Curso de Geoquimica

CUADERNO DE PRÁCTICAS DE GEOQUÍMICA

por J.F. Molina, F. Bea, P. Montero y J.H. Scarrow

aaa

Universidad de GranadaDepartamento de Mineralogía y Petrología

Cuaderno de Prácticas de Geoquímica

ÍNDICE

Capítulo 1: Impactos de meteoritos 1Fundamentos teóricos 1Problemas 1Capítulo 2: Isótopos radiogénicos 2Relaciones fundamentales 2Ecuaciones de desintegración 2Cálculo de edades a partir de la ecuación de la isocrona 3Sistemática de isótopos radiogénicos 4Sistema Rb-Sr 4Isocronas Rb-Sr 4Sistema Sm-Nd 4Isocronas Sm-Nd 5Sistema Th-U-Pb 5Isocronas Th-Pb y U-Pb 5Diagramas de concordia U-Pb 6Isocronas Pb-Pb 7Sistema K-Ar 8Métodos convencionales 40K-40Ar 9Isocronas K-Ar 9Método 40Ar-39Ar 10Problemas 11Capítulo 3: Isótopos estables 14Fundamentos teóricos 14Introducción 14Parámetros de fraccionación isotópica 14Constante de equilibrio Ke 14Factor de fraccionación ! 15Parámetro " 15Dependencia de la temperatura de la fraccionación de isótopos estables 16Problemas 17Capítulo 4: Viscosidad de los magmas 19Fundamentos teóricos 19Unidades 20Problemas 21Capítulo 5: Elementos traza 22Fundamentos teóricos 22Diagramas de elementos traza normalizados 22Diagramas de REE normalizadas a condritos 23


I

Coeficientes de distribución mineral/fundido 23Elementos químicos compatibles e incompatibles 24Ecuaciones de cristalización y de fusión 24Fusión y cristalización sin segregación simultánea (de tipo batch) 25Fusión 25Cristalización 26Fusión y cristalización fraccionada (i.e. con segragación instantánea) 27Cristalización 27Fusión 29Problemas 29Capítulo 6: Tipología de rocas ígneas 32Diagramas para la clasificación de rocas ígneas 32Apéndice: Clasificación de granitos 38Clasificación S-I-A-M de granitos 38Parámetros empleados en la clasificación de granitos 38Problemas 38Apéndice I: Fundamentos de estadística 39Apéndice II: Elementos traza en composiciones modelo y ejemplos de rocas 47Apéndice III: REE en composiciones modelo y ejemplos de rocas 48Apéndice IV: Análisis de rocas ígneas 49Apéndice V: Pesos moleculares 50Bibliografía 51


II

CAPÍTULO 1: IMPACTOS DE METEORITOS

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

La energía cinética de entrada de un meteorito, Ec, y el diámetro del crater originado,

#

$ , se relacionan por la siguiente expresión empírica:

#

$ = 0.1% Ec

3

donde

#

$ viene expresado en km y Ec en kilontones (kT). 1 kilotón es la energía liberada por la detonación de 1000 toneladas de TNT, y equivale a 4.184 101 2 J = 4.184 tera julios (TJ).

Teniendo en cuenta que la enrgía cinética viene dada por:

#

Ec= 1

2 m %v2

es posible determinar la velocidad de entrada del meteorito conocida su masa, o su volumen y densidad.

PROBLEMAS

P 1. Sea un meteorito esférico cuyo impacto sobre la superficie de la Tierra originó un crater con un diámetro de 5 km. Calcular su masa y su diámetro para una velocidad de entrada de 30 km/s. Indicar también su energía cinética expresada en ergios. Densidad del meteorito 6 gr/cm3. Solución: diámetro: 72 m; masa: 1.17 Tgr; energía cinética: 5.25 1024 ergios


1

CAPÍTULO 2: ISÓTOPOS RADIOGÉNICOS

RELACIONES FUNDAMENTALES

Ecuaciones de desintegración

La ley de Radiactividad derivada por Rutherford y Soddy (1902) establece que la velocidad de desintegración de núclidos radiactivos es directamente proporcional al número de átomos radiactivos existentes en un instante t:

#

&dN

dt= 'N (1)

donde N es el número de átomos parentales existentes en el instante t y ' es la constante de desintegración, que mide la probabilidad de desintegración radiactiva de un núcleo atómico por unidad de tiempo.

Operando en (1) e integrando desde t = 0 hasta t se obtiene:

#

&dN N = 'dt ( ln(N)-ln(Ni) = -'t (

#

ln( N Ni

) = &' t (

#

N Ni

= e&' t

(

#

N i = N e' t (2),

donde N es el número de átomos parentales que permanecen tras un período de tiempo t y Ni es el número de átomos parentales existentes cuando se inició el proceso de desintegración.

La constante de desintegración ' también se puede expresar en términos del período de semidesintegración (T1/2), que se define como el período de tiempo necesario para que la mitad de un número dado de átomos radiactivos parentales se desintegre. Por lo tanto, aplicando (2) para N = 0.5 Ni, se obtiene:

#

N i = 0.5 N e' t (

#

2 = e' t (

#

t = 1' ln(2)) T1/2 (3),

que permite calcular el período de semidesintegración de un radionúclido a partir de su constante de desintegración o viceversa. Otro parámetro empleado es la vida media * que se define como

#

1' .

En sistemas cerrados, el número de átomos radiogénicos estables presentes en un instante t, D*, es igual al número de átomos radiactivos desintegrados:

D* = Ni-N (4).

Sustituyendo (2) en (4) y operando se obtiene:

D* = N (

#

e' t -1) (5).

Si el sistema poseía inicialmente (i.e. para t = 0) cierta cantidad de átomos radiogénicos Di, el


2

número total de átomos radiogénicos D en el instante t viendrá dado por:

D = Di + D* (D = Di + N (

#

e' t -1) (6).

La relación (6) se suele expresar dividida por la abundancia atómica de un isótopo estable A del mismo elemento de D (debido a que la determinación de cantidades relativas por espectrometría de masas es más precisa):

#

DA( ) = D

A( ) i + N

A( ) e' t -1( ) (7),

que es la ecuación de una recta en el espacio de coordenadas

#

DA,N

A( ) con pendiente

#

e' t -1 e

intersección con el eje de ordenadas

#

DA( )i

, denominada ecuación de la isocrona. En en esta expresión, t y

#

DA( )i

son los dos únicos parámetros desconocidos ya que

#

DA y

#

NA se pueden determinar

analíticamente y ' es una constante conocida. En algunas ocasiones se puede asumir que Di = 0, por lo que t se puede calcular a partir de (7) conociendo los valores de

#

DA y

#

NA para una sola muestra. En los

casos en los que Di ! 0, se necesitan conocer las razones

#

DA y

#

NA en dos o más muestras que: (1) se

hayan formado simultáneamente; (2) presenten en el momento de su formación un valor Di similar; y (3) se hayan comportado como sistemas cerrados para los átomos de D y N desde su formación. En el caso de que se verifiquen estas tres condiciones y no haya problemas analíticos, las razones

#

DA y

#

NA

de una serie de muestras deben presentar una relación lineal que puede ser ajustada por la ecuación de la isocrona (7) empleando técnicas de regresión lineal (ver Apéndice I).

Cálculo de edades a partir de la ecuación de la isocrona

Una vez determinada la pendiente b de una isocrona por los métodos discutidos en el apéndice I, la edad de las muestras se puede derivar a partir de la expresión:

b = (

#

e' t -1) ( t =

#

1' ln[b + 1]

La edad de las muestras también se pueden obtener a partir del parámetro estimado a. Así, dado que:

#

b =DA( )& D

A( )i

NA( )&0

y que:

#

a = DA( ) i

se obtiene que:

#

t = 1' ln

DA( )&a

NA( )

+1( )


3

SISTEMÁTICA DE ISÓTOPOS RADIOGÉNICOS

Sistema Rb-Sr

El Rb presenta dos isótopos naturales (abundancia relativa en proporciones atómicas indicada entre paréntesis): 85Rb (0.721654) y 87Rb (0.278346) y un peso atómico de 85.46776 uma. El 87Rb es un isótopo radiactivo con una constante de desintegración,

#

'87 Rb , de 1.42 10-11 años-1, que se desintegra

al isótopo estable 87Sr emitiendo una partícula +- y un neutrino.

El Sr presenta cuatro isótopos naturales: 84Sr, 86Sr, 87Sr y 88Sr con las siguientes razones atómicas: 84Sr/88Sr = 0.00675 y 86Sr/88Sr = 0.11940. Debido a la producción de 87Sr por desintegración de 87Rb, la abundancia relativa de los isótopos de Sr y, por lo tanto, su peso atómico son variables, dependientes de la cantidad de Rb inicial y del tiempo transcurrido.

Isocronas Rb-Sr

La ecuación de la isocrona (7) aplicada al sistema Rb-Sr viene dada por:

#

87Sr

86 Sr( ) =87

Sr86 Sr( )

i +

87Rb

86Sr( ) e' t -1( )

La razón atómica 87Sr/86Sr en rocas y minerales se mide directamente por espectrometría de masas; mientras que la razón atómica 87Rb/87Sr se calcula a partir de la razón de concentraciones Rb/Sr. Así, si

#

Rb[ ]M

ppmes la concentración del Rb en ppm (partes por millón), el número de átomos de 87Rb por

gramo de muestra será:

# #

87 Rb =10&6, Rb[ ]

M

ppm,Ab

87Rb,NAv

PARb

donde

#

PA

Rb es el peso atómico del Rb,

#

NAv es el número de Avogadro (6.02252 1023) y

#

Ab87 Rb es la

abundancia relativa de 87Rb.

El número de átomos de 86Sr por gramo de muestra se puede calcular de la misma forma, pero hay que tener en cuenta que la abundancia relativa de 86Sr y el peso atómico de Sr dependen de la razón 87Sr/86Sr determinada analíticamente. De esta forma, una vez calculados

#

PA

Sr y

#

Ab87 Sr para la muestra

dada, la razón 87Sr/86Sr se obtiene a partir de la siguiente expresión (ver problema 5):

#

87Rb

86 Sr= Rb

Sr[ ]M

ppm

, Ab87

Rb ,PASr

Ab86Sr

,PARb

Sistema Sm-Nd


4

El Sm es una tierra rara que presenta 7 isótopos naturales (abundancia relativa indicada entre paréntesis): 144Sm (0.0311), 147Sm (0.150), 148Sm (0.113), 149Sm (0.138), 150Sm (0.0741), 152Sm (0.267) y 154Sm (0.227). Por lo tanto, presenta un peso atómico de 150.4 uma. El isótopo 147Sm es radiactivo (' = 6.54 10-12

años-1) y se desintegra a 143Nd, emitiendo una partícula !.

El Nd presenta 7 isótopos naturales: 142Nd, 143Nd, 144Nd, 145Nd, 146Nd, 148Nd y 150Nd. Debido a la producción de 143Nd por desintegración de 147Sm, la abundancia relativa de los isótopos de Nd es variable y depende de la cantidad inicial de Sm y de la edad.

