Curso Algebra Avanzada II

5/27/2018 Curso Algebra Avanzada II

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Nociones Introductorias de Algebra Avanzada II

Dr. Cristin MallolDepartamento de Ingeniera Matemtica, Universidad de La Frontera

Leyes de Composicin y EstructurasLas ideas y expresiones algebraicas surgen a travs de los tiempos como

una necesidad de conceptualizar y formalizar estructuralmente operacionescuyas propiedades y comportamiento tienen una cierta similitud.

Ms all de las escrituras y notaciones utilizadas, el ser humano ha estadoconfrontado a problemas de clculo y las operaciones basicas entre nmeros(suma, resta, multiplicacin y divisin) aparecen temprano en la historia,

aunque no algoritmicamente pues la representacin decimal surge tarde, conla aparicin del cero por el siglo XI.

Poco a poco, impulsada por el aumento en nmero y complejidad de losintercambios comerciales y fundamentalmente por el desarrollo de la fsica yde la astronoma, va tomando forma, paulatinamente, la escritura formal (usode letras y smbolos) para expresar distintos tipos de operaciones, resolucinde ecuaciones, comportamiento de objetos geomtricos (simetras), etc.

Basicamente, para comenzar, necesitamos precisar lo siguiente: dadosa yb;dos objetos o elementos de un mismo tipo, cmo producir un tercero, sinambiguedad, a partir de ellos? (por ejemplo el 5, con el 2 y el 3 a partir de

la suma).En lo que viene formalizamos esta idea; tenemos:

Denicin 1 SeaEun conjunto no vaco: llamamosley de composicininterna a toda funcin : EE ! E: As mismo, dado otro conjuntono vaco F; llamamos ley de composicin externadeF sobreE a toda

funcin : F E!E:

En vez de ley de composicin, tambin podemos hablar de operacin(interna o externa) entre elementos. Por razones de escritura eciente, elelemento (a; b);que resulta de la composicin de a con b; lo denotaremos

en general por ab o a+ b; pudindose utilizar tambin, si fuera necesario,expresiones tales como: a ~ b; a 4 b;etc..

En caso alguno debe pensarse que estamos trabajando exclusivamentecon nmeros, situacin que corresponde, como se ver, a un importante peropequeo caso particular.

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Denicin 2 Llamamosestructura algebraicaa un conjunto E provisto

de una o ms operaciones; en tal caso, expresamos eso por (E; +), (E; ) o(E; +; ) etc., segn el caso.

Adems, se dice que una estructura(E; ):

es conmutativa, siab=ba para todo a; b2 E;

es asociativa, sia(bc) = (ab)c para todo a; b; c2 E;

admiteneutro, si existee 2 E tal queae= ea =a; 8a2 E;

admite absorbente, si existez2 E tal queaz= za= z; 8a2 E;

Asi las cosas, el conjunto de los enteros naturales con la suma usual, quedenotamos por(N; +);es una estructura conmutativa, asociativa y con neutro(el 0); por otro lado,(N; );es tambin una estructura conmutativa, asociativay con neutro (el 1), pero adems con absorbente (el 0). Otro ejemplo, menosusual pero muy importante, es el siguiente: dado un conjunto Aconsideremosla estructura(F(A); )dondeF(A) =ff; f :A ! Agy la operacin esla composicin de funciones; esta estructura es asociativa, no es conmutativay tiene neutro (la funcin identidad,I dA).

Proposicin 3 Si una estructura admite un elemento neutro (o un absorbente)

este es nico.

Demostracin.En efecto, si e y " son neutros de (E; ) se tiene ae =

ea= a ya"= "a = a; para todo a2 E; en particular, " e neutro

= "e " neutro

= e.La unicidad del absorbente se trata de la misma forma.

En general, en una escritura multiplicativa, si la estructura(E; )admiteneutro, este ser denotado por 1E; si adems tiene absorbente utilizaremosla notacin0E:

Consideremos ahora a Z; el conjunto de los enteros, con la suma. La es-tructura(Z; +);es conmutativa, asociativa y con neutro (el0), pero adems,

dadox 2 Zexistey 2 Ztal que x +y= 0:Esto nos lleva a:

Denicin 4 Sea(E; ) una estructura con neutro 1E: Decimos quea2Eadmite uninverso si existeb2 E tal queab=ba = 1E:

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Dada la denicin, el neutro siempre es inverso de si mismo. Por otro lado,

en una estructura con neutro pueden haber elementos con inverso y otrosque no lo admiten: por ejemplo en (F(A); ) las funciones biyectivas tieneninversas pero sabemos que no toda funcin de AenAes biyectiva. En cuantoa notacin, cuando un elemento a tiene un nico inverso, denotamos esteporasi la escritura utilizada es la aditiva, y pora1 cuando la escritura esmultiplicativa (la composicin de funciones es una escritura multiplicativa).

Si(E; ) es una estructura y A Ees un subconjunto no vaco, la exi-gencia mnima para queA sea una estructura con la operacin de Ey puedaser considerada una sub-estructura de E;cuestin que se denota porA < E;es que necesariamente se tenga xy 2 A para todo x; y 2 A; sin embargo

en muchas situaciones esto no es suciente: si tomamos los enteros mdulo20, Z20 = f0; 1; : : : ; 19g, en donde operamos simblicamente con la multipli-cacin de Z; pero utilizndo la regla de clculo 20 = 0; podemos constatarqueA= f0; 5; 10; 15g es estable para el producto y que el 5 hace de neutro;esto nos dice que si bien (A; )es una estructura asociativa con neutro, no esuna sub-estructura de(E; )cuyo neutro no es el 5 sino el 1.

