1

TEORIA CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

1. SISTEMUL LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI

1.1. RECAPITULAREA MĂRIMILOR ELECTROMAGNETISMULUI

Pentru caracterizarea fenomenelor electromagnetice şi a stărilor corespunzătoare, teoria macroscopică utilizează şase specii de mărimi primitive, adică şase specii a căror introducere nu este posibilă fără a face apel la experienţă - sau la teoria microscopică - şi un număr mare de mărimi derivate, care completează şi uşurează caracterizarea acestor stări.

Mărimile de stare electrică şi magnetică ale corpurilor sunt: - sarcina electrică q (caracterizează starea de încărcare electrică), - momentul electric p (caracterizează starea de polarizaţie electrică), - intensitatea curentului electric de conducţie i (caracterizează starea electrocinetică), - momentul magnetic m (caracterizează starea de magnetizaţie). Aceleaşi stări se caracterizează local prim mărimi derivate, dintre care cele mai

importante sunt: densitatea de volum a sarcinii ρv, polarizaţia electrică P , densitatea de

curent J , magnetizaţia

M . Alte mărimi derivate importante sunt: densitatea de suprafaţă şi de

linie a sarcinii ρS şi ρl, sarcina de polarizaţie qp, densitatea superficială de curent J S , curentul

amperian im, solenaţia Θ ş.a. Mărimile de stare locală ale câmpului electromagnetic sunt: - intensitatea câmpului electric

E şi inducţia electrică

D , ambele mărimi fiind derivate

din vectorul câmp electric în vidEv şi caracterizează local aspectul electric al câmpului

electromagnetic (câmpul electric), - intensitatea câmpului magnetic

H şi inducţia magnetică

B , ambele mărimi sunt

derivate din vectorul inducţie magnetică în vidB v şi caracterizează local aspectul magnetic al

câmpului electromagnetic (câmpul magnetic). Mărimile derivate mai importante corespunzătoare sunt:

- tensiunea electrică (în lungul unei curbe C) u = ∫

E sdC

,

(cu sensul de referinţă d s )

- fluxul electric (printr-o suprafaţă S) ψ = ∫ D n d A

S,

(cu sensul de referinţă n )

- tensiunea magnetică (în lungul unei curbe C) um C= ∫

H sd ,

(cu sensul de referinţă d s )

- fluxul magnetic (printr-o suprafaţă S) φ = ∫ B n d A

S,

(cu sensul de referinţă n )

2

- curentul electric (printr-o suprafaţă S) i A= ∫ J n d

S,

(cu sensul de referinţă n )

1.2. REGIMURILE MĂRIMILOR ELECTRICE ŞI MAGNETICE

În teoria fenomenologică (macroscopică) a câmpului electromagnetic, mărimile fizice pot fi considerate funcţiuni de timp, iar după consecinţele variaţiei lor în timp, stările electromagnetice se pot găsi în următoarele regimuri:

- regimul static, în care mărimile de stare nu variază în timp (sau variază suficient de lent, pentru a putea neglija efectul variaţiei lor) şi nu se produc transformări energetice; în acest caz fenomenele electrice se produc independent de cele magnetice şi cele două laturi ale câmpului electromagnetic se pot studia separat, în cadrul electrostaticii şi magnetostaticii;

- regimul staţionar, în care mărimile nu variază în timp, însă interacţiunile câmpului electromagnetic cu substanţa sunt însoţite de transformări energetice;

- regimul cvasistaţionar, caracterizat prin variaţia suficient de lentă în timp a mărimilor, astfel încât să se poată neglija efectele asociate variaţiei în timp a unor mărimi. In acest regim se disting:

- regimul cvazistaţionar anelectric, în care se neglijează efectele magnetice ale curenţilor de deplasare peste tot, cu excepţia dielectricului condensatoarelor (acest regim este numit în mod curent cvazistaţionar) şi

- regimul cvazistaţionar amagnetic, în care se neglijează efectele de inducţie electromagnetică în producerea câmpului electric;

- regimul nestaţionar, corespunde celui mai general caz de variaţie în timp a mărimilor, în care apare radiaţia electromagnetică.

1.3. RECAPITULAREA LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI

Legile generale şi principalele legi de material ale teoriei macroscopice a fenomenelor electromagnetice sunt prezentate în diferitele lor forme, integrale şi locale. Legile vor fi numerotate cu cifre romane.

I. Legea inducţiei electromagnetice

etΓΓ= −

dd

,φS (1.3-1)

în care eΓ este tensiunea (electromotoare) indusă în lungul conturului închis Γ, iar φSΓ este fluxul magnetic prin suprafaţa SΓ sprijinită pe conturul Γ:

e AD D

Γ ΓΓ Γ ΓΓ

= =∫ ∫ E s Bnd , d .φS SS

(1.3-2)

Versorul normalei nSΓşi vectorul element de arc d sΓ sunt asociaţi după regula burghiului

drept, ca în figura 1.3-1a. Legea se poate prezenta şi sub forma integrală explicită

E s B nd dd

d .Γ Γ

Γ∫ ∫= −

tASS

(1.3-3)

3

Fig. 1.3-1. Convenţii la scrierea legii inducţiei electromagnetice (a) şi cazul unei suprafeţe de discontinuitate (b).

Curba Γ şi suprafaţa SΓ se consideră solidare cu corpurile aflate în mişcare (sunt antrenate în mişcarea corpurilor), deci derivarea ţine seama atât de variaţia în timp a integrandului, cât şi de deplasarea suprafeţei. Se foloseşte derivata substanţială, de flux:

dd

ddd

d ,t

At

A

G n

GnSS

f

S SΓΓ Γ

Γ∫ ∫= (1.3-4)

unde

( )dd

div rot ,f

G G w G G w

t t= + + ×∂∂

(1.3-5)

unde w este viteza punctelor suprafeţei SΓ. Transformând integrala de contur în integrală de suprafaţă (cu teorema lui Stokes) şi

folosind derivata de flux pentru a doua integrală, în domenii de continuitate şi netezime a câmpurilor de vectori se obţine forma locală

rotdd

.

EB

= − f

t (1.3-6)

Pentru suprafeţe de discontinuitate, scriind forma integrală pe un mic contur ΓS strâns de o parte şi de alta a suprafeţei de discontinuitate, pe o lungime ∆l (figura 1.3-1b), se obţine

( ) E t E t2 ∆ ∆l l+ − =1 0,

sau

( ) n E E E12 2× − = =1 0rot ,S (1.3-7)

respectiv Et1 = Et2, adică la trecerea prin suprafaţa de discontinuitate se conservă componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric.

II. Legea fluxului electric

ψ Σ Σ= q , (1.3-8)

unde ψΣ este fluxul electric prin suprafaţa închisă Σ, iar qΣ este sarcina electrică conţinută de suprafaţa Σ. Cu notaţiile din figura 1.3-2a

ψ ρΣ ΣΣ ΣΣ

= =∫ ∫D D

DA q v

D n d , d ,v (1.3-9)

pentru o repartiţie continuă de sarcini electrice în volumul DΣ. Versorul nΣ pe normală, este orientat spre exteriorul suprafeţei închise Σ.

4

Fig. 1.3-2. Notaţii pentru legea fluxului electric (a) şi cazul suprafeţei de discontinuitate (b).

Transformând integrala de suprafaţă în integrală de volum cu formula Gauss-Ostrogradski, se obţine forma locală a legii, în domenii de continuitate şi netezime a câmpului de vectori

D

div .D = ρv (1.3-10)

Pentru suprafeţe de discontinuitate, se scrie forma integrală a legii pe o suprafaţă ΣS, strânsă - de o parte şi de alta - a suprafeţei de discontinuitate, care poate fi încărcată cu densitatea de suprafaţă a sarcinii ρS (figura 1.3-2b) şi se obţine

( ) D n D n2 12 1 12∆ ∆ ∆A A A+ − = ρS ,

sau

( ) n D D D12 2 1− = =div ,S Sρ (1.3-11)

respectiv D2n - D1n = ρS, adică saltul componentei normale a inducţiei electrice este proporţional cu densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice.

Pe suprafeţe neîncărcate electric se conservă componenta normală a inducţiei.

III. Legea legăturii dintre D E P, º i

D E P= +ε 0 , (1.3-12)

în care P este vectorul polarizaţiei electrice, iar ε0 este permitivitatea vidului, numită şi

constantă electrică.

IV. Legea polarizaţiei electrice temporare

Polarizaţia are o componentă permanentă Pp , independentă de valoarea actuală a

intensităţii câmpului electric şi o componentă temporară Pt , care depinde de valoarea actuală

a acestui câmp P P P= +p t . (1.3-13)

Legea polarizaţiei temporare exprimă dependenţa de intensitatea câmpului electric a polarizaţiei temporare

( ) P Et = f . (1.3-14)

In dielectrici izotropi, liniari şi fără polarizaţie permanentă P Et e= ε χ0 , (1.3-

14') iar împreună cu legile III şi IV se ajunge la relaţia constitutivă

D E E= =ε ε ε0 r . (1.3-15)

5

V. Legea circuitului magnetic

utmm SS

Γ ΘΓ

Γ= +d

d,

ψ (1.3-16)

în care ummΓ este tensiunea magnetomotoare pe conturul închis Γ, ΘSΓ este solenaţia calculată pe suprafaţa SΓ sprijinită pe conturul Γ, iar ψSΓ este fluxul electric prin aceeaşi suprafaţă SΓ (figura 1.3-3a)

u A AD D D

mm S SS S SSΓ ΓΓΘ

Γ ΓΓ

Γ ΓΓ

= = =∫ ∫ ∫ H s Jn Dnd , d , d .ψ (1.3-17)

Şi aici se păstrează aceeaşi regulă a burghiului drept pentru asocierea între vectorul element de arc d sΓ şi versorul normalei nSΓ

. Legea se poate prezenta şi sub forma integrală explicită

H s J n D nd d dd

d .ΓΓ ΓΓ

ΓΓ

∫ ∫ ∫= +SS SSA

tA (1.3-18)

Fig. 1.3-3. Notaţii pentru legea circuitului magnetic (a) şi cazul unei suprafeţe de discontinuitate (b).

Curba Γ şi suprafaţa SΓ se consideră solidare cu corpurile aflate în mişcare (sunt antrenate de acestea), deci derivarea ţine seama atât de variaţia în timp a integrandului, cât şi de deplasarea suprafeţei, adică se foloseşte derivata substanţială, de flux, (1.3-4). Astfel, forma integrală explicită devine

H s J n

Dnd d

dd

d .ΓΓ ΓΓ

ΓΓ

∫ ∫ ∫= +SS

fSS

At

A (1.3-19)

Transformând membrul stâng cu formula lui Stokes, se stabileşte forma locală a legii (în domenii de continuitate şi netezime)

rotdd

.

H JD

= + f

t (1.3-20)

Pentru suprafeţe de discontinuitate, scriind forma integrală pe un mic contur ΓS strâns de o parte şi de alta a suprafeţei de discontinuitate, pe o lungime ∆l (figura 1.3-3b), se obţine

( ) H t H t2 1∆ ∆ ∆l l J l+ − = S ,

sau

( ) n H H H J12 2 1× − = =rot ,S S (1.3-21)

respectiv Ht2 - Ht1 = JS, adică la trecerea prin suprafaţa de discontinuitate componenta tangenţială a intensităţii câmpului magnetic are un salt egal cu densitatea superficială a curentului.

Dacă nu există curenţi pe suprafaţă, componenta tangenţială se conservă la trecerea prin suprafaţa de discontinuitate.

6

VI. Legea fluxului magnetic

φΣ = 0, (1.3-22)

unde

φΣ ΣΣ= ∫D

A Bn d (1.3-23)

este fluxul magnetic calculat pe suprafaţa închisă Σ (figura 1.3-4a). Transformând cu formula Gauss-Ostrogradski integrala de volum în integrală de

suprafaţă, se obţine forma locală pentru domenii de continuitate şi netezime

div .B = 0 (1.3-24)

Fig. 1.3-4. Notaţii pentru legea fluxului magnetic (a) şi cazul unei suprafeţe de discontinuitate (b).

Pentru suprafeţe de discontinuitate, se scrie forma integrală a legii pe o suprafaţă ΣS, strânsă - de o parte şi de alta - a suprafeţei de discontinuitate (figura 1.3-4b) şi se obţine

( ) B n B n2 12 1 12 0∆ ∆A A+ − = ,

sau

( ) n B B B12 2 1 0− = =div ,S (1.3-25)

respectiv B2n = B1n, adică la trecerea printr-o suprafaţă de discontinuitate se conservă componenta normală a inducţiei magnetice.

Observaţie. Adesea se introduce un câmp de vectori auxiliar A , numit potenţial

magnetic vector, prin relaţia B A= rot . (1.3-26)

Astfel este satisfăcută identic forma locală (1.3-24). Câmpul de vectori

A este determinat numai dacă se cunoaşte şi divergenţa sa, care

poate fi dată de - condiţia de etalonare Coulomb: div ,

A = 0

- condiţia de etalonare Lorentz: div .A e

e= −εµ∂∂Vt

Ultima etalonare este folosită pentru potenţialele electrodinamice: potenţialul vector A e

şi potenţialul scalar Ve.

VII. Legea legăturii dintre . si , MHB

( ) B H M= +µ 0 , (1.3-27)

unde M este vectorul magnetizaţiei.

7

VIII. Legea magnetizaţiei temporare

Magnetizaţia are o componentă permanentă M p , independentă de valoarea actuală a

intensităţii câmpului magnetic şi o componentă temporară M t , care depinde de valoarea

actuală a acestui câmp M M M= +p t . (1.3-28)

Legea magnetizaţiei temporare exprimă dependenţa magnetizaţiei temporare de intensitatea câmpului magnetic

( ) M Ht = f . (1.3-29)

In materiale magnetice liniare, izotrope şi fără magnetizaţie permanentă M Ht m= χ , (1.3-

29') iar cu legile VII şi VIII se obţine relaţia constitutivă

B H H= =µ µ µ0 r . (1.3-30)

IX. Legea conservării sarcinii electrice

iqtΣΣ= −

dd

, (1.3-31)

în care

i A q vD

DΣ ΣΣ ΣΣ

= =∫ ∫ J n d , d .ρv (1.3-32)

Fig. 1.3-5. Notaţii pentru legea conservrii sarcinii electrice (a) şi cazul unei suprafeţe de discontinuitate (b).

Curentul este calculat cu versorul normalei nΣ orientat spre exteriorul suprafeţei închise Σ (figura 1.3-5a). Legea exprimă curentul electric de conducţie ca un flux de sarcini electrice, sau sarcina electrică ca o integrală în timp a curentului de conducţie.

Legea se poate prezenta şi sub forma integrală explicită J n ΣΣ Σ

d dd

d .At

vD∫ ∫= − ρv (1.3-33)

Din nou, suprafaţa Σ este considerată solidară cu corpurile aflate în mişcare. Pentru a introduce sub semnul integrală operatorul de derivare în raport cu timpul trebuie folosită derivata substanţială de volum. Pentru un câmp scalar g

dd

ddd

d ,t

g vgt

vD DΣ Σ∫ ∫= v (1.3-34)

unde

8

( )dd

divv gt

gt

g= +∂∂

w (1.3-35)

este derivata substanţială de volum în raport cu timpul. Mai sus s-a notat cu w vectorul vitezei punctului în raport cu sistemul de referinţă.

Cu această derivată, forma integrală a legii conservării sarcinii electrice devine J n ΣΣ Σ

dd

dd .A

tv

D∫ ∫= − v vρ (1.3-36)

Transformând membrul stâng cu formula Gauss-Ostrogradski în integrală de volum, în domenii de continuitate şi netezime a câmpului densităţii de curent se stabileşte forma locală

divd

d.

J = − v vρ

t (1.3-37)

Pentru suprafeţe de discontinuitate, se scrie forma integrală pe o suprafaţă ΣS, strânsă - de o parte şi de alta - a suprafeţei de discontinuitate, încărcată cu densitatea de suprafaţă a sarcinii ρS (figura 1.3-5b) şi se obţine

( ) J n J n2 12 1 12∆ ∆ ∆A A A+ − = −

∂ρ∂

S

t,

sau

( ) n J J J12 12 − = = −div ,S

S∂ρ∂ t

(1.3-38)

respectiv J2n - J1n = -∂ρS/∂t, adică saltul componentei normale a densităţii curentului de conducţie este proporţional cu derivata în raport cu timpul a densităţii de suprafaţă a sarcinii electrice.

Pe suprafeţe neîncărcate se conservă componenta normală a densităţii de curent.

X. Legea conducţiei electrice se prezintă întâi în formele locale

( ) E E J J E E+ = = +i i sau ρ σ, , (1.3-39)

unde E i este vectorul intensităţii câmpului electric imprimat (care este exprimarea în limbaj

electric al unor câmpuri de forţe de natură neelectrică) şi apoi în formele integrale, pentru circuite filiforme

( )u e R i i G u ef i f i sau + = = +, , (1.3-40)

unde, cu notaţiile din figura 1.3-6,

Fig. 1.3-6. Notaţii pentru forma integrală a legii conducţiei electrice.

Fig. 1.3-7. Notaţii pentru forma integrală a legii transformării energiei în conductoare.

9

u e R sA

GR

i A JD D D

f C i iC C= = = = =∫ ∫ ∫

E s E sd , d ,d

, , .ρ 1 (1.3-41)

S-a presupus o distribuţie uniformă a curentului pe secţiunea transversală (de arie A) a conductorului filiform, care are curba axă C, pe care se defineşte tensiunea în lungul firului uf, tensiunea electromotoare imprimată ei şi rezistenţa R, respectiv conductanţa G.

In expresia ultimelor mărimi ρ = 1/σ este rezistivitatea în punctul curent, iar A este aria secţiunii transversale pe liniile de curent; ambele mărimi pot fi variabile de la punct la punct.

XI. Legea transformării energiei în conductoare se prezintă întâi în forma locală, care exprimă densitatea de volum a puterii electromagnetice cedată corpurilor în procesul de conducţie

pJ = E J, (1.3-42)

sau, ţinând seama de legea conducţiei electrice

p J p pJ i R g= − = −ρ 2 E J , (1.3-43)

unde pR este densitatea de volum a puterii disipate prin efect Joule, iar pg este densitatea de volum a puterii generate sub influenţa câmpurilor imprimate.

Pentru conductoare filiforme (figura 1.3-7), integrând pe volumul conductorului, se stabileşte forma integrală a legii. Puterea PJ primită de conductor în procesul de conducţie este

PJ = uf i, (1.3-44)

Ţinând seama de legea conducţiei electrice se obţine

PJ = R i2 - ei i = PR - Pg, (1.3-45)

unde PR este puterea disipată prin efect Joule, iar Pg este puterea generată datorită tensiunii electromotoare imprimate.

XII. Legea electrolizei exprimă efectul electrochimic al curentului electric de conducţie, sub forma

m q=

ℜAF

,0

(1.3-46)

în care m este masa depusă prin electroliză de sarcina electrică q (integrala curentului de conducţie), dintr-o substanţă cu masa atomică A şi ℜ valenţe, F0 fiind constanta lui Faraday.

* = * = *

Se reaminteşte că în forma integrală a legilor vectorul element de arc d s care dă sensul de parcurgere al curbei închise Γ ce mărgineşte suprafaţa deschisă SΓ şi versorul normalei la suprafaţă nSΓ

sunt asociaţi după regula burghiului drept, iar pentru suprafaţa închisă Σ versorul normalei n Σ este orientat spre exterior.

Domeniile de integrare se consideră a fi antrenate de corpuri în mişcarea lor, deci se folosesc derivatele substanţiale de flux şi de volum.

În legi intervin trei constante universale:

10

- constanta electrică (permitivitatea vidului) ε0 = 1/(4π 9.109) [F/m],

- constanta magnetică (permeabilitatea vidului) µ0 = 4π 10-7 [H/m],

- constanta lui Faraday (echivalentul electrochimic) F0 = 96490 [C/g].

1.4. DISCUŢIE ASUPRA SISTEMULUI LEGILOR ELECTROMAGNETISMULUI

Legile I, II, III, V, VI, VII, IX şi XI sunt legile generale ale teoriei macroscopice a câmpului electromagnetic.

Legile IV, VIII, X şi XII sunt principalele legi de material şi în ele intervin, în afara constantelor universale, anumite mărimi de material (dependente local de natura acestuia, de temperatură, de starea de deformare sau tensionare locală etc.): susceptivitatea electrică χe, permitivitatea ε = ε0 εr, susceptivitatea magnetică χm, permeabilitatea µ = µ0 µr, rezistivitatea ρ sau conductivitatea σ = 1/ρ, intensitatea câmpului electric imprimat

E i , masa atomică A,

valenţa ℜ . Există şi alte legi de material cu aplicativitate mai restrânsă în determinarea câmpului electromagnetic: legea câmpurilor imprimate voltaice, legea emisiunii electronice din metale ş.a.

Legile I, II, III şi IV stabilesc toate condiţiile producerii câmpului electric (prin faptul că permit precizarea circulaţiei în lungul oricărei curbe închise şi a fluxului prin orice suprafaţă închisă, pentru fiecare dintre vectorii câmp

E D sau ).

Legile V, VI, VII şi VIII stabilesc toate condiţiile producerii câmpului magnetic (prin faptul că permit precizarea circulaţiei în lungul oricărei curbe închise şi a fluxului prin orice suprafaţă închisă, pentru fiecare dintre vectorii câmp

H B sau ).

Legile IX şi X stabilesc proprietăţi ale curentului electric de conducţie şi permit determinarea vectorului câmp

J , iar legea XI stabileşte efectul energetic al procesului de

conducţie a curentului electric. Legea XII precizează efectul chimic al curentului de conducţie.

Principalele dependenţe pe care le implică sistemul legilor I-X de mai înainte, în condiţiile obişnuite întâlnite în aplicaţii tehnice, pot fi reprezentate schematic ca în figura 1.4-1. Săgeţile indică sensul cauzal, iar săgeţile cu linie întreruptă indică legăturile care există numai în stări variabile în timp (regim ne-staţionar). Săgeţile cu ambele sensuri indicate corespund unei interdependenţe a cărei interpretare cauzală depinde de condiţii concrete suplimentare.

Principalele idei exprimate în această reprezentare sunt următoarele. a) In regim staţionar nu există practic influenţă reciprocă între fenomenele electrice şi

magnetice, singura legătură între aceste categorii de fenomene fiind exprimată de legea lui Ohm (X), conform căreia repartiţia câmpului imprimat (adică a surselor) determină atât curenţii din conductoare (şi deci câmpul magnetic produs de aceşti curenţi), cât şi repartiţia câmpului electric din conductoare. Câmpul electric şi câmpul magnetic sunt în legătură exclusiv prin intermediul corpurilor conductoare, parcurse de curent electric de conducţie. În lipsa curenţilor electrici de conducţie, această legătură dispare şi rezultă două câmpuri de vectori complet independente: câmpul electrostatic şi câmpul magnetostatic.

b) In regim staţionar, câmpul electric în izolanţi este determinat de repartiţia sarcinilor electrice şi a momentelor electrice (legile II şi III); totodată câmpul electric influenţează repartiţia momentelor electrice (partea lor temporară) prin legea de material a polarizaţiei temporare (IV), iar în conductoare, câmpul electric impune repartiţia de sarcină electrică (de obicei, superficială), fiind determinat de repartiţia câmpului electric imprimat

11

(prin condiţia de echilibru electrostatic, care rezultă din X). Câmpul electric staţionar este produs de corpuri încărcate electric sau polarizate electric.

Fig. 1.4-1. Principalele relaţii şi dependenţe între legile I-X ale câmpului electromagnetic.

c) In regim staţionar (şi cvasistaţionar) câmpul magnetic este determinat de repartiţia curenţilor electrici şi a momentelor magnetice (legile V, VI şi VII); totodată câmpul magnetic influenţează repartiţia momentelor magnetice (partea lor temporară), prin legea de material a magnetizaţiei temporare (VIII). Câmpul magnetic staţionar este produs de corpuri magnetizate sau parcurse de curent electric.

d) In regim variabil în timp apare o condiţionare reciprocă între repartiţia de sarcină şi cea de curent prin legea conservării sarcinii (IX); totodată mai apare o dublă legătură directă (nu prin intermediul corpurilor) între câmpul electric şi câmpul magnetic: câmpul magnetic variabil în timp determină apariţia unui câmp electric solenoidal (indus) prin fenomenul inducţiei electromagnetice (I); câmpul electric variabil în timp determină apariţia unui câmp magnetic solenoidal produs de curentul de deplasare, care intervine în legea circuitului magnetic (V). Această legătură dublă condiţionează existenţa câmpului electromagnetic "desprins" de corpuri, sub formă de unde electromagnetice, care se propagă cu o viteză finită.

* = * = *

Sistemul legilor câmpului electromagnetic trebuie să îndeplinească patru condiţii de natură metateoretică:

a) sistemul să fie complet, adică să permită descrierea completă a unei anumite clase de stări şi de fenomene. Pentru câmpurile de vectori, legile trebuie să permită cunoaşterea circulaţiei vectorului câmp pe orice curbă închisă şi a fluxului câmpului prin orice suprafaţă închisă. Sistemul prezentat permite îndeplinirea acestei condiţii pentru oricare dintre câmpurile

E D H B J, , , , ;

b) sistemul să fie necontradictoriu, condiţie care este satisfăcută de sistemul legilor teoriei Maxwell-Hertz;

c) legile sistemului să fie independente, adică sistemul să nu conţină afirmaţii deductibile din altele ale aceluiaşi sistem.

Din punct de vedere strict axiomatic, legea IX (a conservării sarcinii electrice) nu este independentă de legile II şi V (a fluxului electric, respectiv a circuitului magnetic), ci rezultă

12

din ele. De fapt, pe neconcordanţa dintre teorema lui Ampère şi legea conservării sarcinii electrice şi-a bazat Maxwell raţionamentul prin care a stabilit forma legii circuitului magnetic. Există enunţuri mai generale decât în acest curs pentru legile II şi V, care asigură independenţa logică a tuturor legilor generale prezentate.

Dacă se aplică legea circuitului magnetic (V) unui contur Γ care se reduce în cele din urmă la un punct, lăsând o suprafaţă SΓ finită (fig. 1.4-2), care devine o suprafaţă închisă Σ, se stabilesc următoarele limite

Fig. 1.4-2. Suprafaţă şi contur pentru stabilirea legii conservării sarcinii electrice din legea circuitului magnetic.

H sd , ,Γ Σ ΣΘ Ψ Ψ

Γ Γ∫ → → →0 S Si (1.4-1)

şi, ţinând seama de legea fluxului electric (ΨΣ = qΣ) rezultă legea conservării sarcinii electrice iΣ + dqΣ/dt = 0, ca o consecinţă a legii circuitului magnetic.

Este posibil să se păstreze conservarea sarcinii electrice ca lege, atunci legile fluxului electric şi fluxului magnetic devin teoreme. Intr-adevăr, aplicând legea circuitului magnetic şi legea inducţiei electromagnetice pe suprafaţa definită anterior (al cărei contur de sprijin se va reduce la un punct, fig. 1.4-1) se obţin relaţiile

.0dd si 0dd =φ=Ψ+ ΣΣΣ tti (1.4-2) Ţinând seama de legea conservării sarcinii electrice şi integrând expresiile, se stabilesc

relaţiile

d d d d , ,d d , .Ψ ΨΣ Σ Σ Σ

Σ Σ

t q t q constt const= = += =

sau sau

10 2φ φ

Condiţiile de coerenţă internă a teoriei, ca şi constatarea de natură experimentală că prin mijloace adecvate se poate anula câmpul electromagnetic într-o regiune oarecare din spaţiu, impun ca cele două constante să fie nule. Astfel rezultă teorema fluxului electric şi teorema fluxului magnetic.

În lucrarea de faţă, ca şi în multe altele, datorită importanţei practice deosebite a celor trei legi implicate se trece peste această redondanţă şi se păstrează sistemul legilor sub forma enunţată anterior, cu 12 legi.

d) Mai trebuie adăugată condiţia ca legile să fie verificate de experienţă (criteriul de adevăr), deşi această condiţie nu este necesară din punctul de vedere axiomatic, însă este esenţială pentru aplicaţiile practice. Din acest punct de vedere legile teoriei Maxwell-Hertz au fost verificate experimental, fiind confirmate aproape toate consecinţele lor. Excepţie fac unele experienţe cu corpuri polarizate aflate în mişcare (Roentgen şi Eichenwald) sau cu corpuri care se mişcă la viteze foarte mari. Aceste cazuri sunt explicate complet de teoria relativistă a câmpului electromagnetic (Minkowski, Einstein), care însă implică redefinirea unor concepte fundamentale şi se aplică numai sistemelor inerţiale.

Limitările introduse de "deficienţele" electrodinamicii Maxwell-Hertz prezintă o importanţă redusă pentru practica inginerească, fapt pentru care această electrodinamică stă la baza tuturor metodelor inginereşti.

13

1.5. ECUAŢIILE LUI MAXWELL ŞI MAXWELL-HERTZ

Câmpul electromagnetic poate fi studiat sistematic cu ajutorul formelor locale ale legilor. Se numesc ecuaţiile lui Maxwell ecuaţiile cu derivate parţiale care reprezintă formele locale ale legilor generale ale câmpului electromagnetic în medii imobile (viteza locală w → 0 ) şi în domenii de continuitate şi netezime a proprietăţilor fizice locale. În scriere

vectorială aceste ecuaţii sunt:

( )rot ,

H J D= +

∂∂ t

legea V (1.5-1)

( )rot ,

E B= −

∂∂ t

legea I (1.5-2)

( )div ,D = ρv legea II (1.5-3)

( )div ,B = 0 legea VI (1.5-4)

Ecuaţiile lui Maxwell se completează cu relaţiile dintre D E B H º i dintre º i , şi dintre

E J º i (legile III, IV, VII, VIII şi X), care în medii liniare sunt relaţiile constitutive

D E= ε , (1.5-5)

B H= µ , (1.5-6)

( ) J E E= +σ i . (1.5-7)

Rezolvarea sistemului de ecuaţii (1.5-1)...(1.5-7) este posibilă în principiu, dacă se dau ε, µ, sursele ρ şi ( )

J Esau º i i σ , condiţiile pe frontiera domeniului în care se determină câmpul

(componenta tangeţială a lui H E sau a lui ) şi condiţiile iniţiale (teorema unicităţii ecuaţiilor

câmpului electromagnetic); la suprafeţe de discontinuitate a proprietăţilor de material se ţine seama de condiţiile de trecere, formulate în capitolele anterioare.

Observaţie. Ecuaţiile Maxwell-Hertz, pentru corpuri în mişcare, se obţin înlocuind în primele două ecuaţii derivata parţială în raport cu timpul prin derivata de flux

∂ ∂ t t→ d d .f (1.5-8)

1.6. UNDA ELECTROMAGNETICĂ PLANĂ

O consecinţă importantă a ecuaţiilor lui Maxwell este existenţa câmpului electromagnetic "desprins" de corpuri sub forma undelor electromagnetice. Existenţa acestor unde este determinată de o legătură dublă între câmpul electric şi câmpul magnetic (prin legea inducţiei electromagnetice şi legea circuitului magnetic), care nu este mijlocită de corpuri.

Pentru a pune în evidenţă unele proprietăţi ale undelor electromagnetice se va studia cel mai simplu caz, al unei unde electromagnetice plane, în care mărimile dintr-un plan depind numai de o coordonată de-a lungul unei drepte perpendiculare pe plan şi de timp. Se alege planul perpendicular pe axa Ox, iar direcţia axei va fi numită direcţie de propagare. Mărimile de stare ale câmpului vor fi

14

( ) ( ) E E H H= =x t x t, , , . (1.6-1)

O undă electromagnetică plană există (practic) la distanţe suficient de mari de orice sursă de câmp electromagnetic, într-un mediu liniar, izotrop, omogen şi imobil. Fie ε permitivitatea şi µ permeabilitatea mediului. Se caută soluţiile variabile în timp ale ecuaţiilor lui Maxwell, în ipoteza (1.6-1), considerând că in mediu nu există nici sarcini electrice (ρv = 0), nici curenţi de conducţie (

J = 0). In aceste condiţii, ţinând seama că derivatele spaţiale în

raport cu y şi z sunt nule, ecuaţiile componentelor mărimilor de stare devin

∂ ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ ε ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂

E t H x E t H x E tH t E x H t E x H tE x H x

x z y y z

x z y y z

x x

= − = =

= − = − = −

= =

0

0

0 0

, , ,

, , ,

, .

(1.6-2)

(1.6-2)

(1.6-3)

Din aceste ecuaţii rezultă două consecinţe importante: a) Unda electromagnetică plană este transversală, adică nu are componente variabile

în direcţia de propagare: Ex = const1, Hx = const2. Componentele variabile în timp ale vectorilor

E H º i se află în plane transversale faţă de direcţia de propagare.

b) Sistemele de ecuaţii rămase (1.6-2) şi (1.6-3) se pot grupa în două perechi de ecuaţii: una se referă numai la Ey şi Hz, iar cealaltă numai la Ez şi Hy. Cele două perechi Ey, Hz şi Ez, Hy nu sunt legate prin nici un fel de relaţii, deci sunt independente între ele. Există deci cel puţin două unde suprapuse care nu se influenţează reciproc.

O undă formată dintr-o asemenea pereche se spune că este polarizată liniar. Deci o undă electromagnetică plană provine din suprapunerea a două unde cu polarizări liniare, după direcţii ortogonale, care sunt independente între ele.

Ultima observaţie permite restrângerea studiului la una dintre aceste unde: perechea Ey, Hz, adică se presupune Ez = 0 şi Hy = 0. Vectorii câmpului

E j H k= =E Hy z, sunt

perpendiculari între ei şi ambii sunt perpendiculari pe direcţia de propagare (figura 10.1-1). Sistemul de ecuaţii rămas este

− = = −∂ ∂ ε ∂ ∂ ∂ ∂ µ ∂ ∂H x E t E x H tz y y z, . (1.6-5)

Fig. 1.6-1. Notaţii pentru unda electromagnetică plană.

Eliminând câte una dintre funcţiunile Ey şi Hz, se obţin ecuaţiile de ordinul doi

∂ ∂ εµ ∂ ∂

∂ ∂ εµ ∂ ∂

2 2 2 2

2 2 2 2

0

0

E x E t

H x H ty y

z z

− =

− =

,

,

(1.6-6)

(1.6-7)

care sunt de tipul numit ecuaţia undelor. Din teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale şe ştie că ecuaţia undelor are soluţia sub forma

unei funcţiuni arbitrare f de argument

τ = −t x v , (1.6-8)

adică are forma

( ) ( )E f f t x vy = = −τ . (1.6-9)

15

În această expresie v este o constantă ale cărei valori posibile se determină substituind soluţia în ecuaţia de ordinul doi. Cu regulile de derivare cunoscute rezultă succesiv

∂

∂ τ∂τ∂

∂

∂ τ∂τ∂

∂

∂∂τ∂

∂

∂ τ∂τ∂

Ex

fx

fv

Et

ft

f

Ex v

fx x

fv

Et

ft

f

y y

y y

= = − = =

= − = = =

dd

' , dd

' ,

dd

" , dd

" ,2

2 2

2

2

1

adică se obţine ecuaţia

( )f v" .1 02 − =εµ (1.6-10)

Ecuaţia este satisfăcută dacă

v v2 1 1εµ εµ= = ±, . sau (1.6-11)

Semnificaţia fizică a constantei v se poate stabili astfel. Se scade şi se adună la argumentul τ mărimea ∆t. Se obţine

( ) ( ) ( )( )f t x v f t t x v t v− = − − −∆ ∆ . (1.6-12)

Din această identitate se observă că valoarea funcţiunii f depinde de timp şi de punct astfel încât în punctul x la momentul t are valoarea pe care o avea în punctul x-v∆t la momentul t-∆t. Deci repartiţia spaţială a funcţiunii se deplasează în lungul axei Ox cu viteza v, numită viteză de fază a undei. Aceasta este viteza pe care trebuie să o aibă un observator, pentru ca în raport cu el repartiţia spaţială să apară invariabilă.

Există două valori ale vitezei de fază, egale şi de semn contrar, care arată că pot exista două unde, care se deplasează în sensuri opuse de-a lungul axei Ox: unda directă se deplaseză în sensul crescător al axei Ox (v > 0), şi unda inversă - în sensul descrescător al axei (v < 0).

Observaţie. Fiecare dintre aceste unde există numai dacă, undeva, departe, în partea din care "vine" unda, a existat o sursă de radiaţie electromagnetică.

Mai departe se va studia numai unda directă şi se va nota cu c simbolul vitezei v şi cu c0 - viteza în vid a undelor electromagnetice (viteza luminii)

c c cu cr r= = =1 10 0 0 0εµ ε µ ε µ, . (1.6-13)

Cu această notaţie unda directă pentru intensitatea câmpului electric are expresia

( )E f t xy = − c , (1.6-14)

în care f este o funcţie arbitrară, de exemplu de forma

( ) ( )( )f t x E t xy− = − −c c max sin ω α (1.6-15)

în cazul unei variaţii sinusoidale în timp într-un punct dat. Cunoscând intensitatea câmpului electric, se poate calcula intensitatea câmpului

magnetic:

( )∂ ∂ µ ∂ ∂ µ ∂ ∂ µH t E x f x fz y= − = − =1 1 ' ,c

iar apoi prin integrare

16

( ) ( )H f t f constz = = +∫ ' d .µ µc c (1.6-16)

Constanta de integrare se poate considera nulă, întrucât se caută numai soluţiile variabile în timp. Se notează cu

( )ζ µ ε µ ε= = =c = 1 c E Hy z (1.6-17)

o mărime caracteristică a mediului, numită impedanţă de undă, care în vid are valoarea

ζ µ ε π0 0 0 120 377= = ≈ Ω (1.6-18)

este o constantă universală, numită impedanţa de undă a vidului. Cu această notaţie, intensitatea câmpului magnetic se scrie

( )H E f t xz y= = −ζ ζc , (1.6-19)

adică în fiecare punct din spaţiu este proporţională şi în fază cu intensitatea câmpului electric (E [V/m], H [A/m] ⇒ E/H [Ω]).

Expresia (1.6-19) rezolvă complet problema determinării mărimilor de stare ale câmpului electromagnetic în unda plană.

Concluzii referitoare la undele electromagnetice plane.

a) În medii omogene, izotrope, liniare (ε,µ constante), imobile ( v = 0), neîncărcate (ρv = 0), izolante (

J = 0) şi indefinit extinse, soluţiile ecuaţiilor lui Maxwell care depind de o

singură coordonată spaţială x de-a lungul unei axe Ox, sunt suprapuneri de unde plane elementare, care se propagă cu vitezele de fază constante ±c de-a lungul axei.

Unda plană se compune din cel mult patru unde elementare, care diferă fie prin direcţia de propagare, fie prin direcţia de polarizare liniară.

b) În fiecare undă elementară, vectorii HE

si sunt perpendiculari între ei şi perpendiculari pe direcţia de propagare; vectorii

v E H, , formează un triedru ortogonal drept,

adică produsul vectorial E H× are direcţia de propagare.

c) Variaţia în timp a mărimilor HE

si este arbitrară şi este determinată de condiţiile de producere a undei. In fiecare punct al undei elementare şi în fiecare moment, valorile HE

si

sunt proporţionale, raportul lor fiind impedanţa de undă a mediului.

17

2. ENERGIA ELECTROMAGNETICĂ

2.1. ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ

Concepţia despre câmpul electromagnetic considerat ca sistem fizic capabil să schimbe, să acumuleze şi să transmită energie, permite să se interpreteze energetic o anumită consecinţă a ecuaţiilor lui Maxwell, respectiv Maxwell-Hertz, numită teorema energiei electromagnetice.

Înainte de a stabili această teoremă, se vor reaminti câteva noţiuni de termodinamică. Termodinamica studiază stările de echilibru ale sistemelor fizice macroscopice,

transformările şi interacţiunile lor cu alte sisteme fizice. Un sistem fizic este o porţiune de materie bine definită şi delimitată. Sistemul are o stare,

definită prin totalitatea proprietăţilor lui la un moment dat, caracterizată prin valorile mărimilor de stare. In stări de echilibru mărimile de stare nu variază în timp. Evoluţia sistemului este numită transformare şi cuprinde mulţimea ordonată a stărilor prin care trece sistemul în evoluţia sa. Se disting transformări reversibile, care se pot parcurge şi în sens invers prin schimbarea condiţiilor iniţiale şi fără efecte necompensate în exterior

Conform primului principiu al termodinamicii (principiul conservării energiei), oricărui sistem i se poate asocia o funcţiune de stare numită energie internă (W). Creşterea elementară a energiei interne este egală cu suma dintre cantitatea de căldură ∆Q primită de sistem şi echivalenţii în lucru mecanic ∆L ai altor acţiuni exercitate asupra sistemului

. Transformările care la parcurgere inversă lasă efecte necompensate în exterior se numesc transformări ireversibile.

∆ ∆ ∆W Q LD= + . (2.1-1)

Pentru o transformare elementară se obţine

d .W Q L= +δ δ (2.1-2)

În cursul transformării între două stări, cantitatea de căldură ∆Q (sau δQ) şi lucrul mecanic ∆L (sau δL) pot depinde de modul particular în care se trece de la o stare la alta, pe când variaţia energiei nu depinde de drumul parcurs, ci numai de mărimile de stare în cele două stări. Pentru a atrage atenţia asupra acestei deosebiri s-au folosit simboluri de diferenţiere diferite pentru energie (dW) şi pentru lucrul mecanic δL, respectiv pentru cantitatea de căldură δQ.

Lucrul mecanic elementar se exprimă, de regulă, cu ajutorul forţelor generalizate

δL X xD=∑ i id . (2.1-3)

Al doilea principiu al termodinamicii permite introducerea unei mărimi fizice de stare a unui sistem fizic în echilibru, numită entropie. In transformările reversibile variaţia entropiei este dată de relaţia

d ,S Q TD= δ (2.1-4)

în care T este temperatura absolută. In transformări ireversibile entropia satisface inegalitatea

d ,S Q T≥ δ (2.1-4')

Îmbinând cele două principii ale termodinamicii se obţine relaţia fundamentală de bilanţ în transformări reversibile

( )d , d d .W S T S X x Q Lk kx = + = +∑ δ δ (2.1-5)

18

Se numeşte energie liberă a unui sistem mărimea de stare definită prin relaţia

( ) ( )U T W S T SD

, , . x x= − (2.1-6)

Cu aceasta, relaţia fundamentală devine

( )d , d d d .U T S T X x S T Lk kx = − + = − +∑ δ (2.1-7)

Creşterea energiei interne a unui sistem este egală cu lucrul mecanic primit în transformări adiabatice (δQ = 0).

Creşterea energiei libere a unui sistem este egală cu lucrul mecanic primit în transformări izoterme (dT = 0).

2.2. TEOREMA ENERGIEI ELECTROMAGNETICE

Se consideră un sistem fizic care ocupă domeniul DΣ, mărginit de suprafaţa închisă Σ, în care se află corpuri şi câmp electromagnetic. Partea energiei interne a sistemului care depinde de mărimile de stare electromagnetică se numeşte energie electromagnetică.

Câmpul electromagnetic se consideră un sistem fizic distinct de corpuri, cu care interacţionează. Atunci se poate aplica câmpului electromagnetic relaţia de bilanţ stabilită anterior, care ia forma

( )− = + + +d d ,W P P P P tem J m h Σ (2.2-1)

unde Wem este energia asociată câmpului electromagnetic, PJ este puterea cedată de câmp corpurilor prin conducţie electrică, Pm este puterea mecanică cedată de câmp corpurilor, Ph este puterea suplementară cedată de câmp corpurilor prin alte efecte, iar PΣ este puterea transmisă în exterior prin suprafaţa Σ.

Admiţând conceptele de câmp şi de acţiune prin contiguitate, toate aceste mărimi pot fi exprimate cu ajutorul unor densităţi de volum (wem, pJ, pm, ph), respectiv a unui câmp de vectori S pe suprafaţă:

W w v P p v P p v

P p v P A

D D D

D

em em J J m m

h h

= = =

= =

∫ ∫ ∫∫ ∫

d , d , d ,

d , d .Σ Σ Σ

ΣΣ ΣΣ

Sn (2.1-2)

Din legea transformării energiei prin conducţie se cunoaşte

pJ = E J. (2.2-3)

2.3. IDENTITATEA ENERGETICĂ FUNDAMENTALĂ (POYNTING)

Se consideră ecuaţiile lui Maxwell şi Hertz

rot d d , rot d d , E B H J D= − = +f ft t (2.3-1)

în care df este simbolul diferenţialei subtanţiale (de flux). Se foloseşte identitatea vectorială

( )div rot rot . E H H E E H× = −

Înlocuind expresiile rotorilor mărimilor din ecuaţiile anterioare se obţine

19

( ) ( )div d d d d , E H E J E D H B× = − − +f ft t (2.3-2)

numită forma locală a identităţii energetice fundamentale. Integrând pe domeniul DΣ şi aplicând teorema lui Gauss-Ostrogradski, se obţine

( ) ( )− + = + ×∫ ∫ ∫ E D H B E J E H nd d d d d d d ,f ft t v v A

D DΣ ΣΣΣ

(2.3-3)

relaţie cunoscută ca identitatea energetică fundamentală a câmpului electromagnetic. Este de observat că domeniul DΣ poate conţine şi suprafeţe de discontinuitate a

proprietăţilor de material; atunci domeniul se decompune într-o sumă de subdomenii de continuitate, în fiecare subdomeniu fiind valabile formele locale ale ecuaţiilor câmpului electromagnetic folosite la stabilirea identităţii energetice fundamentale. Sumând puterile pe aceste subdomenii, a căror reuniune dă domeniul DΣ, şi ţinând seama de anularea perechilor de puteri transmise prin suprafeţele adiacente ale subdomeniilor, se regăseşte relaţia dată mai sus.

În concluzie, identitatea energetică fundamentală, care este o consecinţă directă a legilor câmpului electromagnetic, este valabilă în orice regim şi pentru orice structură a domeniului.

2.4. FLUXUL DE ENERGIE ELECTROMAGNETICĂ. VECTORUL LUI POYNTING

În regim staţionar, pentru medii imobile ( w = 0 ) şi fără histerezis (Ph = 0) teorema energiei electromagnetice şi identitatea energetică fundamentală se reduc la formele

0 = +P PJ Σ , (2.4-1a)

( )0 = + ×∫ ∫ E J E H nd d .v A

DΣΣΣ

(2.4-1b)

Întrucât cu legea transformării energiei în conductoare se identifică primul termen, rezultă că puterea transmisă PΣ este

P AΣ ΣΣ= = ×∫

Sn S E Hd , . cu (2.4-2)

Mărimea S se numeşte vectorul lui Poynting şi reprezintă densitatea de suprafaţă a

fluxului de energie electromagnetică. Observaţia 1. Relaţia (2.4-2) nu defineşte univoc vectorul

S , întrucât acestuia i se poate

adăuga orice câmp de vectori S 0 solenoidal. Însă conform principiului localizării acţiunilor

fizice, vectorul S 0 trebuie să fie funcţiune de mărimile locale ale câmpului şi să se anuleze odată

cu acestea. Verificările experimentale făcute până în prezent confirmă expresia (2.4-2) a vectorului lui Poynting.

Observaţia 2. Restricţia referitoare la histerezis se poate elimina prin următorul raţionament. În corpul cu histerezis se duc două suprafeţe închise Σi şi Σe foarte apropiate una de alta, iar din spaţiul dintre ele este evacuat materialul cu histerezis. Prin această operaţie nu este afectat câmpul în restul domeniului, întrucât cavitatea astfel formată reprezintă local un strat dublu de sarcini electrice, respectiv de pânze de curent, care dau câmpuri nule în exterior. Întrucât componentele tangenţiale ale HE

si se conservă pe suprafeţele de discontinuitate (Σi,

Σe), singurele care intervin în expresia schimbului de putere electromagnetică prin suprafaţă, iar în cavitate este valabilă expresia (2.4-2), rezultă că această expresie poate fi păstrată şi în cazul mediilor cu histerezis.

Observaţia 3. Intrucât în expresia vectorului lui Poynting intervin numai mărimi de stare ale câmpului, se poate admite că aceeaşi expresie (2.4-2) a vectorului este valabilă şi în regimuri nestaţionare. Experienţa nu infirmă această afirmaţie.

20

Aplicaţie. Puterea electromagnetică primită de un conductor în formă de cilindru circular drept, parcurs de curent continuu (figura 2.4-1)

Fig. 2.4-1. Puterea electromagnetică transmisă unui conductor, în curent continuu.

Considerând conductorul de rază a, având rezistivitatea ρ şi fiind parcurs de curentul i, vectorul intensităţii câmpului electric

E va fi orientat axial şi are valoarea

E J ia

= =ρ ρπ 2 .

Vectorul intensităţii câmpului magnetic H pe suprafaţa exterioară este orientat tangent la

suprafaţă, este conţinut în planul transversal, are sensul asociat sensului lui E (omoparalel cu

J ) după regula burghiului drept şi are valoarea

H ia

=2π

.

Vectorul Poynting S E H= × este orientat spre interiorul conductorului şi are valoarea

S E H ia

= =2

2 32π.

Pentru o porţiune de lungime l a conductorului, cu aria suprafeţei laterale (pe care S are valoarea constantă de mai sus) A = 2π a l rezultă puterea primită de conductor (cu versorul normalei n orientat spre interior)

P A S A iaΣ ΣΣ

= = =∫ S n d .ρ

π

2

2

Se recunoaşte uşor expresia cunoscută a puterii disipate prin efect Joule (R i2). Din rezultatele obţinute mai sus se reţin câteva concluzii importante: - fluxul de energie poate fi calculat cu aceeaşi expresie atât în regim variabil în timp (în

condiţiile în care a fost dedusă expresia sa), cât şi în regim staţionar; - în conductoare intensitatea câmpului electric

E are orientare predominant axială (sau pur

axială), iar vectorul S este perpendicular pe

E , ceea ce arată că energia este transmisă nu prin

conductoare, ci prin câmpul electromagnetic care le înconjoară. Conductoarele au rolul de căi (ghidaje) pentru curentul de conducţie (care produce câmpul magnetic); ele nu transmit energia electromagnetică, dar pot consuma o parte din ea prin efect Joule-Lenz.

2.5. ENERGIA ELECTROMAGNETICĂ

În cazul mediilor imobile şi fără histerezis (Pm = Ph = 0) expresiile teoremei energiei electromagnetice şi a identităţii energetice fundamentale se reduc la

− = +d d ,W t P Pem J Σ (2.5-1a)

( ) ( )− + = + ×∫ ∫ ∫ E D H B E J E H n∂ ∂ ∂ ∂t t v v A

D Dd d d .

Σ ΣΣΣ

(2.5-1b)

21

Ţinând seama de rezultatele precedente, se obţine expresia diferenţialei energiei electromagnetice sub forma

( ) ( )d d d d d d d .W v w w vD Dem e m= + = +∫ ∫

E D H B

Σ Σ

(2.5-2)

Notă. Transformarea expresiilor tt d∂∂D

şi .d tt∂∂B

Fie diferenţiala vectorului

D în reperul cartezian

d d d d d .

