei) i mrimea suprafeei pe care acioneaz. Componentele dup direciile Ox, Oy, Oz ale rezultantei forelor de presiune dFp sunt: p p d Fpx = p d y d z p + x d x d y d z = x d x d y d z p (4.4) d Fpy = d x d y d z y p d Fpz = d x d y d z z Ecuaia de micare dup direcia Ox este: p du (4.5) d x d y d z = X d x d y d z d x d y d z dt x Analog se obin ecuaiile dup direciile Oy i Oz. Se mpart aceste ecuaii la masa particulei dm = dxdydz 0 i innd cont de derivatele substaniale ale vitezelor, obinem: u u u u 1 p t + u x + v y + w z = X x v v v v 1 p (4.6) +v +w =Y +u t x y z y w w w w 1 p =Z +u +v +w x y z z tFor unitar local de inerie For unitar convectiv de inerie For For unitar unitar de masic presiune

Ecuaiile (4.6) reprezint ecuaiile lui Euler pentru dinamica fluidelor ideale. Necunoscutele sistemului de ecuaii sunt n numr de patru u,v,w i p. Pentru a putea fi integrat adugm ecuaia continuitii, care pentru = const. este: u v w + + =0 (4.7) x y z Rezult c sistemul ecuaiilor de micare este un sistem de patru ecuaii cu derivate pariale de ordinul nti cu patru necunoscute. Integrarea sistemului conduce la aflarea unor funcii a cror determinare poate fi fcut cu ajutorul condiiilor la limit. Spre exemplu dac domeniul ocupat de fluid este un corp solid condiiile la limit pot fi definite n modul urmtor: - la infinit efectul perturbator al corpului solid este nul; dac alegem pe Ox n lungul direciei de micare, putem scrie: lim u ( x, y, z ) = u = v ; lim v( x, y, z ) = lim w( x, y, z ) = 0 (4.8)x , y , z x , y , z x , y , z

- fluidul fiind considerat perfect nu ader la corp, ci alunec n jurul conturului su, care devine astfel o linie de curent pe contur existnd doar componenta tangenial a vitezei cealalt component normal fiind nul. Ecuaiile stabilite mai sus poart


numele de ecuaiile lui Euler pentru dinamica fluidelor ideale. Ele pot fi scrise i sub form vectorial: dV 1 = f m grad p (4.9) dt n unele cazuri, ecuaiile de micare ale fluidelor ideale sub forma dat de Euler nu sunt comode pentru integrare. Dac se nlocuiesc componentele acceleraiei cu expresiile (3.9), unde V 2 = u 2 + v 2 + w 2 , se obin ecuaiile de micare ale fluidelor ideale sub forma dat de Helmholtz: u V 2 1 p u w v u v = X + + w x y 2 x z x t x v V 2 v u w v 1 p (4.10) + + u w y z = Y y 2 x y t y w V 2 w v 1 p u w + + v 2 y z u z x = Z z t z For For unitar unitar local de convectiv inerie datorat variaiei energiei cinetice For unitar convectiv datorat variaiei vrtejului For For unitar unitar de masic presiune Fore unitare exterioare

Fore unitare de inerie

Ecuaiile pot fi scrise i sub form vectorial: 1 V V2 + grad + rotV x V = f m grad p 2 t

(4.11)

Dac forele masice deriv dintr-un potenial, f m = gradU , adic X =

p U U 1 , Z = i dac se ine cont de relaia f m = grad p = grad rezult: y z 1 p d p 1 p d p 1 p d p = ; y = y ; z = z i ecuaiile de micare ale x x fluidelor se scriu sub forma dat de Gromeka-Lamb: u V 2 dp u w v u + 2 + + U + w z x v x y = 0 t x v V 2 v u w v dp (4.12) + 2 + + U + u x y w y z = 0 t x w V 2 w v u w dp + 2 + + U + v y z u z x = 0 t x Ecuaiile pot fi scrise i sub form vectorial: V 2 V dp (4.13) + grad 2 + + U + rotV x V = 0 t Y =

U , x


dp V2 + +U = E (4.14) 2 Expresia (4.14) este numit i funcia lui Bernoulli, n care toi termenii au dimensiunea de energie unitar, arat c energia total a fluidului este format din dp V2 i energia potenial a , energie potenial de presiune energie cinetic 2 forelor masice U.

