Curso postgrado MEF 2004 - Vigasw3.mecanica.upm.es/~felipe/mef0607/vigas.pdf · 2016. 6. 20. · F.Gabald¶on /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007 J / Modelos Estructurales: Vigas

GMC

♦ . I ⊗

Modelos Estructurales: Vigas

Felipe Gabaldon / Jose M.a Goicolea

Grupo de Mecanica ComputacionalDepto. Mecanica Medios Continuos y Teorıa Estructuras

E.T.S. Ingenieros de Caminos, UPM

http://w3.mecanica.upm.es

Madrid, 25/01/2007

http://w3.mecanica.upm.es

F.Gabaldon /J.M. Goicolea, 25 de enero de 2007

J / Modelos Estructurales: Vigas . I

Bibliografıa

♠ N. Ottosen y H. Petersson,

Introduction to the Finite Element Method, Prentice Hall Eu-

rope, 1992.

♠ Thomas J.R. Hughes,

The Finite Element Method, Prentice Hall, 1987.

♠ Eugenio Onate,

Calculo de Estructuras por el Metodo de Elementos Finitos,

Centro Internacional de Metodos Numericos en Ingenierıa, 1995.

♠ Michel Geradin y Alberto Cardona,

Flexible Multibody Dynamics, A Finite Element Approach, Wi-

ley, 2001

1



VIGAS 2D: Definicion de Resultantes

Ndef=

∫ t/2

−t/2σxxb(z) dz; (1)

Vdef=

∫ t/2

−t/2σxzb(z) dz; (2)

Mdef= −

∫ t/2

−t/2zσxxb(z) dz. (3)

z

b(z)

x

xz

y

y

2



VIGAS: Condiciones de Equilibrio

dN

dx+ qx = 0; (4)

dV

dx+ qz = 0; (5)

dM

dx+ V = 0 (6)

dx

qz

M + dMM

V + dVV

y

zx

z, w

qx

N N + dNx, u

♣ Leyes validas en cualquier instancia (incluso no lineal).

3



Hipotesis de Bernouilli-Euler

1. Pieza prismatica, directriz y

zx

2. Secciones planas normales a directriz permanecen planas y nor-males a la directriz

3. Desplazamientos normales a la viga son uniformes sobre laseccion, e iguales a los de la directriz:

w(x, z) = w(x). (7)

4. Tension plana:

σzz = 0. (8)

4



Desplazamientos

x, u

w(x)z, w

x

zθ

directriz

θ = dwdx

♦ Giro de seccion: θ

♦ Giro de directriz:dw

dx= w′

♦ Seccion normal a directriz:

θ =dw

dx; (9)

♦ Desplazamiento longitudinal:

u(x, z) = u0(x)− zθ

= u0(x)− zdw

dx

(10)

5



Deformaciones

de (9): εxx =∂u

∂x=

du0

dx− z

d2w

dx2; (11)

de (7): εzz =∂w

∂z= 0; (12)

de (10): γxzdef= 2εxz =

∂u

∂z+

∂w

∂x= −dw

dx+

dw

dx= 0 (13)

γyz = γxy = 0 (14)

♥ No hay deformacion por cortante

♥ Hipotesis valida para vigas esbeltas: λ =l

t> 20.

6



Relaciones Constitutivas: Momento

M = −∫ t/2

−t/2zσxxb(z) dz (15)

de (11):

σxx = Eεxx = E

(du0

dx− z

d2w

dx

)(16)

M

N

σxx

M = −E∫ t/2

−t/2zdu0

dxb(z) dz + E

∫ t/2

−t/2z2d2w

dx2b(z) dz = EI

d2w

dx2(17)

♠ Curvatura (w pequena):

κ =d2w/dx2

[1 + (dw/dx)2

]3/2≈ d2w

dx2⇒ M = EIκ (18)

7



Relaciones Constitutivas: Axil, Cortante

♠ Por integracion de las tensiones:

N =∫ t/2

−t/2σxxb(z) dz = EA

du0

dx(19)

