Curso_completo_de_METODOS_CUANTITATIVOS-libre.pdf

Dr. Higinio Wong Aitken

Facultad de Ciencias Económicas Escuela de Administración

Curso de

Optimización

de Decisiones

Universidad Privada Antenor Orrego – Facultad de Ciencias Empresariales Dr. Higinio Wong Aitken

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CONTENIDO Prefacio 5

1.- Introducción a los Métodos Cuantitativos 6

1.1.- Impacto de la Investigación de Operaciones 8

1.2.- Breve historia de los métodos cuantitativos 10

1.3.- Definición de Métodos Cuantitativos 11

1.4.- El Proceso de toma de decisiones 11

1.5.- Estructura de los modelos en los Métodos Cuantitativos 15

1.6.- Formulación de un Modelo Matemático 16

1.6.1.- Preparación de datos 17

1.6.2.- Solución del modelo 18

1.7.- Análisis de punto de equilibrio 20

1.8.- Ejercicios propuestos 1 23

2.- Análisis de decisiones

2.1.- Estructuración del problema de decisión 67

- Matriz de pagos

- Árbol de decisiones

2.2.- Toma de decisiones sin probabilidades 70

2.2.1.- Enfoque Optimista 70

2.2.2.- Enfoque Conservador 71

2.2.3.- Enfoque mínimax de arrepentimiento 72

2.3.- Toma de decisiones con probabilidades 74

2.4.- Análisis de Sensibilidad 76

2.5.- Valor esperado de la información perfecta (VEIP) 78

2.6.- Análisis de decisiones con información Muestral 80

2.7.- Ejercicios Propuestos 2 85

3.- Pronósticos

3.1. Serie de Tiempo 95

3.2. Componentes de una Serie de Tiempo 96

3.2.1 Componentes de Tendencia 98

3.2.2 componente Cíclico 98

3.2.3 Componente Estacional 99


3

3.2.4 Componente Irregular 99

3.3. Métodos de suavización en el pronóstico 99

3.3.1 Promedios Móviles 100

3.3.2 Promedios Móviles Ponderados 102

3.3.3 Suavización Exponencial 103

3.4. Pronósticos en la Proyección de Tendencias 105

3.5. Pronósticos en los componentes de Tendencia y Estacional 107

3.5.1 Modelo Multiplicativo 108

3.5.2 Desestacionalización de la Serie de Tiempo 113

3.5.3 Uso de la Serie de tiempo desetacionalizada 114

para identificar la Tendencia

3.5.4. Ajustes Estacionales 116

3.6. Análisis de Regresión en Pronósticos 116

3.6.1. Análisis de Regresión cuando no hay datos 117

de una serie de tiempo disponibles

3.7. Procedimientos Cualitativos para Pronósticos 120

3.8. Problemas Propuestos 3 121

4.- Modelos de línea de espera (Teoría de Colas)

4.1. Estructura del sistema de línea de espera

4.2. Distribución de las llegadas

4.3. Distribución de los tiempos de servicios

4.4. Disciplina de la cola

4.5. Operación en estado estable

4.6. Notación Kendall

4.7. Modelo de línea de espera de un solo canal, con llegadas

de Poisson y tiempos de servicio exponencial (M/M/1)

4.8 Modelo de línea de espera de múltiples canales con llegadas Poisson

y tiempos de servicio exponenciales

4.9. Análisis económico de las líneas de espera

4.10. El modelo de línea de espera de un solo canal con llegadas

de Poisson y tiempo de servicio arbitrarios (M/G/1)

4.11. Modelo de canal múltiple con llegadas de Poisson,

tiempos de servicio arbitrario y sin línea de espera (M/G/k)


4

4.12. Modelos de línea de espera con poblaciones de solicitantes

finitas (M/M/1)

5. Inventarios

6.- Programación Lineal 126

6.1. Estructura de un modelo de programación Lineal 127

6.2. Solución gráfica de Programación Lineal 131

6.3. Variables de Holgura (Slack) 135

6.4. Variables Excedentes (Surplus) 138

6.5. Análisis de Sensibilidad en PL

6.5.1. Introducción 140

6.5.2. Análisis de sensibilidad grafico 141


7.- Programación Lineal: Formulación, Solución por computadora 165


8.- Aplicaciones de programación lineal 165

8.1.- En la Mercadotecnia: Selección de medios 165

8.2.- Investigación de mercados 168

8.3.- Aplicación en las Finanzas: Selección de cartera 171

8.4.- Aplicación de administración de la producción 174

8.5.- Aplicación en Asignación de Fuerza de Trabajo 178

9.- Modelos de Transporte, Asignación y Trasbordo 180

9.1.- Problemas de Transporte 180

9.2.- Problemas de Asignación 187

9.3.- Problemas de Trasbordo 192


10.- Programación de Proyectos: PERT / CPM 203

10.1.- Prog. de proyectos con tiempos de actividad conocidos: CPM 204

10.2.- Prog. de proyectos con tiempos inciertos de actividades: PERT 207

10.3.- Variabilidad en el tiempo de terminación del proyecto 210



5

1. INTRODUCCION A LOS METODOS CUANTITATIVOS

Este libro trata acerca del uso de los métodos para ayudar a la toma de decisiones,

aquí se hace énfasis en la forma en que los métodos cuantitativos pueden contribuir a

la toma de mejores decisiones.

Los métodos cuantitativos son procedimientos racionales que ayudan a la toma de

decisiones con base en métodos científicos. Un estudio de método cuantitativo sólo

brinda análisis y recomendaciones, con base en los factores cuantitativos del

problema.

Se han dado diversos nombres a todo el conjunto de conocimientos que involucran

procedimientos cuantitativos para la toma de decisiones.

Los más comunes son:

Métodos cuantitativos

Optimización de Decisiones

Investigación de operaciones (IO)

Ciencias de las decisiones

Ciencias de la administración

La toma de decisiones es fundamental para cualquier actividad humana. En este

sentido, somos todos tomadores de decisiones. Sin embargo, tomar una 'buena'

decisión empieza con un proceso de razonamiento, constante y focalizado, que incluye

muchas disciplinas.

Los métodos cuantitativos proporcionan a los tomadores de decisiones bases

cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y a la vez elevar su habilidad

para hacer planes a futuro.

En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los métodos

tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e inadmisibles ya que

los responsables de dirigir las actividades de las empresas e instituciones se enfrentan

a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez que requieren de soluciones

creativas y prácticas apoyadas en una base cuantitativa sólida.

En organizaciones grandes es necesario que el tomador de decisiones tenga un

conocimiento básico de las herramientas cuantitativas para poder trabajar en forma

estrecha con los especialistas y ser receptivos a las soluciones y recomendaciones.


6

En organizaciones pequeñas puede darse que el tomador de decisiones domine las

herramientas cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse en ellas y así tomar

sus decisiones.

Desde la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un crecimiento sin

precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones. Los pequeños

talleres artesanales se convirtieron en las corporaciones con miles de millones de

dólares.

Una parte integral de este cambio fue el aumento en la división del trabajo y la

separación de las responsabilidades administrativas de estas organizaciones.

Uno de estos problemas es que conforme la complejidad y la especialización crecen,

se vuelve más difícil asignar los recursos disponibles a las diferentes actividades de la

manera más eficaz para la organización como un todo. Este tipo de problemas, y la

necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el ambiente

adecuado para el surgimiento de los métodos cuantitativos.

1.1. DEFINICIÓN DE METODOS CUANTITATIVOS

Métodos Cuantitativos o Investigación de Operaciones (IO). Se puede definir de la

siguiente maneraμ “Los Métodos Cuantitativos o IO es la aplicación del método

científico al estudio de los problemas de toma de decisiones, considerando la

formulación de un modelo matemático que permita estudiar el problema y desarrollar

una solución que indique el mejor u óptimo curso de acción posible”

Las dos características esenciales, que distinguen a la IO de otras disciplinas o

actividades que podrían asimilarse a la anterior definición, son:

i) El modelamiento –generalmente matemático de los problemas de decisión.

ii) La búsqueda de la mejor o la óptima solución de los problemas de decisión.

1.2. EL PROCESO DE TOMA DE DECISIONES

“La toma de decisiones es un proceso de selección entre cursos alternativos de

acción, basados en un conjunto de criterios para alcanzar uno o más objetivos”


7

Las condición fundamental para la solución de problemas es que se establezca una

diferencia entre lo que es (situación actual) y lo que debe ser (situación deseada u

objetivo) y a continuación tomar acciones para eliminar o disminuir esa diferencia.

El proceso de resolución de problemas involucra los siguientes pasos:

1. Identificar y definir bien el problema

2. Determinar el conjunto de soluciones alternativas

3. Determinar el criterio o criterios de evaluación para evaluar dichas alternativas

4. Evaluar las alternativas

5. Elegir la alternativa mas adecuada

6. Implementar la alternativa seleccionada (la decisión)

7. Evaluar los resultados, y determinar si se ha llegado a una solución

satisfactoria

La toma de decisiones es el término generalmente asociado con los primeros 5

pasos del proceso de solución de problemas, la toma de decisiones termina al

seleccionar una alternativa, que es el acto de tomar la decisión.

Las tres primeras fases del proceso decisorio constituyen la “Estructuración del

Problema” y las dos últimas fases son el “Análisis del Problema”

En la fase de análisis del proceso de toma de decisiones puede tomar 2 formas

básicas: Cualitativas y cuantitativas

Estructuración del problema

Definir el problema

Identificar alternativas

Determinar los criterios

Análisis Cualitativo

Análisis Cuantitativo

Resumen y Evaluación

Toma de decision

Análisis del problema


8

El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal del

administrador, incluye la “sensación” y las habilidades necesarias del administrador en

relación al problema, con este enfoque son inherentes en la persona y aumentan con

la práctica, es mas un arte que una ciencia.

El enfoque cuantitativo se obtiene del estudio de herramientas matemáticas que le

permitan a la persona mejorar su efectividad en la toma de decisiones.

Cuando se utiliza un procedimiento cuantitativo, el analista se concentrara en los

hechos o datos cuantitativos asociados al problema

Este enfoque es útil cuando:

a) el problema es tan complejo o importante que requiere de un análisis

exhaustivo para tener mayor posibilidad de elegir la mejor solución.

b) El problema es muy importante (esta involucrada gran cantidad de dinero)

c) El problema es nuevo y el administrador no tiene experiencia previa en cual

apoyarse

d) El problema es repetitivo, y para dar recomendaciones de tipo rutinario

A los problemas que no implican más de un criterio de decisión se les denomina

problemas de decisión de criterio único, y en el caso contrario se les denomina

problemas de decisión multicriterio.

AMBIENTES DE DECISIÓN

El análisis de decisión implica el uso de un proceso racional para seleccionar la mejor

entre varias alternativas. “La bondad” de una alternativa seleccionada depende de la

calidad de los datos utilizados para describir la situación de decisión. Desde este punto

de vista, un proceso de toma de decisiones cae en tres categorías.

1. Toma de decisiones bajo certidumbre: En la que se conocen los datos de forma

determinista.

2. Toma de decisiones bajo riesgo: En la que los datos se describen mediante

distribuciones de probabilidad.

3. Toma de decisiones bajo incertidumbre: En la que no es posible asignar a los

datos pesos relativos que representen su grado de relevancia en el proceso de

decisión.


9

1.3. ESTRUCTURA DE LOS MODELOS EN LOS MÉTODOS

CUANTITATIVOS

El enfoque de los métodos cuantitativos es el modelaje.

Los modelos son representación de objetos en situaciones reales, es decir, es una

herramienta que nos sirve para lograr una visión bien estructurada de la realidad.

El propósito de cualquier modelo es que al estudiarlo y analizarlo nos permite hacer

inferencias sobre la situación real

La ventaja que tiene el sacar un modelo que represente una situación real, es que nos

permite analizar tal situación sin interferir en la operación que se realiza, ya que el

modelo es como si fuera “un espejo” de lo que ocurre.

En general la experimentación con modelos requiere menos tiempos y es menos

costosa que la experimentación con un objeto real

Para aumentar la abstracción del mundo real, los modelos se clasifican como

1. Modelos icónicos: son la representación física, a escala reducida o aumentada

de un sistema real. Ejemplo: un modelo a escala de un camión o un aeroplano

2. Modelos análogos: tienen una forma real, pero no de la misma apariencia física

del objeto que se esta modelando. Ejemplo: el velocímetro de un automóvil, un

termómetro

3. Modelos matemáticos o simbólicos: aquellos que representa un problema real

mediante un conjunto de símbolos, funciones y relaciones o expresiones

matemáticas. Por ejemplo: la utilidad total por la venta de un producto. Un modelo

matemático comprende principalmente tres conjuntos básicos de elementos. Estos

son: variables de decisión, restricciones y función objetivo.

a. Variables y parámetros de decisión. Las variables de decisión son las

incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Las

variables del modelo pueden ser determinísticos o probabilísticos.

b. Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas

y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas)

que restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles.

c. Función objetivo. La función objetivo define la medida de efectividad del

sistema como una función matemática de las variables de decisión, puede ser

la maximización de la utilidad o la minimización del costo. La solución óptima

será aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo, sujeta a las

restricciones.


10

1.4. FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO

Una vez definido el problema, la siguiente etapa consiste en reformularlo en un modelo

matemático para que represente la esencia del problema.

El modelo matemático está constituido por relaciones matemáticas (ecuaciones y

desigualdades) establecidas en términos de variables, que representa la esencia el

problema que se pretende solucionar.

Para construir un modelo es necesario primero definir las variables de las cuales será

establecido. Luego, se procede a determinar matemáticamente cada una de las dos

partes que constituyen un modelo:

a) La función objetivo que es una función (ecuación) que permite conocer el

nivel de logro de los objetivos

b) las limitantes o restricciones que son un conjunto de igualdades o

desigualdades que constituyen las barreras y obstáculos para la consecución

del objetivo.

Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, un modelo es una

aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que

hacen más manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas

de solución. Entonces, todo lo que se requiere es que exista una alta correlación entre

la predicción del modelo y lo que ocurre en la vida real.

Por ejemplo la ecuación de utilidad P=10x seria una funcion objetivo para una

empresa que intente maximizar la utilidad. Si, por ejemplo se requieren cinco horas

para producir cada unidad y solo hay disponible 40 horas semanales, seria necesaria

una restricción de capacidad de producción.

Si x indica el numero de unidades producidas cada semana, la restricción de tiempo

de producción esta dada por 5x ≤ 40

El valor 5x es el tiempo total requerido para producir x unidades; el símbolo ≤ indica

que el tiempo de producción requerido debe ser menos o igual a las 40 horas

disponibles.

El problema de decisión es como sigue: ¿Cuántas unidades de producto deben

programarse cada fin de semana a fin de maximizar la utilidad?.


11

Maximizar P = $10x Función Objetivo

Sujeto a

5x ≤ 40

x ≥ 0

La restricción x≥ 0 requiere que la cantidad de producción no sea negativa, es decir

que no es posible fabricar cantidades negativas.

La solución optima de este modelo esta dado por x = 8 con una utilidad asociada de

$80. Este modelo es un ejemplo de modelo de programación lineal

En este modelo matemático, la utilidad por unidad ($10), el tiempo de producción (5

horas) y la capacidad de producción (40 horas), son factores del entorno que no están

bajo el control del administrador. Estos factores del entorno que pueden afectar tanto a

la función objetivo como a las restricciones se conocen como entradas no

controlables.

Las entradas controlables, determinadas o variables de decisión son alternativas de

decisión que son definidas por el administrador. En el ejemplo, la cantidad de

producción x es la entrada controlable del modelo.

Una vez especificada todas las entradas controlables y no controlables puede

evaluarse la función objetivo y las restricciones y determinar el resultado del modelo

Si todas la entradas no controlables del modelo se conocen y no pueden variar, el

modelo se llama modelo se deterministico. Ejemplo; las tasas corporativas de

impuesto IGV

Si cualquiera de las entradas no controlables es incierta y sujeta a variación, el modelo

se conoce como modelo estocástico o probabilístico. Por ejemplo: la demanda de un

producto, horas de producción por unidad

Restricciones

Entradas no controlables

Utilidad de 10 dólares por unidad Cinco horas de trabajo por unidadCapacidad de 40 horas de trabajo

Cantidad deProducción

Ejemplo x = 8

Entrada controlable

Máximo P=10x (Fun. Objetivo)

Sujeto a (Restricciones)

5x <= 40 x >= 0

Modelo matemático

Utilidad = 80Tiempo utilizado = 40

Salida


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1.5. ANALISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

Todo gerente necesita saber por anticipado, si un nuevo producto o una nueva

empresa, va a producir utilidad o no y en qué nivel de actividad comienza esa utilidad.

Para determinarlo se puede utilizar el análisis de punto de equilibrio

Es el punto en donde los ingresos totales recibidos se igualan a los costos asociados

con la venta de un producto (IT = CT). Un punto de equilibrio es usado comúnmente

en las empresas/organizaciones para determinar la posible rentabilidad de vender

determinado producto.

En forma matemática se tendrá:

Ingresos Total = (Precio de venta) x (Cantidad vendida).

Y = PVu x Q

donde: Y = Ingresos de venta.

PV = Precio de venta.

Q = Cantidad vendida.

Costo total = Costo fijo + costo variable total.

Costo variable total = Costo variable unitario x cantidad producida.

C = CF + CVU x Q

Donde: C = Costo total.

CF = Costo fijo.

CVU = Costo variable unitario.

Q = Cantidad producida y vendida.

CVuPVCF

Q

CFCVuPVQ

QCVuCFQPV

*

)(

**

Total Costo Total Ingreso


13

La línea de coste representada es la suma de los costes fijos y de los costes variables:

Este punto de equilibrio es aquella

cantidad que producida y vendida,

permite recuperar exactamente los

costos asociados a la operación. Si el

producto puede ser vendido en

mayores cantidades de las que arroja

el punto de equilibrio tendremos

entonces que la empresa percibirá

beneficios. Si por el contrario, se

encuentra por debajo del punto de equilibrio, tendrá pérdidas.

Ejemplo 1

Supóngase un producto que requiere unos costos fijos de $1’500,000, cuyo costo

variable de producción es de $500 por unidad y su precio al consumidor es de $2,000.

Los ingresos son: 2,000 x Q

Los costos son: 1,500,000 + 500 x Q

El punto de equilibrio, donde los

ingresos son iguales a los

costos, será:

10001500

000,500'15002000

000,500'1 CVPV

CFQ


14

Si Q > 1,000 unidades generara utilidades

Si Q < 1,000 unidades generara perdidas

Por ejemplo, si se producen 1,100 unidades se tendrá:

Utilidad = Ingresos – Costos = (2,000 x 1,1000) – (1,500,0000 - 500 x 1,100)

= 2’200,000 - 1,500,0000 - 550,000 = 150,000 (utilidad)

Si se producen 900 unidades:

Resultados = (2,000 x 900) – (1,500,0000 - 500 x 900)

= 1,800,000 - 1,500,000 - 450,0000 = -150,000 de pérdida.

VENTAJAS

Los gráficos son fáciles de construir e interpretar.

Provee directrices en relación a la cantidad de equilibrio, márgenes de

seguridad y niveles de utilidad/pérdida a distintos niveles de producción.

Se pueden establecer paralelos a través de la construcción de gráficos

comparativos para distintas situaciones.

La ecuación entrega un resultado preciso del punto de equilibrio.

LIMITACIONES

Es poco realista asumir que el aumento de los costos es siempre línea, ya que

no todos los costos cambian en forma proporcional a la variación en el nivel de

producción.

No todos los costos pueden ser fácilmente clasificables en fijos y variables.

Se asume que todas las unidades producidas se venden, lo que resulta poco

probable.

Es poco probable que los costos fijos se mantengan constantes a distintos

niveles de producción, dadas las diferentes necesidades de la empresa.


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1.6. EJERCICIOS PROPUESTOS 1: PUNTO DE EQUILIBRIO

1. La O’Neill Shoe producirá un zapato de estilo especial, si el tamaño del pedido es

lo suficientemente grande para generar una utilidad razonable. Para cada pedido

especial, la compañía tiene que incurrir en un costo fijo de $1,000 para la puesta

en marcha de producción. El costo variable es de $30 por par, y cada par se vende

en $40. Que tan grande debe ser el pedido de zapatos para que O’Neill llegue al

punto de equilibrio?

2. Eastman Publishing esta considerando la publicación de un libro de tipo bolsillo,

sobre aplicación de las hojas de calculo en los negocios. El costo fijo de

preparación, el diseño y la puesta en marcha de producción se estima en $80,000.

Los costos variables de producción y de materiales se estiman igual a $3 por libro.

La demanda durante la vigencia del libro se estima en 4,000 ejemplares. El editor

planea vender el libro a las librerías, colegios, universidades a $20 cada uno.

a. ¿Cuál es el punto de equilibrio?

b. ¿Qué utilidad o perdida se puede prever, con una demanda de 4,000

ejemplares

c. Con una demanda de 4,000 ejemplares. ¿Cuál es el precio mínimo por

ejemplar que debe cobrar el editor para llegar a punto de equilibrio.

d. Si el editor piensa que el precio por ejemplar pudiera incrementarse hasta

$25.95, sin afectar la demanda prevista de 4,000 ejemplares. ¿Qué utilidad

o perdida se podría prever?.

3. Gina ha abierto su propia empresa que fabrica camisas impresas. Debido a que

ella acaba de comenzar sus operaciones, renta a una imprenta local cuando es

necesario. El costo de utilizar el equipo es de S/. 350. Los materiales que utiliza

para fabricar una camisa cuestan S/. 8 y Gina puede venderlas en S/. 15 cada una

a) Si Gina vende 20 camisas, ¿De cuánto serán sus ingresos totales?, ¿Cuál será

su costo variable total?

b) Cuantas camisas debe vender Gina para llegar al punto de equilibrio.

4. Están en marcha planes preliminares para la construcción de un nuevo estadio

para un equipo de fútbol. Los funcionarios han cuestionado el número y

rentabilidad de los palcos corporativos planeados para el piso superior del estadio.


16

Los palcos pueden ser adquiridos a $100,000 cada uno. El costo fijo de

construcción del área en el segundo piso se estima en $1’500,000, con un costo

variable de $50,000 por cada palco construido.

a. ¿Cuál será el punto de equilibrio para los palcos de lujo del nuevo estadio?

b. Dibujos preliminares muestra que hay disponible para la construcción hasta

50 palcos de lujo. Los promotores indican que hay compradores

detectados y que si se construyen vendrán todos los palcos. ¿Cuál es su

recomendación respecto a la construcción de los palcos de lujo?. ¿Qué

utilidad se puede esperar?

5. José Lujan vende decoraciones para jardines hecha a mano en ferias rurales. El

costo variable para elaborarlas es de S/. 20, y las vende en S/ 50. El costo de

alquiler de un puesto en la feria es de S/. 150. ¿Cuántos adornos debe vender

Jose para llegar al punto de equilibrio?

6. Financial Analysts es una firma de inversiones que administra cartera de valores.

Un nuevo cliente acaba de solicitar que la empresa maneje una cartera de $80,000

Como estrategia inicial de inversión, el cliente desea restringir la cartera a una

combinación de los dos valores siguientes:

Valor Precio /

acción

Rendimiento por

acción esperado

Inversión

máxima

Oil Alaska $50 $6 $50,000

Southwest Pretroleum $30 $4 $45,000

Supongamos que:

X = número de acciones de Oil Alska

Y = número de acciones de Southwest Petroleum

a. Desarrolle la función objetivo, suponiendo que el cliente desee maximizar el

rendimiento anual total.

b. Muestre la expresión matemática de cada una de las siguientes

restricciones:

i. Los fondos de inversión disponible totales son de $80,000

ii. La inversión máxima en Oil Alaska no puede exceder de $50,000

iii. La inversión máxima en Southwest Pretroleum no puede exceder de

$45,000


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7. La compañía Omega espera los siguientes costos unitarios para un volumen de

producción y ventas de 80,000 unidades

Precio de venta $4.00

Costo variable unitario $1.40

Costo fijo unitario $2.25

Utilidad por unidad $0.35

Se pide:

a) Costo fijo total

b) Margen de contribución

c) Punto de equilibrio

d) Cuantas unidades debe vender para obtener una utilidad de $80,000

e) Si puede vender 60,000 unidades, cuál debe ser el precio si desea obtener una

utilidad de $60,000.

f) La compañía puede realizar una campaña publicitaria con un costo de $6,000.

Gracias a esa campaña, las ventas se incrementarían en 3,000 unidades. ¿cuánto

será el incremento o decremento en las utilidades si la realiza? ¿conviene?

8. El contralor de una vinatería ha pronosticado los siguientes costos a tres niveles

diferentes de producción:

Botellas de vino de .75 litros 10,000 uds 15,000 uds 20,000 uds

costos variables de producción $35,000 $52,500 $70,000 costos fijos de producción 100,000 100,000 100,000 gastos variables de venta y adm 2,000 3,000 4,000 Gastos fijos de venta y adm 40,000 40,000 40,000 Precio de Venta $ 18 x botella $ 15 x botella $ 12 x botella

Se pide:

a) Calcule el costo unitario de producción y total para cada uno de los tres niveles. ¿A

que nivel es más pequeño? ¿Porqué?

b) Calcule la utilidad a cada uno de los tres niveles ¿En que nivel fue más alta?

c) ¿Cuál de los tres niveles es mejor para la compañía?

d) ¿Por qué el costo total aumenta, pero el unitario disminuye cuando el nivel de

producción y ventas aumenta?

e) ¿Por qué puede ser una estrategia de MKT el disminuir el precio cuando el volumen

aumenta?

f) Calcule el costo unitario de producción bajo el enfoque de costeo variable Tomando

como base el nivel de producción elegido en el inciso c) Calcule:

a. Margen de contribución unitario


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b. Margen de contribución en porcentaje

c. Punto de equilibrio en dólares

d. Punto de equilibrio en unidades

9. Los alumnos de la escuela de negocios en una universidad están planeando un

evento en el teatro de la localidad. La renta del teatro es de $240,000 por una

representación o de $320,000 por dos representaciones. Otros costos fijos son de

$60,000 por función. Los costos variables por persona son de $20. Los alumnos no

desean obtener ganancias con el evento, solo cubrir los costos. Ellos esperan un

total de 3,200 personas si realizan una sola función y 2,375 en cada función si se

llevan a cabo dos.

Se pide:

a. Determine el precio que deberán cobrar por persona si planean llevar a

cabo una representación

b. Determine el precio si planean dos representaciones.

10. Publicaciones EXE venden suscripciones de revista. Su gerente de MKT está

considerando llevar a cabo una campaña publicitaria con premios para los

subscriptores por $10,000. Otros costos asociados a la campaña aparecen a

continuación:

Tiempo de TV $4,400

Honorarios artistas 700

Publicidad por correo 2,300

Total $ 7,400

Publicaciones EXE planea enviar por correo 2,000 paquetes conteniendo formatos

en blanco para nuevos subscriptores. EXE recibe como comisión un 25 % de los

ingresos por subscripciones de la revista. Normalmente un 15% de los formularos

enviados resulta en suscripciones. El precio cobrado por suscripción es de $35.

Se pide:

a) ¿Cuál será la utilidad de EXE si la campaña cumple las expectativas?

b) ¿Cuál es el punto de equilibrio en términos de tasa de respuesta?

11. Una fábrica de cámaras está introduciendo una nueva cámara desechable este

año. Tienen un costo variable de $20 por unidad. Costos fijos anuales de $2,000

de producción, publicidad y administrativos. El gerente de ventas cree que si la

cámara se vende en $40, alrededor de 250 unidades al año pudieran ser vendidas.

Si el precio fuera de $50 se venderían 200 unidades.


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Se pide:

a) Determine el punto de equilibrio para cada una de las dos opciones

b) Determine a que precio la empresa obtendría mayores utilidades

c) Suponga que por cada cámara vendida, se pudiera vender además un foto-

álbum a un precio de $20 cada unidad con un costo de producción y venta variable de

$15.20 por unidad. ¿Cuánto ganaría la empresa con cada una de las dos opciones?

¿Cambiarías tu respuesta del inciso b?

12. La Empresa “Dulces deliciosos” tiene costos fijos semanales de $ 306. Cada Kilo

de dulces producidos cuesta $ 1.20 y se vende a $ 2.10.

a) Especificar la funciones de ingresos y costos semanales.

b) Determinar el punto de equilibrio.

RPTA: I = 2.1x, C = 1.2x + 306, (3.4, 714)

13. Para la instalación de una empresa se ha hecho una inversión de $ 28,000. Se

sabe que para producir 1000 artículos se gastan $6,000 en materia prima y,

además, que por cada unidad producida se pagan: $8 de mano de obra directa y

$2 en otros gastos indirectos de la producción. Si cada unidad se vende a $30:

a) Determine la función lineal de ingresos totales

b) Determine la función lineal de costos totales

c) ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para recuperar la inversión?

d) ¿Cuántas unidades se deben producir y vender para ganar $21,000?

Rpta: I = 30x, C = 16x + 28000; 2000; 3500

14. El costo variable de producir un artículo es de $2.20 por unidad y los costos fijos

son de $240 al día. El artículo se vende a $3.40. ¿ Cuántos artículos se deben

producir y vender para garantizar que no haya ganancias ni pérdidas? Rpta. 200


20

TEOREMA DE BAYES

En el análisis de probabilidad condicional, indicamos que una fase importante del

análisis de probabilidades es la revisión de las probabilidades al obtenerse nueva

información.

Con frecuencia empezamos un análisis con estimaciones iniciales (probabilidades a

priori) para eventos específicos. Después provenientes de fuentes como muestreo,

informes especiales, ensayos de productos, obtenemos información adicional de ese

evento, Con esta nueva información modificamos los valores de las probabilidades a

priori mediante el calculo de probabilidades actualizadas a las que llamamos

probabilidades posteriori.

El teorema de Bayes proporciona un método para calcular estas probabilidades

Ejemplo

Una Empresa manufacturera recibe piezas de dos proveedores. Entonces sea:

A1 el evento de que una pieza es del proveedor 1, y

A2 es el evento de que una pieza es del proveedor 2.

Actualmente el 65% de las piezas adquiridas por la empresa proviene de la empresa 1

y el 35% restante proviene de la empresa 2.

Con base a los datos históricos de la empresa, las probabilidades condicionales de

recibir piezas buenas y malas de ambos proveedores son:

Probabilidades condicionales de recibir piezas buenas y malas de ambos proveedores

G: Piezas buenas B: Piezas Malas

A1: Proveedor 1 0.98 0.02

A2: Proveedor 2 0.95 0.05

Entonces tenemos: P(G / A1) = 0.98 P(B / A1) = 0.02

P(G / A2) = 0.95 P(B / A2) = 0.05

El proceso de calcular estas probabilidades conjuntas se ilustra en el árbol de

probabilidades

Probabilidades a priori

Información nueva

Aplicación del Teorema Bayes

Probabilidades Posteriori


21

En el árbol, de izquierda a derecha, las probabilidades para cada una de las ramas en

el paso 1 son las probabilidades a priori y las probabilidades para cada rama en el

paso 2 son las probabilidades condicionales. Para determinar las probabilidades

conjuntas de cada resultado experimental simplemente multiplicamos las

probabilidades de las ramas que se dirigen hacia el resultado

Ahora suponga que las piezas de los dos proveedores se utilizan en las manufacturas

de la empresa y que una pieza mala hace que una maquina se descomponga. ¿Cuál

es la probabilidad de que dicha pieza mala provenga del proveedor 1, y cual es la

probabilidad de que provenga del proveedor 2?. Con la información del árbol de

probabilidades, podemos utilizar el teorema de bayes para contestar a esta pregunta.

Haciendo e l evento M: la pieza seleccionada sea mala, estamos buscando las

probabilidades posteriores P(A1 / M) y P(A2 / M). De la definición de probabilidades

condicionales sabemos que:

)(

)1()/1(

BP

MAPMAP

Haciendo referencia al árbol de probabilidades, vemos que:

P(A1 M) = P(A1) P(M / A1)

Para determinar P(M), notamos que el evento M puede ocurrir solo de 2 formas:

M = (A1 M) (A2 M)

P(M) = P(A1 M) + P(A2 M)

P(M) = P(A1) P(M / A1) + P(A2) P(M / A2)

Prov.1

Prov.2

B

M

B

M

Paso 1Proveedor(a priori)

Paso 2Condición

ResultadoExperimental

Bov 1.Pr

Mov 1.Pr

Bov 2.Pr

Mov 2.Pr

P(Prov.1)=0.65

P(Prov.2)=0.35

P(B/Prov.1)=0.98

P(B/Prov.2)=0.95

0.02

0.05

P(Prov.1B)=0.637

P(Prov.1M)=0.013

P(Prov.2B)=0.3325

P(Prov.2M)=0.0175

+

+

+

Suma = 1


22

Sustituyendo P(M) en la probabilidad condicional P(A1 / M), tenemos el teorema de

Bayes.

)2/()2()1/()1(

)1/()1(

)(

)1()/1(

AMPAPAMPAP

AMPAP

BP

MAPMAP

Utilizando el teorema de bayes para este ejemplo tenemos:

Observe que en esta aplicación empezamos con una probabilidad de 65% de que una

pieza seleccionada al azar proviniera del proveedor 1, sin embargo, dada la

información de que la pieza es mala, determinamos que la probabilidad de dicha pieza

provenga del proveedor 1 se reduce a 42.62%. de hecho hay una gran probabilidad de

que la pieza mala, provenga del proveedor 2 (57.38%)

El teorema de bayes es aplicable cuando los evento para los cuales deseemos

calcular probabilidades son mutuamente excluyentes y su unión es el espacio muestral

completo. El teorema de bayes puede calcularse para n eventos mutuamente

excluyentes A1, A2, …, An, cuya unión sea la totalidad del espacio muestral

)/()(...)2/()2()1/()1(

)1/()1(

)(

)1()/1(

AnMPAnPAMPAPAMPAP

AMPAP

BP

MAPMAP

PROCEDIMIENTO TABULAR PARA EL TEOREMA DE BAYES

El procedimiento tabular es útil para llevar a cabo cálculos del teorema de bayes, de

manera simultanea para todos los eventos Ai

Paso 1: Prepare 3 columnas

Columna 1 – Los eventos mutuamente excluyentes para los cuales se

desean las probabilidades posteriores

Columna 2 – Las probabilidades a priori de los eventos

%62.424262.00305.0013.0

0175.0013.0013.0

P(M)M)P(Prov.1

)P(Prov.1/M

%38.575738.00305.00175.0

0175.0013.00175.0

P(M)M)P(Prov.2

)P(Prov.2/M


23

Columna 3 – Las probabilidades condicionales de la nueva información,

dado cada uno de los eventos

Paso 2: En la columna 4, calcule las probabilidades conjuntas de cada evento

y la nueva información M, utilizando las probabilidades condicionales

Paso 3: Sume las probabilidades conjuntas de la columna 4, para obtener

la probabilidad de la nueva información, P(M) = 0.0305

Paso 4: En la columna 5, calcule las probabilidades posteriores utilizando

la probabilidad condicional P(Ai / M)

Col 1 Col 2 Col 3 Col 4 Col 5

Evento Probabilidad

a priori

Probabilidad

Condicional

Probabilidad

Conjunta

Probabilidad

posteriori

Ai P(Ai) P(M / Ai) P(Ai M) P(Ai / M)

A1 0.65 0.02 0.0130 0.0130/0.0305 = 0.4262

A2 0.35 0.05 0.0175 0.0175/0.0305 = 0.5738

Suma 1.00 0.0305 Suma 1.0000

2. ANALISIS DE DECISIONES Decisión: El proceso de elegir la solución para un problema suponiendo que existen

varias alternativas.

El análisis de decisiones se puede emplear para determinar estrategias optimas

cuando el administrador o quien tome las decisiones tiene que enfrentarse a varias

alternativas de decisión y un patrón incierto o lleno de riesgos de eventos futuros.

2.1. ESTRUCTURACION DE UN PROBLEMA DE DECISION

La compañía ABC adquirió terrenos para un complejo de condominios de lujo. Las

unidades individuales tendrían un precio de $300,000 a $1’200,000 dependiendo del

piso en el cual esta localizada la unidad, su superficie (en m2) y características

opcionales (como chimeneas y grandes terrazas).

La Cia ABC desarrollo planos arquitectónicos preliminares para 3 tamaños:

d1) un complejo pequeño con 6 pisos y 30 unidades


24

d2) un complejo medio con 12 pisos y 60 unidades

d3) un complejo grande con 18 pisos y 90 unidades.

Un factor clave en la selección de alguna de las alternativas de decisión, involucra el

juicio de la administración sobre la demanda existente para estos condominios.

Al preguntarle sobre la aceptación del mercado, la administración considero la posible

aceptación del proyecto como una situación de todo o nada, esto es, que la aceptación

en el mercado será una de dos posibilidades:

- Una elevada aceptación del mercado y por lo tanto una demanda sustancial de

los condominios o

- Una baja aceptación del mercado y por lo tanto una demanda limitada de

condominios

Aunque utilizando la publicidad la administración puede tener alguna influencia sobre

la aceptación en el mercado, los elevados precios de los condominios son factores en

las cuales la compañía ABC no tendrá el control.

En el análisis de decisiones a los eventos futuros no controlables que efectúan un

resultado asociado con una alternativa de decisión recibe el nombre de estado de

la naturaleza. La lista de posibles estados de la naturaleza, incluye todo lo que

puede ocurrir, de manera que de hecho, solo uno ocurrirá.

En el caso del proyecto de condominio ABC, los dos estados de la naturaleza son:

S1 = una elevada aceptación del mercado y por tanto una demanda sustancial

S2 = una baja aceptación del mercado y por tanto una demanda limitada

Dada las 3 alternativas de decisión y los 2 estados de la naturaleza. ¿Qué tamaño de

condominios deberá seleccionar ABC?. Para responder a esta pregunta ABC

necesitara información sobre la utilidad asociada con cada una de las combinaciones.

En el análisis de decisiones, nos referimos a las

consecuencias que resultan de una alternativa

de decisión y la ocurrencia de un estado

particular de la naturaleza como pagos

La tabla que muestra los pagos para todas las combinaciones de alternativas de

decisión y los estados de la naturaleza se llama tabla o matriz de pagos.

Estado 1 Estado 2 Alternativa 1 Pago11 Pago12

Alternativa 2 Pago12 Pago22

Matriz de Pagos


25

Las entradas de una tabla o matriz de pagos se puede establecer en función a la

utilidad, costo, tiempo, distancia o cualquier otra medición que pudiera ser apropiada

para la situación que se esta analizando

La administración de ABC ha estimado los siguientes pagos (utilidades del proyecto

en millones dólares)

Alternativa

de decisión

Estado de la naturaleza

S1: Alta aceptación S2: Baja aceptación

d1 = Complejo pequeño 8 7

d2 = Complejo medio 14 5

d3 = Complejo grande 20 -9

Un árbol de decisión es una representación grafica secuencial de las alternativas de

decisión y los estados de la naturaleza que proporciona todos los pagos posibles

El primer paso para resolver problemas complejos es descomponerlos en

subproblemas más simples, la secuencia temporal se desarrolla de izquierda a

derecha

Note que el árbol de decisión muestra la progresión natural o lógica que ocurrirá en el

transcurso del tiempo. En primer lugar ABC debe tomar la decisión en relación con el

tamaño del complejo de condominios (d1, d2 o d3). Entonces, una vez implementada

la decisión, ocurrirá cualquiera de los dos estados de la naturaleza (s1 o s2). El

número de cada punto extremo del árbol indica los pagos asociados con una

alternativa de decisión y un estado en particular.

2

3

4

1

Pequeño (d1)

Mediano (d2)

Grande (d3)

8

7

14

5

20

-9

Elevado (x1)

Bajo (x2)


26

Un nodo es una intersección o punto de unión en un árbol de decisión, y el arco

conector entre nodos se conoce como rama.

Nodo de decisión: representa un punto en el que se debe tomar una decisión. Se

representa con un cuadrado. De un nodo de decisión salen ramas de decisión que

representan las decisiones posibles

Un nodo de estado de la naturaleza: representa el momento en que se produce un

evento incierto. Se representa con un círculo. De un nodo de estado de la naturaleza

salen ramas que representan los posibles resultados provenientes sobre los cuales no

se tiene control

Ahora pasando a la pregunta ¿Cómo puede quien toma las decisiones, utilizar la

tabla matriz de pagos, o el árbol de decisión para llegar a una decisión?. Puede

utilizar varios procedimientos.

2.2. TOMA DE DECISIONES SIN PROBABILIDADES

No requiere conocer las probabilidades de los estados de la naturaleza.

Estos procedimientos son apropiados cuando quien toma la decisiones no

puede juzgar los diversos estados de la naturaleza

A veces se llegan a diferentes recomendaciones de decisión, es por ello que la

persona que toma la decisión necesita comprender los métodos disponibles

para seleccionar, de acuerdo a su juicio, el más apropiado

2.2.1. ENFOQUE OPTIMISTA

El enfoque optimista evalúa cada alternativa de decisión en función al mejor pago

que pueda ocurrir, es decir el mejor pago posible.

Para un problema en el cual se desee la utilidad máxima (como el problema de ABC)

el procedimiento optimista hará que el administrador escoja la alternativa con la

utilidad máxima.

TOMA DE DECISIONES

SIN PROBABILIDAD

CON PROBABILIDAD

- Enfoque Optimista

- Enfoque conservador

- Enfoque minimax


27

En problemas que impliquen minimización, este procedimiento llevara a escoger la

alternativa con el pago más pequeño,

Para un problema que

desea :

Alternativa a tomar Enfoque

Maximización Pago mas grande Maximax

Minimización Pago mas pequeño Minimin

En el ejemplo del proyecto de ABC, el enfoque optimista escogerá el pago máximo de

cada una de las alternativas de decisión (d1, d2, d3) y a continuación seleccionamos la

alternativa de decisión que aporta el pago general máximo

Dado que d3 = 20 es el pago máximo, la decisión de construir un complejo grande de

condominios es la alternativa recomendada utilizando el enfoque optimista.

2.2.2. ENFOQUE CONSERVADOR

El enfoque conservador evalúa cada alternativa de decisión en función al peor pago

que pueda ocurrir. La alternativa de decisión recomendada es aquella que proporciona

lo mejor entre los peores pagos posibles.

Para un problema en el que la medida de resultado es la utilidad (como el caso de

ABC), el enfoque conservador recomendaría a escoger la alternativa que maximice la

utilidad mínima posible que se pudiera obtener. En problemas que involucren

minimización, este enfoque identifica la alternativa que minimice el pago máximo.

Para un problema que desea :

Alternativa a tomar Enfoque

Maximización Maximiza el resultado o pago mínimo Maximin

Minimización Minimice el resultado o pago máximo Minimax


-9 20 d3 = Complejo grande

5 14 d2 = Complejo medio

7 8 d1 = Complejo pequeño

Baja aceptación

S2

Alta aceptació

n

Alternativa de decisión

Tabla o Matriz de Pagos para el proyecto ABC (pagos en millones dólares)

20

14

8

Max

Máximo de los pagos máximos


28

En el problema de ABC, primero identificaremos los pagos mínimos de cada una de

las alternativas de decisión (d1, d2, d3) y a continuación seleccionamos la alternativa

de decisión que maximice el pago mínimo.

Dado que d1 = 7 es el máximo de los pagos mínimos, se recomienda la decisión de un

complejo de condominios pequeño, ya que tiene garantizada una utilidad de 7 millones

de dólares (ABC no puede ganar menos de 7 millones)

Este procedimiento se considera conservador, ya que identifica los peores pagos

posibles y a continuación recomienda la alternativa de decisión que evita la posibilidad

de pagos extremadamente malos.

2.2.3. ENFOQUE MINIMAX DE ARREPENTIMIENTO

El enfoque mínimax de arrepentimiento, toma la decisión que no es ni totalmente

optimista, ni totalmente conservador.

Suponga que ocurre el estado de la naturaleza de alta aceptación (s1), por lo que la

mejor decisión es construir un gran complejo de condominio (d3) con una utilidad de

$20 millones de dólares, si ABC hubiera construido un complejo pequeño de

condominio (d1), con una utilidad de $8 millones, ABC ha perdido la oportunidad de

ganar (20 - 8 = 12 millones de dólares).

La perdida de oportunidad o arrepentimiento es la perdida (utilidad menor o costo

superior) debido a no tomar la mejor decisión para cada estado de la naturaleza.

La diferencia entre el resultado correspondiente a la mejor alternativa de decisión ($20

millones) y el pago correspondiente a la decisión de construir un complejo pequeño de

condominios d1 ($8 millones) es la perdida de oportunidad o arrepentimiento,


-920d3 = Complejo grande

514d2 = Complejo medio

78d1 = Complejo pequeño

Baja aceptación

S2

Alta aceptación

S1

Alternativa de decisión Estado de la naturaleza




Baja aceptación

S2

Alta aceptación

S1



-9

5

7

Min

-9

5

7

Min

Máximo de los pagos mínimos


29

Definimos la pérdida de oportunidad o arrepentimiento como:

Problema de: Arrepentimiento

Maximización Entrada mas grande de la columna de la matriz de pagos

Minimización Menor entrada de la columna de la matriz de pagos

Dado que el problema de ABC es un problema de maximización, entonces se debe

escoger la entrada más grande para cada estado de la naturaleza y restarlo a cada

alternativa de decisión.

El siguiente paso es enlistar los arrepentimientos máximos para cada alternativa de

decisión, de ahí seleccionamos el menor de todos arrepentimientos, de ahí el nombre

de arrepentimiento mínimax. La siguiente tabla muestra el procedimiento del

arrepentimiento minimax

La crítica principal de los procedimientos analizados en la toma de decisiones sin

probabilidades es que no toman consideración ninguna información sobre

probabilidades de los diversos estados de la naturaleza.

2.3. TOMA DE DECISIONES CON PROBABILIDADES

En muchas situaciones podemos obtener estimaciones de probabilidades para cada

estados de la naturaleza. En este caso podemos utilizar el enfoque del valor

esperado, para identificar cual es la mejor alternativa de decisión.

El valor esperado (VE) de la alternativa

de decisión di, se define como:

Arrepentimiento de una acción para un estado de la naturaleza

Pago máximo para el estado de la naturaleza

Pago de la acción para el estado de la naturaleza

= -


7-(-9) = 1620-20 = 0d3 = Complejo grande

7-5 = 220-14 = 6d2 = Complejo medio

7-7 = 020-8 = 12d1 = Complejo pequeño

Baja aceptaciónS2

Alta aceptaciónS1



7-(-9) = 1620-20 = 0d3 = Complejo grande

7-5 = 220-14 = 6d2 = Complejo medio

7-7 = 020-8 = 12d1 = Complejo pequeño

Baja aceptaciónS2

Alta aceptaciónS1



16

6

12

Arrepent.Máximo

16

6

12

Arrepent.Máximo

n

j

VijSjPdiVE1

)()(


30

En palabras, el valor esperado de una alternativa de decisión es la suma de los pagos

ponderados correspondientes a la alternativa de decisión.