Isocronas Sm-Nd

Los isótopos 143Nd y 147Sm se expresan normalizados a la abundancia del isótopo estable 144Nd, por lo que la ecuación de la isocrona (7) para el sistema Sm-Nd viene dada por:

#

143Nd

144 Nd( ) =143

Nd144 Nd( )

i +

147Sm

144 Nd( ) e' t -1( ) .

Sistema Th-U-Pb

Los isótopos radiactivos 232Th, 235U y 238U se desintegran, respectivamente, a 208Pb, 207Pb y 206Pb, a través de secuencias de reacciones de desintegración en las que se producen isótopos muy inestables. Aunque estas secuencias de reacción son muy complejas, se puede alcanzar una situación de equilibrio en la que la velocidad de desintegración de los productos intermedios es la misma que la de los isótopos parentales. En tal caso, la velocidad de producción de isótopos estables de Pb es igual a la velocidad de desintegración de los isótopos parentales de U y Th. Esto hace posible que los sistemas indicados se puedan tratar como cadenas simples en las que los isótopos parentales se desintegrasen directamente a los isótopos estables finales, i.e: 238U ( 206Pb; 235U ( 207Pb; 232Th ( 208Pb.

Isocronas Th-Pb y U-Pb

Las tres cadenas de desintegración de isótopos de Th y U permiten la obtención de tres isocronas simultáneas:

#

206Pb

204 Pb( ) =206

Pb204 Pb( )

i +

238U

204 Pb( ) e'1 t -1( ) (8)

#

207Pb

204 Pb( ) =207

Pb204 Pb( )

i +

235U

204 Pb( ) e'2 t -1( ) (9)

#

208Pb

204 Pb( ) =208

Pb204 Pb( )

i +

232Th

204 Pb( ) e'3 t -1( ) (10)

con '1 = 1.55125 10-10 años-1, '2 = 9.84850 10-10 años-1 y '3 = 4.9475 10-11 años-1.


5

Diagramas de concordia U-Pb

Como se ha indicado anteriormente, el sistema Th-U-Pb permite el empleo simultáneo de tres geocronómetros. Cuando la muestra analizada se ha comportado como un sistema cerrado para los isótopos de U y todos sus productos de desintegración, las edades obtenidas con las ecuaciones (8) y (9) son concordantes. A partir de estas ecuaciones se pueden derivar las siguientes relaciones:

#

e'1 t -1=206

Pb*

238 U(11a)

#

e'2 t -1 =207

Pb*

235U(11b)

donde

#

206Pb

238 U

*( ) =204

Pb238U

,206

Pb204 Pb( ) &

206Pb

204 Pb( )i

[ ]

#

207Pb

235U

*( ) =204

Pb235U

,207

Pb204 Pb( ) &

207Pb

204 Pb( )i

[ ]

Las relaciones (11a) y (11b) permiten el cálculo de las razones 206Pb*/238U y 207Pb*/235U para un

conjunto de valores arbitrarios de t. Estas razones representarían puntos en coordenadas 206Pb/238U - 207Pb/235U de sistemas U-Pb con edades concordantes. Por lo tanto, las relaciones (11a) y (11b) son las

ecuaciones paramétricas de la curva de todos los sistemas U-Pb concordantes, por lo que se denomina

curva de concordia (Fig. 1). Por lo tanto, las razones 206Pb*/238U y 207Pb*/235U de una muestra que se

haya comportado como un sistema cerrado se proyectaran sobre la curva de concordia, indicando la

edad de formación de ésta. Si por el contrario, en un momento *’, el sistema experimenta una pérdida

de Pb (o ganancia de U), las razones 206Pb*/238U y 207Pb*/235U del sistema se desplazarán hacia el

origen de coordenadas según la recta que une el origen y el punto de la curva de concordia

correspondiente a *’. En caso de que se liberase todo el Pb radiogénico, las razones 206Pb*/238U y 207Pb*/235U se desplazarán hasta el origen de coordenadas y el sistema perderá toda la información

correspondiente al período de tiempo anterior a *’. Si por el contrario, el sistema pierde solamente una

fracción del Pb radiogénico, las razones 206Pb*/238U y 207Pb*/235U del sistema se situarán en algún

punto a lo largo de la recta indicada (punto Q en la Fig. 1). Todos los puntos sobre esa recta dan

edades discordantes y, por lo tanto, la recta se denomina recta de discordia.

La cantidad de Pb liberado por un mineral depende de su tamaño y de la cantidad de U presente, de tal forma que las mayores pérdidas de Pb se producirán en minerales con tamaño de grano más pequeño y con mayores concentraciones de U. De esta forma, en una muestra dada es posible separar


6

diversas fracciones de una fase mineral datable por el método U-Pb (e.g. circones), que hayan liberado Pb con distinta intensidad. Las razones 206Pb*/238U y 207Pb*/235U de estas fracciones se proyectan sobre una línea de discordia (Fig. 2), que se puede determinada por mínimos cuadrados. Esta recta intercepta la curva de concordia en dos puntos *o y * (Fig. 2), que representa, respectivamente, la edad en la que se formó el mineral y la edad de cierre del sistema tras un período de pérdida de Pb (o ganancia de U), si el proceso fue discontinuo.

Figura 1. Diagrama de concordia U-Pb (tomado de de Faure

(1977)).

Figura 2. Diagrama de concordia U-Pb (tomado de Faure (1977)).

Isocronas Pb-Pb

A partir de las relaciones (8) y (9) se puede obtener la ecuación de la isocrona Pb-Pb:


7

#

235U

238 U( ) , e'2 t

-1e '1 t -1

=

207 Pb204 Pb

- . / 0

1 2 &

207Pb204 Pb

- . / 0

1 2

i206 Pb204 Pb

- . / 0

1 2 &

206Pb204 Pb

- . / 0

1 2

i

(12),

donde la razón 235U/238U vale 7.2527 10-3. Esta expresión es la ecuación de una recta que contiene al

punto de coordenadas

#

207Pb

204 Pb( )i,

206Pb

204 Pb( )i

( ) . Esta condición se verifica para cualquier serie de rocas y

minerales cogenéticos, por lo que sus razones 207Pb/204Pb y 206Pb/204Pb se deben proyectar definiendo

una recta de pendiente:

#

m = 7.2527 ,10&3 , e'2 t

-1e '1 t -1

=207

Pb*

206 Pb*( ) (13).

El valor de la pendiente m se puede obtener efectuando el ajuste mínimo cuadrático de la recta definida por los datos 207Pb/204Pb - 206Pb/204Pb. Una vez conocido el valor de m, la edad de la serie se puede determinar a partir de la curva 207Pb*/206Pb*- t (Fig. 3).

Figura 3. Diagrama 207Pb*/206Pb* - t (tomada de Faure (1977)).

Sistema K-Ar

El K presenta tres isótopos naturales (abundancia relativa indicada entre paréntesis): 39K (0.932581), 40K (0.0001167) y 41K (0.067302); y un peso atómico de 39.098304 uma.


8

El 40K se desintegra produciendo los isótopos estables 40Ca y 40Ar con constantes de desintegración '3+ = 4.962 10-10 y '3e = 0.581 10-10 años-1, respectivamente, presentando, por tanto, una constante total de desintegración '3 de 5.543 10-10 años-1.

Métodos convencionales 40K-40Ar

La fracción de átomos de 40K que se desintegran a 40Ar viene dada por:

#

'Ke

'K

40 K (14)

Por lo tanto, según las relaciones (6) y (14), la cantidad de 40Ar radiogénico producida será:

#

40Ar*='Ke

'K

40K e'K t -1( ) (15).

Si asumimos una cantidad nula de Ar inicial, es decir, si 40Ari = 0, a partir de (15) se obtiene:

#

t =1

'K

ln'K

'Ke

,40 Ar*

40K+1

-

. /

0

1 2 (16).

La edad obtenida por esta expresión corresponderá a la edad de formación si se verifican las siguientes condiciones:

1) La muestra se ha comportado como un sistema cerrado para los isótopos de Ar y de K.

2) 40Ari = 0.

3) Se ha efectuado una corrección del Ar atmosférico (ver expresión 6.5 en Faure (1997)).

En la expresión (16), la cantidad de 40Ar se pueden medir directamente por espectrometría de masas, mientras que la de 40K se puede calcular a partir de la cantidad de K de la muestra. De esta forma, si los contenidos en K y en 40Ar* vienen expresados, respectivamente, en tantos por ciento en peso y en ppm, la razón 40Ar* /40K viene dada por:

#

40Ar*

40K=

40 Ar*[ ]M

ppm

, PA

K

K[ ]M

% peso

104 , Ab40 K , P

A

Ar

donde

#

PA

Ar = 39.9623 uma.

Isocronas K-Ar

En el caso de que la condición (2) no se verifique, la cantidad de 40Ar inicial y la edad se pueden determinar por el método de la isocrona. El Ar no radiogénico puede ser de origen magmático (e.g. producido por desgasificación de magmas de origen mantélico), metamórfico (e.g. procedente de


9

minerales de K más antiguos) o atmosférico.

La ecuación de la isocrona (7) aplicada al sistema K-Ar viene dada por:

#

40Ar

36 Ar( ) =40

Ar36 Ar( )

i+ 'Ke

'K

40K

36 Are'K t -1( ) (17),

donde el término (40Ar*/36Ar)i representa el Ar derivado de las tres fuentes indicadas anteriormente.

Método 40Ar-39Ar

El método Ar-Ar se basa en la producción de 39Ar a partir de 39K por irradiación de la muestra con neutrones en un reactor nuclear. Este método permite una extracción incremental del Ar de la muestra por calentamiento, por lo que es posible detectar si la muestra analizada experimentó pérdida o ganancia de Ar después de su formación.

A partir de (15), podemos derivar la siguiente expresión:

#

40 Ar *

39 Ar( ) = 'Ke

'K

40 K39 Ar e

'Kt &1( ) (18)

en la que 39Ar es la cantidad de átomos de 39Ar en la muestra tras la irradiación.

La cantidad de 39Ar producido por irradiación es proporcional a la cantidad de 39K de la muestra y al tiempo de exposición, 4T:

#

39Ar=39 K4T 5(6)7 (6)d68 (19),

donde 5(6) es el flujo de neutrones de energía 6 y 7(6) es el área efectiva de interacción del núcleo de 39K para neutrones de energía 6. Por lo tanto, sustituyendo (19) en (18) se obtiene:

#

40 Ar*

39 Ar

-

. /

0

1 2 =

'Ke

'K

40K39K

1

49

e'Kt &1

5(6 )7 (6)d68(20)

Si definimos el parámetro J como:

#

J ='K

'Ke

39K40K

49 5(6)7 (6)d68

y sustituimos en (20), se obtiene:


10

#

40 Ar*

39 Ar

-

. /

0

1 2 =

e'Kt &1

J

donde la razón 40Ar*/39Ar es la razón 40Ar/39Ar del gas extraído y se mide directamente por espectrometría de masas, mientras que J es un parámetro instrumental para cada muestra, que se obtiene a partir de una curva de calibrado establecida con patrones de edad conocida introducidos en el reactor.

