Módulo I- Conocimientos Básicos Sesión 01- Fundamentos de la Cinta Möbius

Curso “…Cinta Möbius y caminos parasu aplicación en Arquitectura y Arte…”

Prof. Gonzalo Vélez Jahn Enero 2009

¡ Cordial bienvenida, participantes en el Curso!Entren, entren, pasen adelante y cuidado con el escalón…Sirvanse un cafecito, copa de té o bombilla de mate según su preferencia. Bien caliente…

! Buenos días, tardes o noches !: Soy el profesor Gonzalo Vélez Jahn, de la FAU-UCV en Caracas, facilitador de este curso y esta es nuestra Aula Virtual, en el Ciberespacio, donde cumpliremos el primer Módulo (lease el primer trimestre de 2009) de nuestro Curso. No tiene techo porque nunca llueve ni hace sol directo y, solo raramente, mosquitos… Más allá, el Taller ArquiMöbius (también virtual) donde incursionaremos para explorar, descubrir, crear y trabajar en equipo los restantes tres semestres del año, hasta el final de este curso. Y pueden oir música, duro, sin molestar a los demás…

Pero siéntense, por favor. Hay puesto, para todos y todas, en primera fila…

¿ Hay alguna pregunta inicial ? ¿ Alguna observación ?... ¿ Que dónde quedan los sanitarios ? - Aquí no hay sanitarios pero en sus residencias o lugares de trabajo real quedan “a brinquito”…¿ Otra pregunta ?... ¿ Que cuál es el programa previsto para el primer trimestre ?...Bueno, entremos en materia y pasemos a la siguiente página del material escrito hoy distribuído.

Esta corta introducción podrá ser vista / escuchada por las personas inscritas 01 a 20 accediendo a la dirección:http://www.youtube.com/watch?v=1QDMSzkZt8k

Comencemos por decir que este es un curso ambicioso, con varias dimensiones de aprendizaje. Ya comentamos la primera que es la de secuenciar dos ámbitos de aprendizaje, Aula y Taller, ya lo mencionamos anteriormente. La segunda concierne a tres niveles progresivos de aprendizaje apoyados por interacción: aprender viendo (muy bajo grado de interacción), aprender usando y aprender haciendo (máximo grado de interacción). Y una advertencia temprana: aquellos integrantes de los grupos A del curso (los que se hayan inscrito hasta el día de hoy, 15 de enero) que deseen alcanzar el nivel máximo de haciendo, y, hasta cierto punto. dominar el nivel de intermedio de usando, deberán bien instalar en sus computadoras el PowerPoint

Dividiremos el curso, como tal, tres módulos: Fundamentos (enero-marzo); Herramientas & Conceptos Avanzados (abril- julio) y Búsqueda y Elaboración de Aplicaciones en Arquitectura y en Arte (agosto- noviembre) . Para culminar, en el mes de diciembre, con una evaluación de lo realizado. De estos el primer módulo se apoyará en estudio y observación mientras que los últimos dos conformarán conjuntamente una actividad de búsqueda y experimentación, el Taller ArquiMöbius… No habrá asignaciones obligatorias – después de todo este es un curso gratuito y libre. Pero, para beneficio de las personas interesadas y con tiempo disponible, se plantearán opcionalmente ejercicios, tareas, trabajos parciales y Trabajo Final. De ellos, los trabajos serán realizados en equipos de no más de 3 personas c/u a distancia, excepto el final que podrá ser entre 5 personas..Las consignas del Taller serán: explorar, descubrir, inventar, crear, HACER….

“De los rayos de luz del sueño puro, haz lanza de combate, soñador”. - Anthero de Queral

Este primer módulo, de FUNDAMENTOS, al que damos inicio hoy se dividirá en tres sesiones: S1. Visualización de la Cinta Möbius: entorno, origen, comportamiento, propiedades (Ene.) S2. Ejemplos pioneros. Recuento histórico de aplicaciones de la Cinta en Arq. y Arte (Feb.) S3. Recientes aportes arquitectónicos y artísticos (Marzo).

MODULO I- FUNDAMENTOS / SESION #1- Visualización de la Cinta de Möbius.

Entorno- Para entender con plenitud la importancia actual de la Cinta Möbius en el entorno del mundo en que vivimos es disfrutar previamente de una visión del mismo actualizada y poderosa y nada mejor que el exquisito video francés que recomendamos a ustedes no dejar de verlo en:

DIMENSIONS (Versión en español) http://www.dimensions-math.org/Dim_regarder_E_ES.htm

Se trata de un auténtico deleite a gran escala) para los sentidos y para el intelecto…

S1.1- Orígenes

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Orígenes-

La cinta de Möbius (en lo sucesivo Cinta Möbius) fue descubierta por el destacado matemático alemán August Ferdinand Möbius (1790-1868), dentro de sus esfuerzos como apoyo a su teoría del universo, en septiembre de 1858 (Werke 2, 517-521) cuando ya este frisaba los 70 años. Parece una injusticia que este hombre, timido y taciturno, vista la magnitud y calidad de su aporte, debió esperar tanto tiempo para tener la oportunidad de alcanzar la inmortalidad. Y aún cuando, de hecho, ya era un destacado astrónomo y matemático de su generación, todavía más asombroso resulta que un personaje de tal perfil tuviera el arrojo de presentar, dentro de la más rigurosa formalidad, su frágil cinta a la Real Sociedad de Matemáticas Alemana; de allí se sucedieron avances, uno tras otros, que lo llevaron

a convertirse en precursor de una naciente disciplina: la Topología, base de conocimientos que sustenta conceptualmente el presente curso.