V =∫ t/2

−t/2σxzb(z) dz; (20)

♠ Contradiccion: de (13),

γxz = 0 ⇒ σxz = Gγxz = 0 ⇒ V = 0 ! (21)

♠ En la practica, el cortante V se calcula a partir de ecuaciones

de equilibrio (6)

8



Formulacion fuerte

♣ De (6):

(6) :dM

dx+ V = 0

(5) :dV

dx+ q = 0

⇒ d2M

dx2= q

M = EId2w

dx2⇒ EI

d4w

dx4= q (22)

(suponiendo EI constante)

♣ Ecuacion diferencial (4.o orden) de la elastica, para obtener

w(x)

9



Formulacion matricial

♣ Solucion general en tramo 1–2 sin cargas intermedias (q = 0):

d4w

dx4= 0 V1 V2

M2M1

1 2q = 0

♣ Condiciones de contorno: w1,dw

dx

∣∣∣∣1

, w2,dw

dx

∣∣∣∣2

w(x) = α0 + α1x + α2x2 + α3x3 (23)

4 condiciones ⇒ 4 parametros (α0, α1, α2, α3)

♣ Planteamiento directo de ecuaciones matriciales: programas de

((barras))

♦ Ojo: cargas repartidas (q 6= 0) precisa correccion (m. emp.)

10



Formulacion debil

♣ Funciones de peso (desplazamientos virtuales) w, en principio

arbitrarias. De (22):

d2M

dx2= q ⇒

∫ b

aw

d2M

dx2dx =

∫ b

awq dx ∀w (24)

♣ Integrando por partes, dos veces:

−∫ b

a

dw

dx

dM

dxdx +

[w

dM

dx

]b

a=

∫ b

awq dx

∫ b

a

d2w

dx2EI

d2w

dx2dx =

∫ b

awq dx +

[dw

dxM

]b

a− [wV ]ba (25)

♣ Ma, Va, Mb, Vb: condiciones de contorno ((naturales)).

11



Aproximacion elementos finitos

♣ Funciones de interpolacion de desplazamientos, Ni(x)

w(x) ≈ NTa

=[N1(x) N2(x) . . . Nn(x)

]

a1a2...

an

♣ Interpolacion de ((deformaciones)): [B]

d2w

dx2≈ [B]a; (26)

[B] =d2

dx2NT =

[d2N1dx2

d2N2dx2 . . . d2Nn

dx2

](27)

12



Metodo de Galerkin

♣ Misma interpolacion para w que para w

d2w

dx2≈ [B]a = aT[B]T (28)

∫ b

a

d2w

dx2EI

d2w

dx2dx ≈

∫ b

aaT

([B]TEI[B]

)a dx (29)

∫ b

awq dx ≈

∫ b

aaTNq dx = aTfint (30)

aT

∫ b

a[B]T︸︷︷︸(n×1)

EI [B]︸︷︷︸(1×n)

dx

︸︷︷︸[K] (n× n)

a = aT

fint+ fext

(31)

13



Formulacion Matricial

♣ aT arbitrarios; f = fint+ fext:

[K]a = f

• w, dwdx : cond. contorno cinematicas o esenciales

• M, V : cond. contorno estaticas o naturales (→ f)

♣ A nivel elemental, integrales en subdominio Ωe:

[Ke]ae = fe; (32)

[K] =

numel

A [Ke]; f =

numel

A fe. (33)

14



Requisitos de complitud y compatibilidad

♠ w(x) debe poder representar un movimiento rıgido arbitrario(w0, θ0 =

(dwdx

)0)

♠ w(x) debe poder representar deformaciones con curvatura cons-

tante arbitraria,(

d2wdx2

)0= κ0.

→ w(x) = α0 + α1x + α2x2 + . . .