PROBLEMAS

P 1. Calcular la edad de un mineral que presenta las siguientes razones isotópicas: 87Rb/86Sr = 17.59 y 87Sr/86Sr = 0.705. Asumir que todo el 87Sr es radiogénico. '(87Rb) = 1.42 10-11 años-1.

Solución: 2.77 109 años.

P 2. Los minerales de una roca ígnea presentan las siguientes razones isotópicas:

Muestra 87Rb/86Sr 87Sr/86Sr

Biotita 4.5 0.94

Moscovita 3.4 0.88

Microclina 2.1 0.81

Calcular la edad de la roca y la razón incial de 87Sr/86Sr. '(87Rb) = 1.42 10-11 años-1. Solución: t = 3.70 109 años; 87Sr/86Sr inicial = 0.70.

P 3. (a) Calcular la razón 207Pb*/206Pb* para las siguientes edades (x 109 años): 2.2, 2.4, 2.6, 2.8 y

3.0 y proyectarlas en un diagrama 207Pb*/206Pb*-t. (b) Determinar la edad de una serie de roca ígneas que presentan las siguientes razones isotópicas:

206Pb/204Pb 207Pb/204Pb

19.2 14.8

30.0 16.9

40.1 18.8

Emplear el diagrama obtenido en el apartado (a) del problema. '(238U) = 1.55125 10-10 años-1, '(235U) = 9.84850 10-10 años-1. Soluciones: (a) 0.13783, 0.15482, 0.17436, 0.19680, 0.22266; (b) 2.8 109

años.

P 4. Calcular la abundancia isotópica y el peso atómico de Sr en una muestra con 87Sr/86Sr =

2.5000 (ver razones de isótopos de Sr en el apartado de sistemática de isótopos radiogénicos). Solución: 88Sr = 70.192 %; 87Sr = 20.952 %; 86Sr = 8.3810 %; 84Sr = 0.4742 %. Peso atómico: 87.510.


11

P 5. Dada una muestra de biotita que contiene 465 ppm de Rb, 30 ppm de Sr y presenta una razón 87Sr/86Sr de 2.500. (a) Calcular la razón atómica 87Rb/86Sr. (b) Calcular la edad considerando una razón inicial 87Sr/86Sr de 0.703. c) Calcular la razón 87Sr/86Sr hace 1.8 109 años. Utilizar los resultados del problema anterior. '(87Rb) = 1.42 10-11 años-1. Solución: (a) 52.71. (b) 2.36 109 años. (c) 1.135.

P 6. Dados los siguientes datos analíticos para tres minerales de una pegmatita.

Rb (ppm) Sr (ppm) (87Sr/86Sr)

Moscovita 238.4 1.80 1.4125

Biotita 1080.9 12.8 1.1400

Feldespato K 121.9 75.5 0.7502

(a) Calcular las edad para cada uno de estos minerales asumiendo una razón inicial 87Sr/86Sr de 0.704. (b) Efectuar el ajuste mínimo cuadrático de 87Sr/86Sr sobre 87Rb/86Sr y calcular la edad y el valor inicial de 87Sr/86Sr. (c) Efectuar el ajuste mínimo cuadrático de 87Rb/86Sr sobre 87Sr/86Sr y calcular la edad y el valor inicial de87Sr/86Sr. (d) Proyectar las razones 87Sr/86Sr y 87Rb/86Sr de las tres muestras dadas y las dos rectas obtenidas. '(87Rb) = 1.42 10-11 años-1. Solución: (a) Moscovita: 121.7 Ma; biotita: 120.5 Ma; feldespato-K: 690.2 Ma. (b) Valor inicial de 87Sr/86Sr: 0.7378; edad: 114.6 Ma. (c) Valor inicial de 87Sr/86Sr: 0.73744; edad: 114.7 Ma.

P 7. Utilizando los datos de biotita y feldespato K del ejercicio P6 y de una nueva muestra de moscovita con razones 87Sr/86Sr de 1.4125 y 87Rb/86Sr de 350.00, efectuar: (a) el ajuste mínimo cuadrático de 87Sr/86Sr sobre 87Rb/86Sr y calcular la edad y el valor inicial de 87Sr/86Sr; (b) el ajuste mínimo cuadrático de 87Rb/86Sr sobre 87Sr/86Sr y calcular la edad y el valor inicial de 87Sr/86Sr ; y (c) el ajuste por el método de York y calcular la edad y el valor inicial de 87Sr/86Sr. Asumir una correlación perfecta de errores y utilizar los siguientes factores de ponderación:

:(87Sr/86Sr ) :(87Rb/86Sr)

Moscovita 5 1.5

Biotita 5 1.5

Feldespato K 10 2

Utilizar como valor inicial de la pendiente el resultado obtenido en (a). (d) Proyectar las razones 87Sr/86Sr y 87Rb/86Sr de las tres muestras dadas y las tres rectas obtenidas. '(87Rb) = 1.42 10-11 años-1. Solución: (a) Valor inicial de 87Sr/86Sr: 0.7261; edad: 129.8 Ma. (b) Valor inicial de 87Sr/86Sr: 0.7174; edad: 132.8 Ma. (c) Valor inicial de 87Sr/86Sr: 0.7348 edad: 127.6 Ma.

P 8. Una muestra de un basalto lunar presenta los siguientes datos isotópicos (Nyquist et al. , 1979):

Muestra 147Sm/144Nd 143Nd/144Nd


12

Roca total 0.2090 0.513142

Plagioclasa 0.1727 0.512365

Piroxeno 0.2434 0.513861

(a) Calcular la edad de las muestras por el método de mínimos cuadrados. (b) Calcular la razón 143Nd/144Nd inicial de la roca. '(147Sm) = 6.54 10-12 años-1. Solución: (a) 3.20 109 años; (b) 143Nd/144Nd

inicial: 0.508706.

P 9. La razón 40Ar*/39Ar de una fracción de Ar extraída de una muestra de biotita es 12.31 (Bryhni et al., 1971). El parámetro J es 1.925 10-2. Calcular la edad de la muestra. '3 = 5.543 10-10 años-1. Solución: 383.7 106 años.

P 10. Se han obtenido las siguientes razones 40Ar*/39Ar para una muestra de biotita empleando la técnica de calentamiento incremental (Bryhni et al., 1971):

4Q 40Ar*/39Ar

1 2.27

2 4.97

3 6.68

4 9.58

5 10.25

10 10.10

15 10.26

Calcular la edad de cada fracción (J = 2.90 10-2) y proyectar las edades obtenidas frente al número de 4Q. Indicar la edad de la biotita que se obtiene a partir del espectro de edades. '3 = 5.543 10-10 años-1. Solución: 470 106 años.

P 11. Una muestra de biotita de una Q-monzonita tiene un 8.45 % (en peso) de K2O y 6.016 10-10

moles/g de 40Ar radiogénico (Miller y Engels, 1975). Calcular la edad K-Ar de este mineral. '3e = 0.581 10-10 años-1, '3 = 5.543 10-10 años-1.

#

PA

K2O= 94.196608. Solución: 48.79 106 años.


13

CAPÍTULO 3: ISÓTOPOS ESTABLES


Introducción

Los isótopos estables de elementos químicos ligeros como H, O, C, S, N, He, Li, B pueden experimentar fenómenos de fraccionación (variación de su abundancia relativa) debido a diversos tipos de procesos fisicoquímicos y reacciones químicas entre fases minerales:

Reacciones de intercambio isotópico, que implican la redistribución de isótopos de un elemento entre diferentes moléculas que lo contienen.

Procesos físicos sensibles a las diferencias de masa (e.g.. evaporación, fusión, cristalización, difusión).

La causa fundamental de la fraccionación de isótopos estables reside en la energía de enlace molecular. Moléculas de una sustancia con distintos isótopos de un elemento en una posición equivalentes presentarán diferentes estados energéticos, debido a diferencias en la componente de la energía vibracional que presenta una dependencia significativa de la masa. Así, la frecuencia de vibración molecular ; es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de la masa de la molécula. Una consecuencia de esta relación es que los enlaces formados por isótopos ligeros son más débiles, implicando que las moléculas de una sustancia constituidas por isótopos más ligeros sean más reactivas.

La fraccionación de isótopos estables es un proceso fuertemente dependiente de la temperatura, por lo que se han calibrado una gran cantidad de geotermómetros basados, fundamentalmente, en la fraccionación de isótopos de H, O, C y S.

Por otra parte, los isótopos estables son de gran utilidad para detectar procesos de mezcla que impliquen fuentes con composiciones isotópicas distintas (e.g. interacción de rocas ígneas con aguas meteóricas o marinas, infiltración de fluidos en una secuencia de rocas metamórficas, formación de sedimentos con componentes de fuentes distintas: marina, continental etc).

Parámetros de fraccionación isotópica

Constante de equilibrio Ke

Sean dos sustancias AOx y BOy (e.g. cuarzo y rutilo) en las que O presenta dos isótopos estables nO y mO (e.g. 18O y 16O). Si estas sustancias están en un estado de equilibrio, es posible establecer la siguiente reacción de intercambio isotópico:


14

AnOx +

#

xy BmO

y = AmO

x +

#

xy BnO

y,

que presenta una constante de equilibrio Ke:

#

Ke =A

mOx[ ], B

nOy[ ]

xy

AnOx[ ], BmOy[ ]xy

(1).

Operando en (1), Ke también se puede expresar como:

#

Ke =

AmOx[ ]AnOx[ ]

-

. /

0

1 2

BmOy[ ]BnO y[ ]

- . /

0 1 2

xy

(2).

Factor de fraccionación !

La fraccionación isotópica entre dos sustancias en equilibrio también se puede expresar por medio del factor de fraccionación !, que se define como:

#

!A&B =RA

RB

(3)

donde RA y RB son las razones de dos isótopos de un elemento en las sustancias A y B (e.g. 18O/16O).

Parámetro "

En general, la composición isotópica de una muestra dada se expresa mediante un parámetro " que indica la desviación relativa de la razón isotópica medida en la muestra respecto a la de un patrón de referencia (Tabla 1):

#

"A

nO=1000 ,

RA

RPatrón

&1-

. /

0

1 2 (4)

donde las razones son de isótopo pesado a ligero (i.e. 18O/16O, 34S/32S, etc) y nO es el isótopo pesado.


15

Dadas dos sustancias en equilibrio isotópico, el factor de fraccionación !A-B

y los valores

#

"A

nO y

#

"B

nO (en ‰) están relacionados por la siguiente expresión:

#

!A&B =1000 +"A

nO

1000 +"B

nO(5).

