Curso para la enseñanza Nº1nuestraescuela.educacion.gov.ar/wp-content/uploads/2017/07/Primaria... · • Analizar los aspectos centrales del enfoque didáctico de la enseñanza

CursoparalaenseñanzaNº1NivelPrimarioSegundoCicloMatemáticaLadivisión.Problemasycálculos.

COORDINADOR

Año2017

PresentaciónEsampliamentecompartidoentrelosdocenteseldesafíoqueimplicaelabordajedeciertoscontenidosalolargodelaeducaciónprimaria.Entreellos,ladivisiónocupaunlugarrelevante,ysusdificultadesasociadasse trasladan en algunos casos a niveles superiores de la escolaridad. Sobre la base de esta premisa, elpresenteCursopara la Enseñanza seproponeel abordajede aportes teóricos–tantomatemáticos comodidácticos– respecto a la articulación entre el cálculomental y el cálculo algorítmico en la resolución decuentasdedividir,yelestudiode losdistintosproblemaspara loscualesestecálculoesunaherramientaválida.Dicho abordaje se realizará en constantediálogo con las prácticas de los propios docentes en susescuelas.En este sentido, –enmarcados en el Programa de Formación Situada– se promueve el intercambio desaberesdocentesysaberesexpertosgeneradosenlainvestigacióneducativaycientífica,articulándolosconlosaportesdelenfoquededesarrollodecapacidades.El enfoque didáctico para la enseñanza de la matemática que subyace en los documentos curricularesnacionalesproponeunaenseñanzade lamatemáticabasadaen la resolucióndeproblemasy la reflexiónsobre estos. Sobre la base de este enfoque particular acerca de qué significa aprender, enseñar y hacermatemática, el curso se organiza en torno a un trabajo matemático que les permita a los docentesparticipantes vivenciar ese quehacer y reflexionar acerca de sus particularidades y sentidos. Se parte delconvencimientodequeparaenseñarahacermatemáticaesnecesariohaberpasadopreviamenteporesaexperiencia para luego identificar las condiciones que permiten instalar ese quehacer en las aulas. Enparalelo,seproponebrindarherramientasqueubiquenalanálisisdidácticocomounadimensiónrelevantedelatareadocente.ObjetivosSeesperaquelosdocentesencuentrenoportunidadespara:

• Identificarproblemasde laenseñanzayelaprendizajede ladivisiónenelsegundociclode laeducaciónprimaria.

• Identificaryanalizarsusconcepcionessobreeldominiodeladivisión.• Incorporar conocimientos disciplinares y didácticos que permitan reflexionar acerca de la

enseñanzadeladivisiónenelsegundociclo.• Realizarunanálisisdidácticodediferentespropuestasdeenseñanza.• Implementarpropuestasdeenseñanzaensusaulasreflexionandosobreloslogrosydificultades

enlagestióndeestas.• Interpretarlasproduccionesdelosalumnosdesdeunmarcodidáctico-matemáticoquepermita

repensarlagestióndesusclases.

• Analizarlosaspectoscentralesdelenfoquedidácticodelaenseñanzadelamatemáticavigentesenlosdiseñoscurriculares.

• Propiciareltrabajocolaborativoentrelosdocentesparticipantes.• Favorecerinstanciasdemetacogniciónconrelaciónalapropiaprácticayalaprendizaje.

MetodologíayestrategiautilizadaElpresentecursoestáestructuradoentornoadosinstanciasindispensablesparael logrodelosobjetivosplanteados: encuentros presenciales con especialistas y colegas e instancias de práctica en el aula y laescuela.En los encuentros presenciales con especialistas y colegas se desarrollará una práctica matemática deresolución de problemas con una gestión modélica, con momentos de producción de estrategiaspersonales, de comunicación, debate y elaboración de conclusiones matemáticas. Así también, sehabilitarán espacios de reflexión didáctica sobre lo vivido, analizando el “lugar” de los que producen lasoluciónydequienconducelaclase,eltipodecontexto,lavariedaddeprocedimientos,representacionesylaspropiedadesy/orelaciones involucradasenlasdiversasestrategias.Además,setrabajaráenelanálisisdepropuestasdeenseñanzaponiendoelfocoensuspropósitosyorganización,tiposdetareasylasformasdellevaradelantelapuestaencomún.Setendránencuentalascapacidadesquedesarrollanlosalumnoscuandoeltrabajomatemáticoenlaclaseincluyelosmomentosseñalados.En las instanciasdeprácticaenelaula sepromoverá la implementaciónde laspropuestasdeenseñanzaabordadas en los encuentros presenciales y su registro para luego poder ser retomadas como objeto dereflexión.ContenidosycapacidadesaabordarCapacidades:➢ Cognitivas- a partir de una práctica matemática y el posterior análisis de esta, identificar problemáticas

vinculadasconlaenseñanza;- incorporarherramientasteóricas,tantomatemáticascomodidácticas,quepotencienelanálisisde

propuestasdeenseñanza.➢ Intrapersonales- propiciarunaposturacríticaquelepermitareflexionarsobrelapropiapráctica;- conocerycomprenderlaspropiasnecesidadesdeformaciónprofesional;- favorecereldesarrolloyconsolidacióndeunamiradaestratégicaentornoa laplanificaciónde la

propuestadeenseñanza.➢ Interpersonales

- fomentareltrabajoenequipoentrecolegas,reflexionandosobrelaprácticadocente.Contenidos:ElcampodeladivisiónSentidosdeladivisión.Problemasyprocedimientosderesolución.Problemasdeanálisisdelresto.Repertoriosyestrategiasdecálculomentaldedivisión.Latablapitagóricacomoherramientaparadividir.Divisiónporpotenciasde10.Cálculoestimativoyconcalculadora.Delcálculomentalalalgorítmico.Diversosalgoritmosdeladivisión.Conceptodedivisiónentera.Aspectosgeneralesreferidosalenfoquedeenseñanza.Condicionesparalaresolucióndeproblemasenlaclasedematemática.Análisisdidácticodelaspropuestasdeenseñanza.Laplanificaciónylagestióndelaclase.Estructuradedesarrollo

ENCUENTRO1ContenidosdelencuentroEltrabajoentornoaladivisiónensegundociclo.Condicionesparalaresolucióndeproblemasenlaclasedematemática.BibliografíadelencuentroMinisterio de Educación de la Nación (2007). Cuadernos para el aula. Matemática 4. Buenos Aires:

Ministerio de Educación de la Nación. Recuperado dehttp://www.me.gov.ar/curriform/nap/matematica4_final.pdf

Primermomento.PRESENTACIÓNDELCURSO

Brevepresentacióndelcursoacargodelcapacitador.

Segundomomento.PROBLEMAPARARESOLVER

Resuelvan en parejas el siguiente problema sin usar divisiones. Expliquen detalladamente elprocedimientoqueutilizaronparallegaralarespuesta.Una fábrica de lápices los vende en cajas de 12. Si produjeron 4673 lápices, ¿cuántas cajaspuedenarmar?

Guíaparacoordinareldesarrollodelaactividaddelsegundomomento

La idea de proponer este problema a los maestros tiene por objetivo reflexionar tanto acerca de lasdiferentesestrategiasderesolucióndelproblema–ademásdeladivisióncomodelprocesoderesolucióndeproblemas–ylastareasinvolucradaseneste.

Larestriccióndeusarladivisiónpararesolverelproblemallevaalosdocentesatenerquetomardecisiones,arealizaruntrabajodebúsquedayexploración,loquehabilitaráunanálisisposteriorsobrelascondiciones

de trabajo matemático que se propone generar en las aulas. Se trata de un problema que admiteestrategiasde resoluciónmuyvariadas, algunasmásartesanales,otrasmás convencionales. Lapuestaencomún de las distintas formas de resolución y su análisis permitirá retomar aspectos vinculados con lagestióndelaclaseenotromomentodelcurso.

ANÁLISISDELPROBLEMA

Esteproblemasepuederesolvermedianteprocedimientoscomo:• Sicadacajatiene12lápices,sepuedesumar12hastallegaralacantidadtotaldelápicesolo

más cerca posible: 12 + 12 + 12 + …. Hay que tener en cuenta que cada 12 que se sumacorrespondea1caja,porlocualhayqueregistrarlacantidaddevecesquesesuma.

• Puede restarse 12 tantas veces como sea posible al total de lápices: 4673 – 12 – 12 -…Nuevamente,hayquetenerencuentaquecada12queserestacorrespondea1cajadelápices.Además,hayquerestar12hastaquenosepuedarestarmás(obienporquesellegóa0oaunnúmeromenorque12).

• Losvaloreselegidoshacenquesumarorestarsetornearduo,porlocualesesperablequesurjalamultiplicacióncomounmétodoquepermite“resumir”losdosanterioresenmenorcantidaddepasos.

Elcapacitadorpuedeescribirelprocedimientocompleto,apoyándoseenelcontextodelproblema:Si se arman 100 cajas, se usan 100 × 12 = 1200 lápices. Quedan, entonces, 4673 – 1200 = 3473lápices.100cajasmássonnuevamente1200 lápices.Quedan3473–1200=2273.Otras100cajasmásyquedarían2273–1200=1073lápices.Noalcanzaparaarmar100cajasmás.Sipara100cajas seusan1200 lápices,para50seusan lamitad,600.Sisearman50cajasmásquedan1073-600=473lápices.Yanoesposiblearmarotras50cajas,perosi50cajasson600 lápices,25cajas (lamitadde50)serán300 lápices(lamitadde600).Sisearman25cajasmásquedan473–300=173lápices.Siunacajatiene12lápices,en10cajashabrá120lápices.Sisearman10cajasmás,quedan173–120=53lápices.Paradistribuirlos53lápicesrestantessepuedenarmar4cajasde12,utilizando48lápices.Quedan5lápicesquenosepuedenenvasar.Entotal,searmaron100+100+100+50+25+10+4=389cajasysobraron5lápices.Estedesarrollocorrespondeaunadivisiónresueltadeunamaneradiferentealalgoritmo,realizandounaaproximaciónatravésdeproductosquepermiteseguirpasoapasoloqueseresuelve:

Tercermomento.ACTIVIDADDELECTURAYANÁLISIS

1) Leanensubgruposlaspáginas14a17deMatemática4º.Cuadernosparaelaulayrespondanlassiguientespreguntas:

a) ¿Enquéconsisteel“modoparticulardetrabajomatemático”queplanteaeltexto?b) ¿Quérelacionessepuedenencontrarentrelarespuestaalapreguntaanterioryla

resoluciónqueustedesrealizarondelproblemadedivisión?

Guíaparacoordinareldesarrollodelaactividaddeltercermomento

A través de esta consigna se propone reflexionar en torno al tipode trabajomatemáticoque seplanteainstalaren lasaulas.Loque interesaresaltaresque laresolucióndelproblemapropuestoesunejemplo,entre otros, del tipo de quehacer matemático que se está considerando. Se considera que es muyenriquecedorparalosdocentes“vivir”unasituaciónsimilaralaquesepretendeimplementarenlasaulas.

Partiendodelabasedequelosparticipantesdelacapacitacióndominanelconceptodeladivisión,algunaspreguntasposiblesparaampliarlareflexiónpodríanser:

• ¿Quéhubiesesucedidosinoserestringíaelusodeladivisión?• ¿Cuálhubierasidolafinalidaddelapuestaencomún?¿Porqué?