La ponderación para un pago es la probabilidad del estado de la naturaleza asociado y

por tanto la probabilidad de que dicho pago ocurra.

En el problema de ABC, Suponga que ABC es optimista sobre el potencial del

complejo de condóminos de lujo, este optimismo nos da un juicio inicial subjetivo de

0.8 de que la aceptación del mercado será elevada (s1) y una probabilidad de 0.2 de

que la aceptación del mercado será baja (s2). Por lo que P(S1) = 0.8 y P(S2) = 0.2

Utilizando la tabla de pago de ABC para calcular el valor esperado para cada una de

las tres alternativas de decisión tenemos:

Utilizando el enfoque de valor esperado, encontramos que la decisión recomendada es

el complejo grande de condominio con un valor esperado de 14.2 millones de dólares.

La figura muestra el árbol de decisión para el problema de ABC en función de las

probabilidades de los estados de la naturaleza, trabajando hacia atrás a través del

árbol de decisión

VE(d1) = 0.8(8) + 0.2(7) = 7.8

VE(d2) = 0.8(14) + 0.2(5) = 12.2

VE(d3) = 0.8(20) + 0.2(-9) = 14.2





Baja aceptaciónP(S2) = 0.2

Alta aceptaciónP(S1) = 0.8






Baja aceptaciónP(S2) = 0.2

Alta aceptaciónP(S1) = 0.8


ARBOL DE DECISION PARA EL PROYECTO ABC (Pago en millones $)

1

2

8

7

3

14

5

4

20

-9

Pequeño (d1)

Mediano (d2)

Grande (d3)

Elevado P(S1)=0.8

Bajo P(S2)=0.2

VE(d1) = 0.8(8) + 0.2(7) = 7.8

VE(d2) = 0.8(14) + 0.2(5) = 12.2

VE(d2) = 0.8(20) + 0.2(-9) = 14.2


31

2.4. ANALISIS DE SENSIBILIDAD

Podemos empezar a aprender de que manera las modificaciones de las

probabilidades de los estados de la naturaleza (sj) afectan la decisión recomendada.

Por ejemplo, para el problema de ABC, suponga que la probabilidad de una elevada

aceptación (S1) queda reducida de 0.8 a 0.2, y que la probabilidad de S2 se eleve de

0.2 a 0.8 y volviendo a obtener el valor esperado para cada nueva alternativa de

decisión tenemos:

VE(d1) = 0.2(8) + 0.8(7) = 7.2

VE(d2) = 0.2(14) + 0.8(5) = 6.8

VE(d3) = 0.2(20) + 0.8(-9) = -3.2

Por lo que la nueva alternativa de decisión recomendada es d1 = construir un complejo

pequeño de condominios con un valor esperado de $7.2 millones.

Cuando la probabilidad de una elevada aceptación es grande P(S1), ABC deberá

considerar construir el complejo grande; cuando P(S1) es pequeña, ABC debe

construir un complejo pequeño, pero ¿hasta que valor de P(S1) cambia la

alternativa de decisión?

En el caso especial de dos estados de la naturaleza, un procedimiento grafico facilita

los cálculos de un análisis de sensibilidad.

Para demostrar este procedimiento grafico sigamos este procedimiento:

1. supongamos que p represente la probabilidad del estado de la naturaleza S1,

esto es P(S1) = p. Con dos estados de la naturaleza la probabilidad del otro

estado es P(S2) = 1 – p

2. Utilizando la ecuación del Valor esperado, determinamos el valor esperado de

cada alternativa de decisión (di)

VE(d1) VE(d2) VE(d3)

VE(d1) = P(S1)(8) + P(S2)(7)

VE(d1) = p(8) + (1 – p)(7)

VE(d1) = 8p + 7 – 7p

VE(d1) = p + 7

VE(d1) = P(S1)(14) + P(S2)(5)

VE(d1) = p(14) + (1 – p)(5)

VE(d1) = 14p + 5 – 5p

VE(d1) = 9p + 5

VE(d1) = P(S1)(20) + P(S2)(-9)

VE(d1) = p(20) + (1 – p)(-9)

VE(d1) = 20p - 9 + 9p

VE(d1) = 29p - 9

El análisis de sensibilidad estudia como las modificaciones en las estimaciones de probabilidades para los estados de la naturaleza afectan o alteran la alternativa de decisión recomendada.


32

3. Para cada ecuación tabulamos con p = 0 y p = 1, (puntos extremos)

p VE(d1) VE(d2) VE(d3)

0 7 5 -9

1 8 14 20

4. Ahora desarrollamos una grafica de VE(d1), VE(d2), VE(d3) con los valores de

p sobre el eje horizontal y VE en el eje vertical.

La figura muestra como cambian las recomendaciones de decisión al cambiar la

probabilidad del estado de la naturaleza de alta aceptación P(S1) = p.

El valor de p para el cual VE(d1) = VE(d2) es el valor correspondiente a la intersección

de las líneas VE(d1) y VE(d2). Es decir:

VE(d1) = VE(d2)

p + 7 = 9p + 5 8p = 2 p = 2/8 = 0.25

De ahí que siempre que p=0.25, las alternativas de decisión d1 y d2 nos da el mismo

valor esperado. Repitiendo este cálculo para el valor p que corresponde a la

intersección del VE(d2) y VE(d3), obtendremos p=0.70

Utilizando la grafica, podemos concluir que

la alternativa de decisión d1 nos da el VE mas elevado para p < 0.25,

la alternativa de decisión d2 nos da el VE mas elevado para 0.25<p<0.70

la alternativa de decisión d3 nos da el VE mas elevado para p > 0.70.

VE para las tres alternativas de decision como una funcion de p

VE(d1), 1, 8

VE(d2), 1, 14

0, 7

0, 5

VE(d3), 1, 20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

p

VE

d1 nos da un VE mas elevado

d2 nos da el VE mas elevado

d3 nos da el VE mas elevado


33

Puesto que p es la probabilidad del estado de la naturaleza S1 y (1-p) es la

probabilidad del estado de la naturaleza S2, tenemos ahora la información del análisis

de sensibilidad que nos indica la manera en que los cambios en las probabilidades del

estado de la naturaleza afectan a la alternativa de decisión recomendada.

En un principio la administración estimo la probabilidad de una elevada aceptación

P(s1) = 0.8. Como resultado se recomendó la alternativa de decisión d3, una vez

hecho el análisis de sensibilidad, podemos decirle a la administración de ABC que

siempre que p>0.70, la alternativa de decisión d3 se mantiene como optima.

2.5. VALOR ESPERADO DE LA INFORMACION PERFECTA

• Si se pudiera contar con un predictor perfecto, se podría seleccionar por

anticipado el curso óptimo de acción correspondiente a cada evento

• Ponderando la utilidad correspondiente a cada curso de acción óptimo por la

probabilidad de ocurrencia de cada evento se obtiene el valor esperado con

información perfecta (VEcIP).

• El VEIP puede considerarse como una medida general del impacto económico

de la incertidumbre en el problema de decisión.

• El VEIP también da una medida de las oportunidades perdidas.

Si el VEIP es grande, es una señal para que quien toma la decisión busque

otra alternativa que no se haya considerado hasta el momento

Supongamos que ABC tiene la oportunidad de llevar a cabo un estudio de

mercado para evaluar el interés de los compradores de condominio en el proyecto

y proporcionar información útil a la administración para mejorar los juicios de

probabilidades y estados de la naturaleza

Para determinar el valor potencial de esta información, el estudio puede

proporcionar información perfecta acerca de los estados de la naturaleza, es

El VEIP es un indicador del valor máximo que convendría pagar por conseguir

información adicional antes de actuar, es decir refleja el aumento en la utilidad

esperada a partir de contar con un mecanismo de predicción perfecto

VEIP = | VEcIP – VEsIP |


34

decir suponemos que ABC puede determinar con certeza el estado de la

naturaleza que va a ocurrir.

Para utilizar esta información perfecta desarrollaron una estrategia de decisión que

ABC deberá seguir una vez que sepa cual es el estado de la naturaleza que va a

ocurrir.

Observe que si ABC supiera con certeza que ocurriría el estado de naturaleza:

S1, la mejor alternativa es d3, con un pago de $20 millones o

S2, la mejor alternativa es d1, con un pago de $7 millones

¿Cuál es el valor esperado de esta estrategia de decisión (VEIP)?. Con base en

las estimaciones originales (probabilidades a priori), existe una probabilidad de 0.8

para el estado de la naturaleza S1, en este caso la estrategia de decisión es d3, y hay

una probabilidad de 0.2 para el estado de la naturaleza S2, en este caso la estrategia

de decisión es d1. Por lo que el valor esperado con información perfecta es

VEcIP = 0.8($20) + 0.2($7) = $17.4 millones

En manera general el Si) dedecision de estrategia)((SiPVEcIP

Recordemos que el Valor esperado sin utilizar la información perfecta (VEsIP) dio

como resultado $14.2 millones, entonces la diferencia entre el VEcIP y el VEsIP es el

valor esperado de la información perfecta

VEIP = 17.4 – 14.2 = $3.2 millones

En otras palabras, $3.2 millones representa el valor esperado adicional que es posible

obtener si se tuviera disponible la información perfecta sobre los estados de la

naturaleza. Dado de VEIP es $3.2, ABC debe considerar la investigación de mercados

como una forma para obtener más información sobre los estados de la naturaleza.

Una estrategia de decisión es una regla de decisión que define la alternativa que ha de seleccionarse una vez que la nueva información este disponible.


35

2.6. ANALISIS DE DECISION CON INFORMACION MUESTRAL

Generalmente quienes toman las decisiones empiezan con estimaciones de

probabilidad preliminares (a priori), sin embargo para la mejor decisión posible, el

tomador de decisiones o administrador pudiera desear tener información adicional

sobre los estados de la naturaleza

Esta nueva información se puede utilizar para revisar o actualizar las probabilidades

previas (a priori), a través de un procedimiento de revisión bayesiano de manera

que la decisión final se base en estimaciones de probabilidades mas precisas y

actualizadas para los estados de la naturaleza (probabilidades posteriores)

Generalmente la información adicional se obtiene a través de investigación de

mercado, pruebas de productos, muestreo de materias primas, etc. A esta nueva

información se le denomina información muestral

Suponga que ABC lleva a cabo un estudio de investigación para evaluar la aceptación

del mercado y el interés de los compradores en la adquisición de los condominios. Los

resultados del estudio de investigación de ABC son.

F = Informe favorable de investigación de mercado (es decir las personas

entrevistadas muestran interés en adquirir un condominio)

U = Informe no favorable (es decir, las personas entrevistadas no muestran

interés en adquirir un condominio)

Para llevar a cabo el análisis necesitamos las probabilidades condicionales para todos

los resultados de la muestra dados todos los estados de la naturaleza, esto es

P(F / S1); P(F / S2); P(U / S1); P(U / S2).

Para el problema de ABC tenemos las siguientes estimaciones para las probabilidades

condicionales

Estado de la

naturaleza

Investigación de mercados

F: Favorable V: No Favorable

Elevada aceptación P(F/S1) = 0.90 P(V/S1) = 0.10

Baja aceptación P(F/S2) = 0.25 P(V/S2) = 0.75

Utilizamos el análisis de árbol de decisiones para determinar la estrategia óptima de

decisión para ABC.


36

4

Elevado (S1)P(S1 / F)

Bajo (S2)P(S2 / F)

8

7

5


Bajo (S2)P(S2 / F)

14

5

6


Bajo (S2)P(S2 / F)

20

-9

7

Elevado (S1)P(S1 / V)

Bajo (S2)P(S2 / V)

8

7

8


Bajo (S2)

P(S2 / V)

14

5

9

Elevado (S1)

P(S1 / V)

Bajo (S2)

P(S2 / V)

20

-9

Pequeño (d1)

Medio (d2)

Grande (d3)

Pequeño (d1)

Medio (d2)

Grande (d3)

1

2

3

Favorable (F)

No Favorable (V)

Estudio demercado

Decisión Estado de la Naturaleza

4


Bajo (S2)P(S2 / F)

8

7

5


Bajo (S2)P(S2 / F)

14

5

6


Bajo (S2)P(S2 / F)

20

-9

7


Bajo (S2)P(S2 / V)

8

7

8


Bajo (S2)

P(S2 / V)

14

5

9

Elevado (S1)

P(S1 / V)

Bajo (S2)

P(S2 / V)

20

-9

Pequeño (d1)

Medio (d2)

Grande (d3)

Pequeño (d1)

Medio (d2)

Grande (d3)

1

2

3

Favorable (F)

No Favorable (V)

1

2

3

Favorable (F)

No Favorable (V)

Estudio demercado

Decisión Estado de la Naturaleza

Observe que de izquierda a derecha, el árbol muestra el orden natural o lógico que

ocurrida en el proceso de toma de decisiones. Primero ABC, tendrá los resultados de

investigación de mercados (F o U), a continuación se tomara una decisión (d1, d2 o

d3); finalmente ocurrirá el estado de la naturaleza (S1 o S2).

La decisión y el estado de la naturaleza se combinan para proporcionar la utilidad o

pago final. La selección de la mejor rama de decisión equivale a tomar la mejor

decisión.

Para desarrollar una estrategia de decisión utilizando el árbol de decisión, necesitamos

las probabilidades de la información muestral P(F) y P(U), y además las probabilidades

del estado de la naturaleza P(S1 / F); P(S2 / F); P(S1 / U); P(S2 / U), utilizando el

procedimiento de revisión bayesiano para calcular las probabilidades condicionales

Utilizando el procedimiento tabular del método de bayes para revisar o actualizar las

probabilidades previas con base en la información muestral es:


37

Probabilidades con base en un informe favorable de investigación de mercados


Probabilidades Previas

Probabilidades Condicionales

Probabilidades Conjuntas

Probabilidades Posteriores

Sj P(Sj) P(F / Sj) P(F Sj) P(Sj / F) S1 0.8 0.90 0.72 0.9351 S2 0.2 0.25 0.05 0.0649

P(F) = 0.77

Probabilidades con base en un informe No favorable de investigación de mercados


Probabilidades Previas

Probabilidades Condicionales

Probabilidades Conjuntas

Probabilidades Posteriores

Sj P(Sj) P(U / Sj) P(U Sj) P(Sj / U) S1 0.8 0.10 0.08 0.3478 S2 0.2 0.75 0.15 0.6522

P(U) = 0.23

Una vez que hemos calculado las probabilidades actualizadas (con la información

muestral) podemos utilizar el enfoque de valor esperado para determinar la estrategia

óptima de decisión, para esto trabajamos hacia atrás por el árbol de decisión:

- 2do. Como el administrador quiere maximizar la utilidad esperada, se debe

escoger la rama que maximiza cada nodo de decisión:

o La decisión optima del nodo 2 es d3 con un VE de 18.118

o La decisión optima del nodo 3 es d2 con un VE de 8.130

4

5

6

7

8

9

Pequeño (d1)

Medio (d2)

Grande (d3)

Pequeño (d1)

Medio (d2)

Grande (d3)

1

2

3

Favorable (F)

No Favorable (V)

VE(d1) = 0.9351(8) + 0.0649(7) = 7.935

VE(d2) = 0.9351(14) + 0.0649(5) = 13.416

VE(d3) = 0.9351(20) + 0.0649(-9) = 18.118

VE(d1) = 0.3478(8) + 0.6522(7) = 7.348

VE(d2) = 0.3478(14) + 0.6522(5) = 8.130

VE(d3) = 0.3478(20) + 0.6522(-9) = 1.086

P(F) = 0.77

P(V) = 0.23


38

- 3ero. Continuamos trabajando hacia atrás para determinar el VE(nodo 1), este

nodo tiene 2 ramas con probabilidades que corresponden a los resultados de la

información muestral F y U.

Debemos utilizar estas probabilidades para calcular el VE(nodo 1)

o VE(nodo 1) = (0.77)VE(nodo 2) + (0.23)VE(nodo 3)

= 0.77($18.118) + 0.23($8.130) = $15.82

El VE(nodo 1) = $15.82 es el valor esperado de la estrategia optima de decisión si

ABC lleva a cabo el estudio de investigación de mercado y utiliza la información para

determinar el tamaño recomendado del complejo de condominios. Note que ABC aun

no ha determinado la decisión del tamaño del complejo. Para determinar una decisión

ABC necesitara saber los resultados de la investigación de mercados:

Si la investigación de mercado Entonces construir

es favorable (F) Complejo grande de condominios (d3)

no es favorable (U) Complejo mediano de condominios (d3)

En vista que el VE(con información muestral) es $15.82 millones y el valor esperado

sin información muestral (VEsIM) es $14.2 millones, el valor esperado de la

información muestral (VEIM) = 15.82 – 14.2 = $1.62 millones. En otras palabras $1.62

millones es el incremento en valor esperado que se basa en la información muestral.

En forma general, el valor esperado de la información muestral es:

VEIM = | VecIM – VEsIM |

Donde:

VecIM = Valor esperado con información muestral

VEsIM = Valor esperado sin información muestral

En caso de problemas de minimización, el VEcIM ≤ VEsIM


39

2.7. EJERCICIOS PROPUESTOS 2

1. Se tiene la siguiente tabla o matriz de pagos

Evento

Acción


E1:

Guerra

E2:

Paz

E3:

Depresión

A1: Valores especulativos 20 1 -6

A2: Bonos de alto grado 9 8 0

A3: Bonos 4 4 4

a. Construya un árbol de decisión

b. Aplique todos los criterios de selección no probabilísticos: Optimista,

conservador y de arrepentimiento mínimas. Que enfoque prefiere usted.

2. La siguiente tabla o matriz de pagos muestra las utilidades para un problema de

análisis de decisión con 2 decisiones y 3 estados de la naturaleza

Alternativa

de decisión


S1 S2 S3

d1 250 100 25

d2 100 100 75

a. Construya un árbol de decisión para este problema

b. Cual es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista,

conservador y de arrepentimiento mínimas?

c. Suponga que quien toma la decisión ha obtenido las siguientes

estimaciones preliminares P(S1) = 0.65, P(S2) = 0.15 y P(S3) = 0.20. Utilice

el enfoque del valor esperado para determinar la solución óptima.

d. Cual seria la estrategia optima si tuviera disponible información perfecta

e. Cual es el valor esperado de la información perfecta

3. Suponga que quien debe tomar la decisión frente a 4 alternativas de decisión y 4

estados de la naturaleza desarrolla la siguiente matriz de pagos de utilidades

Alternativa

de decisión


S1 S2 S3 S4

d1 14 9 10 5

d2 11 10 8 7

d3 9 10 10 11

d4 8 10 11 13


40

a) Haga un árbol de decisión

b) Cual es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista,

conservador y de arrepentimiento mínimax

c) Suponga que la matriz de pagos nos da Costos en vez de pagos en utilidades.

¿Cuál es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista,

conservador y de arrepentimiento mínimas?

d) Suponga que quien toma la decisión ha obtenido las siguientes estimaciones

preliminares P(S1) = 0.5, P(S2) = 0.2, P(S3) = 0.20, p(S4) = 0.1. Utilice el

enfoque del valor esperado para determinar la solución óptima.

e) Ahora suponga que las entradas que aparecen en la matriz de pagos son

costos, utilice el enfoque del valor esperado para determinar la solución óptima.

f) Cual es la estrategia optima si se tuviera disponible información perfecta

g) Cual es el valor esperado de la información perfecta, y cual es la decisión

recomendada

4. La decisión de Southland Corporation de producir una nueva línea de productos

recreativos ha resultado en la necesidad de construir una planta pequeña o una

grande. La selección del tamaño de la planta depende de la forma en que

reaccione el mercado la nueva línea de productos. A fin de conducir un análisis, la

administración ha decidido considerar la demanda posible a largo plazo como baja,

media, alta. La siguiente tabla o matriz de pagos muestra la utilidad proyectada en

millones de dolare.

Alternativa de

decisión

Demanda a largo plazo

Baja Media Alta

Planta pequeña 150 200 200

Planta grande 50 200 500

a) Construya un árbol de decisión para este problema

b) Recomiende una decisión con base en lo enfoques optimista, conservador y de

arrepentimiento mínimax

5. Investment Advisors, Inc. Considera 3 estrategias de inversión. Las utilidades de

dichas estrategias depende de lo que ocurra con la tasa de interés bancario a lo

largo de los siguientes 3 meses. Los resultados (miles de dólares) aparece en la

tabla siguiente


41

Alternativas

de decisión


Reducción Sin cambio Aumento

Estrategia d1 50 70 40



¿Qué estrategia de inversión recomendaría con base en los enfoques

optimista, conservador y de arrepentimiento mínimax?

6. Una empresa esta considerando 3 opciones para administrar su operación de

procesamiento de datos. El costo de la operación depende de la demanda futura.

El costo anual de cada alternativa de decisión y de estado de la naturaleza en

miles de dólares es como sigue:

Alternativa de decisión Estado de la naturaleza (demanda)

S1: Elevada S2: Media S3: Baja

Personal Propio, d1 650 650 600

Proveedor (outsourcing), d2 900 600 300

Combinación (ambas), d3 800 650 500

Si las probabilidades de la demanda son P(S1) = 0.2, P(S2) = 0.5, P(S3) = 0.3.

¿Qué alternativa de decisión minimizara el costo esperado de la operación.

¿Cuál será el costo anual esperado asociado con dicha recomendación?

7. La siguiente matriz de pagos de utilidades para un problema de decisión con 2

estados de la naturaleza y 2 alternativas de decisión

Alternativa de

decisión


S1 S2

d1 10 1

d2 4 3

a) Haga un árbol de decisión

b) Cual es la decisión recomendada utilizando los enfoques optimista,

conservador y de arrepentimiento mínimax

c) Utilice el análisis de sensibilidad grafico para determinar la probabilidad del

estado de la naturaleza s1, para el cual cada una de las alternativas de

decisión tenga el valor esperado más elevado.

d) Suponga que las probabilidades iniciales son P(S1)=0.77 y P(S2)=0.23.

Calcule el Valor Esperado

e) Cual es el valor esperado de la información perfecta,


42

8. La siguiente matriz de pagos muestra la utilidad para un problema de decisión


Estado de la naturaleza S1 S2

d1 80 50 d2 65 85 d3 30 100

Utilice el análisis de sensibilidad grafico para determinar la probabilidad del

estado de la naturaleza s1, para el cual cada una de las alternativas de

decisión tenga el valor esperado más elevado.

9. La empresa Datum esta instalando sus oficinas centrales en Lima y esta pensando

en tres oficinas. Las proyecciones de utilidad mostradas (en miles de dólares) en

cada localización se basaron tanto en el estado natural de demanda baja y altas.

Alternativa

de decisión


Demanda alta Demanda baja

Localización A

Localización B

Localización C

200

120

100

-20

10

60

Suponga que p corresponde a la probabilidad del estado de la naturaleza de

demanda alta.

a. ¿Qué es lo que el análisis de sensibilidad grafico le indica a la administración

de las preferencias de localización?.

b. Podrá alguna de las localizaciones ser eliminada. Porque?

c. Después de una revisión adicional, la administración estimo un probabilidad de

una demanda alta de 0.65. Con base en los resultados anteriores. ¿Qué

localización deberá seleccionarse?. ¿Cuál es el valor esperado asociado con

dicha decisión?

10. Suponga que se le plantea una situación con 3 estados posible de la naturaleza

S1, S2 y S3. las probabilidades previas son P(S1) = 0.2, P(S2) = 0.5 y P(S3) = 0.3.

Con información muestral I, P(I / S1) = 0.1, P(I / S2) = 0.05, P(I / S3) = 0.2. calcule

las probabilidades realizadas o posteriores P(Si / I).

11. Hace 6 meses, Sr. Walter pago 25 mil dólares por una opción para la adquisición

de un terreno que esta pensando en desarrollar. Otro inversionista ha ofrecido

adquirir la opción de Walter en 275 mil dólares. Si Walter no acepta la oferta de

este inversionista, adquirirá la propiedad, limpiara el terreno y lo preparará para su

edificación. El cree que una vez hecho esto podrá venderlo a algún constructor.


43

Sin embargo, el éxito de la inversión dependerá de cómo este el mercado de

bienes raíces en el momento que venda la propiedad. Si el mercado de bienes

raíces esta baja, Walter cree que perderá 1.5 millones de dólares. Si el mercado

de bienes raíces se eleva Walter estima una utilidad de 4 millones de dólares.

Debido a otros compromisos, Walter no cree factible que pueda conservar el

terreno una vez desarrollado, por lo que la única alternativa actual es: vender la

opción o desarrollar el terreno. Suponga que la probabilidad de que el mercado de

bienes raíces este a la baja, al nivel actual, o a la alza sean 0.6; 0.3 y 0.1

respectivamente

a. ¿Qué decisión deberá tomar Walter, utilizando el procedimiento del valor

esperado?

b. Suponga que las probabilidades de que el mercado de bienes raíces sea la

baja, al nivel actual o a la alza son 0.5; 0.3 y 0.2, respectivamente. ¿Qué

decisión debería tomar Walter con base en el enfoque de valor esperado?.

¿Qué pasaría si las probabilidades fueran 0.4, 0.4 y 0.2?. ¿Qué sugieren los

resultados en relación con la inversión propuesta?

c. Suponga que después de consideraciones adicionales Walter llega a la

conclusión de que 0.1 es una buena estimación de la probabilidad de que el

mercado de bienes raíces este a la alza. Sin embargo, no es capaz de llegar a

ninguna conclusión definida en relación con las probabilidades de los demás

estados de la naturaleza. ¿Cuál deberá ser la probabilidad de que el mercado

este a la baja para que el enfoque de valor esperado recomendase que

vendiera su opción en 275 mil dólares?.

12. La siguiente tabla o matriz de pagos de utilidades para un problema de decisión

con 2 estados de la naturaleza y 3 alternativas de decisión, tiene las

probabilidades previas S1 y S2 como P(S1) = 0.8 y P(S2) = 0.2

Alternativa de

decisión


S1 S2

d1 15 10

d2 10 12

d3 8 20

a) Recomiende una decisión con base en lo enfoques optimista, conservador y de

arrepentimiento mínimax

b) Utilice el enfoque de valor esperado para determinar la decisión óptima.


44

c) Utilice el análisis de sensibilidad grafico para determinar los valores de la

probabilidad del estado de la naturaleza S1 para el cual cada una de las

alternativas de decisión tiene el valor esperado más grande.

d) Encuentre el VEIP (VE información perfecta)

e) Suponga que se obtiene información muestral, con P(I / S1) = 0.2 y P(I / S2) =

0.75. determine las probabilidades posteriores P(S1 / I) y P(S2 / I). Recomiende

una alternativa de decisión con base en estas nuevas probabilidades

13. Un inversionista en bienes raíces tiene la oportunidad de adquirir un terreno que

actualmente tiene uso residencial. Si el siguiente año el consejo municipal aprueba

una solicitud de rezonificar la propiedad como comercial, el inversionista podrá

rentar el terreno a una gran empresa que desea abrir una tienda sobre la

propiedad. Sin embargo, si no se aprueba el cambio en la clasificación del terreno,

el inversionista tendrá que vender la propiedad con perdida. Las utilidades (en

miles de dólares) aparece en la siguiente tabla o matriz de pagos

Alternativas

de decisión

Estado de la Naturaleza (Rezonificación)

Aprobada Desaprobada

d1: Adquisición 600 -200

d2: No adquisición 0 0

a) Si la probabilidad de que se aprueba la Rezonificación es de 0.5. ¿Qué

decisión se recomienda?. Cual es la utilidad esperada?

b) El inversionista conservara el derecho de adquirir el terreno en

cualquier momento mientras aprende mas sobre la posible resistencia

presentada por los residentes del área. Las probabilidades históricas de

esta resistencia por parte de los residentes del área para cada uno de

los estados de la naturaleza son como sigue:

H: Elevada

Resistencia

L: Baja

Resistencia

S1: Rezonificación aprobada 0.2 0.8

S2: Rezonificación no aprobada 0.9 0.1

¿Cuál es la estrategia optima de decisión, si el inversionista aprende mas

sobre la resistencia de los residentes del área antes de tomar la decisión de

adquisición?


45

14. Condominium SA, recientemente adquirió terrenos y esta intentando determinar el

tamaño del proyecto de condominio que debe construir. Esta considerando 3

tamaños (pequeño, medio, grande). Simultáneamente una económica incierta hace

difícil juzgar la demanda de los nuevos condominios. Con 3 niveles de demanda, la

administración de Condominium ha preparado la siguiente matriz de pagos de

utilidades (en miles de dólares)

Alternativas

de decisión

Estado de la Naturaleza

S1: Baja S2: Media S3: Alta

d1: Pequeña 400 400 400

d2: Mediana 100 600 600

d3: Grande -300 300 900

a) Construya un árbol de decisión para este problema

b) Si no sabe nada sobre las probabilidades de la demanda. ¿Cuáles son las

decisiones recomendadas utilizando los enfoques optimista, conservador y de

arrepentimiento mínimax.

c) Si P(baja) = 0.20, P(media) = 0.35, P(alta) = 0.45. ¿Cuál es la decisión

recomendada utilizando el valor esperado?

d) Cual es el valor esperado de la información perfecta

Suponga que Condominium hace una encuesta para ayudar a evaluar la demanda

del nuevo proyecto de condominio. La encuesta informa sobre 3 indicadores de

demanda: débil (W), promedio (A), fuerte (S). Las probabilidades condicionales se

encuentran aquí:

W : Debil A: Promedio S: Fuerte

P(W / S1) = 0.6 P(A / S1) =0.3 P(S / S1) = 0.1

P(W / S2) = 0.4 P(A / S2) =0.4 P(S / S2) = 0.2

P(W / S3) = 0.1 P(A / S3) =0.4 P(S / S3) = 0.5

e) Cual es la estrategia optima de Condominium

f) Cual es el valor de la información de la encuesta

g) Cual es el VEIP

15. Panamericana Televisión esta pensando en producir un programa piloto para una

serie de comedia para una importante cadena televisiva. La cadena puede

rechazar tanto el piloto como la serie, también puede adquirir el programa con

duración de 1 o 2 años. Panamericana puede decidir producir dicho piloto o

transferirlo por $100,000 los derechos de la serie a un competidor. Las utilidades


46

de Panamericana se resumen en la siguiente tabla de pago de utilidades (en miles

de dólares)

Alternativa de decisión Estado de la Naturaleza

S1: Rechazo S2: 1 año S3: 2 años

Producir Piloto -100 50 150

Vender al competidor 100 100 100

a) Si las estimaciones de probabilidades para los estados de la naturaleza son

P(rechazo)=0.2; P(1 año) = 0.3 y P(2 años) = 0.5. ¿Qué deberá hacer la

empresa?

b) Cual es el máximo que debería estar dispuesto Panamericana a pagar para

obtener información confidencial sobre los planes de la cadena de TV?

Por $2,500 dólares de honorarios de asesoria, una empresa de consultaría revisara los

planes de la serie de comedia y dará la posibilidad general de una reacción favorable

(F) o desfavorable (D) por parte de la cadena. ¿Cuál debería ser la estrategia de

decisión de Panamericana?. Suponga que Panamericana cree que las probabilidades

condicionales siguientes son juicios realistas sobre la precisión de la evaluación de

dicha empresa consultora.

P(F / S1) = 0.3 P(D / S1) = 0.7

P(F / S2) = 0.6 P(D / S2) = 0.4

P(F / S3) = 0.9 P(D / S3) = 0.1

c) Muestre el árbol de decisión para este problema

d) ¿Cuál es la estrategia de decisión recomendada y el valor esperado, suponiendo

que se obtiene la información de la agencia? (VEIP)

e) ¿Cuál es el VEIM?. Vale la información de la agencia por los $2,500?. ¿Cuánto

seria el máximo que debería estar dispuesto a pagar con la información?

16. Martin’s Service Station esta considerando invertir en una barredora de nieve para

el servicio pesado. Martín ha analizado la situación cuidadosamente y cree que si

hay mucha nieve, seria una inversión redituable. Martín probablemente podría

obtener una pequeña utilidad si la nieve es moderada, pero perdería dinero si la

nieve es ligera. Específicamente, Martín pronostica una utilidad de $7,000 si las

nevadas son severas, $2,000 si son moderadas y una perdida de $9,000 si las

nevadas son ligeras. Con base al pronostico a largo plazo de la oficina

meteorológica. Martín estima que P(Nevada severa) = 0.4; P(nevada Moderada) =

0.3 y P(nevada ligera) = 0.3


47

a. Prepare un árbol de decisión para el problema de Martín

b. ¿Cuál es el valor esperado de cada nodo de la naturaleza?

c. ¿El enfoque de valor esperado recomendaría a Martín una barredora de

nieve?

Suponga que Martín puede adquirir una cuchilla para colocarla en su camión de

servicio que también puede usarse para barrer accesos y estacionamientos. Este

camión debe también estar disponible para ayudar a encender automóviles, por lo

que si escoge una alternativa. Martín no será capaz de generar tantos ingresos

barriendo nieve, pero su perdida será menor en caso de que las nevadas sean

ligeras. Con esta alternativa. Martín pronostica una utilidad de $3,500 si la nevada

es severa, de $1,000 si es moderada y una perdida de $1,500 si la nevada es

ligera.

d. Prepare un nuevo árbol de decisión mostrando las 3 alternativas

e. ¿Cuál es la decisión optima utilizando el enfoque del valor esperado

f. Cual es el valor esperado de la información perfecta (VEIP)

Suponga que Martin decide esperar para poder revisar el patrón de temperatura de

mediados de Septiembre, antes de tomar una decisión final. Las estimaciones de las

probabilidades asociadas con un Septiembre extraordinariamente frio (U) son:

P(U/S1) = 0.30 P(U/S2) = 0.20 P(U/S3) = 0.05

g. Si Martin Observa un Septiembre extraordinariamente frio. Cual es la

decisión recomendada?

h. Si Martin no encuentra un Septiembre extraordinariamente frio. ¿Cuál es la

decisión recomendada?

17. Gorman Manufacturing debe decidir si ha de comprar un componente de un

proveedor o fabricar en su planta de Milan. Si la demanda es elevada Gorman

podrá fabricar lucrativamente el componente. Sin embargo si la demanda es baja,

el costo unitario de manufactura de Gorman seria elevado debido a la baja

utilización del equipo. La tabla siguiente muestra la utilidad proyectada (en miles

de dólares) para la decisión de fabricar o comprar de Gorman.

Alternativa de decisión Demanda

S1: Baja S2: Media S3: Alta

Fabricar el componente, d1 -20 40 100

Comprar el componente, d2 10 45 70


48

Las probabilidades de los estados de la naturaleza son P(baja) = 0.35, P(media) 0

0.35 y P(elevada) = 0.30.

a. Utilice un árbol de decisión para recomendar una decisión

b. Utilice el VEIP para determinar si Gorman debe intentar obtener una mejor

estimación de la demanda

Un estudio de prueba de mercado de la demanda potencial del producto se

espera un informe sobre una situación favorable (F) o no favorable (NF). Las

probabilidades condicionales son:

P(F / S1) = 0.10 P(NF / S1) = 0.90

P(F / S2) = 0.40 P(NF / S2) = 0.60

P(F / S3) = 0.60 P(NF / S3) = 0.40

c. Cual es la probabilidad de que el informe de investigación de mercados sea

Favorable

d. Cual es la estrategia optima de decisión de Gorman

e. Cual es el valor esperado de la información de la investigación de

mercados

18. Ken Brown es dueño principal de Brown Oíl, después de renunciar a su empleo

docente en la Universidad, Dan ha tenido la capacidad de aumentar su salario

anual por un factor superior a 100. En este momento debido a la competencia Ken

se ve forzado a considera la compra de mas equipo para Brown Oíl. Sus

alternativas se muestran en la siguiente tabla:

Equipo Mercado

Favorable $

Mercado

Desfavorable $

Sub 100 300,000 -200,000

Oiler J 250,000 -100,000

Texan 75,000 -18,000

a) Hacer un árbol de decisiones

b) Escoger la mejor decisión según los enfoques optimista, conservador y

arrepentimiento máximo. Y cuál es la mejor alternativa

c) Cuál es el criterio de una decisión de realismo (Criterio de Hurwicz). α = 0.4

d) Cuál es la decisión de igualdad de probabilidades


49

19. The Lubricant es una revista cara dentro de la industria petrolera a los que muchas

compañías se suscriben (entre ellos Ken Brown). En su última edición, la revista

describió la manera en que la demanda de los productos petroleros será

extremadamente elevada. Se supone que el consumidor estadounidense

continuara utilizando productos petroleros, incluso si el precio de estos productos

se duplicara. De hecho uno de los artículos de la revista declara que las

posibilidades de un mercado favorable para los productos petroleros son del 70%,

mientras que la posibilidad de un mercado desfavorable es de solo 30%. Ken

quiere utilizar estas probabilidades para determinar la mejor de las decisiones.

a. Hacer el árbol de decisión

b. Qué decisión tomara usando las probabilidades?

c. Cuál es la cantidad máxima que deberá pagar por obtener información

perfecta del mercado de petróleos

d. Ken cree que la cifra de $300,000 para el Sub 100 con un mercado

favorable es demasiado alta. ¿Hasta qué monto tendría que cambiar

esta cifra para que Ken cambiase la decisión que tomo en la parte (a).

e. Hacer un análisis de sensibilidad

20. Mickey Lawson está considerando invertir dinero que heredo. La siguiente tabla de

ganancia presenta las utilidades que tendría durante el año siguiente según cada

una de las tres alternativas de inversión.

Estado de la Naturaleza

Alternativa Decisión Buena Economía

P(S1) = 0.5

Mala Economía

P(S2) = 0.5

Mercado de valores 80,000 -20,000

Bonos 30,000 20,000

Certificado de deposito 23,000 23,000

a) Escoger la mejor decisión según los enfoques optimista, conservador y

arrepentimiento máximo

b) Qué decisión tomara usando las probabilidades?

c) Cuál es la cantidad máxima que deberá pagar por un pronóstico perfecto de

economía?

d) Cuál será el rango de probabilidades para una buena Economía para cada

alternativa de decisión (Análisis de sensibilidad)

e) Cuál será la perdida de oportunidad que se enfrenta Mickey Lawson y que

decisión minimizara la perdida de oportunidad esperada (POE)


50

21. Allen Young siempre ha estado orgulloso de sus estrategias de inversión personal

y ha tenido éxito durante los últimos años. Invierte principalmente en el mercado

de valores. Sin embargo durante los últimos mes. Allen ha comenzado a

preocuparse pues duda de que el mercado de valores sea una buena inversión. En

algunos casos sería mejor que tuviese su dinero en el banco en lugar de

arriesgarlo en el mercado de valores. Durante el año próximo, debe decidir si

invierte $10,000 en el mercado de valores o certificado de depósitos (CD) con una

tasa de interés de 9%. Si el mercado es bueno Allen cree que podría obtener 14%

de rendimiento sobre su dinero. Con un mercado imparcial espera obtener un 8%

de rendimiento. Si el mercado es malo lo más probable es que no obtenga

rendimiento alguno (es decir del 0%). El estima que la probabilidad de un buen

mercado es de 0.4, la de un mercado mediano es de 0.4 y de un mercado malo es

0.2. Por supuesto el desea maximizar sus rendimientos promedio a largo plazo.

a. Desarrolle la matriz de pagos y el árbol de decisión

b. Utilice los enfoques optimista, conservador y arrepentimiento minimax y

en cada enfoque escoger la mejor alternativa

c. Utilice el criterio de realismo (Criterio de Hurwics) con alfa = 0.56 para

tomar la mejor decisión.

d. Cuál es la mejor decisión usando las probabilidades

e. Si él tuviera información confidencial sobre los estados del mercado,

hasta cuanto podría maximizar sus rendimientos

22. Today´s Electronics se especializa en la manufactura de componentes electrónicos

modernos. También fabrica equipo que produce componentes. Phyllis Weinberger,

quien es responsable de asesorar al presidente de la empresa acerca del equipo

de manufactura electrónica, ha desarrollado la siguiente tabla acerca de una

instalación propuesta:

Matriz de Utilidades ($)

Mcdo Fuerte Mcdo Mediano Mcdo pobre

Instalación grande 550,000 110,000 -310,000

Instalación mediana 300,000 129,000 -100,000

Instalación pequeña 200,000 100,000 -32,000

Ninguna instalación 0 0 0

a. Utilice los enfoques optimista, conservador y arrepentimiento minimax y

en cada enfoque escoger la mejor alternativa


51

b. Utilice el criterio de realismo (Criterio de Hurwicz) con alfa = 0.7 para

tomar la mejor decisión.

c. Cuál es la decisión según el criterio de igualdad de probabilidades

d. Desarrolle una tabla de pérdida de oportunidad

23. Brilliant color es un pequeño proveedor de químicos y equipo que se emplea en

algunas tiendas fotográficas para procesar los rollos de 35 milímetros. Un producto

que suministra esta compañía es el BC-6. Jhon Kubick, presidente de Brilliant

Color, normalmente almacena 11, 12 o 13 cajas de BC-6 a la semana. Por cada

caja que vende, él obtiene una utilidad de $35. Como en el caso de muchos otros

químicos fotográficos, el BC-6 tiene una vida útil muy corta, de manera que si una

caja no se ha vendido para el fin de semana, Jhon debe desecharla. Ya que cada

caja le cuesta $56, él pierde esa cantidad por cada caja que no se haya vendido

para el fin de semana. Existe una probabilidad de 0.35 de vender 12 cajas y una

probabilidad de 0.2 de vender 13 cajas.

a. Construya una tabla de decisión para este problema. Incluya en ella todos

los valores condicionales y probabilidades en dicha tabla.

b. ¿Cuál es el curso de acción que recomienda?

c. Si Jhon puede desarrollar el BC-6 con un ingrediente que lo estabilice para

que ya no tenga que ser desechado, ¿cómo cambiaría la recomendación

que acaba de hacer?

24. Farm Grown Inc. produce cajas para productos alimenticios perecederos. Cada

caja, que contiene un surtido de vegetales y de otros productos agrícolas, tiene un

costo de $5 y se vende por $15. Si no hubiera cajas vendidas al final del día, éstas

se venden a una gran compañía procesadora de alimentos. La probabilidad de que

la demanda diaria sea de 100 cajas es de 0.3, la probabilidad de que sea de 200

cajas es de 0.4, y la de que sea de 300 cajas es de 0.3. Farm Grown tiene la

política de satisfacer siempre las demandas del cliente. Si su propio suministro

para las cajas es menor que la demanda, compra los vegetales necesarios a otro

competidor. El costo estimado de hacer esta operación es de $16 por caja.

a. Dibuje una tabla de decisión para este problema.

b. Cuál es la decisión según el criterio de igualdad de probabilidades

c. Cuál es el criterio de decisión de realismo (Use alfa=0.6)

d. ¿Qué recomienda usted?


52

25. A pesar de que las estaciones de gasolina independientes han pasado por una

época difícil, Susan Solomon piensa abrir su propia estación de servicio. Su

problema es decidir de qué tamaño debería ser. Los rendimientos anuales

dependerán tanto del tamaño de su estación como el número de factores de

marketing relacionados con la industria petrolera y la demanda de gasolina.

Después de un análisis cuidadoso, Susan desarrolló la siguiente tabla:

TAMAÑO

DE LA

ESTACIÓN

MERCADO

BUENO

($)

MERCADO

MEDIANO

($)

MERCADO

POBRE

($)

Pequeña 50,000 20,000 -10,000

Mediana 80,000 30,000 -20,000

Grande 100,000 30,000 -40,000

Muy grande 300,000 25,000 -160,000

a. Utilice los enfoques optimista, conservador y arrepentimiento minimax y en

cada enfoque escoger la mejor alternativa

b. Cuál es la decisión con el criterio de igualdad de probabilidades


26. Un grupo de profesionales de la medicina está considerando la construcción de

una clínica privada. Si la demanda médica es elevada (por ejemplo, hay mercado

favorable para la clínica), los médicos deberán obtener una utilidad neta de

$100,000. Si el mercado no fuera favorable, perderían $40,000. Desde luego, no

tienen que llevarlo a cabo, en cuyo caso no existe costo alguno.

a. Construya un árbol de decisión para este problema

b. Cuál será la mejor decisión según los enfoque optimista, conservador y

arrepentimiento maximo


d. En ausencia de cualquier dato de mercado, lo mejor que pueden pensar los

médicos es que hay una posibilidad de 50-50 de que la clínica tenga éxito.

¿Qué deberían hacer los profesionales de la medicina?

e. Haga un análisis de sensibilidad sobre los valores de las probabilidades

f. Cuanto estaría dispuesto a pagar por conocer información perfecta

Los médicos del problema anterior han sido contactados por una empresa de

marketing que les ofrece llevar a cabo un estudio de mercado por una tarifa de


53

$5000. Los investigadores de mercado afirman que su experiencia les permite

utilizar el teorema de Bayes para hacer los siguientes planteamientos de

probabilidad:

Probabilidad de mercado favorable con un estudio favorable = 0.82

Probabilidad de mercado desfavorable con un estudio favorable = 0.18

Probabilidad de mercado favorable con un estudio desfavorable = 0.11

Probabilidad de mercado desfavorable con un estudio desfavorable = 0.89

Probabilidad de un estudio de investigación favorable = 0.55

Probabilidad de un estudio de investigación desfavorable = 0.45

g. Desarrolle un nuevo árbol de decisión para los profesionales de la medicina

en donde se reflejen las opciones que ahora se han abierto con el estudio

de mercado.

h. Utilice la metodología Valor Esperado para recomendar una estrategia.

i. ¿Cuál es el valor esperado de la información de muestreo? ¿Cuánto

estarían dispuestos a pagar los médicos por el estudio de mercado?

27. Jerry Smith piensa abrir una tienda de bicicletas en su pueblo natal. Él disfruta

pasear en su propia bicicleta en recorridos de 50 millas con sus amigos, pero cree

que un pequeño negocio podría iniciarse únicamente si existe una buena

oportunidad de obtener utilidades. Él podría abrir una tienda pequeña, una grande

o ninguna. Debido a que deberá arrendar por cinco años el edificio que piensa

utilizar, quiere estar seguro de que tomará una buena decisión. Además, quiere

contratar a su antiguo profesor de marketing para llevar a cabo un estudio de

investigación de mercado. Si se lleva a cabo el estudio, los resultados podrían ser

favorables o desfavorables.