♠ Debe tener continuidad al menos un orden menor que las de-

rivadas que aparecen en la formulacion debil (dwdx),

→ w(x) ∈ C1 → 4 condiciones: wa, (dwdx)a, wb, (

dwdx)b.

w(x) = α0 + α1x + α2x2 + α3x3 (34)

15



Elemento con interpolacion cubica (hermıtico)

N1(x) = 1− 3x2

l2+ 2

x3

l3

1

1

2

a1 = w1

N2(x) = x

(1− 2

x

l+

x2

l2

)

1 2

1 a2 = dwdx

∣∣∣1

N3(x) =x2

l2

(3− 2

x

l

)

1 2

1a3 = w2

N4(x) =x2

l

(x

l− 1

)

1 2

1 a4 = dwdx

∣∣∣2

16



Matriz de rigidez

Integrando terminos de (31):

Ke11 = EI

∫ l

0B2

1 dx; B1 =d2

dx2N1(x) = −6

l2+

12x

l3; (35)

Ke11 =

12EI

l3; (36)

Ke12 =

6EI

l2; Ke

13 = −12EI

l3; . . . (37)

[Ke] =12EI

l3

1 l/2 −1 l/2l/2 l2/3 −l/2 l2/6−1 −l/2 1 −l/2l/2 l2/6 −l/2 l2/3

(38)

17



Matrices de cargas

Integrando terminos de (31):

fe =

ql/2ql2/12ql/2

−ql2/12

︸︷︷︸fint

+

−V1−M1V2M2

︸︷︷︸fext

(39)

18



Hipotesis de vigas de Timoshenko

1. Pieza prismatica, directriz y

zx

2. Secciones planas normales a directriz permanecen planas, perono necesariamente normales a la directriz.

3. Desplazamientos normales a la viga son uniformes sobre laseccion, e iguales a los de la directriz:

w(x, z) = w(x). (40)

4. Tension plana:

σzz = 0. (41)

19



Hipotesis de vigas de Timoshenko

Desplazamientos

θ: giro seccion;

dw/dx: giro directriz (1.er orden)

w(x)z, wθ 6= dw

dx

directriz

θ

x, u

dwdx

xz

v(x, y, z) = 0 (42)

u(x, z) = u0(x)− zθ(x) (43)

20



Deformaciones

de (43): εxx =∂u

∂x=

du0

dx− z

dθ

dx(44)

de (40): εzz =∂w

∂z= 0; (45)

de (43): γxz = 2εxz =∂u

∂z+

∂w

∂x= −θ +

dw

dx6= 0 (46)

γyz = γxy = 0 (47)

Sı existe deformacion por cortante γxz

Deformacion cortante es constante en seccion (hip. Navier)

Hipotesis valida para vigas moderadamente gruesas: λ =l

t> 8.

21



Relaciones Constitutivas

♠ Tensiones

σxx = Eεxx = Edu0

dx− Ez

dθ

dx(48)

σxz = τ = Gγxz = G

(dw

dx− θ

)(49)

♠ Resultantes

M =∫ +t/2

−t/2−Ez2dθ

dxb(z) dz = EI

dθ

dx= EIκ (50)

V =∫ +t/2

−t/2G

(dw

dx− θ

)b(z) dz = GA

(dw

dx− θ

)= GAγxz (51)

N =∫ +t/2

−t/2E

(du0

dx− z

dθ

dx

)b(z) dz = EA

du0

dx(52)

22



Area Reducida

Segun (46), γxz = γ0 (cte.) en seccion

Exacto: distribucion parabolica, seccion alabeada. Igualando

cortante (V =∫ +t/2−t/2 b(z)γ(z) dz):

γ0 =A∗ Aγ(z)

32γ0

Igualando energıa de deformacion entre ambos,

1

2GA∗(γ0)

2 =∫ +t/2

−t/2

1

2Gb(z)γ(z)2 dz ⇒ A∗ = αA.

Seccion rectangular: α = 56 ⇒ A∗ = 5

6A

23



Formulacion Fuerte

♣ A partir de ecuaciones de equilibrio.

de (6):dM

dx+ V = 0 ⇒ EI

d2θ

dx2+ V = 0 (53)

de (5):dV

dx+ q = 0 ⇒ GA∗

(d2w

dx2− dθ

dx

)+ q = 0 (54)

♣ Intervienen derivadas segundas de w, θ.