Cuartomomento.ACTIVIDADDECIERRE

Pararesponderengrupos:¿Cuándoesposibleafirmarqueunalumnomanejaelconceptodedivisión?

Guíaparacoordinareldesarrollodelaactividaddelcuartomomento

Laconsignadetrabajoapuntaaque losparticipantesexplicitencuálessonsusconcepcionesacercade ladivisión y su aprendizaje. Se parte de la siguiente anticipación: es extendida la idea de que alguien sabedividir cuando sabe resolver correctamente el algoritmo correspondiente a dicha operación. Y en estesentido,loqueseentiendeesqueparaelcasodelasoperacionesconnúmerosnaturales,lasconcepcionesde los docentes están marcadas por la tradición. Los algoritmos “clásicos” aún siguen traccionando laenseñanzaenmuchasescuelas.Deestaforma,latradicióndeenseñanzaclásicasiguegenerandoinfluenciaen la actualidad en tanto, los algoritmos se siguen presentando como los objetos priorizados para laenseñanzadelasoperaciones.

Apartirdelenfoquepropuesto,seponeenelcentrodeladiscusiónqueeldominiodecadaalgoritmonosiempre posibilita tomar la correspondiente operación como herramienta para resolver un problema. Esdecir, un alumno que domina el algoritmo de división, pero que no puede discernir cuándo es unaherramienta válida para la resolución de problema, aún no maneja plenamente el concepto de dichaoperación.

Conrespectoa lagestióndeestemomentodelaclase,unaalternativaposibleespediracadagrupoqueregistre su respuesta a la consigna. Luego, se podrá realizar una puesta en común y el capacitador sequedaráconesteregistroparaluegoretomarloenunpróximoencuentro.

Quintomomento.ACTIVIDADPARAELPRÓXIMOENCUENTRO

PRÁCTICAPARAELAULA

Busquenenlabibliotecadelaescuelaoenlaspersonaleslibrosdediferentesépocasenlosquesetrabajeladivisiónparatraeralcurso.

BibliografíadeconsultaparaelcapacitadorCharlot,B.(1991).Laepistemologíaimplícitaenlasprácticasdeenseñanzadelasmatemáticas.Conferencia

pronunciadaenCannesen1986.Sadovsky,P.(2005).“Laactividadmatemáticacomoasuntodelaenseñanza”.EnEnseñarMatemáticahoy.

BuenosAires:LibrosdelZorzal.Charnay, R. (1994). “Aprender pormedio de la resolucióndeproblemas”. En Parra, C. y Saiz, I. (Comps.)

Didácticadematemáticas.Aportesyreflexiones.BuenosAires:Paidós.

ENCUENTRO2ContenidosdelencuentroSentidosdeladivisión.Resolucionesinfantiles.BibliografíadelencuentroRessiadeMoreno,B.(2009).Eldiseñocurricularenlaescuela:Matemática.Documentodetrabajo.CursoaDistancia Educación Primaria. Buenos Aires: DirecciónGeneral de Cultura y Educación de la Provincia deBuenos Aires. Páginas 37 a 49. Recuperado dehttp://servicios2.abc.gov.ar/recursoseducativos/editorial/catalogodepublicaciones/descargas/docapoyo/matematicaEP.pdf

Primermomento.PUESTAENCOMÚNDELAPRÁCTICAENELAULA

Análisiscolectivodelosejemplosdelibrosdediferentesépocasenlosquesetrabajeladivisión.

Guíaparacoordinareldesarrollodelaactividaddelprimermomento

Entrelosvariadosaspectosquepuedenanalizarsealcompartirlosejemplosaportadosporlosparticipantes,seproponehacerhincapiéenelalgoritmopresenteenmuchos librosde textodedécadasatrás,aspectoquepersisteendistintaspropuestaseditorialesdelaactualidad,dejandoalosproblemascomoinstanciadeaplicación y ejercitación de estos. Además de este aspecto, se podría observar si la presentación delalgoritmobrindaelementosonoparacomprendercómofunciona.

Sugerimos al coordinador que seleccione algunos libros y manuales de ejemplo para complementar losaportadosporlosparticipantes.

Segundomomento-ACTIVIDADDERESOLUCIÓNYANÁLISIS.En grupos de tres o cuatro integrantes resuelvan los siguientes problemas. Anoten losprocedimientos utilizados y piensen qué tienen todos ellos en común y en qué sediferencian.

1. Se compraron 1635 azulejos para decorar un mural rectangular. En cada fila secolocan12azulejos.¿Cuántasfilassepodráncolocarcomomáximo?

2. Tengo1635caramelosquequierorepartirenbolsitasde12caramelos.¿Acuántosniñoslespodrédarunabolsita?

3. ¿Cuántasvecesentraelnúmero12enel1635?4. Siunacintamide1635cmdelongitudyselaquierecortaren12tirasigualessinque

sobrenada,¿cuántomedirácadauna?5. Estoyenelnúmero1635.Sidoysaltosparaatrásde12en12,¿cuántossaltospuedo

darsinpasarmedel0?6. Enunacombipuedenviajar12pasajerossentados.¿Cuáles lacantidadmínimade

combisquesenecesitanparatrasladara1635deportistasduranteunaolimpíada?7. Al dividir un número por 12 el cociente es 136 y el resto, 3. ¿Cuál fue el número

dividido?


Luego de un tiempo en subgrupos para la exploración de los problemas, es recomendable focalizar elanálisisenalgunosdeellos.Noseestáproponiendocentrarladiscusiónenlaresolucióndecadaunodelosproblemassinoenlassimilitudesydiferenciasquesehayanpodidoestablecer.

Todoslosproblemaspuedenserresueltosconunavariedaddeestrategias,siendoladivisiónlaestrategiaóptima.Sinembargo,noentodosloscasosesevidentequepuedaresolversedividiendo.

El capacitador podrá convocar a los docentes a observar que los seis primeros problemas pueden serresueltosconlasiguientecuenta,aunquelainformaciónquesedebeutilizarpararesolvercadaproblemanoeslamismaentodosloscasos:

1635 12-1632 136

3

- Enel problema1, la respuesta será 136 filas, o sea el cocientede esta división. Si bien sobran3azulejosestosnoseránconsiderados,yaquenosonsuficientesparaformarunanuevafilade12.Algosimilarsucedeenelproblema2yaquelos3caramelosrestantesnolleganaarmarunabolsita.Delmismomodo, en el problema3, el 12 entra 136 veces en1635quedando3de resto y en elproblema5podrérealizar136saltosde12en12antesdellegaral0.

- Si se centra la mirada en las magnitudes puestas en juego en los problemas se notará que elcontexto del problema 4 demanda que “todo sea repartido”. Por lo tanto, será necesario seguirdividiendoel restoparacalculardequémaneracortamosen12partes los3metrosdecintaquesobran.Estosproblemaspodránserresueltosúnicamentesiserecurrealosnúmerosracionales.

- Sibienel problema6puede ser resuelto con lamisma cuentaque los anteriores, la respuestaalproblemanoseráelcocientede ladivisión.Estoesasíyaquealdistribuira losdeportistasen lascombisllegaremosacompletar136perolos3deportistasqueconformaríanelrestodeladivisióntambiéndebensertrasladados,motivoporelcualseránecesariaunanuevacombiylarespuestaalproblemaserá137.

- Elproblema7sibiennoseresuelve“haciendolacuentadedividir” justamenteponeenjuegolasrelacionesentreloselementosdeladivisiónenterayaqueparaaveriguarelnúmerodebetenerseencuentaqueD=12x136+3.

A lo largode la puesta en común, los docentesparticipantespodránponerde relieveotras similitudes ydiferencias que puedan identificar, como los contextos puestos en juego en los problemas(extramatemáticos en los problemas 1, 2, 4 y 6 e intramatemáticos en los problemas 3, 5 y 7) o losdiferentes sentidos de la división. Este último aspecto resulta de sumo interés y será abordado enprofundidadenlasiguienteactividad.

Tercermomento-ACTIVIDADDELECTURAYANÁLISIS

a) LeanensubgruposlosextractosseleccionadosdeEldiseñocurricularenlaescuela:Matemática.Documentodetrabajo,citadoenlabibliografía,páginas37-49.

b) Clasifiquen los problemas de la actividad del segundo momento a partir de losdiferentestiposdeproblemasquedesarrollaeltexto.

c) Discutan en los subgrupos cuáles de estos tipos de problemas han tenidooportunidaddeproponerlesasusalumnosycuálesaúnno.Desarrollenlasrazones

encadacaso.


ElextractodeldocumentoEldiseñocurricularen laescuela:Matemáticaqueseanexaparasu lecturaenestemomento,incluyeactividades.Paraagilizarlalectura,ydadoquealgunasdeéstassonretomadasalolargodelcurso,sugerimosalcoordinadorqueindiquequelosdocentesparticipantesnolasrealicen.

Luegodelalecturaydelaclasificacióndellistadodeproblemas(ítemsayb),seproponellevaradelanteunmomentodepuestaencomúnparacompartir losintercambiosrealizadosencadasubgrupo.Cabeaclararquenoseesperaunanálisisminuciosode los sentidosde ladivisión, sinoque losdocentesparticipantespuedan reconocer que existe un amplio espectro de situaciones que involucran esta operación, y queplanteandiferentesnivelesdecomplejidadparalosniños.

Para el caso de que los participantes planteen en el ítem c) quedeterminados tipos de problemano losabordan porque son difíciles, porque los chicos no los entienden, etc., el capacitador podrá retomar lapreguntaentornoa“quéessaberdividir”yenquémedidaincluironolosdistintosproblemasimpactaenlanocióndeestaoperaciónqueconstruyanlosniños.

Comoresultadodelaactividad,seesperallegaraconclusionescomo:

• Hay muchos y variados problemas que pueden ser resueltos con una división. Es necesarioproponertodosellosalosalumnosparaque,paulatinamente,construyanyamplíenelsentidodeladivisión.

• Losproblemaspuedensermásfácilesomásdifícilessegún:losnúmerosenjuego,lostiposdemagnitudes, el orden de presentación de las informaciones, las formas de presentación, elcontextoenelquesepresentan.

• Los alumnos son capaces de resolver gran cantidad de problemas “de división” utilizandoprocedimientosdiversos,inclusosinusardivisiones.

• Laconstruccióndelossentidosdeladivisiónseabordalolargodetodalaescolaridad.

Bibliografíadeconsultaparaelcapacitador

Broitman, C., e Itzcovich, H. (2001).Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tresciclosde laEGB.DocumentoN°2.BuenosAires:DGCyE,SubsecretaríadeEducación.Recuperadodehttp://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matemat

ica/division.pdfBroitman,C.[etal.](1997).DocumentodetrabajoNº4.Matemática.ActualizaciónCurricular.BuenosAires:

Secretaría de educación. GCBA. Recuperado dehttp://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/docum/areas/matemat/doc4.pdf

ENCUENTRO3Contenidodelencuentro:Problemasdeanálisisdelresto.Condicionesparalaresolucióndeproblemas.Planificacióndeunaclase.BibliografíadelencuentroMinisterio de Educación de la Nación (2007). Cuadernos para el aula. Matemática 4. Buenos Aires:


Primermomento-ACTIVIDADDERESOLUCIÓNYANÁLISISLesproponemosahoraampliarunpocolamiradasobrelosproblemasdedivisiónyanalizarellugarqueocupaelresto.Resuelvanlossiguientesproblemas:1.Tengoquecortarunavarillade61cmenpedazosde7cm.¿Cuántoscmdevarillamevanasobrar?