Si Jerry ha realizado un análisis sobre la utilidad de la tienda de bicicletas. Si

construyera una tienda grande, sus utilidades serian de $60,000 en caso de que el

mercado sea favorable; pero perderá $40,000 si el mercado resulta desfavorable.

La tienda pequeña le dará un rendimiento de $30,000 en un mercado favorable y

una pérdida de $10,000 en un mercado desfavorable.

a. Cuál será la mejor decisión según los enfoque optimista, conservador y

arrepentimiento máximo

b. Cuál es el criterio de decisión de realismo (Use alfa=0.7)

c. Haga un análisis de sensibilidad sobre los valores de las probabilidades

d. Cuanto estaría dispuesto a pagar por conocer información perfecta


54

Jerry cree que hay una posibilidad de 50-50 de que el mercado sea favorable. Su

antiguo profesor de marketing le cobraba $5000 por la investigación de mercado.

Se estima que hay una probabilidad de 0.6 de que la encuesta sea favorable. Más

aun una probabilidad de 0.9 de que el mercado sea favorable en caso de un

resultado favorable del estudio. Sin embargo, el profesor de marketing le ha

advertido que tan solo hay una probabilidad de 0.12 de que haya un mercado

favorable si los resultados de la investigación de marketing no fueran favorables. El

está confundido, y usted también!!!!

e. Debería realizar la investigación de mercados

f. Sin embargo Jerry no está seguro de que la probabilidad de 0.6 que resulte

del estudio de investigación de mercado favorable sea correcta. ¿Qué tan

sensible es su decisión a este valor de probabilidad?. ¿Qué tanto puede

desviarse esta probabilidad sin provocar que cambie su decisión?

28. Peter Martin ayudara a su hermano a abrir una tienda de comida. Inicialmente,

Peter cree que hay una posición de 50 – 50 de que la tienda de comida de su

hermano sea un éxito .El está considerando realizar un estudio de mercado .Con

base en datos históricos, existe una probabilidad de 0.8 de que la investigación de

marketing resulte favorable en el caso de una tienda exitosa de comida. Incluso,

hay una probabilidad de 0.7 de que la investigación de marketing sea desfavorable

en caso de una tienda de comida que no tenga éxito.

a. si la investigación de mercado es favorable, ¿cuál es la probabilidad revisada

de Peter respecto de una tienda exitosa de comida para su hermano?

b. Si la investigación de marketing resulta ser desfavorable, ¿Cuál es su

probabilidad revisada de una tienda de exitosa de comida para esta persona?

c. Si la probabilidad inicial de una tienda exitosa de comida que es de 0.6 (en

lugar que 0.5) encuentra la probabilidad de los incisos a y b

29. Durante los últimos 5 años Mark Martinko ha sido un jugador de reaquetball de

primera categoría y una de sus metas más importantes es poseeré y operar una

instalación de este deporte. Desafortunadamente, Mark cree que la probabilidad de

tener una instalación exitosa de raquetball es únicamente de 30%. Su abogado le

ha recomendado que contrate a un grupo local de investigación de marketing para

que lleve a cabo una encuesta a cerca del éxito o fracaso de una instalación de

raquetball. Hay una probabilidad de 0.8 de que la investigación sea favorable en

caso de que haya una instalación exitosa de raquetball. Además hay una


55

probabilidad de 0.7 de que la investigación sea desfavorable en caso de que la

instalación no tenga éxito. Calcule las probabilidades revisadas de una instalación

exitosa de raquetball en los casos de una encuesta favorable y desfavorable.

30. Un asesor financiero ha recomendado dos posibilidades de inversión: Fondo A y

Fondo B. el rendimiento que se logrará con cada uno depende de que la economía

sea buena, justa o mala. Se ha elaborado una tabla de pagos para ilustrar la

situación:

ESTADO DE LA NATURALEZA INVERSION ECONOMIA

BUENA ECONOMIA

JUSTA ECONOMIA

MALA Fondo A $10,000 $2,000 -$5,000 Fondo B $6,000 $4,000 0 Probabilidad 0.2 0.3 0.5

a. Dibuje un árbol de decisión para representar esta situación.

b. Lleve a cabo los cálculos necesarios para determinar cuál de las dos

sociedades de inversión es la mejor: ¿Cuál escogería para maximizar el

valor esperado?

31. Jim Sellers piensa producir un nuevo tipo de rasuradora eléctrica para hombres. Si

el mercado fuera favorable, obtendría rendimientos por $100,000; pero si el

mercado de esta nueva rasuradora fuera desfavorable, perdería $60,000. Ya que

Ron Bush es un buen amigo de Jim, éste considera la posibilidad de contratar los

servicios de Bush Marketing Research para reunir información adicional sobre el

mercado de la rasuradora. Ron ha sugerido a JIm realizar un estudio piloto o una

encuesta para evaluar el mercado. La encuesta consistiría en un cuestionario

sofisticado administrado a un mercado de prueba y costaría $ 5,000. Otra

alternativa es realizar un estudio piloto, el cual conllevaría la producción de un

número limitado de rasuradoras nuevas y tratar de venderlas en dos ciudades

típicas de Estados Unidos. El estudio piloto es más preciso pero también más caro:

costaría $ 20,000. Ron Bush ha sugerido a Jim que realice la encuesta o el estudio

piloto antes de tomar una decisión acerca de producir o no la rasuradora. Pero Jim

no está seguro de si vale la pena llevar a cabo la encuesta o el estudio piloto

debido a su costo.

El estima que la probabilidad de un mercado exitoso sin llevar a cabo una

encuesta o un estudio piloto es de 0.5. Incluso la probabilidad de un resultado de

encuesta favorable, si se da un mercado exitoso para las rasuradoras, es de 0.7, y


56

la probabilidad de un resultado de encuesta favorable en un mercado desfavorable

para las rasuradoras es de 0.2. Además la probabilidad de un estudio piloto

desfavorable en un mercado desfavorable es de 0.9, y la probabilidad de un

resultado del estudio piloto no exitoso en un mercado favorable para las

rasuradoras es de 0.2.

a. Dibuje un árbol de decisión para este problema sin considerar los valores

de probabilidad.

b. Calcule las probabilidades revisadas necesarias para completar la decisión

y coloque estos valores en el árbol de decisión.

c. ¿Cuál es la mejor decisión para Jim? Utilice los valores esperados como

criterios de decisión.

32. Existen dos estados de la naturaleza para cada situación en particular: una buena

economía y una mala economía .Un estudio económico puede llevarse a cabo

para obtener más información acerca de todo lo que ocurrirá el año siguiente. El

estudio puede pronosticar una buena o mala economía. Actualmente existe 60%

de posibilidades de que la economía sea buena y 40% de posibilidades de que no

lo sea. En el pasado, cuando la economía era buena, el estudio económico predijo

que sería buena un 80% del tiempo. (El otro 20% del tiempo la predicción fue

errónea).En el pasado cuando la economía era mala, el estudio económico predijo

que sería mala un 90% del tiempo ( El otro 10% del tiempo la predicción fue

errónea.)

d. Utilice el teorema de bayes parta determinar lo siguiente:

P( buena economía/ predicción de una buena economía)

P( mala economía/ predicción de una buena economía)

P( buena economía / predicción de una mala economía)

e. Suponga que la probabilidad inicial (previa) de una buena economía sea de

70%(en lugar de 60%) y que la probabilidad de una mala economía sea de

30%( en lugar de 40%).Encuentre las probabilidades a posteriori de la parte

a con base en estos nuevos valores.

33. Coren Chemical, Inc. Desarrolla químicos industriales que emplean otros

fabricantes para producir químicos fotográficos conservantes y lubricantes. Uno de

sus productos, k-1000, es utilizado por diversas compañías fotográficas para

elaborar una sustancia que se utiliza en el proceso de revelado de fotografía. Para

producir el K-1000 de manera eficaz, Coren Chemical utiliza una metodología de


57

lote, en el que se producen cierto número de galones en una sola corrida. Este

procedimiento reduce los costos de instalación y ayuda a Coren Chemical a

producir K-1000 a un precio competitivo. Desafortunadamente, el K-1000 tiene una

vida útil muy corta, de aproximadamente un mes.

Coren Chemical produce K-1000 en lotes de 500, 1000, 1500 y 2000 galones. Por

medio de datos históricos, David Coren pudo determinar que la probabilidad de

vender 500 galones de K-1000 es de 0.2 las probabilidades de vender 1000, 1500

y 2000 galones son de 0.3, 0.4 y 0.1 respectivamente. El dilema que ahora

enfrenta David es cuantos galones de K-1000 deberá producir el siguiente lote. El

galón de K-1000 tiene un precio de $20. El costo de manufactura es de $12 cada

galón, y los costos por manejo y almacenamiento se estiman en $1 por cada galón.

En el pasado David había considerado que los costos publicitarios del K-1000

ascendían a $3 por galón. Más aun David ha garantizado a sus proveedores que

siempre va a existir un suministro adecuado de K-1000. Si David no contara con la

cantidad suficiente deberá comprar un químico similar a uno de sus competidores

a un precio de$25 por galón. David vende sus químicos a $20 el galón de manera

que la escasez del producto significa una pérdida de $5 por cada galón en la

compra de un químico más caro.

a. Desarrolle un árbol de decisión para resolver este problema.

b. Determine el valor esperado de una información perfecta.

34. Jamis corporation está involucrada en el manejo de desechos. Durante los últimos

10 años se ha convertido en una de las compañías más grandes en este sector en

el medio oeste de Estados Unidos, pues opera principalmente en Wisconsin,

Illinois y Michigan. El presidente de la empresa, Bob Jamis, considera la

posibilidad de establecer una `planta para el tratamiento de desechos de

Mississippi. A partir de su experiencia anterior, Bob cree que una planta pequeña

en la parte norte de Mississippi podría dejar $500000 de utilidades sin importar el

mercado de la planta. El éxito de una instalación para el tratamiento de desechos

de tamaño mediano dependería del mercado. Con una demanda baja, la empresa

debería esperar un rendimiento de $ 200000. Una demanda mediana dejaría un

rendimiento de $700000, según sus estimaciones, mientras que una planta grande

generaría un rendimiento de $800000. A pesar de que una instalación más grande

implica un mayor riesgo, el rendimiento potencial es también mucho mayo. Si

hubiera una demanda alta para el tratamiento de los desechos en Mississippi, una


58

planta grande dejaría utilidades por 1 millón de dólares. Con mediana demanda,

una instalación grande producirá rendimientos de tan solo $400000. Bob estima

que la planta grande provocara una perdida si la demanda para el tratamiento de

los desechos fuera baja. En este caso, estima que la empresa perdería

aproximadamente $200000. Luego de considerar las condiciones económicas de

la parte superior del estado de Mississippi y con base en su experiencia en el

campo, Bob estima que la probabilidad de una demanda baja para el servicio que

las plantas de tratamiento ofrecen es de 0.15. la probabilidad de que la demanda

sea mediana es de 0.40 y la probabilidad de una demanda elevada de

instalaciones para el tratamiento de los desechos es de 0.45.

35. Debido a lo elevado de la inversión potencial y de la posibilidad de perdidas, Bob

ha decidido contratar a un equipo de investigación de mercado con sede en

Jackson Mississippi. Este equipo debe llevar a cabo una encuesta para conocer

mejor la probabilidad de una demanda baja, mediana o elevada para una planta de

tratamiento de desechos. El costo de la encuesta es de $50000. Para ayudar a

Bob a determinar si procede con la encuesta, la empresa de investigación de

mercado le ha proporcionado la siguiente información:

P(resultados de la encuesta / resultados posibles)

Resultado posible

Resultados de la encuesta

Resultados bajos de la encuesta

Resultados medianos de la encuesta

Resultados elevados de la encuesta

demanda baja 0.7 0.2 0.1 demanda mediana 0.4 0.5 0.1 demanda 0.1 0.3 0.6

Como puede observar, la encuesta podría ahorrar tres resultados posibles.los

resultados bajos significan que es probable quela demanda sea baja. De la

misma manera, los resultados medianos o elevados significan una demanda

mediana o elevada, respectivamente. ¿Qué debe hacer Bob?


59

3. PRONOSTICOS

Un aspecto esencial en la administración de cualquier empresa es la planeación. De

hecho, el éxito a largo plazo de una organización esta íntimamente relacionada con la

capacidad de anticipar el futuro y desarrollar estrategias apropiadas.

Que es lo que debemos hacer para preparar los pronósticos trimestrales del

volumen de ventas?.

Primero desearemos revisar los datos reales de ventas del producto, al estudiar los

datos históricos de la empresa podemos desarrollar una mejor comprensión del patrón

de ventas del pasado, lo que nos lleva a mejores predicciones de las ventas futuras

del producto. Los datos de ventas históricos forman una serie de tiempo.

3.1. Una serie de tiempo

Es un conjunto de observaciones respecto a una variable, medidas en puntos

sucesivos en el tiempo a lo largo de periodos sucesivos de tiempo. Los métodos

de elaboración de pronósticos se pueden clasificar en cuantitativos o cualitativos.

Los métodos de pronóstico cuantitativos pueden utilizarse cuando:

a) Hay disponible información de la variable que se esta pronosticando

b) Se puede cuantificar la información

Métodos de pronóstico

Cuantitativo Cualitativo

Casual Series de Tiempo Método Delphi

Juicio Experto

Suavización Proyección de tendencias

Proyección de tendencias

ajustadas por influencias estacionales Promedios móviles

Prom. móviles ponderados Suavización Exponencial

Análisis de regresión


60

c) Es una hipótesis razonable que el patrón de comportamiento ocurrido en el

pasado continuará en el futuro.

En estos casos se puede desarrollar un pronóstico utilizando un método con base en

series de tiempo o en un método casual

Si los datos históricos están limitados a valores históricos de la variable que estamos

intentando pronosticar, el procedimiento se conoce como método de serie de tiempo.

El objetivo del método de serie de tiempo es descubrir en los datos históricos un

patrón y después extraexpolar dicho patrón hacia el futuro.

Los métodos de pronósticos causales se basan en la hipótesis de que la variable

que estamos intentando pronosticar exhibe una relación causa – efecto con una o mas

variables para esto usamos el análisis de regresión como método de pronostico

causal

Generalmente los métodos cualitativos involucran el juicio experto para el desarrollo

de pronósticos. Por ejemplo un panel de expertos pudiera desarrollar un pronóstico por

consenso de la tasa prima de una año a la fecha

3.2. COMPONENTES DE UNA SERIE DE TIEMPO

El patrón o comportamiento de los datos en una serie de tiempo esta formado

por cuatro componentes separados.

o La tendencia

o El cíclico

o El estacional y

o El irregular

COMPONENTE DE TENDENCIA

Generalmente los datos de una serie de tiempo exhiben fluctuaciones aleatorias,

a lo largo de un periodo de tiempo pueden mostrar desplazamiento hacia los

valores mas elevados o mas reducidos.

El desplazamiento gradual de la serie de tiempo se conoce como tendencia, este

desplazamiento es por lo general el resultado de factores a largo plazo como

modificaciones en la población, características demográficas, la tecnología, la

preferencia del consumidor.


61

Por Ejemplo: un fabricante de equipos fotográficos, puede observar mes a mes

una variación sustancial en el numero de cámaras digitales vendidas, aunque las

ventas reales mensuales pueden variar sustancialmente, este crecimiento

gradual de las ventas muestra una tendencia hacia arriba de la serie de tiempo

COMPONENTE CICLICO:

Todos los valores futuros de la serie de tiempo no caen exactamente sobre la

línea de tendencia. De hecho, las series de tiempo a veces muestran secuencias

alternas de puntos encima y debajo de la línea de tendencia.

Cualquier secuencia recurrente de puntos encima y debajo de la línea de

tendencia que dure más de uno se puede atribuir al componente cíclico.

COMPONENTE ESTACIONAL

Mucha serie de tiempo muestra un patrón regular en periodos dentro de un solo

año. Por ejemplo, un fabricante de helados espera una alta actividad en verano

y una baja estacionalidad en invierno.

Año

Ventas mensuales


62

COMPONENTE IRREGULAR

El componente irregular es el factor residual, es decir “todo lo que sobra”

El componente irregular es causado por factores a corto plazo no previstos y no

recurrentes que afectan la serie de tiempo

3.3. METODOS DE SUAVISACION EN EL PRONÓSTICO

Existen 3 métodos para elaborar un pronóstico:

a) Los promedios móviles

b) Los promedios móviles ponderados y

c) La suavización exponencial

El objetivo de cada uno de los métodos es suavizar las fluctuaciones aleatorias

causadas por el componente irregular de la serie de tiempo.

Los métodos de suavización son de fácil uso y generalmente alcanzan un

elevado nivel de exactitud en los pronósticos a corto plazo para el siguiente

periodo.

3.3.1 PROMEDIOS MOVILES

El método de promedios móviles utiliza como pronostico para el siguiente

periodo, el promedio de los n valores de datos mas recientes de la serie de

tiempo.


63

El término móvil indica que conforme se tiene disponible una nueva

observación de la serie de tiempo, se reemplaza la observación mas antigua de

la ecuación por el nuevo valor y se calcula una nueva media.

Por Ejemplo: El número de galones de gasolina vendidos por un distribuidor de

gasolina en las últimas semanas son: (venta en miles de galones)

Semana 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Ventas 17 21 19 23 18 16 20 18 22 20 15 22

Para utilizar los promedios móviles para pronosticar las ventas de gasolina,

primero seleccionamos el número de valores a incluir en el promedio móvil. Por

ejemplo, calculamos los pronósticos utilizando un promedio móvil de 3

semanas.

EXACTITUD DEL PRONÓSTICO.

Una consideración importante al seleccionar un método de pronostico es la

exactitud del mismo. Evidentemente, deseamos que los errores de pronostico

sean los mas pequeños.

En la serie de tiempo de las ventas de gasolina usamos el Error^2 para calcular

el promedio de la suma de los errores al cuadrado (MSE, en ingles)

Este promedio de la suma de los errores al cuadrado se conoce como error

cuadrático medio (MSE por sus siglas en ingles). El MSE es una medida de

uso frecuente de exactitud en métodos de pronóstico

MSE = Error^2 / n = 92 / 9 = 10.22

Sem Ventas Promedio móvil Error Error^2

1 17

2 21

3 19

4 23 (17+21+19)/3 = 19 23 – 19 = 4 16

5 18 (21+19+23)/3 = 21 18 – 21 = -3 9

6 16 (19+23+18)/3 = 20 16 – 20 = -4 16

7 20 (23+18+16)/3 = 19 20 – 19 = 1 1

8 18 (18+16+20)/3 = 18 18 – 18 = 0 0

9 22 18 22 – 18 = 4 16


64

10 20 20 20 – 20 = 0 0

11 15 20 15 – 20 = -5 25

12 22 19 22 – 19 = 3 9

Totales 0 92

Para una serie de tiempo en particular, promedios móviles de diferente

longitud (n-valores mas recientes) afectaran la precisión o exactitud del

pronostico. Un procedimiento posible para escoger el número de valores a

incluir es utilizar el método de ensayo y error para identificar la longitud

que minimice el MSE.

Debemos pronosticar el valor siguiente de la serie de tiempo utilizando el

número de valores que minimicen el MSE para la serie de tiempo histórica

3.3.2 PROMEDIO MOVILES PONDERADOS

En el método de promedio móviles, cada observación recibe la misma

ponderación, una variante conocida como promedio móviles ponderados,

implica seleccionar diferentes ponderaciones para cada valor de datos para

luego obtener el promedio ponderado de los n valores mas recientes.

En la mayoría de los casos la observación mas reciente recibirá una mayor

ponderación, reduciéndose la ponderación a los datos mas antiguos.

Por ejemplo: podemos utilizar la serie de tiempo de las ventas de gasolina para

demostrar el calculo del promedio movil ponderado de 3 semanas, recibiendo

la observación mas reciente una ponderación del triple de valor que la mas

antigua y la siguiente observación una doble ponderación que la mas antigua.


65

Promedio móvil ponderado (4ta Sem) = 3/6 (19) + 2/6 (21) + 1/6 (17) = 19.33

Note que en el PMP, la suma de las ponderaciones es igual a 1

Sem Ventas PMP Error Error^2

1 17

2 21 3 19 4 23 19.33 3.67 13.44

5 18 21.33 -3.33 11.11 6 16 19.83 -3.83 14.69 7 20 17.83 2.17 4.69

8 18 18.33 -0.33 0.11 9 22 18.33 3.67 13.44 10 20 20.33 -0.33 0.11

11 15 20.33 -5.33 28.44 12 22 17.83 4.17 17.36

MSE 11.49

EXACTITUD DEL PRONÓSTICO:

Para determinar si una combinación en particular de un numero de valores y

ponderaciones nos da un pronostico mas exacto que cualquier otra combinación,

debemos seguir usando el MSE como medida de exactitud del pronostico

3.3.3 SUAVISACION EXPONENCIAL

La suavización exponencial se trata de un caso especial del método de

promedios móviles ponderados, en el cual se seleccionan solo un valor de

ponderación es decir los pesos o ponderaciones para los demás valores se

calculan de manera automática, haciéndose mas y mas pequeños conforme las

observaciones se van alejando hacia el pasado.

El modelo básico de suavización exponencial es:

ttt FYF )1(1

Donde:

Ft+1 = pronostico de la serie de tiempo para el periodo de t+1

Yt = Valor real de la serie de tiempo en el periodo t

Ft = pronostico en la serie de tiempo para el periodo t

= constante de suavización )10(

Promedio Moviles Ponderados

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

Sem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ventas PMP


66

Para iniciar los cálculos hacemos que F1 sea igual al valor real de la serie de tiempo

en el periodo 1, es decir F1 = Y1, Por lo que el pronóstico para el periodo 2 es:

121112

11212 )1()1(

YFYYYF

YYFFYF t

El pronostico para el periodo 3 es: 12223 )1()1( YYFYF

En general, cualquier pronostico Ft+1, es un promedio ponderado de todos los valores

anteriores de la serie de tiempo.

Para ilustrar el procedimiento de suavización exponencial hacia la elaboración de

pronósticos, considere el Ejemplo de la serie de tiempo de ventas de gasolina

anteriormente vista, Calculemos ahora los valores con una constante 2.0

Sem Ventas (Yt)

Suav. Exp (Ft)

Error (Yt - Ft)

Error^2

1 17

2 21 17.00 4.00 16.00

3 19 17.80 1.20 1.44

4 23 18.04 4.96 24.60

5 18 19.03 -1.03 1.07

6 16 18.83 -2.83 7.98

7 20 18.26 1.74 3.03

8 18 18.61 -0.61 0.37

9 22 18.49 3.51 12.34

10 20 19.19 0.81 0.66

11 15 19.35 -4.35 18.94

12 22 18.48 3.52 12.38

MSE 98.80

¿Podemos utilizar esta información para generar un pronóstico de ventas para la

semana 13, antes de que el valor real sea conocido?

Utilizando el modelo de suavización exponencial tenemos

18.1948.18*)8.0(22*)2.0()8.0()2.0( 121213 FYF

El pronostico estimado para la semana 13 es 19.18 galones de gasolina, con este

pronostico, la empresa puede hacer planes y decisiones de manera corresponderte.

La exactitud del pronóstico no se conocerá hasta el final de la semana 13

SUAVISACION EXPONENCIAL (ALFA=0.2)

10

15

20

25

Sem 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Ventas (Yt) Suav. Exp (Ft)


67

EXACTITUD DEL PRONÓSTICO

En los cálculos de suavización exponencial utilizamos una constante de suavización

de 2.0 . Cualquier valor entre 0 y 1 es aceptable, algunos valores dará un mejor

pronostico que otros. Se puede comprender mejor la selección de un buen valor para

al escribir el modelo básico de suavización exponencial como sigue:

)(

)1(1

ttt

ttt

ttt

FYF

FFY

FYF

El nuevo pronostico Ft+1 es igual al pronostico anterior Ft mas un ajuste, que es igual

al multiplicado por el error del pronostico mas reciente Yt – Ft.

Esto es, el pronóstico del periodo t+1 se obtiene ajustando el pronóstico del periodo t

con una fracción del error del pronóstico

3.4. PRONOSTICOS DE LA PROYECCION DE TENDENCIAS

Las series de tiempo que muestran un incremento o decremento a lo largo del

tiempo no son estables, por lo que no puede aplicarse los métodos de

suavización anteriormente descritos (promedio móvil, promedio móvil ponderado

y suavización exponencial)

Considere la serie de tiempo de las ventas de bicicletas de un fabricante

Año Ventas (miles)

t Yt 1 21.6

2 22.9

3 25.5

4 21.9

5 23.9

6 27.5

7 31.5

8 29.7

9 28.6

10 31.4

Utilizaremos los datos de la venta de bicicletas para mostrar los cálculos

implicados en la creación de un análisis de regresión para identificar una

Pronostico del Periodo t

Error del pronóstico del periodo t

SERIE DE TIEMPO DE VENTAS DE BICICLETAS

20

23

26

29

32

35

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

AÑO

VE

NT

AS

(M

ILE

S)


68

tendencia lineal. Para una tendencia lineal el volumen de ventas estimado

expresado como una función de tiempo es: T1 = bo + b1t

Donde:

T1 = valor de tendencia de las ventas de bicicletas en el periodo t

bo = intersección con la línea de tendencia

b1 = pendiente de la línea de tendencia

Las formulaciones

para calcular b1 y bo son:

Donde:

Yt = valor real de la serie de tiempo en el periodo t

n = numero de periodos

Y = valor promedio de la serie de tiempo esto es nYtY

t = valor promedio de t, esto es ntt

Año Ventas (miles)

t Yt tYt t^2 1 21.6 21.6 1

2 22.9 45.8 4

3 25.5 76.5 9

4 21.9 87.6 16

5 23.9 119.5 25

6 27.5 165 36

7 31.5 220.5 49

8 29.7 237.6 64

9 28.6 257.4 81

10 31.4 314 100

55 264.5 1545.5 385 Por lo tanto Tt = 20.4 + 1.1t

tbYbo

n

tt

n

YtttYt

b

1

12

2

4.205.510.145.26

10.110/55385

10/5.264555.15451

45.2610/5.264

5.510/55

2

bo

b

Y

t


69

Es la ecuación del componente de tendencia de la serie de las ventas de las bicicletas.

La pendiente de b1 = 1.1 indica que la empresa ha experimentado un crecimiento

promedio de ventas de 1,100 unidades por año.

Podemos utilizar esta

ecuación para proyectar la

tendencia a un periodo

futuro de tiempo, por

Ejemplo:

T11 = 20.4 + 1.1(11) = 32.5

Por lo que el componente

de tendencia da como

resultado un pronóstico de

ventas de 32,500 bicicletas

para el año siguiente

3.5. PRONOSTICO EN LOS COMPONENTES DE TENDENCIA

Y ESTACIONAL

En el capitulo anterior, hemos mostrado como pronosticar los valores de una

serie de tiempo que tiene un componente de tendencia. Ahora vamos a ampliar

el análisis al mostrar como pronosticar los valores de una serie de tiempo que

tenga a la vez componentes de tendencia y estacional

Tanto en los negocios como en la economía hay muchas situaciones que

requieren de comparaciones periodo a periodo. Por ejemplo:

- Nos interesa saber si el desempleo ha subido 2% en comparación con el mes

pasado.

- Que la producción de acero ha subido 5% en comparación del mes pasado

- Que la producción de energía eléctrica ha reducido 3% con respecto al mes

pasado.

Debemos ser cuidadosos al usar esta información, porque siempre que este

presente una influencia estacional, estas comparaciones no son muy

significativas. Por ejemplo:

SERIE DE TIEMPO DE VENTAS DE BICICLETAS

y = 1.1x + 20.4

20

22

24

26

28

30

32

34

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

AÑO

VE

NT

AS

(M

ILE

S)


70

El hecho de que el consumo de energía eléctrica se haya reducido 3% de

agosto a septiembre quizás solo refleja el hecho de que se esta disminuyendo

el consumo del aire acondicionado por el cambio de estación y no debido a una

reducción a largo plazo en el uso de la energía eléctrica. De hecho, después de

ajustar en función del efecto estacional, posiblemente pudiéramos descubrir

que el uso de energía eléctrica ha aumentado.

La eliminación del efecto estacional en una serie de tiempo, se conoce como

desestacionalización de la serie de tiempo. Después de hacer la

desestacionalización, las comparaciones periodo a periodo resultan más

significativas y pueden ayudar a identificar si existe alguna tendencia.

El enfoque que tomaremos en esta sección es apropiado para aquellas

situaciones donde solo estén presentes efectos estaciónales o en situaciones

donde estén presentes a la vez componentes estaciónales y de tendencia.

El Primer paso es calcular los índices estaciónales y utilizarlos para

desestacionar los datos, después si en los datos desestacionalizados existe

una aparente tendencia, utilizaremos una análisis de regresión de los datos

desetacionalizados para estimar la tendencia.

3.5.1. EL MODELO MULTIPLICATIVO

Además de un componente de tendencia (T) y una componente estacional (S),

suponemos que la serie de tiempo también tiene un componente irregular (I). El

componente irregular incluye aquellos efectos aleatorios que no pueden

explicarse por la tendencia, ni por el componente estacional e irregular.

Suponemos que el valor real de la serie de tiempo (Yt), puede describirse como

un modelo multiplicativo de la serie de tiempo.

Yt = Tt x St x It

En este modelo T, es la tendencia (medidas en unidades de lo que se esta

pronosticando). Sin embargo, los componentes S e I se miden en términos

relativos.


71

CALCULOS DE LOS INDICES ESTACIONALES

La tabla siguiente de datos muestra las ventas trimestrales de televisores (miles de

unidades) de un fabricante a lo largo de 4 años

Año Trim Ventas

1 1 4,8

2 4,1

3 6,0

4 6,5

2 1 5,8

2 5,2

3 6,8

4 7,4

3 1 6,0

2 5,6

3 7,5

4 7,8

4 1 6,3

2 5,9

3 8,0

4 8,4

La figura muestra que en el segundo trimestre de cada año las ventas pasan por un

mínimo seguidas por niveles mas elevados de ventas en los trimestres 3 y 4. Por lo

que conocemos que para ventas de Televisores existe un patrón estacional.

Primero identificamos la influencia estacional de cada trimestre, al calcular el

promedio móvil, para aislar los componentes estacional e irregular S o I

Dado que estamos trabajando con series trimestrales, utilizaremos los 4 valores de

datos en cada promedio móvil. El cálculo del promedio móvil es el siguiente:

Primer promedio móvil = 35.54

4.21

4

5.60.61.48.4

Segundo promedio móvil = 6.54

4.22

4

8.55.60.61.4

El valor de 5.35 del primer promedio móvil representa un volumen de ventas

trimestrales promedio (incluyendo todas las estaciones) correspondiente al año 1

SERIE DE TIEMPO DE VENTAS TRIMESTRALES DE TELEVISORES

0,0

2,0

4,0

6,0

8,0

10,0

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Año / Trimestre

Ve

nta

s t

rim

es

tra

les

de

TV

Observe que el promedio móvil nos da las ventas trimestrales promedio a lo largo de un año


72

Como 5.35 es el promedio anual se tiene que escribir con el trimestre “de en medio”

del grupo de promedio móvil (entre el trimestre 2 y 3). Observe que es difícil identificar

el trimestre “de en medio”, con 4 trimestres

Recordemos que la razón para el calculo de los promedios móviles es aislar los

componentes estacional (S) E irregular (I) combinados. Sin embargo los promedios

móviles calculados no corresponden directamente a los trimestres originales de la

serie de tiempo.

Año Trim Ventas Prom

Móvil de 4 trim

Prom. Móvil

Centrado

Valor estacional e irregular

1 1 4.8 2 4,1

5,35 3 6 5,475 1,096 5,6 4 6,5 5,738 1,133 5,875 2 1 5,8 5,975 0,971 6,075 2 5,2 6,188 0,840 6,3 3 6,8 6,325 1,075 6,35 4 7,4 6,4 1,156 6,45 3 1 6 6,538 0,918 6,625 2 5,6 6,675 0,839 6,725 3 7,5 6,763 1,109 6,8 4 7,8 6,838 1,141 6,875 4 1 6,3 6,938 0,908 7 2 5,9 7,075 0,834 7,15 3 8 4 8,4

Observemos los tercer trimestre de los años uno, dos y tres muestran valores de

1.096, 1.075 y 1.109 respectivamente, que en todo caso el componente estacional

irregular estaría por encima del promedio dentro del tercer trimestre. Las fluctuaciones

a lo largo de los 3 años pueden atribuirse al componente irregular, con lo que

obtenernos una estimación de la influencia estacional del tercer trimestre:


73

Este valor de 1.09 es el índice estacional correspondiente al tercer trimestre. En la

tabla siguiente resumimos los cálculos para los índices estacionales de la serie de

tiempo para las ventas de televisores.

Trimestre

Valores del

componente estacional

e irregular (St It)

Indice

estacional

(St)

1 0,971 - 0,918 - 0,908 0,93 (0,971+0,918+0,908)/3

2 0,840 - 0,839 - 0,834 0,84 (0,84+0,839+0,834)/3

3 1,096 - 1,075 - 1,109 1,09 (1,096+1,075+1,109)/3

4 1,133 - 1,156 - 1,141 1,14 (1,133+1,156+1,141)/3

El mejor trimestre de ventas es el cuarto, con un promedio de ventas del 14% por

encima del valor promedio trimestral.

El peor trimestre de ventas es el segundo con un promedio de ventas del -16% por

debajo del promedio trimestral

3.5.2 DESESTACIONALIZACION DE LA SERIE DE TIEMPO

La finalidad de determinar los índices estacionales es eliminar los efectos

estacionales de una serie de tiempo. Este proceso se conoce como

desestacionalización de la serie de tiempo, utilizando la notación del modelo

multiplicativo tenemos:

Yt = Tt x St x It

Al dividir cada observación de la serie de tiempo por el índice estacional

correspondiente, eliminamos el efecto de desnacionalización de la serie de

tiempo. En la tabla siguiente se resume la serie de tiempo desestacionalizada

de las ventas de Televisores

Año Trim Ventas

(Y)

Indice Estacional

(S)

Ventas Desestacionalizadas

(Y/S = TI)

1 1 4,8 0,93 5,16 2 4,1 0,84 4,88 3 6 1,09 5,50


74

4 6,5 1,14 5,70

2 1 5,8 0,93 6,24 2 5,2 0,84 6,19 3 6,8 1,09 6,24

4 7,4 1,14 6,49

3 1 6 0,93 6,45 2 5,6 0,84 6,67 3 7,5 1,09 6,88

4 7,8 1,14 6,84

4 1 6,3 0,93 6,77 2 5,9 0,84 7,02 3 8 1,09 7,34

4 8,4 1,14 7,37

3.5.3 USO DE LA SERIE DE TIEMPO DESETACIONALIZADA PARA

IDENTIFICAR LA TENDENCIA

En el ejercicio anterior vemos que a lo largo de los 16 trimestres la grafica

muestra una tendencia hacia arriba. Para identificar esta tendencia utilizaremos

el mismo procedimiento descrito anteriormente, pero en este caso los datos

utilizados son valores de ventas desestacionalizados.

Por lo que el volumen de ventas estimado expresado en función del tiempo es:

Donde:

Tt = Valor de tendencia para las ventas de televisores en el periodo t

bo = intercepto de la línea de tendencia

b1 = pendiente de la línea de tendencia


75

y

Por lo tanto: Tt = 5.101 + 0.148t

Es la ecuación de tendencia lineal

de la serie de tiempo

El componente de tendencia nos

da un pronóstico de ventas para

los meses siguientes de T17,

T18, T19 y T20

3.5.4. AJUSTES ESTACIONALES

El último paso para el desarrollo de un pronóstico, cuando están

presentes componentes de tendencia como los estacionales, es utilizar

el índice estacional para ajustar la proyección de tendencia.

Trim

t

Ventas

desestac. Yt t2 tYt

1 5,16 1 5,16

2 4,88 4 9,76

3 5,50 9 16,50

4 5,70 16 22,80

5 6,24 25 31,20

6 6,19 36 37,14

7 6,24 49 43,68

8 6,49 64 51,92

9 6,45 81 58,05

10 6,67 100 66,70

11 6,88 121 75,68

12 6,84 144 82,08

13 6,77 169 88,01

14 7,02 196 98,28

15 7,34 225 110,10

16 7,37 256 117,92

Totales 136 101,74 1496 914,98

Trim t Ventas

17 5,101 + 0,148(17) = 7,617

18 5,101 + 0,148(18) = 7,765

19 5,101 + 0,148(19) = 7,913

20 5,101 + 0,148(20) = 8,061


76

Del ejemplo de TV, el índice estacional del primer trimestre del año 5

es 0.93, entonces

Pronostico trimestral = Pronostico de tendencia * índice estacional

Año Trim t Ventas

Índice

estacional

Pronostico

Trimestral

5 1 7,617 0,93 7,084

2 7,765 0,84 6,523

3 7,913 1,09 8,625

4 8,061 1,14 9,190

3.6. USO DEL ANALISIS DE REGRESION EN PRONOSTICOS

El análisis de regresión es una técnica estadística que muestra como

se relaciona las variables independientes o predictoras con una

variable dependiente o de respuesta.

En el análisis de regresión donde se relaciona una variable dependiente y

una independiente mediante una línea recta se conoce como una

regresión lineal simple Y = f(x)

En el análisis de regresión donde se relacionan dos o más variables

independientes con una variable dependiente se conoce como análisis

de regresión múltiple. Y = f(x1, x2, …., xn)

Cuando utilizamos el análisis de regresión para relacionar la variable que

deseamos pronosticar con otras variables que se supone influyen o

explican dicha variable, se convierte en un método de pronósticos causal.

3.6.1. ANALISIS DE REGRESION CUANDO NO HAY DATOS

DE UNA SERIE DE TIEMPO DISPONIBLES.

El análisis de regresión también se puede utilizar para pronosticar

cuando no haya disponibles datos de una serie de tiempo.


77

Ejemplo: Una cadena de restaurantes italiano “Armand” que opera en 5

estados. Las ubicaciones con mayor éxito están cerca a las

universidades. Antes de abrir un nuevo restaurante, la administración

requiere un pronóstico de ingreso por ventas anuales.

Este tipo de estimación se utiliza en la planeación de la capacidad del

restaurante, en la toma de decisiones iníciales sobre el personal y para

decidir si un ingreso potencial justifica el costo por operación.

En una nueva localización no hay datos históricos de ventas disponibles,

por lo que Armand no puede utilizar los datos de una serie de tiempo

para desarrollar el pronóstico.

La demanda cree que los ingresos de ventas anuales están relacionados

con la población de estudiantes de la universidad vecina.

Empíricamente, la administración supone que los restaurantes

localizados cerca a las universidades grandes generan mas ingresos

que los localizados cerca a las universidades pequeñas. Si se puede

utilizar la población de la universidad para predecir los ingresos del

nuevo restaurante.

Para evaluar la relación entre ventas anuales (Y) y población de

estudiantes (X), Armand reunió información de una muestra de 10

restaurantes localizados cerca de universidades.


78

DATOS DE VENTAS ANUALES DE POBLACION DE

ESTUDIANTES CORRESPONDIENTE A 10

RESTAURANTES (EN MILES)

Rest

Y: Ventas

anuales

X: Población

de estudiantes

1 58 2

2 105 6

3 88 8

4 118 8

5 117 12

6 137 16

7 157 20

8 169 20

9 149 22

10 202 26

¿QUÉ CONCLUSIONES PRELIMINARES PODEMOS EXTRAER DEL

DIAGRAMA DE DISPERSIÓN?

Aparentemente pequeños volúmenes de ventas están asociados con bajas

poblaciones de estudiantes, mientras que volúmenes elevados de ventas están

asociados con poblaciones de estudiantes más grandes.

También, aparentemente la relación entre ambas variables se puede aproximar

mediante una línea recta de la forma

Donde:

Y = valor estimado de la variable independiente (ingreso por ventas)

bo = Intercepto de la ecuación estimada

b1 = pendiente de la ecuación estimada

X = valor de la variable independiente (población de estudiantes)

Donde:

Xi = valor de la variable independiente de orden i

Yi = valor de la variable dependiente de orden i


79

X = valor medio de la variable independiente

Y = valor medio de la variable dependiente

n = numero total de observaciones

Rest (i)

Y: Ventas

anuales

X: Poblac

de

estudiantes Xi^2 XiYi

1 58 2 4 116

2 105 6 36 630

3 88 8 64 704

4 118 8 64 944

5 117 12 144 1404

6 137 16 256 2192

7 157 20 400 3140

8 169 20 400 3380

9 149 22 484 3278

10 202 26 676 5252

Totales 1.300 140 2.528 21.040

Por lo que la ecuación de regresión estimada es: Ŷ = 60 + 5x

La pendiente de la ecuación estimada (b1 = 5) es positiva, lo que implica que

conforme se incrementa la población de estudiantes, aumentara las ventas

anuales.

3.7. PROCEDIMIENTOS CUALITATIVOS PARA PRONOSTICOS

En lo anterior hemos analizados varios tipos de modelos de pronósticos

cuantitativos, donde se requiere los datos históricos de la variable de

interés, por lo que no pueden aplicarse el pronostico cuando no hay

datos, incluso obteniendo los datos, un cambio drástico en las

condiciones del entorno puede hacer dudoso el pronostico. Por ejemplo:


80

un programa de racionamiento de gasolina, impuesto por el gobierno,

pudiera cuestionar la validez de un pronóstico de ventas basados en

datos históricos.

Entre este y otros casos, las técnicas de pronósticos cualitativos ofrecen

una alternativa

METODO DELPHI

Es la técnica de uso más común, esta técnica intenta desarrollar

pronósticos mediante un “consenso de grupo”. En su aplicación normal a

los miembros de un panel de expertos, todos físicamente separados uno

de otros y que no se conocen, se les solicitan que respondan una serie de

cuestionarios. Las respuestas del primer cuestionario se tabulan y se usa

para preparar un segundo cuestionario, que contiene información y

opiniones de todo el grupo.

A continuación se les pide a cada involucrado que reconsidere o corrija su

respuesta anterior a la luz de la información proporcionada por el grupo

de expertos. Este proceso dura hasta que el coordinador cree que se ha

llegado a cierto grado de consenso. El objetivo del método Delphi no es

producir como resultado una sola respuesta, sino mas bien obtener un

abanico de opiniones, en las cuales coincidan la mayoría de expertos.

JUICIO EXPERTO

A veces los pronósticos cualitativos, se basan en el juicio de un solo

experto o representan un consenso de un grupo de expertos.

FORMULACION DE ESCENARIOS

Consiste en plantear un escenario conceptual del futuro en base a un

conjutno definido de hipótesis. Diferentes hipótesis llevarán a escenarios

distintos, por lo que la tarea del tomador de decisiones es decidir que tan

posible es cada escenario y entonces tomar la decisión correspondiente.


81

PROBLEMAS PROPUESTOS 3

1. La tasa de interés de los bonos Corporate Triple A para 10 meses

consecutivos son: 9.4, 9.6, 9.8, 9.7, 9.8, 10.5, 9.9, 9.7, 9.6 y 9.6

a) Desarrolle promedios móviles de 3 y 4 meses para este tiempo.

¿Qué promedio tendrá los mejores pronósticos?. Expliques

b) Cual es el promedio móvil para el mes siguiente

2. Refiérase a los datos de la serie de tiempo de las ventas de gasolina

a) Calcule los promedios móviles de 4 y 5

semanas de la serie de tiempo

b) Calcule el MSE (error cuadráticos medio)n para

los promedios móviles de 4 semanas.

c) Cual podría ser el mejor número de semanas de

datos previos a usar en el calculo de promedios

móviles. (recuerde que el MSE para promedio

móviles de 3 semanas es 10.22)

3. Con los datos del problema 2.

a) Calcular un promedio móvil ponderado de 3 semanas para la serie de tiempo,

utilice un coeficiente de ponderación de ½ para la observación mas reciente,

1/3 para la segunda mas reciente y 1/6 para la tercera mas reciente.

b) Calcule el Error cuadrático medio del promedio móvil ponderado de la parte a

4. Utilice los datos del problema 2, para mostrar los pronósticos de suavización

exponencial utilizando alfa=0.1. Utilizando el criterio del error cuadrático medio.

¿Preferiría usted un alfa de 0.1 o 0.2?

5. Para la Hawkin Company, los porcentajes mensuales de todos los embarques

recibidos a tiempo en los últimos 12 meses son: 80, 82, 84, 83, 83, 84, 85, 84, 82, 83,

84 y 83.

Semana

Ventas (miles

de gasolina)

1 17

2 21

3 19

4 23

5 18

6 16

7 20

8 18

9 22

10 20

11 15

12 22


82

a) Compare un pronostico de promedios móviles de 3 meses con un pronósticos

de suavización exponencial con alfa=0.2. ¿Cuál da el mejor resultado?

b) Cual es el pronóstico para el mes siguiente.

6. Los contratos de construcción en Santiago de Chile, durante un periodo de 12

meses (en millones de dólares) son 240, 350, 230, 260, 280, 320, 220, 310, 240, 310,

240 y 230.

a) Compare un pronostico de promedio móviles de 3 meses con un pronostico de

suavización exponencial, utilizando alfa=0.2. ¿Cuál da mejor resultado?

b) Cual es el pronóstico para el mes siguiente.

7. A menudo se utilizan promedios móviles en un intento de identificar el movimiento

del precio de los valores. A continuación aparecen los precios de cierre aproximado

mensuales (en $ por acción) para Toys of the Future

Mes Precio Mes Precio

Diciembre 1996 40 Junio 1997 34

Enero 1997 38 Julio 1997 37

Febrero 1997 39 Agosto 1997 35

Marzo 1997 41 Septiembre 1997 37

Abril 1997 36 Octubre 1997 40

Mayo 1997 41 Noviembre 1997 41

a) Utilice el promedio móvil de 3 meses para suavizar la serie de tiempo.

Pronostique el cierre para diciembre de 1997

b) Utilice el promedio móvil ponderado de 3 meses para suavizar la serie de

tiempo. Utilice un coeficiente de ponderación de 0.4 para el periodo mas

reciente, 0.4 para el siguiente periodo y 0.2 para el ultimo periodo. Pronostique

el precio de cierre para Diciembre de 1997.

c) Utilice la suavización exponencial con una constante alfa de 0.35. Pronostique

para diciembre de 1997

d) Cual de estos 3 métodos prefiere usted.?