24



Formulacion debil (momentos)

Tomando en primer lugar la ecuacion del momento (53):

∫ 2

1θ

(EI

d2θ

dx2

)dx +

∫ 2

1θ

GA∗γxz︷︸︸︷V dx = 0 ∀θ (55)

integrando por partes,

−∫ 2

1

dθ

dxEI

dθ

dxdx +

[θ EI

dθ

dx

]21

+∫ 2

1θGA∗

(dw

dx− θ

)dx = 0 ∀θ (56)

25



Formulacion debil (cortantes)

Haciendo ahora lo mismo con la del cortante (54):

∫ 2

1w GA∗

(d2w

dx2− dθ

dx

)dx +

∫ 2

1qw dx = 0 ∀w (57)

Integrando por partes:

−∫ 2

1

dw

dxGA∗

(dw

dx− θ

)dx +

[w GA∗

(dw

dx− θ

)]21

+∫ 2

1wq dx = 0 ∀w (58)

26



Formulacion debil (conjunta)

Sumando (56) y (58):

∫ 2

1

(dw

dx− θ

)

︸︷︷︸γ

GA∗(

dw

dx− θ

)

︸︷︷︸γ

dx +∫ 2

1

dθ

dx︸︷︷︸κ

EIdθ

dx︸︷︷︸κ

dx

=

w GA∗

(dw

dx− θ

)

︸︷︷︸Vi

2

1

+

θ EI

dθ

dx︸︷︷︸Mi

2

1

+∫ 2

1wq dx ∀(w, θ) (59)

♣ Intervienen derivadas primeras de w, w, θ, θ ⇒ requiere tan solo

aproximacion C0

27



Aproximacion Elementos Finitos (Galerkin)

♣ La formulacion debil (59) puede escribirse:

δW =∫ 2

1γ GA∗ γ dx +

∫ 2

1κ EI κ dx−

∫ 2

1w q dx− [w V ]21 −

[θ M

]21

= 0 ∀(γ, κ)

♣ Funciones de interpolacion lineales (continuidad C0):

wh(x) = w1N1(x) + w2N2(x);

θh(x) = θ1N1(x) + θ2N2(x);

1 2x

l1

N1(x) = 1− x

l

1 2x

1l

N2(x) =x

l

28



Interpolacion de Deformaciones

κh = θ1dN1

dx+ θ2

dN2

dx=

[0 −1/l 0 1/l

]︸︷︷︸

[Bef ]

w1θ1w2θ2

(cte.)

γh =

(dwh

dx− θh

)= w1

dN1

dx− θ1N1 + w2

dN2

dx− θ2N2

=[−1/l −1 + x/l 1/l −x/l

]︸︷︷︸

[Bec]

w1θ1w2θ2

(lineal)

29



Matrices elementales (1)

δWh,e = aeT

([Ke

f ] + [Kec]

)ae − fe

int − feext

[Kef ] =

∫ 2

1[Be

f ]TEI[Be

f ] dx; [Kec] =

∫ 2

1[Be

c]TGA∗[Be

c] dx

feint =

∫ 2

1Neq(x) dx; fe

ext =

−V1−M1V2M2

30



Matrices elementales (2)

Integrando analıticamente:

[Kef ] =

(EI

l

)e

0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1

(constante: 1 pto.

Gauss)

[Kec] =

(GA∗

l

)e

1 l/2 −1 l/2l/2 l2/3 −l/2 l2/6−1 −l/2 1 −l/2l/2 l2/6 −l/2 l2/3

(cuadratico: 2 ptos.