De la misma manera, si (F; ) es otra estructura y f : E ! F una apli-cacin, la mnima exigencia de compatibilidad de f con las estructuras en

juego es que se tengaf(xy) =f(x)f(y)para todox; y2 E;obviamente queen muchos casos esto no es suciente y haya que agregar, por ejemplo, quef(1E) = 1F: Pasemos ahora al estudio de ciertas estructuras; tenemos:

Denicin 5 Llamamosmonoide a una estructura(M; )asociativa y conneutro; si la operacin es conmutativa, hablamos de un monoide conmutativo.Adems, siA Mdecimos que(A; )es unsubmonoidede(M; );cuestinque denotamos porA < M; si 1M 2 A y para todo x; y 2 A; xy 2 A: Porltimo, si(N; ) es otro monoide decimos quef :M !Nes unmorsmo(de monoides) sif(1M) = 1N yf(ab) =f(a)f(b) para todo a; b2 M:

A un morsmo de monoides f : M ! N le asociamos los conjuntosKer(f) = fm2 M; f(m) = 1Ng y Im(f) = ff(m); m2 Mg ; llamados

respectivamente el nucleo y la imagen de f: No es difcil establecer queKer(f)es un submonoide deMy queI m(f)es un submonoide de N:

Como sabemos,(N; +); (N; )y(F(A); )son monoides; notemos que si elconjuntoA es nito, tambin lo es F(A);el lector puede calcular el cardinalde F(A)cuandoAtienenelementos. Por otro lado, siaes un entero positivo

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la funcin N ! Ndenida porn 7!an es un morsmo del monoide (N; +)al

monoide(N; ): comprubelo:Respecto de todo esto tenemos:Proposicin 6 En un monoide(M; ) si un elemento a admite un inversoeste es nico. Adems, sif :M!Nes un morsmo de monoides, f(a) esinvertible yf(a)1 =f(a1).

Demostracin.Seaa2 My supongamos que b y son inversos de a;se tiene entonces ab = ba = 1E ya=a= 1E; utilizando la asociatividad,

b 1E = b (a) asociatividad

= (ba) = 1E = : En cuanto a la segundaarmacin, ella se inere de

1N=f(1M) a invertible

= f(aa1) =f(a1a) f morfismo

= f(a)f(a1) =f(a1)f(a):

y de la unicidad de un inverso en un monoide.

Proposicin 7 Sea (E; ) una estructura asociativa con neutro 1E: Si a; btienen inversos entonces: (a1)

1=a y(ab)1 =b1a1 lo que en escritura

aditiva entrega: (a) =a y(a+b) =b+ a )

Demostracin.Se desprende de la unicidad del inverso. Hgalo.

Sobre los GruposEntre las estructuras determinadas por una sla operacin, la de grupo

es sin lugar a dudas la ms importante; esta aparece en varias ramas de laMatemtica, como tambin en la Fsica y en ciencias anes. Sirve ademsde sustento a deniciones de estructuras ms complejas, que veremos msadelante.

En lo que sigue desarrollamos las deniciones, nomenclaturas y propiedadesbsicas de esta estructura, que sern utilizadas permanentemente a lo largode este libro.

Denicin 8 Llamamosgrupoa un monoide(G; )en el cual todo elementoadmite un inverso; si la operacin es conmutativa, hablaremos de un grupo

abeliano. Adems, siH G decimos que(H; ) es un subgrupo, cuestinque denotamos porH < G; si es un submonoide de(G; ) y si adems paratodox 2 Hse tienex1 2H: Finalmente, si(L; )es otro grupo decimos quef : G! L es unmorsmo (de grupos) sif(1G) = 1L; f(a

1) =f(a)1 yf(ab) =f(a)f(b) para todo a; b2 G:

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Hacemos notar que parag 2 G;dada la existencia deg1;las aplicaciones

G ! G denidas por lg(x) = gx y rg(x) = xg son biyectivas pero en casoalguno morsmos. El resultado siguiente simplica los test denitorios:

Proposicin 9 Sean G; L grupos, H G y f : G ! L una aplicacin.Entonces:

Hes un subgrupo deG si y slo siHes no vaco y si para todo a; b2 Hse tieneab1 2H:

fes un morsmo de grupos si y slo sif(ab1) =f(a)f(b)1 para todoa; b2 G:

Demostracin.Es claro que en ambos casos basta demostrar los recpro-cos. Como H 6= ; sea a 2 H : por un lado, 1G = aa

1 2 H; por el otroa1 = 1Ga

1 2 H; nalmente, si b es otro elemento de H; puesto que yasabemos que en tal caso b1 2 H; se tiene a(b1)1 = ab 2 H: La segundaequivalencia se deja al lector.

Unisomorsmoentre estructurasEyF(entre monoides o entre grupos,etc.) es un morsmo biyectivo f :E! F: Usted puede demostrar que f1;la inversa de f; es tambin un morsmo. As las cosas, las estructuras Ey F son algebraicamente indistinguibles, es decir, todo lo que sucedacon la estructura deE(propiedades, elementos singulares, etc.) suceder sindiferencia alguna con F; esto signica que conociendo cabalmente a una seconoce absolutamente a la otra, y por tanto ellas se pueden identicar.

En el caso que entre EyFexista un monomorsmo, es decir un mor-smo inyectivo : E ,! F; esto signica que E ser isomorfa con una sub-estructura de F; a saber (E) < F; puesto que pensado de E en (E)es obviamente sobreyectivo. Cuando trabajamos con grupos, la inyectividadde un morsmo es equivalente a que se tenga Ker() = f1Eg; usted puededemostrar esto como ejercicio.

El teorema que viene es importante y generaliza la construccin del grupo

(Z

; +)a partir del monoide (N

; +):

Teorema 10 Dado un monoide conmutativo (M; +) con cancelacin existesiempre el menor grupo abelianoGr(M)que contiene al monoide en cuestin.