8. Los datos que siguen representan 15 trimestres de utilización de la capacidad de

manufactura (en porcentajes)

Trimestre/año Utilización Trimestre/año Utilización

1/ 2005 82.5 1 / 2007 78.8

2 / 2005 81.3 2 / 2007 78.7


83

3 / 2005 81.3 3 / 2007 78.4

4 / 2005 79.0 4 / 2007 80.0

1 / 2006 76.6 1 / 2008 80.7

2 / 2006 78.0 2 / 2008 80.7

3 / 2006 78.4 3 / 2008 80.8

4 / 2006 78.0

a) Calcule promedios móviles de 3 y 4 trimestres de esta serie de tiempo. ¿Qué

promedios móviles es el mejor pronostico para 4 / 2008

b) Utilice constante de suavización alfa = 0.4 y 0.5 para desarrollar el pronostico para

el trimestre 4/2008.

9. La siguiente serie de tiempo muestra las ventas de un producto en particular a lo

largo de 12 meses.

Mes Ventas Mes Ventas Mes Ventas

1 105 5 90 9 100

2 135 6 120 10 80

3 120 7 145 11 100

4 105 8 140 12 110

a) Utilice alfa=0.3 para calcular los valores de suavización de la serie de tiempo

b) Utilice una constante de suavización de 0.5 para calcular los valores de

suavización exponencial.

10. A continuación aparecen las inscripciones (miles) para una universidad estatal

durante los 6 últimos años.

Año 1 2 3 4 5 6

Inscripciones 20.5 20.2 19.5 19.0 19.1 18.8

Desarrolle la ecuación para el componente de tendencia lineal de esta serie de tiempo.

Comente sobre lo que esta ocurriendo con las inscripciones de esta institución

11. La venta de automóviles en 10 años son:

Año Venta Año Ventas

1 400 6 260

2 390 7 300

3 320 8 320

4 340 9 340

5 270 10 370


84

Trace la serie de tiempo y comente sobre la posibilidad de una tendencia lineal. ¿Qué

forma de función seria el mejor patrón de tendencia de esta serie de tiempo?

12. El presidente de una pequeña empresa de manufactura esta preocupado debido al

continuo crecimiento de los costos de manufactura durante los últimos años. A

continuación aparece una serie de tiempo de costos unitarios en dólares del producto

líder de esta empresa durante los últimos 8 años.

Año Costo unit Año Costo Unit

1 20.00 5 26.60

2 24.50 6 30.00

3 28.20 7 31.00

4 27.50 8 36.00

a) Grafique esta serie de tiempo

b) Desarrolle la ecuación para el componente de tendencia lineal de la serie de

tiempo.

c) Cual es el incremento promedio de costo por año?

13.. Las utilidades por acción (en dólares) de Walgreen Company durante un

periodo de 10 años son: 0.73, 0.94, 1.14, 1.33, 1.53, 1.67, 1.68, 2.10 y 2.50

a) Utilice la proyección de tendencia lineal para pronosticar las utilidades por

acción del año siguiente.

b) ¿Qué le dice a usted este análisis de serie de tiempo.


85

4.- MODELOS DE LINEA DE ESPERA

El estudio de las líneas de espera, llamado teoría de colas, es una de las técnicas de

análisis más antigua y que se utilizan más extensamente. Las líneas de espera son un

suceso de todos los días que afectan personas que van de compras al supermercado,

a cargar gasolina, al banco, etc

La estrategia mas económica para mejorar el servicio de una empresa no siempre es

agregar más cajeros o empleados, los negocios necesitan mantener líneas de espera

o colas dentro de límites tolerables.

Se han desarrollado modelos para ayudar a los administradores a comprender y tomar

mejores decisiones relacionadas con la operación de líneas de espera (colas)

A Principios de siglo XX, A. K. Erland, ingeniero de teléfonos danés, empezó un

estudio de congestionamientos y tiempos de espera que ocurrirán al efectuar llamadas

telefónicas. Desde entonces la teoría de las líneas de espera se han hecho mucho

mas complejas y se ha ampliado su aplicación.

Los modelos de líneas de espera consisten en formulación matemática y relaciones

que pueden usarse para determinar las características de operación (medidas de

desempeño) de una línea de espera. Algunas características interesantes son:

1. La probabilidad de que no exista ninguna unidad en el sistema

2. El numero promedio de unidades en la línea de espera

3. El numero promedio de unidades en el sistema (el numero de unidades en

la línea de espera mas el numero de unidades que se están atendiendo)

4. El tiempo promedio que utiliza una unidad en la línea de espera

5. El tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema (el tiempo de

espera mas el de servicio)

6. La probabilidad de que se tenga que esperar para que se le atienda.

4.1. ESTRUCTURA DEL SISTEMA DE LINEA DE ESPERA

Los sistemas de servicio generalmente se clasifican en términos del número de

canales y el número de fases o de paradas de servicio que deben realizarse. Aquí

algunos ejemplos de estructuras de sistemas:


86

Sistema de un solo canal y una sola fase

Sistema de un solo canal multifase

Sistema multicanal de una sola fase

Sistema multicanal, multifase

Carbón Burger esta preocupado pues los métodos que utiliza para atender a los

clientes están dando como resultado tiempos excesivos de espera (colas).

Llegadas

Sistema de colas

Cola Servidor Salidas

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor Tipo 1

Servidor Tipo 2

Cola

Salidas

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor Salidas

Servidor

Servidor

Salidas

Salidas

Llegadas

Sistema de colas

Cola

Servidor 1 Tipo 1

Servidor 2 Tipo 1

Servidor 1 Tipo 2

Servidor 2 Tipo 2


87

La administración ha pedido que se haga un estudio de línea de espera para

ayudar a determinar cual es el mejor procedimiento de reducir los tiempos de

espera y mejorar el servicio.

EJEMPLO CARBON BURGER: LINEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL

Actualmente en Carbon Burger un empleado toma el pedido del cliente, le cobra

el pedido y entonces surte el pedido. Una vez surtido el pedido del primer cliente,

el empleado toma el pedido del siguiente cliente que ha estado esperando para

que lo atiendan. Esta esto es un ejemplo de una línea de espera de un solo canal.

4.2. DISTRIBUCIÓN DE LAS LLEGADAS

El proceso de llegadas para una línea de espera, involucra determinar la

distribución de probabilidad del número de llegadas en un periodo dado.

En muchas situaciones de línea de espera, las llegadas ocurren de manera

aleatoria e independiente y no es posible predecir cuando llegar una.

La distribución de probabilidad de Poisson da una buena descripción del patrón

de llegadas

La función de probabilidad de Poisson, define la probabilidad de x llegadas en un

periodo dado de tiempo, según !)(

x

exP

x para x = 0, 1, 2, ….

Donde: x = números de llegadas en el periodo de tiempo

= promedio o numero medio de llegadas por periodo

e = 2.71828

Empleado

Toma y surtido de pedidos Cola de Clientes

Llegada de Clientes

El cliente se va después que se le ha atendido el pedido

Sistema


88

Ahora, suponga que Carbon Burger ha analizado los datos referentes a la llegada

de clientes y ha concluido que la tasa media de llegadas es de 45 clientes por

hora. Para un lapso de 1 minuto, la tasa media de llegadas seria 75.060/45

llegadas por minuto.

Por tanto, las probabilidades de 0, 1 y 2 llegadas en un periodo de tiempo de un

minuto son:

1329.0!2

)75.0()2(

3543.075.0!1

)75.0()1(

4724.0!0

)75.0()0(

75.02

75.075.01

75.075.00

eP

ee

P

ee

P

PROBABILIDAD DE POISSON PARA EL NÚMERO DE LLEGADAS

EN 1 MIN ( = 0.75)

Numero de

llegadas

Probabilidad Numero de

llegadas

Probabilidad

0 0.4724 3 0.0332

1 0.3543 4 0.0062

2 0.1329 5 o mas 0.0010

La probabilidad de que no ocurra ninguna llegada en un periodo de 1 minuto es de

0.4724, la probabilidad de una llegada y 2 llegadas en un periodo de un minuto es

de 0.3543 y 0.1329 respectivamente

Los modelos de líneas de espera utilizan la distribución de probabilidad de Poisson

para describir las llegadas de clientes de Carbon Burger.

En la práctica, se debe registrar el número real de llegadas por periodo durante

varios días o semanas y comparar la distribución de frecuencia del número

observado de llegadas con la distribución de probabilidad de Poisson, para

determinar si esta ultima nos da una aproximación razonable de la distribución de

llegadas.


89

4.3. DISTRIBUCION DE LOS TIEMPOS DE SERVICIOS

El tiempo de servicio es aquel que pasa un cliente en la instalación de servicio una

vez que este se ha iniciado. En el ejemplo de Carbon Burger , el tiempo de servicio

se inicia cuando un cliente coloca su pedido y continua hasta que dicho cliente ha

recibido su pedido; los tiempos de servicio rara vez son constantes. En Carbon

Burger, el tiempo varía considerablemente de un cliente a otro.

Los pedidos pequeños pueden manejarse en cuestión de segundos, pero los más

grandes pueden requerir más minutos para procesarse.

Los analistas han concluido de que si se puede suponer que los tiempos se

servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial, existen formulas para

obtener información útil sobre la operación de la línea de espera.

Si la distribución de probabilidad de los tiempos de servicio es exponencial, la

probabilidad de que el tiempo sea “menor o igual” a un tiempo de duración t, es. t-e-1 t) servicio de P(tiempo

Dondeμ た = Promedio de unidades que pueden atenderse por periodo

Suponga que Carbon Burger ha estudiado el proceso de toma y surtido de los

pedidos y ha llegado a la conclusión de que el único empleado puede procesar un

promedio de 60 pedidos de clientes por hora. Con base en un minuto, la tasa

promedio es た = 60/60 = 1 cliente por minuto.

086471353.01e-1 min) 2.0 servicio de P(tiempo

6321.03679.01e-1 min) 1.0 servicio de P(tiempo

3935.06065.01e-1 min) 0.5 servicio de P(tiempo

1(2.0)-

1(1.0)-

-1(0.5)

Hay una probabilidad de 0.3935 de que se procese un pedido en menos de medio

minuto, una probabilidad de 0.6321 de que se procese en menos de 1 minuto y

una probabilidad de 0.8647 de que se procese en dos minutos o menos

La distribución de probabilidad de los tiempos, en la práctica se debe reunir datos

sobre los tiempos reales de servicios para ver si la distribución de probabilidad

exponencial es una aproximación razonable a los tiempos de su aplicación.


90

4.4. DISCIPLINA EN LA COLA

Al describir un sistema de línea de espera, debemos definir la forma en que las

unidades se organizan para el servicio.

En el caso de Carbon Burger y en general la mayor parte de las líneas de espera

orientadas hacia el servicio de clientes, las unidades se organizan con base en

que el primero que llega es el primero que se atiende, Sin embargo algunas

situaciones requiere diferentes disciplina de colas. Por ejemplo cuando esperando

llegada de un elevador, el último en el elevador es por lo general el primero que

completa su servicio

4.5. NOTACION KENDALL

D. G. Kendall sugirió una notación para clasificar la amplia diversidad de los

diferentes modelos de línea de espera. La notación de Kendall de tres símbolos es

como sigue: A / B / k

Donde:

A = indica la distribución de probabilidad de las llegadas

B = indica la distribución de probabilidades del tiempo de servicio

k = numero de canales

Dependiendo de la letra que aparezca A o B, se puede describir una amplia

variedad de líneas de espera. Las letras comúnmente utilizadas son:

M = indica una probabilidad de Poisson para las llegadas o una distribución

exponencial para el tiempo de servicio

D = indica el hecho que las llegadas o el tiempo de servicio es constante

o deterministico

G = indica que las llegadas o el tiempo de servicio tiene una distribución de

probabilidad general, con media y varianza conocidas

4.6. MODELO DE LINEA DE ESPERA DE UN SOLO CANAL,

CON LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO

EXPONENCIAL (M/M/1)

Este modelo solo debe usarse cuando se cumple las siguientes condiciones

1. La línea de espera tiene un solo canal

2. Las llegadas siguen una distribución de probabilidad de Poisson

3. Los tiempos de servicio siguen una distribución de probabilidad exponencial

4. La disciplina en la cola es primera llegada, primer servicio


91

Como estas condiciones se aplican al ejemplo de Carbon Burger, mostraremos

como se puede utilizar las formulas para darle a la administración información útil

para la toma de decisiones.

CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN

Las siguientes formulas detalla las características de operación en estado estable

de una línea de espera de un sol canal, con llegadas tipo Poisson y tiempos de

servicio exponencial, donde:

= Promedio de llegadas por periodo (tasa media de llegadas)

= promedio de servicio en el periodo (tasa media de servicio)

1. Probabilidad de que no existan

unidades en el sistema

2. Número promedio de unidades

en la línea de espera

3. Número promedio de unidades en el sistema qLL

4. Tiempo promedio que utiliza la unidad


5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema 1 qWW

6. Probabilidad de que una unidad que llega tiene que esperar el servicio

(factor de utilización de la instalación del servicio)

wP

7. Probabilidad de n unidades en el sistema o

n

n PP

Los valores de la tasa media de llegadas ( ) y la tasa media de servicios ( )

claramente son componentes de importancia en la determinación de las

características de operación.

)(

2

qL

1oP

qq

LW


92

Las formulas 1 y 7, son solo aplicables cuando la tasa media del servicio es

superior a la tasa media de llegadas , es decir 1 . De no ser así, la línea

de espera continuara creciendo sin limite, porque la instalación de servicio no tiene

capacidad suficiente para atender las unidades que llegan, por lo que para utilizar

las ecuaciones 1 y 7 debemos tener

CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN PARA CARBÓN BURGER

En el problema de Carbon Burger, tenemos una tasa media de llegada 75.0

clientes por minuto y una tasa media de servicio た = 1 cliente por minuto, por lo

que , se puede utilizar las ecuaciones 1 y 7 para obtener las características

de operación de la línea de espera de un solo canal de Carbon Burger.

25.0175.0

11

oP

clientes 2.25)75.01(1

75.0

)(

22

qL

clientes 3175.0

25.2

qLL

minutos 375.0

25.2 qq

LW minutos 4

1

13

1 qWW

75.0175.0

wP

Informe para la administración de Carbon Burger sobre los modelos

de línea de espera

Los clientes esperan un promedio de 3 minutos, antes de empezar a colocar su

pedido, lo que parece algo largo para un negocio de servicio rápido. Además, el

numero promedio de clientes esperando en la cola es de 2.25 y que el 75% de los

clientes que llegan tienen que esperar para que se le de el servicio, son

indicadores de algo que debe de hacerse para mejorar la operación de la línea de

espera.


93

La tabla siguiente muestra una probabilidad de 13.35% de que 7 o mas clientes

estén en la cola a la vez. Esta situación indica una probabilidad elevada de que si

continua con la misma operación de un solo canal Carbon Burger, experimentara

algunas colas largas

Número de

Clientes

Probabilidad

0 25.0

1

75.00

0

o

n

PP

0.2500

1 25.0

1

75.01

1

o

n

PP

0.1875

2 25.0

1

75.02

2

o

n

PP

0.1406

3 25.0

1

75.03

3

o

n

PP

0.1055

4 25.0

1

75.04

4

o

n

PP

0.0791

5 25.0

1

75.05

5

o

n

PP

0.0593

6 25.0

1

75.06

6

o

n

PP

0.0445

7 a mas 25.0

1

75.07

7

o

n

PP

0.1335

MEJORA EN LA OPERACIÓN DE LA LÍNEA DE ESPERA

Después de revisar las características de operación obtenidas en el modelo actual

de la línea de espera, la administración de Carbon Burger concluyo que era

deseable hacer mejoras para reducir los tiempos de espera.

Muy a menudo, las mejoras en la operación de la línea de espera se enfocan en

mejorar la tasa de servicio. Generalmente, las mejoras de servicio se hacen

mediante lo siguiente:


94

1. Incrementar la tasa media de servicio た, mediante algún cambio creativo en

el diseño o utilizando nuevas tecnologías

2. Agregar canales de servicio, de manera que se puedan servir más unidades

simultáneamente.

Ahora suponga que al considerar la alternativa 1, Carbon Burger decide ocupar a

un empleado como surtidor de pedidos, que ayudara a quien toma los pedidos en

la caja.

El cliente empieza el proceso de servicio colocando su pedido con el empleado

tomador de pedidos, este le cobra su pedido al cliente y después el empleado

surtidor de pedidos empieza a surtirlo.

Con este diseño Carbon Burger estima que la tasa media de servicio se puede

incrementar de la cifra actual de 60 clientes por hora a 75 clientes por hora, por lo

que la tasa media de servicios para el nuevo sistema será de 25.160/75

clientes por minuto. Para 75.0 y 25.1 .

CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN PARA NUEVO SISTEMA

DE CARBON BURGER μ = 1.25 CLIENTES POR MINUTO

Probabilidad de ninguna unidad en el sistema

Numero promedio de unidades en la línea de espera

Numero promedio de unidades en el sistema

Tiempo promedio en la línea de espera

Tiempo promedio en el sistema

Probabilidad de que tenga que esperar una unidad de llegada

Probabilidad de que existan en el sistema 7 o mas unidades

0.400

0.900

1.500

1.20 min

2.00 min

0.600

0.028

Esta tabla indica que todas las características de operación han mejorado debido a

la nueva tasa mejorada de servicio. El tiempo promedio en el sistema se ha

reducido de 4 a 2 minutos

Tal como se mencionó anteriormente, otra opción es proporcionar uno o más

canales de servicio adicionales, de manera que más de un cliente puede ser

atendido al mismo tiempo (modelo de línea de espera con varios canales)


95

4.7. MODELO DE LINEA DE ESPERA DE MULTIPLES CANALES CON

LLEGADAS POISSON Y TIEMPOS DE SERVICIO

EXPONENCIALES (M/M/k)

Una línea de espera multicanal está formada por 2 o más canales de

servicio, que se supone idénticos en función de su capacidad de servicio. En

el sistema multicanal, las unidades de legada esperan en una sola línea de

espera y a continuación pasan al primer canal disponible para ser atendidas.

Un ejemplo de este tipo de línea de espera de una solo fase y multicanal se

encuentran actualmente en muchos bancos, se forma una fila en común y el

cliente se dirige al primer cajero disponible

La operación de un solo canal de Carbon Burger se puede expandir a un

sistema de 2 canales, abriendo un segundo canal.

El sistema multicanal supone que:

1. La línea de espera tenga 2 o más canales

2. Las llegadas siguen una distribución de Poisson

3. Los tiempos de servicio de cada canal sigan una distribución de probabilidad

exponencial.

4. La tasa media de servicio た es la misma para cada uno de los canales, es

decir que todos los servidores se desempeñan en el mismo ritmo

5. La disciplina de la cola es primeras llegadas, primeros servicios (FIFO)

LAS CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN

= tasa media de llegadas del sistema

= tasa media de servicio de cada canal


1. Probabilidad de ninguna unidad en el sistema

1

0 !!

1k

n

k

k

k

kn

Po

2. Numero promedio de unidades


Pokk

Lqk

2!.1

.


96

3. Numero promedio de unidades en el sistema LqL

4. Tiempo promedio que ocupa una

unidad en la línea de espera

5. Tiempo promedio que una unidad

ocupa en todo el sistema

6. Probabilidad de que una unidad que

llega, tenga que esperar por servicio

7. Probabilidad de que existan n unidades en el sistema

Po

nPn

n

!

Para n ≤ k

Po

kkPn

kn

n

)(!. Para n > k

Dado que た es la tasa media de servicio de cada canal, kた es la media de servicio

para todo el sistema multicanal. Como en el caso de un modelo de línea de

espera de un solo canal, las formulas para las características de operación de las

líneas de espera multicanal solo peden aplicarse en situaciones en las que la tasa

media de servicio para el sistema sea superior a la tasa media de llegadas, en

otras palabras solo son aplicable si kた >

CARACTERISTICA DE OPERACIÓN PARA CARBON BURGER.

Suponga que la administración desea evaluar la conveniencia de abrir una segunda

estación de procesamiento de pedidos, de manera que se pueda atender a 2

clientes simultáneamente

Utilizamos las ecuaciones para el sistema de k = 2 canales. Para una tasa media de

llegada 75.0 clientes por minuto y una tasa media de servicio 1 cliente por

minuto para cada uno de los canales.

Lq

Wq

1WqW

Pok

k

kPw

k

!

1


97

4545.0

75.02

)1(2

!1

175.0

!

175.0

1

!!

11

0

11

0

n

k

n

k

nk

k

kn

Po

1227.0)4545.0(75.0)1(2!.12

)1)(75.0.(175.0

!.1

.2

2

2 Pokk

Lqk

Cliente

8727.0175.0

1227.0

LqL Cliente

minutos 16.075.0

1227.0 Lq

Wq minutos 16.111

16.01 WqW

2045.0)4545.0(75.0)1(2

)1(2

1

75.0

!2

1

!

12

Po

k

k

kPw

k

Utilizando las ecuaciones (7), podemos calcular las probabilidades de clientes en el

sistema.

Número de Clientes Probabilidad

0 Po

nPn

n

!

0.4545

1 0.3409

2 0.1278

3 Po

kkPn

kn

n

)(!.

0.0479

4 0.0180

5 o mas 0.0109

Ahora podemos comparar las características de operación en estado estable del

sistema multicanal versus el sistema original de un solo canal

1. El tiempo promedio que utiliza un cliente en el sistema (tiempo de

servicio + tiempo de espera) se reduce de W = 4 a W = 1.16 minutos

2. El numero promedio de clientes en la línea de espera se reduce de

Lq = 2.25 a 0.1227 clientes

3. El tiempo promedio que utiliza un cliente en la línea de espera se reduce

de W = 3 minutos a 0.16 minutos


98

4. La probabilidad de que un cliente tenga que esperar su servicio se reduce de

Pw = 0.75 a 0.2045

4.8. ANALISIS ECONOMICO DE LAS LINEAS DE ESPERA

Frecuentemente las decisiones que implican diseño de líneas de espera se basan

en la evaluación subjetiva de sus características de operación, por otra parte

también influye el costo de operar el sistema de colas y entonces basar su decisión

respecto al diseño del sistema y al costo de la línea de espera

Para desarrollar un modelo de costo total de una línea de espera, empezamos a

definir las notaciones que se emplearán

Cw = Costo de espera por periodo de cada unidad

L = numero promedio de unidades en el sistema

Cs = costo de servicio por periodo de cada canal

k = número de canales

TC = Costo total por periodo TC = CwL + Csk

Para elaborar un análisis económico de una línea de espera, debemos obtener

estimaciones razonables del costo de espera, como el costo del servicio.

El costo de espera generalmente es el más difícil de evaluar, en el Problema de

Carbon Burger, el costo de espera, sería el costo por minuto de un cliente que está

esperando a que lo atiendan, Si Carbon Burger ignora este costo y permite colas

largas, finalmente los clientes se irán a otra parte, por lo que Carbon Burger

experimentara perdidas de venta e incurrirá en un costo. Supongamos que Carbon

Burger está dispuesto a asignar un costo de $10 por hora al tiempo de espera del

cliente

El costo de servicio, por lo general es más fácil de determinar, ya que es un costo

relacionado con la operación de cada uno de los canales de servicio. En Carbon

Burger, este costo incluirá el sueldo y los beneficios sociales del empleado servidor,

asi como cualquier otro costo directo asociado con la operación del canal del

servicio. En Carbon Burger, este costo se estima en $7 por hora.


99

Para obtener el costo total por hora para un sistema de un solo canal y dos canales,

utilizaremos el numero promedio de de unidades en el sistema (L = 3 clientes para

un solo canal) y (L = 0.8727 clientes para 2 canales).

Un solo canal (L = 3 clientes) Dos Canales (L = 0.8727 clientes)

TC = CwL + Csk

TC = $10(3) + $7(1) = $37 por

hora

TC = CwL + Csk

TC = $10(0.8727) + $7(2) = $22.73

por hora

Concluimos con base en los costos proporcionados por Carbon Burger, el sistema

de 2 canales ofrece la solución más económica.

En la siguiente figura

muestra las curvas

de los costos en el

análisis económico

de las líneas de

espera.

El costo de servicio aumenta conforme se incrementa el número de canales. Sin

embargo el servicio es mejor con más canales, como resultado el tiempo y el

costo de esperar se reducen. Evaluando el costo total para varias alternativas de

diseño se puede determinar el número de canales que resulte una buena

aproximación del diseño de costo total mínimo.

4.9. MODELO DE LINEAS DE ESPERA DE UN SOLO CANAL CON

LLEGADAS DE POISSON Y TIEMPO DE SERVICIO

ARBITRARIOS (M/G/1)

CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN PARA EL MODELO M/G/1

La notación para describir las características de operación del modelo M/G/1 es

Tasa media de llegadas

µ = tasa media de servicios


100

= tiempo promedio o medio de servicio

= desviación estándar del tiempo de servicio

A continuación, aparecen algunas de las características de operación en estado

estable del modelo de colas M/G/1.

1. Probabilidad de que no existan

unidades en el sistema

2. Numero promedio de unidades


3. Numero promedio de unidades en el sistema

4. Tiempo promedio que utiliza una

unidad en la línea de espera

5. Tiempo promedio que utiliza una unidad en el sistema

6. Probabilidad de que una unidad de llegada

tenga que esperar servicio

UN EJEMPLO: Un solo empleado maneja las ventas al menudeo en una tienda, las

llegadas de los clientes son aleatorias y la tasa promedio de llegada es de 21

clientes por hora, es decir そ = 21/60 = 0.35 clientes por minuto. Un estudio del

proceso del servicio muestra que el tiempo promedio del servicio es de 2 minutos

por cliente, con una desviación estándar de σ = 1.2 minutos.

El tiempo promedio de 2 minutos por cliente muestra que el empleado tiene un tasa

de servicio promedio de µ = ½ = 0.50 clientes por minuto. Las características de

operación de este sistema de línea de espera M/G/1 son:


101

4.10. MODELO DE CANAL MULTIPLE CON LLEGADAS DE POISSON,

TIEMPOS DE SERVICIO ARBITRARIO Y SIN LINEA DE ESPERA.

(M/G/k)

Es una variante de los modelos anteriores, en donde no se les permite la espera.

Las unidades (clientes) que llegan buscan servicio en uno de varios canales de

servicio. Si todos los canales están ocupados a las unidades que llegan se les

niega el acceso al sistema, es decir las llegadas que ocurren cuando el sistema

esta lleno quedan bloqueadas y se eliminan del sistema. Estos clientes pueden

perderse o intentar regresar posteriormente al sistema

El modelo específico se basa en las siguientes hipótesis:

1. El sistema tiene k canales

2. Las llegadas siguen una distribución de Poisson, con una tasa media

de llegada そ

3. Los tiempos de servicio de cada canal pueden tener cualquier distribución

de probabilidad


102

4. La tasa media de servicio µ es la misma en cada canal

5. Las llegadas entran al sistema si hay por lo menos 1 canal disponible.

6. Las llegadas que ocurran cuando todos los canales están ocupados

quedaran bloqueados (no ingresaran al sistema)

Cuando G indica una distribución de probabilidad general o no especificada para los

tiempos de servicio, el modelo apropiado para esta situación se le conoce como un

modelo M/G/k con clientes “bloqueados y eliminados”.

La pregunta que se hace en este tipo de situación es ¿Cuántos canales o

servidores deben usarse?.

Este modelo es importante para los diseños de sistemas de comunicación

telefónica y otros en los que las llegadas son las llamadas y los canales son el

número de teléfonos o líneas de comunicación disponibles.

En un sistema de este tipo, las llamadas se conmutan automáticamente a un canal

abierto. Cuando todos los canales están ocupados, las llamadas adicionales

reciben señal de ocupado y se les niega el acceso al sistema.

CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN PARA UN MODELO M/G/k CON

CLIENTES BLOQUEADOS Y ELIMINADOS.

Nos enfrentamos al problema de seleccionar el numero mas adecuado de canales

para calcular las probabilidades de que j de los k canales estén ocupados. Estas

probabilidades son:

Donde:

そ = tasa media de llegadas

µ = Tasa media de servicio de cada canal


Pj = Probabilidad de que j de los k canales estén ocupados (j=0,1,2,…..,k)

Otra característica de interés, es el número

promedio de canales que están siendo usados.


103

Muchas de las características de operación que se vio anteriormente, no se aplican

al modelo M/G/k con clientes bloqueados y eliminados. Ya no se toma en

consideración, porque la espera en este tipo de sistema no esta permitida

Un Ejemplo:

Plaza Vea utiliza un sistema de pedidos por teléfono para sus clientes. Suponga

que las llamadas al numero de plaza Vea llegan a una tasa promedio de 12 por

hora; el tiempo requerido para procesar un pedido telefónico varia

considerablemente entre pedidos. Sin embargo se espera que cada operador de

Plaza Vea maneje un promedio de 6 llamadas por hora. Actualmente Plaza Vea

tiene 3 anexos telefónicos (canales internos), cada uno de ellos manejado por un

operador diferente.

Las llanadas que se reciben se transfieren automáticamente a alguna de las líneas

disponibles (canales abiertos).

Cuando todas las líneas están ocupadas, los que llaman oyen una señal de

ocupado. Plaza Vea observo que los a los clientes que llaman y se les niegan el

acceso, ya no vuelve a llamar, por lo que estas llamadas representan ingresos

perdidos para Plaza Vea.

La administración de Plaza Vea, quiere saber cual es el porcentaje de los que

llaman y reciben señal de ocupado y se les niega el acceso al sistema. Si el objetivo

de la administración es tener capacidad suficiente para manejar el 90% de los

pedidos por teléfonos. ¿Cuántas líneas telefónicas y operadores deberán utilizar

Plaza Vea?

Calculando la probabilidad de que las 3 líneas disponibles actualmente estén

ocupadas y de que gente adicional que llame sea bloqueada es:

Aproximadamente el 21% de las llamadas, es decir una de cada 5, están siendo

bloqueadas y 4 de cada 5 (79%) de las llamadas se están atendiendo de manera

inmediata con el sistema de 3 líneas


104

Ahora, supongamos que Plaza Vea decide ampliar a un sistema de 4 líneas,

entonces la probabilidad de que las 4 líneas estén en uso y de que quienes llamen

serán bloqueados es:

Solo el 9.52% de los que llaman serán bloqueados, el 90.48% de quienes llamen

serán atendidos por un operador, por lo que Plaza Vea debe ampliar su sistema a 4

líneas. El numero promedio de llamadas en el sistema de 4 líneas y por lo tanto el

número promedio de líneas y operadores ocupados es:

Aunque un sistema de 2 líneas estarán más ocupadas, es necesario un sistema de

4 líneas para tener capacidad de manejar por lo menos el 90% de los pedidos.

Probabilidad de llamadas bloqueadas para el sistema de 4 líneas de Plaza Vea

Numero líneas

ocupadas

0 1 2 3 4

Probabilidad 0.1429 0.2857 0.2857 0.1905 0.0952

4.11. MODELOS DE LINEAS DE ESPERA CON POBLACIONES

DE SOLICITANTES FINITAS (M/M/1)

Los modelos hasta ahora presentados, la población de unidades (clientes) es

ilimitada o infinita. En términos técnicos, cuando no se establece un límite en el

número de unidades que pudieran solicitar servicio, se dice que el modelo tiene una

población infinita, con una tasa media de llegadas そ constante, independiente del

número de unidades que estén en el sistema de colas.

En otros casos, el máximo número de unidades (clientes) que pueden solicitar

servicio se supone finito. En esta situación la tasa media de llegadas del sistema va

cambiando dependiendo del número de unidades en la línea de espera, entonces la

población de solicitantes es finita.


105

Para considerar el efecto de la población finitas, debe modificarse las formulas de

las características de operación, correspondiente a los modelos de colas anteriores.

El modelo de población de solicitantes finitos se basa en las siguientes hipótesis:

1. La línea de espera tiene un solo canal

2. La población de unidades que pudiera solicitar el servicio es finito

3. Las llegadas de cada unidad siguen una distribución de Poisson,

con una tasa media de llegadas そ.

4. Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial,

con una tasa media de servicio µ.

5. La disciplina de la cola es FIFO.

La tasa media de llegadas del modelo M/M/1, con población de solicitantes finitos

se define en función de la frecuencia con que cada unidad llega busca el servicio.

La tasa media de llegadas del sistema varia dependiendo del número de unidades

presentes en el sistema.

En lugar de ajustar en función de la tasa variable de llegadas en el sistema, el

modelo de población de solicitantes finita そ indica la tasa media de llegadas

correspondiente a cada unidad

Aplicaciones: una de las principales aplicaciones del modelo M/M/1 con una

población de solicitantes finita se conoce como el problema de reparaciones de

maquinas. En este problema un grupo de maquinas se considera como una

población finita de “Clientes” que pueden solicitar servicio de mantenimiento. Cada

vez que falla una maquina, ocurre una llegada, en sentido de que se inicio una

nueva solicitud de reparación.

Si otra maquina falla antes de haber terminado el trabajo de reparación de la

primera, la segunda maquina empieza a formar una línea de espera

CARACTERISTICAS DE OPERACIÓN PARA EL MODELO M/M/1, CON

POBLACION DE SOLICITANTES FINITA.

Las siguientes formulas se utilizan para determinar las características de operación

en estado estable para un modelo M/M/1 con poblaciones de solicitantes finitas,

donde:

そ = tasa media de llegadas de cada unidad

µ = tasa media de servicio


106

N = tamaño de la población

1. Probabilidad de que no existan unidades en el sistema

2. Numero promedio de unidades en la línea de espera

3. Numero promedio de unidades en el sistema L = Lq + (1 – Po)

4. Tiempo promedio que ocupa

una unidad en la línea de espera

5. Tiempo promedio que una unidad ocupa en el sistema

6. Probabilidad de n unidades en el sistema

Para n=0, 1, 2, …, N

UN EJEMPLO:

Kolkmeyer Manufacturing tiene un grupo de 6 máquinas idénticas, cada una trabaja

en promedio de 20 horas entre averías, por lo que la tasa media de llegadas o de

servicio de reparación de cada máquina individual es de そ = 1/20 = 0.05 máquinas

por hora. Con averías de ocurrencia aleatoria se utilizan la distribución de

probabilidad de Poisson para describir el número de llegadas de averías de

máquinas. Una persona de mantenimiento da el servicio de reparación de un solo

canal para las 6 máquinas. Los tiempos de servicio distribuidos de manera

exponencial tiene una media de 2 horas por máquina, es decir una tasa media de

servicio µ = ½ = 0.5 máquinas por hora.

L = Lq + (1 – Po) = 0.3295 + (1 – 0.4845) = 0.845 maquinas


107

Finalmente se puede utilizar la ecuación 6 (Pn) para calcular las probabilidades de

que cualquier número de máquinas estén en el sistema en reparación

Número de unidades en el sistema Probabilidad

0 0.5602

1 0.3361

2 0.0840

3 0.0168

4 0.0025

5 0.0003

6 0.0000

EJERCICIOS PROPUESTOS 4

1. Una máquina de servicio tiene una unidad de reserva para sustituirla de inmediato cuando falle. El ”Tiempo a la falla” (tiempo entre fallas) de la maquina (o de su unidad de reserva) es exponencial, y sucede cada 40 minutos en promedio.

a. El operador de la maquina dice que esta ¨tiene la costumbre de descomponerse cada noche a eso de las 8:30 P.M. Analizar lo que dice el operador.

b. La cantidad promedio de fallas en una semana, suponiendo que el servicio se ofrece 24 horas por dıa y 7 dıas por semana.

c. La probabilidad de que haya al menos una falla en un perıodo de 2 horas.

d. La probabilidad de que la proxima falla no suceda en menos de 3 horas. e. Si no ha sucedido falla en 3 horas despues de la ultima falla, ¿cual es la

probabilidad de que el tiempo entre fallas sea de 4 horas cuando mucho?.

2. El tiempo entre llegadas en una dependencia del Banco Mercan es exponencial

con valor medio de 0.05 hora. La oficina abre a las 8μ00 A.M. a. Escriba la distribución exponencial que describa el tiempo entre

llegadas. b. Determine la probabilidad de que no lleguen clientes a la oficina hasta

las 8:15A.M.


108

c. Son las 8:35 A.M. El ultimo cliente entro a las 8:26. ¿Cual es la probabilidad de que el siguiente cliente llegue antes de las 8:38 A.M.? ¿Y de que no llegue hasta las 8:40?.

d. ¿Cual es la cantidad promedio de clientes que llegan entre las 8:10 y las 8:45A.M.?

3. Se demandan unidades de un artículo en una tienda cuyas existencias están

limitadas a 80 unidades, de acuerdo con una distribución de Poisson con media 5 u. por día. Determinar: a) La probabilidad de que se retiren 10 artículos durante los primeros 2 días. b) La probabilidad de que no quede ningún artículo al final de 4 días. c) El número promedio de artículos retirados en 4 días.

4. En una clínica se reciben una media de 40 accidentados por día. El tiempo medio de servicio es una hora. Hallar la probabilidad de que haya más de 2 enfermos en cola, en función de que la clínica tenga 2 o 3 médico. ¿Qué ocurriría si sólo tuviera uno?

5. Suponga que el tiempo entre descomposturas de una maquina es exponencial, con promedio de 6 horas. Si la maquina ha trabajado sin fallar durante las últimas tres horas, ¿cual es la probabilidad de que continúe sin fallar durante la próxima hora? ¿De que se descomponga durante la siguiente 0.5 hora?.

6. El tiempo entre llegadas a una sala de juego en la sociedad de alumnos es exponencial, con una media de 10 minutos.

a. ¿Cuál es la frecuencia de llegadas por hora? b. ¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen alumnos a esa sala durante

los 15 minutos siguientes?. c. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un alumno visite la sala de

juegos durante los próximos 20 minutos?

7. El tiempo entre llegadas a un restaurante es exponencial con media 5 mn. El restaurante abre al público a las 11:00. Determinar: a) La probabilidad de tener 10 clientes en el restaurante a las 11:12 dado que hubo 8 a las 11:05. b) La probabilidad de que llegue el siguiente cliente entre las 11:28 y las 11:33 dado que el último cliente llegó a las 11:25.

8. El gerente de un nuevo restaurante de comida rápida desea cuantificar el proceso de llegadas de clientes, estimando la fracción del intervalo de tiempo entre llegadas que sea a) menor que 2 minutos, b) entre 2 y 3 minutos y c)mas de 3 minutos. Las llegadas en restaurantes parecidos tienen una frecuencia de 35 clientes por hora. El tiempo entre llegadas tiene distribución exponencial.

9. Ana y Pedro, dos empleados de un restaurante de comida rápida, juegan lo siguiente mientras esperan la llegada de clientes. Pedro le paga $2 a Ana si el próximo cliente no llega en menos de 1 minuto; en caso contrario, Ana le paga a Pedro $2.


109

Calcule la recompensa promedio de Pedro en un período de 8 horas. El tiempo entre llegadas es exponencial, con una media de 1.5 minutos.

10. En un ambulatorio se reciben una media de tres pacientes por hora, siguiendo una distribución de Poisson. El único médico que está en el ambulatorio atiende una media de 6 pacientes por hora. Los tiempos de atención siguen una distribución exponencial. La pregunta que se plantea el gestor es si vale la pena contratar a un nuevo médico o no (considerando que éste realizará el mismo número de pacientes).

11. La llegada de enfermeras a una farmacia del hospital Todosalud puede describirse a través de una distribución de Poisson. Los tiempos de servicio utilizan una distribución exponencial. La tasa de llegada es de 45 enfermeras por hora, mientras que cada farmacéutico puede atender a 50 enfermeras por hora. El coste de cada enfermera es de 15 euros por hora, mientras que cada farmacéutico gana 10 euros por hora. Encontrar el número óptimo de farmacéuticos a contratar. RPTA

12. Un centro de atención primaria tiene que administrar la vacuna de poliomelitis a los niños de un barrio. El centro está organizado de forma que los padres van llegando con los niños, formando una cola y siendo atendidos 40 por hora, con una distribución exponencial, por cualquiera de las enfermeras que están de servicio. Este servicio de vacunación se ofrece una vez a la semana, y en este día las llegadas se realizan con una tasa igual a 40 niños por hora. El director del centro sabe que la mayoría de los padres vienen durante sus horas de trabajo y por ello quiere limitar el tiempo total de administración de la vacuna a 15 minutos (incluyendo la espera). ¿Cuántas enfermeras tendrá que utilizar el gerente? RPTA = 6


110

13. Willow bank opera una ventanilla de cajero para automovilistas que permite a

los clientes efectuar transacciones sin tener que salir del auto. En las mañanas las llegadas a la ventanilla ocurren de manera aleatoria, con una tasa media de llegada de 24 clientes por hora, es decir 0.4 clientes por minuto.

a. Cuál es el numero medio de clientes que llegaran en un periodo de 5 minutos

b. Usando la distribución de Poisson, calcule las probabilidades de que lleguen exactamente 0, 1, 2, 3 clientes en un periodo de 5 minutos

14. En el sistema de línea de espera de Willow Bank (Ejercicio 1) suponga que los tiempos de servicio para el cajero sigue una distribución exponencial con una tasa media de servicio de 36 clientes por hora, es decir 0.6 clientes por minuto. Determine las siguientes características de operación del sistema de colas.

a. La probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema b. El número promedio de clientes esperando en la cola c. El número promedio de clientes en el sistema d. El tiempo promedio que ocupa un cliente esperando cola e. El tiempo promedio que ocupa un cliente en el sistema f. La probabilidad de que clientes llegan tenga que esperar el servicio. g. Encuentra las probabilidades que estén 0, 1, 2 y 3 clientes en el sistema

15. La mesa de consultas de una biblioteca universitaria recibe solicitudes de ayuda. Según una distribución de Poisson, con una tasa media de 10 solicitudes por hora para describir el patrón de llegadas y que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial con una tasa media de servicio de 12 solicitudes por hora.

a. Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna solicitud en el sist b. Cuál es el número promedio de solicitudes que están esperando

servicio? c. Cuál es el tiempo de espera promedio en minutos, antes de que se

inicie el servicio? d. Cuál es el tiempo promedio en la mesa de consultas en minutos (tiempo

de espera + tiempo de servicio) e. Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada (solicitud) tenga que

esperar servicio?

16. Los camiones que utilizan un andén de carga de un solo canal llegan según una distribución de Poisson. El tiempo requerido para cargar y descargar sigue una distribución exponencial. La tasa media de llegadas es de 12 camiones diarios y la tasa media de servicio es de 18 camiones diarios.

a. Cuál es la probabilidad de que no haya camiones en el sistema? b. Cuál es el número promedio de camiones esperando servicio? c. Cuál es el tiempo promedio que espera un camión a que se inicie el

servicio de carga y descarga? d. Cuál es la probabilidad de que una nueva llegada tenga que esperar?


111

17. En Rosatel, los nuevos pedidos que procesa un solo oficinista de embarque tiene una tasa media de llegadas y de servicio de 6 y 8 diarios, respectivamente. Suponga que las llegadas siguen una distribución de Poisson y que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial.

a. Cuál es el número promedio de pedidos en el sistema b. Cuál es el tiempo promedio que tarda una orden esperando, antes que

el oficinista esté disponible para iniciar el servicio? c. Cuál es el tiempo promedio que un pedido ocupa en el sistema?

18. Trosper Tire Company ha decidido contratar a un nuevo mecánico para mejorar

todos los cambios de llantas que ordenan los juegos nuevos de llantas. Dos mecánicos han solicitado trabajo. Uno de ellos tiene poca experiencia, puede contratarse por $14/hora y darle servicio a un promedio de 3 clientes en ese lapso. El otro tiene varios años de experiencia y puede darle servicio a un promedio de 4 clientes/hora, pero se le tendrá que pagar $20/hora. Suponga que los clientes llegan al taller a una tasa de 2 clientes por hora.

a. Calcule las características de la línea de espera de cada mecánico, suponiendo llegadas de poisson y tiempo de servicio exponenciales.

b. Si la empresa asigna un costo de espera por cliente de $30 por hora. En cuál de los dos mecánicos hay un costo menor de operación?.

19. Agan Interior proporciona a sus clientes asistencia de decoración domestica y

de oficinas. En operación normal llegan un promedio de 2.5 clientes todas las horas. Un asesor de diseño esta disponible para responder las preguntas de los clientes. El asesor promedia 10 minutos para cada cliente.

a. Calcule las características de operación de línea de espera de los clientes

b. Las metas de servicio indica que un cliente que llega no debe esperar la atención más de 5 minutos en promedio. Se esta cumpliendo esta meta?. De lo contrario que acción recomendaría usted?

c. Si el asesor puede reducir el tiempo promedio que utiliza por cliente hasta 8 minutos. Cual es la tasa media de servicio. Se cumplirá la meta de servicio?

20. “Mi Mercado” es un pequeño supermercado local, con solo una caja de salida.

Suponga que los compradores llegan al carril de salida de acuerdo a una distribución de Poisson con una tasa media de llegadas de 15 clientes por hora. Los tiempos de servicio de la caja siguen una distribución exponencial con una tasa media de servicio de 20 clientes por hora.

a. Calcule las características de operación de esta línea de espera b. Si la meta de servicio es limitar el tiempo de espera en cola a no más de

5 minutos. Que recomendación haría usted en relación con el sistema actual de la caja (considere estas dos alternativas(

i. Contratar a una segunda persona para empacar las compras en tanto que el cajero está cobrando al cliente. Con esta operación mejorada en un solo canal la tasa media de servicio puede incrementarse a 30 clientes por hora


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ii. Contratar a una segunda persona para operar una segunda caja de salida. La operación con 2 canales tendría una tasa media de servicio de 20 clientes por hora para cada uno de los canales

21. Keuka Park actualmente tiene una ventanilla de cajero automotriz. Las llegadas siguen una distribución de poisson con una tasa media de 10 automóviles por hora. Los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial con una tasa media de servicio de 12 automóviles por hora.

a. Cuál es la probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema? b. Si usted llega en un automóvil a la instalación. Cuantos automóviles

esperaría usted ver esperando el servicio c. Cuál es la probabilidad de que por lo menos un automóvil este

esperando atención? d. Cuál es el tiempo promedio en la línea de espera aguardando servicio e. Para mejorar el servicio el administrador desea investigar el efecto de

poner una segunda ventanilla. Suponga para cada ventanilla una tasa media de llegada de 10 automóviles por hora y una tasa media de servicio de 12 automóviles por hora. Qué efecto tendría aumentar la segunda ventanilla al sistema?

