CURSO CERO PARA ALUMNOS DE ETSIT-URJCpheras/curso-0-16-17/Marques_NumerosComplejosCursoCero.pdfCurso Cero ETSIT - URJC 4 Introducción A partir de i, podemos escribir números del

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CURSO CERO PARA ALUMNOS

DE ETSIT-URJC

MÓDULO COMPLEJOS CLASE 1: NÚMEROS COMPLEJOS

Escuela Técnica Superior de Ingeniería de Telecomunicación

Universidad Rey Juan Carlos

Antonio G. Marqués

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1

Índice

1. Introducción: el número i

2. Conjuntos de números

3. Representaciones de números complejos

4. Propiedades básicas de los números complejos

5. Operaciones básicas (aritmética) con números complejos

6. Historia sobre números complejos

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Introducción

¿Por qué estudiamos los números complejos? Nos van a resultar

muy útiles

Para entender/analizar problemas

Para resolver esos problemas

Se utilizan en masivamente en Ingeniería y en Física

Aunque al principio cueste acostumbrarse, al final facilitan (y mucho) la vida

En teleco son útiles:

Análisis de circuitos y de campos electromagnéticos (fasores)

Análisis de señales, diseño de filtros (Fourier, Transformada Z)

Análisis y diseño de sistemas de comunicaciones

Representación de señales de imagen y vídeo

Procesamiento de esas señales

En aeronáutica son útiles:

Electromagnetismo, señales

Transformadas y control

1. INTRODUCCIÓN

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Introducción

¿Por qué surgen? Solución de ecuaciones con polinomios

Cuál es la raíz cuadrada de -1 Preguntado de otra forma ¿qué número, al

elevarlo al cuadrado nos da -1? No hay ningún número real que cumpla esto

Solución: definimos un nuevo número (y como veremos

un nuevo conjunto de números)

Por tanto, podemos escribir que:

1. INTRODUCCIÓN

11012 xx 39092 xx

4,2,10)82)(1(0810 223 xxxxxxxxx

?1012 xx

1i

ixx 1012

ixx 3919·19092

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Introducción

A partir de i, podemos escribir números del tipo: , donde a y b

son reales

A los números definidos de tal forma se les llama números complejos

Como veremos hay varias formas de representar un número complejo, la que

tenemos arriba es una de ellas y se llama forma (o representación) rectangular

En ingeniería, en vez de utilizar el símbolo i para representar , utilizaremos el

símbolo j (para no confundirse con el símbolo de la intensidad de corriente eléctrica).

Potencias naturales de j:

1. INTRODUCCIÓN

ibaz

Nota: z se utiliza habitualmente para denotar un nº complejo cualquiera (genérico)

1

1)1)·(1(·

·1·

11111

224

123

12/222/122

1

jjj

jjjjj

j

jj)4,mod(nn jj

Si el exponente n es mayor que 4

12102

327

jj

jjjEjemplos:

Si el exponente está entre 1 y 4:

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Conjuntos de números

¿Qué conjuntos de números conocemos?

Contar: los naturales 1, 2, 3 … (positivos) N

Restar/negativo: los enteros …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … (negativos, positivos y el cero) Z

Dividir: los racionales p/q con p y q enteros y Q

Potencias, raíces, trigonometría: los irracionales I

Infinitas cifras decimales no periódicas:

Los reales: los racionales más los irracionales R

Raíces de números negativos: los imaginarios puros con b real

Los complejos: con a y b reales C

2. CONJUNTOS DE NÚMEROS

0q

...,51,,,2 32 e

ibaz

ib

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Conjuntos de números

Importante:

Los reales son la unión de los racionales y los irracionales

Los complejos no son la unión de los reales más los imaginarios puros, son

muchos más (producto cartesiano de reales e imaginarios puros)

2. CONJUNTOS DE NÚMEROS

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Representación de números complejos

Imaginemos que queremos representar todos los números reales

Podemos hacerlo en una recta Matemáticamente: existe un isomorfismo entre una recta el conjunto R (recta 1D)

¿Y si queremos representar un número complejo?