2.Alrepartir248cartasenpartesigualesentre15personas,acadaunaletocan16.¿Cuáleslamínimacantidaddecartasquehayqueagregarparaquenosobreningunaalrepartirlas?

3. Hay que trasladar 94 personas en autos. Si en cada auto pueden viajar 5 personas,¿cuántosautossenecesitancomomínimo?


Esfundamentalproponeranuestrosalumnossituacionesenlasquepuedanresolveryreflexionarrespectode los distintos problemas en los que la división es una operación pertinente. Entre ellos se ubican losproblemasen losqueesnecesarioanalizarelrestopara llegara la respuesta.Resultanmáscomplejosya

queimplicandecidirquéhacercon“loquesobra”enfuncióndelcontexto,ylasoluciónnocoincideconelcocientedeladivisión(aunquesegúnlasituaciónrequiereconsiderarlo).Porello,consideramosqueresultainteresantelainclusióndeestaactividadparaanalizarjuntoconlosdocentesparticipantesesteaspectodelosproblemasdedivisión.

ANÁLISISDELOSPROBLEMAS

Luego de la resolución de los problemas, puede realizarse una puesta en común tomando como eje delanálisis“quésehaceconelresto”encadaproblema.

• Enelprimerproblema,larespuestalaencontramosenelresto,es“loquesobra”.• Enelsegundocaso,esnecesarioanalizarcuántodebeagregarsealrestoparaqueelcociente

aumenteunaunidad.• Eneltercerproblema,comonoesposibledejarpersonassinviajar,esnecesarioagregarunoal

cociente,yunodelosautosnoviajarácompleto.Setratadeunarestricciónqueestáligadaalcontextoenelqueseplanteóelproblemay,comoenelcasoanterior,sedebeconsiderartantoelrestocomoelcociente.

Apartirdeesteanálisisseesperaquelosdocentesparticipantespuedanreflexionarsobrelanecesidaddeampliarlavariedaddeproblemasqueselesplanteaalosalumnosparaconstruirelconceptodeladivisión,yquenopuedenreducirseaaquellosenlosquelarespuestaeselcociente.

Conestafinalidad,elcapacitadorpodráproponervolveralapreguntadelEncuentro1(“¿Cuándoesposibleafirmar que un alumnomaneja el concepto de división?”), para identificar qué aporta a su respuesta loanalizadorespectoalosproblemasenlosqueesnecesarioanalizarelresto.

Segundomomento.ACTIVIDADDELECTURAYANÁLISIS

a) Leanensubgruposlaspáginas22a29(desdeelapartado“Construircondicionespararesolverproblemas”)deldocumentoMatemática4º.SerieCuadernosparaelAula.Realicenunpunteodelosaspectoscentralesparacompartirlosconelrestodelosparticipantes.

b) Puestaencomún.


A través de esta actividad se espera que los docentes participantes puedan volver sobre una serie deconceptosqueabordaeltexto:

• organizacióndelaclase;• tipodeinteracciones;• presentacióndelproblema;• diversidaddeproducciones;• intervencionesdeldocenteduranteelmomentodelaresolución;• momentodeintercambio;• registrodeconclusiones(cuadernoocarpetaypizarrón).

Estos conceptos serán insumo para realizar la actividad del siguiente momento en la que tendrán queplanificarlapuestaenauladeproblemas.

Tercermomento.ACTIVIDADESPARAELPRÓXIMOENCUENTRO

PRÁCTICAPARAELAULA

1.Antesdelaimplementación:Agrupadosconcolegasqueesténalfrentedelmismogrado,seleccionenunodelossentidosdela división que consideren pertinente trabajar con el grupo de alumnos que tienen a cargo.Piensenobusquendosotresproblemasqueabordenelsentidoseleccionadoparatrabajarenelaula durante las próximas semanas. Una vez que hayan definido los problemas, realicen lassiguientesconsignasdetrabajo:

a. Anticipen los procedimientos que podrían poner en juego sus alumnos al resolver losproblemasseleccionados.

b. Planifiquenlasclasesconsiderandolossiguientesaspectos:• organizacióndelaclase;• presentacióndelproblema;• intervencionesdocentesduranteelmomentodelaresolución;• planificacióndelmomentodeintercambio;• conclusionesquequedaránescritasalfinalizarlaclase.

2.Despuésdelaimplementación:Lessolicitamosacadaunoqueunavezqueimplementenenelaulalosproblemasseleccionados,elaboren un breve registro de su clase. Pueden incluir fotos o fotocopiar los registros de losprocedimientos que produjeron sus alumnos y así poder analizarlos en el próximo encuentro.Incluyan tanto los procedimientos que les permitieron a los alumnos llegar a la respuesta asícomolosprocedimientoserróneos.

ENCUENTRO4ContenidosdelencuentroRepertoriosyestrategiasdecálculomental.BibliografíadelencuentroNovembre, A. (coord.), Sancha, I. (2009).Cálculomental y algorítmico.Mejorar los aprendizajes.Buenos

Aires: DGCyE. Recuperado dehttp://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/calculo_mental_algoritmico.pdf

Bibliografíacomplementaria

Ministerio de Educación de la Nación (2007). Cuadernos para el aula. Matemática 4. Buenos Aires:Ministerio de Educación de la Nación. Recuperado dehttp://www.me.gov.ar/curriform/nap/matematica4_final.pdf

Ministerio de Educación de la Nación (2007). Cuadernos para el aula. Matemática 5. Buenos Aires:

Ministerio de Educación de la Nación. Recuperado dehttp://www.me.gov.ar/curriform/nap/mate5_final.pdf


Agrupadosconcolegasqueesténalfrentedelmismoaño:1

a.Compartan,analicenycomparenlosregistrosdelosprocedimientosqueprodujocadagrupodealumnosalresolverlosproblemas.

b.Comparenlapuestaenaulaconlaplanificaciónquehabíanrealizadoyreflexionenentornoalassiguientespreguntas:¿Quéobstáculosprevistosinicialmentesepresentaronenlaclase?¿Cuálesno?¿Quétendríanencuentaenelfuturoalelaborarsusplanesdetrabajo?


Enestemomentoseesperagenerarunespaciodeintercambioentredocentesquecompartengrado,conlafinalidaddeanalizarcolectivamentelosdistintosprocedimientosutilizadosporlosalumnosapropósitodelosproblemasimplementadosenlasaulas.Elcapacitadorlosinvitaráareflexionaracercadelasrazonesporlas cuales sus alumnos utilizaron unos procedimientos y no otros, vinculados seguramente al trabajorealizadopreviamenteconestoscontenidos.

También se pretende que puedan compartir sus reflexiones respecto de la distancia que siempre existeentre las clases planificadas y las que finalmente se desarrollan, así también analizar las intervencionesrealizadasy/oquetendríanqueestarpresentesparaotrasclasesqueformenpartedeesasecuencia.

Segundomomento.ACTIVIDADDELECTURAYANÁLISIS

Actividad1.Paraintroducirnoseneltemaeneltemadeestaclase,lesproponemosidentificarlasdiferenciasentrecálculomentalyalgorítmicoapartirdelassiguientesdefiniciones,dandounejemplodecadauna.

1 Serecomiendaque–deserposible–losgruposcoincidanconlosqueenlaclaseanteriorseleccionaronlosproblemasypensaronsuimplementación.

Cálculoalgorítmico:seriedereglasaplicablesenunordendeterminado,siempredelmismomodo,independientementedecuálesseanlosnúmerosenjuego,quegarantizanalcanzarunresultadoenunnúmerofinitodepasos.Resultaeficazyeconómicoenalgunassituaciones,yaquepermiteaplicarmecánicamenteunprocedimientosintenernecesidaddereflexionaracadapaso.Cálculomental:conjuntodeprocedimientosquesearticulansinrecurriraunalgoritmopreestablecido;apelaaunadiversidaddetécnicasqueseadaptanalosnúmerosenjuegoyalosconocimientos(opreferencias)decadauno.Esuncálculoreflexionado,queesventajosoparaestimarresultados,realizarcálculosaproximadosoexactos,ycomomecanismodecontroldelosalgoritmos.Actividad2.Engruposdetrabajoleanlaspáginas22a25deldocumento“Cálculomentalyalgorítmico”citadoenlabibliografíadelaclase.Respondan:¿Quépapelcumpleeldocentefrenteaestetipodepropuesta?


Es frecuente que los maestros asocien el cálculo mental con aquel que se realiza “en la cabeza” y conrapidez.Sinembargo,loquedefineaesterecursonoesquenoseescriba,sinoelcontrastequepresentarespecto al cálculo algorítmico. Para reconocer sus diferencias, se propone la primera actividad, que losparticipantespodránrealizarindividualmenteyluegocompartirentretodos.Ensegundotérmino,seproponeprofundizarestasideasinicialesidentificandolosdistintosprocedimientosqueseponenenjuegoenelcálculomentaldemultiplicacionesydivisiones.Sibieneneltextohayalgunasreferenciasrespectoalroldeldocenteenlaenseñanzadelcálculomental,seránecesariofocalizarenqueson sus funciones: seleccionar los problemas, favorecer la adquisición de un repertorio memorizado,organizarreflexionesgrupaleshabilitandolacirculacióndelapalabra,identificarlosnuevosconocimientosquecirculanenlaclaseyvincularlosconlosanteriores,sistematizarlasnuevasrelaciones.

Tercermomento.ACTIVIDADDERESOLUCIÓNYANÁLISIS

Resuelvanestosproblemasutilizandocálculomental.Analicenaquéapuntacadaunoyquétipodeestrategiasseponenenjuegoparasuresolución.1)Resuelvanlossiguientescálculos:

80:2=800:2=8000:2=120:4=900:3=1500:5=700:2=1000:4=2400:8=

2)Resuelvanloscálculos.Indiquendequémaneraesposibleusaralgunosdeloscálculospararesolverotros.

70:7=700:7=770:7=7070:7=1200:4=1200:2=1200:3=1200:6=

3)Sabiendoque9x7=63,calculenmentalmente:

6300:9=630:7=6300:7=4)Calculenmentalmente:

80000:10=80000:20=80000:100=80000:400=80000:1000=80000:8000=

5)Usandoelcálculoresuelto,encuentrenmentalmenteelresultadodelosrestantes.Luegocompruebenconlacalculadoralosresultadoshallados:

2250x7=15750

15750:7=15750:2250=15750:70=15750:225=

6)Pararesolverelcálculo1.650:15,doschicospensaronasí:

Matías1.650:15=1.500:15+150:15

Ana1.650:15=1.650:10+1.650:5

¿Soncorrectaslasdosformasderesolver?¿Porqué?


Lasactividadesseleccionadassonejemplosdeproblemasqueseabordanalolargodesegundocicloparalaenseñanzadelcálculomentaldedivisiones.Sibiensuresoluciónnoserádesafiantepara losmaestros,elanálisisdidácticode las situacionespermitirá identificar la intencionalidaddeunavariedaddeproblemasqueconformanelcampodelcálculomental.Tambiénseráunaoportunidadparaelaboraralgunoscriteriosatenerencuentaalseleccionarlosparasutratamientoenelaula.

