CURS 420.03.2014

CUPRINS

CAP. 5 MIȘCAREA TURBULENTĂ

5.1. Generalități

5.2. Conceptul de vâscozitate turbulentă. Analogia lui Bahmeteff.

5.3. Ecuațiile mișcării turbulente. Ecuațiile lui Reynolds

5.4. Noţiuni privind teoriile semiempirice asupra turbulenţei

5.5. Relaţia lui Bernoulli în mişcarea turbulentă.

CAP. 5 MIȘCAREA TURBULENTĂ5.1. Generalități

Se poate imagina un model al curgerii prin care mişcarea turbulentă este compusă dintr-un ansamblu de vârtejuri de mărimi, forme şi viteze de rotaţie diferite, antrenate într-o mişcare generală, cum se observă în fumul care iese dintr-un coş sau în dâra unui vapor.Deşi la mişcarea turbulentă se observă variaţia în timp a parametrilor mişcării (viteză, presiune, densitate etc.) aceasta nu este dezordonată complet şi poate fi studiată cu ajutorul statisticii matematice.

Mişcarea turbulentă prezintă următoarele caracteristici:a) caracteristica optică.

b. turbulent a. laminar

b) caracteristica cinematică.

1v′v1

v2 v3

2v′

3v′

M

v p

p

t

T

t T+t

(vx)

xv

p

t

(vx)

O O

a

b. staţionar în medie c. tranzitoriu

zzzyyyxxx vvvvvvvvv ′+=′+=′+= ;;( ) ∫+

==Tt

t

zyx tvT

vvvvv d1

,,rrr

∫+

=′+=Tt

t

tpT

pppp d1

cu,

c) caracteristica energetică.

c. mişcare b. mişcare laminară a. fluid ideal 1 2

g

p

ρ1

l

Q 1 2

linie piezometrică

l

hr,1-2

Q 1 2

l

hr,1-2

Q

linie piezometrică

g

p

ρ2

g

p

ρ2

g

p

ρ1 g

p

ρ2

g

p

ρ1

Dacă fluidul este vâscos energia fluidului este disipată de forţele de vâscozitate.Se constată experimental că pierderea de sarcină este mai mare în cazul mişcăriiturbulente decât în cazul mişcării laminare, datorită schimbului de cantitate demişcare între straturile fluide vecine (amestec turbulent) care provoacă tensiunitangenţiale suplimentare (tensiuni de turbulenţă).

5.2. Conceptul de vâscozitate turbulentă. Analogia lui Bahmeteff.

A

B

m BA vmvmrr

−

Bvr

BA vmvmrr

+−

BA vmvM

mv

rrr−=∆

Avr

Fenomenul este analog în cazul mişcării a două straturi de fluid vecine, dacă în locul sacilor se consideră particulele fluide.

a. laminar b. turbulent

Q Q

5.3. Ecuațiile mișcării turbulente. Ecuațiile lui Reynolds

Utilizând ideea lui O. Reynolds, de a scrie fiecare mărime ca fiind compusă din valoarea medie temporală şi o pulsaţie, se urmăreşte determinare unor ecuaţii care să descrie mişcarea turbulentă a fluidelor.Se consideră în general o mişcare turbulentă, staţionară în medie, în care f(x, y,z, t) şi g(x, y, z, t) reprezintă două mărimi variabile, care caracterizează mişcarea, iar a este o constantă. Deci, într-un punct, la un moment dat se poate scrie