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Menor en el sentido siguiente: M < G r(M) y no existe subgrupo de

Gr(M)que contenga a M; usted puede demostrar que esto es equivalente adecir que todo grupo que contiene a Mcontiene tambin aGr(M):

Demostracin. Sea (M; +) un monoide conmutativo con cancelacin.De lo que se trata es de construir los opuestos de los elementos de M;ahorabien, por ejemplo en Z tenemos 15 11 = 23 19 o 14 18 = 2 6 loque se expresa en N por 15 + 19 = 11 + 23 y 14 + 6 = 18 + 2; es decir,estamos trabajando con pares ordenados de enteros naturales que vericansumas equivalentes (hechas de cierta manera).

Esto nos inspira para denir sobre M M la relacin:

(x; y) v (z; t), x+t=y +z:

Mostremos que esta relacin es de equivalencia: en efecto, la reexividady la simetra son inmediatas (aqu se utiliza la conmutatividad de M); encuanto a la transitividad, si (x; y) v (z; t) y (z; t) v (k; l) quiere decir quetenemosx + t=y + zy z + l= t + k;sumando estas identidades y reordenn-dolas (gracias a la conmutatividad) se llega a(x+l)+(z+t) = (y+k)+(z+t);utilizando la cancelacin, obtenemos x+l = y+ k; es decir (x; y) v (k; l)como queramos demostrar.

SeaGr(M) =M M= v;el conjunto cociente ( es decir, el conjunto delas clases de equivalencia). Utilizando la operacin del monoideM;se postula

la siguiente ley de composicin para Gr(M):

(a; b) + (c; d) = (a+c; b+d)

Obviamente que tenemos que cerciorarnos de que esta operacin est biendenida (es decir que no depende de los representantes de las clases en juego).

Si(a; b) = (a0; b0)y (c; d) = (c0; d0)debemos establecer que se tiene

(a+c; b+d) = (a0 +c0; b0 +d0)

es decir quea+c+b0 +d0 =b+d+a0 +c0. Ahora bien, como por hiptesis

(a; b) v (a0

; b0

) y (c; d) v (c0

; d0

); lo que signica que a+ b0

= a0

+b yc+d0 =c0 +d; basta sumar estas igualdades para obtener lo pedido.

No es difcil chequear que(Gr(M) ; +)es un grupo conmutativo: en efec-to, es claro que (0M; 0M) es el neutro y trivialmente se verica que la con-mutatividad y la asociatividad se heredan de la estructura de M: Por otro

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lado, para cualquier a 2 M se tiene (a; a) = (0M; 0M); esto nos dice que

(a; b) + (b; a) = (a+b; a+b) = (0M; 0M);es decir que(b; a) = (a; b)lo queprueba que (Gr(M) ; +)es un grupo abeliano.

Finalmente, la funcin: M!Gr(M); (a) = (a; 0M)es trivialmente unmonomorsmo de monoides; como entoncesMes isomorfo a(M)y por tantoson dos estructuras algebraicamente indistinguibles, podemos considerar a Mcomo un submonoide deGr(M)):En tal caso, conviene aligerar la escritura,identicando a con (a) = (a; 0M); as las cosas, naturalmente denotamos(0M; a) =ay por tanto, (a; b) =a b:

El lector puede hacer una pequea reexin que lo lleve a establecer queGr(M)es el menor grupo abeliano que contiene a M:

Veamos ahora una propiedad que en general se repite en las estructurasalgebraicas:

Proposicin 11 SiG es un grupo y(Hi)i2Ies cualquier familia de subgru-pos deG;entoncesH=

T

i2I

Hi es un subgrupo deG:

Demostracin.Para esto utilicemos el test enunciado en la Proposicin9: primero, para todo i 2 I; 1G 2 Hi pues cada uno es un subgrupo de Gy por tanto 1G 2 H; adems, si x; y 2 H entonces x; y estn en cada Hi

y por tanto, pues se trata de subgrupos, xy

1

2 Hi para todo i 2 I y as,xy1 2T

Hi; lo que establece que Hes un subgrupo deG:

As las cosas, las propiedades algebraicas son generalmente estables porinterseccin de estructuras que las poseen. En ese sentido, es claro que sidistintos subgrupos contienen a un cierto subconjunto S la interseccin deellos tambin lo contendr, obtenindose as un subgrupo menor que contienea S: Esto nos lleva a:

Denicin 12 SeanG un grupo ySun subconjunto deG. Llamamos sub-grupo engendrado porSal menor subgrupo deG que contiene aS y que

denotamos porhSi :

Proposicin 13 Se tiene: hSi es la interseccin de todos los subgrupos deG que contienenS; es decir, hSi=

T

SH


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Demostracin.Inmediata.

De acuerdo a la denicin, es claro que h;i = f1Gg y que el subgrupoengendrado porfggcon g 2 G; que denotamos simplicadamente porhgi es

gk; k2 Z

acordando queg0 = 1G:

Mas generalmente, usted puede vericar que

hg1; g2; : : : ; gmi=

gk1i1 gk2i2

gknin; kj 2 Z; n2 N; ij = 1; 2; : : : ; m

Denicin 14 Un grupo G se llama mongeno si es engendrado por unslo elemento, es decir, si existe g 2 G tal que G = hgi : Si adems G es

nito, se dice queG es cclico.

El generador de un grupo mongeno o cclico no tiene porqu ser nico; aspor ejemplo, el grupo aditivo(Z; +)es engendrado por1y 1;analogamnete,usted podr comprobar que el grupo aditivo (Z20; +);de los enteros mdulo20 (Z20 = f0; 1; : : : ; 19g ), es cclico, generado obviamente por el 1, perotambin por el 3 o el 7, etc.. Lo que viene requiere del resultado siguiente:

Teorema 15 (Teorema de la Divisin Euclidiana para enteros) Sead 2 N:Entonces para todo n 2 Zexistenq2 Zyr 2 N, nicos, tales quen = qd + rcon la condicin0 r < d .