Elproblema1presentaunconjuntodedivisionesentrenúmerosredondosyhabilitaadiscutiracercadelarelación entre los cálculos de cada fila y cómo unos pueden ayudar a resolver otros. Se espera que losmaestros puedan explicitar las estrategias que han utilizado para hallar los resultados. Por ejemplo, quepara calcular 8000 : 2 se puede usar el resultado de 80 : 2, o que para 120 : 4 se puede pensar en lamultiplicación4x3=12.Larelaciónentremultiplicaciónydivisiónseretomaenelproblema3,apartirdeuncálculodado.

Losnúmerospuestosenjuegoenelproblema2invitannuevamentealaexploracióndelasrelacionesentrelos cálculos. En el primer caso, los maestros podrán basar sus explicaciones en la utilización decomposicionesydescomposicionesaditivasdelosdividendosyenlaestrategiadeapoyarseenuncálculoconocidopararesolverotro.Enelsegundocaso,seráinteresanteadvertirlasrelacionesdedobleymitaddelosdivisoresdecadapardecálculos.

El problema 4 permite poner en juego la división por la unidad seguida de ceros y su extensión a otrosmúltiplosde10.Unavezexplicitadas lasestrategiasqueutilizaron losdocentespararesolver loscálculos,puedeserprovechosodiscutirelporquédelaregularidad,esdecir,“porquésequitanceros”.

Elproblema5poneelacentonuevamenteenlasrelacionesentre lamultiplicacióny ladivisión,peroestavez con númerosmás grandes ymenos redondos. Se trata de interpretar la información que provee uncálculomultiplicativoparaanticiparelresultadodedistintasdivisiones.

Porúltimo,enelproblema6,permiteexplorarlasmanerasenlasquesepuedendescomponerlosnúmerosalrealizardivisiones.Sepuedeinvitaralosmaestrosaexplorarlasituaciónhaciendoloscálculos,talcomoharían los niños en sus primeros contactos, para luego hacer explícitas las propiedades involucradas yanalizarsualcance.

Luego de brindar un tiempo para la resolución de los problemas de forma individual, es recomendableproponerunintercambioensubgruposparaquelosdocentespuedancomunicarlasestrategiasutilizadasyanalizar aquéapunta cada situación. En lapuestaen común,el capacitador retomarádichasdiscusioneshaciendofocoenlascaracterísticasdelosproblemasyencómovanaumentandoencomplejidad.Tambiénresulta relevante identificaralgunasmarcasdel tipodegestióndeclasenecesariaspara laenseñanzadelcálculomental.

Comoresultadodelaactividad,seesperallegaraconclusionescomo:

• existendiferentesmanerasdecalcularysepuedeelegirlaformamásadecuadaacadasituaciónyenfuncióndelosnúmerosqueestánenjuego;

• parahacercálculosmentalesesprecisodisponerdealgunosenlamemoria;• lasestrategiasdecálculomentalseapoyanenpropiedadesdelasoperacionesydelsistemade

numeración;• enseñarcálculomentalsuponelaseleccióndeunasecuenciadevariosproblemasquepermitan

la exploración y el estudio sistemático. También requiere organizar instancias de trabajocolectivo con distintos propósitos: para comparar estrategias, someter a análisis los errores,analizaryexplicitarrelacionesnuevas,sistematizarloaprendido.

Comopropuestaadicional,sepuedesugeriralosdocentesquerastreenenlaSerieCuadernosparaelAulade4ºy5º,juegosyotrasactividadesquepuedenabordarseconlosalumnosentornoalcálculomentaldedivisiones.BibliografíaparaelcapacitadorBroitman, C. (2014). Estrategias de cálculo mental con números naturales: segundo ciclo. Buenos Aires:

Santillana.Recuperadodehttp://s61151b070ae82056.jimcontent.com/download/version/1426279777/module/11228980629/name/estrategias%20de%20calculo.pdf

Broitman, C., e Itzcovich, H. (2001).Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tresciclosde laEGB.DocumentoN°2.BuenosAires:DGCyE,SubsecretaríadeEducación.Recuperadodehttp://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/division.pdf

ENCUENTRO5ContenidosdelencuentroCálculoestimativoyconcalculadoraBibliografíadelencuentroNovembre, A. (coord.), Sancha, I. (2009).Cálculomental y algorítmico.Mejorar los aprendizajes.Buenos

Aires: DGCyE. Recuperado dehttp://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/calculo_mental_algoritmico.pdf

BibliografíacomplementariaBroitmanC.,eItzcovich,H.(2001).Aportesdidácticosparaeltrabajoconlacalculadoraenlostresciclosde

la EGB. Documento N°6. Buenos Aires: DGCyE. Recuperado dehttp://servicios.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/eltrabajoconlacalculadoraenlostresciclosdelaegb.pdf

Primermomento-ACTIVIDADDELECTURAYANÁLISISDistribuidosenpequeñosgrupos,resuelvanlassiguientesconsignasdetrabajo:

a) Conversenentreustedesentornoalassiguientespreguntas:¿Enquésituacionesutilizanlacalculadora?¿Encuálesutilizancálculoestimativo?¿Porquéeligenestosrecursosdecálculoenlugardeotros?

b) Apartirdelalecturadelosapartados“Resultadosaproximados”(pág.17a20),y“¿Paraquéusarlacalculadora?”(pág25)deldocumento“Cálculomentalyalgorítmico”,citadoenlabibliografía,completenuncuadrocomoelsiguiente:

PARAQUÉUSAR...

CUÁNDOUSAR…. CÓMOUSAR…(Situaciones

ejemplificadoras)

RESULTADOSAPROXIMADOS

CALCULADORA


Losalumnosdebenaprenderaelegirentre losdiferentesrecursosderesolucióndecálculoscuálocuálesson losmás apropiados, teniendo en cuenta los números involucrados y la situación a resolver. Por ello,además del cálculo mental y el algoritmo, se propone trabajar sobre el cálculo estimativo frente asituacionesquerequierensólounarespuestaaproximada,yeldominiodelacalculadoracomoinstrumentoadecuadopararesolverciertosproblemasocálculos.

Elpuntoa)de laactividadtienecomoobjetivoquelosdocentesparticipantesreflexionenentornoalusoqueledanalosdistintosrecursosdecálculo.Partiendodesusexperienciaspersonales,lapropuestaesquesepongaderelievequelaconvenienciadeutilizarundeterminadorecursodecálculoeselresultadodeunadecisiónquesetomafrenteacadasituaciónparticular.Porejemplo,esmuyprobablequeparaaveriguareltriplede3.000sedebarecurriralcálculomentalmientrasquepararesolver543x768sedebautilizar lacalculadora,oensuausencia,alalgoritmodelamultiplicación.Oqueparasabersialcanzaeldineroquesetieneparacomprarunaseriedeproductossedebautilizarelcálculoestimativo.Estaposibilidaddedecidirquérecursodecálculoesmásconvenienteparacadasituaciónparticular,tambiéndebeserpropiciadaenlaescuela.

Elpuntob)proponecompararlasdiferentespropuestasdeenseñanzaconcalculadoraycálculoestimativo,quepresentaeltexto,paraluegodetenerseenelanálisisyreflexióndelotrabajado.

Bajo determinadas condiciones, el uso de la calculadora favorece un trabajo reflexivo –vinculado aquehacerespropiosdelamatemática–quepermitaexplorarpropiedades,encontrarregularidades,validarprocedimientosyresultadosdemaneramásautónoma(sintenerquerecurriraldocente).Además,permite

enfrentaralosalumnosaproblemascuyoscálculosaúnnopuedenresolver.

Enrelaciónconlaenseñanzadelaestimaciónnospareceimportanteencuadrareltrabajoconsiderandoquesibientieneutilidadenlavidacotidiana,lasrazonesporlascualesintroducirestetemaresidenen“(...)elhecho de “tener a mano” ciertas estrategias que permitan anticipar el resultado aproximado de unaoperaciónesuninstrumentopotenteparacontrolarunacuentaconlaqueseobtieneunresultadoexacto.Porotrolado,lariquezaderelacionesqueesposibleestableceralrealizarunaaproximación,lasrelacionespuestas en juego, las decisiones que implica y la evaluación de la razonabilidad de los resultados que seobtienen sonen símismas razones suficientesparadesplegareste tipode tareaenel aula.” (Novembre,2009).

Segundomomento.ACTIVIDADDERESOLUCIÓNYANÁLISIS

Luegoderesolverestasactividadesentornoalcálculoestimativo,júntenseenpequeñosgruposyanalicen:

a) ¿Quéprocedimientosderesoluciónutilizaron?b) ¿Porquéesimportantetrabajarestetipodeactividadesconlosalumnos?

ActividaddeanticipacióndecocientesSinhacerlacuenta,seleccionencuálcreenqueeselcocientecorrecto:

2.480:8 310 210 31

6.990:5 2.399 1.398 3.498

2.750:11 25 2.500 250

Actividaddeanticipacióndelacantidaddecifrasdelcociente:Previoalaresolucióndelalgoritmo,cualquierasealaformaqueseuse,puedeestimarsecuántascifrastendráelcociente.Resuelvanlassiguientessituacionesyexpliquencómolopensaron:- Elcocientede1245:12tendrá……………….cifras.- Elcocientede234:7tendrá……………….cifras.- Elcocientede346:27tendrá……………….cifras.


Luegodelmomentodetrabajoenpequeñosgruposseproponerealizarunapuestaencomún.Enrelaciónconlaprimeraactividad,enlaquedebenidentificarelcocientedecadacálculo,losdocentespodríanapelartantoaladivisióncomoalamultiplicación.Porejemplo,para2.480:8podríanapoyarseenladivisión:“sisedivide2.480por10,seobtiene248.Comoloestoydividiendopor8elcocientedebesermayor.Porloquenopuedenserni210ni31”.Tambiénpodríaresolversepensandoque2400:8es300yaque3x8=24,entonces el cociente serámayor y cercano a 300. Para 6.990 : 5 podrían apoyarse en lamultiplicación:“como 2.000 x 5 es 10.000 y 3.000 x 5 es 15.000, el resultado tienen que ser 1.398”. También podríapensarsequesi1.000x5=5.000y2.000x5=10.000,entonceselcocienteestaráencuadradoentre1.000y2.000.

Además de poner de relieve que existen diversas estrategias para resolver este tipo de actividades, elcapacitadorpodrácentrarelintercambioenrelaciónconlaimportanciadetrabajarestetipodeactividadesconlosalumnos.Enestesentido,podráretomarseloqueseafirmaeneltextoleídoenelprimermomento,en torno a que este tipo de actividades permitirá “que sus alumnos puedan obtener siempre antes derealizaruncálculoalgorítmicooconcalculadora,resultadosestimativospreviosycontrolarposteriormentelosresultadosexactos”.