D D D D D= + + +∂∂

∂∂

∂∂

∂∂t

tx

xy

yz

z

Într-un punct fix (în acela în care se consideră elementul de volum dv) ultimii trei termeni sunt nuli şi rezultă că ∂ ∂

D Dt td d= şi în acelaşi mod ∂ ∂

B Bt td d= . Cu observaţia că

simbolul diferenţierii se referă la un punct fix în spaţiu. În expresia (2.5-2) se identifică diferenţialele a două densităţi de volum, a energiei electrice

şi a energiei magnetice

d d , d d .w we m= = E D H B (2.5-3)

Integrând între două stări (1) şi (2) ale câmpului se obţine

∆w w w wD

D

e e2 e1 e= − = =∫ ∫d d ,1

2

1

2 E D (2.5-4)

∆w w w wB

B

m m2 m1 m= − = =∫ ∫d d .1

2

1

2 H B (2.5-5)

În cazul materialelor fără histerezis, fără polarizaţie permanentă şi fără magnetizaţie permanentă se poate adopta ca stare de referinţă pentru energia electromagnetică starea în care mărimile de stare ale câmpului sunt nule. Expresiile densităţii de volum a energiilor devin

w wD B

e m= =∫ ∫ E D H Bd , d .

0 0 (2.5-6)

În cazul unui mediu izotrop, aceste mărimi reprezintă aria unui triunghi curbiliniu, cuprins între curba D(E), respectiv B(H), axa ordonatelor şi dreapta de nivel D, respectiv B (figurile 2.5-2 a şi b).

Fig. 2.5-2. Diferenţialele densităţilor energiilor şi densităţile energiilor electrice şi magnetice.

Se pot defini şi densităţile de volum ale coenergiei

w wE H

' d , ' d ,e m= =∫ ∫ D E B H

0 0 (2.5-7)

care în cazul mediilor izotrope sunt reprezentate de ariile unor triunghiuri curbilinii închise de curba materialului, axa absciselor şi dreapta verticală E = const respectiv H = const (v. fig. 2.5-2 a şi b).

Cele două densităţi de volum, a energiei şi a coenergiei, satisfac relaţia evidentă

22

w w w we e m m+ = + =' , ' . E D H B (2.5-8)

În cazul particular al mediilor liniare (fără polarizaţie permanentă şi fără magnetizaţie permanentă) se obţine

w w w we e m m= = + =' , ' .12

12

E D H B (2.5-9)

În cazul mediilor cu histerezis, cu polarizaţie permanentă sau/şi cu magnetizaţie permanentă starea de referinţă pentru energie se alege arbitrar, ne mai existând un criteriu natural de alegere, în care câmpul este nul.

Deoarece expresiile densităţilor de volum ale energiei electromagnetice sunt funcţiuni numai de mărimile de stare ale câmpului, se poate afirma că ele rămân valabile în orice regim (inclusiv în regimuri nestaţionare).

Observaţia 1. Făcând raportul densităţilor de volum ale energiilor magnetice şi electrice în mediul "aer", se obţine

( ) ( ) ( )w w B E B Em e aer c= =20 0

2 2 2ε µ ,

în care c este viteza luminii. Pentru valorile uzuale B = 1 T şi E = 10 kV/cm = 106 V/m, se obţine valoarea 90.000, adică densitatea de volum a energiei magnetice în întrefierul dispozitivele magnetice uzuale este cu aproape 5 ordine de mărime mai mare decât în interstiţiile izolante ale dispozitivelor electrice, fapt care explică preferinţa dată dispozitivelor magnetice în instalaţiile de forţă. Observaţia 2. La deducerea relaţiilor de mai sus s-a considerat tacit că transformările sunt izoterme, întrucât proprietăţile de material, care depind de temperatură, s-au considerat neschimbate. Rezultă că expresiile stabilite pentru energia electromagnetică reprezintă, de fapt, energia liberă.

2.6. SCHIMBUL DE PUTERE PRIN HISTEREZIS. TEOREMA LUI WARBURG

Se constată experimental că variaţia în timp a câmpului electromagnetic în medii cu histerezis este însoţită de un schimb de energie între câmp şi corp. Acest schimb de energie a fost luat în consideraţie în teorema energiei electromagnetice cu ajutorul puterii Ph.

Fie o transformare într-un mediu imobil, cu histerezis. În aceste condiţii expresiile teoremei energiei electromagnetice şi a identităţii energetice fundamentale devin

− = + +d d ,W t P P Pem J h Σ (2.6-1a)

( ) ( )− + = + ×∫ ∫ ∫ E D H B E J E H n∂ ∂ ∂ ∂t t v v A

D Dd d d ,

Σ ΣΣΣ

(2.6-1b)

întrucât Pm = 0, iar la corpuri imobile df/dt → ∂/∂t. Scăzând una din alta cele două relaţii şi ţinând seama că ultimele două integrale reprezintă

puterea PJ, disipată prin efect Joule şi puterea PΣ, transmisă prin suprafaţa Σ, rezultă

( )− + + =∫d d d d .W t t t v P tDem h

E D H B∂ ∂ ∂ ∂

Σ

(2.6-2)

Pentru energia electromagnetică nu se pot folosi expresiile (2.5-7), întrucât acestea au fost stabilite pentru medii fără histerezis. Deocamdată nu există o teorie a schimbului instantaneu de putere între câmp şi un mediu cu histerezis.

Această dificultate se poate depăşi calculând schimbul de energie pentru un ciclu complet de histerezis, cazul cel mai frecvent întâlnit în practică (al corpurilor aflate în câmp electromagnetic variabil alternativ în timp).

23

Integrând pe un ciclu Cem, se obţine

( )− + + =∫ ∫ ∫d d d d d .W v P temC C hCem em em

E D H B (2.6-3)

Prima integrală este nulă, întrucât energia electromagnetică este o funcţiune de stare, respectiv dWem este o diferenţială totală exactă, iar pe un ciclu are variaţie nulă.

Energia cedată de câmp corpurilor la parcurgerea unui ciclu (de histerezis) este

( )∆Σ

W P t vD

Dh ciclu hC Cem em

= = +∫ ∫∫d d d d . E D H B (2.6-4)

În ultima integrală, termenii

A Ae C m Cem em

= =∫ ∫ E D H Bd , d (2.6-5)

reprezintă aria unui ciclu de histerezis electric, respectiv magnetic, în planele E,D, respectiv H,B (figurile 2.5-3 a şi 2.5-3 b), iar suma lor

( )∆w A Ah e m= + (2.6-6)

reprezintă densitatea de volum a energiei cedată corpurilor prin histerezis.

Fig. 2.5-3. Ciclurile de histerezis electric (a) şi magnetic (b).

În final se obţine expresia

( )∆Σ

W A A vDh ciclu e m= +∫ d . (2.6-7)

Acest rezultat constituie teorema lui Warburg. Într-un câmp electromagnetic periodic, care variază alternativ cu frecvenţa f, în unitatea de

timp se parcurg f cicluri de histerezis. Atunci puterea medie cedată de câmp corpurilor prin fenomenul de histerezis se exprimă sub forma

( )P f W f A A vDh h ciclu e m= = +∫∆Σ

d . (2.6-8)

Dacă mediul este omogen, cu volumul V, iar câmpul este uniform în acest volum, atunci se poate folosi expresia simplă

( )P Vf A Ah e m= + . (2.6-9)

Densitatea de volum a puterii cedate corpurilor prin histerezis în câmp periodic este

( )p f A Ah e m= + . (2.6-10)

2.7. PIERDERI ÎN CIRCUITELE MAGNETICE

Maşinile, transformatoarele şi bobinele au circuite magnetice, care pot fi parcurse de fluxuri magnetice alternative şi în acest caz în ele se produc pierderi în fier, datorite fenomenului de

24

histerezis magnetic şi curenţilor Foucault induşi. Cele două componente ale pierderilor se numesc pierderi prin histerezis şi pierderi Foucault

P P PFe H F= + . (2.7-1)

Aceste pierderi se exprimă ca integrale de volum ale unor pierderi specifice pFe, pH şi pF

P p v P p v P p vD D DFe Fe H H F F= = =∫ ∫ ∫d , d , d .Σ Σ Σ

(2.7-2)

Observaţie. In tehnică se preferă a se lucra cu densităţi ale pierderilor raportate la masă, adică cu γpFe, γpH, γpF, dacă γ este densitatea materialului.

În cazul unui câmp magnetic care variază sinusoidal în timp, de forma

( ) ( )B t B t B f t= =m msin sin ,ω π2

pierderile specifice depind de proprietăţi de material, de frecvenţa f şi de amplitudinea Bm a inducţiei magnetice.

Pierderile specifice prin histerezis se exprimă, practic, prin formula lui Steinmetz

[ ] [ ]p k f BH H mn 3W dm sau W kg= . (2.7-3)

Coeficientul kH reprezintă densitatea de volum a energiei cedate pe ciclu de histerezis cu amplitudinea de 1 T. Exponentul n depinde de tipul materialului şi de inducţia maximă, având valori cuprinse între 1,6 şi 2,7.

Pierderile specifice Foucalt sunt proporţionale cu pătratul inducţiei maxime şi cu pătratul frecvenţei

[ ] [ ]p k f BF F m2 3W dm sau W kg= 2 . (2.7-4)

Observaţie. Se mai pune în evidenţă faptul că pierderile Foucalt variază proporţional cu conductivitatea σ a materialului şi pătratic cu grosimea ∆ a tolelor în care este fracţionată secţiunea circuitului magnetic. De regulă, pentru dispozitivele electromagnetice funcţionând la frecvenţa industrială se folosesc tole cu grosimi cuprinse între 0,3 şi 0,5 mm, din oţel electro-tehnic, aliat cu siliciu, aliere care reduce piederile prin histerezis şi conductivitatea.

Pierderile specifice în fier reprezintă suma celor două pierderi specifice definite anterior

p p pFe H F= + . (2.7-5)

La frecvenţa industrială (50 Hz), ponderea primului termen este deobicei mai mare (cam 80%).

Valorile pierderilor în fier se dau sub formă de diagrame, iar materialele magnetice se caracterizează sintetic prin pierderile specifice la 1 T şi la 1,5 T (şi 50 Hz). Pierderile specifice la 1 T ale tolelor de oţel electrotehnic variază între 0,4...0,5 W/kg (pentru transformatoare) şi 2,5...3,5 W/kg (pentru maşini electrice rotative).

2.8. TEOREMA TRANSFERULUI DE PUTERE PE LA BORNELE UNUI MULTIPOL

(TEOREMA LUI R. RĂDULEŢ)

Se consideră un domeniu DΣ, delimitat de suprafaţa închisă Σ, dielectrică şi imobilă, prin care trec n conductoare, având curenţii de conducţie ik, k = 1, ...,n, cu sensuri de referinţă intrând în suprafaţa Σ. Suprafeţele de secţiune Sbk, k = 1, ..., n ale conductoarelor cu suprafaţa Σ se numesc borne.

25

Se va considera cazul, important în practică, al regimului cvasistaţionar particular, în care, în exteriorul surselor şi al receptoarelor, respectiv pe toată suprafaţa Σ:

- curentul de deplasare prin suprafaţa Σ este neglijabil, - câmpul magnetic are o componentă variabilă în timp, normală pe Σ, neglijabilă, - curentul electric trece numai prin cele n conductoare. Condiţiile de mai sus, satisfăcute de liniile de transport şi de distribuţie a energiei electrice

(electromagnetice) şi de multe dispozitive electromagnetice, se exprimă matematic prin relaţiile

∂∂

∂∂

D n B n J nt t k

k

n

= = = ==

0 0 0 01

pe , pe , pe S SbΣ Σ Σ \ . (2.8-1)

In aceste relaţii cu n s-a notat versorul normalei la suprafaţa Σ, orientat spre interiorul domeniului, cu S0 s-a notat partea din suprafaţa închisă Σ care trece exclusiv prin dielectrici (izolanţi). Pentru simplificarea raţionamentelor, se va considera suplimentar că densitatea curenţilor de conducţie

J în conductoare este perpendiculară pe suprafeţele de secţiune, adică

J n× ==

01

pe Sbkk

n

. (2.8-2)

Se mai notează cu Γ1, Γ2, ..., Γn contururile suprafeţelor de secţiune Sbk, cu sensuri de parcurgere asociate sensurilor de referinţă ale curenţilor după regula burghiului drept.

În condiţiile de mai sus, ţinând seama de prima şi de a treia condiţie, din legea conservării sarcinii electrice rezultă

ikk

n

=∑ =

1

0. (2.8-3)

Fig. 2.8-1. Notaţii pentru teorema transferuilui de putere pe la bornele unui multipol.

A doua condiţie conduce la concluzia că pe suprafaţa Σ câmpul electric are o componentă solenoidală neglijabilă

rotE = 0 pe ,Σ (2.8-4)

deci pe această suprafaţă se poate defini un potenţial V, din care derivă intensitatea câmpului electric

E = − grad .V (2.8-5)

Întrucât, în baza legii lui Ohm ( E J= ρ în conductoare) şi a ipotezei (2.8-2) intensitatea

câmpului electric este perpendiculară pe suprafeţele de secţiune Sbk, rezultă că vectorul Poynting S E H= × nu are componentă axială în conductoare. Ca urmare energia electromagnetică nu se

26

transmite prin conductoare, ci numai prin suprafaţa S0 din exteriorul lor, pe care S poate avea o

componentă longitudinală, paralelă cu normala n la suprafaţă. Tot din condiţia de mai sus, se observă că suprafeţele Sb1, Sb2, ..., Sbn sunt echipotenţiale

(întrucât E nu are componentă tangentă la aceste suprafeţe) şi au potenţialele V1, V2, ..., Vn;

aceleaşi potenţiale le au şi contururile Γ1, Γ2, ..., Γn. Puterea electromagnetică care intră în domeniul DΣ, prin suprafaţa Σ, va fi

P A AΣ Σ= =∫ ∫

S n S nd d .S0

(2.8-6)

Ţinând seama de (2.8-5), vectorul Poynting poate fi exprimat sub forma

( ) ( ) ( ) ( ) S E H H H H H H= × = − ∇ × = −∇ × + ∇ × = − +V V V V Vrot rot . (2.8-7)

Ţinând seama de prima ecuaţie a lui Maxwell

rot ,

H J D= +

∂∂ t

(2.8-8)

şi de prima şi de treia condiţie din (2.8-1), rezultă că pe suprafaţa S0 sunt nule componentele normale ale rot

H

n Hrot .= 0 pe S0 (2.8-9)

Atunci fluxul de energie este

( )P V AΣ = −∫ rot d . H n

S0

(2.8-10)

Se aplică teorema lui Stokes termenului rămas, ţinând seama că în raport cu suprafeţele Sbk contururile Γk sunt parcurse în sens antiorar (stâng) atunci când reprezintă contur al găurilor din suprafaţa multiplu conexă S0, iar apoi se ţine seama că aceste contururi sunt echipotenţiale. Se obţine succesiv

P V V V ik kk

n

kk

n

k kk

n

Σ Γ Γ= = =∫∑ ∫∑ ∑

= = =

H s H sd d .1 1 1

(2.8-11)

Expresia obţinută arată că în regim cvasistaţionar puterea electromagnetică transmisă unui domeniu închis DΣ, cu ajutorul unei linii electrice multifilare, este egală cu suma produselor intensităţilor curenţilor care intră în domeniu prin potenţialele conductoarelor liniei pe suprafaţa domeniului. Dacă suprafaţa Σ delimitează un receptor, relaţia (2.8-11) exprimă puterea electromagnetică primită pe la borne de acest receptor.

Observaţie. Ţinând seama de condiţia (2.8-3) pe care o satisfac curenţii liniei, rezultă că alegerea originii potenţialelor nu influenţează valoarea expresiei puterii transmise, întrucât pentru orice V0 avem

( )P V i V V ik kk

n

k kk

n

Σ = = −= =∑ ∑

10

1

.

Alegând potenţialul V0 egal cu potenţialul unei borne, de exemplu V0 = Vn, expresia de mai sus se simplfică, întrucât va conţine numai n-1 termeni, exprimaţi cu ajutorul tensiunilor la borne

( )P V V i u ik n kk

n

k n kk

n

Σ = − ==

−

=

−

∑ ∑1

1

1

1

. (2.8-12)

27

Totodată în acest caz nu mai trebuie verificată condiţia (2.8-3) de completitudine a curenţilor, întrucât prin conductorul luat ca referinţă a potenţialelor (aici conductorul n) se întoarce suma celorlalţi curenţi.

În cazul particular al liniei bifilare, cu n = 2 şi cu i1 = - i2 = i, V1 - V2 = u, rezultă

P V i V i u i= + =1 1 2 2 . (2.8-13)

2.9. TEOREMA DE UNICITATE A SOLUŢIILOR ECUAŢIILOR CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

Se consideră un domeniu DΣ mărginit de suprafaţa închisă Σ, cuprinzând corpuri şi câmp electromagnetic. Se presupune că sunt îndeplinite următoarele condiţii:

- corpurile sunt imobile, - mediile sunt liniare, izotrope, fără polarizaţie sau magnetizaţie permanentă şi fără câmp

electric imprimat. În schimb nu există restricţii privitoare la continuitatea proprietăţilor de material (cum s-a

arătat la 2.3). În aceste condiţii relaţiile constitutive ale mediilor capătă formele:

D E B H J E= = =ε µ σ, , , (2.9-1)

în care ε şi µ sunt mărimi strict pozitive (ε, µ > 0), iar σ este mărime nenegativă (σ ≥ 0). În aceste condiţii identitatea energetică fundamentală ia o formă particulară, care permite

stabilirea teoremei de unicitate

( ) ( )− × = + +∫ ∫ ∫ E H n E J E D H Bd d d .A v

tv

D DΣ Σ Σ

∂∂

12

12 (2.9-2)

Se notează

( )

( )

P A

P v

W v

D

D

Σ Σ

Σ

Σ

= ×

= ≥

= + ≥

∫∫∫

E H n

E J

E D H B

d ,

d ,

d .

J

em

0

012

12

(2.9-3)

(2.9-4)

(2.9-5)

Cu aceste notaţii, identitatea energetică fundamentală devine

− = +P P W tΣ J emd d . (2.9-6)

Se poate enunţa următoarea teoremă de unicitate: Ecuaţiile câmpului electromagnetic au soluţii univoc determinate ( ) ( )

E HM, M,t t, , pentru

orice M∈DΣ, t ≥ 0, în toate punctele M ale domeniului şi în toate momentele de timp t ≥ 0, dacă se dau:

- valorile iniţiale ale intensităţii câmpului electric şi a câmpului magnetic în toate punctele domeniului

( ) ( ) ( ) ( ) E HM,0 M º i M,0 M pentru orice ME H= = ∈f f D, ,Σ

- condiţiile la limită prin valorile componentelor tangenţiale ale intensităţii câmpului electric şi ale câmpului magnetic în toate punctele suprafeţei Σ şi în toate momentele de timp t > 0

( ) ( ) ( ) ( ) E Ht E t HM, M, M, M, pentru orice M , t > 0.t g t t g t= = ∈, , Σ

28

Acestea sunt condiţiile de unicitate pentru problema de câmp electromagnetic. Demonstraţia se face în două etape. Intâi se demonstrează că unor condiţii de unicitate

identic nule le corespunde un câmp electromagnetic identic nul. Pentru gE = 0 sau/şi gH = 0, rezultă PΣ = 0, iar pentru fE = 0 şi fH = 0 rezultă Wem(0) = 0. Integrând în timp relaţia (2.9-6), se obţine

( ) ( ) ( )0 00

= + −=∫ P W t W

t

J em emτ ττ

d ,

sau

( ) ( )W t Pt

em J= − ≤=∫ τ ττ

d .0

0 (2.9-7)

Singura situaţie care nu contrazice (2.9-5) este Wem(t) = 0. Atunci, întrucât ε > 0 şi µ > 0, singura soluţie acceptabilă este

( ) ( ) E HM, M,t t≡ ≡0 0, . (2.9-8)

Mai departe, teorema de unicitate se demonstrează prin reducere la absurd. In acest scop se presupune că există două soluţii distincte ( ) ( )"," si ',' HEHE

, corespunzătoare unor condiţii de

unicitate date. Se formează câmpul diferenţă E E E H H Hd d= − = −' " , ' ". Acest câmp satisface

ecuaţiile lui Maxwell, dar în condiţii de unicitate nule. In conformitate cu teorema ajutătoare câmpul diferenţă este nul, deci cele două soluţii coincid.

În medii liniare se poate formula teorema de superpoziţie: Soluţiile corespunzătoare superpoziţiei unor condiţii de unicitate sunt superpoziţia soluţiilor

determinate de fiecare condiţie de unicitate în parte.

29

3. FORŢE ELECTROMAGNETICE

3.1. TEOREMELE FORŢELOR GENERALIZATE ÎN CÂMPUL ELECTROMAGNETIC

Se consideră cazul particular al mediilor fără histerezis (Ph = 0), în care corpurile pot efectua mici deplasări sub efectul forţelor electromagnetice. În aceste condiţii, teorema energiei electromagnetice şi identitatea energetică fundamentală se prezintă sub forma

− = + +d d ,W t P P Pem J m Σ (3.1-1a)

( ) ( )− + = + ×∫ ∫ ∫ E D H B E J E H nd d d d d d d ,f ft t v v A

D DΣ ΣΣΣ

(3.1-1b)

din care se deduce relaţia generală

( )δL P t W t t vD

= = − + +∫m em f fd d d d d d d . E D H B

Σ

(3.1-2)

Această relaţie se simplifică în cazul unei transformări la fluxuri constante (astfel încât diferenţialele substanţiale să fie nule) şi lucrul mecanic elementar se exprimă sub forma

δ ψ φL W const= − =d ,em . (3.1-3)

Energia electromagnetică este o funcţie de mărimile de stare ale câmpului electromagnetic şi de coordonatele corpurilor. Teorema de unicitate a soluţiilor ecuaţiilor câmpului electromagnetic arată că energia electromagnetică poate fi exprimată numai cu ajutorul fluxurilor (şi a coordonatelor), adică

( )W W xem em= ψ φ, , , (3.1-4)

în care toate cele trei argumente pot fi vectori generali (primii doi pot fi chiar cu număr infinit de componente). Luând diferenţiala acestei expresii a energiei electromagnetice, în restricţia constanţei fluxurilor, se obţine

d , d .W constWx

xk

kemem

ψ φ∂∂= = ∑ (3.1-5)

Pe de altă parte lucrul mecanic elementar se exprimă cu ajutorul forţelor generalizate sub forma

δL X xk k= ∑ d . (3.1-6)

Identificând termenii corespondenţi, se stabileşte relaţia generală

XWx const

kk

= −=

∂∂ ψ φ

em

,, (3.1-7)

cunoscută ca prima teoremă a forţelor generalizate în câmpul electromagnetic. Se poate stabili o expresie alternativă, care foloseşte coenergia electromagnetică.

Intrucât calculele corespunzătoare sunt ceva mai lungi, demostraţia nu se mai reproduce aici ci se dă direct rezultatul final

30

XW

x U U constk

k

==

∂∂

'

,,em

m

(3.1-8)

unde U este tensiunea electrică, iar Um este tensiunea magnetică în lungul unor curbe arbitrare. W'em este coenergia electromagnetică, exprimată ca funcţie de U, Um şi x.

Ultima expresie este cunoscută ca a doua teoremă a forţelor generalizate în câmpul electromagnetic. Uneori acestă teoremă este exprimată cu ajutorul energiei electromagnetice şi atunci este valabilă numai pentru medii liniare (la care energia este egală cu coenergia).

În cazul regimurilor statice sau staţionare expresiile energiei şi a coenergiei se simplifică, obţinându-se expresii care se vor da în cadrul exemplelor următoare.

3.2. FORŢA DE ATRACŢIE ÎNTRE ARMĂTURILE UNUI CONDENSATOR

Se consideră un condensator plan, cu armături având aria A spre dielectricul separator, distanţa între armături fiind d, iar dielectricul având permitivitatea ε (Fig. 3.2-1). Se neglijează efectele de margine. Atunci câmpul între armături este uniform şi este nul în afară. Sarcina condensatorului se distribuie uniform pe suprafaţa din spre dielectricul separator, cu densitatea σ = q/A, iar din legea fluxului electric rezultă D = σ = q/A. Intensitatea câmpului electric este E = D/ε şi între armături rezultă o tensiune U = E d.

Energia electrică a condensatorului este

( ) ( )W w V E D A d q d A U A de e= = = =12

12

2 12

2ε ε .

Fig. 3.2-1. Notaţii pentru calculul forţei de atracţie între armăturile unui condensator.

Coordonata generalizată este distanţa d între armături, iar forţa generalizată asociată este forţa de respingere X. Folosind prima teoremă a forţelor generalizate rezultă

( )X q dA

d qA

U d A= −

= − = −∂

ε∂

εε1

2

212

212

2 ,

iar cu a doua teoremă se obţine acelaşi rezultat

( )X U A d d U A d= = −∂ ε ∂ ε12

2 12

2 2 .

Armăturile se atrag cu tensiunea 12

2 12εE E D= .

Observaţie. In mod tacit s-a admis că dielectricul este compresibil şi nu opune nici o rezistenţă la deformare (este fluid). Cazul dielectricului rigid va fi abordat mai departe.

3.3. FORŢA PORTANTĂ A UNUI ELECTROMAGNET

Se consideră un electromagnet în formă de U, având cele două întrefieruri de lărgimi egale δ, şi aria de trecere a fluxului magnetic prin întrefier Aδ. Se neglijează dispersia. Atunci câmpul magnetic din întrefier este uniform, cu linii de câmp perpendiculare pe feţele armăturilor feromagnetice.

31

Fig. 3.3-1. Notaţii pentru calculul forţei portante a unui electromagnet.

Fără a apela la vre-o metodă de rezolvare a problemei magnetice, se consideră cunoscută înducţia magnetică în întrefier Bδ şi atunci se pot face următoarele raţionamente.

Energia magnetică a electromagnetului poate fi prezentată sub forma sumei dintre energia magnetică în fierul circuitului magnetic WFe şi energia magnetică în întrefieruri Wδ

W W Wm Fe= + δ ,

iar al doilea termen se poate exprima cu ajutorul densităţii de volum a energiei magnetice 12

12

20B H Bδ δ δ µ= , sub forma

W B Aδ δ δµ δ= 12

20 2 ,

unde 2Aδδ este "volumul întrefierului", iar µ0 este permeabilitatea vidului. Considerând o transformare elementară la flux constant, se observă că energia magnetică

în fier nu se schimbă, pe când cea din întrefier se poate schimba din cauza modificării volumului întrefierului. Coordonata generalizată va fi lărgimea întrefierului δ, iar forţa generalizată asociată va fi de respingere. Cu prima teoremă a forţelor generalizate se obţine

( )X B A B A= − = −∂ δ µ ∂δ µδ δ δ δ12

20

12

202 2 .

Forţa este de atragere, cu o tensiune 12

20Bδ µ . Numeric, pentru o inducţie în întrefier de

1 T se obţine o tensiune de atracţie de 40 N/cm2 = 4.105 Pa. Este presiunea creată de o coloană de apă cu înălţinea de aproximativ 40 m. Rezultă că cu ajutorul electromagneţilor se pot obţine forţe importante.

3.4. TEOREMA DENSITĂŢII DE VOLUM A FORŢEI ELECTROMAGNETICE

Teoremele forţelor generalizate permit determinarea forţelor generalizate, fără a preciza repartiţia acestora în cuprinsul corpurilor.

Puterea mecanică transmisă corpurilor de câmpul electromagnetic se poate exprima sub forma

P vDm = ∫ f v d ,

Σ

în care f este densitatea de volum a forţei electromagnetice iar v este viteza.

Se pot pune în evidenţă componentele electrice şi magnetice ale forţelor, sub forma f f f= +e m , (3.4-1)

ale căror expresii, în mediu izotrop, sunt

( ) f Ee v= − +ρ ε γ ε γ1

22 1

22E Egrad grad d d , (3.4-2)

32

( ) f J Bm = × − +1

22 1

22H Hgrad grad d d ,µ γ µ γ (3.4-3)

unde cu γ s-a notat densitatea de masă. Aceste expresii nu se demonstrează aici, dar se vor discuta unele consecinţe ale acestor relaţii.

Densitatea de volum a forţei electricef e

Primul termen este densitatea de volum a forţei coulombiene exercitate de câmp asupra corpurilor încărcate cu sarcină electrică.

Al doilea termen reprezintă densitatea de volum a forţelor datorate neomeogenităţii dielectricului. De exemplu, pentru un condensator cu dielectricul introdus parţial între armături (fig. 3.4-1), aproximând variaţia permitivităţii printr-o funcţie continuă ε(x) şi considerând câmpul calculat simplu E = U/a, rezultă

( )f = − = −1

22 1

22E U a xgrad d d .ε ε

Forţa se obţine integrând pe volum, pentru armături de lăţime b (după direcţia perpendiculară pe planul din fig. 3.4-1)

( ) F f= = −

= −∫ ∫d d d d .v Ua

b a x x U baDΣ

12

212

20ε ε ε

La acelaşi rezultat se poate ajunge şi cu teoremele forţelor generalizate în câmp electric.

Fig. 3.4-1. Notaţii pentru calculul densităţii de volum a forţelor electrice

Al treilea temen, numit forţă de electrostricţiune, apare în materialele a căror permitivitate electrică variază cu densitatea γ. Rezultanta forţelor de electrostricţiune asupra unui corp izolat este nulă, ea contribuind numai la starea de tensiuni din corp şi poate determina deformări ale acestuia.

Densitatea de volum a forţei magnetice f m

Primul temen dă densitatea de volum a forţei lui Laplace, exercitată de câmpul magnetic asupra conductoarelor parcurse de curent. Un exemplu interesant este cel al unui conductor izolat de altele, parcurs de curent, care este supus unei forţe de comprimare, datorită interacţiunii dintre curentul electric şi câmpul magnetic propriu (efectul Pintch).

Al doilea termen reprezintă densitatea de volum a forţelor magnetice datorite neomogenităţii materialului.

Al treilea termen reprezintă densitatea de volum a forţelor de magnetostricţiune.

3.5. TENSIUNI MAXWELLIENE ÎN CÂMPUL ELECTROMAGNETIC

Forţele exercitate de câmpul electromagnetic se pot determina prin integrarea pe suprafaţa domeniului respectiv a unor tensiuni electromagnetice (maxwelliene)

( ) F T Tem e m= +∫ d ,A

Σ (3.5-1)

unde, în absenţa fenomenului de stricţiune electrică sau magnetică

( ) T E Dn ne e= − w , (3.5-2)

33

( ) T H Bn nm m= − w . (3.5-3)

Fig. 3.5-1. Notaţii pentru tensiunile maxwelliene în câmp electromagnetic.

În medii liniare, dacă n E T n, , atunci e e= w iar dacă n E T n⊥ = −, atunci e ew (v. fig. 3.5-1). Relaţiie sunt similare şi pentru forţa magnetică.

Tensiunile maxwelliene permit determinarea forţei rezultante asupra domeniului, fără a permite determinarea repartiţiei sale.

34

4. CÂMPUL ELECTROSTATIC

4.1 TEOREMA RELAXAŢIEI SARCINII ELECTRICE

În aplicaţii adesea se asimilează cu regimul electrostatic şi anumite regimuri lent variabile în timp. Atunci este important să se stabilească condiţiile în care repartiţia de sarcină este apropiată de cea electrostatică.

Fie un corp omogen în al cărui volum există la un moment dat un câmp electric şi o repartiţie de sarcină ρv. Se pot scrie următoarele relaţii

J E D E= =σ ε, şi rezultă

J D= σ ε .

Introducând ultima expresie în forma locală a legii fluxului electric se obţine

( )div div . J D= =σ ε ρ σ εv (4.1-1)

Cu această expresie, forma locală a legii conservării sarcinii electrice devine

( )ρ σ ε ∂ρ ∂v v+ =t 0. (4.1-2)

Notând cu τ = ε/σ mărimea de material numită timp de relaxaţie, soluţia acestei ecuaţii este

( ) ( ) ( )ρ ρ τv v0 r r, , exp .t t t= − (4.1-3)

După 4...5 τ densitatea de volum a sarcinii se poate considera neglijabilă. Variaţia densităţii de volum a sarcinii este însoţită, evident, de un curent electric. Durata acestui proces la metale este de (10–19...10–17) s, la semiconductori de (10–15...10–2) s, iar la dielectricii tehnici de (10–3...107) s.

Rezultatul obţinut este valabil numai în medii omogene. In medii neomogene (grad(ε/σ) ≠ 0) poate apărea o distribuţie de volum a sarcinii în regim electrocinetic staţionar.

4.2 TEOREMA POTENŢIALULUI ELECTROSTATIC

Un câmp electrostatic o dată stabilit se menţine fără a fi nevoie de vre-un aport de energie din exterior. Din principiul de conservare a energiei rezultă în acest caz următoarea proprietate: în câmp electrostatic nu se poate obţine lucru mecanic prin efectuarea unui ciclu de transformare reversibil.

Se consideră un ciclu de transformare reversibil, constând din deplasarea pe o curbă închisă Γ a unui corp de probă încărcat cu o sarcină electrică qp (fig. 4.2-1); mişcarea se efectuează suficient de încet, pentru a putea considera, în continuare, o succesiune de stări electrostatice.

Fig. 4.2-1. Notaţii pentru stabilirea teoremei câmpului electrostatic.

Lucrul mecanic efectuat de forţa electrică F Ee p= q care se exercită asupra corpului de

probă, are expresia

35

L q W WΓ Γ Γ= = = −∫ ∫

F s E se p in find d , (4.2-1)

în care Win şi Wfin sunt energiile sistemului (câmp + corp de probă) în starea iniţială şi în cea finală.

Întrucât la deplasarea pe o curbă închisă starea iniţială coincide cu starea finală, rezultă egalitatea energiilor Win = Wfin şi se obţine următoarea proprietate importantă: circulaţia intensităţii câmpului electrostatic este nulă pentru orice curbă închisă

E sd .Γ∫ = 0 (4.2-2)

Aceasta este forma integrală a teoremei potenţialului electrostatic. Teorema rezultă în regim static din legea inducţiei electromagnetice şi are mai multe consecinţe.

a) În câmp electrostatic nu există linii de câmp închise. În adevăr, dacă ar exista o asemenea linie, pe aceasta produsul

E sd ar avea mereu acelaşi semn şi integrala de contur nu ar putea fi nulă (decât dacă E ≡ 0).

b) În câmp electrostatic, tensiunea electrică între două puncte nu depinde de drum. În adevăr, considerând între două puncte A şi B două drumuri C1 şi C2 (fig. 4.2-2), pe conturul închis Γ format prin reunirea celor două drumuri, rezultă

E s E s E s E s E sd d d d d .ΓΓ Γ Γ∫ ∫ ∫ ∫ ∫= + = − =C C C C1AB 2BA 1AB 2AB

1 2 0

Fig.4.2-2. Notaţii pentru stabilirea tensiunii între două puncte în regim electrostatic.

Tensiunea electrică UAB, între cele două puncte A şi B, are aceeaşi valoare pe oricare dintre drumuri.

c) În câmp electrostatic se poate defini o funcţiune scalară de punct, numită potenţial, determinată cu următoarea regulă de calcul

( ) ( )V P V PP

P= − ∫0

0

E sd , (4.2-3)

curba pe care se calculează integrala fiind arbitrară. d) În câmp electrostatic tensiunea electrică între două puncte este egală cu diferenţa

potenţialelor acelor puncte

( ) ( )U V V VAB A

B

A

BA B= = − = −∫ ∫

E sd d . (4.2-4)

e) Forma diferenţială a relaţiei (4.2-3) este

d d .V = − E s (4.2-5)

Din această expresie se deduce că în lungul unei linii de câmp potenţialul scade. Într-adevăr, în lungul unei linii de câmp

E s º i d sunt vectori omoparaleli, deci produsul lor scalar este pozitiv şi atunci dV < 0.

f) Teorema potenţialului electrostatic se poate exprima şi în forma locală E = − grad ,V (4.2-6)

36

adică se poate defini o funcţiune scalară de punct, numită potenţial, al cărei gradient cu semn schimbat este intensitatea câmpului electric.

În domenii de continuitate şi netezime a proprietăţilor fizice se poate obţine o altă formă locală, aplicând expresiei (4.2-2) teorema lui Stokes: circulaţia unui vector câmp

G

pe orice curbă închisă Γ este egală cu fluxul rotorului său prin orice suprafaţă SΓ mărginită de acea curbă (fig. 4.2-3)

G s G nd rot d .Γ Γ∫ ∫= A

S (4.2-7)

În această expresie elementul de arc d s şi versorul normalei n au sensuri asociate după regula burghiului drept.

Fig. 4.2-3. Notaţii pentru teorema lui Stokes. Fig. 4.2-4. Demonstrarea proprietăţii de atingere a extremului potenţialului electrostatic pe frontieră.

Rezultă altă formă locală a teoremei potenţialului electrostatic

rot .E = 0 (4.2-8)

Această relaţie se poate obţine şi formal, ţinând seama de expresia (4.2-6) şi de proprietăţile produsului vectorial

( ) ( )rot .E = ∇ × −∇ = − ∇ × ∇ ≡V V 0 (4.2-9)

g) În medii liniare, omogene, fără distribuţii de sarcină electrică, potenţialul electric îşi atinge extremele pe frontiera domeniului.

Această proprietate se demonstrează prin reducere la absurd. Să presupunem că s-a găsit în interiorul domeniului un punct M0 în care potenţialul are un maxim V0. Fie Σ1 o suprafaţă închisă în jurul punctului M0 în care toate punctele au potenţialul V1 mai mic decât V0: V1 = V(M) ≤ V0, pentru orice M ∈ Σ1 (fig. 4.2-4). Conform proprietăţii (4.2-5) în această vecinătate toate liniile de câmp trebuie să fie orientate de la punctul M0 spre punctele suprafeţei Σ1 (în sensul de scădere a potenţialului). Intrucât mediul este liniar şi omogen,

D E= ε , deci

vectorul inducţiei electrice este orientat spre suprafaţa Σ1, iar fluxul electric prin Σ1 este pozitiv

D n d d .A D AΣ Σ1 1

0∫ ∫= > (4.2-10)

În baza legii fluxului electric în interiorul suprafeţei Σ1 ar trebui să existe o sarcină electrică pozitivă, ceea ce contrazice afirmaţia iniţială, că domeniul nu are distribuţii de sarcină electrică. Deci nu există puncte interioare în care potenţialul să aibă maxime.

O demonstraţie asemănătoare se face şi pentru existenţa unui punct de minim. În concluzie, în medii liniare, omogene, fără sarcini electrice, valorile extreme ale potenţialului electric sunt atinse pe frontiera domeniului.

Aplicaţie. Câmpul şi potenţialul electrostatic al unui fir rectiliniu infinit, încărcat cu sarcina lineică ρl constantă.

37

Câmpul electric se determină ţinând seama de simetria axială (cilindrică): vectorul câmp este conţinut în planul transversal, are direcţie radială şi depinde numai de raza r (distanţa faţă de fir). Suprafaţa închisă ∑ luată în consideraţie este compusă dintr-o suprafaţă laterală cilindrică Sl, coaxială cu firul, de lungime l şi de rază r, închisă prin două discuri S1 şi S2 , de rază r (fig. 4.2-5): ∑ = S1∪Sl∪S2.

Fig. 4.2-5. Fir rectiliniu încărcat cu sarcină lineică constantă.

Fluxul electric prin cele două discuri este nul, vectorul câmp D fiind perpendicular pe

normalele la aceste suprafeţe Dn Σ = 0 pe S º i pe S1 2 .

Atunci rezultă succesiv

ΨΣ ΣΣ Σ Σ= = = = =

= =

∫ ∫ ∫

D n D n

E r

d d d , ,

.

A A D A rlD q l

Dllr rl

S S l

l

l C

º i

2

12

12 0

2

π ρ

πρ

περ

Considerând nul potenţialul în punctul situat la distanţa r0 de fir, potenţialul va avea expresia

Vr

rrr

r

r

r= − = − =∫ ∫

E s r rd d ln .0 02 20

20

0ρπε

ρπε

l l

Potenţialul obţinut este numit potenţial logaritmic. De obicei se consideră (convenţional) r0 = 1 şi atunci

Vr

=ρπε

l

21

0

ln . (4.2-11)

4.3. CONDUCTOARELE ÎN CÂMP ELECTROSTATIC.

Experienţa arată că un conductor neutru se electrizează la introducerea lui în câmp electric. Acest fenomen se numeşte electrizare prin influenţă şi constă în repartizarea unor sarcini electrice pe suprafaţa conductorului, fără modificarea sarcinii electrice (adevărate) totale a conductorului (nulă în cazul conductorului izolat şi iniţial neutru).

În teoria microscopică, acest fenomen se explică - la metale - prin schimbarea poziţiei electronilor liberi (de conducţie), sub influenţa câmpului electric din conductor. In starea finală, câmpul electric în conductoarele omogene şi neaccelerate

E = 0 este nul , iar

intensitatea câmpului electrostatic în fiecare punct al suprafeţei conductoarelor are numai componentă perpendiculară pe suprafaţă; în caz contrar particulele purtătoare de sarcini

38

electrice s-ar deplasa în conductor sau pe suprafaţa sa şi nu ar fi îndeplinită condiţia de echilibru electrostatic.

În cazul conductoarelor omogene şi neaccelerate, în regim electrostatic rezultă următoarele proprietăţi:

a) Toate punctele din interiorul unui conductor au acelaşi potenţial (diferenţa de potenţial între diferitele puncte ale corpului, egală cu tensiunea electrică între acele puncte, este nulă, întrucât E ≡ 0); deci suprafeţele conductoarelor sunt suprafeţe echipotenţiale şi liniile de câmp sunt perpendiculare pe aceste suprafeţe;

b) Sarcina electrică a conductoarelor este repartizată strict superficial, iar sarcina din interiorul conductoarelor este nulă (este o consecinţă a legii fluxului electric: întrucât

E = 0 ,

rezultă D = 0 şi apoi qΣ = 0);

c) La suprafaţa conductoarelor, inducţia electrică este egală cu densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice. In adevăr, aplicând legea fluxului electric unei suprafeţe Σ ca în figura 4.3-1, întrucât în conductor inducţia este nulă, iar la suprafaţă este perpendiculară pe suprafaţa conductorului, rezultă

ψ ρΣ Σ Σ∆ ∆ ∆= = = = =∫ D n n nd ,A D A D A q An S

unde Dn este componenta inducţiei electrice după normala n exterioară a suprafeţei conductorului şi atunci

Dn S= ρ . (4.3-1)

d) În cavităţile fără sarcini electrice din interiorul conductoarelor omogene şi neaccelerate câmpul electric este nul (efectul Faraday), întrucât conductorul fiind echipotenţial, în cavităţi practicate în el câmpul electric trebuie să fie nul. Acest efect se foloseşte în instalaţiile de înaltă tensiune pentru ecranarea (prin conductoare legate la pământ)

Fig. 4.3-1. Notaţii pentru stabilirea componentei normale a inducţiei la suprafaţa unui conductor

Fig. 4.3-2. Folosirea efectului Faraday pentru ecranarea electrostatică a locurilor de observaţie şi comandă.

a locurilor de observaţie şi de comandă în care se află persoane (fig. 4.3-2), astfel încât acestea să poată fi aşezate în apropierea platformelor de experimentare.

e) Orice suprafaţă echipotenţială din câmp poate fi înlocuită printr-o suprafaţă conductoare ("foiţă metalică"), fără a perturba câmpul ("principiul metalizării" suprafeţelor echipotenţiale).

În conductoare neomogene sau accelerate E i

pot să apară câmpuri imprimate, caracterizate prin valoarea locală a intensităţii câmpului electric imprimat . Atunci condiţia de echilibru electrostatic devine

E E+ =i 0 , condiţie care anulează forţa de natură electrică exercitată

asupra purtătorilor de sarcină electrică.

39

4.4. CONDIŢII DE TRECERE PRIN SUPRAFEŢE DE DISCONTINUITATE A PROPRIETĂŢILOR ELECTRICE

Se consideră o suprafaţă de discontinuitate, fără densitate superficială de sarcină electrică adevărată, care desparte două medii cu permitivităţi diferite ε1 şi ε2. Condiţiile de trecere se pot stabili folosind legea fluxului electric şi teorema potenţialului electrostatic.

Se aplică legea fluxului electric unei suprafeţe închise ΣS, de forma unei prisme elementare foarte plate, având bazele de arie ∆A situate de o parte şi de alta a suprafeţei de separaţie (fig. 4.4-1) şi cu înălţimea h foarte mică în comparaţie cu dimensiunile bazelor. Se obţine succesiv

( ) D n d ,A D D A q

Σ Σ∆S

n1 n2∫ = − = = 0

sau

D Dn1 n2= . (4.4-1)

La trecerea printr-o suprafaţă de discontinuitate, neîncărcată cu sarcini electrice, se conservă componenta normală a inducţiei electrice.

Fig. 4.4-1. Notaţii la aplicarea legii fluxului electric.

Fig. 4.4-2. Notaţii la aplicarea teoremei potenţialului electrostatic.

Fig. 4.4-3. Refracţia liniilor de câmp electric.

Se aplică teorema potenţialului electrostatic unui mic contur închis SΓ, care trece pe câte o lungime ∆l de o parte şi de alta a suprafeţei de discontinuitate (fig. 4.4-2). Se obţine

( ) E sd ,

Γ∆∫ = − =E E lt1 t2 0

sau

E Et1 t2= . (4.4-2)

La trecerea printr-o suprafaţă de discontinuitate se conservă componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric.

Cu ajutorul acestor două condiţii de trecere, se poate stabili teorema refracţiei liniilor de câmp electric. Se notează cu α1 unghiul de incidenţă şi cu α2 unghiul de refracţie al unei linii a câmpului electric (fig. 4.4-2). Atunci rezultă succesiv

tgtg

.αα

εε

εε

1

2

1 1

2

= = = =D DD D

DD

EE

t1 n1

t2 n2

t1

t2

t1

2 t2

La trecerea printr-o suprafaţă de discontinuitate, liniile de câmp electric se refractă astfel încât tangentele unghiurilor faţă de normala suprafeţei să fie proporţionale cu permitivităţile. Atunci la ieşire dintr-un material cu permitivitate mai mare într-unul cu permitivitate mai mică liniile de câmp se apropie de normală.

40

4.5. ECUAŢIILE POTENŢIALULUI ELECTROSTATIC

4.5.1. POTENŢIALUL ELECTRIC SCALAR

Ecuaţia (4.2-6) arată că orice câmp electrostatic derivă dintr-un potenţial scalar E = − grad .V (4.5-1)

Cu ajutorul legii legăturii dintre D E P, º i şi a legii polarizaţiei electrice temporare,

considerând nulă polarizaţia permanentă (Pp = 0 ), inducţia electrică se poate exprima sub

forma D E= ε , iar apoi cu legea fluxului electric se pot stabili succesiv următoarele relaţii ale

potenţialului scalar

( ) ( )ρ ε εv = = = −div div div grad . D E V (4.5-2)

Se obţine, astfel, ecuaţia potenţialului scalar al câmpului electrostatic

( )div grad . ,ε ρV = − v (4.5-3)

în care ε poate fi funcţiune de punct, iar în cazul mediilor neliniare (univoce) este funcţiune şi de intensitatea câmpului electric (4.5-1). In medii anizotrope, permitivitatea electrică ε poate fi un tensor ( ε ε→ ).

În medii liniare, omogene şi izotrope permitivitatea este o constantă scalară şi întrucât div grad = ∆, potenţialul satisface ecuaţia lui Poisson

∆V = −ρ εv . (4.5-4)

În domeniile fără sarcină electrică ρv = 0 potenţialul electrostatic satisface ecuaţia lui Laplace

∆V = 0. (4.5-5)

Soluţiile ecuaţiei lui Laplace se numesc funcţii armonice. Pentru a rezolva ecuaţia lui Laplace într-un domeniu D trebuie cunoscută funcţia spaţială

a permitivităţii ε(M), pentru orice M ∈ D şi anumite condiţii la limită pe frontiera domeniului ∂D. Pentru ecuaţia Poisson este necesară în plus cunoaşterea repartiţiei spaţiale a surselor ρv(M).

O problemă cu condiţii la limită este corect formulată dacă soluţia există, este unică şi depinde continuu de datele problemei.

Condiţiile de unicitate a soluţiilor se pot stabili cu ajutorul formulelor lui Green pentru câmpuri de scalari.

4.5.2. FORMULELE LUI GREEN PENTRU CÂMPURI DE SCALARI

Fie U şi V două câmpuri de scalari, definite în domeniul D. Aplicând formula Gauss-Ostrogradski fluxului câmpului biscalar

F =U Vgrad , se obţine prima formulă a lui Green

pentru câmpuri de scalari

( ) ( )U V A U V v U V U V vD D D

grad d div grad d grad grad d .n∂∫ ∫ ∫= = +∆ (4.5-6)

Pentru U = V, ultima relaţie devine

( )V V A V V V vD D

grad d grad d .n∂∫ ∫= +∆ 2 (4.5-7)

41

Înlocuind în (4.5-6) V cu U şi scăzând din (4.5-6), membru cu membru relaţia obţinută, se stabileşte a doua formulă a lui Green pentru câmpuri de scalari

( ) ( )U V V U A U V V U vD D

grad grad d d .− = −∫ ∫n

∂∆ ∆ (4.5-8)

4.5.3. CONDIŢII DE FRONTIERĂ DE TIP DIRICHLET ŞI NEUMANN

Se notează formal CfV condiţiile la limită (de frontieră) prescrise potenţialului scalar V şi derivatelor sale.

Fie V1(M) şi V2(M) două soluţii ale ecuaţiei (4.5-4), cu valori diferite în punctele M ale domeniului D,

( ) ( ) ( ) ( )∆ ∆V V D1 2M M M M pentru orice Mv v= − = − ∈ρ ε ρ ε, , , (4.5-9)

cu aceleaşi condiţii de frontieră

( )( ) ( )( )C M C M pentru orice Mf fV V D1 2= ∈, .∂ (4.5-10)

Se noteză Vd(M) câmpul scalar diferenţă

( ) ( ) ( )V V V Dd M M M pentru orice M= − ∈1 2 , . (4.5-11)

Acest câmp satisface ecuaţia lui Laplace şi are condiţii de frontieră nule. Formula (4.5-7) scrisă pentru câmpul diferenţă este

( )V V A V V V vD Dd d d d dgrad d grad d .n∂∫ ∫= +∆ 2 (4.5-12)

Se definesc părţile frontierei FD(MD), pentru orice MD ∈ ∂D şi FN(MN), pentru orice MN ∈ ∂D, iar FD ∪ FN = ∂D, FD ∩ FN = 0.

Integrandul primului membru al ecuaţiei (4.5-12) se anulează dacă Vd(M) = 0, pentru orice M ∈ FD(M); acestea se numesc condiţii Dirichlet sau de prima

speţă (trebuie dată valoarea potenţialului în punctele frontierei FD(MD)); ( ) ( )n grad ,V V nd dM M= =∂ ∂ 0 pentru orice M ∈ FN(M); acestea se numesc condiţii

Neumann sau de a doua speţă (trebuie dată valoarea derivatei după normală în punctele frontierei FN(MN));

o combinaţie liniară a primelor două; acestea se numesc condiţii Robin sau de a treia speţă.