Demostracin.Basta demostrar el enunciado paran 0 (porqu?). Sise tuviera n = qd+r =q0d+r0 conq q0; entonces (q q0)d= r 0 r < d;lo que es posible slo si (q q0)d= r 0 r= 0; luego, q= q0 yr = r 0; lo quemuestra la unicidad. En cuanto a la existencia, la propiedad es trivial para losenteros menores o iguales a d; seaA el conjunto de los enteros mayores qued que no verican el enunciado. Demostremos que A es vaco: en efecto, encaso contrario, seamel elemento mnimo deA;luego existen existenq; r2 N,tales que m 1 = qd+r con 0 r < d (porqu?). Como r+ 1 d; seinere quem =qd+ (r+ 1) o m = (q+ 1)d: Contradiccin.

Proposicin 16 Todo subgrupo de un grupo mongeno es mongeno.

Demostracin.SeaG= hgi tal grupo y H < G: Sea ahora p el menorentero positivo tal quegp 2Hy mostremos queH=hgpi ;es decir que todoelemento de Hes potencia de gp: en efecto, como H < G = hgi todos suselementos son de la forma gn conn 2 Z; efectuando la divisin euclidiana

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de n por p obtenemos n = pq+ r con 0 r < p: As las cosas tenemos

gn

= gpq+r

= (gp

)q

gr

de donde gr

= gn

((gp

)q

)1

es un elemento de H(puesto que es un subgrupo) por lo que, so pena de contradecir la opcin dep; obligadamenter = 0; o sea,g n = (gp)q como se quera establecer.

Obviamente que todo subgrupo de un grupo cclico es cclico.

Corolario 17 Los nicos subgrupos de(Z; +) son los conjuntosnZ; n2 N:

Demostracin.Esto sale de la Proposicin anterior pues es inmediatoque en(Z; +)si n 2 Nse tienehni=hni= nZ:

Veamos ahora lo siguiente, que nos llevar a conocer mejor a los grupos

nitos y, ms adelante, a la construccin de grupos que satisfagan ciertaspropiedades: siG es un grupo y H < Ges un subgrupo cualquiera, podemosdenir una relacin sobre G; que llamamos modH(mduloH), de la mane-ra siguiente: si g; k 2 G decimos que g est en relacin modH con k, quedenotamos por g =k modH; sig1k 2H: Esta relacin es de equivalencia;en efecto: es reexiva puesg1g= 1G2 H;simtrica ya que sig = k modH;entonces g1k 2 H y, como H es un subgrupo, k1g = (g1k)1 2 H;luego k = g modH: Finalmente, si g = k modH y k = l modH; se tieneg1k; k1l2 Hde donde(g1k) (k1l) =g1l2 Ho sea,g = l modH:

Denotamos el conjunto cociente porG=H:Como son las clases de equiva-

lencia?

Sabemos que la clase degest dada por el conjunto fx2 G; x=g modHg;ahora bien, si g = x modH tenemos g1x 2 H es decir, existe h 2 H talque g1x = h y nalmente x = gh: Concluimos por tanto que las clase deequivalencia de g est dada por el conjunto fgh; h2 Hg que denotamosnaturalmente porgH:

Obviamente que podemos invertir la escritura en la denicin de la relacinobteniendo una nueva equivalencia, la relacin Hmod; en tal caso diriamosque g = k Hmod si kg1 2 H; en tal situacin el cociente lo denotamosporHnG y la clases evidentemente son los conjuntos H g:ComogH=lg(H)y Hg = rg(H) y lg; rg son biyecciones, los conjuntos H;gH y Hg tienen elmismo cardinal (como ejercicio demuestre quecard(G=H) =card(HnG)).

Respecto de todo lo anterior, tenemos:

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Teorema 18 (Lagrange) Sean G un grupo nito y H un subgrupo de G:

Entonces jHj divide a jGj ; ms precisamente, jGj = jG=Hj jHj (donde jXjdenota el nmero de elementos deX).

Demostracin. Como G es nito es claro que G=H tambin lo es.Supongamos que jG=Hj = n y sean g1H; g2H ; : : : ; gnH los elementos (lasclases) de G=H: Sabemos que los conjuntos gkH; 1 k n; constituyenuna particin deG es decirG =

S

1k1

gkH;reunin disjunta de conjuntos no

vacos.As las cosas se inere que jGj =

P

1kn

jgkHj =P

1kn

jHj = n jHj ; es

decir que se tiene jGj=jG=Hj jHj ;que es lo que queramos demostrar.

Llamamosorden de un grupoGa su cardinal y lo denotamos poro(G);en ese sentido, hablamos de orden de un elementog 2 G; que denotamospor o(g); al orden de hgi : Estas apelaciones son sobretodo utilizadas en elmbito de lo nito. Tenemos:

Proposicin 19 Si hgi es nito, entonces o(g) es el menor entero n quevericagn = 1G: Ms aun, sig

m = 1G entonceso(g)j m:

Demostracin. Sig= 1Gno hay nada que demostrar, por lo que conside-ramos ag distinto del elemento neutro. Es claro que al ser hgi nito existen

potencias de g iguales a1G: en efecto, al tomar las potencias sucesivas de gtienen que haber repeticiones, es decir, en cierto momento tendremosgi =gj

con i < j; esto signica que gji = 1G; con j i > 1 pues sabemos queg 6= 1G: Luego si n es el menor entero positivo tal que g

n = 1G se tienehgi = fg; g2; : : : ; gn1; gn = 1Gg ; de donde se inere que o(g) = n: Para laltima aseveracin, realizando la divisin euclidiana de m por o(g) se tienem= o(g)q+r con0 r < o(g);el resultado se inere por el mismo tipo deraciocinio utilizado en la Proposicin 16, concluyendo quer = 0:

Corolario 20 SeaG un grupo nito. Entonceso(G)es un entero primo si y

solamente siG no posee ms subgrupos que los triviales. En tales condicionesG es cclico.