Por otra parte, también se define el parámetro 4A-B

como:

#

4 A&B = "A

nO &"B

nO (6)

que está relacionado con !A-B

por la siguiente expresión:

#

4 A&B <1000 , ln(! A&B) (7).

Es interesante observar que

#

1000 , ln(! A&B) es aproximadamente igual al parámetro !A-B

expresado como una diferencia relativa normalizada a 1000,

#

!A&B

* :

#

!A&B

*=1000 , RA

RB&1( ) < 1000, ln(!A&B )

Dependencia de la temperatura de la fraccionación de isótopos estables

La fraccionación de isótopos estables entre minerales presenta una fuerte dependencia de la temperatura, de tal forma que el factor de fraccionación !

M-N entre dos fases se puede expresar de la

siguiente forma:

#

4M&N

<1000 , ln(!M&N

) = A +B

T2 (8),

donde A y B son dos constantes y T es la temperatura en kelvins. Esta dependencia de T permite el empleo de la fraccionación isotópica entre fases minerales con fines geotermométricos.

Tabla 1. Patrones de isótopos establesElemento I s ó t o p o s Patrones R Patrón

Hidrógeno H , D V-SMOW1 D/H = 155.76 10-6 Oxígeno 16O, 17O y 18O V-SMOW1 18O/16O = 2005.2 10-6

PDB2 18O/16O = 2067.2 10-6

Carbono 12C y 13C PDB2 13C/12C = 1123.75 10-5

Azufre 32S, 33S, 34S y 36S CDT3 34S/32S = 449.94 10-4

Nitrógeno 14N y 15N NBS-144 15N/14N = 367.6 10-5

1, V-SMOW = Vienna Standard Mean Ocean Water (idéntico al SMOW).2, PDB = Peede Belemnite.3: CDT = Canon Diablo Troilite (SFe).4: NBS: National Bureau of Standards; NBS-14: Valores del aire atmosférico.


16

PROBLEMAS

P 1. Se ha observado que el material carbonático de la concha de bivalvos que crecen en equilibrio con el agua marina con los siguientes valores de

#

"18O (referidos al V-SMOW): +25 ‰ a 25 ºC, +29

‰ a 15 ºC y +35 ‰ a 0 ºC. (a) Proyectar los datos y derivar una ecuación que relacione la temperatura y la composición isotópica de la concha. (b) Calcular la temperatura durante el crecimiento de una concha con un

#

"18O de +22 ‰. (c) Calcular el valor de

#

"18O de la concha que creció a una

temperatura de 35 ºC. (d) Calcular la razón 18O/16O de una concha con un

#

"18O de +25 ‰. Solución.

(a) T (ºC) = 87.5-2.5 ". (b) 32.5 ºC. (c) +21 ‰. (d) 0.002055.

P 2. Sea un sulfuro con una razón 32S/34S de 23.18, calcular el parámetro

#

"34 S . Solución: -41.19

‰.

P 3. Calcular el factor de fraccionación ! de un par pirita-calcopirita con valores 4py-cp de 1.1 ‰. Solución: 1.00110.

P 4. Se ha observado que el nitrógeno de sedimentos marinos puede derivar tanto de materia

orgánica marina como terrestre. Si asumimos un valor

#

"15 N de +10 ‰ para el N de origen marino y de

+2.5 para el terrestre: (a) derivar la ecuación de mezcla que exprese el porcentaje de N marino en

función del valor de

#

"15 N ; (b) calcular el porcentaje de N marino en un sedimento con un

#

"15 N de 6.5

‰. Solución: (a)

#

XSed .

Marino

(%) = 13.3;

#

"Sed

15 N

- 33.3. (b) 53.3 %.

P 5. Dadas las siguientes relaciones para la fraccionación de isótopos de oxígeno entre cuarzo y agua:

#

1000 , ln(!Q&A) = 2.51 106T

&2 &1.96

y rutilo y agua:

#

1000 , ln(! Ru&A ) = 4.1 106T&2

+ 0.96

(donde T es la temperatura en K), derivar la ecuación del geotermómetro curzo-rutilo y calcular el valor 4

Q-Ru a 700 ºC. Solución: 4

Q-Ru = -4.60 ‰.

P 6. Dados los siguientes valores

#

"18O (Garlik y Epstein, 1967):

Fase

#

"18 O

(‰)Cuarzo +14.8Granate +9.8Magnetita +5.0Moscovita +11.4Biotita +8.5


17

Calcular la temperatura para los siguientes pares minerales: cuarzo-magnetita, cuarzo-moscovita, magnetita-moscovita, granate-moscovita, biotita-moscovita y curzo-biotita. Utilizar las siguientes ecuaciones termométricas (Bottinga y Javoy, 1975) (T en K):

#

4Q&Mt = 5.57 106T

&2

#

4Q&Ms = 2.20 106T

&2 & 0.60

#

4P lg&Gra = (1.910 &1.04 XAn ) 106T&2

#

4P lg&Ms = (1.23 &1.04 XAn ) 106T&2 &0.60

#

4P lg&Bio = (2.720 &1.04XAn ) 106T

&2 & 0.60

Solución: TQ-Mt = 481 ºC; TQ-Ms= 469 ºC; TMt-Ms= 489 ºC; TGra-Ms= 552 ºC; TBio-Ms= 444 ºC; TQ-Bio = 458 ºC.


18

CAPÍTULO 4: VISCOSIDAD DE LOS MAGMAS


Silicio, aluminio y fósforo se comportan como elementos formadores de red en fundidos y tienden por tanto a aumentar el grado de polimerización de éstos. Un indicador empírico muy útil del grado de polimerización de un fundido viene dado por la razón R definida como el número total de átomos de oxígeno dividido por la suma de los átomos formadores de red:

#

R =O

Si + Al +P(1)

El valor de R es próximo a 2 en fundidos graníticos y a 3 en fundidos de composición ultrabásica. La sílice fundida, que presenta un grado muy alto de polimerización, tiene un valor R de 2, mientras que un fundido de composición forsterítica está totalmente depolimerizado y R vale 4. El grado de polimerización de un fundido y su viscosidad están directamente relacionadas ya que a medida que aumenta la red de tetraedros se va haciendo más compleja, se hace más dificil el desplazamiento de los átomos en la estructura resultante y, por lo tanto aumenta la viscosidad.

La viscosidad, =, de los magmas naturales presenta una variación con la temperatura de tipo Arrhenius:

#

== AeE

RgT

donde A es una constante y E es la energía de activación del flujo viscoso. Se ha observado una relación cuadrática entre la composición (i.e. R) y la energía de activación del flujo viscosos a la temperatura líquidus (Fig. 1), de tal forma que es posible predecir la viscosidad de un magma a partir de su composición y la temperatura (Fig. 2).

Figura 1. Energía de activación del flujo viscoso de fundidosde rocas a temperatura líquidus (ca. 1200ºC) y 1 atmósfera

representada frente al índice R. (a) pantellerita; (b). andesita basáltica; (c) toleita de islas oceánicas; (d) basalto olivínico;

(e) melanefelinita olivínica. (Tomado de Henderson, 1982)


19

Figura 2. Relacíón entre viscocidad, temperatura y composición de fundidos1 atamósfera. Tipos composicionales como en Fig. 1. Temperaturas (ºC):

A, 1150; B 1200; C, 1250; D, 1300; E, 1350; F, 140.0 (Tomado de Henderson, 1982)

Unidades

En flulidos con comportamiento viscoso, el esfuerzo de cizalla aplicado, *, es proporcional al gradiente del campo de deformación de cizalla resultante,

#

>v>z (Fig. 3):

#

* =F

x

A==

>v

>z

Por lo tanto, la viscosidad se puede definir como la razón entre el esfuerzo de cizalla y el gradiente del campo de velocidades de deformación de cizalla, y presenta por lo tanto unidades de kg m-1 s-1 en el SI y g cm-1 s-1 (= 1 poise) en el cgs. Notar que:

#

1poise =g

cm % s=

kg

1000,

100

m,

1

s=

0.1 % kg

m % s


20

aa

Fx

FF

z

z

t0 t1

A

d1

d2

d3

d4

Figura 3. Deformación de cizalla en un fluido contenido entre dos láminas de superficie plana producida por el

desplazamiento horizontal de la lámina superior de superficie A.

PROBLEMAS

P 1. Sea la composición de un fundido (% en peso), determinar su viscosidad (en poises) para una temperatura de 1350 ºC. Determinar previamente la relación E-R por mínimos cuadrados a partir de los siguientes datos de R y de energías de activación. Proyectar gráficamente la parábola de ajuste. Factor pre-exponencial (kg m-1 s-1): 5.10*10-7. Rgp (J K-1 mol-1): 8.31441. Solución: 55.63 poises

E (kJ/mol) R

350,96 2,2241

310,69 2,3316

256,29 2,5244

234,92 2,6383

219,32 2,7823

Composición del fundido (% peso)

SiO2 46,68

TiO2 0,46

Al2O3 9,52

FeO 11,6

MgO 23,19

MnO 0,16

CaO 4,24

Na2O 0,94

K2O 0,87

P2O5 0,08

Total 97,74


21

CAPÍTULO 5: ELEMENTOS TRAZA


Diagramas de elementos traza normalizados

Una forma de presentar los contenidos en elementos traza de una roca o serie de rocas es mediante diagramas multielementales normalizados a una composición modelo de referencia. Estos diagramas constituyen un método muy eficiente para la caracterización de rocas ígneas, ya que permiten observar las relaciones de un gran número de elementos traza simultáneamente.

Las composiciones modelo más utilizadas son:

Tierra silicatada: Composición de la Tierra tras la formación del núcleo, i.e composición del manto + la corteza. Se emplea en rocas máficas poco evolucionadas.

Condritos: Composición de los meteoritos de composición condrítica, (equivalente a la composición global de la Tierra). Se emplea en rocas máficas poco evolucionadas.

MORB (Mid Ocean Ridge Basalt): Composición de los basaltos de dorsales oceánicas. Se emplea para estudiar rocas básicas e intermedias evolucionadas.

Corteza continental: Composición media de la corteza continental. Se emplea en granitoides.

Los aspectos a considerar en los diagramas normalizados son:

Pendiente general de los espectros.

Valores absolutos de los contenidos normalizados.

Presencia de anomalías (positivas o negativas).

Tanto la pendiente general de los espectros como la presencia de anomalías depende del orden en el que se proyecten los elementos traza. Aunque no hay un acuerdo generalizado, en diagramas normalizados a condritos y a la tierra silicatada, los elementos traza se suelen proyectar en orden creciente de compatibilidad en relación al manto (ver definiciones en la próxima sección).

A partir del análisis de diagramas de elementos traza normalizados, se puede obtener la siguiente información:

Caracterización del litotipo: basaltos: e.g. MORB, OIB, etc.; granitoides: e.g. plagiogranitos, granitos S, granitos alcalinos etc.

Modelos petrogenéticos: fuente y mecanismos de diferenciación de secuencias de rocas ígneas.


22

Diagramas de REE normalizadas a condritos

Las tierras raras se presentan en diagramas multielementales normalizados a condritos. Los valores normalizados se ordenan por orden creciente de número atómico. Esto equivale a una ordenación por grado creciente de compatibilidad para fundidos generados en el manto.