La segunda actividad, específicamente, tiene por objetivo estimar la cantidad de cifras que tendrá elcociente.Muchas veces los alumnos cometenerrores al realizar el algoritmo convencional de la división,como, por ejemplo, olvidarse de bajar un número o de poner el cero en el cociente cuando el resto esmenor al divisor, o dividir por un número menor y obtener un resto mayor al divisor y luego volver adividirlo. En ocasiones se obtienen cocientes con más cifras de las correctas y los alumnos carecen deconocimientos que permitan tener el control sobre los resultados por lo que no se dan cuenta. La

anticipación de la cantidad de cifras de un cociente permite a los alumnos tener un control sobre elresultadoeidentificarsidebenvolverarealizarlacuenta.

Unamaneradeestimarlacantidaddecifrasdelcocientedeladivisión1.245:12eslasiguiente:

Como12x10=120,queesmenoraldividendo,entonceselcocientedebesermayorque10.

Como12x100=1.200,yesmenoraldividendo,entonceselcocientedebesermayorque100.

Como12x1.000=12.000,queesmayoraldividendo,entonceselcocientedebesermenorque1000.Así,el cociente serámayor a 100 (ya que almultiplicarlo por 12 da como resultado 1.200) ymenor a 1.000.Dadoque1.000eselmenornúmerodecuatrocifras,entonceselcocientenopuedetenercuatrocifras.Esdecir,quetendrátrescifras.Enestecaso,dadoquemultiplicara12por100dacomoresultadounnúmerocercanoal1.245,podemosanticipartambiénqueelcocienteserácercanoa100.

Tercermomento-ACTIVIDADDERESOLUCIÓNYANÁLISISResuelvanindividualmentelossiguientesproblemasyluegoanalicenenpequeñosgrupos:¿conquéfinalidadsepuedeutilizarlacalculadoraeneltrabajocondivisiones?

a) Setienen473figuritasparaarmarpaquetesdea5figuritascadauno.Queremossabercuántospaquetesdefiguritassepuedenarmarycuántasfiguritasquedansinempaquetar.¿Cómosepuederesolverelproblemausandolacalculadora?

b) Encontráelresultadodehacer3.422:8conunacalculadoraalaquenolefuncionalatecladel8.

c) Sinhacerlascuentas,decidísilassiguientesafirmacionessonverdaderasono.Luegoutilizálacalculadoraparaverificarlarespuesta.

-Alingresarenlacalculadoralacuenta1.576:5,elcocientequeseobtieneesunnúmeromayorque300.-Sisemultiplica207por4yalresultadoselomultiplicapor2seobtieneunnúmeromayora1.500.


Desdenuestraperspectiva, el trabajo con calculadorasno sólono impideni reemplazael trabajo con loscálculosconvencionalesoconloscálculosmentales,sinoquelosenriquece.Lasconsignaspropuestassonejemplos de algunos de los posibles tipos de problemas que pueden proponerse con la calculadora.Analicemoselprimer caso. Si sehace ladivisióncon la calculadora seobtiene94,6 como resultadode ladivisión.Esteresultadonopermitecontestardirectamentelapregunta.Sepodríaeventualmentecontestarla primera pregunta: se pueden armar 94 paquetes de figuritas. Pero, ¿qué sentido tendría decir quequedan 0,6 figuritas sin empaquetar? Tenemos que encontrar el resto. Una manera de hacerlo esmultiplicar lapartedecimal (0,6)poreldivisor (5).Deesta forma,seobtiene3comorespuesta.Tambiénpuedeutilizarse la relacióneuclideanaparahallar el resto, yaque sedisponedel cociente, el divisor yeldividendo.

Esteproblemapuedeserplanteadoalosalumnosconlafinalidaddeampliarlossignificadosdeladivisiónylarelaciónentrecociente,divisor,restoydividendo2(D=dxc+r,con ,con ),peroauncuando dicho conocimientomatemático ya esté disponible, este problema permite investigar uno de los“límites”delacalculadora:nosiempreofrecelarespuestademaneradirecta.

Elproblemab)apuntaalestudiodeladivisiónapartirdelanálisisylaexplicitacióndesuspropiedades.Enestecaso,sepuedeanalizarqueesposibledescomponereldivisor8en4x2pararealizar3.422:4yluegoalresultadodividirlopor2,utilizandolapropiedadasociativadeladivisión.Paraelcasoenqueutilicenunacalculadoraqueincluyaelusodeparéntesis,elproblemapuederesolverseconelsiguientecálculo:3.422:(4x2).

Enelproblemac) lacalculadoraesutilizadaparaverificarresultadosa loscualesse llegóatravésdeotrorecurso,enestecasodelcálculomental.

En resumen, la calculadora es un instrumentodeuso social que los alumnosdeben aprender a usar concriterio. Pero almismo tiempo constituye un recurso que permite plantear problemasmuy interesantesdesdeelpuntodevistamatemático.

BibliografíadeconsultaparaelcoordinadorBroitman, C., e Itzcovich, H. (2001).Orientaciones didácticas para la enseñanza de la división en los tres

2 UnanálisismásdetalladodeestarelaciónseráabordadoenelEncuentro7.

ciclos de la EGB. Documento N°2. Buenos Aires: DGCyE. Recuperado dehttp://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/division.pdf

BroitmanC.,eItzcovich,H.(2001).Aportesdidácticosparaeltrabajoconlacalculadoraenlostresciclosdela EGB. Documento N°6. Buenos Aires: DGCyE. Recuperado dehttp://servicios.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/eltrabajoconlacalculadoraenlostresciclosdelaegb.pdf

BibliografíadereferenciaNovembre,A.(coord.),Ponce,H.(2009).Cálculomentaldesumasyrestas.Propuestasparatrabajarenel

aula.BuenosAires:DGCyE,DirecciónProvincialdeEducaciónPrimaria.Recuperadode

http://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/docsumasyrestas.pdf

ENCUENTRO6ContenidosdelencuentroDelcálculomentalalalgorítmico.Diversosalgoritmosdeladivisión.BibliografíadelencuentroRessiadeMoreno,B.(2009).Eldiseñocurricularenlaescuela:Matemática.Documentodetrabajo.Cursoa

DistanciaEducaciónPrimaria.BuenosAires:DirecciónGeneraldeCulturayEducacióndelaProvinciade Buenos Aires. Recuperado dehttp://servicios2.abc.gov.ar/recursoseducativos/editorial/catalogodepublicaciones/descargas/docapoyo/matematicaEP.pdf

Primermomento.ACTIVIDADDERESOLUCIÓNYANÁLISISa)Lesproponemosqueresuelvanindividualmentelasiguientedivisiónutilizandoelalgoritmoconvencionalotradicional:

448:5

b)Escribanenparejasunlistadodelospasosrealizadosenlaresolución.


Sibientodoslosdocentessabendeladificultaddelosalumnospordominarelalgoritmoconvencionaldeladivisión, no son muchas las oportunidades que han tenido para reflexionar sobre la complejidad queencierra dicho procedimiento. El objetivo de esta actividad consiste justamente en hacer explícita estacaracterística, no para deslegitimar su enseñanza sino para pensar su abordaje. Consideramos que este

algoritmodebeserobjetodeenseñanza,peroenunmarcoquegaranticesucomprensiónyelcontroldesuspasos.Asuvez,nodebeserelúnicoprocedimientoaceptadoenelaulasinoquepuedeconvivirconotros,demodoqueseanlosalumnosquienespuedandecidirencadaocasióncuáleselmásadecuado.Estetipodedecisionestambiénsonpartedelquehacermatemáticoqueseesperaquelosalumnosincorporen.

Luegodequelasparejashayancompletadolaactividad,seproponerealizarunapuestaencomúnsobreloslistadosdepasosparalaresolucióndelalgoritmorealizadosporlasparejas.

Acontinuación,elcapacitadorpuedeintroducirelanálisissobrelacomplejidaddeestealgoritmo.

Sedebe reconocerqueeselprimeralgoritmoconvencionalque losalumnosencuentranque se resuelvecomenzando desde la izquierda: la suma, la resta y lamultiplicación se inician desde la derecha. Por lotanto,aquíhayunarupturaconloquehanaprendidoconanterioridadentornoalasreglasderesolucióndelascuentas.

Siseanalizanlasaccionesdesarrolladasenlaresoluciónconelalgoritmoconvencionalseencontrará:

- unadescomposiciónaditivaimplícitadeldividendo:400+40+8;-laconsideracióndeunapartedeesadescomposición:400+40=440,(Enestecaso,dadoqueel4del400esmenorque5,secomienzaoperandoconel440,elcualestratadocomo44);

- la búsquedadel factor que,multiplicadopor el divisor, se aproxime lomásposible sin superar a lapartedeldividendoqueseestádividiendo:8x5=40,9x5=45(mepasodel44porlocualelijoel8);

- el cálculo de ese producto, el cálculo de la diferencia entre ese producto y la parte de ladescomposicióndeldividendoconsiderada:80x5=400(sibienaldesarrollarelalgoritmoselonombracomo8x5enrealidadseestámultiplicando80x5)y440-400=40(obien44-40);

-lacomposicióndeesadiferenciaconotrapartedeldividendo(correspondientealacifradejerarquíainmediata inferior):40+8=48(los40restantesdelcálculoanteriorsesumana los8quetodavíanofuerondivididos);

- y secomienzanuevamenteesta seriedepasoshasta finalizarelalgoritmo.Al trabajar connúmerosnaturales,seterminacuandoelnúmeroqueaúnnosedividió,esmenorqueeldivisor.

Segundomomento.ACTIVIDADDEOBSERVACIÓNYANÁLISIS

Enlossiguientesenlacesencontraránlaresolucióndelcálculo875:3realizadaportresalumnos(tambiénseincluyelaversiónimpresa).Obsérvenlosyestablezcansussimilitudesydiferenciasteniendoencuenta:-lospasosrealizadosenlaresolucióndelosdistintosprocedimientos;-losconocimientosqueconsiderannecesarioquelosalumnostengandisponiblespararesolverestosprocedimientos.

Video1:https://www.youtube.com/watch?v=JXMIq5tO7m4Video2:https://www.youtube.com/watch?v=y9BzQR0XVF4Video3:https://www.youtube.com/watch?v=TBd06Ir0ND8


Elobjetivodeestaactividadesquelosdocentescomparenlosdistintosprocedimientosponiendolamiradaenlosconocimientosquedebentenerdisponibleslosalumnosparadesarrollarlos,lasvirtudesylaslimitacionesdecadauno.

Enrelaciónconlagestióndeesta,elcapacitadordeberádefinirsiconsideramásadecuadoquelaactividadse resuelva individual o grupalmente, teniendo en cuenta con qué recursos cuenta (computadoras,celulares, tablets). De todas formas, se incluyen los registros gráficos de los algoritmos que aparecen encadavideodemodotalquelasdificultadestécnicasposiblesdeaccesoaInternetnoseanunobstáculoparasurealizaciónyparapodertrabajarensuanálisisposteriormente.

Luegodeunlapsodetiempodetrabajoindividualogrupal,seproponerealizarunapuestaencomúndeloproducidopor los docentes participantes. En dichomomento, podrán considerarse los siguientes ejes deanálisis:

• enlostresprocedimientosdecálculolosalumnosresuelvencorrectamenteladivisiónylleganalmismoresultadorealizandodistintospasosensuresolución;

• Enlosvideos1y2,losalumnosdesarrollanelalgoritmodesplegado,mientrasquelaalumnadelvideo3realizaelalgoritmotradicionaloconvencional, incluyendo,enestecaso, larestaen lacuenta;

• Enelvideo1laalumnamultiplicaexclusivamentepor100,10y1.Deestamanera,paraobtenerlos productos tan sólo debe sabermultiplicar 3 por potencias de 10. Es decir que no precisaconocer la tabla del 3. Pero, como contrapartida, es una estrategia con muchos cocientesparcialesymuyextensa.