Demostracin.Queda para el lector.

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Ejercicios

1. SeaEuna estructura algebraica. Demuestre que:

a) SiEadmite un neutro (ea= ae =a; 8a2 E)este es nico.

b) SiEadmite un absorbente(za= az = z; 8a2 E)este es nico.

c) Caracterize el conjunto E si el neutro es igual al absorbente (quetambien se llama anulador ).

d) SiEes asociativa y admite neutro, entonces cada elemento tiene alo mas un inverso.

2. Sean (E; ) una estructura asociativa, e2 Eun elemento idempotente

y Me el conjunto denido por Me = eEe: Demuestre que Me es unmonoide y es el mayor submonoide de Ecuyo neutro es el elementoe:

3. Sea F una estructura asociativa nita. Demuestre que Ftiene un ele-mento idempotente (es decir, existe x tal que x2 =x):

4. Sea(A;;)una estructura en la cual la operacin tiene cancelacin(o sea,ax=ay) x =y) y la ley se distribuye con respecto a ;es decir, para todoa; b; c2 A : (ab)c= (a c)(b c) :Demuestreque si tiene neutro entonces tiene absorbente. DetermineAcuandoadems tiene cancelacin.

5. Sea s : N ! Ndenida por s(n) =n+ 1:Determine el conjunto Fs delas funciones f : N ! N que conmutan con s y demuestre que es unmonoide conmutativo equipotente a N.

6. SeaEuna estructura asociativa que verica las propiedades siguientes:existe e tal que para todo a2 E se tiene ea=a (neutro izquierdo) ypara todo a 2 Eexiste b tal que ba = e (inverso izquierdo).DemuestrequeEes un grupo.

7. Sea Funa estructura asociativa nita que verica las cancelaciones ala izquierda y a la derecha, (xy =xz =)y =z ; yx = zx=)y =z):Muestre que Fes un grupo. D un ejemplo en el cual, teniendo laspropiedades de cancelacin, no tengamos un grupo.

8. Construir cuatro subgrupos no triviales de (R; ).

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9. En un grupo demuestre las siguientes identidades de escritura:

(ab)1 =b1a1;(a1)1 =a y(a1ba)n =a1bna:Adems, si el grupoes abeliano,(ab)n =anbn:

10. Encontrar todos los grupos con dos, tres, cuatro elementos.

11. En Z se dene la operacin de la manera siguiente:ab=a+b+1:

a) Demuestre que(Z; )es un grupo abeliano.

b) Determinea bsegn las operaciones de(Z; +)y a + bsegn lasoperaciones de(Z; ).

12. Si (G; ) y (H; ?) son grupos, demuestre que G H con la operacion(g; h)(g0; h0) = (g g0; h ? h0)es un grupo (llamado producto directo).

13. Demuestre que siG0 < Gy H0 < HentoncesG0 H0 < G H: Todosubgrupo deG Hes producto de un subgrupo de G con uno deH?.

14. Se consideraE= R Rcon el producto:(x; y) (z; t) = (xz;xt+y):Muestre que (E; )es un grupo no conmutativo. De tres subgrupos notriviales deE.

15. Demuestre que si la reunion de dos subgrupos (de un grupoG) es un

subgrupo, entonces uno de los subgrupos en cuestin contiene al otro.16. Muestre que un grupo es conmutativo si y slo si para todoa; bse tiene

una de las condiciones siguientes: (a)(ab)1 =a1b1 (b)(ab)2 =a2b2

(c)(ab)n =anbn;para tres enteros consecutivos.

17. Muestre que si en un grupoG se tiene a2 = 1G para todo a, entonceses conmutativo.

18. Sean 1 un entero dado yEuna estructura asociativa que verica laidentidad siguiente:yxy= xn para todox; y2 E: Demuestre que:

a) Sin = 1,Ees un grupo conmutativo.b) Etiene un idempotente (a2 =a)que se precisar.

c) SiEes un grupo no trivial,n es impar.

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d) SiEtiene cancelacin (izquierda o derecha) entonces es un grupo

conmutativo.

19. Muestre que si un grupoGtiene un nmero par de elementos, entoncesexiste por lo menos un elemento a 6= 1G que verica a = a

1:

20. SeanG un grupo nito yHun subconjunto no vacio tal que H HH:Demuestre queHes un subgrupo deG:

21. SeaG un grupo ya 2 G: Demuestre que siG tiene ms de dos elemen-tos,G fag no es un subgrupo. Adems, si para todo x; y 2 G fagse tienexy = yx entoncesG es abeliano.