Además de Möbius, sería injusto mencionar a otro investigador alemán, Johann Benedict Listing (1808-1865) quien, viviendo en la misma época que el primero, reclama para sí, con importancia creciente a medida que transcurre el tiempo y los investigadores documentales afinan sus lupas, su parte de gloria tanto en cuanto al descubrimiento de la famosa Cinta como en lo referente a su relevancia como pionero de la Topología. Pero dejemos esa crecientemente agria discusión a la consideración de los historiadores y aboquémonos al propósito central de este curso... Ahora, antes de proceder con el contenido formal del temario planteado para esta primera sesión, les pido que realicemos un ejercicio mental y de reflexión: imaginemos que hemos cortado dos tiras o bandas de papel- la primera nos servirá para unir sus extremos, sin torsiones de ningún tipo y el resultado será obtener una forma cerrada análoga a un anillo (anular); a la segunda tira le aplicaremos medio giro (o torsión), antes de pegar sus extremos y obtendremos la celebrada Cinta Möbius. Pongamos ahora esos dos objetos frente a frente, observémoslos comparativamente y elaboremos una lista de diferencias entre ellos. Guardemos luego esa lista para futura referencia.

http://es.wikipedia.org/wiki/Banda_de_Möbius

Definiciones iniciales-A los efectos del presente curso nos referiremos tan sólo a aquellas definiciones que nos permitan validar transformaciones y comparaciones entre objetos geométricos visualizándolos desde un punto de vista topológico. Serán nuestra herramienta de trabajo, nuestro faro para mantener nuestro rumbo en el proceso de imponer deformaciones topológicas a un objeto sin alterar su identidad. Comencemos por la Topología, conocida en el lenguaje popular como la “ciencia de las figuras de goma” (debido a su capacidad para estudiar deformaciones no desde el punto de vista dimensional (como la geometría tradicional) sino relacional y de vecindades. También se la ha definido como “ciencia de las formas”. Una definición más ortodoxa la describe como “el estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Es una disciplina matemática que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas” (http://es.wikipedia.org/wiki/Topología). La topología se ha ramificado grandemente en el tiempo, aceptando áreas de competencia y estudio de menor o mayor grado de abstracción con relación a los modelos que estudia y sobre lo cual no entraremos en detalle innecesario para el siguiente curso.

Invariante topológica- Se refiere a aquellas propiedades de un objeto que no experimentan cambios al deformarse el mismo, siempre y cuando dicha deformación no contemple el añadido o la sustracción de partes por medio de cortes o desgarramientos. Concierne a cada una de las varias propiedades primitivas que deben sobrevivir inalteradas e un objeto para que este retenga su integridad desde un punto de vista topológico.Transformación- Proceso mediante el cual un objeto geométrico se cambia aparentemente en otro. Desde el punto de vista topológico, sin embargo, el objeto puede retener su identidad siempre y cuando el proceso de transformación se realice en forma continua, sin incluir desgarramientos ni nuevas aberturas en el objeto a ser transformado.

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Características:

Deformación continua- Aquel tipo de transformación impuesta a un modelo geométrico que se caracteriza por un proceso gradual a lo largo del cual no experimentan cambio las invariantes topológicas del mismo. Propiedades topológicas:Continuidad- Capacidad que posee un cuerpo aceptar una deformación sin que se afecte la comunicación existente entre las diferentes regiones o conjuntos de puntos que lo integran.

Conectividad- Propiedad que describe el grado de comunicación existente entre las diferentes regiones o subconjuntos de puntos que conforman un cuerpo.

Compacidad- Propiedad que expresa la capacidad de reducir las dimensiones de un objeto eliminando espacios libres internos sin alterar las invariantes topológicas que lo caracterizan.

Orientabilidad- Capacidad que posee la superficie de un cuerpo o el espacio de un volumen para observar una orientación individual, en función del sentido de las agujas del reloj, cualquiera sea el tipo de desplazamiento a que sea sometido dicho punto. La Cinta Möbius es una superficie no orientada.

Construcción de una Cinta Möbius:Excelente y muy pedagógica explicación gráfica:http://blogs.elcomercio.com.pe/vidayfuturo/g160508aprende.jpgLa quintaesencia de la sencillez (Le ruban de Möbius)http://moebius.matthieu-varaldo.com/ Construcción y propiedades de una Cinta Möbius en detalle.http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=586&IDD=0

Experimentos Clásicos:Excelente demostración en YouTube : no se la pierdan…http://es.youtube.com/watch?v=JHSfKwhSOos

Animación del recorrido por Cintas Möbius http://upload.wikimedia.org/wikipedia/fr/c/c3/MobiusAnime.gifhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/fr/f/fb/MobiusAnime2.gif

Cinta Móbius como un “toro” con medio giro. (Hacer clic en la imagen y, luego, en opción 1) http://demonstrations.wolfram.com/MoebiusStripAsAHalfTwistedSquareTorus

Cinta Möbius InteractivaEspere a que aparezca la Cinta y luego la pisa “halándola” con el puntero. Podrá manipularla. http://mathworld.wolfram.com/MoebiusStrip.html

Una última referencia para aquellos de ustedes que deseen observar y manipular una cinta Möbius en un espacio 3D simulado. Si poseen el lenguaje VRML (Realidad Virtual) instalado o conocen de algún amigo o amiga que lo tenga vale la pena que visite la siguiente dirección:

http://www-vrl.umich.edu/project2/moebius/ no se la pierdan….

http://www-vrl.umich.edu/project2/moebius/escher_scr.jpg

http://www-vrl.umich.edu/project2/moebius/mpic2_scr.jpg

FIN DE LA PRIMERA SESION (Enero 2009)