• En el video 2, en cambio, el alumno dispone de más herramientas de cálculo y opera conmúltiplosde10y100,locualhacelacuentamáscorta.Sinembargo,amboslogranrealizarelcálculo,tomandodecisionesapartirdelosconocimientosquedisponen.

• En los procedimientos de los videos 1 y 2, hay un mayor registro escrito de los cálculosprovisoriosointermediosqueeneldelvideo3.Además,enlosdosprimeroscasos,elnúmerodel dividendo es considerado globalmentemientras que en el tercer caso se lo descomponeparaoperar.

• Elalgoritmoconvencional“oculta”lasdescomposicionesdelosnúmeros,lasmultiplicacionesy,enalgunoscasos,lasrestas.Losalgoritmosdesplegadosmuestranaquellasoperaciones.

Yaseharealizadounanálisisdelascaracterísticasdelalgoritmoconvencionalotradicionalenlaactividadanterior.

Respecto de los algoritmos desplegados, se puede agregar que, enmuchos casos, permite que los niñospuedancontrolarlasaccionesrealizadasduranteelprocesodeladivisiónyquesudesarrollosesostienenosóloenlacomprensióndelprocesoderepartoyrestasreiteradas,sinotambiénenelcálculomental(tablas,multiplicacionespor launidadseguidadeceros)sincuyodominiolaestrategianosepuedesostener.Condicho objetivo, deberá trabajarse previamente con los niños con aproximaciones sucesivas de restas yfortalecersuficientementeelrepertoriodelamultiplicaciónincluyendoproductospor10,100,20,200,etc.,

Respectoa laenseñanzade losalgoritmosde ladivisión,en losCuadernosparaelaula,Matemática4,seplantea:

Solodespuésdeun intenso trabajo con cuentas, quemuyprobablemente sean largas, esdecirque en el cociente aparezcan reiteradamente cienes y dieces, nuestras intervenciones podránapuntaralacortamientodedichoalgoritmo.

Para esto, podremos escribir dos cuentas en el pizarrón y fomentar que los niños establezcanrelacionesentrenúmerosdelcociente.

Si, avanzados en este procedimiento, propusiéramos resolver cuentas en las que se incluyandivisoresdedoscifrasapartirdeltrabajodesplegado,estonoimplicaríaunobstáculo,puestoquelosniñosyapuedenextenderesteprocedimientoendichascuentas.

El desarrollo de este procedimiento está sostenido, no sólo en la comprensión del proceso dereparto y restas reiteradas, sino también en el cálculo mental (tablas, multiplicaciones por launidadseguidadeceros)sincuyodominiolaestrategianosepuedesostener.

Asimismo, tambiénes importanteavanzareneluso reflexivode lacalculadoraparaoperarconnúmeros grandes, fortaleciendo la evaluación de la razonabilidad del resultado con el cálculoaproximado(MinisteriodeEducacióndelaNación,2007).

Muchas veces, al presentar directamente el algoritmo convencional sin dar espacio y tiempo para iraproximándose a él en forma progresiva, se corre el riesgo de quitarle todo sentido en tanto puedetransformarsesóloenunconjuntodepasosquesedebenseguir.Estaesunadelasprincipalesrazonesporlasquelosalumnospresentantantosproblemaspararesolverlacuentadedividir.

Conestonoseestáqueriendodecirquenosedebanenseñarlosalgoritmos,sinoqueseríamáspertinenteyricoquesurjancomoconsecuenciadetodounrecorridodetrabajoyno,comouninicio.

Tercermomento.ACTIVIDADDEANÁLISIS

A continuación, se presenta una adaptación de la secuencia citada en la bibliografía delencuentro,queproponeabordarlosconocimientosdebasenecesariosparaelaprendizajedelosalgoritmosdeladivisión.Guiados por el capacitador, lean la siguiente secuencia y analicen junto con el resto de loscolegas las actividades que en ella se proponen, identificando cuál es el objetivo y el/loscontenido/s que aborda y destacando qué aspectos de los pasos para la realización de losalgoritmosseponenenjuego.

Secuenciaentornoalalgoritmodedivisión

AdaptacióndeRessiadeMoreno,B. (2009).Eldiseñocurricularen laescuela:Matemática.BuenosAires:Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de Buenos Aires. Recuperado dehttp://servicios2.abc.gov.ar/recursoseducativos/editorial/catalogodepublicaciones/descargas/docapoyo/matematicaEP.pdf

Teniendo en cuenta la complejidad del algoritmo de la división es importante identificar la necesidad deenseñar primero a sus alumnos los conocimientos de base que se ponen en juegoal utilizar la cuenta dedividirconvencional.Unodelosaspectosatenerencuenta,esquedispongandelaposibilidaddeanticiparel valordel cociente sinnecesidadde recitar toda la tabla. Esto seráútil tantopara la cuenta comoparacualquiertipoderesoluciónporcálculomental.Acontinuación,seincluyentiposposiblesdesituacionesquepermitentrabajarestascompetencias.

1. ¿Cuántasvecesentraunnúmeroenotro?[1]¿Cuántasveceshayquesumar…paraalcanzarelnúmero….?(ocuántossaltosdea…hayquedarparallegara....)Anotáloquepensasteydespuésverificáconlacalculadora.

a)¿Cuántasveceshayquesumar6paraacercarselomásposiblea80sinpasarlo?

b)¿Cuántasveceshayquesumar7paraacercarselomásposiblea85sinpasarlo?

c)¿Cuántasveceshayquesumar6paraacercarselomásposiblea100sinpasarlo?

d)¿Cuántasveceshayquesumar5paraacercarselomásposiblea95sinpasarlo?

2.Problemasdedistribuciones

a)Completálatabla:

Cantidaddebotellasdegaseosa

Cantidaddepacksde4quesepuedenarmar

Sobrantes

38

52

69

78

100

124

b) Se reparten $ 120 entre 6 personas en partes iguales. ¿Cuánto recibe cada uno?

¿Ysisereparten$180entre6?



¿Y si se reparten $555 entre 5?

c)Siserepartenenpartesiguales....

$ Entre...personas Cadaunorecibe Sobra

44 4

84 8

70 20

d) Se vanadistribuiruna cantidadde lápicesenpartes igualesentre5grados, ¿para cuálesdeestascantidadessepodránrepartirtodosloslápicessinquesobren?

195

200

450

559

3.Divisiónentera

a)Paracadaunadeestasrespuestas,decidísiescorrecta:

Cociente Resto ¿Correctooincorrecto?

Paralosincorrectos,respuestacorrecta

a) ¿Cuántas veces entra 5 en26?

5 1

b) ¿Cuántas veces entra 5 en49?

9 4

c) ¿Cuántas veces entra 7 en48?

6 0

d)¿Cuántasvecesentra10en67?

6 7

b)Encontráelcocienteyelrestoencadaunodeestoscasos:

Cociente Resto

a)¿Cuántasvecesentra3en22?

b)¿Cuántasvecesentra8en46?

c)¿Cuántasvecesentra4en39?

c)Sabiendoque48:6=8,calculámentalmenteelresultadodelassiguientesdivisionesydespuésverificáconlacalculadora.

48:12=48:3=

24:6=24:12=

d) Sabiendo que 12 x 8 = 96, calculá mentalmente el resultado de las siguientes divisiones ydespuésverificáconlacalculadora.

96:8=96:12=96:6=

960:12=96:2=96:4=

e) Un númeromultiplicado por .... da ........ ¿qué número es? Escribilo y después verificá con lacalculadora.

Unnúmeromultiplicadopor... da.... ¿Quénúmeroes?

10 160

100 320

100 1700

f)

Unnúmeromultiplicadopor... da.... ¿Quénúmeroes?

3 60

20 60

50 250

4.Búsquedadeldividendo

a)

Unnúmerodivididopor.... da..... ¿Quénúmeroes?

10 4

10 76

100 12

1000 19

b)

Unnúmerodivididopor.... da..... ¿Quénúmeroes?

2 2

2 20

4 20

6 36

c)Yasabemosque,aveces,parahacerdivisionesesútildescomponereldividendodeunamaneraqueresulte“cómoda”,esdecir,ennúmerosque“denjusto”aldividirlosporeldivisordado.

Porejemplo,para183:3

Paraalgunospodríaserconvenientepensaral183como150+33,dividircadaunadeesaspartespor3yluegosumarlas:150:3=50;33:3=11;50+11=61.Tambiénsabemosquenohayunaúnicamaneradedescomponerelnúmeroqueresulteconveniente:

Esposiblepensarel183como90+93yhacer90:3+93:3=30+31=61

O

183=120+63

120:3+63:3=40+21=61

etcétera.

Acontinuación,teproponemosunaseriededivisiones.Paracadaunadeellas,elegíunamaneradedescomponereldividendoquefaciliteloscálculos:

Dividendo Divisor Descomposición deldividendo

Divisionesparciales Cociente Resto

57 5

78 7

84 6

5.Cálculoestimativo.

a)Paralassiguientesdivisiones,marcáentrequénúmerosestarásucociente:

Entre0y10 Entre10y100

82:2

132:5

364:4


Lasactividadesqueseincluyenenlasecuenciaqueseproponeanalizar,apuntancentralmenteaabordar los conocimientos de base que se ponen en juego al utilizar la cuenta de dividirconvencional aunque tambiénaportanherramientaspara resolver cuentasutilizandoalgoritmosdesplegados.Porejemplo,laposibilidaddeanticiparelvalordelcocientesinnecesidadderecitartodalatabla.Enestesentido,lasecuenciaesunejemploposibledeltipodetrabajoquesepuedellevaracaboconlosalumnospararealizarelpasajedelcálculomentalalalgorítmico.Paraeldesarrollodeestemomento,sesugierequeelcapacitadorrealiceunapresentacióndelasecuenciapropuestaatravésdeunalecturacompartidadelasactividadesquecomponenesta.Deestaforma,podráirdeteniéndoseencadaactividadparaanalizarencadacasocuáleselobjetivoyel/loscontenido/squeabordaydestacandoquéaspectosdelospasosparalarealizacióndelosalgoritmosseponenenjuego.Acontinuación,secompartenalgunosejessobrelasactividadesquepuedenservirdeinsumoparaelmomentodereflexiónanálisiscolectivoacargodelcapacitador:-En laactividaddelpunto1 seproponerealizaranticipacionesde lacantidaddevecesquehayque sumar un número para llegar a otro. Las reflexiones que se generen deben apuntar a que