O condiţie de frontieră este omogenă sau naturală dacă valorile date sunt nule. Observaţie. Condiţiile Neumann prescrise trebuie să satisfacă o condiţie suplimentară,

rezultată din legea fluxului electric. Condiţia se obţine integrând ecuaţia (4.5-4) pe domeniul D şi transformând integrala de volum din membrul stâng (întrucât ∆ = div grad). Se obţine

∆V v V A vq

D D D

Dd grad d d .∫ ∫ ∫= = − = −n∂

ρε ε

v (4.5-13)

Se mai demonstrează (Lebesgue) că pentru frontiere cu vârfuri problema lui Dirichlet nu are în general soluţie unică.

4.5.4 TEOREMA UNICITĂŢII SOLUŢIILOR ECUAŢIILOR POISSON ŞI LAPLACE PENTRU POTENŢIALUL SCALAR

42

Teorema are următorul enunţ. Ecuaţiile Poisson (4.5-4) şi Laplace (4.5-5), cu condiţii pe frontieră de tip Dirichlet au soluţii unice, iar cu condiţii Neumann sunt unice până la o constantă aditivă.

Teorema se demonstrează continuând raţionamentul din subcapitolul precedent. În ecuaţia (4.5-12), atât pentru problema Dirichlet, cât şi pentru problema Neumann este nul membrul stâng şi primul integrand din membrul drept. Prin urmare

( )grad , ,V Dd M pentru orice M= ∈0 (4.5-14)

deci Vd(M) = const. In problema Dirichlet Vd este nul pe frontieră şi constanta este nulă, adică V1(M) = V2(M), pentru orice M ∈ D ∪ ∂D. Soluţia este unică. În problema Neumann V1(M) - V2(M) = const şi soluţia este unică până la o constantă aditivă.

4.6. TEOREMA UNICITĂŢII ŞI SUPERPOZIŢIEI CÂMPURILOR ELECTROSTATICE

Aceste teoreme sunt enunţate fără demonstraţie, ele fiind consecinţe directe ale teoremei de unicitate şi superpoziţie a câmpurilor electromagnetice.

Teorema unicităţii în câmpul electrostatic. Câmpul electrostatic dintr-un domeniu al spaţiului ocupat de un mediu dielectric, cu

permitivitatea ( )ε r dată şi independentă de câmp, este univoc determinat de repartiţia în spaţiu a sarcinilor electrice adevărate din domeniul respectiv şi de componenta normală a intensităţii câmpului electric pe suprafeţele-frontieră ale domeniului (teorema lui Neumann), sau de repartiţia în spaţiu a sarcinilor electrice adevărate şi de repartiţia potenţialului electrostatic pe suprafeţele-frontieră ale domeniului (teorema lui Dirichlet). Dacă suprafeţele- frontieră se depărtează la infinit, repartiţia în spaţiu a sarcinii găsindu-se numai într-un domeniu mărginit, condiţiile la limită sunt

E r const V r const2 = = sau .

Teorema superpoziţiei câmpurilor electrostatice. Intensitatea câmpului electric rezultant, produs de corpuri cu n distribuţii de sarcini

electrice adevărate ( )ρ kr , k = 1,2, ..., n, situate într-un mediu liniar, într-o regiune mărginită a

spaţiului, este egală cu suma intensităţilor câmpurilor electrice care s-ar produce dacă ar exista fiecare distribuţie în parte, în lipsa celorlalte. Teorema este valabilă pentru medii liniare şi pentru întregul domeniu în care există câmp electric produs de aceste sarcini.

În cazul particular a n conductoare în regim electrostatic şi având potenţialele V1, V2, ..., Vn (cu V∞ = 0), potenţialul rezultant V, într-un punct cu vectorul de poziţie r , are expresia

( ) ( )V v Vk k kk

n r r==∑

1

,

unde ( )vk kr este potenţialul în punctul considerat, în ipoteza că potenţialul conductorului k ar

fi egal cu unitatea, potenţialele toturor celorlalte conductoare fiind nule. Această teoremă are şi următoarea formă particulară: dacă este nul potenţialul punctelor

de la infinit şi sarcinile electrice adevărate ale tuturor conductoarelor cresc de λ ori, atunci şi potenţialele conductoarelor, respectiv potenţialul fiecărui punct din spaţiu, cresc de λ ori.

43

5. SISTEME DE CONDUCTOARE IN ECHILIBRU ELECTROSTATIC

5.1. CONDENSATORUL ELECTRIC ŞI CAPACITATEA ELECTROSTATICĂ

Se consideră un sistem format din două conductoare omogene, încărcate cu sarcinile electrice adevărate q1, q2, egale şi de nume contrar: q1 = q şi q2 = - q (fig. 5.1-1). Un asemenea sistem se numeşte condensator electric. Dacă conductoarele (numite şi armături) sunt separate prin dielectrici omogeni sau neomogeni, neîncărcaţi şi fără polarizaţie permanentă (ρv = 0, ρS = 0 pe suprafeţe interioare,

Pp = 0 ), atunci mărimea pozitivă, definită prin raportul

dintre sarcina unui conductor şi tensiunea electrică de la acel conductor la celălalt conductor, se numeşte capacitate electrică a condensatorului

Cq

V Vq

V Vq

UqU

D=

−=

−= =1

1 2

2

2 1

1

12

. (5.1-1)

Fig. 5.1-1. Notaţii pentru definirea capacităţii electrostatice

Practic, un sistem de două conductoare formează un condensator, dacă aplicând o tensiune între cele două ărmături, toate liniile de câmp care pleacă de la o armătură ajung pe cealaltă; în acest caz armăturile se încarcă cu sarcini electrice egale şi de nume contrar (cu sumă nulă). În ansamblul său, condensatorul este neutru.

Capacitatea unui condensator cu dielectric liniar nu variază cu tensiunea aplicată între armături (în conformitate cu teorema superpoziţiei).

În sistemul internaţional de unităţi (SI) unitatea de măsură a capacităţii se numeşte farad, simbolizată [F] şi este egală cu capacitatea condensatorului care încărcat cu sarcina electrică de un coulomb stabileşte între armăturile sale o tensiune de un volt.

Capacitatea se exprimă, de obicei, în submultipli ai unităţii fundamentale: mF (10-3 F), µF (10-6 F), nF (10-9 F), pF (10-12 F).

Calculul capacităţii uni condensator cu armături de formă dată, separate prin dielectrici cu caracteristici şi structură cunoscută, se reduce la rezolvarea unei probleme de câmp electrostatic, în care cele două armături sunt încărcate cu sarcini electrice de 1 C, respectiv -1 C. Tensiunea electrică între armături, calculată fie ca diferenţa potenţialelor celor două armături, fie ca integrala de linie a intensităţii câmpului electric între armături, va fi numeric egală cu capacitatea condensatorului. Pentru configuraţii tipice (condensator plan, cilindric, sferic) au fost stabilite expresii la cursul de Bazele Electrotehnicii, în anul II.

Aplicaţie. Condensatorul cilindric. Armăturile condensatorului sunt doi cilindri de raze R1 şi R2 > R1, de lungime l, separaţi

printr-un dielectric omogen, de permitivitate ε. Se va examina numai cazul în care cele două armături sunt coaxiale (fig. 5.1-2). Fie q sarcina armăturii interioare.

Dacă se neglijează efectul de margine (de la capetele armăturilor), din motive de simetrie liniile de câmp sunt radiale şi câmpul electric depinde numai de distanţa r a punctului curent faţă de axa cilindrilor. Câmpul se calculează utilizând legea fluxului electric, aplicată

44

pe o suprafaţă închisă ∑, de forma unui cilindru coaxial, de rază r şi lungime l, care se va nota cu Sc, închis la capete prin două discuri de rază r, notate cu S1 şi S2

Σ = ∪ ∪S S Sc 1 2

Fig. 5.1-2. Notaţii pentru condensatorul cilindric.

Se observă că, datorită neglijării efectului de margine, liniile de câmp sunt tangente la suprafeţele discurilor de la extremităţi (S1 şi S2), deci fluxul electric prin aceste discuri este nul. De asemenea, pe suprafaţa Sc vectorul inducţiei electrice este omoparalel cu versorul normalei n şi are o valoare constantă. Atunci fluxul electric prin suprafaţa ∑ va fi

ΨΣ Σ= = = ==∫ ∫ ∫

D n D nd d d .A A D A D r lS SC C

2π (5.1-2)

De asemenea

q qΣ = . (5.1-3)

În baza legii fluxului electric (ΨΣ Σ= q ) şi a legii de legătură D E= ε , rezultă

D qr l

E qr l

= =2 2π πε

, . (5.1-4)

Tensiunea electrică între armături este

U ql

rr

ql

RRR

R

R

R= = =∫ ∫

E sd d ln .1

2

1

2

2 22

1πε πε (5.1-5)

Rezultă expresia capacităţii condensatorului cilindric

C qU

lR R

= =2

2 1

πεln

. (5.1-6)

De obicei capacitatea condensatorului cilindric se raportează la unitatea de lungime, obţinându-se aşa numita capacitate lineică

C Cl R Rl = =

2

2 1

πεln

. (5.1-7)

Pentru calculul capacităţii lineice a cablurilor, ultima formulă se exprimă într-o formă "practică", înlocuind valoarea permitivităţii vidului şi raportând capacitatea la lungimea de un kilometru

CR Rl

r [ F / km]=ε

µ18 2 1ln

. (5.1-8)

Pentru cabluri, cu domeniile de valori uzuale εr = 2,3...3,6 şi R2/R1 = 1,5...2, capacitatea lineică are domeniul de valori

45

Cl = 0,2...0,5 [µF/km]. (5.1-9)

5.2. RELAŢIILE LUI MAXWELL REFERITOARE LA CAPACITĂŢI.

În cazul conductoarelor omogene, încărcate cu sarcini electrice, situate în medii liniare (fără polarizaţie permanentă) şi neîncărcate cu sarcină electrică de volum, se pot stabili relaţii importante între sarcinile electrice ale conductoarelor şi potenţialele acestora, cunoscute ca relaţiile lui Maxwell referitoare la capacităţi. Aceste relaţii sunt utile mai ales la studiul capacităţii liniilor de transport de energie electrică (linii aeriene sau cabluri), dar şi pentru alte configuraţii.

Se consideră un sistem de n conductoare omogene, situate într-un mediu dielectric liniar, neîncărcat şi fără polarizaţie permanentă. Conductoarele sunt încărcate cu sarcinile electrice q1, q2, ..., qn, fiind izolate între ele şi faţă de un conductor de referinţă (0), având potenţialul nul (V0 = 0) şi sarcina q0 (fig. 6.4-1). Sistemul de sarcini este complet, adică

q qkk

n

01

0+ ==∑ . (5.2-1)

Fig. 5.2-1. Notaţii pentru relaţiile lui Maxwell referitoare la capacităţi.

Conform teoremei superpoziţiei, potenţialul Vk, al unui conductor de ordin k, se obţine sub forma expresiei liniare

V q k nk k i ii

n

= ==∑α

1

1 2, , , , . (5.2-2)

Aceasta este prima relaţie a lui Maxwell referitoare la capacităţi. Coeficienţii αki care intervin în aceste relaţii se numesc coeficienţi de potenţial electrostatic.

Toţi coeficienţii de potenţial sunt pozitivi

αki > 0, pentru orice i şi k. (5.2-3)

Coeficienţii de potenţial satisfac relaţia de ordonare

αkk > αki pentru i ≠ k, (5.2-4)

precum şi relaţia de reciprocitate

αki = αik pentru orice i şi k. (5.2-5)

Coeficienţii de potenţial depind numai de configuraţia geometrică şi de natura dielectricului.

Rezolvând sistemul (5.2-2) în raport cu sarcinile electrice, sub forma

46

q V i ni i k kk

n

= ==∑β

1

1 2, , , , , (5.2-6)

se obţine a doua relaţie a lui Maxwell referitoare la capacităţi. Coeficienţii βik ai acestor relaţii se numesc coeficienţi de influenţă electrostatică sau coeficienţi de capacitate şi pot fi deduşi cu relaţia

( )β i ki k k i= −+1∆

∆, (5.2-7)

în care ∆ este determinantul coeficienţilor sistemului (5.2-2), iar ∆ki este determinantul minor obţinut prin suprimarea liniei k şi a coloanei i. Rezultă, evident, că

βik = βki pentru orice i şi k. (5.2-8)

Se mai poate demonstra, că

βii > 0 pentru orice i,

βik < = pentru orice i şi k ≠ i.

(5.2-9)

(5.2-10)

Dacă la ecuaţia de ordin i se adună şi se scade mărimea

β i k ik

n

V=∑

1

,

atunci se obţine o nouă formă

( )q V V Vi i i kk

n

i k k ik

n

= + == =∑ ∑β β

1 1

. (5.2-11)

Se notează

U V i U V V i k

C C i k

i i i k i k

i i kk

n

i k i k

0

01

= = − ≠

= = − ≠=∑

º

º i

, ,

, .β β

Atunci sistemul (5.2-11) devine

q C U C U i ni i i i k i kk

n

= + ==∑0 0

1

1 2, , , , . (5.2-13)

Aceasta este a treia formă a relaţiilor lui Maxwell referitoare la capacităţi. Coeficienţii pozitivi

Cik > 0 pentru orice i şi k ≠ i (5.2-14)

se numesc capacităţi parţiale între conductoare, care satisfac relaţia de reciprocitate

Cik = Cki pentru orice i şi k ≠ i, (5.2-15)

iar coeficienţii pozitivi

Cii > 0 pentru orice i (5.2-16)

se numesc capacităţi parţiale faţă de pământ (mai corect, faţă de conductorul de referinţă). Pentru a da un suport intuitiv conceptului de capacitate parţială, se va examina sistemul

format din două conductoare încărcate, izolate, de formă oarecare, aşezate într-un mediu

47

dielectric liniar, neîncărcat şi fără polarizaţie permanentă, în vecinătatea unei suprafeţe conductoare (de exemplu, pământul, fig. 5.2-2). Fie q1 şi q2 sarcinile electrice ale celor două conductoare, V1 şi V2 - potenţialele lor, iar suprafaţa conductoare (pământul) are potenţialul V0 şi sarcina q0, complementară sarcinii celor două conductoare

q0 = -q1 - q2. (5.2-17)

Fig. 5.2-2. Notaţii pentru definirea capacităţilor parţiale. Fig. 5.2-3. Schema echivalentă cu capacităţi perţiale.

Trasând liniile câmpului electric (ale inducţiei electrice), se constată că o parte q12 a sarcinii conductorului 1 este legată prin linii de câmp cu o sarcină electrică egală şi de nume contrar q21 = - q12 de pe al doilea conductor, iar cealaltă parte q10 a sarcinii conductorului 1 este legată prin linii de câmp cu o sarcină egală şi de nume contrar de pe planul conductor. Se constată relaţii similare şi pentru sarcina celui de al doilea conductor, iar între sarcinile electrice parţiale astfel puse în evidenţă există relaţiile

q1 = q10 + q12, q2 = q20 + q21, q0 = -q10 - q20. (5.2-18)

Pentru suprafeţele corespondente, adică legate prin linii de câmp electric, ale suprafeţelor conductoarelor se definesc capacităţile parţiale în modul următor (vezi fig. 5.2-2)

Cq

V VC

qV V

Cq

V VC

qV V

1212

1 210

10

1 0

2121

2 120

20

2 0

=−

=−

=−

=−

, ,

, . (5.2-19)

Toate capacităţile parţiale de mai sus sunt pozitive, ele având definiţii similare cu cele ale capacităţilor unor condensatoare.

Intrucât q12 = - q21, rezultă şi relaţia de reciprocitate afirmată C12 = C21. Cu mărimile definite mai sus, sarcinile conductoarelor se exprimă prin relaţiile

q1 = q12 + q10 = C12 (V1 - V2) + C10 (V1 - V0),

q2 = q21 + q20 = C21 (V2 - V1) + C20 (V2 - V0). (5.2-10)

regăsind, astfel, a treia formă a relaţiilor lui Maxwell referitoare la capacităţi pentru n = 2, dacă se pune V0 = 0. In relaţiile de mai sus s-a păstrat V0 ≠ 0 din considerente de simetrie şi claritate.

Atunci când cele două conductoare sunt încărcate cu sarcini electrice egale şi de nume contrar q1 = - q2 şi q0 = 0, se poate defini o capacitate echivalentă între conductoarele 1 şi 2, în prezenţa suprafeţei conductoare 0

48

Cq

V VC

C C=

−= +

+1

1 212

20

11 10 1

. (5.2-21)

Această expresie se poate stabili şi direct, dacă se are în vedere schema echivalentă din figura 5.2-3.

Capacitatea astfel definită pentru liniile electrice aeriene (în prezenţa solului) se numeşte capacitate de serviciu.

5.3. CAPACITĂŢILE LINIILOR ELECTRICE AERIENE

Teoremele lui Maxwell referitoare la capacităţi au o aplicaţie importantă la calculul capacităţii liniilor electrice aeriene. Aici se va aborda numai cazul liniei electrice aeriene bifilare, în absenţa sau în prezenţa solului; cazul liniilor mutifilare este abordat la discipline de specialitate.

Se consideră întâi cazul liniei electrice bifilare, formate din două conductoare cilindrice, de diametre în general diferite 2r1 şi 2r2, rectilinii, paralele, încărcate cu sarcinile lineice ρl şi -ρl, situate la distanţa d unul de altul (fig. 5.3-1). Câmpul electric al celor două conductoare se deduce prin superpoziţia câmpurilor electrice create de sarcina fiecărui conductor în parte.

Fig. 5.3-1. Notaţii pentru capacitatea liniei aeriene bifilare.

Câmpul electric şi potenţialul sistemului de conductoare cilindrice se poate studia plecând de la câmpul, respectiv potenţialul firelor încărcate cu aceeaşi sarcină lineică. Atunci când conductoarele cilindrice au diametre mici faţă de distanţa dintre ele, firele "echivalente" vor fi aşezate chiar în axele conductoarelor cilindrice. Această aproximaţie este suficientă în cazul liniei aeriene.

Se ştie că un fir rectiliniu, încărcat cu sarcina lineică ρl, creează la distanţa r un potenţial (logaritmic)

Vr

const= +ρπε

l

02ln .1 (5.3-1)

Pentru simplificarea scrierii, în continuare se va omite scrierea constantei arbitrare. Inlocuind linia prin fire echivalente, încărcate cu sarcinile lineice ρl şi -ρl, potenţialul

unui punct M din planul transversal, aflat la distanţele x1 şi x2 de firele încărcate, va fi

Vx x

xxM

l

0

l

0

l

02 2 2= − =

ρπε

ρπε

ρπε

ln ln ln .1 1

1 2

2

1

(5.3-2)

Potenţialele celor două conductoare cilindrice se determină aducând succesiv punctul M pe suprafaţa câte unui conductor. Se obţin relaţiile

V dr

V dr1

12

2

= =−ρ

περπε

l

0

l

02 2ln , ln . (5.3-3)

Tensiunea între cele două conductoare este

49

U V V dr r

dr r12 1 2

2

1 2 1 2

= − = =ρπε

ρπε

l

0

l

02ln ln . (5.3-4)

Capacitatea pe unitate de lungime (capacitatea lineică) între cele două conductoare este

Cq

U dr r

ll= =12

0

1 2

πε

ln. (5.3-5)

Dacă conductoarele au diametre egale r1 = r2 = r0 şi se exprimă capacitatea lineică pe lungimea de un kilometru, se obţine formula practică

( ) [ ]Cd rl F / km=

136 0ln

µ (5.3-6)

Pentru d/r0 = 20...100, rezultă Cl = 6...10 [nF/km]. Este instructiv să se compare această capacitate lineică a liniilor aeriene cu cea a

cablurilor (care e de 0,2...0,5 µF/km). Rezultă că liniile aeriene au capacităţi lineice de 30...50 ori mai mici decât cablurile.

Influenţa solului se ia în consideraţie în modul următor. Solul se consideră mediu conductor, cu suprafaţa plană şi paralelă cu conductoarele

liniei, formând o suprafaţă echipotenţială, de potenţial nul (deci şi potenţialul punctelor de la infinit este nul). In acest caz câmpul electric al conductoarelor se va determina prin metoda imaginilor electrice.

Se consideră întâi cazul unui singur conductor (fir), încărcat cu sarcina lineică ρl, situat la distanţa h de sol. Câmpul acestui conductor, în prezenţa solului, în domeniul de deasupra solului este identic cu cel creat, în absenţa solului, de conductorul considerat şi de imaginea sa în raport cu suprafata solului (fig. 5.3-2), încărcată cu sarcina lineică -ρl.

Fig. 5.3-2. Fir încărcat şi imaginea sa în raport cu solul.

În adevăr, potenţialul ansamblului conductor fizic şi conductor imagine, în orice punct M situat pe suprafaţa solului (în planul mediator), va avea mereu aceeaşi valoare, căci

V rrM

l

02= =

ρπε

ln ' ,0 (5.3-7)

întrucât r' = r. Metoda imaginilor electrice este o metodă generală pentru determinarea câmpurilor

electrice şi se bazează pe introducerea de sarcini electrice imagine, care în mediul dielectric să conducă la crearea unei suprafeţe echipotenţiale pe suprafaţa pe care ar ocupa-o un anumit conductor (eliminat prim metoda imaginilor).

Fie o linie electrică bifilară, cu conductoare rectilinii, paralele, cilindrice, de diametre 2r1, 2r2, situate la înălţimile h1 şi h2 faţă de sol şi la distanţa d unul de altul (fig. 5.3-3). Conductoarele sunt încărcate cu sarcinile lineice ρl şi -ρl. Luând în consideraţie şi imaginile

50

firelor "echivalente" în raport cu solul, cu notaţiile din figura 5.3-3 rezultă următoarele expresii ale potenţialelor conductoarelor cilindrice

Vhr

dD

Vhr

dD1

1

12

2

2

2 2= +

=

−+

ρπε

ρπε

l

0

l

02 2ln ln , ln ln , (5.3-8)

în care D este distanţa dintre un conductor fizic şi imaginea celuilalt conductor. Ca în cazul anterior (în absenţa solului) se stabileşte expresia tensiunii între conductoare

şi se deduce expresia capacităţii lineice în prezenţa solului

Fig. 5.3.-3. Notaţii pentru luarea în consideraţie a vecinătăţii solului pentru linia aeriană bifilară.

CV V h h

r rdD

dr r

h hD

Sl=−

= =ρ πε πε

1 2

0

1 2

1 2

2

2

0

1 2

1 2

24 2ln ln

. (5.3-9)

În această expresie, care poate fi comparată cu (5.3-5), factorul din expresia logaritmată

2 1 2h hD

reprezintă influenţa solului asupra capacităţii liniei bifilare. Dacă linia este depărtată de sol, atunci 2h1 → 2h2 → D şi se regăseşte formula capacităţii liniei bifilare, în absenţa solului.

Aplicaţie. Pentru o linie cu r1 = r2 = 10 mm,, d = 1 m, h1= h2 = 6 m, rezultă D = 12,04 m. Se observă că 2h/D = 12/12,04 = 0,996677, adică practic 1. Se mai obţine Cl = 6 nF/km.

51

6. ENERGIA SI FORŢELE CÂMPULUI ELECTROSTATIC

6.1. ENERGIA ELECTROSTATICĂ A CÂMPULUI UNUI SISTEM DE CONDUCTOARE

Câmpului electrostatic îi corespunde o anumită energie, numită energie electrostatică. Această energie poate fi determinată particularizând expresia energiei electromagnetice sau direct, aplicând principiul conservării energiei procesului de stabilire a câmpului electrostatic.

Conform principiului conservării energiei, energia elementară dWext primită de un sistem din exterior într-o transformare este egală cu suma dintre lucrul mecanic elementar δL efectuat de sistem, căldura elementară δQ dezvoltată, creşterea elementară dWe a energiei sistemului (aici energia electrostatică) şi energia elementară dWt transformată în alte forme

dWext = δL + δQ + dWe + dWt. (6.1-1)

Mai sus s-a folosit simbolul δ pentru lucrul mecanic elementar (δL) şi pentru căldura elementară (δQ), subliniind astfel faptul că aceste mărimi elementare nu sunt, în general, diferenţiale totale exacte ale unor funcţii de stare (în sens termodinamic).

Dacă transformarea elementară se efectuează foarte lent şi izoterm, pentru a avea mereu stări electrostatice, fără dezvoltare sau transfer de căldură şi dacă toate corpurile sunt imobile (deci nu se efectuează lucru mecanic), atunci energia elementară primită din exterior se va regăsi integral sub formă de creştere elementară a energiei electrostatice

dWext = dWe. (6.1-2)

Fie un sistem DΣ, cuprins în suprafaţa închisă Σ, iniţial fără câmp electric (adică în starea initială în domeniul DΣ este nulă peste tot intensitatea macroscopică a câmpului electric). In această stare, energia electrostatică (macroscopică) este nulă.

Să considerăm că în domeniul DΣ se află n corpuri conductoare, iar câmpul electric al stării finale este datorit încărcării fiecărui corp de ordin k = 1, 2, ..., n cu sarcina electrică qk. Se mai notează cu Vk potenţialul corpului de ordin k în starea finală. De asemenea, se consideră că sistemul sarcinilor este complet

qkk

n

=∑ =

1

0. (6.1-3)

Starea iniţială (cu câmp nul) se obţine atunci când sarcinile electrice ale tuturor conductoarelor este nulă.

Pentru a trece de la starea iniţială la cea finală, se încarcă treptat fiecare conductor, aducând din punctul de origine al potenţialelor (situat în punctul P0), cu ajutorul unui purtător (corp de probă), sarcina elementară dqk* pe conductorul de ordin k (situat în punctul Pk). Lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare pentru transportarea sarcinii elementare dqk* este

( ) ( )δL q q V qk k k k k kk k k

ext extP

P

P

P

P

P

0 0 0

= = − = − =∫ ∫ ∫ F s E s E sd d * d d d * * d *, (6.1-4)

unde Vk* este potenţialul conductorului k în starea intermediară considerată. Incărcarea elementară a tuturor conductoarelor implică lucrul mecanic elementar

52

δ δL L V qkk

n

k kk

n

ext ext= == =∑ ∑

1 1

* d *. (6.1-5)

În regim electrostatic, sistemul primeşte energie din exterior numai sub formă de lucru mecanic al forţelor exterioare

d W Lext ext= δ (6.1-6)

şi ţinând seama că în transformarea considerată energia primită din exterior se transferă integral câmpului electrostatic conform relaţiei (6.1-2), rezultă expresia energiei electrostatice elementare

d * d *.W V qk kk

n

e ==∑

1

(6.1-7)

Energia electrostatică a sistemului se obţine integrând această expresie de la starea de referinţă (cu câmp macroscopic nul) până la starea finală (actuală, dată).

Pentru simplificarea raţionamentelor, în continuare se va considera numai cazul câmpului electric în medii liniare.

Intrucât energia este o mărime de stare (în sens termodinamic), care depinde numai de mărimile de stare ale câmpului electrostatic, se poate considera un mod particular de atingere a stării finale (care simplifică calculele), prin creşterea simultană, proporţională, a sarcinii tuturor conductoarelor. Fie λ ∈ (0,1) un factor de stare intermediară. Atunci, într-o stare intermediară sarcina conductorului de ordin k va fi

q qk k* ,= λ (6.1-8)

iar în baza teoremei superpoziţiei (sau a relaţiilor lui Maxwell referitoare la capacităţi) rezultă că şi potenţialele stării intermediare vor fi proporţionale cu acelaşi factor

V Vk k* .= λ (6.1-9)

Expresia energiei electrostatice elementare devine

( ) ( )d d d .W V q V qk kk

n

k kk

n

e = =

= =∑ ∑λ λ λ λ

1 1

(6.1-10)

Energia electrostatică este

W W V q

W V q

k kk

n

k kk

n

e e

e

= =

=

=

=

==

=

=

∫ ∑ ∫

∑

d d ,

.

λ

λ

λ

λλ λ

0

1

10

1

12

1

(6.1-11)

În cazul particular al unui condensator avem

n q q q q V V U= = = − − =1 1 2 1 2, , ,

şi rezultă

( )W qV qV qU CU q Ce = − = = =12 1 2

12

12

2 12

2 . (6.1-12)

Notă. Dacă s-ar fi considerat repartiţii de volum ale sarcinii electrice, cu densitatea de volum ρv în medii liniare s-ar fi obţinut următoarea expresie a energiei electrostatice

53

W V vDe v= ∫1

2 ρ d ,Σ

(6.1-13)

care se stabileşte prin generalizarea sumei din expresia particulară (6.1-11).

6.2. DENSITATEA DE VOLUM A ENERGIEI CÂMPULUI ELECTROSTATIC

Energia câmpului electrostatic este localizată în tot domeniul ocupat de câmpul electrostatic, cu o densitate de volum care se poate exprima în funcţie de mărimile de stare ale câmpului electric (

E D º i ).

Pentru simplificarea calculelor, se consideră cazul cel mai simplu, al unui câmp uniform, cuprins între două armături plane paralele, de arie A, situate la distanţa a una de alta, în spaţiul separator fiind un dielectric omogen (cazul condensatorului plan, fig. 6.2-1, la care se neglijează efectul de margine). Rezultă succesiv

( )( ) ( )( )W qU A a Aa ve = = = =12

12

12

12

D n E n E D E D , (6.2-1)

unde cu v = A a s-a notat volumul domeniului de câmp.

Fig. 6.2-1. Domeniu cu câmp electric uniform. Fig. 6.2-2. Domeniu elementar în câmpul electric.

Densitatea de volum a energiei electrostatice va fi

w W v E De e= = = =12

12

2 12

2 E D ε ε , (6.2-2)

aceste expresii fiind valabile numai în medii liniare şi fără polarizaţie permanentă. Aceeaşi expresie se obţine şi în cazul unui câmp neuniform. In acest caz, volumul

elementar ∆v se obţine secţionând un tub de câmp elementar prin două suprafeţe echipotenţiale foarte apropiate (fig. 6.2-2). Acest volum elementar poate fi asimilat cu un mic condensator plan, pentru care este valabilă expresia (6.2-2) a densităţii de volum a energiei electrostatice.

In medii neliniare, plecând de la expresia generală (6.1-7), particularizată pentru condensator

d * d *,W U qe = (6.2-4)

rezultă succesiv

( ) ( )d * d * * d * * d *.W U q a A ve = = = E n D n E D (6.2-5)

Deci diferenţiala densităţii de volum a energiei electrostatice are expresia

d d * d *.w W ve e= = E D (6.2-6)

Expresia generală a densităţii de volum a energiei electrostatice devine

we = ∫ E D* d *, (6.2-7)

54

integrarea efectuându-se de la starea de referinţă (D*= 0 ) până la starea actuală. De exemplu,

în cazul unui mediu neliniar, dar având caracteristica univocă (fig. 6.2-3), densitatea de volum a energiei electrostatice va fi egală cu aria triunghiului curbiliniu OMA.

Fig. 6.2-3. Diferenţiala densităţii de volum a energiei electrostatice şi densitatea de volum a energiei electrostatice.

Energia unui volum DΣ din câmpul electrostatic este dată de integrala de volum a densităţii de volum a acestei energii. De exemplu, în cazul mediilor liniare se obţine expresia

W w v vDDe e= = ∫∫ d d .1

2

ED

ΣΣ

(6.2-8)

Dacă integrala este efectuată asupra întregului spaţiu (sau a spaţiului care conţine tot câmpul electric), atunci expresia (6.2-8) a energiei electrostatice este echivalentă cu expresiile (6.1-11) sau (6.1-13); ultimele expresii sunt valabile însă numai în electrostatică şi pentru întregul domeniu de câmp, pe când expresiile (6.2-1) şi (6.2-8) sunt valabile şi în cazul câmpului electric variabil în timp (în medii liniare), iar expresia densităţii de volum (6.2-7) este aplicabilă şi mediilor neliniare.

Se poate introduce, prin definţie, şi coenergia electrică, a cărei densitate de volum are diferenţiala

d ' * d *,w e = D E (6.2-9)

cu proprietatea importantă

( )d d ' d .w we e+ = ED (6.2-10)

Expresia densităţii de volum a coenergiei electrostatice este

w' * d *,e = ∫ D E (6.2-11)

integrarea efectuându-se de la starea de referinţă (E*= 0 ) până la starea actuală. În planul

figurii 6.2-3 densitatea de volum a coenergiei corespunde ariei triunghiului curbiliniu OMB. Se observă că în medii liniare densitatea de volum a coenergiei electrice este egală cu

densitatea de volum a energiei electrice

w we e= =' .12

ED (6.2-12)

Coenergia unui volum DΣ din câmpul electrostatic este dată de integrala de volum a densităţii de volum a coenergiei.

Se poate stabili şi o expresie a coenergiei, exprimată cu ajutorul mărimilor de circuit - tensiuni şi sarcini electrice, care are forma diferenţială simetrică cu (6.1-7)

d ' dW q Vk ke = ∑ (6.2-13)

şi din nou rezultă proprietatea importantă

( )d d ' d ,W W q Vk ke e+ = ∑ (6.2-14)

55

care va fi utilă în cele ce urmează

6.3. TEOREMELE FORŢELOR GENERALIZATE ÎN CÂMP ELECTROSTATIC

Forţele care se exercită asupra corpurilor situate într-un câmp electrostatic nu se pot calcula totdeauna cu teorema lui Coulomb, fiindcă această teoremă este valabilă numai pentru medii omogene, liniare şi izotrope. O metodă generală de calcul a forţelor electrostatice (şi a forţelor electrice în regim variabil) are la bază relaţia de bilanţ (6.1-1).

Considerând un sistem de corpuri care se pot deplasa (chiar virtual) sub influenţa forţelor electrice, lucrul mecanic elementar δL efectuat de un corp se exprimă sub forma

δL = X dx, (6.3-1)

în care X este forţa generalizată care se exercită asupra corpului, în sensul în care variază cu dx o coordonată generalizată x a corpului, asociată forţei X.

Coordonata generalizată x poate fi o distanţă, atunci X este componenta forţei după direcţia în care creşte x, poate fi un unghi - atunci X este un cuplu, poate fi un volum - atunci X este o presiune, poate fi o arie - atunci X este o tensiune superficială ş.a.m.d. Fie un sistem de corpuri A1, A2,..., An şi A în câmp electrostatic, în care numai corpul A se deplasează, astfel încât variază o singură coordonată generalizată x a sa cu dx, forţa generalizată corespunzătoare, exercitată de câmpul electric, fiind X (fig. 6.3-1). In cursul deplasării elementare se consideră îndeplinite condiţiile regimului electrostatic. In aceste condiţii, energia elementară primită de sistem de la sursele exterioare

d dW V qk kk

n

ext ==∑

1

(6.3-2)

Fig. 6.3-1. Notaţii pentru stabilirea expresiei forţei generalizate în câmp electrostatic.

va fi egală cu suma dintre lucrul mecanic elementar efectuat δL şi creşterea dWe a energiei electrostatice a sistemului

dWext = δL + dWe, (6.3-3)

sau,

X x V q Wk kk

n

d d d .= −=∑

1e (6.3-4)

Din această expresie se poate determina forţa electrostatică generalizată X, dacă se cunoaşte modul în care variază energia electrostatică şi energia primită din exterior în cursul deplasării elementare dx.

In baza teoremei unicităţii câmpului electrostatic, energia electrostatică a unui sistem de conductoare încărcate cu sarcini electrice poate fi exprimată ca funcţie de coordonatele sale şi

- fie numai de sarcinile tuturor corpurilor, - fie numai de potenţialele tuturor corpurilor, - fie de sarcinile unor corpuri şi de potenţialele celorlalte corpuri.

La determinarea forţelor generalizate este mai potrivită folosirea uneia din primele două exprimări ale energiei electrostatice, cum se arată mai jos.

56

În adevăr, pentru a obţine o expresie simplă a forţei generalizate, sunt de luat în consideraţie următoarele două cazuri: sistem izolat sau sistem cu potenţiale fixate.

Dacă sistemul este izolat, sarcinile electrice ale corpurilor nu se modifică în cursul transformării, deci dqk = 0 pentru orice k şi rezultă

( )X x W q constd d= − =e (6.3-5)

Exprimând energia electrostatică We ca funcţie numai de sarcinile electrice şi de coordonata generalizată x, diferenţiala energiei electrostatice va avea forma

d d d .WWx

xWq

qk

kk

n

ee e= +

=∑∂

∂∂∂1

(6.3-6)

Condiţia de sarcină constantă conduce la expresia simplă

( )d d .W q constWx

xee

= =∂∂

(6.3-7)

Astfel se obţine prima teoremă a forţelor generalizate în câmp electrostatic

XWx q const

= −

=

∂∂

e . (6.3-8)

Forţa generalizată X, asociată coordonatei generalizate x, este egală cu derivata parţială cu semn schimbat a energiei electrostatice a sistemului în raport cu coordonata generalizată x, la sarcini constante ale conductoarelor; energia trebuie să fie exprimată ca funcţie de coordonata generalizată şi numai de sarcinile corpurilor.

Se observă că, sistemul fiind izolat, lucrul mecanic al forţei generalizate este efectuat pe seama scăderii energiei interne (electrostatice) a sistemului.

Dacă sistemul are potenţialele fixate (conductoarele sunt conectate la surse de tensiune), Vk = const pentru orice k, atunci se foloseşte relaţia (6.2-13) dintre energie şi coenergie, cu care se transformă succesiv membrul drept al relaţiei (6.3-4)

( )d d d d d ' d ' .W W V q q V W q dV Wk k k k k kext e e e− = − + = − +∑ ∑ ∑

Se observă că suma se poate anula punând condiţia de potenţiale fixate şi se obţine

( )X x W W V constd d d ' .= + =ext e (6.3-9)

Exprimând coenergia electrostatică ca funcţie de coordonata generalizată x şi numai de potenţiale, printr-un raţionament similar cu cel dezvoltat anterior, se obţine a doua teoremă a forţelor generalizate în câmp electrostatic

XW

x V const=

=

∂∂

'.e (6.3-10)

Forţa generalizată X, asociată coordonatei generalizate x, este egală cu derivata parţială a coenergiei electrostatice a sistemului în raport cu coordonata generalizată x, la potenţiale constante ale conductoarelor; coenergia trebuie să fie exprimată ca funcţie de coordonata generalizată şi numai de potenţialele corpurilor.

Se observă că în cursul deplasării elementare, în acest caz sistemul primeşte de la sursele exterioare o energie mai mare decât lucrul mecanic efectuat, deci o dată cu efectuarea lucrului mecanic creşte şi energia internă (electrostatică) a sistemului.

Cele două expresii ale forţei generalizate sunt echivalente şi dau acelaşi rezultat.

57

Observaţie. Uneori a doua teoremă este prezentată înlocuind coenergia electrostatică prin energie; atunci expresia este valabilă numai pentru sisteme liniare, folosirea sa în alte condiţii fiind greşită.

Aplicaţie. Se consideră un condensator cilindric cu armături coaxiale, având diametrele d1 = 8 mm, d2 = 10 mm şi lungimea l = 100 mm (fig. 6.3-2). Dielectricul condensatorului este constituit din ulei de transformator (cu εr = 2,3) pe o lungime a < l, iar pe restul lungimii este aer (cu ε = ε0). Se cere forţa axială F care se exercită asupra suprafeţei inelare de separaţie ulei-aer, dacă între armăturile condensatorului se aplică o tensiune constantă de 2 kV.

Fig. 6.3-2. Forţa care se exercită asupra unei suprafeţe inelare în câmp electrostatic.

Cu expresia capacităţii lineice a condensatorului cilindric şi ţinând seama că cele două porţiuni - cu dielectric ulei, respectiv aer - sunt în paralel, rezultă capacitarea condensatorului

( ) ( )Cd d

a l a= + −2 0

2 1

πεε

ln.r (6.3-11)

Energia electrostatică a dispozitivului este

W CUe = 12

2 . (6.3-10)

Coordonata generalizată asociată forţei axiale F este lungimea a. Cu a doua teoremă a forţelor generalizate în câmp electrostatic (sistemul fiind liniar, coenergia are aceeaşi valoare ca energia, W'e = We) rezultă

( ) ( )FW

a U constU C

aU

d d=

=

= = −∂∂

∂∂

πεε

'ln

.er

12

2 2 0

2 1

1 (6.3-11)

Numeric se obţine

F = = −ππ

4 10 1 34 9 10 1 25

0 647 106

93. . ,

. ln ,, . N. (6.3-12)

Forţa este foarte mică şi pentru a aprecia efectele sale se calculează înălţimea h la care se va ridica uleiul între armăturile condensatorului sub influenţa forţei electrostatice. Greutatea coloanei de ulei de înălţime h este

( )G d d hg= −14 2

212π δ, (6.3-13)

unde cu δ s-a notat densitatea uleiului de transformator (aproximativ 900 kg/m3) şi cu g - acceleraţia gravitaţională (9,81 m/s2). Din egalitatea F = G se obţine

( )( ) ( )

[ ] [ ]hU

g d d d d=

−

−= =−4 1

2 59 10 2 592

0

22

12

2 1

3ε ε

δr m mmln

, . , , .

adică efectul forţei electrostatice este mic, deşi solicitarea dielectrică este importantă (20 kV/cm), la limita rigidităţii dielectrice în aer.Forţele de natură electrostatică sunt forte mici şi nu au găsit aplicaţii decât în aparatele electrice de măsurat şi în unele traductoare.

58

7. METODE PENTRU DETERMINAREA CÂMPULUI ELECTROSTATIC

7.1. CLASIFICAREA METODELOR

Sunt cunoscute numeroase metode pentru determinarea câmpului electrostatic. Se disting metode analitice, numerice, grafice, grafo-analitice şi analogice.

Cu metodele analitice se obţin soluţii care se exprimă cu funcţii cunoscute. Soluţiile analitice prezintă avantajul că permit interpretarea calitativă a rezultatelor. Insă numărul configuraţiilor care poate fi abordat cu metode analitice este redus. Principalele metode analitice sunt: metoda elementară (sau directă), metoda integrării ecuaţiilor Poisson-Laplace prin separarea variabilelor, metoda imaginilor electrice, metoda funcţiilor de variabilă complexă - asociată cu transformări conforme - şi metoda funcţiilor Green.

Metodele numerice se pot aplica oricărei configuraţii, cu o eroare care depinde de metoda folosită şi de partiţionarea domeniului de câmp. Principalele metode numerice sunt metoda diferenţelor finite, metoda elementelor finite, metoda elementelor de frontieră, metoda Monte-Carlo.

Metodele grafice se bazează pe trasarea spectrului câmpului studiat, iar metoda grafo-analitică foloseşte aproximarea formei liniilor de câmp prin segmente drepte şi arce de cerc (mai rar - şi arce de elipsă). Metodele analogice folosesc reprezentarea câmpului electrostatic prin câmpuri de altă natură (în care să se poată măsura mai uşor anumite mărimi de câmp).

După numărul de coordonate spaţiale de care depinde câmpul, se disting câmpuri tri-, bi- şi uni-dimensionale (notate scurt 3D, 2D şi 1D). In cadrul câmpurilor bidimensionale se disting câmpuri plan-paralele (nu depind de coordonata axei perpendiculare pe plan) şi plan-radiale (nu depind de unghiul de azimut al planului meridian care trece prin axa unei configuraţii cu simetrie faţă de o axă).

Aici se vor prezenta câteva metode folosite în inginerie. Se reaminteşte că în cadrul disciplinelor de analiză matematică şi de matematici speciale a fost dezvoltată teoria matematică a câmpurilor de vectori şi sunt studiate metodele analitice ale fizicii matematice, care stau la baza multor metode folosite în studiul câmpului electrostatic.

7.2. METODA ELEMENTARĂ

Metoda elementară consistă în aplicarea directă a legilor şi teoremelor sub formă integrală, atunci când corpurile prezintă proprietăţi de simetrie, care permit să se stabilească direct forma liniilor de câmp şi legea de variaţie a mărimilor de câmp în funcţie de o anumită coordonată.

In acest mod se poate calcula, în mediu omogen, câmpul electrostatic al sferei încărcate, al planului, al firului sau al cilindrului cu sarcină electrică uniform repartizată.

Adesea metoda elementară se asociază cu anumite aproximaţii şi cu superpoziţia mai multor repartiţii. Astfel se calculează câmpul electrostatic al dipolului, al stratului dublu, al perechii de conductoare cilindrice ş.a.

Exemplul 1

Sarcina este distribuită cu o densitate de volum ρv(R), care depinde numai de distanţa

. Câmpul electric creat de o repartiţie de volum cu simetrie sferică a sarcinii electrice, într-un domeniu omogen.

R = − r r0 faţă de un centru situat în punctul r0 . Din considerente de simetrie câmpul creat va avea simetrie faţă de acest centru şi intensitatea sa va depinde numai de distanţa de centru,

59

deci liniile câmpului vor fi radiale ( ) ( ) ( ) E r u u r r0= = −r r unde E R R, este versorul

orientării radiale din centrul r0 . Inducţia electrică este D E= ε . Mediul poate fi neliniar.

Fie o sferă Σ de rază R, cu centrul în r0 . Fluxul electric prin suprafaţa acestei sfere este

( ) ( )ψ ε π εΣ ΣΣ Σ= = =∫ ∫

D n u ud d ,A E R A R E Rr r 4 2

întrucât pe sfera de rază R câmpul are o valoare constantă. Sarcina electrică din volumul sferei este

( )q v u u uD u

u R

ΣΣ

= =∫ ∫ =

=ρ ρ πv vd d .4 2

0

După precizarea legii de distribuţie a sarcinii se determină expresia intensităţii câmpului electric. De exemplu:

- pentru sarcină "punctiformă" (localizată într-un volum de rază neglijabilă) qΣ = q în orice punct (exclusiv în r0 );

- pentru ρv = const în sfera de rază R0, rezultă qΣ = 4 π ρv R3/3 pentru R ≤ R0, qΣ = 4 π ρv R0

3/3 pentru R > R0, - pentru sarcină repartizată superficial pe sfera de rază R0 cu densitatea de suprafaţă ρS

rezultă qΣ = 0 pentru R < R0 şi qΣ = 4 πρS R02, pentru R > R0

Sarcina qΣ divizată cu 4 π R2 dă inducţia câmpului electric D(R), iar divizată cu 4 π R2 ε dă intensitatea câmpului electric E(R).

Exemplul 2

( ) p l=

→

lim ,ql

∆∆ 0

. Câmpul electric al dipolului, adică al unui ansamblu de două sarcini punctiforme egale şi de semn contrar (q şi -q), aflate la distanţa ∆l şi care variază astfel încât există limita ∆l q, atunci când ∆l tinde spre zero. Se notează cu

unde ∆l este vectorul care uneşte punctele în care se află sarcinile -q şi q (fig. 7.2-1).

Fig. 7.2-1. Notaţii pentru determinarea potenţialului dipolului electric.

Se foloseşte expresia potenţialului coulombian, al unui corp punctiform încărcat cu sarcina q, aplicată succesiv celor două corpuri. In punctul N, reperat faţă de dipol prin raza vectoare

R (fig. 7.2-1), respectiv prin distanţele R1 şi R2, se obţine potenţialul

V qR R

q R RR Rl

l

d = −

=

−→

→

lim lim .0

0 1 2 0

2 1

1 20

41 1

4πε πε

Întrucât l << R, rezultă următoarele limite

( )lim lim cos cos ,l l

q R R ql p→ →

− = =0 2 1 0

α αd

60

( )lim .l

R R R→

=0 1 2

2

Se mai observă că

p Rd dcos .α =

p R

Astfel se obţine expresia potenţialului dipolului

VRdd=

14 0

3πε

p R

. (7.2-1)

Se observă că potenţialul dipolului electric scade invers proporţional cu pătratul distanţei de la dipol, pe când potenţialul sarcinii punctuale scade numai invers proporţional cu distanţa.

Câmpul electric al dipolului se poate calcula direct

Ep R

d dd= − = −grad gradV

R1

4 03πε

şi apoi rezultă succesiv

( )grad grad grad ,

p Rp R p Rd

d dR R R3 3 3

1 1= +

grad ,1 3 334

5RR

R R= − = −−

R R

( )grad , p R pd d=

( )

Ep R R p

dd d= −

14

30

5 3πε R R. (7.2-2)

Se observă că dipolul are un câmp electric care scade cu puterea a treia a distanţei faţă de dipol, spre deosebire de câmpul sarcinii punctuale, care scade cu pătratul distanţei.

7.3. METODA REZOLVĂRII ECUAŢIILOR LUI LAPLACE ŞI POISSON PENTRU CÂMPUL ELECTROSTATIC

Problemele de câmp electrostatic în medii liniare se pot studia, în cazul general, pe calea rezolvării (în condiţii de frontieră date) a unei ecuaţii cu derivate parţiale de ordinul al doilea, satisfăcută de potenţialul electrostatic. Ecuaţia se obţine înlocuind expresia E = − gradV (forma locală a teoremei potenţialului electrostatic) în forma locală a legii fluxului electric div

D = ρv , ţinând seama de legea de legătură

D E= ε . Se obţine ecuaţia

( )div grad .ε ρV = − v (7.3-1)

In dielectrici omogeni şi liniari, unde ε este constant (are aceeaşi valoare în orice punct al spaţiului), rezultă ecuaţia

div grad .V V= = −∆ ρ εv (7.3-2)

61

Operatorul ∆ = div grad se numeşte laplacian. În coordonate carteziene acest operator are expresia

∆ = + +∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2x y z. (7.3-3)

Ecuaţia (7.3-2) se numeşte ecuaţia lui Poisson şi o soluţie a sa, pentru întregul spaţiu, este dată de expresia potenţialului coulombian (înlocuind ε0 prin ε)

VR

v constD

= +∞∫

14πε

ρv d , (7.3-4)

integrarea efectuându-se asupra întregului spaţiu (considerat omogen şi liniar). Dacă domeniul de câmp este lipsit de sarcini electrice, ecuaţia potenţialului devine

∆V = 0 (7.3-5)

şi se numeşte ecuaţia lui Laplace. În general, soluţia ecuaţiei lui Poisson se obţine ca suma dintre soluţia generală a

ecuaţiei lui Laplace şi o soluţie particulară a ecuaţiei lui Poisson. Dacă domeniul de câmp este finit, închis de suprafaţa Σ, se poate obţine o soluţie

generală a ecuaţiei lui Laplace, cu ajutorul formulelor lui Green. Amintim numai faptul că, atunci când domeniul este finit, pe suprafaţa frontieră Σ trebuie date condiţiile de frontieră, adică fie potenţialele (problema lui Dirichlet), fie componenta normală a câmpului (problema lui Neumann), fie potenţialele pe o parte Sn∈Σ a suprafeţei frontieră şi componenta normală a câmpului pe restul Σ\Sn al suprafeţei frontieră, sau combinaţii liniare ale acestor condiţii de frontieră (problema lui Robin).

Rezolvarea ecuaţiei lui Laplace, în condiţii de frontieră date, constituie una dintre problemele fundamentale ale fizicii matematice. Această problemă poate fi rezolvată, de la caz la caz, cu metode analitice, exacte (metoda suprapunerii efectelor, metoda separării variabilelor, metoda functiilor analitice, metoda reprezentării conforme ş.a.), sau cu metode aproximative (metode numerice: metoda diferenţelor finite, metoda elementelor finite ş.a.).

Aplicaţia_1. Cu ajutorul ecuaţiei lui Laplace să se studieze câmpul electric al unui condensator plan, neglijând efectul de margine.