Idea básica: z=a+jb a y b son reales e independientes Plano (2D)

Eje x (abcisas) Parte real (a=Re{z}) Eje y (ordenadas) Parte imaginaria (b=Im{z})

3. REPRESENTACIÓN

Diagrama de

Argand (1806)Matemáticamente: existe un

isomorfismo entre el plano en 2D y el conjunto C

-π -2 -0.5 0 3/2 e

j

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Ejemplos:

z1=-2+j, z2=-3j, z3=1-2j, z4=-e-3/2j

Conjunto de todos los números complejos

con parte real Re{z}=2

Conjunto de todos los números complejos

z tales que 1<Re{z}<3 y -4<Im{z}<-1

3. REPRESENTACIÓN

Re{z}

Im{z}

Re{z}

Im{z}

Re{z}

Im{z}

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Hasta ahora hemos representado un número complejo como:

z=a+jb Representación en forma rectangular o binómica

Hay otra representación que nos permite identificar ese mismo número

Representación en forma polar/exponencial

El módulo y fase de z también se denotan como:

3. REPRESENTACIÓN

Notación 1:

Notación 2:

En ingeniería preferimos la

notación 2 (exponencial)!!

Módulo de z

Fase de z

z

z

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Relación entre forma rectangular y polar

Es muy importante saber pasar de una representación a otra

Rectangular: parte real y parte imaginaria

Polar: módulo y fase

Elegiremos entre una y otra en función de lo que nos convenga

3. REPRESENTACIÓN

zz ,

bzaz }Im{,}Re{

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Forma rectangular y polar: ejemplos 1

Pasar de rectangular a polar:

Pasar de polar a rectangular:

3. REPRESENTACIÓN

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Forma polar en el plano de Argand

Dibujar en el plano de Argand:

Los números:

Números complejos con fase 60º y

cualquier módulo

Números complejos con módulo 1 y

cualquier fase

Números complejos con módulo

entre 1 y 2 y fase entre 60 º y 90º

3. REPRESENTACIÓN

jjj

jj

ezezez

ezez

·5,·5,

,2,·3

542

3

62

41 Re{z}

Im{z}

Re{z}

Im{z}

Re{z}

Im{z}

Re{z}

Im{z}

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Circunferencia unidad

Es todavía más importante que sepamos identificar y pasar de una

representación a otra los números complejos de módulo uno

Si tienen módulo unidad, en forma polar se pueden escribir como

Mientras que en forma rectangular tienen la forma:

Gráficamente:

3. REPRESENTACIÓN

Fórmula de

Euler

jjj eee ·1· 1

)sin()cos()·sin(1·)·cos(1·1 jjee jj

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Propiedades básicas

Conjugado y opuesto de un número complejo:

Sea:

Conjugado de z:

Opuesto de z:

No existe relación de orden entre números complejos

Los reales sí están ordenados: -2<-0.5, e> 1.5

Los complejos no lo están No tiene sentido decir que -3+j > 1 - 3j

4. PROPIEDADES BÁSICAS

jejbaz ·

jejbazz ·*

)(· jejbaz

Gráficamente:

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Dos números complejos son iguales si:

Tanto su parte real como su parte imaginaria son iguales

Si su módulo es igual y su fases son iguales

Si su módulo es igual y la diferencia de sus fases es múltiplo de 360º (2π radianes)

Parte real e imaginaria a través del conjugado


2121 y zzzz

nzzzz ·2y 2121

}Im{}Im{e}Re{}Re{ 2121 zzzz

21, zz

n es un número entero

2}Im{

2}Re{

*

1

* zzz

zzz

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Módulo y fase a través del conjugado

¿Nos atrevemos a demostrar las dos últimas propiedades?