Como en los diagramas descritos anteriormente, los aspectos que hay que tener en cuenta son: la pendiente general de los espectros, los valores absolutos de los contenidos normalizados y la presencia de anomalías, que pueden presentarse en el Eu y el Ce. En procesos magmáticos, el Eu puede ser bivalente o trivalente. Por lo tanto, dado que el resto de la tierras raras son trivalentes, el Eu bivalente presenta un comportamiento diferencial, pudiendo desarrollar anomalías , que se miden empleando la razón Eu/Eu*, definida como:

#

Eu / Eu*

=EuN

SmN ,GdN

Coeficientes de distribución mineral/fundido

El coeficiente de distribución en equilibrio de un elemento traza j entre una fase mineral M y un

fundido silicatado L,

#

K j

ML , viene dado por la siguiente expresión:

#

K j

ML =

C jM

C jL (1)

donde

#

Cj

M es la concentración del elemento traza j en la fase M y se define como:

#

Cj

M=

m jM

m M (2),

siendo

#

mM y

#

mj

M , respectivamente, la masa de la fase M y del componente j en M.

En general, el coeficiente de partición

#

K j

ML para una fase dada no es constante y puede variar con

la temperatura, la presión y la composición del fundido.

A partir de (1), se pude definir el coeficiente de distribución global de un elemento traza j entre la

porción sólida S de un sistema constituido por M1, M

2,..., M

N fases minerales y un fundido L,

#

K j

SL ,

como:


23

#

K j

SL = X

M i ,K j

MiL( )

i=1

N

? (3)

donde

#

XM i es la abundancia relativa en peso de la fase mineral

#

Mi :

#

XM i =

mMi

mM r

r =1

N

?

Dependiendo del tipo de proceso que esté experimentando el sistema,

#

XM i se define como:

Cristalización:

#

XM i = abundancia relativa en peso con la que precipita Mi.

Fusión parcial:

#

XM i = abundancia relativa en peso con la que funde Mi, (en caso de que

#

XM i

sea igual a la abundancia relativa de Mi en el protolito ( fusión modal).

Ejemplo: Calcular el coeficiente de distribución global de Eu para una roca que ha cristalizado a partir

de un fundido con la siguiente abundancia (en peso) de fases minerales: olivino (Ol) = 50 %;

ortopiroxeno (Opx) = 30 %; y clinopiroxeno (Cpx) = 20 %.

#

KEu

OlL = 0.01;

#

KEu

Opx

L = 0.05; y

#

KEu

Cpx

L = 0.9.

#

KEu

RocaL = 0.5 , 0.01 + 0.3 , 0.05 + 0.2 , 0.9 = 0.2

Elementos químicos compatibles e incompatibles

Se dice que un elemento químico j es compatible si

#

K j

SL >1. En caso contrario, será incompatible.

Dado que

#

K j

SL depende de la asociación mineral en equilibrio con el fundido y de la composición de

éste, la compatibilidad de un elemento es una propiedad relativa que varía en función del sistema y las

condiciones ambientales (P, T etc.).

Ecuaciones de cristalización y de fusión

La fraccionación de elementos traza durante procesos de fusión y de cristalización se puede expresar mediante ecuaciones que dependen de los coeficientes de distribución previamente descritos y del grado de fusión parcial F, que se define como la abundancia relativa en peso de fundido de un sistema:

#

F =m L

mL

+ mS (4)


24

donde los superíndices L y S son, respectivamente, la fracciones líquida y sólida del sistema.

Los procesos de cristalización y de fusión pueden ser tanto en equilibrio como en desequilibrio, en cuyo caso no aplican los coeficientes de distribución ni las ecuaciones que describiremos a continuación.

En los procesos en equilibrio se pueden diferenciar dos situaciones que dependen de la velocidad con la que la fase o fases generadas se segregen. Si las fracciones líquida y sólida permanecen en contacto (i.e. sin segregación) hasta cierto grado de fusión o cristalización, el proceso se denomina fusión o cristalización en equilibrio (en inglés: batch melting o batch crystallization).

Por el contrario, si la segregación del material generado es instantánea, es decir, si para cada incremento infinitesimal

#

dF el líquido o fases cristalizadas dejan el sistema, el proceso se denomina cristalización o fusión fraccionada.

Fusión y cristalización sin segregación simultánea (de tipo batch)

A continuación se derivan las ecuaciones que controlan la distribución de elementos traza en procesos de cristalización y de fusión sin segregación simultánea.

Fusión

Para deducir las ecuaciones de fraccionación de elementos traza, vamos a considerar un sistema constituido por el líquido y el residuo remanente tras un grado de fusión F. Si asumimos que la masa de cada uno de los componentes del sistema permanece constante, es decir, si el sistema es cerrado, se debe verificar para cada componente j la siguiente relación:

#

mj

P= m j

L+ mj

R (5)

donde los superíndices P y R indican el protolito y el residuo, respectivamente.

Debido a la condición de cierre, también se debe verificar la siguiente relación entre las masas totales:

#

mP

= mL

+ mR (6)

A partir de (2) y (5) se obtiene:

#

Cj

P ,mP

= Cj

L ,mL

+Cj

R ,mR (7).

Dividiendo por

#

mP en (7) y aplicando la condición de cierre (6), obtenemos:


25

#

Cj

P= Cj

L ,mL

mL + mR+ Cj

R ,mR

mL + m R(8).

Si aplicamos la definición de F en (8) se deduce:

#

Cj

P= Cj

L ,F +Cj

R , (1& F) (9).

Dividiendo por

#

Cj

L en (9), obtenemos:

#

C jP

C jL = F +

CjR

CjL , (1& F) (10).

Por otra parte, dado que:

#

C jR

C jL = K j

RL ,

la expresión (10) se transforma en:

#

C jP

C jL = F + K j

RL , (1& F) (11).

Operando en (11), se obtiene:

#

C jL

C jP =

1

F , (1&K j

RL ) + K j

RL

(12),

que expresa la razón de la concentración del elemento traza j en el líquido L en relación al protolito P

en función de la tasa de fusión parcial F y el coeficiente global de distribución

#

K j

RL .

Si se multiplica (12) por

#

K j

RL , se obtiene:

#

C jR

C jP =

Kj

RL

F , (1&K j

RL ) + K j

RL

(13),

que proporciona la razón de concentraciones del elemento j en el residuo y en el protolito en función de F y

#

Kj

RL .

Cristalización

Las ecuaciones para la cristalización sin segregación se derivan de la misma forma, si sustituimos

#

Cj

L por la concentración de j en el líquido inicial Lo,

#

Cj

Lo , y

#

Cj

R por la concentración de j en la porción


26

cristalizada

#

Cj

C , y definimos F como la fracción relativa en peso de fundido existente tras cierto grado

de cristalización @ (i.e. @ es la fracción relativa en peso de fase sólida generada, verificándose: @ = 1-

F).

De esta forma, se pueden obtener las siguientes ecuaciones que relacionan la razón de

concentraciones del elemento j entre el líquido L remanente tras un grado de cristalización 1-F y el

líquido inicial Lo:

#

CjL

C jLo =

1

F , (1&K j

CL )+ Kj

CL

(14)

y entre el precipitado C y el líquido inicial:

#

C jC

C jLo =

K j

CL

F , (1&K j

CL )+ Kj

CL

(15).

Fusión y cristalización fraccionada (i.e. con segragación instantánea)

A continuación se derivan las ecuaciones que controlan la distribución de elementos traza en procesos de fusión y de cristalización fraccionada.

Cristalización

En este caso, se van a establecer balances de masas basados en condiciones de cierre para la masa de todos los componentes químicos del sistema. Para ello, definiremos un sistema constituido por el fundido y todos los minerales de él segregados (e.g. una cámara magmática junto con secuencia de capas constituidas por los minerales precipitados).

Consideremos un líquido inicial Lo de composición

#

Cj

Lo ,

#

Ck

Lo ,...,

#

Cr

Lo , que cristaliza de tal forma que cada incremento de precipitado mineral,

#

dmC , se segrega de forma instantánea.

Debido a la condición de cierre del sistema, la cantidad de sólido generado debe ser igual a la disminución de líquido:

#

dmC

= &dmL (16).

Para cualquier componente j que cumpla la condición de cierre también se verificará una relación similar a (16):


27

#

dm j

C

= &dmj

L (17).

A partir de (16) y (17), se deduce la siguiente relación:

#

Cj

C ,dmL

= d(C j

L ,mL ) (18).

Operando en el miembro de la derecha de (18) y teniendo en cuenta que:

#

Cj

C= K j

CL ,Cj

L

se obtiene:

#

K j

CL ,Cj

L , dmL

= mL , dCj

L+ Cj

L , dmL

(19).

Dividiendo por

#

mL en (19) y operando se deriva la siguiente expresión:

#

dCj

L

Cj

L= K j

CL &1( ) ,

dmL

mL(20)

Integrando (20) desde el inicio del proceso de cristalización @ = 0 hasta @ = @ (considerando

#

K j

CL constante durante todo el proceso), se obtiene:

#

ln(Cj

L@ )& ln(Cj

Lo ) =

Kj

CL &1( ) , ln(m L@ )& ln(m Lo )[ ]

#

ln(Cj

L@

Cj

Lo

) = K j

CL &1( ) , ln

m L@

mLo

-

. /

0

1 2

y por la condición de cierre (16), se obtiene:

#

ln(Cj

L@

Cj

Lo

) = K j

CL &1( ) , ln F( ) (21).

Tomando exponenciales en (21) se concluye:


28

#

Cj

L@

Cj

Lo= F

(K &1) (22),

donde

#

K = K j

CL

Esta relación expresa la razón del elemento traza j en el líquido remanente tras un grado de cristalización 1-F, L@, referida a la de el fundido inicial LA.

Si se multiplica (22) por

#

K j

CL , se obtiene:

#

Cj

C@

Cj

Lo= K , F

(K &1) (23),

que proporciona la razón de concentraciones del elemento j en el precipitado y en el líquido inicial.

Fusión

Las ecuaciones para la fusión fraccionada se pueden derivar de un modo similar, obteniéndose:

#

Cj

LF

Cj

P =1

K, (1& F)

(( 1K

)&1)(24),

para la razón de concentraciones de j en el fundido generado tras un grado de fusión F y en el protolito P; y:

#

Cj

RF

Cj

P = (1& F)(( 1

K)&1)

(25),

para el residuo (

#

K = K j

RL ).

PROBLEMAS

P.1. Normalizar a la tierra silicatada los contenidos en elementos traza de la composición media de la corteza continental, proyectando los valores calculados de forma decreciente. Utilizar una escala logarítmica en el eje de ordenadas. Comentar los espectros. Datos en Apéndice II.

P.2. Normalizar a la tierra silicatada los contenidos en elementos traza de la composición media de los basaltos N-MORB. Utilizar el orden de elementos establecido en el ejercicio P.1. Datos en Apéndice II.


29

P.3. Normalizar a la tierra silicatada los contenidos en elementos traza de las siguientes muestras:

a) MO23,b) VI135c) VLC9

Utilizar el orden de elementos establecido en el ejercicio P.1. Datos en Apéndice II.