Dacă se neglijază efectul de margine, potenţialul va depinde numai de coordonata axei perpendiculare pe armături; fie Ox această axă (fig. 7.3-1a) şi a distanţa între armături. Întrucât dielectricul este neîncărcat (ρv = 0), ecuaţia lui Laplace devine

∆V Vx

= =dd

.2

2 0 (7.3-6)

Fig. 7.3-1. Notaţii pentru câmpul electric al condensatorului plan (a), respectiv pentru câmpul electric într-un domeniu cu sarcină spaţială (b).

După două integrări succesive se obţine expresia potenţialului, sub forma

( )V x k x k= +1 2 , (7.3-7)

62

în care k1 şi k2 sunt constante de integrare. Pentru determinarea lor se alege originea potenţialelor pe prima armătură

la x = 0, V = 0 (7.3-8)

şi rezultă k2 = 0. Dacă se dă sarcina electrică q a primei armături, aplicând legea fluxului electric unei suprafeţe închise Σ, care îmbracă strâns armătura, rezultă succesiv

q A Vx

A k A= = −

= −∫ ∫ D n d d

dd .

Σ Σε ε 1 (7.3-9)

Se deduce valoarea constantei k1 şi expresia potenţialului

( )k qA

V x qA

x1 = − = −ε ε

º i . (7.3-10)

Câmpul electric este E i i D E= − = − = =grad d

d.V V

xqAε

ε º i (7.3-11)

Tensiunea între armături este

( ) ( )U V V a qA

a= − =0ε

(7.3-12)

şi rezultă expresia cunoscută a capacităţii condensatorului plan

C qU

Aa

= =ε . (7.3-13)

Aplicaţia_2. Să se calculeze câmpul electric între două armături plane, paralele, în ipoteza că dielectricul este încărcat cu o densitate de volum constantă a sarcinii ρv şi se neglijează efectul de margine (fig. 7.3-1 b).

Câmpul depinde numai de coordonata x a axei perpendiculare pe planurile armăturilor. În acest caz rezultă ecuaţia lui Poisson

dd

.2

2

Vx

= −ρε

v (7.3-14)

După două integrări, soluţia are forma

( )V x x k x k= − + +ρεv

22

1 2 . (7.3-15)

Se alege originea potenţialelor pe prima armătură, rezultă k2 = 0. Dacă se pune condiţia ca tensiunea între armături să aibă valoarea dată U, adică

( ) ( )V V a U0 − = , (7.3-16)

pentru constanta rămasă rezultă valoarea

k Ua

a1 2= − +

ρεv . (7.3-17)

Apoi se poate calcula câmpul electric în orice punct al dielectricului

63

( ) E i i= − = − = + −

grad dd

V Vx

Ua

x aρεv

22 . (7.3-18)

7.4. METODA SEPARĂRII VARIABILELOR

Această metodă se aplică unei clase largi de ecuaţii cu derivate parţiale, scalare şi vectoriale, de tip eliptic (Laplace, Poisson şi Helmholtz), de tip parabolic (ecuaţia difuziei) şi de tip hiperbolic (ecuaţia undelor). Aici se va exemplifica numai metoda pentru ecuaţii eliptice.

Metoda separării variabilelor se poate aplica în 11 repere, care permit "separarea" variabilelor.

7.4.1. SEPARAREA VARIABILELOR ŞI DEZVOLTAREA ÎN SERIE DE FUNCŢII ORTOGONALE (PROBLEMA STURM-LIUVILLE)

Fie ecuaţia lui Poisson pentru potenţialul scalar, în mediu omogen ∆V = -ρv/ε. Soluţia acestei ecuaţii are doi termeni

( ) ( ) ( )V V V r r r= +p 0 ,

în care ( )Vpr este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene, iar ( )V0

r este soluţia ecuaţiei lui Laplace ∆V = 0.

Pentru simplificare, la început se consideră cazul reperului cartezian şi atunci ecuaţia lui Laplace este

∆V Vx

Vy

Vz

= + + =∂∂

∂∂

∂∂

0. (7.4-2)

În metoda separării variabilelor soluţia ecuaţiei Laplace în spaţiul cu trei dimensiuni este o sumă (sau integrală) a unor termeni de forma produsului a trei funcţii care depind numai de câte o coordonată

( ) ( ) ( ) ( )V x y z X x Y y Z z, , .= × × (7.4-3)

Introducând această formă în ecuaţia Laplace şi împărţind cu produsul X.Y.Z, se obţine ecuaţia

1 1 1 02

2

2

2

2

2XX

x YY

y ZZ

zdd

dd

dd

.+ + = (7.4-4)

Această ecuaţie se descompune în trei ecuaţii diferenţiale ordinare, egalând fiecare termen cu câte o constantă

dd

, dd

, dd

,2

2 12

2

2 22

2

2 32X

xX Y

yY Z

zZ= = =λ λ λ (7.4-5)

în care constantele sunt supuse restricţiei

λ λ λ12

22

33 0+ + = . (7.4-6)

64

Mai departe se notează sistematic cu Xk(xk), k = 1, 2, 3 una dintre funcţiunile X, Y, Z şi una dintre variabilele x, y sau z. De asemenea, se notează cu λk, k = 1, 2, 3, constantele din ecuaţia (7.4-6). Numai două dintre constantele λk sunt independente.

Prin separarea variabilelor pentru ecuaţia diferenţială cu derivate parţiale de ordinul doi (k = 1,2), într-un reper oarecare (în exprimarea acestei ecuaţii intervin coeficienţii lui Lamé), fiecare dintre funcţiile Xk(xk) este o soluţie a unei ecuaţii diferenţiale de forma

( ) ( ) ( )[ ]dd

dd

, .x

f xXx

g x h x X a x bk

k kk

kk k k k k k k k k

+ + = < <λ 0 (7.4-7)

Rezolvarea ecuaţiei (7.4-7) în intervalul xk∈(ak,bk), cu condiţii la limită omogene

( ) ( ) ( ) ( )A X a B X a A X b B X bk k k k k k k k k k k k1 1 2 20 0+ = + =' , ' , (7.4-8)

coeficienţii A1k, A2k, B1k, B2k fiind constanţi, constituie problema Sturm-LiuvilleSe observă că intervalele (ak,bk) sunt definite între suprafeţe de coordonate, adică

suprafeţe pe care o coordonată ia o valoare constantă. Deci metoda separării variabilelor se poate aplica numai configuraţiilor pentru care condiţiile la limită se prescriu pe suprafeţe de coordonate ale reperului folosit. Există 11 sisteme de coordonate triortogonale care asigură separarea ecuaţiei lui Laplace în trei ecuaţii separate, în care intervine numai câte o singură coordonată.

.

Dacă intervalele (ak,bk) sunt mărginite, condiţiile (7.4-8)) pot fi satisfăcute numai de anumite valori λ1p, λ2p, numite valori proprii sau caracteristice, cărora le corespund funcţii proprii

( ) ( ) ( ) ( )V x x x A X x X x X xpq p q pq1 2 3 1 1 2 2 3 3, , ,= ∑

sau caracteristice Vp0(x1,x2,x3). Soluţia generală cu variabile separate a ecuaţiei lui Laplace în problema tridimensională este seria în raport cu două valori proprii

(7.4-9)

iar în problema bidimensională este seria în raport cu o valoare proprie

( ) ( ) ( )V x x A X x X xp p p1 2 1 1 2 2, .= ∑ (7.4-10)

Dacă intervalale (ak,bk) sunt infinite, condiţiile la limită (7.4-8) sunt satisfăcute pentru un spectru continuu al valorilor λk şi seriile (7.4-9), (7.4-10) trec în integrale, simple, respectiv duble.

* = * = *

Deoarece în ecuaţia (7.4-7) operatorul diferenţial este autoadjunct, funcţiile proprii asociate valorilor proprii formează un şir de funcţii ortogonale. Scriind oricare dintre ecuaţile (7.4-7) pentru două valori diferite λp şi λq (pentru simplificare se suprimă indicele k, dar funcţiile luate în consideraţie se referă la aceeaşi variabilă, de indice k fixat), multiplicând prima ecuaţie cu Xp şi a doua cu Xq şi scăzându-le membru cu membru, se obţine

( ) ( ) ( ) ( )[ ]λ λp q p q p q p qh x X X X X X X f x x− = −d ' ' d . (7.4-11)

Integrând pe intervalul (a,b) se obţine

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

λ λp q p qa

b

p q p q

p q p q

h x X X x f b X b X b X b X b

f a X a X a X a X a

− = − −

− −

∫ d ' ' .

' ' .

Conform relaţiilor (7.4-8) membrul drept este nul şi rezultă relaţia de ortogonalitate

65

( ) ( ) ( )h x X x X x xp qp qp qa

bd

, ,, .∫ =

≠≠ =

00

pentru pentru

(7.4-12)

în care h(x) este funcţia pondere. Pentru p = q integrala reprezintă pătratul normei

( ) ( ) ( )N h x X x x X h xXNp pa

b

pp

p

2 20= =∫ d º i se noteazã

lui Xp(x)

(7.4-13)

Atunci relaţia (7.4-12) devine

( ) ( )X x X x xp qp qp qa

b

0 0

01

d, ,, .∫ =

≠=

pentru pentru

(7.4-14)

Funcţiile X0p(x) sunt ortonormate. Dezvoltare în serie de funcţii ortonormate. O funcţie f(x) cu pătrat integrabil admite o

dezvoltare în serie de funcţii ortonormate în intervalul a < x < b

( ) ( )f x A X xk k= ∑ 0 . (7.4-15)

Dacă seria este convergentă, coeficienţii Ak au expresiile

( ) ( )A f Xk ka

b= ∫ ξ ξ ξ0 d . (7.4-16)

7.4.2. SEPARAREA VARIABILELOR ÎN REPERUL CARTEZIAN

Pentru simplificare se consideră problema plană, în planul x,y. Înlocuind V(x,y) = X(x) Y(y) în ecuaţia lui Laplace, se obţin ecuaţiile separate sub forma

1 12

22

2

22

XX

x YY

ydd

, dd

,= − =λ λ (7.4-17)

în care λ este constanta de separare. Pentru λ ≠ 0 soluţiile sunt

X A x B x Y C x D xλ λ λ λ λ λλ λ λ λ= + = +sin cos sh ch , º i

iar pentru λ = 0: X0 = A0 x + B0, Y0 = C0 x + D0. Atunci soluţia are următoarea formă

( ) ( )( ) ( )( )V x y A x B C y D A x B x C y D y, sin cos sh ch ,= + + + + +∑0 0 0 0 λ λ λ λλ λ λ λ

însumarea făcându-se în raport cu valorile proprii λ. O variantă a soluţiei se obţine substituind λ cu jλ şi permutând x cu y.

A) PROBLEMA LUI DIRICHLET PENTRU INTERIORUL DREPTUNGHIULUI

Se consideră domeniul din interiorul dreptunghiului cu laturi a,b, din fig. 7.4-1a. Pe latura y = 0 potenţialul are valoarea V(x,0) = f(x) şi este nul pe celelalte laturi. Soluţia are forma (7.4-17).

66

Fig. 7.4-1. Problema Dirichlet (a) şi problema Neumann (b) pentru interiorul dreptunghi ului.

Din condiţia V(0,y) = V(a,y) = 0 rezultă A0 = B0 = D0 = Bλ = 0 şi sin λa = 0, prin urmare λk = kπ/a, cu k = 1,2,....

Pe latura y = b, condiţia V(x,b) = 0 este satisfăcută dacă Yλ(y) = shλk(b-y), deci soluţia este de forma

( ) ( )V x y M x b yk k k, sin sh .= −∑ λ λ (7.4-18)

Coeficienţii Mk se determină din condiţia V(x,0) = f(x)

( )M b x f xk k ksh sin ,λ λ∑ = (7.4-19)

unde coeficienţii Mk se deduc din dezvoltarea în serie Fourier a condiţiei la limită f(x)

( )Ma b

f x x xkk

k

a= ∫

20sh

sin d .λ

λ (7.4-20)

De exemplu, pentru f(x) = V0, se obţine

( ) ( )( )M

Vk k b ak = + +

42 1 2 1

0

π πsh. (7.4-20')

În fig. 7.4-2a s-au reprezentat liniile echipotenţiale pentru un pătrat cu laturile a = b = 1. Observaţie. Dacă pe toate cele patru laturi sunt date repartiţii de potenţial nenule, se

rezolvă succesiv 4 probleme de felul celei tratate, în care numai câte o latură are potenţiale nenule. Funcţiile proprii trigonometrice se folosesc de fiecare dată pentru coordonata cu care este descrisă condiţia Dirichlet neomogenă. Apoi soluţiile se pot grupa câte două, după funcţiile proprii şi valorile proprii.

B) PROBLEMA LUI NEUMANN PENTRU INTERIORUL DREPTUNGHIULUI

Pe laturile a,b ale unui dreptunghi (fig. 7.4-1b) se dau valorile componentei normale a potenţialului:

∂V/∂x = 0 pe laturile de lungime b, la x = 0 şi x = a; ∂V/∂y = g(x) pe latura situată la y = 0, ∂V/∂y = 0 pe latura situată la y = b.

67

Fig. 7.4-2. Soluţiile probelemelor Dirichlet (a) şi Neumann (b) pe dreptunghi.

Soluţia are forma (7.4-17). Prin derivare se obţin

( ) ( )( )( ) ( )( )

∂ ∂ λ λ λ λ λ

∂ ∂ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ

λ λ λ λ

V x A C y D A x B x C y D y

V y C A x B A x B x C y D y

= + + − +

= + + + +

∑∑

0 0 0

0 0 0

cos sin sh ch ,

sin cos ch sh ,

Punând condiţiile la limită pentru x = 0 şi x = a, se deduc

( )A A k ak0 0 2 1= = = +λ λ π º i .

Din condiţia la limită pentru y = b rezultă

C C b D bk k k k0 0 0= + = º i ch sh .λ λ

Ca urmare soluţia se prezintă sub forma

( ) ( )V x y N x b y kk k k, cos ch , , ,= − =∑ λ λ 0 1

Coeficienţii Nk se determină din conditia la limita y = b şi se deduc din dezvoltarea în serie Fourier a funcţiei g(x) pe intervalul (0,a)

( )N a b g x x xk k k

ach cos d .λ λ= ∫2

0 (7.4-21)

De exemplu, pentru g(x) = 1, x∈(0,a/2), g(x) = -1, x∈(a/2,a) se obţin coeficienţii

( ) ( )N a

k k b ak =+ +8

2 11

2 12 2π πch. (7.4-21')

În fig. 7.4-2b, în condiţiile la limită de mai sus, s-au reprezentat liniile echipotenţiale pentru un pătrat cu laturile a = b = 1.

Observaţie. Dacă pe toate cele patru laturi sunt date repartiţii nenule ale derivatei normale a potenţialului, se rezolvă succesiv 4 probleme de felul celei tratate, în care numai câte o latură are derivate normale nenule. Funcţiile proprii trigonometrice se folosesc de fiecare dată pentru coordonata cu care este descrisă condiţia Neumann neomogenă. Apoi soluţiile se pot grupa câte două, după funcţiile proprii şi valorile proprii.

7.5. METODA IMAGINILOR ELECTRICE

7.5.1. PRINCIPIUL METODEI

68

Metoda imaginilor electrice se aplică în cazul în care există corpuri încărcate electric în prezenţa unei suprafeţe Σ conductoare sau de discontinuitate a proprietăţilor de material, a cărei îndepărtare ar simplifica problema de câmp (astfel încât să se poată aplica metoda elementară sau o metodă analitică). Metoda se bazează pe următorul artificiu: se înlocuieşte efectul suprafeţei Σ conductoare (echipotenţiale) sau de discontinuitate cu efectul unui sistem de sarcini fictive (numite sarcini imagine), de valori şi poziţii astfel alese, încât în câmpul rezultant al sarcinilor reale (q1, q2,..., qn) şi al imaginilor (q'1, q'2,..., q'm, cu m ≥ n) suprafaţa Σ să fie echipotenţială, respectiv să satisfacă condiţiile de trecere (fig. 7.5-1). Această substituţie nu modifică condiţiile de frontieră pentru câmpul electric din afara suprafeţei Σ. In acest fel, problema determinării câmpului sistemului de sarcini în prezenţa unei suprafeţe conductoare, sau a unui mediu omogen pe straturi, este înlocuită cu problema determinării câmpului unui sistem de sarcini mai complicat, dar într-un mediu omogen.

Metoda imaginilor a fost folosită la determinarea câmpului (şi a capacităţii) liniei electrice aeriene în prezenţa solului. Metoda imaginilor electrice se mai aplică simplu în cazul sarcinilor punctiforme în prezenţa unor planuri sau a unor sfere conductoare şi în cazul conductoarelor cilindrice rectilinii, încărcate uniform (pe lungime), cu axele paralele, în prezenţa unor planuri conductoare paralele sau a unor fire sau cilindri sau cavităţi cilindrice conductoare, cu axe paralele.

Notă. Metoda imaginilor electrice poate fi generalizată pentru medii omogene pe straturi, însă rezultă relaţii relativ complicate.

Fig. 7.5-1. Notaţii pentru metoda iamginilor electrice.

7.5.2. IMAGINI ELECTRICE ÎN RAPORT CU PLANUL CONDUCTOR

Fie un mediu dielectric liniar şi omogen, cu permitivitatea ε, în care se află un corp punctiform, încărcat cu sarcina electrică q, situat la distanţa h de un plan conductor. Câmpul electric în semispaţiul dielectric z > 0 se determină cu ajutorul corpului imagine, încărcat cu sarcina -q, situat la cota z = -h, într-un spaţiu dielectric (se îndepărtează suprafaţa conductoare, fig. 7.5-2). Într-un punct M, potenţialul creat este

( )V M qR R

= −

41 1

πε M1 M2

,

RM1 şi RM2 fiind distanţele punctului M de cele două corpuri punctiforme. Se observă că în planul mediator cele două distanţe sunt egale, deci potenţialul este nul (sau constant).

69

Fig. 7.5-2. Imaginea electrică faţă de un plan. Fig. 7.5-3. Imagini electrice faţă de un diedru.

Metoda se poate generaliza la un sistem oarecare de corpuri punctiforme, încărcate cu sarcini electrice; fiecărui corp de ordin k, încărcat cu sarcina qk, îi va corespunde un corp imagine (imagine "în oglindă" faţă de plan), încărcat cu sarcina -qk etc.

Metoda imaginilor se poate aplica şi unor fire rectilinii, paralele cu planul, încărcate cu densitate lineică constantă a sarcinii electrice. În acest caz se foloseşte potenţialul logaritmic, dar din nou egalitatea distanţelor faţă de plan a firelor încărcate cu sarcini egale şi de semn contrar duce la anularea (sau constanţa) potenţialului.

Metoda imaginilor se poate aplica şi unor diedre conductoare cu deschidere plană 2π/n, atât pentru sarcini punctiforme, cât şi pentru fire paralele cu feţele diedrului. In acest caz apar imagini multiple. In fig. 7.5-3 se exemplifică metoda pentru un diedru cu n = 4 (unghiu π/2) la care apar 3 imagini, dintre care două cu semn opus şi una de acelaşi semn. Când n nu este număr raţional, imaginile nu au o periodicitate finită, deci metoda nu este utilizabilă.

Un caz particular este cel al planurilor paralele. In acest caz imaginile se repetă la infinit. O aplicaţie interesantă se referă la influenţa prezenţei solului asupra capacităţii liniilor

aeriene. Această aplicaţie a fost dezvoltată în subcap. 5.3.

7.5.3. IMAGINI ELECTRICE ÎN DIELECTRICI OMOGENI PE STRATURI

Metoda imaginilor se poate aplica şi mediilor dielectrice omogene pe straturi cuprinse între planuri paralele. Metoda se aplică atât sarcinilor punctuale, cât şi firelor paralele cu feţele de separaţie. Se va exemplifica metoda pentru planul de separaţie a doi dielectrici omogeni, cu permitivităţile ε1 şi ε2. Un corp încărcat cu sarcina q se află în mediul 1, la distanţa d de planul de separaţie (fig. 7.5-4a). In mediul 1 câmpul se determină considerând ambele medii cu permitivitate ε1 şi un corp imagine, la distanţa d de plan (de partea opusă), încărcat cu sarcina q' (fig. 7.5-4b). In mediul 2 câmpul se determină cu o sarcină q" în locul sarcinii q, în medii de permitivitate ε2 (fig. 7.5-4c). Sarcinile se determină din condiţiile de trecere pe suprafaţa de discontinuitate.

In mediul 1 se obţin relaţiile

V qR

qR

qR

qR1

1 1 21

1

13

2

23

14

14

= +

= +

πε π' , ' ,

DR R

iar în mediul 2

V qR

qR2

2 12

1

13

14

14

= =πε π

" , " .

DR

70

Fig. 7.5-4. Metoda imaginilor aplicată unor straturi dielectrice.

Din condiţiile de trecere pe suprafaţa planului de separaţie D1n = D2n şi E1t = E2t (echivalentă cu V1 = V2) se obţin relaţiile

( )q q q q q q− = + =' " , ' " ,ε ε2 1

din care se deduc valorile sarcinilor

q q q q' , " .=−+

=+

ε εε ε

εε ε

1 2

1 2

2

1 2

2

Se observă că în dielectricul în care se află sarcina q câmpul electric este stabilit de sarcinile q şi q' (ultima este de acelaşi semn cu q dacă ε1 > ε2 şi de semn opus în caz contrar), pe când în dielectricul fără sarcină, câmpul este stabilit de o sarcină de acelaşi semn cu cea iniţială şi are liniile radiale, plecând din sarcină.

7.5.4. ALTE CONFIGURAŢII CARE SE POT TRATA CU AJUTORUL METODEI IMAGINILOR ELECTRICE

Fără a demonstra relaţiile respective, se vor enumera câteva configuraţii care se pot trata cu metoda imaginilor electrice:

- fire în vecinătatea unui cilindru conductor de rază R; imaginile se află pe drepte care trec prin axa cilindrului, la distanţele inverse D d = R2;

- doi cilindri conductori cu axele paralele; - fire în vecinătatea unui cilindru dielectric; - corpuri punctiforme în raport cu sfera conductoare de rază R; din nou apare relaţia de

inversiune a distanţelor d D = R2.

7.6. METODA APROXIMĂRII FORMEI LINIILOR DE CÂMP.

Pentru rezolvarea aproximativă a unor probleme de câmp electrostatic, în vederea calculului unor capacităţi electrice sau a unor forţe electrice, se poate folosi metoda aproximării formei liniilor de câmp. Se consideră, aproximativ, că aceste linii sunt formate din segmente drepte şi din arce de cerc, eventual din arce de elipsă. De regulă, metoda se aplică în medii omogene, deşi ar putea fi extinsă şi la medii neomogene.

Liniile de câmp se construiesc ţinând seama de câteva reguli şi principii: - liniile de câmp se trasează între suprafeţe echipotenţiale, - linia de câmp trebuie să fie perpendiculară pe suprafeţele echipotenţiale ale câmpului

respectiv, să fie o curbă continuă şi derivabilă cel puţin o dată (clasa C1), - se lucrează cu o intensitate medie a câmpului electric Emed de-a lungul unei linii de

câmp, care multiplicată cu lungimea liniei de câmp lx dă diferenţa de potenţial între extremităţile liniei,

71

- există un principiu de acţiune minimă, conform căruia dacă linia de câmp s-ar putea îndrepta spre două suprafeţe de acelaşi potenţial, va fi aleasă calea de lungime minimă.

Pentru aplicarea metodei aproximării formei liniilor de câmp este necesară o experienţă prealabilă, adică cunoaşterea formei aproximative a liniilor câmpului respectiv, pentru a aproxima cât mai corect aceste forme.

Metoda va fi ilustrată cu câteva exemple de aplicare. Exemplul_1. Se consideră două plăci conductoare, subţiri, identice, dreptunghiulare, de

lăţime a şi lungime l, aşezate coplanar şi cu laturile paralele, la distanţa b, într-un mediu de permitivitate ε (fig. 7.6-1). Se cere capacitatea electrică dintre aceste plăci.

Liniile câmpului electric se aproximează prin arce de cerc de rază x şi prin segmente drepte de lungime b (fig. 7.6-1). Lungimea unei linii de câmp va fi

l x bx = +π . (7.6-1)

Fig. 7.6-1. Câmpul electric între plăci coplanare. Fig. 7.6-2. Câmpul electric între armături plane înclinate.

Dacă între cele două plăci se aplică tensiunea U, valoarea medie a intensităţii câmpului electric de-a lungul acestei linii va fi

E U lx x= . (7.6-2)

Cu această valoare se calculează o valoare medie a inducţiei electrice Dx = ε Ex şi se poate estima densitatea de suprafaţă a sarcinii electrice pe plăci (armături) ρsx = Dx, cu care se calculează sarcina electrică a unei plăci (ţinând seama că aici cele două feţe ale plăcilor se încarcă în mod egal)

q A Ux b

l x lU ab

a= =

+= +

∫ ∫ρ ε

πεπ

πS d d ln .2 2 10

(7.6-3)

Rezultă expresia capacităţii

C qU

l ab

= = +

2 1επ

πln . (7.6-4)

Exemplul 2. Se consideră condensatorul "unghiular", având armături plane de lătine a şi lungime l, înclinate cu unghiul α (fig. 7.6-2), axa diedrului format aflându-se la distanţa b de muchia plăcilor. Mediul are permitivitatea ε. Neglijând efectele de margine, câmpul electrostatic creat se poate determina destul de bine prin metoda aproximării formei liniilor de câmp electric. Lungimea liniei de câmp la distanţa x de muchia din stânga, între feţele interioare, este

( )l x bx = +α .

Între armături se aplică tensiunea U şi rezultă intensitatea câmpului electric

( )( )E U l U x bx x= = +α .

72

Densitatea de suprafaţă a sarcinii, egală cu inducţia electrică, este

( )( )ρ ε ε αS = = +E U x bx .

Sarcina electrică a unei armături este

( )q U l x

x bU l a

bx

x a=

+= +

=

=

∫εα

εα

d ln0

1

şi se stabileşte expresia capacităţii între feţele interioare ale condensatorului "unghiular"

C qU

l ab

= = +

εα

ln .1

Observaţie. In ambele exemple, capacitatea "exactă" este ceva mai mare decât cea calculată cu metoda aproximării formei liniilor de câmp, datorită neglijării efectelor de margine. In al doilea exemplu s-ar putea calcula şi o capacitate între feţele exterioare.

Metoda aproximării formei liniilor de câmp poate fi extinsă şi la aprecierea efectelor de margine, în care caz rezultatele sale se îmbunătăţesc sensibil. O asemenea extindere necesită o iscusinţă şi o experienţă deosebită din partea utilizatorului.

7.7. METODA FUNCŢIILOR DE VARIABILĂ COMPLEXĂ

Părţile reală şi imaginară ale unei funcţii de variabilă complexă, analitice, satisfac ecuaţia lui Laplace, proprietate care poate fi folosită în rezolvarea problemelor de câmp electric plan-paralele.

7.7.1. FUNCŢII ANALITICE. CONDIŢIILE CAUCHY-RIEMANN

Fie w(z) = u+jv o funcţie de variabilă complexă z = x+jy. Funcţia w(z) este analitică într-un domeniu dacă în vecinătatea oricărui punct z0 al domeniului admite o dezvoltare în serie întreagă de (z-z0). Funcţiile analitice sunt continue şi derivabile. Derivabilitatea presupune existenţa şi continuitatea derivatelor parţiale de ordinul unu a părţii reale u(x,y) şi imaginare v(x,y) a funcţiei, precum şi independenţa derivatei dw/dz de orientarea lui dz. Derivata are forma

( ) ( )dd

j d j dd jd

wz

u x v x x u y v y yx y

=+ + +

+

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (7.7-1)

şi se stabileşte condiţia

( ) ( )∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂u x v x u y v y+ = − +j j j , (7.7-2)

care duce la relaţiile Cauchy-Riemann

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ux

vy

vx

uy

= = −, . (7.7-3)

Cu aceste relaţii se demonstrează că integrala curbilinie a unei funcţiuni analitice este nulă pe orice contur închis

( ) ( ) ( )w z z u x v y v x u yd d d j d dΓ Γ Γ∫ ∫ ∫= − + + = 0 (7.7-4)

73

Pentru demonstraţie se foloseşte formula lui Stokes în plan. Fie vectorul

a i j= +a ax y

şi elementul de arc d d d . s i j= +x y Cu formula lui Stokes şi

n k= , dA = dx dy

( ) a sd d d d d .Γ Γ Γ∫ ∫ ∫= + = −

a x a y

ax

ay

x yx yy x∂

∂∂∂S

(7.7-5)

Punând ax = v şi ay = u, integrandul integralei de suprafaţă se anulează în baza primei condiţii (7.7-3), iar cu ax = u si ay = -v integrandul se anulează conform celei de a doua condiţii (7.7-3).

Rezultă că integrala curbilinie pe o curbă deschisă depinde numai de punctele de început şi de sfârşit ale curbei, nu şi de forma arcului de curbă.

Dacă se elimină între cele două condiţii (7.7-3) câte una dintre părţi (u sau v) se obţin ecuaţiile de ordinul doi

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2

2

20 0ux

uy

vx

vy

+ = + =, , (7.7-6)

deci părţile reale şi imaginare ale funcţiei analitice satisfac ecuaţia lui Laplace, adică sunt funcţii armonice.

Cele două funcţii armonice, u şi v, sunt şi conjugate. Făcând raportul, membru cu membru, al celor două condiţii (7.7-3) se obţine

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

u xu y

v yv x

= − , (7.7-3)

ceea ce arată că curbele u(x,y) = const1 şi v(x,y) = const2 sunt ortogonale (sau conjugate). Cele două familii de curbe pot fi privite unele ca linii ale unui câmp electrostatic plan-

paralel, iar celelalte - ca linii echipotenţiale ale aceluiaşi câmp.

7.7.2. POTENŢIALUL ELECTROSTATIC COMPLEX

Se stabileşte o corespondenţă biunivocă între mulţimea vectorilor plani şi mulţimea

numerelor complexe. Dacă partea imaginară V(x,y) a funcţiei analitice W(z) reprezintă în planul z potenţialul

unui câmp electrostatic

( ) E i j= + = −E E V x yx y grad , ,

ţinând seama de condiţiile Cauchy-Riemann (7.7-3) se stabileşte următoarea expresie a câmpului electric complex

( )E z E E Vx

Vy

Ux

Vxx y= + = − +

= − −

j j j j ,∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

respectiv

( )E z Wz

Wz

=

= −

j dd

*j d

d*

. (7.7-8)

Fie reperul curbiliniu plan generat de liniile de câmp şi de liniile echipotenţiale. Notând cu dn şi ds elemente de arc pe linia de câmp şi pe linia echipotenţială (ds este rotit în sens trigonometric cu π/2 faţă de dn), condiţiile Cauchy-Riemann devin

74

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂U n V s U s V n= = = −0,

şi se obţine

E E E V n U s En s s= + = − = =j ,∂ ∂ ∂ ∂ 0 (7.7-9)

(componenta câmpului electric tangentă la linia echipotenţială este nulă). Fluxul electric ψ (pe unitate de lungime perpendiculară pe planul xOy), care este egal cu

sarcina lineică q, are expresia

( )ψ ε ε∂∂

ε= = = −∫ ∫E s Us

s U Un d d ,2

1

2

1

1 2 (7.7-10)

iar tensiunea electrică este

U E n Vn

n V Vs12 1

2

1

2

1 2= = − = −∫ ∫d d .∂∂

(7.7-11)

Se poate alege U(x,y) ca funcţie potenţial şi atunci

( )E z E E Wz

Us

Vs

En s s= + = −

= − = − =j dd

*,∂

∂∂∂

0 (7.7-12)

şi condiţiile Cauchy-Riemann au forma

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

Un

Vs

Us

Vn

= = − =, .0

Fluxul electric este dat de expresia

( )ψ ε ε∂∂

φ= = − = −∫ ∫E s Vs

s V Vn d d ,1

2

1

2

1 2 (7.7-13)

iar tensiunea electrică este

U E n Un

n U Us12 1

2

1

2

1 2= = − = −∫ ∫d d .∂∂

(7.7-14)

7.7.3. METODA TRANSFORMĂRII CONFORME

Principiul metodei O funcţie analitică univocă w(z) asociază fiecărui punct z din planul z = x+jy un punct

din planul w = u+jv. Din condiţia de derivabilitate rezultă că punctelor învecinate din planul z le corespund puncte învecinate în planul w, deci atunci când punctul z parcurge o curbă continuă γ, punctul w descrie o altă curbă continuă Γ. Cele două curbe se numesc conjugate

Intr-adevăr, din expresia derivatei

. Proprietatea fundamentală a acestei transformări este aceea că păstrează unghiurile, adică formele elementelor infinit mici.

( ) ( ) ( )( )( )d d exp jarg d ,w f z z f z f z z= = (7.7-15)

rezultă că dw se obţine multiplicând elementul dz prin |f'(z)| - modulul transformării - şi rotindu-l cu unghiul arg(f'(z)). Un element de suprafaţă înfinit mic în vecinătatea punctului z va suferi o dilatare sau o contracţie măsurată prin |f'(z)| şi o rotaţie egală cu arg(f'(z)). Dacă γ1 şi γ2 sunt două curbe din planul z, care trec prin punctul z0 şi fac între ele unghiul α,

75

transformatele lor Γ1 şi Γ2 vor face între ele acelaşi unghi α, ca mărime şi ca semn. Se spune că prin funcţia w(z) se efectuează o reprezentare conformă sau o transformare conformă

Notând cu W(z) potenţialul electrostatic complex în planul z din care derivă câmpul electrostatic E(z) (7.7-8)

, din planul z în planul w.

( )E z Wz

= −

dd

*, (7.7-16)

câmpul în planul w are expresia

( )E w Ww

Wz

zw

Wz

zw

= −

= −

= −

dd

* dd

dd

* dd

* dd

*,

adică

( ) ( ) ( )E w E z w z= d d * (7.7-17)

şi în modul

( ) ( )E w E z w z= d d . (7.7-18)

Capacitatea electrică a unei configuraţii de electrozi, calculată în planul z coincide cu capacitatea configuraţiei transformate conform în planul w. Rezultă că şi energia electrostatică este invariantă la transformarea conformă. La acest rezultat se poate ajunge şi pe altă cale, observând cum se transformă elementul de arie

d d d d d du v w z x y=2

Întrucât densitatea de volum a energiei electrostatice este proporţională cu pătratul intensitătii câmpului electric (7.7-18) se obţine rezultatul afirmat mai sus.

76

8. CÂMPUL ELECTRIC STAŢIONAR (CÂMPUL ELECTROCINETIC)

8.1. FORMELE LEGILOR CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC ÎN REGIM ELECTROCINETIC STAŢIONAR

În regim electrocinetic staţionar se studiază câmpul electric în medii conductoare

masive, cum ar fi băile de electroliză, conductoarele metalice de secţiuni mari şi pământul, în legătură cu prizele de pământ.

În regim staţionar, din legea inducţiei electromagnetice se stabileşte caracterul potenţial al câmpului electric

rot , grad , E E= = −0 sau V (8.1-1)

iar din legea conservării sarcinii electrice rezultă caracterul solenoidal al densităţii curentului de conducţie

div , rot . J J T= =0 sau (8.1-2)

Ţinând seama de legea conducţiei electrice

( ) J E E= +σ i , (8.1-3)

se stabileşte relaţia

( ) ( )div div grad div .σ σ σ σ E E E E= + = − i (8.1-4)

În medii omogene (grad σ = 0) câmpul electric are ca surse curenţii imprimaţi ( )σE i , iar

în absenţa acestora câmpul nu are surse şi este laplacian ( rot div E E= = ⇒ =0 0 0 º i ∆V ).

De regulă se studiază câmpul electrocinetic staţionar în medii omogene, fără curenţi imprimaţi.

Din relaţiile (8.1-1) şi (8.1-2) rezultă condiţiile de trecere printr-o suprafaţă de discontinuitate: se conservă componenta tangenţială a intensităţii câmpului electric Et1 = Et2 şi componenta normală a densităţii curentului Jn1 = Jn2. Ca urmare se stabileşte regula de refracţie a liniilor de câmp electric (sau de curent de conducţie)

tg tg .α α σ σ1 2 1 2= (8.1-5)

Câmpul electrocinetic staţionar satisface ecuaţiile E J E J= − = =grad , , div ,V σ 0 (8.1-6)

din care, în mediu omogen σ = const, rezultă ecuaţia lui Laplace

∆V = 0. (8.1-7)

Potenţialul electrostatic satisface ecuaţia lui Laplace în dielectricii omogeni, neîncărcaţi cu sarcină electrică şi este constant în conductoare şi pe suprafaţa lor. Potenţialul câmpului electrocinetic stationar este nenul în conductoare, iar suprafeţele conductoarelor nu sunt echipotenţiale. În schimb câmpul densităţii de curent trebuie să nu aibă componentă normală la suprafaţa din spre dielectric a conductoarelor.

77

Între câmpul electrostatic şi câmpul electrocinetic staţionar se poate stabili o analogie, prin corespondenţa

Mãrimi electrostatice Mãrimi electrocinetice

D EJ E

ε

σ

q U C SI U G R

8.2. PRIZE DE PĂMÂNT

Priza de pământ este un dispozitiv care asigură o legătură conductoare cu pământul, fie a unor părţi ale reţelelor şi circuitelor electrice, în vederea închiderii unor curenţi electrici, fie a părţilor conductoare ale instalaţiilor de protecţie, în vedera protecţiei împotriva electrocutării. Problema prizelor de pământ constă în determinarea rezistenţei prizei şi a repartiţiei tensiunii în jurul prizei.

Prizele de pământ sunt formate din electrozi metalici, care pot fi de suprafaţă, dacă au o faţă liberă şi se află la suprafaţa solului, sau de adâncime, când sunt ingropaţi la o adâncime mai mare decât cea mai mare dimensiune liniară a prizei.

Priza de pământ semisferică.

Întrucât conductivitatea metalului este cu multe ordine de mărime mai mare decât cea a pământului (solului), suprafaţa prizei de pământ se poate considera echipotenţială, iar liniile de curent în pământ - perpendiculare pe electrod.

Notă. Este util aici să amintim valorile uzuale ale rezistivităţii solurilor, în [Ω m]: - sol mlăştinos 30 - sol lutos, argilos, cultivabil 100 - nisip umed 300 - sol nisipos umed 500 - nisip sau sol nisipos uscat 1000 - sol pietros 3000

Se va considera cazul prizei de pământ de forma unei jumătăţi de sferă, de rază a

(fig. 8.2-1). Acest caz poate fi studiat prin metode elementare. În adevăr, din motive de simetrie, câmpurile densităţii de curent

J şi cel al intensităţii câmpului electric

E , vor fi pur

radiale (având ca punct de divergenţă centrul sferei) şi vor depinde numai de distanţa r de centrul sferei, adică

( ) ( ) J u E u= =r r º i J r E r . (8.2-1)

Fie I curentul injectat în priza de pământ. Se alege o suprafaţă închisă Σ de forma unei semisfere de rază r în pământ, completată cu un disc de rază r la suprafaţa solului (în aer). Pe această suprafaţă se scrie ecuaţia corespunzătoare teoremei continuităţii curentului de conducţie. Rezultă

( ) ( )− + = − + =∫I J r A I J r r u ur rSS

d ,2 02π

unde cu SS s-a notat suprafaţa semisferică din sol. Se obţine

78

( )

( )

J r Ir

E rIr

=

=

2

2

2

2

πρ

π

,

.

(8.2-2)

(8.2-3)

Fig. 8.2-1. Notaţii pentru priza de mământ semisferică. Fig. 8.2-2. Distribuţia potenţialului în jurul prizei semisferice.

Dacă V0 este potenţialul prizei (la raza r = a), atunci potenţialul într-un punct oarecare, la raza r, va fi

( )V r V V E r Vr aa

r

a

e= − = − = + −

∫ ∫0 0 0 2

1 1 E rd d .ρπ

(8.2-4)

Dacă se consideră nul potenţialul punctelor de la infinit (r → ∞), atunci rezultă

V Ia0 2

=ρπ

. (8.2-5)

V0 reprezintă tensiunea prizei de pământ faţă de punctele de la infinit. Cu ajutorul acestei mărimi, într-un punct oarecare potenţialul va avea expresia

( )V r V ar

r a= >0 , , (8.2-6)

adică potenţialul variază hiperbolic cu raza r (fig. 8.2-2). Priza de pământ se caracterizează, de obicei, prin rezistenţa de dispersie (numită,

adesea, simplu rezistenţa prizei de pământ), definită ca raportul dintre tensiunea V0 şi curentul prizei

RVI a

G ap p sau = = =0

22

ρπ

π σ, . (8.2-7)

Expresia s-ar fi putut stabili şi direct, prin analogia dintre câmpul electrocinetic şi câmpul electrostatic, cunoscând că expresia capacităţii unei sfere de rază a faţă de sfera de la infinit, situată într-un mediu dielectric de permitivitate ε, este

C a= 4π ε. (8.2-8)

Câmpul electrocinetic al prizei de pământ corespunde jumătăţii din domeniul câmpului electrostatic al sferei, respectiv conductanţa prizei de pământ va corespunde jumătăţii capacităţii sferei; astfel se regăseşte expresia stabilită anterior, pe cale directă.

O priză de pământ semisferică, cu raza de 1 m, într-un sol cultivabil (ρ = 100 Ωm), are o rezistenţă de 15,9 Ω, iar într-un sol nisipos umed, o rezistenţă de 79,5 Ω. Obişnuit se prescrie ca priza de pământ utilizată pentru protecţia intalaţiilor electrice să aibă o rezistenţă de cel

79

mult 4 Ω. Asemenea prize de pământ nu se realizează cu electrozi semisferici, ci cu o reţea de platbande şi de ţevi îngropate în pământ.

In practică mai prezintă importanţă aşa numita tensiune de pas în vecinătatea prizei de pământ, ce corespunde unui anumit curent I injectat în priză (fig. 8.2-3). Unui pas de lungime p, efectuat până într-un punct situat la distanţa x de marginea prizei, îi corespunde tensiunea

( ) ( ) ( )( )U V a x V a x p V a

a xa

a x pV ap

a x a x pp = + − + + =+

−+ +

=

+ + +0 0 . (8.2-9)

Se observă că tensiunea de pas este maximă pentru x = 0, adică atunci când pasul se termină pe marginea prizei de pământ

( )U V p a pp max = +0 . (8.2-10)

Fig. 8.2-3. Tensiunea de pas în vecinătatea unei prize de pământ.

Nota 1. In cazul general, o priză de pământ este formată din mai mulţi electrozi, situaţi în puncte spaţiale diferite, care sunt conectaţi în paralel. Dacă electrozii prizei de pământ se consideră punctiformi sau de dimensiuni foarte mici (neglijabile) faţă de distanţa între electrozi), atunci se poate admite o superpoziţie a câmpurilor electrocinetice ale diferiţilor electrozi.

Fie o priză de pământ formată din n electrozi semisferici de raze ak, aşezaţi la suprafaţa solului omogen de rezistivitate ρ. Notând cu Ik curentul electrodului de ordin k şi cu dk ≥ ak distanţa faţă de centrul electrodului k a unui punct curent, potenţialul punctului va fi

VId

k

kk

n

==∑ρ

π2 1

. (8.2-11)

Potenţialul unui electrod j se determină aducând punctul curent pe suprafaţa sa (dj = aj). Repartiţia curenţilor între electrozii conectaţi în paralel se determină din condiţia de egalitate a potenţialelor, iar rezistenţa de dispersie a prizei formate din mai mulţi electrozi - ca raportul dintre potenţialul comun al electrozilor şi curentul sumat al electrozilor.

Nota 2. Rezistenţa prizei formate dintr-o bară de diametru d şi lungime h îngropată vertical se poate calcula aproximativ astfel. Pe baza analogiei dintre câmpul electrostatic şi câmpul electrocinetic, se determină întâi câmpul electric al unui fir încărcat uniform cu densitatea lineică de sarcină ρl. Potenţialul creat de un fir de lungime 2h, aşezat simetric în raport cu suprafaţa solului, într-un punct situat la distanţa r = d/2 de fir şi y de suprafaţa solului, este

( )( )

V x

r x

qh

y h r y h

y h r y hx y h

x y h=

+=

+ + + +

− + + −= −

= +

∫ρπε π ε

l

4 42 2

2 2

2 2

d ln ,

80

unde variabila x s-a considerat de-a lungul firului de lungime 2h, iar cu q s-a notat sarcina electrică a porţiunii de lungime h. Se observă că pentru r → ∞ rezultă V = 0.

Prin corespondenţa q → i, ε → σ , la y = 0 se obţine rezistenţa prizei de pământ în formă de bară verticală îngropată de la suprafaţa solului

R Vi h

h r h

h r h= =

+ +

+ −

14

2 2

2 2π σln . (8.2-12)

Pentru r/h = d/(2h) mic se obţine R = ln(2h/r)/(2πhσ) = ln(4h/d)/(2πhσ).

9. CÂMPUL MAGNETIC STAŢIONAR

9.1. ECUAŢIILE CÂMPULUI MAGNETIC STAŢIONAR

În acest regim mărimile nu variază în timp. Din forma integrală a legilor electromagnetismului, pentru regimul staţionar se desprind

următoarele ecuaţii care definesc câmpul magnetic staţionar: - teorema lui Ampère: UmmΓ = ΘSΓ, - legea fluxului magnetic: φΣ = 0 - legea legăturii (sau relaţia constitutivă):

B H= µ ,

cu următoarele definiţii ale mărimilor integrale

U A AD D D

mm S SΓ Γ Σ ΣΘ

ΓΓ

= = =∫ ∫ ∫ H s J n B nd , d , d .φ

În domenii de continuitate şi netezime se folosesc formele locale ale primelor două relaţii, sub forma:

- teorema lui Ampère: rot , H J= (9.1-1)

- legea fluxului magnetic: div .B = 0 (9.1-2)

Din legea fluxului magnetic rezultă că liniile vectorului inducţie B nu încep şi nu se

termină în vre-un punct din câmp (deoarece fluxul magnetic printr-o suprafaţă închisă care s-ar strânge în jurul acelui punct ar fi nenul). Liniile pot fi închise, pot începe şi se pot termina la infinit sau se pot înfăşura asimptotic în jurul unor curbe limită sau pe anumite suprafeţe.

Un ansamblu de linii ale inducţiei magnetice care se sprijină pe o curbă închisă constituie un tub de flux magnetic. Aplicând legea fluxului magnetic unei porţiuni de tub de flux limitată de două secţiuni S1 şi S2 (fig. 9.1-1), rezultă că tuburile de flux sunt conservative: în lungul lor fluxul magnetic are aceeaşi valoare φ1 = φ2 (deoarece prin suprafaţa laterală Sl a tubului fluxul magnetic este nul, vectorul inducţiei

B fiind perpendicu-

lar pe versorul n al normalei la suprafaţă). La reprezentarea câmpului magnetic prin linii de câmp se convine, de regulă, ca tot

câmpul să fie împărţit în tuburi de flux magnetic, de secţiuni suficient de mici şi de flux egal cu o valoare dată ∆φ. Fiecare tub de flux se reprezintă printr-o "linie de câmp unitate", care coincide cu axa tubului. In acest caz, fluxul printr-o suprafaţă oarecare este egal cu numărul de linii de câmp-unitate care înţeapă suprafaţa, multiplicat cu ∆φ.

81

Fig. 7.1-1. Tubul de flux magnetic.

9.2. CONDIŢII DE TRECERE LA SUPRAFEŢE DE DISCONTINUITATE ALE PROPRIETĂŢILOR MAGNETICE

La suprafaţa de separare a două medii cu proprietăţi magnetice diferite, permeabilitatea magnetică ca funcţiune de punct are o discontinuitate. Condiţiile de trecere se stabilesc cu ajutorul formelor integrale ale legii fluxului magnetic şi teoremei lui Ampère.

Aplicând legea fluxului magnetic unei suprafeţe închise ΣS de forma unei prisme plate, cu bazele de arie ∆A şi de înălţime h foarte mică (fig. 9.2-1), care tinde spre zero mai repede decât dimensiunile bazelor, se obţine

B n B n1 21 2 12 0∆ ∆A A+ =

şi deoarece n n12 21= − , rezultă

( )div .S

B n B B= − =12 2 1 0 (9.2-1')

sau

B Bn1 n2= . (9.2-1")

Componentele normale ale inducţiei trec continuu prin orice suprafaţă de discontinuitate.

Fig. 9.2-1. Condiţii de trecere pentru B. Fig. 9.2-2. Condiţii de trecere pentru

H.

Întrucât, în general, magnetizaţia M are valori diferite în cele două medii, rezultă că la

trecerea prin suprafaţa de discontinuitate nu se conservă componenta normală a intensităţii câmpului magnetic

H .

Considerând că pe suprafaţa de discontinuitate nu există o repartiţie superficială de curenţi, dacă se aplică teorema lui Ampère pe un mic contur dreptunghiular plan ΓS, aflat în planul determinat de vectorii

H H1 2 º i şi care trece strâns de o parte şi de alta a suprafeţei de

discontinuitate (fig. 9.2-2), rezultă

82

H s H t H td ,Γ

∆ ∆∫ = − =2 1 0l l

unde cu t s-a notat versorul tangent la suprafaţă, în planul conturului ΓS şi cu ∆l - lungimea

dreptunghiului. In consecinţă

Ht1 = Ht2, (9.2-2)

adică în cazul în care pe suprafaţă nu există o pânză de curenţi se conservă componentele tangenţiale ale intensităţii câmpului magnetic la trecerea prin suprafaţa de discontinuitate.

Exprimând componentele inducţiei, respectiv intensităţii câmpului în funcţie de unghiurile de incidenţă α1 şi refracţie α2 (fig. 9.2-3), la suprafaţa de separaţie a două medii magnetice liniare, cu permeabilităţi magnetice diferite µ1 şi µ2, se stabileşte teorema refracţiei liniilor de câmp magnetic. Se obţin succesiv expresiile

( ) ( )B B B BH B H B

n1 n2

t1 t2

= =

= =1 1 2 2

1 1 1 2 2 2

cos , cos ,sin , sin .

α α

µ α µ α

Eliminând între aceste expresii inducţiile B1 şi B2, ţinând seama de condiţiile de trecere (9.2-1), (9.2-2), rezultă

tgtg

.αα

µµ

1

2

1

2

= (9.2-3)

Fig. 9.2-3. Refracţia liniilor de câmp magnetic.

Cu această teoremă se stabilesc regulile orientării liniilor de câmp magnetic la suprafaţa corpurilor feromagnetice. Dacă mediul 2 este aer (µ2 = µ0) şi mediul 1 este feromagnetic (µ1 >> µ0), rezultă α1 >> α2, încât practic α2 ≈ 0. De exemplu, dacă µr1 = 1000, chiar şi pentru α1 = 89° rezultă α2 = 3°17'.

Practic se poate considera că liniile inducţiei magnetice sunt perpendiculare pe suprafeţele corpurilor feromagnetice. Pot interveni excepţii numai când α1 = π/2 în materialul feromagnetic ideal (cu µ1 → ∞), în care caz α2 poate avea orice valoare.