Gauss)

31



Deformacion de mensula

♣ Viga Bernouilli (EI): wf = Pl3

3EIwf

l P

♣ Viga Cortante (GA∗): wc = Pl

GA∗wc

l P

♣ Viga Timoshenko (EI, GA∗):

wt = P

(l3

3EI+

l

GA∗

) l P

wt = wf + wc

(Mas flexible que viga Bernouilli)

32



Bloqueo de viga (Timoshenko) esbelta

♣ Seccion rectangular b× t: I = 112bt3; GA∗ = 5

6bt

Kf =3EI

l3; Kc =

GA∗

lKf

Kc=

3

5(1 + ν)

1

λ2

(λ =

l

t

)

en el lımite λ →∞ ⇒ Kf

Kc→ 0, θ =

dw

dx

1 2 3

w, θ

0

θ0 = 0 ⇒ dw

dx

∣∣∣∣0

= 0 ⇒ (w lineal en elto.) w1 = 0, θ1 = 0 ⇒dw

dx

∣∣∣∣1

= 0, . . . ¡Bloqueo!

33



Ejemplo: mensula con 1 elemento (1)

1 elemento viga de Ti-

moshenko1 2l

P

GA∗l

GA∗2 −GA∗

lGA∗2

GA∗3 l + EI

l −GA∗2

GA∗6 l− EI

lGA∗

l −GA∗2

GA∗3 l + EI

l

00

w2θ2

=

V1M1P0

Eliminando las ecuaciones de (V1, M1):(

GA∗l −GA∗

2−GA∗

2GA∗3 l + EI

l

) w2θ2

=

P0

34



Ejemplo: mensula con 1 elemento (2)

Invirtiendo:

w2θ2

=

µ

1 + µ

lGA∗ + l3

3EIl2

2EIl2

2EIl

2EI

P0

(µ =

12EI

GA∗l2)

w2 =µ

1 + µP

(l

GA∗+

l3

3EI

)

♣ Identica a solucion exacta (con flexion y cortante), salvo el factorµ

1+µ .

♣ Valor para seccion rectangular (b× t) y ν = 1/4:

µ

1 + µ=

3

3 + λ2; lım

λ→∞µ

1 + µ= 0

¡Bloqueo!

35



Integracion reducida (del cortante)

• Particularizando [Kc] en el centro del elemento, e integrando con

este unico punto de integracion:

[Kec] =

∫ 2

1

[Be

c

]Tx=l/2

GA∗[Be

c

]

x=l/2dx

=

(GA∗

l

)e

1 l/2 −1 l/2l/2 l2/4 −l/2 l2/4−1 −l/2 1 −l/2l/2 l2/4 −l/2 l2/4

36



Mensula, 1 elto. de integracion reducida

♣ Ecuacion matricial:

w2θ2

=

lGA∗ + l3

4EIl2

2EIl2

2EIl

2EI

P0

♣ Para λ →∞:

wEF

wexacto→ l3/(4EI)

l3/(3EI)=

3

4

¡Solucion sin bloqueo! (algo mas rıgido que solucion exacta)

♣ El error desaparece para una malla suficientemente fina: con

tan solo 2 elementos, wEF/wexacto = 0,938 (para λ →∞).

37



Deformaciones impuestas (1)

• Campo de deformaciones (Timoshenko, interpolacion lineal):

γ =1

l(w2 − w1) + θ1

(1− x

l

)+ θ2

(−x

l

)

• En coordenadas isoparametricas:x = lx = l/2

ξ = 0 ξ = +1

x = 0

ξ = −1

γ =1

l(w2 − w1)−

1

2(θ1 + θ2)

︸︷︷︸α1

+1

2(θ1 − θ2)

︸︷︷︸α2

ξ = α1 + α2ξ

• Vigas muy esbeltas: α1 → 0 ⇒ α2 → 0 ⇒ θ1 = θ2

♣ Solucion: campo independiente (((impuesto))), γ(x) = [Nγ]γ

38



Deformaciones impuestas (2)

• Metodo mixto: interpolacion independiente de flechas (w), giros

(θ), y deformaciones a cortante (γ)

• Caso mas simple: imponer γ = cte.:

γ(ξ) = [Bc]a = α1 =1

l(w2 − w1)−

1

2(θ1 + θ2)

=[−1

l −12

1l −1

2

]

w1θ1w2θ2

♣ En este caso, igual resultado que integracion reducida.

39

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