P.4. Normalizar a condritos los contenidos REE de las siguientes muestras:

a) Corteza continentalb) basalto N-MORBc) MO23,d) VI135e) VLC9

Proyectar los resultados obtenidos ordenados según el número atómico. Utilizar una escala logarítmica en ordenadas. Comentar los espectros. Datos en Apéndice III.

P 5. Una serie de basaltos se ha generado por cristalización de olivino, clinopiroxeno,

ortopiroxeno y plagioclasa con una proporción en peso de, respectivamente, 55, 20, 15 y 10 %.

Calcular las razones

#

C jLF

C jLo y

#

C jCF

C jLo de Rb, Ce, Sr, Nd, Sm, Eu, Gd, Y, Yb y Ni, para un grado de

cristalización de 0.1, 0.5 y 0.9, considerando modelos de cristalización fraccionada y de tipo batch.

Proyectar los resultados en un diagrama semilogarítmico. Utilizar el orden de elementos establecido en

el ejercicio P.1. Coeficientes de partición mineral/fundido:

Fase Rb C e Sr Nd Sm Eu Gd Y Yb NiOl 0.0098 0.0069 0.014 0.0066 0.0066 0.0068 0.0077 0.01 0.014 5.9Opx 0.022 0.02 0.04 0.03 0.05 0.05 0.09 0.18 0.34 5Cpx 0.031 0.15 0.06 0.31 0.5 0.51 0.61 0.9 0.62 1.5Plg 0.071 0.12 1.83 0.081 0.067 0.34 0.063 0.03 0.067 0

P 6. Una secuencia de basaltos se ha generado por fusión parcial del manto. Asumiendo que el

material fuente estaba constituido por olivino, clinopiroxeno, ortopiroxeno y plagioclasa con una

proporción en peso de, respectivamente, 55, 20, 15 y 10 %, calcular las razones

#

C jLF

C jP y

#

C jRF

C jP de Rb, Ce,

Sr, Nd, Sm, Eu, Gd, Y, Yb y Ni, para un grado de fusión de 0.01, 0.1 y 0.3. Considerar modelos

fraccionales y de tipo batch. Proyectar los resultados en un diagrama semilogarítmico. Utilizar el orden


30

de elementos establecido en el ejercicio P.1 y los coeficientes de partición del ejercicio P.5.

P 7. Sea un gneis constituido por 30 % de biotita, 40 % de cuarzo y 30 % de feldespato K (datos

en peso). Debido a un proceso anatéctico, las fases minerales que lo componen funden con la

siguiente proporción: 0.2 de Bio, 0.5 de Q y 0.3 de FK. Calcular las razones

#

C jLF

C jP de Rb, Ce, Sr, Nd,

Sm, Eu, Gd, Y, Yb y Ni, para un grado de fusión parcial de 0.01, 0.1, 0.3, considerando un modelo de

fusión de tipo batch. Utilizar los siguientes coeficientes de partición:

Fase Rb C e Sr Nd S m Eu Gd Y Yb N iQ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0Kf 2.85 0.86 0.77 0.51 0.42 2.32 0.6 0.5 0.64 0.25Bio 6.98 0.05 0.01 0.08 0.06 0.05 0.1 0.1 0.12 9.66

P 8. Un magma máfico intruye en un nivel somero de la corteza desarrollándose un chilled margin que presenta 500 ppm de Ni y 150 ppm de Sc. Por un proceso de cristalización de tipo batch se generan tres niveles de gabros con razones Ni/Sc de (a) 3.11, (b) 2.75 y (c) 2.22. Asumiendo que el chilled margin representa el fundido inicial y que los gabros representa composiciones de líquidos fraccionados, calcular el grado de cristalización para cada uno de ellos. Considerar un coeficiente de distribución global para Ni y Sc de 1.7 y 0.99, respectivamente. Solución: (a) 0.1; (b) 0.3;(c) 0.7.

P 9. Se han fundido 100 mgr de un vidrio basáltico que contiene 300 ppm de Ni en un horno eléctrico a 1500 ºC. Posteriormente, se descendió la temperatura hasta 1000 ºC, generándose 0.02 gr de olivino y 0.01 gr de clinopiroxeno.

Calcular la razón

#

C jLF

C jL o del Ni. Utilizar los coeficientes de partición del problema P.5. Solución:

0.4926.


31

CAPÍTULO 6: TIPOLOGÍA DE ROCAS ÍGNEAS

DIAGRAMAS PARA LA CLASIFICACIÓN DE ROCAS ÍGNEAS

En este capítulo se presentan los diagramas de elementos mayores más utilizados para la clasificación de rocas ígneas y la determinación de la serie a la que pertenecen.

En general, los diagramas que se discuten se utilizan para rocas volcánicas y rocas plutónicas que representen composiciones de fundidos. Por lo tanto, cuando se utilicen estos diagramas para rocas plutónicas habrá que prestar especial atención a que estas no representen cumulados.

Los diagramas TAS (contenido total en álcalis (K2O+Na2O) frente a sílice) (Figs. 1 y 2) permiten una clasificación de las rocas ígneas volcánicas. Además, en el caso de composiciones con contenidos bajos o moderados en MgO (MgO < 8 % en peso), también permite diferenciar entre las series alcalinas y subalcalinas.

La Tabla 1. presenta la subdivisión de traquibasaltos y traquiandesitas en función de los contenidos en Na2O y K2O. Hawaiitas, mugearitas y benmoreitas se producen por la diferenciación de basaltos alcalinos; mientras que traquibasaltos potásicos, latitas y shoshonitas se pueden producir por diferenciación de basaltos alcalinos ricos en K.

Las series calco-alcalina y toleítica se pueden discriminar empleando el diagrama AFM (Fig. 3).

Tabla 1

aaaa

traquibasalto

traquiandesitabasáltica

traquiandesita

hawaiita

mugearita

benmoreita

traquibasaltopotásico

shoshonita

latita

Na2O - 2 ! K2 O Na

2O - 2 " K2 O

Subdivisión de traquibasaltos-traquiandesitas

Las rocas ígneas de arcos de islas se pueden clasificar en función de los contenidos en K2O y sílice empleando el diagrama de la Fig. 4.

El diagrama de Peacock (Fig. 5) permite establecer el grado de alcalinidad empleando un índice de calco-alcalinidad (el logaritmo de la razón CaO/(K2O+Na2O)) y el contenido en sílice.


32

El diagrama de Rittmann y Gottini (Fig. 6) permite discriminar las rocas volcánicas calco-alcalinas de márgenes convergentes de las de ambientes anorogénicos con afinidades toleíticas o alcalinas. El campo de “derivados leucocráticos” corresponden a rocas alcalinas derivadas de los grupos discriminados (en general, los litotipos ricos en Na derivan de rocas anorogénicos y los ricos en K de rocas de arco y de colisión).

A partir de métodos estadísticos multidimensionales aplicados sobre grandes bases de datos composicionales de rocas ígneas es posible determinar funciones de parámetros composicionales que permiten clasificarlas por afinidades composicionales o genéticas. En las Figs. 8 a 10, se presenta una serie de diagramas establecidos para la clasificación de granitoides basados en estas técnicas.

aaaa

0

2

4

6

8

10

12

14

16

35 40 45 50 55 60 65 70 75

Th + Ca

A

SiO2

Na 2O + K2O

basalto

andesitabasáltica

andesitadacita

riolita

picro-

basalto

tefrifonolita

fonotefrita

tefrita(Ol<10%)

basanita(Ol>10%)

fonolita

traqui-basalto

traqui-andesitabasáltica

traquiandesita

traquita(Q<20%)

traquidacita

(Q>20%)

ULTRABASICA BASICA INTERMEDIA ACIDA

Diagrama TAS

Figura 1. Diagrama TAS (contenido total en álcalis frente a sílice) para la clasificación de rocas volcánicas pobres en MgO. Símbolos: A, serie alcalina; Th+Ca, serie subalcalina (Th, serie toleítica; Ca, serie calco-alcalina). Datos en peso (%).

aaaa

0

1

2

3

38 43 48 53 58 63

Diagrama TAS: Rocas magnesianas

SiO2

Na2O + K2O

MgO > 18% picrita

MgO > 18% TiO2 > 1%

meimechita

MgO > 18% TiO2 < 1%

komatita

MgO > 8% TiO2 < 0.5%

boninita

Figura 2. Diagrama TAS (contenido total en álcalis frente sílice) para la clasificación de rocas volcánicas magnesianas. Datos en peso (%).


33

aaaa

Ca

Th + A

A

F

M

Figura 3. Diagrama AFM para la discriminación entre

series calco-alcalinas y toleíticas + alcalinas. Símbolos:

Th+A, series toleítica + alcalina; Ca, serie calco-alcalina. A,

Na2O+K2O; F, Fe2O3 + FeO + MnO; M, MgO. Datos en

peso.

aaaa

Rocas ígneas de arcos de islas

0

1

2

3

4

5

6

43 48 53 58 63 68 73

SiO2

K2O

aquíno

discrimina

bajo-K

medio-K

alto-K

shoshoníticas

Figura 4. Diagrama SiO2 vs. K2O (contenido total en álcalis vs. sílice) para la clasificación de rocas ígneas de arcos de islas. Datos en peso (%).


34

aaaaa

-2.00

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

40 45 50 55 60 65 70 75 80

Diagrama de Peacock

alcalinas cálcicas

SiO2

Log10(CaO/(Na2O+Ka2O))

Figura 5. Diagrama de Peacock para la determinación del grado de alcalinidad en función del contenido en sílice. Datos en peso (%).

aaaa

Diagrama de Rittmann-Gottini

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

1.40

1.60

1.80

2.00

-0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

Log10

(TAU)

CA

TH+ AL

derivadosleucocráticos

Log10

(SIGMA)

SIGMA=(K2O+Na2O)2/(SiO2-43)

TAU=(Al2O3-Na2O)/TiO2

Figura 6. Diagrama de Rittmann y Gottini para la discriminación de series de rocas ígneas. Símbolos: CA, serie calco-alcalina; Th+AL, series toleítica + alcalina. Datos en peso.


35

aaaaaa

Diagrama de Borodin

Acmolar

Log10[(Na+K)/Ca]molar

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

Th

CaExtrAlc

Alc

SubAlc

Acmolar

= 4Si/{1.5T i+3Al+2Fe3++5(Fe2++Mn)+5.5(Mg+Ca)+8.5Na+9.5K}

.

Figura 7. Diagrama de Borodin para la discriminación de series de rocas ígneas. Símbolos: Th, serie toleítica; Ca, serie calco-alcalina; SubAlc, serie subalcalina; Alc, serie alcalina; ExtAlc, series extremadamente alcalinas. Datos en moles.

aaaa

FD1-FD2 para granitoides con SiO2: 64-70 %

-0.50

-0.25

0.00

0.25

0.50

0.50 1.00 1.50 2.00 2.50

tipo- S

(cordierita)

tipo- S

(granate)

tipo-A2

tipo-A1

tipo-M

tipo-I

FD1

FD2

FD1=10*{0.1099ASI-0.085CAI+0.0892 KNaI+0.0127 FeMgI}

FD2=10*{-0.0591 ASI-0.0533CAI+0.0091 KNaI+0.0906 FeMgI}

Figura 8. Diagrama de Bea et al. (2000) para la clasificación de granitoides con contenidos en SiO2 comprendidos entre 64 y 70% en peso. Datos en moles.