utilicenlosresultadosconocidoscomosoportepararesolverlosdesconocidos.Porejemplo,enelprimerpunto(a),podríanpensarel80como60+20yapoyarseenunresultadoconocido,6x10=60,paraluegopensarcuántasvecesmástengoquesumar6paralos20restantes.Laconsignadeesta actividad también permite que quien no dispone de un amplio repertorio multiplicativo,puedaresolverlaaproximandoconsumassucesivasomultiplicacionesparciales.-Lasactividadesdelpunto2incluyendiversassituacionesderepartoatravésdelcálculomental,enlasqueseproponeidentificartambiéncuántosobraeincorporalanecesidaddeidentificarelvalordelresto.Aquítambiénseesperaquepararesolverseapoyenenelrepertoriodecálculosconocidos.- En las actividades del punto 3, se propone la utilización del repertorio multiplicativo pararesolverproblemasdedivisiónentera.3Enlaactividadc),seproponepartirdeque48:6=8pararesolvermentalmenteotroscálculosyluegoverificarconlacalculadora.Porejemplo,paraelcasode 48 : 12, puede pensarse que al dividir 48 por el doble de 6, el resultado será la mitad delresultadodelcálculoqueconocemos,osea4.Yenelsiguiente,quealdividir48:3,comoestamosdividiendo al 48 por la mitad de 6, el resultado será el doble del resultado del cálculo que seaportacomoinformación,enestecaso16.Laactividaddelpuntod),essimilaraunque,alaportarcomo informaciónpararealizar lasdivisionesuncálculomultiplicativo, leotorgacentralidada larelaciónentrelamultiplicaciónyladivisión.Entrelasactividadese)yf)existeunadiferenciaimportante.Mientrasqueenlaprimeradeellassóloseponeenjuegolamultiplicaciónyladivisiónporpotenciasde10,enlasegundaseagreganmultiplicaciones por factores que no están formados por unos y ceros. En ambos casos unaestrategiamuyprobableesquelosalumnosbusquenporquénúmerohayquemultiplicaralqueapareceen lacolumnade la izquierdaparaobtenereldelcentro.Enelprimercuadro, lascifrasque componen el número buscado ya están escritas en el número de la columna del centro(exceptolosceros,porsupuesto).Porejemplo10x16=160.Encambio,enelsegundocuadroseagregalanecesidaddebuscar“enlatabladel3”(paraelcasodelaprimerafila,porejemplo)unnúmero quemultiplicado por ese dé por resultado 6 y luego se analiza qué cantidad de ceroscorrespondeescribirencadacaso.

-Lasdosprimerasactividadesdelpunto4(ayb)relacionanlamultiplicaciónconladivisión.Paraencontrareldividendodelasdivisionespropuestas,muyprobablementelosalumnosmultipliquenelcocienteobtenidoporeldivisorqueseofrece.Nuevamenteaquímientrasqueenelprimerodeestos dos cuadros aparecen multiplicaciones por potencias de 10, en el segundo, aparecenmultiplicacionesporcifrasdistintasdeuno.Laactividadc)seproponeunaseriededivisionesparaqueencadacasoseelijaunamaneradedescomponereldividendodeacuerdoaldivisordadodemodotaldequefacilitenloscálculosutilizandocálculosconocidos.

3 Unanálisismásprofundodeestarelaciónserádesarrolladoenlaclase7.

-Laactividaddelpunto5esunejemplodeactividadposibleparaabordarelcálculoestimativodecocientes, recurso importante para que los alumnos tengan un control de la pertinencia de losresultados.4

Cuartomomento.ACTIVIDADDEPRÁCTICAENELAULATodaslasactividadesqueseproponenenlasecuenciaanalizadaenelmomentoanteriorsonsóloejemplosposiblesparalaenseñanzayprecisanseranalizadasporeldocenteteniendoencuentalascaracterísticasdesugrupodealumnosantesdesuimplementación.

Agrupados con colegas que tengan a cargo el mismo grado/año seleccionen por lo menos 3actividadesqueconsiderenpertinentesparatrabajarconelgrupoquetienenacargo.

Antes del próximo encuentro, implementen en el aula las actividades que seleccionaron. Alfinalizaresasclases,tómenseunosminutospararesponderlassiguientespreguntas:

1) ¿Cuál fue el momento de la clase que considera el más destacado, el más logrado? Puedeincluirseunbrevediálogoentrealumnosoentrelosalumnosyusted.

2) ¿Cuál fueelmomento complicadode la clase?Se tratade seleccionaraquelmomentoeneldesarrollodelostemasquelopusoenunasituacióndeenseñanzadifícilderesolver.

3)Repensandosusintervencionesalolargodelaclase,¿cuálleparecequelepermitióafinarelrumbodelaclase,mejorarenalgúnsentidoloqueveníasucediendo,destrabaralgunasituación?

BibliografíadereferenciaMinisteriodeEducacióndelaNación(2007).Cuadernosparaelaula.Matemática4.BuenosAires:


4 Esunavariantemásqueseagregaalasyatrabajadasenlaclaseanterior.

ENCUENTRO7Contenidosdelencuentro:Divisiónentera.AnálisisdelarelaciónD=Cxd+r,con .Bibliografíadelencuentro:Broitman, C. (coord.), Escobar, M., Salgado,M. (2007).División en 5° y 6° grado de la escuela

primaria.Unapropuestaparaelestudiodelasrelacionesentredivisor,dividendo,cocienteyresto. Buenos Aires: Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de BuenosAires. Recuperado dehttp://servicios.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/divisionen5y6.pdf


En la clase anterior han realizado una selección de actividades de cálculo de divisiones paraimplementarensusgrados.Reúnanseenlosmismosgruposycompartanlasnotasquetomaroncomoregistrodesusclases.

Luego elaboren una reflexión sobre la potencialidad didáctica y los desafíos de este tipo deabordajeparalaenseñanzadelalgoritmodedivisión.


La actividad inicial apunta a compartir la experiencia desarrollada en el aula a propósito de losproblemas seleccionados en el encuentro anterior. El capacitador invitará a los docentes arecuperarsusnotasentornoa las intervencionesrealizadas,entantomarcasdelagestióndelaclase.

Con la segunda propuesta se espera recuperar las ideas de los participantes acerca de laenseñanzadelacuentadedividiryponerlasendiscusióndesernecesario.Posiblementealgunosdocenteshaganreferenciaalafaltadetiempopararealizarlasactividadespropuestas,oquelosalumnos ya conocen el algoritmo convencional de grados anteriores, lo que será una nuevaoportunidadparareflexionarcolectivamentesobrelosdistintosaspectosqueabarcalaenseñanzadelcálculo,yquenoseagotanenlaadquisicióndelalgoritmo.

Segundomomento.PROBLEMASPARARESOLVER

Los siguientes problemas podrían formar parte de una secuencia de trabajo pensada paraalumnosdelosgradossuperiores.Resuélvanlosenparejas.Puedenusarcalculadora.

1. Escribanunacuentadedividirenlaqueeldivisorsea11,elcociente12yelresto9¿Cuántasdivisionespuedenencontrarconestascaracterísticas?

2. ¿Quénúmerospermitencompletarestacuenta?

…... 11

…./ 12

3. Proponganunacuentadedividirenlacualeldivisorsea11yelrestosea9.¿Cuántas

cuentashay?

4. Escribanunacuentadedividirquetengacociente25yresto12.a)¿Sepuedenescribirotrascuentasconestascondiciones?¿Cuáles?b)¿Cuántascuentassepuedenescribir?¿Porqué?5

5. Unnúmeropuedeexpresarsecomoa=12.n+9,dondenrepresentaunnúmeronatural.a) ¿Cuáleselrestodedividiralnúmeroapor12?b) ¿Cuántoselepodrásumaralnúmeroaparaobtenerunresultadoque:

i)tengaresto9aldividirlopor12?ii)tengaresto10aldividirlopor12?iii)seadivisiblepor6?¿Hayunaúnicarespuestaparacadapregunta?


Enesteencuentroseproponeprofundizarelanálisisdeladivisiónentera,yanocomooperaciónquepermiteresolverciertostiposdeproblemas,sinocomoobjetomatemáticoensí.Paraelloseproponensituacionesen lasquesecentrará laatenciónsobre la relaciónD=dxc+ r (0 r<d,dondeD,d,cyrsonnúmerosenterosnonegativosydnoes0).6Estarelación,llamadarelacióneuclideana,nosólomuestracómoobteneralgunodeloselementosdeladivisiónapartirde losotros tres, sino que constituye la definición de división entera. A partir de la escritura de larelaciónpuedereconstruirseelcálculoquerepresenta.Porejemplo,apartirdesaberque34=15x2+4,esposibledecirquealdividira34(dividendo)por15(divisor),elcocientees2yelresto4.

Todoslosproblemaspropuestosinvolucranladivisiónentera,peroencadaunoexistencuestionesdiferentesqueseponenenrelieve.Elprimerproblemademandaaveriguareldividendodadoslosotrostresdatos.Tieneunaúnicasolución,quepuedehallarsealmultiplicarcocientepordivisor,ysumarelvalordelresto.Seponeaquíenjuegoenformadirectalarelación:D=dxc+r.

Elproblema2esposibleque losdocentesbusquendeterminareldividendoyelrestoprobandocondistintosvaloresyajustando losvalores.Será interesanteanalizarque la relación ,llevaaconcluirquehay11cuentasposibles,condicionadaspor losonceposiblesrestosdesde0hasta11.

5 EsteproblemafueextraídodeBroitman,C.(coord.),Escobar,M.ySalgado,M.(2007).Divisiónen5ºy6ºañodelaescuelaprimaria.Unapropuestaparaelestudiodelasrelacionesentredividendo,divisor,cocienteyresto(p.21).BuenosAires:DCCyE.Recuperadodehttp://servicios.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/divisionen5y6.pdf 6 DondeDrepresentaaldividendo;calcociente;daldivisoryralresto.

En el problema 3 hay que determinar el dividendo y cociente. Puede ocurrir que los docenteselijanarbitrariamenteunvalorparaelcociente,yhalleneldividendomultiplicándoloporeldivisorysumándoleelresto.Otrosoptaránporunvaloralazarparaeldividendo,realizaránlacuentaeintentaráncorregiresedividendo,apartirdesucesivosensayos,hastaqueseajustealaestructuraquepideelproblema.Analizarlacantidadderespuestasposiblesayudaráaadvertirquesetratadeunproblemaquetieneinfinitassoluciones,enlaqueelcocientepuedesercualquiernúmeronatural o cero, mientras que el divisor puede obtenerse multiplicando cada cociente por 11 ysumándole 9. Si llamamos n al cociente, el dividendo se puede calcular haciendo D = 11n + 9,dondenesunnúmeronaturalocero.

Elproblema4requiereaveriguareldividendoyeldivisor.Nuevamentesetratadeunproblemaconinfinitassoluciones,perohabráquetenerencuentaqueelmenordivisorposiblees13,yaqueel restoes12. Es esperableque losdocentes inicien la resolución condivisoresmayoresqueelresto,oquepuedananticiparqueexisten infinitascuentasquecumplen lacondicióndada.Esteproblemaseráretomadoeneltercermomentodelencuentro.

Con respectoal quintode losproblemas,propone considerar varias cuestiones. Si a = 12.n + 9,entonces siempre tendrá resto 9 al ser dividido por 12, ya que el producto entre 12 y n serádivisible por 12. Pero si se desea, en cambio, que tenga resto 10 al ser divisible por 9 seránecesario“quesobreunomás”,asíqueselepodríasumarcualquiernúmeroqueseamúltiplode12más1(1;13;25;etc).Finalmente,paraque“a”seadivisiblepor6comosepideenelpuntoiii)sepuedetenerenconsideraciónque12.nyaesdivisiblepor6,yaqueequivalea2.6.n.Ademásdeestoseránecesariogarantizarqueelrestoseadivisiblepor6,porlotantoseráadmisibleagregarlea“a”cualquiernúmeroquecomplementea9parallegaraunmúltiplode6,comoporejemplo3;9o15entreinfinitasposibilidades.Dadoqueesteproblemasesmáscomplejoquelosanteriores,quedaacriteriodelcapacitadorsurealización.