9.3. POTENŢIALUL MAGNETIC VECTOR

Condiţia divB = 0 este satisfăcută identic dacă se exprimă vectorul inducţiei

B sub

forma rotorului unui vector auxiliar A : B A= rot , (9.3-1)

întrucât ( )div rot . A A= ∇ ∇ × ≡ 0

Mărimea A se numeşte potenţial magnetic vector al câmpului magnetic. Existenţa

acestei mărimi este determinată de valabilitatea legii fluxului magnetic.

83

Dacă la calculul fluxului magnetic printr-o suprafaţă deschisă se exprimă inducţia magnetică cu ajutorul potenţialului magnetic vector (9.3-1) şi se ţine seama de teorema lui Stokes, rezultă succesiv

φS S SΓΓ Γ Γ

= = =∫ ∫ ∫ B nd A n A sA Arot d d . (9.3-2)

Fluxul magnetic prin suprafaţa SΓ este egal cu integrala de linie a potenţialului magnetic vector de-a lungul conturului Γ pe care se sprijină această suprafaţă. Se remarcă faptul că sensul de parcurgere al conturului Γ (sensul elementului de arc d s ) la calculul integralei de linie va fi asociat sensului versorului n al normalei la suprafaţă (care constituie sensul de referinţă al fluxului magnetic) după regula burghiului drept (fig. 9.3-1).

Fig. 9.3-1. Notaţii pentru potenţialul magnetic vector.

Relaţia (9.3-2) pune din nou în evidenţă faptul că valoarea unui flux magnetic nu depinde de forma suprafeţei prin care se calculează acesta, ci numai de conturul pe care se sprijină acea suprafaţă.

Potenţialul magnetic vector este un câmp de vectori, care nu are o semnificaţie fizică nemijlocită; folosirea sa permite însă simplificarea tratării matematice a multor probleme fizice. Potenţialul magnetic vector este univoc definit numai după ce se mai precizează div

A , originea potenţialelor (punctul în care

A = 0 ) şi unele condiţii de frontieră sau la

infinit. Precizarea valorii divergenţei câmpului A constituie condiţia de etalonare. Pentru

câmpul magnetic staţionar se foloseşte condiţia de etalonare Coulomb:

div .A = 0 (9.3-3)

9.4. ECUAŢIILE POTENŢIALULUI MAGNETIC VECTOR

În forma locală a teoremei lui Ampère se poate înlocui inducţia magnetică exprimată cu ajutorul potenţialului magnetic vector, obţinând ecuaţia

( )rot rot ,ν A J= (9.4-1)

unde ν = 1/µ este reluctivitatea. Dezvoltând membrul stâng, se obţine

rot rot grad rot . A A J+ × =ν

În medii omogene ν = const şi se obţine ecuaţia

rot rot . A J= µ (9.4-2)

Însă

rot rot grad div A A A= − ∆

şi dacă se admite condiţia de etalonare Coulomb (9.3-3) se obţine în final ecuaţia

∆ A J= µ . (9.4-3)

84

În medii omogene (şi liniare) potenţialul vector satisface ecuaţia vectorială a lui Poisson; în zonele fără curent se obţine ecuaţia vectorială a lui Laplace. Pentru rezolvarea acestor ecuaţii în domenii mărginite trebuie cunoscute condiţiile pe frontieră.

In reperul cartezian ecuaţiile vectoriale se descompun în ecuaţii scalare ale componentelor

∆ ∆ ∆A J A J A Jx x y y z z= − = − = −µ µ µ, , . (9.4-4)

Integrala ecuaţiei (9.4-3) în tot spaţiul se stabileşte trecând prin formele scalare (9.4-4) şi are forma

( ) ( )

A rJ r

= ∫µπ4

'd '

Rv

D (9.4-5)

unde r r º i ' sunt vectorii de poziţie ai punctelor de observaţie şi curent, iar R r r R= − =' . º i R

În cazul câmpului magnetic staţionar plan-paralel, cu

( ) ( ) A k J k= =A x y J x y, , , º i (9.4-6)

condiţia de etalonare Coulomb (9.3-3) este satisfăcută implicit şi potenţialul vector satisface ecuaţia scalară a lui Poisson sau Laplace în două dimensiuni

( ) ( )∆ x y A x y J x y, , .= −µ (9.4-7)

În cazul câmpului magnetic staţionar plan-radial, folosind reperul cilindric r,ϕ,z şi cu

( ) ( ) A J= =ϕ ϕA r z J r z, , º i

condiţia de etalonare Coulomb (9.3-3) este satisfăcută implicit şi potenţialul vector satisface ecuaţia scalară a lui Poisson sau Laplace în două dimensiuni

( ) ( )∆ r z A r z J r z, , .= −µ (9.4-9)

9.5. FORMULA BIOT-SAVART-LAPLACE

Această formulă a fost stabilită de Laplace, având la bază rezultatele experienţelor savanţilor Biot şi Savart. Formula poate fi regăsită (sau demonstrată) cu ajutorul expresiei (9.4-5) particularizată pentru un circuit filiform. Pentru acest circuit există relaţia (v fig. 9.5-1)

Fig. 9.5-1. Potenţialul vector al circuitului filiform Fig. 9.5-2. Notaţii pentru formula Biot-Savart-Laplace.

85

( )( ) J u s' d ' d ' d 'v J A s i= = (9.5-1)

şi atfel se obţine expresia potenţialului magnetic vector al circuitului filiform având curentul i

( )

A r s

= ∫µπi

R4d ',

Γ (9.5-2)

iar apoi expresia intensităţii câmpului magnetic

H A s R= =

×∫

rot d ' .µ π

iR4 3Γ

(9.5-3)

Aplicaţia 1. Câmpul magnetic al unui fir rectiliniu, parcurs de curentul i (fig. 9.5-3) Punctul de observaţie (în care se determină câmpul magnetic) aflat la distanţa a de fir,

împreună cu linia axă a conductorului defineşte un plan, în care se află vectorul R şi

elementul de arc d s . Vectorul intensităţii câmpului magnetic H este perpendicular pe acest

plan. Luând o coordonată z pe linia firului, cu originea la piciorul perpendicularei coborâte din punctul de observaţie, se calculează componenta scalară

( ) ( )H i z z

a z

i z z

a z

ia

=+

=+

=−∞

∞ ∞

∫ ∫424 22 2 3 2 2 30π π π

d d . (9.5-4)

Câmpul creat de firul rectiliniu infinit este mereu perpendicular pe planul meridian local dus prin fir şi are sensul asociat sensului curentului după regula burghiului drept. Liniile câmpului magnetic sunt cercuri concentrice, cu centrul pe fir, situate în plane perpendiculare pe fir.

Fig. 9.5-3. Câmpul magnetic al firului rectiliniu infinit. Fig. 9.5-4. Câmpul magnetic al spirei circulare, pe linia axă.

Aplicaţia 2. Câmpul magnetic al unei spire circulare, în puncte situate pe axa spirei (fig. 9.5-4).

Spira are raza a, curentul i, iar punctul de observaţie se află la o distanţă z de planul spirei. Pe curba axă a secţiunii spirei (cerc) se consideră un punct curent, din care se duce vectorul de poziţie

R până în punctul de observaţie situat pe axa spirei. Prin punctul curent se

consideră elementul de arc d s , orientat perpedicular pe planul de secţiune, intrând. Elementul de arc este perpendicular şi pe vectorul de poziţie

R . Vectorul elementar d

H al

câmpului creat de curentul elementar i d s este cuprins în planul de secţiune şi este perpendicular pe vectorul de poziţie

R , în jos. Se observă că un element de arc d 's , aşezat

simetric faţă de primul şi ieşind din planul de secţiune, reperat prin vectorul de poziţie R '

aşezat simetric, dă un vector elementar al câmpului perpendicular pe vectorul de poziţie R ' ,

deci în sus. La module egale ale celor două elemente de arc se vor compensa componentele perpendiculare pe axa spirei, rămânând numai componenta axială

86

d d .H i a sRax = 4 3π

Întrucât R şi a nu depind de poziţia punctului curent, expresia se integrează imediat, rezultând

H i a aR

iaax = =

24 23

3ππ

αsin , (9.5-5)

unde α este unghiul sub care se vede raza cercului axă al spirei din punctul de observaţie. Câmpul este maxim în axa spirei (R = a sau α = π/2), este orientat în lungul axei spirei şi are sensul asociat sensului curentului i după regula burghiului drept.

Aplicaţia 3. Câmpul magnetic al unei pânze de curent şi al stratului dublu de pânze de curent (fig. 9.5-5).

În continuare, pe baza expresiei (9.5-4) se poate studia câmpul magnetic al unei pânze de curent, având densitatea lineică JS, cu sensul de referinţă intrând în planul de secţiune (figura 9.5-5a).

Un element infinitezimal de lungime dy din pânza de curent, având curentul di = JS dy, dă într-un punct situat la distanţa b de pânza de curent, câmpul elementar

d d dsin ,H i

aJ y

bl

n = =2 2π π

β

Fig. 9.5.-5). Pânza de curent şi stratul dublu de pânze de curent.

Coordonata y a punctului curent fiind

y b= cotg ,β

rezultă dy = -a dβ/sin2β. Se mai observă că două segmente din pânza de curent de lungimi elementare egale şi

situate la distanţe egale faţă de punctul de observaţie dau vectori ai câmpului elementar având componente perpendiculare pe planul pânzei de curent egale şi de semn contrar, deci câmpul rezultant va avea numai o componentă paralelă cu planul, care se calculează prin integrala

H HJ

Jp pS

S2= = − =∫ ∫d sin d .β

πβ

πΓ

012 (9.5-6)

Rezultă că o pânză de curent plană, produce în vecinătatea sa un câmp magnetic paralel cu planul, având intensitatea egală cu 1

2 JS la orice distanţă faţă de plan şi sensul asociat sensului pânzei de curent după regula burghiului drept (la stânga planului sensul câmpului este opus celui stabilit în partea dreaptă).

Plecând de la acest rezultat, se poate studia câmpul unui strat dublu de pânze de curent, adică al unei perechi de pânze de curent plane paralele, cu densităţi lineice JS şi -JS (egale şi de semn contrar). In figura 9.5-5b s-a determinat câmpul magnetic rezultant, prin

87

superpoziţia câmpurilor produse de fiecare pânză. Rezultă că perechea de pânze produce un câmp egal cu JS în spaţiul dintre pânze şi nul în exterior. Sensul câmpului este asociat sensului pânzelor de curent după regula burghiului drept.

9.6. ECUAŢIA DE ORDINUL DOI A INTENSITĂŢII CÂMPULUI MAGNETIC

Luând rotorul formei locale a teoremei lui Ampère, se obţine

rot rot grad div rot . H H H J= − =∆ (9.6-1)

În mediu omogen, cu µ = const, rezultă divH = 0 şi atunci intensitatea câmpului

magnetic satisface ecuaţia vectorială a lui Poisson

∆ H J= − rot . (9.6-2)

Dacă câmpul densităţii de curent este datorit unui câmp electric staţionar, adică J E= σ ,

întrucât rotE = 0 , rezultă

rot rot grad rot , J E E E= = × +σ σ σ

deci ecuaţia devine

∆ H E= − ×grad .σ (9.6-3)

În mediu conductor omogen cu σ = const se obţine ecuaţia lui Laplace.

9.7. FORMULELE LUI GREEN PENTRU CÂMPURI DE VECTORI

Se consideră două câmpuri de vectori GF

si , definite în DΣ. Se aplică formula lui Gauss-Ostrogradski câmpului

F G× rot şi se obţine prima formulă a lui Green pentru

câmpuri de vectori

( ) ( ) ( ) F G n F G F G F G× = × = −∫ ∫ ∫rot d div rot d rot rot rot rot d .A v v

D DΣ Σ Σ

(9.7-1)

Luând F G= , relaţia devine

( ) ( )( ) F F n F F F× = −∫ ∫rot d rot rot rot d .A v

Σ

2 (9.7-2)

Înlocuind în (9.7-1) FGGF

cu si cu , rezultă o relaţie similară. Scăzând-o membru cu membru din (9.7-1) se obţine a doua formulă a lui Green pentru câmpuri de vectori

( ) ( ) F G G F n G F F G× − × = −∫ ∫rot rot d rot rot rot rot d .A v

DΣ Σ

(9.7-3)

88

10. CIRCUITE MAGNETICE

10.1. CONSIDERAŢII GENERALE ŞI DEFINIŢII

Conform teoremei refracţiei, liniile de câmp magnetic sunt practic tangenţiale pe feţele interioare ale suprafeţei corpurilor feromagnetice cu µ >> µ0. De asemenea, la suprafaţa acestor corpuri - dacă nu sunt prezente pânze de curent pe suprafaţă - se conservă componenta tangenţială a intensităţii câmpului magnetic

H . Rezultă că în interiorul corpurilor

feromagnetice componenta tangenţială a inducţiei B H= µ este mare în comparaţie cu cea din

exterior (din aer, unde B Ha a= µ 0 ), iar liniile inducţiei magnetice sunt conduse prin corpurile

feromagnetice asemănător cu modul în care sunt conduse liniile densităţii curentului de conducţie prin conductoare. Deoarece şi liniile de inducţie magnetică sunt practic închise, se numeşte circuit magnetic un dispozitiv în care aceste linii trec printr-o succesiune de corpuri fero- sau ferimagnetice, separate eventual prin porţiuni neferomagnetice, numite întrefieruri.

In figura 10.1-1 se arată două circuite magnetice, utilizate a) în transformatorul electric monofazat şi b) în releul electromagnetic. Porţiunile de circuit magnetic pe care se aşază bobinele (b) se numesc coloane (c) sau miez (m), iar restul circuitului magnetic este închis prin juguri (j) şi întrefieruri (î); porţiunile mobile (deplasabile) ale circuitului magnetic se numesc armături (a). De o parte şi de alta a întrefierurilor apar poli magnetici. Convenţional se consideră poli nord (N) feţele feromagnetice din care ies linii de câmp (

B orientat din

spre fier spre întrefier) şi poli sud (S) cele în care intră liniile de câmp.

Fig. 10.1-1. Exemple de circuite magnetice.

Cea mai mare parte a liniilor câmpului inducţiei magnetice se închid prin fier şi întrefier, formând liniile câmpului util (sau principal). O altă parte, mai mică, a liniilor inducţiei magnetice se închid numai printr-o parte a circuitului magnetic şi apoi prin aer (prin spaţiul neferomagnetic înconjurător), formând liniile câmpului de dispersie, cărora le corespunde fluxul magnetic de dispersie.

O problemă importantă o formează rezolvarea circuitelor magnetice (numită şi analiza circuitelor magnetice), care se formulează astfel: pentru un circuit magnetic, de configuraţie dată şi format din materiale cu caracteristici magnetice cunoscute, se cere să se determine prin calcul fie fluxurile magnetice utile şi de dispersie la o distribuţie dată a solenaţiilor, fie solenaţiile de excitaţie necesare producerii unui flux magnetic util dat. Problemele de mai sus se pot rezolva fie direct, prin aplicarea legii fluxului magnetic şi a teoremei lui Ampère, fie utilizând analogia dintre circuitele electrice şi circuitele magnetice.

Intr-o primă aproximaţie, circuitele magnetice se rezolvă neglijând dispersia magnetică şi considerând fluxul magnetic uniform distribuit în secţiuni transversale pe liniile de câmp (se consideră aceeaşi inducţie în toate punctele unei secţiuni transversale), iar circuitul magnetic se împarte în porţiuni practic omogene din punct de vedere magnetic.

89

In legătură cu calculul fluxului magnetic al laturilor de circuit magnetic trebuie precizată noţiunea de flux magnetic fascicular. Prin flux magnetic facscicular se înţelege fluxul magnetic calculat prin secţiunea unei laturi de circuit magnetic. Aşadar, fluxul magnetic fascicular reprezintă analogul magnetic al curentului electric de conducţie din electrocinetică.

10.2. METODA DIRECTĂ DE REZOLVARE A UNUI CIRCUIT MAGNETIC

Metoda directă consistă în aplicarea succesivă a legii fluxului magnetic şi a teoremei lui Ampère, în vederea determinării relaţiei dintre fluxul magnetic util al circuitului magnetic neramificat şi solenaţia excitatoare.

Metoda se ilustrează cu exemplul din figura 10.2-1, al unui circuit magnetic în formă de C, având o bobină cu solenaţia N i, mai multe porţiuni feromagnetice omogene, cu lungimi ale liniilor de câmp medii lk, k = 1,...,5, arii ale secţiunilor transversale Ak, precum şi un întrefier de lărgime lδ şi o arie a secţiunii transversale Aδ (prin care trece fluxul magnetic în întrefier, arie aproximativ egală cu sau ceva mai mare decât aria secţiunii transversale a polilor vecini).

Fie φu fluxul magnetic fascicular util al circuitului magnetic prin secţiunea 6 (întrefier). Se aplică legea fluxului magnetic unor suprafeţe Σk care trece prin întrefier şi printr-o

secţiune oarecare de ordin k a circuitului magnetic. Datorită neglijării dispersiei, circuitul magnetic neramificat reprezintă un tub de flux, deci în orice secţiune are acelaşi flux magnetic

φ φk k= =u , , , , .1 2 6 (10.2-1)

Fig. 10.2-1. Circuit magnetic neramificat, în formă de C.

Datorită ipotezei simplificatoare că inducţia magnetică este practic constantă în fiecare secţiune transversală, rezultă

φ φk k k k k kB A B A k= = =, , , , , . sau 1 2 6 (10.2-2)

Cunoscând curba de magnetizare Bk (Hk) a materialului magnetic al fiecărei porţiuni de ordin k a circuitului magnetic, se deduce valoarea intensităţii câmpului magnetic Hk corespunzătoare.

Pentru întrefier (porţiunea 6) relaţia este

H B6 6 0= µ . (10.2-3)

Aplicând teorema lui Ampère unei linii de câmp medii a circuitului magnetic (reprezentată cu linie întreruptă în figura 10.2-1) se poate determina solenaţia excitatoare necesară. Se calculează întâi tensiunile magnetice ale porţiunilor omogene

U l H kk k km = =, , , , .1 2 6 (10.2-4)

Tensiunea magnetomotoare a circuitului se obţine prin sumare

90

U U kk

mm m==∑

1

6

. (10.2-5)

Din teorema lui Ampère rezultă solenaţia Θ necesară sau curentul de excitaţie i necesar

Θ = =N i U mm . (10.2-6)

Dând fluxului magnetic util φu diferite valori, se poate construi caracteristica magnetică a circuitului magnetic, adică dependenţa φu(Θ) sau φu(i). În figura 10.2-2 se arată forma tipică a caracteristicii magnetice pentru o bobină cu miez feromagnetic şi întrefier.

Fig. 10.2-2. Caracteristica magnetică a unui circuit magnetic cu întrefier.

Dacă se dă solenaţia (sau curentul de excitaţie), fluxul magnetic util φu se determină prin încercări succesive (metode de aproximare succesivă) sau construind întâi caracteristica magnetică a circuitului, pe care se determină fluxul util corespunzător solenaţiei date.

Pentru circuite magnetice ramificate, metoda directă de rezolvare consistă în construirea de caracteristici magnetice parţiale pentru laturile de circuit magnetic, care se compun apoi corespunzător relaţiilor ce rezultă din legea fluxului magnetic şi din teorema lui Ampère. Acest caz se tratează mai sistematic în cadrul metodei care face apel la analogia dintre circuitele magnetice şi circuitele electrice de curent continuu.

Observaţie. Dacă circuitul magnetic neramificat este liniar, adică porţiunile sale pot fi caracterizate prin permeabilităţi constante µk, atunci se obţine uşor relaţia explicită

Θ ==∑φ

µulAk

k kk

n

1

. (10.2-7)

Expresia dată de sumă reprezintă reluctanţa echivalentă a circuitului magnetic neramificat, aşa cum va rezulta din metoda prezentată în continuare.

10.3 TEOREMELE LUI OHM ŞI KIRCHHOFF REFERITOARE LA CIRCUITE MAGNETICE

Între mărimile globale care caracterizează circuitele magnetice (φf, Um, Θ) şi mărimile care caracterizează circuitele electrice de curent continuu (I, U, E) se poate stabili o analogie completă, fapt care permite utilizarea la circuitele magnetice a unor concepte şi a unor metode de calcul dezvoltate în teoria circuitelor electrice.

Teoria circuitelor electrice de curent continuu are la bază legea lui Ohm şi teoremele lui Kirchhoff. Pentru circuitele magnetice se pot stabili teoreme analoge celor de mai sus.

Se consideră o porţiune neramificată de circuit magnetic, care formează un tub de flux, adică are acelaşi flux magnetic fascicular φf în oricare secţiune transversală (fig. 10.3-1). De asemenea, se consideră că în fiecare secţiune transversală S, de arie A, vectorul inducţiei

91

magnetice B este perpendicular pe secţiune şi are aceeaşi valoare în toate punctele secţiunii,

astfel încât relaţia dintre fluxul fascicular şi inducţie va fi

φ f = BA. (10.3-1)

Considerând cunoscută valoarea permeabilităţii µ a mediului în secţiunea S se deduce valoarea intensităţii câmpului magnetic

( )H B A= =µ φ µf . (10.3-2)

Fig. 10.3-1. Porţiune de circuit magnetic.

Calculând tensiunea magnetică de-a lungul liniei de câmp C medii (linia axă), între două secţiuni transversale S1 şi S2 şi ţinând seama că vectorii

H s º i d sunt omoparaleli, rezultă

U H ss

AsAm C C

f

C f C12 12 12 12

= = = =∫ ∫ ∫ ∫ H sd d

d d .φµ

φµ

Mărimea

R sAm C12

= ∫dµ

(10.3-3)

se numeşte reluctanţa porţiunii de circuit magnetic (numită, uneori, şi rezistenţă magnetică), iar relaţia

U Rm m f= φ (10.3-4)

constituie teorema lui Ohm referitoare la circuite magnetice, fiind teorema analogă legii lui Ohm (de la circuitele electrice).

Relaţia (10.3-4) se mai numeşte şi relaţia constitutivă a laturii de circuit magnetic. În sistemul internaţional de unităţi (SI), unitatea de măsură a reluctanţei se numeşte

amper pe weber şi se simbolizează [A/Wb] sau [H-1]. Mărimea reciprocă reluctanţei, notată cu P sau Λ

P R= =Λ 1 m (10.3-5)

se numeşte permeanţă. Unitatea de măsură a permeanţei se numeşte weber pe amper, simbolizată [Wb/A], sau henry, simbolizată [H].

Relaţiile stabilite mai sus permit să se întrevadă existenţa unei analogii între circuitele magnetice şi circuitele electrice de curent continuu, pe baza următorului tablou de corespondenţă între mărimi:

Circuite magnetice Circuite electrice

Inducţia magnetică B

J Densitatea curentului

Intensitatea câmpului magnetic H

E Intensitatea câmpului electric

Flux magnetic fascicular φf I Intensitatea curentului electric Tensiune magnetică Um U Tensiune electrică Reluctanţă Rm R Rezistenţă electrică

92

Permeanţă P,Λ G Conductanţă Solenaţie Θ E Tensiune electromotoare

Trebuie observat faptul că, pe când tensiunea electromotoare care intervine în circuitele

de curent continuu are o localizare bine precizată (în laturi), solenaţia poate fi asociată numai unui ochi (contur închis), deci solenaţiei ar trebui să i se asocieze o tensiune electromotoare de ochi.

In cazul circuitelor magnetice, solenaţia este dată de bobine parcurse de curent, deci solenaţia unei bobine de ordin k, cu Nk spire şi parcursă de curentul ik, se prezintă sub forma

Θ k k kN i= , (10.3-6)

ca mărime care are semnul curentului ik. Acestei solenaţii i se poate asocia un sens de referinţă axial în modul următor.

Fie o bobină cu solenaţia Θ, dată de curentul i, care în bobină are sensul de referinţă marcat (în secţiunile bobinei, fig. 10.3-2), în conformitate cu sensul de înfăşurare al conductorului bobinei. Pentru calculul solenaţiei pe o suprafaţă deschisă, sprijinită pe un contur închis Γ, sensului de parcurgere al conturului Γ i se asociază un versor al normalei n după regula burghiului drept. Se observă uşor că acest versor va avea aceeaşi orientare ca sensul de referinţă al curentului (atât pentru conturul închis spre dreapta Γ1, cât şi pentru conturul închis spre stânga Γ2 din figura 10.3-2), dacă conturul Γ este parcurs în sensul care se asociază sensului de înfăşurare şi sensului de referinţă al curentului după regula burghiului drept. Acest sens, marcat cu o săgeată ca în fig. 10.3-2, se atribuie solenaţiei Θ şi constituie sensul de referinţă axial al solenaţiei calculate cu expresia Θ = N i.

Fig. 10.3-2. Definirea sensului de referinţă axial al unei bobine.

Pentru a completa analogia dintre circuitele magnetice şi circuitele electrice, mai trebuie stabilite teoremele topologice ale circuitelor magnetice, numite teoremele lui Kirchhoff.

Fie o reţea magnetică, ca în figura 10.3-3, compusă din laturi (coloane, juguri, întrefieruri etc.) cu caracteristici magnetice cunoscute, având bobine cu solenaţii date. Se notează cu φk fluxul magnetic fascicular al laturii k şi acestui flux i se asociază un sens de referinţă (indicat cu săgeată pe latură), omoparalel cu versorul n k al normalei la secţiunea transversală cu care a fost calculat (definit) fluxul respectiv.

Aplicând legea fluxului magnetic unei suprafeţe închise Σα, care înconjoară un nod (de ordin α) al reţelei magnetice, adică

B n ΣΣd ,A

α∫ = 0 (10.3-7)

se obţine relaţia

± =∑ φα

knod

0, (10.3-8)

care constitue prima teoremă a lui Kirchhoff referitoare la circuite magnetice: suma fluxurilor magnetice fasciculare ale laturilor concurente într-un nod, calculate cu acelaşi sens de referinţă faţa de nod, este nulă. In relaţia (10.3-8) semnul se ia (+)dacă sensul de referinţă

93

al fluxului magnetic fascicular respectiv este de ieşire din nod (ca nΣ ) şi (–) în caz contrar. În cazul concret din figura 10.3-3 rezultă relaţia

− + − + =φ φ φ φ4 5 6 7 0.

Fig. 10.3-3. Reţea magnetică.

În reţeaua din figura 10.3-3 se consideră un drum (contur) închis Γλ, de-a lungul ochiului λ, care se va parcurge în sens orar. Acestui ochi i se aplică teorema lui Ampère

H s J nd d .Γ Γλ∫ ∫= A

S (10.3-9)

Integrala de contur, reprezentând tensiunea magnetomotoare a ochiului λ, se descompune în integrale de linie pe segmente ale curbei Γλ, reprezentând tensiuni magnetice ale laturilor, iar integrala de suprafaţă, reprezentând solenaţia ochiului λ, se descompune într-o sumă de solenaţii datorite bobinelor laturilor care compun ochiul λ.

Se notează cu Umk tensiunea magnetică corespunzătoare laturii k, având acelaşi sens de referinţă ca fluxul magnetic fascicular φk al laturii (ca în teorema lui Ohm). Se mai notează cu Θk solenaţia bobinelor laturii k, având sensul de referinţă axial precizat aşa cum s-a arătat mai înainte. Relaţia (10.3-9) devine

± = ±∑ ∑U k kmochi ochi λ λ

Θ (10.3-10)

şi reprezintă a doua teoremă a lui Kirchhoff referitoare la circuite magnetice: suma tensiunilor magnetice ale laturilor ce formează un ochi, calculate în sensul de parcurgere, este egală cu suma solenaţiilor bobinelor laturilor ochiului. Semnele se iau astfel:

- pentru tensiunile magnetice de latură se ia semnul (+) atunci când sensul de referinţă al fluxului laturii coincide cu sensul de parcurgere şi (–) în caz contrar;

- pentru solenaţiile laturilor se ia semnul (+) atunci când sensul de referinţă axial coincide cu sensul de parcurgere şi (–) în caz contrar.

La circuite magnetice liniare a doua teoremă a lui Kirchhoff se poate prezenta şi sub o formă explicită, în care tensiunile magnetice de latură se explicitează cu ajutorul teoremei lui Ohm

± = ±∑ ∑R k k kmochi ochi

φλ λ

Θ . (10.3-11)

Regula de semne rămâne cea enunţată anterior. În cazul concret din figura 10.3-3 rezultă relaţia

R R R R R n n nm1 m3 m4 m7 mφ φ φ φ φ1 3 4 7 4− + + − = − −Θ Θ .

Tensiunea magnetică între două noduri a şi b (fig. 10.3-3) se poate calcula în acelaşi mod, aplicând teorema lui Ampère unui contur Γ', care conţine drumul a-b

94

U R Rm ab m3 m1+ − =φ φ3 1 0.

Se observă uşor că prin analogia descrisă înainte s-ar fi putut stabili direct (fără a fi demonstrate) teoremele lui Kirchhoff pentru circuite magnetice, prin simpla transcriere a teoremelor corespunzătoare de la circuitele electrice.

Întrucât teoria circuitelor electrice are la bază relaţiile topologice date de teoremele lui Kirchhoff şi relaţiile constitutive ale laturilor (legea sau teorema lui Ohm pentru laturile liniare), toate teoremele enunţate pentru circuitele electrice îşi au teoreme echivalente în teoria circuitelor magnetice. Astfel, de exemplu, dacă circuitele magnetice sunt liniare (laturile au permeabilităţi constante), atunci se pot folosi teoremele de superpoziţie, de reciprocitate, teoremele reluctanţelor echivalente, teoremele generatoarelor echivalente ş.a.

Aplicaţie. Fie circuitul magnetic, considerat liniar, al unui miez cu trei coloane, cu câte o bobină pe fiecare coloană, ca în fig. 10.3-4a. Pe figură au fost marcate şi elementele geometrice care permit caracterizarea fiecărei laturi (coloane) prin reluctanţa corespunzătoare

( ) ( ) ( )R l A R l A R l Am1 m2 m3= = =1 1 1 2 2 2 3 3 3µ µ µ, , .

Se mai notează solenaţiile laturilor

Θ Θ Θ1 1 1 2 2 2 3 3 3= = =N i N i N i, , ,

cu sensurile de referinţă axiale marcate pe figură, în corespondenţă cu sensurile de referinţă ale curenţilor şi cu sensurile de înfăşurare ale bobinelor.

Se stabileşte, fără dificultate, circuitul electric echivalent din figura 10.3-4b. Rezolvarea circuitului magnetic din figura 10.3-4a se reduce la rezolvarea circuitului electric 10.3-4b.

Fig. 10.3-4. Circuit magnetic (a) şi schema sa echivalentă (b).

Dând fluxurilor magnetice sensuri de referinţă (marcate pe figuri), cu metoda ecuaţiilor asociate teoremelor lui Kirchhoff se stabileşte următorul sistem de ecuaţii

φ φ φφ φφ φ

1 2 3

1 2 1 2

2 3 2 3

0+ + =− = +− = − −

,,

.R RR R

m1 m2

m2 m3

Θ ΘΘ Θ

Rezolvarea sistemului de mai sus permite determinarea fluxurilor magnetice fasciculare φ1, φ2, φ3.

10.4. CALCULUL CIRCUITELOR MAGNETICE NELINIARE

Materialele feromagnetice din care sunt realizate circuitele magnetice au permeabilitatea dependentă de inducţia sau de intensitatea câmpului magnetic, adică sunt materiale magnetice neliniare. In consecinţă circuitele magnetice sunt, de regulă, neliniare (din punct de vedere

95

magnetic). Calculul circuitelor magnetice neliniare se aseamănă cu calculul circuitelor electrice neliniare de curent continuu.

In cazul unei laturi neliniare de circuit magnetic nu mai este valabilă teorema lui Ohm referitoare la circuite magnetice (10.3-4) şi nu se poate defini o reluctanţă care să fie calculată cu relaţia (10.3-3). Relaţia între tensiunea magnetică Um a laturii şi fluxul magnetic fascicular φf va fi dată de o caracteristică magnetică Um(φf) sau φf(Um).Teoremele lui Kirchhoff rămân valabile în forma care nu face apel la teorema lui Ohm: prima teoremă în forma (10.3-8), iar a doua - în forma (10.3-10).

Pentru o reţea magnetică cu n laturi, cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff se pot scrie n ecuaţii independente între fluxurile magnetice fasciculare φk ale laturilor şi tensiunile magnetice Umk ale laturilor, iar caracteristicile magnetice ale laturilor reprezintă alte n relaţii independente între aceleaşi mărimi. Se obţine, astfel, un sistem complet de 2n ecuaţii, care determină soluţia căutată.

Pentru exemplificare, se consideră cazul unui circuit magnetic neliniar ca în figura 10.4-1a, având 3 laturi, cu o bobină pe prima latură, care produce solenaţia Θ. Cu sensurile de referinţă marcate în figură, se pot scrie următoarele relaţii între mărimi:

φ φ φ1 2 3= += =

+ =

,,

.

U U U

U Um a b m2 m3

m1 m a b Θ

(10.4-1)

(10.4-2)

(10.4-3)

Fig. 10.4-1. Circuit magnetic neliniar (a), caracteristicile sale şi compunerea caracteristicilor (b).

În figura 10.4-1b s-au reprezentat caracteristicile magnetice φk(Umk) (neliniare) ale laturilor 1, 2 şi 3, precum şi caracteristica rezultantă φ1(Um ab) a laturilor 2 şi 3, conectate în paralel conform relaţiilor (10.4-1) şi (10.4-2). Această caracteristică se calculează astfel: pentru fiecare valoare dată a tensiunii magnetice Um ab se adună fluxurile magnetice fasciculare ale caracteristicilor 2 şi 3. Apoi se poate calcula caracteristica fluxului magnetic fascicular φf(Θ), adunând tensiunile magnetice Um1 şi Um ab pentru fiecare valoare a fluxului magnetic fascicular φf = φ1 (conform relaţiei 10.4-3). Cu ajutorul caracteristicii rezultante φf(Θ) se poate determina punctul de funcţionare corespunzător unei solenaţii excitatoare Θ date, sau unui flux fascicular φ1 dat şi apoi se deduce starea magnetică a tuturor laturilor.

Pe caracteristicile laturilor φ1(Um1), φ2(Um ab), φ3(Um ab) au fost marcate trei puncte de funcţionare corespunzătoare unui şir de 3 solenaţii în progresie aritmetică: 3Θ0, 4Θ0, 5Θ0.

Punctele de funcţionare se pot determina şi prin calcul iterativ. De exemplu, pentru o solenaţie dată Θ1, se ia ca variabilă independentă tensiunea magnetică Um ab. Acestă tensiune determină toate tensiunile magnetice ale laturilor prin relaţiile (10.4-2) şi (10.4-3), aşa că determină valoarea funcţiei f(Um ab) = φ1 - φ2 - φ3. Căutând rădăcina acestei funcţii (de

96

exemplu cu metoda Newton), se determină tensiunea magnetică Um ab corespunzătoare şi apoi starea magnetică a oricărei laturi.

97

11. CÂMPUL MAGNETOSTATIC AL MAGNETILOR PERMANENŢI

11.1. RELAŢIILE FUNDAMENTALE ALE MAGNETOSTATICII

Magnetostatica este ramura Electromagnetismului în care se studiază stările magnetice staţionare fără curenţi electrici de conducţie. În acest regim câmpul magnetic este numit câmp magnetostatic şi este produs de magneţi permanenţi.

Relaţiile fundamentale ale magnetostaticii se deduc din legile generale şi de material ale electromagnetismului, punând

J w= =0 0, şi considerând numai legile în care intervin mărimi magnetice. La prezentarea acestor relaţii se va face o comparaţie cu relaţiile corespunzătoare din electrostatică, pentru a stabili o analogie între cele două grupe de fenomene.

Legea fluxului magnetic rămâne neschimbată

φΣ Σ= = =∫

B n Bd , div .A 0 0 sau (11.1-1)

În electrostatică, legea fluxului electric are o formă diferită

ψ ρΣ Σ Σ= = =∫ D n Dd , div .A q sau v (11.1-2)

Analogia există numai în medii neîncărcate (ρv = 0). Teorema potenţialului magnetostatic este o consecinţă a teoremei lui Ampère pentru

J ≡ 0

H s Hd , rot .Γ∫ = =0 0 sau (11.1-3)

Rezultă că se poate defini un potenţial magnetostatic Vm, astfel încât

( ) ( ) H H s= − = − ∫grad , d .V V P V P

P

P

m m m sau 00

(11.1-4)

Analogia cu câmpul electrostatic este completă: E s Ed , rot ,Γ∫ = =0 0 sau (11.1-5)

respectiv

( ) ( ) E E s= − = − ∫grad , d .V V P V P

P

P sau 0

0

(11.1-6)

Legea legăturii dintre B H M, º i rămâne în aceeaşi formă

( ) B H M= +µ 0 , (11.1-7)

ca şi legea magnetizaţiei temporare în materiale liniare sau neliniare

( ) B H B H= =µ , . sau f (11.1-8)

Observaţie. In aplicaţii, materialele feromagnetice nesaturate se consideră, adesea, cu µ → ∞, iar materialele magnetice dure (magneţii permanenţi) se reprezintă, adesea, cu o caracteristică liniarizată în jurul unui punct de funcţionare, sub forma

98

( ) B H M= +µ µ0 re pe , (11.1-9)

în care µre este o permeabilitate relativă echivalentă ("reversibilă"), iar M pe - o magnetizaţie

permanentă echivalentă. În electrostatică au existat relaţii analoge

( ) D E P D E D E= + = =ε ε0 , , .f (11.1-10)

Câmpul de vectori B satisface următoarele relaţii

div rot rot , B B M J= = =0 0 0 º i mµ µ (11.1-11)

în care J m este densitatea curentului fictiv amperian echivalent stării de magnetizaţie a

corpului. Deci inducţia magnetică este un câmp de vectori solenoidal. Câmpul de vectori

H se studiază cu ecuaţiile

div div rot . H M H= − = =1 00µ ρv m º i (11.1-12)

Intensitatea câmpului magnetostatic este un câmp de vectori potenţial, cu surse, având proprietăţi analoge câmpului electrostatic. Din prima relaţie (11.1-12) rezultă că analogul densităţii de sarcină din electrostatică este mărimea

ρ µv m = − 0 div ,M (11.1-13)

numită densitate de volum a sarcinii de magnetizaţie. Sarcina de magnetizaţie este

q v AVm v mΣ ΣΣ

= = −∫ ∫ρ µd d .0

M n (11.1-14)

Din relaţiile precedente rezultă că numai magnetizaţia permanentă produce câmpul magnetostatic (întrucât magnetizaţia temporară este nulă când câmpul este nul): câmpul magnetostatic este produs de magneţi permanenţi.

Dacă magnetul permanent are forma unei bare magnetizate uniform, pentru determinarea spectrului intensităţii câmpului magnetic

H se poate considera o repartiţie de sarcini fictive

±qm, echivalentă magnetizaţiei, la cei doi poli ai magnetului (ca în figura 11.1-1). Spectrul câmpului se stabileşte prin analogie cu spectrul unui câmp electrostatic. Se observă că în exterior

B Hext ext= µ 0 , deci spectrul inducţiei

B coincide cu spectrul intensităţii câmpului

H. În interior, însă, liniile de câmp

H şi de inducţie

B vor fi diferite, conform relaţiei

( ) B H M= +µ 0 , considerând dată magnetizaţia (permanentă)

M.

Fig.11.1-1. Sarcini de magnetizaţie şi spectrul câmpului H . Fig. 11.1-2. Curenţi amperieni şi spectrul câmpului

B .

99

Deoarece div ,B = 0 liniile inducţiei sunt închise (sau, mai general, nu au început şi

sfârşit); ele au alura liniilor de inducţie ale unui solenoid în vid, echivalent barei magnetizate permanent (ca în figura 11.1-2, datorită repartiţiei superficiale de curenţi amperieni

J m care

apare pe suprafaţa laterală a barei). Se numeşte câmp demagnetizant intensitatea

H d a câmpului magnetic propriu al unui

magnet permanent în punctele din interiorul magnetului. Intrucât tensiunea magnetomotoare trebuie să fie nulă pe orice curbă

H sd ,Γ∫ = 0

calculând această integrală în lungul unei linii de câmp a inducţiei magnetice, în exterior rezultă mereu

H sd ,> 0 adică în final o tensiune magnetică pozitivă în exterior, deci în interior va trebui ca

H sd ,< 0 pentru ca tensiunea magnetică din interior să fie negativă şi să o compenseze pe cea exterioară. În interiorul magnetului permanent intensitatea câmpului magnetic (câmpul demagnetizant) are sens opus magnetizaţiei corpului şi tinde să-l demagnetizeze.

11.2. CIRCUIT MAGNETIC CU MAGNET PERMANENT

Se consideră un circuit magnetic cu magnet permanent, ca în figura 11.2-1. Magnetul permanent (3, haşurat în figură) este prismatic, de lungime lm, cu o arie a secţiunii transversale Am şi a fost magnetizat până la saturaţie înainte de a fi introdus în circuitul magnetic din figură. Circuitul magnetic mai conţine piesele polare 2 şi 4, din materiale feromagnetice moi. Acestea sunt nesaturate în funcţionare normală, fapt pentru care se poate neglija tensiunea lor magnetică. Între piesele polare rămâne întrefierul 1, de lărgime lδ şi arie echivalentă a secţiunii transversale Aδ, prin care se închide fluxul magnetic util.

Fig. 11.2-1. Circuit magnetic cu magnet permanent.

Observaţie. Dacă se cunoaşte permeanţa Pδ corespunzătoare trecerii fluxului magnetic util prin întrefier, atunci aria Aδ se poate calcula cu relaţia

A Pl

δ δδ

µ=

0

. (11.2-1)

Pentru un întrefier de lărgime mică în comparaţie cu dimensiunile transversale ale piesei polare şi dacă se neglijează dispersia, atunci se poate lua aproximativ Aδ ≅ Ap, dacă Ap este aria feţei din spre întrefier a piesei polare. De regulă, însă, dispersia este importantă.

Fluxul magnetic al circuitului magnetic se închide prin magnetul permanent, prin piesele polare şi prin întrefier, de-a lungul liniei de câmp medii Γ, reprezentată cu linie întreruptă în figura 11.2-1. Aplicând teorema lui Ampère pe această linie de câmp, rezultă relaţia

100

H sd ,Γ∫ ≈ + =H l H lm m δ δ 0 (11.2-2)

în care Hm este intensitatea câmpului magnetic în magnetul permanent (câmp demagnetizant), iar Hδ - în întrefier. Fluxul magnetic al magnetului, egal cu cel care se închide între piesele polare prin aer, este

φ δ δ= =B A B Am m . (11.2-3)

Ţinând seama că în aer Bδ = µ0 Hδ, din ultimele două relaţii se deduce expresia câmpului demagnetizant

H Hl Al A

Bd m

m

m

m

0

= = − δ

δ µ. (11.2-4)

Această relaţie reprezintă ecuaţia unei drepte în planul curbei de magnetizare B(H), care intersectează în punctul R ramura de demagnetizare a ciclului histerezis al magnetului permanent (fig. 11.2-2). Dreapta OR se numeşte dreaptă de demagnetizare, iar factorul adimensional

µ µδ

δ δ δ

0 0HB

Nl Al A

Al P

PP

d

mB

m

m

m

m

m= = = = (11.2-5)

se numeşte factor de demagnetizare. În ultima expresie de mai sus s-a notat cu Pm o permeanţă echivalentă a magnetului (de fapt, permeanţa unei porţiuni nemagnetice, de lungime lm şi arie a secţiunii transversale Am).

Fig. 11.2-2. Ramura de demagnetizare a ciclului de histerezis şi dreapta de demagnetizare.

Prin construcţia grafică din figura 11.2-2 se deduce inducţia Bm în magnet şi apoi inducţia echivalentă în întrefier.

BAA

Bδδ

= mm . (11.2-6)

În figura 11.2-2 s-a reprezentat şi ramura de demagnetizare a ciclului unui material magnetic moale (cu linie întreruptă), al cărui punct de funcţionare R' se află la valori mici ale inducţiei.

În mod practic, pentru a caracteriza eficacitatea unui magnet permanent de volum dat, se consideră expresia energiei câmpului magnetic din întrefierul de volum echivalent Vδ = lδ Aδ (anticipând expresia energiei magnetice, care va fi stabilită într-un capitol următor)

( )( )W B H V B A H lm δ δ δ δ δ δ δ δ= =12

12 . (11.2-7)

Însă conform (11.2-2) şi (11.2-3) rezultă

( )( ) ( )( )W B A H l B A H l B H Vm m m d m m d mδ δ δ δ δ= = =12

12

12. , (11.2-8(

101

adică densitatea de volum a energiei magnetice pe care o poate da magnetul este egală cu 12 B Hm d .

Valoarea produsului Bm |Hd| variază după poziţia punctului de funcţionare pe ramura de demagnetizare. Maximul produsului (Bm |Hd|)max este numit indice de calitate al materialului magnetic dur. Pentru o bună utilizare a unui material magnetic dur, magnetul trebuie dimensionat astfel încât punctul său de funcţionare să se situeze în apropierea punctului în care este maxim produsul Bm |Hd|. În aceste condiţii se foloseşte cel mai puţin material magnetic dur pentru satisfacerea unor condiţii tehnice date.

Notă. Poziţia punctului de funcţionare în care este maxim produsul Bm |Hd| se poate determina aproximativ pe cale grafică, la intersecţia diagonalei dreptunghiului de laturi OBr şi OHc cu ranura de demagnetizare a ciclului de histerezis (fig. 11.2-3).

Notând cu Bmo şi Hdo valorile corespunzătoare acestui punct, rezultă că factorul de demagnetizare al magnetului trebuie să aibă valoarea optimă

NHBB opt

d o

m o

= µ 0 . (11.2-9)

Cu această valoare se poate alege forma magnetului, întrucât avem relaţia

A l N A l N Pm m B B= =δ δ δ µ 0 , (11.2-10)

iar altă relaţie este dată de fluxul magnetic util, în întrefier

φδ δ δ= =A B A Bm m . (11.2-11)

Fig.11.2-3. Construcţie grafică pentru estimarea factorului de demagnetizare optim.

Cu cât este mai mare intensitatea câmpului magnetic coercitiv, cu atât va rezulta mai mare şi câmpul optim |Hd0|, iar dreapta OR va avea o pantă mai mică, respectiv factorul de demagnetizare NB va fi mai mare şi magnetul va trebui să fie de lungime lm mai mică.

Magneţii permanenţi au utilizări importante în construcţia aparatelor de măsurat, în maşinile electrice de putere mică, la difuzoare, în contoare, în relee ş.a.

102

12. INDUCTIVITĂŢI

Calculul fluxului magnetic al unui circuit electric, datorit curentului acelui circuit sau curenţilor altor circuite, conduce la introducerea mărimii numite inductivitate sau inductanţă. Inductivitatea se defineşte în situaţia în care câmpul magnetic este produs de curentul electric al unui singur circuit

Dacă în vecinătatea circuitelor există numai medii magnetice liniare (cu permeabilitate constantă,independentă de intensitatea câmpului magnetic), inductivitatea depinde numai de dimensiunile, de forma circuitelor şi de permeabilitatea magnetică a mediului. În mediile feromagnetice permeabilitatea (µ) depinde de intensitatea câmpului magnetic (H) respectiv de inducţia magnetică (B), deci şi inductivitatea va depinde de curentul inductor; în acest caz noţiunea de inductivitate devine mai puţin utilă. În cele ce urmează se va considera numai cazul mediilor magnetice liniare (sau liniarizate).

, numit circuit excitator sau circuit inductor. In aceste condiţii, inductivitatea reprezintă raportul dintre fluxul magnetic al unui circuit (calculat printr-o suprafaţă sprijinită pe conturul acelui circuit) - numit circuit indus - şi intensitatea curentului circuitului inductor.

12.1 FLUXURI ŞI INDUCTIVITĂŢI PROPRII ŞI MUTUALE

Se consideră un circuit filiform 1, având curba axă Γ1, care este parcurs de curentul de conducţie i1 şi produce un câmp magnetic

B1 , reprezentat prin liniile sale de câmp (fig.

12.1-1). Se notează cu φ1 1 şi se numeşte flux magnetic propriu al circuitului 1, fluxul magnetic al câmpului de inducţie

B1 printr- o suprafaţă SΓ1 sprijinită pe curba axă Γ1 a

circuitului 1

φ11 = ∫ B n1 1 d .A

S 1Γ

(12.1-1)

Versorul normalei n1 este asociat sensului de parcurgere al curbei axă Γ1 după regula burghiului drept; la definirea inductivităţii proprii, este ales ca sens de parcurgere natural al curbei axă Γ1 chiar sensul de referinţă al curentului i1.

Se numeşte inductivitate proprie (sau autoinductivitate) raportul

Li

D

1 11 1

1

=φ

. (12.1-2)

Inductivitatea proprie definită cu sensul natural de parcurgere este pozitivă.

Fig. 12.1-1. Notaţii pentru definirea fluxurilor magnetice proprii şi mutuale.

Dacă în vecinătatea circuitului (excitator) 1 se află un alt circuit (indus) 2, având curba axă Γ2 (fig. 12.1-1), câmpul magnetic

B1 va determina prin circuitul indus un flux magnetic

103

mutual φ2 1, al circuitului 2, produs de circuitul 1 (calculat printr-o suprafaţă SΓ2 sprijinită pe curba axă Γ2)

φ 2 1 = ∫ B n1 2 d .A

S 2Γ

(12.1-3)

Versorul normalei n 2 la suprafaţă se asociază sensului de parcurgere al circuitului 2 (al curbei axă Γ2) după regula burghiului drept. Aici nu există o regulă naturală pentru alegerea sensului de parcurgere al circuitului 2, deci acest sens trebuie specificat explicit, aşa cum se va arăta mai departe.

Se numeşte inductivitate mutuală raportul

Li

D

2 12 1

1

=φ

. (12.1-4)

Inductivitatea mutuală poate fi pozitivă sau negativă, după modul în care s-a ales sensul de parcurgere al circuitului indus, pentru un sens de referinţă dat al curentului inductor. De regulă aceste sensuri se aleg astfel încât inductivitatea mutuală să rezulte pozitivă, dar această regulă admite excepţii. De exemplu, atunci când poziţia reciprocă a circuitelor se modifică în timp, cum este în cazul maşinilor electrice.

Se poate demonstra că în medii liniare inductivităţile mutuale satisfac relaţia de reciprocitate

L L1 2 2 1= . (12.1-5)

Demonstraţia va fi dată în câteva cazuri particulare, în subcapitolul care urmează. Pe schemele circuitelor electrice cuplate magnetic trebuie specificate sensurile

convenţionale pentru care a fost definită fiecare inductivitate mutuală. Această specificare se face în raport cu bornele marcate.

In teoria circuitelor electrice, elementul de circuit caracterizat complet prin inductivităţile sale se numeşte bobină ideală. Bobina ideală se reprezintă prin unul dintre simbolurile grafice redate în figura 12.1-2, cel mai sugestiv fiind primul simbol, pe când al doile este mai uşor de desenat.

Fig. 12.1-2. Simbolizarea bobinei ideale. Fig. 12.1-3. Marcarea bornelor bobinelor ideale cuplate magnetic.