22. City Beverage Drive Thru esta pensando en un sistema de servicio de 2 canales. Los automóviles llegan de acuerdo a una distribución de poisson, con y una tasa media de llegada de 6 automóviles por hora. Los tiempos de servicio tienen una distribución exponencial con una tasa media de servicio de 10 automóviles por hora para cada uno de los canales.

a. Cuál es la probabilidad de que no haya automóvil en el sistema b. Cuál es el número promedio de automóviles esperando servicio c. Cuál es el tiempo promedio esperando servicio d. Cuál es el tiempo promedio en el sistema e. Cuál es la probabilidad de que una llega tenga que esperar para que le

den servicio?

23. Considere una línea de espera de 2 canales con llegadas Poisson y tiempo de servicio exponencial. La tasa media de llegada de 2 canales es de 14 unidades por hora y la tasa media de servicio es de 10 unidades por hora en cada uno de los canales

a. Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna unidad en el sistema b. Cuál es el número promedio de unidades en el sistema c. Cuál es el tiempo promedio que una unidad esperará para que le den

servicio d. Cuál es el tiempo promedio que una unidad estará en el sistema? e. Cuál es la probabilidad de que se tenga que esperar para que se le de

servicio? Suponga que se ha ampliado el sistema a una operación con 3 canales

f. Calcule las características de operación de este sistema de línea de espera


113

g. Si la meta de servicio es tener capacidad suficiente para que no mas de 25% de los clientes tengan que esperar atención. Se preferirá el sistema de 2 o 3 canales?

24. 15-.El servicio de lavado de automóviles tiene un sólo carril y el siguiente automóvil no puede entrar al lavado hasta que el anterior este terminado por completo. En promedio pueden atenderse 10 automóviles por hora según una distribución exponencial, mientras que las llegadas se producen según una ley de Poisson de media 8 por hora. Defínase un modelo adecuado y determínese:

a. P(servicio de automóviles esté ocioso) b. Número medio de automóviles esperando para ser lavados. c. Tiempo medio de espera para un cliente. d. Considerar ahora que el servicio de lavado tiene capacidad para 6

coches, incluyendo el que se está lavando.

25. una sucursal de Caja de Madrid cuenta con cuatro cajeros. Ha averiguado que

las distribuciones del tiempo de servicio son exponenciales con un promedio de tiempo de servicio de 6 minutos por cliente. Se sabe que los clientes llegan durante las 8 horas que está abierta la oficina, según una distribución de Poisson con un promedio de 30 clientes por hora. ¿Cuántas horas por semana dedica el empleado al desempeño de su trabajo? ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado tenga que esperar a un cliente? Calcular el número de empleados desocupados en cualquier momento dado.

26. Una franquicia de comidas rápidas está considerando operar una operación en ventanilla para automóviles de servicio de alimentos. Suponga que las llegas de los clientes siguen una distribución de poisson, con una tasa media de llegadas de 24 automóviles por hora y que los tiempos de servicio siguen una distribución exponencial. Se están considerando las siguientes 3 alternativas:

Una operación de una sola ventanilla, donde un empleado surte el pedido y recibe el dinero del cliente. El tiempo promedio de servicio de esta alternativa es de 2 minutos.

Una operación de una sola ventanilla, donde un empleado surte el pedido, mientras que otro empleado cobra al cliente. El tiempo promedio de servicio de esta alternativa es de 1.5 minutos

Una operación de 2 ventanillas de servicio con 2 empleados El tiempo promedio de servicio de cada ventanilla es de 2 minutos para cada canal.

Responda las siguientes preguntas para cada tipo de operación y recomiende un diseño para la franquicia de comida rápida

a) Cuál es la probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema b) Cuál es el número promedio de automóviles esperando servicio c) Cuál es el tiempo promedio que espera un automóvil en la cola d) Cuál es el tiempo promedio en el sistema


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e) Cuál es el número promedio de automóviles en el sistema f) Cuál es la probabilidad de que un automóvil tenga que esperar servicio?

27. El banco de la nación piensa abrir una ventanilla de servicio en automóvil. La

gerencia estima que los clientes llegan a una tasa de 15 clientes por hora. El cajero que está en la ventanilla puede atender clientes a una tasa de uno cada 3 minutos. Suponiendo que las llegadas son de poisson y que el servicio es exponencial. Encuentre:

a. La utilización del cajero b. El número promedio en cola c. El Numero promedio en el sistema d. El tiempo promedio de espera en cola e. El tiempo promedio de espera en el sistema

Por la disponibilidad limitada del espacio y el deseo de proporcionar un buen servicio, el gerente del banco quiere asegurar con un 95% de certeza que los clientes no tengan que esperar y sean atendidos inmediatamente. Para ello tiene 2 opciones: conseguir que el empleado de la ventanilla trabaje más rápido o poner más empleados conservando la misma tasa de servicios. Evaluar las 2 posibilidades

28. Una agencia de una sociedad financiera tiene tres promotoras para atender a

los clientes que vienen a abrir una nueva participación o a renovar una. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3,5 minutos. En promedio cada hora llegan 12 clientes que vienen a abrir una nueva participación y 25 clientes que vienen a renovar una. Ambas llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson.

29. El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale $18 mientras que sólo evalúa en $7 la hora de un cliente que renové. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza $12 la hora. El gerente considera 3 alternativas:

a. asignar una promotora exclusivamente a abrir participaciones y dos promotoras para renovar participaciones

b. asignar dos promotoras para abrir participaciones y una promotora para renovar participaciones

c. Utilizar las tres promotoras indiferentemente para abrir y renovar participaciones.

¿Cuál decisión debe tomar el gerente? [ un día igual a 8 horas ]

30. Una compañía arrendadora de automóviles, opera su propia instalación de lavado y limpieza de automóviles para prepararlos para su renta. Los automóviles llegan a la instalación de limpieza en forma aleatoria a una tasa de 7 por día. La compañía arrendadora ha determinado que los automóviles pueden limpiarse a un ritmo de 2n por día, donde n es el número de personas que trabajan en un automóvil. Por ejemplo, si se encuentran 6 personas trabajando la tasa de lavado es de 12 automóviles por día. Se ha


115

determinado que este procedimiento de lavado se ajusta a la distribución exponencial negativa. La compañía les paga a sus trabajadores $800 por día y ha determinado que el costo por un automóvil que no esté disponible para rentarlo es de $2500 por día, además el costo por trabajador ocioso es de $50 la hora. Un día de trabajo es equivalente a 8 horas. Calcule en número de trabajadores que deben contratarse en la instalación de lavado, para que produzca el menor costo por día y hallar ese costo.

31. La central telefónica de un hotel está operada manualmente por una empleada que da servicio tanto a las llamadas que llegan desde afuera como a las que provienen del hotel. Ambas llamadas se distribuyen de acuerdo a una distribución de Poisson con tasa media de 20 y 16 llamadas por hora respectivamente. La empleada en promedio puede manejar 60 llamadas por hora y la distribución del tiempo necesario para atender a las llamadas es exponencial. Determinar:

a. El tiempo promedio durante el cual la empleada está desocupada. b. El número promedio de llamadas esperando servicio. c. El tiempo promedio total de espera en cola de las llamadas desde el

hotel. La gerencia está considerando instalar un equipo que manejaría automáticamente las llamadas locales provenientes del hotel lo que reduciría a 8 llamadas por hora la tasa promedio de llamadas provenientes del hotel que llegan a la central. El costo de alquiler de este equipo es de $240 mensuales (1 mes = 200 horas hábiles). El costo promedio por hora y por persona que espera obtener su llamada desde el hotel es de $9. ¿Debe la gerencia instalar el equipo? En vez de instalar el equipo de discado directo se considera la alternativa de emplear una segunda centralista. Ambos empleadas son igualmente eficientes.

d. Determinar el tiempo promedio durante el cual ambas empleadas están desocupadas, una sola está trabajando y ambas están trabajando.

Determinar la longitud promedio de la cola así como el tiempo promedio total de espera en cola de las llamadas desde el hotel. Si el costo de cada empleada es de $60 por día y el costo promedio por hora y por persona que espera obtener su llamada desde el hotel es de $9. ¿Será conveniente contratar la segunda empleada?

32. Una refinería distribuye sus productos mediante camiones que se cargan en el terminal de carga. Se usan camiones de la compañía y camiones de distribuidores independientes. La tasa media de llegada (para todos los camiones) es de 6 por hora a una distribución de Poisson. En el terminal de carga pueden llenar 8 camiones por hora y la distribución del tiempo necesario para el llenado es exponencial. El 30% de todos los camiones son independientes, se trabaja 8 horas al día.


116

a. Determinar el tiempo total estimado que los camiones independientes esperan por día

b. Determinar si se debe activar otro terminal al lado con la misma eficiencia, sabiendo que el costo mensual por terminal es de $4,500 y el costo por no disponer de un camión de la empresa es de $800 la hora y de los independientes es de $900 la hora.

c. El tiempo promedio durante el cual ambos terminales están desocupados, uno solo esta activo y ambos están trabajando.

33. En la agencia de Terrazas del Ávila del Banco Futuro S.A.I.C.A. se realizan 3 operaciones distintas: apertura de cuentas, pago de cheques y cobro de tarjetas de crédito. Los operarios que prestan el servicio son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3 minutos. Cada hora llegan al banco 15 personas a cobrar cheques y 8 personas a pagar tarjetas de crédito. Cada 100 minutos llega al banco ocho personas para abrir una cuenta. De las siguientes 4 opciones, ¿cuál optimiza el manejo de los servicios?

a. 3 colas. una distinta para cada servicio. Un sólo cajero (operador) en cada cola.

b. 2 colas. Una cola para apertura de cuentas con un operador y otra para pago de cheques y cobro de tarjetas con dos operadores.

c. 2 colas. una cola para apertura de cuentas con un operador y otra para pago de cheques y cobro de tarjetas con 3 operadores.

d. Una sola cola y seis operadores. Cada operador ejecuta indistintamente cualquier operación.

34. El tiempo del cliente se valora en S/.100 la hora (para el banco) y el tiempo de

un operador cuesta S/. 300 la hora. Por otro lado el tiempo ocioso de un operario representa una pérdida para el banco y se cotiza en S/. 40 el día laborable. [un día laborable es igual a ocho horas] Haga un breve análisis de eficiencia (basada en el criterio de minimizar el tiempo "perdido" del cliente) vs. Costos (para el banco).

35. Un banco presta 3 servicios: A, B y C. La sucursal X del banco posee 3 cajas diferentes cada una con un sólo cajero y a cada una de las cajas le corresponde una cola. En cada caja se presta un servicio diferente. La tasa de servicio es la misma para cada caja. Llegan por hora 10, 15 y 20 clientes solicitando los servicios A, B y C respectivamente. La sucursal W coloca a todos los clientes en una cola única y posee varias cajas (1 operador por caja) en cada una de las cuales se realizan indistintamente las operaciones A, B y C. La eficiencia de un operador es de 20 transacciones por hora.

a. Calcule el número mínimo de cajas que debe tener la sucursal W para que el sistema funcione.

b. ¿A cuánto debería ser la eficiencia de los operadores en la sucursal X para que los costos totales en las dos sucursales sea lo mismo?.

Sabiendo que el costo por el tiempo que una persona permanece en el banco es de $5/h para los clientes que van a solicitar los servicios A ó B y de $8/h


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para los clientes que van a solicitar el servicio C. Por otro lado el tiempo ocioso de un cajero representa una pérdida para el banco de $7/h.

36. Una agencia de una sociedad financiera tiene dos promotoras para atender a los clientes que vienen a abrir una nueva participación o a renovar una. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3 minutos. En promedio cada hora llegan 10 clientes que vienen a abrir una nueva participación y 18 clientes que vienen a renovar una. Ambas llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson. El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale $20 mientras que sólo evalúa en $9 la hora de un cliente que renueve. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza $15 la hora. El gerente considera 2 alternativas:

1. asignar una promotora exclusivamente para abrir participaciones y otra promotora para renovar participaciones

2. utilizar las dos promotoras para que trabajen juntas, en este caso su eficiencia conjunta es de dos minutos atendiendo indiferentemente para abrir y renovar participaciones.


37. Una compañía alimenticia distribuye sus productos por carretera. Los camiones

se cargan por medio de un equipo automatizado con un tiempo de servicio exponencial negativo de 5 minutos. El equipo automatizado requiere la presencia de un operador. La compañía, actualmente, sólo utiliza uno de sus cinco muelles de carga y existen quejas por los retrasos. El salario por hora de un operador es de $2,10, y el costo de espera es de $0.02 dólares por minuto para cada camión de la compañía y de $0.06 por minuto para cada camión de los transportistas independientes. Durante el pasado mes los camiones estuvieron llegando aleatoriamente, con una tasa media de 10 por hora. El 40% de los camiones son de la compañía. ¿Que recomendaciones se deberían hacer? El mismo problema pero con un costo ocioso por operario que es de 10 centavos por minuto

38. Llegan camiones a un muelle de carga, en forma aleatoria, con una tasa media de 8 por hora, con un tiempo de servicio exponencial negativo de 2n minutos por camión, donde n representa el numero de operarios que trabajan en conjunto en el muelle. El costo por operario es de 1$ la hora, el costo ocioso por operario es de 2 centavos de dólar por minuto y el costo de espera es de 6 centavos de dólar por minuto para cada camión. ¿Es aconsejable disponer de un segundo muelle de carga que contenga la misma cantidad de operarios que en el muelle principal?


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39. El gerente de un supermercado debe decidir a quién contratar de dos cajeras: María, que trabaja despacio y puede ser empleada por C1 = 3 $/hora; o Alicia que trabaja más rápido y cuesta C2 > C1. Ambas dan servicio exponencial a una tasa de 20 clientes/hora para María y 30 clientes/hora para Alicia. La llegada de clientes a la caja es Poisson con media 10 clientes/hora. El gerente estima que en promedio, el tiempo de cada cliente vale $0,02/minuto y debe ser tomado en cuenta en el modelo.

a. Encuentre el costo esperado/hora que se incurre al contratar a María. b. ¿Cuánto estaría usted dispuesto a pagarle a Alicia?

40. El Banco “ Mi Ahorro “ está estudiando dos configuraciones para sus

ventanillas de autobanco. El Plan 1 tendría tres ventanillas separadas cada uno con su línea. El Plan 2 tendría un carril que lleva a la entrada de la terna de ventanillas; el cliente iría en este caso a la primera que se desocupara. Se espera una llegada promedio de 70 clientes por hora con distribución Poisson. El tiempo de servicio varia exponencialmente con un promedio de dos minutos por cliente. El Banco estima que el costo por cliente será de 8$ por estar en el banco 15 minutos. El costo ocioso se estima en 18$/hora. ¿Qué plan debe adoptar el banco, para minimizar el costo esperado?

41. Una agencia de una sociedad financiera tiene cuatro promotoras para atender a los clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo A ó del tipo B, o renovar una del tipo A ó del tipo B. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 2,8 minutos. En promedio cada hora llegan 12 clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo A, 18 clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo B, 18 clientes que vienen a renovar una participación del tipo A, y 23 clientes que vienen a renovar una participación del tipo B. Las cuatro llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson. El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale 20 $ para los del tipo A y 18 $ para los del tipo B, mientras que sólo evalúa en 10 $ la hora de un cliente que renové, sea A ó B. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza 15 $ la hora. El gerente considera 2 alternativas:

a. asignar dos promotoras para abrir ó renovar participaciones del tipo A y las otras dos promotoras para abrir ó renovar participaciones del tipo B.

b. asignar dos promotoras para abrir participaciones del tipo A ó B y las otras dos promotoras para renovar participaciones del tipo A ó B.


42. El supermercado ORNELA actualmente tiene tres cajas de cobro. La compañía desea mejorar su servicio ya sea contratando dos nuevos cajeros ó mediante la instalación de un equipo de código de barras en las cajas ya existentes. Datos históricos indican que los clientes llegan de acuerdo con un proceso de Poisson a la rapidez de 60 por hora y que la cantidad de tiempo que un cajero necesita para atender a un cliente sigue una distribución


119

exponencial con una rapidez promedio de 25 clientes por hora. Los asesores estiman que modernizar los cajeros con un equipo de código de barra aumentaría la eficiencia en 30%. El departamento de contabilidad sugiere que el costo de un cliente en espera debería ser evaluado en $30 por hora, que el costo por hora de un cajero es de $10 y el costo ocioso es de $5 por hora Determinar si la compañía debe contratar a dos cajeros más o si debe instalar un equipo de lectura de código de barras en las cajas existentes. Considere ahora una cola en cada cajero. ¿Cuál es una tasa de servicio apropiada de los cajeros para igualar el tiempo esperado en el sistema del modelo óptimo anterior?

43. Una compañía arrendadora de automóviles, opera su propia instalación de lavado y limpieza de automóviles para prepararlos para su renta. También le hace servicio a otras empresas de renta de automóviles Los automóviles llegan a la instalación de limpieza en forma aleatoria a una tasa de 20 por día. La compañía arrendadora ha determinado que los automóviles pueden limpiarse a un ritmo de 2n por día, donde n es el número de personas que trabajan en un automóvil. Por ejemplo, si se encuentran 6 personas trabajando la tasa de lavado es de 12 automóviles por día. Se ha determinado que este procedimiento de lavado se ajusta a la distribución exponencial negativa. La compañía les paga a sus trabajadores 18$ por día y ha determinado que el costo por un automóvil que no esté disponible para rentarlo es de 120$ por día si pertenecen a la empresa y 90$ por día si pertenecen a las otras empresas, además el costo por trabajador ocioso es de 5$ la hora. Un día de trabajo es equivalente a 8 horas. El 45% de los automóviles que entran al autolavado son de las otras compañías Calcule en número de trabajadores que deben contratarse en la instalación de lavado, para que produzca el menor costo por día y hallar ese costo.

44. Una agencia de una sociedad financiera tiene tres promotoras para atender a los clientes que vienen a abrir una nueva participación o a renovar una. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3,5 minutos. En promedio cada hora llegan 12 clientes que vienen a abrir una nueva participación y 25 clientes que vienen a renovar una. Ambas llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson. El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale 18 $ mientras que sólo evalúa en 7 $ la hora de un cliente que renové. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza 12 $ la hora. El gerente considera 3 alternativas:

a. asignar una promotora exclusivamente a abrir participaciones y dos promotoras para renovar participaciones

b. asignar dos promotoras para abrir participaciones y una promotora para renovar participaciones

c. utilizar las tres promotoras indiferentemente para abrir y renovar participaciones.


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45. La central telefónica de un hotel está operada manualmente por una empleada que da servicio tanto a las llamadas que llegan desde afuera como a las que provienen del hotel. Ambas llamadas se distribuyen de acuerdo a una distribución de Poisson con tasa media de 20 y 16 llamadas por hora respectivamente. La empleada en promedio puede manejar 60 llamadas por hora y la distribución del tiempo necesario para atender a las llamadas es exponencial. Determinar: a) El tiempo promedio durante el cual la empleada está desocupada. b) El número promedio de llamadas esperando servicio. c) El tiempo promedio total de espera en cola de las llamadas desde el hotel. La gerencia esta considerando instalar un equipo que manejaría automáticamente las llamadas locales provenientes del hotel lo que reduciría a 8 llamadas por hora la tasa promedio de llamadas provenientes del hotel que llegan a la central. El costo de alquiler de este equipo es de 240 $ mensuales ( 1 mes= 200 horas hábiles). El costo promedio por hora y por persona que espera obtener su llamada desde el hotel es de 9 $. ¿Debe la gerencia instalar el equipo? En vez de instalar el equipo de discado directo se considera la alternativa de emplear una segunda centralista. Ambos empleadas son igualmente eficientes. d) Determinar el tiempo promedio durante el cual ambas empleadas están desocupadas, una sola esta trabajando y ambas están trabajando. Determinar la longitud promedio de la cola así como el tiempo promedio total de espera en cola de las llamadas desde el hotel. Si el costo de cada empleada es de 60 $ por día y el costo promedio por hora y por persona que espera obtener su llamada desde el hotel es de 9 $. ¿Será conveniente contratar la segunda empleada?

46. En un centro de Computación hay n computadoras para correr programas en cobol y en foltran, los programas llegan de acuerdo a una distribución de Poisson con una tasa media de 22 y 16 programas cada 30 minutos respectivamente. Cada computadora en promedio puede correr 30 programas por hora a una distribución exponencial. Si el tiempo de trabajo es de 10 horas al día, y el costo por computadora es de 250 Bs./h y además el costo en que se incurre por programa foltran que no se haya corrido es de 5 Bs./min y el de cobol es de 7 Bs./min. Hallar:

a. El número de computadoras necesarias para que funcione con el sistema de un solo canal.

b. Determinar el tiempo promedio durante el cual las computadoras están desocupadas, una solo esta trabajando, una sola esta desocupada y todas trabajando.

Estimar el costo diario para el sistema.


121

47. Una refinería distribuye sus productos mediante camiones que se cargan en el

terminal de carga. Se usan camiones de la compañía y camiones de distribuidores independientes. La tasa media de llegada (para todos los camiones) es de 6 por hora a una distribución de Poisson. En el terminal de carga pueden llenar 8 camiones por hora y la distribución del tiempo necesario para el llenado es exponencial. El 30% de todos los camiones son independientes, se trabaja 8 horas al día.

a. Determinar el tiempo total estimado que los camiones independientes esperan por día

b. Determinar si se debe activar otro terminal al lado con la misma eficiencia, sabiendo que el costo mensual por terminal es de 4.500 Bs. y el costo por no disponer de un camión de la empresa es de 800 Bs. la hora y de los independientes es de 900 Bs. la hora.

c. El tiempo promedio durante el cual ambos terminales están desocupados, uno solo esta activo y ambos están trabajando.

48. En la agencia de Terrazas del Ávila del Banco Futuro S.A.I.C.A. se realizan 3 operaciones distintas: apertura de cuentas, pago de cheques y cobro de tarjetas de crédito. Los operarios que prestan el servicio son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3 minutos. Cada hora llegan al banco 15 personas a cobrar cheques y 8 personas a pagar tarjetas de crédito. Cada 100 minutos llega al banco ocho personas para abrir una cuenta. De las siguientes 4 opciones, ¿cuál optimiza el manejo de los servicios?

a. 3 colas. una distinta para cada servicio. Un sólo cajero (operador) en cada cola.

b. 2 colas. Una cola para apertura de cuentas con un operador y otra para pago de cheques y cobro de tarjetas con dos operadores.

c. 2 colas. una cola para apertura de cuentas con un operador y otra para pago de cheques y cobro de tarjetas con 3 operadores.

d. Una sola cola y seis operadores. Cada operador ejecuta indistintamente cualquier operación.

49. El tiempo del cliente se valora en 100 bolívares la hora (para el banco) y el

tiempo de un operador cuesta 300 bolívares la hora. Por otro lado el tiempo ocioso de un operario representa una pérdida para el banco y se cotiza en 40 bolívares el día laborable. [un día laborable es igual a ocho horas] Haga un breve análisis de eficiencia (basada en el criterio de minimizar el tiempo "perdido" del cliente) vs. costos (para el banco).

50. Una agencia de una sociedad financiera tiene dos promotoras para atender a los clientes que vienen a abrir una nueva participación o a renovar una. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 3 minutos. En promedio cada hora llegan 10 clientes que vienen a abrir una nueva participación y 18 clientes que vienen a renovar una. Ambas llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson.


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El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale 20 $ mientras que sólo evalúa en 9 $ la hora de un cliente que renueve. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza 15 $ la hora. El gerente considera 2 alternativas:

a. Asignar una promotora exclusivamente para abrir participaciones y otra promotora para renovar participaciones

b. Utilizar las dos promotoras para que trabajen juntas, en este caso su eficiencia conjunta es de dos minutos atendiendo indiferentemente para abrir y renovar participaciones.


51. El Banco “ Mi Ahorro “ está estudiando dos configuraciones para sus ventanillas de autobanco. El Plan 1 tendría tres ventanillas separadas cada uno con su línea. El Plan 2 tendría un carril que lleva a la entrada de la terna de ventanillas; el cliente iría en este caso a la primera que se desocupara. Se espera una llegada promedio de 70 clientes por hora con distribución Poisson. El tiempo de servicio varia exponencialmente con un promedio de dos minutos por cliente. El Banco estima que el costo por cliente será de 8$ por estar en el banco 15 minutos. El costo ocioso se estima en 18$/hora. ¿Qué plan debe adoptar el banco, para minimizar el costo esperado?

52. Una agencia de una sociedad financiera tiene cuatro promotoras para atender a los clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo A ó del tipo B, o renovar una del tipo A ó del tipo B. Las promotoras son igualmente eficientes y el tiempo de servicio tiene una distribución exponencial con media de 2,8 minutos. En promedio cada hora llegan 12 clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo A, 18 clientes que vienen a abrir una nueva participación del tipo B, 18 clientes que vienen a renovar una participación del tipo A, y 23 clientes que vienen a renovar una participación del tipo B. Las cuatro llegadas se realizan de acuerdo a una distribución de Poisson. El gerente desea antes que todo satisfacer a los clientes que abren una nueva participación por lo que estima que una hora de su tiempo vale 20 $ para los del tipo A y 18 $ para los del tipo B, mientras que sólo evalúa en 10 $ la hora de un cliente que renové, sea A ó B. Por otro lado el tiempo ocioso de una promotora representa una pérdida para la agencia y se cotiza 15 $ la hora. El gerente considera 2 alternativas:

a. asignar dos promotoras para abrir ó renovar participaciones del tipo A y las otras dos promotoras para abrir ó renovar participaciones del tipo B.

b. asignar dos promotoras para abrir participaciones del tipo A ó B y las otras dos promotoras para renovar participaciones del tipo A ó B.


53.


123

RPTA

7

5. INVENTARIOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Juan Casas trabaja en la ferretería de su hermano y está a cargo de las compras, ha

determinado que la demanda anual de tornillos llega a 100,000 unidades. Ella estima

que cada vez que coloca un pedido, a la empresa le cuenta $10. Este costo incluye su

sueldo, el costo de los formularios que se utilizan para colocar pedido y otros trámites.

Además, calcula que el costo de mantener un tornillo en el inventario por periodo de

un año es de 0.5 centavos. Considere que la demanda es constante a lo largo del todo

el año.

a. Cuantos tornillos debería solicitar Juan Casas en un solo pedido si desea

minimizar el costo total de inventario.

b. Cuantos pedidos al año debería colocar?, Cual es el costo anual de realizar el

pedido

c. Cuál será el inventario promedio?, ¿Cuál es el costo anual de mantenimiento

de inventario?

Los pedidos de tornillo tardan 8 dias hábiles en llagar una vez realizado. Juan ha

observado que la ferretería de su hermano vende 500 tornillos por dia. Debido a que la

demanda es bastante constante, Juan cree que puede evitar los faltantes si lo pide en

el momento adecuado. ¿Cuál es el punto de reposición?


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2. Ken ha estado en el negocio maderero durante casi toda su vida. El mayor competidor

de Ken es Pacific Woods. Gracias a sus años de experiencia, él sabe que el costo de

realizar un pedido por cada orden de madera contrachapada es de $25 y que el costo

de mantenimiento es el 25% del costo unitario. Tanto Ken como Pacific Woods reciben

la madera contrachapada en cargas que tienen un costo de $100 cada uno. Incluso

ambos tienen al mismo proveedor de madera contrachapada y Ken pido averiguar que

su competidor hace pedidos por 4000 cargas cada vez. Tambien sabe que 4000

cargas son la EPQ de Pacific Woods. ¿Cuál es la demanda anual en cargas de

madera contrachapada de Pacific Woods?

3. Una tienda de maquinarias utiliza 2500 abrazaderas en un año, cantidad constante en

este periodo. Las abrazaderas se compran a un proveedor a un costo de $15 cada una

y el tiempo de entrega es de 2 días. El costo de mantenimiento de inventario por

abrazadera es de $1.50 (o el 10% de la unidad) mientras que el costo de realizar el

pedido es de $18.75. Hay 250 días laborales al año.

a) Cual es EOQ

b) Con esa EOQ, cual es el inventario promedio

c) Cuál es el costo anual de mantenimiento del inventario

d) Al minimizar los costos ¿Cuántos pedidos deberán hacerse por año?

e) Cuál es el tiempo entre pedidos

f) Cuál es el punto de reposición

4. Suponga que ASA Alimentos (refrescos Kanu) tine una demanda anual constante de

3600 cajas. Una caja de refresco le cuesta a ASA Alimentos S/. 3. Los costos de

pedido son de S/. 20 por pedido y los costos de mantenimiento de inventario son del

25% del valor del inventario. ASA Alimentos tiene 250 dias laborables por año y el

tiempo de entrega es de 5 dias. Identifique los aspectos siguientes de la politica de

inventario:

a) Cantidad Economica a pedir c) tiempo del ciclo

b) Punto de pedido o reorden d) Costo anual total

5. Rent a car adquiere repuestos directamente de la fábrica, la demanda de este

repuesto es constante con una demanda de 1000 componente mensuales (12,000

componentes anuales). Suponga que los costos de pedido son de S/. 25 por pedido y

el costo unitario de mantenimiento es de S/.2.50 por componente y los costos anuales

de mantenimiento son del 20% del valor del inventario. Rent a car tiene 250 días


125

laborables por año y el plazo de entrega es de 5 días. responda las siguientes

preguntas:

a) Cual es la cantidad de pedido c) Cual es el tiempo de ciclo

b) Cual es el punto de pedido o reorden d) Cuales son los costos totales

anuales de posición y de pedido

6. Crees Electronic manufactura componentes que se usan en la industria automotriz. Un

proveedor de Crees le suministra una pieza que tiene una demanda de 5000 unidades,

el costo de pedido es de $80 por pedido y el costo de mantenimiento es del 25%.

a) Si el costo de la pieza es de $20 por unidad. ¿Cuál es la cantidad económica de

pedido?

b) Suponga 250 días de operación al año. Si el plazo de entrega de un pedido es de

12 días. Cual será el punto de pedido?

c) Si el plazo de entrega de la pieza es de 7 semanas (35 días) ¿Cuál será el punto

de reorden o de pedido?

7. Suponga que una línea de producción opera de tal forma que fuese posible aplicar el

modelo del lote económico de inventario. Dado D=6400 unidades por año, Co=$100 y

Ch=$2 por unidad. Calcule el tamaño del lote de producción de costo mínimo para

cada una de las siguientes tasas de producción.

a) 8000 unidades por año c) 32,000 unidades por año

b) 10,000 unidades por año d) 100,000 unidades por año

8. Juan Benítes trabaja en la ferretería de su hermano y está a cargo de las compras, ha

determinado que la demanda anual de tornillos de 6” llega a 100,000 unidades. El

estima que cada vez que coloca un pedido a la empresa le cuesta S/. 10. Este costo

incluye su sueldo, el costo de los formularios que utiliza para colocar el pedido y otros

trámites. Además calcula que el costo por mantener un tornillo en inventario en un

periodo de un año es de 9 centavos. Considere que la demanda es contante a lo largo

de todo el año.

a) ¿Cuántos tornillos de 6” debería solicitar Juan Benítes en un solo pedido, si desea

minimizar el costo total del inventario?.

b) ¿Cuántos pedidos al año debería colocar?. ¿Cuál sería el costo anual de realizar

el pedido?

c) ¿Cuál sería el inventario promedio?. ¿Cuál sería el costo anual de mantenimiento

de inventario?


126

9. Bárbara es agente de compras de “Válvulas Industriales SA”. Una de las válvulas más

populares es la del tipo Western, que tiene una demanda anual de 4000 unidades. El

costo de cada válvula es de $90, mientras que el costo de mantenimiento del

inventario se estima en 10% del costo de cada válvula. Bárbara ha realizado un

estudio acerca de los costos involucrados cuando se coloca un pedido de cualquiera

de las válvulas y ha concluido de que el costo promedio de realizar un pedido es de

$25.

a) Cuál es el EOQ

b) Cuál es el inventario promedio.

c) ¿Cuál es el costo anual de mantenimiento del inventario?

d) Cuantos pedidos se colocarían al año

e) Cuál es el costo anual por realizar un pedido?

10. Suponga que es apropiado el programa de descuentos por cantidad. Si la demanda

anual es de 120 unidades, los costos de pedido son S/.20 por pedido y la tasa de

costo de mantenimiento anual es del 25%. ¿Qué cantidad recomendaría usted?

Tamaño del pedido Descuento (%) Costo unitario 0 a 49 0 S/. 30.00 50 a 99 5 28.50 100 a mas 10 27.00

11. Aplique el modelo EOQ al siguiente descuento por cantidad en la cual la demanda

D=500 unidades anuales, Co = $40 y la tasa de costo de mantenimiento es del 20%.

¿Qué cantidad a pedir recomendaría usted?

12. Zapaterías ECCO tiene un modelo de zapato de vestir para hombres, se vende a una

tasa constante aproximada de 500 pares de zapatos cada 3 meses (2000 anuales). La

política de adquisición es de pedir 500 pares cada vez que coloca un pedido. a ECCO

le cuesta S/. 30 colocar un pedido. la tasa de costo de mantenimiento anual es del

20%. Con la cantidad a pedir de 500 Ecco obtiene los zapatos al costo unitario más

bajo posible de S/. 28 por par. Otros descuentos ofrecidos por el fabricantes son:

Clase dcto Tamaño del pedido Precio por par 1 0 a 99 S/. 36.00 2 100 a 199 32.00 3 200 a 299 30.00 4 300 a mas 28.00

¿Cuál es la cantidad a pedir de minimice los costos para los zapatos?, ¿Cuáles son

los ahorros anuales de su política de inventarios en comparación con la política

utilizado actualmente por ECCO?


127

13. Tiendas Olini es una tienda de zapatos, la demanda anual de una sandalia popular es

de 500 pares y el gerente tiene la costumbre de hacer pedidos de 100 pares. El estima

que el costo por realizar el pedido es de $10 por pedido. El costo del par de sandalias

es de $5. Para que la política del gerente sea la correcta. ¿Cuál debería ser el costo

de mantenimiento de inventario como un porcentaje del costo unitario?. Si el costo de

mantenimiento fuera de 10% del costo, ¿Cuál sería la cantidad optima de pedido?

14. Una gasolinera vende 4000 litros de gasolina al mes. Por rellenar los tanques de la

gasolinera, cobra $50.7. El coste anual de almacenamiento de un litro es de $0.3.

a) ¿Cuántos litros de gasolina se deben pedir?

b) ¿Cuántos pedidos se hacen por año?

c) ¿Cuánto tiempo pasa entre dos pedidos?

d) Si el tiempo de entrega es de L=2 semanas, cual es el punto de reorden?

(Suponer 1 semana=1/52 año, mes=4 semanas)

15. La tienda de maquinaria de Ross White utiliza 2500 abrazaderas en un año, cantidad

relativamente constante en ese periodo. Las abrazaderas se compras a un proveedor

ubicado a 100 Km de distancia a un costo de $15 cada una, y el tiempo de entrega es

de 2 días. El costo de mantenimiento de inventario por abrazadera es de$1.50 (o 10%

del costo unitario) mientras que el costo de realizar el pedido es de $18.75. Hay 250

días laborales al año.

a) Cuál es el EOQ

b) Con esa EOQ cuál es el inventario promedio

c) Cuál es el costo anual de mantenimiento

d) Al minimizar los costos, cuantos pedidos deberán hacerse por año

e) Cuál será el costo anual de pedidos

16. Cada año North Manufacturing tiene una demanda de 1000 bombas. El costo de una

bamba es de $50. A la empresa le cuesta $40 colocar el pedido y el costo de

mantenimiento es igual al 25% del costo de la unidad. Si las bombas se expiden en

cantidades de 200 unidades, North Manufactuing puede obtener 3% de descuento

sobre el costo de las bombas. ¿Deberá la empresa hacer un pedido de 200 unidades y

obtener el descuento del 3$?

17. Georgia Products ofrece el siguiente programa de descuento para sus hojas de

madera contrachapadas de 4x8 pies cada una


128

Pedido Costo Unitario ($) 9 láminas o menos 18.00 10 a 50 laminas 17.50 Más de 50 laminas 17.25

Home Company compra maderas contrachapadas a Georgia Products. Elcosto de

Home Company por realizar el pedido es de $45. El costo de mantenimiento de

inventario es del 20% y la demanda anual es de 100 hojas. ¿Cuál es su

recomendación?

Rpta: Cantidad de pedido = 51 Costo Total = $1901.22

18. De un artículo, cuyo precio de compra es de $100 para cantidades menores de 1.000

unidades y $92.5 para cantidades superiores. Se necesitan 2400 unidades por año.

Calcular el pedido óptimo sabiendo que el coste de lanzamiento de cada pedido es de

$3.500 y que los gastos de almacenaje pueden considerarse al 0.6% del precio de

compra unitario.

19. El precio de compra de un artículo es de $1000 por unidad, para cantidades menores

de 500, y de $925 para cantidades entre 500 y 4000. Para cantidades superiores a

4000, el precio de compra es de $850.

El coste de lanzamiento de cada pedido es de $35000. Con un coste de

almacenamiento igual a un 0.06% el precio de compra unitario, y una demanda de

24.000 unidades al año, calcular el pedido y el coste óptimos.

20. Una tienda de televisores vende un promedio de 100 televisores mensuales. El coste

de tener un televisor almacenado durante un año se estima en 4 u.m. debido a la

pérdida de actualidad. A la tienda le cuesta 120 u.m. hacer un pedido. El precio de los

televisores varía según la cantidad pedida: De 1 a 10, 10 u.m.; de 11-40, 9 u.m.; de

41-100, 7 u.m.; más de 100, 5.5 u.m. Calcular el número de televisores que debe pedir

la tienda.

21. Una empresa que comercializa agujas hipodérmicas indoloras en los hospitales, desea

reducir sus costos de inventario mediante la determinación del número de agujas

hipodérmicas que debe obtener en cada orden. La demanda anual es de 1,000,000

unidades; el costo de preparación o de ordenar es de $10,000 por orden; y el costo de

manejo por unidad de año es de $25,000. Utilizando estos datos, calcule el número

óptimo de unidades por orden (Q*), el número de órdenes (N), el tiempo transcurrido

(T), y el coso total anual del inventario. Utilizar un año calendario de 360 días.

Determinar:


129

a) El tamaño del pedido que optimizará el inventario.

b) Número de pedidos por año.

c) Número de días entre cada pedido.

d) Coso total anual del inventario.

22. Suponga que usted está revisando la decisión del tamaño del lote para una empresa

que tiene una capacidad de producción de 8.000 unidades por año, una demanda de

2.000 unidades por año, con costo de producción de $300.000 por unidad y un costo

de posesión de $1.600 por unidad por año y fabricando lotes de producción de 500

unidades cada 3 meses. El tiempo de entrega es de 20 días y la empresa trabaja

durante 360 días en el año (suponga que cada mes tiene 30 días). ¿Recomendaría

usted cambiar el tamaño del lote de producción actual? Explique y justifique

claramente su respuesta.

23. Cierto restaurante para su uso de venta de bebidas, enfrenta una demanda de 120

vasos diarios, y opera 360 días al año. Los vasos tienen un Costo de 40 ($/docena).

Para enviar una orden de pedido, el restaurante tiene que pagar 2.000 ($/orden). El

mantener inventario le significa un costo de orden del 50% debido a muchas pérdidas

producidas por sus empleados, que diariamente quiebran muchos vasos. ¿Evalúe la

política de inventarios si se hacen pedidos una vez al mes?

24. Cummins S.A., compra directamente al proveedor un componente que usa en la

manufactura de generadores para automóviles. La operación de producción del

generador de Cummins, que trabaja a una tasa constante, requerirá 1 000

componentes por mes a lo largo del año (12 000 unidades anuales). Suponga que los

costos de ordenar son $2 500 000 por pedido, el costo unitario es $250 000 por

componente y los costos de mantener anuales son 20% del valor del inventario.

Cummins tiene 250 días hábiles anuales y un tiempo de entrega de 5 días.

a. ¿Cuál es el Lote Económico a Ordenar para este componente?

b. ¿Cuál es el punto de reordenación?

c. ¿Cuál es el tiempo de ciclo?

d. ¿Cuáles son los costos totales anuales de mantener y de ordenar asociados con el

LEO recomendados?


130

6. PROGRAMACION LINEAL

Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los

avances científicos más importantes del siglo XX. En la actualidad es una herramienta

común que ha ahorrado miles o millones de dólares a muchas compañías y negocios,

LA PROGRAMACIÓN LINEAL trata la planeación de las actividades para obtener un

resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada entre

todas las opciones de solución. Aunque la asignación de recursos limitados entre las

actividades competitivas de la mejor manera posible es la aplicación más frecuente, la

PL tiene muchas otras posibilidades.

El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser

funciones lineales. La palabra programación se refiere a planeación.

La PL es una técnica determinista, es decir, no incluye probabilidades, en cambio

utiliza un modelo matemático para describir el problema.

Aquellos que manejan y controlan sistemas de hombres y equipos se enfrentan al

constante problema de mejorar (optimizar) el rendimiento del sistema. El problema

puede ser reducir el costo de operación y a la vez mantener un nivel aceptable de

servicio, proporcionar un mayor nivel de servicio sin aumentar los costos, o "mejorar"

un aspecto de la calidad del producto sin reducir la calidad de otros aspectos.

Un modelo puede considerarse como una entidad que captura la esencia de la

realidad sin la presencia de la misma. Una fotografía es un modelo de la realidad

ilustrada en la imagen, el modelo captura algún aspecto de la realidad que intenta

representar. Un modelo matemático es un sistema de ecuaciones o desigualdades que

representa determinados aspectos del sistema físico representado en el modelo.

A fin de definir las condiciones que nos conducirán a la solución del problema, el

analista primero debe identificar un criterio (función objetivo) que maximice o

minimice el sistema. Este criterio a menudo se denomina medida del rendimiento o

medida de efectividad. En aplicaciones empresariales, la medida de efectividad

generalmente son los costos o las utilidades.


131

6.1. ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PROG. LINEAL

a. Variables: Representan la información para la toma de decisiones Sus valores o

resultados son determinadas por el modelo. Las variables pueden ser:

Variables de decisión: Aquellas que nos indican la acción o alternativa que

debemos seguir para conseguir un determinado objetivo

Variables auxiliares: Sirven de apoyo para los cálculos de las variables de

decisión, tales como variables de inventarios, holgura, desviación, etc.

b. Parámetros: Es toda información conocida a priori e invariable para el horizonte

de planeación del modelo. Deben estar expresados en alguna unidad de medición

o métrica. Estos parámetros pueden ser

Coeficiente de la función Objetivo (Cj): Son factores que corresponden por

cada variable de decisión. Tales como: utilidades, precios de venta, costos,

ponderaciones, etc. Expresados de manera unitaria por producto o actividad

Coeficiente tecnológico (Aij): Son factores que corresponden por cada

variable de decisión y restricción. Tales como ratio de consumo o demanda de

producto o actividad sobre un recurso.

Coeficiente de recurso (bj): Son factores que corresponden por cada

restricción. Tales como disponibilidad de un recurso limitado. Las cuales

pueden ser recursos materiales, financieros o recursos humanos. También

puede expresar una condición o cuota a cumplir.

c. Función Objetivo: Es una expresión de variables que representa el objetivo que

se desea alcanzar y expresa la cuantificación de la efectividad en una unidad de

medida. Puede ser de dos maneras:

1. Maximizar (Max): En un problema se podría requerir, aumentar lo mas posible:

las utilidades o los ingresos por ventas, efectividad de políticas alternativas,

volumen, probabilidad de éxito.

2. Minimizar (Min): En un problema se desearía reducir lo mas posible: costos,

mermas, desviaciones sobre una condición o restricción, el tiempo de

finalización de un trabajo, riesgo, etc.

d. Restricciones: Son relaciones entre las variables y parámetros que se

representan por desigualdades o ecuaciones, resulta debido a limitaciones de


132

recursos. Las restricciones están expresadas en una unidad homogénea a ambos

lados de la ecuación o desigualdad.

El siguiente modelo formula un modelo matemático para un problema general de

asignación de recursos a actividades.

Si existiese la condición de que a lo menos una de las variables debiera ser entera,

entonces el modelo sería de Programación Lineal Entera.

Cualquiera discrepancia respecto de la linealidad en la Función objetivo y/o en las

restricciones del problema conduciría a un modelo de Programación No Lineal.

UN PROBLEMA SIMPLE DE MAXIMIZACION

RMC es una empresa que produce diversos productos químicos. En un proceso de

producción en particular, se utilizan 3 materias primas para elaborar 2 productos:

Un aditivo para combustible y una base disolvente

El aditivo para combustible se vende a empresas petroleras y se utiliza en la

producción de gasolina y otros combustibles relacionados. La base disolvente se

vende a empresas químicas y se utiliza para la fabricación de productos de limpieza.

Para formar el aditivo y la base disolvente se mezclan las 3 materias primas

Producto M. Prima 1 M. Prima 2 M. Prima 3

Aditivo para combustible 2/5 0 3/5

Base disolvente 1/2 1/5 3/10

Cantidad disponible para producción

20 ton 5 ton 21 ton


133

En esta tabla muestra que 1 tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de

2/5 ton de Materia prima 1 y 3/5 ton de materia prima 3

Debido a deterioro y la naturaleza del proceso de producción, cualquier materia prima

que no se utilice para la producción actual resulta inútil y debe desecharse.

El departamento de control de calidad ha analizado las cifras de producción,

asignando todos los costos correspondientes, llegando a establecer una contribución a

la utilidad de $40 para cada tonelada de aditivo para combustible y $30 por cada

tonelada de base disolvente producido.

El problema de RMC es determinar cuantas toneladas de cada producto deberá

producir para maximizar la contribución total a la utilidad. Esto es ¿Cuántas toneladas

de aditivo y cuantas toneladas de base disolvente deberá producir para el periodo

actual de producción?

MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PARA RMC

a) Función Objetivo

El objetivo de RMC es maximizar la contribución total a la utilidad. Podemos

escribir este objetivo como: (Variables de decisión)

Si se producen x1 toneladas de aditivo para combustible la empresa gana $40X1

Si se producen x2 toneladas de base disolvente la empresa gana $30X2,

Identificamos la producción total (Z), como la utilidad total de la empresa como:

Contribución total a la utilidad = Z = 40X1 + 30X2 (Función Objetivo)

RMC debe determinar los valores de las variables X1 y X2 que den el valor mas

elevado posible de Z

b) Restricciones

El total de materia prima 1 para producir x1 toneladas de aditivo para

combustible y x2 toneladas de base disolvente debe ser menor o igual a la

cantidad de toneladas disponible de materia prima 1 que tiene RMC, es decir

2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20 (Disponibilidad de Materia Prima 1)


134




0X1 + 1/5X2 ≤ 5




3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21

Para evitar que RMC no produzca un numero negativo de toneladas de aditivo

o base disolvente, deberán agregarse 2 restricciones llamadas restricciones

de no negatividad X1, X2 ≥0

La formulación matemática del problema de RMC, ahora esta completo, y queda

que esta forma:

Maximizar Z = 40 X1 + 30 X2

Sujeto a

2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20 Materia Prima 1

1/5 X2 ≤ 5 Materia Prima 2

3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21 Materia Prima 3

X1, X2 ≥ 0

Ahora nuestra tarea es encontrar la mezcla de productos (es decir, las combinaciones

de X1 y X2) que satisfaga todas las restricciones y al mismo tiempo, nos de un valor

máximo de la función objetivo.