22. Sea G un grupo y S; T G: Demuestre que hS\ Ti hSi \ hTi ;de un ejemplo en donde hS\ Ti 6= hSi \ hTi : Establezca hS[ Ti =hhSi [ hTii. Compare los subgrupos de G2 : hSi hTi y hS Ti :

23. Sean G un grupo, H < G y A G. DeterminehG r Hi : Que puededecir deA si G r Aes un subgrupo de G?:

24. SeaG = fa1;:::;angun grupo abeliano. Si g = a1 a2 ::: an, demuestrequeg2 = 1G y, si n es impar, que g = 1G: Establezca adems que: (a)Si existe un nicox 6= 1G; tal que x

2 = 1G; entonces x = g; (b) Siexiste mas de un elemento x 2 G; x 6= 1G; tal que x

2 = 1G entonces

g= 1G:

25. Sean G un grupo y g; h 2 G tales que: gh = hg; o(g); o(h) < 1 yhgi \ hhi=f1Gg:Demuestre que o(gh) =mcm(o(g); o(h)):

26. SeanH; K < G. EntoncesHL < G si y solamente si H L= LH:

27. Sean H y L dos subgrupos de un grupo G; demuestre que si se tieneh1Lh L para todoh 2 H; entoncesH L es un subgrupo deG:

28. SeanG un grupo yHun subgrupo. Demuestre que:

a) Dadosg; l2 G, entoncesH g= H l o Hg \ Hl= ;:b) Para todog; l2 G se tienecard(gH) =card(Hl) =card(H):

c) card(G=H) =card(HnG):

d) gH=Hg para todog 2 G , G=H=HnG

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Ejercicios Resueltos

Estructuras Algebraicas, Grupos

1. Sea F una estructura asociativa nita. Demuestre que Ftiene un ele-mento idempotente (es decir, existe x tal que x2 =x):

Solucin. Seay 2F; como Fes nito, obligadamente la sucesin depotencias dey tiene repeticiones, por lo que existen enteros 0 < m < ntalesy m =yn:

Hay tres situaciones:2m=n; 2m < n; y 2m > n:

Para el primer caso, x =ym es un idempotente;

Para el segundo, se tiene:x =ynm

=yn2m

ym

=yn2m

yn

=y2n2m

=(ynm)2:

En cuanto a la ltima situacin, notemos que yn =ynmym =y2nm =y2n2mym = y3n2m = :::: = ykn(k1)m: Como p = kn (k 1)mpuede ser tan grande como lo necesitemos, basta tomar p 2m pararesituarnos en las dos primeras condiciones.

2. SeaEuna estructura asociativa que verica las propiedades siguientes:existe e tal que para todo a2 E se tiene ea=a (neutro izquierdo) ypara todoa 2 Eexisteb tal queba =e (inverso izquierdo). DemuestrequeEes un grupo.

Solucin.Hay que establecer que el neutro y los inversos a la izquier-da lo son tambin a la derecha. Demostremos primero que si ba = eentonces ab = e: en efecto, si c es el inverso izquierdo de b se tieneab = e(ab) = (cb)(ab) = c((ba)b) = c(eb) = cb = e: Apoyndonos enesto, tenemos:ae = a(ba) = (ab)a= ea= a:

3. Sea Funa estructura asociativa nita que verica las cancelaciones ala izquierda y a la derecha, (xy =xz =)y =z ; yx = zx=)y =z):Muestre que Fes un grupo. De un ejemplo en el cual, teniendo laspropiedades de cancelacin, no tengamos un grupo.

Solucin.Por el primer ejercicio sabemos que tal estructura tiene unidempotente e y es inmediato que e es un neutro a la izquierda; porotro lado, la funcinrx: F !F; rx(z) =zx;es biyectiva (porqu?), loque nos lleva a establecer que x tiene inverso izquierdo. Por el ejercicioanterior, Fes un grupo.

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4. Encontrar todos los grupos con dos, tres, cuatro elementos.

Solucin.Sabemos que la tabla de composicin de un grupo no admiterepeticiones ni en sus las ni en sus columnas (porqu?). Teniendoclaro esto, si fe;a;b;cg es un grupo con neutro e; las nicas tablasposibles son:

e a b ce e a b ca a b c eb b c e ac c e a b

y

? e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

(demustrelo).

Estos grupos corresponden respectivamente a (Z4 ; +)y a (Z22; +).

5. Muestre que un grupo es conmutativo si y slo si para todoa; bse tieneuna de las condiciones siguientes:

(a) (ab)1 = a1b1. (b) (ab)2 = a2b2. (c) (ab)n = anbn; para tresenteros consecutivos.

Solucin.Hagamos el tercero. Se tiene:

(ab)n =anbn; (ab)n+1 =an+1bn+1 y (ab)n+2 =an+2bn+2

De(ab)n =anbn y (ab)n+2 =an+2bn+2 obtenemos:bnaba= a2bn+1 (*):Ahora bien, como de (ab)n =anbn y (ab)n+1 =an+1bn+1 se desprendequebna= abn, aplicando esto a (*) tenemos: bnaba= a2bn+1 =bna2b:Sale de inmediato que ba =ab:

6. Si G es un grupo nito tal que x2 = 1G para todo x2 G; entonces esisomorfo a Zn2 para cierto n 2 N:

Solucin.Por el ejercicio precedente, G es conmutativo.

SiG tuviese ms de dos elementos, entonces tendra al menos cuatro:en efecto, en tales condiciones es claro que G tiene un subgrupo de

dos elementos, D =f1G; x1g; por lo que si x2 2 G; es immediato quex3 = x1x26= 1G; x1; x2:

Supongamos ahora queG tiene un subgrupo propio H; isomorfo a Zk2;entoncesG contiene un subgrupo isomorfo a Zk+12 : en efecto, sea en-tonces xm+1 2 G H; como xixm+1 = y , xm+1 = xiy; se tiene

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xm+i = xixm+1 6= 1G; x1; x2;::; xm; xm+1; para todo 1 i m,

obtenindose as2k

nuevos elementos autoinversos.ComoG es nito, hemos establecido recursivamente que G es isomorfoa Zn2 para cierton 2 N:

7. Sean 1 un entero dado yEuna estructura asociativa que verica lasiguiente identidad :yxy= xn para todo x; y2 E:Demuestre que:

a) Sin = 1,Ees un grupo conmutativo.

b) Etiene un idempotente (a2 =a)que se precisar.

c) SiEes un grupo no trivial,n es impar.

d) SiEtiene cancelacin (izquierda o derecha) entonces es un grupoconmutativo.