Atunci când bobina este cuplată magnetic (adică are inductivităţi mutuale), se obişnuieşte ca una dintre cele două borne (sau capete) ale fiecărei bobine să fie marcată printr-un asterisc (*) sau un punct (•), iar inductivitatea mutuală dintre două bobine se defineşte pentru sensuri convenţionale (sens de referinţă al curentului excitator şi sens de parcurgere al circuitului indus) la fel orientate faţă de bornele marcate: fie ambele sensuri intră prin bornele marcate (fig. 12.1-3), fie ambele ies prin aceste borne. Inductivitatea mutuală astfel definită poate fi pozitivă sau negativă, iar uneori poate avea chiar un semn variabil (în timp, sau funcţie de alte condiţii, de exemplu, de o coordonată de poziţie). Valoarea sau simbolul inductivităţii mutuale se înscrie lângă o săgeată dublă dusă între bornele marcate la care se referă.

104

Uneori inductivitatea mutuală se simbolizează cu litera M.

Observaţia 1. Fluxurile magnetice proprii sau mutuale ale circuitelor electrice filiforme sunt calculate pe o suprafaţă sprijinită pe conturul complet al curbei axă a circuitului indus (considerat, întotdeauna, închis). De multe ori circuitul indus este o bobină cu multe spire, diferitele spire ocupând în spaţiu poziţii apropiate, ceea ce face posibil ca fluxul magnetic al circuitului să poată fi calculat ca produsul dintre un flux magnetic fascicular al unei spire "medii" şi numărul de spire al bobinei. In acest fel se obţin relaţii de definiţie ale inductivităţilor de forme echivalente celor anterioare

L Ni

D

11 11

=φ f 1 1 , (12.1-2')

L Ni

D

21 21

=φ f 2 1 , (12.1-4')

fluxurile magnetice fasciculare φf 1 1 şi φf 2 1 fiind calculate pe suprafeţe sprijinite pe curba axă a câte unei singure spire aflată într-o poziţie medie din secţiunea bobinei respective.

Observaţia 2. Dacă inducţia magnetică B1 creată de circuitul excitator 1 se exprimă cu

ajutorul potenţialului vector A1

B A11 = rot , (12.1-6)

atunci, folosind formula lui Stokes, integralele de suprafaţă (12.1-1) şi (12.1-3) se transformă în integrale de contur ale potenţialului magnetic vector

A1

φ φ11 1 1 21 1 2= =∫ ∫ A s A sd d .

S S1 2

º i Γ Γ

(12.1-7)

Observaţia 3

În sistemul internaţional de unităţi (SI), unitatea de măsură a inductivităţii se numeşte henry, simbolizată [H], definită prin relaţia

. Pentru a le diferenţia de fluxurile magnetice fasciculare, numite adesea, simplu, fluxuri magnetice, fluxurile magnetice proprii şi mutuale asociate unor circuite electrice se numesc şi fluxuri magnetice totale sau fluxuri "înlănţuite" (flux linkage în engleză, verkettete Fluss în germană).

1 H = 1 Wb/ 1 A. (12.1-6)

12.2. RELAŢIILE LUI MAXWELL REFERITOARE LA INDUCTIVITĂŢI

Cunoscând inductivităţile proprii şi mutuale ale unui sistem de n circuite (bobine), se poate calcula fluxul magnetic total φj al oricărui circuit de ordin j, corespunzător unui sens de parcurgere dat, însumând fluxul magnetic propriu φj j = Lj j ij, cu fluxurile magnetice mutuale φj k = Lj k ik:

φ j j k kk

n

L i j n= ==∑

1

1 2, , , , . (12.2-1)

Sistemul relaţiilor (12.2-1) este cunoscut ca relaţiile lui Maxwell referitoare la inductivităţi. Adesea aceste relaţii se scriu generic fără specificarea alternanţei de semne (±).

105

La efectuarea sumei din expresia (12.2-1) trebuie să se ţină seama de relaţia în care se află sensul de parcurgere adoptat pentru calculul fluxului φj cu sensurile pentru care au fost definite fluxurile, respectiv inductivităţile proprii şi mutuale. În acest scop se scrie întâi expresia fluxului total fără semne, apoi semnul fiecărui termen (j,k) se determină astfel. Se compară:

- orientarea sensului de parcurgere a bobinei induse j (al cărei flux magnetic se calculează) în raport cu borna sa marcată,

- şi orientarea sensului de referinţă al curentului bobinei excitatoare k în raport cu borna marcată a acestei bobine.

Când cele două sensuri sunt la fel orientate faţă de bornele marcate, fluxul (respectiv inductivitatea) intervine cu semnul pozitiv, iar în caz contrar - cu semnul negativ.

Pentru exemplificare, se va considera cazul a trei bobine cuplate magnetic, ca în figura 12.2-1. In figură au fost indicate şi sensurile de referinţă ale curenţilor. Mai jos se dau expresiile fluxurilor magnetice totale ale fiecărei bobine, pentru cele două sensuri de parcurgere posibile:

Fig. 12.2-1. Exemplu de bobine cuplate multiplu.

- de la stânga la dreapta (→)

φ1→ = L1 1 i1 – L1 2 i2 – L1 3 i3,

φ2→ = – L1 2 i1 + L2 2 i2 + L2 3 i3,

φ3→ = L1 3 i1 – L2 3 i2 – L3 3 i3,

- de la dreapta la stânga (←)

φ1← = – L1 1 i1 + L1 2 i2 + L1 3 i3,

φ2← = L1 2 i1 – L2 2 i2 – L2 3 i3,

φ3← = – L1 3 i1 + L2 3 i2 + L3 3 i3.

De fapt, ultimele expresii (pentru parcursul dreapta-stânga) se puteau obţine inversând

semnele din expresiile anterioare (ale parcursului stânga-dreapta).

12.3 CALCULUL INDUCTIVITĂŢILOR

Inductivităţile pot fi calculate prin mai multe metode, dintre care cele mai importante vor fi expuse pe scurt mai jos.

Metoda directă de calcul urmează calea descrisă la definirea fluxurilor magnetice proprii şi mutuale şi a inductivităţilor. Metoda constă în următoarele:

a) se determină câmpul inducţiei magnetice B1 datorit numai circuitului excitator

(parcurs de curentul i1), b) se calculează fluxul magnetic al circuitului indus (care poate coincide cu circuitul

excitator, atunci când se determină o inductivitate proprie), ca integrala inducţiei B1 pe

suprafaţa sprijinită pe curba axă a circuitului indus, versorul normalei fiind asociat sensului de parcurgere după regula burghiului drept

106

c) împărţind valoarea fluxului magnetic astfel calculat prin intensitatea curentului excitator i1 se obţine inductivitatea corespunzătoare.

Metoda directă poate fi exemplificată prin calculul inductivităţii proprii a unei înfăşurări cu N1 spire, bobinate uniform pe un tor omogen. Dacă lm este lungimea medie a unei linii de câmp în tor şi µ este permeabilitatea magnetică a materialului torului, inducţia magnetică în tor, corespunzătoare unui curent excitator i1, va fi

B N i l1 1 1= µ m .

Dacă A este aria secţiunii transversale a torului, rezultă fluxul magnetic fascicular

φ f 1 1 = B A1 ,

iar inductivitatea proprie este

L N i N A l11 1 1 12= =φ µf 1 1 m . (12.3-1)

Expresia obţinută este valabilă în mediu omogen şi pentru bobina dreaptă (solenoid) foarte lungă; la bobine drepte scurte va interveni un factor de corecţie subunitar, a cărui valoare depinde de raportul dintre lungimea şi dimensiunile transversale ale bobinei.

Un alt exemplu, în care câmpul magnetic se va determina mai exact, este cel al bobinei toroidale cu miez omogen, de permeabilitate µ, bobinat uniform cu N1 spire. Miezul are secţiune dreptunghiulară, având grosimea b şi fiind cuprins între razele R1 şi R2 (fig. 12.3-1). Într-un punct al secţiunii aflat la distanţa r de axa torului inducţia magnetică este

( )B N i r1 1 1 2= µ π .

Fig. 12.3-1. Bobină toroidală cu secţiune dreptunghiulară.

Într-o secţiune transversală S1 a torului fluxul magnetic fascicular este

φ µπ

µπf 1 1 S1

= = =∫ ∫ B n1 1

1 1 1 1 2

12 21

2d d ln .AN i

rb r

N i b RRR

R

La calculul integralei s-a ţinut seama că

n B1 1 şi s-a ales ca element de suprafaţă fâşia de lăţime dr şi lungime b (adică dA= b dr), pe care inducţia magnetică are aceeaşi valoare.

Inductivitatea proprie este

L NN b R

R11 112

2

12= =φ µ

πf 1 1 ln . (12.3-2)

Se remarcă faptul că în afara înfăşurării toroidale câmpul magnetic este nul. Dacă pe miezul toroidal de mai sus se află şi o a doua înfăşurare cu N2 spire (distribuită

oricum, întrucât aici miezul toroidal - excitat prin înfăsurare uniform distribuită - este tub de flux magnetic), se poate calcula inductivitatea mutuală L2 1. La calculul acesteia se poate folosi fluxul magnetic fascicular φf 1 1 determinat anterior (eventual, până la semnul cu care intervine). Atunci inductivitatea mutuală este

107

L N iN N b R

R21 2 11 2 2

12= ± = ±φ µ

πf 1 1 ln . (12.3-3)

Semnul va fi (+) atunci când sensul de referinţă al curentului i1 se înfăşoară pe tor în acelaşi sens ca sensul de parcurgere al înfăşurării secunde şi va fi (–) în caz contrar.

Calculul inductivităţii bobinelor aşezate pe circuite magnetice consistă în determinarea directă a fluxurilor magnetice fasciculare datorite solenaţiei excitatoare, prin rezolvarea circuitului magnetic, iar apoi cu aceste fluxuri magnetice se pot calcula inductivităţile.

De exemplu, dacă o bobină cu N1 spire este aşezată pe un circuit magnetic şi Rme este reluctanţa echivalentă a circuitului magnetic (în raport cu poziţia bobinei excitatoare), se obţine succesiv

φ f 1 1 me me º i = =N i R L N R1 1 11 12 .

Ca un alt exemplu se poate considera circuitul magnetic ramificat, cu două bobine, din figura 12.3-2. Se notează cu Rm1, Rm2 şi Rm3 reluctanţele celor trei coloane. Cu sensurile de referinţă şi cu sensurile de înfăşurare din figură, la excitarea bobinei 1 rezultă fluxurile magnetice fasciculare

φ φ φf 1 1me

f 3 1m2

m2 m3f 1 1 º i = =

+N iR

RR R

1 1 ,

unde s-a notat

( ) ( )( )R R R Rme m1 m2 m3= + +1 1 1 .

Fluxurile magnetice totale corespunzătoare bobinelor 1 şi 2 sunt

φ φ φ φ11 1 3= = −N Nf 1 1 31 f 3 1 º i .

Fig. 12.3-2. Circuit magnetic cu trei coloane şi două bobine.

La semnul ultimului flux s-a ţinut seama de faptul că sensul de înfăşurare al bobinei 3 este asociat sensului de referinţă al fluxului fascicular φf 3 1 după regula burghiului stâng.

Rezultă expresiile inductivităţilor

( )L

R RR R R R R

N11 12=

++ +

m2 m3

m1 m3 m2 m1 m3

, (12.3-4)

( )L

RR R R R R

N N31 1 3=−

+ +m2

m1 m3 m2 m1 m3

. (12.3-5)

Se observă că ultima expresie este simetrică în raport cu indicii 1 şi 3, ceea ce confirmă relaţia de reciprocitate L1 3 = L3 1 în cazul bobinelor dispuse pe circuite magnetice.

108

În cazul circuitelor filiforme situate în vid inductivitatea mutuală se poate calcula cu formula lui Neumann

Lr121

1221

= ∫∫d d

, s s2

ΓΓ (12.3-6)

unde Γ1 şi Γ2 sunt curbele axă a două circuite filiforme, d d s s1 2 º i sunt elementele de arc pe cele două curbe (în sensurile de referinţă, respectiv de parcurgere) şi r12 este distanţa între cele două elemente de arc (fig. 12.3-3).

În medii omogene inductivitatea mutuală se poate calcula cu aceeaşi formulă, în care permeabiltatea vidului µ0 se înlocuieşte cu permeabilitatea mediului µ. De fapt, în acest caz şi cele două circuite ar trebui să fie formate din conductoare filiforme de permeabilitate µ.

Fig. 12.3-3. Notaţii pentru formula lui Neumann.

Formula lui Neumann poate fi stabilită plecând de la formula Biot-Savart-Laplace sau de la integrala ecuaţiei vectoriale Poisson a potenţialului magnetic vector în spaţiul infinit. În adevăr, se observă că expresia care intervine în formula Biot-Savart-Laplace

d

s R×R 3

reprezintă rotorul expresiei d s R

( ) ( ) ( )( )rot d d d d .

s s s R sR R RR

= ∇ × = ∇ × = − ×1 3

Dar câmpul magnetic derivă din potenţialul vector A

B A= rot .

Comparând cu expresia anterioară, rezultă că pentru un circuit filiform închis, având curba axă Γ, situat în vid şi parcurs de curentul i, potenţialul vector are expresia

A s= ∫µπ0

4i

Rd ,

Γ (12.3-7)

elementul de arc d s fiind orientat în sensul de referinţă al curentului i. Această expresie se stabileşte şi direct, prin integrarea în spaţiul infinit a ecuaţiei vectoriale Poisson a potenţialului magnetic vector, pentru un circuit filiform.

Considerând acum că circuitul 1 este cel care produce câmpul magnetic (Γ→Γ1, i → i1, A A1→ ), fluxul magnetic mutual al circuitului 2 este

φ 21 1 2 1 2= =∫ ∫ B n A nd rot d .A A

S S2 2Γ Γ

Aplicând teorema lui Stokes, rezultă succesiv

φµπ21 1 2 1 20 1 2

122 214= = =∫ ∫ ∫∫rot d d

d d

A n A ss s

Ai

RS 2Γ Γ ΓΓ

109

şi se regăseşte formula (12.3-6). Formula lui Neumann evidenţiază faptul că relaţia de reciprocitate (12.1-5) este valabilă

şi pentru circuite situate în medii liniare, omogene şi izotrope. Formula lui Neumann poate fi extinsă şi la circuite nefiliforme, dacă se cunoaşte regula

de distribuţie a curentului în secţiunile conductoarelor nefiliforme. La repartiţie uniformă (în curent continuu), pentru două circuite generate cu secţiunile transversale S1, S2, având ariile A1, A2, rezultă relaţia

~ d d .MA A

A M A121 2

1 12 21

= ∫∫ SS 21

(12.3-8)

În integrala de mai sus inductivitatea M12 este funcţie de poziţiile punctelor curente în secţiunile S1 şi S2, în care sunt considerate elementele de suprafaţă cu ariile dA1 şi dA2.

O altă metodă de calcul a inductivităţilor se bazează pe o egalitate energetică; metoda respectivă va fi exemplificată printr-o aplicaţie, după definirea energiei magnetice.

12.4. INDUCTIVITATEA ECHIVALENTĂ

Se numeşte inductivitate echivalentă a unui sistem neramificat de circuite (bobine, conectate în serie, parcurse de acelaşi curent), inductivitatea calculată cu fluxul magnetic total al circuitului. Pentru exemplificarea conceptului, se consideră cazul a două bobine cu inductivităţile proprii L1, L2 şi mutuală L12 (fig. 12.4-1a). Aceste bobine pot fi conectate în două moduri: astfel încât fluxurile lor magnetice să se adune (fig. 12.4-1b) sau să se scadă (fig. 12.4-1c).

In primul caz (al conexiunii adiţionale), fluxul magnetic total al circuitului format va fi

φ+ = φ1 + φ2 = (L1 i + L12 i) + (L2 i + L12 i) = (L1 + L2 + 2 L12) i. (12.4-1)

Fig. 12.4-1. Inductivitatea echivalentă a două bobine cuplate magnetic adiţional (b) sau diferenţial (c).

întrucât i1 = i2 = i şi apoi

L L L L+ = + +1 2 122 . (12.4-2)

În cazul conexiunii diferenţiale (fig. 12.4-1c), cu i2 = –i1 rezultă

φ– = φ1 – φ2 = (L1 i – L12 i) + (L2 i – L12 i) = (L1 + L2 – 2 L12) i. (12.4-3)

L L L L− = + −1 2 122 . (12.4-4)

Inductivitatea echivalentă proprie nu poate fi negativă, de unde rezultă o relaţie de ordonare a inductivităţilor proprii şi mutuale, general valabilă

L L L1 2 122+ > . (12.4-5)

110

12.5. INDUCTIVITATEA DE DISPERSIE

În cazul a două circuite (bobine) cuplate magnetic se poate defini un flux magnetic de dispersie al circuitului 1 în raport cu circuitul 2, ca fluxul magnetic total al circuitului 1, atunci când fluxul total al circuitului 2 este nul. Punând aceste condiţii în relaţiile lui Maxwell pentru două circuite, se obţin expresiile

φ φ1 11 1 12 2 2 12 1 22 20d = + = = +L i L i L i L i, .

Din a doua relaţie se determină al doilea curent necesar, care se înlocuieşte în prima expresie şi rezultă

( )φ1 11 122

22 1d = −L L L i . (12.5-1)

Inductivitatea de dispersie a circuitului 1, în raport cu circuitul 2, este

L i L L L1 1 1 11 122

22d d= = −φ . (12.5-2)

Similar se poate defini şi inductivitatea de dispersie a circuitului 2 în raport cu circuitul 1

L i L L L2 2 2 22 122

11d d= = −φ . (12.5-3)

Aceste inductivităţi se pot exprima şi sub altă formă, introducând notaţia

kL

L L= 12

11 22

. (12.5-4)

Mărimea introdusă k se numeşte factor de cuplaj (magnetic). Cu ajutorul ei expresia inductivităţii de dispersie devine

( ) ( )L L k L L k1 112

2 2221 1d d º i = − = − . (12.5-5)

Inductivitatea de dispersie trebuie să fie pozitivă. De aici rezultă o nouă relaţie de ordonare a inductivităţilor proprii şi mutuale

L L L12 11 22≥ . (12.5-6)

Factorul de cuplaj are valori cuprinse între -1 şi 1; el nu poate fi, în valoare absolută, mai mare ca 1. Circuitele care au un factor de cuplaj nul - nu sunt cuplate magnetic, iar cele care au factor de cuplaj egal cu 1 sau -1 - sunt cuplate "perfect". De fapt cuplajul "perfect" este o abstracţiune, o limită spre care se poate tinde, fără a o atinge. Atunci când se tratează modele idealizate ale câmpului magnetic, se poate obţine un cuplaj "perfect" sau o dispersie nulă, dar acest rezultat nu reflectă o realitate, ci este o consecinţă a ipotezelor simplificatoare ale modelului utilizat.

12.6. INDUCTIVITĂŢILE LINIILOR AERIENE BIFILARE

Se consideră cazul idealizat, apropiat de situaţia din practică, al unei linii aeriene bifiare, formate din două conductoare cilindrice paralele, de diametre d egale, de lungime foarte mare în comparaţie cu distanţa D dintre axele lor, parcurse în sensuri opuse de un curent i (fig. 2.6-).

Câmpul magnetic al acestei linii poate fi studiat cel mai uşor prin superpoziţia câmpurilor produse de fiecare conductor.

111

Cum s-a arătat anterior, câmpul magnetic al unui conductor cilindric circular, rectiliniu, infinit, parcurs de curentul i, are următoarele expresii la distanţa r de axa conductorului

B i rd

r d

Bir

r d

i

e

pentru

pentru

= ≤

= >

2 2

22

2

0

µπµπ

, ,

, ,

(12.6-1a)

(12.6-1b)

dacă µ este permeabilitatea materialului conductorului (de regulă conductorul este nemagnetic şi atunci µ = µ0).

Fig. 12.6-1. Notaţii pentru calculul câmpului magnetic al liniei aeriene bifilare.

Se va calcula fluxul magnetic corespunzător unui contur închis Γ, format din liniile axelor celor două conductoare pe o porţiune de lungime axială l şi din două segmente de dreaptă transversale, perpendiculare pe liniile axă (fig. 12.6-1).

Fluxul magnetic datorit numai curentului conductorului din stânga, este

φµ µ

πµπ

µπ

µ1

2

0

2

2

0 0 028 2

22

2=

+ = + = +

∫ ∫

rd

B l r B l rl i l i D

dl i D

dd

d

D

i er r

4d d ln ln . (12.6-2)

În prima integrală s-a introdus un factor care ia în consideraţie faptul că fluxul magnetic elementar Bi l dr îmbrăţişează numai o parte (2r/d)2 din curentul total al conductorului. Justificarea riguroasă a acestei corecţii rezultă din considerente energetice, aşa cum se va arăta după introducerea conceptului de energie magnetică.

În ultima formă a expresiei fluxului, cu µr s-a notat permeabilitatea relativă a materialului conductorului.

Câmpul magnetic corespunzător celui de al doilea conductor dă prin conturul considerat Γ un flux magnetic egal cu cel al primului, astfel încât inductivitatea liniei aeriene bifilare devine

Li

l Dd

= = +

2 21 0φ µπ

µ r

4ln . (12.6-5)

Se numeşte inductivitate lineică, inductivitatea unităţii de lungime a liniei

L Ll

Ddl

r

4= = +

µπ

µ0 2ln . (12.6-6)

Pentru calcule practice, formula de mai sus se prezintă, de regulă, sub altă formă, care se obţine explicitând pe µ0 şi utilizând inductivitatea lineică raportată la lungimea de un kilometru

[ ]L Ddl r H / km= +

−µ 4 2 10 4ln . . (12.6-7)

112

De exemplu, pentru o linie cu conductoare nemagnetice (µr = 1), având diametrul de 5 mm, aflate la distanţa de 40 cm unul de celălalt, se obţine inductivitatea lineică

( )( )Ll mH / km.= + × =−1 4 2 400 5 10 2 134ln . ,

În practică apare uneori necesitatea cunoaşterii inductivităţii mutuale dintre două linii aeriene bifilare paralele 1-1 ' şi 2-2'. Pentru specificarea notaţiilor, în figura 12.6-2 s-au reprezentat numai urmele acestor conductoare pe un plan perpendicular, urme în care au fost marcate sensurile convenţionale. Si în acest caz este avantajos să se calculeze prin superpoziţie câmpul magnetic şi fluxurile magnetice.

Fig. 12.6-2. Notaţii pentru calculul inductivităţii mutuale dinte linii aeriene bifilare.

Fluxul magnetic mutual al liniei 1-1' prin circuitul liniei 2-2' (pe o lungime axială l) va fi egal cu suma fluxurilor magnetice mutuale produse de câte un conductor 1 sau 1'.

Câmpul magnetic se poate calcula cu relaţiile (12.6-1). Fluxul magnetic mutual datorit conductorului 1, parcurs de curentul i, prin circuitul de

lungime axială l al conductoarelor 2-2', este

φµπ1

0 12

1212

12

2= =∫ B l r

l i rrr

r

e d ln .' ' (12.6-8)

În mod similar rezultă pentru conductorul 1', parcurs în sens invers de curentul i

φµπ1

0 1 2

1 21 2

12

2''

' '

d ln .'

' '= − =∫ B l r

l i rrr

r

e (12.6-9)

Inductivitatea mutuală a celor două linii este

Li

l r rr r12

1 1 0 12 1 2

12 1 22=

+=

φ φ µπ

' ' '

' '

ln . (12.6-10)

Inductivitatea mutuală lineică, raportată la lungimea de un kilometru, se calculează cu formula practică

[ ]Lr rr r12

4 12 1 2

12 1 2

2 10= −. ln ' '

' '

H / km (12.6-11)

De exemplu, în cazul a două linii bifilare, cu distanţa între conductoare de 0,4 m, aşezate una deasupra celeilalte, la o distanţă de 0,4 m, cu r12' = r1'2 = 0,4 √2 şi r12 = r1'2' = 0,4 se obţine inductivitatea mutuală lineică de 0,1386 mH/km.

12.7. INDUCTIVITĂŢILE BARELOR ÎN CRESTĂTURA DREPTUNGHIULARĂ

Înfăşurările maşinilor electrice sunt aşezate în crestături, delimitate de dinţi. Datorită curenţilor înfăşurărilor, între pereţii crestăturilor apare un câmp magnetic, ale cărui linii se închid transversal. Acest câmp este de dispersie şi pentru a-i evalua efectele este necesară

113

cunoaşterea fluxului magnetic fascicular care îi corespunde şi a inductivităţii de dispersie rezultată. Se vor examina numai cazurile cele mai simple.

Se consideră o bară dreptunghiulară, cu dimensiunile b, h1, aşezată într-o crestătură dreptunghiulară cu dimensiunile bc, hc ca în figura 12.7-1a. Deasupra barei poate rămâne un spaţiu cu înălţimea h01 până la suprafaţa dinţilor. Bara poate reprezenta o latură de bobină, cu N1 conductoare elementare. Pentru simplificare se va considera că densitatea de curent este constantă pe secţiunea barei J = N1 I/(b.h1), unde I este curentul unui conductor elementar al barei. Dinţii se consideră nesaturaţi, deci având o permeabilitate practic infinită µFe → ∞. Facând abstracţie de efectele de la marginile dinţilor, în crestătură liniile de câmp magnetic se pot considera perpendiculare pe pereţii dinţilor, deci pur transversale şi de lungime bc. Fie H(x), respectiv B(x) = µ0 H(x) intensitatea şi înducţia câmpului magnetic la distanţa x de baza barei.

Se consideră o cale închisă Γx, care trece tranversal prin crestătură, la distanţa x de baza barei şi se închide prin dinţii vecini, sub baza crestăturii (fig. 12.7-1a). Se va scrie teorema lui Ampère pe acestă curbă.

Ţinând seama că în dinţi intensitatea câmpului magnetic este neglijabilă, tensiunea magnetomotoare este

( ) ( )U H x b x hmm x c cΓ = ∈, ,0 (12.7-1)

şi ţinând seama că densitate de curent în bară este constantă, solenaţia corespunzătoare este

( ) ( )Θ x

N I x h x hN I x h

=∈>

1 1 1

1 1

0, ,.

Notând

B N I b0 0 1= µ c ,

inducţia magnetică în crestătură se exprimă sub forma

( ) ( )( )B x

B x h x hB x h h h

=∈

∈ +

0 1 1

0 1 1 01

0, , ,, , .

(12.7-3)

În figura 12.7-1b s-a reprezentat B(x). Fluxul magnetic fascicular de dispersie, pe o lungime axială l, care se închide spre un dinte vecin, se obţine integrând inducţia magnetică cu elementul de arie dA = l dx

( ) ( )( ) ( )φ f x

B l x h x hB l x h x h h h

=∈

− ∈ +

0

12

21 1

012 1 1 1 01

0, , ,, , .

Fig. 12.7-1. Bare parcurse de curent în crestătura dreptunghiulară (a), câmpul magnetic al barei de jos (b),

114

fluxul mutual al barei de sus (c).

Fluxul magnetic total de dispersie, propriu al barei, se obţine însumând expresia n1(x) dφ(x) pe înălţimea crestăturii, în care n1(x) este numărul de spire înconjurat de fluxul magnetic fascicular elementar dφ(x). Pentru fluxul total propriu acest număr este proporţional cu aria b*x (cu densitate de curent nenulă), adică

( ) ( )n x x I1 = Θ / , (12.7-4)

(v. fig. 12.7-1b) şi după integrare se obţine fluxul transversal

( )φ f1 = +B l N h h0 1 1 013 .

Împărţind fluxul transversal total cu curentul I se obţine inductivitatea de dispersie

( )L l N h h bσ µ λ λ1 0 12

1 1 013= = +, . unde 1 c (12.7-5)

Mărimea λ1 se numeşte permeanţă specifică de dispersie în crestătură. Dacă în crestătură se află o a doua bară, de înălţime h2 şi la distanţa h02 de suprafaţa

dinţilor (bineînţeles h01 > h2+h02, partea superioară a fig. 12.7-1a), cu N2 conductoare elementare, atunci se poate defini un flux mutual de scăpări φf12. Numărul de spire al celui de al doilea conductor n2(x) variază liniar pe înălţimea barei, iar câmpul este constant (ca în fig. 12.7-1c), deci

( )φ f12 = +B l N h h0 212 2 02

şi se obţine inductivitatea mutuală de dispersie

( )L l N N h h bσ µ λ λ12 0 1 2 1212 2 02= = +, , unde 12 c (12.7-6)

iar λ12 se numeşte permeanţă specifică mutuală în crestătură.

115

13. ENERGIA MAGNETICĂ ŞI FORŢELE GENERALIZATE ÎN CÂMPUL MAGNETIC

13.1. ENERGIA MAGNETICĂ A UNUI SISTEM DE CIRCUITE ELECTRICE

Se consideră un sistem de n circuite electrice filiforme, alimentate la borne cu tensiunile u1, u2, ..., un şi parcurse de curenţii de conducţie i1, i2, ..., in fig. 13.1-1). Sensurile de referinţă ale tensiunilor şi ale curenţilor sunt asociate după regula de la receptoare. Circuitul de ordin k are fluxul magnetic total φk calculat în sensul de parcurgere ce coincide cu sensul de referinţă al curentului ik

Fig. 13.1-1. Circuite în procesul de stabilire a câmpului magnetic.

Fie Γk un contur de-a lungul conductorului circuitului de ordin k, închis prin linia tensiunii la borne pe care a fost definită tensiunea la borne uk Se aplică acestui contur legea inducţiei electromagnetice, parcurgând conturul în sensul de referinţă al curentului ik Se obţine relaţia

e u utk

kk k

kΓ Γ= = − = −∫

E sddd

,fφ

(13.1-1)

în care ufk este tensiunea electrică în lungul firului circuitului de ordin k. Tensiunea în lungul firului poate fi determinată aplicând firului legea conducţiei

electrice

e u R ik k k ki f+ = , (13.1-2)

unde Rk este rezistenţa firului circuitului de ordin k. Întrucât t.e.m. imprimată a firului eik se consideră nulă, rezultă tensiunea ufk şi după înlocuirea în (13.1-1) se obţine ecuaţia de funcţionare în regim variabil a circuitului de ordin k

u R it

k nk k kk= + =

dd

, , , , .φ

1 2 (13.1-3)

Energia primită pe la borne de sistemul de n circuite în intervalul de timp dt este

d d .W u i tk kk

n

ext ==∑

1

(13.1-4)

Conform principiului conservării energiei, energia primită de sistem trebuie să fie egală cu suma dintre energia transformată în căldură δQ, lucrul mecanic elementar efectuat δL şi creşterea energiei interne a sistemului dWm - aici energie magnetică

d d .W Q L Wext m= + +δ δ (13.1-5)

Conform legii Joule, energia transformată în căldură este

116

δQ R i tk kk

n

==∑ 2

1

d . (13.1-6)

Multiplicând ecuaţia de funcţionare (13.1-3) cu ik dt şi sumând în raport cu indicele k, se obţine relaţia

u i t R i t ik kk

n

k kk

n

k kk

n

d d d .= = =∑ ∑ ∑= +

1

2

1 1

φ (13.1-7)

Comparând-o cu relaţia de bilanţ (13.1-5), se obţine

δ φL W ik kk

n

+ ==∑d d .m

1

(13.1-8)

Această relaţie va permite determinarea energiei magnetice şi a forţelor magnetice. Se consideră o transformare în care nu se efectuează lucru mecanic (corpuri imobile,

δL = 0). De asemenea, se consideră nulă energia magnetică (macroscopică) în starea de referinţă cu fluxuri magnetice nule. Atunci rezultă

d d ,

* d * .

W i

W i

k kk

n

k kk

nk

m

m

=

=

=

=

∑

∫∑

φ

φφ

1

01

(13.1-9)

(13.1-10)

În ultima expresie, cu ik k* , *φ s-au notat valorile curentului şi a fluxului magnetic într-o

stare intermediară, iar cu ik, φk - curentul şi fluxul magnetic în starea finală căreia îi corespunde energia magnetică Wm. Pentru a putea calcula ultima integrală trebuie cunoscută relaţia dintre fluxuri şi curenţi. In cazul regimului cvasistaţionar al circuitelor electrice liniare fluxurile magnetice sunt proporţionale cu curenţii

φ k k j jk

n

L i k n= ==∑

1

1 2, , , , . (13.1-11)

Energia fiind o mărime de stare, care nu depinde de modul particular în care s-a atins starea respectivă, pentru calculul integralei (13.1-10) se consideră un mod particular de atingere a stării finale, în care toţi curenţii (şi, corespunzător, fluxurile) din stările intermediare sunt proporţionali cu curenţii finali şi se notează cu λ factorul subunitar de stare intermediară (care indică raportul unui curent din starea intermediară la cel din starea finală, pentru care se calculează energia magnetică Wm). Atunci într-o stare intermediară

i ij j k k* * ,= =λ φ λφ º i

unde cu ij, φk s-au notat curentul şi fluxul stării finale. Astfel, expresia diferenţialei energiei devine

( )d * d * d d ,W i i ik kk

n

k kk

n

k kk

n

m = = =

= = =∑ ∑ ∑φ λ φ λ λ λ φ

1 1 1

iar expresia energiei se obţine integrând între limitele 0 şi 1 în raport cu parametrul λ. Rezultă

117

W i ik kk

n

k kk

n

m ==

=

= =∑ ∫ ∑φ λ λ φ

10

112

1

d . (13.1-12)

În particular, pentru o bobină (n = 1, φ = L i) W i L i im = = =1

212

2 12

2φ φ . (13.1-13)

Pentru două bobine cuplate magnetic, rezultă

W L i L i L i im = + +12 11 1

2 12 22 2

212 1 2 . (13.1-14)

Primul termen este energia magnetică proprie a bobinei 1, al doilea termen - energia proprie a bobinei 2, iar ultimul termen se numeşte energia magnetică de interacţiune a bobinelor. In general, pentru un circuit oarecare de curent i, situat într-un câmp magnetic exterior, energia de interacţiune este

W iint ext= φ . (13.1-15)

Observaţie. Bobinele cu miez feromagnetic pot avea o caracteristică magnetică neliniară φ(i), ca în figura 13.1-2. In acest caz, pentru starea reprezentată prin punctul m, energia magnetică a bobinei este egală cu aria triunghiului curbiliniu Oma. Relaţia (13.1-13) este valabilă numai la caracteristică magnetică liniară.

Prin simetrie, se introduce şi coenergia magnetică W'm, reprezentată în figura 13.1-2 prin aria triunghiului curbiliniu Omb. În general

d ' d ' d .W i W ik kk

n

k k

i

k

nk

m m º i = == =∑ ∫∑φ φ

10

1

(13.1-16)

Fig. 13.1-2. Energia şi coenergia magnetică în cazul caracteristicilor neliniare.

Între energie şi coenergie există relaţia

W W ik kk

n

m m+ ==∑' .φ

1

(13.1-17)

În medii liniare, coenergia este egală cu energia. Notă. Noţiunea de coenergie este controversată. Această mărime este utilă şi distinctă de

energie numai în cazul bobinei neliniare. Utilitatea sa se va observa la a doua teoremă a forţelor generalizate în câmpul magnetic. Conceptul de coenergie mai este folosit în analiza circuitelor inductive neliniare (cum ar fi maşinile electrice).

118

13.2. DENSITATEA DE VOLUM A ENERGIEI CÂMPULUI MAGNETIC

Energia magnetică este localizată în tot domeniul de câmp, cu o densitate de volum wm.

Expresia acestei densităţi se poate determina uşor în cazul unui domeniu de câmp finit, în care mărmile de stare ale câmpului (

B H º i ) sunt constante: cazul unui solenoid foarte lung,

înfăşurat uniform, situat într-un domeniu omogen. Dacă A este aria secţiunii transversale a solenoidului, N - numărul de spire şi l lungimea, rezultă succesiv

d d d d d ,W i iNA B N il

lA B VH Bm = = = =φ (13.2-1)

în care V = l A este volumul solenoidului. Rezultă că diferenţiala densităţii de volum a energiei magnetice are expresia

d d d ,wV

W H Bm m= =1 (13.2-2)

iar densitatea de volum a energiei magnetice va fi

w H Bm

B= ∫ d .

0 (13.2-3)

În planul curbei de magnetizare B(H) a materialului magnetic (fig. 13.2-1), densitatea de volum a energiei magnetice reprezintă aria triunghiului curbiliniu Oma.

Notă. In medii anizotrope, în care B H º i pot fi vectori neomoparaleli, în expresiile de

mai sus produsul H dB se înlocuieşte cu produsul scalar H Bd .

În medii liniare B = µ H şi rezultă

w BH B Hm = = =12

12

2 12

2µ µ . (13.2-4)

Fig. 13.2-1. Densitatea de volum a energiei şi a coenergiei magnetice.

Energia magnetică localizată într-un volum VΣ se poate calcula prin integrala de volum a densităţii de volum a energiei

W w vVm m= ∫ d .Σ

(13.2-5)

Observaţie. Se poate introduce şi conceptul de densitate de volum a coenergiei magnetice, care conduce la următoarea relaţie de definiţie

w B HH

' d .m = ∫0 (13.2-6)

În planul curbei de magnetizare (fig. 13.2-1), densitatea de volum a coenergiei magnetice este reprezentată de aria triunghiului curbiliniu Omb.

119

Coenergia magnetică se poate calcula prin integrala de volum a densităţii de volum a coenergiei

W w vV

' ' d .m m= ∫Σ

(13.2-7)

Aplicaţie. Calculul energiei câmpului magnetic din interiorul unui conductor de forma unui cilindru circular drept, de lungime foarte mare şi de rază a << l, străbătut de un curent continuu cu intensitatea i. La distanţa r ≤ a de axa conductorului (fig. 13.2-2), intensitatea câmpului magnetic este

H i ra

=2 2π

.

Fig. 13.2-2. Notaţii pentru calculu; energiei câmpului magnetic din interiorul conductorului cilindric.

Considerând un volum elementar în formă de coajă cilindrică, de rază r, grosime dr şi lungime l (pe care densitatea de volum a energiei magnetice are aceeaşi valoare), rezultă

d d d d .W w v H r l r i l r rami mi= = =1

22

2 3

424

µ πµ

π

Energia magnetică "interioară" este

W W i lr

r a

mi m= ==

=

∫ d .µπ

2

0 16 (13.2-8)

Din această valoare se poate determina inductivitatea "interioară" Li a unui conductor, identificând expresiile energiilor magnetice

W L imi i= 12

2 .

După calcule elementare se obţine expresia

L li =

µπ8

, (13.2-9)

valoare care a fost obţinută şi direct, la calculul inductivităţii liniei aeriene bifilare. Notă. Este interesant să se compare densitatea de volum a energiei electrice cu cea a

energiei magnetice, pentru valori practice ale mărimilor de stare. Valorile reciproce acestor densităţi de energie dau o măsură a volumelor implicate în procesele de conversie şi de transformare a energiei electromagnetice cu ajutorul dispozitivelor electrice sau magnetice.

Considerând un câmp electric în aer, cu o intensitate a câmpului de 10 kV/cm, rezultă

w Ee3 J / m= =1

2 02 4 42ε , .

Pentru un câmp magnetic în aer, având inducţia de 1 T, rezultă

w Bm3 J / m= =1

22

0 400 000µ . .

120

Deci, densitatea de volum a energiei magnetice poate fi de aproximativ 90.000 ori mai mare decât cea a energiei electrice, ceea ce arată avantajul dispozitivelor magnetice faţă de cele electrice.

13.3. DENSITATEA DE VOLUM A ENERGIEI MAGNETICE CA FUNCŢIE DE J A º i

Înlocuind în expresia (13.2-3) d rot d B A= şi ţinând seama că

( ) ( ) ( ) H A A H A H A H A H J Arot d div d d rot div d div d d ,= × + = × = × +

se obţine

( )[ ] ( )W v A vAD A ADm = × + = × +∫∫ ∫∫ ∫∫d div d d d d d d .

A H J A n A H J A

Σ ΣΣ (13.3-1)

Dacă suprafaţa Σ se intinde până la infinit sau dacă pe suprafaţa Σ este nulă componenta tangenţială a intensităţii câmpului magnetic, atunci integrala de suprafaţă se anulează şi densitatea de volum a energiei magnetice se exprimă prin integrala

wAm = ∫ J Ad . (13.3-2)

În medii liniare, potenţialele vector sunt proporţionale cu densitatea de curent şi se obţine

wm = 12

JA. (13.3-3)

13.4 FORŢELE GENERALIZATE ÎN CÂMPUL MAGNETIC

Cunoscând expresia energiei magnetice se pot calcula acţiunile ponderomotoare (forţele, cuplurile) de natură magnetică care se exercită asupra circuitelor sau a corpurilor în câmpul magnetic. In timp ce forţele de natură electrică (sau electrostatică) au valori relativ mici, forţele magnetice pot atinge valori importante, ceea ce conduce la numeroase aplicaţii tehnice: motoare electrice, electromagneţi, relee şi chiar procedee tehnologice de prelucrare sau deformare. Forţele magnetice se calculează, deobicei, cu ajutorul teoremelor forţelor generalizate în câmpul magnetic.

Lucrul mecanic elementar (sau virtual) δL = X dx, care se efectuează la o deplasare elementară dx a unui corp în câmpul magnetic, sub acţiunea forţei magnetice generalizate X, se poate calcula din relaţia (13.1-8) pusă sub forma

d d d .W i X xk kk

n

m = −=∑ φ

1

(13.4-1)

Această relaţie poate fi interpretată ca dezvoltarea diferenţialei totale a energiei magnetice, exprimată ca funcţie de mărimile de stare magnetică (fluxuri magnetice şi curenţi) şi de coordonata generalizată x. Pentru a simplifica relaţia, se pot considera două ipoteze.

In prima ipoteză, se consideră că deplasarea elementară se efectuează menţinând constante fluxurile magnetice, caz în care suma din expresie este nulă (dφk = 0 pentru orice k) şi atunci

( )d d .W const X xk

m φ = = − (13.4-2)

121

Exprimând energia magnetică ca funcţie numai de coordonata generalizată x şi de fluxurile magnetice

( )W W x nm m= , , , ,φ φ φ1 2 (13.4-3)

diferenţiala energiei magnetice devine

d d d d d .WWx

xW W W

inmm m

1

m

2

m

n

= + + + +∂∂

∂∂φ

φ∂∂φ

φ∂∂φ1 2

La fluxuri magnetice constante rămâne numai primul termen. Astfel se deduce prima teoremă a forţelor generalizate în câmpul magnetic, exprimată prin relaţia

XWx const

= −

=

∂∂ φ

m . (13.4-4)

Forţa generalizată X, asociată coordonatei generalizate x, este egală cu derivata parţială a energiei magnetice (exprimată ca funcţie de fluxuri şi de coordonata generalizată) în raport cu coordonata generalizată, luată cu semn schimbat. In membrul drept al relaţiei (13.4-4) s-a prevăzut indicele φ=const, pentru a atrage atenţia asupra faptului că expresia energiei magnetice ce se derivează parţial este funcţie numai de fluxuri şi de coordonata x.

In cazul unei transformări efectuate la flux magnetic constant nu are loc fenomenul de inducţie electromagnetică şi atunci nu are loc nici schimb de energie între câmp şi surse exterioare; în consecinţă lucrul mecanic al forţelor magnetice se efectuează în contul energiei magnetice a sistemului, aşa cum arată relaţia (13.4-2). Dacă lucrul mecanic este pozitiv, atunci scade energia sistemului (energia magnetică), iar dacă este negativ - creşte.

In a doua ipoteză, se consideră o transformare în care se menţin constanţi curenţii circuitelor. Se observă că atunci când sunt constanţi curenţii se simplifică expresia diferenţialei coenergiei magnetice. De aceea, se exprimă întâi relaţia (13.1-8) cu ajutorul coenergiei, ţinând seama de relaţia (13.1-17). Rezultă

d ' d d .W i X xk kk

n

m = +=∑φ

1

(13.4-5)

Pentru transformarea la curenţi constanţi, relaţia se simplifică (suma devine nulă, dik = 0 pentru orice k)

( )d d .W i const X xk

m = = (13.4-6)

Exprimând coenergia magnetică ca funcţie numai de coordonata generalizată x şi de curenţi

( )W W x i i in' ' , , , , ,m m= 1 2 (13.4-7)

diferenţiala coenergiei magnetice devine

d ''

d'

d'

d'

d .WW

xx

Wi

iWi

iWi

inmm m

1

m

2

m

n

= + + + +∂∂

∂∂

∂∂

∂∂1 2

La curenţi constanţi rămâne numai primul termen. Astfel se deduce a doua teoremă a forţelor generalizate în câmpul magnetic, exprimată prin relaţia

122

XW

x i const=

=

∂∂

'.m (13.4-8)

Forţa generalizată X, asociată coordonatei generalizate x, este egală cu derivata parţială a coenergiei magnetice (exprimată ca funcţie de curenţi şi de coordonata generalizată) în raport cu coordonata generalizată. In membrul drept al relaţiei (13.4-8) s-a prevăzut indicele i=const, pentru a atrage atenţia asupra faptului că expresia coenergiei magnetice ce se derivează parţial este funcţie numai de curenţi şi de coordonata x.

Ambele relaţii (13.4-4) şi (13.4-8) permit calculul aceleiaşi forţe X, a cărei valoare nu depinde de modul cum a fost calculată (dacă este calculată corect !).

Adesea relaţia (13.4-8) este exprimată cu ajutorul energiei magnetice Wm, în locul coenergiei W’m; în această formă este valabilă numai în cazul mediilor liniare, pentru care coenergia este egală cu energia W’m = Wm.

In cazul unei transformări efectuate la curenţi constanţi are loc fenomenul de inducţie electromagnetică şi atunci are loc un schimb de energie între câmp şi sursele exterioare. Relaţia (13.4-6) arată că variaţia coenergiei este egală cu lucrul mecanic efectuat; în acelaşi sens variază şi energia sistemului. Dacă lucrul mecanic este pozitiv, atunci creşte energia sistemului (energia magnetică), iar dacă este negativ - scade. Pentru sistemele liniare variaţia energiei magnetice este egală cu lucrul mecanic efectuat, deci cu sursele se schimbă o energie egală cu dublul lucrului mecanic efectuat.

Observaţie. Forţele magnetice exercitate între conductoare parcurse de curent se numesc forţe electrodinamice, iar cele exercitate între conductoare parcurse de curenţi şi piesele feromagnetice se numesc forţe electromagnetice.

Aplicaţia 1. Forţa portantă a unui electromagnet. Se consideră electromagnetul din figura 13.4-1 şi se urmăreşte calculul forţei

electromagnetice P exercitate asupra armăturii inferioare. Coordonata generalizată asociată este lărgimea întrefierului, cu semn schimbat (- δ).

Energia magnetică a electromagnetului este egală cu suma energiilor magnetice din porţiunea feromagnetică WmFe şi din întrefier Wmδ

W W Wm mFe m= + δ .

Fig. 13.4-1. Notaţii pentru calculul forţei portante a electromagnetului.

În cursul unei deplasări a armăturii la flux magnetic constant, se va modifica numai energia magnetică din întrefier, adică

( )P

W

const

W

const= −

−

==

=

∂∂ δ φ

∂∂δ φ

δm m .

Energia magnetică din întrefier se exprimă ca funcţie de flux, respectiv de inducţie magnetică, sub forma

123

WB

Amδδ

µδ=

2

022 ,

unde cu Bδ s-a notat inducţia magnetică în întrefier, iar cu A s-a notat aria unui pol spre întrefier. Efectuând calculele, rezultă expresia forţei portante

P B A=1

22

0

2

µ δ . (13.4-9)

Forţa este de atracţie, adică tinde să micşoreze lărgimea întrefierului. Tensiunea de atracţie a armăturilor este

p PA

B= =2

12 0

2

µ δ . (13.4-10)

Notă. Tensiunea de atracţie p, cu expresia de mai sus, este cunoscută şi sub denumirea de tensiune maxwelliană, care se exercită normal pe suprafaţa din spre vid a corpurilor feromagnetice ideale.

La o inducţie în întrefier de 1 T rezultă o tensiune de atracţie de aproximativ 40 N/cm2. Astfel se stabileşte formula practică

[ ]P AB≈ ∑40 2δ N , (13.4-11)

în care inducţiile magnetice sub poli se exprimă în tesla [T], ariile corespunzătoare - în centimetri pătraţi [cm2], iar sumarea se extinde asupra tuturor întrefierurilor (de partea armăturii mobile).

Aplicaţia_2. Forţa de respingere dintre conductoarele unei linii bifilare, parcurse de curentul i.

Forţa se poate calcula fie cu formula lui Ampère, fie cu teorema forţelor generalizate în câmp magnetic. Pentru aplicarea ultimei metode, se exprimă întâi energia magnetică (egală cu coenergia, întrucât sistemul este liniar) cu ajutorul inductivităţii liniei bifilare

W Lil i D

dmr

4= = +

12

2 02

42µ

πµ

ln . (13.4-12)

Alegând drept coordonată generalizată distanţa D între conductoare, cu a doua teoremă a forţelor generalizate rezultă forţa de respingere

FWD i const

i LD

i lD

=

=

= − = −∂∂

∂∂

µπ

m 12

2 02

2. (13.4-13)

Exprimând curentul i în kiloamperi [kA] şi distanţa D în metri [m], se obţine formula practică pentru forţa pe unitatea de lungime (de 1 m)

[ ]F iDl = 0 2

2

, .N / m (13.4-14)

124

14. METODE DE CALCUL AL CAMPULUI MAGNETIC STATIONAR

14.1 FORMULAREA PROBLEMELOR DE CÂMP MAGNETIC STAŢIONAR

Ecuaţiile câmpului magnetic staţionar rezultă din teorema lui Ampère, legea fluxului magnetic şi relaţia constitutivă

rot , div , . H J B B H= = =0 µ (14.1-1)

În regim staţionar, J şi µ sunt funcţiuni de punct date. Distribuţia de curenţi

J este de

aducţie (este dată). Există cel puţin două formulări uzuale ale ecuaţiilor câmpului magnetic a) Pentru a satisface legea fluxului magnetic se introduce potenţialul magnetic vector,

prin relaţia B A= rot (14.1-2)

şi atunci se obţine ecuaţia

( )rot rot ,ν A J= (14.1-3)

unde ν = 1/µ. Însă pentru ca potenţialul vector A să fie complet determinat mai trebuie

precizată divergenţa sa, pentru care, în regim staţionar se alege condiţia de etalonare Coulomb

div .A = 0 (14.1-4)

Cu aceasta, dacă mediul este omogen (ν nu depinde de punct) se obţine ecuaţia vectorială a lui Poisson

∆ A J= −µ . (14.1-5)

b) Se introduce un potenţial magnetic scalar Vm, cu relaţia H T= − grad ,Vm (14.1-6)

în care T este un câmp de vectori auxiliar ales astfel încât

rot . T J= (14.1-7)

Acest câmp de vectori poate fi calculat în toate punctele domeniului de câmp, de exemplu, cu formula Biot-Savart-Laplace. Întrucât

( )div div , B H= =µ 0 (14.1-8)

se obţine ecuaţia scalară generalizată a lui Poisson

( ) ( )div grad div .µ µVm =T (14.1-9)

În medii liniare omogene (µ nu depinde de punct) se obţine ecuaţia scalară a lui Poisson

∆Vm = div .T (14.1-10)

În ambele forme sursele câmpului rezultă din câmpul de vectori auxiliar T .

Notă. In literatura anglo-saxonă potenţialul scalar este notat cu simbolul Ω (în loc de Vm) şi această a doua formulare este cunoscută ca "formularea T-Ω".