Otra propiedad (no tan básica): Teorema Fundamental del Álgebra

“Cualquier ecuación polinómica tiene solución compleja”

Si el polinomio es de orden N, tiene N soluciones (algunas pueden ser múltiples)

Válido tanto para coeficientes cn reales como complejos


*2* ·· zzzzzz zje

z

z

0012

21

1 cxcxcxcxc N

NN

N

Argand /

Gauss /

Cauchy

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Aritmética (operaciones) con complejos

Sumas/restas, multiplicaciones/divisiones, potencias/raíces

Idea básica:

Para calcular sumas y restas es más fácil si utilizamos la representación

rectangular

Para calcular multiplicaciones, divisiones, potencias y raíces es más fácil si

utilizamos la representación polar

5. OPERACIONES BÁSICAS

zjezz ·

}Im{}Re{ zjzz

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Sumas con complejos

Analíticamente (con fórmulas):

Gráficamente:


Real Axis

Imaginary Axis

1z

2z

2z

sumz

2

1

2222

1111

j

j

ejbaz

ejbaz

)()( 2121

2211

21

bbjaa

jbajba

zzzsum

Parte real = suma partes

reales

Parte imaginaria= suma

partes imaginarias

¡Ortogonales!

Sumar en forma polar es muy

difícil a no ser que:

Los dos tengan la misma fase

Se mantiene la fase y se

suman los módulos

Tengan fase opuesta Se

restan los módulos y nos

quedamos con la fase del que

tenga un mayor módulo

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Restas con complejos


Gráficamente:


Real Axis

Imaginary Axis

1z

2z

2

z

diffz

2

z

2

1

2222

1111

j

j

ejbaz

ejbaz

)()( 2121

2211

21

bbjaa

jbajba

zzzdiff

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Sumas y restas: ejemplos 1


jzjz 34,2 21

jjjjzzz 26314234221

jzjz 2/1,54 21

jjzzz 42/7152/1421

5,53/2 21 zjz

jjjzzz 53

2530553/2553/221

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Sumas y restas: ejemplos 2


jzez j 31,2 23/

1

jjjjzzz 732,4331131)3/sin(2)3/cos(221

jzjz 1,44 21

jjjzzz 3314421

6/2

6/1 2,2 jj ezez

4/34/4/321 23224 jjj eeezzz En forma

polar…

60·)6/·cos(22

)6/sin(2)6/sin(2)6/cos(2)6/cos(2

)6/sin(2)6/cos(2)6/sin(2)6/cos(221

j

j

jjzzz

-π/4 + π = 3π/4

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Multiplicaciones con complejos


En forma polar (más fácil):

En forma rectangular:

Si uno de los números es un número real:


2

1

2222

1111

j

j

ejbaz

ejbaz

212121

21212121 ··

jjjjj

prod eeeeezzz

Módulo = Producto de módulos

Fase = Suma de fases

Agrupamos los términos con j y los que

no las tienen y recordamos que j2=-1 221121 ·· jbajbazzzprod

2121212121212121 ········ abbajbbaajbjbajbjbaaa

22222 ···· bajaajbaazazprod

0

0,··

)(2

222

2

2

2

asiea

asieaeazaz

j

jj

prod

¡¡Importante!!: Un

número real negativo

tiene fase π

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Multiplicaciones con complejos

Gráficamente es un poco más difícil de interpretar

Módulo = producto de módulos

Fase = suma de fases


z1z2

zprod

ρprod= ρ1·ρ2

θ1

ρ2 θ2ρ1

θprod=θ1+θ2Real Axis

Imaginary Axis

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Divisiones con complejos


En forma polar (mucho más fácil):

En forma rectangular (evitar a toda costa):

Una división importante es: 1/z


21

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

j

j

j

j

j

div ee

e

e

e

z

zz

2222

21212121

2222

2211

22

11

2

1

bbaa

baabjbbaa

jbajba

jbajba

jyx

jyx

z

zzdiv

2222

2121

2222

2121

bbaa

baabj

bbaa

bbaa

jj

j

j

eee

e

zz ·

111 100

1 La fase cambia de signo!!

Al multiplicar por el conjugado del

denominador el nuevo denominador

será un número real positivo

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Multiplicaciones y divisiones: ejemplos 1