6.2. SOLUCION GRAFICA DE PROGRAMACION LINEAL

1. Se grafica el conjunto factible.

2. Se encuentran las coordenadas de todas las esquinas de la región factible.

3. Se evalúa la función objetivo Z en cada esquina.

4. Se halla el vértice que proporcione el máximo (mínimo) de la función objetivo. Si

sólo existe un vértice con esta propiedad, entonces constituye una solución única

del problema. Si la función objetivo se maximiza (minimiza) en dos esquinas

adyacentes de S, entonces existe una infinidad de soluciones óptimas dadas por

los puntos del segmento de recta determinado por estos dos vértices.


135

SOLUCION GRAFICA DEL PROBLEMA DE RMC

Paso 1: Hacemos el plano cartesiano de X1 (eje vertical) y X2 (eje horizontal)

Paso 2: Graficamos las restricciones

Restricción 1 Restricción 2 Restricción 3

2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20 1/5 X2 ≤ 5 3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21

Si X1=0, tenemos Si X1=0, tenemos

½ X2 ≤ 20 X2 ≤ 40 (0,40)

3/10 X2 ≤ 21 X2 ≤ 70 (0,70)

Si X2 = 0, tenemos X2 ≤ 25 Si X2=0, tenemos

2/5 X1 ≤ 20 X1 ≤ 50 (50,0)

3/5 X1 ≤ 21 X1 ≤ 35 (35,0)

Una vez que tenemos la región factible, encontramos los puntos extremos de la región

factible. Estos puntos es la intersección de las restricciones en la que cruza la línea.

Ejemplo:

Si Restricción 1 = restricción 3 nos da los puntos X1=25, X2 = 20

Si Restricción 1 = restricción 2 nos da los puntos X1=18.75, X2 = 25

Una vez teniendo los puntos extremos de la región factible, se prueba ingresando X1 y

X2 en la función objetivo y tomamos el valor mas alto posible

X1 X2 FO : Z = 40X1 + 30X2

0 25 Z = 750

18.75 25 Z = 1500

25 20 Z = 1600

35 0 Z = 1400

Restriccion 1 (materia Prima1)

50, 0

0, 40

05

10

15202530

354045

0 10 20 30 40 50 60

Restriccion 2 (materia Prima 2)

0, 2530, 25

0

5

10

15

20

25

30

0 10 20 30 40

Restriccion 3 (materia Prima 3)

35, 0

0, 70

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50

0

10

20

30

0 10 20 30 40

(35,0)

(0,25) (18.75,25)

(25,20)


136

6.3. VARIABLES DE HOLGURA (SLACK en ingles)

Además de la solución optima (X1 y X2 óptimos) y su contribución a la utilidad

asociada (Z), la administración de RMC, deseara tener información sobre las

necesidades de producción de las 3 materias primas. Podemos obtener esta

información reemplazando en las restricciones del programa líneas las variables de

solución óptima x1=25, x2=20

Restricción Toneladas requeridas para

x1 = 25 y x2 = 20

Toneladas

disponibles

Toneladas no

utilizadas

Mat. Prima1 2/5(25) + ½(20) = 20 20 20 - 20 = 0

Mat. Prima2 0(25) + 1/5(20) = 4 5 5 - 4 = 1

Mat. Prima3 3/5(25) + 3/10(20) = 21 21 21 - 21 = 0

Por lo que la solución completa le indica a la administración que la producción de 25

toneladas de aditivo para combustible y de 20 toneladas de base disolvente requerirá

de toda la materia prima disponible 1 y 3, pero solamente cuatro de las 5 toneladas de

la materia prima 2. La tonelada sin utilizar de la materia prima se llama holgura.

En Programación Lineal, cualquier capacidad sin utilizar y ociosa para una

restricción menor o igual (≤) se llama holgura asociada con la restricción.

Al modelo de PL a menudo se agregan variables conocidas como variables de

holgura, para representar la capacidad ociosa. Esta capacidad sin utilizar no hace

ninguna contribución a la utilizad, por lo que las variables de holgura tienen

coeficiente igual a cero.

De manera general, las variables de holgura representan la diferencia entre el lado

derecho y el lado izquierdo de una restricción menor o igual (≤)

Modelo PL Forma Estándar

Max. Z = 40X1 + 30X2

Sujeto a

2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20

1/5 X2 ≤ 5

3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21

X1, X2 ≥ 0

Max. Z = 40X1 + 30X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

Sujeto a

2/5 X1 + ½ X2 + S1 = 20

1/5 X2 + S2 = 5

3/5 X1 + 3/10 X2 + S3 = 21

X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0

Variable de Holgura

≤


137

En el método grafico se puede apreciar la holgura

Al determinar la solución óptima, vemos que la restriccion1 y la restriccion3, limitan o

restringen la región factible hasta ese momento.

UN PROBLEMA SIMPLE DE MINIMIZACION

Innis Investments administra fondos de empresas y clientes pudientes. La estrategia

de innovación se adecua a las necesidades de cada cliente. Para un cliente nuevo a

Innis se le ha autorizado invertir hasta 1.2 millones $ en dos fondos de inversión: un

fondo de acciones que cuestan $50 cada unidad y con una tasa de rendimiento anual

de 10%; cada unidad y un fondo de mercado de dinero que cuesta $100, con una tasa

de rendimiento anual del 4%.

El cliente desea minimizar el riesgo, pero quiere tener un ingreso anual sobre la

inversión de por lo menos $60,000. De acuerdo con el sistema de medición del riesgo

de Innis, cada unidad adquirida en el fondo de acciones tiene un índice de riesgo de 8,

y cada unidad adquirida en el fondo de mercado dinero tiene un índice de riesgo de 3

El índice de riesgo mas elevado asociado con el fondo de acciones indica que

simplemente que se trata de la inversión mas riesgosa. El cliente de Innis también ha

especificado que se invierta por lo menos $300,000 en el fondo de de mercado de

dinero. ¿Cuántas unidades de cada uno de los fondos deberá adquirir Innis para el

cliente, si el objetivo es minimizar el índice de riesgo total para esta cartera?

SOLUCION

Para encontrar la mejor asignación de fondos entre acciones y mercado de dinero,

formularemos el problema como un modelo lineal. Primero definamos las variables:

X1 = Numero de unidades adquiridas en el fondo de acciones

X2 = Numero de unidades adquiridas en el fondo de mercado de dinero

0

10

20

30

0 10 20 30 40

(35,0)

(0,25) (18.75,25)

(25,20)5) 8.75,25)

(25,2


138

FUNCIÓN OBJETIVO

La función objetivo que minimice el riesgo total para la cartera será:

Min 8X1 + 3X2

RESTRICCIONES

1. Innis solo puede invertir hasta 1’200,000 dólares, dado que cada unidad de

fondo cuesta $50 y cada unidad de fondo de mercado cuesta $100. tenemos

50X1 + 100X2 ≤ 1’200,000

2. La inversión debe tener un ingreso anual de por lo menor $60,000. como cada

unidad adquirida del fondo de acciones tendrá una utilidad de 10%($50) = $5,

similarmente cada unidad adquirida del fondo de mercado de dinero tendrá una

utilidad de 4%($100) = $4, entonces la utilidad total es de :

5X1 + 4X2 ≥ $60,000

3. El requisito en que por lo menor invierta $300,000 en el fondo de mercado de

dinero a $100 cada unidad, entonces deberán adquirir 3000 unidades en el

fondo del mercado de dinero X2 ≥ 3000

Después de agregar las restricciones de no negatividad, encontramos el modelo

completo de programación lineal para el problema de Innis Investment

Min Z = 8X1 + 3X2

Sujeto a

50X1 + 100X2 ≤ 1’200,000 Fondos disponibles

5 X1 + 4 X2 ≥ 60,000 Ingreso anual

X2 ≥ 3000 Unidades mínimas mercado de dinero

X1, X2 ≥ 0

12000

0

15000

0

30003000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

0 5000 10000 15000 20000 25000 30000

Xa

Xb

Tpo de contruccion Tpo de pintura Mdo dinero

Pto optimo(4000,10000)

50X1 + 100X2 = 1200,000

5X1 + 40X

2 =60,000

50x1 + 100x2 = 1200,000 (/-10) 5x1 + 4x2 = 60,000 -5X1 – 10X2 = 120,000 5X1 + 4X2 = 60,000 6X2 = 60,000 X2 = 10,000 X1 = 4,000


139

6.4. VARIABLES EXCEDENTES (SURPLUS en ingles)

Un análisis completo de la solución óptima para el problema de Innis Investments

muestra un índice de riesgo total para la cartera óptima es de:

8x1 + 3x2 = 8(4000) + 3(10,000) = 62,000

Restricción 1: 50x1 + 100x2 = 50(4000) + 100(10,000) = 1’200,000 ≤ 1’200,000

Restricción 2: 5x1 + 4x2 = 5(4000) + 4(10,000) = 60,000 ≥ 60,000

Restricción 3: x2 ≥ 3000 10,000 ≥ 3000

Observe como la adquisición de 10,000 unidades en el fondo de mercado excede en

7000 unidades el requisito mínimo de 3000 unidades (restricción 3)

En Programación lineal cualquier cantidad en exceso (excedente) correspondiente a

una restricción ≥ se le conoce como excedente

Recuerde que:

Con una restricción ≤ se puede agregar una variable de holgura en el lado

izquierdo de la restricción para convertirla en una igualdad.

En una restricción ≥ se puede agregar una variable excedente en el lado

izquierdo de la restricción para convertirla en una igualdad.

Igual que las variables de holgura, en la función objetivo a las variables excedentes se

les da un coeficiente de cero, ya que no tienen ningún efecto sobre su valor. Después

de incluir la variable de holgura en el modelo se convierte en:

Modelo PL Forma Estándar

Min. Z = 8X1 + 3X2

Sujeto a

50 X1 + 100 X2 ≤ 1’200,000

5 X1 + 4 X2 ≥ 60,000

X2 ≥ 3000

X1, X2 ≥ 0

Min. Z = 8X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3

Sujeto a

50 X1 + 100 X2 + S1 = 1’200,000

5 X1 + 4 X2 – S2 = 60,000

X2 – S3 = 3000

X1, X2, S1, S2, S3 ≥ 0

En la solución óptima X1 = 4000 y X2 = 10,000, los valores de las variables de holgura

y excedente son:


140

Restricción Variable Valor de la variables

Fondos Disponibles Holgura S1 = 0

Ingreso anual Excedente S2 = 0

Unidades mínimas mercado dinero Excedente S3 = 7000

Observe que el problema de RMC todas las restricciones eran del tipo ≤, y que en el

Innis Investments son una combinación de ≤ o ≥.


141

6.5. ANALISIS DE SENSIBILIDAD EN PL

El análisis de sensibilidad es una de las partes más importantes en la programación

lineal, sobretodo para la toma de decisiones; pues permite determinar cuando una

solución sigue siendo óptima, dados algunos cambios ya sea en el entorno del

problema, en la empresa o en los datos del problema mismo.

Este análisis consiste en determinar que tan sensible es la respuesta óptima al cambio

de algunos datos como las ganancias o costos unitarios (coeficientes de la función

objetivo) o la disponibilidad de los recursos (términos independientes de las

restricciones).

La variación en estos datos del problema se analizará individualmente, es decir, se

analiza la sensibilidad de la solución debido a la modificación de un dato a la vez,

asumiendo que todos los demás permanecen sin alteración alguna.

Esto es importante porque estamos hablando de que la sensibilidad es estática y no

dinámica, pues solo contempla el cambio de un dato a la vez y no el de varios.

El análisis de sensibilidad es el estudio de la forma de en que los cambios en los

coeficientes de un programa lineal afectan a la solución optima

El Objetivo Principal del Análisis de Sensibilidad es establecer un intervalo de

números reales en el cual el dato que se analiza puede estar contenido, de tal manera

que la solución sigue siendo óptimo siempre que el dato pertenezca a dicho intervalo.

Dado que el análisis de sensibilidad se ocupa de la manera en que los cambios

citados afectan a la solución optima, el análisis solo se inicia cuando se ha obtenido la

solución óptima del problema original. Por esta razón el análisis de sensibilidad se le

conoce como análisis de postoptimilidad.


142


1.- Para el programa lineal

Max. 4X1 + 1X2 Sujeto a 10X1 + 2X2 ≤ 30 3X1 + 2X2 ≤ 12 2X1 + 2X2 ≤ 10 X1, X2 ≥ 0

a) Escriba el problema en forma estándar

b) Resuelva el problema con el método grafico

Rpta. X1 = 2.572 y X2 = 2.143;


Max. 3X1 + 4X2 Sujeto a -1X1 + 2X2 ≤ 8

1X1 + 2X2 ≤ 12 2X1 + 1X2 ≤ 16 X1, X2 ≥ 0

a) Escriba el problema en forma estándar

b) Resuelva el problema con el método grafico

3.- Considere el programa lineal siguiente

Min 3X1 + 4X2 Sujeto a 1X1 + 3X2 ≥ 6

1X1 + 1X2 ≥ 4 X1, X2 ≥ 0

Identifique la región factible y encuentre la solución óptima

Rpta: X1 = 3; X2 = 1 Z=13

4.- Considere el programa lineal

Min X1 + 2X2

Sujeto a

X1 + 4X2 ≤ 21

2X1 + X2 ≥ 7

3X1 + 1.5X2 ≤ 21

-2X1 + 6X2 ≥ 0

a) Encuentre la solución óptima y el valor de la función objetivo

b) Determine la cantidad de holgura o excedente de cada una de las restricciones.


143

c) Suponga que la función objetivo se modifica a Max 5X1 + 2X2. Encuentre la

solución optima del valor de la función objetivo

Rpta: X1 = 3, X2 = 1 Z = 5


Min. 6X1 + 4X2

Sujeto a 2X1 + 1X2 ≥ 12

1X1 + 1X2 ≥ 10

1X2 ≤ 4

X1, X2 ≥ 0

a) Resuelva el problema usando el método grafico

b) Cuáles son los valores de las variables de holgura y de excedente

Rpta. X1 = 6; X2 = 4 Z = 52

6.- Considere el siguiente problema lineal

Max. 1X1 + 1X2

Sujeto a 5X1 + 3X2 ≤ 15

3X1 + 5X2 ≤ 15

X1, X2 ≥ 0

Encuentre la solución óptima Rpta (X1 = 1.88; X2 = 1.88; Z = 3.75)

7.- Considere el programa lineal

Max. 2X1 + 3X2

Sujeto a 1X1 + 1X2 ≤ 10

2X1 + 1X2 ≥ 4

1X1 + 3X2 ≤ 24

2X1 + 1X2 ≤ 16

X1, X2 ≥ 0

Resuelva el programa utilizando la solución grafica

8. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La

empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos

más grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una

para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que

caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos como

máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá de repartir


144

de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

RPTA 50 de A y 100 de B

9. En una fábrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal

valen 450 pesetas y las halógenas 600 pesetas. La producción está limitada por el

hecho de que no pueden fabricarse al día más de 400 normales y 300 halógenas

ni más de 500 en total. Si se vende en toda la producción, ¿cuántas de cada clase

convendrá produccir para obtener la máxima facturación?

RPTA 200 normales y 300 halógenas

10. Una compañía aérea tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto.

El avión A debe hacer más veces el trayecto que el avión B pero no puede

sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer más de 60 vuelos pero

no menos de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700

litros. En cada viaje del avión A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada

viaje del B. ¿Cuántos viajes debe hacer cada avión para obtener el máximo de

ganancias? ¿Cuántos vuelos debe hacer cada avión para que el consumo de

combustible sea mínimo? RPTA La máxima ganancia se obtiene con

120 viajes del avión A y 80 del avión B y es de 52 millones de pesetas.

El mínimo consumo se obtiene con 30 viajes de cada avión y es 48000 litros

11. Una fábrica de carrocerías de automóviles y camiones tiene dos fabricas. En la

fabrica A, para hacer la carrocería de un camión, se invierten 7 días-operario, para

fabricar la de un coche se precisan 2 días-operario. En la fabrica B se invierten tres

días operario tanto en carrocerías de camión como de coche. Por limitaciones de

mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 días operario, y la nave B

de 270 días-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camión son de 6

mil soles y por cada automóvil 2 mil soles, ¿cuántas unidades de cada uno se

deben producir para maximizar las ganancias?

RPTA 66 automóviles y 24 camiones

12. Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azúcar y 27’5 kg de mantequilla para

hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P

necesita 3 kg de harina, 1 kg de azúcar y 1 de mantequilla y para hacer una

docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 0’5 kg de azúcar y 1 kg de mantequilla.

El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo


145

Q es 30. Halla, utilizando las técnicas de programación lineal, el número de

docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea máximo.

RPTA 5 docenas de pasteles del tipo P y 22. 5 docenas de pasteles del tipo Q

13. Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A a 200 ptas. la unidad y

de la clase B a 150 ptas. En la producción diaria se sabe que el número de

rotuladores de la clase B no supera en 1000 unidades a los de la A; además, entre

las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la clase B no bajan de 1000

unidades por día. Hallar el costo máximo y mínimo de la producción diaria.

RPTA La solución óptima mínima es producir 1000 rotuladores de clase B y

ninguno de la clase A, siendo el costo mínimo diario de 150000 pesetas.

La solución óptima máxima es producir 2000 rotuladores de la clase A y 1000

de la clase B, siendo el costo máximo de 550000 pesetas

14. Una compañía fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricación de los

sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La

fabricación de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una

de montaje. La fabricación del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de

pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada

una, de un máximo de 1.500 horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el modelo

Bae se vende a 10.000 pesetas y el modelo Viz a 12.000 pesetas, ¿qué cantidad

de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual?

RPTA 300 sombreros del tipo Bae y 300 sombreros del tipo Viz

15. Cada mes una empresa puede gastar. Como máximo, 1.000.000 ptas. en salarios

y 1.800.000 ptas. en energía (electricidad y gasoil). La empresa sólo elabora dos

tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 ptas. y 50

ptas. por cada unidad de B. El coste salarial y energético que acarrea la

elaboración de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente

tabla: A B

Coste salarial, 200 100

Coste energético 100 300

Se desea determinar cuántas unidades de cada uno de los productos A y B

debe producir la empresa para que el beneficio sea máximo.

RPTA 2400 unidades del producto A y 5200 del producto B


146

16. Una persona tiene 500.000 pesetas para invertir en dos tipos de acciones A y B. El

tipo A tiene bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante

seguro con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 300.000 pesetas

en A y como mínimo 100.000 pesetas en B, e invertir en A por lo menos tanto

como en B. ¿Cómo deberá invertir sus 500.000 pesetas para maximizar sus

intereses anuales?. RPTA 300000 pesetas en acciones del tipo A y

200000 pesetas en acciones del tipo B

17. Una industria vinícola produce vino y vinagre. El doble de la producción de vino es

siempre menor o igual que la producción de vinagre más cuatro unidades. Por otra

parte, el triple de la producción de vinagre sumado con cuatro veces la producción

de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades.

Halla el número de unidades de cada producto que se deben producir para

alcanzar un beneficio máximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio

de 800 ptas. y cada unidad de vinagre de 200 ptas. RPTA 3 unidades de vino

y 2 de vinagre

18. Un hipermercado necesita como mínimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de

nécoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para

satisfacer sus necesidades, pero sólo venden dicho marisco en contenedores

completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de

nécoras y 2 de percebes. Por su parte, B envía en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas

respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210.000 ptas.,

mientras que los del mayorista B cuestan 300.000 pesetas cada uno. ¿Cuántos

contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus

necesidades mínimas con el menor coste posible? RPTA. 3 contenedores al

mayorista A y 2 al mayorista B

19. Imaginemos que las necesidades semanales mínimas de una persona en

proteínas, hidratos de carbono y grasas son 8, 12, 9 unidades respectivamente.

Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composición mínima

mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se

indican en la siguiente tabla:

Proteínas Hidratos Grasas Costo (kg)

Producto A 2 6 1 600

Producto B 1 1 3 400


147

¿Cuántos kilogramos de cada producto deberán comprarse semanalmente para que el

costo de preparar la dieta sea mínimo? RPTA 3 kg del producto A y 2 kg del

producto B

20. Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades

de potasio (K), fósforo (P) y nitrógeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el

precio del paquete.

Marca K P N Precio

A 4 6 1 15

B 1 10 6 24

¿En qué proporción hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mínimo

precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N?

RPTA: Se minimiza el precio con 1/2 de A y 2 de B

21. Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida

semanalmente en tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente.

El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo

que los costes de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero de a

cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla:

R S T

P 1 3 1

Q 2 1 1

Determinar cuál es la distribución de transporte que supone un coste mínimo.

RPTA R S T

P 20 0 6

Q 0 22 8

22. Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la

ciudad. El almacén A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15

toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan,

diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas

diarias. El coste del transporte desde cada almacén a cada mercado viene dado

por el siguiente cuadro:

Almacén Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

A 10 15 20

B 15 10 10


148

Planificar el transporte para que el coste sea mínimo

RPTA M1 M2 M3

A 8 2 0

B 0 6 9

23. Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de

extracto de jazmín, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un

30% de extracto de jazmín, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se

dispone de 60 litros de extracto de jazmín y de 50 litros de alcohol. Cada día se

pueden producir como máximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por

litro de la colonia A es de 500 pesetas y el de la colonia B es 2.000 pesetas. Hallar

los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea

máximo. RPTA 100 lts colonia del tipo A y 150 lts colonia del tipo B

24. Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursión. Para ello se contrata el viaje

a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas,

pero sólo de 9 conductores para ese día. Dada la diferente capacidad y calidad, el

alquiler de cada autobús de los grandes cuesta 8000 ptas. y el de cada uno de los

pequeños, 6000 ptas. ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para

que el viaje resulte lo más económico posible? RPTA Hay que alquilar 5

autobuses de 40 plazas y 4 de 50 plazas. El precio es de 62000 pesetas

25. La casa X fabrica helados A y B, hasta un máximo diario de 1000 kg. La

fabricación de un kg de A cuesta 180 ptas. , y uno de B, 150. Calcule cuántos kg

de A y B deben fabricarse, sabendo que la casa dispone de 270000 ptas/día y que

un kg de A deja un margen igual al 90% del que deja uno de B.RPTA 1000 kg del

helado tipo B y nada de tipo A

26. A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que

tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones:

No de be tomar más de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g.

La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B.

No debe incluir más de 100 g de A

Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 calorías y 100 g de B

contienen 20 mg de vitaminas y 150 calorías:

a. ¿Cuántos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado

más rico en vitaminas?


149

b. ¿Y el más pobre en calorías?

RPTA a) 100 g de A y 50 g de B

b) 25 g de A y 25 g de B

27. A una persona le tocan 10 millones de dolares en una lotería y le aconsejan que

las invierta en dos tipos de acciones, A y B. Las de tipo A tienen más riesgo pero

producen un beneficio del 10 %. Las de tipo B son más seguras, pero producen

sólo el 7% anual. Después de varias deliberaciones decide invertir como máximo

6 millones en la compra de acciones A y, por lo menos, 2 millones en la compra

de acciones B. Además, decide que lo invertido en A sea, por lo menos, igual a lo

invertido en B. ¿Cómo deberá invertir 10 millones para que le beneficio anual sea

máximo?.

28. Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La

empresa A le paga 5 pesos por cada impreso repartido y la empresa B, con

folletos más grandes, le paga 7 pesos por impreso. El estudiante lleva dos bolsas:

una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la

que caben 100. Ha calculado que cada día es capaz de repartir 150 impresos

como máximo. Lo que se pregunta el estudiante es: ¿cuántos impresos habrá que

repartir de cada clase para que su beneficio diario sea máximo?

29. Un sastre tiene 80 m2 de tela de algodón y 120 m2 de tela de lana. Un traje

requiere 1 m2 de algodón y 3 m2 de lana, y un vestido de mujer requiere 2 m2 de

cada una de las dos telas. Calcular el número de trajes y vestidos que debe

confeccionar el sastre para maximizar los beneficios si un traje y un vestido se

venden al mismo precio.

30. Una refinería de petróleo tiene dos fuentes de petróleo crudo: crudo ligero, que

cuesta 35 dólares por barril y crudo pesado a 30 dólares el barril. Con cada barril

de crudo ligero, la refinería produce 0,3 barriles de gasolina (G), 0,2 barriles de

combustible para calefacción (C) y 0,3 barriles de combustible para turbinas (T),

mientras que con cada barril de crudo pesado produce 0,3 barriles de G, 0,4

barriles de C y 0,2 barriles de T. La refinería ha contratado el suministro de

900000 barriles de G, 800000 barriles de C y 500000 barriles de T. Hallar las

cantidades de crudo ligero y pesado que debe comprar para poder cubrir sus

necesidades al costo mínimo.


150

31. La fábrica Gepetto S.A., construye soldados y trenes de madera. El precio de

venta al público de un soldado es de 2700 pesos y el de un tren 2100 pesos.

Gepetto estima que fabricar un soldado supone un gasto de 1000 pesos de

materias primas y de 1400 pesos de costes laborales. Fabricar un tren exige 900

pesos de materias primas y 1000 pesos de costes laborales. La construcción de

ambos tipos de juguetes requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso

final de acabado (pintura, revisión de las piezas fabricadas, empaquetado, etc.).

Para fabricar un soldado se necesita 1 hora de carpintería y 2 horas de proceso

final de acabado. Un tren necesita 1 hora de carpintería y 1 hora para el proceso

de acabado. Gepetto no tiene problemas de abastecimiento de materias primas,

pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería

y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del

marcado, Gepetto fabrica, como máximo, 40 soldados a la semana. No ocurre así

con los trenes, para los que no hay ningún tipo de restricción en cuanto al número

de unidades fabricadas. Obtén el número de soldados y de trenes que

semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios.

32. Una fábrica produce chaquetas y pantalones. Tres máquinas (de cortar, coser y

teñir) se emplean en la producción. Fabricar una chaqueta representa emplear la

máquina de cortar una hora, la de coser tres horas y la de teñir una hora; fabricar

unos pantalones representa usar la máquina de cortar una hora, la de coser una

hora y la de teñir ninguna. La máquina de teñir se puede usara durante tres horas,

la de coser doce y la de cortar 7. Todo lo que se fabrica es vendido y se obtiene

un beneficio de ocho euros por cada chaqueta y de cinco por cada pantalón.

¿Cómo emplearíamos las máquinas para conseguir el beneficio máximo?


151

7. PROGRAMACION LINEAL

Formulación, Solución por computadoras e Interpretación

Recientemente ha habido una gran cantidad de software que pueden resolver

programas lineales, en este libro solamente usaremos el Solver (Excel) y el WinQSB

que se explicaran mas delante de este libro

Veamos ahora unos conceptos básicos de los paquetes de cómputo

El precio sombra (shadow price): Es la tasa de cambio en la función objetivo (Z)

como resultado de un cambio de una unidad en la restricción. Es, por tanto, el precio

adicional máximo que estamos dispuestos a pagar por el incremento del recurso. El

precio sombra de una variable de decisión activa es nulo.

La holgura (o el exceso) es la diferencia entre el uso del recurso y el límite o cota de

la restricción. Por ejemplo si en uno de los talleres se usan 240 horas-hombre de

mano de obra y hay una disponibilidad de 280, la restricción que expresa la mano de

obra en ese taller tendrá una holgura de 40 horas-hombre.

Rango de optimalidad - Indica los rangos de intervalo entre los cuales, la función

objetivo, o las cotas de las restricciones, pueden ser alteradas sin afectar la solucion

óptima. Se los debe considerar "indicativos" pero no "probados con certeza".

Solución del problema de RMC utilizando el WinQSB

Ahora recordemos el problema de RMC

Max. Z = 40X1 + 30X2

Sujeto a

2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20 Materia Prima 1


3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21 Materia Prima 3

a) Ingreso de datos

Problem Title: Ingresar el titulo del problema

Number of Variables: ingresar el número de

variables de decisiones X1, X2

Number of Constraints: Nro. de restricciones


152

Objetive Criterion: Si la función objetivo es maximizar o minimizar

Data Entry Format: Formato de ingreso de datos

a) Speadsheet Matriz: Matriz de hoja de cálculo

b) Normal Model: Forma de modelo matemático

Ingreso de datos con el formato de hoja de

calculo (Spreadsheet Matriz Form)

b) Solución del problema

Ir al menú Solver and Analyze Solver the problem

Veamos algunas columnas

Solution Value: Son los valores de las variables de decisión X1 = 25 y X2 = 20

Unit cost or Profit: Es el costo por unidad de cada variable de decisión, generalmente

son los coeficientes de la función objetivo

Total Contribution: Es la contribución total por variable de decisión, esta dado por:

Total contribution = Solution Value * Unit Cost

La suma de las contribuciones parciales da la contribución total (Z)

Basic Status: Indica si las variables de decisión son básicas o no básicas

Reduced Cost: Indica cuanto del coeficiente de la función objetivo para cada variable

deberá mejorar antes de que sea posible que la variable llegue a un

valor positivo en la solución óptima. Para un problema de maximización

mejorar significa aumentar y en un problema de minimización mejorar

significa disminuir. Si la variable de decisión ya es solución optima, su

costo reducido será cero

Allowable Min y Max: Indica el rango de optimalidad (análisis de sensibilidad) para

los coeficientes de X1 y X2.

Variables de decisión

Restricciones


153

Left Hand Side: Es el valor del lado derecho de cada restricción sustituyendo X1 y X2

por los valores óptimos

Right Hand Side: Es el lado izquierdo de cada restricción, generalmente esta dado en

la restricción

Snack or Surplus: Indica el valor de la variable de holgura/exceso de cada restricción

Shadow Price: Es la tasa de cambio de Z en una unidad de la restricción, se

(Precio Sombra) concluye que mas toneladas de M. prima 1 (restriccion1)

incrementaría Z en $33.33 y esto es valido para incrementos

de hasta 21.5 ton. y reducciones de hasta 14 ton.

c) Grafica del problema

Solución del problema de RMC utilizando el Solver de Excel

Recordemos el problema de RMC

Max. Z = 40X1 + 30X2

Sujeto a 2/5 X1 + ½ X2 ≤ 20 Materia Prima 1


3/5 X1 + 3/10 X2 ≤ 21 Materia Prima 3

X1, X2 ≥ 0


154

a) Ingreso de Datos

A B C D E F

2

3 X1: Aditivo combustible

X2: base

disolvente Disponibilidad

4 Materia Prima1 =2/5 =1/2 20

5 Materia Prima2 =1/5 5

6

Datos del

problema

Materia Prima3 =3/5 =3/10 21

7

8 Cantidad Utilizada MP Disponibilidad

9 Materia Prima1 =+(D4*$D$13)+(E4*$E$13) <= 20



12

13 Cantidad a pedir

14 Costo unitario $ 40 30

15

Cantidad

Optima Utilidad total =+D13*D14 =+E14*E13 =+D15+E15

b) Solución del problema

Menú Herramientas Solver

La Celda Objetivo: es la celda que se desea maximizar o minimizar (viene dado por la función objetivo) Valor de la Celda Objetivo: Especifica si se desea maximizar o minimizar la celda objetivo, o bien definirla con un valor especifico. Cambiando las Celdas: Son las celdas que pueden ajustarse hasta que satisfaga las restricciones y la función objetivo (son los valores óptimos) Sujeto a las siguientes restricciones: Muestra las restricciones actuales del problema

c) Una vez dada la solución, el cuadro queda como sigue:

A B C D E F

2

3 Datos del

problema

X1: Aditivo comb

X2: base

disolvente Disponibilidad

4 Materia Prima1 0.4 0.5 20

5 Materia Prima2 0.2 5

6 Materia Prima3 0.6 0.3 21


155

7

8 Cantidad Utilizada MP Disponibilidad

9 Materia Prima1 20 <= 20



12

13 Cantidad

Optima

Cantidad a pedir 25 20

14 Costo unitario $ $40.00 $30.00

15 Utilidad total $ 1,000.00 $ 600.00 $ 1,600.00

EL PROBLEMA DE ELECTRONIC COMUNICATIONS

Electronic Comunications fabrica radios portátiles que puede utilizarse en

comunicaciones de 2 vías. El nuevo producto de la empresa, que tiene un rango de

hasta 25 millas, es adecuado para una diversidad de usos comerciales y personales.

Los canales de distribución del nuevo radio son:

1. Distribuidores de equipo marino

2. Distribuidores de equipo de oficinas

3. Cadena nacionales de tiendas al menudeo

4. Pedidos por correo

Debido a diferentes costos de distribución y promociónales, la redituabilidad del

producto cambiara según el canal de distribución. Además, el costo de publicidad y el

esfuerzo de ventas personales requerido también variara de acuerdo con los canales

de distribución. La tabla siguiente resume la contribución a la utilidad, el costo de

publicidad y los datos de esfuerzo de ventas:

Canal distribución Utilidades por

unidad vendida

Costo publicidad

por unidad vendida

Esfuerzo de FFVV

por unidad vendida

Distrib. Marinos

Distrib. de oficinas

Tiendas al menudeo

Pedidos por correo

$90

$84

$70

$60

$10

$8

$9

$15

2 horas

3 horas

3 horas

Ninguna


156

La empresa ha formulado un presupuesto de publicidad de $5000, y esta disponible un

máximo de 1800 horas de fuerza de ventas para asignar. La administración también

ha decidido producir 600 unidades durante el periodo de producción actual.

Finalmente, un contrato vigente con la cadena nacional de tiendas al menudeo

requiere que por lo menos se distribuyan 150 unidades a través de este canal de

distribución.

Electronic Communications ahora se enfrenta al problema de establecer una estrategia

de distribución para los radios, que maximice la redituabilidad general de la producción

de estos radios. Deben tomarse decisiones en relación con cuantas unidades deben

asignarse a cada uno de los cuatros canales de distribución, así como asignar el

presupuesto de publicidad y el esfuerzo de fuerza de ventas a cada uno de los canales

de distribución.

FORMULACION DEL PROBLEMA DE ELECTRONIC COMMUNICATIONS

Función objetivo: Maximizar la utilidad

Restricciones

Restriccion1μ Gastos de publicidad ≤ Presupuesto ($5000)

Restricción2μ Tiempo de ventas utilizado ≤ Tiempo disponible (1800 h)

Restricción3: Radios producidos = Requerimiento de la administración

Restriccion4: Distribución al menudeo ≥ Requisito por contrato

Ahora que el problema esta claro, definamos las variables de decisión que el

administrador debe tomar. Sea:

X1 = numero de unidades producidas para el canal de distribución de equipos marino

X2 = numero de unidades producidas para el canal de distribución de equipos oficina

X3 = numero de unidades producidas para el canal de distribución de las cadenas

nacionales al menudeo

X4 = numero de unidades producidas para el canal de distribución de pedidos

por correo

Ahora escribiremos la función objetivo utilizando la tabla para la maximización de la

contribución a la utilidad total

Max. 90X1 + 84X2 + 70X3 + 60X4

Restricciones

1) 10X1 + 8X2 + λX3 + 15X4 ≤ 5000 (El presupuesto limita el gasto en publicidad)

2) 2X1 + 3X2 + 3X3 ≤ 1800 (El limite de tiempo de ventas esta limitado por 1800h)


157

3) X1 + X2 + X3 + X4 = 600 (la decisión de la administración de producir 600 unidades

durante el tiempo de producción)

4) 1X3 ≥ 150 (según el contrato con tiendas al menudeo, debe ser

distribuidas 150 unidades o mas)

SOLUCION POR COMPUTADORA

Utilizando el Win QSB tenemos los siguientes resultados con 4 variables

(X1, X2, X3, X4) y 4 restricciones

Los valores óptimos de las variables de decisión esta dado por X1 = 25, X2 = 425, X3 = 150 y X4 = 0 (la empresa no debe utilizar el canal por correos) La función objetivo nos dará una utilidad máxima de $48,450 Recordemos que los costos reducidos indican cuanto tendrá que mejorar cada coeficiente de la función objetivo (en este caso contribución a la utilidad), antes de que la variable de decisión correspondiente pueda asumir un valor positivo en la solución óptima

Veamos que los 3 primeros costos reducidos son cero, porque las variables de

decisión correspondiente (x1, X2, X3) ya tienen valores positivo en la solución optima.

Sin embargo el costo reducido -45 para la variable X4 nos indica que la utilidad de los

nuevos radios distribuidos por correo tendría que incrementar su utilidad por unidad

vendida a por lo menos $60 + $45 = $105 por unidad, antes de que resultara

redituable el uso del canal de distribución de pedidos por correo

Ahora veamos las variables de holgura o excedente y los precios sombras

Restricción Tipo Holgura o

excedente

Precio

sombra

1 Presupuesto de Publicidad ≤ 0 3

2 Disponibilidad Fuerza venta ≤ 25 0

3 Nivel de producción = 0 60

4 Requisito tienda al menudeo ≥ 0 -17


158

Rango de Optimalidad (Análisis de Sensibilidad)

La restricción 1 de presupuesto de publicidad tiene una holgura de 0, indicando que se

ha utilizado la totalidad de presupuesto de $5000. El precio sombra correspondiente

de 3 nos indica que un dólar adicional que se le agregue al presupuesto de publicidad

mejorara la función objetivo (incremento en utilidad) en $3.

El rango del presupuesto de optimalidad (de 4950 a 5850) muestra que incrementar el

presupuesto de publicidad es apropiada hasta $5850

La holgura de 25 horas en la restricción 2, muestra que hay 25 horas del tiempo de

fuerza de ventas no son utilizadas (tiempo ocioso)

El precio sombra de 60 en la restricción 3, muestra que si la empresa reconsiderase

El nivel de producción para los radios, el valor de la función objetivo, es decir la utilidad

mejoría a una tasa de $60 por unidad producida.

El precio sombra negativo de -17, indica que al incrementar el compromiso con las

tiendas al menudeo de 150 a 151 unidades, la utilidad disminuiría en $17. En este

caso una disminución en la cantidad pactada con las tiendas al menudeo (de 150 a

149) mejoraría la utilidad de la empresa a una tasa de $17 por unidad. Observe que el

rango de optimalidad asociado con X4 (-M a $105) corrobora esta información anterior

de los precios sombras, en ambos casos, la utilidad por unidad tendría que aumentar a

$105 para que el canal de distribución por correo pudiera aparecer en la solución

optima con un valor positivo.

Las asignaciones del presupuesto de publicidad (restriccion1) es:

10X1 + 8X2 + λX3 + 15X4 ≤ 5000

Ahora remplazamos X1, X2, X3, X4 por sus valores óptimos

Presupuesto publicidad canal de distribución equipos marinos X1 : 10(25) = $250

Presupuesto publicidad canal de distribución equipos oficina X2 : 8(425) = $3400

Presupuesto publicidad canal de distribución tiendas al menudeo X3: 9(150) = $1350

Presupuesto publicidad canal de distribución pedidos por correo X4: 15(0) = $0

Decision Allowable Allowable Allowable AllowableVariable Min. c(j) Max. c(j) Constraint Min. RHS Max. RHS

1 X1 84 M 1 C1 4,950.00 5,850.002 X2 50 90 2 C2 1,775.00 M3 X3 -M 87 3 C3 515 603.57144 X4 -M 105 4 C4 0 200


159

EJERCICIOS PROPUESTOS 7

1.- Kelson Sporting fabrica dos modelos de guantes de béisbol; uno normal y una de

catcher. La empresa tiene disponible 900 horas de tiempo de producción en su

departamento de corte y costura. 300 horas disponibles en su departamento

terminado y 100 horas disponibles en su departamento de empaque y embarque.

Los requerimientos de tiempo de producción y la contribución a la utilidad

(ganancia) de cada uno de los productos son:

Tiempo de producción (horas) Utilidad por

guante Modelo Corte y

costura

Terminado Empaque y

embarque

Guante normal 1 ½ 1/8 $5

Manopla de Catcher 3/2 1/3 1/4 $8

Disponibilidad horas 900 300 100

Suponga que la empresa esta interesada en maximizar la contribución total a la

utilidad.

a) ¿Cuál es el modelo de programación lineal para este problema?

b) Encuentre la solución óptima utilizando el método grafico

c) Encuentre la solución óptima. Cuantos guantes de cada modelo deberá fabricar

Kelson

d) Cual es la contribución total a la utilidad

e) Cuantas horas de tiempo de producción están programadas en cada departamento

f) Cual es el tiempo libre en cada departamento

Rpta: X1 = 500.15; X2 = 149.93 Z = 3,700.15

2.- El propietario de Parrilladas Ramiro’s, desearía determinar cual es la mejor forma

de adquirir un presupuesto mensual de publicidad de $1,000 entre periódicos y la

radio. La administración ha decidido que por lo menos el 25% del presupuesto

debe utilizarse en cada uno de estos tipos (periódico y radio), y que el monto de

dinero gastado en publicidad en periódicos debe ser por lo menos el doble de lo

que se gaste en radio. Un asesor de mercadotecnia ha desarrollado un índice de

exposición del auditorio por dólar de publicidad en una escala del 0 al 100, donde

valores mas elevados del índice indican mayores exposiciones al auditorio. Si el

valor del índice para publicidad en los periódicos locales es de 50, y para un

anuncio de radio es de 80. ¿Cómo debería asignar la administración el


160

presupuesto de publicidad, a fin de maximizar el valor de exposición total en el

auditorio?

a. Formule un modelo de programación lineal que se pueda utilizar para determinar la

manera en que la administración debe asignar el presupuesto de publicidad a fin

de maximizar el valor de la exposición del auditorio.

b. Resuelva el problema utilizando el procedimiento de la solución grafica.

3. Greentree proporciona alimentos por una noche para mascotas. Una característica

particular en Greentree es la calidad del cuidado que reciben las mascotas. La

comida para perros se elabora mezclando 2 alimentos de marca para perros a fin

de obtener lo que Greentree llama “dieta para perros bien balanceada”. Los datos

para las 2 comidas para perros son las siguientes:

Comida para perros Costo/onza Proteínas Grasa

Bark Bits $0.06 0.30 0.15

Canien Chow $0.05 0.20 0.30

Si Greentree desea asegurarse que los perros reciben por lo menos 5 onzas de

proteínas y como mínimo 3 onzas de grasas cada día. ¿Cuál es la mezcla de costo

mínimo de los 2 alimentos para perros?

Rpta: 15 onzas de Bark Bits y 2.5 onzas de Canien Chow; Z= 1.025

4.- Supersport quiere determinar la cantidad idónea de balones de fútbol americano:

All-pro (X1); Collage (X2) y High School (X3) a producir a fin de maximizar las

utilidades. Las restricciones incluyen limitaciones de capacidad de producción

(tiempo disponible en minutos) en cada uno de los 3 departamentos (corte y

teñido, costura e inspección y empaque); así como una restricción que requiere la

producción de por lo menos 1000 balones de fútbol americano All-Pro. El modelo

de programación lineal de Supersport es como sigue:

Max. 3X1 + 5X2 + 4X3

Sujeto a

12X1 + 10X2 + 8X3 ≤ 18,000 Corte y teñido

15X1 + 15X2 + 12X3 ≤ 18,000 Costura

3X1 + 4X2 + 2X3 ≤ λ,000 Inspeccion y empaque

1X1 ≥ 1,000 Modelos All-Pro

X1, X2, X3 ≥ 0

a) Cuantos balones de fútbol americano de cada tipo deberá producir Supersport

para maximizar la contribución total


161

b) Que restricciones tiene recursos limitantes

c) Interprete la holgura o el excedente de cada restricción

5.- Relax and Enjoy Lake Corp. Esta desarrollando una comunidad habitacional a la

orilla de un lago de propiedad privada. El mercado principal para los terrenos y

casas a la orilla del lago que esperan vender incluye a todas las familias con

ingresos altos y medios dentro de la comunidad. Relax and Enjoy Lake Corp. Ha

contratado a una agencia de publicidad para diseñar la campaña publicitaria.

La evaluación de la calidad se mide en función de una unidad de calidad de

exposición. Después de considerar posibles medios y el marcado a cubrir, la

empresa de publicidad ha recomendado que la publicidad se limite a cinco medios.

DTV = Numero de veces en que se utiliza la TV diurna

ETN = Numero de veces en que se utiliza la TV nocturna

DN = Numero de veces en que se utiliza el periódico cotidiano

SN = Numero de veces en que se utiliza el periódico dominical

R = Numero de veces en que se utiliza la radio

Medios de Publicidad Numero de clientes

potenciales alcanzados

Costo por anuncios

Numero máximo

tiempo disp. por mes

Unidades calidad de exposición

1. TV diurna (1 min)

2. TV vespertina (30 seg)

3. Periódico diario (1 pag)

4. Periódico dominical

5. Radio (30 seg)

1000

2000

1500

2500

300

$1500

$3000

$400

$1000

$100

15

10

25

4

30

65

90

40

60

20

Relax and Enjoy Lake Corp. Autorizo un presupuesto de publicidad de $30,000 para la

campaña, además Relax and Enjoy Lake impuso las siguientes restricciones sobre la

forma en que la empresa de publicidad puede asignar estos fondos; debe utilizar por lo

menos 10 comerciales de TV, se debe alcanzar por lo menos 50,000 clientes

potenciales y no puede gastarse mas de $18,000 en anuncios de TV.

a) ¿Qué plan de selección de medios deberá recomendarse?, es decir La

decisión a tomar es cuantas veces utilizar cada uno de los medios.

b) Cual es el numero máximo de unidades de calidad de exposición?

c) Cual es el numero total de clientes alcanzados?