Solucin. Si n = 1; la relacin que dene la estructura de E quedayxy = x;es claro que tenemosx3 =xpara todox2 E:Por otro lado, dex(yxy) = (xyx)y resulta que x2 =y2 para todox; y2 E;esto signicaquef(z) =z2 es una funcin constante. Pongamosf(z) =e 2 E;comox=x2x= xx2;se establece que e es el neutro y que x1 =x para todox2 E:En tales condiciones,Ees un grupo conmutativo.

En cuanto a (b), es claro que para todo x 2 E; x3 = xn, luego larelacin se reescribe como:yxy= x3:De manera anloga a lo realizadoen el primer punto, concluimos quef(z) =z4 es una funcin constante.

Pongamos f(z) = ; puesto que 2 E; se tiene 4 = y una rpidavericacin muestra quea = 3 es un idempotente.

Para responder a la pregunta (c) supongamos que Ees un grupo; sin fuera par, entonces dado cualquier x 2 E; tendramos xn+1 = xn

(porqu?) de donde se concluye que x = 1E.

Pasando a la pregunta (d), como para todo x 2 Ese tienex2xx2 =x3;con la cancelacin deducimos que x3 =x: As la relacin que dene laestructura toma la forma deyxy= x para todo x; y2 E:

8. Muestre que si un grupoGtiene un nmero par de elementos, entoncesexiste por lo menos un elemento a 6= 1G que verica a = a

1:

Solucin. Supongamos que para todo a 6= 1G se tenga a 6= a1: En-

toncesG =f1G;a ;a1; b ; b1;:::gy, a fortiori,jGj es impar.

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9. SeanG un grupo nito y Hun subconjunto no vacio tal que H2 H:

Demuestre queHes un subgrupo deG:Solucin. La hiptesis nos dice que H es una estructura nita, aso-ciativa y con cancelacin derecha e izquierda (porqu?).

10. SeaG = fa1;:::;angun grupo abeliano. Si g = a1 a2 ::: an, demuestrequeg2 = 1G y, si n es impar, que g = 1G:Establezca adems que:

a) Si existe un nicox 6= 1G;tal que x2 = 1G;entoncesx =g:

b) Si existe mas de un elemento x 2 G; x 6= 1G; tal que x2 = 1G

entoncesg = 1G:

Solucin.Notemos que g es el producto de todos losx2 G tales quex = x1 (o, lo que es lo mismo, x2 = 1G); ahora bien, el conjuntoD formado por esos elementos es trivialmente no vaco y forma unsubgrupo (demustrelo) que por aadidura contiene a g (porqu?).

Este prembulo permite responder a todas las armaciones del ejercicio.

11. Sean G un grupo y g; h 2 G tales que gh = hg; o(g); o(h) < 1 yhgi \ hhi=f1Gg:Demuestre que o(gh) =mcm(o(g); o(h)):

Solucin.Seano(g) =p; o(h) =q; o(gh) =r ymcm(p; q) =m:

Es claro que(gh)m = 1G (porqu), luego r j m (porqu).

Por otro lado, tenemos quegrhr = 1G (porqu); con esto, la condicinhgi \ hhi= f1Ggobliga a quepj r y qj r;de donde se inere que m j r:Luegom = r:

12. Demuestre que si la reunion de dos subgrupos (de un grupoG) es unsubgrupo, entonces uno de los subgrupos en cuestin contiene al otro.

Solucin. Sean H; K < G tales que H[ K = L < G: Supongamosque ningn subgrupo contiene al otro; sean h2 H K y k 2K H:Como L = H[ K; se tiene que hk 2 H o hk 2 K; esto implica que

k2 H oh 2 K; lo que es imposible.

13. SeanH; K < G. EntoncesHK < G si y solamente si H K=KH:

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Solucin. Recordemos que XY =fxy; x2X; y 2Yg; por lo que la

igualdadH K=KHno es trmino a trmino: esto signica que dadosh2 Hyk 2 K; existenh0 2Hyk 0 2Ktales quehk = k 0h0:

Si HKes un subgrupo de G; entonces para todo h 2 H y k 2 K setiene kh = (h1k1)1 2 HK; por tanto KH HK; anlogamente,HK KH: Recprocamente, si L = HK = KH se tiene: (hk)1 =k1h1 2 L y hkh1k1 = hh0k0l1 2 L; lo que demuestra que L es unsubgrupo deG:

14. SeaGun grupo; recordamos que Z(G) =fx2 G = gx=xg 8g2 Gg:Si S el subconjunto mas grande de G tal que xy = yx para todox; y2 S; demuestre que:

a) Ses un subgrupo de G y contiene a Z(G):

b) Sicard(G S)< card(S)entoncesS=G (o sea,G es abeliano).

Solucin.Lo primero es trivial. En cuanto a la segunda, supongamosqueG 6=S: Si g 2 G SentoncesgS G S(porqu?). Como lg esbiyectiva,card(S)< card(G S); lo que contradice la hiptesis.

Morsmos

15. SeanG,Hdos grupos yf :G! Huna funcin. Demuestre que si para

todo x; y2 G se tienef(xy) =f(x)f(y)entoncesfes un morsmo.