gggfff ′+=′+= şi

( ) ( )∫ ∫+ +

====Tt

t

Tt

t

tgT

tzyxggtfT

tzyxff d1

,,,;d1

,,,

unde

Cu aceasta se poate scrie

∫ ∫+ +

===Tt

t

Tt

t

fatfT

atfa

Tfa

rdd

1∫ ∫+ +

===Tt

t

Tt

t

ftT

ftfT

f d1

d1

( )∫ ∫ ∫+ + +

+=+=+=+Tt

t

Tt

t

Tt

t

gftgT

tfT

tgfT

gf d1

d1

d1

0' =−=−= fffff gftgT

ftgfT

gfTt

t

Tt

t

⋅=⋅=⋅=⋅ ∫∫++

d1

d1

∫∫∫+++

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂=

∂∂

Tt

t

Tt

t

Tt

tx

ft

x

f

Ttf

xTtf

Txx

fd

1d

1d

1

Deşi 0' şi 0' == gf în general 0'' ≠⋅gf

Turbulenţa se numeşte izotropă dacă în domeniul ocupat de fluid nu există o direcţie preferenţială în ceea ce priveşte pulsaţiile vitezei şi anizotropă în caz contrar (în vecinătatea unui perete turbulenţa este anizotropă deoarece peretele face ca pe direcţia perpendiculară peretelui pulsaţiile să fie mult mai mici decât în lungul lui). Turbulenţa este omogenă dacă structura sa nu depinde de poziţia punctului în interiorul fluidului şi neomogenă în caz contrar.

Mărimile mediate nu dau însă o imagine completă asupra structurii interne a mişcării turbulente. Pentru aceasta se mai utilizează trei parametrii fundamentali, care caracterizează intensitatea, corelaţia şi frecvenţa pulsaţiilor în curgerea turbulentă.

Intensitatea turbulen ţei

′+′+′= 222

3

11zyx vvv

vN r

Valoarea acestui parametru variază de la 0,3 % în atmosfera, la (7...8) % sau chiar mai mult la curgerea unui fluid într-o maşina hidraulică. Dacă mişcarea este foarte puternic perturbată (lărgire bruscă, cot, ramificaţie etc.) coeficientul N poate ajunge la valori mari (30...50) %, adică viteza instantanee se poate anula sau îşi schimbă sensul.

În cazul turbulenţei anizotrope se poate defini intensitatea turbulenţei pe fiecare direcţie,

v

vN

v

vN

v

vN z

zy

yx

x rrr

222 ';

';

'===

Coeficientul de corela ţie

2,2

2,1

,2,121

''

''

xx

xx

vv

vvR

⋅

⋅=−

exprimă gradul de legătură între pulsaţiile vitezei. Dacă distanţa ξ tinde către zero ( ) coeficientul de corelaţie tinde către valoarea unu ( ), iar dacă distanţa ξ creşte, acesta scade foarte mult încât la rezultă

.

0→ξ 121 →−R∞→ξ

021 =−R

Cu ajutorul acestui coeficient de corelaţie se defineşte scara turbulenţei, sau lungimea de corelaţie

∫∞

−ξ ξ=0

21 dRL

care reprezintă o lungime medie (aici în lungul axei Oy) a domeniului în care pulsaţiile sunt legate între ele.

Al treilea parametru este spectrul de turbulen ţă, care arată distribuţia energiei cinetice în funcţie de frecvenţa oscilaţiilor.

Ecua ţia continuit ăţii

• exprimă conservarea masei în mişcarea turbulentă

• Relaţiile reprezintă ecuaţia continuităţii în cazul mişcării turbulente.

0=⋅∇ vr

0')'( =⋅∇+⋅∇=+⋅∇ vvvvrrrr

0'=⋅∇ vr

Ecua ţiile de mi şcare

• Se consideră ecuaţiile de mişcare Navier-Stokes scrise pentru fluide incompresibile (ρ = const.) în care derivata totală a vitezei se poate scrie