125

Metodele de calcul al câmpului magnetic staţionar sunt în mare măsură asemănătoare cu cele ale câmpului electrostatic. Ceea ce deosebeşte fundamental cele două clase de probleme este tipul de ecuaţii Laplace-Poisson pe care le satisfac acestea: scalare pentru potenţialul electrostatic V şi vectoriale pentru potenţialul vector

A , respectiv scalare pentru potenţialul

scalar Vm în formularea T −Vm .

Pentru a calcula câmpul magnetic staţionar ( B H º i ), într-un domeniu neomogen D

trebuie cunoscute următoarele: distribuţia curenţilor de aducţie, configuraţia geometrică a subdomeniilor omogene, proprietăţile de material ale mediilor, curbele de magnetizare B(H) ale mediilor neliniare, funcţia de punct µ( r ) a permeabilităţii în medii liniare.

Metodele de rezolvare a câmpului magnetic staţionar se clasifică în metode analitice, numerice, grafice, respectiv grafo-analitice şi analogice. Principalele metode analitice sunt metoda directă, integrarea ecuaţiilor vectoriale Poisson-Laplace pentru potenţialul magnetic vector

A sau scalar Vm (prin separarea variabilelor sau prin aproximaţii), metoda imaginilor

magnetice, metoda funcţiilor de variabilă complexă, metoda transformărilor conforme şi metoda funcţiilor Green. În cele ce urmează se vor prezenta numai unele metode care au particularităţi faţă de modul cum se aplică problemelor de câmp electrostatic.

14.2. METODA DIRECTĂ

Metoda constă în folosirea formulei Biot-Savart-Laplace în medii omogene, respectiv a teoremei lui Ampère în domenii cu simetrie, în care se cunoaşte forma liniilor de câmp magnetic şi regula de variaţie a mărimilor de câmp cu o coordonată asociată. Tot ca metodă directă se poate raporta şi folosirea formulei lui Neumann la calculul inductivităţilor proprii şi mutuale.

Cu aceste metode s-a determinat câmpul magnetic al câtorva reparţiţii de curent (conductor rectiliniu, filiform sau cilidric circular, spiră circulară, tor bobinat uniform). Prin integrarea pe secţiunea unor conductoare masive sau a unor bobine se mai poate calcula:

- câmpul magnetic al unei bare cu secţiune dreptunghiulară, - câmpul magnetic pe axa unei bobine plate, - câmpul magnetic pe axa unui solenoid, - câmpul magnetic pe axa unei bobine cilindrice cu secţiune dreptunghiulară.

Aplicând formula Biot-Savart-Laplace la spire circulare se poate calcula câmpul magnetic în orice punct; dacă punctul nu este situat pe axă, atunci soluţia se exprimă cu ajutorul integralelor eliptice complete. Cu aceleaşi funcţii speciale se exprimă şi inductivităţile proprii ale bobinelor circulare şi inductivităţile mutuale între bobine coaxiale.

Aplicaţie: Bobina Helmholtz. Pentru a realiza un domeniu cu câmp magnetic uniform în vid se folosesc bobinele Helmholtz. Sistemul este format din două bobine circulare subţiri (care se asimilează cu spire filiforme), cu raze egale R, dispuse coaxial la distanţa 2L una de alta şi parcurse de acelaşi curent total I, în acelaşi sens (fig. 14.2-1).

\Fig. 14.2-1. Bobina Helmholtz.

126

Într-un punct situat pe axa comună, la distanţa x de planul mediator, intensitatea câmpului magnetic (axial) este

( )( )( ) ( )( )

H x IR

R

R L x

R

R L x=

+ ++

+ −

2

3

2 2 3

3

2 2 3. (14.2-1)

Se observă fără dificultate că la mijlocul distanţei x = 0 câmpul magnetic trece printr-un extrem pentru orice distanţă 2L între bobine

d d .H x x= =0 0 la (14.2-2)

Se poate alege o distanţă 2L optimă, care asigură o zonă cu câmp uniform cât mai extinsă. In acest scop se pune condiţia ca şi derivata a doua (d2H/dx2) să se anuleze la mijlocul distanţei

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )( )( )

( )( )

dd

,

dd

.

Hx

IR L x

R L x

L x

R L x

Hx

IR

R L x R L x

IR L x

R L x

L x

R L x

=+

+ +−

−

+ −

=+ +

++ −

+

++

+ ++

−

+ −

32

32

1 1

32

5

2

2 2 52 2 5

2

2

2

2 2 52 2 5

2 2

2 2 7

2

2 2 7

Pentru x = 0 se obţine condiţia de anulare

( )5 1 02 2 2L R L+ − = , (14.2-3)

adică R = 2 L. Notând H I R0

12= (câmpul obţinut în centrul unei bobine singure), rezultă următoarele

valori

( ) ( ) ( )H H H L H H L H0 1 431 2 1 4251 1 3560 0 0= = =, , , , , .

Într-o zonă importantă câmpul este practic constant, extensia zonei depinzând de gradul de uniformitate cerut.

14.3. METODA INTEGRĂRII ECUAŢIILOR POISSON ŞI LAPLACE PRIN SEPARAREA VARIABILELOR

Integrarea ecuaţiilor vectoriale Poisson-Laplace ale potenţialului vector se reduce, în principiu, la integrarea ecuaţiilor componentelor scalare corespunzătoare. Principala dificultate la aceste ecuaţii provine din faptul că numai în sistemul cartezian este posibilă

127

descompunerea în trei ecuaţii scalare, cărora li se poate aplica metoda separării variabilelor. De exemplu, pentru ecuaţia lui Laplace ∆

A = 0 se obţin ecuaţiile

∆ ∆ ∆A A Ax y z= = =0 0 0, , , (14.3-1)

fiecare ecuaţie urmând a fi integrată prin separarea variabilelor aşa cun s-a procedat pentru ecuaţia potenţialului scalar ∆V = 0. În cazurile particulare în care potenţialul vector are numai o componentă şi depinde numai de anumite coordonate, este posibilă separarea variabilelor şi în alte sisteme de coordonate.

Numeroase probleme de câmp magnetic staţionar se studiază într-un spaţiu cu două dimensiuni (numit şi 2D), în aproximaţia plan-paralelă (câmpul se repetă în plane paralele) sau plan-meridiană (câmpul se repetă în plane meridiane, care trec printr-o axă). În primul caz domeniul de câmp trebuie să aibă o formă rezultată prin translaţie perpendiculară pe planul în care se va studia câmpul, iar în al doilea caz - prin rotaţie în jurul axei polare; în ultimul caz se spune că domeniul are o simetrie axială sau de rotaţie. In aceste situaţii este avantajoasă folosirea potenţialului vector, întrucât acesta are o singură componentă (perpendiculară pe plan), iar condiţia de etalonare div

A = 0 este satisfăcută implicit.

Sistemul de coordonate se alege astfel încât să fie adaptat condiţiilor la limită (care, în metoda separării variabilelor trebuie puse pe suprafeţe de coordonate). În cazul sistemului cartezian domeniul trebuie să fie încadrat într-un dreptunghi, iar funcţiile proprii sunt funcţiile trigonometrice (sinus şi cosinus) şi hiperbolice (sh şi ch). În cazul sistemului cilindric domeniul de câmp se încadrează în coroane circulare complete sau de sectoare circulare delimitate prin raze; funcţiile proprii sunt Bessel-Neumann, deşi pot fi şi funcţii de puteri asociate cu funcţii trigonometrice.

Aplicaţie. Un exemplu tipic este cel al câmpului magnetic în maşina electrică rotativă cu întrefier constant, excitat de o pânză de curent cu repartiţie sinusoidală.

Se consideră două armături feromagnetice cu permeabilităţile µ1 şi µ2, cuprinse între razele r1i, r1e şi r2i, r2e, armătura 2 fiind exterioară. Spaţiul cuprins între razele r1e şi r2i este întrefierul, de permeabilitate µ0, desemnat prin indicele 0. Câmpul va fi descris într-un plan z = const al unui reper cilindric r,ϕ,z, coaxial cu armăturile (fig. 14.3-1).

Fig. 14.3-1. Câmpul magnetic între armături cilindrice coaxiale.

Fie dată pe suprafaţa exterioară a armăturii 1 o pânză de curent axială (de-a lungul axei Oz), repartizată sinusoidal, cu densitatea lineică

( ) ( )J J pS mϕ ϕ= sin , (14.3-2)

unde p este numărul de perioade unghiulare, sau numărul de perechi de "poli" al câmpului produs. Se mai dau condiţiile la limită sub forma Br = 0 la razele r1i şi r2e.

128

Problema de câmp magnetic staţionar formulată mai sus se poate rezolva fie utilizând potenţialul magnetic vector

A , fie direct mărimile de câmp,

B H sau .

Potenţialul vector A se exprimă cu ajutorul unei singure componente scalare

( ) A k= A r,ϕ , care satisface ecuaţia lui Laplace în două dimensiuni, în coordonate polare

( )∆ r A r, , ,ϕ ϕ = 0 (14.3-3)

sau explicit

( )1 1 02

2

2rr A r

r rA∂ ∂ ∂

∂∂∂ϕ

+ = . (14.3-4)

Componentele inducţiei magnetice sunt date de expresiile

Br

A B Arr = = −

1 ∂∂ϕ

∂∂ϕ, . (14.3-5)

Prin separarea variabilelor se caută soluţii de forma

( ) ( ) ( )A r R r, .ϕ φ ϕ= (14.3-6)

Datorită repartiţiei sinusoidale a pânzei de curent, singura sursă a câmpului magnetic, toate mărimile vor fi funcţii de unghi sinusoidale, de aceeaşi formă ca pânza de curent

( ) ( ) ( )φ ϕ ϕ ϕ= +C p D pcos sin . (14.3-7)

Pentru funcţia radială R(r) rezultă ecuaţia diferenţială ordinară

r Rr

r Rr

p R22

22 0d

ddd

,+ − = (14.3-8)

a cărei soluţie generală are forma

( )R r Er Frp p= + − . (14.3-9)

Constantele de integrare se determină din condiţiile la limită, respectiv din condiţiile de trecere între domeniile omogene cilindrice.

Fie, pentru simplificare, r1i = 0. Atunci în domeniul 1 vom avea, evident, F1 = 0. La trecerea prin suprafaţa exterioară r = r1e se conservă componenta normală a inducţiei

Br, iar componenta tangenţială a intensităţii câmpului magnetic Hϕ are un salt egal cu densitatea lineică a pânzei de curent JS.

Prima condiţie impune egalitatea funcţiilor unghiulare în domeniile 1 şi 0, respectiv egalitatea funcţiei radiale la r = r1e

( ) ( )R r R r1 1 0 1e e= ,

adică

C r C r D rp p p1 1 0 1 0 1e e e= + − . (14.3-10)

A doua condiţie impune o relaţie între derivatele radiale împărţite cu permeabilităţile

− + = =1 1

0

0

1

11µ

∂∂ µ

∂∂

Ar

Ar

J r rS e la , .

Această relaţie fixează forma funcţiilor unghiulare

129

( ) ( ) ( ) ( )φ ϕ φ ϕ φ ϕ ϕ1 0 2= = = sin ,p (14.3-11)

iar apoi

( )− − + =− − − −p C r D r p C r Jep

ep

epµ µ0 0 1

10 1

11 1 1

1m . (14.3-12)

Cele două relaţii stabilite permit determinarea constantelor C0 şi D0 în funcţie de C1. La suprafaţa r = r2i, în mod similar, dar fără pânză de curent

( ) ( )C r D r C r D r

p C r D r p C r D rip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

ip

0 2 0 2 2 2 2 2

0 0 21

0 21

2 2 21

2 21

+ = +

− = −

− −

− − − − − −

,

.µ µ

Din aceste relaţii se determină C2 şi D2 ca funcţii de C1. Pentru suprafaţa exterioară rezultă condiţia

C r D rp p2 2 2 2 0e e+ =− ,

care permite determinarea constantei încă necunoscute C1. Potenţialul vector în diferitele domenii este

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

A r C r p r r

A r C r D r p r r r

A r C r D r p r r r

p

p p

p p

1 1 1

0 0 0 1 2

2 2 2 2 2

0, sin , , ,

, sin , , ,

, sin , , .

ϕ ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

= ∈

= + ∈

= + ∈

−

−

e

e i

i e

Prin derivare se deduc componentele inducţiei magnetice (Br este în cosinus!), iar apoi ale intensităţii câmpului magnetic.

14.4. METODA IMAGINILOR MAGNETICE

Metoda se aplică asemănător metodei imaginilor electrice, la suprafeţe de separaţie plane, sferice sau cilindrice. Aici se va exemplifica numai cazul suprafeţei de separaţie plane, între două medii cu permeabilităţi diferite µ1 şi µ2. In mediul 1 se află un conductor filiform, rectiliniu, infinit lung, parcurs de curentul continuu I şi aşezat paralel cu planul de separaţie, la distanţa h de acesta (fig. 14.4-1).

Fig. 14.4-1. a) Conductorul filiform, b) imagini pentru mediul 1, c) imagine pentru mediul 2.

Câmpul magnetic în mediul 1 este dat de firul original şi de imaginea sa în raport cu planul, parcursă de curentul I2; ambele fire se află în mediul de permeabilitate µ1. În mediul 2 câmpul magnetic este creat de un curent I1 trecând prin firul original şi mediul are permeabilitatea µ2.

Pe suprafaţa de separaţie, la distanţa r de fire, respectiv la distanţa x de piciorul perpendicularei, componenta normală a inducţiei este

130

( ) ( ) ( )B I I x r B l x rn1 n2= + =µ π µ π1 22

2 122 2, ,

iar componenta tangenţială a intensităţii câmpului magnetic este

( ) ( ) ( )H I I h r H I h rt t1 22

2 122 2= − =π π, .

Din condiţiile de trecere rezultă relaţiile

( )µ µ1 2 2 1 2 1I I I I I I+ = − =, ,

adică

I I I I11

1 22

2 1

1 2

2=

+=

−+

µµ µ

µ µµ µ

, .

La limită când µ1 = µ0 şi µ2 → ∞ se obţine I1 = 0 şi I2 = I, adică imaginea faţă de un mediu cu permeabilitate foarte mare are curentul cu acelaşi sens ca firul original. Intuitiv acest sens se reţine ştiind că liniile câmpului trebuie să intre normal în suprafaţa de permeabilitate infinită, efect care se obţine numai pentru curenţi de acelaşi sens. Dacă curentul imagine ar fi fost de sens contrar, liniile câmpului magnetic ar fi fost tangente la suprafaţa de separaţie.

14.5. METODA FUNCŢIILOR DE VARIABILĂ COMPLEXĂ

14.5.1. FUNCŢII ANALITICE. CONDIŢIILE CAUCHY-RIEMANN

Fie w(z) = u+jv o funcţie de variabilă complexă z = x+jy. Funcţia w(z) este analitică într-un domeniu dacă în vecinătatea oricărui punct z0 al domeniului admite o dezvoltare în serie întreagă de (z-z0). Funcţiile analitice sunt continue şi derivabile. Derivabilitatea presupune existenţa şi continuitatea derivatelor parţiale de ordinul unu a părţii reale u(x,y) şi imaginare v(x,y) a funcţiei, precum şi independenţa derivatei dw/dz de orientarea lui dz. Derivata are forma

( ) ( )dd

j d j dd jd

wz

u x v x x u y v y yx y

=+ + +

+

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (14.5-1)

şi se stabileşte condiţia

( ) ( )∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂u x v x u y v y+ = − +j j j , (14.5-2)

care duce la relaţiile Cauchy-Riemann

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

ux

vy

vx

uy

= = −, . (14.5-3)

Cu aceste relaţii se demonstrează că integrala curbilinie a unei funcţiuni analitice este nulă pe orice contur închis

( ) ( ) ( )w z z u x v y v x u yd d d j d dΓ Γ Γ∫ ∫ ∫= − + + = 0 (14.5-4)

131

Pentru demonstraţie se foloseşte formula lui Stokes în plan. Fie vectorul

a i j= +a ax y

şi elementul de arc d d d . s i j= +x y Cu formula lui Stokes şi

n k= , dA = dx dy

( ) a sd d d d d .Γ Γ Γ∫ ∫ ∫= + = −

a x a y

ax

ay

x yx yy x∂

∂∂∂S

(14.5-5)

Punând ax = v şi ay = u, integrandul integralei de suprafaţă se anulează în baza primei condiţii (14.5-3), iar cu ax = u si ay = -v integrandul se anulează conform celei de a doua condiţii (14.5-3). Q.e.d.

Rezultă că integrala curbilinie pe o curbă deschisă depinde numai de punctele de început şi de sfârşit ale curbei, nu şi de forma arcului de curbă.

Dacă se elimină între cele două condiţii (14.5-3) câte una dintre părţi (u sau v) se obţin ecuaţiile de ordinul doi

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2

2

20 0ux

uy

vx

vy

+ = + =, , (14.5-6)

deci părţile reale şi imaginare ale funcţiei analitice satisfac ecuaţia lui Laplace, adică sunt funcţii armonice.

Cele două funcţii armonice, u şi v, sunt şi conjugate. Făcând raportul, membru cu membru, al celor două condiţii (14.5-3) se obţine

∂ ∂∂ ∂

∂ ∂∂ ∂

u xu y

v yv x

= − , (14.5-7)

ceea ce arată că curbele u(x,y) = const1 şi v(x,y) = const2 sunt ortogonale (sau conjugate). Cele două familii de curbe pot fi privite unele ca linii ale unui câmp electrostatic plan-

paralel, iar celelalte - ca linii echipotenţiale ale aceluiaşi câmp.

14.5.2. FOLOSIREA FUNCŢIILOR DE VARIABILĂ COMPLEXĂ

Partea reală şi partea imaginară a unei funcţii analitice de variabilă complexă satisfac ecuaţia lui Laplace, proprietate care poate fi folosită în rezolvarea problemelor de câmp electrostatic sau magnetic staţionar plan-paralele în medii liniare şi omogene. Problemele de câmp magnetic staţionar se adordează cu această metodă în special atunci când în domeniu nu există distribuţii de curent şi frontiera domeniului este formată din suprafeţe de permeabilitate infinită, adică din suprafeţe ale unor corpuri feromagnetice.

Intr-adevăr, în zonele fără curent câmpul magnetic este irotaţional rot ,H = 0 deci se

poate defini un potenţial magnetic scalar Vm, astfel încât H = − grad .Vm Liniile de câmp fiind

perpendiculare pe suprafeţele corpurilor feromagnetice, acestea sunt echipotenţiale. Fie Wm(z) = Um(x,y) + j Vm(x,y) o funcţie de variabilă complexă z, analitică. Dacă partea imaginară Vm(x,y) reprezintă în planul complex z potenţialul magnetic,

atunci vectorul intensităţii câmpului magnetic

( ) H i j i j= + = − = − −H H V x y

Vx

Vyx y grad ,m

m m∂∂

∂∂

se poate reprezenta în planul complex prin mărimea complexă

( ) ( )H z H HVx

Vy

Ux

Vx

W zx y= + = − +

= − −

=j j j j jd d *,

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

m m m mm (14.5-8)

iar Um(x,y) reprezintă fluxul intensităţii câmpului magnetic pe unitatea de lungime. Dacă partea reală Um(x,y) reprezintă în planul complex z potenţialul magnetic, atunci

132

( ) ( )H z H H W zx y= + = −j d d *,m (14.5-9)

iar Vm(x,y) reprezintă fluxul lineic al intensităţii câmpului magnetic cu semn schimbat.

14.5.3. METODA TRANSFORMĂRII CONFORME

Dacă Wm(z) este potenţialul magnetic complex în planul z = x + j y din care derivă câmpul magnetic H(z), atunci câmpul H(w) în planul w = u + j v are expresia

( ) ( ) ( ) ( )H w w W z z w= − = −d d * d d * d d *,ψ

adică

( ) ( ) ( )H w H z w z= d d *, (14.5-10)

în care w(z) este o funcţie de transformare conformă din planul z în planul w. Pentru stabilirea funcţiei de transformare conformă se apelează la formula Schwarz-Christoffel, care permite transformarea unui contur poligonal în axa reală a planului complex.

Domeniul din interiorul (sau exteriorul) unui poligon cu n vârfuri z1, z2,..., zn din planul z (ordonate astfel încât să lase la stânga donemiul) se transformă conform în semiplanul v = ℑm(w) > 0, iar conturul poligonal în axa u (fig. 14.5-1), cu ajutorul transformării definite prin expresia de mai jos

Transformarea Schwarz-Christoffel.

( ) ( ) ( )d d .w z A w u w u w unn= − − −1 2

1 2α α α (14.5-11)

Fiecare punct uk al axei u corespunde vârfului zk din planul z, iar exponenţii αk se definesc astfel

( ) ( )( )α πk k k k kz z z z= − − − −+ −arg arg1 1 (14.5-12)

şi reprezintă modificarea unghiului de orientare a segmentelor de o parte şi de alta vârfului, redusă la intervalul (-π,π), cu semn schimbat şi împărţită cu π. Segmentele sunt parcurse astfel încât să lase la stânga domeniul (care se va transforma în semiplanul superior al planului w).

Fig. 14.5-1. Transformarea Schwarz-Christoffel.

În figura 14.5-1 primele cinci unghiuri sunt pozitive (se modifică orientarea în sens trigonometric), iar al şaselea este negativ, deci primii cinci exponenţi rezultă negativi, iar al şaselea este pozitiv.

Integrând expresia (14.5-11), se obţine funcţia analitică de transformare conformă, în care intervine constanta A (de scară) şi o constantă aditivă B (de origine). Abscisele u1,...,un şi constantele A, B se determină prin identificarea punctelor din planul w cu punctele originale, din planul z. Două abscise uk se fixează arbitrar (fiind "compensate" prin constantele A şi B).

133

Aplicaţie

Se consideră două armături feromagnetice paralele, la distanţa δ una de alta (întrefier). Armătura inferioară are o crestătură de adâncime infinită şi de lărgime b (fig. 14.5-2a). Între armături este aplicată o tensiune magnetică V.

. Se va exemplifica metoda pentru calculul câmpului magnetic al unei crestături de maşină electrică.

Din considerente de simetrie, se ia numai o jumătate din domeniul de câmp (până în axa crestăturii), adică domeniul ABCDE din fig. 14.5-2b. Acest domeniu se transformă conform în axa reală din planul (z1). În formula Schwarz-Christoffel se aleg abscisele -a, 0, 1, cu exponenţii -1/2, -1, 1/2 şi rezultă

( ) ( )d d .z z G

z z az1

1 1

1

1=

− + (14.5-13)

Fig. 14.5-2. a) Zona crestăturii, b) domeniu în care se studiază câmpul, c) axa variabilei z1, d) domeniul variabilei w.

Pentru integrare se face schimbarea de variabilă

( )( )( )

( )( ) ( ) ( )( )

tzz a

z att

zt t a

t

zG a t t

t atG t t at

=−+

=+−

=+

−

=+

− += − − +

1

11

2

2

12 2

2

2 22 2

1 11

2 1

1

1 2

1 12 1 1 1 1

, ,

dd

,

dd

d ,

sau

(14.5-14)

cu integrala

( )z G tt a

t a H=+−

−

+ln arctg .1

12 (14.5-15)

După revenire la variabila z1 se obţine expresia

( )z G

z a z

z a zGa

a zz a

H=+ + −

+ − −−

−

++ln arctg .1 1

1 1

1

1

1

12 1

(14.5-16)

Cele trei constante, G - de scară, H - de fixare a originii şi abscisa a, se determină prin corespondenţa între cele două plane complexe

la la

z a z G G a Hz z H b

1

1 1 2= − = − + == = =

, j j ,, .

π π δ (14.5-17)

Rezultă H = b/2, G = δ/π, a = (2π/b)˛.

134

Cu o nouă transformare Schwarz-Christoffel, între planul z1 şi planul w, segmentele AB şi CD se rotesc astfel încât să ajungă perpendiculare pe BC în planul w (fig. 14.5-2d). Transformarea are derivata

( )d d ,w z F z z a1 1 1= +

cu integrala

( )( ) ( )w F z a z z a L F z a L= + + + + = + +ln argch .1 1 1 12 2 1

Punând condiţiile

la la

z a w F L Vz w L

1

1 0 0= − = + == = =

, j j ,, ,

π

rezultă

( )w V z a= +π argch 2 11 (14.5-18)

şi transformă segmentul AB în semidreapta u ≥ 0, v = jV, segmentul BC în segmentul u = 0, v ∈ (0, jV), segmentul CE în semidreapta u ≥ 0, v = 0.

Variabila complexă w are ca parte reală fluxul magnetic (al intensităţii câmpului magnetic) şi ca parte imaginară potenţialul magnetic, cu originea în punctul C. De exemplu, pentru punctul D, cu z1 = 1 se obţine fluxul magnetic care se închide prin jumătatea deschizăturii crestăturii

( )∆φ = +µ π0 2 1V aargch .

Întrucât variabila z1 nu poate fi explicitată din (14.5-16) în raport cu variabila z, ea poate fi considerată un parametru care se poate determina astfel încât din (14.5-16) să se obţină coordonatele dorite (x,y), respectiv cu care se determină din (14.5-18) mărimile de câmp. Dacă se consideră numai z1 = x1, cu x1 > 1 se va parcurge segmentul DE.

Factorul lui Carter folosit la calculul magnetic în maşinile electrice se defineşte ca raportul dintre tensiunea magnetică între armături netede şi armături crestate la acelaşi flux magnetic pe un pas de crestare. Poate fi definit şi ca raportul între fluxul magnetic pe un pas de crestare la armături netede şi fluxul la armături crestate, pentru aceeaşi tensiune magnetică între armături. Cu ultima definiţie, factorul lui Carter pentru pasul de crestare 2x devine

( ) ( )k Vx vC = δ , (14.5-19)

unde v şi x corespund aceleiaşi valori x1. De exemplu, dacă δ = 1 mm, b = 1 mm, pentru x1 = 84, rezultă x = 1,5 mm, iar apoi kC =

1,0553.

14.6. METODA APROXIMĂRII FORMEI LINIILOR DE CÂMP MAGNETIC

Pentru rezolvarea aproximativă a unor probleme de câmp magnetic, în vederea calculului unor permeanţe magnetice sau a unor fluxuri magnetice, se poate folosi metoda aproximării formei liniilor de câmp. Aceste linii se consideră, aproximativ, a fi formate din segmente drepte şi din arce de cerc, eventual din arce de elipsă.

Liniile de câmp (ale inducţiei magnetice) se construiesc ţinând seama de câteva reguli şi principii:

135

- liniile de câmp se trasează între suprafeţe echipotenţiale magnetic, - linia de câmp trebuie să fie perpendiculară pe suprafeţele echipotenţiale ale câmpului

respectiv, să fie o curbă continuă şi derivabilă cel puţin o dată (clasa C1), - se lucrează cu o intensitate medie a câmpului magnetic Hmed de-a lungul unei linii de

câmp, care multiplicată cu lungimea liniei de câmp lx dă diferenţa de potenţial magnetic între extremităţile liniei,

- există un principiu de acţiune minimă, conform căruia dacă linia de câmp s-ar putea îndrepta spre două suprafeţe de acelaşi potenţial, va fi aleasă calea de lungime minimă.

Pentru aplicarea metodei aproximării formei liniilor de câmp este necesară o experienţă prealabilă, adică cunoaşterea formei aproximative a liniilor câmpului respectiv, pentru a aproxima cât mai corect aceste forme.

Metoda va fi ilustrată cu câteva exemple de aplicare. Exemplul 1. Se consideră o armătură feromagnetică cu o crestătură de lărgime b la

distanţa δ de o armătură feromagnetică netedă. Intre armături se aplică o tensiune magnetică Vm (fig. 14.6-1a). Se cere distribuţia câmpului magnetic în vecinătatea crestăturii.

Fig. 14.6-1. Crestătură în faţa unei armături netede, b) linii de câmp în vecinătatea deschizăturii, c) parametrizarea liniei de câmp aproximate.

În fig. 14.6-1b s-a reprezentat spectrul liniilor câmpului magnetic între cele două armături, iar în fig. 14.6-1c s-au schiţat liniile care aproximează acest spectru.

În întrefierul de lărgime δ, până la marginea crestăturii, câmpul magnetic are liniile perpendiculare pe armături, este practic uniform şi are intensitatea H0 = Vm/δ.

În dreptul crestăturii liniile de câmp se aproximează prin segmente drepte de lungime δ şi arce de cerc de rază x ∈ (0,b/2) spre pereţii crestăturii. Intensitatea câmpului este Vm/(πx/2+δ), are valoarea H0 la muchia crestăturii şi la mijlocul crestăturii scade până la H0/(1+πb/4δ). Fluxul lineic pierdut prin crestare este

( )( )( )∆φ = − +µ δ π π δ0 0 4 1 4H b bln .

Este interesant de comparat această valoare cu cea obţinută pe o cale mult mai complicată (prin transformări conforme). La maşini electrice este cunoscută relaţia

( )( ) ( )( )( )γδ π δ δ π δ= − +2 2 2 1 22

b b barctg ln ,

care dă lărgimea pierdută prin crestare. Această lărgime trebuie comparată cu valoarea b-4δ/π ln(1+πb/4δ) stabilită cu metoda aproximării formei liniilor de câmp magnetic. Se constată că metoda aproximativă dă "pierderi" mai mari, respectiv subevaluează fluxul crestăturii. O aproximare mai bună se obţine înlocuind arcele de cerc cu arce de elipsă, cu raportul axelor 1.4, ceea ce aduce un factor de corecţie de 1.2 la fluxul crestăturii, adică

( )( )( )∆φ = − × +µ δ π π δ0 0 12 4 1 4H b b. ln .

136

Cu acest factor rezultă valori negative la b/δ < 0.5, deci factorul ar trebui modificat după valoarea raportului b/δ.

Exemplul 2. Se consideră două armături prismatice de aceeaşi secţiune transversală, separate prin întrefierul de lărgime δ (fig. 14.6-2a). Se cere să se estimeze fluxul de dispersie în jurul întrefierului.

Fig. 14.6-2. Dispersia la marginile unor piese prismatice. a) Schiţa geometriei, b) aproximarea formei liniilor de câmp.

În fig. 14.6-2b s-a schiţat pentru un sfert din configuraţia studiată modul cum se aproximează forma liniilor de câmp.

În zona de suprapunere a armăturilor liniile de câmp sunt perpendiculare pe suprafeţele armăturilor şi sunt repartizate uniform, deci la o inducţie B0 în această zonă, rezultă între armături o tensiune magnetică V0 = δB0/µ0.

Pe părţile laterale ale armăturilor, în vecinătatea întrefierului, liniile câmpului magnetic se aproximează prin două arce de cerc de rază x şi un segment drept de lungime δ. Lungimea unei linii de câmp este lx = πx + δ şi inducţia magnetică creată va fi B0/(1+πx/δ). Fluxul magnetic de "dispersie" bilateral în jurul întrefierului, până la o distanţă xm, este

( )φ δ π π δd m= +B x0 2 1ln .

Dacă armăturile au lăţimea b în zona întrefierului, fluxul magnetic prin întrefier fiind φu = B0b, rezultă un factor de dispersie

( )k b xd d u m= = +φ φ δ π π δ2 1ln .

Aprecierea distanţei xm introduce o anumită nesiguranţă în determinarea fluxului de dispersie, respectiv a factorului de dispersie.

Exemplul 3. Se consideră o armătură prevăzută cu crestături echidistante, de lăţime bc şi pasul t, la distanţa δ de o a doua armătură netedă (fig. 14.6-3a). În crestături se află bare de lăţime b şi înălţime h, la distanţa c de suprafaţa dinţilor. Barele sunt parcurse în sensuri alternate de un curent I. Se cere câmpul magnetic în crestături şi în întrefier.

Fig. 14.6-3. Armătură crestată, cu bare de curent (a) şi aproximarea formei liniilor câmpului de dispersie (b).

Se observă că în întrefierul dinţilor succesivi câmpul magnetic îşi schimbă sensul şi datorită simetriei constructive axa fiecărui dinte este axă de simetrie, iar axa fiecărei crestături este axă de antisimetrie pentru câmpul magnetic.

Problema magnetică se poate rezolva numai pentru o jumătate de dinte şi o jumătate de crestătură (din axa crestăturii până în axa dintelui), ca în fig. 14.6-3b.

În întrefier liniile de câmp au lungimea δ, în vecinătatea muchiei crestăturii lx = δ+πx/2, atât timp cât 2lx < bc, adică x < xm = (bc-δ)/π, apoi liniile de câmp se închid transversal prin crestătură. Se obţin următoarele valori

137

- câmpul în axa unui dinte este Bδ = µ0I/δ, - inducţia magnetică corespunzătoare liniei de câmp care corespunde distanţei x de la

marginea dintelui este Bx = Bδ/(1+πx/2δ), - câmpul transversal prin crestătură are valoarea maximă Bc = µ0 I/bc. Se observă că la x = xm rezultă Bx = Bc. De asemenea - fluxul magnetic lineic spre întrefier al unui dinte este

φδ = Bδ (t-bc+δ/π ln(bc/2δ), - fluxul magnetic lineic transversal prin crestătură este

φ = Bc (h/2+c-xm). Cele două fluxuri magnetice se adună în dinţi şi la baza dintelui rezultă inducţia

magnetică maximă

Bdmax = (φδ+φc)/(t-bc).

14.7. METODA DIFERENŢELOR FINITE

Metoda a fost prezentată pentru câmpul scalar (electrostatic) în două forme: - prin aproximarea operatorului laplacian, - prin folosirea formei combinate, diferenţiale şi integrale În forma combinată, prin diferenţe centrale divizate se calculează la mijloacele laturilor

reţelei componentele câmpului în lungul acestor laturi. Cu aceste componente, ţinând seama de permitivităţile mediilor din cadranele vecine nodului considerat se aplică forma integrală a legii fluxului în jurul fiecărui nod cu potenţial necunoscut, pe suprafaţa care trece prin mijloacele laturilor reţelei. Metoda combinată are avantajul că se poate aplica în aceeaşi formă atât în zone omogene cât şi neomogene, iar condiţiile de frontieră tip Neumann se integrează fără dificultate în integrala fluxului.

Dacă problema de câmp magnetic este formulată cu ajutorul unui potenţial scalar, atunci se pot folosi formele puse în evidenţă pentru câmpul electrostatic. Deosebirea esenţială faţă de problema electrostatică constă în faptul că atunci când în domeniul de câmp există o repartiţie de curent, folosirea câmpului auxiliar

T care preia rotorul câmpului, determină o

umplere a domeniului de câmp cu sarcini de magnetizaţie (sarcini spaţiale). Spre deosebire de problemele electrostatice, în care, de regulă se dau potenţialele pe anumite suprafeţe, pe care vor apărea repartiţii superficiale de sarcini electrice, care nu intervin în mod explicit în rezolvare, iar în domeniul de câmp nu apar distribuţii de sarcini electrice.

Pentru problema de câmp magnetic formulată cu ajutorul potenţialului magnetic vector, metoda diferenţelor finite se aplică numai în cazurile particulare când potenţialul vector are o singură componentă şi problema se rezolvă într-un plan. Şi în acest caz se poate folosi fie aproximarea operatorului laplacian, fie forma combinată diferenţială şi integrală. În ultimul caz prin diferenţe centrale divizate se determină la mijloacele laturilor reţelei componentele câmpului perpendiculare pe laturi. Cu aceste componente, ţinând seama de relaţia constitutivă din cele patru cadrane vecine nodului central, se calculează intensităţile câmpului magnetic şi apoi circulaţia intensităţii câmplui magnetic în jurul unui nod, care intră în teorema lui Ampère. Din nou relaţia obţinută se aplică atât domeniiilor omogene, cât şi neomeogene, iar condiţiile de frontieră tip Neumann se integrează fără dificultate în integrala de circulaţie. Alte detalii au fost date în anexa dedicată metodei diferenţelor finite.

138

15. CÂMPUL ELECTROMAGNETIC CVAZISTAŢIONAR

15.1. REGIMUL CVAZISTAŢIONAR AL CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC

Regimul cvazistaţionar este un regim al câmpului electromagnetic studiat în aproximaţia neglijării unor termeni din ecuaţiile generale ale câmpului electromagnetic. Se disting două tipuri de regimuri cvazistaţionare:

- regimul cvazistaţionar de tip magnetic sau anelectric

-

, în care se neglijează curentul de deplasare (dψ/dt) în legea circuitului magnetic; acest regim intervine la studiul curenţilor variabili în conductoare masive;

regimul cvazistaţionar de tip electric sau amagnetic∂ ∂B t, în care se neglijează câmpul

electric indus de variaţia în timp a câmpului magnetic ( ); acest regim intervine în studiul dieletricilor conductivi sau cu pierderi.

Rezolvarea problemelor de câmp electromagnetic în regim variabil este mult mai dificilă decât în regim staţionar.

În regim variabil, în conductoare pot să apară curenţi de conducţie datorită câmpului electric indus. Aceşti curenţi se numesc curenţi turbionari sau curenţi Foucault.

În conductoarele cu curenţi de aducţie (impuşi din exterior) distribuţia curenţului pe secţiunea conductoarelor masive este influenţată de variaţia în timp a mărimilor, manifestându-se efectul pelicular.

Dacă un conductor masiv cu curent de aducţie se află în vecinătatea altor conductoare parcurse de curenţi, în regim variabil se manifestă o modificare a repartiţiei curentului în secţiune, prin efectul de proximitate sau de apropiere.

La conductoarele masive aşezate în crestăturile maşinilor electrice sau în fasciculele de conductoare având curenţi impuşi, atunci când sunt parcurse de curenţi variabili în timp se manifestă un efect de repartizare neuniformă a curenţului pe secţiunea conductoarelor, cunoscut ca efectul Field.

În cele ce urmează va fi abordată o problemă generală a regimului cvzistaţionar de tip magnetic, o problemă de curenţi Foucault, una de efect pelicular şi efectul Field.

Mai trebuie amintit faptul că în regim variabil în timp trebuie revăzute definiţiile anumitor mărimi, ca rezistenţă, tensiune electrică ş.a.

15.2. PREMIZELE STUDIULUI CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC CVAZISTAŢIONAR ÎN CONDUCTOARE MASIVE IMOBILE

Ecuaţiile câmpului electromagnetic se obţin neglijând în legea circuitului magnetic densitatea curentului de deplasare

J DD t= ∂ ∂ în raport cu densitatea curentului de conducţie

J E= σ . Această neglijare este admisibilă atunci când

( ) .EE

<<∂∂σε t

Dar τ = ε/σ este constanta de timp a relaxării sarcinii electrice. In conductoare acestă constantă are valori de ordinul a 10-19 s.In regim sinusoidal rezultă o condiţie pentru frecvenţă

f << 1018 Hz.

139

Întrucât frecvenţele utilizate în tehnică nu depăşesc 1012 Hz, în conductoare densitatea curentului de deplasare este neglijabilă în raport cu densitatea curentului de conducţie. În semiconductoare şi în plasmă această condiţie nu este îndeplinită la frecvenţe foarte mari.

15.3. ECUAŢIILE CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC CVAZISTAŢIONAR ÎN CONDUCTOARE MASIVE IMOBILE

Ecuaţiile lui Maxwell pentru câmpul electromagnetic sunt

rot ,rot ,div ,div .

H J DE BDB

= +

= −

=

=

∂ ∂

∂ ∂

ρ

tt

v

0

(15.3-1)

La acestea trebuie adăugate relaţiile constitutive D E B H J E= = =ε µ σ, , , (15.3-2)

în legea conducţiei electrice fiind neglijat câmpul imprimat. În medii omogene şi linare mărimile ε, µ şi σ sunt constante.

Introducând relaţiile constitutive în primele două ecuaţii, de evoluţie, şi neglijând curentul de deplasare, se obţin relaţiile

,rot,rot t∂∂µ−=σ= HEEH

(15.3-3)

care reprezintă ecuaţiile fundamentale ale câmpului electromagnetic în conductoare masive omogene, sau ecuaţiile de ordinul întâi.

Luând divergenţa acestor ecuaţii şi apoi ţinând seama de omogenitatea mediului, se stabilesc relaţiile

div , div , div , E J H= = =0 0 0 (15.3-4)

deci cele patru câmpuri, E J B H, , , sunt solenoidale.

Luând rotorul ecuaţiilor (15.3-3) şi ţinând seama că

rot rot grad div , G G G= − ∆

dacă se elimină câte una dintre funcţiunile necunoscute, se obţin ecuaţiile de ordinul doi

∆ ∆

∆ ∆

H H B BJ J E E= =

= =

σµ ∂ ∂ σµ ∂ ∂

σµ ∂ ∂ σµ ∂ ∂

t tt t

, ,, .

(15.3-5)

Soluţiile pentru cele patru câmpuri nu sunt independente, ele fiind legate prin ecuaţiile de ordinul întâi (15.3-3). Aceste ecuaţii trebuie completate cu relaţiile de trecere prin suprafeţe de discontinuitate

E E H HH H E E

t1 t2 t1 t2

n1 n2 n1 n2

= == =

, ,, .µ µ σ σ1 2 1 2

(15.3-6)

În continuare se vor studia numai probleme în regim permanent sinusoidal, folosind reprezentarea în complex; aceasta se aplică fiecărei mărimi scalare, respectiv componentelor scalare ale vectorilor. Derivarea în raport cu timpul a unei mărimi revine la multiplicarea cu jω a imaginii mărimii.

140

15.4. PĂTRUNDEREA CÂMPULUI ELECTROMAGNETIC ÎN SEMISPAŢIUL CONDUCTOR INFINIT

Se consideră un bloc de material conductor,de permeabilitate µ şi conductivitate σ, limitat spre stânga de o faţă plană infinit extinsă şi ocupând întregul semispaţiu drept (fig.15.4-1) Se alege un sistem de axe cartezian, cu axa Ox normală pe faţa blocului şi dirijată spre interior.

Fig. 15.4-1. Notaţii pentru pătrunderea câmpului electromagnetic în semispaţiul infinit.

La suprafaţa semispaţiului este stabilit un câmp magnetic omogen tangenţial H0

(orientat după axa Oz)

( ) ( ) H k0 0 0 0= =H t H t H t, sin . cu max ω (15.4-1)

Se studiază numai regimul permanent. Toate mărimile depind numai de coordonata x şi de timp

( ) ( ) ( ) H H E E J J= = =x t x t x t, , , , , . (15.4-2)

La x = 0 în interiorul semispaţiului conductor câmpul are aceeaşi componentă tangenţială

( ) ( ) H H k0 0 0, t H t= = (15.4-3)

şi în interior are numai componentă după Oz

( ) ( ) H kx t H x t, , .= z (15.4-4)

Ecuaţia câmpului magnetic în mediul conductor este

∂ ∂ σµ ∂ ∂2 2H x H tz z= . (15.4-5)

În regim sinusoidal această ecuaţie se reprezintă în complex simplificat sub forma

d d j .2 2 2H x H Hz z z= =ωσµ γ (15.4-6)

Se notează

( )γ ωσµ α= = +j j ,1 (15.4-7)

unde

α ωσµ= 2 (15.4-8)

este constanta de atenuare. Cu aceste notaţii, soluţia generală a ecuaţiei (15.4-5) este

141

( ) ( )H A x A xz = − +1 2exp exp .γ γ

Dacă domeniul este infinit, trebuie ca A2 = 0, pentru ca la infinit câmpul magnetic să fie finit. La x = 0 Hz = Hz(0) = A1. Rezultă soluţia

( ) ( ) ( )( ) ( )

H H x H x

H H x xz z

z

= − = −

= − −

0 0

0

exp exp ,

exp exp j .

γ γ

α α (15.4-9)

Valoarea instantanee a câmpului este

( ) ( ) ( )H x t H x t xz , exp sin .= − −0 max α ω α (15.4-10)

Aceasta este o undă elementară directă, puternic atenuată, cu viteza de fază v şi lungimea de undă λ date de relaţiile

v = = =ω α ω µσ λ π α2 2, . (15.4-11

Densitatea de curent J şi intensitatea câmpului electric

E se deduc din prima ecuaţie a

lui Maxwell

( ) ( ) J H j E J j= = = =rot , , , .J x t E x ty yσ (15.4-12)

Dezvoltând rotorul se obţin relaţiile complexe

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

J x H x H x H x x

E x J x H x H x x

z

y

v

v

= − = + − = − − −

= − = + − = − − −

∂ ∂ α γ α α α π

σ α σ γ α σ α α π

1 2 4

1 2 4

0 0

0 0

j exp exp exp j ,

j exp exp exp j ,

(15.4-13)

(15.4-14)

Valorile instantanee ale acestor mărimi sunt defazate cu π/4 înaintea câmpului magnetic. La suprafaţa conductorului intensitatea câmpului electric este

( ) ( )E E H0 00 2 4= = α σ πexp j . (15.4-15)

Pierderile de putere se calculează cu ajutorul vectorului Poynting. Intrucât E j= Ey şi

H k= Hz , vectorul densităţii fluxului de energie

S este dirijat spre interiorul conductorului

(sensul în care se propagă undele elementare Hz(x,t) şi Ey(x,t)),

( ) S E H j k i= × = × =E H S x ty z x , , (15.4-16)

unde valoarea instantanee Sx este

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ).422cos4cos2exp2

4sinsin2exp2,2

max 0

2max 0

π+α−ω−πα−σα=

=π+α−ωα−ωα−σα=

xtxH

xtxtxHtxS x

Mărimea Sx reprezintă puterea instantanee transmisă prin unitatea de suprafaţă a planelor x = const. Acest aflux de energie provine de la câmpul electromagnetic exterior şi scade rapid o dată cu pătrunderea în conductor, datorită faptului că acoperă pierderile locale de putere prin efect Joule-Lenz. Aportul de putere instantanee prin suprafaţa conductorului este

( ) ( ) ( ) ( )( ),42cos212,0 2max 00 π+ω−σα== tHtStS x (15.4-17)

având valoarea medie, sau puterea activă specifică

142

( )P A H E0 12 0

2 12 0

2= = max α σ σ α . (15.4-18)

Câmpul electric, câmpul magnetic şi densitatea curentului au valori importante numai în vecinătatea suprafeţei conductorului, amplitudinile lor scăzând exponenţial o dată cu depărtarea de la suprafaţa conductorului. De exemplu, valoarea efectivă a densităţii curentului are expresia

( )J H xx ef max= −α α0 exp . (15.4-19)

Se numeşte adâncime de pătrundere (sau adâncime echivalentă de pătrundere) a câmpului electromagnetic în semispaţiul conductor, distanţa δ de la suprafaţă pe care ar trebui repartizat în mod uniform curentul total, pentru ca pierderile de putere activă să fie egale cu cele din cazul repartiţiei reale a curentului.

Pe o înălţime a (după Oz), curentul total complex este

( ) ( ) ( )( )I J x a x aHx

x a H H aHyz

z z= = − = − ∞ =∞ ∞

∫ ∫d d0 0 00

∂∂

(15.4-20)

şi are valoarea efectivă

I a H= 2 0 max . (15.4-21)

Dacă ar fi repartizat uniform şi sinfazic pe adâncimea δ, într-un volum a.b.δ acest curent ar produce pierderile de putere activă

( ) ( ) ( )P ab I a ab H= =δ δ σ σδ2

02 max .

Puterea primită prin suprafaţa de arie ab este

P ab H= 12 0

2 maxα σ .

Cele două puteri trebuind să aibă valori egale rezultă expresia adâncimii de pătrundere

( )δ α ωσµ= =1 2 . (15.4-22)

La frecvenţa industrială (50 Hz) şi temperatura de 20 °C adâncimea de pătrundere este de 9,5 mm la cupru, respectiv de 12,3 mm la aluminiu. La materiale magnetice cu permeabilitate mare (fier) adâncimea de pătrundere este de la câţiva milimetri până la fracţiuni de milimetru. Pentru apa de mare δ ≈ 30 m, în sol δ ≈ 750 m.

15.5. PROBLEME DE CURENŢI TURBIONARI

In aplicaţiile tehnice, curenţii turbionari (sau Foucault) apar în miezurile feromagnetice ale circuitelor magnetice din maşinile şi aparatele electrice de curent alternativ, determinând pierderi suplimentare de putere prin efect Joule şi înrăutăţind funcţionarea acestor aparate şi maşini. Totodată există numeroase aplicaţii utile ale curenţilor turbionari: încălzirea electrică prin inducţie (în care puterea dezvoltată de curenţii turbionari este folosită pentru a încălzi, sau chiar a topi conductorul), frânele şi ambreiajele magnetice de inducţie (în care se utilizează forţele pe care câmpul magnetic le exercită asupra conductorului parcurs de aceşti curenţi) ş.a.

Curenţii turbionari din conductoare influenţează repartiţia câmpului magnetic, datorită câmpului magnetic suplimentar produs de aceştia (numit şi câmp magnetic de reacţie al curenţilor turbionari). Din acest motiv, pentru rezolvarea exactă a acestor probleme este

143

necesară utilizarea ecuaţiilor generale ale regimului cvazistaţionar de tip magnetic (anelectric). În cazuri limită, la frecvenţe joase (când câmpul de reacţie este mic, neglijabil), sau la frecvenţe înalte (când adâncimea de pătrundere este mică faţă de dimensiunile conductorului), se pot folosi metode aproximative.

Circuitele magnetice de curent alternativ sunt realizate din tole feromagnetice, de grosime ∆ mult mai mică decât lăţimea l (∆ << l), deci tola poate fi asimilată cu o placă de extensie infinită din punct de vedere al rezolvării problemei de câmp magnetic cvzistaţionar. Se adoptă un sistem de axe cartezian (fig. 15.5-1), astfel încât planul de simetrie al plăcii să se afle în planul x = 0. Mărimile din placă vor depinde numai de coordonata x.

Pierderi prin curenţi Foucault în tole feromagnetice.

Fie φ = φm sinωt fluxul magnetic sinusoidal care revine unei tole de grosime ∆ şi lăţime l, atunci inducţia magnetică aparentă în tolă este B = φ/(∆l) = Bm sinωt şi se consideră orientată în lungul axei Oz:

B k k= =B Bz . Se va folosi reprezentarea în complex şi atunci

amplitudinea complexă a inducţiei este B = Bm. Din legea inducţiei electromagnetice se obţine

rot d d j . E B= − ⇒ = −∂ ∂ ωt E x By (15.5-1)

Fig. 15.5-1. Notaţii pentru studiul curenţilor Foucault într-o tolă.

Dacă se poate neglija reacţia curenţilor turbionari, se obţine o soluţie simplă, independentă de eventuala neliniaritate a caracteristicii magnetice a tolei

E Bxy = − j .ω (15.5-2)

Curenţii induşi sunt Jy = σEy, apoi puterea activă disipată pe unitatea de volum este pR = J2/(2σ), care trebuie mediată pe grosimea plăcii şi se obţine densitatea de volum medie a pierderilor prin curenţi turbionari

p BR med m= σω 2 2 2 24∆ , (15.5-3)

iar inducţia magnetică este neschimbată (datorită neglijării reacţiei curenţilor induşi). De exemplu, la frecvenţa de 50 Hz şi inducţia Bm = 1T, tola de oţel electrotehnic cu

grosimea de 0,5 mm şi conductivitatea de 6,67 Sm/mm2, cu masa specifică 7,8 kg/dm3, are pierderile specifice medii pR med = 6,85732 W/dm3 = 0,87914 W/kg, iar tola înalt aliată, de 0,3 mm grosime, cu conductivitate de 2,08 Sm/mm2, cu masa specifică 7,6 kg/dm3, are pR med = 0.76983 W/dm3 = 0.10129 W/kg.