Solucin.Def(x2) =f(x)2 se inere que f(1G) = 1H:

16. Establezca todos los morsmos entre:(Z; +)y (Z; +); (Z; +)y (Z5; +);(Z3; +)y(Z6; +); (Z3; +)y(Z5; +); (Z8; +)y(Z4; +); (Z4; +)y(Z8; +):

Solucin.Como en todos estos casosf(m) =mf(1);se trata de denirf(1)de manera de no producir contradicciones (por ejemplo, no puederesultar que f(0) 6= 0); denotamos fn: fn(1) = n: Sin dicultad seestablece que End(Z) = ffn ; n 2 Zg; grupo que es trivialmente iso-morfo a (Z; +): Fcil es establecer que Hom(Z;Z

n) = ff

n ; n 2 Ng:

Sin embargo, usted puede constatar que Hom(Z3;Z5) = ff0g; comotambin que H om(Z3;Z6) =ffn ;n = 0; 2; 4g:

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17. Establezca los automorsmos de los grupos siguientes:

(Z; +);(Z4; +);(Z5; +);(Z6; +);(Z22; +);(Z2 Z4; +):

Solucin. De lo que se trata aqu es de determinar en cada caso losconjuntos generadores de estos grupos mongenos y enviar el 1 sobreun generador (porqu?).

As las cosas, Aut(Z) = ffn ; n = 1; 1g; Aut(Z4) = ffn ; n = 1; 3g;Aut(Z6) =ffn ;n = 1; 5g:Puede usted generalizar, es decir, determi-nar el grupo de automorsmos de Zm?

18. Sabemos que los conjuntos Z y Z Z son equipotentes (es decir, que

existe una biyeccin entre ellos). Cree usted que los grupos aditivosZy Z Z son isomorfos? Argumente su respuesta.

Solucin. Los grupos (Z; +) y (Z Z; +) no son isomorfos, pues elprimero es mongeno y en cambio el segundo es engendrado por doselementos (por ejemplo: (1; 0)y (0; 1)entre otros).

19. Si p y qson primos entre si, demuestre que los grupos aditivos Zpq yZpZq son isomorfos.

Solucin.Sabemos que dado un grupoGyg; h2 Gtales quegh = hg;o(g); o(h)< 1 yhgi \ hhi= f1Gg; entonces o(gh) =mcm(o(g); o(h)):

Aplicando esto a (1; 1) = (1; 0) + (0; 1) y teniendo en cuenta de lahiptesis se concluye que o((1; 1)) =pq; luego ZpZq es cclico.

20. Sea G un grupo. Para todo x2 G se dene la aplicacin ix :G ! Gde la manera siguiente:ix(g) =x

1gx:

a) Demuestre que para todox 2 G, ix2 Aut(G)(estas aplicacionesse llaman automorsmos interiores de G; usted puede demostrarque un subgrupo es normal si y solo si es invariante para todoautomorsmo interior).

b) SeaInt(G) =fix: x 2 Gg:Demuestre queInt(G)es un subgruponormal deAut(G):

c) Demuestre que los grupos Int(G) y G=Z(G) son isomorfos. Elisomorsmo que debe establecerse entre estos grupos es cannico,es decir, el mas natural.

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Solucin. De x1ghx = x1gxx1hx sale la multiplicatividad de ix;

lo que establece (a). En cuanto a (b), es inmediato que i1G = IdG yque ix ix = ixy; adems, si f 2 Aut(G); se tiene f ix f1 = if(x)

y por tantoI nt(G)es un subgrupo normal de Aut(G): Para terminar,la aplicacin' : I nt(G)! G=Z(G); '(ix) =xZ(G)es por construcinun morsmo sobreyectivo de grupos; la inyectividad de ' sale de losiguiente: si ix 2 Ker(') entonces x 2 Z(G) por lo que para todog2 G se tienegx=xg;es decir ix= I dG:

21. SeaG un grupo nito.

Demuestre queAut(G) =fIdGg si y slo si jGj= 1; 2:

Solucin.Bajo tal hiptesis,G es conmutativo pues en caso contrariosi existiesen x; y 2 G tales que xy 6= yx; el automorsmo interiorasociado ax; denido porix(g) =xgx

1;sera distinto de I d:

Como G es conmutativo, la funcin f(x) = x1 es un automorsmo;luego, dada la hiptesis,f=I d;y por tantox2 = 1G para todox 2 G.

En tal situacin, sabemos que G es isomorfo a Zn2 para cierton 2 N:

Ahora bien, necesariamente n 1 : en efecto, en caso contrario laaplicacin G ! G; denida por (x1; x2; : : ;xn) ! (x2; x1; : : ;xn); nosbrinda un automorsmo distinto de la identidad.

22. SeaG un grupo tal que Z(G) =f1Gg:Demuestre que entonces se tiene Z(Aut(G)) = fIdGg:

Solucin. La aplicacin : (G; ) ! (Int(G); ); (x) = ix es unmorsmo sobreyectivo (por construccin) de grupos y K er() =Z(G):Bajo la hiptesis propuesta, tal aplicacin es biyectiva (*).

Seaf2Z(Aut(G) :entonces, para todox 2 G se tiene :f ix= ix f:

Luego, si g 2 G; entonces f(x)f(g)f(x)1 = xf(g)x1; esto signicaque los automorsmos interiores if(x) y ix coinciden sobre f(g) paratodo g 2 G.

Comofes biyectiva,if(x) = ix; de donde, por (*), f(x) =x:

23. SeaGun grupo nito yf2Aut(G);una involucin con un nico puntojo (es decir,f2 =I d y jF ix(f)j= 1).

Demuestre quef(x) =x1 y deduzca que G es abeliano.

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Solucin.No es difcil establecer quef(x1f(x)) = (x1f(x))1;luego,

si demostramos que(x) =x1

f(x)es biyectiva, el ejercicio queda re-suelto (porqu?):

Ahora bien, como G es nito basta demostrar que tal funcin es in-yectiva: si se tiene (x) =(y)se inere sin dicultad quexy1 es unpunto jo def : Luego, necesariamente,xy1 = 1G:

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Curso Algebra Avanzada II