Paragestionarlapropuesta,serecomiendainicialmentelaresolucióndelosproblemasenparejas,demodode favorecer laproducciónpersonaldeprocedimientosyel trabajoexploratorio.En lapuestaencomúnserádeinterésanalizaralgunosprocedimientos,compararlosquepresentarondiferenciaseinstalarpreguntasydebatesquepermitanarribaraideascomo:

• hay un conjunto de problemas que demandan el análisis de la división como unarelaciónentrecantidadesquecumplenciertascondiciones;

• entodadivisiónseverificaquecocientexdivisor+resto=dividendo.Elrestodebeserunnúmeromenorqueeldivisorymayoroigualquecero;

• según las condiciones que vinculan al dividendo, divisor, cociente y resto, losproblemas de hallar dos valores de una división conociendo los otros dos puedentenersoluciónúnica,másdeunasolución(variasoinfinitas),oninguna;

• muchasvecessecontemplaalarelacióneuclideanasóloparacomprobarelresultadoobtenido luegode hacer la cuenta de dividir. Tener oportunidadde hacer jugar esa

relación en nuevos contextos amplía su sentido y lo deja disponible para resolvernuevosproblemas.

Tercermomento-ACTIVIDADDELECTURAYANÁLISIS

Lesproponemosanalizarunregistrodeclaseentornoalproblema4tratadoanteriormente,queseimplementóenun6ºañodelaProvinciadeBuenosAires(pág21a24delabibliografíadelencuentro).Recordamoselenunciado:

Escribanunacuentadedividirentrenúmerosnaturalesquetengacociente25yresto12.i.¿Sepuedenescribirotrascuentasconestascondiciones?¿Cuáles?ii.¿Cuántascuentassepuedenescribir?¿Porqué?

Enfuncióndelregistroleído,ensubgruposanalicen:• ¿Quéestrategiasseesperaquedesplieguenlosalumnospararesolverla

situación?¿Enquéseparecenyenquésediferencianalasutilizadasporustedesalresolverelproblema.

• ¿Quétiposde“ayuda”sepodríanponerenjuegomientraslosalumnosresuelven?

• Luegodelaresolucióndelaactividad,¿aquésepodríaapuntarenlapuestaencomún?¿Pormediodequépreguntas?

• ¿Quépodríaquedarregistradoenlascarpetascomosistematizacióndeloaprendido?


Esta actividad propone el tratamiento didáctico de uno de los problemas que los docentesresolvieronenelmomentode trabajo anterior. Constituyeunaoportunidadpara reflexionarentorno al tipo de trabajo matemático que se pretende instalar en las aulas, así como explicitaralgunascondicionesnecesariasparallevarloadelante.Enestesentido,responderlaspreguntasapartir de los indicios brindados por el texto permitirá reconstruir algunos componentes de laplanificación: posibles resoluciones de los alumnos, anticipación de intervenciones del docentefrente a resoluciones erróneas o incompletas, conclusiones a las que se puede arribar comoresultadodelaactividad.Para cerrar, resulta relevante explicitar la importancia del tratamiento del concepto de divisiónentera en la escuela primaria: suponepara los alumnos introducirse en un nuevo sentido de la

operación e involucrarse en un tipo de trabajo intelectual propio de lamatemática: “mirar conmás profundidad el funcionamiento de un objeto para estudiarlo, analizar las relacionesinvolucradaseintentargeneralizarlas,preguntarseporlacantidaddesoluciones,porsisucederásiempre,porquéestáonopermitidohacerenmatemática”(Broitman,2007:40).

Bibliografíadeconsultaparaelcoordinador:GCBA, Dirección de Currícula (2001). Documento de Actualización Curricular 7º grado. Buenos

Aires: Secretaría de Educación del Gobierno de la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.Recuperadodehttp://www.sermaestro.com.ar/integrado.pdf

Seoane,S.(2012).Matemática.MaterialParaDirectivosEducaciónPrimaria.CABA:IIPE-UNESCO.Recuperado dehttp://servicios2.abc.gov.ar/lainstitucion/organismos/programa_para_el_acompaniamiento_y_la_mejora_escolar/materiales_de_trabajo/directores/matematica.pdf

Bibliografíadereferencia:Broitman, C. (coord.), Escobar, M., Salgado,M. (2007).División en 5° y 6° grado de la escuela

primaria.Unapropuestaparaelestudiodelasrelacionesentredivisor,dividendo,cocienteyresto. Buenos Aires: Dirección General de Cultura y Educación de la Provincia de BuenosAires. Recuperado dehttp://servicios.abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/areascurriculares/matematica/divisionen5y6.pdf

ENCUENTRO8Contenidosdelencuentro:Evaluaciónfinaldelcurso

ACTIVIDADDEEVALUACIÓNFINAL1-Leanlasiguientesituacióndeclase.¿Quéargumentoselaboraríanpararesponderleaestacolega?En una clase en la que se estaban discutiendo diferentes estrategias para un problema dedivisión,ungrupodeestudiantesproponenrealizar restassucesivas,otrosmultiplicaciones,algunos divisiones, incluso algunos se apoyan en dibujos para llegar a su resolución. Unacolega de otro ciclo que observa la clase, reprueba la pertinencia de alentar estrategiasalternativasporpartedelosniños,alegandoque“deesemodovaletodo,yasínuncavanaaprenderadividirporquesiemprevanapoderllegaralresultado”.

2-Situvieranquetransmitirauncolegaquéaprendieronduranteelcursorealizado,¿quécuatrocriteriosdetrabajoletransmitiríanparaorganizarlaenseñanzadeladivisión?

Guíaparacoordinareldesarrollodelaactividad

Lapropuestadeevaluaciónapuntaaquelosdocentesrealicenunafundamentaciónescritaquedécuenta de la apropiación de los conceptos tratados a lo largo del curso. Con este fin, podránconsultarsusmaterialesdetrabajoyapoyarseensusproducciones.En cuanto a la primera consigna, se espera que puedan hacer referencia a la resolución deproblemasyeltrabajoexploratoriocomocaracterísticasdeltrabajomatemáticoadesarrollarenlasaulas.Alrespecto,podránexpresarqueseesperaquelosalumnosalolargodesegundociclopuedan resolver problemas que involucren diversos sentidos de la división, utilizando,comunicando y comparando diversas estrategias y cálculos posibles. En forma más precisa,podrían describir la diversidad de procedimientos que se espera que los niños desplieguen enforma progresiva: el uso de cálculos para los sentidos de la división más sencillos (reparto ypartición,porejemplo),ymayordiversidaddeprocedimientos,comodibujos,gráficosycálculosdiversosparaproblemasdedividirmáscomplejosonovedosos(iteración,entreotros).En cuanto a la segunda actividad, se espera que puedan realizar una síntesis de los aspectoscentralesatenerencuentaenlaenseñanzadeladivisión.Seesperaquepuedanreferiracriteriosvinculadoscon losdistintossentidosde losproblemasy lasestrategiasdecálculo, incluyendoeltrabajo con cálculo mental, estimativo, con calculadora y algorítmico. Por ejemplo, podránplantearque:

• inicialmente resulta importante definir un conjunto de problemas a abordar,apuntandoalaampliacióndedistintossignificadosdeladivisiónsegúnelgradoconelquesetrabaja.Sepuedentomarciertasdecisionessobrealgunascaracterísticasdelos

problemasparaqueresultenmássencillosomáscomplejos,porejemplo,variandolosnúmeros.

• En simultáneocon losproblemas seránecesario recuperaro fortalecerel repertoriode cálculos memorizados en grados anteriores (productos de la tabla pitagórica,divisiones por números redondos, divisiones por la unidad seguida de ceros, porejemplo), así como promover el uso de diversas descomposiciones para resolvermentalmente el cálculo de divisiones con números más grandes. En los gradossuperiores, se espera que los alumnos identifiquen las soluciones posibles dedivisiones, poniendo en juego las relaciones entre lamultiplicación y la división, asícomoentredividendo,divisor,cocienteyresto.

• Paraavanzarenlasestrategiasdecálculo,tambiénseránecesarioplantearsituacionesdeestimacióndecocientesasícomoelusodelacalculadorapararesolverproblemasycálculos,verificarresultadosyexplorarlaspropiedadesdeladivisión.

• La resolución de cuentas de dividir mediante procedimientos algorítmicos deberíaevolucionardesdeestrategiasmásdesplegadas(queincluyanenelcocienteenformareiterada10y100,porejemplo)haciaaproximacionesaldividendoenmenospasos(usandosusmúltiplos).

Una vez realizadas las actividades propuestas, resulta de interés organizar un intercambiocolectivoparaquelosdocentespuedancompartirsusproducciones,asícomoparacompletarlas,ajustarlasoampliarlasprevioalacorrecciónporpartedelcapacitador.Por último, es importante ofrecer un espacio para que los docentes participantes puedancompartirunaapreciacióngeneralsobresupasoporelcurso,asícomocontarconunadevoluciónporpartedelcapacitadorsobreeldesempeñodelgrupo.Pararealizarlaevaluaciónfinaldelcurso,sesugierelautilizacióndeunarúbricacomolasiguiente:

Calificación/criterios

Sobresaliente

MuyBueno Bueno Regular Insuficiente

Adquisicióndeconceptos

Logróincorporarensutrabajolosconceptosabordadosenelcurso,ylosexpresócongranclaridad.

Logróincorporarensutrabajoconceptosnodalesabordadosenelcurso,ylosexpresóconbastanteclaridad.

Logróincorporarensutrabajoalgunosconceptosabordadosenelcurso,aunquemostródificultadesparaexpresarlosconclaridad.

Logróincorporarensutrabajoalgunosconceptosabordadosenelcursoconayudadeldocente.

Nologróincorporarensutrabajolosconceptosabordadosenelcurso.

Participaciónenlosencuentros

Contribuyóconelgrupoparticipandoactivamenteenlosintercambiosyrealizandoconcompromisoyefectividadlastareasrequeridas

Contribuyóconelgrupoparticipandoenalgunosintercambiosyrealizandolastareasrequeridas.

Contribuyóconelgruposiguiendoatentamentelosintercambios.Necesitóestímulopararealizarlastareasrequeridas.

Noparticipóenlosintercambios.Mostrópocadisposiciónarealizarlastareasrequeridas.

Obstaculizóenocasioneselcumplimientodelosobjetivospropuestos.

Asistencia Asistióatodoslosencuentrosyconpun-tualidad.

Asistióacasitodoslosencuentrosyconpuntualidad.

Asistióregularmentealassesiones,presentandoalgunasinasistenciasy/ofaltasdepuntualidad.

Asistiómuyirregularmentealosencuentros.

Asistióocasionalmentealosencuentros.

RecursosnecesariosparaelCurso

• CarpetaparaelCapacitador.• CarpetaparaelParticipante.

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