144

Dacă nu se neglijează reacţia curenţilor turbionari, atunci mai trebuie luată în consideraţie teorema lui Ampère. Considerând tola liniară, de permeabiltate µ, se obţine ecuaţia

rot , . B J= = −µ ∂ ∂ µ sau B x J y (15.5-4)

Cu J E= σ şi trecând la reprezentarea în complex, după eliminarea

J şi

E se obţine

ecuaţia lui Helmholtz (complexă)

d d j .2 2 0B x B− =ωσµ (15.5-5)

Se notează cu ( )γ ωσµ α= = +j j1 şi soluţia (care trebuie să fie simetrică faţă de planul x = 0) este

( )B x B x= 0 ch ,γ (15.5-6)

în care B0 este inducţia magnetică minimă, la mijlocul tolei. Imaginea complexă a fluxului magnetic al tolei este

( )φ γ γ= 2 20l B sh .∆ (15.5-7)

Întrucât este cunoscut (dat) fluxul magnetic al tolei, ultima relaţie permite determinarea constantei de integrare B0

( )( ) ( )( )B l B0 2 2 2 2= =γφ γ γ γm msh sh .∆ ∆ ∆ (15.5-8)

Inducţia este maximă la marginea tolei şi este dată de relaţia

( )( )B Bmax m= γ γ∆ ∆2 2th . (15.5-9)

Intensitatea câmpului electric se poate calcula din relaţia

( ) ( )E J B x B xy y z= = − = −σ ωµ γ ωµ γ1 0d d sh . (15.5-10)

Puterea complexă primită bilateral de tolă pe unitatea de arie este

( ) ( ) ( )2 2 212 0

2E H By z* sh ch *= γ ω µ γ γ∆ ∆ .

Partea reală a acestei puteri, împărţită cu grosimea tolei dă densitatea de volum medie a puterii disipate

( ) ( ) ( )( )p eal BR med = ℜ γ ω µ γ γ∆ ∆ ∆02 2 2sh ch * . (15.5-11)

În cele două cazuri examinate anterior (tole de 0,5 mm şi de 0,3 mm grosime), pentru permeabilitatea relativă de µr = 7000 se obţin următoarele valori

gros. [mm] α [m-1] B0/Bm Bmax/Bm

0,50 3035,8 0,9746-j0,1889

0,30

1,0291+j0,3808

1695,3 0,9997-j0,0216

Pierderile specifice calculate cu relaţia "exactă" sunt de 6,8003 W/dm3 = 0,8718W/kg, respectiv 0,76975 W/dm3 = 0,10128W/kg. Valorile sunt foarte apropiate de cele calculate cu

1,0004+j0,0431

145

relaţia aproximativă, care neglijează reacţia curenţilor turbionari. La valori mai mici ale permeabilităţii diferenţele sunt şi mai mici.

15.6. EFECTUL PELICULAR

În regim variabil, curentul injectat într-un conductor are o repartiţie diferită de repartiţia de curent continuu, fenomen numit efect pelicular sau efect skin. Datorită fenomenului de inducţie electromagnetică, asociat cu reacţia curenţilor induşi, curentul are tendinţa de a se repartiza cu o densitate mai mare în zonele periferice ale conductoarelor. Totodată, în regim periodic apar defazaje între densităţile de curent din diferitele puncte ale secţiunii conductorului.

Un caz de efect pelicular care este mai uşor de studiat este cel al conductorului plat, aflat departe de alte conductoare parcurse de curenţi şi având o grosime a mult mai mică decât lătimea b (fig. 15.6-1). Acest caz se poate studia, aproximativ, neglijând "efectele de margine", ca în cazul tolei. Atunci câmpul electromagnetic în secţiunea conductorului devine unidimensional, adică depinde de o singură coordonată.

Efectul pelicular în conductorul plat

Se adoptă un reper cartezian xOyz ca în figura 15.6-1, axa Oy fiind în lungul liniilor curentului de aducţie

J , axa Ox este după lătimea, iar axa Oz - după grosimea conductorului

plat, cu originea în planul de mijloc al conductorului. Densitatea curentului J şi intensitatea

câmpului electric E în conductor au componentă numai după Oy, care depinde numai de

coordonata z

( ) ( ) J u E u= =y yJ z E z, , (15.6-1)

iar câmpul magnetic are numai componentă după axa Ox

Fig. 15.6-1. Notaţii pentru studiul efectului pelicular într-un conductor plat.

( ) H u= x H z . (15.6-2)

Din legea inducţiei electromagnetice şi din teorema lui Ampère rezultă relaţiile scalare

∂ ∂ σ ∂ ∂ µ ∂ ∂H z J E E z H t= = =, . (15.6-3)

Trecând la amplitudini complexe, pentru un regim sinusoidal cu pulsaţia ω, se obţin ecuaţiile

d d , d d j ,H z E E z H= =σ ωµ (15.6-4)

respectiv se stabilesc ecuaţiile de ordinul doi

146

d d , d d ,2 2 2 2 2 2H z H E z E= =γ γ (15.6-5)

unde s-a notat γ ωσµ= j . Soluţiile au forma

( ) ( ) ( ) ( )E z E z H z E z= =0 0ch , sh ,γ σ γ γ (15.6-6)

în care E0 este intensitatea câmpului electric în planul median al conductorului (z = 0). Mai rezultă densitatea curentului în centrul conductorului J0 = σE0 şi o intensitate de referinţă a câmpului magnetic H0 = σE0/γ. Prin integrare pe secţiunea conductorului se obţine amplitudinea complexă a curentului conductorului

( )I b E a= 2 20σ γ γsh , (15.6-7’)

din care se poate determina valoarea constantei E0 dacă se cunoaşte curentul

( )( )E I b a0 2 2= γ σ γsh . (15.6-7”)

La suprafaţa conductorului intensitatea câmpului electric are valoarea E0 ch(γa/2). Cu aceasta se poate calcula un factor de creştere a impedanţei complexe în curent alternativ, faţă de rezistenţa în curent continuu, raportând această valoare la aceea care ar rezulta în curent continuu I/(abσ)

( )( ) ( ) ( )k E a ab I a aza = =0 2 2 2ch th .γ σ γ γ (15.6-8)

La acelaşi rezultat se ajunge cu ajutorul puterii complexe primite de conductor. La suprafaţă vectorul Poynting are valoarea

( ) ( ) ( ) ( )S E a H a E a a= =12

12 0

22 2 2 2* *ch sh * .γ γ γ

Calculând E0 din relaţia sa cu curentul I, se obţine

( ) ( ) ( )( )E E E I b a sh a02

0 02 22 2 2= =* * sh * .σ γ γ γ γ

Astfel rezultă

( )( )S I b a= 12

2 24 2γ σ γth . (15.6-9)

Puterea complexă primită de conductor pe unitatea de lungime pe ambele feţe este I2 γ/(4bσ th(γa/2)), pe când la repartiţie uniformă pe secţiune ar rezulta puterea I2/(2abσ), factorul 1/2 fiind datorit faptului că s-a lucrat cu amplitudinea complexă. Se regăseşte valoarea stabilită anterior, pe o cale mai simplă.

Efectul pelicular se va exemplifica pe cazul conductorului cilindric circular, rectiliniu şi infinit lung, de rază a, având conductivitatea σ şi permeabilitatea µ, parcurs în sens axial de un curent sinusoidal cu amplitudinea I şi pulsaţia ω. Datorită extensiei axiale infinite şi simetriei faţă de axa conductorului, mărimile de câmp depind numai de coordonata radială r a unui reper cilindric r,ϕ,z, a cărui axă Oz coincide cu axa conductorului. Câmpul electric este axial, iar câmpul magnetic este transversal

Efectul pelicular în conductorul cilindric plin

147

( ) ( ) E u H u= =z E r H r, .ϕ (15.6-10)

Folosind reprezentarea în complex, din legea lui Faraday a inducţiei electromagnetice şi din teorema lui Ampère rezultă ecuaţiile scalare

d d j , d d .E r H H r H r E= + =ωµ σ (15.6-11)

Eliminând intensitatea câmpului magnetic se obţine ecuaţia de ordinul doi a intensităţii câmpului electric

d d d d .2 2 21 0E r r E r E+ − =γ

Prin eliminarea intensităţii câmpului magnetic se obţine ecuaţia

( )d d d d .2 2 21 1 0H r r H r r H+ − + =γ

Se observă că ambele câmpuri satisfac ecuaţia lui Bessel, prima de ordinul zero, iar a doua de ordinul unu. Ambele au forma ecuaţiei modificate, cu argument imaginar.

Soluţia ecuaţiei câmpului electric este de forma

( ) ( ) ( )E r A r A r= +1 0 2 0I K .γ γ

Aici I0(ξ) şi K0(ξ) sunt funcţiile lui Bessel modificate, de prima şi de a doua speţă şi ordin 0. În general

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )I j J j , K I I sin .0 0 0 2x x x x x nnn n= = −−

− π π

Întrucât la r = 0 funcţiunile de a doua speţă tind spre infinit, rezultă A2 = 0. Soluţia devine

( ) ( )E r A r= I .0 γ

Intensitatea câmpului magnetic se obţine prin derivare

( ) ( ) ( )H r E r A r= =1 1j d d I ,ωµ σ γ γ

întrucât dI0(ξ)/dξ = I1(ξ). Constanta de integrare A se poate determina cunoscând că la suprafaţa conductorului (la

r = a) intensitatea câmpului magnetic este I/(2πa), unde I este curentul conductorului

( ) ( )σ γ γ πA a I aI ,1 2=

sau

( )( )A I a a= γ πσ γ2 1I .

Funcţia I0(ξ) are valoarea 1 la ξ = 0 şi apoi creşte monoton cu ξ real. Variabila complexă proporţională cu (1+j) menţine caracterul crescător al modulului funcţiei, o dată cu creşterea argumentului funcţiei complexe. Funcţia I1(ξ) este nulă la ξ = 0 şi apoi creşte monoton cu ξ real. Pentru o variabilă complexă proporţională cu (1+j), în vecinătatea originii argumentul funcţiei este π/4 iar apoi creşte o dată cu modulul.

In fig. 15.6-2 s-au reprezentat părţile reale şi imaginare ale funcţiilor I0((1+j)x) şi I1((1+j)x), în partea din stânga pentru x∈[0, 3], în partea dreaptă pentru x∈[3, 7].

148

Factorul de "impedanţă" al conductorului, adică raportul dintre impedanţa complexă a conductorului şi rezistenţa sa în curent continuu, se calculează cu intensitatea câmpului electric la suprafaţă A.I0(γa)

( ) ( ) ( )k A a a I a a az = =I I I .02

0 12γ π ω γ γ γ

La acelaşi rezultat se poate ajunge şi cu ajutorul puterilor, care se pot calcula ca fluxul vectorului Poynting prin suprafaţa care mărgineşte conductorul. Acest vector este orientat spre interiorul conductorului.

Fig. 15.6-2. Funcţiunile Bessel I0(x(1+j)) şi I1(x(1+j)): 1) ℜeI0(x(1+j)), 2) ℑmI0(x(1+j)), 3) ℜeI0(x(1+j)), 4) ℑmI0(x(1+j))

Vectorul Poynting complex la suprafaţa conductorului este

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S a E a H a I a a a= =12

2 2 20 18* I I .γ π σ γ γ (15.6-16)

Multiplicând cu perimetrul 2πa şi luând partea reală, respectiv imaginară a expresiei, se obţin puterile active şi reactive pe unitatea de lungime

( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

P I a eal a a a

Q I a magl a a a

= ℜ

= ℑ

2 20 1

2 20 1

4

4

π σ γ γ γ

π σ γ γ γ

I I ,

I I . (15.6-17)

În curent continuu cu intensitatea I/√2 ar fi rezultat puterea pe unitate de lungime

( )P I acc =2 22π σ .

Factorul de impedanţă este

k k k P P Q Pz r= + = +j j .i cc cc

Factorul de majorare a pierderilor prin efect pelicular, numit şi factor de majorare a rezistenţei kr, are expresia

( ) ( )( )k eal a a ar = ℜ0 5 0 1, I I ,γ γ γ (15.6-18)

rezistenţa echivalentă pe unitate de lungime este

149

( )R k ar= π σ2 , (15.6-19)

iar reactanţa interioară a conductorului se exprimă sub forma

( )X k ai i= π σ2 . (15.6-20)

Se poate defini şi un factor al reactanţei interioare kx, raportând reactanţa interioară Xi la reactanţa corespunzătoare densitătii de curent constante Xcc = ω µ0/(8π) şi atunci

( ) ( )k k a k ax r= =8 820

2ωµ σ γi j . (15.6-21)

În figura 15.6-3 sunt date diagramele factorilor kr şi kx, ca funcţie de ξ = αa = a/δ, pentru cilindru de cupru, la 50 Hz.

Când αa ≥ 4 o bună aproximare o dă relaţia

( )R a≈ α π σ2 , (15.6-19)

care consideră că numai un strat superficial de grosime δ = 1/α ar conduce. In acest caz kr ≈ αa/2.

Fig. 15.6-3. Factorii de modificare a rezistenţei şi a reactanţei interioare a conductorului cilindric.

De exemplu, pentru un conductor de cupru cu diametrul de 20 mm, la frecvenţa de 50 Hz, la care δ = 9,5 mm, rezultă αa = 10/9,5 = 1,0526 şi apoi cu formula "exactă" se obţine kr = 1,0251 , pe când cu formula aproximativă s-ar obţine un factor subunitar. La o frecvenţă de 1000 Hz, se obţine αa = 4,7075, apoi un factor "exact" kr = 2,2412 şi un factor aproximativ 2,3538, cu 5% mai mare decât cel exact.

15.7. EFECTUL FIELD

Conductoarele aşezate în crestăturile maşinilor electrice sunt parcurse de curenţi de aducţie (cu valori impuse), variabili în timp. Câmpul magnetic "de dispersie" creat de aceşti curenţi (câmpul transversal al crestăturii) modifică distribuţia curenţilor pe secţiunile conductoarelor, modificare cunoscută ca efectul Field. Un efect similar se manifestă şi în conductoarele înfăşurărilor transformatoarelor, respectiv în fasciculele de conductoare (cu curenţi elementari impuşi), parcurse de curenţi variabili în timp.

Efectul Field se studiază în două situaţii: a) o singură bară parcursă de curent în crestătură, b) o bară parcursă de curent în câmpul din crestătură produs de un alt curent. Aceste situaţii vor fi studiate pe rând, de fapt cu ajutorul aceloraşi ecuaţii.

a) Efectul Field în bara dreptunghiulară, fără câmp exterior

150

Se consideră o bară conductoare dreaptă, lungă, cu secţiunea dreptunghiulară b.h, parcursă axial de un curent sinusoidal având valoarea efectivă complexă I (mai departe se va lucra cu amplitudinea complexă a mărimilor de câmp). Bara este nemagnetică şi este aşezată într-o crestătură de lărgime bc, practicată într-o armătură feromagnetică (fig. 15.7-1). Armătura este lungă (în sens axial) şi atunci câmpul se poate studia într-un plan perpendicular pe direcţia muchiilor barei şi crestăturii.

Se alege un reper cartezian cu axele orientate astfel: Oz - axă paralelă cu muchiile barei, Ox - axă după înălţimea barei, paralelă cu pereţii crestăturii, cu originea la baza

barei, Oy - axă transversală pe bară.

Soluţia exactă a acestei probleme de câmp electromagnetic este complicată, datorită efectului marginilor crestăturii în apropierea suprafeţei libere a armăturii (unde, de regulă, se află întrefierul maşinii electrice). Din această cauză se va considera, aproximativ, că în crestătură liniile de câmp sunt pur transversale (după axa Oy), iar densitatea curentului în bară nu depinde decât de cota x (are aceeaşi valoare pe toată lăţimea b).

Se consideră un contur Γx care trece transversal prin crestătură la cota x, închizându-se prin cei doi dinţi vecini şi pe sub baza crestăturii, ca în figura 15.7-1a. Pe acest contur se scrie teorema lui Ampère direct cu imaginile complexe ale mărimilor

U mm x S xΓ ΘΓ

= , (15.7-1)

Fig. 15.7-1. Notaţii pentru studiul efectului Field în crestătura unai maşini electrice.

Datorită permeabilităţii foarte mari a corpului feromagnetic în care este practicată crestătura, se poate neglija tensiunea magnetică în fier şi atunci tensiunea magnetomotoare se reduce la tensiunea magnetică din crestătură

( )U H x bmm x cΓ = . (15.7-2)

Solenaţia corespunzătoare variază cu cota x. Notând cu J(x) funcţia de cota x a densităţii de curent în bară, solenaţia va fi

( ) ( )ΘΓS x

pentru pentru

pentru

=

<

∈

>

∫

00

20

, ,d , ,

.

xbJ x h

I x h

x0

ξ ξ (15.7-3)

Solenaţia ultimului interval include restricţia asupra densităţii de curent

( )b J Ih

ξ ξd .0

2∫ = (15.7-4)

151

Derivând în raport cu x relaţia (15.7-1) şi ţinând seama de (15.7-2), (15.7-3), se obţine forma diferenţială

( )bJ x b H x= c d d . (15.7-5)

Se consideră un al doilea contur Γz (fig. 15.7-1b) în lungul barei, care trece pe la cotele x şi x+dx, pe o lungime axială l. Scriind legea inducţiei electromagnetice pe acest contur, ţinând seama de orientările versorilor intensităţii câmpului electric E şi a intensităţii câmpului magnetic H (indicaţi în partea din dreapta a fig. 15.7-1b) şi parcurgând conturul în sens antiorar (spre stânga, cum este indicat lângă simbolul Γz), se obţine relaţia

( ) ( )( ) ( )l E x E x x H x l x− + = −d j d ,ωµ 0

adică

( ) ( )d d j .E x x H x= ωµ 0 (15.7-6)

Luând în consideraţie şi legea conducţiei electrice J(x) = σE(x), din relaţiile (15.7-5) şi (15.7-6) se tabileşte ecuaţia diferenţială de ordinul 2 a intensităţii câmpului magnetic

( ) ( )d d ,2 2 2H x x H x= γ (15.7-7)

unde

( )( )γ ωσµ α20

21= = +j j ,b bc e (15.7-8)

γ fiind constanta de propagare, iar αe = 1/δe este constanta de atenuare, egală cu valoarea reciprocă a adâncimii de pătrundere modificată

( )β ωσµe c= 0 2b b şi ( )δ ωσµe c= 2 0b b . (15.7-9)

Se observă că faţă de cazul semispaţiului conductor, constanta de atenuare, respectiv adâncimea de pătrundere este modificată, ca şi cum crestătura ar fi umplută pe toată lărgimea sa cu un material cu conductivitatea redusă în raportul b/bc.

Soluţia ecuaţiei (15.7-7) este de forma

( )H x A x B x= +sh ch .γ γ (15.7-10)

Întrucât H(0) = 0, rezultă B = 0, apoi

( )H h A h I b= =sh γ 2 c

şi soluţia devine

( )H x I b x h= 2 c sh sh .γ γ (15.7-11)

Densitatea de curent se deduce direct din relaţia (15.7-5)

( )J x I b x h= γ γ γ2 ch sh . (15.7-12)

Se observă că distribuţia curentului după înălţimea barei, proporţională cu valoarea funcţiei ch γx, este neuniformă, fiind minimă la baza barei şi maximă la x = h.

Puterea complexă primită de bară se poate calcula cu fluxul vectorului lui Poynting, observând că acest vector, orientat spre bară, este nenul numai deasupra barei, unde are valoarea

152

( ) ( ) ( ) ( )S h E h H h I b b h= =12

2* th .γ σ γc

Factorul 1/2 provine de la folosirea amplitudinilor complexe pentru mărimile de câmp, dar se simplifică cu pătratul lui √2.

Puterea complexă lineică a barei este

( ) ( )P Q b S h I h bh h+ = =j th .c2 γ σ γ (15.7-13)

Observaţie. Mai sus s-a multiplicat cu lăţimea crestăturii şi nu cu lăţimea barei, datorită formei simplificate (15.7-2) cu care s-a calculat intensitatea câmpului magnetic. În caz contrar, o parte din puterea dată de vectorul lui Poynting s-ar transmite spaţiului dintre bară şi pereţii crestăturii. Cum s-a observat anterior, modelul folosit corespunde unei bare care ar umple crestătura, dar ar avea o conductivitate mai mică, pentru a obţine aceeaşi rezistenţă în curent continuu.

Se poate defini impedanţa lineică complexă a barei

( ) ( )Z P Q I h bh h= + =j th .2 γ σ γ (15.7-14)

Notând ξ = αe h, impedanţa se poate pune sub următoarea formă, cunoscută din literatura de specialitate

( )Z

bh= =

+ + −

−ξ

σ

ξ ξ ξ ξ

ξ ξ

sh sin j sh sinch cos

.2 2 2 2

2 2 (15.7-15)

Partea reală a acestei impedanţe este rezistenţa lineică echivalentă a barei, iar partea imaginară - reactanţa lineică a barei. De regulă prima mărime se compară cu rezistenţa de curent continuu

( )R bhcc = 1 σ , (15.7-16)

iar a doua - cu reactanţa barei fără refulare

( )X h bcc c= ωµ 0 3 . (15.7-17)

Se observă că Xcc/Rcc = 2ξ2/3. Cu aceste observaţii impedanţa lineică se poate pune şi sub formele

( ) ( )Z R X= +cc ccϕ ξ ψ ξj , (15.7-18)

unde s-au introdus funcţii de corecţie pentru rezistenţă şi pentru reactanţă

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

ϕ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ψ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

= = + −

= = − −

k

kr

x

sh sin ch cos ,

sh sin ch cos .

2 2 2 2

3 2 2 2 2 2 (15.7-19)

Mărimile kr şi kx sunt factori de corecţie pentru rezistenţa şi reactanţa barei înalte, pentru a ţine seama de influenţa "refulării" curentului în bară.

In fig. 15.7-3 sunt reprezentate funcţiile ϕ(ξ) şi ψ(ξ), împreună cu alte două funcţiuni, corespunzătoare cazului următor.

În crestătură se pot afla mai multe bare parcurse de curent şi atunci barele din straturi superioare se află în câmpul creat de curenţii barelor din straturile inferioare.

b) Efectul Field în bara dreptunghiulară, cu câmp exterior

153

Se consideră configuraţia din fig. 15.7-2a, în care bara din crestătură, de înălţime h, este parcursă de curentul I şi se află în câmpul creat de curentul total Ie (în straturile inferioare).

Fig. 15.7-2. Notaţii pentru studiul efectului Field într-o bară situată în câmp exterior.

Originea coordonatei x se alege la baza barei examinate. Scriind teorema lui Ampère pe conturul Γx din fig. 15.7-2a şi legea inducţiei

electromagnetice pe conturul Γz (fig. 15.7-2b), se stabilesc aceleaşi ecuaţii de ordinul 1 (15.7-5) şi (15.7-6), aceeaşi ecuaţie de ordinul 2 (15.7-7) şi aceeaşi formă a soluţiei (15.7-10), cu diferenţa că deşi domeniul în care este valabilă prima ecuaţie este tot x∈(0, h), valorile limită pentru intensitatea câmpului magnetic sunt modificate

( )( ) ( )

la la

e c

e c

x H I bx h H h I I b= == = +

0 0 22

, ,, .

Cu aceste condiţii la limită constantele de integrare se determină din sistemul

( )B I b A h B h I I b= + = +2 2e c e c, sh ch .γ γ

După unele calcule soluţia devine

( ) ( ) ( )H x b I x h I x h h= + −2 2 2c esh sh ch ch .γ γ γ γ (15.7-20)

Se observă că soluţia se compune din câmpul propriu (primul termen) şi câmpul indus (al doilea termen). Ultimul prezintă simetrie faţă de mijlocul înălţimii barei.

Densitatea curentului în bară se obţine cu (15.7-5) şi este

( ) ( )( )J x b I x h I x h h= + −γ γ γ γ γ2 2 2ch sh sh ch .e (15.7-21)

Distribuţia curentului dată de al doilea termen este simetrică în raport cu mijlocul înălţimii barei.

Vectorul lui Poynting, diferit de zero la ambele nivele extreme, are valorile

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

S I b b I h I h

S h I I b b I h I h

0 2

2

= −

= + +

γ σ γ γ

γ σ γ γ

e c e

e c e

* sh th ,

* th th .

Puterea complexă primită pe unitatea de lungime este

( ) ( )( ) ( ) ( )( )P Q b S h S h bh I h I I I h+ = − = + +j th cos th ,c e e e0 2 22γ σ γ θ γ (15.7-22)

unde cu θe s-a notat defazajul dintre curenţii I şi Ie. Folosind din nou notaţia ξ = αe h şi parametrii Rcc, Xcc (relaţiile 15.7-16, 15.7.17), după

unele calcule se obţine

154

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )P Q I R X I I I R X+ = + + + +j j cos j ,2cc cc e e e cc e cc eϕ ξ ψ ξ θ ϕ ξ ψ ξ (15.7-23)

unde s-au introdus două funcţii de influenţă

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

ϕ ξ ξ ξ ξ ξ ξ

ψ ξ ξ ξ ξ ξ ξe

e

= − +

= + +

2

3

sh sin ch cos ,

sh sin ch cos . (15.7-24)

În figura 15.7-3 s-au reprezentat funcţiile de influenţă definite anterior. Referitor la factorii de pierderi Joule, se observă că ϕ(ξ) pleacă de la valoare 1 şi apoi creşte până cel mult proporţional cu ξ, pe când ϕe(ξ) pleacă de la 0 (la frecvenţă mică nu se induc curenţi), creşte la început cu puterea a 4-a, ca apoi să fie plafonată de creştere proporţională cu ξ.

In privinţa reducerii reactanţei de dispersie în crestătură ambele funcţii ψ(ξ) şi ψe(ξ) pleacă cu tangentă orizontală în origine şi încep să scadă abia peste ξ = 0.8. A doua funcţie pleacă de la valoarea în origine 3, datorită raportării sale la reactanţa Xcc care conţine factorul 1/3.

Fig. 15.7-3. Diagramele funcţiilor de influenţă pentru efectul Field.

La unele discipline de specialitate, din anii superiori, se vor întâlni forme prelucrate ale efectului Field, adaptate aplicaţiilor respective, în care intervin anumite mulţimi de conductoare identice ca formă şi parcurse de curenţi de aceeaşi valoare. In aceste aplicaţii se folosesc, de regulă, expresii de aproximare pentru funcţiile ϕ(ξ) şi ψ(ξ) definite anterior, la valori mici ale argumentului ξ. Aceste expresii se obţin prin dezvoltare în serie Mac Laurin (sau Taylor pentru argument nul).

15.8. CÂMPUL ELECTROMAGNETIC CVAZISTAŢIONAR AMAGNETIC

Câmpul electromagnetic cvazistaţionar amagnetic (sau de tip electric) intervine în sudiul dielectricilor cu pierderi.

Dielectricii reali nu sunt perfect izolanţi şi pot prezenta ceracteristici de polarizare neunivoce. In aceşti dielectrici relaţia între intensitatea câmpului electric

E şi cele două

mărimi de câmp pe care le determină, densitatea curentului de conducţie J şi polarizaţia

temporară Pt , este, în general, neliniară. De asemenea, se poate manifesta un fenomen de

histerezis electric, iar în regim foarte rapid variabil se observă şi un fenomen de vîscozitate electrică (post efect electric), polarizaţia temporară

Pt rămânând în urma intensităţii

câmpului electric. Toate aceste efecte se pot studia în cadrul regimului cvazistaţionar amagnetic.

155

În ipoteza neglijării fenomenului de inducţie electromagnetică, ecuaţiile câmpului electromagnetic devin

rot , rot ,div , div .

E H J DD J= = +

= = −

0 ∂ ∂

ρ ∂ρ ∂

ttv v

(15.8-1)

La acestea se adaugă legea de legătură D E P P= + +ε 0 p t (15.8-2)

şi relaţii constitutive neliniare, de forma

( ) ( ) J J E P P E= =, ,t t (15.8-3)

cu observaţia că ultima relaţie poate prezenta şi histerezis (sau "ereditate" electrică). Se observă că a doua ecuaţie (a lui

H ) poate fi omisă, întrucât câmpul magnetic nu

intervine în celelalte ecuaţii. Câmpul electric fiind irotaţional (prima ecuaţie), derivă dintr- un potenţial

E = − grad .V (15.8-4)

În medii omogene, liniare şi izotrope, de permitivitate ε, potenţialul electric satisface ecuaţia lui Poisson

∆V = −ρ εv . (15.8-5)

Integrala de energie electromagnetică în acest regim devine Sn EDd d d

dd .A J v

tv

D DΣ Σ Σ∫ ∫ ∫= +ρ 2 1

2 (15.8-6)

Condensatorul cu pierder

( ) ( ) ( )P t f t E t t tt m= −∞

∫ ε ' ' d ',0

i. O aplicaţie importantă a acestui regim se referă la studiul condensatorului cu pierderi şi în care se poate manifesta fenomenul de vîscozitate magnetică. În acest regim polarizaţia temporară este dată de relaţia lui Boltzmann

(15.8-7)

în care f(t') este funcţia de întârziere, iar εm - o permitivitate de referinţă. Dacă intensitatea câmpului electric variază sinusoidal

( )E t E t= max sin ,ω (15.8-8)

introducând această expresie în (15.8-7) şi integrând, se obţine următoarea expresie a polarizaţiei

( ) ( )P t E A t B tt m max= −ε ω ωsin cos , (15.8-9)

unde constantele A şi B se calculează cu expresiile

( ) ( )A f t t t B f t t t= =∞ ∞

∫ ∫' cos ' d ', ' sin ' d '.ω ω0 0

Expresia (15.8-9) se mai poate pune sub forma

( ) ( )P t E C tt m max p= −ε ω δsin , (15.8-10)

în care s-a notat

156

( )C A B B A= + =2 2 , arctg .δ p (15.8-11)

Unghiul δp este numit unghi de pierderi prin histerezis şi vîscozitate electrică. Intr-un dielectric cu pierderi dielectrice polarizaţia este defazată în urma intensităţii câmpului electric cu acest unghi.

Curentul unui condensator plan cu pierderi, căruia i se aplică o tensiunea u(t), se poate pune sub forma

( ) ( ) ( )( ) ( )i t A E t D t t Gu t q t= + = +σ d d d d . (15.8-2)

Mai sus cu A s-a notat aria suprafeţei unei armături a condensatorului, cu σ - conductivitatea (în general neliniară) a dielectricului, cu E(t) şi D(t) - valorile instantanee ale intensităţii câmpului electric şi a inducţiei electrice în dielectric, respectiv cu G - conductanţa dielectricului şi cu q - sarcina electrică a unei armături. În modelul condensatorului plan, cu distanţa între armături a, întrucât E(t) = u(t)/a, ultimele două mărimi se exprimă cu relaţiile

G A a q AD= =σ , . (15.8-13)

În general, conductanţa G depinde de valoarea instantanee a tensiunii u(t), iar sarcina q este într-o relaţie neliniară (şi neunivocă) cu tensiunea, datorită caracterului neliniar al polarizaţiei

( ) ( )G G u q q u= =, . (15.8-14)

Puterea instantanee primită de condensator este

( ) ( ) ( ) ( ) ( )p t u t i t Gu t u t q t= = +2 d d .

Primul termen corespunde efectului Joule în dielectric, datorită curentului de conducţie, pe când al doilea termen conţine o parte oscilantă - variaţia unei energii electrice stocate temporar în condensator - şi o parte disipată prin histerezis şi post efect electric. Ultimul termen se pune uşor în evidenţă într-un regim sinusoidal, ţinând seama că D(t) = ε0 E(t) + P(t)

( ) ( )( )( )

u q t aE t A t E t E t

aA E t t t

d d sin d d sin sin

cos sin cos sin sin .

= + − =

= + +

max max m max p

max2

m p m p

ω ε ω ε ω δ

ω ε ε δ ω ω ε δ ω

0

02

Ultimul termen din paranteză are nenulă valoarea medie pe o perioadă şi reprezintă puterea activă disipată în dielectricul condensatorului

12 aA Eω ε δmax

2m psin .

157

16. RADIAŢIA ELECTROMAGNETICĂ

La frecvenţe suficient de înalte, câmpul electromagnetic variabil în timp se prezintă sub formă de unde electromagnetice care se propagă cu viteză finită. Determinarea unui astfel de câmp implică rezolvarea ecuaţiilor lui Maxwell, fără să se mai neglijeze densitatea curentului de deplasare. Prin inducţie electromagnetică, câmpul magnetic variabil în timp produce câmp electric, iar prin efectul curentului de deplasare, câmpul electric variabil în timp produce câmp magnetic. Latura electrică şi latura magnetică a câmpului se condiţionează reciproc, chiar în vid, asigurând existenţa undelor electromagnetice, independent de prezenţa corpurilor în regiunea considerată. Undele electromagnetice se pot desprinde de corpurile (circuitele) care le-au dat naştere, propagându-se la distanţe mari şi transmiţând o parte din energia circuitului, sub o formă specifică câmpului electromagnetic. La frecenţe înalte apare fenomenul de radiaţie, prin care o parte din puterea primită pe la borne de un circuit este transmisă mediului înconjurător sub formă de unde electromagnetice.

În cap. 1 s-a studiat cea mai simplă undă electromagnetică, unda plană, fără vreo preocupare referitoare la modul cum a fost generată o asemenea undă. Aici se vor prezenta problemele radiaţiei undelor de către circuite electrice, pentru cel mai simplu circuit electric radiant, oscilatorul electric elementar al lui Hertz, cu care în 1888 a pus în evidenţă experimental undele electromagnetice prevăzute teoretic de Maxwell în 1865.

16.1. POTENŢIALELE ELECTRODINAMICE RETARDATE

Studiul radiaţiei undelor electromagnetice de către circuite electrice de curent variabil este uşurat dacă se folosesc potenţialele electrodinamice ale câmpului electromagnetic. Aceste potenţiale generalizează pentru mărimile variabile în timp potenţialul vector şi potenţialul scalar, care au fost introduse la studiul câmpurilor statice sau staţionare.

Se reaminteşte că ecuaţiile lui Maxwell sunt

rot , rot ,div , div ,

H J D E BD B= + = −

= =

∂ ∂ ∂ ∂

ρ

t t

v 0 (16.1-1,2)

(16.6-3,4)

la care se adaugă relaţiile constitutive

( ) B H D E J E E= = = +µ ε σ, , .i (16.1-5)

Legea fluxului magnetic este satisfăcută identic dacă se introduce potenţialul electrodinamic vector

A e , prin relaţia

B A= rot .e (16.1-6)

Pentru a stabili în mod univoc un asemenea potenţial, mai trebuie impusă valoarea div

A e , întrucât un câmp de vectori este caracterizat complet numai dacă se dă atât rotorul,

cât şi divergenţa lui. Condiţia care fixează divergenţa potenţialului vector se numeşte condiţie de etalonare a potenţialelor electrodinamice. În regim staţionar s-a folosit condiţia de etalonare div

A = 0 . În regim general variabil se va folosi o altă condiţie de etalonare.

Introducând în legea inducţiei electromagnetice inducţia magnetică exprimată cu ajutorul potenţialului vector, se obţine relaţia

158

( )rot , E A+ =∂ ∂e t 0

care stabileşte caracterul potenţial al vectorului din paranteză. Se poate deci introduce un potenţial electrodinamic scalar Ve, prin relaţia

E A E A+ = − = − −∂ ∂ ∂ ∂e e e e sau t V t Vgrad , grad . (16.1-7)

Relaţiile (16.1-6) şi (16.1-7) sunt exprimări sub altă formă a legii fluxului magnetic şi a legii inducţiei electromagnetice. Ele permit calculul câmpurilor

E şi

B , dacă se cunosc

potenţialele electrodinamice A e şi Ve.

Cu ajutorul celorlalte două ecuaţii ale lui Maxwell se vor stabili ecuaţiile pe care le satisfac aceste mărimi, în medii omogene, liniare şi fără câmpuri imprimate. Ţinând seama de relaţiile constitutive (16.1-5), acestea devin

rot , div B J E E= + =µ εµ ∂ ∂ ρ εt v (16.1-8)

şi presupun cunoscute repartiţiile sarcinii electrice ( )ρvr, t şi a densităţii curentului de

conducţie ( ) J r, t .

Ţinând seama de relaţia vectorială

rot rot grad div , G G G= − ∆

se obţin următoarele forme ale legii circuitului magnetic

( )∆ A A J Ae e e e− = − + +εµ ∂ ∂ µ εµ ∂ ∂2 2t V tgrad div

şi a legii fluxului electric

( )∆V V t t V te e v e e− = − − +εµ ∂ ∂ ρ ε ∂ ∂ εµ ∂ ∂2 2 div .A

Acestea sunt ecuaţiile care trebuie rezolvate pentru a determina potenţialele electrodinamice. Aceste ecuaţii se pot simplifica punând condiţia de etalonare a lui Lorentz

div .A e e+ =εµ ∂ ∂V t 0 (16.1-9)

Această relaţie completează definiţia potenţialului electrodinamic vector şi cele două potenţiale electrodinamice satisfac ecuaţiile

∆

∆

A A Je e

e e v

− = −

− = −

εµ ∂ ∂ µ

εµ ∂ ∂ ρ ε

2 2

2 2

tV V t

,

. (16.1-10’)

(16.1-10”)

Acestea sunt ecuaţiile undelor neomeogene (tridimensionale). În regim staţionar aceste ecuaţii trec în ecuaţiile lui Poisson pentru potenţialele

A şi V

∆ ∆ A J= − = −µ ρ ε, .V v (16.1-11)

Dacă sursele ( )ρvr şi ( )

J r ocupă un domeniu mărginit din spaţiu şi potenţialele scad suficient de repede la infinit, soluţiile au forma "coulombiană"

( ) ( )

A rJ r

=∞∫

µπ4

'd ',

Rv

V (16.1-12’)

159

( ) ( )V

Rv

V

rr

=∞∫

14πε

ρv 'd ', (16.1-12”

unde cu R s-a notat distanţa dintre punctul sursă, reperat prin vectorul r' şi punctul de observaţie, reperat prin vectorul r

R = − r r' .

Se demonstrează că soluţiile ecuaţiilor (16.1-10) se deosebesc de cele ale ecuaţiilor Poisson (16.1-11) numai prin argumentul timp al mărimilor sursă, fiind

( ) ( )

A rJ r

e =−

∞∫

µπ4

' , cd ',

t RR

vV

(16.1-13’)

( ) ( )V

t RR

vVe

v

rr

=−

∞∫

14πε

ρ ' , cd ', (16.1-13”

unde cu c s-a notat viteza de propagare a undelor electromagnetice

c .= 1 εµ (16.1-14)

În expresiile (16.1-13) s-a presupus că potenţialele şi câmpul se anulează suficient de repede la infinit.

Semnificaţia expresiilor (16.1-13) este următoarea: potenţialele electrodinamice în punctul de observaţie P, la un moment dat t, sunt determinate de valorile surselor din puncte P' (fig. 16.1-1), la un moment de timp anterior t', care diferă de t prin timpul de propagare R/c pe distanţa R a unei unde electromagnetice

t t R' c .= − (16.1-15)

Fig. 16.1-1. Notaţii pentru studiul potenţialelor electrodinamice.

Expresiile (16.1-13) ilustrează faptul că acţiunile fizice se transmit cu viteză finită: fiecare corp din punctul P', având sarcină electrică sau curent de conducţie, contribuie la valorile potenţialelor din punctul P cu o retardare (întârziere) egală cu timpul necesar unei unde electromagnetice libere pentru a ajunge din punctul P' în punctul P. De aceea, potenţialele (16.1-13) se numesc potenţiale electrodinamice retardate.

Cele două repartiţii care determină potenţialele electrodinamice nu sunt independente, din cauza legii conservării sarcinii electrice

( ) ( )div , , . J r rt t t+ =∂ρ ∂v 0 (16.1-16)

De aceea se foloseşte numai una dintre integralele (16.1-13), iar celălalt potenţial se deduce din condiţia lui Lorentz.

160

Dacă pentru t ≤ 0 corpul sursă nu avea sarcină electrică şi nu era parcurs de curenţi, rezultă că funcţiunile ρv şi

J se anulează

( ) ( )ρv pentru r J r' , ' , ' , ' ' c .t t t t R= = = − ≤0 0 0

În toată regiunea din spaţiu ale cărei puncte P satisfac în momentul t condiţia R t≥ c , (16.1-17)

(unde R este distanţa de la P la cel mai apropiat punct al corpului D), nu există încă unde electromagnetice. Se numeşte frontul undei suprafaţa Σ0 cu ecuaţia

R t0 = c , (16.1-18)

care este locul geometric al punctelor P pentru care cea mai mică distanţă la corpul D este egală cu distanţa pe care o poate străbate unda în timpul t.

16.2. REZISTENŢA DE RADIAŢIE

Ca urmare a radiaţiei undelor la frecvenţe înalte de către circuite, acestea pierd putere, pe care o transmit undelor radiate. Dacă un circuit pasiv, cu efect de radiaţie, primeşte pe la borne o putere activă Pb, această putere se va regăsi sub forma unei puteri PR disipată prin efect Joule şi o putere radiată Prad: Pb = PR + Prad. Dacă I este curentul circuitului, se numeşte rezistenţă de radiaţie valoarea

R P Irad rad= 2 . (16.2-1)

Fig. 16.2-1. Notaţii pentru definirea rezistenţei de radiaţie a uni circuit electric.

Un exemplu, cu totul particular, ilustrează faptul că radiaţia este o consecinţă a retardării puse în evidenţă în subcapitolul precedent. Fie o spiră filiformă (fig. 16.2-1), alimentată în regim sinusoidal cu tensiunea U şi care are curentul I. Din cauza retardării, inducţia magnetică dintr-un punct al suprafeţei SΓ sprijinite pe conturul Γ al spirei nu mai este în fază, ci rămâne în urmă faţă de curent. Ca urmare fluxul magnetic φ prin acea suprafaţă este defazat în urma curentului I cu un unghi δ care creşte cu frecvenţa (deoarece retardările corespunzătoare diferitelor puncte reprezintă fracţiuni din ce în ce mai mari din perioada T = 1/f). Acum inductivitatea L a spirei trebuie definită numai în funcţie de componenta fluxului în fază cu curentul şi fluxul magnetic se poate reprezenta sub forma

( )φ λ λ λ ω= −LI Ij , . cu = (16.2-2)

S-a notat cu λ un factor de proporţionalitate al componentei fluxului magnetic, defazată cu π/2 în urma curentului.

Ecuaţia circuitului este

161

( )U RI RI LI I

U R I LI

= + = + +

= + +

j j ,

j .

ωφ ω ωλ

ωλ ω (16.2-3)

Puterea activă primită de circuit fiind

( )P R I P Pb R rad= + = +ωλ 2 ,

se recunoaşte cu uşurinţă că

Rrad = ωλ

este rezistenţa de radiaţie apărută ca urmare a întârzierii fluxului faţă de curent.

16.3. RADIAŢIA OSCILATORULUI ELECTRIC ELEMENTAR

16.3-1. POTENŢIALELE ELECTRODINAMICE ALE OSCILATORULUI ELECTRIC ELEMENTAR

Se consideră un dipol electric, având momentul

( ) ( ) ( ) p l ut q t q t lz= = , (16.3-1)

variabil în timp, dar cu direcţie invariabilă. Un astfel de dipol reprezintă un model idealizat pentru oscilatorul lui Hertz, compus din două sfere încărcate cu sarcini q şi -q, reunite printr-un conductor scurt (faţă de lungimea de undă), întrerupt la mijloc pentru legăturile de alimentare de la un generator de înaltă frecvenţă (fig. 16.3-1a şi b).

Dacă momentul dipolului şi deci sarcina sferelor variază, în conductorul de legătură apare un curent electric de conducţie

i q t l p t= =d d d d .1 (16.3-2)

Potenţialul electrodinamic vector într-un punct cu raza vectoare R faţă de dipol

(fig. 16.3-2) se poate calcula cu (16.1-13'). Pentru R >> l, J u∆v l i'= z şi l i = dp/dt = p ,

notând cu punct deasupra derivatele în raport cu timpul f = df/dt, se obţine potenţialul electrodinamic vector sub forma

( ) ( ) A r u ke z ez, c .t p t R R A= − =µ π4 (16.3-3)

Fig. 16.3-1. Oscilatorul electric elementar. Fig. 16.3-2. Câmpul de radiaţie.

Potenţialul are numai o componentă, după axa dipolului, aleasă ca axă Oz (fig. 16.3-2)

( ) ( ) [ ]A t p t R R pez

R , c ,= − =µ π µ π4 4 (16.3-4)

162

unde cu [f] = f(t-R/c) s-a notat valoarea retardată a functiunii de timp f(t). Potenţialul electrodinamic scalar se deduce din (16.3-4) folosind condiţia lui Lorentz

( ) ( ) ( ) [ ]( )∂ ∂ εµ εµ ∂ ∂ πε ∂ ∂V t A z z p Re = − = − = −1 1 1 4div .A e e

Notând cu două puncte derivata a doua în raport cu timpul se obţine

( ) [ ] ( ) [ ] [ ]( )

( ) [ ] [ ]( )

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ϑ

∂ ∂ ∂ ∂ ϑ

∂ ∂ πε ϑ

c c c c cos ,

cos ,

c cos .

p t R t p t R t p R z p

R z R R z R

V t p R p R

− = − = − = −

= − = −

= − −

1 1 1

1 4

2 2

2e

(16.3-5)

Această expresie se poate integra în raport cu timpul cu o constantă de integrare nulă (întrucât un termen aditiv independent de timp ar fi ca un potenţial electrostatic suprapus, neasociat câmpului electromagnetic variabil al dipolului). Se obţine

( ) ( ) [ ] [ ]( )V t p R p Rer, c cos .= +1 4 2πε ϑ (16.3-6)

Se observă că în regim staţionar, când p = 0 , se regăsesc expresiile potenţialelor dipolului în regim strict electrostatic

( )A e e= =0 1 4 2, cos .V p Rπε ϑ

16.3-2. CÂMPUL DE RADIAŢIE AL DIPOLULUI OSCILANT

Cunoscând potenţialele A e şi Ve, se poate calcula câmpul electromagnetic al

oscilatorului electric elementar, folosind relaţiile (16.1-6) şi (16.1-7) E A H A= − − =grad , rot .V te e e∂ ∂ µ1 (16.3-7)

Câmpul are componente care scad repede cu distanţa R (fiind provenite din derivarea în raport cu coordonatele spaţiale a factorilor 1/R şi 1/R2) şi componente care scad mai încet, având ca factor pe 1/R. Se vor calcula numai ultimele componente, care sunt predominante la distanţe foarte mari de dipol. Calculele se fac în coordonate sferice R,θ,ϕ. Din motive de simetrie în raport cu axa Oz - mărimile nu depind de unghiul de azimut ϕ. Atunci gradientul unei funcţiuni scalare φ va avea expresia

grad .φ ∂φ ∂ ∂φ ∂θθ= + u uR R R (16.3-8)

Se va neglija şi derivata în raport cu θ, care introduce multiplicarea cu 1/R (a unor termeni care conţin deja 1/R sau 1/R2) şi atunci

grad ,φ ∂φ ∂≈ u R R (16.3-9)

la derivare toţi factorii 1/R şi 1/R2 fiind consideraţi constanţi Neglijând în expresia potenţialului scalar primul termen, care are ca factor 1/R2 şi ţinând

seama că k u u= −R cos sinθ θθ (16.3-10)

şi ştiind că εµc2 = 1, la distanţe mari de dipol se obţine câmpul electric de radiaţie

163

( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( )

[ ] ( ) ( ) ( ) [ ]

E k

u k

u k u

≈ − − ≈

≈ − − ≈

≈ − − = −

1 4 4

1 4 1 4

4 1 42 2

πε θ µ π

πε θ ∂ ∂ πε

πε θ πε θ θ

grad cos

cos c c

c cos c sin ,

p R p R

R p R p R

p R R pR

R

( ) ( ) E urad = − −1 4 2πε θ θc sin c .R p t R (16.3-11)

În mod asemănător se calculează câmpul magnetic

( ) [ ]( ) ( ) [ ]( )( ) [ ] ( )[ ]

H k k

u k u k

= = × =

= × = − ×

1 4 1 4

1 4 1 4

π π

π ∂ ∂ π

rot grad

c .

p R p R

p R R pR R

Pentru câmpul magnetic de radiaţie se obţine expresia finală

( ) ( ) H urad = −1 4π θ ϕc sin c .R p t R (16.3-12)

Se observă că la distanţă mare de dipol, unda radiată este o undă transversală, cu vectorii câmp perpendiculari unul pe altul şi pe direcţia de propagare radială, de versor u R . Vectorii E H urad rad R, , formează un triedru drept, iar componentele scalare ale celor doi vectori,

( )E r tθ rad , şi ( )H r tϕ rad , sunt în fiecare moment şi în fiecare punct proporţionale, raportul lor fiind egal cu impedanţa de undă a mediului

( ) ( ) [ ]E Hθ ϕ ε µ ζ µ ε π µ εrad r r= = = = =1 120c c .Ω (16.3-13)

Vectorul lui Poynting este radial, fiind dirijat în sensul propagării undei

( )

( ) ( )( )

( )

S E H u r

r

= × =

= = −

R R

rad

S t

S t E HR

p t RR

, ,

,c

sin c .θ ϕ

π ε

θ14 2 3

2

2

(16.3-14)

Se observă că radiaţia energiei este directivă, fiind maximă în planul perpendicular pe dipol şi este nulă în axul dipolului.

16.3-3. REZISTENŢA DE RADIAŢIE A DIPOLULUI ELECTRIC ELEMENTAR

Această mărime se deduce din valoarea puterii radiate. Fie i curentul de alimentare al dipolului în regim sinusoidal cu pulsaţia ω, considerat ca origine de fază

i I t q t l p t p l= = = =2 1sin d d d d .ω (16.3-15)

Însă ω = 2πf = 2πc/λ şi atunci

[ ] [ ] [ ] ( ) d d cos sin .p l i t l I t l I t R= = = − +ω ω ω ω π λ π2 2 2 2

Componentele câmpurilor vor avea forma

( ) ( )( ) ( )

E l I R t R

H l I R t R

θ

ϕ

ω πε θ ω π λ π

ω π θ ω π λ π

rad

rad

= − +

= − +

2 4 2 2

2 4 2 2

2c sin sin ,

c sin sin .

(16.3-16)

(16,3-17)

Densitatea instantanee a fluxului de energie este

164

( ) ( ) ( )( )S t l f I R t RRr, c sin cos= + −2 2 2 3 2 24 1 2 4πε θ ω π λ

şi are valoarea medie pe o perioadă

( )~ c sin .S l f I RR = 2 2 2 3 2 24ε θ (16.3-18)

Integrând această expresie pe suprafaţa sferei de rază R, cu dA = R2 sinθ dθ dϕ se obţine expresia puterii radiate de dipol

( )P l f I R Irad rad= =2 32 2 2 3 2π ε c . (16.3-19)

Rezistenţa de radiaţie a dipolului elementar devine

( )R lrad r r= 80 2 2π λ µ ε , (16.3-20)

cu condiţia ca l << λ, pentru ca dipolul să poată fi considerat elementar.