162

Func. Objetivo Max 65DTV + 90ETV + 40DN + 60SN + 20R

Sujeto a

DTV ≤ 15

ETV ≤ 10

DN ≤ 25

SN ≤ 4

R ≤ 30

1500DTV + 3000ETV + 400DN + 1000SN + 100R ≤ 30,000

DTV + ETV ≥ 10

1500DTV + 3000ETV ≤ 18,000

1000DTV + 2000ETV + 1500DN + 2500SN + 300R ≥ 50,000

DTV, ETV, DN, SN, R ≥ 0

RPTA: a) DTV=10, ETV=0, DN=25, SN=2, R=30

b) 2370

c) Restricción clientes alcanzados = 61,500

7. La administración de Hartman Company esta intentando determinar la cantidad a

producir de cada uno de los productos en el siguiente periodo de planeación. La

información que sigue corresponde a la disponibilidad de la mano de obra, el uso

de la mano de obra y la redituabilidad del producto

Departamento Producto (hora/unidad) 1 2

Horas de mano de obra disponible

A 1.00 0.35 100

B 0.30 0.20 36

C 0.20 0.50 50

Contribución a la utilidad $30.00 $15.00

a) Desarrolle un modelo de programación lineal del problema de Hartman

Company. Resuelva el modelo para encontrar los volúmenes óptimos de

producción de los productos 1 y 2

b) Suponga que en alguno de los departamentos se puede programar un tiempo

extra ¿En que departamento recomendaría usted dicha programación?.

¿Cuánto estaría dispuesto a pagar usted por hora de tiempo extra en cada uno

de los departamentos?

RPTA a) X1 = 77.89, X2= 63.16 Z = 3284.21

b) Dpto A $15.79; Dpto B $47.37


163

6. La unión de crédito de los empleados de State University esta planeando la

asignación de los fondos para el próximo año. La unión de crédito efectúa cuatro

tipos de préstamos a sus miembros y además para estabilizar el ingreso, invierte

en valores libres de riesgo. Las diversas inversiones productoras de ingreso, junto

con sus tasas de rendimiento anual son:

Tipo de préstamo / inversión Tasa de rendimiento anual (%)

Préstamo por automóvil 8

Préstamo para muebles 10

Otros prestamos con garantía 11

Prestamos quirografarios 12

Valores libres de riesgo 9

Durante el siguiente año la unión de crédito tendrá $2’000,000 disponibles para

invertir. Las leyes estatales y las políticas de la unión de crédito imponen las siguientes

restricciones en la composición de préstamos e inversiones

- Los valore libre de riesgo no pueden exceder el 30% de los fondos totales

disponibles para inversión

- Los prestamos quirografarios no pueden exceder el 10% de los fondos

invertidos en todos los prestamos (automotriz, inmobiliarios, otros con

garantías y quirografarios).

- Los prestamos para mobiliarios mas los quirografarios no pueden exceder los

prestamos automotrices

- Otros prestamos garantizados mas los quirografarios ni pueden exceder los

fondos invertidos en valores libres de riesgo

Como deberán asignarse los $2’000,000 para cada una de estas alternativas de

prestamos y de inversión, a fin de maximizar el rendimiento total anual? ¿Cuáles es el

rendimiento total anual proyectado?

RPTA X1=0 ; X2=1’600,000 ; X3=0 ; X4=200,000 ; X5= 200,000 Z = 202,000

7. G. Kunz and Sons fabrican dos productos que se utilizan en la industria de la

maquinaria pesada. Ambos productos requieren operaciones de manufactura en

dos departamentos. A continuación aparecerá las cifras de los tiempos de

producción (en horas) y de la contribución a la utilidad de ambos.

Para el próximo periodo de producción, Kuns tiene un total de 900 horas de manos

de obra disponible que se pueden asignar a cualquier de los dos departamentos.

Encuentre el plan de producción y la asignación de la manos de obra (horas asignadas

a cada departamento) que maximice la contribución a la utilidad total


164

Producto Utilidad por unidad

Horas de mano de obra Depart A Depart B

1 $25 6 12

2 $20 8 10

RPTA a) plan de producción X1=50, X2=0

Horas asignadas a cada Dpto Dpto A = (6*50)+(8*0)=300 horas

Horas asignadas a cada Dpto Dpto B = (12*50)+(10*0)=600 horas

8.- Lurix Electronic manufactura dos productos que se pueden producir en dos líneas

distintas de producción. Ambos productos tienen costo de producción más bajo

cuando se producen en la más moderna de las dos líneas. Sin embargo, la línea

de producción más moderna no tiene capacidad para manejar la producción total.

Como resultado, parte de la producción debe efectuarse en la línea de producción

más antigua. Los datos siguientes muestran los requerimientos totales de

producción, la capacidad de las líneas de producción y los costos de producción

Costo de producción / Utilidad

Producto Línea Moderna Línea antigua Req. Mínimo de producción

1 $3.00 $5.00 500 unid

2 $2.50 $4.00 700 unid

Capac línea 800 600

Formule un modelo de programación lineal que pueda utilizarse para tomar la decisión

de asignación de la producción. Cual es la decisión recomendada y cual es el costo

total

RPTA: Línea moderna Línea Antigua

Prod1 500 0

Prod2 300 400

9.- Edgard Manufacturing Company adquiere dos componentes de tres proveedores

distintos. Los proveedores tienen una capacidad limitada y ninguno de ellos puede

cumplir con la totalidad de las necesidades de la empresa, además de que cobran

precios diferentes por los componentes. Los precios de los componentes por

unidad son los sgtes

Componente Prov1 Prov2 Prov3

1 $12 $13 $14

2 $10 $11 $10


165

Cada proveedor tiene capacidad limitada respecto al total de componentes que

puede suministrar. Sin embargo, siempre que Edgar emita pedidos suficiente

adelanto, cada proveedor puede dedicar su capacidad al componente 1 o 2 o

ambos, siempre y cuando el total de unidades pedidas quede dentro de su

capacidad. La capacidad de los proveedores es la siguiente

Componente Prov1 Prov2 Prov3

Capacidad 600 1000 800

Si el plan de producción de Edwards para el siguiente periodo incluye 1000

unidades del componente 1 y 800 unidades del componente 2, ¿Cuántas unidades

de cada componente deberán pedirse a cada uno de los proveedores?. ¿Cuál

seria el costo total de adquisición de componentes?

RPTA:

Componente Prov1 Prov2 Prov3 1 600 400 0 2 0 0 800

10.- Golf Company palos de grafito vara varios fabricantes de palos de golf. Dos

instalaciones de fabricación de Golf company (una en San Diego y otra en Tampa)

tiene la capacidad para producir palos en diversos grados de rigidez, desde los

normales, hasta modelos extrarigidos. Golf Company acaba de recibir un contrato

para la producción de 200,000 palos normales y 75,000 rígidos. Dado que ambas

plantas actualmente están produciendo palos de golf para cumplir con ordenes

anteriores, ninguna de las plantas tiene capacidad suficiente, por si misma para

llenar el nuevo pedido. La planta de San Diego puede producir hasta un total de

120,000 palos y la de Tampa hasta un total de 180,000 palos de golf. Debido a

deferencias en equipamiento en cada una de las plantas y de distintos costos de

mano de obra, los costos de producción unitarios son distintos como se muestra a

continuación

Costo de San Diego Costo de Tampa

Palo Normal $ 5.25 $ 4.95

Palo Rígido $ 5.45 $ 5.70

Formule un modelo de programación lineal para determinar la manera en que Golf

Company deberá programar la producción de este nuevo pedido para minimizar el

costo total de producción.


166

11.- Frecuencia Latina periódicamente patrocina seminarios y programas de servicio

público. Actualmente, están en marcha planes promociónales para el programa de

este año. Las alternativas de publicidad incluyen TV, Radio y periódicos. Las

estimaciones de auditorio, costo y limitaciones de utilización de medios son:

Restricción Televisión Radio Periódico

Auditorio por anuncio 100,000 18,000 40,000

Costo por anuncio $2,000 $300 $600

Uso máximo de los medios 10 20 10

Para asegurar un uso balanceado de los medios de publicidad, los anuncios en

radio no deben exceder el 50% del número total de anuncios autorizados. Además,

la televisión deberá representar por lo menos 10% del número total de anuncios

autorizados.

a) Si el presupuesto promocional esta limitado a $18,200. ¿Cuántos mensajes

comerciales deberán ser emitidos en cada medio para maximizar el contacto

total con el auditorio? ¿Cuál es la asignación del presupuesto entre los 3

medios y cual será el auditorio alcanzado?.

b) En cuanto se incrementara el contacto con el auditorio, si se asignan $100

adicionales al presupuesto promocional

Rpta: TV = 4; R = 14; P = 10 Z = 18,200

12.- Ajax Fuels esta desarrollando un nuevo aditivo para combustible para avión. El

aditivo es una combinación de 3 ingredientes (A, B, C). Para un rendimiento

adecuado, la cantidad total de aditivo (A + B + C) debe ser por lo menos 10 onzas

por galón de combustible. La mezcla de los 3 ingredientes es critica: por lo menos

se debe utilizar una onza del ingrediente A por cada onza del B. la cantidad del

ingrediente C debe ser mayor que la mitad del A. Si los costos por onza de los

ingredientes A, B, C son $0.10; $0.03 y $0.09, respectivamente, encuentre la

mezcla de costo mínimo de A, B y C por cada galón de combustible para avión

Rpta: X1 = 4; X2 = 4; X3 = 2 Z = 0.70

13.- Centro Papelero del Norte (CPN) produce rollos de papel para uso de maquinas

sumadoras, calculadoras de escritorio y cajas registradoras. Los rollos se producen

en anchos de 1.5; 2.5; 3.5 pulgadas. El proceso de producción entrega únicamente

rollos de 200 pies de ancho por 10 pulgadas. La empresa debe por lo tanto cortar


167

los rollos al tamaño final del producto deseado. Las 7 alternativas de corte y el

volumen de desperdicio generado por cada una son como sigue:

Alternativas

de corte

Numero de Rollos Desperdicio

(pulg) 1.5 pulg 2.5 pulg 3.5 pulg

1 6 0 0 1

2 0 4 0 0

3 2 0 2 0

4 0 1 2 0.5

5 1 3 0 1

6 1 2 1 0

7 4 0 1 0.5

Las necesidades mínimas para los tres productos son

Ancho del rollo (pulg) 1.5 2.5 3.5

Unidades 1000 2000 4000

a) Si la empresa desea minimizar el numero de rollos ¿Cuántos rollos se

procesaran en cada alternativa de corte?¿Cuantos rollos se requieren y cual es

el desperdicio total (pulgadas)?

b) Si la empresa desea minimizar el desperdicio generado, ¿Cuántas unidades

deberán ser procesadas en cada alternativa de corte?¿Cuantos rollos se

requieren y cual es el desperdicio total?

RPTA a) X1=0 ; X2=125 ; X3=500 ; X4=1500 ; X5=X6=X7 = 0 Desperdício = 750

b) X2=500 ; X3=2000; X1=X4=X5=X6=X7=0

Desperdício = 2500 rollos sin desperdício

14.- Williams Calculators Company manufactura dos tipos de calculadoras la TW100 y

la TW200. El proceso de ensamble requiere 3 personas. Los tiempos de ensamble son

como sigue:

Ensamblador Calculadora Mano de obra máxima

disponible TW100 TW200

1 4 min 3 min 8 horas/dia

2 2 min 4 min 8 horas/dia

3 3.5 min 3 min 8 horas/dia

Si la empresa obtiene una utilidad de $2.5 por cada uno de los TW100 y de $3.50 por

cada uno de los TW200. ¿Cuántas calculadoras deberán producirse por día?. ¿Cuánto

tiempo se le asignara a cada ensamblador por día?


168

Rpta: TW100 = 48; TW200 = 96 Z = 456

Ensamblador 1 = 480; Ensamblador 2 = 480; Ensamblador 3 = 456

15.- Winkler Furniture fabrica dos tipos de vitrinas: un modelo francés y un modelo

moderno, cada vitrina producida debe pasar por tres departamentos: carpintería,

pintura y acabados según la tabla siguiente:

Estilo Vitrina Carpintería

Horas/Vitrina

Pintura

Horas/Vitrina

Acabado

Horas/Vitrina

Utilidad neta

Francés 3 1.5 0.75 28

Moderno 2 1 0.75 25

Capacidad Dpto 360 200 125

La compañía firmo un contrato con un distribuidor de México para producir un mínimo

de 300 vitrinas de cada modelo por semana (o 60 por dia). El director desea determina

una mezcla de productor para maximizar su ingreso diario

16.- El famoso restaurante Fok Tou está abierto las 24 horas Del día. Los meseros

trabajan en turnos de 8 horas consecutivas. La tabla siguiente muestra el número

mínimo de trabajadores necesarios durante los 6 turnos diarios. El problema Del

administrador de Fok Tou es determinar cuántos meseros deberán reportarse AL

trabajo al inicio de cada período para minimizar el personal total requerido

Periodo Horario Requerimiento mínimo de meseros

1 3 AM – 7 AM 3

2 7 AM – 11 AM 12

3 11 AM – 3 PM 16

4 3 PM – 7 PM 9

5 7 PM – 11 PM 11

6 11 PM – 3 AM 4

17.- Un establo tiene caballos que los usa para jalar carruajes de turistas. El

propietario del establo reconoce la necesidad de diseñar una dieta nutricional para los

caballos. Al mismo tiempo quiere mantener al minimimo el costo diario total de

alimentación.

Las mezclas de los alimentos disponibles para la dieta de caballos son un producto de

avena, un grano enriquecido y un producto mineral de 5 ingredientes requeridos


169

diariamente para mantener saludable al caballo. La tabla siguiente muestra esos

requerimientos:

MEZCLA DE ALIMENTOS

Requerimiento

dietético

Producto de

Avena (unid/lb)

Granos

Enriquecidos

(unid/lb)

Prod.

Minerales

(unid/lb)

Requerim.

Mínimos

diarios

A 2 3 1 6

B 0.5 1 0.5 2

C 3 5 6 9

D 1 1.5 2 8

E 0.5 0.5 1.5 5

Costo/lb $0.09 $0.14 $0.17

El propietario del caballo sabe que un caballo sobrealimentado es un trabajador

perezoso. Por consiguiente determina que 6 lb de alimentos por día son lo máximo

que cualquier caballo necesita para funcionar apropiadamente. Formule este problema

de mezcla diaria óptima de los tres alimentos.

18. Maestro Home Center fabrica 2 tipos de vitrinas: un modelo francés y un modelo

moderno danés. Cada vitrina producida debe pasar por 3 departamentos: carpintería,

pintura y acabado. La tabla siguiente contiene toda la información de los tiempos de

producción de cada vitrina

Horas/Vitrina Ingreso neto x

vitrina (S/.) Tipo de Vitrina Carpintería pintura Acabado

Francés 3 3.5 3/4 28

Danés moderno 2 1 3/4 25

Capacidad (horas) 360 200 125

La compañía firmo un contrato con un distribuidotr para producir un minimo de 300

vitrinas de cada modelo por semana (o 60 por dia). Maestro Home Center quiere

determinar la mezcla de productos para maximizar su ingreso diario.

19.


170

8. APLICACIONES DE PROGRAMACION LINEAL

En la practica la programación lineal ha demostrador ser uno de los mas exitosos

procedimientos cuantitativos administrativos para la toma de decisiones. Se sabe de

numerosas aplicaciones en la industria química, de aerolíneas, del acero, del papel,

del petróleo y otras. Los problemas que se han estudiado son diversos e incluyen:

- Programación de la producción

- Selección de medios, Planeación financiera

- Inversiones de capital

- Transporte

- Localización de plantas

- Mezclas de productos

- Personal

- Composición de mezclas y muchos otros.

8.1.- EN LA MERCADOTECNIA: Selección de medios

La programación lineal en la selección de medios están diseñadas ayudar a asignar un

presupuesto fijo de publicidad a diversos medios. Los medios potenciales incluyen

periódicos, revistas, radio, TV, emails

En estas aplicaciones el objetivo es maximizar el: alcance, frecuencia y calidad de la

exposición. Las restricciones pueden ser: Políticas de la empresa, requisitos

contractuales y disponibilidad de medios

En el siguiente ejemplo ilustramos como puede formularse un problema de selección

de medios y resolverse utilizando la programación lineal.

Relax and Enjoy esta desarrollando una comunidad habitacional a la orilla de un lago.

Relax and Enjoy ha contratado a la agencia BP&J para diseñar la campaña de

publicidad.

Después de considerar posibles medios y el mercado a cubrir, BJ&J ha recomendado

que la publicidad del primer mes se limite a 5 medios. Al final del mes BP&J reevaluara

sus estrategias con base al primer mes.

La evaluación de la calidad se mide en función de una unidad de calidad de exposición

(una medida relativa de una anuncio en cada medio)


171

Relax and Enjoy autorizo a BP&J un presupuesto de publicidad de $30,000 para la

campaña del primer mes- Además impuso las siguientes restricciones sobre la forma

en que BP&J puede asignar estos fondos:

- Debe utilizar por lo menos 10 comerciales de TV

- Se debe alcanzar por lo menos 50,000 clientes potenciales y

- No puede gastarse mas de $18,000 en anuncios de TV

BP&J ha reunido los siguientes datos:

Medios de Publicidad Nro

clientes

alcanzados

Costo x

anuncio

Nro máximo de

tiempo disponib

por mes

Unidades de

calidad de

exposición

1.- TV diurna (1 min)

2.- TV vespertina (30 seg.)

3.- Periódico diario

(pag. Completa)

4.- Revista dominical (1/2 pag)

5.- Radio noticias (30 seg)

1000

2000

1500

2500

300

$1500

$3000

$400

$1000

$100

15

10

25

4

30

65

90

40

60

20

¿Que plan de selección de medios deberá recomendarse?. La decisión a tomar

es cuantas veces se debe utilizar cada uno de los medios.

Empezamos definiendo las variables de decisión:

DTV = Numero de veces en que se utiliza la TV diurna

ETV = Numero de veces en que se utiliza la TV nocturna

DN = Numero de veces en que se utiliza la periódico cotidiano

SN = Numero de veces en que se utiliza la periódico dominical

R = Numero de veces en que se utiliza la radio

En la tabla encontramos que la TV nocturna (ETV) esta clasificada en 90 unidades de

exposición, el periódico diario (DN) en 40; el dominical (SN) en 60 y la radio (R) en 20.

Con el objetivo de maximizar las unidades totales de calidad de exposición para el

plan general de selección de medios, la función objetivo se convierte en:

Calidad de exposición: Max. 65 DTV + 90 ETV + 40 DN + 60 SN + 20 R

Ahora formulamos las restricciones para el modelo a partir de la información dada


172

La solución por computadora utilizando WinQSB de este modelo con 5 variables de

decisión y 9 restricciones es.

La solución optima de este modelo, requiere que se distribuyan 10 veces en TV diurna;

25 veces el periódico diario; 2 veces en el periódico dominical y 30 veces en radio.

El número máximo de unidades de calidad de exposición es 2370 y el número total de

clientes alcanzados es de 61,500 clientes

Nótese que la restricción presupuestal (restricción C6) tiene un precio dual de 0.060,

esto es un incremento de un dólar en el presupuesto de publicidad llevara a un

incremento de 0.06 unidades de calidad de exposición

El precio dual de -25 (restricción C7), indica que una reducción en el número de

comerciales de TV aumentara la calidad de exposición en el plan de publicidad


173

El plan de publicidad para Relax and Enjoy queda de la siguiente manera:

Medios Frecuencia Presupuesto

Televisión diurna

Periódico Diario

Periódico dominical

Radio

10

25

2

30

$15,000

$10,000

$2,000

$3,000

Total $30,000

Clientes totales alcanzados = 61,500

Unidades de calidad de exposición = 2,370

8.2.- EN INVESTIGACION DE MERCADOS:

Una organización lleva a cabo la investigación de mercados para aprender lo

relacionado con las características de los consumidores, sus actitudes y preferencias

Los servicios ofrecidos por las empresas de investigación de mercados incluyen el

diseño del estudio, encuestas del mercado, análisis de datos, informe y

recomendaciones para el cliente

En la fase de diseño de la investigación pueden establecerse metas o cuotas para el

número y tipo de personas que deben encuestarse de manera que se satisfagan las

necesidades del cliente a un costo mínimo

La empresa Datum SA, se especializa en la evaluación de la relación de los

consumidores a nuevos productos, servicios y campañas publicitarias. Un cliente ha

solicitado la ayuda a Datum para saber cual es la reacción de los consumidores ante

un producto domestico recién introducido al mercado.

En reuniones con el cliente Datum estuvo de acuerdo en efectuar entrevistas

personales en el día y en la noche a hogares con niños y hogares sin niños.

De manera específica el cliente exigía que se realizaran 1000 entrevistas bajo las

siguientes guías de acción:

1. Se entrevistaran por lo menos 400 hogares con niños.

2. Se entrevistaran por lo menos 400 hogares sin niños

3. El numero total de hogares entrevistados por la noche debe ser por lo menos

tan elevado como el de los entrevistados durante el día

4. Por lo menos 40% de las entrevistas en hogares con niños deberán hacerse

durante la noche


174

5. Por lo menos 60% de las entrevistas en hogares sin niños deberán hacerse

durante la noche

Dado que las entrevistas en hogares con niños

ocupan más tiempo del entrevistador, y debido a que

los entrevistadores de la noche cobran más que los

diurnos, el costo varía según el tipo de entrevista.

Cual es el plan de entrevistas, tipo de hogar y hora del día que satisface los

requisitos del contrato a un costo de entrevistas total mínimo?

Al formular el modelo de programación lineal utilizamos la siguiente notación para las

variables de decisión.

DC = Numero de entrevistas diurnas en hogares con niños

EC = Numero de entrevistas nocturnas en hogares con niños

DNC = Numero de entrevistas diurnas en hogares sin niños

ENC = Numero de entrevistas nocturnas en hogares sin niños

Función Objetivo: como queremos minimizar el costo total de entrevistas tenemos

Restricciones

Cuando agregamos el requisito de no negatividad, el modelo de programación lineal

con 4 variables y 6 restricciones se convierte en:

Min. 20 DC + 25 EC + 18 DNC + 20 ENC

sa DC + EC + DNC + ENC = 1000 Entrevistas Totales

DC + EC ≥ 400 Hogares con niños

DNC + ENC ≥ 400 Hogares sin niños

-DC + EC – DNC + ENC ≥ 0 Entrevistas nocturnas

-0.4 DC + 0.6 EC ≥ 0 Hogares en la noche con niños

-0.6 DNC + 0.4 ENC ≥ 0 Hogares en la noche sin niños

$20$18Sin niños

$25$20Con niños

NocheDiaHogar

Costo de la entrevista

$20$18Sin niños

$25$20Con niños

NocheDiaHogar

Costo de la entrevista

DC + EC + DNC + ENC = 1000 Requiere un total de 1000 entrevistas

DC + EC = 400 Se entrevistaran por lo menos 400 hogares con niños (R1)

DNC + ENC = 400 Se entrevistaran por lo menos 400 hogares sin niños (R2)

EC + ENC = DC + DNC EC + ENC - DC - DNC = 0Por lo menos tantas entrevistas Nocturnas como diurnas (R3)

EC = 40%(DC + EC) o -0.4 DC + 0.6 EC = 0 Por lo menos 40% de entrevistas en hogares con niños durante la noche

ENC = 40%(DNC+ENC) o -0.6 DNC + 0.4 ENC = 0Por lo menos 60% de entrevistas en hogares sin niños durante la noche


175

La solución muestra que el costo

mínimo de $20,320 ocurre con el

siguiente programa de entrevistas

Entonces se programaran 480 entrevistas durante el día y 520 durante la noche. Los

hogares con niños serán cubiertos mediante 400 entrevistas y los hogares sin niños

serán cubiertos mediante 600 entrevistas

La información del análisis de sensibilidad muestra que un precio sombra de 19,200

(restricción 1), es decir que la función objetivo mejorara (el costo total de la entrevista

disminuirá) en 19.20 dólares, si la cantidad de entrevistas se incremente de 1000 a

1001, por lo que $19.20 es el costo incremental de obtención de entrevistas

adicionales. También es el ahorro que conseguirá al reducir el número de entrevistas

de 1000 a 999.

La variable excedente de la restricción 3 muestra que se entrevistaran a 200 hogares

sin niños más de los requeridos, de la misma forma la variable excedente de la

restricción 4, muestra que el numero de entrevistas nocturnas excede el numero de

entrevistas diurnas en 40

400160240Con niños

1000520480Totales

600360240Sin niños

TotalesNocturnoDiurnoHogar

Numero de entrevistas

400160240Con niños

1000520480Totales

600360240Sin niños

TotalesNocturnoDiurnoHogar

Numero de entrevistas


176

El precio sombra de 5 para la restricción 5, indica que si durante la noche ha de

entrevistarse un hogar adicional (con niños) al requisito mínimo, el costo total de las

entrevistas disminuirán en 5 dólares

El precio sombra de 2 para la restricción 6, indica que si entrevistara un hogar

adicional (sin niños) durante la noche, los costos disminuirán en 2 dólares

8.3.- APLICACIÓN EN LAS FINANZAS: Selección de cartera

La programación lineal se ha aplicado en las finanzas, en problemas que involucran

- Presupuesto de capital,

- Decisiones de fabricar o comprar

- Asignación de activos

- Selección de carteras

- Planeación financiera y mucho mas

Los problemas de selección de cartera indican situaciones en las que el administrador

financiero debe seleccionar inversiones especificas, por ejemplo acciones, bonos entre

una diversidad de alternativas de inversión.

Los administradores de fondos, uniones de créditos, aseguradoras y bancos

frecuentemente se encuentran ante este tipo de problemas

Por lo general la función objetivo para estos problemas de selección de cartera es la

maximización del rendimiento esperado o la minimización de un riesgo. Comúnmente

las restricciones toman la forma de limitaciones del tipo de inversiones permisibles, las

leyes estatales, la política de empresa, el riesgo máximo permisible, etc.

Welte Mutual Funds (New York) acaba de obtener $100,000 convirtiendo bonos

industriales en efectivo, y ahora esta buscando nuevas oportunidades de inversión

para estos fondos. Con base en las inversiones actuales el analista principal financiero

de la empresa recomienda que las inversiones se efectuen en la industria petrolera, en

la industria del acero o en bonos del gobierno. Específicamente, el analista ha

identificado cuatro oportunidades de inversión y ha proyectado sus tasas de

rendimiento anual.


177

Inversión Tasa rendimiento

proyectado (%)

Atlantic Oil 7.3 %

Pacific Oil 10.3 %

Midwest Steel 6.4 %

Huber Steel 7.5 %

Bonos del gobierno 4.5 %

La administración de Welte ha impuesto las siguientes guías de inversión:

2. Ninguna de estas industrias (petroleras o acero) debe recibir mas de $50,000

3. Los bonos del gobierno deben ser por lo menos 25% de las inversiones de la

industria del acero

4. En la inversión en Pacific Oil (alto riesgo) no puede ser mayor de 60% de la

inversión total de la industria petrolera

Que recomendación de cartera (inversiones y montos) deberá darse para los

$100,000 disponibles? Dado el objetivo de maximizar el rendimiento proyectado

sujeto a las restricciones impuestas

Supongamos que

A = Dólares invertidos en Atlantic Oil

P = Dólares invertidos en Pacific Oil

M = Dólares invertidos en Migwest Oil

H = Dólares invertidos en Huber Steel

G = Dólares invertidos en bonos del gobierno

Función Objetivo: utilizando las tasas de rendimiento proyectadas queremos

maximizar el rendimiento total de la cartera:

Max. 0.073 A + 0.103 P + 0.064 M + 0.075 H + 0.045 G

Restricciones:

A + P + M + H + G = 100,000 inversión de $100,000 disponibles

A + P ≤ 50,000

M + H ≤ 50,000

G ≥ 0.25(M + H) es decir -0.25M – 0.25H + G ≥ 0 Máximo de los bonos del gobierno

P ≤ 0.60(A + P) es decir -0.6 A + 0.4 P ≤ 0 Restricción de Pacific Oil ≤ 60% Petróleo

El problema se resolvió utilizando WinQSB; el resultado aparece en la siguiente figura.

Restricción a que ni la industria petrolera ni la del acero deben recibir más de $50,000


178

La solución optima indica que la inversión debe estar diversificada excepto

para Midwest Steel. El rendimiento anual proyectado es de $8000, es decir un

rendimiento general de 8%

El precio sombra para C3 es cero, la razón es que el máximo de la industria de

acero no es un recurso limitante, los incrementos en el limite de $50,000 de la

industria del acero no mejorara el valor de la función objetivo. La variable de

holgura para esta restricción (C3) muestra que la inversión actual de la

industria de acero queda $10,000 por debajo de su limite de $50,000

El precio sombra de 0.069 para C1, muestra que la función objetivo se puede

incrementar en 0.069, si se puede tener disponible un dólar mas para inversión

en cartera

El precio sombra de -0.024 para C4, este resultado indica que al aumentar del

lado derecho de la restricción en una unidad la función objetivo se reduzca en

0.024, es decir también si Welte invierte un dólar adicional al bono de gobierno

el rendimiento total se reducirá en $0.024

8.4. APLICACIÓN DE ADMINISTRACION DE LA PRODUCCION:

Decisión de Fabricar o Comprar

Janders Company vende varios productos para oficina y de ingeniería. Actualmente

Janders esta preparando la introducción de 2 nuevas calculadoras: una para el

mercado de oficinas llamada Financial y otra para el mercado de ingeniería llamada

Technican. Cada calculadora tiene 3 componentes: una base, un cartucho electrónico

y una caratula o parte superior. En ambas calculadora utiliza las misma base, pero los

cartuchos y las caratulas son diferentes. La empresa puede fabricar todos los


179

componentes o puede adquirirlos a un proveedor externo. Los costos de manufactura

y los precios de adquisición de los componentes son:

COSTOS DE MANUFACTURA Y PRECIOS DE ADQUISICION PARA JANDERS

Costo por unidad

Componente Manufactura (tiempo normal) Adquisición

Base $0.50 $0.60

Cartucho Financial 3.75 4.00

Cartucho Technican 3.30 3.90

Caratula Financial 0.60 0.65

Caratula Technican 0.75 0.78

TIEMPO EN MINUTOS DE MANUFACTURA POR UNIDAD DE LOS COMPONENTES

DE LAS CALCULADORAS DE JANDERS

COMPONENTE TIEMPO MANUFACTURA

BASE 1.0

CARTUCHO FINANCIAL 3.0

CARTUCHO TECHNICAN 2.5

CARATULA FINANCIAL 1.0

CARATULA TECHNICAN 1.5

Janders cree que serán necesarios 3000 calculadoras Financial y 2000 Technican. Sin

embargo, la capacidad de producción esta limitada.

La empresa cuenta con 200 horas de tiempo normal de fabricación y 50 horas de

tiempo extra que pueden usarse en la fabricación de calculadoras. El tiempo extra

implica un sobrecosto a un costo adicional de $9 por hora.

El problema de Jander es determinar cuantas unidades de cada componente

manufacturar y cuantas adquirir.

Definimos las variables de decisión como sigue:

BM = numero de bases fabricadas

BP = numero de bases adquiridas

FCM = numero de cartuchos Financial fabricados

FCP = numero de cartuchos Financial adquiridos

TCM = numero de cartuchos Technican fabricados

TCP = numero de cartuchos Technican adquiridos

FTM = numero de caratulas Financial fabricados


180

FTP = numero de caratulas Financial adquiridos

TTM = numero de caratulas Technican fabricados

TTP = numero de caratulas Technican adquiridos

Es necesaria una variable de decisión adicional para determinar las horas de tiempo

extra que se debe programar:

OT = numero de horas de tiempo extra a programar

La función objetivo es minimizar el costo total, incluyendo los costos de manufactura

de adquisición y de tiempo extra. Utilizando los datos de costos unitarios y la tasa del

costo por tiempo extra de $9 por hora, escribimos la función objetivo:

Min Costo Total = 0.5 BM + 0.6 BP + 3.75 FCM + 4 FCP + 3.37 TCM + 3.9 TCP + 0.6

FTM + 0.65 FTP + 0.75 TTM + 0.78 TTP + 9 OT.

Las 5 primeras restricciones definen la cantidad que se debe obtener de cada

componente para satisfacer la demanda de 3000 calculadoras Financial y 2000

Technican. Se necesita un total de 5000 bases y el volumen de los otros 2

componentes dependen de la demanda de cada calculadora en particular.

BM + BP = 5000 Bases

FCM + FCP = 3000 Cartuchos Financial

TCM + TCP = 2000 Cartuchos Technican

FTM + FTP = 3000 Caratulas Financial

TTM + TTP = 2000 Caratulas Technican

Se necesitan 2 restricciones para garantizar que no exceda la capacidad de

producción en tiempo normal y extra.

OT ≤ 50 capacidad total de tiempo extra

Tiempo total de manufactura ≤ Capacidad total de producción (incluyendo

tiempo normal y tiempo extra)

En la segunda restricción, el tiempo total de manufactura se expresa en minutos, por lo

que convertiremos las 200 horas de capacidad de tiempo normal en 60(200) = 12000

minutos, y como el tiempo extra es desconocido lo escribiremos como 60*OT minutos

Por lo que la segunda restricción queda de esta forma:

BM + 3 FCM + 2.5 TCM + FTM + 1.5 TTM ≤ 12,000 + 60 OT


181

BM + 3 FCM + 2.5 TCM + FTM + 1.5 TTM – 60 OT ≤ 12,000

El modelo completo del problema de fabricar o comprar de Janders, incluyendo todas

las variables de decisión mayores o igual a cero es:

Min Costo Total = 0.5 BM + 0.6 BP + 3.75 FCM + 4 FCP + 3.37 TCM + 3.9 TCP + 0.6

FTM + 0.65 FTP + 0.75 TTM + 0.78 TTP + 9 OT.

Sujeto a

BM + BP = 5000 Bases

FCM + FCP = 3000 Cartuchos Financial

TCM + TCP = 2000 Cartuchos Technican

FTM + FTP = 3000 Caratulas Financial

TTM + TTP = 2000 Caratulas Technican

OT ≤ 50 Horas de tiempo extra

BM + 3 FCM + 2.5 TCM + FTM + 1.5 TTM – 60 OT ≤ 12,000 cap de prod.

La solución usando el WinQSB de este problema es:

La solución optima indica que deben fabricarse la totalidad de 5000 bases (BM), 667

cartuchos Financial Manager (FCM) y 2000 cartuchos Technician (TCM).

Los restantes 2333 cartuchos Financial Manager (FCP), todas las carátulas Financial

Manager (FTP) y toas las carátulas Technician (TTP) deberán ser adquiridas.

No es necesario tiempo extra de manufactura y el costo total asociado con el plan

optimo de fabricar o adquirir es de $24,443.33


182

El análisis de sensibilidad nos da alguna información adicional sobre la capacidad de

tiempo extra no utilizada

• La columna de costos reducidos muestra que el sobrecosto de tiempo extra

(OT) tendría que disminuir en $4 la hora, antes de que pudiera considerarse

producción en tiempo extra. Esto es, si el sobrecosto por tiempo extra es $9 -

$4 = $5 o menos.

Janders pudiera desear reemplazar parte de los componentes adquiridos por

componentes fabricados en tiempo extra

• El precio dual para la restricción por capacidad de producción (C7) es 0.083.

Este precio indica que una hora adicional de capacidad de manufactura vale

$0.083 por minuto, es decir ($0.083)(60 min) = $5/hora.

• El rango de factibilidad de C7 muestra que esta conclusión es valida hasta que

el total del tiempo ordinario se eleve a 19,000 minutos, es decir 316.7 horas

La interpretación correcta del precio dual por capacidad de manufactura (C7) es

que una hora adicional de capacidad de producción vale $0.083*60 = $5 por hora

por encima del costo horario actual por tiempo ordinario, por lo que si el costo

normal u ordinario es de $18 por hora, Janders debería estar deseoso de pagar

hasta $18+5=$23 la hora, para conseguir capacidad adicional de mano de obra

8.5. APLICACIÓN EN ASIGNACION DE FUERZA DE TRABAJO

Los problemas de asignación de fuerza de trabajo ocurren con frecuencia cuando los

gerentes de producción deben tomar decisiones que involucren requerimientos del

personal para un periodo de planeación dado. Las asignaciones de la fuerza de trabajo

a menudo tiene algo de flexibilidad y por lo menos parte del personal puede asignarse

a mas de un departamento o centro de trabajo. Este es el caso cuando esta persona

puede desempeñar 2 o mas puestos.

En la aplicación que sigue mostramos como utilizar la programación lineal para

determinar no solo cual es la mezcla optima del producto, sino también es la

asignación óptima de la fuerza de trabajo.

La empresa de manufactura ABC, fabrica dos productos con contribuciones a la

utilidad por unidad de $10 y $9 respectivamente. En la tabla siguiente aparecen las

necesidades de mano de obra por unidad producida y las horas totales de mano de

obra disponible por personal asignado a cada uno de los 4 departamentos.


183

Suponiendo que el número de horas disponible en cada departamento es fijo,

podemos formular el problema de ABC como un programa lineal estándar de mezcla

de productos, con las siguientes variables de decisión:

P1 = Unidades del producto 1

P2 = Unidades del producto 2

Horas de mano de obra por unidad y horas disponibles para ABC

Departamento Producto 1 Producto 2 Horas disponibles

1 0.65 0.95 6500

2 0.45 0.85 6000

3 1.00 0.70 7000

4 0.15 0.30 1400

El programa lineal es:

Max 10P1 + 9P2

Sujeto a

0.65 P1 + 0.λ5 P2 ≥ 6500

0.45 P1 + 0.85 P2 ≥ 6000

1.00 P1 + 0.70 P2 ≥ 7000

0.15 P1 + 0.30 P2 ≥ 1400

P1, P2 ≥ 0

La solución óptima al modelo es:

El resultado indica que se necesitan 5744 unidades del producto 1, 1795 unidades del

producto 2 y se obtiene una utilidad de $73,590. Con esta solución optima, los

departamentos 3 y 4 están operando a plena capacidad y los departamentos 1 y 2

tiene una holgura de 1151 y 1890 horas respectivamente


184

9. PROBLEMAS DE TRANSPORTE, ASIGNACION

Y TRANSBORDO

Los problemas de transporte, asignación y trasbordo corresponden a una clase

especial de problemas de programación lineal conocida como problemas de flujo de

red

El Problema de Transporte corresponde a un tipo particular de un problema de

programación Lineal. Si bien este tipo de problema puede ser resuelto por el Método

Simplex, existe un algoritmo simplificado especial para resolverlo.

9.1. PROBLEMAS DE TRANSPORTE

El problema de transporte frecuentemente se presenta al planear la distribución de

bienes y servicios desde varias localizaciones de suministro (origen) hacia varias

ubicaciones de la demanda (destino).

La cantidad de los bienes disponibles en cada localización de suministro (origen) es

limitada y la cantidad de los bienes necesarios en cada localización de demanda

(destino) es conocida.

Por lo general, en un problema de transporte el objetivo es minimizar el costo de

embarcar los bienes desde los orígenes hacia los destinos.

El modelo general de programación lineal de un problema de transportes con “m”

orígenes y “n” destinos es como sigueμ

Sujeto a

Donde

i = Índice de los orígenes, i = 1, 2, …, m

j = Índice para los destinos, j = 1, 2, …, n

Xij = Numero de unidades embarcadas desde el origen i hasta el destino j

Cij = Costo unitario de embarcar del origen i al destino j

m

1i 1

Min.n

j

CijXij

jy i las todasPara 0

j Demanda

i Suministro

1

n

1j

Xij

Xij

Xij

m

i

i = 1, 2, …., m

j = 1, 2, …., n


185

Ejemplo

Foster Generators tiene plantas en Cleveland (Ohio), Bedford (Indiana), York

(Pensilvania), la capacidad de producción para el siguiente periodo de plantación para

un tipo especifico de generador es como sigue

La empresa distribuye sus generadores a través de 4 centros regionales de

distribución localizados en Boston, Chicago, San Luís y Lexington; el pronóstico de la

demanda de los centros de distribución es como sigue:

Origen Centro de distribución

Pronostico demanda (unidades)

1 Boston 6,000

2 Chicago 4,000

3 San Luis 2,000

4 Lexington 1,500

TOTAL 13,500

Los costos unitarios de los orígenes hacia los destinos se dan en la siguiente tabla:

COSTO UNITARIO DE TRANSPORTE (FOSTER)

Origen Boston Chicago San Luís Lexington

Cleveland 3 2 7 6

Bedford 7 5 2 3

New York 2 5 4 5

La administración desearía determinar cuanto de su producción deberá embarcase

desde cada una de las plantas hasta cada uno de los centros de distribución. La figura

siguiente muestra de manera grafica las 12 rutas de distribución que la Empresa

Foster Generators puede utilizar.

Origen Planta Capacidad de producción (unidades)

1 Cleveland 5,000

2 Bedford 6,000

3 York 2,500

TOTAL 13,500


186

Esta grafica se conoce como

red. Los círculos son los

nodos y las líneas que los

conectan son los arcos. La

oferta o suministro se

escribe al lado de cada nado

de origen y la demanda se

escribe al lado de cada nodo

de destino.

Los bienes embarcados

desde los orígenes hacia los

destinos representan el flujo

en la red (flechas).

Para el problema de de Foster el objetivo es determinar las rutas a usar y la cantidad a

embarcar en cada una de ellas y que den el mínimo costo de transporte total

a) Solución del problema de Foster usando programación Lineal

Para resolver el problema de transportes se puede utilizar un modelo de programación

lineal, para esto usaremos variables de decisión con doble subíndices (Xij) indicando

el numero de unidades que se embarcan del origen i hacia el destino j

La función objetivo es minimizar el costo total de transporte de Foster Generators,

para esto se debe sumar los costos de transporte de cada planta (origen)

Unidades embarcadas desde Cleveland = 3X11 + 2X12 + 7X13 + 6X14

Unidades embarcadas desde Bedford = 7X21 + 5X22 + 2X23 + 3X24

Unidades embarcadas desde York = 2X31 + 5X32 + 4X33 + 5X34

La suma de estas expresiones nos da la función objetivo que nos muestra el costo

total de transporte de Foster Generators

Restricciones de capacidad: Cada uno de los orígenes tiene un suministro limitado

Suministro de Cleveland X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 5000

Suministro de Bedford X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 5000

Suministro de York X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 5000

1Cleveland

2Bedford

3York

1Boston

2Chicago

3San Luis

4Lexington

5000

6000

2500

6000

4000

2000

1500

3

2

7

6

75

2

3

254

5

Plantas(Origen)

Centro Distribución(Destino)

Costotransporte

Unitario


187

Restricciones de Demanda: Cada centro de distribución tiene una demanda

específica para satisfacer las demandas de los destinos

Demanda de Boston X11 + X21 + X31 = 6000

Demanda de Chicago X12 + X22 + X33 = 4000

Demanda de San Luís X13 + X23 + X33 = 2000

Demanda de Lexington X14 + X24 + X34 = 1500

Combinando la función objetivo y las restricciones en un modelo, obtenemos un

problema de programación lineal con 12 variables y 7 restricciones del problema de

transportes de Foster Generation

Min 3X11 + 2X12 + 7X13 + 6X14 + 7X21 + 5X22 + 2X23 + 3X24 + 2X31 + 5X32 + 4X33 + 5X34

Sujeto a

X11 + X12 + X13 + X14 ≤ 5000

X21 + X22 + X23 + X24 ≤ 5000

X31 + X32 + X33 + X34 ≤ 5000

X11 + X21 + X31 = 6000

X12 + X22 + X32 = 4000

X13 + X23 + X33 = 2000

X14 + X24 + X34 = 1500

Resolviendo el problema de Foster Generators utilizando WinQSB. La solución muestra que costo total

de transporte es de $39,500. Los

valores de las variables de

decisión muestran los valores

óptimos a embarcar en cada ruta.

Ejemplo X11 = 3,500 deberán

embarcarse 3,500 unidades de

Cleveland hacia Boston

Decision Solution Unit Cost or Total ReducedVariable Value Profit C(j) Contribution Cost

1 X11 3,500.00 3 10,500.00 02 X12 1,500.00 2 3,000.00 03 X13 0 7 0 84 X14 0 6 0 65 X21 0 7 0 16 X22 2,500.00 5 12,500.00 07 X23 2,000.00 2 4,000.00 08 X24 1,500.00 3 4,500.00 09 X31 2,500.00 2 5,000.00 0

10 X32 0 5 0 411 X33 0 4 0 612 X34 0 5 0 6

Objective Function (Min.) = 39,500.00


188

SOLUCION POR EXCEL DEL PROBLEMA DE TRANSPORTES

DE FOSTER GENERATORS

Primero deberá escribirse en la hoja de cálculo los datos de los costos de transporte,

la capacidad de las plantas (centro de origen) y la demanda de los centros de

distribución (destino)

Segundo deberán identificarse las celdas donde se almacenan los valores de las

variables de decisión Xij (numero de unidades embarcadas desde cada origen y el

numero de unidades recibidas en cada destino.

Solution for Foster Generators: Minimization (Transportation Problem)From To Shipment Unit Cost Total Cost Reduced Cost

1 Cleveland Boston 3500 3 10500 02 Cleveland Chicago 1500 2 3000 03 Bedford Chicago 2500 5 12500 04 Bedford San Luis 2000 2 4000 05 Bedford Lexington 1500 3 4500 06 York Boston 2500 2 5000 0

Total Objective Function Value = 39500


189

Ahora estamos listos para utilizar el Solver y obtener la solución optima al problema.

Seleccione el menú Herramientas Solver (Resolver)

La solución óptima de este problema es


190

VARIANTES AL PROBLEMA DE TRANSPORTES

El problema de Foster Generators muestra el uso del modelo de transportes básico,

las variantes al problema de transporte básico pueden implicar una o más de las

siguientes situaciones:

2. Oferta o suministro total no es igual a la demanda total

3. maximización de la función objetivo

4. rutas con capacidad limitada

5. rutas no aceptables

Con ligeras modificaciones en el modelo de programación lineal estas situaciones se

pueden tomar en cuenta fácilmente

1. OFERTA O SUMINISTRO TOTAL NO ES IGUAL A LA DEMANDA TOTAL

Si el suministro total es mayor a la demanda total, no es necesaria ninguna

modificación al problema de PL. aparecerá en la solución un suministro

excedente (como holgura). La holgura de cualquier origen en particular se

puede interpretar como suministro u oferta sin utilizar, es decir una cantidad

que no se ha embarcado desde el origen

Si el suministro total es inferior a la demanda total, el modelo de PL no tendrá

solución factible. En este caso modificamos la representación en la red

agregando un origen ficticio, con un suministro igual a la diferencia entre la

demanda total y la oferta total y un costo unitario igual a cero. Al agregar un

origen ficticio y un arco que salga del origen ficticio a cada destino el modelo de

PL tendrá una solución factible. Al obtener la solución optima, aquellos destinos

que muestren embarques recibidos del origen ficticio serán los que

experimenten carencias o demandas insatisfechas.

2. MAXIMIZACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

En algunos problemas de transportes, el objetivo es encontrar una solución que

maximice la utilidad o los ingresos, estos valores de utilidad o ingresos deben estar

reflejados en la función objetivo. Simplemente resolvemos un programa de PL de

maximización en vez de uno de minimización. Este cambio no afecta a las

restricciones.


191

3. RUTAS CON CAPACIDAD LIMITADA

La formulación del problema de transportes también puede tomar en consideración

capacidades o cantidades mínimas para una o mas rutas. Por ejemplo: suponga

que en el problema de Foster, la ruta York – Boston (origen 3 al destino 1) tiene una

capacidad de 1000 unidades (transporte pequeño). Solamente se agrega la

siguiente restricción por capacidad X31 ≤ 1000

De manera similar se puede definir montos mínimos. Por ejemplo X22 ≥ 2000,

esto garantiza un pedido para entregar de por lo menos 2000 unidades desde

Bedford a Chicago

4. Rutas no aceptables

A veces no pueda ser posible establecer una ruta desde cualquier origen hasta

cualquier destino. A fin de manejar esta situación simplemente hacemos

desaparecer el arco correspondiente de la red y eliminamos la variable

correspondiente a la formulación del problema de la PL. Por ejemplo si la ruta

Cleveland – San Luis (origen 1 a destino 3) fuera no utilizable, se eliminaría el arco

que va de Cleveland a San Luis y X13 podría eliminarse de la formulación de PL.

La solución de este problema con 11 variables y 7 restricciones nos dará la solución

óptima garantizando que la ruta Claveland – San Luis no se utilizaría.

9.2. PROBLEMAS DE ASIGNACION

Los problemas típicos de asignación implican asignar tareas a maquinarias, agentes a

trabajos especiales, personal de ventas a territorios, contratos a licitantes, etc.

Una característica que distingue a los problemas de asignación es que un agente se le

asigna a una y solamente una tarea

Específicamente buscamos el conjunto de asignaciones que optimizarán un objetivo

dado como minimizar el costo, minimizar el tiempo o maximizar la utilidad

El problema de asignación es un caso especial de problema de transporte, en que

todos los valores de oferta y demanda son iguales a 1, y la cantidad que se embarca

en cada uno de los arcos es 0 o 1

El problema general de asignación involucra a “m” agentes a “n” tareas. Si hacemos

que Xij = 1 o 0 dependiendo si el agente i es asignado o no a la tarea j, y si Cij indica


192

el costo de asignar el agente i a la tarea j, podemos escribir el modelo general de

asignación de la forma:

m

1i

n

1J

CijXij Min.

Sujeto a

m

i

n

j

Xij

Xij

1

1

1

1

Xij ≥ 0 para todas las i y j

Ejemplo

Fowle Marketing Co. acaba de recibir solicitudes de investigación de mercado de 3

clientes nuevos. La empresa se enfrenta a la tarea de asignar un líder o jefe del

proyecto (agente) a cada cliente (tarea). Fowle cuenta con 3 ejecutivos que están

disponibles, sin embargo se da cuenta de que el tiempo requerido para terminar cada

uno de los estudios dependerá de la experiencia y capacidad del líder de proyecto.

Los proyectos tienen aproximadamente la misma prioridad y la administración de

Fowle desea asignar líderes de proyecto para minimizar el número total de días

necesarios para completar los 3 proyectos. Si se debe asignar a un líder a un solo

cliente. ¿Qué asignaciones deberán efectuarse?

Para resolver esto, la administración de Fowle primero deberá considerar tolas las

posibles asignaciones líder del proyecto – cliente y a continuación estimar los tiempos

de terminación del proyecto correspondiente. La siguiente tabla muestra las

alternativas y los tiempos estimados de terminación

Líder proyecto Cliente

1 2 3

1 Terry 10 15 9

2. Carle 9 18 5

3. McClymond 6 14 3

Tiempo estimado (días) de terminación del proyecto

i = 1, 2, …, m Agentes

i = 1, 2, …, m Agentes


193

La siguiente figura muestra la

representación en red del

problema de asignación de

Fowle. Note la similitud entre

los modelos de red en un

problema de asignación y en

un problema de transporte.

Dado que el problema de asignación es un caso especial del problema de transporte,

se puede desarrollar una formulación de programación lineal.

Sea Xij 1 si el del líder del proyecto i se le asigna al cliente j

0 de no ser ese el caso

Donde i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3

La suma de los tiempos de terminación de los 3 líderes de proyecto nos dará los días

totales mínimo necesarios para terminar las 3 asignaciones, la función objetivo es:

Días requeridos para la asignación de Terry = 10X11 + 15X12 + 9X13

Días requeridos para la asignación de Carle = 9X21 + 18X22 + 5X23

Días requeridos para la asignación de McClymond) = 6X31 + 14X32 + 3X33

Las restricciones para el problema de asignación reflejan las condiciones de que cada

líder del proyecto solo puede ser asignado como máximo a un cliente y que cada

cliente solo puede tener como máximo un líder de proyecto asignado. Estas

restricciones se escriben como sigue:

X11 + X12 + X13 ≤ 1 Asignación de Terry

X21 + X22 + X23 ≤ 1 Asignación de Carle

X31 + X32 + X33 ≤ 1 Asignación de McClymond

X11 + X21 + X31 = 1 Cliente 1

1Terry

2Carle

3McClymond

Cliente1

Cliente2

Cliente3

1015

9

9

18

5

6

14

3

1

1

1

1

1

1

Oferta DemandaAsignaciones posibles(arcos)

Lideres del Proyecto(nodos de origen)

Clientes(nodos de destino)

Tiempo determinación

en días


194

X12 + X22 + X32 = 1 Cliente 2

X13 + X23 + X33 = 1 Cliente 3

Combinando la función objetivo y las restricciones en un modelo de PL con 9 variables

y 6 restricciones queda así:

Min. 10X11 + 15X12 + 9X13 + 9X21 + 18X22 + 5X23 + 6X31 + 14X32 + 3X33

Sujeto a

X11 + X12 + X13 ≤ 1

X21 + X22 + X23 ≤ 1

X31 + X32 + X33 ≤ 1

X11 + X21 + X31 = 1

X12 + X22 + X32 = 1

X13 + X23 + X33 = 1

Xij ≥ 0 para i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3

La solución por computadora usando WinQSB. Según este modelo Ferry es asignado

al cliente 2, Carle es asignado al cliente 3 y McClymonds es asignado al cliente 1. El

tiempo total de terminación requerido es de 26 días

Líder Cliente asignado Días

Terry Cliente 2 15

Carle Cliente 3 5

McClymond Cliente 1 6

Total 26


195

VARIANTES AL PROBLEMA DE PROBLEMAS DE ASIGNACION

Debido a que el problema de asignación se puede considerar como un caso especial

del problema de transportes, las variantes que pueden ocurrir en un problema de

asignación son paralelas a las correspondientes en los problemas de transportes

1. Numero total de agentes (suministros) distinto al numero total de

tareas (demanda)

2. maximización de la función objetivo

3. asignaciones no aceptables

1. NUMERO TOTAL DE AGENTES DISTINTO AL NÚMERO TOTAL DE TAREAS

Si el número de agentes excede al de tareas, en el modelo de PL los agentes

adicionales simplemente se quedan sin asignación.

Si el número de tareas excede al de agentes, el modelo de PL no tendrá una

solución factible. En este caso agregamos los suficientes agentes ficticios para

igualar el número de agentes y de tareas, con coeficiente en la función objetivo

de cero. Por ejemplo en el problema de Fowle pudiéramos haber tenido 5

clientes (tareas) y solo 3 líderes (agentes). Al agregar 2 líderes ficticios

podemos crear un nuevo problema de asignación ahora con igual cantidad de

líderes y clientes.

2. MAXIMIZACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

Si en vez de tiempo o de costo las alternativas de asignación se evalúan en función

de ingresos o de utilidades, se puede resolver la PL como una maximización en vez

de minimización


196

3. ASIGNACIONES NO ACEPTABLES

Si una o más de las asignaciones no son aceptables, se puede eliminar la variable

de decisión en la formulación del PL. Esta situación pudiera ocurrir si uno de los

agentes no tuviera la experiencia necesaria para una o más de las tareas

9.3. EL PROBLEMA DE TRASBORDO

El problema de trasbordo es una extensión al problema de transporte, en el

cual se agrega nodos intermedios conocidos como “nodos de trasbordo”, para

tomar en consideraciones localizaciones como por ejemplo: almacenes

La oferta o suministro disponible en cada origen es limitada y en cada destino

la demanda es conocida

El objetivo del problema de trasbordo es determinar cuantas unidades deberán

embarcarse en cada uno de los arcos de la red, de manera que todas las

demandas – destino se satisfagan al costo de transporte mínimo posible

El modelo de programación lineal general del problema de trasbordo es:

arcos los todos

CijXijMin

Sujeto a

j destino de Nodo j Demanda

Trasbordo de Nodos 0

iOrigen de Nodos i Suministro

salida de arcosentrada de arcos

entrada de arcossalida de arcos

entrada de arcossalida de arcos

XijXij

XijXij

XijXij

Donde

Xij = numero de unidades embarcadas del nodo i al nodo j

Cij = Costo unitario de embarque del nodo i al nodo j

Por Ejemplo: Ryan Electronic es una empresa con instalaciones de producción en

Denver y en Atlanta. Los componentes de producción en cualquiera de estas

instalaciones pueden ser embarcadas a cualquiera de los almacenes de la empresa

que están localizadas en Kansas City y en Lousiville. De los almacenes regionales la

empresa suministra a los detallistas al menudeo en Detroit, Miami, Dallas y nueva

Orleáns.


197

Almacén

Planta Kansas City Louisville

Denver 2 3

Atlanta 3 1

Distribución al detalle

Almacén Detroit Miami Dallas Nueva Orleáns

Kansas City 2 6 3 6

Louisville 4 4 6 5

Las características claves del problema aparecen en el modelo de red siguiente

Representación en red del problema de trasbordo de Ryan Electrics

Igual que el problema de transporte y de asignación, podemos formular un modelo de

Programación Lineal de trasbordo a partir de la representación en red.

Supongamos que Xij denota el número de unidades embarcadas del nodo i hacia el

nodo j.

Dado que el suministro de la planta de Denver es de 600 unidades, las cantidades

embarcadas desde la planta de Denver debe de ser menor que o igual a 600

X13 + X14 ≤ 600

Similarmente, para la planta de Atlanta tenemos X23 + X24 ≤ 400

1Denver

2Atlanta

3Kansas

City

4Louisville

6Miami

8Nueva

Orleans

5Detroit

7Dallas

2

3

3

1

600

400

2

63

6

44

6

5

200

150

350

300

Plantas(nodo origen)

Almacenes(nodo de trasbordo)

Distribuidores al menudeo(nodo destino)

Suministros

Demandas

Rutas de distribución(arcos)


198

Consideremos ahora como expresar las restricciones que corresponden a los 2 nodos

de trasbordo.

Para el nodo 3 (almacén de Kansas City), debemos garantizar que el numero de

unidades que se embarquen sea igual al numero de unidades que se hayan recibido

en el almacén, es decir

Obtenemos X35 + X36 + X37 + X38 = X13 + X23

- X13 - X23 + X35 + X36 + X37 + X38 = 0

De manera similar para el nodo 4 es: X45 + X46 + X47 + X48 = X14 + X24

- X14 - X24 + X45 + X46 + X47 + X48 = 0

Para desarrollar las restricciones asociadas con los nodos destino, reconocemos que

cada nodo, la cantidad embarcada al destino debe ser igual a la demanda. Ejemplo

X35 + X45 = 200 satisfacer la demanda de 200 unidades en el nodo 5




La función objetivo refleja el costo total de embarque en las 12 rutas de embarque.

Combinando la función objetivo y las restricciones nos lleva al modelo de PL con 12

variables y 8 restricciones del problema de trasbordo de Ryan Electronics

Min. 2X13 + 3X14 + 3X23 + 1X24 + 2X35 + 6X36 + 3X37 + 6X38 + 4X45 + 4X46 + 6X47 + 5X48

Sujeto a

X13 + X14 ≤ 600

X23 + X24 ≤ 400

-X13 - X23 + X35 + X36 + X37 + X38 = 0

- X14 - X24 + X45 + X46 + X47 + X48 = 0

X35 + X45 = 200

X36 + X46 = 150

X37 + X47 = 350

X38 + X48 = 300

Xij ≥ 0 para todas las i y j

Almacén de Kansas City

(Nodo 3)

Unidades embarcadas hacia dentro del nodo3

Unidades embarcadas hacia fuera del nodo 3

X13 + X23 X35 + X36 + X37 + X38

Restricciones de los nodos de origen

Restricciones de los nodos de trasbordo

Restricciones de los nodos de destino


199

Para obtener la solución óptima se utilizo el WinQSB y se muestra a continuación

Tal como se menciono al principio, los arcos del problema de trasbordo pueden

conectar cualquier par de nodos. En un problema de trasbordo son posibles todos

estos patrones de embarques. Solo seguiremos requiriendo una restricción por nodo,

pero la restricción deberá incluir una variable para cada uno de los arcos que entren o

salgan del nodo.

Nodos de Origen

(Embarques de salida) - (embarques de entrada) ≤ suministro de origen

Nodos de destino: (Embarques de entrada) - (embarques de salida) = demanda

Nodos de Trasbordo: (Embarques de salida) = (embarques de salida)


200

VARIANTES DEL PROBLEMA

Igual que en los problemas de transporte y de asignación, se pueden formular

problemas de trasbordo con varias variantes, incluyendo:

1. Suministro total no igual a la demanda total

2. Maximización de la función objetivo

3. Rutas con capacidad limitada

4. Rutas no aceptables

Las modificaciones al modelo de PL requeridas para aceptar estas variantes son

idénticas al de problema de transportes


1. Una empresa importa bienes de 2 puertos: Filadelfia y Nueva Orleáns. Los

embarques de un producto se efectúan a clientes en Atlanta, Dallas, Columbus y

Boston. Para el siguiente periodo de planeación, los suministros en cada puerto, la

demanda de los clientes y los costos de embarques por caja desde cada puerto a

cada uno de los clientes son como sigue:

Clientes Suministro

del puerto Puerto Atlanta Dallas Columbus Boston

Filadelfia 2 6 6 2 5000

Nueva Orleans 1 2 5 7 3000

Demanda 1400 3200 2000 1400

Desarrolle una representación en red del sistema de distribución y obtenga los

valores óptimos de distribución

2. La compañía Muebles Ejecutivos decidió expandir la capacidad de producción en

su fábrica de Des Moines y reducirla en la demás fábricas.

DE / A Albuquerque Boston Cleveland Capacidades

de Fabrica

Des Moines 5 4 3 300

Evansville 8 4 3 150

Fort 9 7 4 250

Requerimiento

de almacenes

200 200 300


201

3. Considere la representación en red siguiente de un problema de transportes:

los suministros, demandas y costos de transportes por unidad aparece en la red

a) Desarrolle un modelo de programación lineal para este problema

b) Resuelva el problema lineal para determinar la solución optima

4. Un producto es manufacturado en 3 plantas y embarcado a 3 almacenes (los

costos de transporte por unidad aparecen en la tabla siguiente)

Planta Almacén Capacidad de la planta W1 W2 W3

Planta1 20 16 24 300

Planta2 10 10 8 500

Planta3 12 18 10 100

Demanda de cada almacén 200 400 300

a) Muestre una representación en red del problema

b) Desarrolle un modelo de programación lineal para minimización de costo de

transporte

c) Resuelva el problema y determine la solución a costo mínimo

Rpta: b) X12= 300; X21= 100; X22= 100; X23= 300; X31= 100; Costo = $10,400

5. Tri-Country suministra gas natural a clientes en 3 distritos. La empresa adquiere el

gas natural a 2 empresas: Southern Gas y Northwest gas. Los pronósticos de

demanda son: Hamilton 400 unidades; Butler 200 unidades; Clermon 300

unidades. Se han suscrito contratos de suministro de las cantidades siguientes

Southern Gas 500 unidades y Northwest Gas 400 unidsades. El costo de

distribución para cada uno de los distritos varía en función de la ubicación de los

Trujillo

Lima

Chiclayo

Puno

Huaraz

30

20

25

15

10

Suministros Demanda

14

9

7

8

10

5

Trujillo

Lima

Chiclayo

Puno

Huaraz

30

20

25

15

10

Suministros Demanda

14

9

7

8

10

5


202

proveedores. El costo de distribución por unidad (en miles de dólares) es como

sigue:

Desde A Hamilton A Butler A Clermont

Southern Gas 10 20 15

Nortwest Gas 12 15 18

a) Desarrolle la representación en red de este problema

b) Desarrolle el modelo de PL que se puede utilizar para determinar cual es el

plan que minimizara los costos totales de distribución

6. Arnoff Enterprise manufactura CPU’s para una línea de computadoras. Los CPU

se fabrican en Seatle, Columbus, New Cork y se embarcan a almacenes en

Pittsburg, Mobile, Denver, los Ángeles, Washington para su distribución posterior.

La tabla que sigue muestra el numero de CPU disponible en cada planta, el

numero de CPU requeridos por cada almacén y los costos de embarque (dólares

por unidad)

Planta Pittsburg Mobile Denver Los Ángeles Washington CPU disk

Seatle 10 20 5 9 10 9000

Columbus 2 10 8 30 6 4000

New York 1 20 7 10 4 8000

CPU

requeridos

3000 5000 4000 6000 3000 21,000

a) Desarrolle una representación grafica en red de este problema

b) Determine la cantidad que deberá embarcase desde cada una de las plantas a

cada uno de los almacene para minimizar el costo total de embarque

Rpta: b) Seatle – Denver = 4000 Seatle – Los Ángeles = 5000

Columbus – mobile = 4000 New York – Pittsburg = 3000

New York – Mobile = 1000 New York – Los Ángeles = 1000

New York – Washington = 3000 Costo = $150,000

7. Klein Chemicals produce un materia especial con base en petróleo, que

actualmente es muy escaso. 4 de los clientes de Klein ya han colocado pedidos

que en conjunto exceden la capacidad combinada de las 2 plantas de Klein. La

administración de Klein se enfrenta al problema de decidir cuantas unidades

deberá suministrar a cada uno de los clientes. Dado que los 4 clientes son de

distintas ramas industriales, Klein ha definido la siguiente utilidad por unidad para

cada alternativa planta – cliente


203

Planta Cliente1 Cliente2 Cliente3 Cliente4 Capacidad de

planta (unid.)

Clifton Spring $ 32 $ 34 $ 32 $ 40 5000

Danville $ 34 $ 30 $ 28 $ 38 3000

Pedidos distrib 2000 5000 3000 2000

a) Cuantas unidades deberá producir cada una de las plantas para cada uno de

los clientes, para maximizar las utilidades?.

b) ¿Qué demandas de cliente no serán cumplidas?.

c) Muestre un modelo de red

Rpta: a) Clifton – Cliente2 = 4000; Clifton – Cliente4 = 1000;

Danville – Cliente1 = 2000; Danville – Cliente2 = 1000

b) El cliente 2 tien un déficit de 1000; no se satisface la demanda del cliente3

8. Ace Manufacturing tiene pedidos de 3 productos similares; Hay disponibles 3

maquinas para las operaciones de manufactura; las 3 maquinas pueden producir

todos los productos a la misma velocidad de producción. Sin embargo, debido a

distintos porcentajes de defectuosos en cada producto y cada máquina, el costo

unitario de los productos varía dependiendo de la maquina utilizada. La capacidad

de maquinas para la semana siguiente, así como los costos unitarios son los

siguientes:

Maquina Prod A Prod B Prod C Capacidad (unid)

1 $ 1 $ 1.20 $ 0.90 1500

2 $ 1.30 $ 1.40 $ 1.20 1500

3 $ 1.10 $ 1 $ 1.20 1000

Pedido (unid) 2000 500 1200

Utilice el modelo de transporte para desarrollar el programa de producción a

costo mínimo de productos y maquinas

Rpta: 1 – A = 300; 1 – C = 1200; 2 – A = 1200; 3 – A = 500; 3 – B = 500

9. Scott and Associattes es una empresa de contabilidad que tiene 3 nuevos clientes.

Se asignaran jefes de proyectos a estos 3 nuevos clientes. Con base en los

antecedentes y experiencia las varias asignaciones líder – cliente difieren en

función a los tiempos de terminación estimados (en dias)

Lider Cliente1 Cliente2 Cliente3

Jackson 10 16 32

Ellis 14 22 40


204

Smith 22 24 34

a) Desarrolle una representación grafica en red de este problema

b) Cuál es el tiempo total requerido?

Rpta: b) Jackson – cliente2; Ellis – Cliente1; Smith – Cliente3; Tiempo total de

terminación = 64 días

10. Wilson Distributors está abriendo 2 nuevos territorios de ventas en nuevos

territorios de venta. Se están tomando en consideración 3 vendedores para

promoverlos al puesto de gerente regional de ventas en los nuevos territorios. La

administración ha estimado ventas anuales totales (en miles de dólares) para cada

vender a cada territorio de ventas

Gerente

Regional

Región de Ventas

Noroeste Sudoeste

1 $ 100 $ 95

2 $ 85 $ 80

3 $ 90 $ 75

a) Desarrolle una representación grafica del problema

b) Obtenga la solución optima a este problema

Rpta: b) 1 – Sudoste; 3 – Noroeste

11. El sistema de distribución de Herman Company esta formado por 3 plantas, 2

almacenes y 4 clientes. La capacidad de las plantas y los costos de embarque en

dólares desde cada una de las plantas a cada uno de los almacenes son:

Planta Almacen1 Almacen2 Capacidad

1 4 7 450

2 8 5 600

3 5 6 380

La demanda de clientes y los costos unitarios de embarque en dólares de cada

uno de los almacenes a cada uno de los clientes son

Almacén Cliente1 Cliente2 Cliente3 Cliente4

1 6 4 8 4

2 3 6 7 7

Demanda 300 300 300 400

a) Desarrolle una representación grafica en red para este problema

b) Resuelva el problema determinando el plan optimo de embarque


205

12. Paper Mils tiene fábrica de papel en Augusta (Maine) y en Tupper (New York). Las

instalaciones de almacenaje están en Albany (New York) y Portsmouth. Los

distribuidores están en Boston, New York y Filadelfia. Los costos unitarios de

transporte en dólares para embarques de las 2 plantas hacia los 2 almacenes y de

los 2 almacenes hacia los 3 distribuidores son:

Capacidad planta

(unidades) Planta Albany Portsmouth

Augusta $ 7 $ 5 300

Tupper $ 3 $ 4 100

Distribuidor

Almacén Boston New York Filadelfia

Albano 8 5 7

Portsmouth 5 6 10

Demanda (unidades) 150 100 150

a) Dibuje la representación grafica en red de este problema

b) Determine el programa de embarque a costo mínimo

Rpta: Augusta 1; Tupper 2; Albano 3; Portsmouth 4; Boston 5; New York 6;

Filadelfia 7

13. Saussy Lumber Co. Envía pisos de pino a 3 tiendas de materiales de construcción.

Determine el mejor programa de transportes con los datos de la tabla

Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Capacidad de Fabrica

Pineville 3 3 2 25 OAK Ridge 4 2 3 40 Mapletown 3 2 3 30 Demanda de tienda

30 30 35

14. Una empresa dedicada a la distribución de aceite de oliva debe enviar 30

toneladas a Madrid, 40 a Barcelona, 20 a Valencia y 10 a Bilbao. Esta empresa

suministra en Badajoz, Cáceres y Jaén, cuyas disponibilidades son de 35, 25 y 20

toneladas, respectivamente. Los costes en euros de envío de una tonelada de los

lugares de promoción a los destinos son:

Madrid Barcelona Valencia Bilbao

Badajoz 10 15 20 9


206

Cáceres 6 7 10 15

Jaén 15 20 25 30

Por cada tonelada no recibida en los puntos de destino, la empresa tiene unas

pérdidas de 5, 8, 6 y 4 nuevos soles respectivamente. La empresa desea minimizar el

costo total de la distribución de la mercadería. ¿Cómo podría hacerse la distribución

optima?

15. Tres empresas suministran ordenadores a cuatro detallistas. La cantidad de

demanda semanal de los cuatro detallistas es de 150, 150, 400 y 100 ordenadores,

respectivamente. La oferta de las tres empresas está dictada por la mano de obra

regular disponible y se calcula en 250, 300 y 250 unidades a la semana. El costo en

euros del transporte por unidad viene detallado en la siguiente tabla

Detallistas

1 2 3 4

Proveedores 1 10 20 30 20

2 20 40 10 20

3 10 30 50 30

Determinar el costo mínimo del programa de envió.

16. Una empresa de camiones envía camiones cargados de grano desde tres silos a

cuatro molinos. La oferta (en camiones cargados) y la demanda (también en camiones

cargados), junto con los costes de transporte por carga de camión en las diferentes

rutas se resumen en el modelo de transporte siguiente. Los costos de transporte por

unidad, cij , son en cientos de euros.

Molinos

1 2 3 4

Silos 1 10 2 20 11 15

2 12 7 9 20 25

3 4 14 16 18 10

5 15 15 15

Determinar el costo mínimo del programa de envío entre los silos y los molinos.

17. Un fabricante de chips tiene que planificar la producción para los próximos tres

meses de tres diferentes chips (A,B,C). Los costes de producción por chip son de A, 6


207

céntimos en los primeros meses y de 9 céntimos en el tercero; de B, 8 los dos

primeros y 11 el ´último mes; y de C, 6 céntimos los dos primeros meses y 8 el ´ultimo.

El departamento de marketing ha llevado a cabo un estudio estimado que la demanda

en los tres meses ser ´a de 300, 400 y 500 unidades, respectivamente.

La fábrica puede producir 400 unidades de cada tipo de chip.

¿Cómo se puede optimizar la distribución de la fabricación de los chips en estos tres

meses?

18. Un fabricante de automóviles puede comprar neumáticos a 3 proveedores y su

objetivo es minimizar el costo total de la compra. Los proveedores disponen, en miles

de unidades, de 6, 2 y 2 respectivamente. El fabricante necesita neumáticos en 3

plantas de producción que requieren en miles de unidades, 5 y 3 y 2 respectivamente.

El precio en cientos de $ por cada unidad entregada en cada planta es como sigue.

Localidad

1 2 3

Proveedor 1 1 8 9

2 4 2 5

3 2 3 1

1. Describir el problema como un problema de programación lineal.

2. Encuentra la solución óptima

19. Una empresa de componentes informáticos puede comprar discos duros a tres

proveedores y su objetivo es minimizar el coste total de la compra. Los proveedores

disponen de 1000, 3000 y 1000 discos respectivamente. La empresa necesita los

discos en tres cadenas de montaje sitas en tres localidades distintas.

Dichas cadenas requieren 1500, 1000 y 2500 discos respectivamente. Los precios en

cientos de euros por cada disco entregado a cada cadena son como siguen:

Cadena

1 2 3

Proveedor 1 4 7 2

2 3 5 2

3 9 11 10

Se pide:

1. Describir el problema como un problema de programación lineal

2. Calcular la solución óptima.


208

10. PROGRAMACION DE PROYECTOS: PERT / CPM

En muchas situaciones, los administradores son responsables de planear, programar y

controlar proyectos compuestos de numerosas tareas o trabajos independientes que

efectúan diversos departamentos o individuos

A menudo estos complejos son tan grandes o complejos que el administrador

realmente no puede recordar toda la información correspondiente al plan, programa y

avance del proyecto

La técnica de evaluación y revisión de programas (PERT por sus siglas en ingles) y el

método de camino crítico (CPM por sus siglas en ingles) se han utilizado para planear,

programar y controlar una amplia diversidad de proyectos como:

1. Investigación y desarrollo de nuevos productos y procesos

2. Construcción de plantas, edificios y carreteras

3. Mantenimiento de equipos grandes y complejos

4. Diseño e instalación de sistemas nuevos

5. Planeación y localización de proyectos

En proyectos de este tipo los administradores deben programar y coordinar los

diversos trabajos o actividades de tal manera que el proyecto se concluya a tiempo.

Un factor que complica estas tareas es la interdependencia de las actividades. Por

ejemplo: algunas actividades dependen de la terminación de otras antes de que pueda

iniciarse la segunda actividad.

Los proyectos pueden llegar a involucrar miles de actividades, por lo que los

administradores de proyectos buscan procedimientos que ayuden a responder

preguntas como las siguientes:

1. ¿Cuál es el tiempo total para terminar el proyecto?

2. ¿Cuáles son las fechas programadas de inicio y de terminación de cada

una de las actividades?

3. ¿Qué actividades son críticas y deben terminarse exactamente?

4. ¿Cuánto tiempo se puede retardar las actividades “no criticas” antes de

incrementar el tiempo de terminación del proyecto?

Aunque PERT y CPM tienen el mismo propósito general, las técnicas se desarrollaron

de manera independiente.


209

PERT fue desarrollado a fines de los años 50 para el proyecto de misiles Polaris.

Muchas actividades asociadas a este proyecto jamás se habían intentado

anteriormente por lo que PERT se desarrollo para manejar tiempos inciertos de

actividades

CPM en cambio se desarrollo para proyectos industriales, los que generalmente se

conocían los tiempos de actividad. CPM reducía los tiempos de actividad mediante el

aporte o el incremento de más trabajadores o recursos generalmente a un costo

aumentado, por lo que una característica distintiva de CPM es que identificaba los pro

y los contras entre el tiempo y el costo para las diversas actividades del proyecto.

Como se indicó antes, la principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que

se realizan los estimados de tiempo. PERT supone que el tiempo para realizar cada

una de las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de

probabilidad. CPM infiere que los tiempos de las actividades se conocen en forma

determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.

10.1. PROGRAMACION DE PROYECTOS CON TIEMPOS

DE ACTIVIDAD CONOCIDOS: CPM

El propietario de Western Hills Shopping Center esta planeando modernizar y expandir

el complejo actual del centro comercial de 32 negocios. Se espera que el proyecto dé

espacio para 8 o 10 nuevos negocios, con financiamiento privado.

El primer paso en el proceso de programación PERT/CPM es desarrollar una lista de

las actividades que conforman el proyecto. La siguiente tabla muestra la lista de

actividades al proyecto de expansión de Western Hills Shopping Center

Activ. Descripción de la actividad Predecesor inmediato

Duración de la actividad (semanas)

A Preparar dibujos arquitectónicos ---- 5 B Identificar nuevos clientes potenciales ---- 6 C Desarrollar prospecto para los clientes A 4 D Seleccionar contratista A 3 E Preparar las licencias de construcción A 1 F Obtener aprobación de las licencias E 4 G Llevar a cabo la construcción D, F 14 H Finalizar los contratos con los arrendatarios B, C 12 I Entrada de los arrendatarios G, H 2 Total 51 semanas


210

El predecesor inmediato identifica las actividades que deben haberse terminado

inmediatamente antes que el inicio de esta actividad siguiente. Las actividades A y B

no tienen predecesores inmediatos por lo que puede iniciarse simultáneamente al

iniciarse el proyecto.

Pudiera pensarse que el tiempo total requerido para terminar el proyecto es 51

semanas, pero a menudo 2 actividades se pueden programar se manera simultanea,

reduciendo así el tiempo de terminación del proyecto.

Utilizando el WinQSB se puede construir una representación grafica del proyecto (red

del proyecto) Inicio WinQSB PERT_CPM

Menu Format Switch to graphic model

Observe que la parte

superior del círculo indica el

tiempo de la actividad

Para determinar el tiempo

de terminación del proyecto,

tenemos que analizar la red

e identificar lo que se

conoce como el camino

critico de la red.

Para resolver el problema

hacemos lo siguiente

Menu Solver and Analyze

Solver critical Path

Menu Results

Graphics Activity Analisys


211

Donde:

Fecha más temprano de un evento: Es el tiempo (estimado) en el que ocurrirá el evento, si las actividades que lo preceden comienzan lo más pronto posible. Se calcula hacia adelante y la iniciación se etiqueta con cero

Fecha más tardía de un evento: Es el último momento (estimado) en el que podría ocurrir un evento, sin retrasar la duración total del proyecto. La revisión de la red se realiza hacia atrás. Holgura para un evento: Se define como la diferencia entre el tiempo más tardío y su tiempo más temprano. La holgura para una actividad indica cuánto retraso puede tolerarse para llegar a esa actividad sin retrasar la terminación del proyecto Una ruta crítica en un proyecto es una ruta a través de la red tal que todas sus actividades tienen holgura cero.

RESPUESTA DEL MODELO CPM

5

C

9

8 12

Fecha más temprana de inicio

Fecha más temprana de terminación

Fecha más tardía de inicio

Fecha más tardía de terminación

Holgura para una actividad

Fecha más tardía de

Fecha más temprana de terminación = -


212

1. Cuanto tiempo tomara finalizar el proyecto?

Rpta: El proyecto se puede terminar en 26 semanas, si cada una de las

actividades se termina según el programa

2. Cuales son las fechas programadas de inicio y fin de cada actividad?

Rpta: El programa de actividades muestra las fechas mas tempranas y tardías de

inicio y finalización de cada actividad

3. Que actividades son criticas y deben terminarse a tiempo?

Rpta: Las actividades criticas son A, E, F, G, I

4. Cuanto se puede retrazar las actividades no criticas?

Rpta: en la tabla muestra la holgura asociada con cada una de las actividades

10.2. PROGRAMACION DE PROYECTOS CON TIEMPOS

INCIERTOS DE ACTIVIDADES: PERT

Aquí abordaremos detalles de la programación de proyectos para un problema que

involucra investigación y desarrollo de nuevos productos. Dado que muchas de las

actividades de este proyecto nunca se han intentado, el administrador del proyecto

desea tomar en consideración la incertidumbre en los tiempos de las actividades.

Ahora demostraremos como se pueden programar proyectos con tiempos inciertos de

actividad.

EL PROYECTO DE DAUGHERTY PORTA – VAC

Daugherty Company ha manufacturado sistemas industriales de aspiradoras durante

muchos años. Recientemente la empresa esta considerando la manufactura de una

aspiradora inalámbrica. El nuevo producto conocido como Porta – Vac, podría

contribuir a la expansión de la empresa en el mercado domestico. La administración

espera que se pueda fabricar a un costo razonable y que el hecho que sea portátil e

inalambrico lo haran muy atractivo, por lo que la empresa desea estudiar la posibilidad

de manufacturar el Porta – Vac.

Para realizar este estudio, se debe obtener información de los grupos de investigación

y desarrollo, de prueba de productos de manufactura, estimación de costos y de

investigación de mercados de la empresa. En el análisis que sigue, mostraremos un

diagrama de actividades para este proyecto.

De nuevo el primer paso en el proceso de programación del proyecto es identificar

todas las actividades que lo conforman y a continuación determinar los predecesores

inmediatos de cada una de las actividades


213

LISTA DE ACTIVIDADES PARA EL PROYECTO PORTA-VAC

Actividad Descripción Predecesor

inmediato

A Desarrollar diseño del producto ----

B Planeación de la investigación de mercado ----

C Ingeniería de manufactura A

D Construir modelo prototipo A

E Preparar folletos de mercadeo A

F Estimaciones de costos C

G Efectuar pruebas preliminares del producto D

H Finalizar investigación de mercado B, E

I Informe de precios y de pronostico H

J Preparar informe final F, G, I

TIEMPOS INCIERTOS DE ACTIVIDAD

Una vez desarrollada una red del proyecto necesitamos información del tiempo

requerido para finalizar cada una de las actividades. Mucho de los tiempos de la

actividad son inciertos y se describe mejor mediante un rango de valores posibles en

lugar de un estimado específico.

En estos casos los tiempos de actividad se tratan como variables aleatorias con

distribución de probabilidad asociada.

Es necesario que tengamos 3 estimaciones de tiempo para cada una de las

actividades

Tiempo Optimista (a)= tiempo mínimo de actividad si todo avanza de manera

ideal

Tiempo mas probable (m) = tiempo de actividad mas probable bajo

condiciones normales

Tiempo Pesimista (b) = tiempo máximo de actividad si se encuentra con

retardos significativos

La siguiente tabla muestra las estimación de los tiempos optimista, pesimista y mas

probable para las actividades de Porta – Vac


214

Actividad Optimista (a) Mas probable (m) Pesimista (b)

A 4 5 12

B 1 1.5 5

C 2 3 4

D 3 4 11

E 2 3 4

F 1.5 2 2.5

G 1.5 3 4.5

H 2.5 3.5 7.5

I 1.5 2 2.5

J 1 2 3

El tiempo promedio o esperado (t) para cada actividad es como sigue:

6

4 bmat

Con tiempos inciertos de actividad podemos utilizar una varianza para describir una

dispersión o variación en los valores de tiempo de actividad que esta dada por:

22

6

ab

Las ecuaciones del tiempo promedio y de la varianza se basan en la hipótesis de que

la distribución del tiempo de actividad se puede describir como una distribución de

probabilidad beta.

Actividad Tiempo esperado (semanas) Varianza

A (4 + (4*5) + 12) / 6 = 6 1.78

B (1 + (4*1.5) + 5) / 6 = 2 0.44

C (2 + (4*3) + 4) / 6 = 3 0.11

D (3 + (4*4) + 11) / 6 = 5 1.78

E (2 + (4*3) + 4) / 6 = 3 0.11

F (1.5 + (4*2) + 2.5) / 6 = 2 0.03

G (1.5 + (4*3) + 4.5) / 6 = 3 0.25

H (2.5 + (4*3.5) + 7.5) / 6 = 4 0.69

I (1.5 + (4*2) + 2.5) / 6 = 2 0.03

J (1 + (4*2) + 3) / 6 = 2 0.11

Total 32


215

Una vez que tengamos la red de proyectos y los tiempos esperados de actividad

estamos listo para determinar el camino critico y determinar el tiempo esperado

requerido para la terminación del proyecto.

En el cálculo del camino crítico trataremos los tiempos esperado de actividad como un

tiempo de longitud fija (esta representado por el tiempo esperado). Como resultado de

esto, podemos utilizar el procedimiento de camino crítico CPM.

Una vez determinadas las actividades criticas y el tiempo esperado para la

culminación del proyecto analizaremos el efecto de la variabilidad en los tiempos de

las actividades.

10.3. VARIABILIDAD EN EL TIEMPO DE TERMINACION

DEL PROYECTO

Ahora sabemos que el camino critico es A – E – H – I – J con un tiempo total de

culminación del proyecto en 17 semanas.

E(T) = E(A) + E(E) + E(H) + E(I) + E(J) = 6 + 3 + 4 + 2 + 2 = 17 semanas

Sin embargo las variaciones en las actividades críticas también pueden causar

variaciones en el tiempo de terminación del proyecto. Por lo general las variaciones de

las actividades “no criticas” no tienen efecto en el tiempo de terminación del proyecto

debido a las holguras asociadas.

Sin embargo, si una actividad “no critica” se retrasa lo suficiente para consumir todo su

tiempo de holgura, se convierte en parte de un nuevo camino crítico y puede afectar el

tiempo de culminación del proyecto.


216

La variabilidad que lleva a un tiempo total mas largo de lo esperado para las

actividades criticas siempre aumentara el tiempo de finalización del proyecto, y por la

misma razón la variabilidad que resulte en tiempos críticos mas cortos producirán un

tiempo de culminación del proyecto mas breve de los esperado, a menos de que otras

actividades se conviertan entonces en criticas.

Utilicemos ahora la varianza de las actividades críticas para determinar la varianza del

tiempo de culminación del proyecto.

Var(T) = Var(A) + Var(E) + Var(H) + Var(I) + Var(J)

Var(T) = 1.78 + 0.11 + 0.69 + 0.03 + 0.11 = 2.72

65.172.2)( tVar

Suponiendo que la distribución del tiempo del proyecto T sea normal en forma de

campana. Con esta distribución podemos calcular la probabilidad de cumplir con una

fecha de finalización especificada para el proyecto. Por ejemplo suponga que la

administración ha asignado 20 semanas para el proyecto Porta-Vac. ¿Cuál es la

probabilidad de que se cumpla con este vencimiento de 20 semanas?. Utilizando la

distribución de probabilidad Normal tenemos:

82.165.1

1720 X

z

Utilizando Z = 1.82 encontramos que la probabilidad de que el proyecto cumpla con el

vencimiento de 20 semanas es 0.9656.

Entonces, aunque la variabilidad del tiempo de las actividades pueden causar que el

tiempo de terminación exceda de 17 semanas. Hay una excelente probabilidad de que

el proyecto se termine antes del vencimiento de 20 semanas

Mean,Std. dev17,1.82

Normal Distribution

x

dens

ity

9 11 13 15 17 19 21 23 250

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

0.24

P(T ≤ 20)

20


217


1.- Considere la siguiente red de proyecto y sus tiempos de actividad (en semanas)

Actividad A B C D E F G H

Predecesor ---- ---- A A B D D, E F

Duración 5 3 7 6 7 3 10 8

a) Identifique el camino critico

b) Cuanto tiempo se necesitara para terminar el proyecto

2.- Un proyecto que implica la instalación de un sistema de cómputo esta formado por

8 actividades. La tabla enlista los predecesores y los tiempos de cada actividad en

semanas.

Actividad Predecesor Tiempo A ---- 3 B ---- 6 C A 2 D B, C 5 E D 4 F E 3 G B, C 9 H F, G 3

a) Dibuje una red de proyecto

b) Cuales son las actividades criticas

c) Cual es el tiempo de terminación esperado del proyecto

3.- El Colonial State Collage esta considerando construir un complejo atlético multiuso

en el campus, que tendría un nuevo gimnasio para juegos intercolegiales de

básquetbol. Las siguientes actividades deberán realizarse antes de que la

construcción pueda iniciar.

Actividad Descripción Predecesor Tiempo (semanas) A Topografía del lugar ---- 6 B Desarrollar diseño inicial ---- 8 C Aprobación del consejo A, B 12 D Seleccionar arquitectos C 4 E Establecer Presupuesto C 6 F Terminar diseño D, E 15 G Obtener financiamiento E 12 H Contratar constructor F, G 8

a) Dibuje una red del proyecto

b) Identifique el camino critico

c) Desarrolle el programa de actividades del proyecto


218

4.- Hamilton Company Park esta planeando desarrollar un nuevo parque y área

recreacional en un terreno de 100 acres recién adquirido. Las actividades de desarrollo

del proyecto incluyen la limpieza de las áreas de juegos y días de campo, la

construcción de carreteras, de un albergue, y así sucesivamente. La tabla se está

utilizando en la planeación, programación y control de este proyecto.

Actividad A B C D E F G H I

Predecesor ---- ---- A A B, C B, C F D, E G, H

Tiempo (semanas)

9 6 6 3 0 3 2 6 3


b) Cual es el camino critico de este proyecto

5.- Las siguientes estimaciones de tiempo de actividad (en días) están disponibles

para un pequeño proyecto

Actividad Optimista Más probable Pesimista A 4 5.0 6 B 8 9.0 10 C 7 7.5 11 D 7 9.0 10 E 6 7.0 9 F 5 6.0 7

a) Calcule los tiempos de terminación esperado de las actividades y la varianza

de cada una de ellas

b) Un analista determino que el camino critico está formado por las actividades

B – C calcule el tiempo de terminación esperado así como la varianza

6.- Suponga que las estimaciones del tiempo y de actividades (en días) para el

proyecto de construcción de una alberca en el patio trasero está constituida por 9

actividades. Las actividades y sus predecesores son los que aparecen en la siguiente

tabla.

Actividad Predecesor Optimista Más probable Pesimista A ---- 3 5 6 B ---- 2 4 6 C A, B 5 6 7 D A, B 7 9 10 E B 2 4 6 F C 1 2 3 G D 5 8 10 H D, F 6 8 10 I E, G, H 3 4 5


219

a) Desarrolle una grafica de la red del proyecto

b) Cuáles son las actividades criticas

c) Cuál es el tiempo esperado para terminar el proyecto

d) Cuál es la probabilidad de que se pueda terminar el proyecto en 25 días o

menos

7.- Doug Casey esta a cargo de planear y coordinar el programa de capacitación del

personal de administración de ventas para su empresa. Doug ha enlistado la siguiente

información de actividades para este proyecto

Activ. Descripción Predec Optimista Mas

probable

Pesimista

A Planear tema ---- 1.5 2.0 2.5

B Obtener conferencistas A 2.0 2.5 6.0

C Ubicaciones de reuniones ---- 1.0 2.0 3.0

D Seleccionar ubicaciones C 1.5 2.0 2.5

E planes de viajes conferencistas B, D 0.5 1.0 1.5

F Revisión final con los conferencistas E 1.0 2.0 3.0

G Preparar y enviar folleto por correo B, D 3.0 3.5 7.0

H Hacer reservaciones G 3.0 4.0 5.0

I Manejar detalles último minuto F, H 1.5 2.0 2.5


b) Cuáles son las actividades críticas y cuál es el tiempo de finalización esperado

del proyecto

c) Si Doug desea tener una probabilidad del 99% de terminar el proyecto a

tiempo, ¿Con que anticipación antes de la fecha programada de la reunión

deberá empezar a trabajar sobre el proyecto?

8. La Compañía constructora PREFAB ha identificado nueve actividades que tiene

lugar durante la construcción de una casa. Las cuales se enumeran a continuación

ID TAREA PREDEC TN

1 EREGIR LA ESTRUCTURA 2 5

2 HACER LOS CIMIENTOS 3

3 PONER LAS VIGAS TECHO 1 2

4 REVESTIR EL TECHO 3 3

5 CABLEADO ELECTRICO 1 4


220

6 TABLAS PAREDES EXTERIORES 7 4

7 COLOCAR LAS VENTANAS 1 2

8 TABLAS PAREDES INTERIORES 4,6,8 2

9 PINTURA EXT. E INT. 5,7 3

A. Dibuje la red del proyecto

B. Calcule las fechas Inicio Temprano e Inicio Tardío de cada actividad.

C. Identifique el Camino Crítico.

9. La Compañía constructora PREFAB ha identificado nueve actividades que tiene lugar durante la construcción de una casa. Las cuales se enumeran a continuación

ID TAREA PREDEC TN 1 Preparación Manuscrito (autor) 30 2 Diseño de materiales promocionales 1 6 3 Producción de mat promocionales 2,7 4 4 Corrección del manuscrito 1 5 5 Corrección de galeras y revisión 4 10 6 Producción del libro final 7,5 8 7 Obtención de Permisos legales y Derechos 1 14 8 Capacitación en ventas 3,6 2

A. Dibuje la red del proyecto B. Calcule las fechas Temprano y Tardío C. Identifique el Camino Crítico.

Documents

Curso_completo_de_METODOS_CUANTITATIVOS-libre.pdf