Multiplicar tanto en forma rectangular como polar:


jzjz 1,5 21

jzjz 34,2 21

jjjjzzz 211463834·2· 21

180,0498,2678,221 555·5· jjj eeezzz

jjjjzzz 6415151·5· 21

983,0300,54/3944,221 1321322·26· jjjj eeeezzz

5,21 21 zjz

jzzz 525· 21

034,2107,121 55·5· jjj eeezzz

jzjz 21 ,3

jzzz 31· 21

3

2

6

8

26

5

21 221·2·

jjjj

eeeezzz

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7654321 ·..·. zzzzzzzz

jzjzjz

jzjzjzjz

)2/1(3,27,1

,34,5,34,2

765

4321

Al final parece que multiplicar en forma rectangular no es tan difícil…

…¿Seguro?

Calculemos el siguiente producto de números complejos

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En forma

rectangular:

En forma

polar:077,0

463,0

540,0

2

1

5

34

14

925

2

35 jj

j

ee

e

j

j

z

zz

DIVIDIR: jzjz 235 21

¿Hemos obtenido lo mismo

por los dos caminos?

Comprobadlo

5

13

j

22

2

12

3 6 510

j j j

5

1

5

13 j

2

35

j

j

j

2

35 j

2

2•

j

j

14

)-1(3 10

j

2

1

z

zz

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jj

jj

j

j

1·

16/

3/

66

j

j

ej

e

22

3

22

6

22

64/

4/4/

j

jj

e

e

j

e

jeeeje jjjj 21221222·622·6 2/4/4/4/

588,04/4/

4/944,2

4/ 9

26

2·6·3

22·26

1·6·3

22·5 jjjj

jj

je

eee

ee

je

jj

j314,0472,0

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Potencias con complejos

Nos vamos a centrar en potencias (y raíces) con exponentes enteros

Analíticamente:

Forma polar:

En forma rectangular sería muy pesado (no hacerlo así nunca)

Unas potencias muy importantes serán las de los números complejos

con módulo unidad


jbajbajbajbajbazNN ··

jNNNjNNjN eeez ···

¡¡Elevamos el módulo y

multiplicamos la fase!!

jezz 1

jNjNNN eez ·1El módulo sigue siendo unitario

y la fase se multiplica

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Raíces con complejos

Analíticamente: siempre en forma polar

Intuitivamente

No obstante hay que tener cuidado porque esa es sólo una de las raíces

De hecho, ya sabíamos que para los reales las raíces cuadradas tenían 2 soluciones

Para los complejos, la raíz N-ésima tiene N soluciones

La respuesta correcta es

Clave:

Ejemplo: utilizar la fórmula recuadrada para calcular


)/(/1/1/1 ··· NjNNjN jNN eeezz

1,,1,0,· )/2/(/1/1 Nnezz NnNjNNN

)6()4()2( ···· jjjj eeeez

2 4

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Calcule donde z vale

Calcule donde z vale

31

Potencias y raíces: ejemplos 1


0.92733 4 5 ii e z

6

0.9273 6 5.5638

( )

(5 ) 15,625i ie e

6z z

15,625 cos5.5638 sin5.5638

11,753 10,296

i

i

6z

66 zz

55 zz je j

3·

2

1 30/z

1

·22

12·

2

13·

2

1

5)5/(

5)6/30/(

56/30/

530/

5

jj

jjjj

ee

eeejez

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Calcule todas las raíces cuartas -1, es decir calcule todos los

valores de s que satisfagan: 4 1s

41 0.7071 0.7071

i

s e i

3

42 0.7071 0.7071

i

s e i

5

43 0.7071 0.7071

i

s e i

7

44 0.7071 0.7071

i

s e i

44 1 ies

3,2,1,0,2/4/4/2 nees nini

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Calcule todas los números complejos que satisfagan: js 24246