• Adică

• de unde rezultă

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

t

vzyx ∂

∂+∂∂+

∂∂+

∂∂=

rrrrr

D

D

∂∂+

∂∂

+∂∂−

∂∂+

∂∂

+∂

∂+∂∂=

z

v

y

v

x

vv

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

t

v zyxzyx rrrrrr)()()(

D

D

z

vv

y

vv

x

vv

t

v

t

v zyx

∂∂+

∂∂

+∂

∂+∂∂= )()()(

D

Drrrrr

Cu aceasta ecuaţiile de mişcare Navier - Stokes devin

la care s-a adăugat ecuaţia continuităţii

xxzxyxxx v

x

pf

z

vv

y

vv

x

v

t

v ∆ν+∂∂

ρ−=

∂∂+

∂∂

+∂

∂+∂

∂ 1)()()( 2

yyzyyxyy v

y

pf

z

vv

y

v

x

vv

t

v∆ν+

∂∂

ρ−=

∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂

∂ 1)()()( 2

zzzyzxzz v

z

pf

z

v

y

vv

x

vv

t

v ∆ν+∂∂

ρ−=

∂∂+

∂∂

+∂

∂+

∂∂ 1)()()( 2

0=∂∂+

∂∂

+∂∂

z

v

y

v

x

v zyx

Dacă se ţine seama de caracterul pulsator al mişcării, prin mediere se obţine

Relaţiile se numesc ecuaţiile lui Reynolds, sau ecuaţiile mişcării turbulente a fluidelor incompresibile.

( ) ( )

∂∂

+∂

∂+

∂

∂

−∆ν+∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂z

vv

y

vv

x

vv

x

pf

z

vv

y

vv

x

vv

t

v zxyxx

xxx

zx

yx

xx '''''

12

( ) ( )

∂∂

+∂

∂

+∂

∂−∆ν+

∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂z

vv

y

v

x

vvv

y

pf

z

vv

y

vv

x

vv

t

v zyy

xyyy

yz

yy

yx

y '''''12

( ) ( )

∂

∂

+∂

∂+

∂∂−∆ν+

∂∂

ρ−=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

z

v

y

vv

x

vvv

z

pf

z

vv

y

vv

x

vv

t

v zyzxz

zzz

zz

yz

xz

2'''''1

0=∂∂+

∂∂

+∂∂

z

v

y

v

x

v zyx

În aceste ecuaţii numărul necunoscutelor a crescut cu şasefaţă de ecuaţiile Navier-Stokes, de aceea pentrurezolvarea ecuaţiilor lui Reynolds sunt necesare încăşase relaţii, care să lege necunoscutele suplimentare

de restul necunoscutelor sau de mărimi cunoscute. Aceastaeste problema principală a teoriei turbulenţei, care nu aputut fi rezolvată decât în cazuri particulare, prinadoptarea unor ipoteze şi a unor relaţii semiempirice.Condiţiile la limite pentru mărimile mediate temporal suntaceleaşi ca şi în cazul mişcării laminare, iarcomponentele pulsatorii se anulează lângă pereţii solizi.

zyzxyxzyx vvvvvvvvv '','','',',',' 222

Pentru că nu se cunosc valorile pulsaţiilor vitezei, la studiulturbulenţei se recurge în general la două categorii demetode: metode semiempirice şi metode statistice.

Metodele statistice pornesc de la premise formulate riguros,dar care nu au putut fi aplicate decât în cazuri cu totulparticulare, iar verificarea experimentală presupunemijloace de măsurare foarte sensibile şi foarte precise.

Teoriile semiempirice au permis obţinerea unor relaţii decalcul aplicabile la rezolvarea unor probleme practice.

PSP – 15 January 2010 - P 16

5.4. Noţiuni privind teoriile semiempirice asupra turbulen ţei

Teoria vâscozităţii turbulente (Boussinesq 1877).

• se presupune că tensiunile turbulente sunt similare tensiunilor vâscoase din mişcarea laminară,

• apare noțiunea de vâscozitate turbulentă, ε, cu rol echivalent coeficientului dinamic de vâscozitate, η, din mișcarea laminară,

• diferența între cele două tipuri de vâscozități este că ηcorespunde unei proprietăţi fizice a fluidului, în timp ce ε depinde de condiţiile iniţiale şi la limite, este funcţie de poziţia punctului şi într-o manieră generală, depinde de toţi parametrii problemei.

• În practică se întâlnesc studii, cu aplicaţii industriale, care prezintă câmpul de valori ε(x, y, z) pentru multe cazuri de mişcări turbulente.

PSP – 15 January 2010 - P 17

Teoria lungimii de amestec (L. Prandtl 1925)

• Se admite că grupuri de particule fluide, formând turbioane, se deplasează în fluid, analog moleculelor unui gaz.

• Dezvoltarea teoriei lui Prandtl conduce la o expresie a transferului de cantitate de mişcare în mişcarea turbulentă, unde lungimea de amestec are un rol similar liberului parcurs mediu pentru teoria cinetică a gazelor.