36

aaaaa

FD1-FD2 para granitoides con SiO2 > 70%

0.50

0.75

1.00

1.25

1.50

1.00 1.50 2.00 2.50 3.00

FD1

FD2

tipo- S(cordierita)

tipo- S(granate)

tipo- A

tipo-M

tipo-I

indefi-nido

FD1=10*(0.1601*ASI-0.0354*CAI+0.048*KNaI-0.026*FeMgI)

FD2=10*(0.0061*ASI-0.0434*CAI+0.0145*KNaI+0.1236*FeMgI)

Figura 9. Diagrama de Bea et al. (2000) para la clasificación de granitoides con contenidos en SiO2 > 70% en peso. Datos en moles.

aaaaaa

Diagrama tipológico para granitoides

de Batchelor & Bowden (1985)

0

500

1000

1500

2000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Sin-colisión

Post-orogénicos

Tardi-orogénicos

Pre-colisión

Levantamientopost-colisión

R1

R2

R1molar =4*Si-11*(Na+K)-2*(Fe3++Fe2++Ti)

R2molar=6*Ca+2*Mg+Al

Figura 10. Diagrama de Batchelor y Bowden (1985) para la clasificación de granitoides. Datos en moles. Nota: para datos en peso normalizados a 100, multiplicar por 1000 el contenido molar obtenido.


37

APÉNDICE: CLASIFICACIÓN DE GRANITOS

Clasificación S-I-A-M de granitos

Granitos S: generados por fusión parcial de sedimentos peraluminosos.

Granitos I: generados por fusión parcial de rocas ígneas máficas.

Granitos A: granitos anorogénicos.

Granitos M: generados por diferenciación de fundidos mantélicos.

Parámetros empleados en la clasificación de granitos

Índice de Saturación en Alúmina, ASI = Al2O3/(CaO+Na2O+K2O) (en moles).

Índice Calco-Alcalino, CAI = CaO/(CaO + Na2O + K2O) (en moles).

Índice Sódico-Potásico, KNaI = K2O/(Na2O + K2O) (en moles).

Índice Hierro-Magnesio, FeMgI = (FeO+Fe2O3)/ (FeO+Fe2O3 + MgO) (en moles)

PROBLEMAS

P.1. Proyectar las muestras 911, 941, 411, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419 en el diagrama AFM. Datos composicionales en Apéndice IV.

P.2. Clasificar las siguientes muestras de composición granítica: 419, 4110, 4111. Utilizar los diagramas de clasificación de Bea et al., (2002) y de Batchelor y Bowden (1995). Datos composicionales en Apéndice IV. Pesos moleculares en Apéndice V.

P.3. Clasificar y determinar la serie a la que pertenecen las siguientes muestras: 411, 413, 414, 415, 416, 417, 418, 419, 4110 y 4111 Utilizar el sistema de clasificación TAS y los diagramas de Rittmann-Gottini y Borodin. Datos composicionales en Apéndice IV. Pesos moleculares en Apéndice V.

P.4. Proyectar en el diagrama AFM las siguientes composiciones:

S1: A = 50 %; F = 30 %; M = 20 %.S2: A/M = 0.25; F = 10 %.S3: A/M = 0.25; F/M = 0.50.


38

APÉNDICE I: FUNDAMENTOS DE ESTADÍSTICA

Media aritmética

Se define la media aritmética, o simplemente media,

#

x , de un conjunto de N elementos x1, x2,..., xN como:

#

x =xi[ ]

i=1

N

?

N

Si los números x1, x2,..., xK aparecen f1, f2,...fK veces, respectivamente, (o sea con frecuencias f1, f2,...fK) la media aritmética es:

#

x =fi xi[ ]

i=1

K

?

N

donde

#

N = fi[ ]i=1

K

? es la frecuencia total.

Media aritmética ponderada

A veces se asocian con los números x1, x2,..., xK ciertos factores peso (o pesos) :1, :2,... :K, dependientes de la relevancia asignada a cada número (e.g. :i puede ser el inverso del error asociado a xi). En tal caso, se define la media aritmética ponderada con pesos :1, :2,... :K como:

#

x =B i x i[ ]

i=1

K?

B i [ ]i=1

K

?

Varianza

Se define la varianza,

#

s x2 , de un conjunto de N elementos x1, x2,..., xN, como:

#

s x2

=

xi - x ( )2[ ]

i=1

N

?

N &1


39

Si los números x1, x2,..., xK aparecen con frecuencias f1, f2,...fK, la varianza puede expresarse como:

#

s x2

=

fi xi - x ( )2[ ]

i=1

K

?

N &1

donde

#

N = fi[ ]i=1

K

? es la frecuencia total.

Desviación típica o estándar

Se define la desviación típica de una variable x,

#

s x , como la raíz cuadrada de la varianza.

Dispersión relativa: coeficiente de variación

Cuando se comparan variaciones absolutas muy distintas de una propiedad es conveniente conocer la variación relativa. Una medida de estas variaciones vine dada por la dispersión relativa DR, que se define como:

DR = Dispersión absoluta/Promedio.

Si la dispersión absoluta es la desviación típica

#

s x y el promedio es la media

#

x , entonces la dispersión relativa se denomina coeficiente de variación, CVx:

#

CVX =s x

x

que, en general, se expresa como porcentaje.

Covarianza

Se define la covarianza, covxy, entre dos conjuntos de variables x e y con N elementos cada uno x1, x2,..., xN, y1, y2,..., yN, como:

#

covxy =

xi - x ( ), yi - y ( )[ ]i=1

N

?

N &1

Coeficientes de correlación: coeficiente de correlación linea


40

Los coeficientes de correlación son una medida del grado de interconexión entre variables, i.e. intentan determinar con qué precisión describe o explica la relación entre variables una ecuación lineal o de cualquier otro tipo.

Para el caso de relaciones lineales, se define el coeficiente de correlación lineal, rxy, entre dos conjuntos de variables x e y como:

#

rxy =covxy

sx , s y

Dependiendo del valor de rxy se tiene:

rxy > 0: correlación positiva (y tiende a aumentar cuando x crece).

rxy < 0: correlación negativa (y tiende a disminuir cuando x crece).

rxy = 0: no hay correlación lineal entre las variables (i.e. ausencia de correlación o correlación no lineal).

Métodos de regresión

Las técnicas de regresión tienen como objetivo encontrar la dependencia funcional entre una variable dependiente y y un conjunto de variables independientes

#

x1,x2, ...,xp (p > 1) a partir de un conjunto de datos

#

(y1,x11,x1

2, ...,x1p) ,

#

(y2,x21 ,x2

2, ...,x2p) , ...,

#

(yN,xN1 ,xN

2 ,...,xNp ) , es decir, pretende

encontrar una función y =

#

f (x i1,x i

2, ...,x ip) , que se ajuste al conjunto de datos.

Uno de los procedimientos de ajuste de curvas más empleado es el denominado método de

mínimos cuadrados, que consiste en imponer que la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores empíricos yi y los valores teóricos

#

f (x i1,x i

2, ...,x ip) , asociados a cada

#

(x i1,x i

2,...,x ip ) , sea

mínima, es decir minimizar la expresión:

#

yi & f (x i1,x i

2, ...,x ip)[ ]

i=1

N

?2

= ei2

i=1

N

?

donde ei son los residuales de yi.

Ajuste lineal

A continuación se describe el método de mínimos cuadrados para el ajuste de funciones lineales


41

con p = 1, es decir, se trata de ajustar una función del tipo:

y = f(x1) = a + b x1 (1a)

a un conjunto de datos dados. Según el método de los mínimos cuadrados, el problema consiste en minimizar la función:

#

F(a,b) = yi & a & b x i1[ ]

i=1

N

?2

donde las incógnitas son a y b.

Derivando parcialmente F con respecto a a y b, e igualando a cero obtenemos:

#

>F

>a( )b= 0

#

&2 yi & a &b x i1[ ]

i=1

N

? = 0

#

yi[ ]i=1

N

? & aN & b x i1[ ]

i=1

N

? = 0

#

aN + b x i1[ ]

i=1

N

? = yi[ ]i=1

N

? (2a);

y

#

>F

>b( )a= 0

#

&2 yi & a &b x i1( ) x i

1[ ]i=1

N

? = 0

#

yi x i1[ ]

i=1

N

? & a x i1[ ]

i=1

N

? &b x i12[ ]

i=1

N

? = 0

#

a x i1[ ]

i=1

N

? + b x i12[ ]

i=1

N

? = yi x i1[ ]

i=1

N

? (2b).

Las relaciones (2a) y (2b) constituyen un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas,


42

denominado ecuaciones normales del ajuste lineal.

Resolviendo, obtenemos:

#

a =y i[ ]

i=1

N? , x i

12C D E

F G H & x i

1[ ]i=1

N? , yi x i

1[ ]i=1

N?

i=1

N?

N, x i12C

D E F G H

i=1

N? & x i

1[ ]i=1

N?-

. /

0

1 2

2 (3a)

#

b =N, y i x i

1[ ]i=1

N? & y i[ ]

i=1

N? , x i

1[ ]i=1

N?

N, x i12C

D E F G H

i=1

N? & x i

1[ ]i=1

N?-

. /

0

1 2

2 (3b)

que son, respectivamente, la intersección y la pendiente de la recta de regresión de y sobre x1.

Introduciendo los valores medios de x1 e y , respectivamente,

#

x 1e

#

y en la expresión (3b) y operando se obtiene:

#

b =y i - y ( ), x i

1 - x 1( )[ ]i=1

N?

x i1 - x 1( )

2C

D E F

G H i=1

N?

(4a)

Por otra parte, dado quela recta de mejor ajuste debe contener al punto (

#

x 1,

#

y ), la intersección con el eje de ordenadas a también se pude obtener de la siguiente forma:

a =

#

y - b

#

x 1 (5),

donde b se calcula a partir de (4a).

Análogamente se puede derivar la recta de regresión de x1 sobre y:

x1 = f(y) = a’ + b’ (1b),

obteniéndose:

#

bI =yi - y ( ), x i

1 - x 1( )[ ]i=1

N?

y i - y ( )2[ ]i=1

N?

(4b)

Los valorles (a, b) y (a’, b’) definirán la misma recta si b x b’= 1. Pero según (4a) y (4b):


43

#

b , bI = rxy2

Por lo tanto las dos rectas serán iguales si el coeficiente de correlación lineal entre las variables es 1 ó -1, es decir, si existe una correlación perfecta.

Parámetros de dispersión del ajuste mínimo cuadrático

La varianza de la pendiente b y de la intersección a vienen dadas por:

#

sb

2=

sxy2

x i1 - x 1( )

2C

D E F

G H i=1

N?

y

#

sa

2=

sxy2 , x i

1[ ]i=1

N?