4/4/6 8642424 jj eejs

5,,1,0,·8·8 3/24/6/16/24/6/1 nees njnj

jes

jes

jes

j

j

j

31,154,0·2

12,186,0·2

18,040,1·2

24/153

24/72

24/1

jes

jes

jes

j

j

j

31,154,0·2

12,186,0·2

18,040,1·2

24/396

24/315

24/234

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Un poco de historia sobre números complejos

Inicios:

Mencionados indirectamente por Herón de Alejandría (s. I), en la búsqueda de

cuerpos geométricos con determinados volúmenes (volumen ecuaciones de

tercer grado)

Girolamo Cardano (s. XVI) los introduce para resolver ecuaciones de grado 3

Rafael Bombelli (s. XVI) define el símbolo i e, implícitamente, la operación de

conjugación

Matemáticos importantes que mostraron interés por los complejos:

Descartes (s. XVI y XVII): inventa el término “número imaginario”

Gauss (s. XVIII y XIX): prueba (varias veces) el Teorema Fundamental del Álgebra

(unas veces bien y otras mal).

No obstante hay tres personas muy importantes en el desarrollo de

los números complejos: DeMoivre, Euler y Argand

6. HISTORIA

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Abraham De Moivre (1667-1754)

Estableció vínculos entre los números

complejos y la Trigonometría

Su ecuación más famosa es:

¿Nos atrevemos a probarla? Quizás

sea más fácil tras la transparencia

siguiente

6. HISTORIA

njnj n sincos)sin(cos

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Leonhard Euler (1707-1783)

Fue quien introdujo la fórmula:

Esta fórmula fue muy importante para el desarrollo

del análisis de variable compleja (funciones,

transformaciones, límites con complejos)

Partiendo de ella:

6. HISTORIA

sincos je j

01 je

njne

ej

jn

njn

sincos

)()sin(cos

Podemos relacionar los cinco números “más importantes”:

Podemos utilizarla para probar la fórmula de De Moivre

Podemos escribir el seno y el coseno como:

j

eeee jjjj

2sin

2cos

Calcular integrales

con estas fórmulas es

mucho más fácil

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Jean-Robert Argand (1768 – 1822)

Propuso escribir el número j como una rotación de 90º (π/2) del

número 1:

Introdujo el Diagrama de Argand y la representación de

números complejos como vectores en 2-D

Escribió una prueba para el Teorema Fundamental del Álgebra

y fue el primero que lo probó cuando los coeficientes de los

polinomios eran complejos

Más tarde se descubrió que la representación en 2-D de

números complejos había sido propuesta también (de forma

independiente) por Caspar Wessel

6. HISTORIA

2/jej

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Recapitulando

Hemos visto:

1. Introducción: el número i (para nosotros el número j)

2. Conjuntos de números (los números complejos son muy importantes)

3. Representaciones de números complejos (módulo y fase, diagrama de Argand y

circunferencia unidad)

4. Propiedades básicas de los números complejos

5. Operaciones básicas (aritmética) con números complejos (potencias y raíces)

6. Historia sobre números complejos (fórmulas de Euler y de DeMoivre)

Siguiente paso: funciones de variable compleja (nos centraremos en su

representación)

Antes se necesita representación de funciones de variable real

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Material adicional

Ejercicios:

Todos los ejercicios de http://ejerciciosyexamenes.com/complejos.pdf

Todos los ejercicios de http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4comre10.pdf

Ejercicios 1, 3 y 8 de http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-

matematicos-i/material-de-clase-2/Bloque1_NumerosComplejosejercicios.pdf

39

http://ejerciciosyexamenes.com/complejos.pdf

http://www.unizar.es/aragon_tres/unidad4/u4comre10.pdf

http://ocw.unican.es/ensenanzas-tecnicas/fundamentos-matematicos-i/material-de-clase-2/Bloque1_NumerosComplejosejercicios.pdf

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