• După teoria lui Prandtl o particulă fluidă din punctul Aavând pulsaţia transversală , străbate distanţa lajungând în punctul B cu o diferenţă de viteza longitudinală , care se scrie

yv′

xv∆

y

vlvvv x

BxAxx d

d,, =−=∆

vx

vx,A

y

A

B vx,B

l

O y

vlv x

x d

d=∆

• Lungimea l se presupune mică în raport cu dimensiunile curentului. Lungimea l a fost numită de Prandtl lungime de amestec şi reprezintă distanţa pe care trebuie să o parcurgă o particulă fluidă, cu vechea viteză, până ce diferenţa dintre acea viteză şi cea a punctului unde a ajuns, să fie egală cu viteza de agitaţie din mişcarea turbulentă, adică

• În continuare Prandtl consideră că lungimea de amestec leste proporţională cu distanţa y de la perete

• în care k este o constantă numită de Prandtl prima constantă universală a turbulenţei.

y

vlv x

x d

d1=′

ykl =

• În general proprietăţile deduse prin studii experimentale pot fi foarte utile în inginerie. Mişcarea turbulentă, staţionară în medie, din vecinătatea unui perete se poate descompune în două părţi.

- O zonă în imediată vecinătate a peretelui, unde mişcarea fluidului este caracterizată printr-un gradient mare al vitezei şi în care proprietăţile mişcării depind de proprietăţile fizice ale fluidului şi de condiţiile la limită de la perete. Mişcarea aici este independentă de condiţiile la limită exterioare. Această zonă se numeşte zona controlată de perete.

- O altă zonă cuprinzând majoritatea mişcării (restul de 90 %) unde parametrii mişcării depind de proprietăţile fluidului şi de condiţiile la limite externe. Mişcarea aici este independentă de condiţiile la limită de la perete. Millikan în 1938 a arătat că existenţa celor două zone implică la racordarea lor o repartiţie a vitezei de forma v = A log y + B.PSP – 15 January 2010 - P 20

5.5. Relaţia lui Bernoulli în mi şcarea turbulent ă.

Pentru a se obţine o relaţie similară relaţiei lui Bernoulli se va proceda ca în cazul mişcării laminare, considerând proiecţia ecuaţiei de mişcare pe tangenta la linia medie de curent din punctul considerat

în care este versorul tangentei la linia de curent, şi sunt forţele masice unitare datorate vâscozităţii, respectiv turbulenţei, iar şi sunt proiecţiile acestora de-a lungul tangentei.

s

pfff

v

st

v tv

∂∂

ρ−++=

∂∂+

∂∂

τττ1

2

2

τr vf

rtfr

vfτtfτ

Pentru un tub de curent mediu (adică format din linii de curent medii) se consideră două secţiuni drepte S1 şi S2, situate în zone în care liniile de curent sunt drepte şi se procedează ca în cazul fluidelor ideale. Se obţine astfel relaţia lui Bernoulli în cazul mişcării turbulente semipermanente în medie

în care

reprezintă lucrul mecanic specific (pe unitatea de masă) disipat de forţele de vâscozitate şi turbulenţă, iar este pierderea de sarcină hidraulică între cele două secţiuni.

21

2

1

22

222

11

211 d

22 −+∂∂β++

ρ+α=+

ρ+α

∫ Lst

vzg

pVzg

pV

( ) 21,

2

1

21 d −ττ− =+−= ∫ rtv hgsffL

21, −rh

Şi aici, ca şi în cazul fluidelor ideale sau a celor vâscoase în mişcare laminară, se poate da o interpretare energetică, respectiv o interpretare grafică relaţiei.De obicei supralinierile se omit. Relaţia este valabilă şi în cazul mişcărilor laminare, caz în care , iar supralinierile nu au sens. În general se determină experimental, dar uneori se pot deduce formule semiempirice.De asemenea relaţia lui Bernoulli poate fi scrisă în cazul unei mişcări turbulente staţionară în medie

0=tfr

21−L

2122

222

11

211

22 −++ρ

+α=+ρ

+αLzg

pVzg

pV