4.2. Relaia lui Bernoulli pentru fluide ideale pe o linie de curent

Pentru stabilirea relaiei sunt necesare condiii suplimentare pentru micarea fluidului: - relaia se va stabili pe o linie de curent de ecuaii: dx dy dz = = (4.15) u v w - cmpul forelor masice este un cmp potenial, deci: U U U X = , Y = , Z = (4.16) z x y - micarea fluidului s fie permanent, adic parametrii hidrodinamici s fie funcie numai de punct nu i de timp, de unde rezult: u v w = = =0 (4.17) t t t - micarea fluidului s fie potenial (irotaional), adic componentele vitezei s , v= , w= , de unde poat fi exprimat n funcie de un potenial u = y z x rezult c i x = y = z = 0. Dac exprimm ecuaia de micare dat de Gromeka-Lamb n care introducem componentele vectorului vrtej, obinem relaiile: u V 2 dp + 2 + + U + 2(w y v z ) = 0 t x v V 2 dp (4.18) + 2 + + U + 2(u z w x ) = 0 t x w V 2 dp + 2 + + U + 2(v x u y ) = 0 t x nmulind aceste ecuaii cu dx, dy, dz i adunnd, obinem: dx dy dz V 2 dp (udx + v d y + w d z ) + d + + U + 2 x y z = 0 2 t u v w

(4.19)

n cazul condiiilor suplimentare impuse, ecuaia obinut devine: V 2 dp d + +U = 0 2

(4.20)


Dac se integreaz aceast ecuaie ntre dou puncte situate pe o linie de curent sau ntre dou puncte oarecare aflate ntr-un curent n micare potenial se obine: V2 dp + +U = C (4.21) 2 unde C este o valoare constant n toat masa fluidului. n cazul micrilor permanente a fluidelor incompresibile ( = const.) n cmp gravitaional (U = gz + const.) relaia devine: 2 2 2 2 V1 p1 V p V p V p (4.22) + + gz1 = 2 + 2 + gz2 sau 1 + 1 + z1 = 2 + 2 + z2 2 2 2g 2g n cazul micrii permanente a fluidelor practic incompresibile, care au loc ntr-un cmp de fore masice neglijabile ( f m 0, deci U = const . ), relaia se scrie:

V1 p V p + 1 = 2 + 2 (4.23) 2 2 Ecuaia (4.23) reprezint relaia lui Bernoulli pentru fluide uoare (n situaii cnd pot fi considerate practic incompresibile) la viteze i presiuni relativ mici (de exemplu n confuzorul unui ventilator, absorbia aerului ntr-un carburator, n conducte de aerisire) sau pentru lichide dac forele de greutate pot fi neglijate fa de forele de inerie i forele de presiune (de exemplu la micarea prin sisteme de acionri sub presiune care nu prezint diferene mari de cote, micarea apei prin conducte practic orizontale de diametru mic). n unele cazuri relaia se mai poate scrie sub forma: V2 V2 (4.24) p1 + 1 = p2 + 2 2 2 V2 este presiunea n care p este presiunea piezometric (numit i presiune static), 2 V2 dinamic, iar suma p + este presiunea total. 2 Reprezentarea grafic i interpretarea energetic a relaiei lui Bernoulli Efectund analiza dimensional a termenilor din relaia (4.21), se observ c fiecare are dimensiuni de lungime, fapt ce permite o reprezentare grafic a ntregii expresii. Considerm un plan de referin orizontal O-O ales arbitrar i linia de curent C-C, oarecare, pe care alegem trei puncte M1, M2, M3 care au fa de plan coordonatele z1, z2, z3, iar particulele care trec prin aceste puncte au parametrii hidrodinamici (V1,p1), (V2,p2), (V3,p3), figura 27. p V2 Egalitile arat c suma celor trei segmente z , , trebuie s fie aceeai 2g pentru toate punctele. Locul geometric al punctelor aflate la extremitatea seg

Documents

Curs Mecanica Fluidelor