N, x i1 - x 1( )

2C

D E F

G H i=1

N?

donde

#

sxy2 es el cuadrado del error medio y se calcula a partir de:

#

sxy2 =

yi - y ( )2[ ]i=1

N? &b yi - y ( ), x i

1 - x 1( )[ ]i=1

N?

N& 2 Método de York

Como se ha indicado anteriormente, los ajustes mínimo cuadráticos de y sobre x1 y de x1 sobre y definirán una misma recta si la correlación entre variables es perfecta. Pero en general esto no es así, y en el caso particular del ajuste de isocronas, se pueden obtener resultados diferentes en función de la razón isotópica considerada como variable dependiente.

Por otra parte, debido a que las variables empeadas en la ecuación de la isocrona son razones isotópicas con un denominador común, los errores asociados a estas variables no son independientes, es decir, pueden presentar cierta correlación.

Por lo tanto para el ajuste de isocronas, se deben utilizar técnicas de mínimos cuadrados que minimicen la incertidumbre asociada a las variables x e y y que tengan en cuenta la posible correlación de errores. A continuación se presenta una ecuación derivada por York (1967, 1969) que resuelve este problema y es de uso generalizado en geocronología.

La ecuación de York para la pendiente de la isocrona vine dada por:

#

b =

Zi2 Vi ,

UiB yi

+ bViB

xi1& riVi

!i

C

D E E

F

G H H

J K L

M L

N O L

P L i=1

N?

Zi2 U i ,

UiB yi

+bViB

xi1&

b riVi!i

C

D E E

F

G H H

J K L

M L

N O L

P L i=1

N?

(6),

donde:


44

#

B yiy

#

Bxi

1 : factores de ponderación de las variables yi y

#

x i1;

ri: coeficiente de correlación de los errores de yi y

#

x i1 (vale 1 si los errores presentan una

correlación perfecta y 0 si son independientes);

#

Ui = x i1 - x 1

#

Vi = yi - y ;

#

x 1 =Zi xi

1[ ]i=1

N?

Zi[ ]i=1

N?

#

y 1 =Zi yi[ ]

i=1

N?

Zi[ ]i=1

N?

;

#

!i = Bxi

1 , By i;

y Zi viene dado por:

#

Zi =B

xi1 ,B yi

b 2B yi+B

xi1 &2 b ri B

xi1 ,B yi

La mejor estimación del parámetro a, i.e. la intersección con ordenadas, se puede obtener a partir de (5).

Es importante observar que b aparece en el miembro de la derecha de (6). Por lo tanto, la estimación de la pendiente requiere un cálculo iterativo en el que es necesario introducir un valor inicial de b. Así el modo general de operar es:

Se asigna un valor inicial a b (bo), que puede ser estimado gráficamente o por el método de mínimos cuadrados discutido anteriormente.

Se calcula un nuevo valor b1 a partir de bo.

Se repiten los cálculos de b introduciendo los sucesivos valores b1, b2, b3,...., br hasta que el resultado de b no cambie dentro de un nivel de precisión determinado.

Parámetros de dispersión del ajuste de York

Una buena aproximación de la varianza de la pendiente b y de la intersección a vienen dadas por:


45

#

sb

2= 1

Zi ,U i2[ ]

i=1

N?

y

#

sa

2=

s b2

Zi[ ]i=1

N?


46

APÉNDICE II: ELEMENTOS TRAZA EN COMPOSICIONES MODELO Y EJEMPLOS DE ROCAS

(datos en ppm)

Tierra Corteza NMORB MO23 VI135 VLC9 silicatada continental

Li 1.6 11 9 4.21 6.11 54.2Rb 0.6 58 1.26 1.29 7.85 28.9Cs 0.021 2.6 0.0041 * 0.191 0.62Sr 19.9 325 113 283 869 151Ba 6.6 390 13.87 20.7 282 491Sc 16.2 22 40.37 47.8 22.4 5.15V 82 128 * 260 276 43Ni 1960 51 149 102 39.1 4.24Ga 4 16 * 15.7 21.9 26.9Y 4.3 20 35.8 28.6 24.8 27.4Nb 0.658 12 3.51 0.32 5.22 130Zr 10.5 123 104 49.7 108 362Pb 0.15 14.8 0.489 1.07 3.91 4.69U 0.02 1.42 0.071 0.03 0.31 1.61Th 0.079 5.6 0.187 * 0.95 9.8


47

APÉNDICE III: REE EN COMPOSICIONES MODELO Y EJEMPLOS DE ROCAS

(datos en ppm)

Condrito NMORB Corteza Tierra MO23 VI135 VLC9continental silicatada

La 0.237 3.895 18 0.648 1.51 34.13 85.486Ce 0.613 12.001 42 1.675 5.48 84.183 174.45Pr 0.093 2.074 5 0.254 1.125 10.845 20.357Nd 0.457 11.179 20 1.25 6.79 45.673 74.346Sm 0.148 3.752 3.9 0.39 2.757 9.106 13.455Eu 0.056 1.335 1.2 0.131 1.165 2.33 3.916Gd 0.199 5.077 3.6 0.513 3.647 7.566 10.183Tb 0.036 0.885 0.56 0.095 0.641 0.96 1.383Dy 0.246 6.304 3.5 0.643 4.804 4.57 6.638Ho 0.055 1.342 0.76 0.126 1.098 0.883 1.169Er 0.16 4.143 2.2 0.438 2.896 2.227 2.828Tm 0.025 0.621 0.3 0.064 0.432 0.361 0.387Yb 0.161 3.9 2 0.441 2.725 2.234 2.295Lu 0.025 0.589 0.33 0.064 0.397 0.325 0.296


48

APÉNDICE IV: ANÁLISIS DE ROCAS ÍGNEAS (Tomado de Hughes, 1982)

411 413 414 415 416 417 418 419 4110 4111 911 941 4110 4111 911 941

SiO2 46.32 43.49 45.4 46.82 54.7 54.91 62.9 65 71.98 76.25 49.93 48.53 71.98 76.25 49.93 48.53TiO2 0.35 2.13 3 1.95 0.85 0.48 0.41 0.74 0.37 0.11 1.51 2.24 0.37 0.11 1.51 2.24Al2O3 3.01 12.66 14.7 14.5 18.07 12.73 16.15 15.4 13.13 10.86 17.25 14.49 13.13 10.86 17.25 14.49Fe2O3 6.27 2.06 4.1 5.26 3.9 1.02 1.37 2.46 1.33 1.23 2.01 4.47 1.33 1.23 2.01 4.47FeO 4.84 9.45 9.2 6.78 3.75 6.41 3.09 2.4 1.64 0.76 6.9 8.15 1.64 0.76 6.9 8.15MgO 34.04 12.68 7.8 7.61 3.32 11.29 0.61 2.6 0.56 0.18 7.28 7.42 0.56 0.18 7.28 7.42MnO 0.19 0.23 0.2 0.2 0.16 0.17 0.14 0.06 0.14 0.03 0.17 0.2 0.14 0.03 0.17 0.2CaO 4.78 12.44 10.5 11.07 8.17 8.34 1.89 6.4 1.15 0.37 11.86 11.36 1.15 0.37 11.86 11.36Na2O 0.17 3.08 3 2.56 3.69 1.88 6.17 3.88 2.98 4.68 2.76 2.52 2.98 4.68 2.76 2.52K2O 0.03 1.32 1 0.36 1.88 0.67 5.58 0.95 4.93 4.65 0.16 0.34 4.93 4.65 0.16 0.34P2O5 0.02 0.48 0.4 0.22 0 0.1 0.17 0.18 0.19 0.01 0.16 0.28 0.19 0.01 0.16 0.28Total 100 100 99.3 97.3 98.5 98 98.5 100.1 98.4 99.1 100 100 98.4 99.1 100 100


49

APÉNDICE V: PESOS MOLECULARES

SiO2 60.08

TiO2 79.90

Al2O3 101.96

Fe2O3 159.69

FeO 70.94MgO 40.30MnO 70.94CaO 56.08Na2O 61.98

K2O 94.20

P2O5 141.94


50

BIBLIOGRAFÍA

Albarède, F., 1995. Introduction to geochemical Modeling. Cambrige Universtiy Press., Cambrige, 543 pp.

Batchelor, R.A. y Bowden, 1985. Petrogenetic interpretation of granitoid rock series using multicationic parameters. Chem. Geology, 48, 43-55.

Bea, F (en prensa). Behavior of Trace Elements in Magma Genesis and Evolution Encyclopedia of Life and Supporting Systems. UNESCO; New York

Bea, F., Corretgé, L.G. y Fershtater, G., 2000. A systematic typology of granitoid rocks from major element composition I: the upper silica range. Boletín de la Sociedad Española de Mineralogía, 23, 121-133.

Bowen, R., 1988. Isotopes in the Earth Science. Elsevier Applied Science. London, 647 pp.

Brownlow, A.H., 1996. Geochemistry. Prentice-Hall, London, 580 pp.

David, J.C., 1973. Statistics and data analysis in geology. John Wiley & Sons, New York, 646 pp.

Faure, G., 1986. Principles of isotope geology. Wiley, New York, 589 pp.

Faure, G., 2001. Origin of the igneous rocks. The isotopic evidence. Springer, Berlin, 496 pp.

Henderson, P., 1986. Inorganic geochemistry. Pergamon Press, Oxford, 353 pp.

Hughes, C.J., 1982. Igneous petrology. Development in Petrology, 7. Elsevier Scientific Publishing Company, Amsterdam, 551.

Krauskopt, K.B., 1982. Introduction to geochemistry. Interantional Student Edition, McGraw-Hill, Singapore, 617 pp.

Le Maitre, R.W., 1982. Numerical petrology: Statistical interpretation of geochemical data. Elsevier, Amsterdam.

Le Maitre, R.W., Bateman, P., Dudek, A., Keller, J. et al., A classification of igneous rocks and glossary of terms. Blackwell, Oxford.

Peña, D., 2002. Regresión y diseño de experimentos. Ciencias Sociales Alianza Editorial. Madrid, 744 pp.

Rittmann, A., 1973. Stable mineral assemblages of igneous rocks. Mienral, rocks and inorganic materials. Monograph series of theoretical and experimental studies, 7. Springer-Verlag, Berlin, 262 pp.

Rollinson, H., 1993. Using geochemical data: evaluation, presentation, interpretation. Longman Scientific and Technical. Essex, 352 pp.

Spiegel, M.R., 1991. Estadística. Traducido por Hernandez Heredero, R y Abellanas Rapun L. McGraw-Hill, México, 556 pp.

Valderrama Bonnet, M.J., 1989. Métodos matemáticos aplicados a las ciencias experimentales. Ciencia y Técninca. Piramide, Madrid, 447 pp.

Waltham, D., 2000. Mathematics. A simple tool for geologists. Blackwell Science, Oxford, 201 pp.


51

Documents

Curso de Geoquimica